Razonamiento Razonamiento Matemático 11 Manuel Cajahuanca L.
Juan
dos o más personas.
Procedimiento: A)
Personas:
A las cuales corresponden las edades con las que se trabajan, reconocer cuantas son las personas que intervienen. B) Términ Términos: os: Esta es una de las
caract caracterí erísti sticas cas más import important antes, es, puesto que la acción del problema se desarrolla en tiempos diferentes ellos son: Tiempo pasado:Tenía, tuve, hace, ….etc. Tiempo presente: Tengo, tienes, actualmente, etc. Tiempo futuro: Tendrás, dentro de, etc. C)
Y o T u
Pasad o
Present e
Futur o
x
z
p
y
w
q
Se cumple que, la diferencia de edad edades es entr entre e dos dos pers person onas as es constante en cualquier tiempo. x
y
z
w
p
q
−=−=−
* Planteo General: Año
nac imiento+Eda d ad actu al=A ño actual
Condi ondici cion ones es;;
Son determinadas relaciones entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un dete determ rmin inad ado o tiem tiempo po o entr entre e tiempos diferentes. TIPOS DE PROBLEMAS TIPO I:
Cuando interviene la edad de una sola persona. Hace Hace 10 años ños
Dent Dentro ro 10 años ños
Pasado asado Present resente e Futuro E − 10 E E+10 TIPO II Cuando intervienen las edades de
1. Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad aumentado en 8 años tendría 16 años. ¿Qué edad tengo? a) 10 b) 11 c) 14 d) 12 e) 13 Resolución: Sea “x” años mi edad, entonces 3x − ( x + 8 ) = 16 3x − x − 8 = 16 Rpta. x= 12 años
2.
Cot Cotos tendr endrá á den dentro tro de 9
Razonamiento Matemático 12 Manuel Cajahuanca L.
Juan
años el triple de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Cotos? a) 10 años b) 16 años c) 30 años d) 15 años e) 17 años
Luego: Elías=30 años Aurora=3(30)=90 años Rpta. ⇒ 30 + 90 =
Resolución: Sea “x” la edad actual de Cotos
4. Si Giancarlo tiene 3 años más que Ibethe si el duplo de la edad de Ibethe menos los 5/6 de la edad de Ibethe da 20 años. ¿Qué edad tiene Ibethe? a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
Coto s
Hac e7 años
Ahor a
Dentr o de 9 años
x–7
x
x+9
x + 9 = 3( x − 7 ) x + 9 = 3x − 21 Rpta. x= 15 años
3. La edad de Aurora es el triple de la edad de Elías, pero hace 20 años era el cuádruplo, la suma de sus edades es: a) 160 b) 120 c) 100 d) 110 e) 140 Resolución: Hace10 años Auror 3x-20 a Elías x-20 3x − 10 = 4 ( x − 10 ) 3x − 10 = 4x − 40 x = 30años
120años
Resolución: Sean las edades. Giancarlo = ( x + 3 ) Ibethe = x 5 2( x + 3 ) − x = 20 6 12( x + 3 ) − 5x = 20 6 Rpta. x= 12años
5. Carlos nació en el año 19ab y en el año 19ba tenia (a+b) años. ¿En
Ahora 3x x
que
años? a) 1954 d) 1995
año
cumplió
b) 1956 e) N.A
( a× b)
c) 1965
Resolución: Año nacim ien to+Edad actu al= Año actu al
Razonamiento Matemático 13 Juan Manuel Cajahuanca L. d) 14 e) 15 19ab + ( a + b ) = 19ba Resolución: 1900 + 10a + b + a = 1900 + 10b + a 4 10a = 8b ⇒ a = 4 Raúl=”x” años, Juan= ( x ) 5 b= 5 Present Nació: 1945, edad: 4 × 5 = 20años Pasado Luego: 1945+20=1965 Cumplió en el año: 1965
Rpta.
