Estimator Minimax Dan Estimator Bayes DEFINISI
Fungsi Kerugian Jika T adalah sebuah estimator dari
( ),
maka sebuah fungsi kerugian adalah suatu
fungsi bernilai real, L(t; ), sedemikian sehingga : L(t;
)
0, untuk setiap t, dan
L(t;
)
= 0, untuk t =
( )
DEFINISI Fungsi Resiko Fungsi resiko didefinisikan menjadi kerugian yang diharapkan, R T( )= E [L(T;
)]
DEFINISI Estimator Minimax Sebuah estimator T1 adalah estimator minimax jika : Max RT 1 ( ) Max R T ( ) Untuk setiap estimator T.
Estimator minimax adalah estimator yang meminimumkan resiko maksimum.
Soal : Diketahui : Sebuah random sample berukuran n = 2 dari sebuah distribusi normal N(θ N(θ ,1) dengan { θ 0θ1}
Didefinisikan : 1 =
2
3
1
1 x1 x2 2 2
1
3 x1 x2 4 4
2 3
x1
4
2
3
1
dan fungsi loss L(t , θ) = (t -θ) 2
Ditanya : tentukan estimator minimax
Jawab :
R 1
E [ L(t , )]
= E [ L ( 1 ,θ) ] =E[(
1 2
x1
1 2
x2 ) ]2
1 1 1 1 = E ( x1 x2 )2 - 2 θ E ( x1 x2 ) + E (θ 2 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = var ( x1 x2 ) + ( E ( x1 x2 ) ) 2 – 2 – 2 θ E ( x1 x2 ) + θ2 2 2 2 2 2 2
= = = =
1 4 1 4
1 2
1
var ( x1 ) +
1
. 1 + +
2
4 -
var ( x2 ) + (
4
.1+(
2
1 2
1
.θ+
2
- +
2
.
1
E ( x1 ) +
2 )
2
1 2
2
- θ . θ - θ . θ + θ
2
2
1 2
R 2 = E [ L ( t,
)
]
= E [ L ( 2 , ) ] =E[( =E(
1 4
1 4
x1
x1
3 4
3 4
x2 ) 2
2
]
x2 ) – 2 2
E
(
1 4
x1
3 4
2
E ( x2 ) ) – θ – θ E (x1)- θ E(x2)+ θ
2
x2 ) + E (θ )
4
2
3
1
dan fungsi loss L(t , θ) = (t -θ) 2
Ditanya : tentukan estimator minimax
Jawab :
R 1
E [ L(t , )]
= E [ L ( 1 ,θ) ] =E[(
1 2
x1
1 2
x2 ) ]2
1 1 1 1 = E ( x1 x2 )2 - 2 θ E ( x1 x2 ) + E (θ 2 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = var ( x1 x2 ) + ( E ( x1 x2 ) ) 2 – 2 – 2 θ E ( x1 x2 ) + θ2 2 2 2 2 2 2
= = = =
1 4 1 4
1 2
1
var ( x1 ) +
1
. 1 + +
2
4 -
var ( x2 ) + (
4
.1+(
2
1 2
1
.θ+
2
- +
2
.
