KOORDINAT POLAR A. SISTEM KOORD KOORDINA INAT T POLAR Koordinat Koordinat polar dimulai dengan sebuah setengah setengah garis tetap, disebut disebut sumbu polar , memancar dari sebuah titik tetap O, disebut polar disebut polar atau titik asal (lihat (lihat gambar 2). Sumbu polar dipilih horizontal dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x-positif pada sebuah koordinat siku siku. Sebarang titik ! (selain polar) adalah perpotongan anatar sebuah lingkaran tunggal "ang berpusat di O dan sebuah sebuah sinar tunggal tunggal "ang "ang memanc memancar ar dari dari O. #ika r adalah adalah $ari-$ari $ari-$ari lingkaran lingkaran dan
Ѳ
adalah salah salah satu sudut sudut antara sinar sinar dan sumbu sumbu polar, polar, maka maka (r,Ѳ) adalah sepasang sepasang koordin koordinat at polar untuk !. !.
%alam koordinat polar, r negatif men"atakan bah&a sinar "ang berla&anan dari sisi akhir akhir Ѳ dan 'r' satuan satuan dari dari titik titik asal. asal. onto ontoh-c h-cont ontoh oh dari dari persama persamaan an pola polarr adalah adalah r * sin Ѳ
dan r
2 1 − cos Ѳ
. !ersamaan polar dapat dibuat dalam bentuk grafik persamaan
polar dimana grafik persamaan polar adalah himpunan titik-titik, masing-masing mas ing-masing mempun"ai paling sedikit sepasang koordinat polar "ang memenuhi memenuhi persamaan polar tersebut. ara "ang paling mendasar untuk mensketsakan grafik ialah men"usun tabel nilai nilai, plot titik titik "ang berpadanan, kemudian menghubungkan titik-titik ini dengan kur+a mulus. Hubungan Koordinat Cartesius Kita andaikan bah&a sumbu polar berimpit dengan sumbu x-positif x-positif sistem artesius artesius.. aka koordinat koordinat polar polar (r,Ѳ) sebuah titik titik ! dan dan koordinat koordinat artesius artesius (x,") titik "ang sama itu dihubungkan oleh persamaan
Polar ke Cartesius !r
#!r
cos Ѳ
sin Ѳ
Cartesius ke Polar
r
2
! x tan Ѳ
2
!
" y
y x
2
Conto$ %
π arilah koordinat artesius "ang berpadanan dengan (,
6
) dan koordinat polar "ang
berpadanan dengan (-, √ 3 ) /
!en"elesaian 0
π #ika (r,Ѳ) (, 6 ) maka 0
π
cos
x
6
.
π
sin
"
6
.
√ 3
2 √ 3
2
1 2
2
#ika (x,") (-, √ 3 ) maka 0
r
2
2
2 (−3) 1 ( √ 3) 2
tan Ѳ
√ 3
−3
Satu nilai (r,Ѳ) adalah (2 √ 3 , 3 ᴨ45). 6ainn"a adalah (-2 √ 3 , -ᴨ45).
Persa&aan Polar untuk 'aris( Lingkaran( dan Konik #ika sebuah garis melalui polar, θ= θ 0 persamaann"a adalah . 7pabila garis tidak melalui polar, maka garis
tersebut ber$arak misaln"a
d dari kutub
( d > 0 ) . 7ndaikan
θ0
sudut antara sumbu
polar dan garis tegaklurus dari polar pada garis itu (8igure 9). 7pabila P ( r , θ ) sebuah titik pada garis, maka
d r
cos ( θ −θ0 ) = ,
atau
7pabila sebuah lingkaran dengan $ari-$ari a berpusat di polar, persamaann"a adalah r a. r θ r 0= a 7pabila pusatn"a di ( 0, 0 ), persamaann"a agak rumit, kecuali kalau kita pilih
2
(8igure :). aka menurut hukum kosinus,
a
= r 2+ a2−2 ra cos (θ−θ 0)
"ang dapat
disederhanakan men$adi Garis : r =
d cos ( θ −θ0 )
Lingkaran : r =2 a cos ( θ−θ 0 ) θ0 = 0
Suatu hal "ang menarik $ika persamaan
r =2 a cos θ <
"ang
dan
kedua
θ0= π / 2
. ;ang pertama menghasilkan
menghasilkan
π r =2 a cos (θ − ) 2
atau
r =2 a sin θ . !ersamaan terakhir hendakn"a dibandingkan dengan contoh . 7khirn"a kalau sebuah konik (elips, parabol, atau hiperbol) diletakkan sedemikian hingga d satuan dari kutub (8igure ), maka fokusn"a berada di polar, garis arahn"a ber$aark dengan menggunakan definisi konik, "aitu
| PF |=e ∨ PL∨¿
kita akan memperoleh
r = e [ d − r cos ( θ−θ 0 ) ] 7tau, secara analitik setara
Konik : r =
ed 1 + e cos ( θ − θ0 )
7da lagi kasus "ang menarik, "aitu untuk apabila
e =1 dan
θ0= 0
θ0= 0 danθ 0= π / 2
. !erhatikan bah&a
kita memperoleh persamaan dalam contoh 2.
