PROBABILIDADES I CAPITULO II MATEMATICA APLICADA
1
PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO : Un experimento aleatorio o estadístico es cualquier experimento u operación cuyo resultado no puede predecirse con exactitud antes de realizarse el experimento. Ejemplos: o o
o
Lanzar una moneda y observar si sale cara. Lanzar un dado y observar el numero que aparece en la cara superior. De un lote de bombillas de luz, extraer uno que sea defectuoso.
PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL : Es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento aleatorio. Denotaremos por la notación Ω (omega) o con la letra S Ejemplos:
1. Para el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es:
Ω=
Porque un dado tiene 6 caras y de lanzarlo., cualquiera de ellas puede quedar arriba .
2.
.1 .2 .3 .4 .5 .6
En el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral es:
Ω= Espacio Muestral
C; S
PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL : Ejemplos: 3. En el lanzamiento de una moneda dos veces, su espacio muestral es: Ω= Este espacio muestral se puede obtener con el diagrama del árbol C
CC
S
CS
C
SC
S
SS
C
S
ESPACIO MUESTRAL .CC .CS .SC .SS
PROBABILIDADES SUCESO O EVENTOS Se llama suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. A los sucesos generalmente se le denota por letras mayúsculas, tales como A, B, C, etc. Entonces: A es un suceso A Ω Relacionando con la teoría conjuntista al espacio muestral Ω se le llama Ω; luego: el universo y el Ω (universo) se llama suceso seguro. (nulo) se llama suceso imposible. E espacio muestral A
E espacio muestral
A
A
A’ A’
E espacio muestral
B
B
E espacio muestral A
B
PROBABILIDADES SUCESO O EVENTOS Ejemplo: En el lanzamiento de una moneda, tres veces podemos enunciar los siguientes sucesos: A = Se obtiene exactamente una cara B = Se obtiene por lo menos dos caras. Ω= C
CCC
S C
CCS CSC
S C
CSS SCC
S C
SCS SSC
S
SSS
C
C S C
S
S
PROBABILIDADES SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Sabemos que si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A B = Por lo tanto: A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir a la vez, entonces, se dice que son mutuamente excluyentes. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: El lanzamiento de los dados. El espacio muestral es: Ω= (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
PROBABILIDADES SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: El lanzamiento de dos dados. El espacio muestral es: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) Ω= (2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Sean los sucesos: Suceso A: Obtener una suma igual a 6. Entonces: A= Suceso B: Obtener una suma igual a 5. B= A B = Ø Luego A y B son mutuamente excluyentes.
PROBABILIDADES ALGUNAS PROPIEDADES CONJUNTISTA CONJ UNTISTAS S 1. Ley de la idempotencia 2.
Ley conmutativa
3.
Ley asociativa
4.
Ley distributiva
5.
Ley D’ Morgan
PROBABILIDADES ALGUNAS PROPIEDADES CONJUNTISTA CONJ UNTISTAS S 6. Ley del complemento
7.
Ley de identidad
PROBABILIDADES PROBABILIDAD DE UN SUCESO Sea el suceso o evento A del espacio muestral Ω; la probabilidad de A denotada por P(A) es la razón entre el numero de resultados favorables al suceso A y el numero total de resultados del espacio muestral. También se define como la frecuencia relativa con la que puede esperarse que el evento ocurra.
Ejemplo 1: ¿ Cual es la probabilidad de obtener un numero par, cuando se tira un dado? Solución: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado. Ω= ; n(Ω ) = 6 Suceso A: Obtener un numero par: A = n(A) = 3 Luego
PROBABILIDADES PROBABILIDIDAD DE UN SUCESO Ejemplo 2: Si se lanza una moneda tres veces, ¿ cuál es la probabilidad de a) Obtener exactamente dos caras ? b) Al menos dos caras ? c) Ninguna cara ? CC Solución Ω = { CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS }; n(Ω) = 8 A : Exactamente dos caras A = { CSC, CCS, SCC } B : Al menos dos caras. B = {CCC, CCS, CSC, SCC} C : Ninguna cara C = { SSS }
CC
CCC CCC
S
CCS
C
CSC
S
CSS
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S
SSS
C
S
C
SS
S
PROBABILIDADES AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un suceso A, toma valores entre 0 y 1; es decir 0 ≤ P(A) ≤ 1 2.
La probabilidad de un suceso seguro Ω es 1; P(Ω) = 1
3.
