Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD
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Axiomas de Elección Racional • Completitud – Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades: • A se prefiere por sobre B • B se prefiere por sobre A • A y B son igualmente igualmente atractivas
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Axiomas de Elección Racional • Completitud – Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades: • A se prefiere por sobre B • B se prefiere por sobre A • A y B son igualmente igualmente atractivas
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Axiomas de Elección Racional • Transitividad – Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C, entonces A se prefiere por sobre C – Este supuesto es para garantizar que las decisiones de los individuos sean consistentes internamente
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Axiomas de Elección Racional • Continuidad – Si A se prefiere a B, entonces las situaciones “suficientemente cercanas” a A también deben ser preferidas sobre B – Este supuesto se utiliza para analizar las respuestas de los individuos como respuesta a cambios relativamente pequeños en el ingreso y los precios 4
Utilidad • Dados todos estos supuestos, es posible demostrar que las personas son capaces de ordenar jerárquicamente todas las situaciones posibles, desde la menos deseada hasta la más deseada • Los Economistas llaman a ésta jerarquía utilidad – Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad asignada a A excede la utilidad asignada a B U (A) > U (B)
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Utilidad
• Dichas jerarquías o rankings de utilidad son ordinales por naturaleza – Muestran qué tan deseables son ciertas cestas de bienes
• Debido a que las medidas de utilidad no son únicas, no tiene sentido el particularizar cuánta más utilidad se gana al pasar de A a B • Tampoco es posible comparar utilidades entre dos personas diferentes 6
Utilidad
• La utilidad es afectada por el consumo de bienes físicos, por actitudes sicológicas, presiones de grupo, experiencias personales, y por el ambiente cultural general • Los Economistas por lo general dedican su atención a evaluar opciones medibles, mientras mantienen constantes las otras cosas que puedan afectar la utilidad – Esto es llamado el supuesto c e t er i s p ar i b u s 7
Utilidad • Asumamos que un individuo debe escoger entre consumir los bienes x 1, x 2,…, x n • Los rankings de dicho individuo pueden ser representados por una función de utilidad de la forma: Utilidad= U ( x 1, x 2,…, x n; otras cosas) – Esta función es única, pero puede ser transformada si dicha transformación preserva la ordenación o rankings originales 8
Bienes Económicos • En la función de Utilidad, se asume que los x ’s son “bienes” – Un bien: más se prefiere a menos Cantidad de y Preferido sobre x*, y*
? y*
?
Peor que x*, y*
Cantidad de x x*
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Curvas de Indiferencia • Una Curva de Indiferencia muestra combinaciones de bienes ante los cuales el individuo se muestra indiferente Cantidad de y
Las combinaciones (x1, y1) y (x2, y2) proveen el mismo nivel de utilidad
y1 y2
U1
Cantidad de x x1
x2
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Tasa Marginal de Substitución (TMS) • La pendiente negativa de una curva de indiferencia en un punto es llamada la Tasa Marginal de Substitución (TMS) Cantidad de y
TMS
dy dx U U 1
y1 y2
U1
Cantidad de x x1
x2
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Tasa Marginal de Substitución (TMS) • La TMS cambia cuando x , y cambian – Esto refleja la disposición del individuo a intercambiar y por x Cantidad de y
En ( x 1, y 1), la curva de indiferencia es más empinada. La persona estaría dispuesta a sacrificar más y Para obtener unidades adicionales de x En ( x 2, y 2), la curva de indiferencia es más plana. La persona será más reacia A sacrificar y para ganar más x
y1 y2
U1
Cantidad de x x1
x2
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Mapa de Curvas de Indiferencia • Cada punto del plano debe tener una curva de indiferencia pasando sobre él (completitud de las CI) Cantidad de y
Utilidad crece
U3 U2
U 1 < U 2 < U 3
U1
Cantidad de x
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Transitividad • ¿Pueden intersectarse las CI?
