QUINTA SEMANA
RAZ. MA MATEMÁTICO TEMÁTICO
OPERACIONES MATEMÁTICOS 01 Si a =a × a − 1 Halle el valor de “ M ”
A) 4
D)
B) a2 1
E) 8
n
C) a
E) a − 1
a
D) 7
a
a -1 × a −1 × a − 1
A) a
C) 6
04 Sabiendo Sabiendo que existe existenn xy números más de la forma a(a − 2)(b + 1)b( ) que de la forma (a + 3)b(b − 2)a . Hallar: “ n” máximo + “ n” mínimo. A) 56 B) 58 C) 60 D) 62
a M =
B) 5
E)
04 Hallar la suma suma de cifras de la raiz de:
{−1;0;1; −2} se define la 02 En A = {−1;0;1; operación ♥ mediante: -1 0 1 ♥ -2 -1
-2 -1 -1 0 1 -2 -2 -1 0 1 -2 -2 -1 -1 0 1 -2 -2 -1 -1 0 1 -2 -2 -1 -1 0 1
A) 18
Determine el valor de “ x” en: −1
−1
x ♥1
−1
♥ −2♥0
− 2 A) −2 D) 1
− 1 B) −1 E) 2
= (−1)−1
C) 0
03 Reconstruir
Dar como respuesta la suma de las cifras del divisor. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
CEPRE-UNA CEPRE-UN A 2014
D) 14
monedass en 3 grupos 06 Se tiene 48 moneda diferentes. Del primero pasan al segundo tantas monedas como hay en este, del segundo pasan al tercero tantas monedas como hay en este y luego del tercero pasan al primero
04 ¿Cual es la base del sistema de numeración en el que el número 0, 1664 en base base 10 está está repres represen entad tadoo por 0, 04047? CICLO ENERO-MARZO ENERO-MARZO
C) 12
E) 2
06 Dos hermanos heredan ovejas. Venden cada oveja a un número de soles igual al número de ovejas que tienen. tienen. La cantidad cantidad total se les paga en billetes de 10 soles y un resto en monedas de 1 sol que entre todos hacen menos de 10 soles. A la hora de hacer el reparto colocan el montón de billetes en una mesa y van tomando alternadamente un billete cada uno. Al acabar el hermano menor reclama por que el otro se llevó un billete de más, entonces para compensar el otro le da todas las monedas y un cheque. ¿Cual es el valor del cheque? A) S/. 4 B) S/. 2 C) S/. 5 D) S/. 8 E) S/. 3
a−1: elemento inverso
B) 10
1
QUINTA SEMANA A) S/. 4 D) S/. 8
tantas monedas como habían quedado en este. Si al final los tres grupos tienen el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía cada grupo inicialmente?
A) B) C) D) E)
RAZ. MATEMÁTICO
B) S/. 2 C) S/. 5 E) S/. 3
04 De la siguiente división inexacta de números enteros:
C P R R -
8, 28 y 12 22, 14 y 12 8, 16 y 24 20, 16 y 12 30, 12 y 18
A E E U R
P U R E E
R
P E U R U
R I N
Determinar:
04 Si el número (66666!)4 se escribe en base 7, terminará en cierta cantidad de ceros. Si dicha cantidad se expresa en base 7, hallar la suma de sus cifras en el sistema de numeración decimal. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
C + E + P + R + E + U + N + A
05 Hallar el número que continúa:
Nota.-
2 ; 3 ; 6 ; 15 ; 42 ; 123 ; 366 ; ...
A) 395 D) 985
B) 435 C) 565 E) 1095
A) 26 B) 30 C) 34 D) 35 E) 39
In fine .
*) El problema 1 y 2 corresponde a operadores. *) El problema 3 corresponde a numeración. *) El problema 4 corresponde a criptoaritmética.
