bussab&morettin
estatística estatís tica básica
Capítulo 7 Problema 01. ∞
∞
(a)
e −2 x e −0 − 2 x ∫ 0 2e dx = 2 × − 2 0 = 2 × 0 + 2 = 1 ∞
(b)
∫
P ( X > 10) = 2e
∞
− 2 x
10
e −2 x dx = 2 × = e − 20 − 2 10
Problema 02. (a)
1 C × =1 ⇒ C = 4 2 2
(b)
gráfico de f(x) (c)
1 = 1 = P X > 1 2 2 2 3 1 1 1 1 = P ≤ X ≤ = 2 × P ≤ X ≤ = 2 × 0,5 − P X ≤ 4 2 4 4 4 1 1× 1 1 1 1 3 4 = 2 × 1 = 2 × − − = − = 2 2 2 8 4 4 P X ≤
Problema 03. (a)
Como P ( X ≤ 10) = 1 vem: 10
10
10
x 2 seja, ∫ kxdx = k = 50k = 1 ⇒ k = 0,02 0,0 2 ∫ 0 kxdx = 1 , ou seja, 2 0 0 1
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estatística básica x
∴ F(x) = ∫ 0,02x dx = 0,01 x 2 0
Logo, F(1) = P ( X < 1) = 0,01 (b)
P ( X < r ) = 0,01r 2
=
πr 2 π (10)
2
Problema 04. ∞
∞
∞
1 1 1 ∫10 x 2 dx = c × 10∫ x 2 dx = c × − x 10 = c × 10 = 1 → c = 10 ∞ ∞ ∞ 10 1 1 1 2 = P ( X > 15) = ∫ 2 dx = 10 × ∫ 2 dx = 10 × − = 10 × x 15 3 x x 15 15 15 c
Problema 05. 1 2
1
1
1
1
1
x 3 2 x 2 x 3 1 1 1 1 1 2 E ( X ) = ∫ 4 x dx + ∫ x4(1 − x) = 4 × + 4 × − = 4 × + − − − = 3 2 3 24 2 3 8 24 1 1 0 2 0 2 1 1 2 3 1 = 4 × + − = 4 × = 24 2 24 6 24 E ( X
2
1 2
) = ∫ 4 x
1
3
∫
dx + x
2
1 2
0
x 4 2 x 3 x 4 1 1 1 1 1 4(1 − x) = 4 × + 4 × − = 4 × + − − − = 64 3 4 24 64 4 0 3 4 12
= 4 × 1 + 1 − 1 − 1 = 4 × 7 × 1 = 7 96 24 32 3 4 24
Logo,
Var(X) =
7 1 1 - = 24 4 24
x x 2 1 1 t 2 x 2 3 1 F(x) = 4 × ∫ (1 - t )dt = 4 × t − = 4 × x − − − = 4 × x − − + = 1 2 1 2 8 2 2 2 8
x
2
2
3 1 2 2
= 4 x − 2 x 2 − + = 4 x − 2 x 2 − 1 Logo,
0 , se x < 0 4x 2 , se 0 ≤ x ≤ 1 F(x) = 2 2 4 x − 2 x 2 − 1 , se 1 < x ≤ 1 2 Problema 06.
2
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estatística básica π π
2
2
[− x cos x + ∫ cos xdx]
∫
E ( X ) = ( x sen x )dx = 0
0
Tomando: u = x
=
⇒
du = 1
dv = sen x
⇒ v = - cos x π π π π π [− x cos x + sen x ]02 = − cos + sen − 0 cos 0 − sen 0 = sen = 1 2 2 2 2 = π
E ( X
2
2
) = ∫ ( x 2 sen x )dx 0
Tomando: u = x
⇒
=
du = 1
dv = x sen x ⇒ v = -x cos x + sen x − x 2 cos x + x sen x + x cos x + sen x =
∫
=
u = x
⇒
du = 1
dv = cos x
⇒ v = sen x 1 2 2 2 [ ] cos sen sen cos cos cos 2 sen − + + − + = − + x x x x x x x x x x x x 0 =π = Logo, Var ( X ) = π − 1 Problema 07. ∞
∞
10
∞
10
∞
1
∫ x dx = ∫ x dx = 10 × ∫ x dx = 10 × [log x ]
E ( X ) = x
2
10
10
10
= +∞
10
Problema 08. (a)
(
P X > b X <
b b
(
P X <
b
2
P b < X < b
