Numere Complexe(Forma Algebrica Si Geometric A

MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE

1.Forma algebrică. Egalitatea a două numere complexe. Operaţii cu numere complexe Definiţia 1 Numerele de forma z = a + bi , , unde complexe (scrise în formă algebrică). i se numeşte unitatea imaginară a se numeşte parte reală bi se numeşte parte imaginară b se numeşte coeficientul părţii imaginare

se numesc numere

Mulţimea numerelor complexe se notează cu C. Definiţia 2 Două numere complexe d .

se numesc egale dacă a = c şi b =

Exemplu Să se determine numerele reale  x şi y din relaţia : ( x  x + y ) + (3 x + y )i = 3 – i. Rezolvare Observăm că în fiecare membru al a l egalităţii avem câte un număr complex.

Pentru ca acestea să fie egale vom pune condiţiile din definiţia 2 : . Se rezolvă acest sistem şi obţinem:  x = - 2 şi y = 5. Definiţia 3 Definim pe C operaţiile de adunare şi înmulţire, astfel: (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d )i (a + bi) (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i. ⋅

Observaţi În fond adunarea şi înmulţirea se efectuează la fel ca la polinoame doar că se ţine cont, acolo unde este cazul, că Exemple + ⋅

= 2 + 3i – 4 + i = - 2 + 4i ; = 2 + 3i + 4 - i = 6 + 2i ; = - 8 + 2i – 12i +3

= - 8 – 10i + 3 (- 1) = - 11 – 10 i . •

2.Modul. Numere complexe conjugate. Definiţia 4 Modulul unui număr complex z = a + bi este numărul real notează prin

şi se

.

Observaţii Dacă

atunci

Exemplu

. Definiţia 5 Dacă z = a + bi este un număr complex atunci

se numeşte

conjugatul său. Numerele z şi se numesc conjugate. Observaţii Suma şi produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale;

Dacă

atunci

Exemple i.

3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele complexe se reprezintă geometric prin puncte ale unui plan (numit planul complex) în care am ales un sistem de axe ortogonale xOy. Fiecărui număr complex z = a + bi , i se asociază punctul M de coordonate (a,b). Punctul M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex z , iar numărul z = a + bi se numeşte afixul punctului M. Exemplu Numerelor complexe

li se asociază respectiv

punctele

. Desenul îl puteţi face şi singuri.

Observaţii Fie z = a + bi şi M(a,b) imaginea sa geometrică. Atunci = este chiar lungimea segmentului OM. Aşadar numerele complexe de modul egal cu r se reprezintă în plan prin punctele cercului cu centrul în origine şi de rază r . 4.Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul II Fie ecuaţia

. În cazul în care

are două rădăcini complexe date de formulele:

ecuaţia

.

Observaţii Rădăcinile ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali sunt numere complexe conjugate. Rezultatele de la capitolul Ecuaţia de gradul II, privitoare la: relaţiile lui Viete, formarea ecuaţiei de gradul II când i se cunosc rădăcinile şi descompunerea trinomului de gradul II, rămân valabile şi în acest caz. Exemplu Să se rezolve ecuaţia

.

Rezolvare

deci ecuaţia are rădăcini complexe: analog

.

Exerciţii propuse A.(uşoare) Să se găsească numerele reale x şi y astfel încât : a) (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i b) (2 + i)x - (2 - i)y = x – y + 2i. Să se calculeze:

şi

Să se arate că numerele complexe

,

sunt soluţii ale ecuaţiei

Să se calculeze: Să se reprezinte geometric numerele complexe: a) 3 + 5i ; b) 4 - i ; c) 3i ; d) – 5 – 5i. Să se rezolve în C ecuaţiile: .

B.(nivel mediu)

7. Să se calculeze 8. Să se determine

unde astfel încât numărul

să fie real.

a) m = 2 b) m = 0 c) m = 1 d) m = 3 e) m = -1 . Să se rezolve în C ecuaţiile:

;

10. Să se determine numerele complexe z, astfel încât C.(dificile) 11. Dacă

şi

sunt rădăcinile ecuaţiei

, să

se calculeze:

12. Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie

.