6. En 1920 la edad de José era 4 veces la edad de María en 1928 la edad de José fue el doble de la edad de Maria ¿Cuál fue la edad de José en 1930? a) 19años b) 27años c) 26años d) 30años e) 30años Resolución:
Raúl
José 4x Marí x a 4x + 8 = 2( x + 8 )
4 ( x) 5
Juan
4 ( x) 5
=
J uan =
4x+8
Observación:
4x + 8 = 2x + 16 2x = 8 de donde: x = 4 José en 1928 tiene 4(4)+8=24 años. En 1930 tendrá Rpta. 26años
7. La edad de Juan es 4/5 de la edad de Raúl, si hace 3 años, los 3/4 de la edad de Raúl era igual a la edad de Juan ¿Cuántos años tiene actualmente Juan? a) 10 b) 12 c) 13
4 ( x) 5
4 ( 15 ) = 12 5 Rpta.
1928
x+8
−3
Del enunciado. 3 4 ( x − 3) = ( x ) − 3 4 5 3x − 9 4x − 15 = 4 5 15x − 45 = 16x − 60 x = 15años → Raul J uan =
1920
x-3
e 4x+8
12años
Tenemos 3 personas A, B y C. Dentr Hace Ahor o de 5 a 10 años años A 5 10 20 B 15 20 30 C 25 30 40 Se verifica lo siguiente: La diferencia de edades entre dos personas en cualquier tiempo es la misma, se mantiene constante. Ejemplo:
Razonamiento Matemático 14 Manuel Cajahuanca L. 15 − 5 = 20 − 10 = 30 − 20 = cte 25 − 5 = 30 − 10 = 40 − 20 = cte También considerar las sumas cruzadas. 5 + 20 = 15 + 10 10 + 40 = 30 + 20 5 + 30 = 25 + 10
8. John tiene 24 años esta edad es el doble de la que tenia Pedro cuando John tenia la misma edad que tiene Pedro ¿Qué edad tiene Pedro? a) 17años b) 19años c) 16años d) 18años e) 15años Resolución: Tenia
Ahora
Juan
Tu
10 y x + y = 10 + 28 − y x + 2y = 38.........(1)
2x
28 − y + 2x = 2y + y 28 + 2x = 4y 14 + x = 2y.........(2) X=12, y=13
Tengo: 28-13=
15años
Rpta.
10.Lucy tiene 24 años, su edad es el séxtuplo que tenía Mary cuando Lucy tenía la tercera parte de la edad que tiene Mary. ¿Qué edad tiene Mary? a) 22años b) 30años c) 21años d) 51años e) 40años
9. Cuando tú tenías 10 años, yo tenía la mitad de la edad que tú tendrías cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes, si nuestras edades suman 28 años. ¿Qué edad tengo?
Resolución: Sea “x” la edad de Mary. Pasad Present o e x Lucy 24 3 Mary 4 x Luego: x − 4 = 24 − x 3 x + x = 28 3 4x = 28 × 3 Rpta. x=
Resolución: Tenia s Yo x
11.Carlos tiene la edad que Mario tenía cuando Carlos tenía la mitad de la edad que Carlos tiene, si ambos edades suman
John x Pedr 12 o x + x = 12 + 24 2x = 36 Rpta. x=
24 x
18años
Ahora 28-y
Teng a 2y
21
Razonamiento Matemático 15 Manuel Cajahuanca L. ahora 70 años. Hallar la edad de Carlos. a) 30años b) 20años c) 40años d) 50años e) 10años Resolución: Sea “x” la edad de Carlos Tenia Carlo s Mario
Juan
d) 19años e) 14años Resolución: Pasad o M y L
x
Present e 2x
Futur o 2x+y
y
y+6
Tiene
y
x
x
2y
Luego: y − x = x − 2y 3y = 2x 2 y = x..........(1) 3 Pero: x + 2y = 70..........(2) (1) En (2) x + 2y = 70 2 x + 2 x = 70 ÷ 3 4 x + x = 70 3 7x = 70 × 3 Rpta. x= 30
12.Luís le pregunta a Mario sobre las edades que tienen, entonces Mario le responde, tengo el doble de la edad que tu tenias cuando yo tenia la edad que tu tienes. Cual es la edad actual de Mario sabiendo que dentro de 6 años sus edades sumaran 68 años. a) 20años b) 32años c) 15años
Por diferencia de edades. y − x = 2x − y ⇒ 2y = 3x 3 y = x..........(1) 2 ( 2x + 6 ) + ( y + 6 ) = 68 2x + y = 56............(2) (1) En (2) 3 2x + x = 56 2 7x = 56 × 2 ⇒ x = 16 Edad actual de Mario: 2x 2(16) ⇒ Rpta. 32años
13. Perla tiene la edad que Rosa tenia cuando Perla la mitad de la edad que Rosa tiene, si ambas edades suman hoy 70 años. Que edad tiene Rosa. a) 10años b) 15años c) 20años d) 30años e) 16años Resolución: Sea “y” la edad de Rosa. Pasad Present o e Perla y x Rosa x 2y Por diferencia de edades.
