F´ısica Gu´ıa de Mat Materia
Movimiento circular ´ dulo Electivo Modulo o III Medio
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´ s Melgarejo, Veronica ´ nica Saldana ˜a Nicolas a o n Licenciados en Ciencias Exactas, U. de Chile Estudiantes de Licenciatura en Educaci´on, on, U. de Chile
1.
Movim Movimien iento to circul circular ar unifor uniforme me
Un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia o un arco de circunferencia. Si dicho movimiento se realiza a una velocidad de m´ odulo odulo constante, el movimiento circular es uniforme.
Una part´ part´ıcula que gira atada al extremo extremo de una cuerda cuerda es un ejemplo ejemplo de mov movimien imiento to circular. circular. En la imagen se observa observa que el vector velocidad de la part´ part´ıcula var´ var´ıa continuamente continuamente de direcci´ on, on, pero su magnitud se mantiene constante, es decir, se trata de un movimiento circular uniforme M.C.U. 1.1. 1.1.
Velocida elocidad d lineal lineal
La velocidad a la cual hacemos referencia en el ejemplo anterior es denominada velocidad lineal o tangencial, la cual se representa a trav´es es del vector tangente al punto de la trayectoria trayectoria circular en que se halla la part´ part´ıcula en movimiento. Este vector cambia de direcci´ on constantemente, por lo que la velocidad lineal no es constante. En un M.C.U. la velocidad tangencial mantiene su magnitud constante. 1.2. 1.2.
Rapi Rapidez dez linea lineall
La rapidez lineal o tangencial es el m´ odulo de la velocidad lineal, en un M.C.U. se mantiene constante odulo y podemos determinar determinar su valor a trav´ trav´es es del cuociente cuociente entre entre la distancia distancia recorrida recorrida por la part´ part´ıcula y el tiempo que demora en recorrer dicha distancia. El tiempo tiemp o que la part´ıcula ıcula tarda en dar un giro completo se denomina periodo del movimiento, se le representa con la letra T . La distancia que recorre el cuerpo con M.C.U. en el lapso de un periodo T es igual al per´ per´ımetro de la circunferencia 2πR . As´ As´ı, la rapidez tangencial tangen cial v de un M.C.U. est´ a dada por: v=
2πR T
(1)
donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria. 1.3. 1.3.
Perio eriodo do
Como se indic´ o anteriormente, el periodo T es el tiempo que una part´ part´ıcula emplea en dar una vuelta completa a su trayectoria. En un M.C.U. el periodo se mantiene constante, es decir, el cuerpo siempre demora la misma cantidad de tiempo en realizar un giro. 2
Ejemplo
Determine la rapidez tangencial de un m´ovil que describe una circunferencia de 10 [cm] de radio en 0,2 [s]: Soluci´ on: on: Para hallar la rapidez lineal v , basta con reemplazar los datos dados en el enunciado en
la ecuaci´ on on (1): 2πR
2π · 10[cm] cm = = 314 v= 0, 2[s] T s
1.4. 1.4.
Frecu recuenc encia ia
Se llama frecuencia f a la cantidad de giros o revoluciones que realiza un cuerpo en movimiento en una determinada unidad de tiempo, en particular, con movimiento circular. En un M.C.U. la frecuencia es constante y se puede determinar haciendo el cuociente entre la cantidad de giros y el tiempo empleado en hacer esos giros. En particular, si consideramos el cuociente entre una vuelta y el tiempo usado para dar esa vuelta se concluye que: 1 (2) f = T
1
En el S.I. la unidad de medida de la frecuencia es el Hertz [ H z ], donde 1[H z ] =1
s
Ejemplo
Un motor da 3.000 revoluciones por minuto. Determine su periodo. Soluci´ on: on: El enunciado indica que el motor realiza 3.000 giros en un lapso de tiempo igual a 60 segundos,
ya que un minuto equivale a 60 segundos. Con esta informaci´on on es posible determinar la frecuencia de oscilaci´ on on del motor: 3.000 giros = 50[H z ] f = 60 segundo
Aplicando la ecuaci´ on (2) obtenemos el valor del periodo T : on T =
1 f
=
1 [s] = 0, 02[s] 50
Es decir, el motor demora 0,02 segundos en completar una revoluci´on. on.
