PEMBAHASAN
A. SISTEM KOORDINAT POLAR Dua orang Perancis, yaitu Pierre de Fermat (1601-1665) dan Rene Descrates (1596-1650), memperkenalkan apa yang kita sebut sistem kooordinat Cartesius atau persegi panjang. Dasar pemikiran mereka ialah untuk merinci setiap titik P di bidang dengan jalan memberikan dua bilangan (x,y), jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus dengan sesamanya. Gagasan in sampai sekarang demikian umumnya sehingga kita menggunakannya hampir tanpa berpikir. Namun ini adalah gagasan mendasar dalam geometri analitis dan memungkinkan pengembangan kalkulus seperti yang kita capai hingga saat ini. Pemberian jarak berarah dari sepasang sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satunya jalan untuk merinci suatu titik. Cara lain untuk melakukan ini adalah dengan memberikan apa yang disebut koordinat polar. Koordinat polar dimulai dengan sebuah setengah garis tetap, disebut sumbu polar, memancar dari sebuah titik tetap O, disebut polar atau titik asal (lihat gambar 2). Sumbu polar dipilih horizontal dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x-positif pada sebuah koordinat siku – siku. Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan
adalah salah satu sudut
antara sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar untuk P.
Kalkulus Lanjut
1
Dalam koordinat polar, r negatif menyatakan bahwa sinar yang berlawanan dari sisi akhir Ѳ dan |r| satuan dari titik asal. Contoh-contoh dari persamaan polar adalah r = 8
dan r =
. Persamaan polar dapat
dibuat dalam bentuk grafik persamaan polar dimana grafik persamaan polar adalah himpunan titik-titik, masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang koordinat polar yang memenuhi persamaan polar tersebut. Cara yang paling mendasar untuk mensketsakan grafik ialah menyusun tabel nilai – nilai, plot titik – titik yang berpadanan, kemudian menghubungkan titik-titik ini dengan kurva mulus. Hubungan Koordinat Cartesius Kita andaikan bahwa sumbu polar berimpit dengan sumbu x-positif sistem Cartesius. Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x,y) titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan
Polar ke Cartesius x=r y=r
Cartesius ke Polar =
+ =
Contoh : Carilah koordinat Cartesius yang berpadanan dengan (4, ) dan koordinat polar yang berpadanan dengan (-3,√ ) ! Penyelesaian : Jika (r,Ѳ) = (4, ) maka :
Kalkulus Lanjut
2
x=4
= 4.
y=4
= 4.
√
= 2√
=2
Jika (x,y) = (-3,√ ) maka : + √
= =
= 12
√
Satu nilai (r,Ѳ) adalah (2√ , 5 ᴨ/6). Lainnya adalah (-2√ , -ᴨ/6).
Persamaan Polar untuk Garis, Lingkaran, dan Konik melalui polar, persamaannya adalah
Jika sebuah garis
. Apabila garis tidak melalui polar,
maka garis
tersebut berjarak misalnya
dari kutub
. Andaikan
sudut antara
sumbu polar dan garis tegaklurus dari polar pada garis itu (Figure 9). Apabila sebuah titik pada garis, maka
atau
Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di polar, persamaannya adalah r = a. Apabila pusatnya di (
), persamaannya agak rumit, kecuali kalau
Kalkulus Lanjut
3
kita pilih
(Figure 10). Maka menurut hukum kosinus, yang dapat disederhanakan menjadi
Suatu hal yang menarik jika persamaan
dan
. Yang pertama menghasilkan
; yang kedua menghasilkan
atau
. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan contoh 1. Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol, atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga fokusnya berada di polar, garis arahnya berjaark
satuan dari kutub
(Figure 11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |
|
|
| kita
akan memperoleh
[
]
Atau, secara analitik setara
Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk Perhatikan bahwa apabila
dan
.
kita memperoleh persamaan
dalam contoh 2.
Kalkulus Lanjut
4
Contoh Contoh 1: Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan ½, berfokus di sebelah
polar dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan di kanan polar.
Penyelesaian
Kalkulus Lanjut
5
Contoh 2: Tentukan jenis konik dan gambarkan grafik yang persamaannya
Penyelesaian kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.
Yang kita kenal sebagai koordinat polar menggambarkan sebuah hiperbol dengan e = 2, berfokus di polar dan dengan garis arah yang mendatar, sejauh 7/4 satuan di atas sumbu polar ( Figure 12).
Kalkulus Lanjut
6
B. GRAFIK PERSAMAAN POLAR Persamaan polar yang ditinjau dalam sebelumnya menuju ke grafik-grafik yang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik. Sekarang kita mengalihkan perhatian kita pada grafik-grafik yang lebik eksotis – kardioida, limason, lemniskat, mawar, dan spiral. Persamaan-persamaan Cartesius padanannya agak rumit. Beberapa kurva memiliki persamaan sederhana dalam suatu system; kurvakurva ini mmiliki persamaan sederhana dalam system yang kedua. Sifat
simetri
dapat membantu kita memahami sebuah grafik. Berikut beberapa uji yang cukup untuk kesimetrian dalam koordinat polar. Diagram-diagram akan membantu Anda mengembangkan validitas mereka. 1. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-x (sumbu polar) jiak penggantian (r, ) atau oleh ( - r, -
) memnghasilkan persamaan yang
ekuivalen.