1
E ( x1 ) +
2 )
2
1 2
2
- θ . θ - θ . θ + θ
2
2
1 2
R 2 = E [ L ( t,
)
]
= E [ L ( 2 , ) ] =E[( =E(
1 4
1 4
x1
x1
3 4
3 4
x2 ) 2
2
]
x2 ) – 2 2
E
(
1 4
x1
3 4
2
E ( x2 ) ) – θ – θ E (x1)- θ E(x2)+ θ
2
x2 ) + E (θ )
1
= var (
1
=
16 1
= =
16 10 16
=
4
3
x1
4
9
var (x1) +
9
. 1 +
+
2
4
x1
var (x2) + (
16
1
. 1 + (
16
1
x2 ) + ( E (
2
+
4
3 4
1 4
3 4
1
2
x2 ) ) -
2 3
E (x1) +
)
2
-
1
2
2
4 -
2
5 8
R 3 ( ) = E [ L ( t,
)
]
)]
= E [ L ( 3 , =E[( =E (
2 x1 3
2 3
2
= var ( = = = = =
4 9 4 9 4 9
4 9 4 9
x1 )
3
2
)
– 2 2
x1 )+
E
2
4
+
2
9
+ +
3
1
4
2
9
2
+ E ( )
2
3
4
3
-
12 9
2
9
R 4 ( ) E [ L ( t,
3
x1 )
E (x1) ) -
4
. )2 -
-
2
2
(
4 2 2 (E ( x1 ) ) 3 3
var (x1) + ( . 1 + (
2
]
)
]
= E [ L ( 4 , ) ]
2
3 +
2
2
4 3
+ 2
2
+
E
2
(x1) +
. +
2
2
( x1 ) 2
E (x2) ) -
3
2
- 2 +
E
2
+
2
1 2
3 2
E
. -
3 2
( x2 ) +
. +
2
2
2
= E [ ( 1 )]2 3
2
1 1 ( x1 x2 )) 3 2 2
=E[( = E [(
1 3
x1 +
1 3
x2 ) -
]
1 1 2 = E ( x1 + x2 ) – 2 3 3 = var ( = = = = =
1 9
3
1
x1 +
3
var (x1) +
2 9 2 9 2 9
2 9
1
+( + +
4
1 3 4
+
9
2
9
+
2
1
-
-
1 9 1 3 4
9
2
2
E
(
2
2
2
-
4
2
3
+ +
3
3
x1 +
x1 +
1
var (x2) + ( )
1
1
x2 ) + ( E (
3
12
]
3
1 3
1 3
2
x2 )) -
E(x1) +
+
2
x2 ) + E ( )
1 3
2
2 E ( x1 ) E ( x2 ) 2 3 3
E(x2) )2 -
2 3
2
-
2 3
2
+
2
2
2
2
2
9
Tabel :
R T
Max
2
3
4
1
5
2 2
2
8
4 2 9
1
5
5
3
2
8
9
9
1
Jadi, estimator minimax adalah 4 = estimator yang lain.
3 9
9
karena merupakan nilai yang paling kecil dari
Tabel :
2
3
4
1
5
2
8
4 2 9
2 2 9
1
5
4
2
2
8
9
9
R T
Max
1
Jadi, estimator maximin adalah 2 =
5 karena merupakan nilai yang paling besar dari 8
estimator yang lain.
Soal :
1. diketahui : Xi EXP() dengan 0 2, didefinisikan : 1
1
2
1
3
1
4
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4
x1
3
1
4
x 2 x2
1
1 x1 x2 8 4
5
1
4
2
x1
x1
4
1 6
x2
2 8
x3
x3
2 6
x3
Dengan loss function Lt ; t
2
Ditanya : Tentukan estimator minimax dan estimator maximinnya! Jawab :
var x 2
E x i
i
RT 1 ˆ
E 1 , ˆ
E 1 ,
2
ˆ
1 3 E x1 x2 4 4
2
2 1 3 1 3 2 E x1 x2 2 x x 1 2 4 4 4 4 2
1 3 3 1 E x1 x2 2 E x1 x2 E 2 4 4 4 4 2
1 1 3 1 3 3 var x1 x2 E x1 x2 2 E x1 x2 E 2 4 4 4 4 4 4 2
1 3 3 1 var x1 var x2 E x1 E x2 2 E x1 E x2 E 2 16 16 4 4 4 4 1
9
2
1 3 3 1 2 2 2 2 16 16 4 4 4 4 1
10 16
5 8
9
2
RT 2 ˆ
2 2 2 2
2
E , E , ˆ
2
2
ˆ
2
1 1 1 E x1 x2 x3 4 2 4 2
2
1 1 3 1 3 1 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 4 2 4 2 4 4
2
1 1 3 1 1 3 1 3 1 var x1 x2 x3 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 4 2 4 4 2 4 2 4 4 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 2 2 16 16 4 4 2 4 2 4 4
RT 3 ˆ
6
2
16 3 8
2 2 2 2
2
E 3 , ˆ
E 3 ,
