Clasa a 5-a
An şcolar: 2015-2016 Profesor: Podar Augustin-Daniel
������ � ��� ��
Conform cu programa şcolară aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei, Cercetării şi Tineterului nr. 5097/09.09.2009
Numerele naturale Breviar teoretic • •
Numerele naturale sunt numerele 0,1,2,3,… Proprietăţi ale adunării: 1. Asociativitatea: 2. Comutativitatea: •
+ + = + + , : 2 + 5 + 1 = 2+ 2 + 5 + 1 = 8 + = + ,, : 5 + 9 = 9 + 5 = 14
Proprietăţi ale înmulţirii: 1. Distributivitatea faţă de adunare: 2. Comutativitatea: •
Dacă •
∙ + = ∙ + ∙ , : 2∙ 4 + 5 = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 5 ∙ = ∙ ,, : 4 ∙ 5 = 5∙5 ∙ 4 = 20 20
Teorema împărţirii cu rest:
:: = ,, , = ∙ + , : 10:3 10: 3 = 3, 3, 1 → 10 10 = 3 ∙ 3 + 1
Ridicarea la putere Putere= de câte ori înmulţim numarul cu el însuşi.
= ∙ , : 4 = 4 ∙ 4 = 16 = ∙ ∙ , : 2 = 2 ∙ 2∙2 ∙ 2 = 8 , : ,: 5 2 == :"�"�� �� ������� ��������� �"�",", : 5 2 5 ����� •
Compararea puterilor: Vom putea compara doua numere cu putere in urmatoarele cazuri:
> ă > , : 2 > 2 32 > 8 > ă > , : 3 > 2 81 > 16
1. Dacă avem aceeaşi bază 2. Dacă avem aceeaşi putere: •
•
Proprietăţi ale puterilor
∙ = , : 3 ∙ 3 = 3 = 3 : = , : 2: 2 = 2 = 2 = ∙ = , : 2 = 2 ∙ = 2
Ordinea efectuării operaţiilor Operaţiile din paranteză Ridicarea la putere Ȋnmulţiri şi împărţiri Adunări şi scăderi • Divizor, multiplu, divizibilitate Definiţie: “b” este divizorul lui “a” dacă “a” se împarte exact la “b”. Exemple: 27 : 9 = 3 , rezultă că 9 este divizorul lui 27, dar şi 3 este divizorul lui 27 35 : 5 = 7 , rezultă că 5 şi 7 sunt divizorii lui 35
→
→
→
Numerele naturale
������ � ��� ��
Definiţie: “b” este divizorul lui “a” este sinonim cu a spune că “a” este divizibil cu “b”. Notaţia matematică pentru divizibil este . Exemplu: ş
"⋮⋮" 36 ⋮ 4 " 36 4"
ş "��" = ; ⋮ ă � Exemplu: 42 ⋮ 7 ş 7�42 Definiţie: Dacă “a” este divizibil cu “b” , atunci “a” se numeşte multiplul lui “b” Definiţie: Da= mulţimea formată din divizorii numărului “a”. Exemplu: D6={1,2,3,6}, deoarece divizorii numărului natural 6 sunt 1,2,3 şi 6. Definiţie: Ma= mulţimea multiplilor numărului natural “a” Exemplu: M3={3,6,9,12,…} Definiţie: Număr prim este acel număr care îi are ca divizori doar pe 1 si pe el însuşi Exemplu: Numărul 3 este numă prim deoarece este divizibil doar cu 1 şi 3 Numerele 2,5,7, 11 sunt şi ele numere prime. •
Criterii de divizibilitate: Criteriul cu 2 : Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă are ultima cifră : 0, 2, 4, 6, 8 Exemple de numere divizibile cu 2 : 16 , 258 , 7890 , 6574 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 2 : 17 , 255 , 7891 , 6579 Criteriul cu 3 (9): Un număr natural este divizibil cu 3 (ori 9) dacă suma cifrelor sale se divide la 3 (ori 9). Exemple de numere divizibile cu 3: 3,6,9,12,24,36, 168 Exemple de numere divizibile cu 9: 8,45,279,12645 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 3: 8,22,142 Criteriul cu 5 : Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă are ultima cifră : 0 sau 5 Exemple de numere divizibile cu 5 : 165 , 2585 , 7890 , 6575 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 5 : 17 , 251 , 6559 Criteriul cu 10 : Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă are ultima cifră : 0 Exemple de numere divizibile cu 10 : 160 , 2580 , 7890 , 6570 Exemple de numere care nu sunt divizibile cu 10 : 173 , 2512 , 6555 . •
Media aritmetică a două numere naturale
Media aritmetică a numerelor a şi b este :
=
Exemplu: Media aritmetică a numerelor 20 şi 50 este:
= = = 35
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr. 1 Şirul numerelor naturale; reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor. Comparare numerelor naturale
1. Scrieţi cu cifre numerele date:
a) două sute trei milioane; b) patruzeci şi şase de milioane; c) o sută şaptezeci de milioane; d) şaizeci şi patru de milioane trei sute douăzeci şi unu de mii două sute; e) optzeci de mii opt sute; f) treizeci de milioane patruzeci de mii patruzeci; g) două sute de milioane o mie doi. 2. Se dau numerele: 337, 1703, 832 656, 223 979, 27 958 033.
a) Scrieţi în litere fiecare dintre numere de mai sus; b) Scrieţi predecesorul şi succesorul fiecăruia dintre numerele date; c) Numiţi numărul de mii, sute şi zeci din fiecare dintre numere; d) Precizaţi valoarea cifrei 3 din fiecare număr. 3. Câte zerouri trebuie scrise la dreapta cifrei 2 pentru a obţine numerele: a) două sute; b) douăzeci de mii; c) două milioane; d) două sute de mii; e) douăzeci de milioane ? 4. Ordonaţi crescător şi apoi descrescător numerele:
129; 1628; 43; 354; 1237; 293; 2578; 1751; 69; 53987; 182; 72802. 5. Reprezentaţi pe axă următoarele numere naturale: 0, 1,4,7,8 6. Scrieţi cu cifre romane numerele naturale 67 şi 1497. 7 . Se consideră şirul de numere naturale 2,5,8,11,14,…………… a) Calculaţi diferenţa dintre al 2015-lea termen al şirului si al 215-lea termen al şirului b)Calculaţi suma primilor 2015 termeni ai sirului 8. Câte numere naturale de trei cifre încep cu cifra 8 ? 9. Câte numere naturale sunt de la 29 până la 138 ? 10. Se dă şirul: 1, 6, 11, 16, 21, ...
a) b) c) d)
Scrieţi încă trei termeni ai şirului; Cercetaţi dacă 2014 face parte din şir; Care este al 2014 termen al şirului; Calculaţi suma primilor 50 de termeni.
