Departamento de Matemáticas
4º de ESO
RELACIÓN Tema 5: Polinomios. Raíces. Factorización. Divisibilidad. Fracciones algebraicas. Reflexión:
El éxito no se logra con la suerte, es el resultado de un esfuerzo constante; depende de la voluntad.
OPERACIONES COMBINADAS CON POLINOMIOS 1. Sean los polinomios:
A( x) 3x 2 3x , B( x) 2 x 2 3x , C( x) 3x 4 2 x 3 x 2 5 y D( x) x 3 . Calcula:
a) A(x) + B(x) + C(x)
d) 5 · A(x) – 2 · B(x)
g) C(x) · D(x)
b) A(x) – B(x) – C(x)
e) A(x) · B(x)
h) C(x) · A(x)
c) A(x) + 2 · B(x) – C(x)
f) B(x) · C(x)
i) [D(x)]2
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 2. Efectúa y reduce: a)
x
2
5 2 x 3 4
b)
x
2
x 2 x 2 4 x 3
c)
x
4
5x 3 7 x 9 x 2 6 x 8
OPERACIONES COMBINADAS CON POLINOMIOS 3. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante: a)
3x x 7 2 x 1 3x 2
b)
2 x
2
x 1 x 3 2 x 1 x 2 x
IDENTIDADES NOTABLES 4. Efectúa las siguientes operaciones, teniendo en cuenta las identidades notables:
x
1
a)
3x 4 3x 4
d)
x 3
g)
8x 4
j)
b)
3x 2
e)
x 5
h)
3x 5
c)
5x 3 5x 3
f)
2 x 62
i)
3x
1 k) x 2 2
2
2
2
2
2
2x
2
2
l)
2
3 2 2 m) xy 2 x y 5
2
2
3x 1 3x 1
n)
3x
ñ)
xy 2x 2
2
2
y x 2 3x 2 y x 2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS 5. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones; así como, comprueba que los polinomios obtenidos son correctos utilizando la prueba de la división. a) b)
x 7 x 5x 1 : x 2x 2x 2x 2x 2x : x x 1 5
3
5
x d) x c)
3
4
6. Escribe el dividendo
3
3
6
3x 4 2 x 2 5 x 7 : x 4 3 x 1
7
x5 x3 x : x4 x 2 1
P(x) de una división de polinomios en la que el divisor es Q( x) x 2 , el cociente es
C ( x) 4 x x 2 y el resto es R( x) 2 . 2
REGLA DE RUFFINI 7. Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, e indica el cociente y el resto. a)
2x
3
x 2 3x 1 : x 2
c)
3x
b)
x
5x 2 7 x 9 : x 7
d)
x
3
Gema Isabel Marín Caballero
5
4
2 x 2 x 3 : x 1
2 x 3 x 1 : x 1
e)
x
f)
1 3 1 2 x x 1 : x 1 3 2
4
1 : x 1
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TEOREMA DEL RESTO 8. Calcula el resto de las siguientes divisiones sin hacerlas. ¿Qué teorema has utilizado? a)
x
5
32 : x 2
b)
9. Calcula el resto de la división
x
157
x
7
3x 2 1 : x 1
c)
x
101
2 : x 1
49 x 38 17 : x 1 . 2 x 4 mx3 15x 2 12 sea divisible por x 2 .
10. Calcula el valor de “m” para que el polinomio
11. Halla el valor de “k” en los siguientes polinomios, teniendo en cuenta los datos indicados. a)
x 3 k 2 x 1 es divisible entre x 1 .
b)
x
c)
x 4 3x 3 kx2 x 6 tiene por factor x 3 .
4
12. Sabiendo que a)
kx2 2 x 1 : x 1 tiene –4 de resto.