Conto$
ontoh 0 =entukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan >, berfokus di polar dan dengan garis arah tegak "ang $arakn"a : satuan di sebelah kanan polar. Pen#elesaian 1
r=
2 1+
. 10
1 2
= cos θ
10 2 + cos θ
ontoh 20 =entukan $enis konik dan gambarkan grafik "ang persamaann"a
r=
7 2 + 4 sin θ
Pen#elesaian kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut. 7 ) 7 7/ 2 4 = = r= 2 + 4 sin θ 1 + 2sin θ 1 + 2sin θ 2(
;ang kita kenal sebagai koordinat polar menggambarkan sebuah hiperbol dengan e 2, berfokus di polar dan dengan garis arah "ang mendatar, se$auh ?4 satuan di atas sumbu polar ( 8igure 2).
). 'RA*IK PERSAMAAN POLAR !ersamaan polar "ang ditin$au dalam sebelumn"a menu$u ke grafik-grafik "ang dikenal, terutama garis, lingkaran, dan konik. Sekarang kita mengalihkan perhatian kita pada grafik-grafik "ang lebik eksotis kardioida, limason, lemniskat, ma&ar, dan spiral. !ersamaan-persamaan artesius padanann"a agak rumit. @eberapa kur+a memiliki
persamaan sederhana dalam suatu s"stem< kur+a-kur+a ini mmiliki persamaan sederhana dalam s"stem "ang kedua. Sifat simetri dapat membantu kita memahami sebuah grafik. @erikut beberapa u$i "ang cukup untuk kesimetrian dalam koordinat polar. %iagram-diagram akan membantu 7nda mengembangkan +aliditas mereka.
Arafik persamaan polar simetri terhadap sumbu- x (sumbu polar) $iak penggantian (r, θ ) atau oleh ( - r, π -
2
θ ) memnghasilkan persamaan "ang ekui+alen.
Arafik persamaan polar simetri terhadap sumbu- y (gari θ s π42) $ika penggantian (r,
θ ) oleh (-r, - θ ) atau oleh ( r, π -
θ ) menghasilkan persamaan ekui+alen.
Arafik persamaan polar simetris terhadap titik asal (polar), $ika pengganti ( r, (- r,
θ ) atau oleh ( r, π 1
θ ) oleh
θ ) menghasilkan persamaan "ang ekui+alen.
Karena pern"ataan ganda titik-titik di dalam koordinat polar, maka mungkin terdapat simetrisimetri "ang tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini. Kardioida dan Li&ason kita tin$au persamaan "ang berbentuk r a B b cos θ r a B b sin θ
dengan a dan b positif. Arafik mereka dinamakan li&ason, dengan khusus untuk a = b disebut sebagai kardioda.
CONTOH +
7nalisis persamaan r 2 1 cos
θ untuk simetri dan sketsakan grafikn"a.
θ ) cos PEN,ELESAIAN Karena kosinus adalah fungsi genap (cos(-
θ ), grafik
simetris terhadap sumbu- x. !engu$ian simetri "ang lain gagal.
Le&niskat Arafik dari r 2 B a cos 2 θ r 2 B a sin 2 θ
berupa kur+a berbentuk-angka-delapan dinamakan le&niskat. CONTOH -
7nalisis persamaan r 2 * cos 2 θ untuk simetri dan sketsakan grafikn"a
θ ) cos 2 θ dan PEN,ELESAIAN Karena cos(-2 cos C2 (π -
θ ) D cos (2π - 2 θ ) cos(-2 θ ) cos 2 θ
maka grafik simetris terhadap kedua sumbu. #elas, garfik simetri $ga terdapat titik asal.
Maar !ersamaan polar "ang berbentuk r a cos n θ r a sin n θ
men"atakan kur+a-kur+a berbentuk bunga "ang dinamakan &aar. a&ar memiliki n daun $ika n gasal dan 2n daun $ika n genap. CONTOH /
7nalisis r sin 2 θ untuk simetri dan sketsakan grafikn"a. PEN,LESAIAN 7nda dapat memeriksa bah&a r s sian 2 θ memenuhi ketiga pengu$an
simetri. Sebagai contoh, dia memenuhi E$i karena θ ) sin (2π-2 θ ) - sin 2 θ sin 2(π sehingga penggantian (r, θ ) oleh (-r, π -
θ ) menghsilkah persamaan ekui+alen.