11. Fie şirul de numere natural 1,8,15, 22, 29,…………….. a)Verificaţi dacă 2014 este termen al şirului.Dar 2013? b)Care este al 2014-lea termen al sirului? c)Calculaţi suma 1+8+15+......+2010
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.2 Înmulţirea numerelor naturale. Proprietăţi. Factor comun
1. Efectuaţi următoarele înmulţiri:
a) 17 � 15; b) 29 � 53; c) 24 � 18; d) 39 � 45; e) 46 � 27; f) 35 � 18; g) 405 � 87; h) 200 � 64; i) 249 � 123; j) 153 � 35; k) 528 � 72; l) 7 � 19; m) 452 � 4; n) 65 � 34; o) 777 � 77; p) 55 � 189; q) 137 � 29; r) 39 � 12; s) 31 � 3 � 121; ş) 21 � 2 � 370 t) 149 � 5; ţ) 987 � 40; u) 25 � 27 � 29 � 1; v) 67 � 25; w) 117 � 50; x) 43 � 28 �17; y) 38 � 52; z) 1009 � 896 � 8 � 0. 2. Efectuaţi:
a) 0 � 10; b) 7 � 10; c) 36 � 10; d) 243 � 10; e) 1705 � 10; f) 28762 � 10; g) 1 � 100; h) 98 � 100; i) 268 � 100; j) 5678 � 100; k) 45802 � 100; l) 8 �1000; m) 70 � 1000; n) 348 � 1000; o) 7103 � 1000; p) 11011 � 1000; q) 130 � 10000; r) 900009 � 100000; s) 11011011 � 1000000. 3. Aflaţi numărul:
a) de 36 de ori mai mare decât 127; b) de 87 de ori mai mare decât 876; c) de 9 ori mai mare decât dublul lui 17; d) de şapte ori mai mare decât triplul lui 70; e) de 111 ori mai mare decât suma numerelor 609 şi 702; f) de 8 ori mai mare decât diferenţa numerelor 73 şi 49. 4. Efectuaţi utilizând factorul comun: a) 43 � 57 + 57 � 88; b) 3 � 991 + 97 � 991; c) 11 � 111 – 11; d) 308 � 17 + 8 � 13 – 300 � 17; e) 2400 + 645 � 240 − 240 � 250; f) 12 + 5 � 12 + 12 � 17 + 12 � 12 − 25 � 12; g) 2013 � 2014 − 2012 � 2013 − 2 � 2012; h) 1961 � 2014 + 2013 � 1961 − 4026 � 1961; i) 2013 � 36 + 2013 � 64 − 2013 � 99; j) 2014 � 2013 − 2013 � 2012 − 2013; k) 167 � 432 + 167 � 68 − 167 � 400; l) 7 + 14 + 21 + 28 + … + 364; m) 100 � 99 – 99 � 98 + 98 � 97– 97 � 96 +...+ 4 � 3 – 3 � 2 + 2 � 1.
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.3 Împărţirea, cu rest zero, a numerelor naturale când împărţitorul are mai mult de o cifră
1. Efectuaţi împărţirile de mai jos:
a)1230 : 3; b) 123 : 3; c) 124 : 4; d) 126 : 9; e) 1225 : 35; f) 19600 : 5; g) 928 : 32; h) 12975 : 15; i) 14192 : 16; j) 9940 : 28; k) 93060 : 66; l) 7524 : 22; m) 22790 : 86; n) 358920 : 18; o) 7777 : 77; p) 972 : 36; q) 280 : 4; r) 6720 : 12; s) 7560 : 72; ş) 69275 : 25; t) 12604 : 274; ţ) 53652 : 526; u) 606606 : 101; v) 545724 : 837; x) 151782 : 1234. 2. Efectuaţi:
a) 0 : 10; b) 10 : 10; c) 70 : 10; d) 320 : 10; e) 4190 : 10; f) 26800 :10; g) 243690 : 10; h) 300 : 100; i) 1200 : 100; j) 34800 : 100; k) 105000 : 100; l) 1000 : 1000; m) 13000 : 1000; n) 905000 : 1000; o) 111000 : 1000; p) 11230000 : 10000; q) 900000 : 10000; r) 107000000 : 1000000. 3. Aflaţi numărul:
a) de 7 ori mai mic decât 161; b) de opt ori mai mic decât treimea lui 168; c) de 27 de ori mai mic decât suma numerelor 149 şi 67; d) de trei ori mai mic decât sfertul sumei numerelor 28 şi 116. 4. Aflaţi câtul dintre suma şi diferenţa numerelor 12354 şi 12348. 5. De câte ori este mai mare produsul numerelor 144 şi 16 decât câtul lor ? 6. Suma a două numere naturale este de 6 ori mai mică decât 960. Unul dintre numere este de 3 ori mai mic decât celălalt. Care sunt cele două numere ? 7. Un dicţionar costă 100 lei, o culegere de matematică costă un sfert din preţul dicţionarului, un caiet costă a cincea parte din preţul culegerii, iar un stilou costă o zecime din preţul dicţionarului. Cât costă împreună toate obiectele ? 8. Pentru un gard din lemn, lung de 48 m, se pun stâlpi din 4 în 4 metri. De câţi stâlpi are tâmplarul nevoie ? 9. Aflaţi sfertul jumătăţii unei treimi din 72. 10. La o împărţire cu rest 0, împărţitorul este 156 şi câtul este jumătate din împărţitor.
a) Aflaţi deîmpărţitul; b) Aflaţi deîmpărţitul dacă câtul este un sfert din împărţitor; c) Aflaţi deîmpărţitul dacă câtul este o treime din împărţitor.