Cantidad de y
El individuo es indiferente entre A y C. El individuo es indiferente entre B y C. Transitividad sugiere que el individuo Debe ser indiferente entre A y B
C
B
A
U2
Pero B se prefiere sobre A Debido a que B contiene más de x y y que A
U1
Cantidad de x
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Convexidad • Un conjunto de puntos es convexo si dos puntos pueden ser unidos por una línea recta que es contenida enteramente en el conjunto Cantidad de y
El supuesto de una TMS decreciente es equivalente al supuesto de que todas las combinaciones de x y y que son preferidas por sobre x * y y * forman un conjunto convexo y* U1
Cantidad de x x*
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Convexidad • Si la CI es convexa, entonces la combinación ( x 1 + x 2)/2, (y 1 + y 2)/2 será preferida tanto a ( x 1,y 1) como a ( x 2,y 2) Cantidad de y
Esto implica que combinaciones “bien balanceadas” Son preferidos sobre combinaciones que cargadas hacia uno de los bienes y1 (y1 + y2)/2 y2
U1
Cantidad de x x1
(x1 + x2)/2
x
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Utilidad y la TMS • Supongamos que las preferencias de un individuo por hamburguesas (y ) y bebidas ( x ) pueden ser representadas por: utilidad 10
x y
• Despejando y , tenemos y = 100/ x
• Construyendo la TMS = -dy /dx : TMS = -dy /dx = 100/ x 2 17
Utilidad y la TMS TMS = -dy /dx = 100/ x 2
• Note como mientras x sube, TMS cae – Cuando x = 5, TMS = 4 – Cuando x = 20, TMS = 0.25
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Utilidad Marginal • Supongamos que un individuo tiene una utilidad de la forma Utilidad = U ( x,y)
• El diferencial total de U es dU
U x
dx
U y
dy
• Sobre cualquier CI, la utilidad es constante (dU = 0) 19
Derivando la TMS • Por lo tanto tenemos: U
TMS
dy dx
U constante
x U y
• TMS es el cociente de la utilidad marginal de x sobre la utilidad marginal de y 20
Utilidad Marginal Decreciente y la TMS • Intuitivamente, parecería que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al concepto de TMS decreciente – Una TMS decreciente requiere que la función de utilidad sea cuasi-cóncava • Esto es independiente de cómo sea medida la utilidad
– La utilidad marginal decreciente sí depende de cómo es medida la utilidad
• Por tanto, estos dos conceptos son diferentes
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Convexidad de las curvas de indiferencia • Supongamos una función de utilidad de la forma: utilidad x y • Podemos simplificar el álgebra tomando logaritmos en ambos lados de la igualdad U* ( x ,y ) = ln[U ( x ,y )] = 0.5 ln x + 0.5 ln y 22
Convexidad de las curvas de indiferencia • Por lo tanto, U *
0.5
TMS x x 0.5 U * y
y x
y
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Convexidad de las curvas de indiferencia • Si la función de utilidad es U ( x ,y ) = x + xy + y
• No ganamos nada transformando la función, por lo que U 1 y x TMS U 1 x y 24
Convexidad de las curvas de indiferencia • Supongamos que la función de utilidad es: 2 2 utilidad
x
y
• Para éste ejemplo es más fácil usar la transformación: U* ( x ,y ) = [U ( x ,y )]2 = x 2 + y 2
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Convexidad de las curvas de indiferencia • Con lo que, U *
TMS x U *
2 x 2y
x y
y
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Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad Cobb-Douglas utilidad = U ( x,y ) = x y
donde y son constantes positivas – El tamaño relativo de y indican la importancia relativa de los bienes
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Ejemplos de funciones de Utilidad • Substitutos Perfectos utilidad = U ( x ,y ) = x + y Cantidad de y
La CI será lineal. La TMS será constante a lo largo de toda la curva de indiferencia.