Si un suceso A = Ø, A es un suceso imposible: P(A) = 0
4. Si A y B son sucesos de Ω; donde A ∩ B = probabilidad de ocurrencia del suceso A ∪ B, es:
P(A
B) = P(A) + P(B)
Ø;
entonces, la
PROBABILIDADES Ejemplo 1 Una caja contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Si se extrae al azar una bola. ¿ Cuál es la probabilidad que la bola extraíble sea blanca ?. Solución: Experimento aleatorio : Extraer una bola de una caja que contiene 4 bolas blancas y 6 negras. Ω={
}
n(Ω) = 10
Suceso A: Extraer una bola blanca.
A={
}
n(A) = 4
La probabilidad de extraer una bola blanca es:
4 BLANCAS
6
NEGRAS
PROBABILIDADES Ejemplo 2 La probabilidad de que no asistan a clase no menos de 8 estudiantes es 0.2 y la probabilidad de que no asistan a clase no mas de 5 estudiantes es 0.3. Hallar la probabilidad de que no asistan 6 ó 7 estudiantes.
Solución : Sean los sucesos : A : No asistan a clase no menos de 8 estudiantes A = { 8 , 9 , 10 ,………….} B : No asistan a clase no más de 5 estudiantes B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} C : No asistan a clase a 6 ó 7 estudiantes C = {……} Como A, B y C son mutuamente excluyentes donde A ∪ B ∪ C = Ω (Universo); entonces: P(A ∪ B ∪ C) = P(Ω) = P(A) + P(B) + P(C) = 1 = 0.2 + 0.3 + P(C) = 1 = P(C) = 1 – 0.5 P(C) = 0.5
A .8 .9 C
B
.6 .7 .1.. .5
PROBABILIDADES TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES 1.
Si Ø (Suceso imposible); entonces P(Ø) = 0 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el punto a salir sea 7? Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n=0 P (7) = 0 /7 = 0
2.
Si A’ es un suceso complementario de A; entonces: P(A’) = 1 – P(A) Esto se deduce de la siguiente relación: Como A ∪ A’ = Ω A y A’ son sucesos excluyentes, por lo tanto: P(A) + P(A’) = P(Ω) P(A) + P(A’) = 1 P(A’) = 1 – P(A)
PROBABILIDADES TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES 3. Si A y B son sucesos no excluyentes (conjuntos no comparables); se tiene que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) ……… (1) A
B
Si la relación (1) dividimos por n(Ω); se tiene
Por definición de probabilidades se tiene: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
PROBABILIDADES TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES Extendiendo para tres conjuntos no comparables. Se tiene que: A
B
C P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C)
PROBABILIDADES Ejemplo 1: De un total de 200 estudiantes, 120 están matriculados en anatomía y 80 en biología, 50 en ambos cursos. Si se elije al azar uno de los 200 estudiantes, ¿ cual es la probabilidad de que un estudiante elegido este matriculado en una de las asignaturas ?.
Solución: Espacio muestral: n(Ω) = 200 Suceso A: Seleccionar un alumno matriculado en en anatomía. n(A) = 120 P(B) = Suceso B: Seleccionar un alumno matriculado en biología. n(B) = 80 P(B) = Suceso (A ∩ B): Seleccionar un alumno matriculado en biología y anatomía. n(A ∩ B) = 50 P(A ∩ B) = Como se sabe que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) =
P(A ∪ B) =
PROBABILIDADES Ejemplo 2: Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de dos dados se obtenga suma par, suma menor que 5 o ambos.
Solución:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 Espacio muestral n(Ω) = 36 Suceso A: Se obtenga obtenga suma par 3,1 A = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), 4,1 (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5),(6,2), (6,4), (6,6)} 5,1 n(A) = 18 P(A) = Suceso B: Se obtenga suma menor que 5 6,1 B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} n(B) = 6 P(B) = Suceso ambos: A ∩ B n(A ∩ B) = 4 P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∪ B) =
2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
PROBABILIDADES Ejemplo 3: En un salón de clase de 40 alumnos, 30 de ellos postulan a la universidad de San Marcos y 26 a la universidad de San Martin. Se elije al azar un alumno de este salón. ¿ Cual es la probabilidad de que sea un estudiante que postula a ambas universidades ?.
