Movimiento Circular Uniforme

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Objetivo • Estudiar cualitativamente el movimiento circular y su tratamiento gráfico. • Diferenciar entre el desplazamiento angular y el desplazamiento a lo largo de la trayectoria así como la relación que existe entre ambos desplazamientos. • Diferenciar entre la velocidad angular y la velocidad lineal, así como la relación que existe entre ambas. • El periodo y la frecuencia en un movimiento circular con velocidad uniforme. • a exis existe tenci nciaa de acel acelera eraci ción ón en un movi movimi mien ento to circ circula ularr con con velo veloci cidad dad uniforme. • !roblemas de inter"s en la seguridad vial. Historia del movimiento circular uniorme El movi movimi mien ento to circu circula larr y unif uniform ormee #$ #$%& %&'' tuvo tuvo muc( muc(aa impor importa tanci nciaa en la conformación del modelo cosmológico vigente en la antig)edad. El cosmos aristot"lico se dividía en dos grandes mundos radicalmente distintos, el celeste y  el terrestre, cada uno de los cuales debía ser ob*eto de una ciencia diferente. En el mundo terrestre los ob*etos parecían tender al reposo, cayendo siempre (acia la +ierra, y se consideraba necesario e*ercer fuerza sobre ellos para ponerlos yo para mantenerlos en movimiento. En cambio, en el mundo celeste -el ol, la una y las estrellas se mueven en círculos suaves y uniformes alrededor de la +ierra-. De esta forma, el movimiento circular y uniforme, se asoció durante siglos a la perfección e inmutabilidad, supuestas en el mundo celeste. %on la primera gran revolución científica, que se consolida en el siglo /011 con la formulación de la síntesis ne2toniana, se superó esta separación radical entre %ielo y +ierra, y se comenzaron a formular formular leyes de carácter carácter universal. 3demás de su inter"s (istórico, el estudio de los movimientos circulares y, en particular, el estudio del $%& tienen muc(o inter"s práctico. 3l ser un movimiento periódico que realizan ob*etos cosmológicos, se convierte en referencia para medir el tiempo, usando como unidad una cantidad de este movimiento #un segundo, un día, un a4o' !or otro lado, son muc(os los artilugios artificiales que tienen y aprovec(an movimientos circulares, uniformes o no5 agu*as del relo*, sat"lite sat"lite de telecomunica telecomunicaciones, ciones, disco giratorio de cualquier cualquier tipo #como un %D', plataforma giratoria #como un tío6vivo', rueda, volante, etc. %omo el $%& se repite una y otra vez, conviene definir una magnitud que d" cuenta de su periodo, +. e llama así el tiempo que tarda el móvil en recorrer la circunferencia #por tanto, en repetirse' !roporciona la misma información, la frecuencia, f, igual al n7mero de vueltas dadas por unidad de tiempo y, por tanto, magnitud inversa al periodo. En consecuencia, es periodo, la frecuencia y  la velocidad angular 8 #el ángulo barrido por unidad de tiempo' expresan, todas

ellas, el mismo concepto #la rapidez con que un movimiento circular uniforme realiza cada vuelta' y se relacionan entre sí mediante las expresiones5 + 9 :f 8 9 ;<+ 9 ;

Im!ortancia de movimiento circular Es cuan cuando do un ob*e ob*eto to se muev muevee con con rapi rapide dezz consta constant ntee por por una una traye trayecto ctori riaa circular. %omo e*emplo el movimiento de la luna alrededor de la tierra pues es evidente un movimiento circular uniforme. El movimiento circular uniforme es aquel movimiento circular en el que un móvil se desplaza alrededor de un punto central, siguiendo la trayectoria de una circunferencia, de tal modo que en tiempos iguales recorra espacios iguales. Elementos del movimiento circular5 circular5 ? !eriodo ? @recuencia ? 0elocidad angular ? 0elocidad lineal o tangencial ? 3celeración centrípeta ? @uerza centrípeta

"ERIO#O Es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. e representa por -+- y se mide en segundos #seg'5

FRECUENCIA$ Es la cantidad de vueltas que recorre la partícula en la unidad de tiempo #: segundo'. e representa por -f- y se mide en :seg o seg6:, que se llaman Aerzios #Az'5 : Az 9 : seg6:

Entre el periodo y la frecuencia, se tiene que son inversos, o sea5

 VELOCI#A# AN%ULAR  Es el ángulo que se recorre en cierta cantidad de tiempo. e representa con la letra griega 8 #omega min7scula', así5

8 9 velocidad angular B 9 ángulo recorrido t 9 tiempo + 9 periodo f 9 frecuencia

Cbservación5 a 0elocidad 3ngular tambi"n se llama @recuencia 3ngular, ya que ambas se miden en Aerzios o seg6:.  VELOCI#A# LINEAL Es la velocidad propia de la partícula cuya magnitud es constante, pero su dirección cambia ya que siempre es tangente a la circunferencia.

