\ue004 \ue00d \ue011 \ue00e \ue012 \ue013 \ue00f \ue010 \ue004 \ue00d \ue011 \ue00e \ue012 \ue013 \ue00f \ue010 \ue004 \ue00d \ue011 \ue00e \ue012 \ue013 \ue00f \ue010 \ue001 \ue000 \ue001 \ue000 \ue001 \ue000
edad del perro x = 6 (x - 40) 48 = x
Edad de perro: 48 \u2013 40 = 8 a\u00f1os \ue00a \ue00b \ue009 \ue003 \ue00c \ue009 \ue003 \ue006 \\ue007 ue00a \\ue006 ue00b \\ue008 ue009 \\ue002 ue003 \ue007 \\ue00c ue006 \ue008 \ue002 \\ue00b ue00c \ue00c \\ue008 ue009 \ue003 \\ue00c ue00b \ue006 \ue00b \ue009 \ue003 \ue007 \ue006 \ue002 \ue00c \ue009 \ue003 \ue00b \ue006 \ue00a \ue006 \ue005 \ue002 \ue005 \ue006 \ue006 \\ue00c ue005 \ue002 \ue005 \ue006 \\ue005 ue00c \ue002 \ue005 \ue006 \ue00cPetu \u00f1 a: \u00bfDentro de cu\u00e1ntos a\u00f1 \ue006
edad de mi padre ser\u00e1 el triple de la de mi perro? I n d i cad o r : I n o cen t e: Para saber, hay que Ident ifica procesos cognitivos usados en plantear una ecuaci\u00f3n, ayud\u00e1ndon el razonamiento y la demostraci\u00f3n, de un cuadro, para ordenar y entender usando el algoritmo correspondiente paramejor los datos y lo que nos piden. resolver problemas sobre edades (problemas de la vida cot idiana) .
D I \u00c1LOGO I LUSTRATI VO
Tiene Padre Perro
48 8
Dent ro de \u201cn\u201d a\u00f1os 48 + n 8+ n
48 + n = 3( 8 + n) 12 = n Petu \u00f1 a: Me sorprendes, pero t\u00fa no me has dichos, \u00bfCu\u00e1l es tu edad? I n o cen t e: \u00a1 Aver \u00edgualo! Petu \u00f1 a: \u00bfDe qu\u00e9 manera? I n o cen t e: Yo tengo el cu\u00e1druple de la edad que tu padre ten\u00eda, cuando yo I n o c e n t e : \u00bfCu \u00e1 n t o s a \u00f1 o s tiete n en\u00eda m i fu t u r o2 a\u00f1os su e g ro ? Petu \u00f1 a: Deber\u00e9 plantear: Ten\u00eda Tiene Pe tu \u00f1 a: \u201cx\u201d a\u00f1os en \u00edoass? Tienes I n o c e n t e : \u00bfCu\u00e1nt os a\u00f1os tuvo hace 3Ta \u00f1 M i p a d r e y 48 Pe tu \u00f1 a: 3 a\u00f1os menos, o sea x \u2013 3 I n o c e n t e : \u00bfCu\u00e1ntos a\u00f1oTu s tendr\u00e1 3 2 dent ro de4y a\u00f1os? Pe tu \u00f1 a : 3 a\u00f1os m\u00e1s, o sea x + 3 Po r el m \u00e9to d o d e l asp a I n o c e n t e : \u00bfCu\u00e1nt os a\u00f1os tendr \u00e1 si hubiese nacido 20 a\u00f1os antes? y 48 = 50 Pe tu \u00f1 a: 20 a\u00f1os m\u00e1s, o sea x + 2 + ? I n o c e n t e : \u00bfCu\u00e1l es la edad de tu perro 2 Pe tu \u00f1 a: Naci\u00f3 40 a\u00f1os despu\u00e9s 4 qyue=m5i ypadre I n o c e n t e : Quier es decir que es menor que tu padr e en 40 a\u00f1os, o sea que tiene x \u2013 40 5y = 50 ye= 10 Pe tu \u00f1 a : Perd\u00f3name quer ido, reci\u00e9n m acuerdo que la edad de mi padre es 6 veces la edad de mi perro. I n o c e n t e : Tendr\u00e9 que plant ear: \ u e 0 0 0 T\u00fa tiene 4 (10) = 40 a\u00f1os - 54 -
I n o c e n t e : \u00bfQu\u00e9 es el m\u00e9todo del aspa? Pe tu \u00f1 a : Te explico con el siguiente ej emplo. III. Si una persona todav\u00eda no cumple a\u00f1os, luego: Ej emplo: A\u00f1o de nacimiento + Edad actual = A\u00f1o actual - 1
\u201cYo tengo 25 a\u00f1os y t\u00fa tienes 40 a\u00f1os y hace 4 a\u00f1os ten\u00edamos 21 y 36 a\u00f1os\u201d b) Cuando intervienen las edades de 2 o m\u00e1s sujetos
Yo
Hace 4 Hoy a\u00f1os 21 25 = 6 1
T\u00fa36
40 = 6 1
En estas situaciones se recomienda la ut ilizaci\u00f3n de cuadros para facilitar la ubicaci\u00f3n de los datos en sus respect ivos tiempos.
