Teorema de Bayes (Nivel bachillerato)

Teorema de Bayes Desempeña un importante papel en la estadística, pues tiene una gran aplicación en la inferencia estadística; este teorema es relativo a la probabilidad condicional.

          (  ) =       +   / Ejemplos: 1. Un estudiante responde a una pregunta en un examen de selección múltiple que tiene cuatro posibles respuesta; supongamos que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabilidad de que la adivine es 0.2. Supongamos también que si el estudiante adivina, la probabilidad de que seleccione la respuesta correcta es 0.25. Si es estudiante responde la pregunta correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que realmente supiera la respuesta correcta? Para estos problemas es muy útil usar diagramas de árbol; los ejercicios se pueden resolver sin necesidad del uso de la fórmula que en ocasiones suele confundir más de lo que ayuda.

Sepa la repuesta

0.8 Adivine. Respuesta

0.25

correcta

No sepa la repuesta (adivine)

0.2 Adivine. Respuesta

0.75

incorrecta

  = 0.8  16 = .  =    0.8 + 0.20.25 17 . 

2. Tres joyeros idénticos tienen dos compartimientos. En cada compartimiento del primer  joyero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del segundo joyero hay un reloj de plata. En el tercer joyero en un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto que en el otro hay un reloj de plata. Si seleccionamos un joyero aleatoriamente, abrimos uno de los compartimientos y hallamos un reloj de plata, ¿cuál es la probabilidad de que en el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

Reloj de oro

1/3

1

1er joyero Reloj de plata

1/3

2do joyero

Reloj de oro

1 1/2

3er joyero 1/3 Reloj de plata

1/2

  = 1312  =    131 + 1312  3. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente;

se ha detectado que un 8%, 2% y 3% del

producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso.

D

0.08

0.43 ND

A

D B

0.92 0.02

0.26 ND

0.98

C D

0.03

0.31 ND

0.097

a) Se selecciona un producto al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Hay 3 situaciones en las que un producto seleccionado al azar puede ser DEFECTUOSO, que sea de la máquina A, de la máquina B y de la máquina C.

0.430.08 + 0.260.02 + 0.310.03 = . b) Si el producto seleccionado resulta que es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina A?

  =   0.430.08   0.430.08 + 0.260.02 + 0.310.03 = . c)

Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C?

Hay 3 situaciones en las que un producto seleccionado al azar puede ser NO DEFECTUOSO, que sea de la máquina A, de la máquina B y de la máquina C.

0.430.92 + 0.260.98 + 0.310.97   =   0.310.97   0.430.92 + 0.260.98 + 0.310.97  = .

4. En una escuela preparatoria se tiene que el 30% de los hombres y el 5% de las mujeres practican futbol soccer. Los hombres constituyen el 55% de la población estudiantil. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta que:

Practica fútbol

0.30

0.55

Hombres

Mujeres

No practica fútbol

0.70

Practica fútbol

0.05

No practica fútbol

0.95

0.45

a) Practica fútbol, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

0.550.30   =   0.550.30 + 0.450.05  = . b) No practica fútbol, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

  =   0.450.95   0.550.70 +0.450.95  = . 5. Tres máquinas “tragamonedas” están adaptadas de manera que el jugador tenga 10% de probabilidad de ganar. Una de ellas funciona mal y hace que el jugador tenga una probabilidad de ganar de 25%. Al elegir una máquina un jugador, gana la primera vez, ¿cuál es la probabilidad de que haya seleccionado la defectuosa?

Ganar 1/3 Máquina 1

Perder Ganar

Máquina 2

0.1 0.9

0.1

1/3 Perder

Máquina 3 (defectuosa)

0.9

Ganar

0.25

Perder

0.75

1/3

130.25   =   130.1 + 130.1 + 130.25 = .