P(2) 1 , halla el valor de “m” en cada uno de los siguientes polinomios:
P( x) x 2 mx 2
b)
P( x) mx 2 2 x 7
c)
P( x ) 2 x 2 3 x m
RAÍCES O CEROS DE UN POLINOMIO 13. Entre los siguientes valores, indica el posible número de raíces del polinomio
P( x) x 3 3x 5 8x 15 . Razona
tu respuesta. a) 5
b) 3
c) 6
d) 1
14. Comprueba si 5 y –5 son raíces del polinomio 15. Dado el siguiente polinomio
P( x ) x 3 5 x 2 5 x 5 .
P( x) 27 x 3 108x 2 3x 12 , contesta:
a) ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo? Razona tu respuesta. b) ¿Puede ser raíz
x 5 del polinomio? Razona tu respuesta.
c) ¿Es x 1 raíz del polinomio? ¿Y x 4 ? Razona tu respuesta. TEOREMA DEL FACTOR 16. Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio a)
x 1
b) x 3
c) x 1
P( x ) x 3 3 x 2 6 x 8 .
d) x 2
17. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si
x 6 divide a
b) Si
B(5) 0 , entonces x 5 es un factor de B(x) .
A(x) , entonces 6 es una raíz de A(x) .
c) Un polinomio de grado 5 no puede tener 6 raíces. d) Un polinomio con término independiente igual a 0 posee al menos una raíz. MULTIPLICIDAD DE UNA RAÍZ. POLINOMIO FACTORIZADO 18. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios: a)
P( x) 3 x 1 x 2 x 4
Gema Isabel Marín Caballero
b)
P( x) 2 x 5
3
c)
P( x) x 6 x 1 2
2
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19. Escribe un polinomio que tenga las siguientes raíces y el coeficiente del término de mayor grado: a) Raíces: 1, –2 y 3. Coeficiente: –4.
c) Raíces: –2 y –3. Coeficiente: –1.
b) Raíces: 2 (raíz doble). Coeficiente: 2.
d) Raíces: 1, 1, 2 y –3. Coeficiente: 5.
20. Halla tres polinomios distintos que tengan las mismas tres raíces: 1, −1 y −5. FACTORIZACIÓN. REGLA DE RUFFINI 21. Comprueba con la regla de Ruffini si los números 2 y –3 son soluciones de la ecuación
x 4 3x 3 x 3 0 .
22. Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios y factorízalos usando la regla de Ruffini. a)
2 x 3 x 2 11x 10
23. Sabiendo que
x
b)
x 4 2 x 3 11x 2 12 x 36
c)
x 4 6 x 3 10 x 2 6 x 9
1 3 2 es una raíz de P( x ) 16 x 40 x 17 x 2 , factorízalo y calcula el resto de sus 4
raíces. FACTORIZACIÓN 24. Factoriza los siguientes polinomios, usando las fórmulas de las identidades notables, e indica sus raíces y su orden: a)
x 2 10 x 25
d)
9 x 2 12 xy 4 y 2
g)
4 4x x2
j)
x4 2x3 x2
b)
16 x 2 1
e)
x2 1 2x
h)
x4 x2
1 4
k)
4x2 9
c)
4 x 2 12 x 9
f)
x4
1 4
i)
l)
36 x 2 12 x 1
9 x 2 25
25. Extrae el factor común para factorizar los siguientes polinomios: a)
5x 3 15x 2
c)
2 x 3 3x 2 x
e)
2 x 3 y 2 2 xy 4
g)
2 x 3 y 3 4 xy 4
i)
3 3 2 x xy 9 15
b)
4 x 4 8x 3
d)
x 4 3x 3 5x 2
f)
15x 3 y 25x
h)
9 x 2 y 6 3x 2 y 2
j)
1 2 2 1 x y y 2 6