2
ˆ
1 1 5 E x1 x2 x3 4 8 8
2
2
1 1 1 5 1 5 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 4 8 4 8 8 8 2
1 1 1 5 1 1 5 1 5 var x1 x2 x3 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 4 8 8 4 8 4 8 8 8 2 1 2 1 2 25 2 1 1 5 1 1 5 2 2 16 16 64 4 8 4 8 8 8
RT 4 ˆ
30
30
15
64 64
32
2
2 2 2 2
2 2
E , E , ˆ
4
2
ˆ
4
1 1 2 E x1 x2 x3 6 6 2
2
2
1 1 1 2 1 2 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 6 6 6 6 2 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 2 var x1 x2 x3 E x1 x2 x3 2 E x1 x2 x3 E 2 6 6 2 6 6 6 6 2 2 2 1 2 1 2 4 2 1 1 2 1 1 2 2 2 4 36 36 6 6 6 6 2 2
14
14
7
36 36 18
2
2
2
1
2
3
5
3
15
ˆ
RT
8
max
2 2 2 2
2
20 8
ˆ
8
2
12 8
4 ˆ
ˆ
32
2
60 32
7 18
2
28 18
Jadi estimator minimaxnya adalah 2 ˆ
1
2
3
5 2 8
3 2 8
15
0
0
0
ˆ
RT max
ˆ
4 ˆ
ˆ
32
2
7 18
2
0
Jadi maximinnya tidak ada karena mempunyai nilai yang sama.
DEFINISI Resiko Bayes Untuk sebuah sampel acak dari f(x; ), resiko bayes dari sebuah estimator T relatif ke fungsi R T ( ) dan pdf p ( ) adalah resiko rata-rata yang berhubungan dengan p( ),
AT = E [R T( )] = RT p d
Jika sebuah estimator memiliki resiko Bayes terkecil, maka itu ditunjuk sebagai estimator Bayes.
DEFINISI Estimator Bayes Untuk sebuah sampel acak dari f(x; ), estimator Bayes T* relatif pada fungsi resiko R T( ) dan pdf p( ) adalah estimator dengan resiko minimum yang diharapkan, E [R T* ( )] ≤ E [R T( )] Untuk setiap estimator T.
Dengan menggunakan contoh sebelumnya yaitu: Sebuah random sample berukuran n = 2 dari sebuah distribusi normal N(θ ,1) dengan { θ 0θ1}
Didefinisikan : 1 =
1 x1 x2 2 2
1
2
2
3
1
4
3 x1 x2 4 4
3
x1
2 3
1
dan fungsi loss L(t , θ) = (t -θ)
2
dan diketahui Geo (0,4). Tentukan estimator Bayes ! Perhatikan: X berdistribusi normal dan
berdistribusi
geometric
Jawaban
R ( ) = 1
1
R
2
3
4 2 ( ) = 9
2 2 R ( ) = 4 9
5 R ( ) = 2 8 Geo (0,4) E( ) =
1 p
Var ( ) =
1 0,4
q p
2
10 4
1 p p
2
2,5 1 0,4
(0,4) 2
3,75
A ( ) = E (R ( )) = E
1 1 2 2
A ( ) = E (R ( )) = E
5 5 8 8
1
2
1
2
4 2 A ( ) = E (R ( )) = E 3 3 9
2 4 = E E 9 9
4 9 4 9 4 9 4 9 4 9
1 2 E 9 1 VAR E 2 9 1 3,75 2,5 2 9 1 10 9 10 14 9 9
A ( ) = E (R ( )) 4
4
2 2 E 9 2 2 E E 9 9 2 1 x10 9 9 2 10 12 9 9 9
Jadi, estimator Bayesnya adalah
1 yaitu
1=
1
1 x1 x2 . 2 2
Soal : 1. Diket
: Xi
p ~ Unif (0,1)
Estimator-estimatornya sebagai berikut : = =
+
=
Loss Function : L ( ; p) = E ( Ditanya (
: Estimator bayes
) =E( =E(
-
=E = Var (
=
var (
)+
)+(
- 2pE (
E(
+E
-
)+E(
= = = =
p(1-p)
– = E(( =
E
( = Var
=
= =
=E( = E( = = =
– 2p
A = = =
= =
A = = = A A
TEOREMA BAYES ( DISKRIT)
A.