Solución: Suceso A: Alumnos que postulan a San Marcos; n(A) = 30 Suceso B: Alumnos que postulan a San Martin: n(B) = 26 Suceso (A ∩ B): Alumnos que que postulan a ambas universidades. Sabemos que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 40 n(A ∪ B) = 30 + 26 – n(A ∩ B) = 40 SM=30 SP=26 n(A ∩ B) = 16 30 - x x 26 - x P(A ∩ B) =
PROBABILIDADES Ejemplo 4: Con 7 ingenieros y 4 médicos se van a formar comités de 6 miembros. ¿ Cual es la probabilidad que el comité incluya. a. Exactamente dos médicos b. A los sumo tres ingenieros
Solución: Espacio muestral: a) Evento : Exactamente dos médicos: n(A) = C(4, 2) x C(7, 4) = P(A) =
= 210
= 0,4545
Grupos a formar: (1I,5M) (2I,4M)(3I,3M) b) Evento B: B: A lo sumo tres ingenieros: n(B) = C(7, 2) x C(4, 4) + C(7, 3) x C(4,3) = n(B) = 21 + 140 = 161 P(B) =
= 0,348
=
PROBABILIDADES Ejemplo 5: De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas, el 50% juega ajedrez. Si se elije aleatoriamente una persona. ¿ Cuál es la probabilidad que: a. Juega fútbol o ajedrez. b. Practica solo uno de estos deportes. d eportes. c. No practica ni fútbol ni ajedrez,
Solución: Suceso A : Persona elegida es futbolista, P(A) = 0.30 Suceso B : Persona elegida juega ajedrez, P(B) = 0.40 Suceso A ∩ B : Practican ambos deportes; P(A ∩ B) = 0.15 Suceso A ∪ B : Persona elegida juega fútbol o ajedrez. a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.30 + 0.40 -0.15 = 0.55
PROBABILIDADES Ejemplo 5: A
B 0.15
0.15
0.25
Suceso C: Practica un solo deporte; C = (A ∩ B’) ∪ (B ∩ A’) P(C) = P(A ∩ B’) + P(B ∩ A’) P(C) = 0.15 + 0.25 = 0.40 Suceso D: No practica ni fútbol ni ajedrez: P(D) = 1 – P(A ∪ B) P(D) = 1 – 0.55 = 0.45
D = A’ ∩ B’ = (A ∪ B)’
PROBABILIDADES Ejemplo 6: En cierta ciudad el porcentaje de personas que leen los periódicos A, B, C y sus combinaciones son como sigue: A: 9.8% A y B: 5.1% A, B y C: 2.4% B: 22.5% A y C: 3.7% C: 12.1% B y C: 6% (a) ¿ Qué porcentaje de la población leen al menos uno de los periódicos ?. (b) ¿Cuál es la probabilidad que una persona seleccionada aleatoriamente de esta población sea lector del periódico A y no lo sea de los periódicos periódicos B y C ?.
Solución: Suceso A ∪ B ∪ C: Leen al menos uno de los periódicos P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) P(A ∪ B ∪ C) = 0.098 + 0.229 + 0.121 P(A ∪ B ∪ C) = 0.320
– 0.051 – 0.037 – 0.06 + 0.024
PROBABILIDADES Ejemplo 6: En cierta ciudad el porcentaje de personas que leen los periódicos A, B, C y sus combinaciones como sigue: A: 9.8% A y B: 5.1% A, B y C: 2.4% B: 22.5% A y C: 3.7% C: 12.1% B y C: 6%
A
2.7
3.4 1.3
2.4 4.8
14.2
B
3.6
C
Suceso A ∩ B’ ∩ C’: Leen el periódico A y no leen el periódico B y C. P(A ∩ B’ ∩ C’) = 0.034
PROBABILIDADES Probabilidad Condicional: Sean los sucesos A y B een n el espacio muestral Ω con P(A) 0 La probabilidad condicional de B, habiendo ocurrido A, denotado por P(B / A), se define así:
P(B / A) =
PROBABILIDADES Probabilidad Condicional: Ejemplo 1: Se lanza un dado. Si se obtiene un número par, ¿ cuál es la probabilidad que sea menor o igual a 4 ?.
