Nº REALES se clasifican IRRACIONALES √a
RACIONALES (a/b) propiedades • • • •
(a/b)m . (a/b)n = (a/b)m+n (a/b)m : (a/b)n = (a/b)m-n [(a/b)m ]n = (a/b)m.n (a/b . c/d ) m = (a/b)m. (c/d)m
propiedades •
• • •
•
Productos y cocientes Suma Racionalización
•
•
•
a
n
n
√ an = a √ a . n √b = n √ab
n
aplicaciones
•
m/n
n
relaciones
n
a
=
n
a
de
b b (n √a)m = n √am n m n nm √ √a = √a n √an = nm√an
m
orden
= √a
tipos
• • • •
Error Absoluto ∆x = | x- x | Redondeo Notación científica Error Relativo δx= ∆x/x
ERRORES
utilidad
VALOR | | ABSOLUTO
aplicaciones
INTERVALOS
ej.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
DISTANCIA
tipos
• • •
Abiertos ( ) Cerrados [ ] Semiabiertos ( ]
POLINOMIOS P(x)= an x + an-1 xn-1 + …..+ a1 x0 + a0 n
operaciones
combinación RAZONES ALGEBRAICAS P(X) / Q (X)
xn + bn xn = ( an + bn) xn
se relaciona con
•
Suma : an
•
Producto : ( amx
•
Cociente : P(x) = Q(X) . C(x) + R(x) ⇒ gr R(x) < gr Q(x)
•
operaciones
Resta: (- P(x) )
m
) . (b n xn )= am bn xm+n
•
SUMA
•
Reducir a común denominador m.c.m •
factorización de
polinomios
P(x) = (x- α1) . (x- α2) ….. (x- αk) C´(x)
ejemplo
• • •
Regla de Ruffini ⇒ P(x) : (x-a) Teorema del Resto ⇒ R = P(a) Raíces de un polinomio
Producto
Cociente
IGUALDADES Y DESIGUALDADES igualdades
desigualdades SISTEMAS DE ECUACIONES
ECUACIONES (=) Tipos
clasificación
INECUACIONES resolución gráfica
solución
tipos
•
LINEALES •
Primer grado, ax + b = 0 ⇒ a ≠0 ⇒ x= - b/a
MÉTODO DE GAUSS
tipos
•
Primer grado, ax + b ≤ 0
Segundo grado, ax2 + bx + c = a(x-x1 ) . (x-x2 )
INCOMPATIBLES •
Segundo grado, ax2 + bx + c = 0 X= ( -b ± √b 2 - 4ac ) / 2a
•
COMPATIBLES •
Bicuadradas, ax4 + bx2 + c =0 ⇒ x2 =z
tipos
DETERMINADOS •
Ecuaciones con radicales
INDETERMINADOS
Otros grados, (x-a) . (x+b) …..≥ 0
VECTORES Q
P
clasificación
combinación
nomenclatura
• • • •
Q , origen P , extremo QP , desplazamiento , módulo
operaciones
VECTOR FIJO producto escalar
a.b=1/2(a 2 +b 2 -b-a2 )
operaciones
Suma : a + b
Suma; regla del polígono
MATRIZ DE COMPONENTES
BASES ejemplo
BASES CARTESIANAS
módulo
Resta : a - b producto escalar
Multiplicación : ra Multiplicación rPA
operaciones
VECTOR LIBRE
representantes
DIRECCIÓN
SENTIDO
MÓDULO
a.b = a1 .b 1 + a2 . b 2
v= √[ ( v 1 )2 + (v 2 )2 ]
GEOMETRÍA VECTORIAL DEL PLANO tipos
VECTOR LIBRE identificación
RECTA relación con
posición
punto
ORIGEN
AB = OB - OA
aplicación
VECTORIAL r = OA + t. v
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
PARAMÉTRICA X= a1 + t . v 1 Y= a2 + t . v 2
asocia
SISTEMA DE COORDENADAS
forman
VECTOR POSICIÓN
COORDENADAS (X,Y) relación
CONTINUA x -a 1 /v 1 = y-a 2 /v 2
BASE DISTANCIA
SECANTE
COINCIDENTE
NO COINCIDENTE
aplicación
GENERAL Ax +By + C = 0
