Cours d'Analyse Fonctionnelle Et Complexe-Cepadues Editions (Yves Caumel-)

Cours d’analyse fonctionnelle et complexe 2e édition

Yves CAUMEL Docteur en mathématiques, diplômé en philosophie des sciences. Professeur de mathématiques à l’, responsable de l’unité de formation mathématiques à l’ENSICA.

Cépaduès-Éditions 111, rue Nicolas Vauquelin 31100 TOULOUSE – France Tél. : 05 61 40 57 36 – Fax : 05 61 41 79 89 www.cepadues.com Courriel : [email protected] Coordonnées GPS en WGS 84 N 43° 34’43,2’’ E 001° 24’21,5’’

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR

Robustesse et commande optimale ........................................................................Alazard D. et al. Eléments d’analyse numérique ..........................................................................Attéia M., Pradel M. Simulation et algorithmes stochastiques ...................................................... Bartoli N., Del Moral P. Mesure et intégration. Intégrale de Lebesgue ...............................................................Bouyssel M. Modélisation probabiliste et statistique ................................................................................ Garel B. Mathématiques et résolution des équations aux dérivées partielles classiques ........................................ Giraud G., Dufour J.P. Les fonctions spéciales vues par les problèmes.............................................. Groux R., Soulat Ph. Principes généraux et méthodes fondamentales .............................................................. Groux R. Polynômes orthogonaux et transformations intégrales....................................................... Groux R. Les structures et les morphismes vus par les problèmes ................................ Groux R., Soulat Ph. Analyse : la convergence vue par les problèmes ............................................ Groux R., Soulat Ph. Algèbre linéaire, 2e éd. ......................................................................................................Grifone J. Exercices d’algèbre linéaire et bilinéaire .....................................Hiriart-Urruty J.-B., Plusquellec Y. Analyse fonctionnelle et théorie spectrale ........................................................................ Intissar A. Invitation à l’Algèbre .......................................................................................Jeanneret A., Lines D. Probabilités et statistique appliquées .......................Lacaze B., Mailhes C., Maubourguet M.M., Tourneret J.-Y. Résolution numérique des équations aux dérivées partielles ....................................Le Pourhiet A. Probabilités et statistiques pour ingénieurs et commerciaux ........ Pellaumail J., Perret A., Basle L. Que savez-vous de l’outil mathématique ? Collection en six fascicules .................... Plusquellec Y., Agullo M., Boudet R., Fabre J., Guérin R. Mathématiques générales, 1er cycle et formation continue ................................................Rovira P. Analyse fonctionnelle .............................................................................Samuelides M., Touzillier L. Analyse harmonique ..............................................................................Samuelides M., Touzillier L. Problèmes d’analyses fonctionnelle et harmonique ..............................Samuelides M., Touzillier L. Introduction à la Topologie............................................................................. Sondaz D., Morvan R.

© CEPAD 2003-2009

ISBN : 2.85428.914.5

Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit expressément la photocopie à usage collectif sans autorisation des ayants-droit. Or, cette pratique en se généralisant provoquerait une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, du présent ouvrage est interdite sans autorisation de l’Éditeur ou du Centre français d’exploitation du droit de copie (CFC – 3, rue d’Hautefeuille – 75006 Paris).

Dépôt légal : novembre 2009

N° éditeur : 914

Table des matières Introduction 1

2

7

Théorie de la mesure et de l’intégration 1.1 Mesures et tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Les tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mesure des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 L’intégrale de Lebesgue et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Intégrale de Lebesgue des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Intégrale de Lebesgue des fonctions quelconques et ses propriétés . . . 1.2.3 Propriétés de continuité et de dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 La convolution des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 La transformation de Laplace des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Thème d’étude : applications de la transformation de Laplace . . . . . . . . . 1.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 10 13 16 16 18

Espaces vectoriels normés 2.1 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Notions basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Propriétés d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Familles et bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Approximation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Approximation dans les espaces préhilbertiens et hilbertiens 2.4.2 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Méthode d’approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . 2.5 Thème d’étude : les polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . 2.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 52 56 57 58 60 64 65 72 75 75 76 78 80 82

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25 29 32 38 41 44

TABLE DES MATIÈRES

4

3

4

Séries et transformation de Fourier des fonctions 3.1 Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Séries de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables 3.3 Séries de Fourier des fonctions périodiques de classe . . . 3.4 Transformation de Fourier dans . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Transformation de Fourier dans . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Transformation de Fourier dans . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Introduction à la transformée de Fourier discrète. . . . . . . . . . 3.8 Un mot sur les ondelettes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Limitations de l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . 3.8.2 La transformation de Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 Transformation en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Thème d’étude : résolution de l’équation de la chaleur . . . . . . . 3.10 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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89 89 92 98 100 107 107 112 113 113 114 114 116 118

Distributions 4.1 Une approche physicienne . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 L’espace des distributions . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Produit d’une distribution par une fonction . . . . 4.5 Convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Transformation de Fourier des distributions tempérées . 4.7 Séries de Fourier des distributions périodiques . . . . . 4.8 Transformation de Laplace des distributions. . . . . . . 4.9 Les filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

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127 127 128 131 136 137 141 145 149 150 153

Fonctions holomorphes, transformations conformes 5.1 Fonctions d’une variable complexe . . . . . . . . . . . 5.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Intégrale d’une fonction complexe . . . . . . . . . . . 5.5 Le théorème de Cauchy et ses corollaires . . . . . . . . 5.6 Résolution du problème de Dirichlet . . . . . . . . . . 5.7 Thème d’étude : application à la mécanique des fluides 5.8 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

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159 159 162 167 173 176 182 185 188

Séries entières et de Laurent ; calcul des résidus 6.1 Rappels sur les séries de fonctions d’une variable complexe 6.2 Séries entières et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . 6.3 Les séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Applications des séries de Laurent. . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Calcul des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . 6.4.2 La transformation en . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Classification des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Théorème des résidus : applications au calcul d’intégrales . 6.7 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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197 197 200 205 208 208 208 210 211 217

5

6

TABLE DES MATIÈRES

5

A Le corps des complexes

221

B Rappels divers

223

C Transformées de Fourier et de Laplace

225

D Représentation des signaux et leurs propriétés

231

Bibliographie commentée

233

Introduction

Le cours d’analyse d’une école d’ingénieurs est le socle conceptuel sur lequel reposent les autres enseignements mathématiques, constituant ensemble le cadre naturel de la modélisation des enseignements scientifiques. Bien qu’inspiré par le profil et les besoins en mathématiques du futur ingénieur, ce livre convient à une introduction à l’analyse, destinée aux étudiants de licence et de maîtrise des filières mathématiques. J’ai donc choisi d’exposer un cours d’analyse allégé des concepts et des résultats à faible plus-value pratique, qui nécessitent souvent un investissement lourd tant pour l’enseignant que pour l’élève. Tel est le cas, par exemple, des concepts de mesure complexe ou de topologie définie par des familles de semi-normes, qui ne seront pas abordés ici. Adepte d’une pédagogie constructive et autant que possible motivante, essayant d’éviter la pesante et souvent inefficace linéarité de l’exposé déductif, qui n’est pas praticable dans les limites horaires d’un tel cours, j’ai semé le parcours du néophyte de nombreux exercices et problèmes corrigés, d’appels à l’intuition géométrique, d’applications à la physique, d’analogies et de remarques qui devraient en faciliter la lente digestion. Seuls sont démontrés les théorèmes importants, à condition toutefois que leurs preuves ne soient ni trop techniques, ni trop longues ; en revanche, certaines démonstrations, abordables dans le cadre de ce cours et mettant en œuvre une idée ou une méthode originale, sont proposées comme exercices, afin d’en faciliter la compréhension et l’assimilation. Six chapitres composent cet ouvrage : les quatre premiers sont dédiés à l’analyse fonctionnelle et harmonique, les deux autres exposent la théorie des fonctions holomorphes. Le premier chapitre est un exposé de la théorie ensembliste de la mesure et de l’intégration, qui se conclut par la présentation des concepts-outils fondamentaux pour la modélisation des systèmes linéaires, que sont le produit de convolution et la transformation de Laplace. Après de nécessaires rappels de topologie métrique, suivis d’un exposé rapide des bases de la théorie des espaces vectoriels normés, le deuxième chapitre présente de façon suffisamment détaillée la théorie des espaces hilbertiens et ses applications à l’approximation fonctionnelle dans les espaces . Le chapitre trois concerne l’analyse et la synthèse harmonique des fonctions réelles en séries et transformées de Fourier.

8

TABLE DES MATIÈRES

Le chapitre quatre est une introduction à la théorie des distributions, motivée et illustrée par la théorie du signal. Les fonctions analytiques et leurs applications incontournables que sont la transformation conforme, la transformée en et le calcul d’intégrales par la méthode des résidus, font l’objet des deux derniers chapitres. Les courtes biographies qui émaillent ce cours voudraient donner un peu d’épaisseur humaine et rendre hommage à ces immenses créateurs souvent méconnus, que sont les grands mathématiciens. Que mes collègues Christian Bès, Xavier Buff, Jean-Michel Builles, Jean-Baptiste Caillau, Yves Coudières, Etienne Fieux, Daniel Gourion, Stéphane Grihon, Nicolas Gruyer, Frédéric Rodriguez, Frank Seigneuret, qui ont enseigné ce cours ou l’enseignent encore aux élèves de première année de l’ENSICA, trouvent ici mon amicale gratitude pour la qualité de leur engagement pédagogique et les lectures qu’ils ont faites d’un manuscrit en perpétuelle gestation. Ces remerciements s’adressent bien sûr à Manuel Samuelides, Professeur de mathématiques à Sup Aéro qui me donna naguère l’opportunité d’enseigner l’analyse fonctionnelle dans son école, ainsi qu’à Louis Pinchard, maître de conférences à l’ISIM, à Jacques Audounet, Jean Gaches, Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Professeurs à l’Université Paul Sabatier, avec une mention particulière pour Michel Salaün, maître de conférences au CNAM, dont les critiques et les nombreuses suggestions m’ont été précieuses.

Chapitre 1 Théorie de la mesure et de l’intégration En 1823, Cauchy construisit l’intégrale d’une fonction continue , définie sur l’intervalle

, comme limite, quand de la somme

, défini

tion qui fut plus tard étendue par Riemann aux fonctions continues sauf en un ensemble fini de points. Mais l’intégrale de Riemann se heurta rapidement à d’incontournables limitations ; ainsi la limite d’une suite de fonctions Riemann-intégrables ne l’est pas nécessairement ou encore la primitive

n’est pas nécessairement dérivable en tout et de dérivée égale à

, sauf aux points de continuité. Après de nombreuses tentatives dues à Jordan ( ) et à Borel (1871-1956), Lebesgue (1875-1941) s’appuyant sur les travaux de ce dernier sur le concept de mesure, proposa au début du siècle une nouvelle notion d’intégrale plus robuste que celle de Riemann, définie sur un ensemble plus étendu de fonctions. La théorie de la mesure et de l’intégration de Lebesgue est aujourd’hui à la base de l’édifice de l’analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités grâce aux travaux du probabiliste soviétique Kolmogorov au cours des années trente.

1.1 Mesures et tribus 1.1.1 Les tribus Nous avons tous l’intuition de la notion de mesure, par exemple en considérant l’application qui associe à tout intervalle de la droite réelle, sa longueur ou encore l’application qui associe à tout sous-ensemble de “suffisamment régulier” (en un sens qui sera précisé) sa surface . Nous allons définir pour tout ensemble , fini ou infini, un sous-ensemble de parties de accessibles à la mesure, appelé tribu. Définition 1 : Une famille de parties d’un ensemble donné est une tribu si elle contient l’ensemble et si elle est stable par : – Complémentation : pour tout , , – Union dénombrable : pour toute famille où , . Une tribu est aussi nommée -algèbre.

CHAPITRE 1. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L’INTÉGRATION

10

Définition 2 : Un ensemble muni d’une tribu est un espace mesurable, noté tout élément de est dit sous-ensemble mesurable.

:

Toute tribu est incluse dans la plus grande tribu constructible sur à savoir l’ensemble des parties de , et inclut la plus petite d’entre elles : Définition 3 : Étant donné un sous-ensemble de on génère grâce aux opérations de complémentation et d’union dénombrable, la plus petite tribu contenant , appelée tribu engendrée par . Théorème 1 Si est une application d’un ensemble l’image inverse de par est une tribu sur . E1

dans un espace mesurable

(1) Construire la tribu engendrée par le sous-ensemble de (2) Démontrer le Théorème 1.

,

.

Définition 4 : La tribu des boréliens sur est la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts de ; on la notera . De façon générale, la tribu des boréliens définie sur un espace topologique est la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts. De toutes les tribus constructibles sur , la tribu des boréliens, du nom de son créateur Emile Borel, est celle qui convient en analyse classique. Il est facile d’établir que peut être aussi générée par l’ensemble des intervalles fermés de , ou bien par l’ensemble des intervalles ouverts ; malgré la richesse et la diversité de ses éléments, la tribu ne s’identifie pas à l’ensemble des parties de . En effet, on sait construire, difficilement il est vrai et grâce à l’axiome du choix, une partie de qui n’est pas un borélien. La généralisation à la tribu des boréliens définie sur est immédiate, si l’on considère l’ensemble générateur des pavés ouverts, définis comme les produits cartésiens des intervalles ouverts.

1.1.2 Mesure des ensembles Il s’agit maintenant de se doter d’un concept permettant de mesurer les éléments d’une tribu, naturellement nommé mesure, et généralisant les concepts classiques de longueur, d’aire et de volume. Notation : l’union dénombrable des parties deux à deux disjointes s’écrit Définition 5 : Une mesure positive sur l’ensemble mesurable dans vérifiant les axiomes :

(M1) Axiome de -additivité : (M2)

.

.

est une application de

où est un ensemble dénombrable.

1.1. MESURES ET TRIBUS

11

Remarque : Toutes les mesures introduites dans ce cours sont positives. Théorème 2 Toute mesure positive est continue monotone. Autrement dit, pour toute suite croissante d’ensembles appartenant à la tribu (i.e. ), on a:

E2 (1) Démontrer le théorème 2. (2) Démontrer que si est une suite décroissante telle que

Définition 6 : Un ensemble mesurable ensemble mesuré et noté .

, alors :

sur lequel est définie une mesure est dit

Définition 7 : On établit dans le cadre rigoureux de la théorie de la mesure, qu’il existe sur l’espace mesurable une mesure unique qui attribue à tout intervalle , sa longueur . Cette mesure dite mesure de Lebesgue, associe à tout borélien , sa mesure . Théorème 3 (Propriétés de la mesure de Lebesgue) (1) Pour tout

:

(2) Pour tout intervalle

.

et pour tout réel :

(Invariance par translation)

Définition 8 : (1) La mesure de Dirac Æ est définie sur Pour tout borélien Æ

par :

est égal à si , et à sinon.

(2) Une mesure discrète quelconque est une combinaison linéaire à coefficients positifs de mesures de Dirac :

Æ

où les sont des réels positifs et les des réels quelconques. (3) La mesure comptable est définie par :

est égal à si est fini, et

si est infini.

(4) La probabilité définie sur un ensemble d’évènements est une mesure (cf. fin de 1.2.3).


12

Petite fugue infinitiste au royaume des nombres réels. L’ensemble se compose du sous-ensemble des rationnels et du sous-ensemble des irrationnels, lesquels à leur tour peuvent être soit algébriques, s’ils sont solutions d’une équation polynômiale à coefficients entiers, soit transcendants s’ils ne sont solutions d’aucune équation de ce type. Les cardinaux infinis associés à ces ensembles sont distincts. En effet, on dit que deux ensembles et sont de cardinal identique, s’il existe une bijection entre et : on dit dans ce cas qu’ils ont même puissance, c’est le cas de et de . Ainsi et sont de même cardinal : ils sont tous deux dénombrables, et on sait expliciter au moins une bijection de dans . Bien que beaucoup “plus grand”, l’ensemble des nombres algébriques a la même puissance que . Quelle est la mesure (de Lebesgue) de ces ensembles ? Les ensembles , et sont dénombrables. Un singleton étant de mesure nulle, on a, par -additivité, ; intuitivement cela signifie, que ces ensembles bien qu’infinis, et en ce qui concerne et , denses dans , n’ont aucune “épaisseur” sur la droite réelle par la mesure de Lebesgue . On en déduit que transcendants est égal à . Ainsi l’ensemble des transcendants est infiniment plus grand au sens de la mesure de Lebesgue que l’ensemble des algébriques ! On pourrait raisonnablement penser qu’il est possible d’en exhiber une foultitude. Que nenni ! Les seuls résultats que l’on connaisse, se résument à

peu de choses près à : , e, , , les nombres

où les et sont algébriques,

e , sont transcendants ; mais quid de et e , bien que l’on sache que l’un des deux est transcendant ? Cantor (1845-1918) démontra que le cardinal de l’ensemble est égal au cardinal de où est le cardinal de tout ensemble dénombrable, et émit la conjecture que le plus petit cardinal strictement supérieur à , noté , vérifie l’égalité . Comme cela peut advenir en mathématiques depuis qu’on en maîtrise mieux les fondements logiques, on n’apporta pas de solution au problème mais il fut établi en 1963 que son énoncé est indécidable, c’est-à-dire que ni lui ni sa négation ne sont démontrables. Le lecteur insensible au vertige des espaces en abîmes, essaiera d’imaginer les infinités des ensembles des fonctions de dans , puis de dans . . .

Les ensembles dénombrables ne sont pas les seuls ensembles de mesure nulle : nous construisons ci-dessous un ensemble non dénombrable dit ensemble de Cantor, de mesure nulle. E 3 Construction de l’ensemble de Cantor. Soit la suite décroissante définie par :

On appelle ensemble de Cantor l’ensemble (1) Montrer que :

.

où

ou 2. [Par exemple, est caractérisé

par les points d’abscisse tels que est soit égal à , soit égal à ].


(2) En déduire que

13

est non dénombrable et de mesure nulle.

Définition 9 : Un ensemble inclus dans un ensemble mesurable de mesure nulle est dit négligeable. Une propriété ! est dite vraie presque-partout sur l’ensemble , si elle est vraie partout, sauf éventuellement sur un sous-ensemble négligeable ; on notera vraie (p.p). Exemple 1 : Les fonctions et " sont égales presque-partout si elles diffèrent sur un sousensemble négligeable ; on notera " (p.p). Intermède biographique : Emile BOREL (1871-1956) Né à Saint-Affrique en Aveyron, dont il deviendra député en 1924, Emile Borel fit ses études de mathématiques à l’E.N.S. Ami de Paul Painlevé, il abandonna provisoirement son poste de professeur à la Sorbonne pour entrer en politique ; il sera député de son département d’origine, et ministre de la Marine. Après avoir été emprisonné par le régime de Vichy auquel il s’opposa farouchement, il est libéré et s’engage malgré son grand âge dans la résistance qui se développe dans sa région natale. Borel jette les bases de la théorie de la mesure, sur lesquelles s’appuiera Lebesgue pour construire son intégrale. Il participe au développement de la théorie des probabilités ; précurseur de la théorie générale des jeux de stratégie, il annonce les travaux de Von Neumann. Passionné par les développements applicatifs des mathématiques, et de façon générale par les sciences et les réflexions qu’elles suscitent, Borel fait oeuvre de haute vulgarisation scientifique. Peut-être la volonté de faire partager les savoirs, était-elle à cette époque dans l’air du temps, si l’on songe aussi aux oeuvres de Poincaré ou d’Einstein destinées à un public cultivé. Intéressé par la philosophie et l’épistémologie, il défend avec les intuitionnistes la conception constructiviste des mathématiques, qui privilégie la construction des objets mathématiques grâce aux seuls processus mentaux.

1.1.3 Fonctions mesurables La mesurabilité des fonctions réelles est une propriété faible, au sens où elle constitue une exigence minimale, toujours vérifiée en mathématiques appliquées. Définition 10 : Soient et des ensembles mesurables. Une fonction est mesurable si :

On remarquera la forte analogie avec le concept de continuité d’une fonction d’un espace topologique dans un espace topologique (cf. Théorème 7. Ch 2).


14

Définition 11 : La fonction indicatrice du sous-ensemble mesurable notée 1I est définie par :

si 1I sinon.

de l’ensemble

C’est la plus simple des fonctions mesurables. Théorème 4 (Propriétés de la fonction indicatrice) 1I

1I

1I 1I ; 1I 1I

1I

.

Définition 12 : On appelle fonction de Heaviside l’indicatrice de

#

1I

:

notéaussi $

Définition 13 : La fonction porte de largeur , notée

, est égale à

1I

.

Théorème 5 (Propriétés des fonctions mesurables) Soient et " de – – –

dans où désigne l’ensemble . " mesurables " , ", " et " sont mesurables. mesurable , (avec ) et % % sont mesurables. une suite de fonctions mesurables, alors , sont mesurables ; si converge (p.p) alors est mesurable.

Étendons les concepts et les propriétés précédentes aux espaces de dimension finie quelconque. Définition 14 : Soient et deux ensembles mesurables : il existe une tribu unique, engendrée par les pavés de la forme où . Cette tribu est dite tribu produit de par notée Remarque : Le produit cartésien , n’est à l’évidence ni stable par complémentation, ni par union dénombrable : ce n’est donc pas une tribu. Si , la tribu produit, engendrée par les pavés ouverts est la tribu des boréliens sur notée On construit de la même manière la tribu borélienne sur .


15

Géométriquement, nous concevons qu’un borélien quelconque de peut être atteint comme limite de l’une union de certains pavés de (cf. ci-dessous). apparaît comme limite de l’union

,quand tends vers l’infini. B

(1)

(2)

(2)

E1 *E 2

(1)

E1 *E 2

Reste donc à construire une mesure sur l’ensemble mesurable

Théorème 6 Si et sont deux ensembles mesurés, alors il existe une mesure unique dite mesure produit de par définie sur notée définie sur les pavés , où , :

Exemple 2 : Considérons un borélien & dans

&

additivité

égal à

& avec &

&

Application : , respectivement munis des mesures et égales à la mesure de Lebesgue ; soient les mesurables : '

' Bien entendu, on étend ces résultats à où entier positif, muni de la tribu produit

et de la mesure produit , où , la mesure est portée par le ème espace .

E2 a 7 6

2 3 I1 5

8

J1

14 E 1


16

Intermède biographique : Henri LEBESGUE (1875-1941) Issu d’un milieu modeste, le père est ouvrier typographe à Beauvais, Lebesgue n’en connut pas moins la voie royale qui va de Normale Sup à la chaire d’analyse du Collège de France. Nourri des travaux de Péano et surtout de Borel, Lebesgue s’est rapidement passionné pour les questions et les problèmes nés dans le champ de l’analyse classique, dont il pressentait et exploitait les potentialités créatrices : tel fut le cas de ses recherches en vue de la création d’une nouvelle théorie de l’intégration plus puissante et générale que la théorie riemannienne, qui est aujourd’hui le socle de l’analyse fonctionnelle. Savant atypique, il mit tout son génie et sa profonde humanité au service de l’enseignement des mathématiques, en formant des générations de professeurs de l’enseignement secondaire sur lesquels il eut une influence durable et exemplaire.

1.2 L’intégrale de Lebesgue et ses propriétés 1.2.1 Intégrale de Lebesgue des fonctions positives Nous définirons successivement l’intégrale de Lebesgue des fonctions indicatrices, puis des fonctions étagées positives, enfin des fonctions positives considérées comme limites de suites de fonctions étagées, toutes ces fonctions étant définies sur un espace mesuré , et prenant des valeurs réelles. Définition 15 : L’intégrale de la fonction indicatrice 1I , , est définie par :

1I

Définition 16 : Une fonction mesurable de dans est étagée si elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs (. Elle s’exprime donc comme une combinaison linéaire finie d’indicatrices : ( 1I (

Une fonction étagée qui ne prend que des valeurs positives, est dite fonction étagée positive. Définition 17 : L’intégrale de

( 1I

où les ( sont positifs ou nuls, est définie par :

(

Dans le cas où l’un des n’est pas de mesure finie, l’intégrale est égale à . Exemple 3 : Soit

1I

1I

1I

:

1.2. L’INTÉGRALE DE LEBESGUE ET SES PROPRIÉTÉS

17

(

Théorème 7 (Approximation d’une fonction mesurable positive) est égale à la limite simple d’une Toute fonction mesurable positive de dans suite croissante de fonctions étagées positives et mesurables.

Définition 18 : L’intégrale d’une fonction mesurable positive est égale à :

) )

fonction étagée positive

noté

( Graphe de

Graphe partiel d’une fonction étagée

Définition 19 : Pour tout ensemble mesurable de de

dans

, on pose

et toute fonction mesurable

1I .


18

Théorème 8 (Convergence monotone des fonctions mesurables positives - Beppo-Levi) Soit une suite croissante de fonctions mesurables positives. Alors, pour tout ensemble mesurable :

Si

est finie alors

éventuellement égale à

est -intégrable.

1.2.2 Intégrale de Lebesgue des fonctions quelconques et ses propriétés Tout d’abord, exprimons toute fonction mesurable comme différence de deux fonctions positives. Définition 20 : On définit les fonctions mesurables :

et

!

d’où les expressions de et de :

F IG . 1.1 – Graphes de , et .

de

On remarquera que étant positive, , d’où la définition :

est toujours définie, ce qui n’est pas le cas

Définition 21 : (-intégrabilité d’une fonction) Une fonction mesurable de dans , est -intégrable si alors

est finie ; on a


E 4 Soit la suite

d’ensembles mesurables disjoints, et leur union. Montrer que si est

mesurable positive sur , alors Théorème 9 Si négligeable.

19

est -intégrable alors

.

est finie presque partout :

est

L’intégrale de Lebesgue et l’intégrale de Riemann : deux approches différentes ! Considérons une fonction continue de dans . L’intégrale de Riemann est égale à la limite lorsque et que

vers 0, de la somme

tend

* où est une subdivision

de l’intervalle et *

.

Il est clair que si la fonction est fortement discontinue, la limite de l’intégrale précédente n’existe pas : considérez par exemple 1I .

Comment Lebesgue procède-t-il pour construire son intégrale Il subdivise l’image

?

en intervalles ( ( vérifiant :

( ( (

et définit :

(

( (

y

a

x


20

Considérons par exemple

, alors :

1I

Par construction, l’intégrale de Lebesgue fait apparaître la nécessité des propriétés suivantes, qui justifient pleinement l’introduction préalable des concepts de mesure et de fonction mesurable : (1) (intervalle quelconque de ) doit appartenir à , pour pouvoir être mesuré (mesurabilité de ). (2) possibilité de sommer des longueurs d’intervalles disjoints (propriété de -additivité).

Théorème 10 (Comparaison des intégrales de Riemann et de Lebesgue)

(1) Si l’intégrale de Riemann existe, alors l’intégrale de Lebesgue 1I existe et égale la précédente ; c’est le cas des fonctions continues sur un fermé borné. (2) Seules les intégrales généralisées absolument convergentes au sens de Riemann, coïncident avec les intégrales de Lebesgue.

Contre-exemple : l’intégrale généralisée

n’est pas absolument conver-

gente et n’est donc pas une intégrale de Lebesgue.

La notion importante de valeur principale d’une intégrale est une extension de l’intégrale impropre et permet de donner un sens à certaines intégrales divergentes. Définition 22 :

Si la fonction

est continue sur

, de manière que l’intégrale impropre

sauf en

où elle diverge vers ou n’existe pas, alors que

existe, on appelle valeur principale de

cette dernière limite, désignée par +!

.

Cette définition s’étend aux cas suivants :

+!

+!

sur

Exemple 4 : Soit ) de classe

: il s’agit de donner un sens à

)

, où .

,


Déterminons la limite

La fonction )

)

)

21

.

peut , où , est continue. ) s’écrire

, , , qui converge quand s’écrit ) )

. - vers ) , , qui définit bien la +!

De tous les usages de la relation d’équivalence “égalité presque partout”, celle de deux fonctions -intégrables est sans doute la plus précieuse, car elle permet de définir les espaces fonctionnels normés complets (Ch : 1.2.4). Théorème 11 Deux fonctions -intégrables, égales presque-partout, ont même intégrale. E 5 Démontrer les théorèmes 9 et 11 Théorème 12 L’ensemble des fonctions -intégrables définies sur est un espace vectoriel pour les opérations somme de fonctions et produit d’une fonction par un scalaire. On note cet espace vectoriel, que l’on munit de la semi-norme définie par . On lui associe une topologie dite de la convergence en moyenne définie par : la suite de converge en moyenne vers implique que .

si

,

ce qui

Remarque : Une fonction -intégrable, est dite intégrable s’il n’y a pas d’ambiguité sur la mesure D’un point de vue pratique, les cinq théorèmes suivants, qui établissent les propriétés de l’intégrale de Lebesgue, sont les plus importants de ce chapitre. Nous commençons par énoncer le résultat fondamental de l’intégration de Lebesgue, qui permet de permuter intégrale et limite d’une suite de fonctions sous des conditions plus générales que la convergence uniforme de fonctions continues. Théorème 13 (Théorème de convergence dominée de Lebesgue) Soit une suite de fonctions réelles mesurables, définies sur , convergente p.p vers . S’il existe une fonction " intégrable t.q. " (p.p), alors : (1) est intégrable. (2)


22

Preuve (1)

" (p.p) " (p.p) ; donc est intégrable.

(2) Posons : . . Soit : / " .

" (p.p)

/ est positive et / " (p.p) ; / est une suite croissante.

Il s’ensuit :

/

.

/

" "

"

/

car :

.

. et

. . / /

Appliquons le théorème 8 de convergence monotone à

/

d’où la conclusion, sachant que

/ :

"

.

E 6 Étudier les convergences simple, uniforme et dominée des suites :

si 0 si 0

"

Ne pas hésiter à tracer les graphes : rien ne vaut un bon dessin clair pour soutenir l’intuition ! Pour la suite " , on montrera que : " .

E 7 Soit

à valeurs positives vérifiant la propriété :

Posons

(1) Démontrer : En déduire que

et

2

1

, où est la mesure de Lebesgue

.

(p.p. sur ).


(2) Démontrer :

En déduire que

.

et

23

.

Contre-exemple à l’application du théorème de la convergence dominée :

, soit '

3

'

e

que l’on calcule grâce à l’égalité

3

1.5

y

1

0.5

0

0

F IG . 1.2 – Graphe de "

2

1.5 t

1

0.5

3

2.5

pour .

Il n’y pas de commutation possible des opérateurs limite et intégrale : dans ce cas, le théorème de convergence dominée est mis en défaut car il n’existe pas de fonction majorante intégrable, comme on peut l’établir en déterminant l’équation de l’enveloppe généralisée qui majore les courbes " . (On ne demande pas au lecteur de vérifier que cette enveloppe est décrite par la fonction 0 ).

ATTENTION : La recherche de la fonction dominante n’est pas toujours facile !

Théorème 14 (Condition suffisante de permutation intégrale / série) Soit une suite de fonctions réelles définies sur telle que alors :

est intégrable et

finie,


24

Preuve Posons : . est une suite monotone croissante de fonctions positives, qui converge vers , qui est égale à éventuellement. En appliquant le théorème de Beppo-Levi, il vient :

D’autre part, on a :

qui est finie par hypothèse. On en déduit donc que est intégrable sur . D’après le théorème 9, elle est finie presque-partout, ce qui signifie que la série de terme général est absolument convergente, donc convergente presque-partout. Posons :

"

Alors la suite " converge presque-partout vers "

"

et on a p.p. :

qui est intégrable et indépendante de 4 . Par application du théorème de convergence dominée, on obtient :

E8

"

(1) Appliquer le théorème 14, lorsque

(On rappelle que : E 9 Soit à calculer

(2) Démontrer que

,

. Montrer que :

"

#

$

$

$ ).

Exprimer sous forme de

On a :

et en déduire


25

1.2.3 Propriétés de continuité et de dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre Les deux théorèmes suivants résultent du théorème fondamental de convergence dominée. Théorème 15 (Condition suffisante de continuité d’une intégrale paramétrée) Soit définie de dans , mesurable en , telle que la fonction est continue en pour presque tout . On suppose qu’il existe une fonction " intégrable positive, telle que, pour presque tout et pour tout : " . Alors la fonction :

est continue en

Preuve Pour toute suite convergente vers : posons (pour presque tout ). Or " (p.p). Par application du théorème de convergence dominée :

Remarque : Pour l’intégrale de Riemann, ce résultat de continuité de l’intégrale aussi la continuité de en .

exige

Théorème 16 (Condition suffisante de dérivabilité d’une intégrale paramétrée) Soit définie de dans telle que la fonction ! est dérivable dans un voisinage de , pour presque tout , et la fonction ! est intégrable pour tout .

5 " pour presque tout , S’il existe " intégrable telle que : + 5 5

alors

est dérivable en

et

5

.

Preuve On utilise la preuve du théorème précédent, appliquée cette fois à la suite

.

E 10 Une fonction pour tout 2 :

est telle que

quel que soit

factorielle %

%

. Démontrer que,

E 11 Étude de la fonction eulérienne de deuxième espèce notée % Pour tout réel strictement positif , on pose :

$ aux valeurs réelles positives.

. % étend la fonction


26

(1) Démontrer que, pour tout strictement positif, % existe, est continue et est . (2) Démontrer que % % . Calculer % 0 et % 0 (3) Tracer le graphe approximatif de % [On admettra que la fonction % est convexe et admet un minimum entre et ].

Le théorème de Fubini, ci-après, énonce les règles relatives au calcul d’une intégrale multiple, lorsque l’on permute les variables d’intégration. Un exemple classique d’intégrale double, ayant deux valeurs selon l’ordre d’intégration considéré, montrera l’intérêt de ce théorème .

(

( (

(

(

( ( ( ( (

(

( (

Soit à calculer :

1ère façon :

2ème façon :

Pourquoi ne peut-on pas permuter l’ordre d’intégration ? Le théorème de Fubini répond à cette question et donne des conditions suffisantes de permutation des intégrales.

Théorème 17 (Fubini) Soient mesurable et un ensemble borélien de (a) Si est positive sur alors :

( (

( (

( (

ces intégrales étant éventuellement égales à .

(b) Si ( est finie, alors les fonctions ! ( ( ! ( sont intégrables p.p pour les valeurs respectives fixées de ( et de , les fonctions ! ( ( et ( !

( sont respectivement -intégrable et ( -intégrable et les égalités suivantes sont vérifiées :

( (

( (

Preuve cf : Analyse réelle et complexe. Rudin

( (

Remarque : Dans le contre-exemple introductif au théorème de Fubini, la permutation des intégrales aboutit à des résultats distincts car l’hypothèse (b) du théorème de Fubini est mise en défaut : en effet n’est pas d’intégrale finie sur le pavé . (preuve facile si


27

l’on passe en coordonnées polaires). On étend le théorème de Fubini aux cas suivants : (1) sous-ensembles d’intégration quelconques pourvu qu’ils soient mesurables : si est un tel sous-ensemble,

( (

( (

( (

et ( ( sont les projections respectives de sur et ( (, ( ( et ( . (2) fonctions mesurables définies sur l’espace produit muni de la tribu produit et de la mesure produit . étant un espace mesuré par , pourvu de la tribu ; c’est le cas des fonctions mesurables réelles définies sur où est la mesure produit de Lebesgue définie sur ; c’est aussi le cas lorsque les mesures sont discrètes (le théorème de Fubini donne où les intervalles

alors les conditions de permutation des séries multiples).

(3) cas mixte où l’une des mesures est la mesure comptable, par exemple Æ : le théorème de Fubini exprime la possibilité de permuter et sous la condition d’absolue convergence de (cf. Théorème 14).

(4) cas de mesures égales à la mesure comptable : l’intégrale double équivaut alors à une série double, dont on peut permuter l’ordre de sommation si ses termes sont positifs, ou si la série est absolument convergente.

Application du Théorème 17.

On a :

e

( (

( (

le théorème de Fubini est donc applicable :

L’égalité

( (

(

(

e

( (

d’où l’on tire :

e

*

*

*

e

(

(

(

(

se démontre en considérant l’intégrale complexe

*

*

. Or :

e

Définition 23 : Une bijection . entre deux ouverts et de est appelée difféomorphisme si . et . sont continûment différentiables : un difféomorphisme s’identifie à la notion classique de changement de variables.


28

Théorème 18 (Changement de variables dans une intégrale) Soit . un difféomorphisme de dans sous-ensembles de et une fonction mesurable de dans alors on a . Si est intégrable ou positive :

où ' ( est la matrice jacobienne de ..

. ( dét ' ( (

( , en appliquant le théorème ( ( * ( . précédant. Pour cela, on construira le difféomorphisme adapté : . ( ! 6 ( E 12 Calculer l’intégrale :

En pratique, le théorème du changement de variables a deux applications importantes : (1) Calcul d’intégrales. (2) Calcul de lois en théorie des probabilités. E 13 Le lecteur qui serait encore ignorant de la pratique des changements de variables classiques ou plus vraisemblablement qui l’aurait oubliée, est vivement incité à appliquer le théorème précédent aux cas des coordonnées polaires 7 ( 7 et sphériques ) 7 ( ) 7 8 ), d’un usage fréquent dans les problèmes où apparaissent des symétries cylindriques ou sphériques.

E 14 Calculer ( où ( ( ( . (a) Effectuer le changement de variables * ( 6 ( , et déterminer le nouveau domaine d’intégration (De la minutie dans le traitement des inéquations qui définissent les domaines d’intégration !) (b) Calculer l’intégrale.

Illustration du caractère unificateur du concept de mesure (A) Une série est une intégrale associée à une mesure discrète. Soit &

muni de sa tribu naturelle , et de la mesure comptable est -intégrable si la série de terme général

Æ . Toute fonction

est absolument intégrable :

On désigne par

l’ensemble des suites telles que

(B) Une probabilité est une mesure positive. (1) Cas d’une probabilité discrète .

soit fini.


29

Soit un ensemble fini d’éléments distincts , représentant les évènements élémentaires, et la tribu des évènements considérés. On définit sur la mesure de probabilité : – , ! , – , disjoints, ! ! ! . La mesure de probabilité ! est complètement définie dès que sont connus :

3

! , pour tout

. On écrit !

3 Æ , où Æ

est la

mesure de Dirac portée par .

(2) Cas d’une probabilité définie par une densité. Supposons que l’on s’intéresse aux évènements décrits par la tribu borélienne .

Définissons la mesure ! ! ! , où est une fonction intégrable, positive et d’intégrale sur . Alors ! est bien une mesure : – ! ; – si les ensembles sont des boréliens deux à deux disjoints, alors

!

!

La fonction est la densité associée à une probabilité ! (exemple : est une densité gaussienne).

Les définitions précédentes laissent entrevoir que la théorie des probabilités est fondée sur la théorie de la mesure et de l’intégration.

