[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
MULȚIMEA NUMERELOR COMPLEXE
a, b a, b
a) Asociativitatea: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 , z2 , z 3
Pe aceasta mulțime se iau z1 a1; b1 și z2 a2 ; b2 și se definește: 1. ADUNAREA : z1 z2 a1 a2 ;b1 b2
2. PRODUSUL : z1 z2 a1 a2 b1 b2 ;a1 b2 a 2 b1
Dacă z1 a1 ; 0 , z2 a2 ; 0 , z1 , z 2 0 z1 z2 a1 a2 ;0 . Deci pe
III.
operațiile devin: z1 z2 a1 a2 ;0 și
IV.
Comutativitatea: z1 z2 z2 z1 , z1 , z 2
c)
Elementul neutru este 0 0 i 0
d)
Elementele opuse z
a) Asociativitatea: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , z1 , z2 , z 3
not
se poate scrie
z a; b a; 0 b; 0 a bi . Def: Mulțimea pe care am definit operațiile algebrice de adunare și înmulțire se numește mulțimea
b)
Comutativitatea: z1 z2 z2 z1 , z1 , z 2
c)
Elementul neutru este 1 1 i 0
d)
Elementele inversabile. Numărul z 1
z
z z a ib, a, b ,i 2 1 e)
: z z
1
z 1 z 1, z
z 1 împărțit la z 2 0 .
coeficientul părții imaginare a numărului complex z Re z i Im z 1. 2.
Obs.:
Dacă b 0 , atunci z a și deci Dacă a 0,b 0 , atunci z bi se numește număr complex pur imaginar și imaginar și notăm
i bi b
*
*
II.
z1 z2 a1 a2 i b1 b2
z2
z1
i i
b a 2 b2
i
z 1
a1a 2 b1b2 a12 b12
i
z 2
și citim
a1b2 a2b1 a12 b12
4 k 1
i
i i
i 1 2
i
4k 2
i 1
3
1
i
4 k 3
4
i
i
4k
1
CONJUGATUL UNUI NUMĂR COMPLEX not
Def: Conjugatul numărului complex z a bi este numărul complex z a ib a ib .
Proprietăți: z z
z z
a
b)
2 2 z z a b , z
c)
z1 z 2 z1 z2 , z1 , z 2
2
, z
și ib
a)
Adunarea: Suma a două numere complexe este un număr complex având partea rea lă
egală cu suma părților reale și partea imaginară egală cu su ma părților imaginare.
a a 2 b2
PUTERILE LUI i i
sunt egale dacă le coincid atât părțile reale, cât și părțile imaginare. a1 a2 a1 ib1 a 2 ib2 b1 b2
z 1
nu este ordonată.
OPERAȚII CU NUMERE COMPLEXE I. Egalitatea a două numere complexe: Dacă z1 a1 ib1 și z2 a2 ib2 , atunci spunem că
este inversul lui
Împărțirea: Dacă z1 , z2 , z 2 0 , atunci în loc de z1 z 2 1 vom utiliza
V.
numește partea reală, bi se numește partea numește partea imaginară , iar b Im z este a Re z se numește partea
Obs.
*
*
z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3 , z1 , z2 , z 3
,i 2 1 este forma algebrică a unui număr complex. " " nu indică
adunarea, ci separarea părții reale de cea imaginară.
*
: z 1 1 z, z
Distributivitatea în raport cu adunarea numerelor complexe:
FORMA ALGEBRICĂ A UNUI NUMĂR COMPLEX Exprimarea z a bi, a, b
: z z z z 0, z
Scăderea: Operația prin care oricăror două numere complexe se asociază diferența lor. Înmulțirea: z1 z2 a1 ib1 a2 ib2 a1a 2 b1b2 i a1b 2 b1a 2
Avem x2 0;1 0;1 0 1; 0 1 1 0 1; 0 1 . Elementul 0,1 i și se numește unitatea
numerelor complexe.
: z 0 0 z, z
Proprietăți:
0 avem aceleași reguli. Identificăm a;0 a, a
imaginară. Deci i 2 1 . Un element z a; b
b)
2
, z
n
sau
n
z z , z k
k
k
, k 1, n
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
d)
z1 z2 z1 z2 , z1 , z 2
n
sau
n
z z , z k
k
k 1
k
, k 1, n
z z , z
f)
z1 z 1 , z1 , z 2 z 2 z 2
g)
h)
z
z z
i)
z i
*
n
Def: Rădăcina pătrată a numărului complex z a bi este numărul complex cu proprietatea că r 2 z .orice număr complex nenul admite două rădăcini pătrate opuse.