son
PARALELAS PUNTO - RECTA
aplicación
DOS PUNTOS
PENDIENTE, m PERPENDICULARES
EXPLÍCITA y= mx + h
Nos COMPLEJOS
soporte
estructura
se
identifican
AFIJO
TRIGONOMETRIA
caracteriza
VECTOR DE POSICIÓN (x ,y)
se define
consta
CUERPO RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
relación entre ellas
operaciones
IDENTIDADES
formas de Expresión
X, PARTE REAL
Y, PARTE IMAGINARIA
operaciones
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
SUMA
r = |z | x = r cos α y = r sen α
POLAR r α
(a+bi) . (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
z . z´= ( r. r´ ) α+β
BINÓMICA Z= x+yi PRODUCTO POR Nº REAL PRODUCTO
COCIENTE POTENCIA
operaciones
Multiplico conjugado
z : z´= (r / r´ ) α - β
Multiplicaciones sucesivas
zm = ( r m ) mα
RAÍZ n
√r α =
{
R=
n
√r , θ = α/n + k360º/n
TRIGONOMETRÍA
Cosec α= 1/y
Sen α = y son
Sec α = 1/x
Cotang α = x/y
cos α = x
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Tang α = y/x
operaciones
relación
Ángulo doble • Sen2α = 2 senα . cosα • cos2α = cos2 α - sen2 α
IDENTIDADES BÁSICAS son
Suma de ángulos • Sen(α+β)=senα .cos β+ cos α . senβ • Sen(α-β)=senα .cosβ - cos α . senβ • cos(α+β)=cos α.cosβ - sen α . senβ • cos(α+β)=cosα .cosβ +sen α . senβ
nomenclatura
Ángulo mitad sen2 α + cos2 α = 1
1 + tang2 α = sec2 α
1 + cotang2 α = cosec2 α
•
aplicación
•
√ (1 - cos α) / 2 Cos α/2= ± √ (1 + cos α) / 2 Sen α/2= ±
Suma de razones • SenA + senB = 2sen (A+B)/2 . cos (A - B)/2 • SenA - senB = 2cos (A+B)/2 . sen (A - B)/2 • cosA + cosB = 2cos (A+B)/2 . cos (A - B)/2 • cosA + cosB = 2sen (A+B)/2 . sen (A - B)/2
180º = Π rad
Equivalencia
RADIAN
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TRIÁNGULOS C B Â
TEOREMA DEL COSENO a2 = b 2 + c2 - 2abc cosA
a c
relación entre lados y ángulos
B
resolución
utilizando
aplicación
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
TEOREMA DEL SENO a/senA = b/senB = c/senC TRIÁNGULOS RECTANGULOS aplicación
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA a/senA= 2R
CASO GENERAL
utilizando
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES
FUNCIONES COJUNTO IMAGEN
asocia
DOMINIO; D x⇒y= f (x)
Imf= { f(x) x∈D }
se define
F . PLINÓMICA f(x)= an xn + a n-1 xn-1 +….+ a1 x + a0
asigna
GRÁFICA ( X, f(x) )
F . CONSTANTE f (x)= c
tipos
clasificación
propiedades
F . IDENTIDAD f(x) =x
F . PRIMER GRADO f(x) = ax + b IMPAR f (-x) = - f(x)
SIMETRÍAS
INYECTIVA f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 =x2
PAR f (-x) = f(x)
SUMA f (x) + g(x) = (f+g) (x)
RESTA f (x) - g(x) = (f-g) (x)
F. PROPORCIONALIDAD INVERSA y=c⁄ x
operaciones
PRODUCTO POR cte (C. f)(x) = C . f(x)
PROCUCTO (f . g) (x) = f(x) . g(x)
pendiente o.o
F. SEGUNDO GRADO f(x)=ax2 + bx + c