06 Dos hermanos heredan ovejas. Venden cada oveja a un número de soles igual al número de ovejas que tienen. La cantidad total se les paga Atentamente, en billetes de 10 soles y un resto en monedas de 1 sol que entre todos ha- Oscar SANTANDER cen menos de 10 soles. A la hora de
[email protected] hacer el reparto colocan el montón Cel.951454462-969443780 de billetes en una mesa y van tomando alternadamente un billete cada uno. Al acabar el hermano menor reclama por que el otro se llevó un billete de más, entonces para compensar el otro le da todas las monedas y un cheque. ¿Cual es el valor del cheque? CICLO ENERO-MARZO
CEPRE-UNA 2014
2
QUINTA SEMANA 03
Solucionario
RAZ. MATEMÁTICO
RESOLUCIÓN:
N = (66666!)4 acabará en base 7,
01
en tantos ceros como lo indique el exponente de 7 contenido en N , ya que 107 = 7
RESOLUCIÓN:
Se tiene la regla de definición
Para hallar el exponente de un factor primo contenido en N , se divide N entre las potencias del factor primo, tomándose los valores enteros:
a = a × a − 1 a a − 1
=a
Luego,
66666 66666 66666 66666 66666 ]+[ ]+[ ]+[ ] + [ ] 7 49 343 2401 16807
M = [ a M =
9523
M = 11107
a -1 × a −1 × a − 1 a
M =
a -1
×
1 a -1
×
194
27
3
N = (66666!) 4 = (711107 × · · · )4
N acaba en 44428 ceros en base 7
1 a − 1
Luego, mediante divisiones sucesivas 44428 entre 7 resulta
a
44428 = 243346 7
1 × M = a − 1 a -1 M =
1360
Suma de cifras=2+4+3+3+4+6=22
a
Clave: C
a − 1
04
M = a
RESOLUCIÓN:
R = 1 10 − E = E
Clave: A
02
RESOLUCIÓN:
E = 5 y U = 3
(5 − 1) − U = 1 P = 4
Se tiene la regla de definición
U = 3 y
C = 6 N = 2
Luego, 13 + 68 + 100 = 181
Por lo tanto: C+E+P+R+E+U+N+A=6+5+4+1+5+3 =26
a@b = a 2 + b2
Los números que faltan son 13, 68 y 100
Por lo que se puede expresar
Clave: A
81 = 102@92 = 10@9 Clave: E
CICLO ENERO-MARZO
CEPRE-UNA 2014
A = 0
3
QUINTA SEMANA
RAZ. MATEMÁTICO
NUMERACIÓN 01 Si a =a × a − 1 Halle el valor de “ M ”
A) 4
D)
B) a2 1
E) 8
n
C) a
E) a − 1
a
D) 7
a
a -1 × a −1 × a − 1
A) a
C) 6
04 Sabiendo que existen xy números más de la forma a(a − 2)(b + 1)b( ) que de la forma (a + 3)b(b − 2)a . Hallar: “ n” máximo + “ n” mínimo. A) 56 B) 58 C) 60 D) 62
a M =
B) 5
E)
04 Hallar la suma de cifras de la raiz de:
02 En A = {−1;0;1; −2} se define la operación ♥ mediante: ♥ -2 -1 0 1
-2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1
A) 18
Determine el valor de “ x” en:
−1 ♥1 −1 ♥
x
−2♥0−1
A) −2 D) 1
B) −1 E) 2
= (−1)−1
C) 0
03 Reconstruir
Dar como respuesta la suma de las cifras del divisor. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
CEPRE-UNA 2014
D) 14
06 Se tiene 48 monedas en 3 grupos diferentes. Del primero pasan al segundo tantas monedas como hay en este, del segundo pasan al tercero tantas monedas como hay en este y luego del tercero pasan al primero
04 ¿Cual es la base del sistema de numeración en el que el número 0, 1664 en base 10 está representado por 0, 04047? CICLO ENERO-MARZO
C) 12
E) 2
06 Dos hermanos heredan ovejas. Venden cada oveja a un número de soles igual al número de ovejas que tienen. La cantidad total se les paga en billetes de 10 soles y un resto en monedas de 1 sol que entre todos hacen menos de 10 soles. A la hora de hacer el reparto colocan el montón de billetes en una mesa y van tomando alternadamente un billete cada uno. Al acabar el hermano menor reclama por que el otro se llevó un billete de más, entonces para compensar el otro le da todas las monedas y un cheque. ¿Cual es el valor del cheque? A) S/. 4 B) S/. 2 C) S/. 5 D) S/. 8 E) S/. 3
a−1 : elemento inverso
B) 10
4
QUINTA SEMANA A) S/. 4 D) S/. 8
tantas monedas como habían quedado en este. Si al final los tres grupos tienen el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía cada grupo inicialmente?
