sistem-koordinat-polar.docx

 TUGAS MAKALAH MATEMATIKA

D I S U S U N OLEH :

Nugraha Kamsa Putra

SMK Negeri 2 Pekanbaru   TahunAjaran 2015/2016

Kalkulus Lanjut

PEMBAHASAN

A. SISTEM KOORDINAT POLAR  Dua Dua oran orang g Peran Perancis cis,, yaitu yaitu Pier Pierre re de Ferm Fermat at (160 (16011-16 1665 65)) dan dan Rene Rene Descrates (1596-1650), memperkenalkan apa yang kita seut sistem kooordinat Cartesius atau perseg persegii pan!an pan!ang" g" Dasar Dasar pemikir pemikiran an mereka mereka iala# iala# untuk untuk merinci merinci setiap titik P di idang dengan !alan memerikan dua ilangan ($,y), !arak erara# dari sepasang sumu yang tegak lurus dengan sesamanya" %agasan in sampai sekaran sekarang g demiki demikian an umumny umumnyaa se#ing se#ingga ga kita kita menggu menggunak nakann annya ya #ampir #ampir tanpa tanpa  erpikir" &amun ini adala# gagasan mendasar dalam geometri analitis dan memungkinkan pengemangan kalkulus seperti yang kita capai #ingga saat ini" Pemerian !arak erara# dari sepasang sumu yang tegak lurus ukanla# satu-satunya !alan untuk merinci suatu titik" 'ara lain untuk melakukan ini adala# dengan memerikan apa yang diseut koordinat polar " oordi oordinat nat polar polar dimulai dimulai dengan dengan seua# seua# setenga setenga# # garis garis tetap, tetap, diseu diseutt  sumbu polar , memanc memancar ar dari dari seua# seua# titik tetap , diseu diseutt  polar atau titik asal  (li#at gamar *)" +umu polar dipili# #oriontal dan mengara# ke kanan dan ole# sea sea itu itu sum sumu u ini ini dapa dapatt disam disamaka akan n deng dengan an sum sumu u $-po $-posit siti i pada pada seua seua# # koordinat siku . siku" +earang titik P (selain polar) adala# perpotongan anatar  seua# seua# lingkaran lingkaran tunggal tunggal yang yang erpus erpusat at di  dan seua# seua# sinar sinar tungga tunggall yang yang memanc memancar ar dari " /ika r adala# adala# !ari-!ari !ari-!ari lingkaran lingkaran dan

Ѳ

  adala# sala# satu

sudut sudut antara antara sinar sinar dan sumu polar, polar, maka maka (r,Ѳ) adala# adala# sepasang sepasang koordi koordinat nat polar  polar  untuk P"

Kalkulus Lanjut

Dalam koordinat polar, r negati menyatakan a#a sinar yang erlaanan dari sisi ak#ir Ѳ dan r satuan dari titik asal" 'onto#-conto# dari persamaan polar 

adala# r 2 3

sin Ѳ

 dan r 2

2 1 −cos Ѳ

" Persamaan polar dapat diuat dalam

 entuk graik persamaan polar dimana graik persamaan polar adala# #impunan titik-titik, masing-masing mempunyai paling sedikit sepasang koordinat polar  yang memenu#i persamaan polar terseut" 'ara yang paling mendasar untuk mensketsakan graik iala# menyusun tael nilai . nilai, plot titik . titik yang erpadanan, kemudian meng#uungkan titik-titik ini dengan kur4a mulus" Hubungan Koordinat Cartesius   ita andaikan a#a sumu polar erimpit

dengan sumu $-positi sistem 'artesius" aka koordinat polar (r,Ѳ) seua# titik  P dan koordinat 'artesius ($,y) titik yang sama itu di#uungkan ole# persamaan

Polar e Cartesius !"r

 y

Cartesius e Polar

cos Ѳ

r

2

 "  x

2

 #

2

$"r

sin Ѳ

tan Ѳ

 "

 y  x

Conto% &

Kalkulus Lanjut

π  'arila# koordinat 'artesius yang erpadanan dengan (, 6 ) dan koordinat  polar yang erpadanan dengan (-7, √ 3 ) 8 Penyelesaian 

π  /ika (r,Ѳ) 2 (, 6 ) maka 

 π 

cos

$2

6

 2 "

 π 

sin

y2

6

 2 "