COCIENTE (f/g) (x) = f(x)/g(x)
COMPOSICIÓN (g 0 f) = g(f(x))
LÍMITES
tipos
VALORES MUY GRANDES
LÍMITES EN EL INFINITO
limx à +
limx à ±
∞=
indeterminaciones
0 /0
LÍMITE EN UN PUNTO
limx à ± a =
∞=
VALORES MUY PEQUEÑOS
limx à -
∞=
clasificación propiedades
limxà+∞ =[f(x)+g(x)] = lim xà+∞ f(x) + limxà+∞ g(x) = l + m
• • •
limxà+∞ =[f(x).g(x)] =[ limxà+∞ f(x) ]. [ limxà+∞ g(x) ] = l .m
•
•
∞/ ∞ ∞−∞ 0.∞
CONTINUA
l/± ∞=0 l ≠0
l/0 = ∞ l ≠0
l ≠0
limx àa x = a
Tipos
(-∞ )+(-∞ )= - ∞
limx àa f(x)= l l>0 , entonces
limx àa√f(x) = √l EVITABLE
±∞ / l = ± ∞
•
0/0 1ª ESPECIE
limxà+∞ =[f(x):g(x)]=[ limxà+∞ f(x) ] : [ limxà+∞ g(x) ] = l/m (+∞ )+(+∞ )= +∞
•
propiedades
DISCONTINUA
limx àa f(x) = f(a)
•
∞=∞
limx àa c =c
indeterminaciones
•
Cte +
•
Cte
. ±∞ =± ∞
±∞/0=+∞
±∞ .± ∞=± ∞
2ª ESPECIE
DERIVADA f(x) derivada
f´(x)
aplicación
f ´(x0 ) = lim
h→0
f (x0 +h ) - f (xo )
f(x) ± g(x) = [f ´(x) ± g ´(x)] definición
técnicas de derivación
h
f ´(x) . g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)]
conclusión
f(x) = mx + b → f´(x)=m
RECTA TANGENTE y- f(x0 )= f´(xo ) . (x - xo ) ASÍNTOTAS
f ´(x) : g(x) = [f ´(x) . g(x) +g ´(x) . f(x)] : g 2 (x)
ASINTOTA VERTICAL
Lim x → a f(x)= ∞ [ x n ] ´ = n x n - 1 → n √p m = p m/n ASINTOTA HORIZONTAL
Lim x → ∞ f(x)
CRECIMIENTO
GRÁFICAS
F . CRECIENTE X1 < X2 f(x1 ) < f(x2 )
F . DECRECIENTE X1 < X2 f(x1 ) > f(x2 )
1º Criterio
MÁXIMO
2º Criterio
estudia OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
h (x)= ( u(x) )n ; n∈Q h ´(x) = n ( u(x) )n-1 . u ´(x)
EXTREMOS RELATIVOS f ´(x)=0
Creciente→Decreciente f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) < 0
son
1º Criterio
MÍNIMO
Decreciente→Creciente 2º Criterio
implica
PUNTOS DE INFLEXIÓN f ´´ (x0 )=0 CONVEXA ; f ´´(x)<0 ⇒ f ´(x)decreciente
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
CONCAVA ; f ´´(x)>0 ⇒ f ´(x)creciente
f ´(x0 )=0 → f ´´(x0 ) > 0
INTEGRAL ; ∫a
b
∫
b
a
…+
[
f(x) dx = lim n→∞ = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + f (ξn ) ∆xn
]
definición
Sn = f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 +
…+
∫
teorema
f(x) dx = -
a
fundamental
f (ξn ) ∆xn
b
∫
b
f(x) dx ; a
a
del sabiendo
cálculo
propiedades
∫
b
a
a , límite inferior b , límite superior FUNCIÓN PRIMITIVA→H(x) primitiva f(x)
LINEALIDAD;
∫
b
a
cálculo
f(x) dx = 0
∫
f(t) dx es una primitiva
b
b
C f(x) dx = C
a
⇓
∫
[f(x)+g(x)] dx =
a
de f(x)
∫
∫
f(x) d x
a
∫
b
a
b
f(x) dx +
b
a
g(x) d x
integral aplicaciones
∫
a
ADITIVIDAD DE INTERVALOS
∫
b
f(x) dx = G(b) - G(a)
b
a
f(x) dx =
∫
b
a
f(x) dx +
a
G(x) primitiva
CÁLCULO DE ÁREAS A=
∫
b
a
f(x) dx , f(x) ≥0 , x ∈ (a,b)
ejemplo ENERGÍA
POTENCIAL
∫
b
a
f(x) d x
datos
ESTADÍSTICA
POBLACIÓN
método de cálculo
ej.