Peluang Bersyarat
Definisi : Peluang bersyarat B, bila A diketahui dilambangkan denga n ( P A ) didefinisikan sebagai :
P ( B A)
B.
P ( A B) P ( A)
; P ( A) 0
Teorema Peluang Total
“ Bila ke jadian-kejadian B1 , B2 , 0 untuk i = 1, 2, 3,…, k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku :
P ( A) P ( B1 ). P ( A B1 ) P ( B2 ). P ( A B2 ) ... P ( B k ). P ( A Bk )
Bukti :
B1 , B 2 ,..., Bk , saling asing. Kejadian A dipandang
sebagai B1 A, B2
A,..., Bk A
yang saling terpisah satu sama lain. Dengan kata lain :
A ( B1 A) ( B2 A) ... ( Bk A) P ( A) P ( B1 A) P ( B2
A) ... P ( Bk A)
P ( A) P ( B1 ). P ( A B1 ) P ( B2 ). P ( A B2 ) ... P ( B k ). P ( A Bk )
C.
Teorema Bayes
2 ,..., Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S „Jika kejadian-kejadian B1 , B dengan P ( B) 0 untuk i = 1, 2, 3,…, k, maka untuk sebagai kejadian A yang bersifat P ( A) 0 ;
P ( B A)
P ( Br ). P ( A Br ) P ( B1 ). P ( A B1 ) P ( B2 ). P ( A B2 ) ... P ( Bk ). P ( A Bk )
APLIKASI TEOREMA BAYES
1. Sebuah perusahaan memiliki 3 mesin, masing-masing M1,M2,dan M3. hasil dari masing-masing mesin itu berturut-turut H1,H2,dan H3. M1 menghasilkan 60% dari seluruh produksi, mesin M2 menghasilkan 25% dari seluruh hasil produksi,dan M3 menghasilkan 15%dari seluruh hasil produksi. Selanjutnya, berdasarkan ha sil pemeriksaan, diketahui bahwa 5% dari H1,2% dari H2,dan 8% dari H3 cacat. a) jika suatu hasil produksi diambil secara acak, berapakah probabilitas hasil itu cacat? b) Jika diketahui produk yang diambil itu cacat, berapakah probabilitas produk itu berasal dari M2?
Penyelesaian
Diketahui :P(H1) = 0,6 P(H2)= 0,25 P(H3)= 0,15 Misal jika A adalah kejadian cacat, maka: P A H 1 0,05 P ( A H 2) 0,02 P A H 3 0,08
ditanya :a) P(A) b) P H 2 A jawaban :
a) P A P A H 1 P A H 2 P A H 3
P H 1 P A H 1 P H 2 P A H 2 P H 3 P A H 3 0,60,05 0,250,02 0,150,08 0,047
b) P H 2 A
P H 2 A
P A P H 2 P A H 2
P A 0,250,02 0,047
0,106 2) Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang Yudi terpilih adalah 0,3.peluang Hadi terpilih adalah 0,5 dan peluang Yunus terpilih adalah 0,2. seandainya yudi terpilih , peluang terjadi kenaikan iuran anggota adalah 0,8. seandainya Hadi atau Yunus terpilih, peluang kenaikan iuran anggota masing-masing 0,1 dan 0,4. jika seseorang bermaksud menjadi anggota organisasi tetapi ia menunda keputusannya beberapa minggu. Ternyata iuran anggota telah dinaikkan. Berapa peluang yunus terpilih menjadi ketua bagi organisasi tersebut?