=abel nilai "ang agak lengkap untuk : F F
θ F π42, dan "ang agak ringkas untuk π42
θ F 2π.
7nak panah pada menun$ukkan arah gerak titik P (r, θ ) apabila besar mulai dari : hingga 2π.
θ bertambah
S0iral Arafik r a θ
disebut s0iral Ar1$i&edes< grafik r =
ae
bθ
dinamakan s0iral
logarit&a (logarithmic spiral ).
CONTOH 2
Sketsakan grafik r
θ untuk
θ ≥ :.
PEN,ELESAIAN Kita abaikan tabel nilai, tetapi perhatikan bah&a grafik memotong sumbu polar di (:,:), (2 π, 2 π), (π, π), G dan memotong perpan$angan "ang ke kiri di ( π, π), (π, π), (3π, 3π), G .
Per0otongan Kur3a dala& Koordinat Polar %alam koordinat polar sebuah titik P memiliki ban"ak koordinat polar, dan satu pasangan dapat memenuhi persamaan polar satu kur+a dan pasangan "ang lain dapat memenuhi kur+a "ang lain. isaln"a, lingkaran r cos θ memotong garis θ 4 di dua titik, "aitu polar dan (2, 4), tetapi han"a pasangan π
π
terakhir "ang merupakan pen"elesaian bersama kedua persamaan tersebut. Hni ter$adi karena koordinat polar "ang memenuhi persamaan garis adalah (:, π4) dan "ang memenuhi persamaan lingkaran adalah (:, π42 1 nπ).
Kesimpulann"a untuk memperoleh semua perpotongan dua kur+a "ang persamaan polarn"a diberikan, selesaikanlah persamaan-persamaan secara imulutan< kemugian Aambarkan garfik dua persamaan tersebut secara seksama untuk menemukan titik potong lain "ang masih mungkin. CONTOH 4
arilah titik potong dua kardioida r 1 cos
θ dan r sin
θ .
PEN,ELESAIAN #ika kita hilangkan r dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 cos θ sin θ . #adi cos θ - sin θ , atau tan θ -. Kita simpulkan bah&a θ 3
4
(1
atau
π
1 √ 2 , 2
θ 7 4
7 4
, "ang menghasilkan dua titik potong ( -
π
1 √ 2 , 2
3 4
) dan
π
).
π
Iamun grafik diatas memperlihatkan bah&a kita telah mele&atkan titik potong "ang ketiga, "aitu polar. 7lasan kita terle&at adalah bah&a r : dalam persamaan r 1 cos θ ketika
θ π, tetapi r : dalam persamaan r sin
θ=¿ 2 .
θ ketika
C. KALK5L5S DALAM KOORDINAT POLAR Luas dala& Koordinat Polar Entuk memulai,misalkan
kur+a di bidang,dengan Kur+a-kur+a
r = f ( θ )
f fungsi kontinu, tak-negatif untuk
r = f ( θ ) ,θ =α , dan
θ= β
menentukan sebuah
∝≤θ ≤ β dan β −α ≤ 2 π .
membatasi daerah J ("ang diperlihatkan di
bagian kiri dalam Aambar 2)."ang luasn"a 7(J) ingin kita temukan.
Aambar 2 !artisikan inter+al C ∝, ∝¿ men$adi n inter+al bagian menggunakan sarana bilangan bilangan
α =θ0 < θ1 < θ 2< … < θn= β ,
dengan demikian mengiris daerah J men$adi n daerah
berbentuk kue "ang lebih kecil,"aitu
R1, R2, … , R n
( R )= ( R1 ) + ( R 2) + … + ( Rn ) .