 0 9 velocidad lineal  9 radio de la circunferencia + 9 periodo f 9 frecuencia 8 9 velocidad angular

 ACELERACI&N$ En el $%&, la velocidad lineal permanece constante, y por lo tanto C (ay  aceleración tangencial, sólo (ay aceleración centrípeta5

 3c 9 aceleración centrípeta  0 9 velocidad lineal  9 radio de la circunferencia + 9 periodo f 9 frecuencia 8 9 velocidad angular

FUER'A CENTR("ETA$ Es la fuerza necesaria para producir un $ovimiento %ircular &niforme #$%&'. u dirección es perpendicular a la velocidad lineal y está dirigida (acia el centro de la circunferencia5

@% 9 fuerza centrípeta m 9 masa de la partícula  0 9 velocidad lineal  9 radio de la circunferencia + 9 periodo f 9 frecuencia 8 9 velocidad angular El efecto de la @uerza %entrípeta es cambiar la dirección de la velocidad lineal sin cambiar su magnitud, produciendo la 3celeración %entrípeta.=;>

E)ERCICIO* #E MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Ejercicios !ro!uestos =F> +. &n %D6C$ de G cm de radio gira a una velocidad de ;HII rpm. i tarda en pararse :H s, calcula5 a' El módulo de la aceleración angular.  b' as vueltas que da antes de detenerse. c' El módulo de la velocidad angular para t9:I s ,.6 +enemos un cubo con agua atado al final de una cuerda de I.H m y lo (acemos girar verticalmente. %alcular5  a' El módulo de la velocidad lineal que debe adquirir para que la aceleración centrípeta sea igual a J.K ms;.  esultado5 v 9;.;: ms  b' El módulo de la velocidad angular que llevará en ese caso. esultado5 8 9 L.L; rads 9 I.MI vueltass. -.6 &n coc(e con unas ruedas de FI cm de radio acelera desde I (asta :II Nm( en H s. %alcular5 a' El módulo de la la aceleración angular. esultado5 α9 :K.H; rads;  b' as vueltas que da en ese tiempo. esultado5 θ 9 ;F:.LK rad 9 FG.KL vueltas c' El módulo de la velocidad angular para t9F s. esultado5 ω9 HH.HG rads d' El módulo de la aceleración tangencial. esultado5 a+9 H.HH ms; e' El módulo de la aceleración normal para t9 H s .esultado5 a9 ;HM; ms; ms; ..6 &na centrifugadora centrifugadora pasa de estar detenida detenida a girar a LHI r.p.m. en :H s. i el radio del tambor es de ;H cm, calcular5 a' El módulo de la la aceleración angular. esultado5 α9 π rads;  b' as vueltas que da en ese tiempo. esultado5 θ 9 ::;.Hπ rad 9 HG.;H vueltas c' El módulo de la velocidad angular para t9:I s. esultado5 ω9 :Iπ rads d' El módulo de la aceleración tangencial. esultado5 a+9 I.MK ms; e' El módulo de la aceleración normal para t9:H s. esultado5 a9 HHH.; ms;

/.6 &na centrifugadora está girando a :HII r.p.m., se desconecta y se detiene en :I s. %alcular5 a' u aceleración angular α. esultado5 α 9 6:H.MI rads;  b' as vueltas que da (asta detenerse. esultado5 θ 9:;H vueltas. 0.6 &n automóvil con ruedas de FI cm de diámetro acelera de I a FI ms en H s. %alcula5 a' a aceleración angular de sus ruedas. esultado5 α9 ;I rads;  b' a aceleración lineal del coc(e. esultado5 a 9 G ms; c' as vueltas que da la rueda mientras acelera. esultado5 θ 9 ;HI rad 9 FJ,KF  vueltas. 1$2 &n 1$2 &n ventilador de tec(o, que tiene aspas de : m de radio, está inicialmente detenido. 3l encenderlo, acelera durante K s (asta que gira a :;I r.p.m. uponiendo que el movimiento es uniformemente acelerado, calcula5 a' u aceleración angular. esultado5 α9 π ; rads;  b' as vueltas que da durante los K s en que gana velocidad de giro. esultado5 θ 9 :Gπ rad 9 K vueltas. 3.6 &n ventilador de ;I cm de radio que giraba a GII r.p.m., se desconecta y se detiene en K s. %alcula5 a' a aceleración centrípeta en el borde de su aspa antes de empezar a detenerse. esultado5 ac9 MKJ ms;  b' u aceleración angular supuesta constante. esultado5 α9 6;IπK rads;. c' u velocidad angular para t9 Fs. esultado5 ω9 :;,Hπ rads. d' as vueltas que da (asta detenerse. esultado5 θ 9 KIπ rad 9 LI vueltas.