2 2 x y a 2 Dacă z a ib z r x iy x y 2 a 2 b 2 b xy 2 REZOLVAREA ECUAȚIEI DE GR. II CU COEFICIENȚI REALI
z z , z
z z
MODULUL UNUI NUMĂR COMPLEX
1. not
Proprietăți: z 0, z
b)
z 0 z 0
c)
z z , z
d)
z
e)
2
2. n
sau
z
k
zk , z k , k 1, n
z 1 z
h) i)
z 1 z2
k 1
z 1 z 2
Ecuația are rădăcină dublă
b i 2a
x1 x2
b
x1,2
2a
2
1
z 1,2
b
z
2a
z1 z2 z1 z2 z1 z2 , z1 , z 2
Inegalitatea triunghiului sau inegalitatea
z1 z2 z1 z2 z2 z1 , z1 , z 2 , 0
b b 2 2 0 z 2 2az b 2a 4a 2a 4a 2
a z
, z1 , z 2
Dacă z 1 , atunci z z 1 , adică z 0 și z complexe, procedăm astfel:
2a
și soluțiile sunt
2
r u r u Rezolvăm ecuația redusă y 2 u iv, v 0 y1,2 i sgn v unde 2 2 r
. Revenind obținem z1, 2
1 2a
b y . 1, 2
Obs. 1.
b
2
Minkowski.
j)
0 Ecuația are rădăcini reale distincte
b Ecuația se scrie sub formă canonică az 2 bz b z c 0 a z 0 2a 4a
z n , z
g)
0
2 Dacă az bz c 0, a, b, c , a 0 avem b 4ac
n
k 1 n
2
REZOLVAREA ECUAȚIEI DE GR. II CU COEFICIENȚI COMPLECȘI
z1 z2 z1 z2 , z1 , z 2 z
2
x1,2
z z , z
f)
Dacă ax bx c 0, a, b, c , a 0 avem b 4ac și :
0 Ecuația are rădăcini complexe, conjugate
Def: Modulul numărului complex z a bi este numărul pozitiv z a 2 b 2 . a)
Pentru zk , k 1, n există inegalitatea z1 z2 ... z n z1 z2 ... z n .
RĂDĂCINILE PĂTRATE ALE UNUI NUMĂR COMPLEX
n
e)
2.
k 1
z1
z1 z 2
1
z
1 2
RELAȚIILE LUI VIETE
. Deci pentru a împărți două numere
z1 z 2
b S x1 x2 a 2 Dacă ax bx c 0, a, b, c , a 0 și x1 , x2 soluții avem . c P
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
Obs.
2. Afixul z M al mijlocului M al unui segment AB este z M
1.
Dacă x1 , x2 soluții atunci avem x12 x22 S 2 2P
2.
Dacă Sn x1n x2 n obținem relația de recurență: aSn bSn 1 cS n 2 0
3.
Dacă se cunosc soluțiile x1 , x2
2
, unde z A , z B sunt afixele
punctelor A , respectiv B .
not
, ecuația de gradul II cu aceste soluții are forma
3. Afixul z G al centrului de greutate G al unui ABC este z G
2 x Sx P 0
4.
z A z B
z A zB z C 3
, unde z A , zB , z C sunt
afixele punctelor A , B respectiv C .
Dacă x1 , x2 sunt soluțiile complexe ale ecuației ax bx c 0, a, b, c , a 0 , atunci 2
4. Punctele M1 z1 ; M 2 z2 ; M 3 z3 ; M 4 z 4 sunt vârfurile unui paralelogram
z1 z 3 z2 z 4
ax bx c a x x1 x x 2 2
5. Dacă M1 z1 ; M 2 z2 ; M 3 z3 ; M 4 z 4 sunt coliniare și M1M 3 și M 2 M 4 au același mijloc,
ECUAȚII BIPĂTRATE ax 4 bx bx 2 c 0, a
*
, b, c
atunci M1M 2M 3M 4 se numește paralelogram degenerat.
not
. Pentru rezolvare facem notația x 2 t și obținem ecuația de
notație și se rezolvă x 2 t 1 respectiv x 2 t 2
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A NUMERELOR COMPLEXE
a.