Penyelesaian: Misalkan : H1 : kejadian terpilihnya Yudi; P(H1) = 0, 3 H2: Kejadian terpilihnya Hadi,P(H2) = 0,5 H3: Kejadian terpilihnya Yunus; P(H1) = 0,2 Jika A adalah kejadian iuran anggota dinaikkan P A H 1 0,8 P ( A H 2) 0,1 P A H 3 0,4
ditanya : P H 3 A
jawaban : P H 3 A
P H 3 A P A
P H 3 P A H 3 P A
A A H 1 A H 2 A H 3 P A P A H 1 P A H 2 P A H 3
P H 1 P A H 1 P ( H 2) P A H 2 P ( H 3) P A H 3 0,3(0,8) 0,5(0,1) 0,2(0,4) 0,24 0,05 0,08 0,37
P ( H 3 A)
0,2(0,4)
8
P H 3 P A H 3 P A
0,37 37
DISTRIBUSI POSTERIOR
Jika θ adalah variable random yang menjalani harga-harga θ1,θ2, …,θk dengan probabilitas p(θ1), p(θ2),….p(θk). P(θt = θ j) , j= 1,2,3,…,k disebut distribusi prior awal untuk θt. andaikan informasi sample ditunjukkan oleh statistic Y. Probabilitas P( Y =y / θt = θ j ) disebut fungsi likelihood. Distribusi posterior θ t yang dinyatakan oleh P( θt = θ j / Y=y )adalah : P( θt = θ j /Y =y ) = P (Y y / t j ) P ( t j ) k
P (Y y / t j) P ( t j) j 1
Bentuk singkat dari pernyataan diatas yaitu :
P( θ j / y ) = P ( y / j ) P ( j ) k
P ( y / j) P ( j) j 1
Contoh soal :
1. Dalam suatu kota diketahui bahwa 2% penduduknya mempunyai penyakit kanker dan 1% mempunyai penyakit TBC. Seorang diambil secara random dari populasi penduduk kota tersebut kemudian dilihat kesehatan paru-parunya dengan menggunakan sinar-X. Tentukan distridusi posteriornya jika, Tersedia informasi a. probabilitas seseorang berpenyakit kanker akan mendapat sinar-X positif adalah 0,9 b. probabilitas seseorang berpenyakit TBC akan mendapat sinar-X positif adalah 0,95 c. probabilitas seseorang tanpa kanker atau TBC akan mendapat sinar-X positif adalah 0,07
Penyelesaian : Misalkan ( =2 ) menyatakan seseorang mendapat kanker, ( =1 ) menyatakan seseorang mendapat TBC, ( =0 ) menyatakan seseorang bebas dari kedua penyakit tersebut. Dari informasi diatas didapat distribusi prior (awal) dari sebagai berikut. P ( =0 ) = 0,97 P ( =1 ) = 0,01 P ( =2 ) = 0,02
Misal Y=1 jika sinar-X positif, dan Y=0 jika sinar-X negat if. Maka P ( Y=1 / =0 ) = 0,07 P ( Y=1 / =1 ) = 0,95 P ( Y=1 / =2 ) = 0,9 Dengan menggunakan teorema bayes didapat
P( Y 1/ 0) P( 0)
=
P ( 0 / Y 1)
2
P (Y = 1/ = j) P( j) j 0
=
(0,07)(0,97) (0,07)(0,97) (0,95)(0,01) (0,9)(0,02)
= 0,7117
=
P ( 1 / Y 1)
(0,95)(0,01) (0,07)(0,97) (0,95)(0,01) (0,9)(0,02)
= 0,099
=
P ( 0 / Y 1)
(0,9)(0,02) (0,07)(0,97) (0,95)(0,01) (0,9)(0,02)
= 0 ,1887
Probabilitas-probabilitas diatas menyusun distribusi posterior , yaitu distribusi probabilitas sesudah mengetahui hasil sinar-X.
