Instituto Tecnológico de Toluca Simulación Tonatiuh Rossano Bernal El método de Montecarlo
Surgió como objeto de resolver un u n difícil problema de física nuclear en el laboratorio de los Álamos, tiene numerosas aplicaciones en la investigación operativa. La bibliografía existente sobre el método es escasa, pues durante mucho tiempo fue considerado un secreto militar. En 1949, en el laboratorio de d e los Álamos se planteo un u n problema de difícil solución. Se trataba de determinar el recorrido de los neutrones neu trones en los diferentes medios. Los técnicos conocían los datos fundamentales que se necesitaban para resolver el problema; sin embargo, la dificultad surgía al tratar de relacionar los datos en una sola formula. Ulam y Neumann idearon una solución que esencialmente consistía en que una ruleta resolviera el problema propuesto, se fueron agrupando las probabilidades de los distintos sucesos, obteniéndose una solución que quedaba dentro de la aproximación exigida por los técnicos. Al método se le denomino Montecarlo, sin embargo, la técnica matemática empleada era ya conocida, el descubrimiento de la técnica de Montecarlo fue por un matemático legendario, cuando observo por primera vez el camino seguido por un borracho, supongamos que la probabilidad de dar pasos en cualquier dirección fuese la misma, el borracho puede dar pasos en cualquier dirección de una manera no previsible, aunque casual. Se trata de determinar a qué distancia se encontrará del punto de partida después de haber dado “n” pasos o cual será la distancia mas probable al cabo de los “n”
pasos, a esta técnica se le denomino el problema del paseo al acaso (al azar). Mediante una aplicación de muestreo aleatorio se resolvió este problema. Consideraciones generales sobre los problemas que resuelve el método de Montecarlo
Para Donsker y Kac, algunos problemas que conducen a complicadas ecuaciones diferenciales o integrales se han resuelto recientemente, utilizando diversas técnicas probabilísticas y métodos de muestreo. Los problemas a los que se ha aplicado la técnica de Montecarlo, parecen dividirse en dos categorías. Típico de la
Instituto Tecnológico de Toluca Simulación Tonatiuh Rossano Bernal primera es el problema de los neutrones que se difunden en la materia, y en el cual las partículas están sometidas no sólo a alguna influencia determinística, sino también a influencias casuales. La técnica de Montecarlo consiste en permitir que una partícula juegue una partida de azar, siendo las reglas del juego tales que las efectivas características casuales y determinística del proceso físico son exactamente imitadas, paso a paso, por el juego. Una característica importante de la técnica precedente es que la ecuación funcional que describe el proceso de difusión está superada por completo, habiéndose conseguido del propio proceso el modelo probabilístico empleado. Una aplicación más sofisticada del método de Montecarlo es la referente al problema de la determinación de un modelo probabilístico o juego, cuya solución está en relación con la solución de una ecuación. Para Householder, el método de Montecarlo puede describirse brevemente como la estratagema para estudiar un modelo estocástico artificial de un proceso físico o matemático. La novedad principal del método estriba en la sugerencia que cuando una ecuación (que tiene por origen un contenido no probabilístico) requiere una solución numérica, que no es fácil obtener con los métodos numéricos ordinarios, y puede ser efectivamente más eficiente idear tal procedimiento y calcular las constantes estadísticas que intentar la resolución por los métodos clásicos. Los problemas que se plantean son: dada una ecuación, ¿existe un procedimiento aleatorio que nos dé una distribución tal que ella, o una serie de sus parámetros, satisfaga a aquella ecuación? Y en caso afirmativo, ¿cuál es el método más eficiente para obtener las constantes estadísticas? Deberá ser evidente que el método para construir por entero la distribución no es probablemente más eficiente, salvo que la distribución se obtenga solamente por integración de otras variables. El método es fundamentalmente un método de integración numérica. J. Curtis, amplía el campo de aplicación del método, que permite hallar la distribución experimental de un estimador. Se expresa así: «todo proced imiento que implica el uso del muestreo probabilístico, para obtener soluciones aproximadas de los problemas matemáticos o físicos. La novedad que el método ofrece reside
Instituto Tecnológico de Toluca Simulación Tonatiuh Rossano Bernal principalmente en su punto de vista. Con pocas excepciones la mayoría de los autores parten de un problema probabilístico hasta llegar a un problema con ecuaciones funcionales, cuya solución se obtiene con los métodos clásicos, o al menos se demuestra que existe y que proporciona la respuesta al problema probabilístico. En el método de Montecarlo la situación se invierte. El problema probabilístico (del que puede siempre obtenerse una solución aproximada mediante pruebas repetidas), se considera como el instrumento para encontrar la solución numérica de una ecuación funcional. O en alternativa, un problema físico que exige un modelo analítico, el problema probabilístico equivalente es considerado como un modelo suficiente y la deducción de una solución analítica se considera superflua». En Estadística se presenta el problema de hallar la distribución de un estimador o estadístico en el muestreo. Puesto que el cálculo de la integral múltiple es complicado, los estadísticos han recurrido con frecuencia a realizar un muestreo artificial en la población dada, mediante una tabla de números aleatorios u otro procedimiento de azar, con lo que el valor del estadístico se observa repetidamente y su distribución puede establecerse empíricamente de forma aproximada. Mediante este procedimiento, la distribución experimental del estadístico no e s otra cosa que un método de Montecarlo de integración numérica. Así fue establecida en 1908 la distribución del estadístico t de Student, aunque posteriormente se estableció su distribución matemáticamente. La esencia del método Montecarlo se fundamenta en el cálculo de Probabilidades, que históricamente surgió de los juegos de azar, aunque la situación está realmente invertida, es decir. a partir de un juego de azar: ruleta, baraja, etc., o sea utilizando una tabla de números aleatorios, deduce las soluciones. En muchas cuestiones el pensamiento de los investigadores puede sintetizarse en la siguiente forma: Ante un problema físico o técnico. Cuya solución se trata de encontrar y no siendo posible relacionar todas las variables en una sola ecuación, se intenta idear un juego de azar que resuelva la cuestión sin recurrir a ecuaciones.
Instituto Tecnológico de Toluca Simulación Tonatiuh Rossano Bernal Como inconvenientes del método Montecarlo, podemos citar que en ocasiones es necesario realizar un gran número de cálculos, por lo que puede resultar prohibitivo desde el punto de vista económico y por otra parte los resultados son sólo aproximados. El método se ha usado principalmente en problemas de física nuclear, pero actualmente se ha aplicado con éxito en el campo de la Investigación Operativa, siendo corriente su empleo en problemas de producción: transporte, centrales telefónicas y control de existencias. 3.-Problema de Button.
Históricamente, el primer fundamento del método de Montecarlo, que permite resolver problemas determinísticos mediante experimentos muestrales, lo constituye el clásico problema de Buffon. 4.-Problema de Fermi.
En este problema se trata de calcular la anchura de una puerta, utilizando una regla sin divisiones, conociendo únicamente que su longitud es I metros y mayor que la anchura de la puerta. Podemos idear un modelo probabilístico formado por una ruleta de I metros de diámetro, colocando sobre la ruleta dos rectas paralelas, cuya distancia entre ellas sea igual a la anchura de la puerta, de forma que el centro de la ruleta coincida con el centro geométrico de la puerta.