Pentru M P cu afixul z , avem z OM
b.
A, B P cu afixele z A , respectiv z B , avem AB z A z B Fie punctele M1 z 1 si M 2 z 2 . Masura unghiului orientat
7.
Def: Fie reperul ortonormat O, i, j în planul P și punctul M a; b . Se numește afix al punctului
M numărul complex a ib . Se numește afix al vectorului OM numărul complex a ib . Punctul M este imaginea geometrică a numărului complex a ib , iar vectorul OM este vectorul
z M 2OM 1 este m M 2OM 1 arg 2 z 1
Atunci: a. b.
Axa Oi este axa reală, iar axa O j este axa imaginară.
8. Fie A, B, C trei puncte din plan, distincte două câte două, cu afixele z A , z B ,respectiv z C .
imagine al numărului complex a ib .
Punctul M de afix z se notează M z .
m AB, AC AC arg
punctul M , simetricul lui M față de axa Oi .
zC z A zB zA zC zB
ii.
z z A arg C 0, z A z B z B z A
iii.
a 2 b2 . Dacă M este
imaginea numărului complex z a ib în planul P cu reperul ortonormat O, i, j , atunci
z OM este lungimea vectorului.
1. Afixul z M al punctului M care împarte un segment M1M 2 în raportul
M1M MM 2
0 este z M
z1 kz 2 1 k
z B z A zC z A
*
9. Punctele O, A, B sunt coliniare
APLICAȚII ALE NUMERELOR COMPLEXE ÎN GEOMETRIE
k
z B z A
i.
'
zC z A
Punctele A, B, C sunt coliniare
Dacă M este imaginea numărului complex z a ib , atunci imaginea conjugatului său este Modulul numărului complex z a ib este numărul real pozitiv z
6. Fie reperul ortonormat O, i, j din planul P .
gradul II cu coeficienți reali at 2 bt c 0 . Soluțiile ecuației obținute sunt t1 , t 2 , se revine la
, unde z1 , z 2 sunt afixele punctelor M 1 , respectiv M 2 .
astfel încât z B z A .
10. Vectorii v1 , v2 de afixe z 1 , respectiv z 2 sunt coliniari z1 z2 z2 z2 0 Im z1 z 2 0 11. Fie punctele M1 z1 ; M 2 z2 ; M 3 z3 ; z1 z 2 . Vectorii M1M 2 , M1M 3 sunt ortogonali
z z Re 3 1 0 z2 z 1
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
12. Vectorii v1 , v2 de afixe z 1 , respectiv z 2 sunt ortogonali z1 z2 z2 z1 0 Re z1 z 2 0 13. Dacă A z A ; B zB ;C zC ; D z D atunci AB CD
z B z A z D z C
*
z D zC
z z 3 ; D C i z B zA 2 2 zB z A
*
z A zC z B zC
arg
z A zD zB zD
arg
zA zC zB zC
16. Dacă ABC și A B C sunt asemenea, atunci avem: '
'
'
17. Ecuatia cercului de centru
M
o
z o si raza
2 3
i sin
Dacă A C IV atunci
y arctg x
3 2
tg
x a rctg y
x y
not
:
zA zD zB zD
z B z A zC zA
0 zB ' z A ' zC' z A'
not
Deci Arg z arg z 2k k
zA z C zB zC
:
zA z D zB z D
.
.
Dacă z1 r1 cos 1 i sin 1 și z2 r2 cos 2 i sin 2 , atunci: 1) Înmulțirea: z1 z2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
0 este z zo r . r
a.
Modulul produsului este egal cu produsul modulelor
b.
Argumentul produsului este suma argumentelor nuimerelor date. n
2
Obs. Dacă zk rk cos k i sin k , k 1, n atunci
3
FORMA TRIGONOMETRICĂ A NUMERELOR COMPLEXE
2)
n
a.
interpretarea geometrică a modulului unui număr complex avem r z . Unghiul 0;2 se
b.
complex punctul M , r , se numesc coordonatele polare ale punctului M . Numărul pozitiv r se
numește raza polar ă, iar argumentul polar .
n n z r z
trigonometrică a numărului complex. Deci z r cos 2 i sin 2 r cos i sin
a.