kanan Aambar 2. #elas
Kita aproksimasi luas irisan ke-H,
( R1 )
< ken"ataann"a kita
melakukann"a dalam dua cara. !ada inter+al ke-H C
f
, seperti diperlihatkan dalam paruhan
θi− 1 ,θ i ¿
,misalkan
mencapai nilai minimumn"a dan nilai maksimumn"a,masing-
masing di
!i
dan
"i
( Aambar ). #adi,$ika
# θi =θi−θi−1 ,
Sehingga
Aambar
7nggota pertama dan ketiga pertidaksamaan ini adalah $umlah Jiemann untuk β
∫ 12 [ f ( θ ) ] dθ . 2
integral "ang sama0
α
Ketika norma pastisi kita biarkan menu$u nol,kita
peroleh (dengan menggunakan =eorema 7pit) rumus luas
ontoh soal 0
arilah luas satu daun dari ma&ar berdaun-empat
r = 4sin2 θ
#a&aban 0 %isini kita han"a memperlihatkan daun di kuadran pertama ( Aambar ) %aun ini pan$angn"a satuan dan lebarn"a rata-rata ,3 satuan, memberikan estimasi 5 untuk luasn"a. 6uas eksak 7 diberikan oleh
π
=
π
2
2
1−cos 4 θ 16 sin 2 θ dθ= 8∫ dθ ∫ 2 2 1
2
0
0
π 2
∫ cos4 θ .4 dθ
dθ −¿
0
π 2
¿ 4∫ ¿ 0
π
π
¿[ 4 θ ] −[ sin4 θ ]02 2 0
¿ 2 π
'aris Singgung dala& Koordinat Polar %alam koordinat artesius, kemiringan m dari garis singgung pada suatu kur+a diberikan oleh m dy / dx . %engan cepat kita menolak
dy / dϴ sebagai rumus kemiringan "ang berpadanan dalam koordinat polar. 6ebih baik. #ika r f ( " r sin x r cos
ϴ
ϴ
ϴ
) menentukan kur+a , kita tuliskan f ( f (
ϴ
ϴ
) sin ) cos
ϴ
ϴ
$adi,
dy dx =
$y / $ϴ = $x% 0 $x / $ϴ
$y $x% 0 $x lim
lim
dy / dϴ dx / dϴ
;akni,
f ( ϴ ) cos ϴ+ f ( ϴ) sin ϴ &
m − f ( ϴ) sin ϴ+ f & ( ϴ) cos ϴ Jumus "ang baru sa$a diturunkan men$adi sederhana $ika grafik r f
θ
() melalui
polar. Sebagai contoh, andaikan untuk sudut , r f (α) : dan f’ (α) L :. aka ( di polar tersebut ) rumus kita untuk m adalah
f ( α ) sin α &
m
& f ( α ) cos α tan
Karena garis $uga memiliki kemiringan tan , kita simpulkan bah&a garis ini men"inggung kur+a di polar. Kita memutuskan fakta "ang berguna bah&a garis – garis singgung di titik polar dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan f ( θ ) :. Kita ilustrasikan ini berikutn"a
ontoh Soal. !erhatikan persamaan polar r sin θ . a
arilah kemiringan garis singgung di
b c d
arilah garis singgung di titik polar. Sketsakan grafik. arilah luas satu daun.
θ
' / 6 dan
θ
'/ 4 .
!en"elesaian f ( ϴ ) cos ϴ+ f ( ϴ) sin ϴ &
4sin3 ϴcos ϴ+ 12cos3 ϴ sin ϴ
a m − f ( ϴ) sin ϴ+ f ( ϴ) cos ϴ
&
%i
θ
'/ 6
=
4 . 1.
m=
Di
√ 3 + 12 0 1 . . 2
2
1
√ 3
2
2
− 4 . 1 . + 12 . 0 .
θ
4.
'/ 4
√ 2 √ 2 − √ 2 √ 2 . . 12 . 2
2
2
2
2
2
b Kita tetapkan r sin θ θ
'/ 3 ,
=
/
5' 3
c
= - √ 3
2
2 2 2 2 − 4 . √ . √ −12 . √ . √
m
θ
=
2 −6 −2− 6
1 2
2
= 0 dan selesaikan. Hni menghasilkan
/
2' 3
,
θ
= п,
θ =
4 '/ 3
θ
, dan
= 0,
θ
=
.
Setelah memperhatikan bah&a sin ( M - θ ) sin ( M - θ
θ
− 4sin3 ϴ sin ϴ+12cos3 ϴcos ϴ
) sin M cos θ - cos M sin θ
sin
"ang mengaplikasikan simetris terhadap sumbu-", kita dapatkan suatu tabel nilai dan mensketsakan grafik , sebagai berikut
θ
J
' / 12
: 2,*
'/ 6
'/ 4
2,*
'/ 3
:
:
/
5 ' 12
-2,*
'/ 2
-
θ
θ=
2 π 3
θ=
4 π 3
θ=
π 3
5 π 3
3ϴ 4 sin ¿
d
¿ ¿ ¿
7 1 2
'/ 3
2
dϴ = 8
' /3
0
∫¿ 0
6ϴ 1−cos ¿ dϴ
∫ sin 3 ϴ dϴ
¿ ¿
'/ 3
∫¿ 0
'/ 3
∫ dϴ 0
-
4 6
'/ 3
∫ cos6 ϴ .6 dϴ 0
[
4 ϴ−
2 3
sin6 ϴ
]
'/ 3
0
4'
3