2. Diketahui Dist. Prior untuk proporsi pada hasil yang cacat oleh sebuah mesin adalah p
0,01
0,05
0,1
0,25
f (p)
0,6
0,3
0,08
0,02
Tentukan dist. posterior untuk proporsi hasil yang cacat oleh mesin ini, jika suatu sample berukuran 5 diambil secara acak d an diambil 1 cacat. Dalam pengambilan sampel diassumsikan : a. setiap pengambilan independent b. Proporsi cacat p dari trial ke trial sama
Penyelesaian : Missal x menyatakan jumlah cacat dalam pengambilan n trial maka untuk kasus diatas fungsi likelihoodnya berdistribusi binomial yaitu : f ( x / p)
= b( x; n; p)
n = p x (1 p) n x k 5 = p(1 p) 4 1
f( 1/ 0,01)
4
= 5.(0,01).(0.99) = 0,0480
f( 1/ 0,05)
= 5.(0,05).(0,95)4 = 0,2036 = 5.(0,1).(0,9)4
f( 1/ 0,1)
= 0,3280 f( 1/ 0,25)
4
= 5.(0,25).(0,75) = 0,3955
Probabilitas posteriornya adalah :
f ( p / x)
f ( x / p). f ( p)
f ( x / p). f ( p)
f (0,01/ 1)
f (0,05 / 1)
f (0,1 / 1)
(0,048)(0,6) (0,0480)(0,6) (0,2036)(0,3) (0,2380)(0,08) (0,3955)(0,02)
(0,2036)(0,3) (0,0480)(0,6) (0,2036)(0,3) (0,2380)(0,08) (0,3955)(0,02)
(0,3280)(0,08) (0,0480)(0,6) (0,2036)(0,3) (0,2380)(0,08) (0,3955)(0,02)
f (0,25 / 1)
0,232
0,492
0,212
(0,3955)(0,02) (0,0480)(0,6) (0,2036)(0,3) (0,2380)(0,08) (0,3955)(0,02)
0,064
Distribusi posteriornya
p
0,01
0,05
0,1
0,25
f(p/x=1)
0,232
0,492
0,212
0,064
DISTRIBUSI POISSON
Suatu variabel random dikatakan mempunyai distribusi poisson dengan intensitas per unit waktu jika
P(r = r :t, ) =
e
t
( t ) r !
r
, r = 0, 1, 2, 3, ….
Dimana e =2,71829
Contoh soal: Pemilik dealer ingin mengetahui sukses seorang kar yawan di dalam memasarkan mobil. Ia membagi karyawanya dalam tiga kategori “Bagus”, “baik”, dan “kurang”. Seorang karyawan di sebut “bagus” jika rata-rata ia bisa menjual satu mobil setiap 2 hari, sedang karyawan di sebut “baik” jika rata-rata ia menjual satu mobil dalam 4 hari, dan kar yawan dikatakan “kurang” bila rata-rata ia hanya dapat menjual satu mobil dalm 8 hari.Pemilik dealer baru saja mengankat seorang karyawan. Berdasarkan pengalaman masa lalu dan hasil wawancara ia menyimpulkan bahwa kemungkinan ia karyawan “bagus” = 0.2 ia karyawan “baik” = 0,5 dan ia karyawan “kurang” = 0.3. tentukan Distribusi posteriornya, jika dalam waktu 24 hari sesudah ia bekerja karyawan baru tersebut telah berhasil menjual 10 mobil ?
Penyelesaian
pemilik dealer mempunyai distribusi prior
P ( = P( = P( =
1 2 1 4
) = 0.2 ) = 0.5
1 ) = 0,3 8
Kita menentukan fungsi likelihoodnya dengan r =10, t=24, jadi di dapat:
P(r = 10 :t =24, =
P(r =10 :t= 24, =
1 4
1 2
e (12) 12
)=
)=
10!
e 6 (6)10 10!
10
= 0,1048
= 0,0413
e 3 (3)10 1 P(r = 10 : t = 24, = ) = = 0, 0008 10! 8
Dalam bentuk tabel disrtibusi posterior dapat di tentukan sebagai berikut
Probabitas prior
likelihood
(prob.
