Pendiente deflexión Kassimali

MÉTODO DE LAS PENDIENTES-DEFLEXIONES 15.1 15. 2

Ecua cione s de las pendientes-def pendientes-deflexi lexiones ones Conc epto básico del del método método de las pendientes-deflexiones

15 .3

Aná lisis de vigas continua continuass

15 .4

Análisis de armazones sin sin ladeo

15 .5

Análisis de armazones con ladeo Resumen Problemas

 Edificio  Edif icio en la calle call e Market M arket # 388, San Francisc Fr anciscoo Fotografía cortesía de American Institute of Steel Construction, Inc.

V   -deflexi ones CapihAo  15 Método de ios pendientes -deflexiones

En el capítulo 13 se consideró el método de las fuerzas (flexibilidad) de análisis de las estructuras estáticamente indeterminadas. Recuerde que en el método de las fuer zas, se determinan primero lu luss fuerza s redundantes desconocidas mediante la reso lución de las ecuaciones de compatibilidad de la estructura; enseguida, se evalúan las otras características de respuesta de esta última por las ecuaciones de equilibrio o por superposición. Un enfoque alterno que se puede utilizar para el análisis de las estructuras estructuras indeterminadas indeterminadas se denomina  métod  mé tod o de los lo s des d es p la za m ient ie nt os (rigidez ). A diferencia del método de las fuerzas, en el de los desplazamientos en primer lugar se determinan desplaz mediante la resolución resoluci ón de las ecuacion ecuaciones es  des plazami amiento entoss desconocidos mediante de equilibrio de la estructura; después, se evalúan las otras características de respuesta a través de consideraciones de compatibilidad y de relaciones tuerzas-defor maciones de los miembros. En este capítulo se considera un planteamiento clásico del método de los des  mé tod o de las la s pen p endi dien ente tess-de defle fle xion xi on es. es . Un planteamiento al plazamientos llamado  métod  mé todoo de la dist d istrib ribuci ución ón d e lo s momentos* mom entos* se presenta en terno terno clásico, clásico , el  métod e n el capítu capítulo lo siguiente, seguido seg uido por una una introducción introducción al moderno m oderno  mét  m étoo do rnat rn atric ric ial ia l de la rigidez. rigid ez. en el capítulo 1?. El método de las pendientes-deflexiones para el análisis de las vigas y los arma zones zone s indeter indetermin minado ado^ ^ fue intmducido por George Georg e A. Maney, en e n 1 9 15. En este méto méto do sólo se toman en cuenta las deformaciones por flexión de las estructuras. Aun cuando se considera que el método de las pendientes-deflexiones es por sí mismo una herramienta útil para el análisis de las vigas y armazones indeterminados, la comprensión de los fundamentos de este método proporciona una valiosa introduc ción ció n al método méto do rnatric rnatricial ial de la rigidez, rigid ez, base de la mayor ma yor parte del de l software softw are pa para computadoras que se usa en la actualidad para el análisis estructural. En principio, se deducen las relaciones fundamentales necesarias para la aplica ción del método de las pendientes-deflexiones y, a continuación, se desarrolla el concepto básico del propio propio método. Se considera la aplicació n del d el método mét odo al aná análi lisi siss de vigas continuas y se presenta el análisis de los armazones, en los cuales se impi den las traslaciones de los nodos. Por último, se considera el análisis de armazones con traslaciones de nodos.

15.1

ECUACIONES DE LAS PENDIENTES-DEFLEXIONES Cuando una viga continua o un armazón se sujetan a cargas externas, en general se desarrollan momentos internos individuales en los extremos de sus miembros.  La  Las ecuaciones de las pendientes-deflexiones relacionan los momentos en los extremos de un miembro con las rotaciones y desplazamientos en sus extremos y las cargas externas aplicadas aplicadas al mismo. A fin de deducir las ecuaciones de las pendient pend ientes-d es-defle eflexio xiones, nes, enfoquemos enfoquemo s nues nues tra atención en un miembro arbitrario AS de la viga continua que se muestra en la figura 15.1 (a). Cuando la viga se sujeta a cargas externas y a asentamientos en los apoyos, el miembro AB se deforma como se muestra en la figura y se inducen mo mentos mentos internos en en sus extremos. extremos. En la figura figu ra 15. 15. l(b) se muestr m uestran, an, usando una esc escaa la exagerada, el diagrama de cuerpo libre y la curva elástica para el miembro  AB  ABComo se se indica en esta figura, se usa notación con doble d oble subínd sub índice ice para los mom momen en tos en los extremos del del miembro, miembro, identifi id entificándose cándose con el e l prime pr imerr subíndi sub índice ce el extr extrem emoo del miembro en el cual actúa el momento y con el segundo subíndice el otro extre mo del miembro. Por tanto,  MAB denota el momento en el extremo A del miembro  AB,  AB, en tanto que  MBá representa el momento en el extremo  B del mismo miembro. Asimismo, como se muestra en la figura 15.1(b), dAy 0Bdenotan, respectivamente, las rotaciones de los extremos  A y  B del miembro con respecto a la posición no

1

Sección 15.1

Ecuaciones de los pendientes-deflexiones

515

deformada (horizontal) del mismo; A denota la traslación relativa entre los dos ex tremos del miembro en la dirección perpendic perpendicular ular al al eje no deformado defo rmado del miembro, y el ángulo »//denota la rotación de la cuerda del propio miembro (es decir, la recta que une las posiciones deformadas de los extremos del miembro), debida a la trasla ción relativa A. Como se supone que las deformaciones son pequeñas, la rotación de la cuerda se puede expresar como  ¥=  |

(15.1)

YV r r r m

 p

Posición Posici ón no deformada deformada

rTÍTTT7f~r~r-r->

Posición deformada (curva elástica) (a) (a)

(b)

Fíg. 15-1

,QS Pend¡entes-def|exiones

(c) Diagrama del momento flexionante

Desviaciones tangenciales debidas a  MAB

 B

il

 El 

(d)

Fig. 15.1 (iC o n t i n u a c i ó n ) 

Sección 15.1

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones

P

517

EF ba

0A = 0B = \¡f=0

(e) Momentos en extremos fijos Fig. 15.1 ( Continuación )

La convención de los signos que se usa en este capítulo es la siguiente:  Los momentos en los extremos de ¡os miembros, las rotaciones en los extremos y la rotación de la cuerda son positivo s cuando giran en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

 Note que, en la figura 15.1 Cb), todos los momentos y rotaciones se muestran en el sentido positivo. Las ecuaciones de las pendientes-deflexiones se pueden deducir al relacionar los momentos en los extremos del miembro con las rotaciones en los extremos y la rotación de la cuerda, mediante la aplicación del segundo teorema del momentoárea (sección 6.4). A partir de la figura 15.1(b), se puede ver que

(15.2) Si, en las ecuaciones anteriores, se hace la sustitución A!L  =  \¡/, se escribe a ^BA vAy/= — —

 jL

a

^AB oB- yf= —— 

(15.3)

en la cual, como se muestra en la figura 15.1(b), AB/Tes la desviación tangencial del extremo  B   respecto de la tangente a la curva elástica en el extremo  A   y Aab es la desviación tangencial del extremo  A  respecto de la tangente a la curva elástica en el extremo  B. Según el segundo teorema del momento-área, se pueden obtener las ex  presiones para las desviaciones tangenciales  A ba y  Aab  al sumar los momentos res  pec to a los extrem os  B   y A, respectivamente, del área debajo del diagrama  M /E I  entre los dos extremos.

8

CotKtUo 15 Método 4* la» pnAnÉo> ddhiúomj

\i =±!

i M 

tí ¡Y h í k

^ It H

o  bien.

W 6£ /

3£/

(15.4b)

£1

donde y k, son los mamcntov nr-pcvio a los evineimvs B y A, respectivamente. del área debajo del diagrama del momento fie vírame de la \ iga simple debido a la carga externa (diagrama Al, de la figura I5.1(cU Los tres leoninos de las ecuaciones (IS 4a) y 115 4b> representan las deviaciones tangenciales debidas a A/a». y ta carga externa, actuando por Mparado >obie el miembro tFig. 15.1(d)). indicándo se coa un (Ormino negativo que la dcMtactón tangencial correspondiente gira en dinecci<>o opue*u a la que ve muotra en la curva elástica del miembro de la figura IS l(b» Al MiMituit las e*peMi»ne> para A*« > -W- ecu ación ( 15.4 ), en la ecuación (15,3),

«e ewnhe «U- V* - ^   U t  

(.£/

 ff0 - y . - -L¿el: ♦ 6£7 3£/

ClS.5a)

 LIL

«. 1 ±-   EIL

(15.5b)

Con el fin de expresar los momentos en los extremos del miembro, en términos de la» «naciones en e^os extremos, la rotación de la cuerda y la carga externa, se resuelven las ecuaciones (15.5a) y (15.5b) simultáneamente para  MAB y MtlA. Si se vuelve a escribir la ecuación (15.5a) como -  m ¡L «  z '!-\p.L. _ 1 r b _ _ 2 9

 yU  

3£/

EIL

^

Se '-ustituve esta ecuación en la (15.5b) y si se resuelve la ecuación resultante para se obtiene  M kb - = y ~[10a * 8» -  3^i + -3  (2ge - ga )  £ £

(15.6a)

> al sustituir esta ecuación (15.6a) en la (15.5a) o en la (15.5b), se obtiene la expre sión para A/**:  M sa = ~ ~  <04 + -8 b -  3yf) + (gB - 2gA)  £  L

(15.6b)

Como lo indican las ecuaciones (15.6), los momentos que se desarrollan en los ex tremos de un miembro dependen de las rotaciones y las traslaciones de sus extre mos, así como de la carga externa aplicada entre los extremos. Supóngase ahora que el miembro que se está considerando, en lugar de ser parte de una estructura más grande, fuera una viga aislada con sus dos extremos por com  pleto fijos contra las rotaciones y traslaciones, como se muestra en la figura 15.1(e)Los momentos que se desarrollarían en los extremos de una viga fija  de ese tipo se

Sección 15.1

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones

519

conocen como momentos en extremos fijos  y sus expresiones se pueden obtener a  partir de la ecuación (15.6) al hacer 0A = 0B= y/= 0; es decir, 2

EFAB   = — (2 g e Z/.

EF&4 = j ^

 Li

i g B  -

gA)

(15.7a)

2g¿)

(15.7b)

en las cuales EF^b y EFfl/í denotan los momentos en los extremos fijos debidos a la carga externa en los extremos  A y  B,  respectivamente, de la viga fija  AB  (véase la figura 15.1(e)). Al comparar la ecuación (15.6) y la (15.7), se encuentra que los segundos térmi nos de los segundos miembros de la (15.6) son iguales a los momentos en extremos fijos que se desarrollarían si los extremos del miembro estuvieran fijos contra las rotaciones y traslaciones. Por tanto, sustituyendo la ecuación (15.7) en la (15.6), se obtiene 2 El  Mab= —— (26 a + 6 b 3 y/) + EF^

(15.8a)

2EI   M b a = - — (9a + 20 b 3 y/) + EF&4

(15.8b)

L/ 

Las ecuaciones (15.8a) y (15.8b), las cuales expresan los momentos en los extremos de un miembro en términos de sus rotaciones y traslaciones en los extremos, para una carga externa específica, se conocen como las ecuaciones de las pendientesdeflexiones. Estas ecuaciones son válidas sólo para miembros prismáticos compues tos de material linealmente elástico y sujetos a deformaciones pequeñas. Asimismo, aun cuando en las ecuaciones se toman en cuenta las deformaciones por flexión de los miembros, se desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas axiales y a las cortantes. A partir de las ecuaciones (15.8), se observa que las dos ecuaciones de las pen dientes-deflexiones tienen la misma forma y que una de ellas se puede obtener a  partir de la otra, sencillamente al intercambiar los subíndices A y B. Por tanto, suele ser conveniente expresar estas ecuaciones mediante la ecuación única de las pen dientes-deflexiones:

(15.9)

en la cual el subíndice c se refiere al extremo cercano del miembro en donde actúa el momento Mc¡ y con el subíndice l se identifica el extremo lejano (el otro) del propio miembro.  \ #

Momentos en extremos fijos Se pueden deducir las expresiones para momentos en extremos fijos, debidos a cual quier condición de carga, mediante la aplicación de las deformaciones coherentes, como se discutió en el capítulo 13 (véase el ejemplo 13.8). Sin embargo, suele ser

52 0

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

EF ba  /l

(

)

1

EF AB

 L

Cl  — *

---- -

 L

(a) Viga fija

.

1  p

1 1

1

! B

t  Pb  L

 Pa  L

 Pab

 Pa2b

) Fig. 15.2

la aplicación de las ecuaciones (15.7), las cuales sólo requieren el cálculo de los momentos del área debajo del diagrama del momento flexionante de la viga simple respecto a los extremos de la viga fija. Con el fin de ilustrar la aplicación de las ecuaciones (15.7), considere una viga fija sujeta a una carga concentrada P,  como se muestra en la figura 15.2(a). Los momentos en extremos fijos de esta viga se determinaron con anterioridad en el ejemplo 13.8, por el método de las deformaciones coherentes. Para aplicar las ecuaciones (15.7), se reemplazan los extremos de la viga por apoyos simples y se construye el diagrama del momento flexionante de la viga simple, como se muestra en la figura 15.2(b). Los momentos del área debajo del diagrama del momento flexionante de la viga simple, respecto a los extremos A y B, quedan dados por   f  (2a) 1  f Pab') 1 , ' Pab N   ----- — a a+ +  —b 2

l  L

 ) 

1  f Pab)

 —a

2

I 3 J

( -a  +b

l  L ) \

1 , ( Pab )  f 2b + - b \ -----

l 3 J 2U

2 l ¿  J  >\ 3 Al hacer la sustitución L = a + b en estas ecuaciones y simplificar, se obtiene  gA -

Pab o

— — ( 2a  + b )

 gB =

Pab ,

...

— — (a  + 2b ) 

6

Sección 15.1

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones

521

Sustituyendo gA y gB por sus expresiones en las ecuaciones (15.7), se determ ina q ue los momentos en los extremos fijos son 2Pab

EF ab  =

Pab .

(a + 2b)

Pab

(2 a + b)

2P ab , .

------ (a + 2b ) ---------- (2 a + b)

EF BA =

Pab

Pa2b

Recuerde que las ecuaciones (15.7) se basan en la convención de los signos de que los mo me ntos en los extremos en sentido contrario al movimiento de las m anecillas del reloj son positivos. Po r tanto, la respuesta negativa para E ¥ BA indica que el m ov i miento en sentido de las manecillas del reloj es correcto; es decir, EF BA —

Pa2b

como se muestra en la figura 15.2(c). Al inicio de esta obra se dan las expresiones de los momentos en extremos fijos  para algunos tipos comunes de condiciones de carga, como una refere ncia conve niente.