4$2 &na 4$2 &na rueda, puesta en movimiento por un motor, (a girado I.H radianes durante durante el primer segundo. O%uantas O%uantas vueltas dar Pa la rueda en los :I primeros segundos, uponiendo que la aceleración angular es constante durante ese tiempoQ tiempoQ O%uál serán ese instante instante la velocidad velocidad lineal de un punto de la llanta, llanta, si el radio de la rueda es de HI cmQ ORu" valor tendrá la aceleración negativa de frenado, si el motor de*ase de funcionar cuando la rueda gira a razón de :;I  vueltas por segundo y Sesta tardaseG minutos en pararseQ

+5.6 +5.6 Dos ruedas de KIcm y LIcm de diámetro respectivamente, se (allan conectadas conectadas por una correa que transmite transmite el movimiento movimiento entre ellas. i la rueda de menor radio da :II vueltas en Gs O%uál será la frecuencia de la rueda de mayor radioQ ++.6 ++.6 a llanta de un ve(ículo tiene un radio de I.Km y gira con una rapidez constante de ;LI evmin. Determine la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de una peque4a piedra incrustada en el labrado de la llanta. +,.6 +,.6 &na partícula describe un $%& de radio de :Im, i su posición inicial forma un ángulo de FIT con respecto a la dirección positiva del e*e x y su  velocidad es de F< m determina5 a' a posición #ángulo en grados'y el espacio recorrido a los ; segundos.  b' El tiempo que tardara en dar F vueltas. c' El n7mero de vueltas que dará en FI segundos. d' El periodo y la frecuencia. +-.6 +-.6 &n disco de ;I cm de radio gira a FF,FF rpm. Aalla su velocidad angular, la  velocidad lineal y la aceleración %entrípeta de5 a' &n punto de su periferia  b' &n punto situado a :I cm del centro c' O%uánto tiempo tardará el disco en girar MKITQ d' OU en efectuar :H revolucionesQ +..6 +..6 a noria de un parque de atracciones tarda :H s en dar una vuelta. i su  velocidad angular es constante, %alcula5 a' 0elocidad angular en rads  b' El período y la frecuencia c' El ángulo girado en H s. d' a velocidad lineal de un via*ero situado a :I m del e*e de giro. +/$2 &n +/$2 &n tren el"ctrico da vueltas por una pista circular de HI cm de radio con una velocidad constante de :I %ms. %alcula5 a' la velocidad angularV  b' la aceleración normal o centrípetaV c' el período y la frecuenciaV d' n7mero de vueltas que dará en :I segundos.

E)ERCICIO* RE*UELTO* =L>

:.6 &n tren el"ctrico da vueltas por una pista circular de HI cm de radio con una  velocidad constante de :I cms. %alcula5 a' la velocidad angularV  b' la aceleración radialV c' el período y la frecuenciaV d' n7mero de vueltas que dará en :I segundos. olución5 a' :I cms son I,: msV HI cm son I,H m. i despe*amos 8 de la fórmula obtenemos5 8 9 vr 9 I,:I,H ⇒ 8 9 I,; rads.  b' a aceleración radial, o normal, es la fórmula5 a 9 vWr 9 I,:WI,H a9 I,I; msW. c' !ara el período, aplicamos, + 9 #; <' 8 9 #; <' I,; + 9 :I < s. a frecuencia es la inversa del período5 f 9 :+ 9 ::I < f9 I,IF; cicloss.

;.6 as longitudes de las agu*as (orero y minutero de un relo* de pared miden, respectivamente, M,H cm y :H,I cm. %alcula, para cada una5

a' la velocidad linealV  b' la velocidad angular. *oluci6n a' a agu*a (oraria da una vuelta completa cada :; (oras, mientras que el minutero lo (ace cada (ora. os períodos de las agu*as, expresados en segundos, serán pues5 +( 9 :; ( X #FGII s  : (' 9 L,F; :IYL s +m 9 : ( X #FGII s  : (' 9 F,GI :IYF s as correspondientes velocidades lineales serán, aplicando la fórmula #H' y teniendo en cuenta que M,H cm 9 I,IMH m y :H,I cm 9 I,:H m 5  0( 9 Zs  Zt  0(9 #;< X I,IMH'  #L,F; :IYL' :IYL'  0(9 :,: :IY6H ms  0m 9 #;< X I,:H'  #F,GI :IYF' :IYF'  0m9 ;,G :IY6L ms  b' !ara las velocidades angulares aplicamos, + 9 #; <' 8 ⇒ ⇒ 8 9 #; <' + a velocidad angular de la agu*a de las (oras5 8( 9 #; <' +( 9 #; <' #L,F; :IYL' 8( 9 :,H :IY6L rads a 8 de la agu*a de los minutos5 8min 9 #; <' +m 9 #; <' #F,GI :IYF' 8min9 :,M :IY6F rads