2 , onde 2 ) = P ( X < b ) 2
2 ) = −13 x dx = ( x
∫
2
b
(
P b
2
< X < 2 ) = ∫ 3 x b b
2
dx
3
b
) = 2 −1
b
b3
8
= ( x )b = 3
2
+1 b3
− b3
8
Logo,
(
) 2 b P ( X > b X < 2 ) = P ( X < b ) = 2 P b < X < b
b3
8 b3
8
3
− b3 +1
7b 3 − = 3 b +8
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estatística básica 0
0
(b)
x4 3 3 3 E ( X ) = ∫ 3 x dx = 3 × = × [0 − 1] = − 4 4 −1 4 −1 0 5 0 x 3 3 E ( X 2 ) = ∫ 3 x 4 dx = 3 × = × [0 + 1] = 5 5 −1 5 −1 Então,
2
3 3 3 Var ( X ) = E ( X ) − [ E ( X ) ] = − − = 5 4 80 2
2
Problema 09. 100
100 x 3 x 4 3 3 3 100 100 −5 −5 2 E ( X ) = × 10 x (1 − x) dx = × 10 100 − = × 10−5 ×100 3 − = 5 5 3 4 0 5 4 3 0 3 1 1 3 1 = × 103 × − = × 103 × = 50 5 12 3 4 5 Logo,
∫
E ( L) = C 1
+ 50C 2
Problema 10. 3
3
(a)
x2 x P ( X > 1,5) = ∫ 1 − dx = x − 3 6 32 1, 5
9 3 9 3 = 3 − − − = = 0,375 6 2 24 8 1
1
3
(a)
3 x 2 2 2 2 x 3 x 2 x 3 2 9 27 1 1 − − = E ( X ) = x dx + x − dx = 3 × 3 + 2 − 9 = 9 + 2 − 9 3 3 2 9 0 1 0 1 4 4 = = 1,33 num dia ⇒ 30 dias : × 30 = 40 → 4000 kg 3 3
(b)
P ( X ≤ a) = 0,95
∫
∫
P (≤ 0 X ≤ 1) =
1× 2 1 = 2×3 3
1 a x + − + 1 dx = 0,95 3 1 3
∫
− x + 1 dx = 0,95 − 0,33 = 0,62 ∫ 1 3 a a2 5 1 x 2 x − → = a − 6 − 6 + 3 = 0 ,62 6 1 a
-a 2
+ 6a − 3 = 5 ,7 →
a2
+ 6a + 8,7 = 0
Logo, resolvendo a equação de 2º grau acima, encontra-se que: a = 2, 45 → 245 kg Problema 11. ∞
∫
− 2 x
E ( X ) = 2 × xe 0
xe−2 x ∞ 1 ∞ − 2 x dx =2 × − − × ∫ e dx − 2 0 2 0 = 4
bussab&morettin
estatística básica
Tomando: v' = e − 2 x
−2 x
→ v = e −2
∞ e −2 x ∞ 1 − 2 x ∞ − 2 x [(− xe )0 ]+ ∫ e dx = − 2 = 2 0 0 =
Var ( X ) =
1 4
Problema 12.
Calculando o valor de c: 1
1
x3 → c x − = 1 c ∫ (1 − x ) dx = 1 3 −1 −1 13 1 4 3 c 1 − 1 1 c 1 c − − + = → × = → = 3 3 4 3 1 1 3 3 x 2 x 4 3 1 1 1 1 2 − = × E ( X ) = ∫ x(1 − x )dx = × − − − = 0 4 2 4 −1 4 2 4 2 4 −1 4 1 3 5 1 3 3 3 1 1 1 1 3 4 1 x x E ( X 2 ) = ∫ x 2 (1 − x 2 ) dx = × − = × − − − + = × = 4 4 3 5 4 3 5 3 5 4 15 5 Logo, −1 −1 2
Var ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] =
1 1 − [0]2 = 5 5
Problema 13. (a)
T ~ U [150,300]
Gráfico da função densidade de probabilidade de T C = C 1
C 2 , T < 200 C 3 , T > 200
V =
5
bussab&morettin (b)
L
estatística básica
C − C , 150 < T < 200 = V − C 1 = 2 1 C 2 − C 1 , 200 < T < 300
Logo,
E ( L ) = (C 2
1 3
2 3
− C 1 ) × + (C 3 − C 1 ) × =
2 1 C 3 + C 2 − C 1 3 3
Problema 14.