Solución: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }; n(Ω) = 6 Suceso A: Obtener un número de un par: A={2,4,6} n(A) = 3 P(A) = Suceso B: Obtener un número menor o igual a 4. B={1,2,3,4} n(B) = 4 Como A ∩ B = { 2 , 4 } n(A ∩ B) = 2 P(A ∩ B) = Luego:
P(B / A) =
=
--
P(B / A) =
PROBABILIDADES Probabilidad Condicional: Ejemplo 2: Una caja contiene 6 bolas azules, 10 blancas y 4 negras. Si se extrae al azar una por una y sin repetición. ¿ Cuál es la probabilidad que de 3 bolas que se extraen sucesivamente, la primera sea azul, la segunda sea blanca y la tercera sea negra ?. SOLUCION
6
10 20
4
PROBABILIDADES Probabilidad Condicional: Ejemplo 2: Solución: De un total de 20 bolas, el espacio muestral es n(Ω) = 20 Si el suceso A: seleccionar una bola azul ; n(A) = 6 P(A) = La probabilidad de seleccionar una bola blanca después de haber seleccionado una azul es: P(B / A) = La probabilidad de seleccionar una bola negra después de haber seleccionado una azul y una blanca: P(N / AB) = Luego: La probabilidad de seleccionar 3 bolas, de modo que la primera sea azul, la segunda sea blanca y la tercera negra es: P(ABN) =
(
)(
)(
)=
PROBABILIDADES PROBABILIDAD CONJUNTA: La probabilidad conjunta es aquella donde los sucesos ocurren simultáneamente.
Ejemplo: *
La probabilidad de que un número sea par y menor que 5
*
La probabilidad de que sea médico y egresado de la Universidad San Martín.
PROBABILIDADES PROBABILIDAD CONJUNTA: Con los datos que se indican en el cuadro: Sexo Hombre (H) Mujer (M) Prof.
Totales
Médico (Q)
20
25
45
Ingeniero (I)
15
12
27
35
37
72
Totales
Hallar: P(H ∩ Q) ; P(M ∩ I) ; P(M ∩ Q) ; P(I) ; P(Q) P(Q/H) Solución: Según el cuadro, el número de elementos del espacio muestral es: n(Ω) = 72 Luego: n(H ∩ Q) = 20 P(H ∩ Q) = n(M ∩ I) = 12
P(M ∩ I) =
PROBABILIDADES PROBABILIDAD CONJUNTA: Sexo
Hombre (H)
Mujer (M)
Totales
Prof. Médico (Q)
20
25
45
Ingeniero (I)
15
12
27
35
37
72
P(M ∩ Q) =
n(I) = 27
Totales n(M ∩ Q) = 25 n(H) = 35
P(H) =
n(Q / H) =
=
P(Q/H) =
P(I) =
=
PROBABILIDADES SUCESOS INDEPENDIENTES: Se dice que el suceso A es independiente del suceso B ( A y B en Ω) ; si : P(B / A) = P(B) Es decir la probabilidad de ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B PROBABILIDAD CONJUNTA DE SUCESOS INDEPENDIENTES: Si A y B son sucesos independientes, la probabilidad conjunta de que los Sucesos de A y B ocurran es igual al producto de la probabilidad de ocurrencia de A y B. O sea: P(A ∩ B) = P(A).P(B) En general: P(A1 ∩ A2 ∩ A3…. …….. ∩ An) = P(A1).P(A2).P(A3)……….P(An)
PROBABILIDADES Ejemplo: Un dado tiene una cara pintada de rojo, dos de verde y el resto de negro. Se lanza el dado 4 veces ¿ Cuál es la probabilidad de que las primeras veces se obtenga rojo y la última verde? Solución: Sucesos Ai : La cara obtenida es roja
n(Ai) = 1
P(Ai) =
Bi : La cara obtenida es verde
n(Bi) = 2
P(Bi) =
Ci : La cara obtenida es negra
n(Ci) = 3
P(Ci) =
Como Ai, Bi, Ci, son sucesos independientes se tiene que: P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ B4) = P(A1).P(A2).P(A3).P(B4)
PROBABILIDADES PROBABILIDAD TOTAL: TEOREMA Si los sucesos , , ……….. , forman una participación del espacio muestral Ω tal que P(A) ≠ 0; para cada i = 1, 2 ,……, n, entonces para cualquier suceso B en Ω se tiene que: P(B) = P( ) x P(B/ ) + P( ) x P(B/ ) + ……… + P( ) x P(B/ ) .
.
Ω
B∩
B∩
B∩
.
.
B∩
PROBABILIDADES PROBABILIDAD TOTAL: DEMOSTRACION .