Miembros con un extremo articulado Las ecuacion es de las pendientes-deflexiones deducidas con anterioridad (ecuaciones (15.8) o (15.9)) se basan en la condición de que los miembros está rígidamente conectados a los nodos en los dos extremos, de modo que las rotaciones 0A y 0B en los extremos del miembro son iguales a las rotaciones de los nodos adyacentes. Cuando uno de los extremos del miembro se conecta al nodo adyacente por una conexión articulada, el momento en el extremo articulado debe ser cero. Las ecuaciones de las pendientes-deflexiones se pueden modificar con facilidad para refle jar esta condición. Con referencia a la figura 15.1 (b), si el extrem o B  del miem   bro  AB  está articulado, entonces el momento en B  debe ser cero. Mediante la su stitu ción de  M ba  = 0 en las ecuaciones (15.8), se escribe 2EI   Mab = —- {26A + eB - 3 y/) + EF¿*

(15.10a)

2FI   Mba = 0 = — ( eA + 29b -  3 y/) + EFba

(15.10b)

JL_ /

 L

Si se resuelve la ecuación (15.10b) para 0B, se obtiene 8® = - ^ - + | ^ - 7 | r ( E F M) 2 2 4 El

(15.11)

Para eliminar 0B de las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, se sustituye la ecuación (15.11) en la (15.10a), obteniendo de este modo las ecuaciones m odifica das de las pendientes-deflexiones, para un miembro  AB   con una articulación en el extremo  B :

Capítulo 15 Método de los pendientes-deflexiones

De manera análoga, se puede demostrar que, para el miembro AB  con una articu lación en A, la rotación del extremo articulado se expresa por  a

eB eA- ~ — 2

 L w -------(EFab) 2 4E1

3

(15.13)

+ —

y las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones se pueden expresar como 3El

EF BA

EF,,*'

(15.14a)

(15.14b)  M.\ b  = 0 En virtud de que las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones tie nen una forma semejante a la de las ecuaciones (15.12) y (15.14), se pueden resumir de un manera conveniente como

/

        I I         5         2

^ - ( 0 r - y ñ + EF - " - i z_>  \ 

(15.15a) (15.15b)

 Mar = 0

en las cuales, el subíndice r se refiere al extremo rígidamente conectado del miem  bro, en donde actúa el  Mw,  y el subíndice a  identifica al extremo articulado del mismo miembro. Ahora, la rotación del extremo articulado se puede escribir como 3  L  d„ -  — - + — w ---------

2

15.2

2

4 El

(EFflr)

(15.16)

CONCEPTO BÁSICO DEL MÉTODO DE LAS PENDIENTES-DEFLEXIONES Con el fin de ilustrar el concepto básico del método de las pendientes-deflexiones, considere la viga continua con tres claros de la figura 15.3(a). Aun cuando la estruc tura en realidad consta de una sola viga continua entre los apoyos fijos Ay D, para la finalidad del análisis se considera que está compuesta por tres miembros, AB, BC  y CD, rígidamente conectados en los nodos A, B, C y D que se encuentra ubicados en los apoyos de la estructura. Note que la viga continua se ha dividido en miem  bros y nodos, de modo que las reacciones externas desconocidas sólo actúan en es tos últimos.

Grados de libertad Habiendo establecido las ubicaciones de los nodos, se identifican los desplazamien tos independientes desconocidos (traslaciones y rotaciones) de esos nodos de la es tructura. Estos desplazamientos desconocidos de los nodos se conocen como grados de libertad  de la estructura. A partir de la forma cualitativa deformada de la estruc tura de la viga continua mostrada en la figura 15.3(a), se puede ver que ninguno de sus nodos se puede trasladar. Además, los nodos fijos A y D no se pueden hacer girar, en tanto que los nodos  B y C  si pueden hacerlo. Por ello, la viga continua tiene dos grados de libertad, dB y 0C, los cuales representan las rotaciones desconocidas en los nodos  B y C, respectivamente.

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106216.13

1.5 k/li

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39J i « » 13.38

717i b -* •

i

¿b ( ~ C| J y 49.1d ““* 49.1V | VtC Saf  13*7 | Seo-4* S** « 16 62 *.«3275 C,«18-77 txmanie*
Smrm  16 13

( 4

t I3J8 t % 15.3

13874.*)

30 k

t 32-75 k 

I 18.77 k

(ti  Reacciones en los apoyos

)

i

4.9 k

24.4

o

i)

S,JC=4.9

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

13.38

16.13

-13.87

-16.62

(f) Diagrama de la cortante (k) 89.7

(g) Diagrama del momento flexionante (k-ft) Fig. 15.3 ( Continuación )

El número de grados de libertad a veces recibe el nombre de  g ra do de indeter  min ac ión cin em ática   de la estructura. Ya que la viga de la figura 15.3(a) tiene dos grados de libertad, se considera que es cinemáticamente indeterminada al segun do grado. Una estructura sin grados de libertad se dice que es  cin em áticam ente de  term in ad a.   En otras palabras, si los desplazamientos de todos los nodos de una estructura son cero o se conocen, se considera que la estructura es cinemáticamente determinada.

Ecuaciones de equilibrio Las rotaciones desconocidas de los nodos se determinan al resolver las ecuaciones de equilibrio de aquellos nodos que pueden girar. En la figura 15.3(b), se muestran los diagramas de cuerpo libre de los miembros y de los nodos  B y C   de la viga continua. Además de las cargas externas, cada miembro está sujeto a un momento interno en cada uno de sus extremos. Ya que todavía no se conocen los sentidos correctos de los mom entos en los extremos de los miem bros, se su pon e que estos mo mentos de todos los miembros son positivos (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) según la convención de los signos de las pendientesdeflexiones dada en la sección anterior. Note que los diagramas de cuerpo libre de los nodos muestran los momentos en los extremos de los miembros actuando en dirección opuesta (en la del sentido del movimiento de las manecillas del reloj), de acuerdo con la ley de Newton de la acción y la reacción. En virtud de que la estructura com pleta está en e qu ilibrio , cad a un o de sus miem bros y de sus nodos también deben estar en equilibrio. Por la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de los mom entos T,MB = 0 y Y,MC =  0, respectivamente, a los cuerpos libres de los nodos  B y C, se obtienen las ecu acion es de equilibrio  M¡)fy +  M BC  ar —0

(15.17a)

0  Mcg + Mrn CD  — 

(15.17b)

Sección 15.2 Concepto básico del método de las pendientes-deflexiones

52 5

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones Las ecuaciones de equilibrio antes dadas (ecuaciones (15.17)) se pueden expresar en términos de las rotaciones desconocidas de los nodos, dB y 6C,  utilizando las ecuaciones de las pendientes-deflexiones que relacionan los momentos en los extre mos de los miembros con esas rotaciones desconocidas. Sin embargo, antes de que se puedan escribir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, es necesario calcu lar los momentos en los extremos fijos debidos a las cargas externas que actúan sobre los miembros de la viga continua. Para calcular los momentos en los extremos fijos, se aplican sujeciones imagi narias en los nodos  B y C   para impedir que giren, como se muestra en la figura 15.3(c). Los momentos en los extremos fijos que se desarrollan en los miembros de esta estructura por completo restringida o cinemáticamente determinada se pue den evaluar con facilidad por la aplicación de las ecuaciones (15.7), o bien, usando las expresiones para los momentos en extremos fijos que se dan en el interior de la guarda posterior del libro. Con el uso de las expresiones para los momentos en ex tremos fijos, se calculan esos momentos como sigue: Para el miembro AB: wL2  1.5(20)2 EF^n = ----- = ----------  = 50 k-ft ) 12

12

EF&4 = 50 k-ft ])

o

 J 

o

+50 k-ft

-50 k-ft

Para el miembro BC. PL 30(20) „ , . EFcr = ---- = -------- = 75 k-ft ^ 8 8  J 

EFcs = 75 k-ft}

o

o

„ . . +75 k-ft

-75 k-ft

 Note que, de acuerdo con la convención de los signos de las pendientes-deflexiones, los momentos en los extremos fijos en sentido contrario al movimiento de las mane cillas del reloj se consideran positivos. Como, sobre el miembro CD, no actúan car gas externas, sus momentos en los extremos fijos son cero; es decir, EFcd = EF d c  = 0 Los momentos en los extremos fijos se muestran en el diagrama de la estructura restringida de la figura 15.3(c). Ahora se pueden escribir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para los tres miembros de la viga continua mediante el uso de la ecuación (15.9). Si se supo ne que ninguno de los apoyos de la viga continua se traslada, las rotaciones de las cuerdas de los tres miembros son cero (es decir,  y/AB =  y/BC =  \¡/ c d  = 0)- Asimismo, ya que los apoyos  A y D están fijos, las rotaciones dA= 0D= 0. Al aplicar la ecuación (15.9) para el miembro  AB, considerando A como el extremo cercano y  B como el lejano, se obtiene la ecuación de las pendientes-deflexiones 2 El  Mab = —— (0 + 0B- 0) + 50 = 0.1 E/0* + 50 ¿J\)

(15.18a)

Enseguida, considerando B como el extremo cercano y  A como el lejano, se escribe

Método de las pendientes-deflexiones

De modo análogo, m ediante la aplicación de la ecuación (15.9) para el miembro fíQ se obtiene  Mbc = —

(2 6B +  0C) + 75 = 0.2 EI6b + 0.1 EIQC + 75

(15.18c)

 M cb = ^

(20c + ©a) - 75 = 0.2 EW C + O.l£/0* - 75

(15.18d)

y para el miembro CD, 9 FT 

 M cd = ^ y - (20c) = 0.261 EIOc  M d c =

9 7*7

(0c) = 0.133£/0c

(15.18e) (15.18f)

Estas ecuaciones de pendientes-deflexiones satisfacen de modo automático las con diciones de compatibilidad de la estructura. Ya que suponemos que los extremos de los miembros están rígidamente conectados a los nodos adyacentes, las rotaciones de esos extremos son iguales a las rotaciones de esos nodos adyacentes. Por tanto, los términos 0 en las ecuaciones de pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.18)) representan las rotaciones de los extremos de los miembros, así com o las de los nodos.

Rotaciones de los nodos A fin de determinar las rotaciones desconocidas en los nodos, 0B y 0C, se sustituyen las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.18)) en las de equili  brio de los nodos (ecuaciones (15.17)) y el sistema resultante de ecuaciones se re suelve simultáneamente para 0By 0C. Por tanto, al sustituir las ecuaciones (15.18b) y (15.18c) en la (15.17a), se obtiene (0.2EIQB - 50) + (O.2£/0B+ O.1£/0C+ 75) = 0 o bien, 0AEIQb + 0.1 EIdc = -25

(15.19a)

y al sustituir (15.18d) y (15.18e) en la (15.17b), se obtiene (0.2 EIQC + 0 . \E1Qb -  75) + O.267£/0C= 0 o bien,

0.1 EIQb + O.467£/0c = 75

(15.19b)

Si se resuelvan las ecuaciones (15.19a) y (15.19b) simultáneamente para EI0B y EIQC, se obtiene EI6 b = -108.46 k-ft2 EIQC = 182.82 k-ft 2

Al sustituir los valores numéricos de £ = 29 000 ksi = 29 000(12 )2 k sf e / = 500 in4 = (500/124) ft4 (ksi = kilolibra por in2; ksf = kilolibra por ft2), se determinan las rota

Sección 15.2 Concepto básico del método de las pendientes-deflexiones

527

Momentos en los extremos de los miembros Ahora se pueden determinar los momentos en los extremos de los tres miembros de la viga continua al sustituir los valores numéricos para  E l9 b y EW c t n  las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.18)). Por tanto, M/U, = 0 .1( -108 .46 ) + 50 = 39.2 k-ft }  M  ba = 0.2(-108.46) - 50 = -71.7 k-ft

o

71.7 k -f t }

 M BC  = 0.2(-108.46) + 0.1(183.82) + 75 = 71.7 k-ft }

 M  c b = 0.2(183.82) + 0.1 (-1 08 .^ ) - 75 = -49 .1 k-ft

o

49.1 k -f t}

 M  c d  =   0.267(183.82) = 49.1 k-ft }  M  d c  =  0 .133(183.82) = 24.4 k-ft }

Note que una respuesta positiva para el momento en un extremo indica que su sen tido es contrario al movim iento de las manecillas del reloj, en tanto que una nega tiva para ese momento implica un sentido igual al del movimiento de las manecillas del reloj. Para comprobar que la solución de las ecuaciones simultáneas (ecuaciones (15.19)) se ha llevado a cabo de la manera correcta, deben sustituirse los valores numéricos de los momentos en los extremos de los miembros, en las ecuaciones de equilibrio del nodo (ecuaciones (15.17)). Si la solución es conecta, entonces las ecu acion es de equilibrio deben de satisfacerse: +  M  b c = —71.7 + 71 .7 = 0

Coincide

 M cd  +  M cd = —49.1 + 49.1 = 0

Coincide

 M  b a

Cortantes en los extremos de los miembros Los momentos en los extremos de los miembros que acaban de calcularse se mues tran en los diagramas de cuerpo libre de los m iembros y las juntas de la figura 15.3(d). Ahora se pueden determinar las fuerzas cortantes en los extremos de los miembros ;por la aplicación de las ecuaciones de equilibrio a los cuerpos libres de los miem bros. Por tanto, para el miembro  AB,

+ Q Y m b = 0

39.2 - 5^(20) + 1.5(20)(10) - 71.7 = 0 Sab=  13.38 k t

+TX ^ =0

13.38 - 1.5(20)+ 5ba = 0 Sba =

16.62 k

D e m odo análogo, para el miembro  BC,

+ C lM c = 0

71.7 - 5 flC(20) + 30(10) -4 9 .1 = 0 SBC= 16.13 k t

+ ÍJ > v = 0

16.13 - 30 + SCB= 0 SCB= 13.87 k t

T

fulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

y para el miembro CD, + G lA

= 0

5a , = 4.9 k t

49.1 - S c d  ( 15) + 24.4 = 0

Spc —4-9 k vi +T5>r=0 De manera alternativa, se pueden evaluar las cortantes antes obtenidas en los extremos de los miembros por la superposición de Jas cortantes en los extremos debidas a la carga externa y a cada uno de los momentos en los extremos, actuando  por separado sobre el miembro. Por ejemplo, la cortante en el extremo A del miem  bro AB  se expresa por 

en la cual el primer término es igual a la cortante debida a la carga uniformemente distribuida de 1.5 k/ft, en tanto que el segundo y tercer términos son las cortantes debidas a los momentos de 39.2 k-ft y 71.7 k-ft, respectivamente, en los extremos^ y B del miembro.

Reacciones en los apoyos A partir del diagrama de cuerpo libre del nodo  B, de la figura 15.3(d), se puede ver que la reacción vertical en el apoyo de rodillo B es igual a la suma de las cortantes en los extremos B de los miembros AB  y BC\   es decir,  By = SBA+ SBC= 16.62 + 16.13 = 32.75 k

T

De manera análoga, la reacción vertical en el apoyo de rodillo C  es igual a la suma de las cortantes en los extremos C de los miembros  BC y CD, donde Cy =

SCB +

SCD =  13.87

+ 4.9 = 18.77 k t

Las reacciones en el apoyo fijo son iguales a la cortante y al momento en el extremo  A del miembro AB\   esto es,  Ay = SAB=  13.38 k t  M a = M ab = 39.2 k-ft }

De manera análoga, las reacciones en el apoyo fijo  D son iguales a la cortante y al momento en el extremo  D del miembro CD. Por tanto,  Dy = S DC = 4.9 k i  M d  = M d c  = 24.4 k-ft ^

Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 15.3(e).

