E s t a
MECÁNICA DE FLUÍDOS. LEY DE TORRICELLI. e s l a m i s m a v e l o c i d a d q u e a l c a n z a
OBJETIVO: estudiar el flujo de un liquido contenido en un recipiente a través de un pequeño orificio bajo la acción de la gravedad.
MATERIALES: –
Botella de plástico de 1,5L de volumen y con orificio de salida circular de 0,5cm de diámetro a una distancia de 10,5 cm de la base de la botella. Asimismo contará con marcas a 22,5, 18,5, 14,5 y 12cm de la base para la realizacion de medidas posteriores.
–
Cinta aislante.
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taper
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Regla milimetreada(300mm)
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Agua(1.5L).
–
Aceite(1,5L).
INTODUCCIÓN TEÓRICA: La Ley de Torricelli(caso particular del Teorema de Bernuolli) establece que la velocidad del chorro que sale por un único agujero en un recipiente es directamente proporcional a la
u n
raíz cuadrada de dos veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero.
o b j e t o q u e s e
Para el caso concreto de un depósito cilíndrico de sección S1 y que tiene un orificio muy pequeño en el fondo, de sección S2( mucho mas pequeña que S1) para obtener el valor de la velocidad aplicamos el Teorema de Bernoulli. Para ello, suponemos que la velocidad del fluido v1 en la sección mayor S1 es despreciable; aproximadamente 0 comparada con la velocidad v2 del fluido en la sección S2.
Por otra parte, el elemento del fluido delimitado por las secciones S1 y S2, suponemos, está Mecánica de fluídos
d e j a
conectado con el aire a la misma presión en ambos orificios, esto es; p1=p2=p0 y a temperatura ambiente.
Finalmente, establecidas las condiciones anteriores, la diferencia de alturas y1-y2=h, siendo h la altura de la columna de fluido.
Siguiendo la ecuación de Bernoulli: P1 + ρgy1 +
1 2 1 ρv1 = P2 + ρgy2 + ρv22 2 2
y con los datos anteriores puede simplificarse en: gh =
1 2 v2 ⇒ v2 = 2 gh 2
Asimismo, podemos encontrar una relación entre tiempo de vaciado y altura de la siguiente manera:
H = kt + h Donde tenemos las equivalencias con las ecuaciones anteriores en y1=H (altura hasta la que llenamos el deposito), y y2=h que es la altura mínima hasta la que dejaremos vaciar el depósito, k es una constante y t el tiempo de vaciado del depósito.
La constante de proporcionalidad k se puede calcular mediante la fórmula:
r2 k= R
πρg 2
Así, r es el radio del orificio de salida, R es el radio del depósito, ρ es la densidad del liquido y g la aceleración de la gravedad.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:
Para proceder con la experiencia tomaremos como depósito la botella de 1,5L. La llenaremos de distintos fluidos, primero con agua y después con aceite de oliva, para la realización de los dos casos prácticos que analizaremos. Llenaremos, para cada apartado(tapando con un dedo el orificio menor)hasta tres veces la botella, llegando en cada uno de ellos a diferentes alturas, las dadas por las marcas a 0,225, 0,185 y 0,145m. Una vez alcanzado el nivel adecuado en cada caso, destaparemos el orificio permitiendo al fluido salir de la botella hasta que la superficie de liquido Mecánica de fluídos
alcance la marca a 12cm de la base, mediremos así el tiempo que tarde en cada experiencia.
1.
Realización con agua.
A continuación, llenamos la botella de agua hasta la marca de 22.5 cm y medimos el tiempo que tarda en llegar hasta la última marca, es decir, hasta la que se encuentra a 12 cm de la base de la botella, procediendo de igual manera para los otros dos casos restantes.