1.2.4 Espaces Nous avons déjà vu (Théorème 12) que l’ensemble des fonctions intégrables définies sur un ensemble mesuré était un espace vectoriel, noté Il serait judi cieux de disposer d’une norme sur cet espace ; mais

n’implique pas

n’est pas une norme puisque

partout, mais presque partout : donc

n’est pas

séparé. Seul l’ensemble-quotient de par la relation d’équivalence "égalité presque-partout" est séparé.

Définition 24 : L’espace quotient des classes de fonctions -intégrables et égales presquepartout est un espace vectoriel noté Théorème 19 est un espace vectoriel normé complet (dit aussi espace de Banach) de norme définie par :

noté


30

de fonctions dont les puis-

De façon générale on définit les espace vectoriels sances 3 , sont -intégrables.

Théorème 20 (Complétude des espaces ) L’ensemble des classes de fonctions égales presque-partout vérifiant :

fini, pour un réel 3 , est un espace vectoriel normé complet, désigné par muni de la norme :

Remarque : l’espace des fonctions de carrés intégrables, adapté à la description des signaux d’énergie finie, est le seul espace dont la norme provient d’un produit scalaire : les propriétés puissantes qui le caratérisent et en font un espace de Hilbert, le distinguent des autres espaces.

Définition 25 : L’espace est l’ensemble des fonctions mesurables bornées presque-partout par un nombre positif dit borne supérieure essentielle. La norme est égale à L’espace est défini comme espace quotient des classes de fonctions , égales p.p.

E 15

appartient-elle à

Théorème 21 (Minkowski) Pour tout fonctions , " de , on a :

?

?

3 réel supérieur ou égal à et quelles que soient les

"

"

Théorème 22 (Hölder) Soit un espace mesuré, soient 3 9 conjugués ( ), soient et " , alors " appartient à et

" " En particulier : si , " alors " " ; si " alors " " , qui est l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

E 16 (1) Démontrez l’inégalité de Cauchy-Schwarz.


31

(2) Démontrer que et , où est un intervalle de , n’ont pas de relation d’inclusion : il s’agit de trouver des fonctions qui appartiennent à " , à " et à (on choisira un intervalle adapté à chacun des trois cas).

(3) Démontrer que (4) Montrer que 3

4

fonction :

pour tout intervalle borné .

.

En déduire que si

3 2 , la

* * est continue.

Notation : on désignera par l’ensemble des fonctions intégrables sur tout ensemble -borné de . Par exemple, toute fonction réelle continue sur est dans . On désigne par l’espace quotient formé des classes de fonctions de , égales p.p. E 17 Si et " convergent dans , le produit " converge-t-il dans quoi la convergence du produit n’est-elle pas acquise dans ?

? Pour-

Théorème 23 Espaces denses dans L’espace des fonctions continues à support borné dans , ainsi que l’espace des fonctions de classe , pour , à support borné dans , sont denses dans , pour tout réel 3 supérieur ou égal à .

Attention, ces résultats de densité sont faux dans l’espace . Il suffit de considérer une fonction constante non nulle sur , qui ne peut être atteinte par une suite de fonctions continues à support borné.

Théorème 24 Riemann-Lebesgue Pour toute fonction de

,

on a :

%

.

Pour soutenir l’intuition géométrique de ce résultat, considérez le graphe de la fonction

4 ,

pour 4 suffisamment grand. E 18 Démontrer le théorème précédent. [Indication : pour toute fonction de tout - 2 , considérer la fonction " de telle que : " -]

et pour

Quelques remarques sur l’enseignement des mathématiques. De même que sont inaccessibles à l’amateur d’art architectural, les plans des échafaudages successifs ayant permis l’édification d’une cathédrale, de même est niée dans l’enseignement des sciences, la mouvante géologie qui régit l’histoire de leur production et de leurs permanentes réorganisations. En ce qui concerne les mathématiques, la pédagogie au niveau universitaire se réduit le plus souvent à un exposé structuré, alternant dans un déroulement sans failles, les définitions, les lemmes et les théorèmes. L’ ensemble obtenu, à l’agencement parfait, est généralement perçu par les étudiants comme de véritables Tables de la loi, intangibles et


32

intemporelles, qui s’apparentent plus à un catalogue de vérités éternelles qu’à une théorie vivante, porteuse de problèmes et de déploiements nouveaux. Ainsi sont oblitérées les principales étapes et articulations de la théorie mathématique, et par conséquent sa dynamique créatrice, en l’absence desquelles il est difficile de motiver les étudiants. Or, s’il est un savoir dont l’apprentissage et la compréhension, devraient revêtir une forme spécifique, c’est bien la mathématique. Par exemple, en ce qui concerne l’introduction des concepts centraux d’une théorie donnée, il faudrait faire comprendre les problématiques dans lesquelles ils ont été élaborés, puis définis. Pour mener à bien un tel enseignement, deux ingrédients sont nécessaires : un corps de professeurs ayant une formation minimale en histoire et en philosophie des sciences, et le temps nécessaire pour la mettre en ouvre, denrées rares en ces temps de pénurie pour l’enseignement scientifique. On sait, au moins depuis les excès de la "réforme des mathématiques modernes" inaugurée dans les années soixante, qu’il est illusoire de croire qu’une théorie mathématique puisse être comprise par les étudiants, par un exposé réduit à la seule présentation axiomatico-déductive. Bien des élèves interrogés dés leur entrée en Ecoles d’ingénieurs, ayant donc derrière eux une dizaine d’années d’apprentissage des mathématiques, réduisent trop souvent l’activité mathématique à une activité logique, voire ludique. Quid des relations de forte réciprocité entretenues au cours de leur histoire commune, par les sciences mathématiques et physiques. Le lecteur pourra prolonger cette brève réflexion, dans les ouvrages tout à fait abordables et stimulants : - Faire des mathématiques : le plaisir du sens. R. Bkouche, B.Charlot, N.Rouche ; Armand Colin (1991). -Routes et dédales : histoire des mathématiques. A.Dahan, J.Peiffer ; Seuil. -L’analyse au fil de l’histoire. E.Hairer, G.Wanner ; Springer. -Les mathématiques, plaisir et nécessité. A.Ducrocq, A.Warusfel ; Vuibert.

1.3 La convolution des fonctions Le concept de convolution est central en analyse fonctionnelle et en théorie du signal, où il permet de modéliser les systèmes linéaires stationnaires (ou filtres). Théorème 25 Le produit de convolution de deux fonctions , " de

partout par :

est défini presque-

" noté " .

" la fonction " définie par * 6 *" 6 est " est défini presque-partout (Théorème de Fubini), et est Preuve

Théorème 26

est une algèbre commutative "

(1)

"

(2)

" "

, .

donc

1.3. LA CONVOLUTION DES FONCTIONS

(3)

" . " .

(4)

" "

(5)

" . " .

33

Preuve (1) et (2)

" " "

(3) Utiliser le théorème de Fubini. (4) " " (5) Evident.

"

" * * * " .

Théorème 27 (Dérivation d’un produit de convolution) (1) Si "

et " à dérivée bornée, alors :

(2) Si "

sont toutes deux à dérivées bornées alors :

"

"

"

" .

" "

La convolution est une opération de régularisation : le produit de convolution de deux fonctions est une fonction plus régulière que chacune d’entre elles. Considérons en effet une fonction

convolée avec la fonction-porte 1I

. égale à la valeur moyenne de sur l’intervalle .0 .0, qui est nécessairement plus régulière que et 1I .

.

1I

Dans le cas simple où 1I admet le graphe (en pointillés) suivant :

et . , démontrer que 1I

)

)

:


34

On constate que

) est continue alors que

ne l’est pas. Il serait facile de prolonger ce

résultat au cas où est une fonction étagée de la forme

1I

par passage à la limite, à des fonctions quelconques de classe Remarquons que

.

1I

(

), puis

.

est égale à : même si

.

1I

qui représente l’impulsion portée par , n’existe pas en tant que fonction, les mathématiciens ont su créer une convergence adaptée à ce problème dans le cadre de la théorie des distributions (Rendez-vous donc au Chapitre 4).

E 19 Relation entre les fonctions gamma et beta. (1) Soient

" .

"

définies sur

(2) Pour strictement positif, on définit :

telles que

%

e

1I

"

. Calculer

.

Sachant que les fonctions gamma et beta sont définies par : %

exp

et

6

6

6

Exprimez en fonction de % En déduire que :

% et . % . %

%

Le théorème ci-dessous résume les cas classiques d’extension du produit de convolution à des espaces fonctionnels autres que : Théorème 28 (Convolution dans les espaces ) Si " alors " où les réels positifs 3 9 vérifiant Applications : (1) Soient et " tels que et bornée. De plus, on a : "

, alors

" .

(2) Si

de

et

.

et vérifie :

est basée sur la décomposition : . On utilise ensuite les propriétés classiques

" "

" est définie partout, continue

et " , alors " est définie presque-partout, appartient à " " .

Preuve La démonstration de

, ainsi que l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

,


35

Théorème 29 (1) Si et " sont des fonctions continues à support bornés, alors support borné.

" est continue à

(2) Si et " sont localement continues par morceaux et de supports limités à gauche, c’est-à-dire inclus dans pour un certain , alors " est continue, à support limité à gauche. Remarque : Si et " appartiennent à

, alors

"

" .

Exemple 5 : Convolution des fonctions de Heaviside

. On a donc : # # . si sinon Soit 2 , alors # # existe d’après le théorème 29 : Soit #

# #

# #

On en déduit donc que : # #

si

# .

F IG . 1.3 – Graphe de # # Le produit de convolution a d’autres extensions utiles en analyse. (1) Produit de convolution (ou produit de Cauchy) de séries absolument convergentes. L’espace vectoriel des séries réelles absolument convergentes, noté , est l’équivalent de pour la mesure comptable. Si et appartiennent à , on définit la série égale à leur produit de convolution par :

(2) Produit de convolution de mesures. Dans le cadre de la théorie des probabilités, le produit de convolution permet d’exprimer la loi d’une somme de variables aléatoires. Montrons-le dans le cas de deux variables à valeurs entières : et $ , de lois respectives définies par les mesures discrètes :


36

!!

Æ et !"

Æ . Pour tout entier , on a :

! : $

!! !"

Le second membre de l’égalité s’identifie au produit de convolution en l’entier de !! par !" : pour tout entier , !! " !! !" . Vérifier ce résultat lorsque : !! !" Æ Æ Æ . On trouvera : !! " Æ Æ Æ Æ Æ . Nous n’irons pas plus loin dans la construction du produit de convolution de mesures quelconques (cf. SamuelidesTouzillier - Analyse fonctionnelle).

Relation entre convolution et filtre linéaire. De nombreux systèmes mis en œuvre en physique, en automatique et en théorie du signal, répondent à toute action en entrée, par une réponse & ( , et ce d’une façon linéaire, continue et stationnaire (& ; ( ; pour toute translation de ; ). De tels systèmes sont appelés des filtres linéaires (ou filtres). On établira de façon rigoureuse en théorie des distributions, que pour tout filtre & , & . , où . est la réponse du système à l’impulsion au temps . Quelques exemples : (1) Le filtre RC.

A

C

y(t)=d.d.p. entre C et D

x(t)=d.d.p. entre A et B

B

D

Les différences de potentiel

et ( sont régies par l’équation différentielle :

< (' ( avec ( dont la solution est (

<

e

<

e

(2) L’équation de la chaleur. Soit une barre de section fixe, homogène, de longueur infinie, où la température au point d’abscisse *, au temps est égale à , *. On démontre qu’à toute répartition de la température initiale , *, on associe la température :


37

*

, * (Cf : Bureau d’étude 3) La fonction * * supposée de classe , vérifie l’équation #$ de la chaleur : #$ # # où est une constante qui dépend des caractéristiques

e

physiques de la barre.

(3) Le problème de Dirichlet. Il s’agit de déterminer la valeur d’une fonction * 7 harmonique à l’intérieur du disque < (c’est-à-dire que ( * dans le disque), sachant qu’elle est connue sur le bord du disque, égale à <e% où 7 . On démontre que : *

7

< 7. < < 7

Il existe de multiples applications de la convolution : c’est le cas de l’optique de Fourier, base de l’optique physique et géométrique. (4) Filtre en traitement du signal. Un système physique ou un instrument de mesure dont la résolution est limitée, ne peut restituer en sortie, les variations rapides et irrégulières de l’entrée . La convolution . représente la moyenne pondérée des par . *, au voisinage de chaque temps *. Ainsi, la réponse ( . est plus régulière que l’entrée . Définition 26 : Une suite de fonctions positives = intégrables constitue une unité approchée (ou suite régularisante) si sont vérifiées les propriétés :

(1)

=

(2) Pour un voisinage + quelconque de , si petit soit-il,

Exemple 6 :

La suite des fonctions

&

=

, ou des fonctions gaussiennes

e sont des suites régularisantes : pour suffisamment grand ( modélisent de façon satisfaisante les impulsions de support .

)

elles

Le théorème suivant propose une nouvelle forme d’approximation des fonctions, utile dans le cadre de l’analyse et de la synthèse harmonique des fonctions et des distributions. Définition 27 : désigne l’espace des fonctions continues s’annulant à l’infini : continue appartient à si et seulement si quel que soit - 2 , il existe un compact en dehors duquel est majorée par -. L’espace est naturellement muni de la norme .

Théorème 30 (Approximation d’une fonction par une suite de fonctions régulières) ou , et pour toute suite régularisante Pour toute fonction dans l’un des espaces , = , la suite des fonctions régularisées = converge vers pour la norme de l’espace choisi.

38


Remarques : (1) La limite des = , quand tend vers , n’existe dans aucun de ces trois espaces ; comme on l’a déjà remarqué plus haut, seuls les espaces de distributions offrent une limite à la suite = qui n’est autre que la distribution de Dirac Æ , représentant l’impulsion infinie portée par . (2) Pour toute fonction de ou , si irrégulière soit-elle, si les fonctions = ont un = existe pour tout 3 4 . Dans ordre élevé de dérivabilité 4 , alors = Théorème 25 le cas où les fonctions = sont des gaussiennes, la dérivabilité est d’ordre infini.

1.4 La transformation de Laplace des fonctions La transformation de Laplace est une transformation intégrale d’un usage fréquent, notamment en automatique : elle permet de transformer un problème d’analyse linéaire (équation différentielle ou aux dérivées partielles, équation intégrale) en un problème de résolution d’une équation algébrique. Définition 28 : Une transformation intégrale est un opérateur linéaire qui associe à toute fonction d’un espace fonctionnel sa transformée dans un espace fonctionnel :

(

(

(

( est une fonction caractérisant , dite noyau de la transformation . Le concept de transformation intégrale étend aux espaces fonctionnels la notion d’application linéaire définie sur les espaces vectoriels de dimension finie : l’analogie entre () et l’application linéaire , où est évidente, maintenant et désignent une opération de même nature pour des mesures respectiveque l’on sait que ment discrète et continue. (Cf : (A) après E15) On exigera qu’une transformation intégrale possède les propriétés suivantes : – continuité ; – existence d’une transformation inverse de . Schéma de résolution d’une équation par transformation intégrale : Equation dans E

T

Equation transformée dans F Résolution de l’équation transformée

Solution de l’équation dans E

T −1

Solution dans F

Transformations int´grales d’un usage courant : – transformation de Laplace, où

( e

( ( ,

1.4. LA TRANSFORMATION DE LAPLACE DES FONCTIONS

– transformation de Fourier, où –

( e transformation de Hilbert, où (

39

( , ( ( (

.

Nous nous intéresserons à la transformée de Laplace monolatérale concernant les fonctions nulles sur , dites fonctions causales et pratiquées dans le cadre du filtrage des réponses transitoires.

Définition 29 : Soit une fonction existe, est définie par :

3

de

,

sa transformée de Laplace

, si elle

où 3 ( est complexe. est dite original et , image de : on notera . e

Comme on l’a mentionné, n’existe pas toujours ; par exemple si n’est pas définie. Précisons donc les conditions d’existence de . Théorème 31 Si e intégrable sur .

Preuve évidente car Définition 30 : Si

est intégrable sur

e e

'

,

et si

e , 3

# 3 # 3 alors e

est

.

le nombre égal à

e

noté

est l’abscisse de sommabilité de la fonction , qui définit donc le demi-plan de convergence ( 2 dans l’espace , qu’on appelle domaine d’intégrabilité de . Pour tout 3 ( tel que 2

3 est définie.

Exemple 7 : Si est à support borné, . Si e . Pourquoi ? Théorème 32 (Propriétés de la transformée de Laplace) (1) Linéarité : ,

d’abscisses de sommabilité ,

3 3 3 3 ! ) # 3 2 (2) 3 est holomorphe pour tout 3 tel que # 3 est supérieur à l’abcisse de som e ) . mabilité de , et donc infiniment dérivable : on a (


40

(3) Propriété du changement d’échelle : pour tout réel 2 : 3 (4) Pour tout complexe : e*) 3 tel que < 3 2 < .

.

3 3

(5) Propriété de la valeur initiale :

Si

alors

3 3

(6) Propriété de la valeur finale : Si

alors

3 3

(7) Transformées d’un produit de convolution : Soient et appartenant à d’abscisses de sommabilité et , alors :

,

3 3 3 3 tel que # 3 2 (8) Transformée de la dérivée : Soit , continue pour tout 2 , telle que 2 , existe et est continue ou continue par morceaux et vérifie : il existe des réels > tel que pour tout suffisamment grand +, alors :

3 3 3 3

(9) Transformée de la primitive

3

* *, supposée être

* * 3

3

3

:

Preuve (1) évidente (2) Cette démonstration nécessite la connaissance des conditions de Cauchy qui caractérisent l’holomorphie d’une fonction (cf. Chapitre 5).

(3)

3

(4)

e 3

*

(8) par récurrence

e

e

*

e

3

3 3 ) 3 par (8).

3

donc : 3 ) 3 3 3 Or, .

3

(9) Soit )

3

3 ;

E 20 Démontrer les propriétés (7) et (8).

1.5. THÈME D’ÉTUDE : APPLICATIONS DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE 41

E 21 Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes : (1) Indication

(2) .

? , " ? . : calculer d’abord et "

*

? ( 2 ).

E 22 Résolution de l’équation différentielle : ( ( si avec ( ( et . sinon (1) Déterminer

et de "

en fonction de

( 3.

(2) En déduire que :

(

( ,

Le théorème suivant suppose connu le paragraphe 5.4 consacré à l’intégrale des fonctions complexes. Théorème 33 (Inversion de la transformée de Laplace ) Si ) ( est une fonction holomorphe dans le demi-plan 2 , telle que ) ( soit sommable pour tout 2 , alors ) est la transformée de Laplace d’une fonction définie par l’intégrale suivante, dite intégrale de Mellin-Fourier :

) 3 e 3

où est la droite du plan complexe d’abscisse 2 .

1.5

Thème d’étude : applications de la transformation de Laplace

1. Transformée de Laplace d’une fonction périodique Soit une fonction T-périodique, définie et bornée sur dique" défini par 1I $ . Montrer que, pour tout 3 tel que < Application :

1I

3 2 : 3

1I $

, et soit

3

e

$

.

. Limite quand ?

2. Calcul d’une intégrale paramétrée Déterminer

pour

et en déduire .

son "motif pério-


42

3. Résolution d’une équation différentielle

2

(a) Démontrer que (b) En déduire

avec les conditions initiales :

3

3 3

.

par la formule de convolution, et en utilisant la table.

4. Résolution d’une équation intégrale On appelle équation intégrale de Volterra de deuxième espèce une équation de la forme :

"

où "

et sont des fonctions connues et inconnue. Nous nous intéressons ici au cas où et où est une fonction à support dans

. Nous nous plaçons sous les hypothèses (faciles à identifier) d’existence des transformées de Laplace. Si on note @ > et les transformées de Laplace respectives de " et , la transformation de Laplace appliquée à l’équation de Volterra s’écrit :

8 > 8 8 @ 8 On en déduit :

Résoudre :

8

@ 8 > 8

.

.

5. Application à l’étude des circuits électriques Soit le circuit RCL :

L e(t)

C

v(t)

R

Au temps , le courant est nul dans l’inductance et la tension est nulle aux bornes de la capacité . On applique la tension aux bornes du circuit, dès que 2 . La fonction de transfert d’un tel circuit est égale au quotient de la transformée de Laplace 3 de la tension de sortie par la transformée de Laplace de la tension d’entrée 3.

1.5. THÈME D’ÉTUDE : APPLICATIONS DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE 43

Déterminer la fonction de transfert du circuit précédent.

Intermède biographique : Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827) Fils d’un fermier normand, il commença sa formation au collège bénédictin local et poursuivit ses études à Caen puis à Paris, où il fut vite remarqué par d’Alembert qui le nomma professeur à l’Ecole Militaire. Peu engagé dans la Révolution, il fit partie de la Commission des Poids et Mesures et participa à la création des Ecoles Polytechnique et Normale. Considéré comme l’un des fondateurs de la physique mathématique, l’essentiel de son œuvre concerne des applications de l’analyse à la mécanique céleste et aux probabilités. “L’exposition du système du monde” est l’une de ses oeuvres majeures, où il résolut le problème de la stabilité de l’univers, en faisant l’hypothèse de l’existence d’une nébuleuse primitive, origine de l’univers. Dans son exposé il ne fait nulle part appel à une cause première ou finale d’essence divine : ainsi, à l’empereur qui lui faisait remarquer que Dieu n’apparaissait jamais dans son œuvre, Laplace rétorqua qu’il n’avait pas eu besoin de cette hypothèse pour la mener à son terme. Laplace rassemble et synthétise dans sa “Théorie analytique des probabilités” parue en 1812, de nombreux travaux épars, dus aux savants des deux siècles précédents parmi lesquels se trouvent Pascal, Bernoulli, de Moivre et Bayle : il en augmente considérablement la théorisation en produisant de nouveaux concepts et résultats tels que les notions d’indépendance ou de probabilité composée ; il propose enfin une approche satisfaisante des lois limites anticipant la méthodologie statistique, ainsi que la méthode des moindres carrés si précieuse à l’approximation des données de la physique expérimentale. C’est afin de résoudre des équations différentielles de degré élevé, qu’il introduisit la transformation qui porte son nom. Comme Fourier, Laplace n’était pas un pur mathématicien ; il aborda les domaines de l’optique corpusculaire et de la propagation du son. Amateur éclairé de philosophie naturelle, il est l’auteur d’une définition célèbre du déterminisme inspirée par la domination intellectuelle des thèses mécanistes : “Nous devons considérer l’état de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui à un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si elle était assez vaste pour soumettre ces idées à l’analyse, embrasserait d’un même mouvement les plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome, rien ne serait incertain pour elle et l’avenir comme le passé seraient présents à ses yeux”.


44

1.6 Corrigés des exercices E1 La tribu doit contenir toutes les parties stables par réunion et complémentaire, soit :

et le complémentaire du précédent. E2 (1) Exprimons chaque comme union disjointe d’ensembles :

" " " où : "

qui sera noté

croissante

.

donc :

additivité

(2) Posons :

et :

" . est une suite croissante, donc :

Or :

"

d’où le résultat par application de

.

E3 (1) Remarquons que est compact car les sont fermés et , qui est leur intersection, est fermé et borné. L’application ! ou est bijective ; il suffit d’écrire un élément et de l’expliciter sous la forme . (2) a la puissance du continu. Montrons enfin que .

où

est l’union disjointe de sous-ensembles constituant .

On a donc :

1.6. CORRIGÉS DES EXERCICES

E4 La suite

45

1I

est croissante, donc

1I

. Grâce au

théorème de Beppo-Levi, la limite du membre de gauche, lorsque croît vers l’infini, est égale

à:

1I

.

E5 (a) Par l’absurde. Supposons que

n’est pas négligeable. Comme :

" On a :

est infini, ce qui contredit l’intégrabilité de .

si la dernière intégrale est infinie, alors (b) Posons

"

,

,

"

"

E6 (1) Par double inclusion.

2

car, pour tout entier :

(2) (p.p. sur ) et de convergence dominée, il vient :

On en déduit : E7 (a) –

et

, ce qui se démontre par l’absurde.

qui est une fonction de

. Par application du théorème

pour tout entier .

–

si Donc converge ponctuellement vers . si . Donc ne peut pas converger uniformé ment vers . Pour tout entier , qui est intégrable sur . Donc en appliquant le

–

théorème de Lebesgue, il vient :


46

(b) – – –

" Donc " converge ponctuellement vers . On a : " pour . En ce point, " . Donc " et " ne peut converger vers . uniformément qui est intégrable sur . Donc en appliquant Pour tout entier , " . le théorème de Lebesgue, il vient :

E9 Pour tout entier non nul ,

, qui est le

terme général d’une série convergente. On peut donc appliquer le théorème de permutation de l’intégrale et de la somme et il vient :

E10 Vérifions les hypothèses du théorème de dérivabilité sous le signe intégrale : (1)

2

(2)

(3)

est définie pout tout et presque tout

est-elle intégrable ? 2 $- 2 - où : majoré par A sur ce qui implique : A

qui est intégrable. On peut donc appliquer le théorème de dérivation. E11 Soit (1) ! est croissante si décroissante si . D’autre part, pour tout 2 , il existe et tels que : . On en déduit que :

si si

%

Montrons que %

si , qui est intégrable si est définie et continue par application du théorème de continuité sous le

La fonction majorante est définie par sur . Donc signe intégral.

"

est de classe pour tout . On a : 5 . ( " 5


47

100

0

2

4

x

6

F IG . 1.4 – Graphe de la fonction %

Il s’agit de montrer que .

est une fonction intégrable sur : . , qui est finie car 2 et 2 ; - sur - sur est intégrable car majorée par .

On peut donc appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégral :

%

$

0

%

(2) En intégrant par parties, il vient : % %

*

% . On en déduit :

0

%

E12 Posons * ( ( et 6 ( ( . La transformation inverse s’écrit : ( 6 . La matrice jacobienne de la transformation vaut :

'

*

6

6

6

*06 et

de déterminant égal à . Comme par ailleurs la fonction sous l’intégrale est positive, l’application du théorème de changement de variables donne :

* 6 * 6

E13 Le résultat s’obtient en appliquant le théorème du changement de variables :

( 8 ( 8

E14 (a) On trouve : '

7 B B 7 B

7 7 B

. et le nouveau domaine est défini par les inéquations : 6* *6 6


48

équivalentes à : ( défini de façon équivalente par :

(b)

E15 (a)

6 * 6 .

(

( (

( . Le domaine peut encore être

6 6 * 6 6 * 6

soit finalement : 6

*

* 6 6 -

est une fonction paire ; posons

Comme

et restreignons-nous à

.

finie

, intégrable sur , on en déduit que appartient à

.

(b) Un changement de variable et un découpage de l’intervalle d’intégration identiques per mettent de conclure que appartient à .

E16 (2) – – –

(3)

et et

1I 1I 1 I

Donc, si

1I

, alors

E17 Comme : "

1I

Cauchy-Schwarz .

Cauchy-Schwarz

" " "

qui converge vers si converge vers et " converge vers " dans Attention : si et " appartiennent à

.

, on ne peut affirmer que le produit

E19 (a) On sait que si et " appartiennent à

" " " " , on a :

" " " " "

"

"

,

" appartient à

" appartient à

. On a donc :

* " * *

.


49

car et " sont positives. Effectuons le changement de variables : * jacobienne : '

"

. On en déduit :

*

* *

* %

" ( *! ' (

* % Posons * . Il vient alors :

(b)

( * , de matrice

% %

d’où :

*

" ( (

*

* * .

% %

Intégrons les deux membres de cette égalité. On remarque, d’une part, qu’en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :

% .

%

et que, d’autre part, par définition de la fonction % : conclut que : %

%

. On en

E21 (1) C C C , d’où l’on déduit : 3 C 3 . De même : " C C C " C C " . Ceci conduit à :

" 3

(2)

*

C3 3 C

C C 3 d’après la proposition 4 (Théorème 29). D’où : 3 . 3 3 C

E22 (1) On obtient : 3 (2)

( 3 ( ( . D’où : ( 3

3 3 3

, après décomposition en éléments simples. # , d’où la solution.

.


50

Applications de la transformée de Laplace (1)

3

e

$

* e 3

$

e

$

(3) On a : déduit :

3

3 3 3

$

$

e 3

3

3

. On en

3 3

. En utilisant la formule de convolution, il vient :

3

3 e 3

.

où *

*

3 3 3 3 . De plus :

(4) L’équation de Volterra s’écrit :

3

Par ailleurs, on a :

3

$

e

e

(2) Application : 3 3

, pour positif. Il vient donc :

, d’où :

3

3

3

pour Re

3 2

L’original s’écrit donc :

(5)

3 . Par ailleurs, & 3

3 < 3

de la fonction de transfert :

3

3

& 3 3

.

3

3 , ce qui conduit à l’expression 3

< 3

Chapitre 2 Espaces vectoriels normés L’analyse fonctionnelle naquit de l’intérêt des mathématiciens de la fin du ième siècle pour l’étude systématique des opérateurs fonctionnels. C’est dans le cadre du calcul des variations qu’apparurent les premiers opérateurs fonctionnels de la forme : "

! "

'

Le problème étant de déterminer la fonction qui minimise la fonctionnelle " , laquelle modélise l’action dans le cadre de la mécanique lagrangienne. Les espaces fonctionnels vectoriels normés ont été créés pour exprimer des types de convergence plus riches que la convergence simple, qui par exemple n’implique nullement la continuité de la limite d’une suite de fonctions continues. Leur étude relativement récente est due à Banach (1892-1945) et à son équipe, autour des années vingt du siècle dernier à partir d’une part, des travaux de Hilbert (1862-1943) et de ses disciples, qui cherchaient à étendre aux espaces fonctionnels les structures géométriques des espaces euclidiens, et d’autre part des travaux de Riesz en 1910 sur les espaces vectoriels de fonctions de carrés intégrables. Les analystes de la première moitié du vingtième siècle ont donc entrepris une véritable géométrisation de l’analyse. Dans ce chapitre, après un rappel nécessairement rapide des bases de topologie métrique, nous exposerons les résultats généraux de la théorie des espaces vectoriels normés, avant de nous intéresser aux espaces de Hilbert et à leurs puissantes propriétés. Dans le dernier paragraphe, seront mis en place les rudiments de l’approximation des fonctions, dont l’exposé exhaustif appartient au cours d’analyse numérique.

2.1 Espaces métriques La théorie des espaces topologiques, ou topologie, est née de la nécessité de définir rigoureusement les notions de proximité d’éléments d’un ensemble donné, de densité d’un sousensemble de points dans un ensemble, de convergence et de limite des suites qui y sont définies. Cette nécessité avait été pressentie par le philosophe et mathématicien Leibniz ## #, dont l’un des nombreux projets, inhérents à sa recherche d’une langue conceptuelle universelle, était de doter les mathématiciens d’une analyse ou géométrie qualitative, nommée par lui "analysis situs". D’abord limitée à l’étude de l’ensemble des réels dans les travaux de Cantor et Dedekind à la fin du dix-neuvièle siècle qui construisirent l’ensemble par complétion de

CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

52

l’ensemble des rationnels, la topologie s’étendit progressivement aux espaces fonctionnels. Fréchet définit au début du siècle dernier la notion de topologie métrique, puis Haussdorf # développa les premières notions de topologie générale.

2.1.1 Notions basiques Définie sur un ensemble, une distance permet de quantifier la proximité des éléments entre eux. Définition 1 : Une distance ou métrique sur un ensemble E est une application :

( ! (

L’application vérifie les axiomes : (a) Symétrie : ( ( ( (b) Séparation : ( ( ( (c) Inégalité triangulaire : ( 8 (

8 8 (

Un ensemble muni d’une distance devient un espace métrique, désigné par

.

Exemple 1 : Distances classiques (1) ; ( de , ( ( . (2) ; ))) et ( ( ))) , on définit les distances :

(

(

(

(

(distance euclidienne)

( (

)))

ensemble des fonctions continues définies sur ; " ,

" " est une distance sur .

(3)

Définition 2 : Deux distances et définies sur un ensemble sont équivalentes s’il existe deux réels strictement positifs et tels que : ( ( ( ( . E1

(a) Démontrer que la fonction , définie ci-dessus, est une distance. (b) Vérifier que les distances , et sont équivalentes ? (c) Soit un espace métrique et Æ la fonction qui associe à le réel Æ ( ; Æ est-elle une distance sur l’ensemble ?

2.1. ESPACES MÉTRIQUES

53

Dans un espace métrique , on définit pour tout point, des ensembles de points voisins nommésboules, par analogie de forme avec les sphères définies par la métrique naturelle

( ( définie sur . Définition 3 : A tout élément de l’espace métrique , on associe une famille de boules ouvertes de centre et de rayon définies par :

( ( ( A toute boule ouverte (

, on associe la boule fermée ( (

:

Bien sûr, une boule, au sens métrique du terme, n’en est pas nécessairement une du point de vue de sa forme géométrique ! Considérez par exemple les boules et respectivement associées aux distances et dans l’espace euclidien :

r

0

r

0

Une suite d’éléments de est une application de . On note cette suite.

Définition 4 :

!

(ou ) dans :

Définition 5 : A toute application ) ! , strictement croissante, on associe la sous-suite de , appelée sous-suite extraite de . Définition 6 : Une suite

de est convergente dans s’il existe tel que :

- 2 , $4 , 4 - (qui s’écrit aussi : -).

Théorème 1 (Propriétés des suites convergentes) (1) Toute suite convergente n’a qu’une limite. (2) Toute suite extraite d’une suite convergente vers /, converge vers la même limite /. (3) L’ensemble des éléments d’une suite convergente est borné.

Théorème 2 Si deux distances sont équivalentes, toute suite convergente pour l’une sera convergente pour l’autre. Définition 7 : Une partie de est dite fermée si la limite de toute suite convergente de

, appartient à ; on appelle fermé toute partie fermée. Théorème 3 (Propriétés des fermés) L’intersection quelconque et la réunion finie de fermés sont fermés. et sont des fermés.


54

Définition 8 : Une partie partie fermée dans .

D de est dite ouverte, si elle est le complémentaire d’une

Théorème 4 (Propriétés des ouverts) La réunion quelconque et l’intersection finie d’ouverts est un ouvert. Les ensembles et sont des ouverts. On notera l’ensemble des ouverts de é ; le couple

définit un espace topologique. est un voisinage d’un élément de , s’il existe un

Définition 9 : Une partie + de ouvert D de tel que : D + .

Théorème 5 (Caractérisation des ouverts) Une partie D est ouverte si et seulement si D, $ 2 , Autrement dit, D est un voisinage de chacun de ses points.

D.

Définition 10 : Un élément de l’espace métrique est dit adhérent à une partie de , si , où est la distance de à définie par : ( . ,

L’ensemble des points adhérents d’une partie est le plus petit fermé contenant : on l’appelle adhérence ou fermeture de , notée . Remarque : L’adhérence d’un ensemble peut être beaucoup plus grande que cet ensemble. En théorie de la mesure, on a établi, qu’étant donné l’ensemble muni de la tribu des boréliens

et de la mesure de Lebesgue , l’ensemble est de mesure nulle, alors que son adhérence égale à , est de mesure infinie. E 2 Soit

alors : .

E 3 Démontrer que :

et .

Définition 11 : Une partie de

est dense dans si .

Exemple 2 : (1) L’ensemble des polynômes à coefficients réels est dense dans l’espace des fonctions continues sur , muni de la distance de la convergence uniforme définie par : " " (cf. Théorème de Stone-Weierstrass, à la fin du chapitre).

(2) Si une partie , dense dans , est dénombrable, on dit que l’espace est séparable. En analyse fonctionnelle, on fait souvent appel aux espaces fonctionnels séparables, dans lesquels il est possible d’approcher toute fonction de par une combinaison linéaire finie d’éléments de ; c’est le cas de l’espace des fonctions de carré intégrable, et de .


55

Définition 12 : La frontière d’une partie est l’ensemble ( ), noté et formé des points dont tout voisinage rencontre à la fois A et son complémentaire : c’est un fermé, comme intersection de fermés. Æ

Æ

Exemple 3 : (1) si alors

(2) et . Définition 13 : est un point d’accumulation de la partie de si tout voisinage de rencontre " . Ceci s’exprime dans l’espace métrique par : pour tout - 2 , - contient au moins un autre élément que a. Nécessairement, tout point d’accumulation de , appartient à l’adhérence . Æ

Définition 14 : Un point est un point isolé de , s’il n’est pas un point d’accumulation, ce qui s’exprime dans l’espace métrique par :

$- 2 - Exemple 4 :

L’ensemble .

contient deux points d’accumulation -1 et 1 ;

Théorème 6 Etant donnée une partie de l’espace topologique , l’adhérence de est égale à la partition formée de l’ensemble des points d’accumulation de et de l’ensemble des points isolés de . Définition 15 : L’élément est dit valeur d’adhérence d’une suite

- 2 4 $ 4

de si :

-

Théorème 7 (Caractérisation d’une fonction continue) Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (1) est continue de dans . (2) Pour tout ouvert D de , D est un ouvert de . (3) Pour tout fermé de , est un fermé de .

Définition 16 : Une fonction bijective continue ainsi que sa réciproque est dite homéomorphisme .

Définition 17 : Toute application bijective de dans qui conserve les distances, c’est-à-dire telle que ( ( ( est dite isométrie.


56

2.1.2 Espaces complets La notion de complétude est une notion métrique fondamentale, qui permet de prouver la convergence d’une suite, sans en connaître la limite. On ne peut pas la définir dans un espace topologique quelconque, car la propriété de Cauchy d’une suite ne peut s’exprimer à l’aide des seuls ouverts.

Définition 18 : Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy y converge. Exemple 5 : (1) n’est pas complet : en effet, la suite * qui converge vers 0 . (2) est complet.

de est une suite de Cauchy

Théorème 8 (1) Toute partie complète de est fermée. (2) Toute partie fermée d’un espace métrique complet est complète. E 4 Démontrer le théorème 8. Définition 19 : Une application de si :

dans est continue en si et seulement

- 2 $E 2 ( ( E ( -

Théorème 9 La fonction de dans est continue en si et seulement si, pour toute suite de , convergente vers , est une suite de , convergente vers . On fait appel à ce théorème, par exemple, pour démontrer le théorème de continuité de l’intégrale de Lebesgue (Théorème 15 - Chapitre 1). Définition 20 : Une application

est uniformément continue si :

- 2 $E 2 ( ( E ( - Définition 21 : – Une application tel que :

est lipschitzienne s’il existe un réel 2 ( ( (

– Si de plus , alors est dite contractante. Remarque : Si est une fonction dérivable de équivaut à .

dans lui-même, la propriété de contraction de


57

Théorème 10 Une fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve Sachant que

( ( pour * ( -.

$E * (

Dans le cas où contractantes ont la propriété suivante :

un

2

donné, il s’ensuit que

sont un même espace complet

, les fonctions

Théorème 11 (du «point fixe» dit de Banach-Picard) Toute fonction contractante (ou contraction) d’un espace métrique complet même est continue et admet un seul point fixe , défini par .