A) B) C) D) E)
RAZ. MATEMÁTICO
B) S/. 2 C) S/. 5 E) S/. 3
04 De la siguiente división inexacta de números enteros:
C P R R -
8, 28 y 12 22, 14 y 12 8, 16 y 24 20, 16 y 12 30, 12 y 18
A E E U R
P U R E E
R
P E U R U
R I N
Determinar:
04 Si el número (66666!)4 se escribe en base 7, terminará en cierta cantidad de ceros. Si dicha cantidad se expresa en base 7, hallar la suma de sus cifras en el sistema de numeración decimal. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
C + E + P + R + E + U + N + A
05 Hallar el número que continúa:
Nota.-
2 ; 3 ; 6 ; 15 ; 42 ; 123 ; 366 ; ...
A) 395 D) 985
B) 435 C) 565 E) 1095
A) 26 B) 30 C) 34 D) 35 E) 39
In fine .
*) El problema 1 y 2 corresponde a operadores. *) El problema 3 corresponde a numeración. *) El problema 4 corresponde a criptoaritmética.
06 Dos hermanos heredan ovejas. Venden cada oveja a un número de soles igual al número de ovejas que tienen. La cantidad total se les paga Atentamente, en billetes de 10 soles y un resto en monedas de 1 sol que entre todos ha- Oscar SANTANDER cen menos de 10 soles. A la hora de
[email protected] hacer el reparto colocan el montón Cel.951454462-969443780 de billetes en una mesa y van tomando alternadamente un billete cada uno. Al acabar el hermano menor reclama por que el otro se llevó un billete de más, entonces para compensar el otro le da todas las monedas y un cheque. ¿Cual es el valor del cheque? CICLO ENERO-MARZO
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5
QUINTA SEMANA 03
Solucionario
RAZ. MATEMÁTICO
RESOLUCIÓN:
N = (66666!)4 acabará en base 7,
01
en tantos ceros como lo indique el exponente de 7 contenido en N , ya que 107 = 7
RESOLUCIÓN:
Se tiene la regla de definición
Para hallar el exponente de un factor primo contenido en N , se divide N entre las potencias del factor primo, tomándose los valores enteros:
a = a × a − 1 a a − 1
=a
Luego,
66666 66666 66666 66666 66666 ]+[ ]+[ ]+[ ] + [ ] 7 49 343 2401 16807
M = [ a M =
9523
M = 11107
a -1 × a −1 × a − 1 a
M =
a -1
×
1 a -1
×
194
27
3
N = (66666!) 4 = (711107 × · · · )4
N acaba en 44428 ceros en base 7
1 a − 1
Luego, mediante divisiones sucesivas 44428 entre 7 resulta
a
44428 = 243346 7
1 × M = a − 1 a -1 M =
1360
Suma de cifras=2+4+3+3+4+6=22
a
Clave: C
a − 1
04
M = a
RESOLUCIÓN:
R = 1 10 − E = E
Clave: A
02
RESOLUCIÓN:
E = 5 y U = 3
(5 − 1) − U = 1 P = 4
Se tiene la regla de definición
U = 3 y
C = 6 N = 2
Luego, 13 + 68 + 100 = 181
Por lo tanto: C+E+P+R+E+U+N+A=6+5+4+1+5+3 =26
a@b = a 2 + b2
Los números que faltan son 13, 68 y 100
Por lo que se puede expresar
Clave: A
81 = 102@92 = 10@9 Clave: E
CICLO ENERO-MARZO
CEPRE-UNA 2014
A = 0
6
QUINTA SEMANA
RAZ. MATEMÁTICO
PROBLEMA DE EDADES 01 Si la edad de Yolanda está dada por el doble de la suma de valores de “ x”, aumentado en 2. Hallar la suma de las cifras de la edad de Yolanda. Sa= 0) biendo que x −7 +12 = 1, (x 2 x
A) B) C) D) E)
las edades que tendrán cuando la edad del mayor sea el doble de la edad del menor. Considere que sus edades actuales suman 21.
x
A) B) C) D) E)
16 7 8 6 18
A) B) C) D) E)
x x+1 x − 1
11 − x 11 + x
A) 1850 B) 1852 C) 1856 D) 1860 E) 1864
A) B) C) D) E)
04 La diferencia de los cuadradis de las edades de 2 personas es 189. Halle CEPRE-UNA 2014
24 y 12 18 y 9 26 y 13
42 años 24 años 40 años 36 años 12 años
06 La edad de Patty es el doble de la edad que Eduardo tenía hace 4 años. Si la edad actual de Eduardo y la que tendrá Patty dentro de 5 años suman 39 años. ¿Cuántos años tuvo Patty cuando Eduardo nació?
