SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Sumbu mendatar disebut absis Sumbu vertical disebut ordinat Maka sumbu mendatar dg sumbu vertical ketemu suatu titik A disebut Koordinat Y B(-3,3) Horisontal Kwd II A(2,2) Kwd I Vertikal Vertikal
X Kwd III D(4,-1) C(-1.-2) Kwd IV O(0, 0) Titik asal absis absis B(-3,3) Kwd II A(2,2) Kwd I o rdinat
Kwd III D(4,-1) C(-1.-2)
absis
ordinat Koor dinat
Kwd IV
Kita lihat letak titik-titik di kuadran X
Y
X,Y
Kwadr an
+
+
(+,+)
I
_
+
(-,+)
II
_
_
(-,-)
III
+
_
(+,-)
IV
KOORDINAT KUTUB Ada dua system koordinat yang digunakan dalam menentukan letak sebuah titik pada bidang datar yaitu : 1. sistem koordinat cartesius 2. sistem koordinat kutub(polar) Y
Y P(x,y)
P(r,α) Y o X
x
X
α O(0,0)
Koordinat kartesius Koordinat Kutub a. Koordinat cartesius Komponen koordinat cartesius dari titik p(x,y) adalah : x = absis y = ordinat b. koordinat kutub(Polar) Komponen koordinat kutub dari titik P(r,α) adalah : r = jari-jari ( Jarak titik O(0,0) ke titik P
α = sudut kutub ( sudut yang dibentuk garis OP dengan sumbu X). c. Hubungan koordinat cartesius dengan koordinat kutub. Perhatikan gambar : Y P(x,y) r O
α x
y
X
Q
Dalam segitiga OPQ diperoleh :
Sin α = y/r………..y = rsinα Cos α = x/r……….x = rcosα Tg α = y/x r2 = x2 + y2, jadi titik P(x,y) dapat dinyatakan denga P(rcos α,rsin α) 1. koordinat kutub titik (8,600).Tentukan koordinat cartesius titik A Penyelesaian : A(r,α)……………..A(x,y) A(8,600)………….r =8, α=600 Sehingga x = r cos α x = 8cos 600
x= 8x0,5=4 y= r sin α y = 8 sin 600 y = 8(1/2Ѵ3)=4Ѵ3, jadi koordinat cartesius dari titik A adalah (4, 4Ѵ3). 2. Tentukan koordinat kutub dari titik Q(4,4) Penyelesaian : Q(x,y)…………..Q(r,α) Q(4,4)…………..x=4,y=4 r2 = x2 + y2 = 16 +16 = 32 r = Ѵ32=4Ѵ2
tg α =y/x = 4/4 Tg α = 1 α = 450 Jadi koordinat kutub dari titik Q(4,4) adalah (4Ѵ2, 450). Soal : 1. Tentkan koordinat cartesius dari titik S(10, 1500) Solusi : S(r,α)………………S(a,b) S(10,1500)………….r=10 dan α=1500 Sehingga x= r cosα
X = 10 cos 1500 X = 10 (-Cos 300) X = 10(-1/2 Ѵ3)=-5Ѵ3 Y=r sinα Y=10 sin 1500 Y=10 sin 300 Y=10 ½ Y=5 Jadi koordinat kartesiusnya (5Ѵ3,5). S(4,1200) Solusi : S(r,α)………………S(a,b)
S(4,1200)………….r=4 dan α=1200 Sehingga x= r cosα X = 4 cos 1200 X = 4 (-cos 600) X = 4(-1/2)=-2 Y=r sinα Y=4 sin 1200 Y=4 sin 600 Y=4 . 1/2Ѵ3=2Ѵ3 Y=2Ѵ3 Jadi koordinat kartesiusnya (2,2Ѵ3). (10, 1350)
2.Tentukan koordinat kutub sampai 2 angka decimal dari titik-titik dibawah ini (4,3) ; (5,-12);(-6,8);(-Ѵ3,1) Solusi : S(x,y)………………….S(r,α) S(4,3)………………….x= 4, dan y=3 r2 = x2+y2 r2 = 42+32 r2 = 16+9 r2 =25………..r=5 tg α =y/x=3/4=0,75 tg α=0,75
α=38,60 Jadi koordinat kutub dari (4,3) adalah (5 ;38,6). TABEL SIN,COS TG DARI SUATU SUDUT Sud ut
0
30
45
60
90
120
Sin
0
½
1/2 Ѵ2
1/2 Ѵ3
1
Cos
1
1/2 Ѵ3
1/2 Ѵ2
1/2
Tg
0
1/3 Ѵ3
1
Ѵ3
135
150
180
1/2Ѵ 1/2Ѵ 3 2
1/2
0
0
-1/2
1/2Ѵ 2
1/2Ѵ 3
-1
∞