√ 3

2 * √ 3

2

1 2

2*

/ika ($,y) 2 (-7, √ 3 ) maka 

r

2

2

 2

tan Ѳ

(−3)2  : ( √ 3)  2 1*

 2

√ 3

−3

+atu nilai (r,Ѳ) adala# (* √ 3 , 5 ᴨ;6)"
Persa'aan Polar untu (aris) Lingaran) dan Koni

melalui polar, persamaannya adala#

θ =θ 0

/ika seua# garis

" =paila garis tidak melalui polar,

maka garis

Kalkulus Lanjut

terseut er!arak misalnya

( d >0 ) " =ndaikan θ0 sudut antara

d  dari kutu

sumu polar dan garis tegaklurus dari polar pada garis itu (Figure 9)" =paila

 P ( r , θ )  seua# titik pada garis, maka

d r

cos ( θ − θ0 ) =  ,

atau

=paila seua# lingkaran dengan !ari-!ari a erpusat di polar, persamaannya

r θ adala# r 2 a" =paila pusatnya di ( 0, 0 ), persamaannya agak rumit, kecuali d Garis : r = r 0= a cos ( θ −θ0 ) kalau kita pili# (Figure 10)" aka menurut #ukum kosinus, 2

2

2

a = r + a −2 ra cos ( θ−θ 0)  yang dapat diseder#anakan men!adi

 Lingkaran : r =2 a cos ( θ−θ 0 )

+uatu #al yang menarik !ika meng#asilkan

persamaan

π  r =2 a cos ( θ − ) 2

  atau

θ0= 0

  dan

r =2 a cos θ ?

r =2 a sin θ "

θ0= π / 2

yang

Persamaan

" >ang pertama

kedua

meng#asilkan

terak#ir

#endaknya

diandingkan dengan conto# 1" =k#irnya kalau seua# konik (elips, paraol, atau #iperol) diletakkan se demikian #ingga okusnya erada di polar, garis ara#nya er!aark

d  satuan dari kutu

Kalkulus Lanjut

(Figure 11), maka dengan menggunakan deinisi konik, yaitu

| PF |=e ∨ PL∨¿

kita akan memperole#

r = e [ d − r cos ( θ−θ 0 ) ] =tau, secara analitik setara

 Konik : r =

ed 1 + e cos

( θ −θ ) 0

=da lagi kasus yang menarik, yaitu untuk Per#atikan a#a apaila

e =1  dan

θ0= 0

θ0= 0 danθ 0= π / 2

"

 kita memperole# persamaan

dalam conto# *"

Kalkulus Lanjut

Conto%

'onto# 1 @entukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan A, erokus di

polar dan dengan garis ara# tegak yang !araknya 10 satuan di seela# kanan polar"

Pen$elesaian 1

r=

2 1+

. 10

1 2

= cos θ

10 2 + cos θ

'onto# * @entukan !enis konik dan gamarkan graik yang persamaannya

r=

7 2 + 4 sin θ

Pen$elesaian kita tulis persamaan itu dalam entuk aku seagai erikut" 7 ) 7 7/ 2 4 = = r= 2 + 4 sin θ 1 + 2sin θ 1 + 2sin θ 2(

>ang kita kenal seagai koordinat polar  menggamarkan seua# #iperol dengan e 2 *, erokus di polar dan dengan garis ara# yang mendatar, se!au# B; satuan di atas sumu polar ( Figure 1*)"

Kalkulus Lanjut

B. (RA*IK PERSAMAAN POLAR  Persamaan polar yang ditin!au dalam seelumnya menu!u ke graik-graik  yang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik" +ekarang kita mengali#kan  per#atian kita pada graik-graik yang leik eksotis . kardioida, limason, lemniskat, maar, dan spiral" Persamaan-persamaan 'artesius padanannya agak  rumit" Ceerapa kur4a memiliki persamaan seder#ana dalam suatu system? kur4akur4a ini mmiliki persamaan seder#ana dalam system yang kedua" +iat

simetri

dapat memantu kita mema#ami seua# graik" Cerikut eerapa u!i yang cukup untuk kesimetrian dalam koordinat polar" Diagram-diagram akan memantu =nda mengemangkan 4aliditas mereka" 1" %raik persamaan polar simetri ter#adap sumu- x (sumu polar) !iak   penggantian (r, θ ) atau ole# ( - r,

π

-

θ  ) memng#asilkan persamaan

yang ekui4alen"

Kalkulus Lanjut

*" %raik persamaan polar simetri ter#adap sumu- y (gari θ  penggantian (r,

θ ) ole# (-r, - θ ) atau ole# ( r,

π

-

s 2

;*) !ika

π

θ   ) meng#asilkan

 persamaan ekui4alen"