La suma de las diagonales, resulta lo mismo, adem\u00e1s 36 40 \u2013 21 25 15 = 15
Hace 4 a\u00f1os
Yo La diferencia de las edades de dos suj et os en cualquier tiempo resulta lo mismo. Tu
Pa sa d o 1
Pr e se n te 5
4
8
Dent ro de 7 a\u00f1os Fu tu r o 12 15
OJO: Co m o o b se rv a s e l te m a d e e d a d e s El 6 10 17 est\u00e1 rel a c io n a d o n e ta m en te co n el p l a n teo d e ec u a ci o n es, p e ro d e b i d o a la g r a n v a ried a d d e p r o b lem a s y m \u00e9 to d o s p r \u00e1 c tico s d e reso l u c i\u00f3 n , lo h a ce m o s en Luego del cuadro ant er ior obtenemos las u n a c\u00e1 p ite a p a r te. Es ev id e n t e q u e lo m \u00e1 s im p o r ta n te en el tema es el tiemsig p o uientes conclusiones: (p a sa d o , p r esen te y fu t u r o ) y d e sd e 1) 1 + 8 = 4 + 5 \ u 0 0 f 3 5 + 15 = 8 + 1 2 lu e g o h a y q u e sa b e r in t er p r e t a r la s si g u ien tes ex p r esio n es : La suma en aspa de los valores sim\u00e9tricos resulta lo mismo. Yo Tu El
Pa sa d o Pr e se n te Fu tu r o Ten\u00edT a engo Tendr\u00e9 tuve Tenga Ten\u00edT aisenes Tendr\u00e1s Tuviste Tengas Ten\u00edT aiene Tiene Tuvo Tenga
Ob se rv a c i \u00f3 n : Se aplicar \u00e1 el m\u00e9todo d aspa, en caso de que al llenar el cuadro de edades con las condiciones del problema, nos faltase ot ra condici\u00f3n final para plantear la ecuaci\u00f3n necesar ia. \
Ca so s: a) Cuando interviene la edad de un sujeto
-3
+3
e 0 0 1 Pili tiene 48 a\u00f1os, su edad edad que ten\u00eda Mili, cuando Pili ten\u00eda la edad que ahora tiene Mili \u00bfQu\u00e9 edad tie Mili?
u
a) 24 a\u00f1os d) 4 0
b) 3 0 e) 36
hace 3 a\u00f1oshoy dent ro de 3 a\u00f1os Ten\u00edTaiene Ten\u00eda 13tengo:16 tendr\u00e1 19 Pili Cuando x doble 48 +3 -3 Mili 24 x II. Si una persona ya cumpli\u00f3 a\u00f1os, luego, I.