Probabilitas
Prior)x(likelihood)
posterior
1 2
0,2
0,1048
0,02096
0,501
1
0,5
0,0413
0,02065
0,493
0,3
0,0008
0,00024
0,006
4 1 8
1,0
0,04185
1,0
Jadi, dari tabel di atas di dapar d istribusi posteriornya adalah: 0,501 : 0,493 : 0,006 yang jumlahnya adalah 1.
BAYES UNTUK PEUBAH KONTINU
Dalam kasus kontinu, teorema Bayes dapat dinyatakan sbb : kepada tan posterior
f / y
(kepada tan prior ) (likelihood )
(kepada tan prior ) (likelihood )
f f y /
f f y / d
Contoh :
Diberikan distibusi Prior untuk adalah f 21 ; 0 < θ < 1. menunjukkan ˆ
kontribusi kekuatan pemasaran merk baru suatu produk. Merk baru cukup banyak perbedaannya dengan merk lama. Diambillah suatu sampel dengan 5 konsumen produk tersebut. Seseorang membeli merk baru. Empat lainnya membeli merk lama. Tentukan distribusi Posterior yang menunjukkan bahwa dari 5 konsumen terdapat 1 konsumen yang membeli merk baru ! Jawab :
Selidiki dulu apakah kontinu . ˆ
pemasaran merk baru berhasil berarti dekat dengan 1
pemasaran merk baru tidak berhasil berarti dekat dengan 0
ˆ
ˆ
pemasaran merk baru mungkin cukup berhasil berarti 0 < < 1 ˆ
Berarti itu kontinu . ˆ
Kita menganggap bahwa proses pembelian produk ini dapat dipandang sebagai proses BERNOULLI dengan probabilitas bahwa seorang pembeli yang dipilih secara acak akan membeli merk baru adalah . Hal ini berarti ada satu ˆ
“sukses”
dalam 5 percobaan . Yang berarti : dapat disajikan dalam bentuk fungsi likelihood sebagai distribusi BINOMIAL . f ( y
5 5 1 4 ) P (r 1 / n 5; ) 11 5 1 1 ˆ
ˆ
Distribusi Posteriornya adalah : f / y
f f y /
f f y / d
4
2(1 ) 5 1 1
21 5 1
4
d
0
4
1
1
4 1 d 0
4
1
1
42
42 1
4
; 0<θ<1
Apabila f(θ) dan f(y/θ) bukan merupakan fungsi matematik yang sederhana, maka kita akan kesulitan menyelesaikan pengintegralan penyebutnya. ] Oleh karena itu, ada 2 solusi, diantaranya : 1.menggunakan pendekatan diskrit untuk model probabilitas kontinu 2.membatasi diri pada distribusi Prior dalam keluarga (sekawan) distribusi tertentu yang tergantung pada bentuk fungsi likelihoodnya Sifat-sifat yang disenangi bagi keluar ga distri busi sekawan adalah : 1.secara matematik dapat ditelusuri 2.keluasan 3.mudah diinterpretasikan
Ingat !!!!! Distribusi Prior SEKAWAN adalah “SEKAWAN”
hanya terhadap fungsi likelihood yang dipunyai .
DISTRIBUSI PRIOR SEKAWAN UNTUK PROSES BERNOULLI
Anggota keluarga distribusi yang sekawan dengan proses Bernoulli adalah keluarga distribusi BETA .
Contoh :
Diketahui sampel random r i ~ BIN (r,1,p) ; i = 1, 2, 3, ..., n . Jika dipilih distribusi Prior untuk p ~ BETA (p,r,n), maka tentukan distribusi posteriornya !
Jawab :
Bernoulli sebanyak n kali menjadi BIN (r,n,p).
n r p 1 p n r r
f (r / p)
Fungsi likelihood :
n r i p 1 p n r i r i
F ( y / p)
n n r i p r i 1 p r i n n y p y 1 p r i
Prior untuk p ~ BETA (p,r,n)
f ( p)
r n r n
p
r 1
(r n 1)! (r 1)!(n 1)!