.
B∩
.
Ω
B∩
B∩
.
Si Ω es el espacio muestral (Universo), donde: Ω= .. . (partición de Ω) y Según el diagrama se tiene: B ∩ Ω = B o sea B = (B ∩ ) ∪ (B ∩ ) ∪ …………… ∪ (B ∩ )
B∩
= ø;
PROBABILIDADES PROBABILIDAD TOTAL: DEMOSTRACION .
.
Ω
B ∩A1 B ∩A2 B ∩A3
B = (B ∩
) ∪ (B ∩
P(B) = P(B ∩
) + P(B ∩
P(B) =
) x P(
P(B/
……..
) ∪ …………… ∪ (B ∩
) = P(B/
) + P(B/
) x P(
B ∩ An
)
) + ………………. + P(B ∩
Como se sabe que: P(B ∩ P(B) = P(B/
………
)
) x P(
) x P(
)
)
) + ……. + P(B/
) x P(
)
Teorema de la probabilidad total A2
A1
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces … … podemos calcular la probabilidad de B. P(B|A1)
B
P(A1)
A1 P(B|A2)
A3
A4
Suceso seguro
P(A2) P(A3)
P(A4) P(B) = P(B∩ A1) + P(B∩ A2 ) + P( B∩ A3 ) + P( B∩ A4 )
A2 A3 A4
P(B|A3)
B B B
P(B|A4) B
=P( A A1) P(B| A A1) + P( A A2) P(B| A A2)+ … Tema 4: Probabilidad
39
Bioestadística. U. Málaga.
Probabilidad Total
Ejemplo (I): En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. T. Prob. Total.
Hombres y mujeres forman un sist. Exh. Excl. de sucesos
¿Qué porcentaje de fumadores hay?
P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)
0,1
Mujer 0,7
Fuma
0,9
No fuma
Estudiante
=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 =13%
0,2
0,3
•Los caminos a través de nodos representan intersecciones. Probabilidad •Tema Las4:bifurcaciones representan uniones40disjuntas.
Fuma
Hombre 0,8
No fuma Bioestadística. U. Málaga.
PROBABILIDADES Ejemplo: En un salón de clase el 32% de los alumnos son hombres. hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60%. De las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la probabilidad que sea de Lima ?.
Solución: Suceso H: Seleccionar estudiante hombre. hombre. Suceso M: Seleccionar estudiante estudiante mujer. P(H) = 0.32 ; P(M) = 0.68 P(L/H) : Probabilidad que un estudiante hombre sea de Lima. P(L/H) = 0.90 P(L/M) : Probabilidad que un estudiante hombre sea de Lima. P(L/H) = 0.60 Luego aplicando la formula: P(L) = P(H) x P(L/H) + P(M) x P(L/M) P(L) = (0.32)(0.90) + (0.68)(0.60) = 0.696
PROBABILIDADES Ejemplo: (Construyendo el diagrama del árbol) En un salón de clase, el 32% de los alumnos son hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60%. De las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la la probabilidad que sea de Lima ?.
Solución:
L
(0.32) (0.90)
H
L’
L
(0.68) (0.60)
M L’
P(L) = (0.32) (0.90) + (0.68) (0.60) = 0.696
PROBABILIDADES TEOREMA DE BAYES Si
son n eventos mutuamente excluyentes, cuya reunión es el
conjunto Universal, donde B es un evento arbitrario, tal como:
P(B/
) y P(
Entonces:
) son conocidos.
P(B) > 0;
PROBABILIDADES Ejemplo : En un salón de clase, el 32% de los alumnos son hombres. Asimismo se sabe que el 10% de los hombres son de provincias, mientras que el 60% de las mujeres son de Lima. Si de la lista de los alumnos del salón se seleccionan al azar uno de ellos; ¿ cuál es la probabilidad que sea hombre ?.
Solución: Se pide determinar la probabilidad que sea hombre dado que es de Lima. P(H/L) ; de la fórmula P P(H/L) = Como P(H) = 0.32; P(L/H) = 0.90 y P(L) = 0.696 Por lo tanto: P(H/L) = P(H/L) = 0.4138
H L A P M L
PROBABILIDADES PROBLEMAS : 1. Se disponen de 5 cajas que contienen 100 focos flash de fotografía c / u. Dos de las cajas contienen 10 focos c / u; otras dos, 5 focos defectuosos cada uno, la ultima restante tiene dos focos defectuosos, si se selecciona al azar una de estas cajas y de ellas se toma un foco. a. Describa el espacio muestral b. ¿ Cuál es la probabilidad que resulte defectuoso ? c. Si resulta defectuoso ¿ Cuál es la probabilidad de que se provenga de la caja que contiene el 2% de defectuoso ?.