Dacă A C I atunci tg
2.
Dacă A C II atunci
y x
y arctg x
tg
x
x a rctg
z1 z2
r 1 r2
z1 z2
n cos i sin cos n i sin n
r 1
cos 1 2 i sin 1 2 , z 2 0 r 2
z 1 z 2
b. Argumentul câtului este diferența argumentelor numărătorului și numitorului. Rădăcina de ordin n dintr-un număr complex
2k
a.
Numărul complex Z cos i sin , Z 0 este rădăcina de ordin
Zk n r cos
EXPRIMAREA COORDONATELOR POLARE 1.
4)
Argumentul puterii unui număr complex este egal cu produsul argumentului numărului și exponentul puterii
3) Împărțirea a două numere complexe:
numește forma Reprezentarea numărului complex sub forma z r cos i sin , 0; 2 se
n n n rn cos k i sin k k 1 k 1 k 1
n
Obs: formula Obs: formula lui MOIVRE : dacă z 1 atunci:
2 2 x y
k 1
k
n
x r cos și y r sin r
z
Ridicarea la putere: z r cos n i sin n
Fiecărui număr complex z a ib îi corespunde un unic punct în plan M a;b . Ținând seama de
arg z . Elementele care poziționează în planul numește argument redus și se notează
.
OPERAȚII CU NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ TRIGONOMETRICĂ
18. Fie A, B, C trei puncte in plan. Triunghiul ABC este echilateral dacă z A zB 2 z C 0 , unde cos
4.
y x
Mulțimea tuturor argumentelor numărului complex z se notează Arg z arg z 2k k
.
15. Dacă A z A ; B zB ; C zC ; D z D atunci sunt conciclice dacă avem
echivalențele: arg
Dacă A C III atunci tg
.
14. Dacă A z A ; B zB ;C zC ; D z D atunci
AB CD arg
3.
n
i sin
2k , k 0, n 1 n
n, n , n 2 a numărului complex z r cos i sin , z 0 , dacă Z n z . b.
Rădăcinile de ordin n a numărului complex z sunt distincte și sunt în număr de n
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
5)
Rădăcina de ordin n a unității Zk cos a.
2k n
i sin
2k n
, k 0, n 1, z 1 cos 0 i si sin 0
Imaginile geometrice sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de centru O și rază r .
b. c.
c)
7)
puterile , k 0, n 1 sunt numere complexe distincte.
z1 z 2 z1 z 2 5
Fie punctele de afixe z A a)
Toate rădăcinile de ordin n ale unui număr complex se obțin prin înmulțirea uneia dintre rădăcini cu toate rădăcinile de ordin n ale unității. O rădăcină de ordin n a unității se numește rădăcină primitivă toate
Calculaţi E
b) c)
, unde z 1 şi z 2 sunt rădăcinile ecuaţiei z
2
2z 7 0
2 3i , z B 4 i , zC 6 2i .
Precizați în ce cadran se află afixul nu mărului complex z A 2 3i . Arătați că punctele A, B, C nu sunt coliniare. Calculați distanța dintre B și mijlocul segmentului AC
k
ECUAȚII BINOME
NR. 2
1)
Ecuațiile de forma z n a 0, a , n , n 2 se numesc ecuații binome. 2k 2k a r cos i sin zk n r cos i sin n n
, k 0, n 1 .
Fiind date numerele complexe: z1 2 i x
determine numerele reale x, y , astfel încât: z1
2)
FISE DE LUCRU LUCRU (numere complexe)
Se consideră z 1
Fiind date numerele complexe: z1 1 2i x 3 5i y și z2 numerele reale x, y , astfel încât: z1
2)
Se consideră z 1 a) c)
3) 4)
1 i
, z2
z 2
z 23
b)
z2 z 3
d)
Re z2 z 3
, pentru care A
x 1 i
c)
Im z2 z 3
d)
z 1 1
4)
Calculați:
Rezolvati ecuatiile in
b)
E i i 2 i 3 i 4 ... i 2010
b) iz 2 3 i z 2 1 i 0
6)
b) Descompuneţi în factori ecuaţia: z
2
2z 5 0 .