Desa De saf´ f´ ıo. ıo ... En un hilo de 1[m] de largo se atan dos piedras, una en un extremo de la cuerda y la otra a 40[cm] del extremo, tal como se muestra en la figura. Si se hace girar el hilo a raz´on de 3 vueltas p or segundo, ¿qu´ e sucede con la rapidez lineal de las piedras? ¿son iguales? ´o ¿una tiene mayor rapidez que la otra? Respuesta
3
1.5. 1.5.
Velocida elocidad d angul angular ar
Una part´ıcula ıcula que se mueve con movimiento circular pasa por la posici´ p osici´ on on P 1, despu´es es de un intervalo de tiempo ∆t est´a pasando por la posici´ on on P 2 , en este lapso de tiempo el radio de la trayectoria del movimiento del cuerpo ha barrido un ´angulo angulo ∆θ. La relaci´ on on entre el ´angulo angulo ∆θ descrito y el intervalo de tiempo ∆t empleado para describirlo se denomina velocidad angular ω del cuerpo en movimiento.
En un M.C.U. la velocidad angular se mantiene constante, su magnitud est´a dada por: ω=
∆θ ∆t
(3)
Como la velocidad angular se mantiene constante, podemos hallar el valor de ω para el instante en que la part´ part´ıcula completa una vuelta, tendremos que ∆θ = 2π radianes y ∆t = T , as´ı: ω=
2π T
(4)
donde recordemos que T es el per p er´´ıodo o tiempo que emplea emplea el cuerpo cuerpo en dar un giro completo. completo. Sabiendo que la frecuencia f es el inverso multiplicativo del periodo, la expresi´ on on (4) es equivalente a: ω = 2πf
(5)
Si a la ecuaci´ on (4) multiplicamos el valor del radio R de la circunferencia que sigue el cuerpo como on trayectori trayectoria, a, se obtiene obtiene la expresi´ expresi´ on on (1): 2π ω·R = · R T
Se concluye: ω·R=v
(6)
El vector velocidad angular ω es perpendicular al plano en donde se dibuja la trayectoria circular del movimiento de la part´ part´ıcula, su origen se encuentra en el eje de rotaci´ on y su sentido depende del sentido on del vector velocidad lineal v . Es posible expresar la ecuaci´on on (6) vectorialmente como producto cruz: = v ω×R
(7)
es el vector posici´ donde R on on del cuerpo. Estos vectores vectores son perpendiculare perpendicularess entre entre s´ı y se relacionan relacionan a trav´ es es de la regla de la mano derecha.
4
Desa De saf´ f´ ıo. ıo ... Respecto al desaf´ desaf´ıo anterior, ¿qu´e sucede con la magnitud de la velocidad angular de las piedras? ¿son iguales? ´o ¿una tiene mayor rapidez angular que la otra? Respuesta
Ejemplo
Calcule la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de la l´ınea del Ecuador de la Tierra. Ti erra. Considere el radio terrestre igual a 6.000 [K m]
Tierra tarda un d´ıa en dar un giro giro com comple pleto to respect respectoo de su eje de rotaci rotaci´ on. o´n. En una Soluci´ on: on: La Tierra vuelta o giro completo, el radio terrestre barre un angulo a´ngulo de 360 , lo que expresado en radianes es igual a 2π . De acuerdo a esto, la velocidad angular ω del movimiento de rotaci´ on on terrestre es: ◦
ω=
2π rad d´ıa
Un d´ıa corres correspond pondee a 24 horas. horas. Como Como cada cada hora hora tiene tiene 60 minuto minutoss y cada cada minuto minuto tiene tiene 60 segund segundos, os, realizando un sencillo c´ alculo alculo puede concluir que un d´ıa equivale a 86.400 segundos. Reemplazando:
2π rad ω= 86.400 s
Aplicando la ecuaci´ on (6) obtenemos el valor de la magnitud de la velocidad tangencial, es decir, la rapidez on tangencial v del punto del Ecuador:
2π rad v =ω·R = 86.400 s
1.6. 1.6.
·
6.000[K m] = 0, 436
Km s
Acel Aceler erac aci´ i´ on on centr´ ce ntr´ ıpet ıp eta a
Sabemos que en un M.C.U. la magnitud de la velocidad lineal o tangencial de la part´ part´ıcula se mantiene constante, lo que implica que no existe sobre el cuerpo aceleraci´on on tangencial. Pero la direcci´on on del vector velocidad lineal cambia, por lo tanto, existe una variaci´ on de dicho vector en el tiempo, lo que a su vez on genera genera el vector vector aceleraci´ aceleraci´ on on centr´ ce ntr´ıpet ıp etaa ac . El vector ac tiene la direcci´ on del radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y on siempre apunta hacia el centro de ´esta. Su magnitud est´ a dada por la ecuacione: v2 ac = R
5
(8)
donde v es la magnitud de la velocidad lineal, R el radio de la circunferencia. Seg´ un un la ecuaci´on on (6) v = ω · R, reemplazando en (8) nos queda que: ac =
(ω · R)2
R ω · R2 = R 2 =ω ·R 2
(9)
donde R es el radio y ω la magnitud de la velocidad angular.