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.4 Împărţirea cu rest a numerelor naturale. Teorema împărţirii cu rest în N. Aplicaţii
1. Precizaţi câtul şi restul următoarelor împărţiri:
a)1234 : 3;
b) 112 : 13;
c) 129 : 4;
f) 1950 : 8;
g) 61042 : 19; h) 3251 : 28;
d) 125 : 9;
e) 1225 : 15;
i) 1820 : 71; j) 70055 : 92;
k) 8375 : 18; l) 6123 : 85; m) 91103 : 49; n) 1500 : 11; o) 7980 : 37. 2. Se dă n : 7 = 7 rest 5. Să se afle n. Calculaţi-l pe n în cazurile:
a) n : 68 = 32 rest 7; b) n : 123 = 9 rest 5. 3. La o împărţire cu restul 78, împărţitorul este 1203, iar câtul este 17. Cât este deîmpărţitul ? 4. La o împărţire cu restul 19, împărţitorul este 126, iar câtul este jumătate din împărţitor.
Cât este deîmpărţitul ? 5. La o împărţire cu restul 11, deîmpărţitul este de 57 de ori mai mare decât câtul.
Cât este împărţitorul ? 6. Aflaţi deîmpărţitul, ştiind că împărţitorul este 22, câtul este 23 iar restul este 21. 7. Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 5 dau câtul egal cu restul. 8. Ştefan trebuie să vopsească stâlpii unui gard situaţi la o distanţă de 2 metri unul faţă de altul, în alb şi albastru. Gardul împrejmuieşte un teren în formă de dreptunghi având media aritmetică a dimensiunilor sale 105. Ştiind că Ştefan vopseşte un stâlp albastru-doi albi-unul albastru-doi albi ş.a.m.d. , aflaţi: a)Ȋn ce culoare va fi vopsit stâlpul al 100-lea.Dar al 360-lea? b) Câţi stâlpi vor fi albi şi câţi albaştri? 9. La împărţirea a două numere naturale se obţine câtul 7 şi restul 3. Care sunt numerele dacă suma lor este 155 ? 10. Diferenţa a două numere naturale este 222. Prin împărţirea primului număr la al doilea se obţine câtul 3 şi restul 2. Aflaţi cele două numere. 11. Aflaţi cel mai mic număr natural de patru cifre care împărţit la un număr natural format din două cifre dă restul 76. 12. Suma a trei numere naturale este 183. Aflaţi numerele ştiind că dacă împărţim pe primul la al doilea obţinem câtul 4 şi restul 3, iar dacă îl împărţim pe al doilea la a l treilea obţinem câtul 3 şi restul 4. 13. Dacă un număr natural de două cifre identice se împarte la un număr de o cifră şi se obţine restul 7, atunci aflaţi numărul.
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.5 Ridicarea la putere cu exponent natural al unui număr natural
1. Precizaţi care este baza şi care este exponentul pentru puterile următoare: a) 25 → bază…, exponent…; b) 0 100 → bază…, exponent…; c) 7 17 → bază…, exponent…; d) 2015 0 → bază…, exponent…; e) a b → bază…, exponent…; 2. Scrieţi ca o putere cu baza 2: a) 8 = …; b) 16 = …; c) 32 = …; d) 4 5 = …; e) 1 = …; f) 128 = … g) 1024 = …; h) 16 n = … . 3. Calculaţi:
a) 52; b) 74; c) 28; d) 83; e) 210; f) 210; g) 101; h) 129; i) 02014; j) 43; k) 33; l) 3450; m) 6781; n) 12015. 4. Stabiliţi corespondenţa între cele două coloane: a) 20150 1) 2015 1 b) 2015 2) 0 1 c) 10 3) 1 2015 d) 0 4) 13 2 2 e) 3 + 2 5) 10 5. Ordonaţi crescător următorul şir de numere naturale: 2015 0; 522; 5202; 0202; 52; 52020; 52002; 51. 6. Calculaţi:
a) 12 + 24;
b) 33 + 25;
c) 102 − 52;
d) 22 + 32 − 23;
e) 43 + 24 − 42;
f) 42 + 32 + 1109;
g) 23 − 22−1000;
h) 62 + 42 + 02008+ 12013;
i) 26 + 25 + 24 + 23 + 22+ 2;
j) (62 – 52) : 11 + (5 2 � 2 + 10) : 12;
k) (52 – 25 : 2) : 3 – 1 2015;
l) 35 – 34 + 33 – 32 + 31 – 30;
m) 20151 – 20150 + 12015 – 02015;
n) [(14 2 – 132) : 27 – 2 0] � 2 + 2015 0;
o) (2220 + 0222 + 2221 – 2 � 10 2) � 2 – 3 2 � 51; p) 210 – 29 – 28 – 27 – 26 – 25 – 24 – 23 – 22 – 21 – 20. 7. Ioana primeşte în dar de la o prietenă un pomişor de măr. La fiecare doi ani toţi pomii dau alţi doi pomişori. Ştiind ca Ioana plantează toţi pomişorii pe care îi obţine în livada sa, aflaţi câţi pomi va avea în livadă peste 9 ani. 8. Calculaţi următoarele puteri şi apoi reţineţi rezultatele:
a) 03; b) 13; c) 23; d) 33; e) 43; f) 53; g) 63; h) 73; i) 83; j) 93; k) 103.