- 2 ,

dans lui-

Attention ! Le théorème est faux si l’on substitue à l’hypothèse de contraction, l’hypothèse plus faible : ( ( , pour tout et ( . Le théorème du point fixe est utile à la démonstration du théorème d’existence et d’unicité des solutions des équations différentielles, et fonde les méthodes classiques dites de "descente", permettant entre autres de résoudre les équations algébriques non linéaires de la forme : . E 5 Démontrer le théorème 11. [Indication : démontrer que la suite

définie par

,

est une suite de Cauchy.]

2.1.3 Espaces compacts Il s’agit ici d’étendre à des espaces métriques quelconques, la notion d’ensembles compacts définis dans qui s’identifient aux sous-ensembles fermés et bornés de . Théorème 12 (Caractérisations et définitions de la compacité) Soit un espace métrique, alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) est compact. (2) Tout sous-ensemble infini de admet au moins un point d’accumulation (BolzanoWeierstrass). (3) De tout recouvrement infini de par des ouverts, on peut extraire au moins un recouvrement fini (Borel-Lebesgue). (4) De toute suite de , on peut extraire une sous-suite convergente. Si est un espace topologique non métrique, seule la caractérisation de Borel-Lebesgue permet de définir la compacité de . Théorème 13 Si

compact, alors complet.


58

Théorème 14 Soit un espace métrique. (1) Si est compact et est une partie fermée dans , alors compacte. (2) Si est une partie compacte de , alors fermée et bornée. E 6 Démontrer le théorème 14. Les trois théorèmes suivants établissent les “bonnes et très utiles” propriétés des fonctions continues, lorsqu’elles sont définies sur des compacts. Théorème 15 Compacité de l’image d’un compact par une fonction continue. Soit continue du métrique compact dans alors est un compact de . Preuve Soit D un recouvrement ouvert de ouvert de dont on extrait un recouvrement fini ment fini de , donc est compact.

alors D est un recouvrement D , donc D est un recouvre

Théorème 16 Si est continue de dans sur tout compact > , qui sont atteints. Preuve

, possède un minimum et un maximum

> est nécessairement un fermé borné de

Théorème 17 (Heine) Toute application continue de l’espace compact nue.

, et donc atteint ses bornes.

dans est uniformément conti-

E 7 Prouver ce théorème à l’aide d’une démonstration par l’absurde. Toutes les notions et les propriétés exprimables avec les ouverts et les fermés, se conservent par homéomorphisme. Il en est ainsi des propriétés de compacité, de connexité, de séparabilité, des notions de frontière, de continuité, de convergence mais non de la complétude, qui nécessite la notion de distance. Les concepts et propriétés stables par le groupe des homéomorphismes sont dits topologiques.

2.1.4 Espaces connexes Intuitivement, un ensemble est connexe s’il est d’un “seul tenant”. Définition 22 : Un espace topologique est connexe si l’une des propositions suivantes est vérifiée : (1) il n’existe pas de partition de en deux ouverts non vides disjoints.


59

(2) il n’existe pas de partition de en deux fermés non vides disjoints. Exemple 6 : Les seuls sous-ensembles connexes de

sont les intervalles.

Théorème 18 L’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe. E 8 Prouver le théorème 18 à l’aide d’une démonstration par l’absurde. Définition 23 : Un espace topologique est connexe par arcs si pour tout ( existe une application continue " de dans telle que " et " ( .

, il

Il est clair que la connexité par arcs implique la connexité.

Remarque : ni la frontière, ni l’intérieur d’un connexe ne sont en général connexe :

-0.5

-1

0.5

0

1 x

L’union des deux disques fermés est connexe ; mais son intérieur qui ne contient plus le point de tangence 0, ne l’est pas ! La mathématique, une science à part ? On a déjà mentionné les propriétés de cohérence et d’autonomie qui caractérisent les théories mathématiques. Rappelons qu’un théorème ne trouve sa justification et sa signification que grâce à sa démonstration opérant au sein de la théorie auquel il se rattache. Non seulement, on ne peut isoler un théorème de son contexte théorique, mais il y manifeste sa profonde nécessité ; en effet, le mathématicien qui pose une conjecture et en produit une démonstration, met au jour et donne à voir ce qui est déjà contenu, sous une forme potentielle, dans la théorie. Jean Cavaillés (1903-1944), éminent épistémologue des mathématiques et résistant exemplaire, disait des mathématiciens (créateurs), qu’ils étaient des "révélateurs de nécessités". C’est sur ce point, que se démarque le plus fortement la production mathématique, des autres productions théoriques (physique, biologique) et surtout artistiques ; ces dernières en effet, ne répondent à aucune nécessité logique, et leurs formes abouties auraient pu donc ne pas être ou être différentes. Contrairement aux autres sciences, les mathématiques ne constituent pas un savoir sur une classe d’objets de la réalité matérielle ; dans leur processus de production, on note une indifférence certaine des mathématiques au réel, et là réside leur puissance modélisatrice sur les autres sciences. Ce qui est exemplaire en mathématiques, c’est moins leur bonne constitution logique garante de leur universalité, de leur rigueur et de leur cohérence, que leur étonnante et mystérieuse capacité à alimenter sans cesse son acte créatif, de nouvelles explorations.


60

Pour une première approche de l’épistémologie des mathématiques, on pourra aborder les ouvrages suivants : -Penser les mathématiques. (Collectif d’auteurs) ; Points-Sciences Seuil. -Nombre, mesure, continu. J.Dhombres ; Nathan. -Les mathématiques et la réalité. F.Gonseth ; Blanchard. -Pour l’honneur de l’esprit humain. J.Dieudonné ; Hachette. -L’intelligence et le calcul. J.P Delahaye ; Belin. Pour la science. -Prédire n’est pas expliquer. R.Thom ; Flammarion.

2.2 Espaces vectoriels normés Définition 24 : Une norme sur un K-espace vectoriel E (>

ou ) est une application : vérifiant les axiomes :

Séparation : Homogénéité : % % % > Inégalité triangulaire : " " " Un espace vectoriel muni d’une norme est dit normé, et sera noté : “e.v.n”. La norme généralise aux e.v. de dimension quelconque la notion de longueur d’un vecteur dans un espace euclidien, et celle de valeur absolue d’un nombre réel ou complexe. Définition 25 : Etant donné l’espace normé

, on définit une distance sur par :

( ( ( Exemple 7 : De nombreux espaces fonctionnels sont des espace normés. Par exemple : - L’ensemble des classes de fonctions réelles égales presque partout et telles que : , muni de la norme : .

égales presque partout et telles , muni de la norme , qui, on le verra

- L’ensemble

des classes de fonctions réelles

que : en , est définie à partir d’un produit scalaire sur les fonctions de

.

- L’ensemble des fonctions continues sur sur lequel on peut définir de nombreuses normes, la plus classique étant la norme dite de la convergence uniforme, définie par :

- L’ensemble des fonctions -dérivables, à support borné (le support de est le plus petit fermé en dehors duquel est la fonction nulle), muni de la norme

2.2. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

61

Définition 26 : Deux normes et définies sur constantes et strictement positives telles que :

sont équivalentes s’il existe des

Cette définition est identique à celle de l’équivalence des distances. Théorème 19 Si les normes et définies sur sont équivalentes, toute suite convergente pour l’une est convergente pour l’autre. Preuve Evidente. Remarque : Dans les espaces vectoriels de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : en conséquence les notions de convergence, d’ouvert, de fermé, de continuité, sont identiques. En revanche, les normes définies sur les espaces fonctionnels, qui sont de dimension infinie, ne sont pas nécessairement équivalentes, ce qui oblige, étant donné un problème, à choisir la norme la plus adaptée à sa modélisation et à sa résolution. Exemple 8 : (1) Dans , les normes , et ne sont pas équivalentes. Il est assez facile de trouver des suites de fonctions qui convergent pour une norme et ne convergent pas pour les autres.

(2) Sur tout segment de dratique car :

, la convergence uniforme implique la convergence qua . La réciproque est fausse.

La propriété de complétude d’un espace fonctionnel est essentielle pour les méthodes et théories de l’approximation, puisqu’elle permet de démontrer la convergence d’une suite de fonctions sans devoir en calculer la limite. Définition 27 : Un espace vectoriel normé complet est dit espace de Banach . Exemple 9 : L’ensemble des matrices %. > (où > est un espace de Banach.

ou ) muni de la norme

ATTENTION ! La complétude d’un e.v de dimension infinie, dépend de la norme considérée ; ainsi n’est pas complet pour la norme , alors qu’il l’est pour sa norme naturelle .

Théorème 20 Preuve Soit

est un espace de Banach.

une suite de Cauchy de - 2

:

$ 4 - . - 4

Ainsi, pour tout , la suite est une suite de Cauchy, dans , complet : elle converge donc vers une limite notée . On va montrer que la fonction ainsi construite est


62

bien la limite de la suite dans Montrons que entier :

.

, et - 2

est bien continue. Soit

,

on a, pour

( , et pour

( ( ( ( Ayant montré que

converge uniformément vers , on peut trouver 4 tel que :

-0 . En utilisant alors la continuité de en , il existe un voisinage + dans de tel que ( + ( -0 . En reprenant l’inégalité

, et en faisant tendre vers , on obtient 4 -

Soit : 4 -. En reprenant l’inégalité , on obtient ( + ( -0 -0 -0 - ; est bien continue en tout point de . La suite converge bien dans vers .

est-il complet pour la norme ? si 0 ! 0 0 0 0 Considérer la suite

E9

"

0 0

E 10 L’application " " où est la primitive de définie par

, est-elle continue pour et ?

Théorème 21 (Riesz-Fischer) Preuve On la fait dans le seul cas où extrait une sous-suite "

3

telle que

"

est un espace de Banach, 3 .

une suite de Cauchy de

.

Soit

"

Posons .

dont on

" " il

vient . . est une suite croissante de fonctions positives, intégrables, et l’intégrale de sa limite est majorée par 2. On en déduit que "

donc

"

" " converge (p.p.) vers une limite "

" " quand 3 et est majorée par . Le théorème de convergence

dominée entraine

" "

, donc " est limite de

donc

" est valeur d’adhérence de la suite de Cauchy

2.2. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

63

Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés Il est clair qu’une application linéaire ne peut être bornée au sens classique, puisque pour tout réel , , , qui tend vers avec ; il est donc nécessaire de définir un nouveau concept de “borné”. Définition 28 : Une application de dans est bornée s’il existe une constante positive telle que , , . Théorème 22 (Propriétés des applications linéaires continues) Si est une application linéaire de dans , alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) continue en . (2) continue dans . (3) lipschitzienne et donc uniformément continue dans . (4) est bornée dans la boule unité : il existe une constante positive telle que

, (5)

est bornée.

Rappelons que si est de dimension finie, alors toute fonction linéaire définie sur est nécessairement continue. E 11 Prouver le théorème précédent. Soit l’espace vectoriel des applications linéaires continues de dans

, . Définissons une norme sur : Théorème 23 A tout par :

, on associe une norme définie de façon équivalente

,

,

% réel positif

En conséquence : pour tout

,

, %

,

Rappelons le très classique théorème de prolongement par densité des applications linéaires continues : Théorème 24 Soient un espace normé et , un espace de Banach ; si est un sous-espace vectoriel partout dense de et linéaire continue de dans alors il existe une unique application linéaire continue ) qui prolonge et telle que ) .


64

Définition 29 : > où > est ou est le dual topologique de , encore noté : muni de la norme est un espace de Banach. Intermède biographique : Stephen BANACH (1892-1945) Banach naquit en Cracovie (Pologne), fit ses études et devint professeur à Lwow, l’un des foyers mathématiques importants des pays de l’Est dans l’entre-deux-guerres. Ce grand mathématicien fut aussi un grand professeur, qui par son contact direct et chaleureux, savait faire partager à ses élèves l’exercice d’une “pensée toujours en action”. Il fut l’un des mathématiciens qui a le plus contribué à la naissance et au développement de l’analyse fonctionnelle. On lui doit l’introduction de concepts majeurs : espaces vectoriels normés (1920), espaces complets, dualité des espaces , prolongement d’une forme linéaire continue (en collaboration avec Hahn). L’œuvre qui le fit connaître, la “Théorie des opérations linéaires”, parue en 1928, fut l’un des premiers grands livres d’analyse fonctionnelle.

2.3 Espaces de Hilbert Les espaces de Hilbert étendent aux espaces de dimension infinie, la théorie et les puissantes propriétés des espaces euclidiens, supposées (bien !) connues du lecteur. Définition 30 :

)

Un produit scalaire sur le -espace vectoriel est défini par une forme , définie positive, bilinéaire et symétrique. On note : ) ( ( .

( ( ( , ( ( ( ( , %( % ( et ( ( (% ) symétrie : ( ( définie-positivité : et & .

– bilinéarité : – –

Si est un -espace vectoriel les propriétés de linéarité et de symétrie sont remplacées par la sesquilinéarité et l’hermiticité : – sesquilinéarité : si % : %( % ( et – hermiticité : ( ( . – définie-positivité : comme précédemment.

( (

Définition 31 : Un espace préhilbertien est un espace vectoriel dont la norme est issue d’un produit scalaire . On notera l’espace préhilbertien. Sa norme est définie par : Pour tout appartenant à Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet.

2.3. ESPACES DE HILBERT

65

Quelques espaces de Hilbert classiques (a) L’espace euclidien , connu du lecteur, est l’espace

(

muni du produit scalaire :

( où et ( ( (

(b) L’espace des séries réelles (resp. complexes) de carré sommable, noté / (resp. / ), et muni du produit scalaire : *6 * 6 (resp. * 6 où l’antilinéarité porte sur la ième variable) où * * et 6 6 (c) L’espace des fonctions (resp. ) muni du pro de carré intégrable noté duit scalaire " " (resp. " ) et de la norme à la ligne

Les espaces / et sont fondamentaux en théorie du signal ; ils définissent respectivement l’espace des signaux d’énergie finie, échantillonnés et analogiques .

2.3.1 Propriétés d’orthogonalité dans les espaces de Hilbert La forte spécificité des espaces de Hilbert provient de la propriété d’orthogonalité qu’on peut y définir et de leur complétude, propriétés riches de conséquences en théorie du signal et en analyse numérique. Rappelons l’identité de polarisation :

(

(

Ré (

(2.1)

qui permet d’exprimer le produit scalaire à partir de la norme, dans le cas d’un -espace vectoriel. Définition 32 : Deux éléments et ( de sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

( , noté aussi ' (

(se lit : “ orthogonal à ( ”)

Théorème 25 (Théorème de Pythagore généralisé) Soient ( espace préhilbertien :

'(

(

(

Théorème 26 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit un espace préhilbertien alors :

( ( ( L’égalité n’est vraie que si et ( sont colinéaires.


66

Théorème 27 (Identité du parallélogramme)

(

(

(

(

x+y y

x

E 12 Démontrer les théorèmes 25, 26 et 27. Théorème 28 (Projection unique sur un sous-ensemble convexe complet) Soit un espace préhilbertien et un sous-ensemble convexe, non vide et complet de (si est hilbertien, fermé suffit). Alors, pour tout de , il existe appartenant à , unique projection de sur F, qui vérifie :

Inf (

,

est aussi noté !,

.

F x*

∀y

x

F IG . 2.1 – Projection unique de sur

Preuve (a) Existence de : par définition de la borne inférieure il existe une suite telle que ( . On va montrer que cette suite est de Cauchy. En utilisant le

,

théorème de la médiane, il vient :

.

## ## # . # . ##


Or est convexe, donc

67

. appartient à et on a :

# ## ## . ### ( noté ,

D’autre part, par définition de , on a : - 2 $4 4 - . Par conséquent, pour tout - 2 fixé, il existe un entier 4 tel que, pour tous et supérieurs à 4 , on ait :

. -

- - - Ainsi est de Cauchy, dans , qui est complet . converge vers . De plus, , qui est aussi égale à ( , qui est par conséquent atteint, , i.e ( . , (b) Unicité de : supposons l’existence de et ( dans tels que ( 8 . On applique le théorème de la médiane à et / ( pour conclure.

Théorème 29 (Projection unique sur un sous-espace vectoriel complet) Soit un espace préhilbertien et un sous-espace vectoriel complet de (si est hilbertien,

fermé suffit). Alors, pour tout de , il existe !, unique, vérifiant les propriétés équivalentes :

(1) Orthogonalité du vecteur au sous-espace : ( (2) Minimalité de la distance de à : Inf ( .

( .

,

Ce théorème est à la base de la théorie de l’approximation hilbertienne des fonctions qui sera présentée dans les paragraphes suivants. E 13 Montrer que l’orthogonalité de proximation de dans

avec

, implique que

est la meilleure ap-

Dans le cas de l’espace euclidien , l’illustration graphique est suffisamment explicite. z (E) x F y

x

x*


68

E 14 Résolution approchée des systèmes linéaires sur-déterminés : application à la régression linéaire De tels systèmes, où il y a plus d’équations que de variables, apparaissent fréquemment en optimisation (économétrie) et en statistiques (régression linéaire). Soient une matrice réelle de dimension (n,m) avec 2 , et un vecteur de : le système linéaire n’a en général aucune solution, sauf si est singulière. Bien qu’il n’existe pas de solution exacte de ce système, on sait déterminer une solution approchée , au sens des moindres carrés, définie par :

(a) Résoudre le problème de projection équivalent au problème de minimisation. [considérer l’hyperplan . engendré par les vecteurs colonnes de la matrice ] (b) Démontrer que la solution vérifie :

Si de plus, le rang de est égal à , est unique et est égale à . ! ( (c) Appliquer la méthode au système : " (( (d) Soient points ( approximativement alignés selon une droite. On cherche la droite ( passant au sein de l’ensemble des points ( . Il s’agit de mi nimiser : ( . Identifier la matrice , le vecteur et déterminer les

coefficients et qui définissent la droite cherchée. Cette méthode dite des moindres carrés s’applique au cas où le modèle recherché est une fonction quelconque 7 7 7 où les 7 sont des paramètres inconnus, qu’il s’agit d’estimer. Les équations auxquelles on aboutit n’ont alors aucune raison d’être linéaires, et nécessitent pour leur résolution, l’usage de méthodes numériques.

Théorème 30 (Propriétés des projections orthogonales) Soit un s.e.v. complet de l’espace de Hilbert , alors la projection !, est : Linéaire : ( !, Lipschitzienne : et vérifie ( !,

( !, !, ( ; !, !, !, ( !, ( !, !, (

E 15 Démontrer le théorème ci-dessus. Définition 33 : Si est un sous-espace vectoriel de le sous-espace vectoriel orthogonal à

est noté et est défini par :

( (


69

E 16 Démontrer les propositions suivantes : (1) Si est une partie quelconque de , alors est un sous-espace vectoriel fermé de .

(2) Si & est une partie quelconque de , alors espace vectoriel engendré par S.

&

Théorème 31 (Décomposition unique de tout élément !, et de son orthogonal !, )

s’identifie à la fermeture du sous-

de en somme de sa projection

Si est un sous-espace vectoriel complet de E, alors E est la somme directe de F et , notée

( . De plus :

.

Preuve (1) Preuve de : (

. Soit alors D Soit 8 8 !, 8 8 !, 8 où 8 !, (2) Preuve de :

.

(2.1)

:

8

8 8 d’où

(2.2) : si

alors !, et !, !, car !, Par différence des deux égalités et , on a : !, !, !, .

car !,

Théorème 32 (Représentation de Riesz d’une forme linéaire continue) Etant donnée une forme linéaire continue " définie sur l’espace hilbertien , à valeurs dans le corps ou , il existe un unique ( qui dépend de ", tel que :

"

(

Exemple : Si est l’espace euclidien de dimension , on sait que toute forme linéaire définie sur s’exprime par :

où .


70

Théorème 33 (Définition et propriétés de l’adjoint d’un opérateur) Etant donné un endomorphisme continu d’un espace de Hilbert , il existe un unique endomorphisme continu tel que :

(

( (

désigne l’adjoint de

et donc Si et sont deux endomorphismes continus de :

Æ

Æ

Preuve Soit ( , alors l’application " Æ ( appartient à . Grâce au Théorème 32, il existe un unique élément noté ( tel que : ( ( . On définit ainsi une application . Sa linéarité est une conséquence immédiate de l’unicité de ( . Montrons que est continue. On a :

( " Æ " (

Donc est continue, et de plus : . En réécrivant cette dernière inégalité pour , on obtient : , puisque que , ce qui résulte de l’unicité de l’adjoint. Soit finalement : .

Définition 34 : Un opérateur est auto-adjoint si .

Exemple 10 : Considéronsl’opérateur linéaire > qui associe à tout

> On vérifie :

( ( (, où >

la fonction >

.

( (

d’où la continuité de l’application linéaire > . On démontre que l’opérateur > est auto-adjoint si et seulement si E 17 Montrer que Déterminer > .

définie par

( ( .

> " > " , où > est associé à la fonction ( ( .

La convergence faible La convergence la plus adaptée à un ensemble fonctionnel donné n’est pas toujours définie à partir d’une norme. La convergence faible en est une illustration.


71

Définition 35 : Une norme sur un espace vectoriel vérifiant les axiomes : (1) (2)

est une application 3 de dans

3 % %3 % > , (> est le corps ( 3 ( 3 3 (

ou ).

On sait associer une topologie à une famille de semi-normes 3 définies sur : on parle alors d’espace vectoriel semi-normé. Nous la définissons par le type de convergence qu’elle induit sur :

Définition 36 : Une suite de l’espace vectoriel semi-normé semi-normes 3 converge vers si :

muni de la famille des

3

La notion classique de convergence simple en est un exemple : en effet, sur l’ensemble des fonctions définies sur un ensemble quelconque, à valeurs dans , on définit la famille de semi-normes 3 :

3

Définition 37 : La suite de l’espace vectoriel semi-normé dans vers si et seulement si :

3

Définition 38 : Soit un espace vectoriel normé, la suite ou ponctuellement vers de si et seulement si :

converge simplement

de converge faiblement

Dans un espace de Hilbert, grâce au théorème de Riesz, la convergence faible s’exprime à l’aide du produit scalaire : Définition 39 : Soit un espace de Hilbert , la suite si et seulement si :

de converge faiblement vers de

( ( (


72

2.3.2 Familles et bases orthonormales Les espaces fonctionnels sont tellement riches d’éléments disparates, (imaginez déjà la foisonnante variété de l’ensemble des fonctions quelconques de dans ), qu’il est illusoire de vouloir les décrire complètement par les seules combinaisons linéaires finies d’éléments de certains de leurs sous-espaces, comme cela est possible dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Le concept de famille totale joue ici un rôle analogue à celui du concept de base dans le cas de dimension finie. Nous supposerons dans ce qui suit que est un espace préhilbertien. Définition 40 : Un système

de est orthogonal si :

F 6 F il est dit orthonormal si de plus Théorème 34 Si alors :

est un sous e.v. de

engendré par le système orthonormal fini

!,

,

E 18 Preuve du théorème 34. (1) Démontrer qu’un système orthogonal est libre. (2) Conclure. Définition 41 : , qui est la projection orthogonale de sur le sous-espace engendré par , définit la ième coordonnée de , désignée par , ou coefficient de Fourier de par rapport à . Théorème 35 Etant donné un espace de Hilbert ))) , alors pour tout de :

muni d’un système orthonormal fini

## # # ## ## ### ### % ### # # #

quel que soit le n-uplet

% % de nombres réels.

Ainsi, est la meilleure approximation de dans le sous-espace vectoriel engendré par la base orthonormale finie . C’est donc la projection de sur le sous-e.v. engendré par cette base. Théorème 36 (Inégalité de Bessel) Soit un système orthonormal de , alors pour tout : est sommable et inférieur à


73

Définition 42 : Un e.v. normé est séparable s’il existe une famille dénombrable de vecteurs dense dans Définition 43 : Un système (ou famille) est total(e) dans espace vectoriel engendré par est dense dans .

si et seulement si le sous-

Définition 44 : On appelle base orthonormale d’un espace préhilbertien orthonormale totale. Exemple 11 : Soit ; l’ensemble de polynômes de Legendre d’étude de la fin du chapitre) est une famille totale de .

- 2 $'

## ## # 0

toute famille

(cf. Thème

## # # - #

Définition 45 : Une base orthonormale d’un espace de Hilbert est dite base hilbertienne.

Théorème 37 (Caractérisation des bases orthonormales) Soit un espace préhilbertien, séparable muni d’un système orthonormal positions suivantes sont équivalentes : P1 P2 P3 P4 Preuve ! sation (2.1).

, alors les pro-

( ( ( avec ! (identité de Parseval)

est une base orthonormale

! est évident. Pour démontrer ! ! , on utilise l’identité de polari-

! ! se démontre en majorant

par - 2 , à partir de

4. ! ! est évident. On démontre ! ! en considérant le sous-espace engendré par ))) , sur lequel on projette l’élément appartenant à : s’écrit ) * . Il suffit alors d’utiliser la majoration précédente.

E 19 Soit la suite

signe

, , et signe

? (1) est-elle un système orthonormal de [Indication : s’inspirer des graphes des 3 premières fonctions ] (2) Est-elle une base hilbertienne de ?

[Indication : montrer que

]

si ( sinon.

74


Définition 46 : Soit un espace préhilbertien et une suite orthonormale de , alors tout de admet un développement en série unique , dit série de Fourier de . Les nombres

sont les coefficients de Fourier de .

L’une des applications incontournables des concepts et théorèmes exprimés ci-dessus est constitué par la théorie des séries de Fourier, exposée dans le chapitre suivant, où on démontre que toute fonction de l’espace de Hilbert des fonctions -périodiques de carré intégrable sur une période, s’exprime comme limite au sens de d’une combinaison linéaire d’éléments d’une base hilbertienne de . Intermède biographique : David HILBERT (1862-1943) Hilbert fit ses études à Königsberg sa ville natale, où il enseigna avant d’occuper la chaire de mathématiques de l’Université de Göttingen, de 1895 à 1929. Son œuvre couvre une grande partie des mathématiques contemporaines : équations intégrales, théorie des nombres, géométrie algébrique, équations différentielles, calcul des variations, physique mathématique, théorie de la démonstration. Lors du Congrès International de Mathématiques qui se tint en 1900 à Paris, il proposa une liste désormais célèbre de vingt-trois problèmes non résolus dont certains sont encore ouverts, et qui furent autant de directions de recherche ayant fécondé les mathématiques pures ou appliquées, si tant est que cette distinction ait aujourd’hui un sens. A la fin du dix-neuvième siècle, deux problèmes issus de la physique préoccupaient les analystes : le problème de Dirichlet (trouver une fonction harmonique dans un domaine, connaissant ses valeurs sur sa frontière) et le problème des oscillations d’un corps élastique. Hilbert résolut ces problèmes dans le cadre du calcul des variations. Ses travaux sur les équations intégrales, mettent en œuvre les concepts de base orthonormée, de complétude et d’opérateurs fonctionnels. En 1899 Hilbert publia “Grundlagen der Geometrie” (Fondements de la géométrie), où il développa une axiomatisation non contradictoire de la géométrie, c’est à dire une formalisation de la géométrie dans laquelle aucune contradiction ne peut être rencontrée. Cette construction logique originale tire sa puissance de l’universalité des règles de déduction mises en oeuvre et de l’indépendance des contenus sémantiques des objets régis par ces règles. Fort de cet acquis, Hilbert proposa un programme général d’axiomatisation non contradictoire de l’ensemble des théories mathématiques, afin d’en éliminer les paradoxes mis en évidence au début du siècle dernier, et qui furent à l’origine d’une crise des fondements logiques. Un système consistant d’axiomes garantit non seulement la cohérence d’une théorie mathématique, mais devrait aussi nous permettre d’accéder à des conceptions de plus en plus profondes des objets et des théories mathématiques. Tel était l’ambitieux projet formaliste de Hilbert, auquel Gödel devait opposer un arrêt définitif dans les années trente, grâce à deux méta-théorèmes qui en limitèrent la portée, et dont l’impact est aujourd’hui encore considérable sur l’épistémologie mathématique et au delà sur les théories de la connaissance. Hilbert et Poincaré furent les mathématiciens qui ont exercé la plus forte influence sur les mathématiques de la première moitié du vingtième siècle.

2.4. APPROXIMATION DES FONCTIONS

75

2.4 Approximation des fonctions Problème : étant donnée une fonction , appartenant à un certain espace vectoriel normé de fonctions, décrivant par exemple un signal, connue soit sous sa forme analytique, soit sur un ensemble fini de points ))) après échantillonnage, il s’agit de déterminer la meilleure approximation de , appartenant à un sous-espace de dimension finie de . Autrement dit, on recherchera un élément tel que :

"

1 ,

Pratiquement, le sous-espace est un s.e.v de dimension finie constitué soit de polynômes, soit de polynômes trigonométriques ou de fonctions polynomiales par morceaux (splines), etc... Les approximations obtenues dépendent donc du sous espace choisi dans et de la norme définie sur .

2.4.1 Approximation dans les espaces préhilbertiens et hilbertiens Problème d’approximation dans les espaces préhilbertiens

un préhilbertien et un sous s.e.v complet de de dimension Etant donnée il s’agit de déterminer ) qui minimise ), ) . L’existence et l’unicité Soient

de la solution de ce problème ont été établies dans le Théorème 29. Nous en rappelons l’énoncé :

Théorème 38

) est l’unique meilleure approximation de en norme si et seulement si :

)

) )

Montrons maintenant que le problème de meilleure approximation, se ramène à la résolution d’un système linéaire : Construction de )

B B B une base de ; )

Soit

B

Donc :

) )

normales, qui s’écrit :

"

"

où

F

)

B B

$ ' % . ( & .. )

est inversible car ) est unique, donc est unique et vaut "

)

s’écrit sous la forme

B B

et

B , appelé système des équations

' $ B B B B ( % .. .. "& ) . . B B

B

et

' $ B % ) & ... ( B


76

Définition 47 : Lorsque la base B est orthonormale, les coefficients B égaux aux projections de sur les éléments de la base sont dits coefficients de Fourier de relativement à B .

Théorème 39 Si B est une base, l’erreur d’approximation de par )

à:

)

E 20 Démontrer le résultat précédent. Calculer male.

B est égale

B

) dans le cas d’une base orthonor

Si la base B est orthonormale, la matrice " est diagonale, ce qui facilite la résolution du système linéaire. D’où l’intérêt de la méthode d’orthogonalisation de Schmidt, qui permet de construire des classes de polynômes orthonormaux.

2.4.2 Méthode des moindres carrés (A) Approximation discrète des fonctions connues sur un ensemble fini de points. Etant donnée une fonction de , où et peuvent être infinis, connue aux points ))) , on va construire une fonction ) appartenant au sous-espace , engendré par la base B B . Il s’agit de trouver ) qui minimise la norme quadratique :

)

3 )

où les 3 sont des poids positifs attribués aux points ; les valeurs des poids 3 seront d’autant plus grandes que l’exige une bonne approximation de par ) aux points . Grâce au Théorème 29, le problème de minimisation est équivalent à l’orthogonalité de avec tout ) de , à savoir :

)

3 ) ) )

F où )

3 B B

3 B

B , les étant inconnus : il s’agit donc d’un système d’équations linéaires.


77

(B) Approximation continue des fonctions définies sur un intervalle.

La méthode est analogue à la précédente. On a : )

Et la caractérisation de ) est donnée par : )

3 )

.

3 ) ) .

Les coefficients sont calculés grâce à la résolution d’un système linéaire analogue au précédent, où l’on remplace les sommes par des intégrales.

Deux applications classiques de la méthode des moindres carrés : (a) Approximation trigonométrique des fonctions ) définies sur Les fonctions de base sont : B B B B B . ) s’exprime sous la forme d’une série de Fourier tronquée :

(b) Approximation sur une base de polynômes orthogonaux Soient un intervalle borné définie sur , telle que :

de

et une fonction

pour tout

!

3 strictement positive et continue

est finie.

On construit à partir de la suite des monômes , linéairement indépendants, une suite ! de polynômes deux à deux orthogonaux pour le produit scalaire défini sur 3 . Il est alors facile d’en déduire une suite de polynômes orthonormaux, qui constitue une base orthonormale de 3 (cf. l’étude des polynômes de Legendre, en fin de chapitre). Il existe plusieurs bases de polynômes orthogonaux adaptées aux intervalles de définition des fonctions considérées :

– Tchebycheff : – –

3 Legendre : 3 Hermite : 3 e

Construction et étude des polynômes de Tchebycheff :

7

(il suffit de développer Ainsi

7 7 7 7 )

7

7

7 est un polynôme de degré en 7 : soit alors 7

7


78

Définition 48 : Le polynôme de Tchebycheff de degré est défini par :

+

Théorème 40 (Propriétés des polynômes de Tchebycheff) (1) a la parité de n. (2) , . (3) Le coefficient de est (4) Relation de récurrence : , sachant que et . (5) L’équation a racines :

(6) Les polynômes

sont orthogonaux pour le produit scalaire :

.

.

E 21 Prouver le théorème 40 et déterminer les trois premiers polynômes.

2.4.3 Méthode d’approximation uniforme Cette méthode concerne l’approximation des fonctions de muni de la norme de la convergence uniforme , par des fonctions d’un sous-espace de , de dimension . Pour toute fonction on cherche ) telle que :

)

,

)

Le théorème de Stone-Weierstrass garantit l’existence d’une approximation uniformément convergente de toute fonction par une suite de polynômes. Théorème 41 (Stone-Weierstrass) L’ensemble des polynômes définis sur est dense dans , muni de la norme ; toute fonction continue sur un intervalle fermé de est limite uniforme d’une suite de polynômes.

E 22 Démonstration du théorème de Weierstrass à l’aide des polynômes de Bernstein. Pour toute fonction continue .

! telle que : !

, on sait construire une suite de polynômes


(a) On pose : 3 Vérifier que

3

3

$ $ $ et 3

On rappelle la formule du binôme : (b) Soit une fonction

!

où

79

.

Ici : , .

à laquelle on associe la suite de polynômes ! de Bernstein :

3 . Démontrer que :

3 - - 2 $Æ 2 +

où >

Æ

3 où > Æ (c) Soit + A Démontrer que où A En déduire que ! Æ

et conclure.

déterminer le polynôme ! . Tracer les graphes correspondants et calculer ! .

(d) Soit

Intermède biographique : Karl WEIERSTRASS (1815-1897) Weierstrass commença des études de droit à Ostenfelde (Allemagne) sa ville natale, avant de découvrir les mathématiques à l’âge de vingt-trois ans. Il devint enseignant dans un gymnasium (lycée allemand) à Munster, puis professeur à l’Institut Professionnel de Berlin, avant d’être nommé professeur en 1863 à l’Université, poste qu’il conservera jusqu’à sa mort. Epris de clarté et de rigueur, il fut l’homme d’un seul projet : donner des fondements rigoureux aux théories mathématiques de son temps et tout particulièrement à l’analyse. Ce projet connu aujourd’hui sous le nom d’“arithmétisation de l’analyse” fut partagé par la majorité de la communauté mathématicienne du dix-neuvième siècle, et si les travaux de Weierstrass furent les plus achevés, ils venaient après ceux de Cauchy, Bolzano et Abel qui en avaient préparé le terrain. Fondateur de l’analyse moderne, il définit les concepts de limite, de continuité, de convergence uniforme, anticipa la notion de compacité si importante dans les problèmes de limites fonctionnelles ; il proposa la méthode de construction de l’ensemble par complétion de l’ensemble , méthode qui inspira les recherches de Cantor et Dedekind. Ses multiples travaux concernent aussi la théorie des fonctions holomorphes, la théorie des fonctions elliptiques et le calcul des variations.


80

2.5 Thème d’étude : les polynômes de Legendre 1. Construction des polynômes de Legendre par la méthode de Gram-Schmidt Cette méthode est fondée sur le théorème d’orthogonalisation de Schmidt : Théorème 42 est un espace préhilbertien, et une suite libre ; soient A le sous e.v. de engendré par et le sous e.v. engendré par . Il existe une suite orthogonale telle que ; en conséquence, le sous e.v engendré par est égal à .

On montre que : ! , où ! est le projecteur orthogonal de sur . 1.1 En pratique, on suppose connus et orthogonaux deux à deux et on cherche

sous la forme

% . Déterminer les coefficients % .

et . 1.2 Application : soient Construire les quatre premiers polynômes .

Les polynômes

sont appelés polynômes de Legendre et désignés par

.

2. Construction analytique des polynômes de Legendre La suite

des polynômes de Legendre, est aussi définie par la formule de Rodriguès :

$

2.1 Démontrer que . . . Æ . , où les . . sont des constantes à déterminer. [Procéder par intégrations par parties successives, fois] On rappelle la formule de Wallis :

2.2 Développer

7

7

et en déduire une expression de

.

$

$

2.3 Etablir la relation de récurrence :

[Exprimer le polynôme sous forme d’une combinaison linéaire de puis utiliser la propriété " " ]

,

2.5. THÈME D’ÉTUDE : LES POLYNÔMES DE LEGENDRE

81

3. Approximation au sens des moindres carrés d’une fonction grâce aux polynômes de Legendre , où et sont finis ou infinis. L’approximation au sens des moindres carrés Soit de par un polynôme ! de degré consiste à déterminer ! qui minimise :

! '

!

combinaison linéaire d’éléments d’un ensemble donné de ! étant cherché sous forme d’une où . polynômes orthogonaux : !

Déterminer

l’approximation de la fonction définie par : si sur puis si Tracer les graphes dans un même repère.


82

2.6 Corrigés des exercices E1 (a) – Les deux premiers axiomes sont trivialement vérifiés. – Dernier axiome :

(b) (c)

( 8 8 ( donc ( 8 8 ( 8 8 ( d’où ( 8 8 (

( ( ( ; ( ( ( Æ n’est pas une distance puisque Æ peut-être égal à 0 si .

E2

adh ( ( adh . déf

E3

, et (b) et donc (a)

E4 (a) Si un point de est adhérent à (voir Déf 10) il existe une suite de qui converge vers : est donc une suite de Cauchy dans , donc dans . Mais est complet donc converge dans vers et converge aussi vers dans . Conclusion : , et

est fermé. (b) Considérons la suite de Cauchy appartenant au fermé , elle est aussi une suite de Cauchy de l’espace complet + , et converge donc vers ; mais est adhérent dans

, partie fermée, donc converge vers et par conséquent est complet.

E5

. Donc 3 , où : est une suite de Cauchy dans un espace complet, elle converge vers une limite .

continue


83

Supposons $ une deuxième limite ; , donc .

, avec

E8 Supposons que soit égal à la partition formée de deux ouverts D et D , alors les images réciproques D et D formeraient une partition ( D D ) de ne pouvant être vide) en deux ouverts, car est continue : d’où la contradiction avec l’hypothèse.

E10

est bien une suite de Cauchy : pour 2 , . prendre - . et de considérer et 2 La limite de est manifestement la fonction discontinue en : pour la norme .

.