X ~ N (10;4) (a)
P (8 < X < 10) = P (− 1 < Z < 0) = 0,34
(b)
P (9 ≤ X ≤ 12) = P −
(c)
1 < Z < 1 = 0,34 + 0,19 = 0,53 2 P ( X > 10) = P (Z > 0) = 0,5
(d)
P ( X < 8 ou X > 11) = P ( Z < −1) + P (Z > 0,5) = 0,16 + 0,31 = 0, 47
Problema 15. X ~ N (100;100 ) (a)
P ( X < 115) = P (Z < 1,5) = 0,933
(b)
P ( X ≥ 80) = P (Z ≥ −2) = 0,977
(c)
P ( X − 100
(d)
P (100
⇒
a
10
X − 100 ≤ 10) = P (− 10 ≤ X − 100 ≤ 10) = P ≤ 1 −1 ≤ = P (− 1 ≤ Z ≤ 1) = 0,6827 10
a a − a ≤ X ≤ 100 + a ) = P (− a ≤ X − 100 ≤ a) = P − ≤ X ≤ = 0,95 10 10
= 1,96 → a = 19,6
Problema 16.
X ~ N (µ , σ
2
)
(b)
X − µ + 2σ ) = P ≤ 2 = P (Z ≤ 2) = 0,977 σ P ( X − µ ≤ σ ) = P ( Z ≤ 1) = 0,68
(c)
P (− aσ
(d)
→ P Z > P ( X > b ) = 0,90
(a)
P ( X ≤ µ
Logo,
≤ X − µ ≤ aσ ) = P (− a ≤ Z ≤ a) = 0,99 → a = 2 ,58
b − µ σ
= 0,90
b − µ = −1,28 → b = µ − 1,28σ σ 6
bussab&morettin
estatística básica
Problema 17.
X ~ N (170;5 2 ) (a)
P ( X > 165) = P (Z > −1) = 0,94134
∴ Nº esperado = 10000 × 0,94134 = 9413 (b)
P (µ − a < X < µ + a ) = 0,75 P (170 − a < X < 170 + a ) = 0,75
a < Z < a = 0,75 5 5
P − a
= 1,15 → a = 5,75 5 Logo o intervalo simétrico é: Intervalo = (164,25;175,75) Problema 18.
V ~ N (500 ;50 2 )
P (V > 600) = P (Z > 2 ) = 0,023 Problema 19.
D1 ~ N (42 ; 36) D2 ~ N (45 ; 9)
Para um período de 45 horas, tem-se: P ( D1 > 45) = P (Z > 0,5) = 0,31 P ( D 2 > 45) = P (Z > 0 ) = 0,50 Neste caso, D2 deve ser preferido. Para um período de 49 horas, tem-se: P ( D1 > 49) = P (Z > 1,17) = 0,121 P ( D2 > 49) = P (Z > 1,33) = 0,092 E neste caso, D1 deve ser preferido. Problema 20.
(
X ~ N 0,6140 ; (0,0025 ) (a)
2
)
P (0,61 < X < 0,618) = 0,8904 BOM P (0,608 < X < 0,610) + P (0,618 < X < 0,620) =
= P (− 2,4 < X < −1,6) + P (1,6 < X < 2, 4) = 0,0466 + 0,0466 = 0,0932 RECUPERÁVE L P ( X < 0,608 ) + P ( X > 0,62) = P ( Z < −2,4 ) + P (Z > 2, 4) = 2 × 0,0082 = 0,0164 DEFEITUO SAS
(b)
E (T ) = 0,10 × 0,8904 + 0,05 × 0,0932 − 0,10 × 0,0164 = 0,09206
Problema 21.
Y : Lucro esperado por item
7
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estatística básica 0 ,9
∫ e
P ( X ≤ 0,9) =
−x
dx
= 1 − e − 0,9 = 0,5934
0
P ( X > 0,9 ) = e −0, 9
Y :
= 0,4066 2 ; 3
P (Y = y) : 0,5934 ; 0,4066 E (Y ) = − 1,1868 + 1,2198 = 0,033 Problema 22.
Y ~ b(10;0,4) (a)
X ~
( 4 ; 2,4)
P (3 < Y < 8) = P (4 ≤ Y ≤ 7 ) ≅ P (3,5 ≤ X ≤ 7,5) = P (− 0,32 ≤ Z ≤ 2,26) = 0,4881 + 0,1255
= 0,6136 (b)
P (Y ≥ 7) ≅ P ( X ≥ 6,5) = P (Z ≥ 1,61) = 0,0537
(c)
P (Y < 5) = P (Y ≤ 4 ) ≅ P ( X ≤ 4,5) = P (Z ≤ 0,32) = 0,6255
Problema 23. X ~ b(100 ; 0,1)
100 × ( 0,1)12 × (0,9) 88 12
P ( X = 12) = Y ~ N (10 ; 9)
P ( X = 12) = P (11,5 ≤ Y ≤ 12,5) = P (0,5 ≤ Z ≤ 0,83) = 0,1043 Problema 24.