03 En 1920, la edad de Alex era el doble de la edad de Rubén, en 1928 la edad que tenga Alex será el triple de la edad que tenía Ruben en 1912.¿En qué año nació Alex?
CICLO ENERO-MARZO
15 y 8
05 Dentro de “ 2a” años tendré 3 veces más de los años que tuve hace “ a” años. Si los años que tuve, tengo y tendré suman 84 años. ¿Qué edad tengo?
02 La edad de Nora es un número de dos cifras que es igual a x veces la suma de las cifras. Al invertir el orden de las cifras de su edad, esta sería la suma de las cifras multiplicada por: A) B) C) D) E)
28 y 14
5 años 6 años 7 años 8 años 9 años
07 Dentro de 8 años la edad de Julio será la que Cesar tiene, dentro de 15 7
QUINTA SEMANA 4
10 Cuando transcurran x + 3y años a partir de hoy, tendré el triple de la edad que tenía hace x − y años. ¿Qué edad tenía hace 2x − 8 años?
años Julio tendrá de la edad que 5 entonces tendrá Cesar. ¿Cuál era la suma de las edades de Julio y Cesar, cuando Cesar tenía el doble de la edad de Julio? A) B) C) D) E)
A) B) C) D) E)
22 años 21 años 24 años 30 años 32 años
08 Cuando a Diana se le pregunta por la edad de su gato, respondió: “ Hace 4 meses tenía la cuarta parte de los meses que tendrá dentro de 8 meses ”.
¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el triple de los meses que tenía hace 3 meses? A) B) C) D) E)
5 meses 6 meses 7 meses 8 meses
11 En una reunión entre Ángel, Bruno y Carlos, se oye la siguiente conversación: Bruno Mi edad es la misma que tuvo Ángel cuando Carlos nació. Ángel Asi es, y en ese entonces nuestras edades sumaba 30 años. Carlos Mi edad actual es la misma que tuvo Bruno cuando yo nací.
A) B) C) D) E)
9 meses
44 años 42 años 33 años 46 años 40 años
12 La edad que tendrá Lulú dentro de 15 años y la edad que tenía hace x años están en una relación de 17 a 11, mientras que la que tendrá dentro de x años y la que tenía hace 10 años están en la relación de 3 a 2. Hallar x.
15 años 10 años 18 años 20 años
A) 1 año B) 2 años
22 años
CICLO ENERO-MARZO
8 años 9 años 6 años 5 años 10 años
¿Cuál será la edad que tendrá Ángel cuando carlos tenga la edad que tiene Bruno?
09 Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste, cuando yo tuve la dieciseisava parte de la edad que tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades sumarán 175. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 90 años? A) B) C) D) E)
RAZ. MATEMÁTICO
CEPRE-UNA 2014
8
QUINTA SEMANA C) 3 años D) 4 años E) 5 años
C) 42 años D) 83 años E) 32 años
16 Las edades actuales de dos jóvenes se encuentran en una relación de 3 a 4, pero hace n años estaban en la relación de 5 a 7 y dentro de 3n años sumarán 60 años. ¿Hace cuántos años una edad era una vez más que la otra?
13 Hace 5 años las edades de Luis y Jaime estaban en la relación de 9 a 1, actualmente la relación es de 5 a 1. ¿Dentro de cuántos años la relación será de 2 a 1? A) B) C) D) E)
24 años 30 años
A) B) C) D) E)
35 años 20 años 27 años
14 Hace tantos años, como la mitad de los años que tendré, tenía tantos años como los que deben pasar para tener los años que te dije que tendría. Si la suma de los años que tenía y tendré suman 70 años. ¿Cuántos años tengo? A) B) C) D) E)
36 años
A) B) C) D) E)
49 años 63 años 25 años
15 Lía tiene 3 sobrinos. Si hace 2 años la edad de Lía fue 38 de la suma de las edades que tenían sus sobrinos, y dentro de 5 años la edad de Lía será sólo 23 de la suma de las edades que tendrán en ese entonces sus sobrinos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de los cuatro?