F.6 &n disco de aquellos llamados [!\ de los a4os ]GI y ]MI del siglo ;I gira a razón de FF,FF vueltas por minuto. a' Determina la velocidad angular del disco en el 1 de unidadesV

 b:' O%uál es el movimiento de un punto 3 situado a ; cm del e*e de rotaciónQV  b;' Ocuál es su velocidad angular 83QV bF' O%uál es su velocidad lineal 03QV c' as mismas preguntas que en b para un punto ^ situado a :I cm del e*e de rotación. *oluci6n a' a velocidad angular 8 viene expresada, en el 1 de unidades, en rads. En el curso de una vuelta, el ángulo _ vale ;< rad. uego5 8 9 #FF,FF X ;<'  GI 9 F,H ⇒ ⇒ 8 9 F,H rads  b:' El disco está en rotación, todos los puntos del mismo describen unos círculos alrededor del centro del disco. El movimiento es, por consiguiente, circular. %omo la velocidad angular 8 es constante en el curso de la rotación, el movimiento de 3 es circular uniforme #el radio de la trayectoria es ; cm'.  b;' a velocidad angular 83 es la del sólido en rotación, luego la del disco5 83 9 F,H rads.  bF' 03 9 3 X 83. 3 es la distancia del punto 3 al centro del disco. 3 está expresada en metros,  y vale ;? :IY6; m.  03 9 ; ?:IY6; X F,H  039 M ?:IY6; ms. c:' 0"ase b:'. $%&, con un radio de la trayectoria de :I cm. c;' a velocidad angular. 8^ 9 83 9 8 9 F,H rads. cF' 0^ 9 ^ X 8^, con ^ 9 :I cm ^9 :IY6: m.  0^ 9 :IY6: X F,H 9 I,FHV  0^ 9 I,FH ms y 0^ ` 03. 03.

L.6 L.6 a velo veloci cida dad d angul ngular ar de un moto motorr que que gira gira a JII rpm rpm desci escien ende de uniformemente (asta FII rpm efectuando HI revoluciones. Aallar5  a' a aceleración angularV

 b' El tiempo necesario para realizar las HI revoluciones. *oluci6n !rimero, al igual que antes, expresamos las velocidades y revoluciones en rads  y radianes respectivamente 8I 9 JII  ;< GI 9 FI< 8 9 FII  ;< GI 9 :I< rads ϕ  9 HI  ;< 9 :II< rad

a' De la tercera de las ecuaciones H podemos obtener la aceleración angular 8; 9 8I ;  ;  # ϕ   ϕ I'  9 8;  8I ; ; # ϕ   ϕ I'  U sustituyendo  9 #:I<';  #FI<'; ;  :II< 9:II<;  JII<; ;II< 9KII<; ;II< 9 L< 9 :;.HG rads ;  b' %on la aceleración ya podemos (allar el tiempo empleado en dar esas revoluciones. De la segunda de las ecuaciones H. 8 9 8I   t t 9 8  8I  t 9 :I<  FI< L< 9 ;I< L< 9Hs

H.6i un cuerpo recorre una circunferencia de H m de radio con la velocidad constante de :I vueltas por minuto, Ocuál es el valor del periodo, la frecuencia, la velocidad lineal, la velocidad angular y la aceleración normalQ

*oluci6n 8 9 :I  ;< GI 9;I< GI 9 < F rads El periodo + 9 ;< 8 9 ;< < F 9 G< < 9Gs @recuencia f 9 : + 9 8 ;< 9 < F ;< 9 < G< 9 : G 9 I.:G I.:G Az a velocidad lineal es  v 9 8?   9 < F  H 9 H< F 9 H.;FH ms  U la aceleración normal a 9 8;   9 #< F' ˄ ;?H 9 H<; J 9 H.LKF ms ;

0$2 La fgura 25 representa, en un instante dado, la aceleración total de una partícula que se mueve en sentido horario en un círculo de 2.50 m de radio. En este instante de tiempo, encuentre

v 30

a

a$ la aceleración aceleración centrípeta, %$ la velocidad de la partícula, &, c$ su aceleración tangencial. 2

a=15.0 m/s

olución a aceleración total, a, está dada por a 9 a+  ac, donde a+ y ac son las componentes rectangulares de la aceleración total, por lo tanto, la magnitud de la aceleración centrípeta es5 a) AC = a cos 30º

ac= (15.0m / s 2 )(cos 30º ) AC = 13.0m / s

2

Debido a que el movimiento movimiento es circular uniforme, podemos usar la ecuación ac V=

ac∗ R √ ac

V = !"3 .0 m # s

2$

!2 .50 m$

V= 5.70m / s

 b' a aceleración total se relaciona con las aceleraciones tangencial y centrípeta por medio de la ecuación. aTOT 9 aTAN  aCEN 

Ecuación vectorial que nos indica que las celebraciones tangencial y  centrípeta son las componentes rectangulares de la aceleración total, de tal modo que su módulo es obtenido a partir del teorema de !itágoras, o sea, a; 9 #a);  #a); ##a ) 2 9#a'; 6#a '; at=

!"5m # s2$2   !"3m # s2$2 2

at =7.48m / s

t 

M.6 %alcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a HI cm de su e*e est"n sometidos a una aceleración que sea HII veces la de la gravedad.