Razonamiento Matemático 16 Manuel Cajahuanca L. y − x = x − 2y y − 3x = x − y 3y = 2x 11 y 2 + y = 4x y = x.........(1)
3 x + 2y = 70...........(2) (1) En (2) luego tenemos: 2 x + 2 x = 70 ÷ 3 7x = 70 × 3 x = 30 La edad de Rosa es: (y) 2 2 y = ( x ) = ( 30 ) = 20 3 3 Rpta. y= 20años
Juan
11
12y = 44x ⇒ y =
44 x 12
11 x..........(1) 3 x − y = 80 − 4x − 4x 9x − y = 80...........(2) (1) En (2) 9x − y = 80 11 9x − x = 80 3 16x = 240 Rpta. x= y=
15años
14. Un discípulo le dice a su maestro, cuando tú tenias el triple de la edad que yo tengo yo tenía la onceava parte de la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas el cuádruple de la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 80 años. ¿Qué edad tiene el discípulo? a) 10años b)
20años
c) 13años
d) 18años e) 16años Resolución: Sea “x” la edad del discípulo. Pasad Present Futur o e o y D x 80-4x 11 M 3x y 4x Por diferencia de edades.
15.Un padre tiene “a” años, su hijo “b” años hace cuantos años su edad del padre fué el triple de la edad de su hijo. 3b − a a) b) b c) a 2 a 3b + a d) e) 2 2 Resolución: Pasado Present (hace “x” e años) (actual) Padr a-x a e Hijo b-x b a − x = 3( b − x ) a − x = 3b − 3x
Razonamiento Matemático 17 Manuel Cajahuanca L. x=
3b − a años 2
Rpta.
d) 30
Juan e) n.a.
5 Las edades de 2 personas
1 Mi hijo es ahora 3 veces más
joven que yo. Pero hace 5 años era 4 veces más joven. ¿Cuántos años tiene mi hijo? a) 20 b) 15 c) 25 d) 10 e) n.a. 2 Tomis tiene el doble de la
edad de Jorge y dentro de 8 años tendrá la mitad más que los años que tiene ahora. Hallar la edad de Tomis a) 31 b) 30 c) 32 d) 34 e) 35 3 Sandrá tendrá dentro de 9
años el triple de la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Sandra? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) n.a. 4 Beatriz le dice a Nancy “Yo
tengo 3 veces la edad que tú tenías cundo yo tenía la edad que tu tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 70 años. Hallar la edad de Nancy a) 18 b) 20 c) 21
suman 63 años. Si la edad del menor es el triple de la diferencia de las edades. ¿Cuál es la edad del menor? a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) n.a. 6 Un abuelo dice tener 65 y 99
años, si cada uno de los hijos del abuelo dice tener tantos hijos como hermanos o hermanas. Hallar la edad del abuelo sabiendo que es igual a la suma del número de hijos y de nietos. a) 82 b) 83 c) 81 d) 93 e) n.a. 7 En el año 1954 una persona
dice: “Yo tengo tantos años como lo indican las 2 ultimas cifras del año de mi nacimiento. ¿Cuántos años tiene la persona? a) 27 b) 26 c) 25 d) 21 e) n.a. 8 Las edades de un padre y un
hijo viene representado por dos números que tienen las mismas cifras, pero en orden inverso, si hace 1 año el padre tenía el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el hijo ahora? a) 35 b) 37 c) 32 d) 33 e) n.a. 9 Roxana tiene la misma edad
Razonamiento Matemático 18 Manuel Cajahuanca L. que Joel tenía cuando Roxana tenía la tercera parte de la edad que Joel tiene, si Roxana tiene 18 años más de los que Joel tiene. ¿Cuántos años tendrá Roxana dentro de 5 años? a) 58 b) 57 c) 59 d) 53 e) n.a. 10 Si un hombre tuviese 27
años, el tiempo que hubiera permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiera permanecido despierto si es que tuviese 27 años más si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias. ¿Cuántos años lleva durmiendo? a) 20 b) 12 c) 21 d) 15 e) n.a. 11 Walter tiene 5 años menos
que el doble de la edad de Ketty y las 2 edades suman más de 35 años. Si “x” es el número de años de Walter, se tiene que: a) x − ( 2x + 5 ) 35 b) x + ( 2x − 5 ) 35 c) ( 2x − 5 )