Comprobación del equilibrio Con el fin de verificar los cálculos de las cortantes en los extremos de los miembros y de las reacciones en los apoyos, se aplican las ecuaciones del equilibrio al cuerpo libre de la estructura completa. De donde (Fig. 15.3(e)), +T Ifv =o 13.38 - 1.5(20)+ 32.75 - 3 0 + 18 .77 -4.9 = 0

Coincide

Sección 15.3 Análisis de vigas continuas

529

+ C2> d = o 39.2 - 13.38(55) + 1.5(20)(45) - 32.75(35) + 30(25) - 18.77(15)+ 24.4 = -0.1 ~ 0

Coincide

Esta com probación del equilibrio, así como la comprobación realizada con ante rio ridad sobre la solución de las ecuaciones simultáneas, no detectan los errores rela cionados con las ecuaciones de las pendientes-deflexiones. Por lo tanto, estas ecuac iones deben desarrollarse con mucho cuidado y verificarse antes de continu ar con el análisis. Con ocidas las reacciones en los apoyos, ahora se pueden c onstruir los diagram as de la cortante y del momento flexionante de la manera usual, aplicando la conven ción d e los signos de la viga descrita en la sección 5.1. Los diagrama s de la cortan te y del momento flexionante obtenidos de este modo para la viga continua se mues tran en las figuras 15.3(f) y (g), respectivamente.

15.3

ANÁLISIS DE VIGAS CONTINUAS Con base en la discusión presentada en la sección anterior, el procedim iento para el análisis de las vigas continuas por el método de las pendientes-deflexiones se puede resumir como sigue: 1. Identifique los grados de libertad de la estructura. Para las vigas continuas, los grados de libertad consisten en las rotaciones desconocidas de los nodos. 2. Calcule los momentos en los extremos fijos. Para cada miembro de la estruc tura, evalúe los momentos en los extremos fijos debidos a las cargas externas mediante la aplicación de las expresiones dadas al inicio de esta obra. Los momentos en extremos fijos en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj se consideran como positivos. 3. En el caso de asentamientos de los apoyos, determine las rotaciones de las cuerdas de los miembros adyacentes a los apoyos, que se asientan al dividir la traslación relativa entre los dos extremos de ese miembro entre la longitud del mismo (i//= A/L). Las rotaciones de las cuerdas se miden a partir de las  posiciones no deformadas (horizontales) de los miembros, co nsiderando el sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj como positivo. 4.  Escriba las ecuaciones de las pendientes-deflexiones. Para cada miembro, aplique la ecuación (15.9) para escribir las ecuaciones de las pendientesdeflexiones que relacionan los momentos en los extremos de los miembros con las rotaciones desconocidas de los nodos adyacentes.

5. Escriba las ecuaciones de equilibrio. Para cada uno de los nodos que pueda girar, escriba la ecuación de equilibrio de momentos, Z M = 0 , en términos de los momentos en los extremos de los miembros conectados al nodo. El número total de ecuaciones de equilibrio debe ser igual al número de grados de libertad de la estructura.

6 . Determine las rotaciones desconocidas de los nodos. Sustituya las ecuaciones de las pendientes-deflexiones en las ecuaciones de equilibrio y resuelva el sistema resultante para las rotaciones desconocidas en los nodos.

de las pendientes-deflexiones

m om ento en un ex tremo indica que su sentido es contrario al movimiento de las manecillas del reloj, en tanto que una respuesta negativa para este mo mento imp lica que el movim iento es en sentido de las m anec illas del reloj.

8 . Para comprobar si la resolución de las ecuaciones simultáneas se llevó a cabo o no de manera correcta en el paso 6 , sustituy a los v alores num éricos de los mom entos en los extremos de los miem bros en las ec uacio nes de equili  brio de los nodos desarrolladas en el paso 5. Si la solu ció n es correcta , enton ces las ecuaciones de equilibrio deben de ser satisfechas. 9. Ca lcule las cortantes en los extremos de los miemb ros. P ara cada uno de los miem bros: a) dibuje un diagram a de cuerpo libre en que se m uestren las cargas externas y los momentos en los extremos, y b) aplique las ecuaciones de equilibrio para calcular las fuerzas cortantes en los extremos del miembro.

10.   Determine las reacciones en los apoyos al considerar el equilibrio de los nodo s de la estructura.

11. Para com probar los cálculos de las cortantes en los extrem os de los miem  bros y las reacciones en los apoyos, ap lique las ecuacio nes de equilibrio al cuerpo libre de la estructura completa. Si los cálculos se han llevado a cabo en forma conecta, entonces las ecuaciones de equilibrio deben satisfa cerse.

12. Trace los diagramas de la cortante y del mom ento flex ionan te de la estructu ra m ediante la aplicación de la convención de los signos de la viga.

Vigas con apoyos simples en sus extremos Au n cu ando el procedimiento antes descrito se puede usar para analiz ar vigas conti nuas que están apoyadas en uno de los extremos o en los dos, el análisis de esas estruc turas se puede simplificar de manera considerab le mediante el uso de las ecua ciones modificadas de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.15)) para los cla ros adyacentes a los apoyos simples en los extremos, eliminando del análisis las rotaciones de estos últimos apoyos (véase el ejemplo 15.2). Sin em barg o, este enfo que simplificado sólo se puede usar para esos apoyos simples en los extremos en los que no se aplica momento externo. Esto se debe a que las ecu acio nes simplifica das de las pendientes-deflexiones para un miembro con uno de sus extremos articu lado (ecuaciones (15.15)) se basan en la condición de que el mom ento en el extremo articulado es cero.

Estructuras con partes salientes en voladizo Considere u na viga continua con una parte saliente en vo ladizo, co mo se maestra en la figura 15.4(a). Puesto que la parte en voladizo CD   de la viga es estáticamente determinada en el sentido de que se pueden obtener la cortante y el momento en su extrem o C por la aplicación de las ecuaciones d e equ ilibrio (Fig. 15.4(b)), no es

Sección 15.3

An álisis

de vigas

continuas

531

a diiiIiiii -U.B

M - c 

(a) Viga real    _______ w ______ 

 M

wa2 f  f"I

I

 McD = -ñ r (  L-í   ----

| ----

2 K\ C  

\

*----- D

Se o - w o  

(b) Parte en voladizo estáticamente determinada

wa

/T \ M 2

w

r i

i i i i i ir  B

(c) Parte estáticamente indeterminada, que tiene que analizarse Fig. 15.4

EJEMPLO

15.1

SOLUCIÓN

Determine las reacciones y trace los diagramas de la cortante y del momento flexionante para la viga continua con dos claros que se muestra en la figura 15.5(a), por el método de las pendientes-deflexiones. Grados de libertad  A partir de la figura 15.5(a), se puede ver que sólo puede girar el nodo  B de la viga. Por esto, la estructura sólo tiene un grado de libertad, el cual es la rotación desco nocida del nodo, 0B.  Momentos en los extremos fijos  Usando las expresiones para los momentos en los extremos fijos dadas al inicio de esta obra, se evalúan los momentos en los extremos de este tipo debidos a las cargas externas, para cada uno de los miembros:

 _

= IW O íp i = M g k ^  L2 

(25)

o

+M g k ft

 J 

= i 8U0 ^ =43 2k.

^

(25)

1}

EF BC = —

12

=

EFCB= 150 k-ft }

12

V

= 150 k-ft }

 J 

o

o

+150 k-ft

-150 k-ft

Note que, de acuerdo con la convención de los signos de las pendientes-deflexiones, los momentos en extremos fijos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj se consideran como positivos, en tanto que aquellos con el movimiento en sentido de las mane cillas del reloj se les considera negativos.  Rotaciones de las cuerdas Ya que no se presentan asentamientos de los apoyos, las rotaciones de las cuerdas de ambos miembros son cero; es decir, \¡fAB = \f/BC = 0.

pirulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

 Ecuaciones de las pendientes-deflexiones  A fin de relacionar los momentos en los extremos de los miembros con la rotación desconocida del nodo, 0B, se escriben las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para los dos miembros de la estructura, mediante la aplicación de la ecuación (15.9). Nótese que, como los apoyos  A  y C están fijos, las rotaciones  dA = 0C = o Por tanto, las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para el miembro AB  se pueden expre sar como

 M  ab  =

2 El  (fia) + 64.8 = O.O8£/0b + 64.8 25

(D  }

-----

2 El   M  ba - — (20*) - 43.2 = 0.16 EI6B- 43.2

(2)

De manera análoga, por la aplicación de la ecuación (15.9) para el miembro  BC , se obtienen las ecuaciones de las pendientes-deflexiones: 2 El   Mb c = -J q &0 b )+  150 = 0.133 EWb + 150

(3)

2 El   M  cb = — (0B) -  150 = 0.0667 EI0B - 150

(4)

 Ecuación de equilibrio  El diagrama de cuerpo libre del nodo B se muestra en la figura 15.5(b). Note que los momentos en los extremos de los miembros, los cuales se supone están en direc ción contraria al movimiento de las manecillas del reloj sobre esos extremos, deben aplicarse en la dirección de ese movimiento (opuesta) sobre el cuerpo libre del nodo, según la tercera

1

10 ft-

«

ü

r

i

15 ft

u

30 ft

 EI =  constante

(a) Viga continua 18 k

2 k/ft

i

c  M 

 B

 AB

1f c W

U

t

 M  c b

 T T T T T T T T T t

)

 B

I

(b) 9.84 27.57

18 k

1  B

35.6^ 8.16

9.84

) 101.5<; Xmi

a 

2 k/ft

( im 101.5

I

m i m i m

tB

27;57

'  By =  37.41 (c) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros

Fíg. 15.5

c32.43t '1743

Sección 15.3

18 k

l

35.6 k 

 A

D

t

53 3

2 k/ft

i ltH IT !H l =ÜT~

)

174.3 k-ft

t

t

37.41 k 

8.16 k 

Análisis de vigas continuas

32.43 k 

(d) Reacciones en los apoyos

27.57

(e) Diagrama de la cortante (k)

88.7

(f) Diagrama del momento flexionante (k-ft) Fig. 15.5 (Continuación)

ley de Newton. Al aplicar la ecuación de equilibrio de momentos 'EM  b = 0 al cuerpo libre del nodo B, se obtiene la ecuación de equilibrio  M  ba + MB c = 0

(5)

 Rotación délinodo Con el fin de determinar la rotación desconocida del nodo, se sustitu yen; las; ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (2) y (3)) en la de equilibrio (ecuación (5)) para obtener

(0.1 6EI6  b -  43.2) + (QA33EIOB+ 150) = 0 o bien, 0.293EI&B = -106.8

de lo cual  EW  b = -364.5 k-ft2  Momentos en los extremos de los miembros Ahora se pueden calcular los momentos en los extremos de los miembros al sustituir el valor numérico de EI6S de regreso a las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (l)-(4)). Por tanto,  M  ab  = 0.08(-364.5) + 64.8 = 35.6 k-ft }  M Ba = 0.16(—364.5) - 43.2 = -101.5 k-ft

o

101.5 k-ft }

534

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

 Moc = 0.133(-364.5) + 150 = 101.5 k-ft }  Meo = 0.0667(-364.5) - 150 = -174.3 k-ft

o

174.3 k-ft }

 Note que una respuesta positiva para el momenLo en un extrem o indica que su sentido es contrario al movimiento de las manecillas del reloj, en tanto que una negativa para uno de esos momentos implica un movimiento en sentido de las manecillas del reloj. Dado que los momentos en los extremos  MBAy M0c  tienen magnitudes igua les, pero sentidos opuestos, en efecto se satisface la ecuación de equilibrio,  M oa + Mac  = 0. Cortantes en los extremos de los miembros  Las cortantes en Jos extremos de los miembros, obtenidas al considerar el equilibrio de cada miembro, se muestran en la figura 15.5(c).  Reacciones en los apoyos  Las reacciones en los apoyos fijos  A y C  son iguales a las fuerzas y a los momentos en los extremos de los miembros conectados a estos nodos. A fin de determi nar la reacción en el apoyo de rodiílo 5, se considera el equilibrio del cuerpo libre del nodo  B en la dirección vertical (véase la figura 15.5(c)), para obtener   By = SBA + SBC = 9.84 + 27.57 = 37.41 k T

Las reacciones en los apoyos se muestran en la figura 15.5(d).

Resp.

Comprobación del equilibrio  Para comprobar los cálculos de las cor tantes en los extremos de los miembros y las reacciones en los apoyos, se aplican las ecu aciones de eq uilibrio al cuerpo libre de la estructura completa. De donde (véase la figura 15.5(d)),

+ T 5>, = o 8.16 - 18 + 37.41 - 2(30) + 32.43 = 0

Coincide

35.6 - 8.16(55) + 18(45) - 37.41(30) + 2(30)(15) - 174.3 = 0 .2 ^ 0

Coincide

+ C 2>c =0

 Diagramas de la cortante y del momento fle xionan te  Ahora se pueden construir los diagramas de la cortante y del momento flexionante, ap licando la convención de los signos de la viga de Resp. la sección 5.1. Estos diagramas se muestran en las figuras 15.5(e) y (f).

EJEMPLO

15.2

SOLUCIÓN

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para la viga continua mostrada en la figura 15.6(a), por el método de las pendientes-deflexiones. Esta viga ya se analizó en el ejemplo 13.5, por el método de las deformaciones coherentes. A partir de la figura 15.6(a), se puede ver que los tres nodos de la viga tienen libertad para girar. Por tanto, se puede considerar que la viga tiene tres grados de libertad, 0A, 0By 0D, y se puede analizar utilizando las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuación (15.9)) para miembros rígidamente conectados en ambos extremos. No obstante, este enfoque con sume bastante tiempo, ya que requiere la resolución de tres ecuaciones simultáneas para determinar las rotaciones desconocidas de los nodos. Supuesto que los apoyos A y D de la viga son simples, en los cuales no se aplica momen to externo, los momentos en el extremo A del miembro  AB y  en el extremo  D  del BD deben ser cero. (Esto se puede verificar con facilidad al considerar el equilibrio de momentos de los cuerpos libres de los nodos A y D mostrados en la figura 15.6(b).) Por tanto, puede conside rarse que el extremo A del miembro  AB y el  D del BD son articulados, y se pueden usar las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.15)) para estos miem bros. Además, dado que estas ecuaciones no contienen las rotaciones de los extremos articu lados, al usarlas se pueden eliminar del análisis las rotaciones 0Ay 0& de los apoyos simples, el cual entonces sólo comprenderá una rotación desconocida en un nodo,  dB. Debe hacerse notar que, una vez evaluado se pueden calcular, si se desea, los valores de las rotaciones

Sección 15.3 Análisis de vigas continuas

5 35

60 kN

i

15 kN/m

 D w ¿

 B

-/

5m

5m

10 m

 21

-

 E =  200 GPa 7 = 700(106) mm4

(a) Viga continua \

 m b a ^

•C

B )  C ^ 3 E  y MBD

 A rr ~^)  M  a b  =  ^

(b) Diagramas de cuerpo libre de los nodos 60 kN

97.5 127.5

15 kN/m  B

52.5

¡J >^225 ) 7.5

1 15 kN/m

(i

.