.,

il suffit de

n’est pas complet

E13 (T26) ( ( ( puisque ( ( . (T27) Posons 7

( ( ( (

( ,

( . Alors, 7 %( 7 %( 2 , pour tout réel %. Donc : ( 7

% 7 ( 7 ( % ( 2

et l’inégalité de Cauchy-Schwarz en calculant le discriminant de ce polynôme qui n’a pas de racines réelles. (T28)

( ( d’où le résultat par sommation.

( ( ( ( ( (


84

E14 Soit

tel que ( ( . Alors :

(

( ( ( ( ( ( ( (

E15 (a) On cherche

, ce qui revient à minimiser :

) .

.

Soit l’hyperplan . engendré par les vecteurs colonne de Minimiser ) revient à chercher la projection de sur l’hyperplan . . Posons : ( . Le théorème de projection sur un e.v. complet implique que ( est orthogonal à . , donc à chaque vecteur colonne. On a donc, pour tout F :

( , soit le système :

(

Mais (

.

F

ce qui nous donne :

.

(b) Le système précédent s’écrit encore : . Si est inversible, on a : . Notons qu’on aurait obtenu le même résultat en utilisant la condition nécessaire (et ici suffi

sante) de minimisation de )

, à savoir

5) 5

pour

.

(c) Le système n’a évidemment pas de solution. (Il suffit de calculer la solution du sous-système des 2 premières équations et montrer qu’elle ne vérifie pas la troisième équation).

$ &

' )


d’où la solution

#

85

E16 On pose !, . (b) Théorème de Pythagore : (c) ( ( ( (

et

(

(

(

( (

E17 Soit ; sur l’espace de Hilbert , ) noyau est un s.e.v fermé. Comme

( ! ( est une forme linéaire continue dont le , est un sous-espace fermé comme

,

intersection de s.e.v. fermés.

E19 1. Supposons que, pour une partie finie Alors, pour tout F

Donc

telle que

.

Donc toute famille orthogonale est libre. 2. Soit ))) une base orthonormale de . Alors, pour tout F

' , on a :

d’indices, il existe

, on a :

est la projection de sur

E20 (a) On remarque que dans tout intervalle contenu dans , où garde un signe constant, toute autre fonction . d’indice supérieur strict à prend sur ces intervalles, un nombre égal de


86

valeurs -1 et +1 : d’où

. . D’autre part, pour tout entier :

(b) Il suffit de démontrer qu’il existe une fonction non nulle exemple convient.

.

telle que . Par

E21

)

) )

Si la base est orthonormale :

)

)

B

.

E22 – a la parité de , en raison du développement de 7 en fonction de 7 – 7 7 – Le coefficient de 7 est égal à – 7 7 7 7 – pour – On sait : 7 7 7 7 d’où :

7

7 7

.

! "

si si si

(2.2)

Posons 7 dans (2.2), il vient :

E23 (a)

.

! "

; (

si si si

3 .

(b) est uniformément continue sur . Donc, pour tout - 2 , il existe Æ tel que : entraîne -. Appliqué à notre problème, cela donne :

3 - 3 +

+

Æ


(c)

A

87

3

+

Mais Æ D’où l’on conclut :

Æ

3

+

3 d’après (a).

. On en déduit : Æ

3

+

A Æ A car Æ

3

A Æ si est assez grand, ce qui conduit à la convergence uniforme de ! vers . (d) Par définition, ! - 2 $Æ ! -

#

Polynômes orthogonaux 1.1

% . Donc pour tout , on a :

% d’où % . La suite est orthonormale. . 1.2 , d’où * * d’où . et * * et . On parvient à

2.1 En intégrant par parties fois, on obtient : .

. .

. $

. $ . .

.

. $ $

.

Si 2 : l’intégrale du second membre de

est nulle car

( (

.


88

Si

$

et

.

grâce à la formule de Wallis, d’où :

necker. 2.2

$ $ $

$

$

7 7

Æ. , où Æ . est le symbole de Kro-

$

$ $ $ $ où 0 partie entière de 0 $ Ainsi si : ! $ $ $ 2.3 est un polynôme de degré donc :

Or

où degré strictement inférieur à donc seuls

$

$

D’où l’approximation à l’ordre 3 :

$ $

d’où

.

. Remplaçons par : d’où

3 Comme est impaire, on a :

. Or est orthogonal à tous les polynômes de et sont différents de 0. On a :

L’égalité des termes en donne : On a :

!

#

.

. Par ailleurs :

Chapitre 3 Séries et transformation de Fourier des fonctions Ce chapitre traite de l’analyse, au sens étymologique du mot (décomposition d’un objet en ses éléments constitutifs), et de la synthèse d’une fonction en une combinaison linéaire discrète ou “continue” de fonctions trigonométriques simples, sinus ou cosinus. La théorie de l’analyse et de la synthèse harmonique, est née des travaux du mathématicien Joseph Fourier (17681830) sur la résolution de l’équation de la chaleur. Elle fut et est encore aujourd’hui au cœur de l’analyse, grâce à ses prolongements théoriques et pratiques comme, par exemple, la théorie des ondelettes.

3.1 Séries trigonométriques Définition 1 : Une série trigonométrique &

&

s’écrit formellement :

Les nombres réels et sont les coefficients de la série et est un réel positif, qui représente la période de la série & , si cette dernière est définie. La série admet une formulation complexe équivalente : où

&

.

Une série trigonométrique quelconque ne converge pas nécessairement vers une fonction, même ponctuellement.

CHAPITRE 3. SÉRIES ET TRANSFORMATION DE FOURIER DES FONCTIONS

90

E 1 Ecrire une série trigonométrique sous la forme :

B

montre qu’une telle série est une somme de signaux harmoniques simples, de périodes d’amplitudes et de déphasages B .

, qui $ ,

Dans le cas, fréquent en pratique, où la convergence de la série trigonométrique est uniforme, il est possible d’exprimer les coefficients et en fonction de la série :

Théorème 1 Si les séries valent, si la série

et

sont absolument convergentes ou, ce qui est équi-

est absolument convergente, alors la série trigonométrique associée

est normalement convergente, donc uniformément convergente sur tout intervalle de , vers sa somme & , fonction -périodique et continue. Les coefficients et , nommés coefficients de Fourier, s’expriment sous la forme :

Preuve

### #

$

&

et

$

&

# ## converge. Donc la série converge uniformément, et la limite #

uniforme d’une série de fonctions continues est continue, d’après un résultat classique. La périodicité est évidente. On a déjà établi dans le chapitre précédent que pour tout entier et :

$

Æ.

$

et

La convergence uniforme nous permet de permuter sommation et intégrale :

$

&

$

La démonstration est analogue pour exprimer . Exemple 1 : Soit la série

e

.

4 4

e

4

qui est une fonction continue de période , dite noyau de Dirichlet. La limite ponctuelle de tend vers quand 4 tend vers .

aux points n’existe pas, puisque

3.1. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

91

F IG . 3.1 – Graphe de &

.

Nous retrouverons le noyau de Dirichlet dans la démonstration du Théorème 3, dont la limite, décrite dans le cadre de la théorie des distributions, n’est pas une fonction et ressemble à un train périodique d’impulsions positives.

Exemple 2 : Etude de la série La série

.

converge, donc la série converge vers une fonction -périodique et

continue, que nous calculons facilement, en utilisant les complexes. En posant 8

8 . D’où il vient :

8

0.4

0.2

2

4

6

8

10

-0.2

-0.4

-0.6

F IG . 3.2 – Graphe de

1

.

Avec le Théorème 1, on pourrait démontrer que, en posant

$

&

, on a :

0.6

0

:

92


Grâce au Théorème 1, on associe à toute série trigonométrique normalement convergente une fonction périodique continue qui s’identifie à sa limite & . Dans le paragraphe suivant, le problème est inverse, puisqu’on recherchera les conditions permettant d’associer à une fonction périodique , une série trigonométrique dite série de Fourier de .

3.2 Séries de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables La résolution des équations aux dérivées partielles provenant de la physique fit l’objet d’une féconde activité mathématique au dix-huitième siècle. Il en est ainsi de l’équation des

5*

5*

, pour laquelle il s’agit de déterminer l’élongation * cordes vibrantes 5 5 au temps d’un point d’abscisse situé sur une corde tendue de longueur , et fixée en ses extrémités. D’Alembert (1717-1783), donna à ce problème une solution formelle, en posant :

* où est une fonction -périodique et la vitesse de déplacement de l’onde. Daniel Bernouilli (1700-1782) choisit de la forme :

*

pour tout entier positif et en déduisit une solution générale égale à la somme des * , pour . Ce faisant il inaugurait les premières méthodes fondatrices de l’analyse harmonique, dans laquelle on cherche à représenter une fonction par une série trigonométrique. Joseph Fourier (1768-1830) élabora en 1805 une théorie de la propagation de la chaleur et proposa en 1811 une solution au problème ainsi formulé :

+ , ( et ( , résoudre l’équation 5 5 5 5 de la chaleur soumis , dans le cas de l’équilibre thermique 5 5 5( 5 * , et aux conditions aux limites : * . * ( * ( ( . ( ( étant la température au point ( au temps ). Fourier résolut cette équation par la méthode dite de "séparation des variables", et parvint à une solution de la forme . ( . ( où est un entier impair positif quelconque. Il proposa une solution générale comme combinaison linéaire des . ( : Etant donné le domaine du plan

. (

.

.

(

. impair

La dérivation récurrente de ( le conduisit à établir un système linéaire de dimension infinie, ayant les coefficients . comme inconnues. Dans ses travaux, la question de la convergence des séries n’est nulle part abordée et sera traitée rigoureusement dans les travaux ultérieurs de Dirichlet en 1829.

3.2. SÉRIES DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES LOCALEMENT INTÉGRABLES93

On ne perdra pas de vue dans la suite de l’exposé, qu’un signal physique réel a toujours une énergie finie, une amplitude et un spectre bornés. Notation : désigne l’ensemble des fonctions $ telles que est finie. Définition 2 : Etant donnée une fonction de :

*$ *

$

et

, on définit les coefficients de Fourier

et

définies sur , de période

*$ *

Sous des conditions d’existence qui seront précisées plus loin, la série trigonométrique associée à s’appelle série de Fourier de la fonction , notée & .

Théorème 2 (Propriétés des coefficients de Fourier) (1)

(2) Si f est paire, alors, pour tout entier ,

(3) Si f est impaire, alors, pour tout entier ,

et &

et &

, si elle existe est égale à :

Preuve (1) Par le lemme de Riemann-Lebesgue :

. Idem pour et . paire impaire $ impaire impaire $

$

(3)

(2)

, si elle existe est égale à :

94


Exemple 3 : Série associée à

, paire, -périodique.

&

et ;

Définition 3 : Une fonction non définie au point , possède une discontinuité de première espèce en si et existent et sont finies. Elles sont respectivement notées

et

.

Définition 4 : Une fonction -périodique est par morceaux si elle est continue sauf en un nombre fini de points, points en lesquels elle a une discontinuité de première espèce. Définition 5 : Une fonction est par morceaux si elle est sauf en un nombre fini de points où les limites à gauche et à droite de et de sa dérivée sont finies et ne sont pas nécessairement égales. Résumons en un seul théorème les conditions suffisantes d’existence et les propriétés de la série de Fourier d’une fonction périodique localement intégrable, par morceaux : Théorème 3 (Convergence locale d’une série de Fourier - Dirichlet-Jordan) (1) Toute fonction -périodique et

par morceaux admet en tout point un développe

ment en série de Fourier convergent simplement vers , et vers si est continue en . (2) De plus, sur tout segment où est continue, la série de Fourier est uniformément convergente vers ; si est continue partout alors la convergence uniforme est acquise sur tout . La série &

est uniformément convergente. On en

déduit une des nombreuses expressions de : soit , alors &

, d’où :


E 2 Où il est établi qu’une fonction peut être développée en plusieurs séries de Fourier. (1) Soit = 1I . Développer en séries de sinus ? de cosinus ? En déduire qu’on peut développer une fonction périodique selon plusieurs séries. Calculer un développement de 1I . (2) Calculer la série de Fourier de la fonction 1 1I 0

E 3 Preuve du théorème de Dirichlet-Jordan. Pour faciliter les calculs on prendra

.

&

On a alors

coefficients de Fourier. (1) Etablir que &

où est le noyau de Dirichlet défini par :

e

(2) Montrer que : 4 . (cf. Figure ) (3) Compte-tenu de la parité de écrire & sous la forme :

& En déduire que : &

, étant les

pour le graphe de

4 , où :

(4) est continue par morceaux. Pour montrer que est intégrable, il suffit de prouver que est finie. Montrer que cette limite est égale à : . . Terminer la preuve du théorème en montrant que : &

Remarque : Le théorème de Dirichlet-Jordan restreint le développement en série de Fourier aux seules fonctions qui sont de classe sauf sur un ensemble fini de points. Or Weierstrass construisit la fonction ? où est un entier impair supérieur à et un réel vérifiant et 2 , fonction qui est continue, partout non dérivable et cependant développable en série de Fourier. Voilà qui laissait présager une extension possible des conditions de Dirichlet. Mais il n’en fut rien, puisque J.P. Kahane et Y. Katznelson démontrèrent en 1966, qu’étant donné un ensemble de mesure nulle de , il existe une fonction -périodique et continue dont la série de Fourier diverge en tout point de cet ensemble.

Le théorème suivant précise les conditions de dérivation et d’intégration terme à terme d’une série de Fourier. Théorème 4 Sous les hypothèses de la partie (1) du théorème 3 de Dirichlet-Jordan, à savoir fonction -périodique et par morceaux, alors la série de Fourier de peut être intégrée


96

terme à terme.

peut être si est

Sous les hypothèses de la partie du même théorème, la série de Fourier de intégrée et dérivée terme à terme. Dans ce cas, & converge simplement vers continue en ou vers si est discontinue en ce point.

Théorème 5 (Comportement asymptotique des coefficients) Si

>

alors

où > est une constante positive.

Interprétation : plus la fonction a un ordre élevé de dérivabilité, plus ses coefficients de Fourier convergent rapidement vers avec . Preuve

. En intégrant par parties, il vient :

$

>

car est continue sur . Théorème 6 La série de Fourier d’une fonction -périodique et de classe convergente ; sa série dérivée terme à terme a une somme égale à Preuve D’après le Théorème 5,

>

donc

d’où la convergence normale.

3

est normalement

qui est fini

Exemple 4 : (a) La fonction -périodique égale à est continue et par morceaux : sa série de Fourier converge uniformément

vers . si n’est pas partout conti(b) La fonction -périodique " si nue : d’après le théorème de Dirichlet-Jordan la convergence est simple en tout point, notamment aux points de discontinuité , où elle converge vers

" "

.

Sa série de Fourier est &1 (c) L’hypothèse «

série : Féjer a construit la fonction définie par la série continue et non

par morceaux» est essentielle pour garantir la convergence de la

par morceaux, dont la série de Fourier diverge en .

,

qui est


F IG . 3.3 – Graphe de

.

Remarque : l’exemple précédent fait apparaître un défaut de convergence uniforme aux voisinages des points d’abscisses , se manifestant sous la forme d’oscillations non amorties, connues sous le nom de phénomène de Gibbs, dont l’étude est proposée dans l’exercice suivant. E 4 Le phénomène de Gibbs

Considérons la fonction " est &

.

(1) Calculer &

si

de l’exemple (4). Sa série de Fourier si

et en déduire que &

*

* . *

(2) Calculer son premier maximum positif et conclure. Constater que les oscillations de & de la figure 3.3, sont d’autant plus grandes que leurs abscisses sont proches des points . Si n’est pas au moins par morceaux, on ne peut conclure quant à la convergence de sa série de Fourier : un nouveau procédé de sommation de série dit de Césaro, permet alors d’obtenir la convergence. Ce procédé est utilisé par les numériciens pour accélérer la convergence d’algorithmes de sommation d’une série. Définition 6 : :

A la série de Fourier d’une fonction , on associe sa moyenne de Césaro

4

4

&

où &

désigne les séries de Fourier partielles de

Rappel. Si est une suite de nombres réels ou complexes, il y a équivalence entre la convergence de la suite des sommes partielles & , où & , et la convergence de la suite des moyennes arithmétiques , où & .

Définition 7 : La suite > définie par : Dirichlet, est appelée noyau de Féjer.

>

, où est le noyau de


98

Théorème 7 (Féjer) Soit une fonction , -périodique et continue, alors sa moyenne de Cesaro uniformément vers . De plus,

> où > est le noyau de Féjer.

Preuve Pour simplifier les écritures, on prend

.

Rappelons que l’on a vu que :

On en déduit que :

>

4

converge

4

4

4

4

> est une suiterégularisante. D’abord, on a : > car . Ensuite, soit un voisinage de 0 dans ". Alors si , on a : , d’où > > . Grâce au théorème 4 Démontrons que

d’approximation par une suite régularisante (ou unité approchée) (Théorème 30 - Chapitre 1), il s’ensuit que est continue et que > converge uniformément vers .

Remarque : Les théorèmes de Dirichlet-Jordan et de Féjer montrent que l’on peut approcher une fonction périodique suffisamment régulière, comme limited’une suite = , où

=

est respectivement le noyau de Dirichlet

et le noyau de Féjer

.

E 5 Convolution de fonctions -périodiques intégrables. Le produit de convolution de deux fonctions localement intégrables -périodiques est défini par :

et

"

de

dans

, et

*" * * (1) Démontrer d’abord que " est -périodique, puis localement intégrable. (2) Déterminer le ième coefficient de Fourier du développement en série de " fonction des coefficients du développement en série de et " . "

en

3.3 Séries de Fourier des fonctions périodiques de classe 3´¼ µ. Les fonctions -périodiques de carrés intégrables sur une période constituent un espace vectoriel et modélisent les signaux périodiques d’énergie finie sur une période. Le résultat fondamental de ce chapitre est le théorème de Weierstrass, qui donne au développement en séries de Fourier tout son sens dans le cadre de l’espace de Hilbert .

3.3. SÉRIES DE FOURIER DES FONCTIONS PÉRIODIQUES DE CLASSE

Théorème 8 ( Weierstrass)

) " *

Pour le produit scalaire

exp

$

99

l’ensemble des fonctions

est une base hilbertienne de l’espace de Hilbert

Théorème 9

.

Cf : Tome 1. Analyse fonctionnelle. Samuelides - Touzillier

Preuve

Si

" ,

2

, à valeurs réelles, la série &

converge en moyenne quadratique (i.e au sens de étant les coefficients de Fourier de la série.

Identité de Parseval :

$

) vers ; et

(1) Des théorèmes 8 et 9, on déduit que et l’espace des suites de carrés sommables, sont en correspondance par l’isomorphisme " " . (2) A ce jour, le meilleur résultat de convergence obtenu pour les séries de Fourier est dû à Carleson qui démontra en 1966 que la série de Fourier & d’une fonction de converge vers presque partout : & , sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle.

Caractéristiques des signaux .

$

.

est l’énergie du signal sur une période.

est la puissance moyenne du signal. $ est la moyenne de . . est l’harmonique fondamental de . . est le ième harmonique de . . est associée sa puissance moyenne : Au ième harmonique ! .

on associe son spectre de fréquences discrètes ou spectre de raies défini par la mesure discrète ! Æ , où ! est la puissance portée par

Définition 8 : A toute fonction de le ième harmonique.


100

Exemple 5 : Considérons le signal périodique crénelé développement en série de Fourier

Æ

"

si

si de

. Son spectre de fréquences est égal à :

.

¾

¾

0

Intermède biographique : Joseph FOURIER (1768-1830) Fils d’un tailleur d’Auxerre, orphelin à dix ans, élève talentueux, Fourier effectua d’excellentes études qui le conduisirent du collège au noviciat, puis à l’Ecole Normale Supérieure alors toute récente, où il se fit rapidement connaître de Monge, Laplace et Lagrange auquel il succédera dans la chaire d’analyse et de mécanique. En 1798 il accompagna en Egypte le corps expéditionnaire français dirigé par Bonaparte qui comportait de nombreux scientifiques en archéologie, en médecine ou en histoire naturelle ; passionné par l’art monumental de ce pays, il y séjourna et en devint administrateur civil jusqu’en 1802. Ce mathématicien dans l’âme mais aussi fin politique et bon diplomate, fut nommé par le premier consul préfet de l’Isère en 1802. Bousculé dans sa carrière par la chute de l’Empire, il démissionna de son poste en 1814 ; de retour de l’île d’Elbe, Napoléon le fit comte. Il entra à l’Académie Française en 1816, et consacra les dernières années de sa vie à ses travaux en mathématiques et en physique. Son œuvre majeure “La théorie analytique de la chaleur” parue en 1822, inaugure l’emprise des mathématiques appliquées sur la physique. Fourier s’attaqua à l’explicitation de la chaleur pour laquelle il émit deux hypothèses : la chaleur ne se communique qu’entre particules contiguës, et sa vitesse de propagation est proportionnelle à la différence des températures. Il produisit un modèle de conduction de la chaleur sous la forme d’une équation aux dérivées partielles ; c’est en la résolvant qu’il créa la notion de développement en séries trigonométriques de fonctions, dites depuis séries de Fourier et dont l’étude fut poursuivie au dix-neuvième siècle par Dirichlet et Riemann.

3.4 Transformation de Fourier dans

´Ê µ

Sous des hypothèses assez générales, la transformation de Fourier permet d’exprimer une fonction comme superposition “continue” d’exponentielles complexes 3 3 , généra

3.4. TRANSFORMATION DE FOURIER DANS

101

lisant ainsi l’expression en série de Fourier d’une fonction périodique. La transformation de Fourier sera définie pour les fonctions de classe , puis de classe et enfin par prolongement de cet espace à , qui représente l’espace des signaux d’énergie finie. Pour ses propriétés remarquables, la transformation de Fourier est un outil incontournable en théorie du signal et dans bien d’autres domaines : probabilités, équations aux dérivées partielles. Présentée ici dans le cadre des fonctions, elle développe toute sa puissance opératoire au sein de la théorie des distributions. Définition 9 : A toute fonction de aussi , définie par :

G

on associe sa transformée de Fourier

,

G , G

3

notée

Remarque : Physiquement, G est une fréquence ; certains auteurs, spécialistes de la théorie du signal, définissent une transformée de Fourier équivalente à celle-ci en fonction de la pulsation C G :

C

E6 Montrer que si est paire : , G

Montrer que si est impaire : , G

(a) (b)

4

1 G .

Exemple 6 :

G .

; , G G . G " la fonction sinus tronquée définie par G 1I

la fonction porte

égale à

si sinon

", G

4 G G 4 G G G G G G

3

3

F IG . 3.4 – Graphe de / " .

3

102


On constate que le graphe de la partie imaginaire de ", possède deux pics aux voisinages de G et G . Si 4 tend vers , ", se réduit à deux pics d’ordonnées respectives 4 et 4 , et d’abscisses égales à la fréquence G et G . Voilà qui laisse augurer d’une conséquence attendue de la transformation de Fourier : pouvoir passer de la représentation temporelle d’un signal à sa représentation fréquentielle. Théorème 10 ( Propriétés de la transformation de Fourier définie sur (1)

)

, est bornée, continue, et tend vers quand G , : on écrit .

(2) Formules de Plancherel : si , "

(3)

, alors ", et "

",

et

, "

G G .

(4) Propriété du retard ou de décalage :

G

(5) Propriété de la modulation : , G G

,

G

(7) Si est réelle et paire, , est réelle égale à

G .

3 ,

3 G G .

(6) Propriété du changement d’échelle : Si 2 , le changement d’échelle, qui à associe Si , le changement d’échelle est dit dilatation.

G

, est dit concentration.

G ;

si est réelle et impaire, , est imaginaire pure, égale à

G .

Preuve (1) La fonction G 3 est continue ; et de module majorée par ; donc par application du théorème de Lebesgue de continuité d’une l’intégrale paramétrée, , G est continue. De plus, , G donc , est bornée.

La convergence vers 0 quand , est une conséquence du théorème de RiemannLebesgue. , . (2) ", bornée donc ", , même chose pour "

",

"

5

"

* *

Théorème de Fubini appliqué à , "

*" qui appartient à


(3)

3

3

103

, G

3

E 7 Démontrer les propriétés (4), (5) et (6) du théorème 10.

Définition 10 : par :

La transformée de Fourier inverse

"

" de " de classe

est définie

3 " G G

Théorème 11 (Transformation inverse de Fourier ) Si ,

et

sont dans

alors :

)

)

)

. Autrement dit :

3 , G G

Si de plus est continue, les égalités précédentes sont vraies partout. La démonstration n’est pas évidente, et le théorème de Fubini ne suffit pas ! En théorie du signal, les transformations de Fourier directe et inverse sont des opérateurs qui permettent respectivement de passer de l’espace des phases à l’espace des fréquences, et inversement : ainsi un signal a une représentation temporelle et une représentation fréquentielle ou spectrale , G . E 8 Soit

, intégrable, et , sa transformée de Fourier. $ , 2 et , on définit : $

$ . (1) Démontrer que $ *

*. (2) Calculer la valeur de * (3) Supposons bornée. Montrer qu’en tout point où et existent, on a : $ . $


104

Théorème 12 (Propriétés de dérivation de la transformée de Fourier) (1) Si

,

et si

,

G , G

,

,

alors :

Interprétation : plus l’ordre de dérivabilité de décroît rapidement à l’infini. (2) Si

,

G G , G 0

d’où l’on tire :

est grand, à dérivées intégrables, plus

alors , est de classe

,

et

G , G

Preuve ( d’où :

(1) si : / G

, car

3

3

G

3

et sont intégrables : démontrez-le !)

/ G G

3

G , G

La suite de la démonstration se fait par récurrence. (2) Conséquence du théorème de dérivation sous une intégrale :

G

3

E 9 Calcul de la transformée de Fourier de Soit

, 6 Déterminer

.

résoudra. [Rappel.

qui est intégrable

et en déduire une équation différentielle en , que l’on

]

Rappel : La fonction sinus cardinal, notée sc est définie par : sc Théorème 13 Si , appartenant à

, est à support borné, alors , est .

Théorème 14 (1) Si et " sont intégrables, alors " , ", . , 1 (2) Si , " , " , et ", sont intégrables, alors : "

"

, , .

.


Preuve (1)

"

donc " G

Or la fonction

3

3

"

3

105

" .

" est intégrable, puisque

" "

car et " sont intégrables. D’où le résultat grâce au théorème de Fubini. (2) , ", est intégrable ; (Théorème 11) d’où :

, ", , ", d’après (1) et ,

", "

" , ", , ",

E 10 Résolution d’une équation intégrale. Soit l’équation :

et

,

.

(1) Exprimer sous forme d’une équation de convolution et déterminer , G . (2) En déduire . Transformation de Fourier d’une fonction à plusieurs variables Définition 11 :

de

dans

, G G

de classe

,

alors ;

3 )))3

La transformation de Fourier par rapport à la variable est :

3

noté

, G

On retrouve les propriétés de la transformation de Fourier des fonctions d’une variable : – changement d’échelle :

,

, G G G – translation : ,

G G

,

G G , G G e

3

E 11 Il est utile pour les applications à la physique de voir comment sont transformées les fonctions à symétrie radiale. Soit une fonction de dans , radiale ; ( ) où 2 ( . Montrer que sa transformée de Fourier ), G , dite transformée de Hankel, est radiale et la déterminer.

106


E 12 Modélisation de la diffraction. Un faisceau de lumière monochromatique éclaire un écran opaque en dehors d’un trou de surface & , contenant l’origine D d’un repère orthonormé D ( . On souhaite décrire la figure obtenue sur un écran parallèle à , situé à la distance de celui-ci, dans le voisinage de la projection orthogonale D de D sur . Les dimensions du trou sont supposées être beaucoup plus petites que ( et ( ) : on se situe dans le cadre de l’approximation dite de Fraunhofer. On appelle transparence en amplitude au point ( de & , le rapport de l’amplitude complexe émergente sur l’amplitude complexe incidente, désignée par ( ; ainsi ( est un complexe de module compris entre et . Plus la surface & est opaque, plus est proche de . Rappelons que l’amplitude émergente due au point A ( est égale à :

(

(

. Le principe de Huygens-Fresnel nous dit que l’amplitude complexe en un point A ( de l’écran , due aux ondes issues de l’élément de surface ( autour de A , est égale à :

( où

( ( . On en déduit que l’amplitude complexe en A , due au faisceau traversant & , est égale à :

( - A

6

(

(1) Démontrer que sous l’hypothèse ( (

( %

), on a :

( ( % % L’intensité A au point A est alors définie (à un coefficient près) par : ( A A A , % % (2) Calculer et interpréter A dans les cas suivants : A

,

(2.1)

(

( , où désigne la fonction créneau.

Que devient la figure de diffraction si on effectue un changement d’échelle de rapport du rectangle . Que devient-elle quand est petit et très grand. Visualiser les graphes de A dans les cas précédents. (2.2) Mêmes questions dans le cas de deux fentes parallèles verticales, centrées en et

et de largeurs égales à -.

(2.3) Cas d’un trou circulaire de rayon <.

.


107

´Ê µ.

3.5 Transformation de Fourier dans

Laurent Schwartz (1915 - 2002) a introduit pour les besoins de la théorie des distributions un sous-espace de fonctions de , stable par transformation de Fourier, dérivation et multiplication par un polynôme. Cet espace noté est dense dans , auquel on pourra étendre, grâce à un théorème classique de prolongement, l’opérateur linéaire qu’est la transformée de Fourier. L’espace a un rôle théorique central dans la construction de la transformation de Fourier sur . Définition 12 : Une fonction réelle est à décroissance rapide si pour tout entier positif :

Exemple 7 : La fonction

, est à décroissance rapide.

Aucun polynôme, aucune fonction trigonométrique ne sont à décroissance rapide. Définition 13 : L’espace est défini comme l’espace vectoriel des fonctions à décroissance rapide, ainsi que toutes leurs dérivées.

qui sont

Théorème 15 (Propriétés de l’espace ) est stable par multiplication par un polynôme d’ordre quelconque, par dérivation, par transformation de Fourier et il est dense dans . Théorème 16 (Caractère isométrique de la transformation de Fourier de

"

d’où l’identité de Parseval :

, G ", G G

dans )

"

, G

La transformation de Fourier de dans est un opérateur linéaire, continu pour la norme , bijectif dont l’inverse est égal à :

, G 3 G - , G

3.6 Transformation de Fourier dans de

´Ê µ.

Le théorème de prolongement ci-dessous permet d’étendre la transformation de Fourier à son complété .

Théorème 17 Toute application linéaire continue " d’un sous-espace vectoriel de l’e.v.n. , dense dans , dans l’e.v.n. complet se prolonge de façon unique en l’application linéaire - . - de dans . De plus, elle a même norme que " :" " continue "


108

Nous allons appliquer ce résultat à la construction de la transformée de Fourier sur à partir de la transformée de Fourier définie sur .

/ Définition 14 : Si 3 alors est définie comme limite dans / avec G quand ; de façon analogue, 3 de .

de la suite / est la limite dans

. Si

. Si

alors / dans

et 0

et / dans

coïncident.

, / n’est définie que dans

et l’est presque partout.

Nous résumons ci-dessous les propriétés de la transformation de Fourier définie sur

Théorème 18 (Propriétés de la transformation de Fourier définie sur (1)

,

.

)

33

(2) Identité de Plancherel-Parseval :

"

"

G " G G

(Conséquence de (2)) est donc une isométrie de sur lui-même.

(3)

(4)

"

1 , ", " , ", et "

Preuve Elle consiste à établir ces résultats dans .

puis à utiliser la densité de

dans

L’ensemble des fonctions de égales à leurs transformées de Fourier est un sousespace vectoriel de , qui contient entre autres fonctions, la très classique fonction gaus sienne .

Définition 15 : Un signal d’énergie finie s’il est de classe

, où est un intervalle borné ou non de ; son énergie est égale à .

Caractéristiques de moyenne et de dispersion moyenne d’un signal d’énergie finie Soit un signal de

tel que

et G, G soient aussi dans

.

, est

.


On définit l’énergie du signal par :

, et sa densité d’énergie :

,

La moyenne temporelle d’énergie est donc égale à : d’énergie est définie par : (

(

,

. La variance temporelle

noté

, , qui est encore égale à :

,

De façon analogue, on définit la moyenne fréquentielle :

109

G

G ,, G G , et la variance

G , G , G G G . ( est appelé durée utile du signal et (G bande utile du signal. fréquentielle : (G

Le théorème suivant, connu en mécanique quantique sous le nom de principe d’incertitude de Heisenberg, donne une borne inférieure au produit ( (G . Théorème 19 (Principe d’incertitude) Soit un signal de moyennes temporelle et fréquentielle nulles, tel que

soient dans . Alors on a : ( (G . L’égalité n’est vérifiée que si est un signal gaussien.

et G , G

Interprétation physique de l’inégalité ( (G . Si ( est petit : l’énergie est concentrée autour d’un point, alors (G est grand : il y a une forte dispersion fréquentielle. Inversement, si (G est petit (forte concentration sur un petit nombre de fréquences), ( est grand (forte dispersion temporelle de l’énergie). E 13 Démontrer le théorème 19. [Indication : Poser )

)

et appliquer Cauchy-Schwarz à ) et ) . ]

Ainsi la foudre que l’on peut assimiler à une forte impulsion électrique, perturbe toutes les fréquences (téléphone, radar, radio, etc ...), car précisément elle les contient toutes. Théorème 20 (Bernstein) Soit une fonction appartenant à , bornée ( suppose que le support de , est borné, inclus dans . Alors :

A

A ). On

110


Interprétation dans le cadre de la théorie du signal. Plus le support du spectre d’un signal est petit, moins ses variations sont rapides, puisque ses dérivées sont bornées. Localement un tel signal est quasi-constant sur tout intervalle de temps dont l’amplitude est voisine de .

En effet, si ( (

A , alors A , ou encore :

A

En conclusion : 7 si

.

Définition 16 : (Fonction d’autocorrélation d’un signal ) A tout signal d’énergie finie, on associe sa fonction d’autocorrélation :

Interprétation : La fonction d’autocorrélation est une représentation de l’évolution de la similitude entre un signal et sa translatée ; elle est définit comme le produit scalaire dans , de et de sa translatée. On sait que l’énergie du signal s’exprime aussi en fonction de ,, et est égale à

ainsi l’énergie portée par le sous-ensemble de fréquences G G est

tient lieu d’une densité d’énergie. Définition 17 : La densité spectrale du signal

1I G . , G G Exemple 8 :

1I

)

)

1I

)

, G

3

, G G ;

, G G , où , G

est la fonction G , G

G , d’où la densité spectrale

1I

$ $

3

$ $

3

3

3

3

$

$

.


111

Théorème 21 La densité spectrale d’un signal d’énergie finie, dont l’autocorrélation intégrable, est égale à la transformée de Fourier de l’autocorrélation :

, G Preuve

1 G

3

,

est

1 G

3 5

35

3

, G

Les fonctions intégrables à spectre borné, ayant donc une certaine régularité (toutes les dérivées sont bornées), ont la propriété remarquable d’être entièrement déterminées, dès qu’elles sont connues sur un ensemble discret de points judicieusement choisi, défini par le théorème de Shannon. Théorème 22 (Echantillonnage de Shannon ) Soit une fonction de carré intégrable telle que le support de connue aux points d’échantillonnage , alors :

G

(dans

)

uniforme.

G

qui s’écrit aussi : Si, de plus,

G

vérifie la propriété

G

, soit inclus dans G G , et

G G

G

(Formule de Shannon)

G G G

alors la convergence de la série est G

est la fréquence de Nysquist, et représente la fréquence minimum d’échantillonnage.


112

f(t) sc(t) sc(t-T) sc(t+T)

-3T

-2T

-T

O

T

2T

Remarques :

3T

G G

(1) Les fonctions translatées des sinus cardinaux

t

appartiennent à

et constituent une base orthogonale du sous-espace des fonctions de dont les transformées de Fourier sont à support borné. (2) La limite pratique de ce résultat provient du fait que si / est à support borné, alors est à support non borné : il est irréaliste de supposer un échantillonnage infini. Il y a donc une perte d’informations due à tout échantillonnage, nécessairement fini.

(3) Si l’échantillonnage a une fréquence G telle que

2

G

G

, apparaît le phénomène

de repliement du spectre qui sera étudié en théorie du signal.

3.7 Introduction à la transformée de Fourier discrète. rier

Ce concept répond au problème du calcul effectif des coefficients d’une série de Fou

d’une fonction . Soit une fonction (ou un signal)

4

morceaux, échantillonné aux points satisfaisante des coefficients

, -périodique,

; il s’agit de produire une approximation )))

de la série de Fourier :

$

4 L’approximation discrète la plus simple qui soit de est :

4

.

C

noté

$ % H % % & ...

où C

s’écrit : H

L’équation matricielle équivalente à

et

par

C

C

C

..

.

C

et 4

où

' ( ( ( )

,

3.8. UN MOT SUR LES ONDELETTES.

113

dite matrice de Fourier (H est symétrique et H est orthogonale : en effet égale à la matrice identité). Démontrer ce résultat.

Vérifions que :

4

4

4 ,

4

H

H

est

.

' $ ( % % ( ( % ) 4 &

car . E 14

4

4Æ

4

Démontrer que la matrice de Fourier H est inversible et que son inverse est égale à :

$ % % 4% & ...

C

C C

..

.

C

' ( ( ( )

4

H

La transformation de Fourier discrète associe au vecteur échantillonné le vecteur qui constitue une approximation des coefficients de Fourier . Il est facile d’établir que l’approximation de par est d’autant meilleure que les décroissent rapidement vers quand croit vers .

Remarque : L’exploitation des propriétés de structure de la matrice H par Cooley et Tukey, a permis de réduire considérablement le nombre d’opérations, additions et multiplications, nécessaires au calcul de la transformée de Fourier discrète et de son inverse : elle aboutit à la transformation de Fourier rapide, algorithme d’un emploi constant en traitement du signal et dans l’analyse spectrale.

3.8 Un mot sur les ondelettes. 3.8.1 Limitations de l’analyse de Fourier Bien adaptée aux signaux périodiques ou stationnaires de supports infinis, dont les propriétés statistiques sont invariants par translation, l’analyse de Fourier ne convient pas aux signaux transitoires dont la fréquence dépend localement du temps. En général, il est impossible de déduire les propriétés locales ou temporelles des signaux à partir des seules propriétés spectrales : en effet, on ne peut savoir à quelle partie du signal est associée telle ou telle valeur du spectre. Apparaît donc la nécessité d’une méthode d’analyse des signaux, qui à l’instar


114

d’une portée musicale permettrait de disposer simultanément de la fréquence et de la durée de chaque note. La première tentative de mise en œuvre d’une telle méthode dite analyse en temps-fréquence est due à Gabor (1940).

3.8.2 La transformation de Gabor Il s’agit d’une transformation de Fourier opérant par analyse des fragments stationnaires d’un signal : – On tronque le signal en un signal " . où . est une fonction positive paire dite "fenêtre" : / " G / G ., G ; . est par exemple la fonction ou la fonction-porte. – On translate ensuite la fonction . à l’aide d’un paramètre pour en faire une “fenêtre” glissante . .