Seguidamente se adjuntan en la tabla de abajo los valores obtenidos de la experiencia: H(m)
√H
0,225
0,474
0,185
0,430
0,145
0,380
h(m)
√h
t(s) 71,18
0,12-0,105=0,015
0,122
51,27 24,04
Realizando el ajuste por mínimos cuadrados obtenemos la siguiente gráfica(raíz de H frente al tiempo) y ecuación de la recta:
Mecánica de fluídos
Donde podemos identificar dicha ecuación su la fórmula teórica: H = kt + h ⇒ H = (19.74 ⋅10 −4 )t + 0.332 En ella la constante k coincide con el valor de la pendiente, siendo dependiente de la densidad del fluido utilizado, del agua. Como conocemos la fórmula teórica de esta constante podemos calcular su valor teórico y comparar con el que hemos obtenido experimentalmente: k=
r2 R
πρg 2
⇒ k = 0.001724
Al ser k una constante de proporcionalidad carece de unidades. La diferencia entre los dos valores obtenidos práctica y teóricamente puede deberse a errores de cálculo en la toma de los datos, por ello será interesante conocer el error relativo entre ambos resultados: Error Re lativo =
2.
ValorCalcu lado − ValorTeori co × 100 = 12.665% ValorrCalc ulado
Cálculo de la velocidad.
El valor de la velocidad en caída libre desde una altura, es decir, la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero cuando la altura a la que se encuentra dicha superficie es a 0,12m de la base de la botella, conociendo la ecuación de dicha velocidad y teniendo en cuenta nuestros los valores utilizados, viene dada por: v = 2 gh (m / s ) De esta manera, conociendo el valor de la aceleración de la gravedad 9,81m/s 2 calculamos la velocidad sin más que sustituir como sigue para dicha altura: v = 2 gh ⇒ v = 2 ⋅ 9.81⋅ 0.015 = 0.543m / s La calculamos ahora para el caso de que la superficie del agua se encuentre a 22,5cm de la base, así, tendremos: v = 2 gh = 2 ⋅ 9.81 ⋅ 0.12 = 1.534m / s Vemos que bajo estas condiciones la velocidad de salida del liquido por el orificio aumenta, pero... ¿por qué ocurre esto? Pues esto ocurre porque la columna de volumen del liquido sobre el orificio ejerce una presión sobre el mismo haciendo que el liquido sea expulsado a traves de él con mayor fuerza, mayor velocidad. Dado que para la segunda velocidad calculada el volumen de liquido que se soporta sobre el orificio es mayor, parece y es lógico pensar que ejercerá una mayor presión sobre el agua que fluirá por dicho orificio, haciendo que la velocidad aumente. Tenemos, por tanto, que la Mecánica de fluídos
velocidad a la que el liquido sale por el orificio es directamente proporcional al volumen del liquido que este soporta.
Por otra parte, hemos podido comprobar que tapando el orificio mayor de la botella(sellándolo con papel de cocina y asegurándonos de que no entra aire mediante cinta aislante)el agua contenida en la botella deja de escaparse por el orificio de salida, hecho que se debe al efecto de vacío, que impide el drenaje del liquido interior.
3. Realización con aceite.
En este caso, en lugar de agua, utilizaremos aceite, fluido más viscoso y por tanto con una constante k cuyo valor no coincidirá con la del agua. Tomamos las medidas de los tiempos para las mismas distancias, marcas, que en el apartado anterior. Escribiéndolos en una tabla, para después representar gráficamente la raíz cuadrada de altura H con respecto al tiempo t de vaciado del agua desde la marca dada hasta 0,12m de la base(igual que en el apartado anterior):
H(m)
√H
0,225
0,474
0,185
0,430
0,145
0,380
h(m)
√h
t(s) 96,03
0,015
0,122
72,39 37,66
Representando gráficamente los datos anteriores obtenemos la gráfica para el caso del aceite:
De igual manera, podemos identificar la constante k con la pendiente de la recta, en este caso su valor es menor que para el caso del agua: H = kt + h ⇒ H = (15.97 ⋅10 − 4 )t + 0.32 Mecánica de fluídos
Calculando el valor teórico de k, donde hemos tomado 0,92g/cm3 para su densidad: k=
r2 R
πρg 2
⇒ k = 0.001653
Una vez más, calculamos el error relativo cometido en el proceso: Error Re lativo =
ValorCalcu lado − ValorTeori co × 100 = 3.51% ValorrCalc ulado
Mecánica de fluídos