1

22 5v |

f

 D

 B

121

82.5

 By = 225

(c) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros 60 kN 15 kN/m  AJ z ~

T

 B

t

C 

t

\ 225 kN

52.5 kN

- ú ?

82.5 kN

(d) Reacciones en los apoyos Fíg. 15.6 dA y 0D, usando la ecuación (15.16). En los pasos siguientes, se utiliza este procedimiento simplificado para analizar la viga continua. Grados de libertad dB.  Momentos en los extremos fijos .2

EFm

=

iz

= 125 kN • m

EFB„ = 1 2 5 k N - m } 60(10)

15(10)'

o

o

+125 kN m

- 12 5k N- m

536

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

 Ecuaciones de las pendientes-deflexiones   Ya que los dos miembros de la viga tienen un extremo articulado, se utilizan las ecuaciones (15.15) a fin de obtener las ecuaciones de las pendientes-deflexiones para ambos miembros. Por tanto,  M ab = 0

Kesp.

3£/ ("0*)• + f 1 2 5 1 =O.3£/0fl- 187.5  M ba = — 2

(

(1)

2001 200 + —  = 0.6EW  b + 3 0 0 • ? •

,

(2)

 Ecuación de equilibrio  Si se considera el equilibrio de mo^¿ntqs.J^el ¿u,erpo libré;del nodo# \ f. ‘ • / < (Fig. 15-6(b)), se obtiene la ecuación de equilibrio ? .4

4

 M  ba + M  bd  = ® ,,  y*%'i'-' ' ■ (3) . *  Rotación del nodo  Para determinar la rotación desconocía  dBdel, nodo, se obtiene la ecua ción de equilibrio ' *

(0.3 EW  b - 187.5) + (0.6 E16B+ 300) = 0 o bien, O.9£/0fl = -112.5 de lo cual  EW  b  = -125 kN • m2  Momentos en los extremos de los miembros  Ahora se pueden calcular los momentos en los extremos de los miembros al sustituir el valor numérico de  El6  b  en las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (1) y (2)). De donde,  Mu =0.3 (- 125)- 187.5 = -225 kN *m

o

225 kN - m }

 MB o = 0.6(—125) + 300 = 225 kN *m ^

Resp. R«P-

Cortantes en los extremos de los miembros y reacciones en los apoyos   Véase las figuras 15.6(c) y (d). Comprobación del equilibrio Véase la figura 15.6(d).

+ T X  Fy = 0

52 5 - 15(20) + 225 - 60 + 82.5 = 0

Coincide

-52 .5(2 0) + 15(20)(10) - 225(10 ) + 60(5) = 0

Coincide

+Q > o = 0

15.3

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para la viga continua mostrada en la figura 15.7(a), por el método de las pendientes-deflexiones.

SOL UCI ÓN

Ya que el momento y la cortante en el extremo C del miembro en voladizo CD  de la viga se pueden calcular en forma directa por la aplicación de las ecuaciones de equilibrio (véase la figura 15.7(b)), no es necesario incluir este miembro en el análisis. De donde, sólo la parte indeterminada AC  de la viga mostrada en la figura 15.7(c), necesita ser analizada. Note que, como se muestra en esta figura, debe incluirse en el análisis el momento de 120 kN *m y la fuerza de 30 kN ejercidos en el nodo C por la parte CD en voladizo.

EJEMPLO

v

Grados de libertad  A partir de la figura 15.7(c), se puede ver que los nodos  B y C  tienen la libertad de girar. De donde, la estructura que debe analizarse tiene dos grados de libertad, las cuales son las rotaciones desconocidas 6By 6C en los nodos.

Sección 15.3 Análisis de vigas continuos

30 kN

lOkN/m

«I 1 1 I I I )

6 m

53 7

t lie 4m

9m  El  = constante (a) Viga continua 120 kN • m

30 kN

\

c \c

 D

30 kN (b) Parte en voladizo estáticamente determinada 30 kN 10kN/m

^120kN *m

í i i i u i r n

“ S -----------------------r  (c) Parte estáticamente indeterminada, que debe analizarse

" X t  )

C B ) M  b c

120 kN • m

(d) Diagramas de cuerpo libre de los nodos  B y C 6.87 34.72

13.7

34.72

6.87

Cy= 85.27 k

(e) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros 30 kN i

10 kN/m

13.7X

 b

\~

"3T

K 

I

6.87

n T T T T lc

!

41.59 (f) Reacciones en los apoyos

85.27

!  D

30

55.27

 By = 41.59

Fig. 15.7

30 kN

) cUJ) ( c t r i r a m ) (U ) (

( 6.87

55.27 30

1  D

apítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

 Momentos en los extremos fijos  EP au  = EF ba = 0

I0Í9)2

EF jjc  = --------12

= 67.5 kN • m *)

o

J 

EFC* = 67.5 kN •

o

+67.5 kN *m

-67.5 kN *m

 Ecuaciones de las pendientes-deflexio nes  Al aplicar la ecuación (15.9) a los miembros  AB y  BC , se escriben las ecuaciones de las pendientes-deflexiones:  M  ab =

9 F í 

(0fi) = 0.333EI0 b

(1)

Mba = —

(20fl) = 0.661 EW  b

(2)

Mbc =

(20 b

6 9£7

6

9F / 

 M  c b  = ^

+ 0c) + 67.5 = O.4 44£/0fl + 0.2 22 £Y0C+ 67.5

(3)

(20c +  9 b ) ~  67.5 = 0.222 EI6B+ 0.444£ /0 c - 67.5

(4)

 Ecuaciones de equilibrio  Considerando el equilibrio de los momentos de los cuerpos libres de los nodos  B y C   (Fig. 15.7(d)), se obtienen las ecuaciones de equilibrio  MB a + Mgc = 0

(5)

 M  c b + 1 2 0 = 0

(6)

 Rotaciones de los nodos   La sustitución de las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (2)-(4)) en las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (5) y (6)) da

O.444 £/0fl + O.222£ /0c = -6 7 .5

(7)

0.222 EW  b + O.444£/0C= -52 .5

(8)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (7) y (8), se determinan los valores de  EI8 b y  EIOc como E I6 b = —41.25 kN • m2

 EWC =  -97 .62 kN • m2  Mom entos en los extrem os de los miem bros   Ahora se pueden calcular los momentos en los extremos de los miembros al sustituir los valores numéricos de  EW  b  y  EW c  en las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (l)-(4)):  MAB = 0.33 3(—41.2 5) = -1 3 .7 kN • m

o

13.7 kN • m J

Resp.

 M  ba = 0.6 67 (-41 .25 ) = -27 .5 kN • m

o

27.5 kN ■ m )

Resp.

27.5 kN • m

Resp.

120 kN • m ^)

Resp.

 Mac =   0.444(-41.25) + 0.222(-97.62) + 67.5

= 27.5 kN • m

o

 M  c b =   0 .222(-41.25) + 0.444(-97.62) - 67.5

= -1 2 0 kN • m

o

Note que los valores numéricos de  MB a , M B c y  M C   b  en realidad satisfacen las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (5) y (6)). Cortantes en los extremos de los miembros y reacciones en los apoyos   Véase las figuras 15 .7(e) y (f). Resp. Comprobación del equilibrio   Se satisfacen las ecuaciones de equilibrio.

Sección 15.3 Análisis de vigas continuas ej

6m P L °

154

SOLUCIÓN

539

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para la viga continua con tres claros mostrada en la figura 15.8(a), debidos a la carga uniformemente distribuida y a los asentamientos en los apoyos de J- in en B,  1^ in en C y j  in en D . Use el método de las pendientes-deflexiones. Grados de libertad   Aun cuando los cuatro nodos de la viga tienen libertad para girar, se eliminarán del análisis las rotaciones de los apoyos simples en los extremos A y  D,  aplicando las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones para los miembros  AB   y CZ), res pectivamente. Por tanto, el análisis sólo comprenderá dos rotaciones desconocidas de los nodos, O b y 0 C.  Momentos en los extremos fijo s EF,» = E F JC = E F OT= í í f ^ 6 6 .7

k-ft)

EF*, = EFCfi = EFoc = 66.7 k-ft }

o

o

+66.7 k-ft

-6 6.7 k-ft

 Rotaciones de las cuerdas  En la figura 15.8(b), se encuentran representados los asentamientos específicos de los apoyos usando una escala exagerada. Las líneas discontinuas en esta figura indican las cuerdas (no las curvas elásticas) de los miembros en las posiciones deformadas. A partir de esta figura, se puede ver que el apoyo A no se asienta pero el  B  lo hace en J- in, el asentamiento relativo entre los dos extremos del miembro  AB es de in = 0.0521 ft. En virtud de que la longitud de ese miembro  AB   es de 20 ft, la rotación de la cuerda del mismo es  y AD- - QQ521 = -0 .00 26 r  20

en la cual se ha asignado el signo n egativo al valor de  y AB para indicar que su dirección es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 15.8(b). La rotación de la cuerda para el miembro  BC  se puede calcular de manera semejante, usando los asentamientos de los apoyos  B y C. A partir de la figura 15.8(b), se observa que el asen tamiento relativo entre los extremos del miembro  BC  es de 1 j in - in = 0.875 in = 0.072 9 ft y, por tanto, 0 0729 y/se - — =- 0. 0036 5 De modo análogo, la rotación para el miembro CD es 1.5-0.75 W   c d  —— ——0.00313 YCD (12)( 20 )  Ec uacio nes de las p endientes-de fle xion es  MAb = 0

Resp.

3 £7  M  ba = ------ (dB+ 0.0026) - 100 = 0.15 EI0 b + 0.000 39£ / - 100 20

(1)

2F I 

 M bc = — [20* + 0C - 3(-0.00365)] + 67 20 = 0.2 EWb + 0.1 E16C + 0.001 IEI  + 67 2 F I 

 M cb  = —

20

=

[2 d c + d B-   3(- 0 .00365)] - 66.7

0.1 EIQb + O.2£/0C+ 0.0011 El - 66.7

 M c d  =

 M  d c

—

= 0

(2)

(0c + 0.00313) + 100 = 0.15£/0C+ 0.00047£/ + 100

(3) (4)

lteiP-

540

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

2= B  on ft ---------

----------20 ft---------1

•20 ft

 E = 29 000 ksi 7=7800 in4 (a) Viga continua

/l

i fin  E r

Ú  in

J

_ _ 

V b c

! in )'

C 

(b) Rotaciones de las cuerdas debidas a los asentamientos de los apoyos

%

 MBa *

b  MC 

CD

(c) Diagramas de cuerpo libre de los nodos B y

v

I

m

41.38 81.79 .1 k /

2 k/ft

i) ( U ) ( m

m

JA

5 1 427.7

1-38

41.38

u

427.7 | 5

808 41-79 20.4 808 i „

i ) Cj

í 81.79 ^=123.1 7

C 

41.79

22 k/ft

(U ) ( r m ^ | Cj, = 62.19

jC 20.4

(d) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros

 £  J 1.38 k

n

2k/f 

i i i i f   B

í  123.17 k

r T T T T ~ n  D c^r

i 62.19 k

(e) Reacciones en los apoyos Fig. 15.8

\ 60.4 k

n Dt

60:4

Sección 15.3 Análisis de vigas continuas

541

 Ecuaciones de equilibrio  Véase la figura 15.8(c),

 M  ab  + M  bc = 0

(5)

 M cb + Meo —^

(6)

 Rotaciones de los nodos Al sustituir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-4)) en las de equilibrio (ecuaciones (5) y (6)), se obtiene

0.35 EI0 b +  0.1 EIQc = -0.00149£/ + 33.3 0AEW  b + O.35E/0C = -0. 00 06 3E / - 33.3 Si se hace la sustitución  El =  (29 000)(7800)/(12)2 k-ft2 en los segundos miembros de las ecuaciones anteriores, da 035EI9 b + O.1E/0C = -2 30 7.24

(7)

0.1 EIQ b  + 0.35 EWC = -1022 .93

(8)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (7) y (8), se determina que los valores de  EI6  b  y E10c  son OAEW  b  = -6268.81 k-ft2 O.1£/0C= -1131.57 k-ft2  Momentos en los extremos de los miembros  Con el fin de calcular los momentos en los extremos de los miembros, se sustituyen los valores numéricos de EIQ b y EIQc de regreso en las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-4)), para obtener  Mba = -4 27 .7 k-ft

o

427.7 k-ft

Resp.

 Mbc = 427.7   k-ft }

Resp.

 Mcb =  808 k-ft ])

Resp.

 MCD = -8 08 k-ft

o

808 k-ft

Resp.

Cortantes en los extremos de los miembros y reacciones en los apoyos   Véase las figuras 15.8(d) y (é). Resp. Comprobación del equilibrio Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen. Con anterioridad, en el ejemplo 13.12, se analizó la viga continua que acaba de conside rarse por el método de las deformaciones coherentes. En teoría, el método de las pendientesdeflexiones y el de las deformaciones coherentes deben tener resultados idénticos para una estructura dada. Las pequeñas diferencias entre los resultados que acaban de determinarse y los obtenidos en el ejemplo 13.12 se deben a los errores de redondeo.

ej em pl o

  15.5

SOLUCIÓN

Determine las reacciones y dibuje los diagramas de la cortante y del momento flexionante  para la viga continua con cuatro claros mostrada en la figura 15.9(a). En virtud de que la viga y la carga son simétricas respecto al eje vertical s que pasa por el apoyo de rodillo C (Fig. 15.9(a)), puede determinarse la respuesta de la viga completa anali zando sólo la mitad izquierda,  AC, de la viga, con condiciones simétricas en la frontera, como se muestra en la figura 15.9(b). Además, con base en la figura 15.9(b), se puede ver que la mitad de la viga con condiciones simétricas en la frontera también es simétrica con respec to al eje s'  que pasa por el apoyo de rodillo B. Por lo tanto, sólo se necesita analizar la cuarta  parte de la viga —es decir, la parte AB — con condiciones simétricas en la frontera, como se muestra en la figura 15.9(c).

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

Como La subestructura que se va a analizar consta de la viga fija AB  (Fig. I5.9(c)), se pueden obtener sus momentos en los extremos, de modo directo, a partir de las expresiones de momentos en extremos fijos dadas en las páginas finales del libro. De donde, m ab  = e f  ab =

3

 MBa = EF&4= ~ ~ } Las cortantes en los extremos del miembro AB se determinan al considerar el equilibrio de] mismo. Ahora se pueden obtener las cortantes y los momentos en los extremos dei miembro  BC  al reflejar las respuestas correspondientes del miembro AB a la derecha del eje s \  y se pueden determinar los momentos en los extremos y las cortantes sobre la mitad derecha de viga al reflejar las respuestas correspondientes de la mitad izquierda hacia el otro lado del eje  s . En la figura 15.9(d) se muestran los momentos y las cortantes en los extremos de los miembros, obtenidos de esta manera, y las reacciones en los apoyos se dan en la figura 15.9(e). Los diagramas de la cortante y del momento flexionante para la viga se muestran en las figuras 15.9(f) y (g), respectivamente. Como hace ver este ejemplo, la utilización de la simetría estructural puede reducir en forma considerable el esfuerzo de computación requerido para el análisis. La viga considera da en este ejemplo (Fig. 15.9(b)) tiene tres grados de libertad,  dBi 0C y 0D.  Sin embargo, al utilizar la simetría de la estructura, se pudieron eliminar del análisis todos esos grados de libertad.

w

1\ !7TTT'I {1{ '^ D

1

.1

!