Définition 18 : La transformée de Gabor de est définie par :

.

3

H G

noté

H G donne une information sur la répartition des fréquences de la fonction , dans le voisinage du temps . Comme pour la transformée de Fourier, on dispose d’un théorème d’inversion de la transformée de Gabor. Théorème 23 Si la fonction de troncature .

H G G

, et si / . paire et

.

alors :

H G . 3 G

(Identité analogue à l’identité de Parseval)

Il s’agit maintenant de faire varier la largeur et la hauteur de la fenêtre glissante, en fonction de la partie du signal analysée.

3.8.3 Transformation en ondelettes Le concept d’ondelette est dû à J. Morlet, ingénieur à ELF, qui l’introduisit en 1984, à des fins d’analyse sismique dans le cadre de la recherche pétrolière. Les ondes mises en oeuvre dans les phénomènes sismiques contiennent des informations d’échelles diverses, tout comme les phénomènes de turbulence ; il s’agissait pour Morlet d’analyser des signaux très différents à la fois par leurs amplitudes et leurs fréquences. Construction d’une famille d’ondelettes : (a) On se donne d’abord une ondelette-mère / de type oscillante et d’intégrale nulle : Morlet utilisa dans ses travaux : / 1

3.8. UN MOT SUR LES ONDELETTES.

115

"Chapeau mexicain".

F IG . 3.5 – Graphe de la fonction /

(b) Puis on construit la famille :

/

/

où b parcourt

et a parcourt

Chaque ondelette / permet de faire un “zoom” autour du point d’autant plus précis que est petit, en effet la concentration de / est d’autant plus grande en b, que a converge vers . On retrouve un théorème d’inversion permettant de reconstituer la fonction à partir des ondelettes / et les coefficients d’ondelettes qui jouent le rôle de coefficients de Fourier associés aux / : Théorème 24 Soit / une ondelette mère

telle que /

fini alors : où

est le coefficient d’ondelette :

Identité de Parseval des ondelettes :

>

/

et

/

// G

G > G

/ ) / *

>

.

En pratique, on utilise les dérivées de gaussiennes d’ordre : /

La famille / étant manifestement redondante lorsque parcourt , on a construit des bases orthonormées d’ondelettes de , plus adaptées au traitement numérique.

116


A propos d’un couple privilégiée : mathématique et physique. Les mathématiques se cantonnèrent longtemps à la géométrie et à l’arithmétique, leur domaine natif hérité de la Grèce antique. La science des idées mathématiques, objets de recherche et de contemplation dans l’oeuvre de Platon, allait devenir au siècle de Descartes, la science opératoire et transformatrice qui devait, pour reprendre ses propres termes, participer à l’entreprise de maîtrise et de possession du monde. Rappelons que Galilée (1564-1642), fondateur de la physique moderne (expérimentale et mathématisée), conçevait les mathématiques comme "étant le seul langage capable d’exprimer les lois de la nature". Depuis ces temps fondateurs, science mathématique et science physique se sont souvent enrichies dans un rapport réciproque d’inter-constitutivité, au sens où l’une ne peut se passer de l’autre au cours de son propre développement. L’oeuvre de Fourier concernant la définition des séries et de la transformation du même nom, dans le but de résoudre l’équation de la chaleur, illustre bien ce rapport de féconde réciprocité, qui traverse aussi d’autres moments forts de l’histoire de ces sciences. Les couples, calcul infinitésimal / mécanique, géométrie de Riemann / théorie de la relativité générale, en sont autant illustrations parmi d’autres. Or, une théorie mathématique, par sa structure logique même, contient en son sein tout ce qui lui est nécessaire à la production des énoncés vrais (ou théorèmes), sans devoir faire appel à une procédure de validation externe. Le mathématicien a une activité théorique, apparemment autonome, et seule créatrice de son propre sol. Alain Connes, l’un des grands mathématiciens contemporains, prétend même que "la réalité mathématique a une cohérence, inexpliquée et indépendante de notre système de raisonnement". Au contraire, au cours de sa construction, une théorie physique s’enrichit du va-et-vient permanent, entre l’émission d’hypothèses explicatives d’un phénomène donné, et leur validation expérimentale. Dés lors, se posent les questions centrales et toujours ouvertes : Qu’est-ce qui fonde et rend possible cette adéquation, souvent anticipative de la mathématique à la physique ? Qu’est-ce qui confère aux mathématiques, leur "déraisonnable efficacité sur le monde" pour reprendre la suggestive expression de H Weyl ? Sur les questions et problèmes évoqués ici, le lecteur pourra consulter les livres suivants : -Science et méthode. H. Poincaré ; Seuil. -La nature de la physique. Feynman ; Seuil. Sans oublier les textes des grands fondateurs (Galilée, Newton, Euler, Fourier, Laplace, Gauss, ?) dont le lecteur tire toujours profit.

3.9 Thème d’étude : résolution de l’équation de la chaleur Objectif : Etude de l’évolution de la température à l’intérieur d’une tige isolée rectiligne, homogène, de section très petite par rapport à la longueur, placée dans un milieu ayant des caractéristiques isotropes.

3.9. THÈME D’ÉTUDE : RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE LA CHALEUR

117

On note * la température de la tige en l’abscisse au temps . L’équation aux dérivées partielles associée à ce modèle unidimensionnel est l’équation de la chaleur :

5 * 5* 5 5

est une constante égale à

chaleur spécifique.

% où % est la conductivité de la tige, I sa masse volumique et sa I

Nous résoudrons ce problème dans le cas où la température est soumise à la condition initiale .

* B , où B est une fonction bornée et intégrable sur 1. Cas d’une tige infinie Hypothèses : * est une fonction de classe

par rapport à , et de classe

par rapport à .

1.1 Appliquer la transformée de Fourier par rapport à , aux deux membres de l’équation de la chaleur, et en déduire une équation différentielle vérifiée par * / G . La résoudre. 1.2 Exprimer * sous forme d’un produit de convolution (Résultat dû au mathématicien Siméon Poisson (1781 - 1840)). 1.3 Au temps une impulsion thermique est reçue par la tige au voisinage de l’origine : 3

* B -

-

si -

sinon Déterminer et interpréter * Rendre compte de l’évolution de la répartition des températures en dessinant les graphes de la fonction * pour (on choisit ). 2. Cas d’une tige finie de longueur paramétrée par le segment . Hypothèse : la température aux extrémités est maintenue à zéro : *

* .

2.1 Recherche d’une solution par la méthode de séparation des variables. Posons : *

: En déduire deux équations différentielles indépendantes. Résoudre l’équation en : . Quelle est la solution acceptable ?

Résoudre l’équation en . Démontrer que, dans ce cas, l’énergie et est décroissante par rapport au temps. 2.2 Reprenons la condition initiale : B Exprimer *

est égale à

0 - 0 -

* ,

.

sous forme de série de Fourier. Vérifier qu’il s’agit bien de la solution.

118


3.10 Corrigés des exercices E1 On a :

2

, B

B

et B

, d’où :

B

B

E2 (1) est considérée comme troncature d’une fonction impaire :

d’où :

'

'

est considérée comme troncature d’une fonction paire :

d’où :

'

On pourrait vérifier que pour les valeurs des deux séries coïncident.

* * . Par intégration des séries ci-dessus, on en déduit la série de Fourier associée à la fonction 1I : On remarque que

(2) " est paire donc

d’où :

#

pour tout entier . De plus :


119

E3 Théorème de Dirichlet - Jordan (1) & donc : &

.

.

e

-

(2)

e

e

e e

4

(progression géométrique)

e

e

e

Soit un intervalle où est de classe . Alors, par intégration par parties :

Comme et sont continues sur et prolongeables par continuité en et , et sont bornées sur l’intervalle .

et donc en sommant :

.

On veut démontrer que -

$E tel que :

E E

8

On a :

8 8 4

On remarque que :

pour car en raison de la connexité de la fonction sinus, on a ; 4 ; (existe par définition de ).

120


En multipliant, on obtient ce qu’on veut démontrer à condition de prendre

-

. De

même, on obtient :

- $E tel que E E

8

D’où en ajoutant les deux intégrales :

8

E

8

-

et en utilisant la parité de la fonction :

8

8

-

Soit % le complémentaire de l’intervalle E E dans

Alors comme

, on a :

&

&

0.

4

8 4 4 88 4 4

8 4

-

En posant "

, le lemme de Riemann-Lebesgue permet d’affirmer que :

" 4

tend vers 0 lorsque 4 tend vers ( ne s’annulant pas sur %). Donc : $4 d’où : $4

4 4 - ; 4 4 & -.

Ce qui montre que &

.


E4 (1) En posant : &

(2) , &

, il vient :

& On a donc : &

121

*

*. *

atteint son premier maximum en &

et l’on a :

*

* *

Il suffit d’appliquer le Théorème de convergence dominée à la suite

pour calculer

. . Au voisinage de , . Elle est égale à & converge donc vers quand , dépassant la valeur de " : il s’agit là du la limite de &

quand

phénomène de Gibbs.

E5

(1) " * " * * -périodique. Il suffit de montrer que " . Or :

"

*" * * . " est

* " * *

* " * *

6 6 " * *

6 6

" * *

122


(2)

"

E6

" *

*" * *

*

" *

"

"

6

Si est paire, alors : / G 3 raisonnement est analogue si est impaire.

-

3

* ; posons 6 *

6 *

G . Le

E8

$ 5 grâce au Théorème de Fubini, appli$ $ $ fini. cable car $ $ $ 5 On parvient à $ $ 5 . (2) * * . (3) D’après (1) : $ "$ * * , (1)

$

où "$ * Ainsi : "$ * $

$ $ . et 2 * "$ * A où A

. On

conclut en appliquant le théorème de convergence dominée.

E9

/ / & G G G existe car ) '

On obtient l’équation différentielle :

/ G >

3

.

/ G G / G , dont la solution générale s’écrit :

G


123

Sachant que : > / , on en déduit donc que : G 3 . La fonction est donc une fonction propre de l’opérateur , associée à la valeur propre .

E10 Posons "

(1) Comme,

et "

.

" " , on a : / "/ "/ .

Calculons "/ . On sait que (cf. Table des transformées de Fourier) :

G

3

1 (2) On a donc : / 1 successives :

E11

3

et

G

3

3

3

G

3

, d’où :

.

. On procède par transformées inverses

d’où

3 3

( ( 3 %3 % "

7 I 9 % : "

7 avec GG I d’où l’on déduit que / G G est radiale, égale à ' I " où ' est la / G G

fonction de Bessel d’ordre , égale à ( .

3 7 7, et " l’expression radiale de

E12 (1) On a :

( (

. (

.

( (

et le résultat. (2.1)

,

( % %

0% ( 0% 0% ( 0%

sc

. On en déduit que :

%

sc

( %

124


On en déduit :

( % % Dans le cas d’un changement d’échelle, on sait que ( a pour transformée * , * * . (

sc

sc

On en déduit l’expression de l’intensité :

* (

sc

( %

sc

%

Si est supérieur à , cas où la surface & diminue, la figure de diffraction se dilate, ce qui est une conclusion physique attendue. (2.2)

(

-

sc

- %

%

( %

sc

2

.

; ( ;( ' ( ( où ' est la fonction de Bessel d’ordre . Si ; ( on pose : ( , ; ' ( et .

(2.3)

On obtient une surface, dite tache d’Airy.

E13

L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : Par ailleurs, on a : Comme vient : " "

" "

" "

" "

((

.

.

est intégrable, on en déduit que converge vers si . D’où il

. D’autre part : " G / G G .

G / G G & ( (G L’inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité si " " , c’est-à-dire 3 , avec car . est équivalent à :

, soit

Equation de la chaleur (1.1) Posons *

5* . Il vient : 5

*/ J

J * J

5* 5 < */ J (Théorème de Lebesgue) 5 5 5 * < 5


5 */ J * / 5

D’où l’équation différentielle :

/ s’écrit : *

J B/ J

125

<

.

(1.2) Rappelons que l’on a :

J

<

*/ B

D’où :

* (1.3)

*

B

-

/

B/ J . La solution

B

. On a donc :

*/ J

avec :

, est la solution fondamentale de

l’E.D.P, c’est-à-dire la réponse du système “tige infinie” à l’impulsion thermique au temps

au point d’abscisse Cette solution fondamentale est une densité gaussienne de moyenne et de variance , représentant la densité de la chaleur en fonction du temps. (2.1)

: :

: % , soit encore : :

, d’où :

%

: %:

et

Commençons par résoudre : : %: avec : – Si % , on parvient à la solution : – Si % 2 : : % %

d’où

%/

%/

On a des solutions particulières

/

%

Soit :

Les solutions de

: / .

qui admet des solutions non triviales si : %/ & %

%/

/

% sont :

avec %

/

. / = B Or B * / / /

(2.2) La solution générale s’écrit : *

!

"

si si si

pair 3 3

où 3 où 3

126


Etudions la convergence de la série * Comme B et B B rapport à vers B .

.

/ , la série * converge absolument et uniformément par

Comme pour tout positif ou nul, la série * converge absolument et uniformément par rapport à . Donc * est continue dans son domaine de définition.

Chapitre 4 Distributions La théorie des distributions est due au mathématicien français Laurent Schwartz dans les années 1945-1950. Le concept de distribution, nouveau par rapport à celui de fonction mais le prolongeant, permet de modéliser les états statiques ou dynamiques ayant de très fortes discontinuités, comme par exemple les signaux impulsionnels. Cette théorie, qui répondait à une exigence concrète des sciences physiques, permet d’unifier l’étude des phénomènes ponctuels et continus ainsi que les équations qui des modélisent. L’exposé qui suit n’est qu’une modeste introduction à la théorie des distributions, orientée vers ses applications à la théorie et au traitement du signal.

4.1 Une approche physicienne Autour des années 1920 s’est posé le problème de la modélisation mathématique des impulsions d’origine mécanique ou électrique. Paul Dirac (1902-1984) qui fut l’un des grands physiciens du siècle dernier, eut l’audace, au grand dam des mathématiciens de son temps, d’utiliser en 1926 dans le cadre de ses travaux de physique quantique, une pseudo-fonction déjà introduite par Heaviside dans son calcul symbolique et qui est encore utilisée de nos jours par les ingénieurs et les physiciens, sous le nom de fonction de Dirac. Elle est définie par :

Æ si sinon et supposée vérifier : pour toute fonction ) continue en

Æ ) )

L’objet mathématique Æ n’est pas une application, mais il peut être considéré comme la limite d’une suite de fonctions en un sens (non encore connu du lecteur), qui annonce la notion de distribution. Considérons en effet, une unité approchée ; par exemple la suite de fonctions

gaussiennes

. Pour toute fonction ) bornée et continue en , on a :

) )

Dans cette première approche,

converge vers Æ au sens de la convergence précédente.

CHAPITRE 4. DISTRIBUTIONS

128

Il s’agissait donc pour les mathématiciens, de créer un espace fonctionnel susceptible de modéliser rigoureusement les distributions quelconques de matière, d’électricité, etc, utilisées par les physiciens, y compris les plus discontinues qui soient, à l’aide de "pseudo-fonctions" infiniment dérivables en tout point ! Ces pseudo-fonctions ne sont pas des applications au sens habituel : ce sont des opérateurs définis sur des espaces fonctionnels. Une analogie avec les espaces euclidiens classiques devrait en faciliter l’approche intuitive : de même qu’un vecteur 6 d’un espace euclidien est entièrement déterminé si sont connues ses projections 6 * sur un ensemble suffisamment riche de vecteurs (cf. Espaces de Hilbert), une fonction de dans peut être déterminée par les intégrales ) lorsque ) parcourt un sous-espace fonctionnel adéquat. Il en est ainsi lorsque est une fonction et lorsque ) parcourt l’ensemble des fonctions continues à support compact noté . Considérons l’opérateur associé à , défini sur ) .

)

muni de sa norme naturelle :

Reste à prendre en compte l’exigence de dérivabilité. Déterminons

)

) )

) :

) )

En conséquence, l’existence de , exigée pour tout , entraîne l’infinie dérivabilité des fonctions ), d’où leur caractérisation par la définition suivante : Définition 1 : On désigne par 0 , l’espace vectoriel des fonctions ) (dites fonctions-tests), infiniment dérivables et à support compact. Théorème 1 L’opérateur , lorsque appartient à dites régulières, définies par :

)0

! )

,

définit une classe de distributions

)

4.2 L’espace des distributions 1 On doit définir sur 0 une topologie telle que si ) converge uniformément vers ), alors toutes les suites dérivées ) convergent uniformément vers ) . Aucune norme ne permet de construire une telle convergence. Seule une famille de semi-normes, dont la construction outrepasse le propos de cet ouvrage, induit cette topologie.

4.2. L’ESPACE DES DISTRIBUTIONS

129

Définition 2 : (Convergence des suites dans 0 ) Une suite ) de 0 converge vers ) dans 0 si les supports de toutes les fonctions ) et de leurs dérivées sont contenus dans un même compact > , et si

3 :

) )

+

Il s’agit donc de la convergence uniforme de la suite incluant tous les supports de ) et de leurs dérivées. Définition 3 : Pour toute fonction-test ) de 0 dehors duquel ) est nulle : support

,

) et de ses dérivées sur un compact

le support de ) est le plus petit fermé en

) )

Définition 4 : Si & est un ouvert de , compact inclus dans &.

0

&

est l’ensemble des fonctions

Définition 5 : Une distribution est une forme linéaire, continue sur 0

&

à support

.

) ) 0 ) ) ) ) Continuité : Si ) converge vers ) dans 0 , alors ) converge vers ) dans tend vers .

Linéarité :

, quand

Notation : La valeur de en ) sera notée ) 2 s’il n’y a aucune confusion avec la notation du produit scalaire.

Définition 6 : L’ensemble des distributions définies sur 0 , noté 0 , est donc le dual topologique de 0 . Muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, 0 est un espace vectoriel.

0

) 0

) 2

E 1 Démontrer que 0 n’est pas vide, en considérant ) 3 1I . Tracer son graphe, et en déduire par translation et dilatation de la variable , l’existence d’une famille infinie de fonctions de 0 .

Remarque : 0

est dense dans

.

Théorème 2 (Distribution de Dirac) La fonctionnelle ) 0 ) un réel donné, définit une distribution dite distribution de Dirac, notée Æ :

)Æ )* )

, où est


130

E 2 (a) Vérifier que Æ et définissent bien des distributions. (b) Les expressions suivantes sont-t-elles des distributions ?

)

)

Définition 7 : Une suite

0

) )

) )

) )

)

) , où mesure positive.

est muni de la convergence simple définie par :

converge vers , si et seulement si, ) 0

,

)

).

On a un résultat équivalent pour une famille de distributions où * est une suite de , convergente vers * : converge vers si et seulement si, ) 0 , ) ).

Théorème 3 (1) Si la suite des fonctions

appartenant à

sur tout intervalle borné, alors . (2) Si converge vers dans , alors

converge uniformément vers

converge vers dans 0 .

E 3 Calculer la limite dans 0 de "

. Définition 8 : Le support d’une distribution est le fermé égal au complémentaire du plus grand ouvert dans lequel est nulle ; autrement dit, est tel que, ) 0 ) . Exemple 1 : (1) Le support de Æ est . (2) Support Æ . (3) Support Support de si est

.

La convergence annoncée en début de chapitre peut être maintenant démontrée : E 4 Prouver qu’une unité approchée converge au sens des distributions vers Æ . Ceci justifie la représentation de Æ adoptée par les physiciens, sous la forme d’une impulsion de support et d’ordonnée . Théorème 4 (de localisation) Deux fonctions et " , localement intégrables sont égales (p.p) si et seulement si, pour tout ) 0 .

) 1 )

4.3. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS

131

Les distributions non régulières sont dites singulières : les distributions de Dirac et leurs combinaisons linéaires sont singulières, mais ce ne sont pas les seules. Il est possible de trouver une suite de distributions régulières convergente vers Æ (Cf Exercice 4) ; inversement, certaines fonctions à support compact apparaissent comme des limites de combinaisons linéaires de distributions de Dirac, confortant l’intuition que nous avons tous, qu’une distribution physique continue de masse ou de charge électrique, est bien l’idéalisation mathématique d’une distribution discrète très dense. Etayons cette intuition : soit une fonction réelle continue par morceaux définie sur : considérons la distribution Æ .

) ) 0, ) 2

qui converge quand vers l’intégrale de Riemann En conclusion

) ) 2.

quand , et est bien l’approximation discrète de .

On notera les relations d’inclusion : densité : 0 0 .

0

0 , ainsi que le résultat de

Intermède biographique : Laurent Schwartz (1915-2002) Naissance à Paris, où il fit ses études, qui le conduisirent à l’Ecole Normale Supérieure. Il se spécialisa rapidement en analyse fonctionnelle ; dès 1945 il élabora la théorie des distributions, annoncée dans les travaux précurseurs de Bochner et de Sobolev. Cadre naturel de la théorie des équations aux dérivées partielles, la théorie des distributions lui permit d’aborder avec succès la modélisation et la résolution de nombreux problèmes de physique théorique. Lauréat de la Médaille Fields en 1950, Laurent Schwartz ne fut pas seulement un des grands mathématiciens du siècle, ce fut aussi un humaniste critique qui a consacré beaucoup d’énergie et de talent à lutter pour la défense des droits de l’homme partout où ils étaient bafoués.

4.3 Dérivation des distributions Le théorème ci-dessous définit la dérivé d’ordre quelconque d’une distribution. Théorème 5 Pour tout toujours et est définie par

0

,

pour tout )

0

,

la distribution dérivée de existe

) )* ) ) *

Conséquence immédiate :

) )* ) ) *

Preuve (1) ) 0

) ) * existe.


132

(2)

) % ) % ) *

) % ) % ) * ) % ) * ) % ) * ) % ) * ) % ) * % ) ) * % ) ) * (3) Si ) converge vers la fonction nulle dans 0, alors ) converge aussi vers la fonction nulle ; donc ) ) * ) ) * converge vers , dans .

Remarque : On aurait pu construire progressivement la dérivée d’une distribution régulière , en considérant d’abord une fonction de , puis de et enfin de . Théorème 6 La dérivée de la distribution de Heaviside, définie par # égale à la distribution de Dirac Æ .

1I

est

E 5 Prouver rapidement ce théorème.

d’une suite de distributions conver-

Théorème 7 La limite de la suite des dérivées gente vers , est égale à :

Définition 9 : La translatée ;

d’une distribution est définie par :

); )* ) ;

)* ) ) *

E 6 Déterminer les limites quand des suites définies par :

=

Æ Æ

+ Æ Æ Æ

E 7 Calculer Æ .

Construction d’une distribution singulière qui n’est pas une combinaison linéaire de distributions de Dirac ou de ses dérivées La fonction n’est pas localement intégrable dans un voisinage de 0, mais on sait lui associer une distribution. En effet, la primitive au sens des fonctions de est de classe . Elle définit donc une distribution dont la dérivée existe nécessairement, laquelle s’exprime sous forme d’une distribution, dont la construction est proposée dans l’exercice suivant.


133

E 8 Etude de la distribution valeur principale de

est définie par :

La distribution 63

)63

)*

(notée 63

)

).

)

(1) Vérifier que 63 est une distribution. (2) Montrer qu’elle est égale à la dérivée dans 0 de . (3) Démontrer que :

-

63

.

Remarque : 63 n’est pas une distribution régulière, et n’est pas non plus égale à une combinaison de distributions de Dirac ou de ses dérivées. Remarque : la valeur ) )* d’une distribution en ), s’exprime sous forme d’une intégrale ou une limite d’intégrales : – si régulière, alors ) )* – si

) , où est une unité approchée. ) 1I

. , alors ) )* - si 63

–

Æ, alors ) )* -

) ;

Dérivation d’une distribution régulière définie par une fonction par morceaux : Théorème 8 Soit une fonction de continuité ))) , alors :

dans ,

où

Æ

) )

)

)

est le saut de f en et la distribution associée à

Preuve

par morceaux, admettant les points de dis-

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)


134

)

Æ )

Exemple 2 : Soit 1I et Æ Æ Æ .

1I , donc

Théorème 9 Toute distribution de 0 admet une infinité de primitives notées = , qui diffèrent entre elles d’une constante additive et vérifient :

) 0 = ) 2 ) 2 E 9 Calculer la primitive de Æ Æ Æ égale à la distribution nulle sur lois discrètes de probabilité et à leurs fonctions de répartition].

[Penser aux

Les définitions et théorèmes précédents et à venir s’appliquent aussi à l’espace 0 & des distributions définies sur les espaces 0 &, où & est un ouvert de , et plus généralement de .

Définition 10 : A toute fonction appartenant à

) 0 Notation : Soit

) 2

,

on associe la distribution :

)

, désigne 5*) . l’opérateur * ) * 5 5*

. Pour tout ) de 0

&,

on définit

Définition 11 : Pour toute distribution de 0 de T est définie par :

) 0

&

&

où & est un ouvert de

, la dérivée ième

* ) 2 * * ) 2

Remarque : les dérivées partielles d’un élément ) de 0 & sont indépendantes de l’ordre de dérivation, résultat que l’on transpose immédiatement grâce à la définition précédente, à l’ordre de dérivation des distributions. Exemple 3 : Soit #

la fonction de Heaviside à deux dimensions :

#

si et sinon.


135

On lui associe la distribution régulière notée # . Sachant que :

)

5) 5 ) * ) * 5 5

on en déduit :

)

5 # ) * 5

)#

5) * 5 5) 5

) )

)

)# )Æ ) **

qui définira (cf. Théorème 12 et Exemple 7(1)) le produit tensoriel Æ butions Æ et # . Application à l’analyse vectorielle : Une fonction dans complémentaire d’une surface . de classe à dérivées dans dont on se propose de calculer les dérivées.

#

,

des distri-

dérivable dans le définit une distribution

On suppose que . délimite deux domaines & et & et on désigne par ) (resp. : le vecteur unitaire normal à . sortant par rapport à & (resp. : & ).

5 45 ) 5

4

où

5

5 ) 5

5 ) 5

5 ) 5

5 5 ) ) 5$ 5 ' 7 6 div & ) ) )

6

) )

6

)

)

7 8

)

9 6

Æ )

7

7

)

( ( est le saut de à travers . dans le sens de

et Æ est la distribution de Dirac de support ., définie par ) 0

,

Æ ) 2

) .

Par application directe de ce résultat, sous les mêmes hypothèses, on obtient les deux théorèmes :


136

Théorème 10 La distribution associée au gradient d’une fonction définie sur le complémentaire d’une surface . incluse dans est définie par :

"

1 (

(sens des distributions)

Æ

(sens des fonctions)

où est le vecteur normal sortant, et le saut de discontinuité de , lorsqu’on traverse .. Supposons maintenant un champ de vecteurs K

( 8 ( 8 ( 8 , on obtient :

( 8 défini par ses trois composantes

Théorème 11 La distribution associée à la divergence de K est définie :

6 > (- > avec >

K > Æ

4.4 Produit d’une distribution par une fonction De même que le produit de deux fonctions n’est pas nécessairement une fonction le produit de deux distributions quelconques n’est pas nécessairement une distribution. On sait toutefois multiplier une distribution par une fonction . Si & et ) 0 &, alors ) 0 & ; si ) converge vers la fonction nulle dans 0 & alors ) converge vers 0 dans 0 &. Donc si 0 & ) converge vers 0 si tend vers . ,

Définition 12 : Si définie par :

Exemple 4 :

&

et

) 0

0

, alors le produit est la distribution de 0

&

) 2 ) 2

&

)Æ )* Æ )

E 10 Expliciter .

&

) Æ ) Æ Æ.

Æ

[Indication : Utiliser la formule de Leibniz :

.

. )

En déduire la forme de certaines solutions = de

l’équation .

. )

]

= .

E 11 (1) Déterminer les solutions de l’équation [Indication : Décomposer ) 0 en ) ) 7 , , où 7 et , sont des éléments de 0 tels que 7 et , ]. (2) Montrer que 63 Æ où , est une solution de l’équation .

4.5. CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

137

4.5 Convolution des distributions Définition 13 : Le produit direct ou tensoriel de deux fonctions réelles et " définies sur est la fonction " définie sur par :

(

" ( " (

Théorème 12 (Convolution des distribution régulières) Soient et " des fonctions de , telles que le produit de convolution . Alors " définit une distribution régulière :

" est aussi dans

) 0 " ) 2 " ) ( 2 La question qui se pose est maintenant la suivante : à quelle condition peut-on étendre ce produit de convolution à des distributions quelconques ? Autrement dit, & et étant deux distributions, quand peut-on définir & par : & ) 2 & ) ( 2 ? Pour plus de clarté, on indexera chaque distribution par la variable muette de la fonctiontest à laquelle elle s’applique. Commençons par une remarque essentielle. Pour toute fonction ) de 0 , le support ) ( de la fonction ( ! ) ( n’est pas borné. En effet, si le support de ) est contenu dans l’intervalle , le support de ) ( est une bande oblique dans le plan , parallèle à la droite d’équation ( , dont l’intersection avec l’axe des est . Donc, la fonction ) ( est de classe mais n’appartient pas à 0 .

(

Le produit de convolution & n’existe que si l’intersection de son support avec celui de ) ( est borné. Ce résultat est acquis dans les cas suivants : - & et ont toutes deux des supports bornés du même côté. - L’une des deux distributions, au moins, est à support compact. Théorème 13 L’ensemble des distributions à supports compacts constitue un sous-espace vectoriel de 0 , noté 2 , qui s’identifie au dual topologique de l’espace des fonctions . L’espace 2 est muni de la même topologie que 0 .

Exemple 5 : Les combinaisons linéaires de distributions de Dirac ou de leurs dérivées, et les distributions régulières définies par des fonctions à support compact sont des distributions de 2 . Définition 14 : Une distribution est à support borné inférieurement, si son support est inclus dans un intervalle de la forme . L’ensemble des distributions bornées inférieurement est un sousespace de 0 noté 0 .


138

De façon symétrique, on définit le sous-espace 0 des distributions à supports bornés supérieurement : ainsi, appartient à 0 s’il existe tel que support .

Exemple 6 : Toute distribution de Heaviside # , où , est dans 0

.

Le théorème suivant précise les conditions d’existence d’un produit de convolution. Théorème 14 Si les distributions & et sont telles que l’une au moins des deux expressions : & ) ( 22 ou & ) ( 22 existe, alors elles définissent l’unique produit de convolution & :

& ) 2 & ) ( 2 Exemple 7 : Application aux calculs de Æ Æ , # (1) Æ Æ ) 2 Æ On en déduit donc que : Æ Æ

# et Æ , où

.

Æ ( ) ( 22 Æ ) 2 ) . Æ

(2) La distribution # est régulière. On sait calculer sa convolution avec elle-même, qui est une distribution régulière : # # # (cf. Chapitre 1 Exemple 5). (3) Æ ) 2 Æ ) ( 22 ) 2 , ce qui montre que Æ On établira plus loin que Æ est l’élément neutre pour le produit de convolution.

.

Le théorème suivant donne les conditions suffisantes d’existence d’un produit de convolution itéré de distributions. Théorème 15 Si les distributions vérifient l’une des trois propriétés (1), (2), (3), alors le produit de convolution existe, et est associatif et commutatif. Il est défini par :

) 2 )

2

(1) Toutes les distributions, sauf au plus une, sont à supports bornés. (2) Toutes les distributions sont dans 0 , ou bien sont dans 0 . (3) Tous les produits de convolution deux à deux existent.

Les applications de l’exemple 7 illustrent l’existence du produit de convolution dans le cas où l’une des deux premières propriétés du théorème précédent est vérifiée. E 12 Démontrer que Æ # et est ainsi, à l’aide du théorème précédent.

Æ # ne sont pas égales. Expliquer pourquoi il en

Théorème 16 Les espaces de distributions 2 , 0 et 0 convolutions, associatives, commutatives et d’élément neutre Æ .

sont des algèbres de

4.5. CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

139

Preuve Les preuves de l’associativité, de la commutativité et de l’existence de l’élément neutre Æ sont faciles. Régularisation de toute distribution Il s’agit d’associer à une distribution quelconque , si irrégulière soit-elle, une suite de fonctions , de classe , admettant comme limite au sens des distributions. Un théorème établit que le produit de convolution d’une distribution quelconque (respectivement à support compact) par une fonction de 0 (respectivement ) définit une fonction :

" ) " ( *) Théorème 17 Si 0 et " est une unité approchée de fonctions appartenant à alors " est une suite de fonctions qui converge vers . Application immédiate : 0

est dense dans 0

0

,

.

Théorème 18 Sous les conditions suffisantes d’existence du Théorème 15, les propriétés suivantes sont vérifiées : (1)

; Æ ,

(2)

; & ; &

(3)

Æ Æ Æ ( et F entiers positifs)

(4)

Æ

(5)

& ;

( )

& &

&

Remarque : Ainsi, pour dériver (respectivement translater) un produit de convolution de plusieurs distributions, il suffit de dériver (respectivement translater) l’une d’elles. E 13 Démontrer les propriétés ci-dessus. Les algèbres de convolution 2 0 0 sont des sous-espaces de distributions particulièrement adaptés à la résolution des équations différentielles (ou aux dérivées partielles) linéaires, qui s’écrivent sous la forme générale :

: Le problème est donc de savoir à quelles conditions sur les distributions algèbre de convolution donnée, la solution : existe et est unique.

et d’une

Définition 15 : Dans une algèbre de convolution donnée, l’inverse de convolution distribution , si elle existe, vérifie l’équation :

: Æ

:

de la


140

L’inverse de convolution noté , est dite : fonction ou distribution de Green.

Théorème 19 L’inverse de convolution d’une distribution dans une algèbre de convolution donnée est unique. Preuve Supposons deux inverses et , de :

Æ Æ

Théorème 20 Dans une algèbre de convolution donnée, l’équation : admet une solution si admet une inverse de convolution, et dans ce cas la solution est unique.

Application à la résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients constants. Le problème : Rechercher une solution : dans 0 , de l’équation différentielle :

les

sont des réels, et

:

0 .

Sachant que Æ : : F , l’équation précédente se transforme en l’équation Æ : qui est une équation de convolution de la forme : .

Plaçons-nous par exemple dans l’algèbre de convolution 0 ; nous recherchons donc des solutions : à support inclus dans . On considérera sans nuire à la généralité du propos que . Méthode : (a) Factorisation de l’opérateur de différentiation :

Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ

où les sont les racines, éventuellement multiples, réelles ou complexes, de l’équation po lynomiale associée à l’équation de convolution.

(b) Vérifions que #

3 est l’inverse de convolution de Æ Æ , pour tout F :

# 3 Æ Æ

Æ3 # 3 # 3 Æ3 Æ

4.6. TRANSFORMATION DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

car : Æ "* )Æ

"*

, si est de classe .

(c) Lemme : Si sont telles que leur produit de convolution existe, alors .

(d) L’inverse de

141

Æ est :

# 3 # 3 # 3

(e) La solution de l’équation différentielle est donc la distribution de 0 :

# 3 # 3 # 3

dont l’explicitation est possible. Cette méthode s’étend aux équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants ainsi qu’aux équations intégrales linéaires. Les transformées de Fourier et de Laplace sont alors des outils puissants permettant de déterminer les distributions de Green. Remarques importantes : (1) Une équation de convolution peut avoir des solutions distinctes selon l’algèbre de convolution considérée. C’est le cas (classique) de l’équation de l’oscillateur harmonique :

Æ

C Æ : Dans 0 , la solution unique est égale à 4 # C , tandis que dans 0 solution unique est égale à : 4 # C .

, la

(2) Une distribution n’a pas nécessairement un inverse de convolution dans une algèbre de convolution donnée. En conséquence, une équation de convolution peut ne pas avoir de solution. C’est le cas de la distribution Æ C Æ qui n’a pas d’inverse dans 2 . De même, aucune distribution définie par une fonction ) de 0 n’admet d’inverse.

4.6 Transformation de Fourier des distributions tempérées Comme pour les opérateurs de dérivation ou de multiplication, nous allons définir la transformée de Fourier d’une distribution par sa transposition sur les fonctions tests ). Considérons d’abord le cas d’une distribution régulière définie par une fonction de Alors, on sait que est continue donc localement intégrable. Par conséquent, définit une distribution régulière et l’on a :

.

)

)*

Fubini

G ) G G 3 ) G G

)

) )*

3

) G G


142

Il apparaît donc naturel de poser dans ce cas :

.

Il s’agit donc de trouver un espace des fonctions tests, stable par transformation de Fourier, ce qui n’est pas le cas de l’espace 0 &. L’espace des fonctions , telles qu’ellesmêmes et toutes leurs dérivées soient à décroissance rapide, est tout indiqué. Rappelons, en effet, que est un isomorphisme de sur lui-même, et que 0 est dense dans . (cf. Chapitre 3)

de

Les distributions définies sur .

définissent l’espace vectoriel

,

dual topologique

Définition 16 : L’espace des distributions dit espace des distributions tempérées est le dual de , et donc constitué des formes linéaires continues de dans . Rappel de propriétés élémentaires des espaces topologiques : (1) Un espace topologique est inclus dans l’espace topologique (on note ) si tout ) , alors ) et si toute suite () convergente pour la topologie de , converge pour la topologie de . (2) Si et dense dans , alors l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur est inclus dans l’ensemble des fonctionnelles linéaires continues sur . Théorème 21

&

est un sous-espace de 0

.

Preuve Immédiate par application des théorèmes précédents. Quels espaces de distributions,

contient-il ?

(1) 3 . (2) L’espace des polynômes à coefficients réels et plus généralement des fonctions croissance lente, définies par : il existe

tel que

à

est mesurable bornée

(c’est cette classe de fonctions qui a inspiré à L. Schwartz la désignation “tempéré”). (3) L’espace 2 des distributions à support compact. (4) L’espace des signaux numériques Æ où la suite vérifie l’une des ma jorations : , . (5) L’espace des distributions périodiques.

est donc un espace très riche de distributions, qui suffit largement à décrire tous les signaux rencontrés en physique ou en sciences de l’ingénieur.

Définition 17 : Toute distribution tempérée , admet une transformée de Fourier par :

) ) )* ) )*

définie

4.6. TRANSFORMATION DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

143

Le théorème suivant établit les propriétés de la transformée de Fourier et de son inverse. Théorème 22 La transformation de Fourier des distributions tempérées est une application linéaire, bijective et bicontinue de dans lui-même, qui admet une unique transformation inverse, notée , égale à :

)

D’autre part, pour tout

:

) 2 ) 2

.

Théorème 23 (Propriétés de la transformée de Fourier des distributions) Soit : G G (1) / , , où ) ) 2 - ) 2 . ) G

(2) (3) (4)

3 / ; G G . / G G / G 0

.