X : número de defeitos P ( X ≥ 30 ) =
∑ 1000 × (0,05) j
1000
j
× (0,95)1000− j
j = 30
Y ~
(50 ; 47,5)
P ( X ≥ 30 ) ≅ P (Y ≥ 29,5) = P Z ≥
29,5 − 50 = P (Z ≥ − 2,975 ) = 0,9986 6,89
Problema 25. (a)
P (Y ≤ 5,5) = P ( X + 5 ≤ 5,5) = P ( X ≤ 0,5) = 0,50
(b)
G ( y) = P (Y ≤ y) = P ( X + 5 ≤ y ) = P ( X ≤ y − 5) = F ( y − 5)
Então:
0 , y < 5 4(y - 5), 0 ≤ y − 5 ≤ 1 → 5 ≤ y ≤ 5,5 2 g ( y ) = f ( y − 5) = 4(1 − y + 5) = 4(6 − y ) , 1 ≤ y − 5 ≤ 1 → 5,5 ≤ y ≤ 6,0 2 0, y > 6 8
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estatística básica
G ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P (2 X ≤ z ) = P X ≤
(c)
Então:
z
z = F 2 2
0, z < 0 z , 0 ≤ z ≤ 1 → 0 ≤ z ≤ 1 1 z 2 g ( z ) = × f = 2 2 z 1 z 2 × 1 - , ≤ ≤ 1 → 1 ≤ z ≤ 2 2 2 2 0, z > 2 Problema 26.
(d)
G ( y) = P (Y ≤ y) = P (2 X − 0,6 ≤ y ) = P (2 X ≤ y + 0,6) = P X ≤
Logo,
y + 0,6
y + 0,6 = F 2
2
2
y + 0,6 × 1 = 3 × y + 0,6 , - 1 ≤ y + 0,3 ≤ 0 → −2,6 ≤ y ≤ − 0,6 g ( y ) = f 2 2 2 2 2 2 −0 ,6 −0 , 6 −0 , 6 3 y + 0,6 3 2 E (Y ) = ∫ y dy = × ∫ y ( y + 0,36 + 1,2 y )dy = ∫ ( y 3 + 0,36 y + 1, 2 y 2 )dy = 2 8 − 2, 6 − 2 , 6 2 −2 , 6 −0 , 6
3 y 4 y 2 y 3 = × + 0,36 + 1,2 = −2,10 8 4 2 3 −2 , 6 2
−0, 6
−0 , 6
−0 ,6
3 2 y + 0,6 3 E (Y ) = y dy = × y 2 ( y 2 + 0,36 + 1,2 y )dy = ( y 4 + 0,36 y 2 + 1,2 y 3 )dy = 8 −2 , 6 2 − 2 ,6 2 − 2, 6
∫
2
∫
∫
− 0 ,6
3 y 5 y 3 y 4 = × + 0,36 + 1,2 = .... 8 5 3 4 − 2, 6 Var (Y )
= E (Y 2 ) − [ E ( X ) ]2 = E (Y 2 ) − 4,41
Problema 27.
X ~ U [− 1;1] 2 Tomando Y = X : G ( y) = P (Y ≤ y) = P ( X 2
≤ y ) = P −
y
≤ X ≤
Logo: g ( y ) =
1
[ f ( y )+ f (−
y
)]
2 y 1 , -1 < x < 1 f ( x) = 2 0, caso contrário 1 1 1 1 , 0 < y <1 ∴ g ( y) = + = 2 y 2 2 2 y 9
y
= F
y
− F −
y
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estatística básica
Tomando W = X : G ( w) = P (W ≤ w) = P ( X
≤ w ) = P (− w ≤ X ≤ w ) = F (w) − F (− w)
Logo: g(w)
1 1 2 2
= f (w ) − f (− w ) = + = 1 , 0 < w < 1
Problema 28. 2
2
(a)
6
6
(b)
− 3 x 2 9 x 108 54 27 27 3 x 9 + dx = + = − + − − + = 0,338 P ( X > 3) = ∫ − 20 80 20 3 80 20 80 20 3 40 6
(c)
6
x 2 x 6 − 3 x 2 9 x x 3 x 2 − 3 x 3 9x 2 + dx + ∫ + dx = + + + = E ( X ) = ∫ 10 20 20 2 30 20 0 120 0 2 2 40 648 324 24 36 = 8 + 4 + + + = 2,47 − − − 30 20 120 40 120 40
6
6
3 x 2 9 x 3 x 9 108 54 3Q2 9Q2 f ( x ) dx 0 , 5 dx = → − + = − + = − + + − = 0,5 80 20 ∫ ∫ 40 20 80 20 80 20 Q Q Q Portanto, Q2 = 2,06 . 2
2
2
Problema 29.