U3 U1
U2
Cantidad de x
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Ejemplos de funciones de Utilidad • Complementos Perfectos utilidad = U ( x ,y ) = min ( x , y ) Cantidad de y
Las CI tendrán una forma de L. La utilidad solo puede ser incrementada al elegir más de los dos bienes conjuntamente. U3 U2 U1
Cantidad de x
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Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) utilidad = U ( x ,y ) = cuando 0, ≤ 1.
x
y
Además, cuando = 0 tenemos qué: utilidad = U ( x ,y ) = ln x + ln y Modificando tenemos: – Substitutos Perfectos = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Complementos Perfectos = - 30
Ejemplos de funciones de Utilidad • Utilidad CES (Constant elasticity of substitution) – La elasticidad de substitución ( ) se define Mide cambios proporcionales de ln x cómo: y
U y ln U x
la razón (x/y) relativo a cambios proporcionales de la TMS. Intuición: Qué tan “posible” es el intercambiar x por y
= 1/(1 - ) para la función CES. Otros casos: • Substitutos Perfectos = • Proporciones Fijas = 0
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Preferencias Homotéticas • Si la TMS depende solamente del cociente de las cantidades de dos bienes, pero no de las cantidades de dichos bienes, la función de utilidad es homotética – Substitutos Perfectos TMS es la misma en cada punto – Complementos Perfectos (CI de forma L) TMS = si y / x > /, no definida si y / x = /, y TMS = 0 si y / x < / 32
Preferencias Homotéticas • Para la función general Cobb-Douglas, la TMS se computa: U 1
x y x TMS 1 U x y
y
x
y
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Preferencias NO Homotéticas • Algunas funciones de utilidad NO presentan preferencias homotéticas utilidad = U ( x ,y ) = x + ln y U
TMS
1 x 1 U y
y
y
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Muchos Bienes • Supongamos una función de utilidad para n bienes dada por utilidad = U ( x 1, x 2,…, x n)
• El diferencial total de U es dU
U x 1
dx 1
U x 2
dx 2 ...
U x n
dx n
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Muchos Bienes • Podemos encontrar la TMS entre dos bienes cualesquiera haciendo dU = 0 dU 0
U x i
dx i
U x j
dx j
• Arreglando, tenemos: U
TMS ( xi por x j )
dx j dxi
xi U x j
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Superficies de Indiferencia para n bienes • Ahora vamos a definir superficies de indiferencia como un conjunto de puntos en n dimensiones que satisface la ecuación U ( x 1, x 2,… x n) = k
Donde k es cualquier constante 37
Superficies de Indiferencia para n bienes • Si la función de utilidad es cuasicóncava, el conjunto de puntos para los cuales U k será convexo – Todos los puntos en una línea que une dos puntos cualesquiera sobre la superficie de indiferencia U = k también tendrán U k
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Puntos Importantes: • Si los individuos obedecen ciertos postulados de comportamiento, serán capaces de establecer una ordenación (ranking) cestas o conjuntos de bienes – Dicho ranking puede ser representado por medio de una función de utilidad – Al escoger, los individuos actúan “cómo si” estuvieran maximizando esa función • Las funciones de utilidad para dos bienes pueden ser ilustrados mediante un mapa de curvas de indiferencia
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Puntos Importantes: • La pendiente negativo de una CI mide la Tasa Marginal de Substitución (TMS) – Ella muestra la proporción en que un individuo estará dispuesto a intercambiar cierto monto de un bien (y ) por más unidades del otro bien ( x )
• La TMS decrece a medida que x es substituido por y – Esto indica que los individuos prefieren balancear sus decisiones de consumo
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Puntos Importantes: • Ciertas formas funcionales simples pueden capturar diferencias importantes en las preferencias de un individuo sobre dos o más bienes – La función Cobb-Douglas – La función lineal (Substitutos Perfectos) – La función de proporciones fijas (Complementos Perfectos) – La función CES • Ella incorpora a los otros casos como casos especiales
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