5 7 4 5 4 G / / / ) ) G . ) ) 7 6 6 7 6 7 6 7 6 3 ) G / / / (2) ;0 ) ; ) ) G 6 7 3 / ) 6

Preuve

7 6

(1) ) )

(3)

est dans

,donc : ) ,

6

7 6

) 0

7 4 / )

)0

5

6

7

/ )

d’où le résultat.

Quelques transformées de Fourier à connaître. (1)

Æ G

(3)

1I

Æ

(4)

Æ

(5)

Æ G G .

(6)

1G

(7)

G

3

(2)

.

Æ3 Æ

3

Æ . 1I .

Æ3

Æ

3

3

7

) G


144

Remarque : Les égalités (6) et (7) étaient annoncées par l’expression de la transformée de Fourier de la fonction sinus tronquée G 1I (cf. Exemple 6, Chapitre 3).

E 14 Démontrer ces égalités. Rappelez-vous que qu’une impulsion contient toutes les fréquences, d’où Æ 1I . Que dire de 1I Æ ? E 15 Calcul de la transformée de Fourier de la distribution de Heaviside.

/ G 63 3 Æ G (1) On sait que # Æ ; en déduire (cf. exercice 11), que # où est réel. / # (2) Calculer # Æ G . G En déduire que , et que #/ G 63 3 Attention ! La fonction de Heaviside n’admet de transformée de Fourier qu’au sens de distribution de Heaviside.

Transformation de Fourier du produit de convolution Nous savons que l’espace n’est pas une algèbre de convolution ; en revanche les produits de convolution d’une distribution tempérée soit avec une distribution à support borné, soit avec une fonction de , existent et ont de bonnes propriétés à l’égard de la transformation de Fourier. Théorème 24 Soit et , alors : (1) et ( ) sont des fonctions (2) / /. (3) / /.

Preuve (1) Preuve longue et délicate, 6 qui sera 7 admise. 6 7 (2) ; ) , ) )/ Mais /

6

6 6

77

)/

.

/ / existe et on a : donc

et /

7 6 7 4 15 6 , 7 6 6 77 6 7 / / ) / , )/ )/ / ) / ) )

(3) / / donc / /

/ / / /

/ / 0

puis en appliquant

Théorème 25 Soient les distributions < 2 et (1) < (2) <

6

7 6

/ / ) <

7

/ / <)

/ . Si ) , <)

, isomorphisme sur

,

alors :

/ est Preuve On admettra que si < appartient à 2 , alors < un sens et

à croissance lente.

et donc :

/5/ a à croissance lente.4Ainsi < 6

7

/ / <)

déf

0 / <)

.

4.7. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS PÉRIODIQUES

0 / 55 6 6

/ )/
)/
5 4 4

1 )/ <1 1

1 en admettant que < E 16 Déterminer

<

:

77 6

< )/

145

7 6

< )/

7

< )

.

5 en exprimant 1

en fonction de 1

.

E 17 Etude de la déformation d’une poutre L’équation différentielle qui régit la déformation transversale d’une poutre homogène de longueur infinie, reposant sur un milieu horizontal élastique de coefficient , est :

A ( ( où A est une constante, la distribution décrivant la charge transversale connue. Supposons une masse placée à l’origine : Æ . Déterminer la solution ( à l’aide de la transformation de Fourier. On pourra la rechercher aussi avec la méthode convolutive exposée à la fin du paragraphe précédent. Il serait tout aussi facile de déterminer la déformation associée à la distribution de masses Æ . E 18 Démonstration du théorème de la limite centrale Soit la suite des distributions (a) Démontrer que

tel que

Æ

et Æ Æ

.

.

(b) Déterminer 1 sous la forme d’une fonction réelle. (c) On pose : G 1 3 . démontrer que la suite

une fonction . En déduire la limite de

converge dans

[On vient ainsi de démontrer le

théorème central limite, de la théorie des probabilités, dans un cas particulier]

4.7 Séries de Fourier des distributions périodiques Rappellons : Définition 18 : La translatée ;

d’une distribution est définie par : ); )* ) ; )* ) ) *

Définition 19 : Une distribution est périodique de période , si :

;

0 vers


146

Définition 20 : La somme

Dirac et définie par :

Æ définit une distribution tempérée notée ''', dite peigne de ) )''' )*

qui est bien une série convergente. Le peigne de Dirac de pas est défini par : '''

)

Æ)

Remarque : Dans ce paragraphe toutes les séries sont indicées par l’ensemble . Théorème 26 Si f est une fonction , alors ''' définit la distribution :

Preuve

) ''' )*

(déf)

)''' )*

-a

0

)

a

:

Æ) .

;

Æ) )

2a

Théorème 27 Les fonctions périodiques localement intégrables définissent des distributions tempérées périodiques. Si est le motif périodique de et la période, alors : ''' . Preuve Montrons que la fonction convolution du “motif périodique”, noté ''' . Soit 1I

''' Mais

de période 2 , est identique au produit de , par le peigne de Dirac de période 2 , notée

Æ

2 et ''' , donc '''

par le théorème 25.

Interprétation : A partir du motif périodique de longueur a, on définit la distribution périodique associée , par convolution de avec le peigne de Dirac ''' .

4.7. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS PÉRIODIQUES

147

Théorème 28 La transformée de Fourier du peigne de Dirac ''' est égale à lui-même :

0 ' ''

'''

Le peigne de Dirac est une fonction propre de l’opérateur , associé à la valeur propre 1. E 19 Preuve du théorème 28 (1) Calculer &

G '0 '' G en fonction de

(2) Montrer que

3

.

& G & G et & G & G et en déduire que 3 & G (3) On admet le résultat suivant : soit " une fonction non nulle analytique telle que " . Alors Support est inclus dans l’ensemble des zéros de " . Par conséquent, G est nécessairement une combinaison de mesures de Dirac : G Æ G 3

En déduire que & G tion : calculer & G

0 ''' G . Puis conclure que et ' ''

3

2]

''' [Indica-

(4) Calculer ' '' . Théorème 29 Soit une fonction de période et alors :

avec

,

,

Æ

donc appartenant à

,

Interprétation : Au sens des distributions, toute fonction périodique série de Fourier. Preuve

est la somme de sa

''' / / ' '' / ''' Or, pour toute fonction réelle . , .Æ . Æ ; appliqué à (4.1) on obtient : / Æ / / Æ

Sachant que /

on parvient finalement à : /

Æ

(4.1)


148 Si l’on prend la transformée inverse de / on aboutit à :

/ Æ

Théorème 30 (Existence et unicité de la série de Fourier de toute distribution périodique) Toute distribution périodique T de période est tempérée et s’identifie à est la distribution de support qui représente le motif périodique de . admet un et un seul développement en série de Fourier :

où

étant à support compact, / est une fonction /

/

''' où

à croissance lente d’où l’on déduit :

Æ

Preuve (1)

2 et '''

donc (Théorème 25) '''

(2) Montrons que est périodique : ;

) ); ''' "*

.

.

) ''' ; "* ) )''' ; " ( ** ) ( " ( *

) (

"

( * ) ''' "*

(3)

/ / ' '' / '''

Exemple 8 : Si et / 0 Æ Æ .

0 alors

,

/ Æ

0

E 20 Soit " ".

. Calculer

" , en déduire / " G et la série de Fourier associée à

4.8. TRANSFORMATION DE LAPLACE DES DISTRIBUTIONS.

Théorème 31 (Formule sommatoirede Poisson) Si

,

alors

butions de

Æ

et

149

/

qui sont égales. L’égalité est vraie au sens des fonctions si

sont des distri-

.

Application au calcul numérique des séries Pour , on a :

Si , il vient :

/

/

/ La série de Fourier a une convergence accélérée par rapport à la convergence de

la série

Soit

Montrons-le sur un exemple classique :

/ G

3

. Donc :

.

4.8 Transformation de Laplace des distributions. Il s’agit d’une extension de la transformée de Laplace définie sur les applications localement intégrables à support inclus dans . Les bonnes propriétés de la transformée de Laplace des distributions sont à la base du calcul symbolique, puissant outil pour la résolution des équations différentielles et intégrales. Définition 21 : Soit une distribution de 0 , telle que soit une distribution tempérée pour tout supérieur à . Alors, admet alors une transformée de Laplace définie par :

8 )

/

*

qui définit une fonction holomorphe sur l’ensemble des complexes 8 , tels que 3 Application immédiate au calcul de

)Æ

/

8 2 .

Æ ( , où 2 :

*

/

Æ 8

E 21 Si est une distribution régulière, associée à une fonction de 8 coïncide avec 8 .

,

démontrer que

Théorème 32 Sous les hypothèses de la définition précédente :

8 8

8 est holomorphe pour tout 8 tel que # 8 2 . Il est alors facile 8 . 8 , que : d’établir, en considérant la limite quand . tend vers de . 8 8 Preuve On sait que


150

8 8 , alors : 8 8 8 8

Par récurrence, si

Théorème 33 Si 8 est la transformée de Laplace de alors 8 mée de Laplace de : 8 8 8 . Application :

Æ 8 8

/

8 est la transfor-

.

Théorème 34 Soient 8 et 8 les transformées de Laplace respectives de , d’abscisses de sommabilités respectives et , alors :

8 ! ) # 8 2

et

8 8 8

Reprenons le problème de la résolution de l’équation différentielle

:

où est une distribution causale qui admet une transformée de Laplace. On cherche la distribution causale

: solution de , qui s’écrit :

Æ :

ou encore, si l’on prend

,

Æ Æ Æ Æ Æ Æ :

Appliquons la transformée de Laplace, on obtient :

: 8

8 8

<

Le calcul symbolique est une méthode fondée sur l’utilisation de la transformée de Laplace, qui permet, une fois exprimée

<

sous la forme d’une somme de fractions

8 rationnelles simples, d’expliciter la solution : par inversion de la transformée de Laplace.

4.9 Les filtres Dans le Chapitre 1 (Mesure et Intégration), on avançait l’hypothèse que les systèmes linéaires, stationnaires et continus, dénommés filtres, étaient des systèmes convolutifs. A toute entrée décrite par la fonction réelle , un filtre répond par la fonction ( . , où . est la réponse impulsionnelle du filtre. Par exemple, nous avons démontré que le filtre RC répond à tout signal

<

par la fonction (

<

, où . est ici égale à

.

Définition 22 : Un opérateur " d’un sous-espace vectoriel de 0 est un filtre s’il vérifie les propriétés :

dans l’espace 0

4.9. LES FILTRES

151

– Linéarité : , partie finie de , "

réels, de :

"

– Stationnarité (ou invariance par translation) : pour toute translation distribution de : "

– Continuité : si la suite 0 vers " .

; ;

"

;

et pour toute

converge dans vers

alors

"

converge dans

A cause de la continuité, de tels filtres sont souvent qualifiés d’analogiques, pour les distinguer des filtres discrets ou digitaux. Définition 23 : indicielle.

"

Æ est la réponse impulsionnelle du filtre " ; " # en est dite réponse

Théorème 35 (Caractérisation convolutive des filtres dans le cas des distributions à support compact) A toute distribution à support compact, un filtre quelconque " répond par " Un filtre " est donc défini par le produit de convolution : " " Æ .

" Æ .

Preuve (Considérons le cas où est la limite d’une suite de signaux discrets

où les sont des réels et ' est fini). – " " Æ (par linéarité)

0

0

" ; Æ

Æ

0

; " Æ (par stationnarité)

0

Æ " Æ (puisque pour toute distribution & : ; & Æ & )

0

–

donc " " Æ " converge vers "

" Æ (par continuité).

Le théorème précédent n’est qu’une version (abordable du point de vue de sa démonstration) du théorème de caractérisation convolutive des filtres qui, étant donné son importance, est dit aussi Théorème de la physique linéaire. Dans le cas où l’on considère des distributions régulières définies par des fonctions de ou , on renvoie à l’ouvrage : Problèmes d’analyse fonctionnelle et harmonique de Samuelides et Touzillier. Les filtres mis en œuvre en théorie du signal, sont généralement causaux, au sens où, pour toute distribution de , si le support de est inclus dans , alors le support de ) est inclus dans .


152

E 22 Les filtres discrets Soit " l’opérateur qui associe à Æ l’image "

Æ

.

Æ où les sont des

réels fixés, caractérisant ". (1) Démontrer que " est linéaire et stationnaire. [Indication : L’espace des distributions à supports discrets est muni de la convolution Æ Æ Æ . ] (2) Vérifier que pour tout positif, on a : "

de la forme

Æ , où est un réel strictement

" Æ .

Nous allons démontrer que les filtres ne déforment pas, à un coefficient multiplicatif près, les exponentielles complexes. Théorème 36 (Caractéristique spectrale des filtres) Si la réponse impulsionnelle " Æ du filtre " admet une transformée de Fourier, alors pour tout G , 3 est fonction propre de " :

G

% G égal à

"

3 % G 3

"

Æ G est dite fonction de transfert du filtre. Æ est une fonction .

Preuve Cas où la réponse impulsionnelle " "

3

3

3

5

3 , G

3

"

Æ

L’exponentielle complexe ! 3 G G est donc fonction propre de tout filtre ", quelle que soit la fréquence G . Le signal réponse " 3 est de même fréquence que 3 , mais son amplitude est égale à " Æ dit gain en amplitude, et il est déphasé de " " Æ par rapport au signal 3 . Ce dernier théorème est important, puisqu’il établit que l’analyse et la synthèse harmoniques des signaux s’opèrent sur une base discontinue (cas des signaux périodiques) ou continue (cas des signaux quelconques), formée des fonctions propres 3 3 communes à tous les filtres (il serait pertinent de rapprocher l’ensemble de ces résultats de ceux obtenus dans le cadre de la théorie spectrale des endomorphismes de dimension finie).

Si est une de période , elle s’écrit sous unique de sa série de distribution la forme Fourier : . Pour tout filtre " , " "/ . Conclusion : les fréquences de la réponse " sont les mêmes que les fréquences du signal . Seuls leurs poids relatifs varient, d’un coefficient "/ .


153

4.10 Corrigés des exercices E1 On remarque (a) "

(b)

"

"

, égal à pour ,. " < , où < est une fraction rationnelle. On conclut que

"

. La démonstration se fait ensuite par récurrence :

"

< .

E2 (a) Soit la suite 3 entier

) convergente ## vers )##dans 0 : #) ) # , où le support ) >

) ) ) ) +

Soit

par passage à la limite des deux membres on obtient : et : Æ

)

)

) ) ) Æ ) (b) (oui !) ; (non ! pas de linéarité) ; (non !, divergence possible de la série) ; (oui ! car au-delà d’un 4 B 4 ) ; (oui !).

E3

, Supp " " converge vers grâce au théorème de Riemann-Lebesgue : si est intégrable sur l’ intervalle , alors .

" 0

Conclusion :

"

E4 Pour toute fonction ) , il existe quent, pour tout - 2 , on a :

2 tel que Supp ) est contenu dans . Par consé-

) ) 1

"

"

"


154

"

) )

. Cette dernière intégrale tend vers

quand , car est une unité approchée. Donc tend vers , ceci pour tout -.

Même argument par pour

Enfin,

"

" .

) ( -

" converge vers quand

, qui converge vers -A si tend vers

, d’où le résultat en choisissant - aussi petit que l’on veut.

E6

6

(a)

7 ) ) ) )

Æ Æ )

où est une constante dépendante de et qui appartient à . Si ) ) d’où = Æ dans 0 (b)

6

7

) ) Faisons un développement limité à l’ordre 2 de ) ) avec reste de Lagrange. On obtient : ) ) Idem pour : ) ) ) ) . Sommons les expressions obtenues et faisons tendre vers . On obtient : ) , et donc + Æ .

Æ Æ Æ )

)

E8

(1) )63

(2)

)

"*

"*

"

)63

"

" " " ' $ % " - " - - ( ) &

qui converge vers )

*

"

E9

1I

# # # , avec

.


155

E11

"

) 1I "* Supposons qu’il existe deux solutions, notées et . Alors , ce qui entraîne Æ , d’après le résultat précédent. On en conclut que les distributions de la forme 63 Æ constituent un ensemble de solutions de , lorsque parcourt . )63

Æ " *

E13

)Æ "*

) Æ " ( *

) " ( *

) ;

*

"

); "*

E14 (2-3)

donc définit une distribution tempérée ; / " )Æ "* d’où : /1I Æ , en choisissant . ) "* "

/* (4) )Æ/ "* )Æ "

"

) 1I "*.

0 G G / G (Théorème 20). G G car 0

(5) Æ

E15 (1) # (2) #

Æ # G G # G Æ/ G . / / G 63 Soit à résoudre : G # G . D’après l’exercice 11, #

# #/ G #/ G /1I G Æ G . / G #/ G Æ, donc et #/ G 63 Or : #

3

Æ

3

E16

C

C

C G

Æ

Æ

Æ

Æ .


156

E17

0 ( G G (/ G et Æ/ . L’équation différentielle transformée (/ G 7 3 est une fonction de . cation possible de la transformation de Fourier inverse : ( Par hypothèse physique, ( est paire.

7 3

, d’où l’appli-

G .

On utilise la méthode de calcul des résidus (Chapitre 6) sur le circuit ci-dessous.

y

x

O

−R

R

Il y a deux pôles à l’intérieur du contour dès que < est suffisamment grand : 8

8

7

/ A 8

A

( Posons

:

7

(

/ 8

7

( est la réponse impulsionnelle du système différentiel.

E18 (a) Récurrence :

Æ Æ Æ

Æ

Æ

( en utilisant l’identité : (b)

(c)

G

Donc : 1

3

3

.

)

3

3

d’où :

3

pour grand

Æ

G

.

G

et


E19 (1) & (2)

G 3

& G

& G

(3) Comme &

3

3

157

distribution tempérée converge dans 3

3

.

& G .

& G , donc & est 1-périodique.

G est 1-périodique, on a : , constante pour tout entier . Par ailleurs, on a :

3 2 ''' G 3 2 0 & G 3 2 ' '' G 3 2 ''' G Comme & G ''' G , on en déduit : & G 3 2 ''' G 3 2 , et donc .

'' (4) '

G

3

''' G .

E20

"

" ''' . D’où : /" G

Æ

, et "

.

E22 (1) Stationnarité. Soit la translation ;

;

"

Æ

.

Æ Æ , pour tout entier . Alors :

; Æ

(2) "

Æ

.

.

; Æ " ; Æ

Æ . Il suffit de choisir

Æ

"

Æ Æ

.

Æ

acquis par la linéarité de ".

"

Æ . Si

est une combinaison linéaire de Æ , le résultat est

Chapitre 5 Fonctions holomorphes, transformations conformes La notion de nombre complexe émergea des travaux de l’école mathématique italienne du XVIème siècle, concernant le problème de la résolution exacte des équations algébriques de degré supérieur à deux. C’est au sein de cette problématique, qu’apparut la nécessité opératoire d’utiliser un nombre doté de l’ "horrifique" propriété d’avoir un carré égal à , et qu’on appela "imaginaire" tellement était irréaliste son statut de concept mathématique. Les idées fondatrices de l’analyse complexe dues principalement à Euler (1707-1783), apparurent dans la deuxième moitié du XVIIIème siècle. Lors de l’étude du mouvement plan d’un fluide incompressible stationnaire, d’Alembert mit en évidence, sous une forme équivalente, la condition d’holomorphie, aujourd’hui connue sous le nom de conditions de Cauchy (1789-1857). Gauss (1777-1855) et Argand entreprirent ensuite la construction d’une géométrie et d’une algèbre des nombres complexes. Jusqu’au début du XIXème siècle, il était admis qu’une fonction réelle était égale en tout point, à sa série de Taylor ; les travaux de Gauss et de Cauchy mirent un terme à cette hypothèse en faisant un usage rigoureux de la notion de convergence. Dès lors, la jeune théorie des fonctions analytiques définies comme étant égales à leurs développements en séries de Taylor, fut étendue au domaine complexe par Cauchy qui en développa le corps de doctrine. Riemann puis Weierstrass parachevèrent la théorie du prolongement analytique et de la transformation conforme largement utilisée pour la réalisation de cartes géographiques. Relativement indépendante des théories et méthodes de l’analyse fonctionnelle, la théorie des fonctions holomorphes conjugue l’élégance de sa structure avec une grande efficacité opératoire. Ses applications sont nombreuses en physique et en sciences de l’ingénieur : vous en mesurerez bientôt l’importance en mécanique des fluides, via la transformation conforme, et en théorie du signal grâce à la transformation en .

5.1 Fonctions d’une variable complexe Définition 1 : Une fonction du sous-ensemble

à valeurs dans est définie par :

8 ( ( ! ( L (

! ( est la partie réelle de 8 et L ( est la partie imaginaire de 8 .

160 CHAPITRE 5. FONCTIONS HOLOMORPHES, TRANSFORMATIONS CONFORMES

Exemple 1 : (1) Soit la fonction

qui associe à tout point 8 du demi-plan supérieur le point image ( (. Comment se transforme par le demi-plan structuré par un maillage carré de côté 1 ?

8 8

f

2 M3

1

M’2

M2

0

M1 −3

−2

−1

0

1

2

M’1

3

M’3

On imagine la diversité des transformées possibles du plan complexe obtenues par les applications complexes. (2) Soit la fonction " 8 ! " 8 / ( ( . Quelle est l’image du réseau carré précédent par " ? Définition 2 : Une fonction complexe est uniforme ou univoque si à chaque correspond qu’une image 8 .

8 0 ne

Exemple 2 : (1) 8 8 est uniforme. (2) Etude de "

8

/ . On a : " 8 e ( e (

2

d’où : !

( L ( e .

?

Toute droite d’équation se transforme en un cercle de rayon e e . Aux points 7 , la fonction complexe " associe une unique image : e 7 e 7

y

(D)

y

g (θ+2κ π)

θ+2π θ+π θ O θ−2π

O x0

x

e x0=g(x0)

θ−4π

g n’est pas injective

cercle C(O,r=ex0 )

5.1. FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE

Posons ?

161

8 . Pour tout 8 , ? = ( + ( et e@ 8. Donc : eA & 8 e% et par identification des deux membres : eA et e& e% . Par conséquent : = ( et + ( 7 . Ainsi :

8 7

Définition 3 : Une fonction complexe qui associe à forme.

8 0, plusieurs images est dite multi-

Nous ne nous intéresserons dans ce cours, qu’aux seules fonctions uniformes. Intermède biographique : Leonhard EULER (1701-1783) Issu d’une famille protestante de Bâle, il se forme aux mathématiques auprès de J. Bernouilli, tout en étudiant la philosophie et la théologie afin de répondre au désir paternel. Sa carrière débute à l’université de Saint-Petersbourg comme professeur de mathématiques et responsable du département de géographie ! D’une fécondité inégalée dans l’histoire des mathématiques, auteur de 900 articles ou livres (et de 13 enfants), il est doté d’une prodigieuse mémoire, véritable encyclopédie mathématique à laquelle il se réfère sans cesse ; pendant les douze dernières années de sa vie, il est frappé de cécité et poursuit l’élaboration de son œuvre en la dictant à ses collaborateurs. De 1748 à 1770 il fait paraître trois traités d’analyse où le concept de fonction héritée de J. Bernouilli, définie comme “une expression analytique composée d’une variable, de nombres et de qualités constantes” joue un rôle central. Le lecteur peu averti de l’évolution des mathématiques appréciera l’écart entre cette approche descriptive de la notion de fonction et la conception opératoire attachée à la définition actuelle. L’immensité de sa production mathématique décourage toute entreprise de recension ; aussi nous contenterons nous d’en donner quelques traits saillants, en rappelant combien était peu rigoureuse l’analyse de ce temps, et celle d’Euler en particulier : – nombreux travaux sur les séries de fonctions ; – étude des équations différentielles linéaires ; – travaux variés en théorie des nombres, notamment démonstration du petit théorème de Fermat ; – participation à la controverse née du problème que pose la représentation des fonctions quelconques par des séries trigonométriques, ce problème représentatif des limites des mathématiques du dix-huitième siècle, intéressa d’Alembert, Daniel Bernouilli et Fourier, et contribua fortement au développement de l’analyse au siècle suivant ; – production en analyse complexe d’un certain nombre d’égalités classiques telles que l’expression des sinus et cosinus, et la très fameuse identité e ; – établissement des équations générales de l’hydrodynamique ; – travaux en astronomie sur les perturbations planétaires et la précession des équinoxes.


5.2 Fonctions holomorphes Leurs caractérisations et propriétés originales en font un outil incontournable pour la physique, la théorie du signal et la mécanique des fluides. Définition 4 : Une fonction complexe 8 - ! ( L ( d’un ouvert D dans , est - différentiable si ! ( et L ( sont différentiables en et ( . La fonction d’un ouvert de dans est dite -différentiable en 8 si :

8 8 8 8

/ /

existe et est unique, notée

8 , quelle que soit la façon dont z

vers . Une fonction -différentiable est -différentiable ; la réciproque est fausse.

tend

Une fonction est holomorphe en 8 , si elle est -différentiable dans un voisinage de 8 : 8 8 8 8 8 1 8 8 8 voisin de 8 . Exemple 3 : La fonction B holomorphe. On a : (a) si 8

8 B 8 < 8 est

- différentiable, mais non

( B 8 (8 B 8 (8 ( ((

8 , parallèlement à l’axe alors : (8 ( et

(b) si 8

/ /

B 8 (8 B 8 ( (8 (

8 , parallèlement à l’axe ( ( alors : (8 (( et

/ /

B 8 (8 B 8 (8

B 8 < 8 n’est holomorphe en aucun 8 de S . Attention ! Les fonctions réelles différentiables, ont des extensions holomorphes qui n’ont pas nécessairement les mêmes propriétés ; en voici deux exemples : e/ e / e – , tandis que 8 e e est non bornée.

– La fonction réelle e qui est non périodique, admet l’extension complexe e qui est périodique en ( dans . Nous allons rechercher des conditions d’holomorphie d’une fonction ; mais préalablement démontrons les relations classiques qui lient les opérateurs de dérivation réels et complexes. Soit la fonction

5 5

8

-différentiable :

5 58 5 58 5 58 5 58 5 58

5 5 5 5 58 5 58 58

5.2. FONCTIONS HOLOMORPHES

5 5(

163

5 58 5 58 58 5( 58 5(

On en déduit :

5 58

5 5 5 5(

5 5 5 58 58 5( et

5 58

5 5 5 5(

Théorème 1 (Caractérisation des fonctions holomorphes) Soit -différentiable :

holomorphe en 8 & Preuve étant -différentiable, # a : # #/ 8 #/ 8 .

5 5 58 58

D

, supposée

5 5 5 8 & 8 8 58 5 5(

#

#

# # ( ; compte-tenu des relations précédentes on

D’autre part l’holomorphie de en 8 s’exprime grâce à la définition 4, par :

8

(

d’où il vient grâce à

5 8 (8 1 (8 58

: # #/ 8 .

Cette dernière égalité s’écrit aussi : conditions de Cauchy exprimées plus loin.

#

#

8 # # 8

,

qui est équivalente aux

D’après cette caractérisation, une fonction complexe qui nécessite la variable 8 dans son explicitation, ne peut être holomorphe. C’est le cas des fonctions 3é 8 / / et 8 8 8 . E 1 Les fonctions suivantes sont-elles holomorphes et dans quels domaines ?

8 80 . 8 / Parmi les nombreuses caractérisations des fonctions holomorphes, les «conditions de Cauchy» sont les plus fondamentales. Théorème 2 (Conditions de Cauchy) Une fonction ! L est holomorphe dans un ouvert de si et seulement si ! et L sont différentiables dans et vérifient les relations dites conditions de Cauchy :

5! 5

5L 5(

,

5! 5(

5L 5

Preuve # # Par le théorème 1 : holomorphe en 8 & # 8 # 8 . Il suffit d’exprimer ( sous la forme ! ( L ( pour retrouver les conditions de Cauchy.


Soit (8

(( , l’accroissement de 8 ; ! et L étant différentiables, on a :

(

!

(

(

#2 #

#?

(

#2

(

#?

(

#

((

(

(( ( et étant des infiniment petits qui tendent vers , si (8 ) Soit ( (! (L L (

(

(

(

(

(

#2

#

((

(conditions de Cauchy) d’où :

(8

(

#? #

5! 5

#2

(

(

#

5L 5

(

#2

#? #

#

#?

#

#

#

(

(

((

((

(

( (( (( ( ((

(

Les deux derniers termes de l’égalité précédente convergent vers 0 quand (8 tend vers 0, puisque le module de leur somme est majoré par :

( (( ( (( ( ((

qui tend vers 0 quand (8 Ainsi :

5 58

/

.

(8

(

5! 5L 5 5

E 2 Soient les deux fonctions de la variable complexe

8 1 8 et " 8 8 .

(1) En admettant que les formules trigonométriques classiques restent vraies dans , exprimer 8 1 8 et " 8 8 en fonction de x et y où < 8 et ( 8 .

(2) Déterminez la dérivée de

8 .

(3) Pour quels points du plan complexe a-t-on

8 ?

E3 (1) Vérifier que les équations de Cauchy s’écrivent en coordonnées polaires :

5! 5 (2) Soit 8 morphe.

# (

5L 57

!

5L 5! 5 57

( L ( . Déterminer L ( pour que 8 soit holo-

Remarque : Nous considérons désormais des ouverts connexes de , appelés domaines de

.

5.2. FONCTIONS HOLOMORPHES

165

Définition 5 : Un domaine 0 est simplement connexe si son bord dans pourrait dire aussi que le domaine est "sans trou".

est connexe ; on

Exemple 4 : 0 et 0 sont simplement connexes. 0 n’est pas simplement connexe.

disque épointé de son centre

Caractérisation de l’holomorphie d’une fonction par l’harmonicité de ses parties réelle et imaginaire : Rappel : une fonction " de Laplace :

( de classe "

(

est dite harmonique si elle est solution de l’équation

5" 5" 5 5(

Les potentiels des champs scalaires de la physique sont représentés par des fonctions harmoniques. Théorème 3 (Relation entre harmonicité et holomorphie.) (1) Si est holomorphe dans un domaine 0, ses parties réelle et imaginaire, ! et L sont harmoniques. (2) Si la fonction réelle ! ( de classe est harmonique dans un domaine connexe 0, alors elle est la partie réelle d’une fonction holomorphe , déterminée à une constante additive près. Preuve (1) holomorphe

! et L différentiables et

d’où il vient (on admet que ! et L sont suivant) :

= = = ! = = = "

5! 5

5L 55(

5L 5L 5 5(

5! 5

5L 5! et 5( 5(

5L , 5

car est même analytique donc .(Cf le chapitre

5! 5(

> = = = ? (L (! = = = @

(2) Nous ferons la démonstration dans le cas où & est le disque ouvert

8 <.


Existence de :

5! 5! * ( * ( * * constante ; " ( ( 5 5( est définie pour tout ( ( de 0. La fonction ! étant , les intégrales sont définies

soit "

et l’on a :

5! 5! ( ( * * 5( 5 5! 5! 5! ( ( ( ( 5( 5( 5( 5! ( ( 5( 5! 5" ( ( ( ( . De même : 5( 5 La fonction ! " est donc de classe dans 0, et vérifie les conditions de Cauchy

5" ( ( 5

dans 0 : elle est donc holomorphe dans 0 et " est sa partie imaginaire.

Unicité de : Supposons et , holomorphes dans 0 telles que ! ! , alors . est holomorphe dans 0 de partie réelle nulle ; la partie imaginaire a ses deux dérivées partielles en et ( , nulles. Donc . est une constante car 0 est connexe. Définition 6 : Une fonction entière est une fonction holomorphe dans le plan complexe . Les polynômes à coefficients réels ou complexes, les exponentielles, les fonctions

sin

8 , cos 8 , sh 8 , ch 8 sont des fonctions entières.

E 4 Résolution de l’équation de Laplace avec deuxième membre :

5= 5(

(

5 5 80 5 5 (2) En déduire l’expression du gradient complexe : 4 et de son conjugué 5 5( 5 5 5 5 0 en fonction de et 4 5 5( 58 5 80 (3) Montrer que 4 ! ( L ( conditions de Cauchy (1) Exprimer les opérateurs

5 5 5 et en fonction de 5 5( 58

5= 5

et

(4) Application : transformer l’équation de Laplace en une équation complexe, la résoudre et expliciter la solution générale réelle = ( .

5.3. TRANSFORMATIONS CONFORMES Théorème 4

167

(Propriétés des fonctions holomorphes)

Les fonctions holomorphes du domaine 0 dans forment un espace vectoriel, et vérifient :

– –

holomorphe : 0 0 " Æ holomorphe de 0 dans " holomorphe : 0 holomorphe et partout holomorphe dans 0 différente de 0 dans 0

E 5 Nous allons montrer que les fonctions holomorphes permettent de générer facilement des familles de courbes orthogonales, utiles en mécanique des fluides et en électromagnétisme pour modéliser les lignes de courant et les équipotentielles. Soient deux familles de courbes :

( ! ( où

( L ( où

et L étant les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe donnée, à dérivée non nulle.

!

(1) Montrer que ces familles sont orthogonales donc que chaque courbe de coupe chaque courbe de sous un angle droit. On calculera

5! 5L

( , puis on en déduira pour chacune des familles de courbes. 5 5

[rappel : deux courbes sont orthogonales en leur point d’intersection si le produit des pentes des deux courbes en ce point est égal à ; exprimer d’abord ces pentes en fonction de ! et L.] (2) Déterminer les familles orthogonales courbes :

respectivement associées aux familles de

( ( 7 7

5.3 Transformations conformes Une application différentielle du domaine 0 de dans 0 est dite conforme en 8 , si étant données deux courbes continûment différentiables M et M se coupant en 8 selon l’angle , alors les courbes images M et M se coupent en 8 selon le même angle.

168 CHAPITRE 5. FONCTIONS HOLOMORPHES, TRANSFORMATIONS CONFORMES C2(x,y)

f(z0) f(C2(x,y)) C1(x,y) α

z0

α

f(C1(x,y)) f

O

O

Théorème 5 Soient deux courbes continûment différentiables M et M se coupant en 8 , selon un angle :

holomorphe en et 8

8

M

et M se coupent selon le même angle que M et M

&

Preuve Rappelons qu’une similitude dans , d’angle et de rapport I, appliquée à 8 , s’exprime par le produit de 8 par Ie* ; en effet si 8 e% , alors Ie* 8 Ie*% est l’image de 8 par une similitude. Or les seules applications linéaires de dans qui conservent les angles sont les similitudes ; donc l’application linéaire tangente 8 de en 8 , conservant localement les angles, est nécessairement une similitude de centre 8 . Dans la base canonique de matrice de similitude de la forme

, la matrice de

8

#2 # #2 #

#? # #? #

8 est donc une

L’identification des deux matrices conduit aux conditions de Cauchy, qui caractérisent l’holomorphie de en 8 . Pour démontrer l’implication inverse, il suffit de démontrer que la tangente en 8 d’une courbe du plan complexe passant par 8 , est transformée par la fonction holomorphe de dérivée non nulle en 8 , en une tangente à la courbe en 8 , ayant subie une rotation d’angle égal à " 8 .

Interprétation : les fonctions holomorphes sont les seules fonctions complexes qui conservent les angles entre deux courbes, en tout point d’intersection où leurs dérivées sont non nulles ; elles sont dites transformations conformes.

5.3. TRANSFORMATIONS CONFORMES

169

Voici quelques transformations conformes classiques : (a) les transformations linéaires 8 8 où , qui sont des compositions de rotations, homothéties et translations ; en effet, 8 s’écrit toujours e% 8 7 . On démontre que les seuls transformations complexes de sur lui-même sont de cette forme. (b) les puissances

8 8. 8

(c) les homographies . E 6 Soit

/

/ (

8 8 . où est un réel 2

de

.

" ( . où les complexes vérifient

:

(1) Vérifier que est la transformation conforme qui transforme le secteur angulaire d’angle 7 en le demi-plan 8 .

θ Ο

(2) Quelle est l’image d’une droite d’équation (

Ο

?

Définition 7 : Toute fonction holomorphe univoque dont la dérivée ne s’annule pas, d’un domaine 0 de dans le domaine 0 est dite représentation conforme. Exemple 5 : Les fonctions 8 . ( réel 2 ), sont des représentations conformes. Problème de la représentation conforme : étant donnés deux domaines 0 et 0 , existet’il toujours une représentation conforme de l’un dans l’autre ? Ce problème apparaît en physique, notamment en dynamique des fluides, lorsqu’il s’agit de résoudre les problèmes de Dirichlet ou de Neumann, dans lesquels on cherche la solution d’une équation de Laplace (* dans un domaine donné 0, où * (respectivement ## ) prennent des valeurs données à la frontière de 0. La méthode qui sera mise en œuvre lors de la résolution du problème de Dirichlet en fin de chapitre, consiste à déterminer la représentation conforme qui envoie 0 dans le demi-plan positif (ou dans le cercle unité), à résoudre ensuite le problème dans le domaine transformé pour enfin aboutir à la solution du problème initial par transformation inverse.


Riemann a résolu le problème dans le cas d’un domaine simplement connexe : Théorème 6 (Riemann) Pour tout domaine 0 simplement connexe et différent de , il existe une représentation conforme de 0 dans le disque ouvert (0,1). Preuve (Cf : Analyse réelle et complexe de Rudin) Conséquence immédiate du théorème : Entre deux domaines , simplement connexes différents de , il existe toujours une représentation conforme de l’un dans l’autre ; si les frontières sont des circuits simples (courbes fermées à une seule boucle ; (Cf : Définitions D9 et D11), alors la représentation conforme se prolonge par continuité aux ensembles et . Toutefois cette représentation est rarement explicitable, sauf dans le cas de figures géométriques simples (demi-plan, disque, couronnes) ou de polygones (cf Théorème 7 - de Schwarz-Christoffel). Intermède biographique : Bernhard RIEMANN (1826-1866) Elevé dans une famille de pasteur luthérien du royaume de Hanovre , il entreprit des études de philosophie et de théologie à Göttingen, avant de devenir le talentueux élève de Gauss, grand maître de ce temps, auquel il succédera. Il eut une vie courte mais produisit une des oeuvres les plus puissantes et les plus denses de l’histoire des mathématiques dans les domaines suivants : analyse réelle (définition de l’intégrale qui porte son nom), fonctions holomorphes, théorie des équations aux dérivées partielles, théorie des nombres premiers, géométrie différentielle et physique mathématique. Son œuvre débuta en 1851 par sa thèse “Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions complexes” dans laquelle il définit des surfaces d’un genre nouveau dont la représentation nécessite plusieurs plans superposés ; l’étude fine de ces objets le conduisit à mettre en place les premiers concepts de topologie. Cette œuvre riche et concise, comme le sont tous les écrits de Riemann, nous concerne au premier chef puisqu’elle contient aussi quelques grands résultats exposés dans ce chapitre (théorème de la représentation conforme, prolongement analytique, etc...). Dans son mémoire d’habilitation “Sur les hypothèses qui servent de base à la géométrie”, il définit des espaces courbes, par la donnée d’une métrique locale

"

qui est à la base des recherches futures en géométries non-euclidiennes et de leur application à la théorie de la relativité générale. Notons que c’est dans le cadre de ses travaux sur le problème de la représentation d’une fonction par une série trigonométrique, qu’il conçut l’intégrale qui porte aujourd’hui son nom. Les seules représentations conformes qui conservent sont des applications affines :

8 8

5.3. TRANSFORMATIONS CONFORMES

171

celles qui conservent le disque unité sont de la forme

8 e*

8 où et 8

0

.