:
b)
1 i z 2 2 2 i z 4 0
a) Construiţi ecuaţia de gradul al doilea, care admite rădăcinile: z1 b) Calculați : z1
este număr real.
a) Construiţi ecuaţia de gradul al doil ea, care admite rădăcinile: z1
E i i 2 i 3 i 4 ... i 2010
6)
:
a) z z z 10 12i
b)
Rezolvati ecuatiile in
c)
7
i 2
a) z 3z iz 7
Calculați: i
z 1 0 , unde z a ib , determinați z . z 1
2
3x
2 3i şi z3 1 4i . Calculaţi: z 3
Dacă Re
z 12 3 i
, z2
b)
3)
5)
2i
Imaginea geometrică a lui z 2
a)
3 i şi z3 5 2i . Calculaţi:
Opusul lui z 2
Să se determine x
a)
5)
1 3i
1 3i să se determine
1 2i
z 2
a)
NR. 1
1)
2y 1 2i și z2 x 2 4 4 y i să se
1 3i și z2 1 3i .
7)
z 22 și
Determinați m
z1 z2
z 2 z 1
1 2i și z2 1 2i .
.
, știind că ecuația z 2 m 1 z 2 0 are soluția z1 1 i
Se consideră în planul complex pu nctele de afix A 4 i , B 1 4i , C 1 i . a) b) c)
NR. 3
Scrieți imaginea geometrică a centrului de greutate al triunghiului ABC . Arătați că ABC este isoscel. Calculați lungimea medianei din B .
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
1)
Se consideră numărul complex z 2a 3b 3a 4b i , a, b
. Să se determine
numerele reale a, b , astfel încât: Re z 4 și Im z 7 .
2)
Să se arate că dacă z1 , z 2
4)
Calculați: a)
Se consideră z1 1 i și z2 4i i 1 . Calculaţi: a)
Opusul lui z 1
c)
z2 z 1
3)
Să se arate că dacă z , z 1 , atunci
4)
Calculați: a)
i
z 1 z 1
b)
z 2
d)
Im
4 z 1 z 2
730
Rezolvati ecuatiile in
5)
2010
a) x 27 0
7)
1 i 3 E 2
b) Se consideră ecuația : x
6
c)
2
3x 3 0 .Calculați
Formați ecuația de gradul II în y , dacă y1
x1
1
x1
1
x2
şi y2
x2
, x1 , x2 soluții.
a) b) c)
b)
x1
1 2i , z B 1 4i , zC 2 7i .
1
x2
, x1 , x2 soluții.
Scrieți afixul puncului B . Arătați că AB2 BC2 AC 2 . Scrieți imaginea geometrică a centrului de greutate al triunghiului ABC .
z 2
ii)
z 3
1 i 3
5 i Reprezentaţi în planul complex mulţimea punctelor de afix z pentru care
a) În ce cadran se află afixul numărului complex z
Se dă numărul complex z1 2a 5 a 1 i , a
. Să se determine numărul complex z ,
i)
z 3
ii)
z 2
iii) 1 z 1 2i
știind că Re z Im z 2 Se consideră z1 1 i și z2 1 i . Calculaţi: b) d)
3
III.
3
Imaginea geometrică a lui z 2
Reprezentaţi în planul complex mulţimea punctelor de afix z pentru care i)
II.
NR. 4
c)
Descompuneți ecuația x 2 4 x 20 0
iii) 1 z
Calculați lungimea segmentului AC
z 1
1
x1
a) În ce cadran se află afixul numărului complex z 5 2i
b)
a)
2x 2 0 .Calculați
I.
x2
Construți imaginea geometrică corespunzătoare numărului z A . b) Arătați că punctele A, B, C sunt coliniare.
2)
2
Se consideră în planul complex pu nctele A 4, 2 , B 2,0 , C 1,3 .
7)
a)
1)
z 2 și z 1 5 .
i
Fie punctele de afixe z A
c)
b)
i
a) Calculați:
b) z 1 z z 2
b) Se consideră ecuația : x
c)
b)
6)
6) a) Calculați
7
1 i 3 E 2
:
3
:
a) x3 8 0
, atunci E z1 z2 z1 z 2 este număr real.
i 2010
Rezolvati ecuatiile in
este număr pur imaginar.
b)
5)
3)
a) În ce cadran se află afixul numărului complex z 5 i
z 1
z1 z 2
b) 2010
Reprezentaţi în planul complex mulţimea punctelor de afix z pentru care i)
z 1
Prof. Daniel Prutescu
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
z 4
ii)
iii) 1 z 2 i
3
c)
Re z2 2z 3
d)
z 1
13) Să se determine x, y
IV.
