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Essai de flambage
I- Notions Notion s générales généra les sur RDM : L a résistance des matériaux (R.D.M), outil de l’ingénieur et du technicien, est âgée de 300 ans, Galilée, oo!e, "ernoulli, #oulom$, %imochen!o en &urent les 'res &ondateurs. #’est une science eune com'arée aux mathémati*ues mathémati*ues *ui ont 'lus de 3000 ans. L’éta$lissement d’un 'roet de construction de machine doit tenir com'te des 'aramtres sui+ants Résistance -écurité &&ets %hermi*ues #orrosion /sure rottement
a$rication 1rix ia$ilité 1oids "ruits sthéti*ue
orme ncom$rement Raideur (&lexi$ilité) #ontr2le Dureté tats de sur&ace
Lu$ri&ication (graissage) ntretien (maintenance) olume
La 'rise en com'te de ces 'aramtres contri$ue 4 la *ualité de la machine. 1our sa 'art la résistance des matériaux traite la résistance, la sécurité, les e&&ets e&&ets thermi*ues, les usures, la raideur ou &lexi$ilité. Dans le cadre de cet ou+rage nous nous limiterons aux trois o$ecti&s 5
choix choix du matéri matériaux aux et conna connaissa issance nce de ces ces caracté caractéris risti*u ti*ues es mécani mécani*ue *ues. s.
5
tud tudee de de la la ré résist sistan ance ce..
5
tud tudee de de la la dé& dé&or orm matio ation. n.
1. Notion de poutre : Les résultats éta$lis éta$lis dans la suite de de ce cours sont +ala$les, a+ec une $onne a''roximation, 'our des solides a6ants la &orme de 'outre. Définition Définition : /ne 'outre est un solide long 'ar ra''ort aux dimensions des sections droites.
Les sections droites 'lanes et 'er'endiculaires 4 la ligne mo6enne doi+ent rester constantes ou ne +arier *ue 'rogressi+ement (lentement et de &a7on continue) conti nue) entre 8 et ". Le lieu des centres de gra+ité (8,9.,G,9.") des sections droites (- 8,9., -,9. - ",) est a''elé la ligne mo6enne. :ous nous limiterons aux 'outre droites. Les é*uations et résultats éta$lis 'arla suite donnent des résultats 'récis si la longueur L de la ligne mo6enne est su'érieure 4 ;0 &ois la 'lus grande dimension trans+ersale D. #es é*uations donnent les résultats 4 30< 'rés si les 'ro'ortions sont de l’ordre de = et >.
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Exemples :
2. Hypothèses fondamentales : Les matériaux sont homognes et isotro'es. Les sections 'lanes et 'er'endiculaires 4 la ligne mo6enne a+ant dé&ormation restent 'lantes en 'er'endiculaires 4 la ligne mo6enne a'rs dé&ormation. ?n su''ose *u’il n’6 a 'as de gauchissement des sections. ?n se 'lace touours dans le cas de 'etites dé&ormations. 8utrement dit les dé&ormations restent &ai$les com'arati+ement aux dimensions de la 'outre. Remarques : /n cor's est homogne lors*ue tous les cristaux et tous les atomes de matires sont identi*ues (m@me constitution, m@me structure). M@mes caractéristi*ues mécani*ue dans toutes les directions. Le $ois n’est 'as un matériau isotro'e, en e&&et il est 'lus résistant dans le sens des &i$res *ue dans le sens 'er'endiculaire aux &i$res. Les métaux 'eu+ent @tre su''osés homognes et isotro'e, l’ex'érience montre *ue l’écart entre le modle et la réalité est &ai$le. L’étude des solides homognes et isotro'es n’a6ant 'as la &orme d’une 'outre est du domaine de la théorie de l’élasticité.