Se deduce
A\u00f1o de nacimiento + Edad actual = A\u00f1o actual
\ u e 0 0 0
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Rp ta:
E
c) 26
nos Ahora queda aplicar el m\u00e9todo del aspa x + x = 24 + 48 2x = 72 x = 36
P P oob blle eem ma aass IIllu usssttrra aattiivvo oss Prrro
Yo nac\u00ed en19eab l a\u00f1 y en 1o980 tuve \u201ca + b\u201d \u00bfen qu\u00e9 a\u00f1 a\u00f1os? 1. A Pirulin se le pregunta por su edad, responde: \u201cSi resta a la edad que tendr\u00e9 b) 2038 c) 1999 dent ro de 10 a\u00f1os, la edad que tuvae) 2052 20\u201d 00 e) 2006 hace 10 a\u00f1os, obtendr\u00e1 mi ed d)ad \u00bfCu\u00e1nt os a\u00f1os tiene Pirulin? Re so lu ci\u00f3 n: a) 5 a\u00f1os b) 10 c) 20 Considerar : d) 40 e) 6 3.
Re so lu ci\u00f3 n: Hace 10 Edad a\u00f1os X \ u 2 0 1 3 10X
A\u00f1o de nacimiento + Edad actual = A\u00f1o actual
Dent ro de 10 a\u00f1os X + 10
Seg\u00fan enunciado: (x + 10) \u2013 ( x - 10) = x x + 10 \ u 2 0 1 3 x + 10 = x 20 = x Rp ta: C
+ a + b = 1980 1900 + ab + a + b = 1980 19 ab
10 a + b + a + b = 80 11a + 2b = 80 (tanteando) a= 6b= 7
Nac\u00ed en 1967 y cumplir\u00 62 + 72 = 85 a\u00f1os en:
\ u e 0 0 2
1r96 7 + 85 = 2052 2. Si al cu\u00e1druple de la edad que tend \u00e9 dent ro de 8 a\u00f1os, le restamos el doble Rp ta: A de la edad que ten\u00eda hace 5 a\u00f1os, resultar\u00eda 19 a\u00f1os m\u00e1s el triple de mi edad \u00bfQu\u00e9 edad tengo? 4. Si al a\u00f1o en que tuve 20 a\u00f1os, le restamos el a\u00f1o en que cumpl\u00ed 8 a a) 18 a\u00f1osb) 31 c) 23 obtendr\u00e1s la tercera parte de mi edad d) 41 e) 16 \u00bfCu\u00e1nt os a\u00f1os tengo? Re so lu ci\u00f3 n: Hace 5 a\u00f1oY so tengo X \ u 2 0 1 3 5X
a) 24 a\u00f1osb) 28 d) 8 e) 36
Dent ro de 8 a\u00f1os X+ 8
c) 20
Re so lu ci\u00f3 n: A\u00f1o de A\u00f1o eA n \u00f1o en que
Seg\u00fan enunciado: nacimiento q ue cumpl\u00ed 8 4 (x + 8) \u2013 2 (x - 5) = 19 + 3x tuve 20 4x + 32 \u2013 2x + 10 = 19 + 3x N N + 20 N+ 8 23 = x Seg\u00fan enunciado: Rp ta: C mi edad (N + 20) \u2013 (N + 8) = 3
36 = Mi edad
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Rp ta: E 4. Hace5 años las edades de Popis y Ángel estaban en la relación de 9 a 1, actualment e la relación es de 5 a 1. ¿Dentro de cuántos años la relación será de 2 a 1? 1. La suma de las edades de “A” y “B” a) 24 b) 30 c) 35 es 84 años y “B” tiene 8 años menos d) 20 e) 27 que “A” . Hallar ambas edades Reso lu ció n : a) 40 y 44 años b) 42 y 46 c) 42 y 46 d) 46 y 38 e) N.A. Reso lu ció n :
2. La suma de las edades de 3 personas “A” , “B” y “C” es 88 años. La mayor 5. tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Calcular la edad menor. a) 11años b) 33 c) 16 d) 22 e) N.A. Reso lu ció n :
3. Adolfo le dice a Enrique “dent ro de 15 años, nuestras edades estarán en6. la relación de 4 a 3, pero hace 10 años mi edad era el triple de la tuya” ¿Qué edad tiene Enrique? a) 30 años b) 15 años c) 27 años d) 28 años e) 32 años Reso lu ció n :
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La edad actual de Sebast ián y la de Joanna son entre sí como 9 es a 8. Cuando Joanna tenga la edad que tiene ahora Sebast ián, este tendrá el doble de la edad que tenía Joanna hace 18 años. ¿Cuánt os años tenía Sebast ián cuando nació Joanna? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 10 Reso lu ció n :
Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX tendrá “a” años en el año “a2” ¿Cuánt os años tenía dicha persona en 1995? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 14 Reso lu ció n :
6.