f ( x ) =
1 β
−α
, α
(a)
β
x2 β 2 −α2 α + β 1 × = × = E ( X ) = ∫ dx = 2 2 2 − − − β α β α β α α α β 2 3 β 1 1 x x β 3 − α 3 ( β − α )(β 2 + α 2 + αβ ) 2 E ( X ) = ∫ dx = × = × = 3 3 3( β − α ) − − − β α β α β α α α 2 2 β + α + αβ = β
1
x
3
Var ( X ) =
(b)
β2
+ α 2 + αβ 3
−
α2
+ β 2 + 2αβ 4
0, x < α x 1 dt = x − α , α ≤ x < β F ( x ) = ∫ β −α α β − α 1, x > β
Problema 30.
f ( x) =
1 β
−α
,α < x < β
10
(β − α )2 = 12
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U =
X −
estatística básica
α+β
1 1 2 → − , β −α 2 2
d − α + β c − α + β 2 2 − F P (c < X < d ) = F U β − α U β − α Então: G (u) = P (0 ≤ U ≤ u) = u , 0 ≤ u ≤ 1
→ G( 0) = 0 u = 0,00 = 0,01 →G ( 0,01) = 0,01 → G (0,02) = 0,02 u = 0,00 u
e assim por diante. Problema 31.
(a)
d − 7,5 − F c − 7,5 U 5 5 P ( X < 7 ) = P (5 < X < 7) = F U ( −0,1) − F U ( −0,5) = 0,4
(b)
P (8 < X < 9) = F U (0,3) − F U (0,1) = 0,2
(c)
P ( X > 8,5) = P (8,5 < X < 10) = F U (0,5) − F U ( 0,2) = 0,3
(d)
P ( X − 7,5
P (c < X < d ) = F U
> 2) = 1 − P (−2 < X − 7,5 < 2) = 1 − P (5,5 < X < 9,5) = 1 − [ F U (0,4) −F U (0,4)] =
= 1 − 0,8 = 0,2 Problema 32.
X ~ N ( µ ; σ 2 ) ∞
− 1 E ( X ) = xf ( x)dx = x e 2 σ 2π σ −∞ −∞
∫
Fazendo y =
x − µ σ
2
1 x − µ
∞
∫
dx
, , x = σ y + µ dx = σdy , tem-se: → → 1
∞
1
1
∞ ∞ 1 − 2 y 2 1 − 2 y 2 1 − 2 y 2 E ( X ) = (σ y + µ ) e dy = µ × e dy + σ × y e dy 2 π 2 π 2 π −∞ −∞ −∞ 1 2 ∞ 1 − 2 y e dy = 1, y ~ N (0,1) − ∞ 2π 0 ∞ ∞ 1 − 12 y 2 1 − 12 y 2 1 − 12 y 2 y e dy = y e dy + y e dy π π π 2 2 2 0 −∞ −∞ Considerando:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
11
∫
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estatística básica
1 − 12 y 2 y e dy 2π −∞ Tomando z = − y → y = − z → dy = −dz , tem-se: 0
∫
1
∫
Logo,
∫
∞
∞ ∞ 1 − 12 y2 1 − 12 y 2 1 − 12 z 2 y e dy = y e dy − z e dz = 0 π π π 2 2 2 0 0 −∞
∫
Logo,
1
∞ 1 − 2 y 2 1 − 2 z 2 y e dy = − z e dz 2π 2π −∞ 0 0
∫
∫
E ( X ) = µ
Sabe-se que: 2 2 Var ( X ) = E ( X ) − [ E ( X ) ] ∞
∞
∫
1 e 2π σ
∫
E ( X 2 ) = x 2 f ( x)dx = x 2 −∞
Fazendo y =
−∞
x − µ σ
dx
, , x = σ y + µ dx = σdy , tem-se: → →
∞
E ( X ) =
2
1 x − µ − 2 σ
∫ (σ y + µ )
1
1
−∞ ∞
∫
∫
1 − 12 y 2 + 2 µσ × y e dy 2 π −∞ Já vimos anteriormente que: ∞ 1 − 12 y 2 e dy = 1 π 2 −∞ ∞ 1 − 12 y2 y e dy = 0 2π −∞ Queremos então calcular:
∫
∫ ∫ ∞
∫ y
1
{
−∞
∞
∞ 1 − 2 y 2 1 − 2 y2 1 − 2 y 2 =1 e dy = y e e + 2π 2 π 2 π −∞ − ∞
2
u 1424 3 v´
1
144 244 3
2
1
∫
142 4 43 4
0
1
Logo,
+ µ2 Var ( X ) = σ 2 + µ 2 − µ 2 = σ 2
E ( X ) = σ
1
∞ ∞ 1 − 2 y2 1 − 2 y2 1 − 2 y 2 2 2 2 e dy = µ × e dy + σ × y e dy + 2π 2 π 2 π −∞ −∞
2
2
Problema 33.