26. Factoriza los siguientes polinomios de cuarto grado de exponentes pares (bicuadradas), haciendo el cambio de variable correspondiente, e indica sus raíces y su orden: a)
x 4 3x 2 2
b)
2x 4 4x 2 6
c)
x 4 5x 2 36
d)
x 4 5x 2 4
27. Factoriza los siguientes polinomios, indicando los métodos que utilizas, y di cuáles son sus raíces, así como, indica su orden: a)
x 2 144
h)
b)
2 x 2 3x
i)
c)
x2 x 1
d)
x 3 9x
n)
x3 1
t)
x4 1
x 3 x 2 6x
ñ)
x 3 2x 2 x 2
u)
3x 4 2 x 2 x
j)
x4 x2
o)
x3 x2 9x 9
v)
x 4 3x 3 3x 2 11x 6
x 2 12 x 32
k)
3x 4 12 x 2
p)
x 3 x 2 4x 4
w)
x 4 2 x 3 7 x 2 16
e)
3x 2 x 2
l)
2 x 3 12 x 2 18x
q)
x 3 x 2 4x 4
x)
x5 2x 2 1
f)
9 x 2 12 x 4
ll)
5x 4 50 x 3 125x 2
r)
2x3 7x2 2x 3
y)
x 7 5x 4 3
g)
2 x 2 x 15
m)
s)
3x 3 9 x 6
Gema Isabel Marín Caballero
x 4 6x 3 7 x 2
z)
10 x 5 57 x 4 96 x 3 47 x 2 6 x
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M.C.D. Y M.C.M. 28. Descompón en factores y halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a)
P( x) x 2 , Q( x) x 2 x , R( x) x 2 1
b)
P( x) x 3 , Q( x) x 2 9 , R( x) x 2 6 x 9
c)
P( x) x 2 , Q( x) 3x 6 , R( x) x 2 x 2
d)
P( x) 2 x , Q( x) 2 x 1 , R( x) 4 x 2 1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
29. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a)
x y y x 1
f)
x 2 2x 3 x2 x 6
k)
x3 1 x2 1
o)
x3 2x 2 x x 3 3x 2 3x 1
b)
4x 8 x2 4
g)
x 2 4x 4 4x 2 x 4
l)
x3 9x x 3 3x 2
p)
x 4 x 3 4x 2 4x x 4 x 3 4x 2 4x
c)
x2 4 2x 4
h)
x 2 2x 3 2 x 2 3x 5
m)
q)
a 2b a 3 a 2b 2 a 4
3 2x d) 4x 2 9 e)
x 1 2 x 2x 1
x4 x3 7x2 x 6 n) x 3 6 x 2 11x 6
x 1 i) 2 x 1 j)
x3 2x 2 x x3 x
x2 1 x4 1
ñ)
x3 x 2 4x 4 x3 x 2 9x 9
x3 y 2 b2 x r) x 2 y bx s)
2 x 3 3x 2 6 x 9 2 x 4 3x 3 2 x 3
SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 30. Suma y resta las siguientes fracciones algebraicas, y simplifica el resultado todo lo que se pueda:
2x 1 5 2x x 3 4 6 2 5 2x 3 x 1 b) 2x 6x 2 9x 3 x x2 c) x3 x3 3 x 2x x 1 d) x 1 x 1 3x a)
e)
x 2 x x 1 x 1 x 1 x2 2
x x x 2 x 2 x 1 x 3x 2 3x x 3 4 x 2 5x j) x 1 5 x x 2 25 x x 3 2 k) 2 2 x 6 3x 9 x 9 x 2 3x 1 l) 2 2 9 x 9 x 1 5 x 10 x 5 i)
3 3 6 2 x 1 x 1 x 1 x x2 1 g) 2 x 1 x x x x2 x 16 h) 2 2 x 4 3x 6 x 4 f)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 31. Multiplica y divide las siguientes fracciones algebraicas, y simplifica el resultado todo lo que se pueda: a)
x 1 x 1 x x2
d)
b)
x2 x2 1 x 1 x3
e)
3x 6 x 2 1 c) x 1 6 x 2 24
Gema Isabel Marín Caballero
x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 x3 x 23 x 2 1
2
4 x 7 3x 1 : x5 x2 2 3x 6x 2 f) : x 2 x 2 2x
g)
x 12 x 2 : x 2 36 x 6
x2 1 x 2 2x 1 : x 2 3x 2 x 2 x 2 x 2 18 x 81 x2 9x : i) 9 x 2 225 x 2 10 x 25 h)
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