Dans l’ensemble des transformations conformes, la transformation de Joukovski 8

8 8 et la transformation homographique 8 seront les plus utiles à l’ingénieur : 8 M8 Æ

E 7 Etude des homographies Elles sont de la forme :

8

8 parcourant " BÆ .

8 où , , M , Æ complexes fixés tels que Æ M , M8 Æ

Démontrer les résultats suivants : (1) (2)

est holomorphe et homéomorphe (i.e. : bijective, et continues). s’écrit sous la forme / expression d’une composition de transformations clas

siques du plan (similitude, translation, etc . . . ).

(3) En déduire que l’ensemble des homographies est un groupe pour l’opération de composition. (4)

conserve les cercles ; on suppose que les droites sont des cercles de rayon infini.

E 8 La transformation de Joukovski est fondamentale en aérodynamique car elle transforme une certaine classe de cercles en une classe de courbes fermées très proches des profils d’ailes d’avions. Soit : 8 8 8 est-elle injective ? Comment sont transformés les cercles < où < 2 , et leurs rayons ? Représenter l’image de < et de quelques rayons. ? 8 où ? Posons : 8 ? 8 (a) En déduire que est une application injective conforme du complémentaire de sur le complémentaire du segment de l’axe . (b) Démontrer que est une application conforme injective de l’extérieur du cercle M sur l’extérieur d’un arc de cercle d’extrémités . (c) Démontrer que le cercle M passant par et contenant a comme image le profil d’une aile d’avion (on établira que est un point de rebroussement en comparant les images de - et -).

(1) Sur quel domaine de , (2) (3)

Le théorème suivant explicite la transformation conforme qui envoie l’intérieur d’un polygone donné ayant un nombre fini de côtés dans le demi-plan positif :


B

cercle

B

*

B

Théorème 7 (Schwarz-Christoffel) Etant donné un polygone fermé de sommets d’angles respectifs intérieurs , il existe une transformation conforme qui envoie l’intérieur du polygone dans le demi-plan positif, et les points ))) sur les points ))) de l’axe : est définie par sa dérivée :

> 8 8

8 où est l’abscisse de , et > est une constante complexe.

Exemple 6 : Transformation d’un triangle en le demi-plan positif R

:

* O=P

5 58

si 8

,

>

> 8

*

8

*

R’

P’

en E19 du Chapitre 1.

8 >

;

pour 8

*

Q’

R’

O

1

8 donc >

Q

/

,

*

*

*

* >

.

f(z)=1 d’où l’on déduit : :

% % *: %

>

où % est la fonction gamma définie

5.4. INTÉGRALE D’UNE FONCTION COMPLEXE

173

5.4 Intégrale d’une fonction complexe Définition 8 : Une courbe est une application continue M d’un intervalle dans . On note % le graphe paramétré par la courbe M : ! M M qui définissent les coordonnées du point courant décrivant %. Un chemin dans est une courbe formée d’arcs simples continûment différentiables, tels que pour deux arcs simples consécutifs % et % l’extrémité de % coïncide avec l’origine de % . Un tel chemin est appelé réunion des courbes % et noté % .

Définition 9 : Un circuit ou lacet % est un chemin fermé. Nous considérerons désormais des circuits ne possèdant qu’une seule boucle (dits aussi d’indice 1). Définition 10 : Etant donné un circuit %, à tout 8 défini par :

noté F

8 %

% on associe son indice par rapport à %

8 8 8

L’indice F 8 % est un entier relatif constant dans tout sous-ensemble connexe de il s’identifie au nombre de tours faits par 8 M autour de 8 lorsque parcourt .

"% :

Définition 11 : Deux circuits % et % sont homotopes, dans un domaine 0, si l’on peut faire coïncider chacun d’eux avec l’autre, par déformation continue dans 0 : plus précisément, les circuits % % paramétrés par le segment I, qu’on prendra égal à vérifient les relations . % , . % , la condition de fermeture du circuit se traduit par . . où . est une application continue de dans 0.

Γ2 Γ3

Γ1

Γ4

En pratique, on vérifie visuellement la propriété d’homotopie : n’est pas homotope à % et % , mais est homotope à % .

%

et

%

sont homotopes ;

%


Définition 12 :

(Intégrale complexe)

Soit 8 définie et continue dans le domaine 0, et % un chemin paramétré par la courbe définie sur , contenu dans 0 et tel que M et M . Alors on pose :

/

Attention ! /

8 8

M

M M

8 8 n’a aucun sens, si n’est pas précisé le chemin % joignant 8 à 8

.

Notation : Si % est parcouru dans le sens trigonométrique, on notera % ; s’il l’est dans le sens inverse, on notera % .

Théorème 8 Soit

8 8

8 ! ( L (

Exemple 7 : Soient

/

/

! L (

:

! ( L

! M L M

8 80 et % définie par 8

L M ! M

: calculons l’intégrale

8 8, le long de %.

M M 80 ( d’où ! L ; à 8 est associé , et à 8 d’où

( ( ( le long de la parabole % paramétrée par M M , avec et . E 9 Calculer

Théorème 9 L’intégrale complexe

8 8

est indépendante du paramétrage de %, au

signe près dépendant du sens de parcours de % induit par le paramétrage. Preuve Si M et M sont deux paramétrages de %, alors nécessairement il existe une bijection B différentiable à dérivée continue telle que : M M Æ B.

M

M

%

M

M

%

5.4. INTÉGRALE D’UNE FONCTION COMPLEXE

175

On a :

M M

M M

M B M B B

8 8

Théorème 10 (Propriétés de l’intégrale complexe)

(1) (2) (3)

(4)

" 8

8

8 8

" 8.

8.

8.

8 8

8 pour tout .

8 8

E 10

8

8

Exemple 8 : Soit à .

(

(

(

(

et % le segment qui joint

On considère la fonction complexe : (a) Calculer

(

(

( (

8 3 80.

8 8 où % % % % % est décrit par : i

Y3

Y4

Y2

Y1

1

( (


Théorème 11 Si est continue dans 0, si % est un chemin dans 0, alors :

8 8

où est l’abscisse curviligne de 8 parcourant %. Preuve

M M

M M

8

Théorème 12 Sous les mêmes hypothèses, on a :

8 8

8

où

est la longueur de %.

5.5 Le théorème de Cauchy et ses corollaires Ce théorème est au cœur de la théorie des fonctions holomorphes ; de lui découle la plupart des résultats exposés dans ce chapitre et le suivant.

Théorème 13 (Théorème de Cauchy) Soit un circuit % inclus dans un domaine 0 simplement connexe et holomorphe dans 0 :

8 8

Preuve Nous ferons la démonstration sous l’hypothèse supplémentaire : % est sans point double (! ( et L ( ont des dérivées continues).

Par le Théorème 8 :

8 8

! L (

! ( L

Appliquons la formule de Riemann à chacune des intégrales :

! L (

! L (

5L 5! 5 5(

(

5! 5L

( 5 5(

où ( est le domaine simplement connexe ayant % comme frontière : les conditions de Cauchy permettent de conclure.

Remarque : Le résultat

i.

%

8 8 reste vrai si :

a des points doubles (il suffit de décomposer % en circuits) ;

5.5. LE THÉORÈME DE CAUCHY ET SES COROLLAIRES

177

ii. Si 0 n’est pas simplement connexe. Il suffit de construire 0 simplement connexe contenu dans 0 et incluant %, à condition que ce dernier entoure un domaine simplement connexe.

trou

Γ

E 11

Démonstration élégante du théorème de Cauchy, à l’aide de la formule de Green-

5+ 5= ( . 5 5( 5L 5! 5L 5 5! Démontrer que . (Voir le début du paragraphe 5.2) 5 5( 5( 5 5 80 5

80 5 8 et conclure. (0 est un domaine simplement En déduire que 8 8 5 80 connexe de frontière %, et 8 5 8 5 ( est le produit extérieur de 8 par 8 ).

Riemann :

= + (

(1) (2)

Théorème 14 (Indépendance du chemin d’intégration) Soient holomorphe dans un domaine 0, A et B deux points quelconques de 0, et % et % deux chemins homotopes distincts tous deux d’origine A et d’extrémité B, parcourus de vers :

Preuve

%

8 8

8 8

% forme un circuit auquel on applique le théorème de Cauchy.

8 8

8 8

8 8

8 8

B A D

Voici une autre caracrtérisation des fonctions holomorphes :

8 8

8 8


Théorème 15 (Réciproque du théorème de Cauchy, due à Morera) Si la fonction , continue dans un domaine 0, vérifie simple

contenue dans 0, alors

8 8 pour toute courbe fermée

8 est holomorphe dans 0.

Le théorème suivant, équivalent au théorème de Cauchy, affirme l’invariance de l’intégrale d’une fonction holomorphe lorsque le chemin d’intégration varie continûment à l’intérieur du domaine d’holomorphie en s’appuyant sur ses extrêmités fixes : c’est le théorème central de la théorie de l’intégration des fonctions holomorphes.

Théorème 16 (Invariance de l’intégrale par déformation continue du contour) Soient deux circuits % et % homotopes dans un domaine 0 dans lequel 8 est holomorphe :

8 8

8 8

Si de plus, 0 est simplement connexe alors les intégrales sont nulles. Preuve

Γ 1 Γ2

M1

M2

On crée le circuit % A A

8 8

7 7

8 8

% A A sur lequel l’intégrale de 8 est nulle, d’où :

8 8

7 7

8 8

8 8

8 8

De façon générale si est holomorphe dans un ouvert non simplement connexe, donc percé de trous, on se ramène au théorème suivant. Théorème 17 Soit holomorphe dans 0 ouvert, percé des trous D , D ,..., D ; considérons le circuit % contenu dans 0 et contenant les D, et les circuits % entourant les D , on a alors :

8 8

8 8


179

Preuve Considérons par exemple le cas de trois trous, grâce aux arcs AB, CD et EF, on crée un circuit qui parcourt % dans le sens positif et les M dans le sens négatif d’où le résultat par application du théorème précédent. D

Γ

E F

γ

3

γ

γ 1

2

D B

C A

Remarque : Les circuits % considérés seront simples (ils ne font qu’un tour). Théorème 18 (Formules intégrales de Cauchy) Soit holomorphe dans un domaine simplement connexe

0,

%

un circuit inclus dans

0 sans point double : alors, pour tout 8 à l’intérieur du domaine délimité par

8

8

8 8 8

Plus généralement : entier positif,

8

d’où on déduit que f est indéfiniment dérivable.

$

%

:

8

8 8 8

Interprétation : la valeur d’une fonction holomorphe en tout point 8 intérieur au circuit est complètement déterminée par ses valeurs sur le circuit.

%,

Le mathématicien J. Dieudonné parle joliment de “solidarité” entre les valeurs d’une fonction holomorphe. Preuve On choisit un cercle Ecrivons :

centré en 8 de rayon et intérieur à %

8 8 ) 8 avec ) 8 - si 8 8 ..

8 ) 8 8 ) 8

8 8

8 L’intégrale 8 8 8 8 8 8 0 Calcul de : posons 8 8

%

7


) 8 étant holomorphe sur 0 " 8 , peut être choisi aussi petit que l’on veut. 8 8 Par continuité de , - 2 $. 2 8 8 . ) 8 - ; comme 8 8 , pour - fixé, on choisira .. ' -, vrai pour tout - implique 8 . L’établissement de l’expression de 8 est de structure analogue Calcul de ' :

E 12 Soit le chemin % de paramétrage M ;

M E 13

1 8

8. 8 Soit % le circuit paramétré par : M ( et 2 ), avec .

M

.

Calculer

(1) Identifier la courbe %. (2) Calculer

8 et en déduire

8

.

Le résultat suivant annonce le théorème de la moyenne : E 14 Soient !

8 un polynôme quelconque de degré , et un entier positif et C

(1) Montrer que :

.

! C !

.

.

(2) Rapprocher le résultat obtenu lorsque tend vers l’infini, du théorème de Cauchy. Théorème 19 (de la valeur moyenne, dû à Gauss ) Soit 8 holomorphe dans le disque 8 < alors pour tout

8

<,

8 % 7

Interprétation : la valeur d’une fonction holomorphe en un point 8 est égale à la moyenne de sur un cercle centré en 8 , contenu dans le domaine d’holomorphie ; ce résultat complète la première formule de Cauchy (Théorème 18). Les fonctions harmoniques dans un ouvert de , sont caractérisées par la propriété de la moyenne : Théorème 20 Si une fonction continue dans un ouvert = de , vérifie la propriété de la valeur moyenne, pour tout disque harmonique dans = .

8 < = 8

8
est


181

Théorème 21 (Développement d’une fonction holomorphe en série entière) Si holomorphe dans le domaine simplement connexe 0, alors :

8

8 8 pour tout 8 0 et, pour tout ,

8

8 où 8 8

est le cercle de centre 8 , inclus dans 0, parcouru dans le sens positif.

Preuve

8 8

8 8 8 $

puisque

Remarque : Le cœfficient

8 . $

(grâce à la formule de Cauchy)

8

8 8 8

ne dépend pas du rayon du cercle

,

Application des formules intégrales de Cauchy au calcul d’intégrale.

8

;

8 où < 2 s’écrit :

8

;

8

8

> ? ; 8 = ; 8 = = =

8 @ 8

=

8 = = =

8

;

E 15 Montrer que

E 16 Calculer l’intégrale

8

/

e/

8

8 8

si 2 .

8 où % est un circuit, dans les deux cas :

(a) 0 est à l’intérieur de % et 1 à l’extérieur ; (b) 1 est à l’intérieur de % et 0 à l’extérieur. [Indication : On utilisera la formule intégrale de Cauchy. ] Théorème 22 (Théorème du module maximum) Si 8 est holomorphe à l’intérieur 0 d’une courbe fermée simple , non constante et continue dans 0, alors 8 atteint son maximum sur .


Théorème 23 (Principe du maximum) Si une fonction holomorphe 8 dans un domaine 0 est telle que relatif en un point de 0, alors elle est constante dans 0.

8 atteint un maximum

E 17 Application du théorème du module maximum. Déterminer le maximum de 8

8 dans 8 .

Intermède biographique : Augustin-Louis CAUCHY ( 1789-1857) Fils d’un avocat au parlement de Normandie, élève de l’Ecole Polytechnique dès l’âge de seize ans, puis des Ponts et Chaussées, il entretint très tôt une correspondance mathématique avec deux de ses professeurs de mathématiques : Lagrange et Laplace. A vingt-sept ans, il fut nommé professeur à Polytechnique et au Collège de France. Cauchy est un légitimiste catholique fervent qui n’accepta pas l’accession de Louis-Philippe au pouvoir et s’exila à Turin, où une chaire de physique mathématique fut créée pour lui. De retour à Paris il retrouva son poste à Polytechnique qu’il conservera jusqu’à sa mort. “Maître incontesté de l’analyse de la première moitié du dix-neuvième siècle” d’après J.Dieudonné, il est l’auteur de sept cents notes et articles, touchant à la plupart des domaines mathématiques de son temps, à commencer par l’analyse réelle héritée des recherches prolifiques et souvent confuses du dix-huitième siècle, qu’il établit sur des bases rigoureuses ; la théorie des équations différentielles à laquelle il donne les premiers théorèmes d’existence et d’unicité, la théorie des fonctions complexes dont il fut le créateur inspiré. A cette liste s’ajoutent de remarquables travaux en théorie des groupes et en théorie des déterminants, ainsi que des mémoires concernant l’élasticité et l’équilibre des tiges et plaques dont il dégagea les modèles mathématiques, avant de s’attaquer à la toute nouvelle théorie des ondes due à Fresnel. Il procéda à un véritable assainissement de l’analyse de son temps : il est le premier à concevoir une notion de limite dégagée de sa gangue géométrique et à définir rigoureusement le concept de fonction continue, ainsi que le concept d’intégrale d’une fonction continue. Son œuvre de fondation de l’analyse sera poursuivie et parachevée par les mathématiciens qui lui succédèrent dont le plus remarquable est Weierstrass.

5.6 Résolution du problème de Dirichlet Ce problème est central dans toutes les branches de la physique (mécanique des fluides, théorie de la chaleur, électromagnétisme), où il s’agit de déterminer un potentiel inconnu à l’intérieur d’un domaine, mais connu sur sa frontière. Soit un domaine simplement connexe 0 dont la frontière 5 0 est un circuit (chemin fermé par morceaux) : il s’agit de déterminer une fonction 8 harmonique dans 0 et continue 0 , égale sur 5 0 à une fonction donnée " 8 . dans 0

5.6. RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET

183 #

Ce problème sera résolu en 3 étapes, établissant successivement : (1) l’unicité de la solution ; (2) la solution dans le cas où 0 est le disque < ; (3) la construction de la solution générale par transformation conforme. (1) Supposons deux solutions et , alors - est aussi solution, nulle sur 5 0. Si atteint son ou son dans 0, alors le principe de l’optimum entraîne que 0. est constante dans 0, et par continuité dans 0 0. Or sur 5 0 implique dans 0 (2) Construisons la fonction 8 holomorphe dans < dont la partie réelle est égale à " sur <. Si 8 < 8 e% < et par la formule intégrale de Cauchy (Théorème 18) :

*

* (*) ; * 8

* < < où

* ; 8 ; * 8 /

8 e%

En soustrayant (**) à (*), il vient :

8

est extérieur au cercle

<

8 ;/

* * * 8 * ;/

; <

< e

) (Formule de Poisson)

e% < < 7 ) La fonction réelle 7 solution du problème est donc égale à la partie réelle de 8 < " < )

) soit : < < 7 ) où " ) est la fonction définie sur <.

(3) D’après le théorème de Riemann (Théorème 6), il existe une représentation conforme ) 0 ! ; le théorème de Carathéodory, non mentionné dans ce cours, garantit le prolongement par continuité de ) aux frontières respectives 5 0 et . Ainsi, si " est continue sur 5 0, la fonction " Æ ) @ est définie sur et

définit le prolongement harmonique dans . Reste à montrer que @ Æ ) est harmonique dans 0, grâce au théorème de conservation de l’harmonicité par transformation conforme qui affirme que : si ) est une représentation conforme de 0 dans 0 et @ est harmonique dans 0 alors @ Æ ) est harmonique dans 0. [Démonstration facile mais calculatoire]


Remarque : La solution du problème de Dirichlet dans le cas du domaine défini par le demiplan positif admet aussi une forme explicite : Soit "

connue, alors pour tout ( du demi-plan positif : (

(

(" * (

* " ( 2 * (

Le lecteur aura sans doute remarqué que l’équation de Laplace, équation aux dérivées partielles, linéaire à coefficients constants, a une solution égale au produit de convolution de la fonction de contrôle " par une fonction caractéristique du domaine. Ce résultat fondamental abordé dans le chapitre “Mesure et Intégration”, est développé dans celui consacré aux distributions. E 18 (1) En vous inspirant fortement de la construction de la formule de Poisson pour le cercle, en choisissant le domaine ci-dessous, puis en faisant tendre < vers , démontrer la formule de Poisson pour le demi-plan supérieur.

Γ

−R

0

R

(2) Application à la répartition des températures en état permanent. Supposons la température " connue en un point de l’axe réel. Calculer ( si " . Mathématiques fondamentales/Mathématiques appliquées. L’histoire des sciences montre que les théories mathématiques qui paraissaient les moins praticables hors de leur champ d’études, ont eu un jour ou l’autre un rapport d’application avec les sciences de la nature ou de l’ingénieur. Tel est le cas parmi bien d’autres, de la théorie des nombres dédiée à la seule étude des nombres entiers positifs, mais sans laquelle les théories du codage et de la cryptographie n’auraient pu connaître leur fulgurant et récent développement. Il semble donc qu’il n’y ait pas de ligne de démarcation nette, entre ce qu’il encore convenu d’appeler les mathématiques appliquées (certains auteurs parlent très justement de mathématiques orientées vers les applications) et les mathématiques fondamentales, ces dernières étant destinées à intervenir un jour ou l’autre dans un champ pratique. Parlant de mathématiques appliquées, on ne peut faire l’économie d’une tentative de définition du concept de modèle. En langue latine, modulus qui a donné modèle en français, désigne la maquette utilisée par les architectes à des fins de présentation d’un projet. De nos jours, le mécanicien des fluides ou l’aérodynamicien attendent du comportement de la maquette qu’ils placent dans le bassin de carène ou la soufflerie, certains résultats que les principes de similitude

5.7. THÈME D’ÉTUDE : APPLICATION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES

185

physique leur permettront d’interpréter et d’appliquer au prototype réel ; point n’est besoin de souligner l’évidence du gain expérimental et méthodologique. Le modèle mathématique d’un phénomène physique ou d’un système mis en oeuvre en sciences de l’ingénieur, s’apparente par bien des points à la maquette. Il s’agit cette fois d’une représentation mathématique volontairement simplifiée d’un phénomène ou d’un système, sous forme équationnelle ou fonctionnelle, ayant le plus souvent une faible valeur explicative, destinée à en donner une description partielle ou en déduire d’éventuelles prédictions. Un modèle mathématique est toujours provisoire ; Bachelard le définissait comme étant "un moment technique destiné à son propre démantèlement". Remarquons que la polyvalence d’un modèle donné, sa capacité à représenter des phénomènes et des systèmes issus de domaines très différents, permet de développer entre eux de fécondes analogies, par la mise en évidence de similitudes structurelles ou fonctionnelles. Ainsi, une même fonction peut rendre compte d’un processus biologique ou de l’évolution d’un paramètre économique. Pour de nombreux scientifiques non mathématiciens ou d’ingénieurs en recherche et développement, il serait probablement plus facile d’apprendre les mathématiques que d’apprendre à s’en passer, tellement est aujourd’hui prégnante leur nécessité pour la modélisation et l’aide à la décision.

5.7 Thème d’étude : application à la mécanique des fluides Considérons l’écoulement d’un fluide bi-dimensionnel : – homogène : de caractérisation identique dans tous les plans xOy parallèles. K + + en un point quelconque ne dépend que des – stationnaire : la vitesse + coordonnées ( , et non du temps. – irrotationnel :

5) + 5(

le champ de vitesse dérive d’un potentiel

– incompressible : div

+K

ou encore :

5+ 5+ 5 5(

) ( ; +

5) 5

et

– non visqueux : il n’y a aucune friction sur les parois et les forces de pression qui s’y exercent y sont perpendiculaires. (a) Montrer que ) est harmonique et qu’en conséquence il existe une fonction holomorphe & 8 de la forme ) ( , ( dite potentiel complexe. Calculer

& et en déduire la vitesse complexe + + .

8

(b) D’après les propriétés des familles de courbes orthogonales établies dans l’exercice E6, on sait définir les ensembles fonctionnels :

C

) ( - famille des équipotentielles du flux , ( - famille des lignes de courant


Considérons désormais le potentiel complexe &

8 + 8 / où est une constante réelle

(b.1) Exprimer & 8 en coordonnées polaires et en déduire ) 7 et , Il s’agit maintenant de trouver la forme de l’obstacle plongé dans le fluide.

7

(b.2) Quel est l’ensemble des points du plan en lesquels la vitesse d’écoulement est nulle ? Sous l’hypothèse que seuls les points du contour de l’obstacle sont associés à la ligne de courant , 7 , en déduire l’équation du dit obstacle. (b.3) Etudier le comportement de + + dans les cas suivants : – grand et ( quelconque ; – (comment évoluent les vitesses sur le bord de l’obstacle ?) ; – ( grand et quelconque. (b.4) Conclure à l’aide d’un dessin représentant l’obstacle ainsi que quelques lignes de courant et équipotentielles. (c) On se propose d’étudier des structures d’écoulement en présence de puits (points où l’écoulement converge et disparaît) et de sources (points à partir desquels l’écoulement diverge). (c.1) Soit une source & placée à l’origine, de potentiel complexe &6 8 8 avec 2 : une telle source est dite de puissance L’hypothèse d’incompressibilité est-elle vérifiée ? Déterminez + et + ainsi que les équations des équipotentielles et des lignes de courant. Représentez quelques lignes équipotentielles et les lignes de courant. (c.2) Déterminez par analogie avec le potentiel d’une source, le potentiel &2 de puissance placé à l’origine. Faites la même étude qu’en (c.1)

8 d’un puits

(c.3) Généralisation au cas d’une source et d’un puits de même puissance respectivement placés en et , sachant que la somme des deux potentiels complexes est bien le potentiel complexe &6 2 8 d’un nouvel écoulement ( résultat qui sera établi en mécaniques des fluides ). Explicitez &6 2 8 (on posera 8 I % et 8 I % ). Déterminer l’équation des lignes de courant et des équipotentielles ? A quelles courbes correspondent-elles ? Remarquez la profonde analogie entre les modèles élémentaires de la mécanique des fluides et ceux de l’électromagnétisme classique. (d) L’étudiant motivé à la fois par l’analyse complexe et par la mécanique des fluides (il n’est pas interdit de rêver !) pourra prolonger cette étude au cas d’un écoulement vérifiant les mêmes hypothèses, à l’intérieur d’un angle de valeur . (Cf : E7 de ce Chapitre). En pratique, les prévisions données par le modèle théorique et les résultats expérimentaux coïncident d’autant mieux que est grand. Pour un exposé complet et pédagogique de la modélisation des écoulements irrotationnels des fluides parfaits incompressibles, le lecteur est invité à se reporter au chapitre 6 de l’ouvrage : "Mécanique des Fluides" de P. Chassaing (Cépaduès Editions).

5.7. THÈME D’ÉTUDE : APPLICATION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES

TRANSFORMATION CONFORME

SOUS−ENSEMBLE

IMAGE

y

f(z) = z

A π angle − m

B

m

m> = 1/2 réel

O D=1 ANGLE

C

B

D

E

C A’ B’

O’

D’ E’

E

DEMI−PLAN POSITIF

A (π z / a) f(z) = e

F

A’ B’

BANDE INFINIE

C’

D’ E’ F’

DEMI−PLAN POSITIF

D

O G r

A R

f(z) = log z

C

E’ D’ C’

G’ OQ

B’ A’

B

RECTANGLE

COURONNE

B

A

C

D

BANDE SEMI−INFINIE

f(z) = ch ( z / a )

A’ B’

D’ E’ Φ ’

DEMI−PLAN POSITIF

F IG . 5.1 – Quelques transformations conformes classiques

187


5.8 Corrigés des exercices E1 (1)

(8

(

(( ( ((

(

si

si

8 ( 8 ((

( (

d’où deux limites différentes, quand (8 tend vers de deux façons différentes. Donc

8

8 est non holomorphe. Plus facilement, remarquons que :

Donc n’est pas holomorphe dans .

(2)

. 8 est holomorphe dans " .

(1)

8 8 ( ( (

5 58

.

E2

( ch( ( sh(

or (*)

" 8

donc

8 ch( sh(

( ( ( ch( sh( e e ch( pour établir (*) : ( e e e e e e e (

(2)

8 8 .

(3)

8 ch( sh( et sh( et

ou

ch( ( et

e sh(

et sh(

E3

7 ( 7. 5! 5! 5! 5! 5 5! 5( 7 7) 57 5 57 5( 57 5( 5 5L 5! 5L 5L 5 5L 5( 5L 7 7 5 5 5 5( 5 5 5( 5(

(1)

7

5! 5! 7 5 57


189

Démonstration analogue pour la deuxième formule.

5L 5! ( ( d’où L ( ( B ( 5( 5 5L 5! & ( B ( ( B ( ( ( Or 5( 5 et L ( ( ( .

(2)

E5 (1)

!

5! 5

5! (

( d’où : 5(

2

#2 # #2 #

(

L 5L 5L ( de façon identique :

5 5(

où

(

2

est la pente de la courbe !

Le produit des pentes :

(

2

(

#? # #? #

?

( en un point ( .

#2 #

?

chy) d’où l’orthogonalité des familles de courbes.

(2)

#? #

#2 #? # #

(Formule de Cau-

est la famille des hyperboles d’axes et ( ( ; les conditions de Cauchy sont #2 # #2 #

( #? " # L ( L ( ( #? # L ( . (

:

La famille de courbes orthogonales à est définie par ( ( réel, l’ensemble des hyperboles d’axes égaux aux axes bissecteurs des quarts de plan : y

x


E6 (1) 8 est une transformation conforme (tous les polynômes en 8 , quels que soient leurs degrés sont des fonctions holomorphes) 8 secteur angulaire d’angle . 8 e% avec 7 . 8 . . e.% avec 7 . (2) La demi-droite des abcisses positives , formé des points 8 I , se transforme en elle-même. Les points 8 I e du bord haut de l’angle se transforment en qui décrivent la demi-droite des abcisses négatives.

Les points

8 à l’intérieur de l’angle, 8

8 I. e% E7 (1)

où 7 , se transforment en qui décrivent le demi-plan strictement positif.

8 est holomorphe en tout 8

I e

8 3. e 3.

Æ . M

8 a la même expression analytique que la fonction réelle M Æ continue et d’inverse continue : 8 est un homéomorphisme.

qui est bijective,

(2) On décompose

8 en transformations géométriques simples : *B M Æ 8 8 *: 8 BÆ *: BÆ en effet M8 Æ M 8 BÆ M 8 BÆ 8 BÆ M M 8 BÆ M > 8 BÆ Æ - 5 6.( > $ 5 > $ 5 donc : 8 8 Æ Æ Æ M 8B 8B 8B M *B//Æ: 8 (3) Æ 8 qui une fois développée s’écrit sous la forme : M8 Æ M *B//Æ: Æ

(4) Les translations et similitudes conservent les cercles ; prouvons que les inversions conservent les cercles qui ne passent pas par l’origine. Démontrons que l’image d’un cercle d’équation 8 8 , par l’inversion 8 ! / , est un cercle : l’image du cercle 8 8 8 par est / 8 8 . Posons ? / : est-ce que ? @ 8 est un cercle ? Tout calcul fait, on parvient à ? / ?8 ? 8 / qui est bien

/ l’équation du cercle / / . Si le cercle passe par l’origine, 8 et l’équation se réduit à l’équation d’une droite.


E8 (1)

8

8

191

existe si 8

,.

Etude de l’injectivité : 8 8 & 8 8 /)/ 8 8 si 8 8 : donc est injective dans tout domaine 0 ne contenant aucun couple 8 8 tel que 8 8 . Un tel domaine est constitué par exemple par l’extérieur du disque unité. (2) Soit 8 <e% < 2 d’image 8 égale à < ; 7 < ; 7. Lorsque 8 parcourt le cercle D <, 8 parcourt l’ellipse de demi-axes < ; et < ; . (3) 8 est un point critique ; considérons les points du cercle ! - et ! - voisins de 8 . ! . - - et ! . - - donc ! ! - , donc est un point de rebroussement de seconde espèce.

E9

E11 (1) Dans E2 :

remplaçons par ! L : 5 5! 5L 5! 5L 5 80 5 5( 5( 5

# # # # / # # ,

(2) Appliquons Green-Riemann aux parties réelle et imaginaire de

8 8

8 :

L ! ( ! #? L ( #? #2 #2 ## # # # 5 (

5 ( Or le produit extérieur 80 5 8 5 ( ( 5 5 ( # 0 5 8 . d’où # / 8

# /

E12 Les deux singularités et sont à l’intérieur du cercle (1) Formule intégrale de Cauchy :

.

/ /

8

. / /

8

Deux solutions :


(2) Par le thérème des résidus :

< < 1 1

E13 (1) et ( donc et % est une ellipse centrée d’axes de longueurs respectives et . (2) (/ (Formule intégrale de Cauchy) /

d’où la valeur de l’intégrale :

E14 (1) Soit !

8

! C

8 , donc ! C

C

.

7

7

7

.

7 7

7 7 7

.

.

e

!

.

est égal à 0 comme somme des racines complexes de l’unité sur le cercle

(2)

.

.

! C

E15 Décomposons :

Cauchy) D’où :

C(0,1)

! 8 8 !

/

8 8 8 / /

8

8

8 8 8 8

D’où :

(Th. de


193

E17 (1) 1 (2) e

E18

8 8 est analytique dans 8 donc 8 prend son maximum sur le cercle Posons 8 % : 8 8 % % 7 7 7 7

8 8

8 8

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

8

Donc 8 8

8

3 7

7

7 8 #

impossible

E19 (1) Formule intégrale de Cauchy :

8 à l’intérieur de %

8

*

* et *8

*

* car 8 est extérieur à %. Par soustraction des deux intégrales : 8 * 8 0 E * * ; E

;

rieur.

J

E

* 8 * 80

où 8

J E et %

Lorsque < 6 , la dernière intégrale tend vers 0 et Remplaçons

8 par ( et " par , on obtient : (

(2) Si "

8

, ( $

( *

demi cercle supé-

E J E

.

(" *

* *

Thème d’étude : application à la mécanique des fluides

5) 5) ) harmonique 5 5( 5) 5 / 5) 5/ et Il existe donc une fonction / ( vérifiant 5 5( 5( 5 La fonction complexe & 8 ) ( / ( vérifie les conditions de Cauchy et est donc (a)

irrotationalité incompressibilté


holomorphe.

5 / 5) 5)

&

& 5) + + d’où : + +

8 5 5 5 5(

8 % + 7 + 7 (b.1) & 8 + %

%

%

Les lignes de courant sont déterminées par l’équation : / 7 variant dans

8 + 8 7 ,

(b.2) +

+

&

+

7

+

7 (*)

Ces deux points sont dits points d’arrêts. La ligne de courant passant par , coïncide avec la frontière de l’obstacle (résultat classique de mécanique des fluides) : or,

. grand

8 / +

si 7

7

+

7 est égale à sur le cercle

grand et 7 très proche de 0 ou de

( grand, quelconque &

/

+

+

ou alors +

grand et 7 proche de

+ . + .

ou de

& 8 / +

+ 7 / +

+ 7 + 7 + , si 7 ou alors + +, + .


195

(la vitesse du fluide au voisinage de l’axe des éloignés de 0 est égale à + ) y

(c.1) &6

7

7

Equation des équipotentielles : les cercles concentriques de centre 0. Equation des lignes de courant : 7 de 0.

+

&6

8 % 7

2

les équipotentielles sont

les lignes de courant sont les demi-droites issues

x

0

8 8

7

+

+

7

+

Module de +

+

+ +

O

+


7

7

+ (c.2) &2 8 8 + mêmes équipotentielles, mêmes lignes de courant, seul le champ des vitesses est inversé. (c.3)

8 &2 8 8 8 % % I I I 7 7 I 2 ( Posons I ( et 7 arctg 2 ( I ( et 7 arctg A ( *

L’équation des équipotentielles est de la forme : qui est pour ( diverses valeurs de l’équation des cercles de centre coth 0 et de rayon sh 0 &6 2

8

&6

(Il suffit de prendre le carré des deux membres, de rassembler les termes non constants et d’effectuer un changement de variables faisant apparaître l’équation du cercle) Les lignes de courant forment ainsi une famille de cercles (dont les centres sont sur ( ( ), orthogonaux aux cercles équipotentiels.

8 8 7

La vitesse a un module égal à :

LIGNES DE COURANT y

EQUIPOTENTIELLES

−a

a

x

Chapitre 6 Séries entières et de Laurent ; calcul des résidus Ce chapitre traite du développement en séries, des fonctions holomorphes dans des domaines simplement connexes, et de leur extension à des domaines connexes plus généraux, comme le sont, par exemple, les domaines d’holomorphie des fonctions possédant des singularités. Deux applications puissantes y sont développées : la transformation en adaptée au traitement des signaux échantillonnés, et la méthode des résidus qui est non seulement utile, mais souvent incontournable pour expliciter la forme analytique exacte de certaines intégrales paramétrées.

6.1 Rappels sur les séries de fonctions d’une variable complexe Désignons par &

8

* 8 la série partielle, de terme général * 8 .

Définition 1 : La série Ë Þ converge ponctuellement dans le domaine 0 vers la somme

& 8

* 8 si :

8 0 - 2 $4 - 8 2 4 & 8 & 8 -

Définition 2 : La série &

8 converge uniformément vers la somme & 8 dans 0, si :

- 2 $4 - 2 4 & 8 & 8 /

CHAPITRE 6. SÉRIES ENTIÈRES ET DE LAURENT ; CALCUL DES RÉSIDUS

198

Définition 3 : La série & converge dans 0 :

8 est absolument convergente dans 0, si la série de terme * 8

8 0 - 2 $4 - 8 2 4

* 8 -

Définition 4 :

*

La série & 8 est normalement convergente dans * 8 converge :

/

- 2 $4 - 2 4

0, si la série de terme

*

On rappelle que la convergence normale d’une série entraîne sa convergence uniforme et absolue, et donc sa convergence simple. Rappel des critères de convergence des séries numériques. Théorème 1 (Critères de convergence des séries numériques) La série

* converge si est vérifié l’un des critères suivants :

* * 2

Notons que si

,

*

* *

(d’Alembert)

(Cauchy)

2

(Raabe)

il est impossible de conclure : il faut alors travailler au cas par cas.

Exemple 1 : Etude de la série de terme *

8 8 8

(a) La série converge pour 8 : en effet, &

.

8 8 8 , donc & 8 8.

(b) La série converge absolument dans le même domaine :

* 8 8 8 8

8 8 8

qui converge vers

8 8 quand croît vers . 8

8 8

6.1. RAPPELS SUR LES SÉRIES DE FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE 199

(c) La série ne converge pas uniformément dans le domaine : 8 8 car / & 8 8 / 8 , mais converge uniformément dans tout domaine compact inclus dans le disque ouvert 8 8 .

Théorème 2 (Critère de Weierstrass) Si, pour tout 8 0, * 8 , où

est indépendant de z et si

* 8 est uniformément (et donc absolument) convergente dans 0.

converge, alors

Exemple 2 : Application du critère de Weierstrass. (a)

8 * 8 où * 8

(b)

si 8

converge si 3 2 , d’où la convergence uniforme dans 8 de

8

* 8 .

6 8 8

La série ne peut converger pour des ( , à cause des termes e et e absolument d’où sa convergence uniforme. si ( (8 réel) alors 8

;

Théorème 3 (Continuité de la somme d’une série uniformément convergente de fonctions continues) Si les fonctions sont continues au voisinage de 8 0 et si la série * 8 est uniformément convergente sur tout sous-ensemble compact de 0 , alors :

S(z) =

* 8 est continue en 8 et peut-être intégrée terme à terme sur tout chemin % 0 :

& 8 8

* 8 8

Théorème 4 (Propriétés des séries uniformément convergentes de fonctions holomorphes - Weierstrass) Si la série de fonctions holomorphes * 8 dans un domaine 0, est uniformément convergente sur tout sous-ensemble compact de 0, alors :

8 0 & 8

8 0 3 & 8

* 8 * 8

est holomorphe.