7" %raik persamaan polar simetris ter#adap titik asal (polar), !ika pengganti ( r,

θ ) ole# (- r,

θ ) atau ole# ( r, π :

θ  ) meng#asilkan persamaan yang

ekui4alen"

arena pernyataan ganda titik-titik di dalam koordinat polar, maka mungkin terdapat simetri-simetri yang tidak teridentiikasi ole# ketiga tes ini" Kardioida dan Li'ason kita tin!au persamaan yang erentuk  r 2 a   cos θ r 2 a   sin θ

dengan a dan b positi" %raik mereka dinamakan li'ason, dengan k#usus untuk  a = b diseut seagai ardioda"

Kalkulus Lanjut

CONTOH +

=nalisis persamaan r 2 * :  cos

θ  untuk simetri dan sketsakan graiknya"

PEN,ELESAIAN arena kosinus adala# ungsi genap (cos(- θ ) 2 cos

θ ),

graik simetris ter#adap sumu- x" Pengu!ian simetri yang lain gagal"

Le'nisat %raik dari r * 2  a cos * θ r * 2  a sin * θ

 erupa kur4a erentuk-angka-delapan dinamakan le'nisat" CONTOH -

=nalisis persamaan r * 2 3 cos * θ  untuk simetri dan sketsakan graiknya PEN,ELESAIAN arena cos(-* θ ) 2 cos * θ  dan

cos E* (π -

θ )  2 cos (*π - * θ ) 2 cos(-* θ ) 2 cos * θ

maka graik simetris ter#adap kedua sumu" /elas, garik simetri !ga terdapat titik  asal"

Kalkulus Lanjut

Maar Persamaan polar yang erentuk  r 2 a cos n θ r 2 a sin n θ

menyatakan kur4a-kur4a erentuk unga yang dinamakan 'aar" aar  memiliki n daun !ika n gasal dan *n daun !ika n genap" CONTOH /

=nalisis r 2  sin * θ  untuk simetri dan sketsakan graiknya" PEN,LESAIAN =nda dapat memeriksa a#a r 2 s sian * θ   memenu#i

ketiga pengu!an simetri" +eagai conto#, dia memenu#i G!i 1 karena sin *(π - θ ) 2 sin (*π-* θ ) 2 - sin * θ se#ingga penggantian (r, θ ) ole# (-r,

π

-

θ ) meng#silka# persamaan

ekui4alen" @ael nilai yang agak lengkap untuk 0 H untuk π;* H

θ H π;*, dan yang agak ringkas

θ H *π"

Kalkulus Lanjut

=nak pana# pada menun!ukkan ara# gerak titik  P (r, θ ) apaila

θ

 ertama# esar mulai dari 0 #ingga *π"

S0iral %raik r 2 a θ

diseut s0iral Ar1%i'edes? graik r =

ae

bθ

dinamakan s0iral logarit'a (logarithmic spiral )"

CONTOH 2

+ketsakan graik r 2

θ  untuk

θ ≥  0"

PEN,ELESAIAN ita aaikan tael nilai, tetapi per#atikan a#a graik 

memotong sumu polar di (0,0), (* π, *π), (π, π), I dan memotong  perpan!angan yang ke kiri di (π, π), (7π, 7π), (5π, 5π), I .

Kalkulus Lanjut

Per0otongan Kur3a dala' Koordinat Polar Dalam koordinat polar seua# titik 

 P  memiliki anyak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenu#i  persamaan polar satu kur4a dan pasangan yang lain dapat memenu#i kur4a yang lain" isalnya, lingkaran r 2  cos yaitu polar dan (*,

θ  memotong garis

θ

2 π;7 di dua titik,

;7), tetapi #anya pasangan terak#ir yang merupakan

π

 penyelesaian ersama kedua persamaan terseut" Jni ter!adi karena koordinat polar  yang memenu#i persamaan garis adala# (0, π;7) dan yang memenu#i persamaan lingkaran adala# (0, π;* : nπ)"

esimpulannya untuk memperole# semua perpotongan dua kur4a yang  persamaan

polarnya dierikan, selesaikanla#

persamaan-persamaan

secara

imulutan? kemugian %amarkan garik dua persamaan terseut secara seksama untuk menemukan titik potong lain yang masi# mungkin" CONTOH 4

'arila# titik potong dua kardioida r 2 1 : cos

θ  dan r 2 1 . sin

θ "

Kalkulus Lanjut

PEN,ELESAIAN /ika kita #ilangkan r dari dua persamaan terseut, kita perole#

1 : cos θ  2 1 . sin θ " /adi cos θ  2 - sin θ , atau tan θ  2 -1" ita

simpulkan a#a

 potong (1 -

3

θ  2

1  √ 2 , 2

3 4

4

 atau

π

) dan (1:

π

θ  2

1  √ 2 , 2

7

, yang meng#asilkan dua titik 

π

4

7 4

)"

π

 &amun graik diatas memperli#atkan a#a kita tela# meleatkan titik potong yang ketiga, yaitu polar" =lasan kita terleat adala# a#a r 2 0 dalam persamaan r 2 1 : cos ketika

θ ketika

θ

2 π, tetapi r 2 0 dalam persamaan r 2 1 . sin

θ

θ=¿ 2 "

Kalkulus Lanjut

C. KALK5L5S DALAM KOORDINAT POLAR  Luas dala' Koordinat Polar Gntuk memulai,misalkan

f 

seua# kur4a di idang,dengan

 ungsi kontinu, tak-negati untuk

r = f  ( θ ) ,θ =α , dan

dan  β −α ≤ 2 π  " ur4a-kur4a

r = f ( θ )  menentukan ∝≤θ ≤ β

θ= β  mematasi daera#

R (yang diperli#atkan di agian kiri dalam %amar *)"yang luasnya =(R) ingin kita temukan"

%amar * Partisikan inter4al E sarana ilangan-ilangan

,

¿

∝ ∝

men!adi n inter4al agian menggunakan

α =θ0 < θ1 < θ 2< … < θn= β ,

dengan demikian mengiris

daera# R men!adi n daera# erentuk kue yang lei# kecil,yaitu seperti

diperli#atkan

dalam

paru#an

kanan

 R1, R2, … , R n

%amar

*"

,

/elas

 A  ( R )= A ( R1 ) + A ( R 2) + … + A ( R n ) .

ita

aproksimasi

luas

irisan

ke-J,

A ( R1 )

?

kenyataannya kita melakukannya dalam dua cara" Pada inter4al ke-J E

θi −1 ,θi ¿

,misalkan

f 

mencapai nilai

Kalkulus Lanjut

minimumnya dan nilai maksimumnya,masing-masing di

i

 dan

!i

 ( %amar 7)" /adi,!ika

" θi =θi−θi−1 ,

%amar 7

+e#ingga

=nggota pertama dan ketiga pertidaksamaan ini adala# !umla# Riemann  β

∫ 12 [ f  ( θ ) ] dθ . 2

untuk integral yang sama

α 

etika norma pastisi kita iarkan

menu!u nol,kita perole# (dengan menggunakan @eorema =pit) rumus luas

'onto# soal  1" 'arila# luas satu daun dari maar erdaun-empat

r = 4sin2 θ

/aaan 

Kalkulus Lanjut

Disini kita #anya memperli#atkan daun di kuadran pertama ( %amar 7) Daun ini pan!angnya  satuan dan learnya rata-rata 1,5 satuan, memerikan estimasi 6 untuk luasnya"
π 

 A =

π 

2

2

1−cos 4 θ 16 sin 2 θ dθ= 8∫ dθ ∫ 2 2 1

2

0

0

π  2

∫ cos 4 θ .4 dθ

dθ −¿

0

π  2

¿ 4∫ ¿ 0

π 

π 

¿[ 4 θ ] −[ sin4 θ ]02 2 0

¿ 2 π 

(aris Singgung dala' Koordinat Polar

Dalam koordinat 'artesius,

kemiringan m dari garis singgung pada suatu kur4a dierikan ole# m 2 Dengan cepat kita menolak

dy / dϴ

dy / dx "

seagai rumus kemiringan yang

 erpadanan dalam koordinat polar"
ϴ

 ) menentukan

kur4a , kita tuliskan y 2 r sin

$ 2 r cos

ϴ

ϴ

 2 f ( 

2 f ( 

ϴ

ϴ

 ) sin

 ) cos

ϴ

ϴ

Kalkulus Lanjut

 !adi,

dy dx  =

 #y / #ϴ =  #x$ 0  #x / #ϴ  2

 #y  #x$ 0  #x lim

lim

dy / dϴ dx / dϴ

>akni,

f  ( ϴ ) cos ϴ+ f  ( ϴ) sin ϴ % 

m 2 − f  ( ϴ) sin ϴ+ f %  ( ϴ) cos ϴ

Rumus yang aru sa!a diturunkan men!adi seder#ana !ika graik r 2  f 

θ

() melalui polar" +eagai conto#, andaikan untuk sudut K, r 2  f (α) 2 0 dan f’ (α) L 0" aka ( di polar terseut ) rumus kita untuk m adala#

f  ( α ) sin α  % 

m2

%  f  ( α ) cos α   2 tan K

arena garis 2 K  !uga memiliki kemiringan tan K, kita simpulkan a#a garis ini menyinggung kur4a di polar" ita memutuskan akta yang erguna  a#a  garis – garis singgung di titik polar dapat dicari dengan menyelesaikan  persamaan f (  θ  ) 2 0" ita ilustrasikan ini erikutnya

'onto# +oal" Per#atikan persamaan polar r 2  sin 7 θ .

