Análisis matemático, geométrico y físico sobre la relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme
El movimiento armónico simple, también denominado movimiento vibratorio armónico simple es un movimiento con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio, ejemplo el péndulo de un reloj o una masa suspendida de un resorte. Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno. El movimiento circular es el que se basa en un eje de giro y radio constante: la trayectoria será una circunferencia. Si, además, la velocidad de giro es constante, ocurre el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante. Entre ambos movimientos existe una relación, en la que se percibe el movimiento armónico simple como una proyección del movimiento circular uniforme sobre el diámetro de la circunferencia (generalmente se usa el eje x como referencia).
Una partícula P gira en un movimiento circular uniforme, su velocidad angular es ω y el radio de la circunferencia es A. En t=0 el radio OP forma un ángulo án gulo ϕ con el eje x.
El radio OP forma un ángulo ωt+ϕ con el eje x, y la proyección OP a lo largo del eje x es: x=Acos(ωt+ϕ). Esta última expresión es idéntica a la del desplazamiento de un oscilador armónico simple. Si P’ representa la proyección de P sobre el eje x, entonces P’ realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje x.
En el movimiento circula uniforme, la magnitud de la velocidad tangencial es ω multiplicada por el radio de giro A. si se representa la velocidad instantánea v en el tiempo t, la componente en x de v es: vx=ωAsen(ωt+ϕ), que coincide con la ecuación de velocidad en el movimiento armónico simple.
La magnitud de la aceleración centrípeta es ω2A, su componente en x es ax=ω2Acos(ωt+ϕ). Con lo anterior se demuestra que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son idénticas en una partícula que realiza movimiento circular uniforme alrededor de una circunferencia de radio A, y su respectiva proyección sobre el eje x, la cual realiza un movimiento armónico simple. Además, el periodo y la frecuencia serían igual para ambas. Cabe resaltar que las demostraciones anteriores son para el movimiento descrito por una función cosenoidal, aunque son válidas también para el movimiento descrito por una función senoidal, en el que solo sería necesario cambiar las funciones trigonométricas (seno para desplazamiento y aceleración, coseno para velocidad) debido a que son las que se utilizan en caso de hacer la proyección en el eje y.