-Ѵ3
-1
1/3Ѵ 3
0
JARAK ANTARA DUA TITIK A(a,b) DAN B(a,b) B(4,6) A(2,-3) AB2 = (4-2)2 +(6 +3)2 =4-81=77 Y
B( 5,5
) A(2,3)
C(5,3)
X
Tentukan jarak antara titik A(2,3) dan B(5,5) Dari gambar di AC =5-2 =3
ketahui :
BC = 5-3 =2
Berdasarkan teorema phitagoras: (AB)2 = (AC)2 +(CB)2 = 32+22 = 9+4 AB P2
= Ѵ13
d (y2-y1) P1 C
(x2-x1) (PP1)2 = (y2-y1)2+(x2-x1)2 PERSAMAAN LINGKARAN Lingkaran adalah tempat ledudujan titk-titik (x,y) pada bidang yang berjarak satu titik tetap. Jarak titik (x,y) thd titik pusat (a,b)= r
Q( x , y
)
P(a,b) R X Q(x,y) r
(x-a)
p(a,b) (y-b)
R
r2 = (x-a)2 + (y-b)2 r = Ѵ(x-a)2 +(y-b)2 Hubungan antara titik Q(x,y) dan P(a,b) serta r dapat ditunnjukkan oleh:
r2 = (x-a)2 + (y-b)2 Soal : 1. Tentukan panjang jarak antara tiik-titik a. P(3,4) dan Q(-2,3) b. R(-2,-5) dan S (4,4) 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dan jari-jari 6 satuan. 3. Gambarkan pada koordinat kUTUB titik-titik: a. A(2,3∏/6) b. B(-3,5∏/6) 4. Ubahlah koordinat kartesius A(-Ѵ2,Ѵ2)
menjadi koordinat kutub dengan r≥0 dan 0≤α≤∏ 5. Ubahlh koordinat kutub menjadi koordinat kartesius: a. (1,300) b. (Ѵ3,450)
SUDUT DAN FUNGSI TRIGONOMETRI 1. SUDUT Sudut dapat ditentukn dari dua buah garis degan titik pngkal yang sama. Misal : jika A dan B masing masing pada garis g1 dan g2 maka AOB merupakan sebuah sudut. Atau dapat diartika : Sudut merupakan dua segmen yang memiliki satu titik ujung,titik O g2 B
O
A
g1 Gambar diatas membentuk sudut AOB
1. Sudut Pandang Koordinat Yang dimaksud dengan sudut adalah sudut yang digambarkn pad bidang koordinat xoy dengan sumbu x positif sebagai sisi awal sudut dan pusat koordinat O(0,0) sbagai titik sudut. Sudut yang dibentuk oleh rotasi yang berlawanan arah jarum jam dinamakan sudut positif
y O
x
Sudut yang dibentuk dengan rotasi yang searah jarum jam dinamkan sudut negatif
O Sudut negative Jika sisi akhir sudut berimpit dengan sumbu koordinat maka sudut yang terbentuk dinamakan sudut kuadran.
Sudut kwd O 2. Satuan ukuran sudut Satuan salam sudut terdiri macam a. Satuan sudut derajat b. Satuan sudut radian 3. Derajat 10 = 1/360 putaran (Definisi) 3600= satu putaran penuh Maka besar sudut kudran adalah :
00, 900,1800,2700,3600 dan kelipatannya. Sudut 00 < α< 1800 dikelompokkan menjadi 3 kategori 1. Sudut lancip…. 00 < α< 900 2. Sudut siku-siku 3. Sudut tumpul 1800
α=900 900 < α<
Dua buah sudut lancip yang positif saling siku-siku Misal sudut 800 dengan 100 Dua buah sudut positip saling berpelurus jika dua buah sudut berjumlah 1800
Sudut antara 00 dan 3600 dengan arah + dan – masingmsing dikelompokkan 4 kuadran: Sudut positif Kuadran
I
Sudut(deraj at)
00<α< 900
00<α<3600 II
I
IV
900<α<18 1800<α<2 2700<α<36 00 700 00
Sudut negatip Kuadran
III
-3600<α<00
II
III
Sudut(deraj -3600<α<- -2700<α<- -1800<α
4. Menit dan detik 1’=1/60x10,dan 1” = 1/60x1’=1/3600x10
IV -900<α<00