20 años 21 años 22 años 23 años 24 años
18 Las edades de Luis y Arturo están en la relación de 7 a 5 respectivamente, dentro de m años estarán en la relación de 7 a 6 y hace n años estaban en la relación de 8 a 5. Calcule m − n, si se sabe que la edad que tendrá Luis dentro de m años excede a la edad que tenía Arturo hace n años en 64.
A) 27 años B) 85 años CEPRE-UNA 2014
8 años 10 años 12 años 17 años 14 años
17 Dentro de n años yo tendré el triple de la edad que él tenía hace n años. La edad que tú tienes es la semisuma de la edad que tendré con la edad que él tenía. Si hoy nuestras edades suman 72 años. ¿Cuántos años tendrá él dentro de 5 años si yo soy mayor que tú en 6 años?
42 años
CICLO ENERO-MARZO
RAZ. MATEMÁTICO
9
QUINTA SEMANA A) B) C) D) E)
21 Un padre, una madre y su hija estaban reunidos y ésta preguntó por la edad de su madre, y su padre le dijo: “ nuestras tres edades juntas suman
28 años 29 años 30 años 31 años 32 años
19 Las edades de 3 hermanos(niños) están representadas por números enteros positivos, tal que si a 100 veces la edad del 1◦ se le suma 10 veces la edad que tenía el 2◦ hace 4 años y luego se le añade la edad que tendrá el 3◦ dentro de 7 años, se obtendrá 953. Halle la edad que tendrá el menor cuando el mayor tenga tantas veces su edad actual como los años que el segundo aventaja al menor. A) B) C) D) E)
13 años 15 años 14 años 19 años
18 años
madre? A) B) C) D) E)
32 años 30 años 29 años 28 años 25 años
A) B) C) D) E)
20 años 35 años 36 años 40 años 47 años
23 Uno de tres amigos descubre lo siguiente con respecto a sus edades y dice: “ cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo tendrás lo que él tenía, cuando tenías la mitad de lo que tienes y yo tenía la octava parte de lo que él tiene, que es 30 años más de los que tendré cuando tengas lo que ya te dije que tendrías ”.
16 años 20 años 22 años 26 años
CICLO ENERO-MARZO
sesenta años. Como yo soy seis veces más viejo de lo que tú eres ahora, puede decirse que cuando sea el doble de viejo que tú, nuestras tres edades juntas serán el doble de lo que son ahora ”. ¿Qué edad tiene la
22 Tú tienes los 23 de la edad que él tenía cuando tú tenías la tercera parte de lo que tendrás cuando él tenga los 29 de lo que tuviste cuando él tuvo la tercera parte de la edad que tienes, que es 30 años. ¿Qué edad tendrá él dentro de 12 años?
11 años
20 Yo tengo dos veces más de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve una vez más de la edad que tuviste, cuando yo tuve tres veces veces menos de la edad que tengo. ¿Qué edad tendrás cuando yo tenga el doble de la edad que tuviste hace 5 años?. Si actualmente nuestras edades suman 34 años. A) B) C) D) E)
RAZ. MATEMÁTICO
CEPRE-UNA 2014
10
QUINTA SEMANA ¿Cuántos años tenías tú en el pasado mencionado? A) B) C) D) E)
10 años 20 años 40 años 60 años 80 años
24 Yo tengo doce veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía dos veces la edad que tuviste, cuando yo tuve un exceso de 10 años sobre tu edad actual, y cuando tenga 2 veces la edad que tú tienes la suma de nuestras edades será 105. ¿Qué edad tendré dentro de un año? A) B) C) D) E)
60 años 61 años 68 años 58 años 63 años
25 Cuando yo tenía lo que te falta actualmente para tener el doble de mi edad, tú tenías la mitad de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que me falta actualmente para tener 70 años. Si la suma de nuestras edades actuales es 50 años. Calcule la diferencia de nuestras edades dentro de 40 años. A) B) C) D) E)
5 años 10 años 6 años 8 años 12 años
CICLO ENERO-MARZO
CEPRE-UNA 2014
11
RAZ. MATEMÁTICO