II- Introdution : #onsidéreront une tige métalli*ue de longueur l , ses deux extrémités étant assurées de se maintenir sur la m@me ligne droite 'endant la dé&ormation (&ig.;) soumettons5la 4 une com'ression longitudinale P . -i cette charge est 'lus &ai$le *u’une certaine grandeur P c a''elée charge critique, l’é*uili$re est dit sta$le A une légre dé&ormation trans+ersale 'roduite 'ar l’action d’une &orce Q agissant latéralement dis'araBt lors*ue la &orce est su''rimée. 8u dessus de cette charge criti*ue P C P c , la &orme droite de+ient insta$le et il su&&it d’une trs légre &orce latérale 'our 'roduire une déformations transversale *ui ne disparaît pas lorsque la force latérale Q est supprimée. #ette charge criti*ue 'eut @tre calculée 4 l’aide des é*uations sim'li&iées de la &lexion ;
M
R EI
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%
III- Définition : Le &lam$age est un 'hénomne *ui 'résente de grandes analogies a+ec le 'récédent. ?n a''elle en e&&et flambage E (&lam$ement, +oilement) la dé&ormation &inie *ui a''araBt et se 'oursuit s'ontanément dans une tige, une 'la*ue ou une structure a+ant *ue la limite de ru'ture de solide *ui les constitue ne soit atteinte. #e &ait ne 'eut d’ailleurs sur+enir *ue 'our les cor's dont l’une au moins des dimensions est 'etite 'ar ra''ort aux autres. Fl a lieu dans le cas o, sous un s6stme d’e&&orts extérieurs constants, toute augmentation de la dé&ormation dans le sens initial 'roduit un accroissement de la tension. Le s6stme est alors en désé*uili$re et des dé&ormations se 'oursui+ent s'ontanément et indé&iniment. Fl est aussi di&&icile de com'rimer un &il de &er dans le sens de sa longueur en le gardant en ligne droite *ue de &aire tenir en é*uili$re un c2ne sur sa 'ointe. 1ar extension, en nomme aussi &lam$age le 'hénomne *ui se 'roduit lors*ue les dé&ormations sous charges axiales accom'agnés au non de sollicitation trans+ersale sont elles *u Helles dé'assent les +aleurs admissi$les 'our le com'ortement d’un ou+rage, ou 'ro+ocant des contraintes dé'assant une limite ar$itrairement &ixée 'ar des conditions de sécurité.
I!- Dépendane de la fore riti"ue du mode de fle#ion de la $arre : Le 'ro$lme d’/LR se ra''orte au cas de la $arre articulée. #e cas est nommé &ondamental. Mais la 'ice 'eut @tre articulée, encastrée, encastrée et articulée, encastrée et li$re, etc9 4 ses extrémités. Fl est é+ident *ue le mode de &ixation de la $arre in&lue sur la +aleur de la &orce criti*ue. 1our cha*ue cas de la &ixation, il est nécessaire de &aire sa 'ro're solution, analogi*uement 4 celle *u’en a e&&ectué 'our le cas &ondamental. ?n donne ci5dessous 4 les résultats de tels calculs 'our trois cas de &ixation d’une $arre 5 Une barre encastrée : 1cr
=I Fmin LI
1 1cr
; = ;
5
Une barre avec une etrémité encastrée l!autre libre : 1cr
I Fmin
L
L K ; L = 1 1cr
=LI
L
5
Une barre avec une etrémité encastrée l!autre étant articulée : 1cr
I Fmin
1 1cr
0.=J LI
0.L 0.3L
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&ore riti"ue ! "r # 1i cr
1lateau de &orce
Pi
Remar*ue la contrainte criti*ue est donnée 'ar
cr
I.. Fm ini
- ! I
!- 'hénomène flam$ement : 1er as : !lambement lo"al lémént droit, de 'ro&ilé ou de tu$e, d’un matériau isotro'e de longueur réduite et soumis 4 une &orce de com'ression croissante. 8 'artir d’une certaine &orce les 'arois de l’éléments se clo*uent ou se 'lissent l’élément s’écrase en accordéon.
2e as : !lambement général M@me élément *ue le 'récédent mais de grande longueur et élancé. 8 'artir d’une certaine charge la &i$re mo6enne cesse d’@tre rectiligne. 1uis sous un e&&ort croissant la 'ice se 'lie en deux. 1
1
1 extrimité li$re
extrimité guidé et acticulée 0
L
L L0 articulati on
&ormule d()*+)R ('ices longues)
0
L
cr
L KL 0
encastrement
I.. Fm ini
- ! I
() Module d’élasticité longitudinal ( K; x ;0 = :NmmI) (F mini) Le moment d’inertie minimum de la section aux limites (-! ) -! O.L (L) La longueur de la $arre (O) #oe&&icient numéri*ue dé'endant des conditions aux limites et des modes de chargement de la $arre.