2. Grafik persamaan polar simetri terhadap sumbu-y (gari penggantian (r, ) oleh (-r, - ) atau oleh ( r, -
s = /2) jika
) menghasilkan persamaan
ekuivalen.
Kalkulus Lanjut
7
3. Grafik persamaan polar simetris terhadap titik asal (polar), jika pengganti ( r, ) oleh (- r, ) atau oleh ( r, +
) menghasilkan persamaan yang ekuivalen.
Karena pernyataan ganda titik-titik di dalam koordinat polar, maka mungkin terdapat simetri-simetri yang tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.
Kardioida dan Limason kita tinjau persamaan yang berbentuk r = a ± b cos
r = a ± b sin
dengan a dan b positif. Grafik mereka dinamakan limason, dengan khusus untuk a = b disebut sebagai kardioda.
CONTOH 1 Analisis persamaan r = 2 + 4 cos
untuk simetri dan sketsakan grafiknya.
PENYELESAIAN Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(- ) = cos ), grafik simetris terhadap sumbu-x. Pengujian simetri yang lain gagal.
Kalkulus Lanjut
8
Lemniskat Grafik dari r2 = ± a cos 2
r2 = ± a sin 2
berupa kurva berbentuk-angka-delapan dinamakan lemniskat.
CONTOH 2 Analisis persamaan r2 = 8 cos 2
untuk simetri dan sketsakan grafiknya
PENYELESAIAN Karena cos(-2 ) = cos 2
dan
cos [2 ( - ) ] = cos (2 - 2 ) = cos(-2 ) = cos 2 maka grafik simetris terhadap kedua sumbu. Jelas, garfik simetri jga terdapat titik asal.
Kalkulus Lanjut
9
Mawar Persamaan polar yang berbentuk r = a cos n
r = a sin n
menyatakan kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Mawar memiliki n daun jika n gasal dan 2n daun jika n genap.
CONTOH 3 Analisis r = 4 sin 2 untuk simetri dan sketsakan grafiknya.
PENYLESAIAN Anda dapat memeriksa bahwa r = s sian 2 memenuhi ketiga pengujan simetri. Sebagai contoh, dia memenuhi Uji 1 karena sin 2( - ) = sin (2-2 ) = - sin 2 sehingga penggantian (r, ) oleh (-r, - ) menghsilkah persamaan ekuivalen. Tabel nilai yang agak lengkap untuk 0 ≤ untuk /2 ≤
≤ /2, dan yang agak ringkas
≤ 2.
Anak panah pada menunjukkan arah gerak titik P(r, ) apabila bertambah besar mulai dari 0 hingga 2.
Spiral Grafik r = a
disebut spiral Archimedes; grafik r =
dinamakan
spiral logaritma (logarithmic spiral).
Kalkulus Lanjut
10
CONTOH 4 Sketsakan grafik r =
untuk
0.
PENYELESAIAN Kita abaikan tabel nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik memotong sumbu polar di (0,0), (2, 2), (4, 4), … dan memotong perpanjangan yang ke kiri di (, ), (3, 3), (5, 5), … .
Perpotongan Kurva dalam Koordinat Polar Dalam koordinat polar sebuah titik P memiliki banyak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenuhi persamaan polar satu kurva dan pasangan yang lain dapat memenuhi kurva yang lain. Misalnya, lingkaran r = 4 cos
memotong garis
= /3 di dua titik, yaitu
polar dan (2, /3), tetapi hanya pasangan terakhir yang merupakan penyelesaian bersama kedua persamaan tersebut. Ini terjadi karena koordinat polar yang memenuhi persamaan garis adalah (0, /3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, /2 + n).
Kesimpulannya untuk memperoleh semua perpotongan dua kurva yang persamaan polarnya diberikan, selesaikanlah persamaan-persamaan secara
Kalkulus Lanjut
11
imulutan; kemugian Gambarkan garfik dua persamaan tersebut secara seksama untuk menemukan titik potong lain yang masih mungkin. CONTOH 5 Carilah titik potong dua kardioida r = 1 + cos
dan r = 1 – sin .
PENYELESAIAN Jika kita hilangkan r dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 + cos = 1 – sin . Jadi cos = - sin , atau tan = -1. Kita simpulkan bahwa atau
=
= , yang menghasilkan dua titik potong (1 - √ , ) dan (1+ √ ,
).
Namun grafik diatas memperlihatkan bahwa kita telah melewatkan titik potong yang ketiga, yaitu polar. Alasan kita terlewat adalah bahwa r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos
ketika
= , tetapi r = 0 dalam persamaan r = 1 – sin
ketika
.
Kalkulus Lanjut
12
C. KALKULUS DALAM KOORDINAT POLAR Luas dalam Koordinat Polar Untuk memulai,misalkan sebuah kurva di bidang,dengan dan
menentukan
fungsi kontinu, tak-negatif untuk
. Kurva-kurva
dan
membatasi daerah
R (yang diperlihatkan di bagian kiri dalam Gambar 2).yang luasnya A(R) ingin kita temukan.