X ~ N (6,4;0,8 2 )
→ P (7,5 ≤ X ≤ 10) = P (1,38 ≤ X ≤ 4,5) = 0,49997 A N º esperado = 0,0837 × 80 = 6,696 ≅ 7
− 0,41621 = 0,0837
→ P (5 ≤ X ≤ 7,5) = P (− 1,75 ≤ X ≤ 1,38) = 0,41621 + 0,45994 = 0,876 B N º esperado = 0 ,876 × 80 ≅
70 12
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estatística básica
→ P ( X < 5) = P ( X < −1,75) = 0,040 C N º esperado = 0 ,040 × 80 ≅ 3 Problema 34.
X = Peso Bruto ~ N (1000; 202 ) (a)
P ( X < 980) = P (Z < −1) = 0,15866
(b)
P ( X > 1010) = P Z >
1 = 0,30854 2
Problema 35. 2
X = Peso ~ N (5;0,8 )
(a)
Então:
X − 5
0,8
n = 5000
= Z → X = 0,8 Z + 5
z 1 = 0,84 → x1 = 4,33 z 2 = 0,68 → x2 = 5,54
z 3
= 1,28 → x3 = 6,02
Logo,
x ≤ 4,33, então classifica como pequeno 4,33 < x ≤ 5,54, então classifica como médio se 5,54 < x ≤ 6,02, então classifica como grande x > 6,02, então classifica como extra Problema 36. 2
VL ~ N (1000 ;10 ) (a)
→ 16% P(VL < 990 ) = P(Z < -1) = 0,16
(b)
P( VL - 1000 < 20) = P(-20 < VL - 1000 < 20) = P (− 2 < Z < 2 ) = 0,9545 → 95,5%
(c)
P( VL - 1200 < 2 × 20) = P (− 2 < Z < 2) = 0,9545 → 95,5% ∴ não muda
Problema 37. 2
D ~ N(0,10; (0,02) )
5, D - 0,10 > 0,03 V = 10, D - 0,10 ≤ 0,03 = 5 × P( D - 0,10 > 0,03) + 10 × P( D - 0,10 ≤ 0,03) P( D - 0,10 ≤ 0,03) = P(- 0,03 < D - 0,10 < 0,03) = P(- 1,5 < Z < 1,5) = 0,867
E (V)
Logo, E (V) = 5 × 0,133 + 10 × 0,867 = 9,34 Problema 38.
13
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estatística básica
Lucro = 1000 , sem rest ituição. Pr ejuízo = 3000 ,com restituição. Lucro = 2000 , sem rest ituição. A parelho B → Pr ejuízo = 8000 ,com restituição. A parelho A →
X : tempo para a
ocorrência de algum defeito grave.
X | A ~ (9;4). X | B ~ N (12;9).
Então: P(X ≤ 6 | A) = P (Z ≤ −1,5) = 0,066 P(X ≤ 6 | B) = P (Z ≤ −2 ) = 0,023 Portanto os lucros esperados para os dois produtos são: →1000 × 0,934 − 3000 × 0,066 ≅ 736 A → 2000 × 0,977 − 8000 × 0,023 ≅ 1770 B Portanto, incentivaria as vendas do aparelho do tipo B. Problema 39. (a)
X ~ U (1;3) então E ( X )
=2 Y = 3 X + 4 então E (Y ) = 10 3
∫
E ( Z ) = e
1 1 1 x 3 dx = × [e ]1 = × (e 3 − e) 2 2 2
×
x
1
(b)
−x
X ~ f ( x) = e , x > 0 então E ( X )
=1
∞
∫
E (Y ) = x 2 e − x dx 0
E ( Z )
∞
3
0 x
+1
= ∫
e − x dx
Problema 40. X ~ U ( − a;3 a ) então E ( X )
=a
(3a + a)2 16a 2 4 2 Var ( X ) = = = a 12 12 3 Problema 41. ∞
(a)
1
−t
∫ β e
E (T ) = t
β
dt =
0
(b)
2
E (T )
∞
= ∫ t 0
2
1 β
1 β
−t
e β dt =
∞
− t
× ∫ te β dt = β , usando integração por parte. 0
1 β
∞
− t
× ∫ t e β dt = 2 β 2 2
0
Logo, 2 2 2 2 2 Var ( X ) = E (T ) − [ E (T )] = 2β − β = β 14
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estatística básica
Problema 43.