' (

2

'

"

 0eamos los datos5 ecesitamos que la aceleración centrípeta sea igual a 500 g:  Ac=500*g  Ac=500*10m/s2  Ac=5000m/s2 La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser:  Ac=w2*r  5000m/s2=w2*0.5m )2= (5000m/s2 /0.5m )2=10000 s2 ) =100 s

 A!ora calculamos la "recuencia (# a partir de

8 9;< ? @ @9);* +"00s#2* +"00s#5.2- "5.2s -./ na na rued rueda a de 2 m de radi radio o tiene iene una acel aceler erac ació ión n angu angula larr constante constante de 0.5 rad#s2. En un cierto cierto instante instante ∆t 1s, gira un ngulo ∆θ  = 120 rad . etermine el tiempo que ha%ía estado en movimiento antes del intervalo. !4uponga que parte del reposo$. 4olución

e%ido a que nos dan intervalos de tiempo & de posición angular tra% tra%a aam amos os con con tiem tiempo pos s inic inicia iall & fnal fnal,, igua iguall que que con con posi posicio cione nes s angulares fnal. θ" θ0 6 ω0t" 67αt2 θ2 θ0 6 ω0t2 67αt2

e donde se o%tiene θ1 = ½αt1 y θ2 = ½αt2 debido a qe !a reda "arte de! re"oso y s"o#emos qe "arte de! ori$e# a t=0.tambie# sabemos ∆θ = θ2 % θ1. ∆θ 7α!t22 8 t" $ ∆θ 7α!t2 8 t"$!t2 6 t"$

9ero de este :ltimo resultado conocemos que ∆θ  "20 rad & !t 2 8 t"$  1 s, ósea

la ecuación queda como t26t""20, misma que ;orma un sistema de ecuaciones t2/t"1 t2 6 t"  "20  t2 8 t"  1 La solución es t"5-s< t2=2 La rueda estuvo 5- segundos en movimiento antes del intervalo. ./ El disco > que aparece en la fgura 2-, arranca desde el reposo gracias a un motor & comien?a a girar con una aceleración angular de 2 rad#s2. etermine la velocidad & la aceleración angular del disco @ un instante despuAs de que > ha recorrido "0 (ev. (ev.

2 m

1.5

Solución

Encontrar la velocidad angular de ^ en este intervalo de tiempo. ω 3 ; 9 ωI3 ;  ; α 3 θ 3 

θ "0rev !2 rad#"rev$=.2-rad

)= √ 2 α ϴ ) = 2(2(ad#s2$!=2.-rad$ ) "5.- rad Belocidad del disco @. B)C( B%"5.-rad !2m$ B%3".=m#s. Belocidad angular de @. B)C( )aC ra)%Cr% )%)aCra#r%

)!"5.-rad#s$!2m$#".5m )2".0Drad

>celeración angular del disco %. >C( aC (a%Cr% % aCra#r% %!2rad#s2$!2m$#!".5m$ %2.=D rad#s2 "0./Fierta polea gira 0 (ev en "5 s, su rapide? angular al fn del periodo es de "0 rev#s. a$ GFul era la rapide? angular de la polea al iniciarse el intervalo de "5 s, suponiendo una aceleración angular constanteH %$ GquA tiempo de%ió transcurrir desde que la polea esta%a en reposo hasta el principio del intervalo de los "5s en re;erenciaH 4olución a$ Fomo la aceleración angular permanece constante podemos aplicar la ecuación siguiente para calcular la rapide? angular al iniciar el intervalo de "5s. ∆θ=()6)0#2$  ∆τ 90=(10+ )0#2$"5

"2"06 )0 )02rev#s

%$ El tiempo previo al inicio del intervalo de los "5s podemos calcularlo calculando primero la aceleración angular, & posteriormente el tiempo. )  )06t "026!"5$ -"5  -#"5rev#s2 0.533rev#s2

Fon la misma ecuación podemos hacer el clculo del tiempo previo al intervalo de los "5s. )  )06t 206!-#"5$t  I3.D5segundos

""./un estudiante une a una pelota el eJtremo de una cuerda de 0.=00m de largo & luego la %alancea en un círculo vertical. La velocidad de la pelota es 1.30m#s en el punto ms alto & =.50 m#s en el punto ms %ao. etermine su aceleracion enK a$ punto alto %$ punto %ao 4olución B2vo262ad 6.50