Gambar 2 Partisikan interval [
] menjadi n interval bagian menggunakan sarana
bilangan-bilangan
dengan demikian mengiris
daerah R menjadi n daerah berbentuk kue yang lebih kecil,yaitu
,
seperti diperlihatkan dalam paruhan kanan Gambar 2. Jelas
Kita
aproksimasi
luas
irisan
ke-I,
;
kenyataannya kita melakukannya dalam dua cara. Pada interval
ke-I
[
],misalkan
mencapai
nilai
minimumnya dan nilai maksimumnya,masing-masing di dan
( Gambar 3). Jadi,jika
Gambar 3
Kalkulus Lanjut
13
Sehingga
Anggota pertama dan ketiga pertidaksamaan ini adalah jumlah Riemann untuk integral yang sama: ∫
[
]
Ketika norma pastisi kita biarkan
menuju nol,kita peroleh (dengan menggunakan Teorema Apit) rumus luas
Contoh soal : 1. Carilah luas satu daun dari mawar berdaun-empat Jawaban : Disini kita hanya memperlihatkan daun di kuadran pertama ( Gambar 3) Daun ini panjangnya 4 satuan dan lebarnya rata-rata 1,5 satuan, memberikan estimasi 6 untuk luasnya. Luas eksak A diberikan oleh
Kalkulus Lanjut
14
∫
∫
⁄
∫
⁄
⁄
[
]
Garis Singgung dalam Koordinat Polar
∫ ⁄
[
⁄
]
⁄
Dalam koordinat Cartesius,
kemiringan m dari garis singgung pada suatu kurva diberikan oleh m = Dengan cepat kita menolak
⁄
⁄
.
sebagai rumus kemiringan yang berpadanan
dalam koordinat polar. Lebih baik. Jika r = f ( ) menentukan kurva , kita tuliskan y = r sin
= f ( ) sin
x = r cos
= f ( ) cos
jadi, =
=
=
Yakni,
m= Rumus yang baru saja diturunkan menjadi sederhana jika grafik r = f
()
melalui polar. Sebagai contoh, andaikan untuk sudut α, r = f (α) = 0 dan f’ (α) ≠ 0. Maka ( di polar tersebut ) rumus kita untuk m adalah
m=
= tan α
Kalkulus Lanjut
15
Karena garis = α juga memiliki kemiringan tan α, kita simpulkan bahwa garis ini menyinggung kurva di polar. Kita memutuskan fakta yang berguna bahwa garis – garis singgung di titik polar dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan f ( ) = 0. Kita ilustrasikan ini berikutnya
Contoh Soal. Perhatikan persamaan polar r = 4 sin 3 . (a) Carilah kemiringan garis singgung di
= ⁄
dan
= ⁄ .
(b) Carilah garis singgung di titik polar. (c) Sketsakan grafik. (d) Carilah luas satu daun.
Penyelesaian a. m =
Di
=
= ⁄
√
m=
Di
= -√
√
= ⁄ √
m=
√
√
√
√
√
√ √
=
=
b. Kita tetapkan r = 4 sin 3 = 0 dan selesaikan. Ini menghasilkan = 0, = ⁄ ,
=
⁄ ,
=
⁄ , dan
=
⁄ .
Kalkulus Lanjut
16
c. Setelah memperhatikan bahwa sin 3 ( п -
) = sin ( 3п - 3
) = sin 3п cos 3
- cos 3п sin 3
= sin
3 yang mengaplikasikan simetris terhadap sumbu-y, kita dapatkan suatu tabel nilai dan mensketsakan grafik , sebagai berikut
R 0
0 ⁄
2,8
⁄
4
⁄
2,8
⁄
0
⁄
-2,8
⁄
-4
=
d. A =
∫
=4 ∫ =[
⁄
dϴ = 8 ∫
⁄
⁄
= 4∫ ]
⁄
- ∫
⁄
⁄
=
Kalkulus Lanjut
17
KESIMPULAN
Sebarang titik P (selain polar) adalah perpotongan anatar sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan
adalah salah satu sudut antara
sinar dan sumbu polar, maka (r,Ѳ) adalah sepasang koordinat polar untuk P. Maka koordinat polar (r,Ѳ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x,y) titik yang sama itu dihubungkan oleh persamaan
Polar ke Cartesius
Cartesius ke Polar
x=r
=
y=r
+ =
Grafik persamaan polar dibagi menjadi grafik kadiodida, limason, lemniskat, mawar dan spiral. Perpotongan kurva dalam koordinat polar diperoleh dengan menyelesaikan persamaan polar secara simultan dan menggambarkan grafik dua persamaan tersebut untuk kemungkinan titik potong yang lain. Luas dalam koordinat polar, yaitu : A = ∫ [
]
Garis singgung dalam koordinat polar dapat dicari melalui kemiringan kurva polar tersebut.
Kalkulus Lanjut
18
DAFTAR PUSTAKA
Varberg,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2.Jakarta:Erlangga
Kalkulus Lanjut
19