(a) 'arila# kemiringan garis singgung di

θ

2

& / 6  dan

θ

2

&/ 4 "

() 'arila# garis singgung di titik polar" (c) +ketsakan graik" (d) 'arila# luas satu daun"

Penyelesaian

Kalkulus Lanjut

f  ( ϴ ) cos ϴ+ f  ( ϴ) sin ϴ % 

a"

m

2

2

− f  ( ϴ) sin ϴ+ f %  ( ϴ) cos ϴ

4sin3 ϴcos ϴ+ 12cos3 ϴ sin ϴ − 4sin3 ϴ sin ϴ+ 12cos3 ϴcos ϴ

Di

θ

&/ 6

=

4 . 1.

m=

Di

2

2

1

 √ 3

2

2

− 4 . 1 . +12 . 0 .

θ

= - √ 3

&/ 4

2 4.

m2

 √ 3 + 12 0  1 . .

√ 2  √ 2 − √ 2  √ 2 . . 12 . 2

2

2

2

2 2 2 2  2 − 4 . √  . √  −12 . √  . √  2

2

2

4 &/ 3

θ

, dan

=

&/ 3 ,

θ  =

 2

1 2

2

 " ita tetapkan r 2  sin 7 θ θ  = 0,

2 −6 −2− 6

5 &/3

= 0 dan selesaikan" Jni meng#asilkan θ

=

/

2& 3

,

θ

= п,

θ

=

.

c" +etela# memper#atikan a#a sin 7 ( M -

θ

θ

) 2 sin ( 7M - 7 θ

) 2 sin 7M cos 7 θ  - cos 7M sin 7

2 sin 7 θ

yang mengaplikasikan simetris ter#adap sumu-y, kita dapatkan suatu tael nilai dan mensketsakan graik , seagai erikut

θ

0

R  0

Kalkulus Lanjut

& / 12

*,3

&/ 6



&/ 4

*,3

&/ 3

0

/

5 & 12

-*,3

&/ 2

-

θ

θ=

2 π  3

2

θ=

4 π  3

θ=

π  3

5 π  3

3ϴ 4 sin ¿

¿ ¿ ¿

d" = 2 1 2

&/ 3

2

 dϴ = 8

& /3

0

∫¿ 0

6ϴ 1−cos ¿ dϴ

 2 

∫ sin 3 ϴ dϴ

¿ ¿

&/ 3

∫¿

&/ 3

2 

∫ dϴ 0

 -

4 6

&/ 3

∫ cos6 ϴ .6 dϴ 0

0

Kalkulus Lanjut

 2

[

4 ϴ−

2 3

sin6 ϴ

]

&/ 3

0

4&

2

3

KESIMP5LAN

+earang titik P (selain polar) adala# perpotongan anatar seua# lingkaran tunggal yang erpusat di  dan seua# sinar tunggal yang memancar dari " /ika r adala# !ari-!ari lingkaran dan

Ѳ

 adala# sala# satu sudut antara

sinar dan sumu polar, 'aa 6r)Ѳ7 adala% se0asang oordinat 0olar



untu P. aka koordinat polar (r,Ѳ) seua# titik P dan koordinat 'artesius ($,y)

titik yang sama itu di#uungkan ole# persamaan Polar e Cartesius ! " r cos Ѳ $"r

Cartesius e Polar 2 2 2 r  "  x  #  y tan Ѳ

sin Ѳ

 "

 y  x

 %raik persamaan polar diagi men!adi graik kadiodida, limason, 

lemniskat, maar dan spiral" Perpotongan kur4a dalam koordinat polar diperole# dengan menyelesaikan  persamaan polar secara simultan dan menggamarkan graik dua  persamaan terseut untuk kemungkinan titik potong yang lain"


1 2

 β

∫ [ f  (Ѳ) ] . dѲ 2

α 

 %aris singgung dalam koordinat polar dapat dicari melalui kemiringan kur4a polar terseut"

Kalkulus Lanjut

Kalkulus Lanjut