5i b) Reprezentaţi în planul complex mulţimea punctelor d e afix z pentru care
14) Rezolvati ecuatiile in
i)
z 4
a)
ii)
z 1
b)
iii) 1 z 1 3i
din egalitatea celor două numere complexe :
z1 3x 2 y x 4 y i şi z2 2x 3 3 3y i
a) În ce cadran se află afixul numărului complex z
:
x x 1 0 z z 2 i (notând z a ib ). 2
15) Calculaţi:
3
a)
i
4
E i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 ... i 2010 16) Să se determine opusul, conjugatul şi modulul numărului complex z 3 2i . 2 3i 17) Se consideră z 1 , z2 2 3i şi z3 2 3i . Calculaţi: 1 3i b)
EXERCIȚII 1) 2)
3)
Să se determine opusul, conjugatul şi modulul numărului complex z 5 2i . Să se determine x, y din egalitatea celor două numere com plexe : z1 4 x 3y x i şi z2 2 y 3x 5 x i
a)
z3 z 2
Rezolvati ecuatiile in
b)
Re z3 z 2
c)
Im z2 2z 3
a)
:
x 8x 32 0 2
z 3z iz 7 (notând z a ib ). 4) Să se afle rădăcina pătrată a numărului compl ex z 1 i . b)
5)
Să se arate că dacă z
, atunci
z
z
z 1 18) Să se determine x, y d)
z z 6) Să se determine opusul, conjugatul şi modulul numărului complex z 2 5i . 7) Să se determine x, y din egalitatea celor două numere complexe : Rezolvati ecuatiile in
x2 6x 25 0
b)
z z z 10 12i (notând z a ib ).
9) Să se afle rădăcina pătrată a numărului complex z 15 8i . 10) Calculaţi: a) b)
, atunci
z
z
z z
23)
este număr pur imaginar.
12) Să se determine opusul, conjugatul şi modulul numărului complex z a) z2 z 3
x x 1 0 z z 13 4i (notând z a ib ).
5
a)
i
b)
1 1 1 1 E 1 2 3 ... 2007 i i i i
22) Sa se calculeze Im z1 z 2 , unde z1 1 3i si z2 5 2i .
i 2 E i i 2 i 3 i 4 ... i 2010
11) Să se arate că dacă z
a)
:
2
20) Să se afle rădăcina pătrată a numărului complex z 3 4i . 21) Calculaţi:
:
a)
19) Rezolvati ecuatiile in b)
z1 2 y 2x x 4 y i şi z2 x 2 4 4 y i 8)
din egalitatea celor două numere complexe :
z1 x y x 4 y i şi z2 2x y 5 1 6y 2x i
este număr real.
3 2i .
24)
1 3 Care este modulul numărului z 2 i 2 2006 Calculati Re 1 i .
25) Sa se scrie sub forma algebrica z
2 4i 2 i
2006
?
Prof. Daniel Prutescu
26) Determinati numerele complexe z
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
a ib stiind ca i z 1 i z 3 2i 4i
4) V7/s1/e1
Să se calculeze modulul numărului complex z
5) V8/s1/e1
Știind că z
2010
27) 28)
1 3 Care este modulul numărului z 2 i 2 ? 4 3 2 6 x x 5 2 x 9 x 18 0 , ştiind că admite soluţia 3i . Aflaţi soluţiile ecuaţiei
29) Dacă z cos
15
i sin
15
10
, calculaţi z .
și că z 2 z 1 0 , să se calculeze z 4
a)
2 z1 z 2
b)
z 1
c)
z1 z 2
32) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile:
x 1 64
b)
z i z 1 3i
33) Se consideră numerele complexe z1
3 i şi z2 1 4i . Calculaţi:
ecuația z 9 ecuația z 2 4
Să se rezolve în Să se rezolve în
8) V13/s1/e1
Să se verifice egalitatea 1 i 3 1 i 3 4 .