≤ y ) = P (−
2
(a)
F y ( y ) = P (Y ≤ y) = P ( X
(b)
f y ( y) =
f x
y
2 y
−
f x
−
= 1
y
2 y
2 y
y
≤ X ≤
y
[ f ( y )− f (− x
x
) = F ( y )− F (− x
y
)] =
x
1 2 y
y
)
, 0< y <1
1
1
(c)
x3 1 2 2 E ( X ) = ∫ x dx = = 3 0 3 0
(d)
3 1 1 1 y 2 1 2 32 1 E (Y ) = ∫ y dy = × = 2 × 3 ×y = 3 3 2 2 y 0 0 2 1
Problema 44.
X ~ f ( x ) = e − x , x > 0 então E ( X ) = 1 = Var ( X ) X − µ x Z = σ x
X − µ x E ( Z ) = E σ x
E ( X − 1) = 1 = 0 X − µ x Var ( X ) Var ( Z ) = Var = σ x σ 2 = 1 x
Problema 45. (a)
α
∞
∫ e
= 1 →
-x
dx
= 1 = 0!
0
Vale para α = n : ∞
Γ (n + 1) = ∫ e
-x
n
x dx
= [− x
n
e
− x ∞
]0 + ∫ x
0
(b)
∞
n −1
−x
e dx
= n × Γ (n) = n × ( n − 1) = n !
0
O raciocínio em (a) vale para qualquer n ∈ ℜ + . ∞
(c)
Γ (1) = ∫ e -x dx = 1 0
1 ∞ - x − 12 Γ = ∫ e x dx = 2 0 ∞
u2 2
1 − 2
u 2 ∫- ∞e 2 -
π
; faça ∞
∫
udu = 2 × e
-
u2 2
x =
u2
2
→ dx = udu
du = π
-∞
15
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estatística básica ∞
(d)
∞ ∞ x − x β − x β 1 1 1 α −1 α (α +1) −1 − β E ( X ) = x x e dx = x e dx = αβ x e dx α α α +1 −∞ Γ (α ) β −∞ Γ (α ) β −∞ Γ (α + 1) β
∫
∫
∫
∞
x 1 (α +1)−1 − β x e dx = 1 pois é a f.d.p. de X ~ Gama(α + 1, β ). α +1 Γ + ( α 1 ) β −∞ Logo, E ( X ) = αβ . ∞ − x β − x β 1 (α + 1)αβ 2 ∞ 1 α −1 α 2 2 E ( X ) = x x e dx x e dx = α α 2 ( ) 1 ( ) Γ + Γ ( ) α β α αβ α β −∞ −∞ =
∫
∫
∫
(α + 1)αβ 2
=
∞
x 1 (α +2 ) −1 − β x e dx = α 2 β 2 + αβ 2 α+2 − ∞ Γ (α + 2) β
∫
Então, 2 2 2 2 2 2 Var ( X ) = α β + αβ − α β = αβ Problema 46. ∞
(a)
∞
∫ f ( x )dx = ∫ b b
−∞
(b)
α
α
α +1
x
−α −1
=
b
b
−α
>1 ∞
∫
−α
E ( X ) = αb x dx α
= αb
b
α
dx
∞
x −α × = b α × b −α = 1 − α b
α
α
x
−α +1 ∞
1 −α
=
b
αb α −1
>2 ∞
∫
2
E ( X ) = αb x α
−α +1
dx
= αb
b
α
x
−α +2 ∞
2 −α b
=
αb 2 α
−2
Então, Var ( X ) = E ( X
2
2
2 αb αb ) − E − [ ( X )] = = (α − 1) 2 (α − 2) α − 2 α − 1 2
αb
2
Problema 47. ∞
(a)
E ( X )
= ∫ x 0
1 xσ 2π
1 ln x − µ 2 − e 2 σ dx
(1)
y y Tomando ln x = y → x = e , dx = e dy
y − µ σ
= z → y = µ + σ z , dy = σdz
Voltando a (1): ∞
∫ xσ
E ( X ) = x 0
1 2π
1 ln x− µ 2 − e 2 σ dx
2
∞
2
2
σ ∞ ( z −2 σ z +σ ) − 1 ( z )2 µ+ 1 µ +σ z 2 2 e σ dz =e dz = = e × e 2 2 σ π π −∞ −∞
∫
∫
16
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estatística básica
=e
µ+
σ2
2
∞
e
× ∫
( z −σ ) 2
2π
−∞
σ2
dz = e
µ+
2
∞
e
− 1 v2 2
× ∫
dz = e
σ2 µ+
2
2π43 −1 ∞42 1
(b)
2
2 σ
E ( X ) = m e
2
Var ( X ) = m 2 eσ
, m = E ( X ) = e 2
σ2 µ+
2
2
− m 2 = m 2 (e σ − 1)
Problema 48.