í

E l = constante

(a) Viga continua

w | \ \

 \

\

\ 

 B  L -------1------- L

(b) Mitad de la viga con condiciones simétricas en la frontera

W 

wL 12

n 

C

)

 B

t—

wL

wl¿ 12

t

wL

2 2 (c) Cuarto de viga con condiciones simétricas en la frontera

Fig. 15.9

Análisis de armazones sin ladeo

Sección 15.4

2

wL wL  2  2

wL wL  2  2

wL wL

2

( \  b \ \  r \  t  \  'è'

12 vvL 2

I

r !r    \ 

t i - t y t o H wL 12

vv£/_ 12 vvL 2

wL¿ wL 12

12

|

2

54 3

2

2

") 2 E   i V w¿_  1

12

wL 2

Dy= vvL

C>t = vvL

(d) Momentos y cortantes en los extremos de los miembros w

t

t

t

t

t

t

t

t

t

r ~ r 

)

~^B

t

t

t

t

wL

wL

w;L

wL

 \\>L¿ 12

t

wL 2

2 

(e) Reacciones en los apoyos wL

vvL

2

2

wL 2

wL

i

(f) Diagrama de la cortante wL 24

wZ/ 

wL¿

vvL_

24

24

24

(g) Diagrama del momento flexionante f¡9* 15.9 (Continuación)

15.4

ANÁLISIS DE ARMAZONES SIN LADEO El método de las pendientes-deflexiones también se puede usar para el análisis de armazones. Como, en general, las deformaciones axiales de los miembros de los armazones compuestos de materiales comunes de ingeniería son mucho menores que las deformaciones por flexión, aquéllas se desprecian en el análisis y se supone que los miembros son inextensibles (es decir, no pueden sufrir alargamiento o acortamiento axiales). Considere el armazón que se muestra en la figura 15.10(a). También se muestra una forma deformada cualitativa de ese armazón para una carga arbitraria P. A partir 

ilo 15 Método de las pendientes-deflexiones

de la figura, se puede ver que los nodos fijos  A y  B no pueden girar ni trasladarse, en tanto que el nodo C, el cual se encuentra ubicado en el apoyo articulado, puede girar  pero no trasladarse. En cuanto al nodo  D, el cual tiene libertad para girar, su trasla ción en cualquier dirección está impedida por los miembros  AD  y CD, que se supone son inextensibles. De modo análogo, el nodo E   puede girar, pero como los miem  bros  BE  y  DE   no se pueden deformar axialmente y dado que los nodos  B  y  D no se trasladan, el nodo E   tampoco se puede trasladar. Por consiguiente, ninguno de los nodos del armazón se puede trasladar. Suponga ahora que se elimina el miembro CD del armazón de la figura 15.10(a),  para obtener el que se muestra en la figura 15.10(b). Ya que las deformaciones axiales de las columnas AD  y BE  se desprecian, los nodos  D y E  no se pueden trasladar en la dirección vertical. Empero, no existen restricciones para impedir que estos nodos giren y se desplacen en la dirección horizontal, como se muestra en la figura 15.10(b).  Note que, puesto que se supone que la viga maestra  DE   es inextensible, los despla zamientos horizontales de los nodos  D y E  deben ser iguales. A los desplazamientos laterales de los armazones de los edificios, como el del armazón de la figura 15.10(b), por lo común se les menciona como ladeos y los armazones cuyos nodos sufren traslaciones se denominan armazones con ladeo, en tanto que aquellos sin traslaciones de los nodos se les llama armazones sin ladeo. En la aplicación del método de las pendientes-deflexiones, suele ser conveniente distinguir entre los armazones sin ladeo (es decir, sin traslaciones desconocidas de los nodos) y aquellos con ladeo. Para un armazón plano arbitrario sujeto a una carga general coplanar, el número de traslaciones independientes de los nodos —las cua les, por lo común, se mencionan como grados de libertad del ladeo, 11 — se pueden expresar como // = 2j  - [2(/+ a) + r + m] 

(15.20)

en la cual j = número de nodos; / = número de apoyos fijos; a = número de apoyos articulados; r =  número de apoyos de rodillos y m = número de miembros (inex tensibles). La expresión dada se basa en el razonamiento de que se necesitan dos traslaciones (por ejemplo, en las direcciones vertical y horizontal) para especificar la posición deformada de cada nodo libre de un armazón plano, y que cada apoyo fijo y articulado impide las dos traslaciones, cada apoyo de rodillo impide la trasla ción en una dirección (del nodo sujeto a él) y cada miembro inextensible que une dos nodos impide una traslación de éste en su dirección axial. Entonces, el número de traslaciones independientes de los nodos, 11,  se obtiene al restar, del número total de traslaciones posibles de j  nodos libres, el número de traslaciones restringidas por los apoyos y los miembros del armazón. Se pueden verificar las conclusiones acerca de los armazones de las figuras 15.10(a) y (b), por la aplicación de la ecuación (15.20). Dado que el armazón de la figura 15.10(a) consta de cinco nodos (j   = 5), cuatro miembros (m = 4), dos apoyos fijos (/ = 2) y un apoyo articulado (a = 1), la aplica ción de la ecuación (15.20) da 11= 2(5) - [2(2 + 1) + 4] = 0, lo cual indica que este armazón se puede considerar sin ladeo. En cuanto al armazón de la figura 15.10(b), ya que tiene  j  = 4, m = 3 y / = 2, el número de sus grados de libertad de ladeo están dados por 11= 2(4) - [2(2) + 3] = 1, lo cual indica que el armazón puede sufrir una traslación independiente de los nodos. Note que esta traslación independiente de los nodos se identifica como el desplazamiento horizontal A de los nodos  D y E  de la figura 15.10(b). Es importante darse cuenta que un annazón puede contener nodos que tienen libertar para trasladarse, pero que todavía se pueden considerar para fines analíticos como sin ladeo, bajo una condición particular de carga, si no se presentan traslaciones de los nodos bajo esa condición. Un ejemplo de un armazón de ese tipo se muestra en la figura 15.10(c). Aun cuando los nodos  D y E   del armazón simétrico pueden trasladarse en el sentido horizontal, no se trasladarán cuando el armazón esté sujeto

Sección 15.4 Análisis de armazones sin ladeo

54 5

ii

E l  = constante

(c) Armazón simétrico sujeto a carga simétrica; no hay ladeo

Fig. 15.10

a una carga que sea simétrica respecto al eje de simetría de la estructura. Por tanto, este armazón, cuando se sujeta a una carga simétrica, se puede analizar como sin ladeo. En lo que sigue, se discute la aplicación del método de las pendientes-deflexiones al análisis de armazones sin ladeo. El análisis de armazones con ladeo se considera en la sección siguiente. El procedimiento para el análisis de los armazones sin ladeo es casi idéntico al aplicado para el análisis de las vigas continuas que se presentó en la sección anterior. Se considera esta semejanza porque, como las vigas continuas, los grados de liber tad de los armazones sin ladeo sólo constan de las rotaciones desconocidas en los

V  Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

nodos, teniéndose las traslaciones de estos iguales a cero o conocidas (como en el caso de los asentamientos de los apoyos). Sin embargo, a diferencia ele las vigas continuas, más de dos miembros pueden estar conectados a un nodo de un armazón y las condiciones de equilibrio de ese nodo comprenderían más de dos momentos en los extremos de esos miembros. El análisis de los armazones sin ladeo se ilustra mediante los ejemplos siguientes.

EJEMPLO

15.6

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para el armazón mostrado en la figura 15.11(a), por el método de las pendientes-deflexiones.

SOLUCIÓN

Grados de libertad Los nodos C,  D  y E  del armazón tienen libertad para girar. Sin embargo, se eliminará la rotación del apoyo simple en el extremo E   mediante la aplicación de las ecuaciones modificadas de las pendientes-deflexiones para el miembro  DE. Por consiguien te, el análisis sólo comprenderá dos ecuaciones desconocidas de los nodos, 0C y 0D.  Mom en tos en los extrem os de los miem bros  Al aplicar las expresiones para los m omentos en extremos fijos dadas en las páginas finales del libro, se obtiene

EF„C= 40(2°- = 100 k-ft 3

o

8

EFot = 100 k-ft

o

+ 10 0 k-ft

- 100 k-ft

EF bd  = FE DB = 0 EF cd = EFd£ = 2(30)2 = 150 k-ft } 12 EFoc = EF£0 = 150 k-ft

o

o

+1 50 k-ft

- 150 k-ft

Ecuacion es de las pendientes-deflexiones  Como se indica en la figura 15.1 l(a ), los momen tos de inercia de las columnas y de las vigas maestras del armazón son de 800 in4 y 1600 in4, respectiv am ente. Usando / = /columna = 800 in4 com o del m om ento de ine rc ia d e ref eren cia, se ex presa / v¡ga maestra en térm inos de / como

/viga maestra = 1600 = 2(800) = 21 A continuación, se escriben las ecuaciones de las pendientes-deflexiones por la aplicación de la ecuación (15.9) a los miembros  AC , B D  y CZ>, y las ecuacio nes (15 .15) al m iem bro  DE . De donde, 2E l  M ac  = — (de)   + 100 = 0.1 EWc + 100 2FI 

 M  ca = ----- (2 6C) - -100 = 0.2 EWC - 100 20

 M b d =

m d d 

2E l 20

(do) = OAEIOd 

(1) (2) (3)

2 FJ  = — (26d) = 0.2E W d 

(4)

2E(2I)

3()— (20c + Bd) + 150 = 0.267 E l 6C + 0 . 133E W D + 150

(5)

2F(2I)  M ° C = 30 ('26  d   + 0c) ~ 150 = °-133 EIQC + 0.267El9 d  - 150

(6)

 Mcd =

3E(2I)   .. .  M u é  = —  — — (% ) +  M e d  = 0

( .„ 150 A 150+—  = 0.2EI0 d  + 225 2

(7) Resp.

Análisis de armazones sin ladeo

Sección 15.4

54 7

2 k/ft

n

t

G O O

10 ft 40 k 

i

t

i

t

i

i

 D ■rf  /= 1600 in4

7= 1600 in4

a

o ooo

0 0

10 ft

 B

•30 ft

•30 ft

E - 2 9  000 ksi (a) Armazón

 M°C   M db (b) Diagramas de cuerpo libre de los nodos C y  D 27.65

c r j - 212 ^

21.2 —^ 1

v

32.35 36.86

2 k/ft

W

l i l i l í

115 > t 27.65 v

2 k/ft

I 186.4 32.35

l i l i l í v "  \f -' C 3 ' 22'6 5v f D 205.7 V |

27.65

L45

36.86

69.21 115.9

19.3

21.2

1.45

^ K 1  D

40 k   A

27.65

18.8 92

1.45 —  9 69.21 (c) Momentos en los extremos de los miembros, cortantes y fuerzas axiales 2 k/ft

27.65

69.21 (d) Reacciones en los apoyos

Fig. 15.11

22.65

r

23.14

548

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

Ecuaciones de equilibrio  Al aplicar la ecuación de equilibrio de momentos, XAf = 0, a los cuerpos libres de los nodos C y D (Fig. 15.11(b))( se obtienen las ecuacio nes de equilibrio

 M ca + M cd  - 0

(8)

 M qij  +  M d c  +  M q e — 0

(9)

 Rotaciones de los nodos  La sustitución de las ecuaciones de las pendientes-deflexiones en la ecuación de equilibrio da 0.461 EIQc + O.133£/0d = -5 0

(10)

0.133 EIQc + 0.661 EW d  = -7 5

(11)

Al resolver simultáneamente las ecuaciones (10) y (11), se determina que los valores de EiBc  y EI6 d  son EW C = -79.545 k-ft2 EW d  = -96.591 k-ft2  Mo me nto s en los extremos de los miembros   Ahora se pueden calcular los momentos en los extremos de los miembros sustituyendo los valores numéricos de EIBc y EIBp  en l as ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (l) -(7 )):  Mac = 92 k-ft }

Resp.

Me* = -115.9 k-ft  Mb d= -9 .1 k-ft  Mdb = -19.3 k-ft

o o

115.9 k - f t} 9.7 k -f t}

o

19.3 k -f t}

Mcd= 115.9 k-ft}  Mdc = -186 .4 k-ft

Resp. Resp. Resp. Resp.

o

186.4 k-ft }

 Mde =205.7 k-ft }

Resp. Resp.

A fin de comprobar que la resolución de las ecuaciones simultáneas (ecuaciones (10) y (11)) se ha llevado a cabo de manera correcta, se sustituyen los valores num éricos de los momen tos en los extremos de los miembros en las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (8) y (9)),  para obtener   Mca +  M Cd   = -115.9 + 115.9 = 0

Coincide

 Mdb  +  Mdc  +  MDE = -19 .3 - 186.4 + 205.7 = 0

Coincide

Cortantes en los extremos de los miembros  Las cortantes en los extremos de los miembros, obtenidas al considerar el equilibrio de cada miembro, se muestran en la fig ura 15.11(c). Fuerzas axiales en los miembros  Conocidas las cortantes en los extremos, ahora se pueden evaluar las fuerzas axiales en los miembros al conside rar el equilibr io de los nodos C y D, en ese orden. Las fuerzas axiales obtenidas de este modo se muestran en la figura 15.11(c).  Re ac cio ne s en los apoy os  Véase la figura 15.1 l( d ).

Resp.

Comprobación del equilibrio  Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen.

▲ AA EJEMPLO

15.7

SOLUCIÓN

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para el armazón 2 in en el apoyo  B.  Use el método de las del ejemplo 15.6, debidos a un asentamiento de -r 4  pendientes-deflexiones. El armazón se muestra en la figura 15.12(a).

Análisis de armazones sin ladeo

Sección 15.4

54 9

 D  _________________ E 

V de

~~-TJFc  d   D'   B 3 •T

T


.

 B' 

£ = 29 000 ksi (a) Armazón

(b) Rotación de las cuerdas debida a los asentamientos de los apoyos

Cí~ ^ ) m cd 

m d c ^ _ d  _^M de

 Mr,AL

vi;

 M db

(c) Diagramas de cuerpo libre de los nodos C y  D 4.67

4.11

85.4

4'67 2. 54

I D!