9) V16/s1/e1
Să se calculeze modulul numărului complex z
10) V17/s1/e1
Să se determine partea imaginară a numărului complex 1 i 3
11) V18/s1/e1 12) V21/s1/e1 13) V22/s1/e1
Să se rezolve în ecuația x 2 2x 4 0 Să se rezolve în ecuația x2 8x 25 0 Să se calculeze 1 i i 2 ... i10
14) V23/s1/e1
Să se calculeze
15) V24/s1/e1
Să se calculeze z pentru z
a)
2 z1 z 2
16) V25/s1/e1 17) V27/s1/e1
b)
z 1 z1 z 2
18) V28/s1/e1
c)
34) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţiile: 2
2
2
2) 3)
2i 2i
1 1 i
1
1 i 3
z 2 Să se calculeze 1 i 1 2i 3 2 i
Să se calculeze modulul numărului complex 1 i i 2 ... i6 Să se determine partea imaginară a numărului complex 10
10
1 i 1 i
19) V34/s1/e1
Să se calculeze modulul numărului complex z 3 4i 3
4
3
20) V35/s1/e1
Să se calculeze 2 i 2 i
b)
z i z 1 3i
21) V39/s1/e1
Se consideră z
22) V40/s1/e1
Se consideră a
23) V44/s1/e1
Să se calculeze partea imaginară a numărului complex z
24) V47/s1/e1
Să se calculeze 2 i 2 i
25) V48/s1/e1
Să se determine partea reală a numărului complex z
26) V56/s1/e1
Să se rezolve în
4/s1/e1
1 1 Să se calculeze 1 i i 1
5/s1/e1
Să se calculeze
1 1 2i
1 i 3 2
și z
. Să se demonstreze că z 2 z a 2i 2 ai
.Să se determine a pentru care z
24
1 i Să se calculeze 2
2
1 1 2i
27) V58/s1/e1
3
1
x 1 64
2/s1/e1
1 i
a)
BACALAUREAT (M1) – 2009
1)
z 4
6) V9/s1/e1 7) V10/s1/e1
2
a)
1
2
6
1 i 3 1 i . 31) Se consideră numerele complexe z1 3 i şi z2 1 4i . Calculaţi: 30) Să se calculeze z
8i 7 4i
4
4
ecuația 2 z z 3 4i 1 4i Să se calculeze 4 7i 4 7i 1 4i
1 i 1 i
3 i
6
[NUMERE COMPLEXE] COMPLEXE ]
Prof. Daniel Prutescu
25
29) 68/s1/e1
Să se calculeze
30) 69/s1/e1
Să se determine z
31) 70/s1/e1
Să se calculeze 1 i
4 3i
25 4 3i
, știind că
z 7i z
6.
20
2008
32) 72/s1/e1 33) 73/s1/e1 34) 74/s1/e1 35) 75/s1/e1
Să se arate că cos i sin este real. 4 4 Să se calculeze 5 12 12i 12 5 i
Să se rezolve în ecuația z 2 3z 4 0 Să se determine x, y știind că x 1 2i y 2 i 4 3i .
36) 80/s1/e1
Să se calculeze 1 i 1 i 2 1 i 3 ... 1 i 2008
37) 82/s1/e1 38) 84/s1/e1
Să se verifice că 1 i este rădăcină a ecuației z 4 4 0 Fie z . Să se arate că dacă 2 z 3z , atunci z .
39) 85/s1/e1
Fie z
40) 86/s1/e1
Să se arate că numărul
41) 87/s1/e1
Fie z
. Să se arate că i z z 1 3i
.
1 3i
este real. 1 3i o rădăcină de ordinul 3 a unității, diferită de 1 . Să se
1 3i
calculeze 1 z z 2 .
4 3i
2i
42) 88/s1/e1
Să se calculeze
43) 89/s1/e1
Să se determine numerele complexe care verifică relația z 3i 6z
44) 91/s1/e1
Să se calculeze modulul numărului complex z 2 1 i 2 1 2 Fie z o rădăcină a ecuației z 2z 4 0 . Să se calculeze modulul numărului complex z .
45) 93/s1/e1
3 4i
1 2i
4
46) 94/s1/e1 47) 98/s1/e1
2
1 2i 3i 1 Să se calculeze 5 Fie z astfel încât z 2 z 3 i . Să se calculeze modulul numărului complex z .