1.7.
Fuerza centr´ centr´ıpeta
De acuerdo a la segunda ley de Newton, si un cuerpo con M.C.U. se ve afectado por la aceleraci´on on centr´ centr´ıpeta, ıpet a, entonces ento nces sobre sob re este cuerpo cuerp o act´ act ua u ´a una fuerza que provoca dicha aceleraci´on. on. Esta fuerza a sido denominada fuerza centr´ centr´ıpeta, tiene igual direcci´ on y sentido que la aceleraci´ on on on centr´ centr´ıpeta. ıpet a. Su magnitud magnit ud queda determinado por: F c = m · ac
donde m corresponde a la masa del objeto en movimiento y ac a su aceleraci´ on on centr´ centr´ıpeta. ıpet a. Reemplazando Reempla zando las ecuaciones (8) y (9) obtenemos: F c = m ·
v2 R
F c = m · ω 2 · R
Desa De saf´ f´ ıo. ıo ... Demuestre que la magnitud de fuerza centr´ centr´ıpeta es igual al producto del momentum lineal p y la rapidez angular ω , es decir, F = p · ω c
Respuesta
6
(10) (11)
Ejemplo
Determine Determine la magnitud magnitud de la fuerza centr centr´ ´ıpeta sobre un autom´ ovil ovil de 10 [K g ], el cual recorre una pista Km circular de 80 [m] de radio, con M.C.U. a 72 h de velocidad lineal.
on pertinente para determinar el on Soluci´ on: on: De acuerdo a los datos entregados en el enunciado, la ecuaci´ m´ odulo odulo de la fuerza centr´ centr´ıpeta ıpet a F c es la n´ umero (10). Reemplazando: umero 72 Km v2 h = 10[K g ] · F c = m · 80[m] R
2
Note que es necesario trasformar los [ K m] de la unidad de la velocidad lineal, ya que el radio de la pista est´a expresada en metros. Adem´as as transformaremos la unidad hora a segundos para escribir la respuesta en Newton: F c = 10[K g ] ·
1.8. 1.8.
72.000 3.600
2
m s
80[m]
= 50
m K g · 2 = 50[N ] s
Mome Momen nto angula angular r
corresponde a una caMomento angular o cantidad de movimiento angular L racter´ racter´ıstica de los cuerpos que est´ an an en rotaci´ on, es la medida de la inercia rotaon, cional de un cuerpo que gira. El momento angular es un vector perpendicular al plano de la trayectoria del cuerpo que rota, el cual tiene una magnitud dada por: L =R·p
(12)
donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y p p es es la magnitud del vector momento lineal de la part´ part´ıcula. El momento lineal una caracter´ caracter´ıstica de los cuerpos con masa que se mueven mueven a cierta velocidad, es la medida de la inercia de un cuerpo que se traslada, su magnitud est´ a dada por: p =m·v
(13)
donde m es la masa del cuerpo en movimiento y v su velocidad, en el caso de moverse con M.C.U. v es la velocidad lineal de la part´ part´ıcula. Reemplazando la l a ecuaci´ on (13) en la expresi´ on on (12) se obtiene: L =R·m·v
(14)
Reemplazando la ecuaci´ on on (6) en esta ultima u ´ltima expresi´on on se concluye que el momento angular depende de la masa del cuerpo que gira, de su velocidad angular y del radio de giro de su trayectoria: L = m · R2 · ω
(15)
Es posible escribir vectoriamente la ecuaci´ on (12) como producto cruz: on = R × p L
(16)
es el vector posici´ donde R on on del cuerpo. Estos vectores vectores son perpendiculare perpendicularess entre entre s´ı y se relacionan relacionan a trav´ es es de la regla de la mano derecha.
7
1.9. 1.9.