= e − x , P ( X > t + x) = e −( t + x) P ( X > t + x) e −( t + x ) ∴ = − x = e −t = P ( X > t ) P ( X > x) e
P ( X > x)
Problema 49. ∞
∞ 1 x 1 − x 1 0 1 ∞ −x x E (Y ) = x f ( x) dx = − x e dx + x e dx = × − xe dx + × xe dx = 2 2 2 −∞ 2 0 −∞ −∞ 0 0
∫
∫
1 2
∫
∫
1 2
= − × (−1) + × 1 = 1 0
∫ − xe dx = [ xe ] x
x
0
−∞
−∞ 0
∫
−
xe x dx
−∞
∞
0
− ∫ e x dx = −1 −∞ ∞
= [ xe − x ]0 − ∫ e x dx = 1 0
Problema 50.
1 2
Y = X 2
X ~ U (0,1)
Então:
1
1
1 2 1 x3 1 E (Y ) = x dx = × = 2 3 0 6 0 2
∫
Problema 51. (a)
βe − β x , x ≥ 0 → f ( x ) = β = 1 logo f.d.p. de uma exponencial. 0, x < 0
(b)
β
= 2 → f ( x) = 2 xe −2 x , x ≥ 0 ∞
∫
E ( X ) = 2 × x 2 e −2 x dx
(integrar por partes! )
0
Problema 52.
f ( x) =
Γ ( 4) x(1 − x) = 6 x (1 − x), 0 < x < 1 Γ ( 2) Γ ( 2) 17
∫
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estatística básica 0, 2
0, 2
x 2 x 3 − = 0,104 P ( X ≤ 0,2 ) = 6 × ∫ x(1 − x)dx = 6 × 2 3 0 0 1 3 4 1 x x 1 − = E ( X ) = 6 × ∫ x 2 (1 − x )dx = 6 × 3 4 0 2 0 1 1 x 4 x 5 3 2 3 − = E ( X ) = 6 × ∫ x (1 − x)dx = 6 × 4 5 0 10 0 2
Var ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ]
=
1 20
Problema 53. ∞
1 ∞ 2 x = E ( X ) = dx 2 dx 2π −∞1 + x 2 (1) π − ∞1 + x Tomando: 1 + x 2 = y, dy = 2 xdx Voltando a (1): 1 ∞ 2 x 1 dx = = [log y ]∞−∞ = ∞ 2 2π − ∞1 + x 2π , logo não existe. 1
∫
x
∫
∫
Problema 56.
X ~
(10;16)
Então:
= 10 + 4Q z → Q x (0,10) = 10 + 4 × (− 1,28) = 4,88 Q z (0,10 ) = −1, 28 → Q x (0,25) = 10 + 4 × (−0,67) = 7,32 Q z (0,25) = −0,67 → Q x (0,1) = 10 + 4 × (0) = 10 Q z (0,50 ) = 0 → Q x (0,75) = 10 + 4 × (0,67) = 12,68 Q z (0,75) = 0,67 → Q x (0,90) = 10 + 4 × (1,28) = 15,12 Q z (0,90 ) = 1,28 Q x
Problema 57. 2 Considerando agora Y ~ χ (5) , tem-se: Q (0,10) = 1,610 Q (0, 25) = 2,672 Q (0,50) = 4,351 Q (0,75 ) = 6,676 Q (0,90 ) = 9,236
Problema 58. (a)
P ( χ (4) > 9,488 ) = e 2
− 4 ,724
1
( 4,724 ) j = 0,0089 × [1 + 4,724 ] = 0,051 j ! j = 0
∑
18
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estatística básica
2 Da tabela da ditribuição qui-quadrado vem que: P (χ (4) > 9,488 ) = 0,05 .
(b)
1
(8) j P ( χ (10 ) > 16 ) = e = 0,00034 × [1 + 8 + 32 + 85,3 + 170 ,7] = 0,101 j ! j =0 2 Da tabela da ditribuição qui-quadrado vem que: P (χ (10) > 16) = 0,10 . 2
−8
∑
19