1 p
n 1
p r 11 p
n 1
;
r = y i
Distribusi Posterior yang diminta adalah :
f ( p / y)
f ( y / p) f ( p)
f ( y / p) f ( p)dp
n y n y ( r n 1)! 1 p p (r 1)!(n 1)! p r 1 1 p n 1 ri n y n y (r n 1)! r 1 1 p n 1dp 1 p p p (r 1)!(n 1)! ri n n y 1 p y r 1 1 p n n y 1 y r 1 1 p p dp n n y 1 p y r 1 1 p n n r 2 y r 1 n n y 1 1 p 1 p dp n n r 2 y r 1 y r 1 n n y 1 y r 1 1 p p 1 1 n n r 2 y r 1 n n r 2 y r 1 n n y 1 1 p p y r 1
Jadi, distribusi Posterior di atas berdistribusi ~BIN (y+r-1,
n+n+r-2 , p).
n+n+r-2 , y+r-1 , p ).
Atau dapat dinyatakan pula sebagai ~ NB (
r i
;y=
DISTRIBUSI PRIOR SEKAWAN UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF
Anggota keluarga distribusi yang sekawan dengan distribusi Bnomial Negatif adalah keluarga distribusi BETA.
Contoh :
Diketahui sampel random r i ~ NB (n,r,p) ; i = 1, 2, 3, ..., n . Jika dipilih distribusi Prior untuk p ~ BETA (p,r,n), maka tentukan d istribusi posteriornya !
Jawab :
Distribusi Binomial Negatif
n 1 r (n 1)! n r p 1 p n r p r 1 p (r 1)!(n r )! r 1
f (n, r , p)
Fungsi Likelihood n 1 r i p 1 p n r i r i 1
f ( y / p)
n 1 y p 1 p n y r i 1
Prior untuk p ~ BETA (p,r,n)
f ( p)
r n r n
p
r 1
(r n 1)! (r 1)!(n 1)!
1 p
n 1
p r 11 p
n 1
Distribusi Posterior yang diminta n 1 y n y 1 p (r (r 1)!n(n 1)!1)! p r 11 p n 1 r i 1 p f ( p / y) n 1 y n y (r n 1)! r 1 1 p n 1dp 1 p p p (r 1)!(n 1)! r i 1
n n y 1 n n y 1 y r 1 1 p p dp
p y r 1 1 p
p y r 1 1 p
n n y 1
1 n n r 2 1
1
n n r 2 1 0 y r 1 1 y r 1 1 n n y 1 y r 1 p 1 p 1
p y r 1 1 p n n y 1 dp
1 n n r 2 1 y r 1 1 n n r 2 1 y r 1 n n y 1 p 1 p y r 1 1
Jadi, distribusi Posterior di atas berdistribusi ~NB (
r i
n +n+r-2 , y+r-1 , p ) .
;y=
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Distribusi eksponensial, mempunyai banyak aplikasi dalam statistika khususnya dalam teori reliabilitas dan waktu tunggu atau masalah ant rian. Anggota keluarga distribusi sekawan dengan distribusi eksponensial adalah distribusi chi-kuadrat. Contoh : Diketahui sample random x1, x2,…, xn. berdistribusi eksponensial (xi ~ Exp(x)). Jika dipilih distribusi prior chi-kuadrat, dengan derajad kebebasan k, parameter , tentukan distribusi posteriornya? Jawab: f y f f ( y ) f y f ( ) d
1 x i f ( xi) e Fungsi likelihoodnya : n 1 x i f ( xi / ) e i 1
e ) = 1 e , untuk y = n
= 1
n
x i
n
y
f ( y
x i
i 1
Kepadatan priornya : k 1 1 2 2 f ( ) k e 2 2 k 2 Maka distribusi posteriornya : k 1 1 y 2 2 ( 1 ) n e k e 2 2 k 2 f ( / y) y k 1 1 2 2 ( 1 ) n e k d e 2 2 k 2
1
k
k
=
2 2 k
2
2
k
1 n
e
2 y
2
1 k
2
k
2
2
1 n
e
2
y
d