Cons Conserv ervaci aci´ o on ´n del momento angular
El momento angular se conserva si no act´ ua sobre el objeto o sistema en rotaci´ ua on un momento de torsi´ on on on o torque externo neto. Recordemos que torque τ τ es una magnitud vectorial que indica cuantitativamente la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotaci´on on de un cuerpo respecto de un eje de giro. En funci´on on del cambio de momento angular ∆L del cuerpo o sistema en rotaci´ on, on, el torque puede se expresado como: ∆L (17) τ = ∆t donde ∆t es el intervalo de tiempo en el cual se produce la variaci´on on de momento angular. Aplicar un torque a un cuerpo o sistema mec´anico anico en rotaci´ on on genera una variaci´ on on o cambio en su momento angular. Si la magnitud de torque es nulo, es decir, τ = 0, entonces el cambio en el momento angular angula r tambi´en en es nulo. Por lo l o tanto, si no act´ ua ua un torque torque externo sobre un objeto o sistema sistema en rotaci´ on, on, el momento angular se mantiene constante, es decir, se conserva.
Ejemplo
Un hombre est´ a sentado en una silla giratoria mientras sostiene dos bolas de boliche de 3 [K g ] cada una. Despu´ Despu´ es es de darse un impulso impulso comienza comienza a girar con los brazos estirados, estirados, las bolas rotan con una rapidez rapidez m lineal igual a 2 con un radio de giro igual a 60 [cm]. Si el radio de giro disminuye a 40 [cm] al recoger s sus brazos, ¿cu´ al es la rapidez lineal de las bolas de boliche? al
on del momento angular, la magnitud del momento angular on Soluci´ on: on: Por el principio de conservaci´ antes de recoger los brazos, Li , es igual a la magnitud del momento angular despu´es es de recoger los brazos, Lf , as´ı: Li = Lf Reemplazamos en la ecuaci´ on on (14) los valores correspondientes al a l antes y despu´es es de haber cambiado el radio de giro: Ri · mi · vi = Rf · mf · vf Como la l a masa de las bolas de boliche b oliche no var´ var´ıa, la expresi´ on on se reduce a: Ri · vi = Rf · vf
Despejamos Despejamos el valor de la rapidez rapidez de las bolas b olas despu´ es es de haber encojido los brazos, brazos, vf , y hallamos su valor reemplazando los datos: vf =
Ri · vi = Rf
60[cm
·
40[cm]
8
m s
] 2 =3 m s
Desaf´ De saf´ ıos ıo s resu re suel elto toss
Desaf´ Desaf´ıo I: La piedra que est´ a en el extremo de la cuerda tiene mayor rapidez lineal que la que se encuentra a 40[cm] del extremo, pues en el mismo tiempo describe una circunferencia mayor, es decir, recorre una mayor distancia. Volver
Desaf´ Desaf´ıo II: I I: Ambas piedras poseen p oseen igual rapidez angular ya que describen ´angulos angulos iguales en tiempos iguales. Volver
Desaf´ıo ıo III: II I: Por la ecuaci´ ecuacion o´n (10) tenemos que: F c = m ·
v2 R
que puede ser reescrita como: F c = m · v ·
v R
Como el momentum es igual a masa por velocidad (P = m · v ) y por la ecuaci´on on (6) ω = F c = p · ω
Volver
9
v , R
entonces:
Bibli ib liog ogra raff´ıa ´ n Media, Santillana (2010) o [1 ] F´ısica 3 Educacion Luis Pavez, Javier Jim´ enez, enez, Esteban Ramos. ◦
[2 ] F´ısica General, Tercera edici´on, on, Harla. M´exico exico (1981) (1981 ) Beatr´ız ız Alvarenga, Alvaren ga, Antˆonio onio M´ aximo. on , Mc Graw-Hill. [3 ] F´ısica Tomo I, Tercera edici´ Graw-Hil l. M´exico exico (1992) (1992 ) Raymond A. Serway . on , Pearson Educaci´ [4 ] F´ısica Conceptual, Novena edici´ on. on. M´exico exi co (2004) (20 04) Paul Hewitt . ´ n a la F´ısica, S´ o eptim ep tima a edici´ edic i´ on , Editorial Kapelusz, Argentina (1958) [5 ] Introducci on Alberto Maiztegui, Jorge Sabato . ´ n PSU ciencias m odulo ´ dulo opt [6 ] Manual de preparaci preparacion o o opta ativo, F´ısica, Ediciones Universidad Cat´olica olica de Chile, Chile (2004) Miguel Ormazabal Ormaza bal D´ıaz-Mu˜ ıaz-Mu ˜ noz, Oscar Bravo Lutz, Luz Mar´ ıa ıa Gazzolo Torrealba Torrealba .
10