2

   4.30

2

62a !*r$

El valor esta dado 2*r#2*r >tan=.3m#s2 La aceleracion en el punto ms alto es 2

>c 4.3

#0.=30.-2m#s2

  punto ms %ao es 2

>c 6.5

#0.=D0.12m#s2

a$ 9or lo tanto la aceleracion total en el punto ms alto es atan + ac √ atan

2

>ctotalalto

6.3 + 30.82 √ 6.3 2

>ctotal

2

>ctotal3".1=m#s2 %$ En el punto %ao total esK atan + ac √ atan

2

>ctotal%ao

6.3 + 70.42 √ 6.3 2

>ctotal

>ctotalD0.Dm#s2

2

+,$2 &n sat"lite de FII Ng. de masa se encuentra en una órbita circular alrededor

de la tierra a una altitud igual al radio medio de la tierra #0"ase tierra #0"ase el e*emplo G.G'. Encuentre5 a' a rapidez orbital del sat"lite  b' El periodo de su revolución c' a fuerza gravitacional que act7a sobre elQ Datos5 E 9 radio de la tierra 9 G,FM ? :IG metros. ( 9 a distancia entre el sat"lite y la superficie de la tierra, en este problema es igual a E=H>

*oluci6n

 @U 9 m a como el sat"lite se mantiene en órbita circular alrededor de la tierra. a fuerza de la gravedad (ará las veces de fuerza centrípeta.

Crdenando la ecuación

m?g9m?a De lo anterior se deduce que5

e cancela la masa m y r

 pero5 r 9; E eemplazando r 9; E

$ultiplicamos por E

Crdenando la ecuación

!ero5 eemplazando g #gravedad' en la ecuación, tenemos5

 0 9 HHKG,KH mseg.

 b' El periodo de su revolución #sat"lite' revolución #sat"lite' !ara calcular el periodo, sabemos que la rapidez promedio de una órbita circular del sat"lite es5

Despe*amos el periodo

+ 9 ;FK,MJ minutos c' a fuerza gravitacional que act7a sobre elQ

!ero5 r 9; E

!ero5

eemplazando la gravedad en la ecuación anterior tenemos5

@ 9 MFH e2ton

:F.6 $ientras dos astronautas del 3polo estaban en la superficie de la una, un tercer astronauta daba vueltas a su alrededor. uponga que la órbita es circular  y se encuentra a :II Nm sobre la superficie de la luna. i la masa y el radio radio de la luna son M,L x :I;; Ng :,M x :IG m, respectivamente, determine5 a' a aceleración del astronauta en órbita.  b' u rapidez orbital c' El periodo de la órbita. #atos7 Datos5 E 9 radio de la luna 9 :,M x :IG metros. ( 9 a distancia entre el sat"lite y la superficie de la tierra. A 9 :II Nm 9 I, : / :IG m r 9 E  ( 9 :, M x :IG m  I,: / :IG m

r 8 +93 : +50 m

olución  @U 9 m a como el astronauta se mantiene en orbita circular alrededor de la luna. a fuerza de la gravedad (ará las veces de fuerza centrípeta. m 9 masa del astronauta $ 9 masa de la luna 9 M,L x :I;; Ng  9 G,GM x :I 6:: r 9 :,K x :IG m  @U 9 m a

Crdenando la ecuación anterior

%ancelando m #masa del astronauta' a ambos lados de la ecuación

a 9 :,H; mseg;  b' u rapidez orbital

Despe*amos la velocidad #rapidez'  0; 9 a ? r

 v 8 +0/.953 m;se<$ c' El periodo de la órbita.

#es!ejando el !eriodo en la ecuaci6n

T 8 03-19.1 se
 9 a+   9 : rads; 8 ;.H 9 8 I   t  8 ;.H 9 ;.H h #:' #;.H' 9I  B ;.H 9 B I  8 I t   t ; ;  B ;.H 9 H.GF  #;.H' #;.H'  #6:' #;.H'; ;  B ;.H 9 K.MH rad 9 HI:.HJ !or lo tanto a t 9 ;,Hs la partícula está en ^ #;mV :L:.HJ', entonces5  a+ 9 ; #cos H:.HJ i  sen H:.HJ *'  a+ 9 :.;L i  :.HG * a ;.Hs 9 a+ a 9 a+ a ;.Hs 9 :.;L i  :.HG *  I a ;.Hs 9 :.;L i :.HG * ms; c' Debido a que la aceleración angular es constante y al tiempo ;.HF s llega al reposo, al tiempo Hs estaría de nuevo pasando por el punto 3 con la misma rapidez y en dirección contraria, por lo tanto la velocidad a t9Hs sería5  vH 9 hF i h L * ms.  d' 3 t 9 I y a t 9 Hs, la aceleración tangencial es5  a+ 9 ; #h cos HF.:F i h sen HF.:F *'  a+ 9 h :.; i h :.G * ms; . :H.6 i la posición angular de una partícula que describe una trayectoria circular de radio :.; m, en sentido contrario al avance de las manecillas del relo*, viene dada por la función B t 9 <;  t  t;, donde B está en rad y t en s. Determine5 a' la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo  b' el vector aceleración a cuando t 9F s. olución a' De acuerdo con la ecuación dada se tiene que5  B I 9 <; rad, 8 I 9 : rad  s y  9 ; rad  s; , !or lo tanto, 8t98It 8t9:;t  b' BF 9 <;  FJ 9 :F.HM rad 9 MMM.J MMM.J a+ 9  9 #;' #:.;' 9 ;.L ms;