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.6 Reguli de calcul cu puteri
1. Calculaţi:
a) 22 � 24; b) 22 � 25;
c) 32 � 35;
d) 52 � 530;
e) 74 � 716; f) 45 � 48
h) 73 � 78; i) 22 � 21 � 23; j) 33 � 34 � 3; k) 22 � 52 � 3 � 2; l) (8 � 9) 3; g) 1�11. 2. Efectuaţi:
a) 33 : 31; b) 56 : 52; c) 660 : 620; d) 98 : 93; e) (53)2; f) (1950)5; g) (799)0; h) 54 : 53 � 170; i) 23 � 24 : 26; j) 54 : 53 � 170; k) 53 � 55 : 54; l) 45 � 42 : (42)3; m) (64)5 : 618; n) (32)4 : (34 )2; o) 5 ⋅ 52 ⋅ 53 ⋅ 54 : 510; p) 3123 · 3455 : 3456 : 3120; q) 923 ⋅ 97 ⋅ (92)10 : 949; r) (599 995 + 344433)0; s) (81 : 3) 2; t)
5
[(33 )12 : 3 2 - 56] : 5 ;
u)
4
(24 ) 4 : 22 ⋅ (3 2 − 1) − 2005 0 ⋅ 22 .
3. Scrieţi sub formă de putere:
a) 2 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25 · 26 =; b) 315 ⋅ (34)5 : (33)11 =; 6
3 4 5 c) ( 2 ) =;
d) 330 + 330 =; e) 315 + 315 + 315 =. 4. Efectuaţi folosind regulile de calcul cu puteri:
a) 412 : 410 =;
b) 923 ⋅ 97 : 928 =;
c) (133)10 : 1329 =;
d) 103 ⋅ 105 : 107 =;
e) (22)13 : (210)2 : 24 =; f) 72 · 73 · 74 · 75 : 712 =. 5. Efectuaţi:
a) {92 + [62 – (322 : 83 + 2�22 � 23) : 11] : 10} : 2 2 =; b) [(26)4 : 23 � (26 + 26) – 46 : 29] : (228 – 23) + 1 =; c) (2 + 2 � 3) � {2 � 2 2 � 243 – 246 + [3148 : 343 – (35)21] + 16} =. d) 103 : 52 + 10 � {210 : 64 + 23 � [1035 : (5 � 3 2) – (237 � 737)2 : (436 � 4937) : 2]} =; 6. Ştiind că n este un număr natural, arătaţi că: a) 7� 3n + 2 � 3 n = 3n + 2; b) 7� 5n – 2 � 5n = 5n + 1. 7. Dacă 4n = k, să se calculeze: a) 22n; b) 22n+1; c) 24n.
Numerele naturale
������ � ��� ��
Fişa de lucru nr.7 Compararea puterilor care au acelaşi exponent sau aceeaşi bază. Pătratul şi cubul unui număr natural
1. Comparaţi numerele:
a) 05 şi 50; b) 16 şi 61; c) 32 şi 23; d) 220 şi 87; e) 3210 şi 1625; f) 915 şi 2710; g) 8 34 şi 451; h) 202303 şi 303202; i) 231 şi 321; j) 240 şi 327. 2. Comparaţi:
a) 4212 şi 4121; b) 92011 şi 91211; c) 1501 şi 1520; d) 998 0 şi 8890; e) 434 şi 217; f) 16733 şi 17633; g) 02011 şi 02012; h) 9333 şi 27222; i) 259 şi 5109; j) 20121 şi 12012. 3. Comparaţi puterile:
a)
3677 41021 4552 442030 8823 12345 6890
3766 b) 82 41012 1345 5442 122122 442303 52 8832 0670 12344 992002 7890 112
c) 5641 43 0345 22 123122 5533 25 6434 0680 73003 992020 11999 44 0544
4561 41 5544 6534 73300 11990 1455
4. Calculaţi pătratele numerelor de mai jos şi reţineţi rezultatele:
a) 02; b) 12; c) 22; d) 32; e) 42; f) 52; g) 62; h) 72; i) 82; j) 92; k) 102; l) 112; m) 12 2; n) 132; o) 14 2; p) 152; q) 162; r) 172; s) 182; t) 19 2; u) 202. 5. Calculaţi cuburile numerelor de mai jos şi reţineţi rezultatele:
a) 03; b) 13; c) 23; d) 33; e) 43; f) 53; g) 63; h) 73; i) 83; j) 93; k) 103. 6. Scrieţi toate pătratele perfecte cuprinse între 27 şi 197. 7. Scrieţi toate cuburile perfecte cuprinse între 7 şi 217. 8. Arătaţi că numărul natural A = 2011 + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 4020) este pătrat perfect. 9. Precizaţi dacă se obţine pătratul sau cubul unui număr natural în urma efectuării calculului:
11 � 9 +11 � 21 +11 � 25 +11 � 66. 10. Fie numărul natural a = (16 10)100 : (420)50 � 2. Determinaţi dacă a este cub perfect. Justificaţi. 11. Fie numărul natural b = {[(1 5)403 + (2 � 3 2)2 : (2 � 3) 2 − 23 ]67}30. Determinaţi dacă b este pătrat perfect sau cub perfect. Justificaţi.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.8 Noţiunea de divizor. Noţiunea de multiplu Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10
1. Ştiind că Dn = mulţimea divizorilor lui n , să se determine:
D2, D4, D6, D8, D9, D10, D12, D15, D18, D20, D24, D25, D30, D36. 2. Ştiind că M n = mulţimea multiplilor lui n , să se determine (scrieţi primele cinci elemente):
M2, M3, M4, M5, M6, M8, M10, M11, M15, M20, M24, M25, M30, M100.. 3. Scrieţi numerele naturale divizibile cu 2, cele divizibile cu 5 şi apoi pe cele divizibile cu 10 din şirul de numere naturale următor:
1; 2; 3; 5; 10; 12; 15; 20; 39; 130; 39; 45; 50; 123; 2010. 4. Scrieţi numerele divizibile cu:
a) doi, cuprinse între 7 şi 23; b) cinci, cuprinse între 24 şi 54; c) zece, cuprinse între 89 şi 141. 5. Aflaţi suma divizorilor numărului 24. 6. Aflaţi suma multiplilor numărului 5 cuprinşi între 50 şi 105. 7. Determinaţi numerele de forma 2x7x divizibile cu 2. 8. Determinaţi numerele de forma x91x divizibile cu 5. 9. Determinaţi numerele de forma 34xx divizibile cu 10. 10. Folosind cifrele 4, 0 şi 5, o singură dată, să se scrie:
a) numerele divizibile cu 2; b) numerele divizibile cu 5; c) numerele divizibile cu 10. 11. Care este cel mai mic număr natural de trei cifre distincte divizibil cu 5 ? Dar cel mai mare ? 12. Daţi exemple de cinci numere naturale divizibile şi cu 2 şi cu 5. 13. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 2, unde n este un număr natural nenul ?