_cr ^ 4“ 4 > 4.67

54 8 4 .1

7.21 54.8 -4.11

0.69

27.4

4.6 4.67

t

2.54

9.2

 D

0.69^

 A —► 4.11

4.8 0.69

4.67

76.2

 B

7.21

(d) Momentos en los extremos de los miembros, cortantes y fuerzas axiales

4.11 4.67

7.21 (e) Reacciones en los apoyos

Fig. 15.12

t

2.54

Zopítulo 15 Método de los pendientes-deflexiones

Grados de libertad 0C y 0Dson los grados de libertad.  Rotaciones de las cuerdas Puesto que se desprecia la deformación axial del m iembro  BD, el asentamiento de -J in del apoyo  B hace que el nodo  D se desplace hacia abajo la misma cantidad, como se muestra en la figura 15.12(b). Las líneas inclinadas discontinuas en esta figura representan las cuerdas (no las curvas elásticas) de los miembros CD y DE en las  po sicion es deform adas. La rotación de la cu erda de l m iem br o CD es

 3_

iifCD= -  = -0.00208 (12)(30) Y   ----

----

en la cual se ha asignado el signo negativo al valor i¡fCo para indicar que su sentido es el de] movimiento de las manecillas del reloj. De manera análoga, para el miembro  DE,  y/oE —0.00208  Ecuaciones de las pendientes-deflexiones  M  a c =0AEI6  c

(1)

 Mca = 0.2 EIOc

(2)

 MBD = 0.1 EW  d 

(3)

 Mm = 0.2EW  d 

(4)

 Mco =

2 EOI) ~ [20c + 0 d  -  3(-0.00208)]

= 0.267 EWC + 0. 133£/0 D+ 0.000832£7

(5)

 Mac =  2E{^ I) Í20 d  + 9 c ~ 3(-0.00208)]

= O.133£/0C+ Q.261 EW  d  + 0.000 832E/  MDe =

- 0.00208) = 0.2£/0D - 0.000416 £/

 M e o = 0

(6) (7) Resp.

 Ecuaciones de equilibrio Véase la figura 15.12(c).  M  ca  + MC   d  = 0

(8)

 Mqb + Mdc + Mde = 0

(9)

 Rotaciones de los nodos  Sustituyendo las ecuaciones de las pendientes-deflexiones en las ecuaciones de equilibrio, se obtiene

O.467£/0C+ O.133£/0D= -0.00 083 2 El  0.133 EWC + 0.667 EWD= -0.000416£ /  La sustitución de  El  = (29 00 0)(80 0)/( 12)2 k-ft2 en los segundos-miem bros de las ecuaciones anteriores da

0.461Eldc + 0.133 EWd  = -1 34

(10)

0.133 EWC + 0.661 EWd =  -67

(11)

Si se resuelven en forma simultánea las ecuaciones (10) y (11), se obtiene

EIOc = -273.883 k-ft2 EWD= -45.83 8 k-ft2  Mom entos en los extremos de los miem bros  Sustituyendo los valores numéricos de  EWc y EIQDen las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, se obtiene  Mac = - 2 1 A k-ft

o

27 .4 k-ft

Resp.

 M  ca = -5 4.8 k-ft

o

54.8 k - f t }

Resp,

Sección 15.5

 M  bd   b d  = -4.6 k-ft k-ft

o

5511 55

Análisis de armazones con ladeo

4 .6 k - lO

 d b = -9-2 k-ft  M  d k-ft

ReSP' o

9.2 k - f t }

Meo = 54.8 k-ft }

Respsp-

MDC MDC = 85.4 k - f t }

Respsp-

 MD  M De = -7 6 .2 k-ft k-ft

o

76.2 k- f t }

ResP-

Si se sustituyen de regreso los valores numéricos de los momentos en los extremos de los miembros en las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (8) y (9)) da  M ca + M Cd = -54.8 + 54.8 = 0

Coincide

 M  d  d b  +  M  d  d c  + M  d  d e = -9 .2 + 85.4 - 76 .2 = 0

Coinc incide ide

Cortantes en los extremos extremos de los miembros y fuerz as axiales Véase la figura 15.12(d).

Vé ase la figura 15.12 15 .12 (e).  Rea  R ea cc ione io ne s en los lo s a p o yo s Véase

Resp.

Comprobación d el equilibrio equilibrio  Las ecuaciones de equilibrio se satisfacen.

15.5

ANÁLISIS DE ARMAZONES CON LADEO En general, un armazón sufrirá ladeo si sus nodos no están restringidos contra la traslación, a menos que sea uno simétrico sujeto a carga simétrica. Con el fin de desarrollar el análisis de los armazones con ladeo, considere el armazón rectangular que se muestra en la figura 15.13(a). En la figura se muestra una forma deformada cualitativa del armazón, para una carga arbitraria, usando una escala exagerada. Aunque los nodos fijos  A y B del armazón están por completo restringidos contra la rotación, así como contra la traslación, los nodos C y D tienen la libertad de girar y trasladarse. Sin embargo, si se supone que las columnas  AC  A C y BD son inextensibles y que las deformaciones del propio armazón son pequeñas, los nodos C y D sólo se  puede  pue denn tras tr aslad ladar ar en la l a direcci dire cción ón horiz h orizont ontal; al; es decir, deci r, en dire d irecc cción ión per p erpe pend ndicu icula larr a las columnas  AC  A C y BD, BD , respectivamente. Además, como se supone que la viga maestra CD es inextensible, los desplazamientos horizontales de los nodos C y D deben ser los mismos. Por tanto, el armazón tiene tres desplazamientos desconocidos de los nodos, o grados de libertad, las rotaciones 6Cy 0D de los nodos C y D, D,  respectiva mente, y el desplazamiento horizontal A de los nodos C y D. D. Como se muestra en la figura 15.13(a) 15.13(a),, el desplazamiento desplazamien to A de los nodos C y D hace que giren las cuerdas de las columnas  AC  A C y BD, y estas rotaciones de las cuer das se pueden expresar en términos de ese desplazamiento desconocido como A Vac —W — Wbd = ~ —  h

(15.21)

en la cual el signo negativo ne gativo indica que las rotaciones de las cuerdas son en el sentido sentido del movimien m ovimiento to de las manecillas del reloj. reloj. Dado que los nodos C y D no se pueden desplazar en dirección vertical, la rotación de la cuerda de la viga maestra CD es cero; es decir, y/co = 0 . Para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los despla

552

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

SAc

 M  AC 

(c) Diagrama Diagrama de cuerpoilibre del ar mazón completo

 M C a

‘SCA

 M  DB

T

 D * S db

h 2

(a) Armazón rectangular con ladeo

 M  d c ^  M,  M,CA

)

 m c d 

 M  AC 

 M  d b

(d) Diagramas de cuerpo libre de las columnas  AC y BD

(b) Diagramas de cuerpo libre de los nodos C y  D

Fig. 15.13

 M  ac  a c  =

 2 E l  h

 2 E l   M C a =

 MB  M B d  =  Mdb -

 M q d  =  =  Mac  M ac  =

20c + —

\ + E F ca

'  h

h

3A

 2 E l  h

+ EF, AC   AC 

V * -

0D + 

 \

/ 

 2EI  h

 2 E l  h

2 E l 

 \ ' W°*  hT 

(15.22d)

(2Oc + Od) + EFcd

(15.22e)

(20¿) + Oc) + EFoc

(15.22f)

 Not  Notee que que las las ecua ecuaci cion ones es anter anterior iores es de de las las pendientes-de pendientes-deflexione flexioness contienen contienen tres tres in in cógnitas, 0C, 0Dy A, las cuales deben determinarse mediante la resolución de tres ecuaciones independientes de equilibrio, antes de poder calcular los valores de los momentos en los extremos de los miembros. Dos de las tres ecuaciones de equilibrio

Sección 15.5 Análisis de armazones con ladeo

553 55 3

necesarias para la resolución de los desplazamientos desconocidos en los nodos se obtienen al considerar el equilibrio de momentos de los nodos C y  D (Fig. 15.13(b)): A/co = 0  M c a + A/co

(15.23a) (15.2 3a)

 M d b +  M d c = 0

(15.23b) (15.23b ) La tercera ecuación de equilibrio, por lo común denominada ecuación de las cortan tes, se basa en la condición de que la suma de todas las fuerzas horizontales que

actúan sobre el cuerpo libre del armazó ar mazónn completo debe ser cero. En la figura f igura 15.13(c), 15.13(c), se muestra el diagrama de cuerpo libre del armazón, obtenido al pasar una sección imaginaria precisamente arriba del nivel de los apoyos. Al aplicar la ecuación de equilibrio  XFx  XF x  = 0, se escribe P — Sac —Sun

=0

(15.23c)

en la cuál SAC y SBDson las cortantes en los extremos inferiores de las columnas AC  y BD, respectivamente, como se muestra en la figura 15.13(c). A fin de expresar la tercera ecuación de equilibrio (ecuación (15.23c)) en términos de los momentos en los extremos de las columnas, se considera el equilibrio de los cuerpos libres de las -columnas AC  y  y BD,  BD, mostrados en la figura 15.13(d). Sumando los momentos res  pecto a la parte superior superior de de cada colum columna, na, se obtiene obtiene lo siguient siguiente: e:  MAC  MAC- S Ad h ) + P

+C 2> cc= 0

+ M  ca = 0 v2 ,

S a c =

+ c Y.MBD = 0

 M a c +M  h

2

(15.24a)

 d b  - SBD  M  bd  + M  d SBD(h) = 0

r>

 M b d +M DB (15.24b) h Al sustituir las ecuaciones (15.24a) y (15.24b) en la (15.23c), se obtiene la tercera ecuación ecuació n de equilibrio en términos de los momentos momentos en los extremos de los miembros: ¿R n — — 

P-

'  m

a c

(

+ m ca

h

la cual se reduce a  M fA ca  f,AC + M ca

L

 p )

2J

 f

 M bd + M D B ) =

l

h

Ph bd  + + M bd   + M q b ---- — = 0

0

)

>

(15.25)

Después de establecer las tres ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (15.23a), (15.23b) y (15.25)), se puede proceder con el resto del análisis de la manera usual. Al sustituir s ustituir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (15.22)) en las de equilibrio, se obtiene el sistema de ecuaciones que se puede resolver para los desplazamientos desconocidos de los nodos, 0C, 6D y A. Entonces se pueden susti tuir los desplazamientos de los nodos así obtenidos, de regreso en las ecuaciones de  pendientes-d  pendien tes-deflexi eflexiones ones a fin de determinar los momentos en los extremos de los miembros, a partir de los cuales se pueden calcular las cortantes en los extremos y la S  fuerzas  fuerzas axiales en los miembros, así como las reacciones en los apoyos, como se mencionó con anterioridad.

Armazones con patas inclinadas El análisis de los armazones con patas inclinadas es semejante al de los armazones rectangulare rectan gularess considerado con anterioridad, excepto en que que cuando aquellos aquellos se sujesuje-

lo 15 Método de las pendientes-deflexiones

tan a ladeo, sus miembros horizontales también sufren rotaciones en las cuerdas, las cuales deben incluirse en el análisis. Recuerde, por lo visto en la discusión anterior, que las rotaciones de las cuerdas de los miembros horizontales de los armazones rectangulares, sujetos a ladeo, son cero. Considere el armazón con patas inclinadas que se muestra en la figura 15.14(a). Para analizar este armazón por el método de las pendientes-deflexiones, deben rela cionarse las rotaciones de las cuerdas de sus tres miembros entre sí o con una tras lación independiente de un nodo. Con ese fin, se sujeta el nodo C del armazón a un desplazamiento horizontal arbitrario A y se dibuja una forma deformada cualitativa de ese armazón, la cual debe ser coherente con sus condiciones de apoyo, así como con la hipótesis de que los miembros del mismo son inextensibles. Para dibujar la forma deformada, la cual se muestra en la figura 15.14(b), en primer lugar se imagina que los miembros  BD  y CD se desconectan en el nodo  D. Ya que se supone que el miem  bro  AC   es inextensible, el nodo C sólo se puede mover en un arco alrededor del  punto  A.   Además, ya que se supone que la traslación del nodo C   es pequeña, se  puede considerar que el arco es una recta perpendicular al miembro  AC. Por tanto, para mover el nodo C  en la dirección horizontal en una distancia A, se le debe desplazar en una dirección perpendicular al miembro  AC en  una distancia

 D' 

 D 2

 Dx

(b) Forma deformada del armazón debido al ladeo

Fig. 15.14

Sección 15.5

Análisis de armazones con ladeo

555

 D' 

(c) Rotación de cuerdas debido al ladeo

Fig. 15.14 ( Continuación)

CC'   (Fig. 15.14(b)), de modo que la componente horizontal de CC' es igual a A.  Note que aun cuando el nodo C tiene libertad para girar, su rotación se ignora en esta etapa del análisis y la curva elástica  AC'  del miembro AC  se traza con la tangente en C'   paralela a la dirección no deformada del miembro. El miembro CD permanece horizontal y se traslada como un cuerpo rígido hacia la posición C'DX, con el despla zamiento  DD\  igual a CC', como se muestra en la figura. Dado que se supone que el miembro CD es inextensible y que la translación del nodo  D es pequeña, el extremo  D  de este miembro se puede mover sólo en la dirección vertical a partir de su posi ción deformada  D\.   De manera análoga, como se supone que el miembro  BD es inextensible, su extremo  D  sólo se puede mover en la dirección perpendicular al  propio miembro. Por lo tanto, para obtener la posición deformada del nodo  D, se mueve el extremo  D  del miembro CD en la dirección vertical, a partir de su posición deformada Z>i, y el extremo  D  del miembro  BD  en la dirección perpendicular al

Método de las pendientes-deflexiones

ven a conectar para obtener la posición desplazada D '   del nodo D.  Al suponer qUe ej nodo  D no gira, se trazan las curvas elásticas C'D' y BD ', respectivamente, de i0s miembros CD y BD, para completar la forma deformada del armazón completo. Se puede obtener la rotación de la cuerda de un miembro al dividir el despiaza miento relativo entre los dos extremos de este último, en dirección perpendicular al mismo, entre la longitud del propio miembro. Por tanto, a partir de la figura 15. 14^ se puede ver que las rotaciones de las cuerdas de los tres miembros del armazón quedan dadas por  CC W ac  = — ~— m

DD ' V bd  = — ~— h.

DXD '  V c d  = - “ L

(15.26)

en las cuales las rotaciones de las cuerdas de los miembros  A C y BD  se consideran como negativas porque giran en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj (Fig. 15.14(c)). Las tres rotaciones de las cuerdas se pueden expresar en térmi nos del desplazamiento A del nodo por la consideración de los diagramas de despla zamientos de los nodos C y D,  mostrados en la figura 15.14(b). Dado que CC' es  perpendicular a AC, el cual está inclinado un ángulo /3j con respecto a la vertical CC ' debe formar el mismo ángulo con la horizontal. De donde, a partir del diagra ma de desplazamiento del nodo C (triángulo CC'C2), se puede ver que CC 

eos A

(15,27)

Enseguida, consideremos el diagrama de desplazamiento del nodo  D   (triángulo  D D iD ’). Se ha demostrado con anterioridad que  DD\  tiene igual magnitud y es para lela a CC'. Por lo tanto,  DD2 =  DD\   eos  fíi = A

Ya que D D ’ es perpendicular al miembro  BD, forma un ángulo Por tanto, a partir del diagrama de desplazamiento del nod o D,

con la horizontal.