− 35x d) x + ( 2x + 5 ) 35
e) n.a. 12
La edad de una persona cuando se le quita uno es el múltiplo de 2 cuando se le quita 6 es múltiplo de 7 cuando se le agrega 1 es múltiplo de 10. ¿Cuántos años tiene? a) 39 b) 46 c) 69 d) 76 e) 89
Juan
13 Lucia tiene su primer hijo a
los 18 años. Si actualmente su edad es el doble de la de su hijo. ¿Cuál es la suma de sus edades? a) 39 b) 54 c) 60 d) 65 e) 78 14 A Giovanna le preguntan su
edad. Ella responde: Tomen 3 veces los años que tendré dentro de 3 años, réstenles 3 veces los años y resultará exactamente los años que tengo. ¿Cuál es la edad de Giovanna? a) 16 b) 12 c) 18 d) 24 e) 21 15 La edad de Marcial es el
doble que la edad de Irene y hace 15 años la edad de Marcial era el triple de la edad de Irene. ¿Cuántos años tiene Irene? a) 30 b) 10 c) 20 d) 50 e) n.a. 16 La edad de Maria es le triple
de la edad de la de Paula y dentro de 20 años será el doble. Hallar la edad de María. a) 10 b) 60 c) 20 d) 50 e) n.a. 17 Hace 12 años, la edad de
Carmen era el doble de la de Ana y dentro de 12 años la edad de Isabel será 68 años menos que el triple de la de Ana. Hallar la edad de Ana.
Razonamiento Matemático 19 Manuel Cajahuanca L. a) 25 d) 19
b) 32 e) n.a.
c) 15
18 La edad de Gloria es el triple
de la de Nelly y la de Nelly es 5 veces de la de Diana. Nelly tiene 12 años más que Diana. ¿Qué edad tiene Nelly? a) 15 b) 13 c) 16 d) 19 e) 20 19 Dentro de 5 años la edad de
Elena será el triple de la de Aurora y 15 años después, la edad de Elena será el duplo de la Aurora. Hallar la edad de Elena. a) 20 b) 40 c) 15 d) 50 e) n.a. 20 Hace 5 años la edad de un
padre era 3 veces la de su hijo. Dentro de 5 años será el doble. ¿Qué edad tiene el padre? a) 28 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 21 Al dividir mi edad entre tu
edad el cociente es uno y el resto 16. Si divido el quíntuplo de tu edad entre el doble de la mía el cociente sigue siendo el mismo, pero el resto es 12 más que en la primera división. La diferencia de nuestras edades es: a) 16 b) 12 c) 18 d) 19 e) 10 22 La edad de Ana es 70 años
menos que la edad de Bertha, si ambas tuvieron 10 años menos
Juan
cada una, entonces la edad de “B” seria el doble de la “A”. Si Ana y Bertha son los nombres de dos tortugas. ¿Qué edad tiene Ana? a) 80 b) 54 c) 70 d) 38 e) 45 1 23 La edad de Luís es de la 3 edad de Irma. Hace 10 años su edad era nueve veces la que ella tenía. ¿Cuál es la edad de Luís? a) 50 b) 54 c) 58 d) 52 e) 55 24 Hace ( p − q ) años la edad de
Pepe era “p” veces la edad de Morís. Dentro de ( p + q ) años la edad de Pepe será “q” veces la edad de Morís.¿Que edad tiene Morís? 2
a) c)
p
+ q2
2pq p
2
+ q2 − 2p p− q
2
b)
p
+ q2
2pq d)
p2 + q2 − pq p− q p2 − q2 e) p + 2q 25 Dentro de 65 años tendré 6
veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tengo? a) 25 b) 26 c) 35 d) 15 e) 45
Razonamiento Matemático 20 Manuel Cajahuanca L. 26 Si en lugar de tener la edad
que tengo tuviese 20 años más, la edad que tendría dentro de 20 años sería el cuádruplo de la edad que tuve hace 20 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 60 c) 35 d) 40 e) 30 27 El exceso del triple de la edad
de Coco sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre su edad. ¿Cuál es la edad de Coco? a) 76 b) 38 c) 96 d) 120 e) 82 28 Fermín tiene ( 2a + b )
años
más que Carlos. Si cada uno tuviese “b” años más entonces la edad de Fermín sería el doble de la edad de Carlos. ¿Cuál es la edad de Carlos? a) 8a b) 5b c) 4ab d) 3a+2b e) n.a.