a) 2n; b) 2n + 1; c) 3n + 2; d) (n + 1)(n + 2); e) n(n + 2). 14. Aflaţi numerele divizibile cu 5 de forma aabb , cu a + b = 9.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.9 Numere prime. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.
1. Descompuneţi în factori primi următoarele numere: 8, 12, 25, 36, 40, 50, 72, 63, 144, 256, 480 2. Calculaţi c.m.m.d.c şi c.m.m.m.c pentru numerele:
a)15 şi 35;
b)48 şi 72;
c)120 şi 360
d)420, 490 şi 350.
3. Aflaţi toate numerele de trei cifre care împărţite la 18, 24 şi 32 dau de fiecare dată restul 11. 4. Numerele 348, 790, 1180 împărţiite la acelaşi număr natural dau resturile 12, 6 şi 4. Aflaţi acel număr. 5. Dacă a*b=192 şi (a,b)=4 atunci calculaţi [a,b]. 6. Determinaţi numerele a şi b pentru care avem:
[a,b]=48 şi a*b=288. 7. Enumeraţi cinci numere naturale prime şi cinci numere naturale care nu sunt prime. 8. Calculaţi suma primelor 12 numere naturale prime. 9. Comparaţi suma numerelor prime cuprinse între 14 şi 42 cu ([14,42], 36). 10. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:
a) b) c) d) e) f)
Numerele 15 şi 29 sunt numere prime Numerele 16 şi 27 sunt numere prime între ele [10,26]>pătratul numărului (24, 36) Unul dintre numerele 8 şi 18 împreună cu numărul 27 formează o pereche de numere prime între ele (48, 72) este divizibil cu [2,3] Suma divizorilor numărului 18 este divizibilă cu 3
A A A
F F F
A
F
A A
F F
11. Aflaţi toţi divizorii comuni ai numerelor 75 si 50. Precizaţi cel mai mare divizor comun al celor doua numere. 12. Câţi divizori are fiecare din numerele:91, 92, 360,400? Câţi dintre aceşti divizori sunt numere prime? 13. Arătaţi că numărul a+b+c este divizibil cu 63 unde a=1+3+5+…+41, b=10+30+…+410 şi c=100+300+…+4100. 14. Scrieţi toţi multiplii de două cifre ai numerelor: 24,35, 17
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.10 Numere pare şi numere impare
1. Încercuiţi numerele impare în fiecare din exerciţiile de mai jos:
a) b) c) d)
56, 30, 45, 98, 62; 87, 58, 32, 26, 70; 76, 94, 12, 99, 4; 46, 90, 83, 22, 78.
2. Încercuiţi numerele pare în fiecare din exerciţiile de mai jos:
a) b) c) d)
31, 27, 49, 1, 28; 90, 43, 85, 69, 3; 49, 57, 62, 33, 79; 91, 77, 35, 73, 4.
3. Scrieţi toate numerele pare de forma:
a) 3b, a0, 6b, a8; b) 7b, a2, 4b, a6. 4. Scrieţi toate numerele impare de forma:
a) a1, 6b, a3, 1b; b) 4b, a5, 7b, a9; c) aa, bb, cc, dd. 5. Care este cel mai mare număr natural par scris cu două cifre ? Dar cel mai mic ? 6. Care este cel mai mare număr natural impar scris cu trei cifre ? Dar cel mai mic ? 7. Determinaţi numerele naturale de trei cifre care verifică simultan condiţiile:
a) sunt numere pare; b) au suma cifrelor 16; c) au cifra sutelor de trei ori mai mare decât a zecilor. 8. Aflaţi numerele naturale de forma abcd care îndeplinesc condiţiile următoare:
a) cd este cel mai mare număr natural par; b) b este de două ori mai mic decât d; c) c este de trei ori mai mare decât a. 9. Aflaţi ce paritate are numărul (n + 1) + 17, unde n ∈ N*.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.11 Media aritmetică a două numere naturale, cu rezultat număr natural. Aplicaţii
1. Calculaţi media aritmetică a numerelor:
a) b) c) d)
24, 16, 8, 12; 25, 45, 23; 313 şi 115; 5, 6, 2, 3, 8, 11, 13, 16.