 DD2 A  D D ' = ----- f - = ----- — eos p 2 eos p 2

 D \D '  =  D D { sen

(15.28)

+ DD'  sen ^ = —  —z~ sen &  + — sen  B2 eos pj eos p 2

o bien,  D \D '  = A(tan

+ tan P2) 

(15.29)

Al sustituir las ecuaciones (15.27) a (15.29) en la ecuación (15.26), se obtienen las rotaciones de las cuerdas de los tres miembros en término s de A: W  a c 

=

 Ly eos /?!

(15.30a)

Sección 15.5

Análisis de armazones con ladeo

55 7

Se pueden usar las expresiones anteriores de rotaciones de las cuerdas para es cribir las ecuaciones de las pendientes-deflexiones, relacionando de este modo los momentos en los extremos de los miembros con los tres desplazamientos descon oci dos de los nodos, 6c, 6q y A. Como en el caso de los armazones rectangulares consi derados con anterioridad, se pueden establecer las tres ecuaciones de equilibrio necesarias para la resolución de los desplazamientos desconocidos de los nodos al sumar los momentos que actúan sobre los nodos C y D y  al sumar también las fuer zas horizontales que actúan sobre el armazón completo. Sin embargo, para los arma zones con patas inclinadas, suele ser más conveniente establecer la tercera ecuación de equilibrio sumando los momentos de todas las fuerzas y  pares que actúan sobre el armazón completo, respecto a un centro de m omentos O,  el cual está localizado en la intersección de los ejes longitudinales de los dos miembros inclinados, como se muestra en la figura 15.14(d). Se puede determinar la ubicación del centro de mo mentos O por la aplicación de las condiciones (véase la figura 15.14(d))

(15.31a)

 a  i eos /?! =  a 2 eos /?2  a\ sen

(15.31b)

+ a2 sen /k =  L

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (15.31a) y (15.31b) para axy a2, se obtiene

«i = ----- ^------ k -------- ;r-

(15.32a)

ao = ----- ------- ^ -------- —

(15.32b)

eos p, (tan p, + tan p2)

eos p 2(tan Pi + tan p2)

Una vez que se han establecido las ecuaciones de equilibrio, el análisis se puede completar de la manera usual, como se realizó con anterioridad.

Armazones de pisos múltiples El método anterior se puede extender hacia el análisis de armazones de p isos múlti ples sujetos a ladeo, com o se ilustra mediante el ejemplo 15.10. Sin embargo, d ebido a los cálculos que se requieren, actualmente el análisis de esas estructuras se lleva a cabo en computadoras, utilizando la formulación matricial del método de los des plazamientos que se presenta en el capítulo 17.

EJEMPLO

15.8

SOLUCIÓN

Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para el armazón mostrado en la figura 15.15(a), por el método de las pendientes-deflexiones. Grados de libertad   Los grados de libertad son 6C, 0Dy A (véase la figura 15.15(b)).  Momentos en los extremos fijo s Usando las expresiones de los momentos en extremos fijos que se dan en el interior de las guardas posteriores del libro, se obtiene

2 EFCD=  4Q(3)(,4) ■ = 39.2 kN ■ n O  J  (7)

0

+ 39-2 kN ' m

40(3) (4) -0- - = 29.4 kN • m } (7)2 (7)

o

- 29.4 kN *m

EFnr =

EF^c = EFca - EFflo = EFoa = 0

558

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

r* „ k i síb) se puede ver que  Rotaciones de las cuerdas A partir de la figura A tyAC --- y  y/DD~

A

c d  W  

 = 0

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones

mac =  M ca =

2 El

1

2E l

Q r-  3 20 c

Ai VV

- 3

v 7 y,

( 2)

= 0.571 El 0C+ 0.122£/A

40 kN

40 kN

t

(1)

=0.2S6EI6C+ 0.122Æ/A

 D

5m 7m  B

4m 3m E l -  constante (a) Armazón

(c) Diagrama de cuerpo libre del armazón com pleto

-i—M,CA

*CA

 M  DB

 D

SDB ~T~

5m 7m  B

S bd 

^ M  bd  í 

(b) Forma deformada cualitativa de] armazón

Fig. 15.15

4

$ AC 

(d) Diagramas de cuerpo libre de las column as AC y BD

Sección 15.5

Análisis de armazones con ladeo

40 kN

l 23.53

3 " 58 — — .D t^21.3 ZTI

16.47

M-

16.47

23.53

21V bD

5. 8—

C 

 B

5 .8 — ^

'

16.47 5.8 14 .6^

23.53

(e) Momentos en los extremos de los miembros, cortantes y fuerzas axiales

40 kN

5.8

23.53

(f)

Fig. 15.15 (Continuación)

Rea cciones en los apoyos

] 5 Método de las pendientes-deflexiones

 MBd  =

 2 El  5

= O.4£/0D+ 0.24EIA

eD-3 

 M db = 2£7 26D-3

= 0.8 EI6d + 0.24£7A

5

 M cd  =  Mpc =

 2EI  (20c + 0o) + 39.2 = O.571£/0C+ 0.286 E16  d  + 39.2 7  2EI 

(0C+ 20o) - 29.4 = 0.286 E16c + 0.571 E/6 D - 29.4

(3) (4)

5

( )

(6)

 Ecuacio nes d e eq uilibrio  Al considerar el equilibrio de los momentos de los nodos C y D, se obtienen las ecuaciones de equilibrio

 M qa + M cd  —0

(7)

 M db + Mpc = 0

(8)

Para establecer la tercera ecuación de equilibrio, se aplica la ecuación de equilibrio de las fuerzas ÜFX  = 0 al cuerpo libre del armazón completo (Fig. 15.1 5(c)), para obtener S a c   + Soh  = 0

en la cual SAc  y S bd  representan las cortantes en los extremos inferiores de las columnas  AC  y  BD , respectivamente, como se muestra en la figura 15.15(c). A fin de expresar las cortantes en los extremos de las columnas en términos de los momentos en esos mismos extremos, se trazan los diagramas de cuerpo libre de las dos columnas (Fig. 15.15(d)) y se suman los momentos respecto a la parte superior de cada columna:

o _  M a c +M ca ^AC ~ ------ 1------

S bd  =

1

 M b d 

+ M DB 5

Sustituyendo estas ecuaciones en la tercera ecuación de equilibrio, se obtiene

 M ac  +M ca +  MBD+ MDB _ 7

5

la cual se p uede volver a escribir como  5 (M ac  +  M cA) + 1{M bd  +  M db ) = 0

(9)

 Des plaza mientos de los nod os  Para determinar los desplazamientos de sconocid os de los nodos, 6C, 0D y A, se sustituyen las ecuaciones de las pendien tes-deflexiones (ecua cione s (1 -6) ) en las de equilibrio (ecuaciones (7-9)), para obtener

1.142 ElQc  + 0.286 EI6D + 0.122£7A = -3 9.2

(10)

0.28 6EIdc  + 1 3 1 \E W D + 0.2 4£ /A = 29.4

(11)

4.285 EId c + 8.4EIQD + 4.58£YA = 0

(12)

Si se resuelven de manera simultánea las ecuaciones (10-12), da  EI0 d   = -40 .211 kN • m2  EIG d   = 34.24 kN • m2  E l A =   -2 5.1 77 kN • m3  M om ento s en lo s extrem os de lo s m iem bro s Al sustituir los valores numéricos de  EI dc,  EIO d   y E l A   en las ecuaciones de pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-6)), se obtiene

Sección 15.5

 M b d 

-I . '

Análisis de armazones con ladeo

=? 7.7 kN. • m

ReSp.

A Ídb ~  21.3 kN ■m

.-.

 M C d  -   26

561

..

kN • m

’i' •

Resp.

-

Resp.

1.3 kN* m

ó

21.3 kN • m

Resp.

Pasa Comprobar que la resolución de,la$ epuaeiones’simultáneas (ecuac iones (1 0-12)) se ha llevado a cabo de módp correcto, se su stituyen los valores numéricos de los m omentos en los extremos de los miem bros de regreso eo las ecuaciones de equilibrio (ecuacione s (7—9)):  M  c a +  H 

•i ¿hl 

[3 ,0

■¡i» íí-

JÍTI

0 ,

•'

c d 

=

-2 6  + 26

=

0

Coincide

 Mqb + Mdc  = ^21.3,-21.3 = 0

Coincide

'5(Mac+ Mca) +'"HMbó +'M:ób) - 51-14.6 -2 6 ) + 7(7.7 + 21.3) = 0

Coincide

Cortantes en los extremos fie los miembros  Las cortantes en los extremos de los miembros, obtenidas al considerar el equilibrio de cada uno de estos últimos, se muestran en la figura - ■ 15,15(e). . - ■ ■-

i'fj n-^b-LHj jí* r.:>n

.Fuerzas axiales en los miembros fZ on oc ié^  las;£ortantes en los extremos, ahora se pueden (..evaluar las fuerzas .axiales.en los-miemb ros al considerar el equ ilibrio de los n odos C y  D. Las fuerzas axiales obtenidas de este modo se muestran en la figura 15.15(e). "Reacciones en los apoyos Véase la figura Í5.15(f).

Resp.

Comprobación del equilibrio  Se satisfacen las ecuaciones de equilibrio.

EJEMPLO 15w9

S O LU C l Ó N

1Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para el armazón . mostrado en la figura 15.16(a), por el método de las pendientes-deflexiones. Grados de libertad   Los grados:de libertád son 6C, 0Dy A.  Mom entos en los extrem os fijos  Supuesto que no se aplican cargas externas a los miembros, -,los momentos en los extremos fijos son cero.  Ro tacion es de las cuerdas  A partir de la figura 15rl6(b), se puede ver que

A

CC' 

V a c =   ------- = Y

20

20

=

-0.0625A

 if/sD  = — —- =  ——   = -0.0625A lo lo

 /y\¥c d  =,

r 'r  20

A

- A /

20

« .= 0.0375A

Ecuaciones de las pend ientes-deflexiones 2E l  MAc   = ------ [0d  -  3(-0.0625A)] = 0AEI6C + 0.0188 £/A

(1)

2 El  M ca = ------[20c - 3(-0.0625A)] = O.2£/0C + 001 88 £/A

(2)

 Mbd = —  [60 - 3(-0.0625A)] = O.125£/0D+ 0.0234E/A

(3)

20

20

16

f

'.

Capítulo 15 Método de los pendientes-deflexiones

2 El

 M d b   = T 7 ’ Í2 ° d  -  3(-0.0625A)] = 0.25E16o + 0.0234£ /A 16

2FI 

 M c d   = —

(4)

[20c + 0D-  3(0.0375A)] = 0.2 E16c + O.1£/0D- 0.0 113£/A

(S)

2 El  Mo c = — [2Qd + 6c -  3(0.0375A)] = 0.2E16 d  + 0.\EI0c ~ 0.0113 £/A

(6)

Ecuaciones de equilibrio   Considerando el equilibrio de momentos de los nodos C y D, se obtienen las ecuaciones de equilibrio  M c a  +  M c d  = 0

(7)

 M db + M dc  —0

(8)

La tercera ecuación de equilibrio se establece al sumar los momentos de todas las fuerzas y  pares que actúan sobre el cuerpo libre del armazón completo, respecto al pu nto O , el cual se localiza en la intersección de los ejes longitudinales de las dos c olum nas, c om o se muestra en la figura 15.16(c). De donde, + C H M o = 0

Ma c -  S*c(53.33) +  MBD-  SflD(42.67) + 30(26.67) = 0

en la cual las cortantes en los extremos inferiores de las columnas se pueden expresar en términos de los momentos en los extremos de esas columnas como (véase la figura 15.16(d)) o  M a c + M q i M Sac~

_ y

c M BD+M DB 16 SbD~

(a) Armazón

i

Fig. 15.16

Sección 15.5

Análisis de armazones con ladeo

(c) Diagrama de cuerpo libre del armazón completo

 M  DB

 D

'DB

16 ft

 M  BD

 M ac % (d)

Diagramas de cuerpo libre de las columnas AC y BD

Fig. 15.16 (Continuación )

563

564

Capítulo 15 Método de las pendientw-deflexiones

c

30 k

t

t 85.1

12.36

F

 D | 8.8

8.8

17.62

A .,2 .3 6 - ( r - |0 91 8.8

12.36

91 ^ “  D

8.84

12.36

J? 106.7

8.8 (e) Momentos en los extremos de los miembros, cortantes y fuerzas axiale

Sí';17.64

8.8

8.8

Fig. 15.16 ( Continuación)

(f) Reacciones en los apoyos

\

 N

Al sustituir estas expresiones en la tercera ecuación de equilibrio, se obtiene

1.67M ac + 2.67

+ 1-67A4qd + 1.61 Mq#  = 800

(9)

 Despla zam ientos de los nodos  La sustitución de las ecuaciones de las pe ndientes-deflexiones (ecuaciones (1-6)) e.i ias de equilibrio (ecuaciones (7-9)) da OAEWc + OAEIOo + 0.0075£/A = 0

0. l£/ 0c + 0A5EI0D + 0.0121£/A = 0 0.71 EIQc + O.877£/0o + 0.183E/A = 800 Al resolver de manera simultánea las ecuaciones (10-12), se determinan E!QC =  -66.648 k-ft2 E10d   = -125.912 k-ft2

E/A = 5233.6 k-ft3

( 10)

( 11) ( 12)

Análisis de armazones con ladeo

Sección 15.5

56 5

 Mom en tos en los extre mos de los miembros   Sustituyendo los valores numéricos de  EId c,  EI6  d  y El A  en las ecuaciones de Jas pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-6)), se obtiene  MÁC   = 91.7 k-ft

Resp.

 M C   a =   85.1 k-ft }

Resp. •i

 M  bd   = 106.7 k-ft }

Resp.

 MD b =   91 k-ft }

Resp.

 M cd  = -8 5.1 k-ft

 M  d c = -9 1 k-ft

o

Resp.

85.1 k-ft )

o

Resp.

91 k-ft }

La sustitución de los valores numéricos de los mom entos en los extremos de lo s m iembros de regreso en las ecuaciones de equilibrio, da

,

 Mca + M cd   = 85.1 - 85.1 = 0

Coincide

 Mdb + M dc   = 91 - 91 = 0

Coincide

\.61M  ac  + 2.61M  ca  + \.61M BD+ 2.61 M D b =   1-67(91.7) + 2.67(85.1)

+ 1.67(106.7) + 2.67 (91)

.i •

I ::

= 801.5 ^ 800

Coincide

■ .,

Cortantes en los extremos, de losM iemb ros y fue rzas axiales   Véase la figura 15.16(c).  Reacciones en los apoy os  Véase la figura 15.16(f).

Resp.

Comprobación del equilibrio  Se satisfacen las ecuaciones de equilibrio.

 f. f  i

IV,. •• !