29 La edad de Marcos es 7 veces
la edad de Elvira, dentro de 1 año la edad de Marcos será el quíntuplo de la de Elvira. ¿Cuál es la edad de Marcos? a) 14 b) 32 c) 20 d) 18 e) 22 30 La edad de Julio es el triple de
la edad de Gloría, hace 10 años sus edad era 7 veces la edad que
Juan
tenía Gloría. ¿Qué edad tiene Gloría? a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) n.a. 31 María del Pilar dice: “dentro
de 8 años tendré el doble de lo que tenía hace 5 años”. Hallar la raíz cuadrada de la edad de María del Pilar aumentada en 7. A) 3 años B) 6 años C) 4 años D) 7 años E) 5 años 32 Un padre tiene 50 años y sus
hijos 8 y 12 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será la suma de las edades de sus hijos?. A) 30 años B) 28 años C) 34 años D) 38 años E) 32 años 33 Cuando se le pregunta la
edad a Ena Iris ella responde: “dentro de 8 años tendré los 4/3 de lo que tuve hace 2 años”. ¿Cuál es la edad de Ena Iris?. A) 30 años B) 32 años C) 26 años D) 34 años E) 28 años 34 Henry le dijo a Andrés: si le
restamos 63 años 1/3 al triple de la edad que tenía en 2001, obtendremos 1/2 más los 2/5 de mi edad. ¿En qué año nació Henry?. A) 1990 B) 1987 C) 1988 D) 1991 E) 1989 35
¿Cuántos
años tiene
una
Razonamiento Matemático 21 Manuel Cajahuanca L. persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 8 años suman 13?. A) 46 años B) 40 años C) 36 años D) 38 años E) 41 años 36 La relación de dos edades A y
B es de 3 a 2; la relación de B a otra C es de 2 a 7, si la suma de las tres edades es 108. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor. A) 36 B) 42 C) 45 D) 54 E) 84 37 Seis veces la edad que tendré
dentro de 5 años, menos seis veces la edad que tenía hace 5 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años falta para cumplir los 68 años?. A) 8 años B) 6 años C) 4 años D) 10 años E) 9 años 38 Yo tenía 12 años y dentro de
20 años tendré el doble de la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo?. A) 24 años B) 18 años C) 28 años D) 20 años E) 26 años 39
Las edades de Henry y Antonio están en relación de 2 a 3, si dentro de 8 años dicha razón será ¾. ¿Cuál será la suma de edades 12 años más?. A) 78 B) 80 C) 74 D) 76 E) 72
Juan
40 Henry nació en 19ab y en el
año 19ba cumplió (a+b) años. ¿En qué año cumplió 53 años? A) 1990 B) 1994 C) 1986 D) 1992 E) 1998 41 Un padre tiene 65 años y sus
hijos 12; 8 y 5 años respectivamente. ¿Cuántos años deberán de transcurrir para que la edad del padre sea igual al doble de la suma de las edades de sus hijos?. A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7 42 Hace 7 años la edad de un tío es 9 veces la de su sobrino; pero dentro de 8 años sólo será el triple. Calcular la suma de sus edades. A) 64 años B) 56 años C) 72 años D) 60 años E) 68 años 43
La edad de un padre y la de su hijo suman 94. Si el hijo nació cuando el padre tenía 32 años. ¿Cuántos años tiene el hijo?. A) 34 años B) 31 años C) 10 años D) 19 años E) 16 años
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
b
c
d
b
c
c
a
b
c
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
18.
c
b
c
b
c
a
b
b
a
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Razonamiento Matemático 22 Manuel Cajahuanca L. b
d
a
a
d
e
a
b
d
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
e
a
e
b
e
c
b
e
d
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
d
c
b
c
e
e
e
e
b
Juan