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!I- 'artie e#primentale : 1- lan d(essai :
Dis'ositi& de changement
0
"arre soumse 4 la com'ression
Génération de la &orce (0) 0léche
Mamométre
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2. )tude de l(influene du type de liaison :
a/ 0ype -1- : Pi Qmm 0 0.> ; ;.> K K.> 3 3.> = =.> > >.> S S.>
1i Q: 0 K>> =J> 3> JS> ;K0> ;=S0 ;;0 ;J0> K0K> K0T> K0JJ K0JJ K0JJ
; 0
x
L
;
L S>0 mm
- ! 0,>.L
$/ 0ype -2- : Pi Qmm 0 0.> ; ;.> K K.> 3 3.> = =.> > >.> S S.>
1i Q: 0 ;KJ K>0 30 =J0 S;0 =0 TS> JS0 ;0K0 ;0>0 ;0S0 ;0S0 ;0S0
L
0
x
;
L S>0 mm
- ! 0,.L
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/ 0ype -%- : Pi Qmm
1i Q:
0 0.> ; ;.> K K.> 3 3.> = =.> > >.> S S.>
0 ;0S K0 30T =0> >0S S;3 ; JT T=T T= TT0 TT0 TT0
0
x
L
L >00 mm
- ! L
Détermination de la fore riti"ue &r et r
cr
0cr -
cr
FU F6
y
I.. Fm in - ! I
K0.=
5 24 mm
3
;0S,SSmmI
KSSS,SSmmI
;K
m m ,
K0 3.= ;K
F6 C FU donc en 'rend FU Fmini %6'e ; %6'e K %6'e 3
Vcr (th) Q:NmI KS.;S3 ;3.3=T S.>=
Vcr (1) Q:NmI K> ;3.K> S.SK>
cr (th) Q: K0J3.0> ;0S.TT TT=.3;
cr (1) Q: K0JJ ;0S0 TT0
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/ 0ype -%- : 1i f (xi) 8i 9mm; 'i 9N;
4 4
4. 14
1 243
1. %46
2 ,4
2. 4
% 1%
%. 313
, 376
,. 6,6
63,
. 664
N 4 6 6
<
m 6 1
1m < 4. mm
664
. 664
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)tude de l(influene de la fore latérale cr
1i
I.. Fm in - ! I
#Q: r (th) r (')
>: TT=.3; TJ
;0 : TT=.3; TJ
;> : TT=.3; TJ
K0 : TT=.3; TJ
LNK
x x LNK
Disutions des résultats : n
o$ser+e 4 'artir des cour$es *ui 'assent 'ar l’origine une augmentation de la &orce criti*ue 'rogresse 'lus et de+ient constant 1i f (xi). n o$ser+e *ue cr de t6'e; C cr de t6'eK C cr de t6'e3 'arce *ue il 6 a une di&&érence de l’encastrement et l’articulation. n remar*ue dans l’étude de l’in&luence de la &orce x latérale le changement des masses ne em'ointé 'as la &orce criti*ue et en remar*ue 7a dans le %1 (manomtre) donc la &orce latérale >: et ;0: , ;>: et K0: 'res*ue la m@me donc la &orce latérale et constante donc tout les cas de 'oint (>:, ;0:, ;>:, K0:). ?n o$ser+e *ue la contrainte criti*ue V cr de t6'e; C V cr de t6'eK C V cr de t6'e3.
REMARQUE
Cette pièce qui nous avons utilisée dans ce TP a perdu ces caractéristiques mécaniques parce que elle a été passé dans plusieurs TP auparavant, c’est pour cela les résultats pratiques sont venus un petit peu défirent au résultats théoriques.
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Ce TP nous a permis de mieux connaître l’essai de flambage et le fonctionnement de la force P i en fonction x i. Ce TP permet d’avoir l’augmentation de la force critique jusqu'à que la force ne progresse plus et devient pratiquement constante et en observe ça dans les courbe tpe!" tpe#" tpe$ qui passe par l’origine jusqu'à la force critique et en remarque aussi d’apr%s les r&sultats pratique qu’il a une variation de la force critique entre tpe! et tpe# et tpe$" et aussi la variation des contraintes critiques" et en conclu aussi que n’importe quelle pi%ce soit verticale ou ori(ontal et carg&e avec une masse et en applique une force Pi" la force critique ne cange pas.
