Marco Teorico
Teorema de Torricelli
Es una aplicación que dio origen del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. “La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio”.[uno] Un depósito cilíndrico, de sección S 1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S 2 mucho más pequeña que S 1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.
suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S 1 es despreciable v1 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S 2.
Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S 1 y S 2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe
El frasco de Mariotte
De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido
A medida que el fluido sale por el orificio, la altura h de fluido en el depósito va disminuyendo. Si S es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un gasto constante podemos emplear el denominado frasco de Mariotte. Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h0, que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo inferior B del tubo, la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio. La velocidad de salida del fluido no corresponderá a la altura h0 desde el orificio a la superficie libre de fluido en el frasco, sino a la altura h o distancia entre el extremo inferior B del tubo y el orificio. Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté por encima del extremo inferior del tubo, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendrán constantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h0 es menor que h, la velocidad de salida v del fluido deja de ser constante La velocidad de salida v puede modificarse subiendo o bajando el extremo inferior del tubo AB en el frasco.[dos]
Vaciado de un depósito
En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S 1 es despreciable v1 0 comparada con la velocidad del fluido v2en la sección menor S 2. Supondremos ahora, que v1 no es despreciable frente a v2. La ecuación de continuidad se escribe v1S 1=v2S 2
y la ecuación de Bernoulli
De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2
Si S 1>>S 2 obtenemos el resultado de Torricelli El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S 2v2, y en el tiempo dt será S 2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito -S 1dh= S 2v2dt
Si la altura inicial del depósito en el instante t =0 es H . Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.
Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.
Si S 1>>S 2, se puede despreciar la unidad
Referencias Uno: Página Web. David Rodriguez. Teorema de torricelli. En Línea: https://davidrodriguez2206.wordpress.com/teorema-de-torricelli/ . Dos: Página Web. Física, Fluidos, Dinámica, Vaciado. En Línea: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm
Laboratorio de Operaciones Unitarias CELTI Mecánica de Fluidos I Octubre de 2012
Luego, al despejar para v 2 obtenemos
√
Al designar
tenemos
√ A la ecuación anterior se le denomina teorema de Torricelli , en honor de Evangelista Torricelli, quién la descubrió en 1645, aproximadamente. Este teorema es una expresión matemática que nos indica la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera, donde g es la acción de la gravedad en m/s
2 y h es la altura del batiente en m. Esta es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en n recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir de su aplicación se puede determinar la descarga de salida o caudal al que se le denominará Q TEÓ .
√ Donde
A o
es l área de la salida del orificio. De antemano se conoce que el comportamiento del caudal con respecto a la altura del batiente es potencial, por lo tanto se puede establecer la siguiente relación:
Donde k y n son constantes. Si se escribe,
, se tiene que
√ Y se puede deducir teóricamente que n = 0,5 . Procedimiento Para el desarrollo del laboratorio se hicieron medidas de altura. El lugar de trabajo fue en el banco para Torricelli. Al recipiente se enroscaba una boquilla de diámetro de 1 cm, en su parte inferior, se graduaban los flujos de salida y entrada al tanque por medio de unas válvulas, hasta alcanzar una altura deseada. A continuación se dejaba vaciar el tanque midiendo la distancia que alcanzaba el chorro, y un volumen determinado en un intervalo de tiempo conocido por medio de un cronómetro. Esto se hizo diez veces con diez alturas diferentes