PROBABILIDADES Solución: D
10
a.
Ω
b.
P(D) =
10
5
5
2
PROBABILIDADES D D 1/5
D D D
c. P( /D) =
PROBABILIDADES 2. Tres personas A, B y C trabajan independientemente en descifrar un mensaje, con probabilidades de descifrarlo iguales a 1/5, 1/4, 1/3, respectivamente. ¿ Cual es la probabilidad que, a) Exactamente uno de ellos descifre el mensaje. b) Al menos uno de ellos descifre el mensaje.
Solución: a. Exactamente uno de ellos describe el mensaje : M
PROBABILIDADES 2. Tres personas A, B y C trabajan independientemente en descifrar un mensaje, con probabilidades de descifrarlo iguales a 1/5, 1/4, 1/3, respectivamente. ¿ Cuál es la probabilidad que, a) Exactamente uno de ellos descifre el mensaje. b) Al menos uno de ellos descifre el mensaje.
Solución: b. Al menos uno de ellos descifre el mensaje : D D=A∪B∪C P(D) = P(A ∪ B ∪ C) = 1 – P( P(D) = 1 – P(D) = 1 -
)
PROBABILIDADES 3. En el hospital Dos de Mayo, el 10% de los hombres y el 20% de las mujeres están aptos para para jubilarse. El 70% de los empleados empleados son hombres, si se presenta dos solicitudes de jubilación, ¿ cuál es la probabilidad que, a) Ambas solicitudes presentadas cumplen con los requisitos de jubilación. b) Ambas solicitudes presentadas sean de hombres si ambas cumplen con los requisitos de jubilación.
Solución: : Solicitud que cumple con los requisitos de jubilación, i = 1, 2 H : Solicitud presentada presentada por un hombre. M : Solicitud presentada presentada por una mujer
PROBABILIDADES Solución:
EJERCICIOS 1. 1.Al concluir el primer ciclo, en la facultad de medicina se obtuvo los siguientes resultados: 20% de los alumnos desaprobaron Química. 12% de los alumnos desaprobaron Matemática. 8% de los alumnos desaprobaron Matemática y Química. Se elige al azar un alumno: a) Si desaprobó matemática ¿ Cual es la probabilidad de que desaprobara química? b) Si desaprobó Química ¿Cual es la probabilidad de que desaprobara matemática?
EJERCICIOS 2. Se lanzan a rodar dos dados normales. Cuando se detienen se observan sus caras superiores. Si la suma de sus puntos son 8. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las l as caras muestre 3 ? 3. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas, una tras otra. Calcular la probabilidad de obtener: a) Dos ases. b) As en la primera y cualquier carta en la segunda.
EJERCICIOS 4. Una caja contiene 8 bisturís rojos, 3 bisturís blancos y 9 bisturís azules. Si se extraen 3 bolas al azar azar , determinar la probabilidad de que: a) Los 3 bisturís sean rojas. b) Dos bisturís sean rojas y 1 bisturí sea blanco. c) Ningún bisturí sea blanco. 5. Tres cirujanos A, B y C están en posibilidades de de operar; la posibilidad de que opere A es dos veces que la de B y la posibilidad de que opere B, es dos veces ve ces que la que tiene C. ¿Cuál es la probabilidad de que opere A ? ¿Cuál es la probabilidad de que opere B o C ?
EJERCICIOS 1.
Se lanzan un dado y una moneda, se pide: a) Hallar la probabilidad de obtener un numero par y cara. b) Hallar la probabilidad de obtener un numero primo y sello
2. De un total de 100 enfermos, 30 sufren del corazón, 20 sufren de diabetes, 10 sufren del corazón y de diabetes . Si se escogen al azar un enfermo, encontrar la probabilidad probabilida d que esté enfermo del corazón o de la diabetes. 3. Se lanzan dos dados simultáneamente, hallar: a) La probabilidad de que la suma de los dados sea menor que 6. b) La probabilidad de que la suma de los dados sea mayor o igual a 10.