2. Media aritmetică a două numere este 75. Determinaţi numerele ştiind că unul din ele este de patru ori mai mare decat celălalt. 3. Media aritmetică a trei numere pare consecutive este egală cu 210. Să se afle cele t rei numere. 4. Calculaţi media aritmetică a trei numere ştiind că luate câte două au media aritmetică egală cu 9, cu 17 şi respectiv cu 13. 5. Iată notele lui Andrei de la matematică şi limba română. Completaţi coloana cu media. Note la oral
Limba Română Matematică
8, 9,10, 9
Nota la teză (t)
9
Media notelor la oral (ma)
Media semestrială m= (ma�3+t):4
10, 6, 8, 9, 7, 8 8
6. Aflaţi două numere naturale, nenule, care au media aritmetică egală cu 29 ştiind că la împărţirea numărului mai mare la numărul mai mic se obţine câtul 4 şi restul 13. 7. Calculaţi media aritmetică a numerelor în fiecare caz de mai jos:
a) x = (121 – 117) : 4 + 45 şi y = (27 + 21) ·120 : (205 – 125); b) x = 117 · 523; y = 11 2 + 144 : 12 – 1; z = (2325 – 1345) · 12 : 10. 8. Suma numerelor a, b şi c este 102, b este mai mare cu 2 decât a, iar c este mai mic cu 4 decât media aritmetică a numerelor a şi b. Aflaţi numerele a, b şi c. 9. În tabelul de mai jos sunt trecute rezultatele obţinute de elevi la testul dat la matematică. Aflaţi media clasei. Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nr. elevi - - - 3 2 5 5 5 2 3 10. Reprezentaţi pe axă numerele 3 şi 9, apoi media lor aritmetică.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.12 Ordinea efectuării operaţiilor
1. Calculaţi respectând ordinea operaţiilor:
a) (3 � 3 � 3 : 3 + 1) : [(3 ) � 27 +3 ] = b) 2 � 3 + 3 �2 – 6 = c) (10 – 10 ) : (10 – 10 ) = d)2015 – 2015 � 2014 – 2015 � 2014 – 2015 = e)5 � (3 + 2) : 5 = f)(22 � 3 � 5 3)100 : (2200 � 3100 � 5300) = g)(8 – 4 : 2 ) : (2 – 4 : 8 ) : (16 – 64 )= h)2 � 5 + 10 – 2 � 5 = i)[2 � 2 ] : [2 � (2 ) ]= j)3 – 3 – 3 – 5 � 9 =
k)6� 2 + 2 � 2 – (2 – 2 ) = l)(2 � 2 ) : 4 – 16 : 8 : 2 : 2 = m)8 : (2 � 2 � 4 ) – 2 – 2 = n)(2 + 2 ) : (2 +2 ) : 2 + 2 � 0 = o)1990 – 1989 � 1990 = p)1997 2 – 1995 � 1997 – 1997= q)(3 � 3 � 3 : 3 + 1) : [(3 ) � 27 + 1] r)1997 – 1997 � 1996 – 1997 � 1996 – 1997 = + s)[3 �9 �3 ] : [27 : : 3 ]= n+ n+ n n+ n t)(5 � 3 � 7 ) : (15 � 49 )=
2. Calculaţi respectând ordinea operaţiilor: a)[3 � 3 + 15 : 15 + 1995 –(2 ) ] : (3 � 5 + 2 : 2 + 3 : 3 - 2 �2 )= b)33 + 320 : 318 � 3 + 3 � 3 8 : 36 + 310 : (8 � 3 5 + 35) – 4 � 3 3 = c)2 – 2 - 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 1= d)3 � {2 � 3 + 5 : 5 + 69 � [2 � 3 – (6 ) : 2 : (3 ) + 4725 : 63]} = e)[(2 ) : 2 � (2 + 2 ) – 4 : 2 ] : ( 2 – 2 ) � 9 = f)(2 ) : 2 � (3 – 1) : [(29 � 10 + 56) : (2 � 5 – 92)] = g)[(36 � 5 � 7 – 2 � 3 � 5 ) : 6 : (6 � 5 � 19 + 2 � 15 )] : 5= h)2 + [(2 ) – (2 ) + 3 � 3 – 81] � {3 � [301 – 10 � (24 + 2 : 2 � 3)]}= i)(7 + 7 + 7 ) : (7 + 7 + 7 ) : 7 + 7 : 7 � 0 3 . Stabiliţi câte zerouri şi câte cifre are numărul: A=2 2n + 1 · 52n + 3 , n∈ ∈ N 4. Se dau numerele : a = (25n : 5n + 34 – 43 - 17 – 5 n ) · [(25 – 52 – 7) : 1993] + 1992; n ∈ N ∈ 5 5 3 b = 32 · 1992 – 3984 + 2 · 3 · 83, c = 103 + 9 · 102 + 9 · 10 + 1. Calculaţi : (2a – b – c) 1907 5. Calculaţi produsul tuturor numerelor de forma x y – y x , unde x, y ∈ ∈ {1, 2, 3, …, 100} cu x ≠ y. 6. Fie: a = 64 � 11 6 – 226 + 1; b = [(2 2)3 - 19950] : 321 – (123 +412). Calculaţi: (b – a) 1995. 7. Fie: a = (1 + 2 + 3 +…. + 1995) � 2 : 1996; b = (2 17 : 48)1996 : 8665. Calculaţi: 2(a + b) – 10 0. 8. a = 5; b – c = 7; d = [2 198 · (23 · 5)202 ] : (8 · 25 · 2399 · 599 )2 + 32 + 5 · (1 + 2 +…. + 1996) 0 . Calculaţi: a 2 + 2ab – 2ac + d 2 9 . a = (1 + 2 +….. + 1994) : 1995; b = (2 17 · 48 )1995 : 8665 . Calculaţi : 2(a + b) – 1 . 10. Verificaţi dacă: 21 � 22 � 23 � ….. � 2100 – (162)631 = 3 � 42524 11. [(32)2]2 : 34 � (23 � 26) : [(37 � 100 – 3673) : (1000 – 9 � 111)] = 12. Dacă: a · b = {(2 5 · 86 ) : [(16 4 )5 : (323 )4 ]} : 9 a · c = [(12 3 · 36 2 ) : 243 ] : 3 atunci a, b, c sunt egale cu? 6 9 4 8 3 4 b · c = {(3 · 9 ) : [(3 ) : (3 ) ]} · 2 13. Să se afle suma cifrelor numărului: 10 1997 + 2 · 101995 – 1