SUMATORIO,
∑
subconjunto
MUESTRA
HISTOGRAMAS INTERVALOS
características
Xi = (Li-1 + Li ) / 2
Representación
número de datos grande
DISCRETA
CUANTITATIVA
clasificación
VARIABLE ESTADÍSTICA, X
CONTINUA
CUALITATIVA ordenación de datos
BARRAS
FRECUENCIA ABSOLUTA, fi
tipos
representación gráfica
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
tipos
DIAGRAMAS POLIGONAL
FRECUENCIA RELATIVA h i =fi /N
medidas
medidas
de dispersión
SECTORES
de centralización
RANGO VARIANZA
MEDIA
ejemplo
CUARTILES son
DESVIACIÓN TÍPICA DESVIACIÓN MEDIA
DIVISIÓN DE DATOS
DECILES
PERCENTILES COEFICIENTE DE VARIACIÓN
FRECUENCIAS ACUMULADAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS
MEDIANA
POLÍGONOS DE FRECUENCIA
FUNCIONES TRASCENDENTES FUNCIÓN EXPONENCIAL f(x)= ax definición relación
FUNCIÓN LOGARÍTMICA y= loga x definición
ap/q = q √a p donde p,q ∈Z , q≠o
propiedades
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS sen x, cos x definición
loga x =y ⇔ ay =x
Cos(t) =0 , Sen (t)=y
loga 1 =0 →a0 =1
a >1
CRECIENTE INYECTIVA
propiedades
tipos
limx→ +∞ ax= +∞ limx→-∞ ax= 0
-1 ≤cos t≤ 1 - 1 ≤sen t≤ 1 -
loga a =1 →a1 =a propiedades
loga (ax) =x si x ∈ R
Cos(t+2Π)=cost Sen(t+2Π)=sent Tang(t+2Π)=tan
a >o ⇒x x
propiedades
aLogax =x si x ∈ R
o
DECRECIENTE loga (x.y) = loga x + loga y derivada
limx→ ∞ a = 0 , limx→- ∞ a = +∞ x
x
loga (1/x) = - loga x
ax>o ⇒x loga (y/x) = loga y - loga x BASE e
Tang (t)
propiedades
loga (xy ) = y loga x
COMÚN a >1
(e x)´= e x ⇒ [e u/x] ´ = u ´ (x) eu (x) derivada
DECIMAL ; BASE 1O tipos
(ax ) ´= a x ln a ⇒ [au(x) ] ´= au(x) u´(x) Ln a
• (senx)´=cosx [senu(x) ]´=u´(x).sen u(x) • (cosx)´=-senx cosu(x)]´=- u´(x). sen u(x) • (tangx)´=1/cos 2 x [tangu(x)]´= u´(x)/ cos2 u(x)
relación
CAMBIO BASE Log b x =(1/ loga b). loga x
NEPERIANO ; BASE e (Ln x)´= 1/x ⇒ [au(x) ]´= au(x) . u´(x) Ln a
VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES derivada ejemplo VARIABLES BIDIMENSIONALES (X , Y) relación entre variables
REGRESIÓN LINEAL
LINEAL
caracteriza representación
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Media X = ∑ xi / N
relación
relación NO LINEAL grado de dependencia
Covarianza σ xy = XY - mx .my
medidas aritméticas
medida de aproximación
Media Y = ∑ y i /N
DEPENDIENTES
Media XY= ∑ xi. y i /N
INDEPENDIENTES
CORRELACIÓN LINEAL
tipos FUNCIONAL
ERROR CUADRÁTICO MEDIO E2 = (y - a - bx2 )
medida CORRELACIÓN - 1 < r < 1 → Intervalo CORRELACIÓN DIRECTA
RECTA CRECIENTE
r >0
interpretación
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN, r
r=
σxy /σxσy
relación clasificación CORRELACIÓN INVERSA
RECTA DECRECIENTE
Y sobre X :
r< 0 r =±1→ E2 =0
Y -m y = σxy / σ2 x ( X - mx )
X sobre Y :
X -m x = σxy / σ2 y ( Y - my )
TÉCNICAS DE CONTAR
en general
DIAGRAMA DE ÁRBOL
planteamiento de posibilidades
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
posibilidades de combinación
VARIACIONES Vmk = m.(m-1)…(m-k1)
DIAGRAMA DE CAJAS
VARIACIONES CON REPETICIÓN VR mk = mk
característica IMPORTA ORDEN
PERMUTACIONES Pm= Vmm
concepto asociado
COMBINACIONES Cmk = Vmk / Pk
BINOMIO DE NEWTON fórmulas
TRIÁNGULO DE PASCAL
NÚMERO COMBINATORIO (mk) = m! / k! (m-k)!
concepto asociado
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN PRn k1 k2 = n!
FACTORIAL n! = n . (n-1) . (n-2)…
NO REPETICIÓN
características NO IMPORTA ORDEN
