Simulación de Montecarlo

PROCESOS ESTOCÁSTICOS Docente: Yimmer Vargas SIMULACIÓN DE MONTECARLO OMAR ANDRÉS SÁNCHEZ MONROY La Simulación implica crear un modelo que se aproxima en ciertos aspectos a un sistema del mundo real y que puede ser usado para generar pruebas artificiales del sistema, de forma tal que nos permite predecir cuál va a ser el comportamiento de un sistema. Según Carlos Zapata en su libro Análisis probabilístico y simulación, plantea que la Simulación de Montecarlo es un experimento que: “consiste en generar números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad o proceso estocástico para evaluar en forma numérica, indirecta o artificial un modelo matemático que permita estimar el comportamiento de un sistema o proceso que involucra variables estocásticas”. Para este caso se podrá observar un ejemplo de aplicación de la Simulación de Montecarlo en la integración de una función y su estabilidad. Tomaremos la siguiente función:

Si resolvemos esta integral obtendremos un valor de la integral original 0.4520 Ahora aplicando la simulación por el método de Montecarlo varias veces a la función, observamos que la función converge a un valor de la integral. Es decir, muestran estabilidad para presentar una respuesta única en un intervalo de confianza. Para lograr lo anterior se establece una programación en MATLAB, utilizando un generador r←U(0,1) se puede definir una variable r ′ = (b−a) r+a. Se plantea un ciclo repetitivo hasta un numero de iteraciones (N) definidas por el usuario, y se aplica la siguiente fórmula con sumatorias para hallar la integral.

Seguido de esto se obtiene un valor aproximado de la integral realizando un promedio del número de iteraciones, el error porcentual y la gráfica de comportamiento de estabilidad. A continuación, podemos observar el comportamiento de la estabilidad de 15 gráficas y el valor promedio de la integral para 10, 100, 1000 y 10000 iteraciones.

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Para N=10 promedio_integral = 0.451924665331881 error_porcentual = 0.042925102567780

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Para N=100 promedio_integral = 0.451945472053032 error_porcentual = 0.013602579555688

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Para N=1000 promedio_integral = 0.451933681926536 error_porcentual = 0.003275935175943

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Para N=10000 promedio_integral = 0.451933759698424 error_porcentual = 0.001485435952066

Como conclusión se puede decir que la simulación de Montecarlo es de gran importancia y utilidad al momento de estimar valores de comportamiento de un sistema y poder analizar los aspectos a tomar en cuenta en el mundo real, por otro parte en relación con el ejemplo desarrollado se tiene que entre mayor sea el número de iteraciones se obtendrá un valor de error menor y un valor más aproximado al valor real, como se observa en las gráficas entre mayor sea el número de iteraciones la gráfica de estabilidad va a tomar un comportamiento hacia el valor real de la integral para este caso.