a+ Fs 9 #;,L' #hsen HM.J i  cos HM.J*' a+ Fs 9 #h;.IF i  :.;M*' ms; 8 Fs 9 :; #F' 9 M rads a Fs 9 8 Fs ;  9 #M'; #:.;' 9 HK.K ms; a Fs 9 HK.K #hcos HM.J i h sen HM.J*' a Fs 9 hF:.; i h sen LJ.K*' ms; aFs 9 a+ Fs  a Fs aFs 9 hFF.;F i h LK.HF* ms; E)ERCICIO* #E O"CION MULTI"LE=G> MULTI"LE =G> "./na %icicleta con ruedas de D5 cm de dimetro viaa a una velocidad de "2 m#s. GFul es la velocidad angular de las ruedas de esta %icicletaH a$ - rad#s %$ "= rad#s c$ 32 rad#s d$ =1 rad#s

C&%1j a velocidad tangencial de una partícula está dada por v 9 ω, por lo tanto ω 9 v 9 ;vD ω 9 ;#:;'I.MH ω 9 F; rads

Res!uesta7 c

;.6 n cuerpo que se encuentra en estado de reposo comien?a a girar con aceleración constante, e;ectuando 3=00 rev durante los primeros 2 minutos. Falcular el valor de la aceleración angular del cuerpo. a$ π rad#s2 %$ 2 rad#s2 c$ 0.3π rad#s2 d$ " rad#s2

*oluci6n

!odemos aplicar la ecuación ∆θ 9 ωIt  k αt; 2

FGIIrev;*rad:rev9I:; ( 120 ) M;II*9M;II 9*

Res!uesta7 a -$2 Desde el mismo punto de una trayectoria circular parten ; móviles, en sentido opuesto, con rapidez constante. &no de ellos recorre la circunferencia en ; (oras y el otro traza un arco de G en : minuto. O%uánto tiempo tardarán en encontrarseQ a$ 10 minutos

%$ =0 minutos c$ 20 mi minutos d$ "0 minutos

*oluci6n SALIDA

t=0

ENCUENTRO

t = T

>l indicar en el enunciado cuanto tiempo se demora una de l as partículas en dar una vuelta, & cuanto tiempo se demora la otra en recorrer un pequeMo ngulo, nos est indicando cuanto es la rapide? angular de cada partícula, o sea )2∆θ/τ=2*/7200=*/3600rad/s )2∆θ/τ=(180/60)= */1800 rad/s 4i una de las partículas recorre θ rad, la otra recorre 2 π / θ rad. 9lanteando las ecuaciones para el movimiento circular uni;orme, para am%as partículas, tendríamos ∆θ 9 ωt

#:'θ 9 #π:KII't #;';π 6 θ 9 #πFGII't eemplazamos la ecuación #:' en la ecuación #;' ;π 6 #π:KII't 9 #πFGII't ;π 9 #πFGII't  # π:KII't ;π 9 #π:;II't t 9 ;LII s 9 LI minutos Res!uesta7 a 4.- n volante gira =0 (9N en un instante inicial, al ca%o de 5s posee una velocidad

angular de 3D.=- rad#s.

O%uántas vueltas dio el volante en ese tiempoQ uponga que el movimiento es uniformemente  variado. a$ "0.5 %$ "2.5 c$ "5.5 d$ "D.5 4olución

vu vueltas vu vueltas vueltas vu vueltas

Debido a que la respuesta se presenta en vueltas #o en revoluciones' de*aremos los datos dados expresados en revs. GIrevmin?:minGIseg9:revs FM.GKrads?:rev;π rad 9G revs

 3l ser constante la aceleración angular, podemos podemos aplicar la ecuación ∆θ=()+)/2)τ ∆θ=(16/2)∗5 ∆θ=17.5 rev

espuesta5 d

H.6 i un cuerpo que está atado atado al extremo extremo de una cuerda y gira con $%&. $%&. En cierto momento se corta la cuerda. e puede afirmar que 1. 11. 111. 111.

El cuer cuerpo po sigu siguee con con movi movimi mien ento to rect rectiilín líneo uni uniform formee a fuer fuerza za neta eta sobr sobree el cuer cuerpo po es cero cero igue igue en en una una traye trayector ctoria ia tang tangenc encial ial y con con una una acele acelerac ración ión igual igual a la aceleración centrípeta=M> Es #son' verdadera #s'5 a'  b' c' d' e'

olo 1 olo 11 olo 11 111 1 y 11 11 y 111

G.6&na partícula posee $.%.&. i el radio de giro se duplica y el periodo se cuadruplica, entonces se afirma que la rapidez tangencial de la partícula se5  3' Duplica ^' %uadruplica %' !ermanece constante D' e reduce a la mitad E' e reduce a la cuarta parte.