! .i

JEMPLO 1 5 . 1 0 , Determine los momentos en los extremos de los miembros, las reacciones ,en los apoyos y la . ¡ deflexión horizontal del nodo jF^deji armazón de dos pisos mostrado eq la figura 15.17(a), por tv_' . el método de las pendientes-deflexiones. i ¡ - ir V ‘ '  / :,i ' ()íi" r = , : . A i ’' |! SOLUCION

orí

¡t 0'

■

Grados de libertad  A partir de la figura 15.17(a), se puede ver que los nodos C,  D, E  y /'’del armazÓQ tienen libertad para girar y trasladarse en la dirección horizontal. Como se muestra en la figura 15.17(b), el desplazamiento horizontal de los nodos C y  D   del primer piso se designan como Aj, en tanto que el desplazamiento horizontal de los nodos  E y F del¡segundo se expresan como Ai + A2, representando con A2 el desplazamiento de los nodos del segun do piso con relación a los del primero. Por consiguiente, el armazón tiene seis grados de libertad; es decir,  9c , 0£>, 0£, Qf >Aj y A2.  Momentos en los extremos fijos  Los momentos diferentés de cero de los extremos fijos son

EF c d  =  EFe f  = 200 k-ft EFdc = EFF£ = -200 k-ft

V‘ \

 Rotacion es de las cuerdas   Véase la figura 15.17(b)!. V a c = W b d  - ~

¥   c, e =

AI 20

Wdf=~ ^

W  cd  = W  ef  = 0

t;; • i

566

Capífulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

Ecuaciones de las pendientes-deflexiones  Si se usa /c0|umna =

¡y

2/, se escribe

ma£Strj

 M ac   = 0.1 EIQC + 0.015E/A,

(1)

 M ca   = 0.2EIGC+  0.015E/A,

(2)

 M bd   = QAEIdo  + 0.015£YA|

(3)

 M d b   = O.2£/0d + 0.015E/A,

(4)

 M c e   = 0.2 EW c + QAEIOe  + 0.015£/A2

(5)

 M ec =  0.2 EI6 e  + 0.1 EIOc + 0.015£7A2

(6)

 M d f  = 0.2E1Qd  + OAEIdi.  + 0.015£/A2

(7)

 M  f d   = 0.2 Eldp + OAEIOd  + 0.015£/A2

(8)

 M c d   = 0.2EWc + QAEW d  + 200

(9)

 M d c = 0.2 EIQd  + 0AEI9C-  200

(10)

 M e f   = 0.2EI6 e  + 0AEI6  f  + 200

d i)

 M  f e   = Q.IEW  f   + QAEIQe  -  200

(12)

Ecuaciones de equilibrio  Al considerar el equilibrio de momentos de los nodos C, D, E  y F, se obtiene  M ca  +  M c d  +  M c e = 0

(13)

 MpB +  M q c  +  M q f  = 0

(14)

 M ec  +  M e f  — 0

(15)

 M  f d  +  M  f e = 0

(16)

1.5 k/ft

1.5 k/ft

T~ \

10 k

\

T I 

 D

 M,CE 

 X  •CE 

 M  DF 

°F t

 \

(c) Diagrama de cuerpo libre del piso de arriba

(a) Armazón 10 k

 A \.A 2

 A\ A2

 E

\

1.5 k/ft \ \

F  V c e

W a c

V d f 

~ J  C

20 k

\

\  F

1.5 k/ft ♦ *

\  D

V b d 

 B

 . J M*c |

(b) Rotaciones de las cuerdas debido al ladeo

Fig. 15.17

S BD

 M bd  |

(d) Diagrama de cuerpo libre del armazón coniptet0

Sección 15.5

i

Análisis de armazones con ladeo

1.5 k/ft _______ X ^

17.86

10 k

* 'd >

11A

c- I4 E

I

I

I

I

I — t ^ —— 17.86 /  F | -* 208.3

t n .

33.27

26.73

M-"

33.27

26.73 208.3

77.4 ^ — 7.86

 /) —

7.86

79.7

567

17.86 148.8

26.73

33.27 1.5 k/ft

20 k

7 - L 4 3 - ^13.2C

) — 1.43 | ^ 329.6

\c

22.09

A

V

37.91

48.82 66.5

D

71.18 10.71

180.8 D —

19.29

— 10.71 ' 147.8

ß —

19.29 204.9

48.82

71.18

(e) Momentos en los extremos de los miembros, cortantes y fuerzas axiales

1.5 k/ft

48.82

71.18

(f) Reacciones en los apoyos

Fig. 15.17 (Continuación)

alo 15

Método de las pendientes-deflexiones

A fín de establecer las dos ecuaciones restantes de equilibrio, se pasa en forma sucesiva una sección horizontal precisamente arriba de los extremos inferiores de las columnas de cada piso del armazón y se aplica la ecuación de equilibrio horizontal (X Fx = 0) al cuerpo libre de la parte del armazón arriba de la sección. En las figuras 15.17(c) y (d), se muestran los diagramas <¿e cuerpo libre así obtenidos. Aplicando la ecuación de equilibrio X /7* = 0 al piso superior deí armazón (Fig. 15.17(c)), se obtiene $ C E  + $ D F   = 1 0 '

De modo análogo, al aplicar $a

c

= 0 al armazón completo (Fig. 15.1 7(d)), se escribe

+  $bd = 30

«

Expresando las cortantes en los extremos de las Columnas, en términos de los momentos en los extremos de las mismas, como i 

o

 M  a c + M c4

c

S a c - ------ --- ------

Sm -

_  M C e + M E c  o O CE  = --------------------------

 c

20

JDF =

 M  b d  + M  d b   - - - - -

---------------------------

20

;

y sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas, se obtiene 1  M.(2£  + M e c •M

M q f  ^ MpD — 200

(17)

+ M q b —200

(18)

 M  ac  +  M  ca +

 Desplazamientos de los nodos  La sustitución de ¡las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-12)) en las de equilibrio (ecuaciones (13-18)) da =

-200

(

19)

=

200

(

20)

=

-200

(

21)

=

200

(

22)

=

200

(

23)

=

200

(

24)

Resolviendo las ecuaciones (19 -24) por el método de eliminación de Gauss-Jordán (apéndi ce B), se determinan ' 1 ' ’  EWC = -812.988 k-ft2

£700 ^-241,556 k-ft2  L : . e  EI6   = -789.612 k-ft2

...........  .............................Í . . . _  .........

.....

E W F  = 353.248 k-ft2 E I A X  = 15 272.728 k-ft3

................... - -.............

o

A, = 0.0758 ft = 0.91 in ->

J

EIA2 = 10 787.8,78 k-ft3

• .

o

A2 = 0.0 536 ft = 0.643 in -»

Por tanto, la deflexión horizontal del nodo  F  del armazón es la siguiente: i i

 A f  = A, + &z = 0.91 + 0.64 3 = 1.553 i n ->

Resp.

 Mom entos en los extremos de los miem bros  Si se sustituyen los valores numéricos de los desplazamientos dé. los nodos en las ecuaciones de las pendientes-deflexiones (ecuaciones (1-12)), se obtiene ,,, .. Resp.  M ac = 147.8 k-ft }  \ '■■ i-■ ' - '<<” ■ . ' ' .i.":.'  M.ca  = 66.5 k-ft Resp.  Mbd  =

204.9 k-ft ^

Resp.

Resumen

569 Resp.

 M d b = 180.8 k-ft ^ 1 ' ií   •¡ •*

-79.7 k-ft

o

79 .7 Jc-ft }

R«P -

 M £ c - t 77.4 k-ft

o

77.4 k-ft }

ResP-

 M c é 

 M d f  - 148.8 k-ft }

Resp.

 M  f d  - 208.3 k-ft }

Resp.

 M c d  — 13.2 k-ft 3

Resp.

 M q c = -329.6 k-ft

o :

3 29 .6 k - f t } .. .

■

• ’

I •

!

'

•

. /.

 M e f  f  77.4 k-ft ^  M  f e = -208.3 k-ft

o

RespResp.

208.3 k-ft }

Resp.

La sustitución de los valores numéricos db los momentos en los extremos de los miembros, de regreso en las ecuaciones de equilibrio, da ' ' ■

v. --i y ■  M c a + Mczj'+ Mcé == 66.5 + .13 .2'- 79.7 = 0

;

.

Coincide

 M pB +  M d c  +  M d f  = 1 8 0 .8 -3 2 9 .6 + 148.8 = 0

¡

, , Coincide

 Mec +  Mef   - —77 A  + 77.4 = 0

Coincide

1  Mfd  +  M  f e = 208.3 - 208.3 = 0

Coincide

~ ................. Mce  +  Mec +  M df  +  Mfd ~ —79.7 —77.4 + 148.8 + 208.3 = *200

Coincide

 Mac  + Mca +  M¡$d  +  MpB = 147,8 + 65.5 + 204.9 + 180.8 —600

Coincide

Cortantes en lps:extremqs de los miembros y fuerz as axiales Véase la figura 15.17(e).

¡

.

.

.

 R e a c cio n es en lo s a po yo s Véase la figüra'15.17(f)-

1

í

,

,

^ u

i

.

kesp.

Com probación del equilibrio Se satisfacen las ecuacib^ie^s de equilibrio.

, ;:r - ' -i!,!- . ' i/i

RESUMEN •

;......... ..................

t

.. .... .

...

;■

.

. .

En este capítulo se ha estudiado un planteamiento clásico del método de los despla zamientos (rigidez), llamado método de las pendientes-deflexiones, para el análisis de las vigas y de los armazones. El método se basa en la ecuación de las pendientesdeflexiones: 2EI   Mc, = — — ( 2dc + 6 , - 3 \j/) + EFc/  L

:•

_pr!

la cual relaciona el momentos en los extremos de un miembro con las rotaciones y desplazamientos de sus extremos y las cargas externas aplicadas al mismo. En' esencia,7 el procedimiento1 para el análisis comprende: l).la identificación de V los desplazamientos desconocidos de los nodos (grados de libertad) de la estructura; 2) para cada miembro, se expresan las ecuaciones de las pendientes-deflexiones que relacionan lps momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos desconocidos de los nodos; 3) el establecimiento de las ecuaciones de equilibrio de |a estructura, en términos de los* momentos en los extremos de los miembros; 4) la sustitución de las ecuaciones de las pendientes-deflexiones en las de equilibrio y

570

Capítulo 15 Método de las pendientes-deflexiones

inientos desconocidos de Jos nodos, y 5) el cálculo de los momentos en los extremos de los miembros al sustituir los valores de los desplazamientos de los nodos de re greso en las ecuaciones de las pendientes-deflex iones. Una vez qu e se han evaluado los momentos en los extremos de los miembros, se pueden determinar las cortantes en los extremos de los miembros y las fuerzas axiales, así como las reacciones en los apoyos a través de consideraciones de equilibrio.

▼▼ ▼

P R O B L EM A S

Sección 15.3

15.1 al 15.5 Determine las reacciones y trace los diagramas de la cortante y del momento flexionante para las vigas mostradas en las figuras P15.1 -P 15.5, usando el método de las pendientesdeflexiones.

2 k/ft  B

15 ft 15 ft E= lOOOOksi 7= 300 0 in4

15.6 Resuelva el probjema 15.2 para_la^carga que se muestra en la figura P15.2 y un asentamiento de y in en el apoyo 5 15.7 Resuelva el problema 15.4 para la carga que se muestra en la figura P15.4 y los asentamientos de los apoyos de 1  j  in en  B y   1 ín en C.

Fig. PTE47-P15.Z

25 kN/m

 AÆ  18 k 

10 k 

 B

D

t~ 0

 B 20 m

10 m

7

1 27 E  = 200 GPa  I = 500(106) mm4

Fig. P15.5

20 ft --------J-10 ft - j- ---- 15 ft — - |----- 15 ft E I = constante

15.8 al 15.14 Determine las reacciones y trace los diagramas de la cortante y del momento flexionante para las vigas mostra das en las figuras P15.8-P15.14, usando el método de las pen dientes-deflexiones.

Fig. P15.1 25 k 

I

1k/ft

 j i j í r~~r - 1 i i ■3C

30 ft

30 ft E=

 D

m

3 k/ft

i  \ b

e n

1.5 k/ft

 \ \  ♦

30 ft

29 000 ksi /= 3500 in4 El  = constante

Fig. P15.2, P15.6 Fig. P15.8

9m

Fig. PI5.3

100 kN

100 kN

 B

\

\

”~3sr-

c

 D

6 m

6 m - 21

20 kN/m

TTTTT

O THTíl

60 kN

I  D

6m

8 m— 

4 m -|—4 m —j

E l  = constante £ = 70 GPa 7= 800 (106 ) mm4

Fig. P15.9, P15.15

 D

Problemas

i   fc/ft

iT D f f iö

J k

15.15 Resuelva el problema 15.9 para la carga que se muestra en la figura P 15.9 y un asentamiento de 25 mm en el apoyo C.

!

10 ft

15 ft

15.16 Resuelva el problema 15.12 para la carga que se muestra en la figura P15.12 y los asentamientos de los apoyos de ^  in en el A\   4 in en el C; 3 in en el E y 2 \   in en el G.

 D

10 ft

£7 = constante

fi»

Sección 15.4

P15.10

80 kN

15.17 al 15.20 Determine los momentos en los extremos de los miembros y las reacciones para los armazones mostrados en las figuras P15.17-P15.20, usando el método de las pendientesdeflexiones.

20 kN/m

I

25 kN/m

£ T T T T T T T T T 1 c  D

 B d  m

571

10 m

5 m — 

£ / = constante fig. P 1 5 .ll

15 k

30 k

I

1

C 

SET

 AJ3T-Π

30 k 

E

(

i 1

 D

- l O f t + l O f t - ---- 15 ft—  [—10 ft-l—10 ft-] — 15 ft—  1

/

21 £ = 29 000 ksi

/ / = 5000 in4

 El -  constante

£ = 29 000 ksi / = 3500 in4

Fig. P15.12, P15.16

15 kN/m

IHHIHHHTIHHHHTT  B

 — 6 m

6 m

6m

3 k/ft

 D

C 

6m

El  = constante Rg.P15.13

40 k

1.5 k/ft

40 k 

I c l l l H M U n £ L «¿T

 B

10 ft 10 ft -

F 

 D

■— 20 ft

-— OH ¿\j nff

------------- 2/

-

r 10 ft 10 ft

------------ ]  1

 I  — ■

£ = constante

F»g. P15.14

Fig. P15.19

572

Capítulo 15

Método de las pendientes-deflexiones

3 k/ft

E = constante

Fig. P 15.20

1.5 k/ft

15.21 Resu elva el problem a 15.17 para la carga que se muestra en la figura P15.17 y un asentamiento de 50 mm en el apoyo  D. 15.22 Res uelva el prob lema 15.18 para la carga que se mues tra en la figura P15.18 y un asentamiento de j in en el apoyo  A. 15.23 Determ ine los mom entos en los extremos de los miem  br os y las reac ci on es para el armazón de la figu ra P1 5.2 3 y la carga mostrada, con asentamien tos de los apoyos de J J n en el  A y 14 in en el  D.  Use el método de las pendientes-deflexiones.

Sección 15.5 15.24 al 15.31 Determ ine los mom entos en los extremos de los miembros y las reacciones para los armazones mostrados en las figuras P15.24 a P15.31, usando el método de las pendientesdeflexiones.

Fig. P15.25

'' \  *í

* r n i  \  n 2 k/ft

15 k 

El  = constante

ir) *>

FT t t t t t tT I

c

 D

^.nrcnjTn, Oí I............... ¡...  ,.i ■ .

Fig. P15.23

--------- —— 25 ft —;---

Fig. P 15.26

r•

25 ft

A

E=  10 000 ksi 7=3000 in4

i n

 BA