200


E1 (1) Etudier la convergence de la série *

8

8 8

?

(2) Déterminer le domaine de convergence uniforme de la série de terme

8

E 2 Démontrer le théorème 4. [ Pour (1) appliquer le théorème de Morera à la fonction &

8 ]

6.2 Séries entières et fonctions analytiques Définition 5 : Une série entière est de la forme :

8 8

où les

Théorème 5 (Lemme d’Abel) Si la série entière 8 8 est convergente en 8 8 8, alors elle est absolument convergente dans le disque 8 < 8 8 et uniformément convergente dans tout

0 disque fermé

8 inclus dans 8 <.

0 8 =domaine

d’uniforme convergence

8 8

8 <=domaine

d’absolue convergence

Preuve Par hypothèse

8 8 converge, donc $A 2 tel que 8 8 A

8 8 , donc : 8 8 < 8 8 A 8 8 8 8 8 8 <

Soit 8 vérifiant 8 8

<, alors :

0 d’où la convergence absolue et uniforme dans le disque

8

<

6.2. SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

Soit

l’ensemble des points de , en lesquels la série

ensemble n’étant pas vide, posons <

/ !

8 8 converge ; cet

8 8 .

Théorème 6 Le rayon de convergence < de la série

201

8 8 est défini par :

<

D

si cette limite, finie ou infinie, existe, ce qui n’est pas toujours le cas. Définition 6 : Le domaine 8 8 8 < noté 8 < est le disque de convergence de la série entière, éventuellement non borné ou réduit à 8 ; < est son rayon de convergence. E3

Montrer que la série entière

8

et sa dérivée

convergence.

8

ont même rayon de

Théorème 7 Une série entière converge normalement dans tout compact intérieur à son disque de convergence, sa somme est continue, dérivable terme à terme, intégrable terme à terme sur toute courbe incluse à l’intérieur du disque de convergence. Preuve Pour tout compact > inclus dans 8 <, $< tel que > 8 < avec < <. Donc 8 > 8 8 < , et la série 8 8 est normalement convergente, majorée

dans > par

< qui est convergente.

Attention ! Il n’existe pas de théorème réglant la question du type de convergence d’une série entière sur la frontière de son disque de convergence : on procédera donc au cas par cas. Exemple 3 : De la diversité des modes de convergence des séries entières. (1) (2)

D

$8 a un rayon de convergence nul. 8 diverge sur le cercle

gente dans tout disque (3)

8

(4)

inclus dans , pour tout vérifiant .

diverge en , et est semi-convergente (convergente mais non absolument conver-

gente) sur

8

, mais est normalement donc uniformément conver-

" .

est normalement convergente sur

.


202

8

(5)

/ /

converge dans . En effet,

/ , qui tend vers

$ l’infini avec , pour tout 8 de . Cette série converge vers 8 . 8 admet 1 comme rayon de convergence et ne (6) Une curiosité : la série converge en aucun point de .

Au vu des propriétés des séries entières, l’important théorème suivant ne devrait pas surprendre le lecteur : Théorème 8 La somme gence 8 <. Preuve

& 8

8 8 , & 8

2

Or

& 8 d’une série entière est holomorphe dans son disque de conver-

2

8 8

car (

- = 8

(notée)

),

donc le rayon de convergence de la

série = 8 est égal à celui de & 8 ; la série = 8 converge uniformément sur tout compact du disque de convergence 8 <, donc = 8 est continue par application du théorème 3. Intégrons terme à terme la série = 8 sur la frontière d’un triangle quelconque ( inclus

dans

8 < :

#

= 8 8

Appliquons le lemme d’Abel (Th. 5) :

/ /

= * *

admet en tout point 8

8 8 8

#

Th. de Cauchy

* *

/ /

8 8

8 < une dérivée égale à = 8 , donc : 8

admet en tout 8 , une dérivée

8 = 8 .

/ /

= * *

Théorème 9 (Analyticité des fonctions holomorphes) Toute fonction holomorphe dans un ouvert D admet un développement en série de Taylor unique au voisinage de tout point 8 D du domaine :

$ 2 8 Æ

On dit que

8

8

$

8 est analytique dans D : elle est donc

8 8

dans D.

d’où

8 $

6.2. SÉRIES ENTIÈRES ET FONCTIONS ANALYTIQUES

203

Preuve Soit % un cercle de centre 8 , de rayon , inclus dans :

*

* 8 * 8

(par la formule de Cauchy)

Développons

* 8

* 8

8 8 * 8

car :

donc :

:

.

/ /

/

* 8

8 8 8 8 * 8 * 8

La série entre parenthèse est uniformément convergente.

8 8 * 8

8 8 * 8

* 8 * 8 est continue sur %, donc bornée, ce qui justifie l’intégration terme à terme du develop pement de * : *8 * *

* 8 8

* , ainsi Il vient : 8 * 8 * 8

que le résultat attendu par le Théorème 21 du Chapitre 5. Attention : toute fonction

n’est pas nécessairement analytique !

En effet, une fonction peut être

dans

e

et ne pas être égale à sa série de Taylor en tout si 2 qui a toutes ses dérivées nulles point. C’est le cas de la fonction " si en et possède donc un développement de Taylor nul au voisinage de .

Nous allons maintenant démontrer comment on peut étendre progressivement le domaine d’holomorphie d’une fonction holomorphe hors de son disque de convergence. Prolongement analytique d’une fonction holomorphe Considérons par exemple la fonction holomorphe

8

somme de la série

8

convergente dans son disque de convergence et de somme / . On sait que pour tout point 8 la série de Taylor en 8 de 8 , converge non seulement dans tout disque 8 inclus dans mais encore dans son propre disque de convergence, lequel déborde

8

8 ; or cette série est convergente dans le disque ouvert non inclus dans . On vient de prolonger la fonction par son développement de Taylor en 8 , au dehors de son disque de convergence ; sa somme est dit prolongement analytique de à .

. Prenons 8 , la série de Taylor de 8 en 8 , s’écrit :

204


Réciproquement, est le prolongement analytique de à

.

Il serait possible en choisissant un point 8 " de prolonger dehors de , et de poursuivre ainsi la récurrence des prolongements analytiques.

8 en

Définition 7 : Une fonction holomorphe définie sur est le prolongement analytique de la fonction définie sur , contenu dans , si " .

Théorème 10 (Principe du prolongement analytique) Si deux fonctions f et g sont holomorphes dans un domaine et coïncident dans un voisinage de 8 , inclus dans , alors elles sont identiques dans . Interprétation dans le cas des fonctions réelles : si deux fonctions et " réelles analytiques sur tout sont égales sur un intervalle ouvert, si petit soit-il, elles coïncident partout ; on comprend mieux ce résultat si et " sont des polynômes.

Le prolongement analytique est-il toujours possible ? Remarquons d’abord qu’étant donnée une fonction analytique sur son disque de convergence 8 <, il existe au moins une singularité (point de non analycité) sur le cercle 8 <, car si ce n’était pas le cas, le disque de convergence serait nécessairement plus grand. Exemple 4 : de

8

,

Soit

8

8

qui admet le développement en série de Taylor autour

8 , convergent dans ; la seule singularité sur la frontière

est

le point 8 . Prolongeons 8 en calculant le développement de 8 autour d’un point 8 " . Remarquons que si l’on avait choisi 8 , le prolongement n’aurait pas été possible : pourquoi ?

6.3. LES SÉRIES DE LAURENT

205 / /

/

8

8 8 8 qui converge dans 8 8 .

8

8 8

/ / /

8

En poursuivant la démarche précédente, il est possible de prolonger

8 dans " .

Remarque : Il existe des séries entières pour lesquelles la frontière du disque de convergence, contient un sous-ensemble de points singuliers, dense dans la frontière, qui la rend infranchissable par prolongement analytique ; c’est le cas de la série suivante. Exemple 5 : Soit la série

8

définissant une fonction holomorphe

On a :

8 8 8

88

8

8

8

8 dans .

(par récurrence).

Donc tous les 8 tels que 8 8 8 , forment un sous-ensemble des racines complexes de l’unité, dense dans , pour lesquelles la série diverge, constituant des singularités de . En conséquence, 8 n’est pas prolongeable au-delà de .

6.3 Les séries de Laurent Les séries de Laurent généralisent le concept de séries entières dans le cas où le domaine d’holomorphie n’est plus simplement connexe, et possède donc un ou plusieurs sous-ensembles de non-holomorphie. Ces séries permettent d’étudier le comportement d’une fonction holomorphe au voisinage d’une singularité isolée 8 . Définition 8 : Le domaine ouvert compris entre deux cercles concentriques et de centre 8 et de rayons , définit la couronne ( 8 8 8 8 Théorème 11 (dû à Laurent) Soit 8 holomorphe dans la couronne centrés en 8

Pour tout 8 ( Laurent, définie par :

(

8 limitée par les cercles

et

8 , 8 est représentée par une série unique, dite série de 8

8 8


206

8 8 et d’une série entière en 0 8 8 :

égale à la somme d’une série entière en

où

est un cercle quelconque concentrique à

8

8 8

et

partie entière de

*

* * 8 et inclus dans la couronne.

8 8

8

partie singulière de

8

C1

r1 z0

r2

C2 α1 C α2

Preuve Soit un segment joignant à parcourant dans le sens négatif, puis , et

*

* 8 * 8

Il suffit de développer puis d’intégrer.

*8

et considérons le chemin % partant de dans le sens positif, pour revenir à .

*

* * 8

*

* * 8

,

en série entière, comme on l’a fait dans la preuve du théorème 9,

La détermination pratique des développements en séries de Laurent ne nécessite pas toujours le calcul des coefficients par la formule du théorème de Laurent : le cas des fonctions holomorphes définies par des fractions rationnelles en est un exemple, illustré ci-dessous. Exemple 6 : Soit

8

8 8

holomorphe dans "

Déterminons la série de Laurent dans la couronne ( Décomposons

8 en éléments simples : 8

8 8 .

8

8

6.3. LES SÉRIES DE LAURENT

207

+5

+2

O

8 , 8 2 d’où le développement de

8 et 8

/

8

/

d’où le développement de

/

8

8

8

8

8

8

8

8

/

8

8

8

8

8 dans la couronne infinie

8

8

d’où :

8

/

8

Calculons maintenant le développement de ( 8 8 2 :

:

:

8

ainsi :

/

8

8

8

8

8

8

8

8

8

Remarquons que seul le développement à l’intérieur de la couronne fait apparaître des termes 8 à exposants positifs ou négatifs ; le développement sur la couronne infinie, n’est composé que de termes 8 à exposants négatifs. E4 Pour chacune des fonctions voisinage de 0.

8 8e

#

et "

8

8 8

, déterminer la série de Laurent au


208

6.4 Applications des séries de Laurent. 6.4.1 Calcul des séries de Fourier Soit

8

la série de Laurent d’une fonction holomorphe

8

dans la couronne

, où et 2 . Posons : 8 e et " * e . " * e , série convergente si * . Donc " * est une série de Fourier à coefficients complexes ; posons : . * *. Il vient : " * (

6.4.2 La transformation en . Le traitement des signaux échantillonnés fait un usage fréquent de la transformation en

, qui possède des propriétés analogues à celles de la transformation de Laplace. A tout signal échantillonné tempéré , associons la distribution Æ où (On rappelle que est une suite tempérée si ou sont fi

nies).

Le théorème suivant associe à tout signal échantillonné tempéré, une série de Laurent dite transformée en du signal, définie sur un domaine de convergence en forme de couronne.

Théorème 12

Etant donné le signal échantillonné tempéré

d’un signal

, la série

8

est une série de Laurent à l’intérieur de la couronne 8 < 8 < , y définissant l’unique fonction holomorphe 8 dite transformée en du signal : < est le rayon de convergence de la série entière

E

8

8

,

<

est le rayon de convergence de la série entière

Preuve En théorie des distributions, on a établi que la transformée de Fourier du signal est égale à

e

3

8

si l’on pose e

une série de Laurent, donc holomorphe, dans la couronne (

3

Æ

8 . Cette dernière série est

< < .

6.4. APPLICATIONS DES SÉRIES DE LAURENT.

Exemple 7 : (a) Soit dans

si sinon

, alors

209

8

.

(b) Le peigne de Dirac ''' admet la série de Laurent gence est nul : il n’existe pas de transformée en de '''.

! 2 Soit le signal échantillonné "

E5

8

est une fonction holomorphe

8

dont le rayon de conver-

où 2 . Déterminer sa transfor-

mée en et sa couronne de convergence.

Les propriétés de la transformée en sont des conséquences immédiates de la théorie des fonctions holomorphes et des séries de Laurent : Théorème 13 (Propriétés de la transformée en ) La transformée en

du signal

, notée

8 < 8 < , vérifie les propriétés :

8 et définie à l’intérieur de la couronne

(1) Pour 3 entier fixé, "

3 , alors @ 8 8 8 (2) , si . alors # 8 où # 8 est la transformée en du signal 8 . , définie dans 8 8 . < < (3) Soit le signal égal au produit de convolution des signaux et ; soit, alors 8 8 8 dans la couronne égale à l’intersec

tion des couronnes de convergence de et . E 6 Prouver ces propriétés. Problème inverse : connaissant une transformée en , comment déterminer le signal échantillonné dont elle provient ? Il existe deux méthodes selon que

8 est une fraction rationnelle ou pas :

(1) Si 8 est une fraction rationnelle, on la décompose en éléments simples puis on détermine les signaux échantillonnés, qui leur sont associés, grâce à une table de correspondance entre les fonctions et leurs transformées en . Considérons, par exemple,

8 8 et 8

8

8 . Sa couronne de convergence est 8 8

. 8 8


210

8 2 alors 8 8 8 8 alors 8 8 8

(2) Si 8 est différente d’une fraction rationnelle, on fait appel au théorème d’inversion suivant : Théorème 14 (Inversion de la transformée en ) Soit 8 une transformée en définie dans la couronne signal échantillonné est défini par :

8 < 8 < alors le

8 8 8

où % est un circuit entourant l’origine, contenu dans la couronne positif.

, et parcouru dans le sens

Le calcul de l’intégrale précédente pourra se faire grâce à la méthode des résidus.

6.5 Classification des singularités Un point 8 est une singularité d’une fonction si cette dernière n’est pas holomorphe en ce point. Une singularité est isolée s’il existe un disque 8 qui ne contient aucune singularité autre que 8 . Il existe trois types de singularités isolées pour les fonctions complexes uniformes, dont l’une n’est qu’apparente. Définition 9 : 8 est une singularité apparente (ou artificielle) de la fonction holomorphe , si 8 est non définie, mais prolongeable par continuité en 8 . Exemple 8 : 0 est une singularité apparente de la fonction dans le cas où 8 ).

8

8

8

(résultat déjà connu

Définition 10 : Etant donné un point singulier 8 et le disque pointé 8 , dans lequel on développe 8 en sa série de Laurent. On dit que 8 est un pôle d’ordre de en 8 , si un nombre fini seulement de coefficients d’indice négatif de la série de Laurent, sont différents de ; 4 est alors défini par pour tout 4 et , et / / 8 8 8 existe et est différente de .

" 8 8 est de la forme , " étant une fontion 8 8 8 8 8 8 holomorphe aux voisinages de 8 8 8 et non nulle en ces points, le résultat précédent est évident. Les 8 sont des pôles de 8 , d’ordre .

Exemple 9 : Si

6.6. THÉORÈME DES RÉSIDUS : APPLICATIONS AU CALCUL D’INTÉGRALES

211

Définition 11 : 8 est une singularité essentielle de si elle n’est ni apparente, ni un pôle. Au voisinage de 8 , 8 se développe en série de Laurent 8 8 , pour laquelle il existe une infinité de non nuls où . Lorsque 8 tend vers 8 , 8 n’a pas de limite.

8 est un singularité essentielle de e/ ; 8 tel que 8 2 ,

Exemple 10 : e/

8

$8

.

Définition 12 : Une fonction holomorphe dans un domaine D sauf en un nombre fini de pôles est dite méromorphe. E 7 Soient 8 et " 8 holomorphes dans un domaine . Soit 8 tel que : 8 " 8 et " 8 . 8 8 8 ; application au calcul de . Montrer que / / " 8 / 8 " 8

6.6 Théorème des résidus : applications au calcul d’intégrales Définition 13 : Le résidu en 8 d’une fonction holomorphe dans le domaine0 " 8 , est égal au coefficient

de son développement en série de Laurent, défini par

fermée simple entourant 8 , et contenue dans 0.

* *, où

est une courbe

Méthodes pour la détermination pratique d’un résidu. (a)

8

est un pôle d’ordre 1 de

8 : 8

8 8

d’où :

8 8 8 // < 8 ! 8 où ! et ! sont holomorphes tels que ! 8 ! 8

8 est de la forme ! 8 , ! 8 , alors : Si

< 8 En effet :

/ /

Exemple 11 : Résidus de –

88 8

! 8 ! 8

! 8 ! 8 / /

! 8

2 / 2 / / /

! 8 ! 8

8 8 En 8 , pôle d’ordre 1 : d’où le résidu < 8

8 8 /

,


212

88 8 : < 8 4 $ 8 Cette méthode risque d’être laborieuse si 4 excède ou .

(b)

8

est un pôle d’ordre N de

8

/ /

8 8 / 8 est un pôle d’ordre N ou une singularité essentielle de 8 : il faut dans ce cas

– En 8

,

pôle d’ordre 2 : d’où le résidu <

(c) développer la fonction en série de Laurent. Soit la fonction

8 / sh// où sh 8 e e . 8 n’est pas holomorphe en 8 ; développons " 8 sh// au voisinage de . #

#

8 / / / 8

8

8

/

8 #

8

#

/

/

8

D’où le développement en série de Laurent de 8 : 8 / / qui fait apparaître le résidu égal à . L’application de la méthode classique (b) serait ici beaucoup plus coûteuse !

Théorème 15 (Lemme de Jordan) Soient %; un arc de cercle centré en continue sur %; : Si Si

; /

8 8 8 , alors

; /

8 , d’angle au centre 7, de rayon < et f une fonction

;

8 8 8 , alors

;

8 8 .

8 8 .

8

8 .

Preuve évidente en majorant

Théorème 16 (Théorème des résidus) Soit holomorphe dans " 8 8 8 où les 8 sont des pôles ou des singularités essentielles. Pour tout circuit % d’indice 1 inclus dans et entourant un sous ensemble quelconque 8 8 8 de l’ensemble des singularités, on a :

8 8

< 8


213

Preuve Entourons chaque singularité 8 d’un cercle 8 intérieur à % et construisons un arc entre chaque cercle et %. Ces arcs sont parcourus dans un sens puis dans l’autre, et forment avec le circuit % un circuit % ne contenant aucune singularité 8 . D’après le théorème de Cauchy, 8 8 . Mais % % , ce qui conduit au résultat annoncé :

8 8

β1

z*1 α1

8 8

C1

C3

z*3

< 8

α 3 β3

Γ z* 2

β2

Exemple 12 : Soit %

, seul le pôle double 8

F

Soit %

C2

α2

8 8

est à l’intérieur de %

8 <

, seul le pôle simple 8

8 8

est à l’intérieur de %

8 <

Pour tout cercle C contenant les deux pôles :

8 8

8 < <

Le théorème des résidus est à la base d’une méthode de calcul d’intégrales qui est souvent la seule permettant d’en calculer les valeurs exactes ou d’en déterminer l’expression analytique dans le cas où elles dépendent de paramètres. Cette méthode est particulièrement précieuse pour le calcul des transformées de Fourier et de leurs inverses.


214

Méthode des résidus pour le calcul des intégrales rélles

.

(1) Associer à la fonction complexe 8 . (2) Associer à l’intervalle un circuit % inclus dans , dont une portion % coïncide avec ; on prendra soin de choisir le circuit % le mieux adapté au problème, entraînant le moins de calculs possible.

(3) Calculer (4) Calculer

8 8 à l’aide du théorème des résidus.

8 8

8 8 qui estégal à

Exemple 13 : Soit à calculer

;

;

;

.

.

La fonction complexe associée

8 , a 4 pôles : 8 , où . 8

Un circuit devant contenir < < ne contiendra que deux pôles parmi les quatre : choisis sons par exemple les deux pôles du demi-plan positif : 8 et 8 . Soit %; le

demi-cercle positif : Γ

R

z*1

z*2

0

-R

; ;

8 8

R

;

Pour montrer que :

8 ; 8

d’où, par passage à la limite infinie de R :

< <

8 8 ;

8 8

, appliquons le lemme de Jordan (Théorème 15) :

donc l’intégrale tend vers 0.


En conclusion :

E 8 Calculer

8 8

8 8 .

où

215

[Indication : décomposer en fractions rationnelles ]

Une méthode de calcul des intégrales Effectuons le changement de variable 8

8

8

où les 8 sont intérieurs à

.

Exemple 14 : Soit à calculer Posons : e%

2 / 2 /

8.

8 ; 7

8/

%

et

7

7 77.

% , d’où :

8

8

8

< 8

(/

7 où 2 . / .

avec %

8

/ /

8

de la forme

Les points singuliers de 22 // sont ici solutions de l’équation ! 8 : ce sont les pôles simples 8 , 8 . 8 et 2 donc est intérieur au cercle ; 8 , donc extérieur à . 2 / D’après la méthode (a) du début de paragraphe 6.6, on a : Rés 8 2 / , d’où .

Pour les questions (1) et (4) de l’exercice suivant, on utilisera le théorème : Théorème 17 S’il existe A 2 et 2 tels que la fonction 8 vérifie : 8 tout 8 intérieur au demi-cercle positif de rayon <, noté %; , alors, pour tout :

;

./ 8 8

A <

, pour

E 9 Calculer :

(1)

1

et 2

.

(2)

(3) Calcul de la transformée de Fourier de . On intègrera 8 / sur le chemin de forme rectangulaire ci-dessous, et on montrera que l’intégrale de 8 sur les segments verticaux tend vers quand < tend vers l’infini.


216

−R

(4)

0

R

On utilisera d’abord le théorème de Cauchy, appliqué à un circuit dont l’intérieur ne contient pas lasingularité . On fera ensuite appel au théorème de convergence dominée pour calculer vers .

/

8, où % est le demi-cercle positif de rayon -, que l’on fera tendre 8


217

6.7 Corrigés des exercices E1 (1) Convergence absolue si 8 ou si 8 Convergence uniforme si 8 < où < Pas de convergence uniforme dans tout voisinage contenant 8 (2) Domaine de convergence uniforme 8 8 < avec < 2

E2

- 2 $4 tq

& 8 & 8 - 2 4 8

de longueur ; les *

(1) Soit une courbe fermée simple continue et

d’où d’après

d’où :

& 8 8 existe.

2 4 & 8 8 * 8 8 -

& 8 8

* 8 8

Mais, d’après le Théorème de Cauchy :

le résultat par le théorème de Morera. (2) Montrons que &

8 étant continues, & 8 est

* 8 8 et donc

& 8 8 , d’où

*. Soit ; on peut trouver < 2 tel que <

. 8 <, en utilisant la formule intégrale de Cauchy, et en notant fermé d’image le cercle <, on a : & * & *

* & 8 & 8 * 8 Mais 8 < et * <, donc 8 * <. D’où

& 8 & 8 D’où &

& &

Soit < le rayon de convergence de tel que

8

< & & < <

*.

E3

le chemin

2 4

8 . Soit 8

tel que

8 < ; on choisit 4


218

Pour 2 4 ,

La série Si 8 2 <

8

8

est inférieur à

8 qui converge. 8

converge donc absolument pour tous les points 8 8 . 8 et donc 8

< est donc le rayon de convergence de la série dérivée. Ceci est vrai si < . E4

(1) 8

8 8 / ; 8 est un point singulier essentiel. /

; 8 est une singularité apparente. (2) " 8 8 /

E5

8

8

8

, /

, /

8 / converge si 8 2

8 / converge si 8 donc : 8 / / pour tout 8 couronne 8 8 .

E7

8 8 8 8 8 8 8 " 8 " 8 " 8 8 8 " 8 " 8 / 8 Donc : / 8

/

8 " 8

E8

8

8 8

8

8

8 8

Il y a 4 pôles d’ordre 2 : 1, -1, , -. Seul est à l’intérieur du cercle, donc :

8

8

/

8

8 8

@ # 8 8


E9 (1) Considérons '

219

/

8 où % est le circuit où < 2 . 8 Γ ib

0

Seul le pôle est intérieur au demi-cercle :

/ d’où ' 8 8 / ; ;

8 Or ' 8 8 8 8 ; 8 Résidu

/ 8

et

Grâce au lemme précédent,

;

(/ /

(2) On associe l’intégrale complexe

où % est

Γ i

(/ /

; (

8

/ / /

de %, si < 2 .

Rés

0

(/

/

8

où % est le demi-cercle.

;

en utilisant le lemme de Jordan.

d’où deux pôles simples et d’ordre ; seul est à l’intérieur

8 en

$

8

8 8 8 /

220


puis le résultat : (4) A

/

chemin % suivant :

,

si 2 (si on obtient ).

/ 8

on associe

Après une récurrence on obtient :

qui admet 8

comme seule singularité ; d’où le

Γ2 Γ1 −ε

/

8 8

-% % %

R

8

ε

; /

8

8 ; /

8 d’où il vient : 8

Le théorème de Cauchy

Posons :

0

;

/ /

8

8 8 8

/

8 8

%

/

8 8

) -% 7 -%

7. Or

, pour 7 En usant du théorème de convergence

dominée de Lebesgue, on a :

) 7

7

Pour calculer , on utilise le Théorème 17 et on en déduit :

7

Annexe A Le corps des complexes

8 ( tels que (

et

partie réelle de 8 , notée < 8 ( partie imaginaire de 8 , notée 8 En coordonnées polaires : 8

Conjugué de 8 , noté 80 égal à

2

7 7 e% où

8

8 80

et

8

Module de 8 , notée 8 égale à

Soient :

( , 7 +!

( .

( , ou encore : 80

On a : <

8 ( 8 (

7 7

8 80

2

8 80 7 7

(

7 7

Le produit

8 8

( ( (

Le rapport

8 8

(( (

(

(

( (

7 7

7 7

7 7

7 7

ANNEXE A. LE CORPS DES COMPLEXES

222

La puissance

8 Les solutions de l’équation 8 le cercle unité.

8 Ainsi : 8

8

7 7

sont dites racines nième de l’unité et s’équirépartissent sur

admet trois racines : 8

Pour tout 8 ,

8 ; entier

7

+

8

7

Fonctions trigonométriques

8

e/ e

/

,

8

e/ e

Fonctions hyperboliques

sh

8

e/ e

/

, ch

8

8 ch 8 8 sh 8

e/ e

/

/

, et

où :

7 et

Annexe B Rappels divers

8 Propriétés : % 8 8 % 8 Fonction gamma :

/ 8 Re 8 2 % $ si

%

100

0

2

x

4

F IG . B.1 – Le graphe de la fonction %

,

.

/ / Re 8 et Re 8 2 % 8 % 8 Propriétés : 8 8 et 8 8 8 8 % 8 8 Approximation de Stirling : $ 7 si est grand. Intégrale de Gauss : réel,

* Intégrales de Fresnel :

Fonction beta :

8 8

6

Intégrale du sinus cardinal : 2 ,

ANNEXE B. RAPPELS DIVERS

224

Formules de trigonométrie

, ,

, 8

! , ! ! , 8 ! !

Annexe C Transformées de Fourier et de Laplace TRANSFORMÉES DE FOURIER DES FONCTIONS.

/ G

1I

$ $

e

1I

3

e

$ $

3

G

sinc

G G

* * %

sinc G

1I

$

1I

1I

3

e

G

G *

ANNEXE C. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE

226

SÉRIES DE FOURIER DE FONCTIONS T-PÉRIODIQUES CLASSIQUES.

MOTIF PÉRIODIQUE

SÉRIE DE FOURIER

CRÉNEAU 1 Τ/2

0

Τ

&

−1

G

IMPULSIONS RÉGULIÈRES 1 τ/2

Τ−τ/2 Τ

0

; &

;0

;0

TRIANGULAIRE 1 0

Τ/4 Τ/2 Τ

&

−1

G

PROPRIÉTÉS DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER.

;1 G

3

/ G avec ;

1 G / G avec

Si

Pour tout couple d’entiers

G G / G 0

:

2

.

Æ.

G

227

TRANSFORMEES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS

/ T

T

Æ Æ

Æ

Æ3

Æ3

Æ3

.

.

'''

7

Æ G

#

Æ

# . sgn .

7

%3

sgn

Æ .

'''

Æ 7

!

G Æ . G

.

Æ

Æ .

7

3

Æ3

Æ

3

!

G

!

G

sgn G

.

$ Æ . ! G . $

!

G .

!

G

ANNEXE C. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE

228

TRANSFORMEES DE LAPLACE DES FONCTIONS

L

#

3

# Ré

#

*

3 $ 3

entier

#

L

#

L

3

C #

C

3

C #

C

3

3 2

Ré

3 2 Im

Ré

3 2 Im

3

Ré

#

3 2

32

3

3

#

Ré

#

3

%

2 2

32

3

#

3

C

3

C

Ré

3 2

C

Ré

3 2

C #

3 3 C

3 2

C #

C 3

3 2

C "#

où

C

2

C

3 3 C

C

3 2 "

+!

C

229

TRANSFORMEES DE LAPLACE DES DISTRIBUTIONS

Æ Æ

2

Æ Æ

H H

3

L T

T

*

%

3

3

3

3*

Annexe D Représentation des signaux et leurs propriétés

ANNEXE D. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX ET LEURS PROPRIÉTÉS

232

FONCTIONS

DISTRIBUTIONS

périodique de période ,

donc nécessairement tempérés

Si est par morceaux : . simple Si de plus, continue, : . unif Si et , uniforme , constante . +

P E R I O D I Q

Æ est notée . et , où est la distribution restreinte au support .

Æ ; . Æ est le spectre de raies de .

Si est définie par une fonction

'

alors

E S

le harmonique de est il porte la puissance . !.

La puissance moyenne sur une période est égale à (Identité de Parseval)

N P

Si et

E R I O D I Q U E S

;

où

3

Si de plus est par morceaux, on retrouve les mêmes résultats que dans le cas des fonctions de

3

alors Æ 3 Si alors

3 Æ

alors Si de plus Si alors . et 3 Si alors est (Si alors ) à croissance lente ;

et on a les égalités : .

Si et Si et Supp alors

.

quelconque dans

est une application linéaire, continue, bornée, injective de dans 3 .

N O

U

est la limite dans

dans %

( Formule de Shannon) où de

3 sont

valeurs d’échantillonnage de .

3

les

3 3

et

Bibliographie commentée Analyse complexe H. Cartan

Théorie élémentaire des fonctions analytiques - Hermann

Un classique du genre écrit dans un style rigoureux par l’un des grands mathématiciens du siècle dernier, mais dépourvu d’applications.

Chabat

Introduction à l’analyse complexe Tome I, Ed. MIR

Un des livres les plus complets et accessibles dans le domaine.

Spiegel

Variables Complexes - Mac Graw Hill

Une présentation riche d’applications à la physique.

W. Rudin

Analyse réelle et complexe - Masson Exposé original et profond (1990) des théories de l’analyse réelle et complexe.

Analyse fonctionnelle et harmonique F. Bayen, C. Mar- Distributions, analyse de Fourier, Plus d’une centaine de progaria transformation de Laplace - Ellipses blèmes, assortis de solutions détaillées et de rappels de cours. C.Gasquet, P. Wi- Analyse de Fourier et applications tomski Exercices (2 volumes en tout) Masson

Un cours rigoureux et complet sur la transformation de Fourier et les distributions, sous-tendu par de nombreuses applications relevant de la modélisation des signaux.

A. Kolmogorov, Eléments de théorie des fonctions et S. Fomine d’analyse fonctionnelle - MIR M. Mamode

Mathématiques pour la physique - El- Une mine d’exercices et de lipses problèmes corrigés, couvrant des applications à la physique et aux sciences de l’ingénieur.

H. Reinhard

Eléments de mathématiques du signal, Exposé clair et structuré des Tome I - Exercices. Tome III -Masson concepts et méthodes à la base de la théorie et du traitement du signal.

Riesz-Nagy

Leçons d’analyse fonctionnelle Gauthiers-Villars (1965)

- Bel ouvrage à l’ancienne par l’un des maîtres de l’analyse.

M. Samuelides, Analyse fonctionnelle. Analyse har- Une approche complète, riche L. Touzillier monique. Problèmes - Cépadues (Trois de nombreux problèmes issus tomes) des sciences de l’ingénieur. L. Schwartz

Topologie générale et analyse fonc- Un grand classique, peu tionnelle - Hermann orienté vers les applications.

L. Schwartz

Théorie des distributions - Hermann

L. Schwartz

Méthodes mathématiques pour les Apprentissage des distribusciences physiques - Hermann tions, par leurs applications.

Exposé sans concession de la théorie des distributions par son créateur.

Histoire des mathématiques A. DahanDalmedico, J. Pfeiffer

Histoire des mathématiques - Point- De 2000 AV-JC à la fin du Seuil !. , une approche thématique et sélective de l’histoire des mathématiques.

J. Dieudonné

Pour l’honneur de l’esprit humain - Jean Dieudonné, un des derHachette niers mathématiciens au savoir encyclopédique, met ici ses talents au service d’une haute vulgarisation.

J. Dieudonné Abrégé d’histoire des mathématiques (sous la direction Hermann (1986) (Deux tomes) de)

Histoire détaillée des théories mathématiques de 1700 à 1940.

B. Hauchecorne, D. Surrateau

Des mathématiciens de A à Z - El- Une mine de renseignements lipses sur la plupart des mathématiciens connus.

J.P. Kahane, P.G. LemariéRieusset

Séries de Fourier et ondelettes - Cassini

Le "livre" sur la genèse de l’analyse harmonique et ses prolongements à la théorie des ondelettes.

Index A Abel (lemme d’), 200 accumulation (point d’), 55 adhérent, 54 analytique (fonction), voir fonction approximation, 75 auto-adjoint (opérateur), 70 autocorrélation, 110 B Banach biographie, 64 espace de, 61 base hilbertienne, 73 orthonormale, 73 Beppo-Levi (theoreme de), 18 Bernstein (polynômes de), voir polynômes Beta(fonction), voir fonction boreliens (tribus des), 10 boule fermée, 53 ouverte, 53 C Cantor (ensemble de), 12 Cauchy biographie, 182 conditions de, 163 formules intégrales, 179 Théorème, 176 Cauchy-Schwarz (inégalité de), 65 Cesaro (moyenne), 98 changement de variables (théorème de), 28 chemin, 173 circuit, 173 compact, 57 complet, 56 conforme (transformation), 167 connexe, 58 C0 par morceaux (fonction), 94 convergence dominée (théorème de la), 21

convergence faible, 70 convergence simple, 51 D décroissance rapide (fonction à), 107 dérivabilité de l’intégrale (théorème de), 25 dense, 54 densité spectrale, 110 difféomorphisme, 27 Dirichlet noyau de, 95 problème de, 37 problème de, 182 Dirichlet-Jordan (Théorème), 94 distance, 52 distances équivalentes, 52 domaine, 165 E equation de la chaleur, 36, 92, 117 equation intégrale, 42 espace métrique, 52 espaces fonctionnels L1, 29 L2, 30 L∞, 30 Lp, 30 etagee (fonction), voir fonction etagee positive(fonction), voir fonction Euler biographie, 161 F Féjer (noyau), 97 filtre linéaire, 150 filtres, 37 fonction analytique, 159 Beta, 34 convolution (de), 32 entière, 166 etagee, 16

INDEX

etagee positive, 16 Gamma, 34 harmonique, 165 holomorphe, 162 indicatrice, 14 mesurable, 13 multiforme, 161 méromorphe, 211 uniforme, 160 Fourier coefficients (de), 90 biographie, 100 frontière, 55 Fubini (théorème de), 26 G Gabor (transformation de), 114 Gamma (fonction), voir fonction Gauss (théorème de la valeur moyenne), 180 Gibbs (phénomène de), 97 H Hölder (inégalité de), 30 Hahn-Banach (Théorème), 63 harmonique de rang n, 99 Heaviside (fonction de), 14 Hilbert, 74 hilbertienne (base), voir base holomorphe (fonction), voir fonction homéomorphisme, 55 homographie, 171 homotopes (circuits), 173 I indicatrice (fonction), voir fonction integrale de Lebesgue, 16 inverse (transformée de Fourier), 103 isolé (point), 55 isométrie, 55 J Jordan (lemme de), 212 Joukovski (transformation de), 171

237

L lacet, voir circuit Laplace biographie, 43 équation, 165 Laurent séries, 205 théorème, 205 Legendre (polynômes de), voir polynômes lipschitzienne, 56 M maximum (théorème du module), 181 mesurable espace, 10 fonction, voir fonction mesure produit, 15 Minkowski (inégalité de), 30 moindres carrés (Méthode), 76 Morera (théorème de), 178 multiforme (fonction), voir fonction méromorphe (fonction), voir fonction N negligeable (ensemble), 13 norme, 60 normes équivalentes, 61 noyau, 38 O ondelettes, 113 original, 39 orthogonalité éléments, 65 sous-espace, 68 orthogonalité fonctions, 167 orthonormale (base), voir base P Parseval (identité de), 99 peigne de Dirac, 146 point fixe (Théorème), 57

INDEX

238

Poisson (Formule), 149 polynômes de Bernstein, 79 de Legendre, 80 potentiel complexe, 185 presque-partout, 13 prolongement analytique, 203 puits, 186 Pythagore (théorème de), 65 R rayon de convergence, 201 Riemann biographie, 170 Riesz (théorème de représentation de), 69 Riesz-Fischer (théorème de), 62 Rodriguès (Formule), 80 résidu définition, 211 détermination pratique, 211 résidus méthode, 214 théorème, 212 S séparable (espace), 73 série trigonométrique, 92 Schwartz, 131 Schwarz-Christoffel (théorème de), 172 semi-norme, 71 Shannon (théorème de), 111 σ-additivite, 10 singularité apparente, 210

artificielle, 210 essentielle, 211 source, 186 spectre de raies, 99 suite régularisante, 37 système linéaire sur-déterminé, 68 série entière, 200 T totale (famille), 72 transfert (fonction de), 42 transformation en _, 208 transformation intégrale, 38 tribu definition, 9 des boreliens, voir boreliens (tribus des) produit, 14 U uniforme (fonction), voir fonction unité approchée, 37 V valeur moyenne (théorème de la), voir Gauss (théorème de la valeur moyenne) valeur principale, 20 Volterra (équation de), 42 W Wallis (Formule), 80 Weierstrass biographie, 79 critère, 199 Théorème, 78

Vous pouvez faire part de vos remarques, critiques, suggestions aux auteurs à cette adresse : [email protected]

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