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.13 Ecuaţii în mulţimea numerelor naturale. Ecuaţii reductibile la cele studiate. Aplicaţii
1. Rezolvaţi următoarele ecuaţii, unde x este număr natural:
a) x + 7 = 16; b) x – 12 = 3; c) x + (8 – 6) = 12; d) (6 – 4 + x) – 2 = 8; e) 3x – 7 = 8; f) 14 – 3x = 8; g) 84 : x – 9 = 5; h) 20 – 121 : x = 9; i) 2(3x + 5) + 5 = 51; j) 5x + 7 = 272; k) 23 – 3x = 8; l) 3x = 123; m) 75 : x + 6 = 11; n) 35 – 121 : x = 24; o) 2(3x + 2) + 5 = 45; p) 13 + x = 24; q) x – 5 =13; r) 18 – x = 3; s) x + 3 = 78; t) 71 + x = 108; u) x – 23 = 15. 2. Rezolvaţi în N următoarele ecuaţii:
a) 176 + x = 300; b) 3x − 1 = 14; c) 3x = 6; d) 5 + x = 8; e) 2x + 10 = x + 20; f) 2x = 10 + x; g) 2x + 1 = 11; h) 2x + 4 = x + 5; i) 7 − x = 3; j) 7 : x = 170; k) x 4 = 1; l) 12x = 144; m) 2 x = 1; n) x : 6 = 1751; o) x : 19 = 57; p) x + 26 = 75; q) 102 – x = 15; r) 3 x+1 = 81; s) 7 x + 7 = 350. 3. Rezolvaţi ecuaţiile de mai jos în mulţimea numerelor naturale:
a) 4(x + 3) + 2(2x – 2) = 5x + 14;
b) 4x − 23 = 43 + 3x + 3 − 21 � 2;
c) (x + 192 : 2) � 3 + 59 � 4 = 1988;
d) 5 � [8 � (7x – 16) – 17] – 16 = 99;
e) 5 � {6 � [7 � (4x – 19) – 29] – 29} – 6 = 29;
f) 5 � [ 2 � (3x + 2) − 11] + 2 = 27;
g) 5 � [2 � (3x + 2) − 11] + 108 = 128 + 5;
h) {2 � [20 − (5 + x ) : 6] − 5} : 9 + 17 = 20;
i) 10 � {x − 10 � [362 + 10 � (24 + 24 : 4)]} = 100;
j) 2x + 4x + 6x + … + 102x = 2652;
j) 2 + [104 : 26 + 2 � (3 � 5 − x ) − 12 : 2] : 2 = 15; k) 1 + {2 · [3 + (x – 4) · 5] : 6} · 7 = 8. 4. Să se rezolve ecuaţiile:
a) 1 + {2 ⋅ [3 + (x − 4) ⋅ 5] : 6} ⋅ 7 = 8 ; b) 7 + {2 ⋅ [14 + (5 + x) : 6] − 5}: 9 = 10 ; c) 3 + {2 ⋅ [18 + (7 + x) : 4] − 5}: 7 = 8 ; d) 2 ⋅{[78 + 13 ⋅ (6 + x)] : 26 − 3} + 6 = 2006 ; e) 1 + {2 − [3 + (x − 4) : 5]: 6}⋅ 7 = 8 ; f) 25 − {4 + [15 − 5 ⋅ (8 − 2x) + 23]: 4} = 14 ; g) {2 ⋅ [20 − (5 + x) : 6] − 5}: 9 + 17 = 20 ; h) 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 + …+ 2x + 100 = 5650; 131 + 4 ⋅ {36 − 32 :16 ⋅ [15 + (24 : x − 20 : 5) ⋅ 9]+ 7} = 183.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.14 Inecuaţii în mulţimea numerelor naturale
1. Determinaţi numerele naturale care verifică inegalităţile:
a) 3(x − 2) ≤ 3; b) 4x + 7 < 23; c) 3x + 7 − 2x < 10; d) 2x + 10 < 20; e) 182 − 153
≥ x + 19;
f) 5x + 7 < 4x + 9; g) x + 3 < 4; h) x : 4 < 5; i) 7x + 12 > 19; j) 13 x – 2 > 132001; k) x + 5 ≥ 17 ; l) 5x < 35 ; m) 112x + 1 < 117 ; n) x : 57 ≥ 6; o) x � 5 < 295; p) x : 9 ≤ 24; q) x � 7 ≥ 343; r) x : 52 ≥ 8;
s) x � 2 < 3874; t) x : 3 ≤ 51; u) x � 7 ≥ 406; v) x – 79 > 285. 2. Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale, inecuaţiile:
a) 2 � (x – 3) + 4 ≥ 0; b) 5x + 3 � (x – 4) < 4; c) 7x + 6 � (x + 1) ≤ 19; d) 2 � (x + 3) + 5 < x +15; e) (x – 3) + (7x – 1) ≥ x + 3; f) 13x – 12 ≤ 2 � (5 + 2x) – 1 + 2x g) 2 � (x + 5) + 6x ≥ 3 � (x + 5); h) 2 � (x + 1) + 3 � (x + 2) ≤ x + 3 � (x + 3). 3. Rezolvaţi în N, inecuaţiile: a) 2 � (x + 3) – 4 < x + 6 şi x M 2; b) x ≤ 32 şi (x + 3) M 5; c) 7 ≤ x < 27 şi (x + 7) M 2; d) 4 � (2x + 1) + 2 ≥ (x + 2) � 7 – 3 şi x M 10; e) x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x < 84. 4. Rezolvaţi în N inecuaţiile cu numere scrise în baza 10: a) ab + ba ≤ 44 a ≠ b ; b) abc + acb + bac + bca + cab + cba ≤ 1332 , a ≠ b ≠ c ; c) x5 + 3x < 80 ; d) 7x + x4 < 99 ; e) x31 + 3x1 + 31x < 753 . 5. Stabiliţi dacă numărul 7 este soluţie pentru inecuaţiile: a) 5x – 5 – 2x – 2 < 4x + 4 – 3x + 3, x ∈ N; b) 5x – 5 – 2x – 2 ≥ 4x + 4 – 3x + 3, x ∈ N. 6. Aflaţi cel mai mare şi cel mai mic număr natural care este soluţie pentru inecuaţia: x – 17 < 13.