M.6 %onsidere una partícula que gira con $.%.&. en la periferia de un disco. De la partícula se cumple siempre que5  3' a rapidez es variable y la aceleración es constante.

^' a velocidad tangencial es variable y la aceleración es no nula. %' +anto la velocidad como la aceleración son constantes. D' a rapidez es constante y la aceleración es nula. E' +anto la rapidez como la aceleración son constantes. K.6%on relación a la aceleración centrípeta de una partícula que posee $%&, podemos asegurar que5  3' iempre está dirigida (acia el centro de la curva y es paralela a la velocidad. ^' iempre está dirigida (acia el centro de la curva y es perpendicular a la  velocidad tangencial. c' e mide en unidades =ms>. d' as tres 7ltimas alternativas son verdaderas.

J.6a figura muestra una partícula de masa $ que se mueve con $.%.&. y dos  vectores, : y ;, asociados a la partícula. En la figura es posible afirmar que dic(os vectores tiene un valor de5  3' rV ; π r f ^' ; π r fV L π ; r f; %' 0;  rV L π ; r f; D' L π ; r f;V ; π ; r f; E' L π ; r  + ;V ; π r  + :I.6O%uál#es' de las siguientes proposiciones es #son' verdadera#s'Q 1.6 a aceleración centrípeta de una partícula que posee $.%.&. es constante. 11.6 i una partícula posee $.%.&. entonces su velocidad instantánea y su aceleración centrípeta son siempre perpendiculares. 111.6 Dos partículas 3 y ^ se mueven con igual rapidez angular describiendo circunferenci circunferencias as conc"ntrica conc"ntricass de distinto distinto radio. Entonces posee una aceleración aceleración centrípeta de mayor módulo la partícula que describe la circunferencia de mayor radio.  3' ólo 1 y 11 ^' ólo 1 y 111 %' ólo 11 y 111 D' 1, 11 y 111 E' +odas son incorrectas. ::.6o ::.6obre bre un disco se marcan marcan dos punto punto 3 y ^, de radios radios r3 9 ; =cm> y r^ 9 H =cm>. 3l girar el disco con $.%.&., la rapidez angular de 3 comparada con la rapidez angular de ^ es5

 3' El doble ^' El quíntuplo  %' a mitad D' a misma E' inguna de las respuestas anteriores.

:;.6Rue el periodo de una partícula que posee $ovimiento %ircunferencial &niforme, sea de ; segundos, quiere decir que la partícula5  3' Da una vuelta completa en I,H segundos ^' Da media vuelta en dos segundos  %' Da :L de vuelta en I, ;H segundos D' Da π ; vuelta en I,H segundos E' inguna de las respuestas anteriores. :F.6 &na matraca gira con un movimiento uniforme alrededor de un e*e que pasa por el punto C. como se muestra en la figura. Efect7a dos revoluciones por segundo. !ara los puntos 3 y ^ de la barra, situados a las distancias ra9I.;m y  rb 9I.Fm del e*e de rotación, calcula las siguientes magnitudes #considera'5pi9F.:L a. El periodo de revolución #+9I,H #s''  b. a rapidez tangencial de cada uno #0a9I,K< =ms> 0b9 :,;<=ms>'  3. #+9I,M #''V #0a9I,K< =$> 0b9 J,;<=$>' J,;<=$>' ^. #+9I,H #''V #0a9I,K< =$> 0b9 :,;<=$>' %. #+9I,L #''V #0a9I,H< =$> 0b9 :,;<=$>' D. #+9I,F #''V #0a9I,G< =$> 0b9 :,;<=$>' :L.6 Determinar la rapidez tangencial del punto ^ del disco representado en la figura, sabiendo que5 ra es tres veces veces rb y la rapidez circunferencial en el punto  3 es de :; =cms>.  3.;cms ^.Fcms %.Lcms D.Hcms

:H.6a figura muestra dos discos 3 y ^ de giran con $%& mediante una polea. i los radios respectivos son ; =cm> y G =cm>, y la rapidez lineal de 3 es ; =cms>, entonces determine5 a' O%uál es la rapidez lineal de ^Q  b' OEn qu" razón están las frecuencias de estos discosQ a. #F =cms>' V#;5F 9 f^ 5 f3'  b.#; =cms>' V#:5: 9 f^ 5 f3' c.#; =cms>' V#:5F 9 f^ 5 f3' d.#H =cms>' V#M5F 9 f^ 5 f3'

eferencias =:>

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C. eon, eon, [E*e [E*erci rcicio cioss de movimi movimient entoo circu circular lar con soluci solución, ón,\\ pdf , ;I:H.

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