Un pr of esor nació 19 en yaben 1980 tuvo (a + b) años. ¿En qué año llegó a tener (2a + b) años? a) 1998 b) 1978 d) 1990 e) 1997
c) 1996
1. Dent ro de 20 años Pedro tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 7. María le dice a Janina “La suma de nuestras edades es 46 años y tu años ¿Qué edad tendrá dent ro de 2 edad es el triple de la edad que años? tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuvist e cuando yo nací”. a) 40 años b) 42 c) 43 ¿Qué edad tiene Janina? d) 44 e) 45 2.
3.
4.
5.
a) 21 años b) 24 años c) 26 años Si al cuádruplo de la edad que tendré d) 18 años e) 48 años dent ro de 10 años, le restamos el triple de la edad que tenía hace 5 8. Yo tengo la edad que tú tendrás años, resulta el doble de mi edad cuando yo tenga el triple de la edad actual ¿Qué edad tenía hace 5 años? que tú tuvist e, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si a) 40 años b) 50 c) 52 hace 5 años nuestras edades d) 55 e) 60 sumaban 35 años ¿Cuánt os años Él le dice a ella: “Yo tengo el triple de tengo? la edad que tú tenías cuando yo tenía a) 24 b) 29 c) 26 la edad que tu tienes” ¿Cuántos años d) 28 e) 20 tienen ambos si sus edades suman 50 años? 9. Joanna dice: “El año pasado fue un año bisiesto, en el cual mi edad fue a) 30 y 20 años b) 15 y 20 tanto como las dos últimas cifras del c) 30 y 16 d) 25 y 13 año de mi nacimiento” y Sebast ián e) 28 y 14 contesta: “el próximo año mi edad también será las dos últimas cifras John tiene 24 años; su edad es el del año de mi nacimiento” ¿Cuánt os séxt uplo de la edad que tenía Betty años tenía Sebast ián cuando la edad cuando John tenía la tercera parte de de uno era el doble de la del ot ro? la edad que tiene Betty ¿Qué edad tiene Betty? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 19 años b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 10. Cuando yo tenga el doble de la edad que tenía, cuando tú tenías la cuarta Una persona nació 19enab y en el parte de la edad que tendrás, 19 ab tenía (a + b) años ¿En qué año nuestras edades sumarán 40 años cumplió a (b) años? ¿Qué edad tengo, si la suma de nuestras edades es un número a) 1968 b) 1965 c) 1966 cuadrado perfecto? d) 1967 e) 1969 a) 21 años b) 31 años c) 12 años d) 11 años e) 22 años - 58 -
1.
¿En qué grupo le toca jugar a Perú en la Copa América 2007? a) Grupo A b) Grupo B c) Grupo C
2.
¿A qué selecciones enfrentará Perú en la primera ronda de la Copa América 2007? a) Ven. / EE.UU./ Uru. b) Chile / México / Ven. c) Uru./ Ven. / Bolivia
3.
¿En qué ciudades de Venezuela jugará Perú la Copa América? a) Maracaibo / Marinas b) Caracas / Pto. Ordaz c) Mérida / San Cristobal
4.
¿En qué años ganó Perú la Copa América? a) 1970 / 1982 b) 1939/1975
c) 1975/1978
Ord en a la s le tr as seg ú n la s lín eas y en co n tr ar á el n o m b r e d e la ci u d ad d o n d e se ju g ar o n lo s Ju eg o s Ol ím p ico s 2 0 0 4
A
T
N
A
S
E
“Al morir tengo la certeza de descansar en paz, pues siempre actué en el camino correcto de la ciencia y la matemática”. Diofanto “La escalera de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números”. Blavatski
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