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.15 Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor
1. Aflaţi:
a) Numărul de 137 ori mai mare decât 21; b) Numărul de 15 ori mai mic decât 225; c) Numărul cu 12 mai mare decât 43; d) Numărul cu 567 mai mic decât 2013. 2. Împărţind un număr natural la 13, obţinem câtul 15 şi restul 11. Aflaţi acel număr. 3. Suma a două numere este 96. Determinaţi numerele ştiind că primul este de trei ori mai mare decât al doilea. 4. Aflaţi un număr natural ştiind că:
a) Dacă adunăm 19 la triplul său obţinem 76; b) Dacă scădem 27 din dublul său obţinem 3; c) Dacă din 100 scădem triplul său obţinem 13. 5. Mă gândesc la un număr. Îl dublez, apoi rezultatul îl adun cu 5 şi noul rezultat îl înmulţesc cu 5 şi obţin 95. La ce număr m-am gândit ? 6. Să se afle:
a) Trei numere naturale consecutive care au suma 2013; b) Patru numere naturale consecutive care au suma 2014. 7. Triplul unui număr natural necunoscut se adună cu 17 iar rezultatul se împarte la 7. Noul rezultat se adună cu 12 şi se obţine numărul 20. Aflaţi numărul necunoscut. 8. Diferenţa a două numere naturale este 2013. Împărţind numărul mai mare la numărul mai mic obţinem câtul 49 şi restul 45. Aflaţi numerele. 9. Suma a două numere naturale pare, consecutive, este cuprinsă între 16 şi 32. Determinaţi cele două numere. 10. Suma a doua numere este 25 iar diferenţa lor este 5. Aflaţi produsul lor. 11. Cât poate cântări o bilă, în număr întreg de kilograme ? (greutatea din stânga are 8 kg, iar cea din dreapta 50 kg).
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Fişa de lucru nr.16 Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi inecuaţiilor
1. Suma a patru numere naturale consecutive este 58. Aflati numerele. 2. Un numar natural se inmulteste cu 6, rezultatul se aduna cu 8, iar noul rezultat se imparte la 2. Daca rezultatul obtinut este 19 , sa se afle numarul initial. 3. Aflati un numar stiind ca daca la dublul sau adunam 7, iar rezultatul astfel obtinut il inmultim cu 4 obtinem 52. 4. Ana, Ionut si Corina au impreuna 22 de baloane. Aflati cate are fiecare stiind ca Ionut are cu 2 mai multe ca Ana, iar Corina are de doua ori mai multe ca Ana.. 5.Un numar natural se inmulteste cu 9, din rezultat se scade 9, noul rezultat se imparte exact la 6 si se aduna cu 24, obtinand 39 .Aflati numarul initial. 6. Suma a doua numere este 27, iar diferenta lor este 7. Calculati produsul numerelor. 7. Doua numere au suma 405, iar unul din ele este de 4 ori mai mare decat celalalt. Aflati numerele. 8. Calculati latura unui patrat cu perimetrul 32m. 9. Calculati perimetrul si aria unui dreptunghi cu L=35m si l=20m. .Aflaţi un număr ştiind că dacă la dublul său adunăm 7 iar rezultatul astfel obţinut îl inmulţim cu 3 obţinem 39. 10. Aflaţi un număr ştiind că dacă din triplul său scădem 23 iar împărţim la 2 obţinem 2 .
rezultatul astfel obţinut îl
11.Anamaria , Bogdan şi Oana au împreună 22 baloane .Aflaţi câte are fiecare ştiind că Bogdan are cu 2 mai multe ca Anamaria iar Oana are de două ori mai multe ca Anamaria. 12.Gabriela , Răzvan , Alexandra şi Florica au împreună 34 creioane colorate.Aflaţi câte are fiecare ştiind că Răzvan are de două ori mai multe ca Gabriela , Alexandra are de trei ori mai multe ca Gabriela , iar Florica are cu 6 mai multe ca Gabriela. 13.Suma a trei numere naturale consecutive este 66.Aflaţi numerele. 14.Suma a cinci numere naturale consecutive este 75.Aflaţi numerele. 15.Aflaţi toate numerele naturale care:
a) Înmulţite cu 6 dau un rezultat mai mic ca 24; b) Împărţite la 4 dau un rezultat mai mic sau egal cu 2; c) Adunate cu 122 dau un rezultat mai mic ca 130; 16. Aflaţi toate numerele naturale care îndeplinesc condiţia: a) Scăzând 15 din triplul lor obţinem un rezultat mai mare ca 3; b) Adunând 56 la dublul lor obţinem un rezultat mai mare ca 100; c) Scăzând 12 din jumătatea lor obţinem un rezultat mai mic ca 2;
Numerele naturale
������ �� ��� ��
Bibliografie [1] Dan Brânzei (coord.), A.Cârstoveanu , C.Chiteş , I.Galan,R.Diaconescu , Gh. Maiorescu , N.Miron, A.Pavel , C.Pop , G.Popa , C.Poştaru , Şt.Smărăndoiu ,I.Şerdean , C.Timofte,I.Trifon, D.Vlăducu Matematică ,olimpiade şi concursuri şcolare , Editura Paralela 45, 2009 [2] Gazeta Matematică serie B, anii 2010-2012 [3]Leon Piţu ,Gabriela Zanoschi , Matematică-aritmetică, algebră, geometrie ,clasa a V-a, standard, Editura Paralela 45 , 2012 [4] S.Peligrad , D.Zaharia ,M.Zaharia , Matematică-aritmetică, algebră, geometrie , clasa a V-a, consolidare, partea I , Editura Paralela 45 , 2012 [5] Site-ul www.didactic.ro
