Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri comerciale fără specificarea sursei şi acordul autorului
,
Referenţi ştiinţifici: Profesor metodist Apostol Constantin Colegiul Naţional Alexandru Vlahuţă, Râmnicu Sărat Profesor grad I Stanciu Neculai director Grupul Şcolar Tehnic”Sf. Mc. SAVA”,Berca
2
Dedic această carte elevilor mei de la Grupul Şcolar Tehnic „ Sfântul Mucenic Sava”, Berca.
3
y A(a+ib) c O
b a
x
A’(a-ib)
4
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie
În geometria plană, se poate utiliza ca metodă de rezolvare a unor probleme sau teoreme numerele complexe fie sub forma algebrică z=x+iy, fie sub forma trigonometrică z=r e iϕ unde r= z iar
ϕ =arg z întrucât fiecărui punct din plan îi corespunde un număr complex z=x+iy numit afixul punctului respectiv. De asemenea, fiecărui segment orientat îi putem asocia numărul complex corespunzător. Dacă M 1 , M 2 , M 3 ,….. M n sunt puncte în plan iar OM 1 , OM 2 , OM 3 ,........., OM n sunt vectorii de poziţie corespunzători, atunci vectorul OM se scrie ca o combinaţie liniară de aceşti vectori astfel:
OM = k1 OM 1 + k 2 OM 2 + k 3 OM 3 + .........k n OM n . Pentru a transcrie această relaţie în complex, considerăm z1 , z 2 , z3 ,...., z n afixele punctelor M 1 , M 2 , M 3 ,….. M n iar z afixul lui M atunci: z= k1 z1 + k 2 z 2 + k3 z3 + .... + k n z n .
5
1.Raportul în care un punct împarte un segment Fie M 1 , M 2 puncte în plan de afixe z1 , z 2 iar punctul M de afix z împarte
M1 M 2 M 1M z + kz 2 .Din =k⇒z= 1 MM 2 1+ k
segmentul
orientat
în
raportul
k>0
astfel:
M1M z − z1 =k ⇒ = k ⇒ z − z1 = k(z2 − z) ⇒ z = z1 + kz2 − kz ⇒ MM2 z2 − z z=
z1 + kz2 1+ k
Dacă M este mijlocul lui M 1 M 2 atunci k=1 ⇒ z =
z1 + z 2 . 2
Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC situat pe mediana AM, atunci
z + z B + zC z + 2zM AG = 2 ⇒ k=2 ⇒ z G = A = A . 1+ 2 3 GM
2.Măsura unui unghi. Fie M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ) . Atunci
z m( M 2Oˆ M 1 ) = m( M 2Oˆ x) − m( M 1Oˆ x) = arg z2 − arg z1 = arg 2 z1 Pentru punctele M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ) , M 3 ( z 3 ) , z −z m( M 3 Mˆ 1M 2 ) = arg 3 1 . z2 − z1 3.Puncte coliniare. Punctele M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ) , M 3 ( z 3 ) sunt coliniare ⇔
z 3 − z1 ∈R. z 2 − z1
6
M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ) , M 3 ( z 3 ) sunt coliniare
⇔ m(〈 M 3 M 1 M 2 ) ∈ {0, π }
z 3 − z1 z − z1 ∈ {0, π } ⇒ 3 ∈R. z 2 − z1 z 2 − z1 M 1 ( z1 ), M 2 ( z 2 ), M 3 ( z 3 ) sunt coliniare
⇔ arg
⇔ z2 =
în
această
ordine
z1 + kz 3 ,k ∈ R 1+ k
4.Drepte perpendiculare. Două drepte M1M2, M3M4 perpendiculare:
M 1M 2 ⊥ M 3 M 4 ⇔
z1 − z 2 z − z2 ∈ iR, ⇔ Re 1 =0 z3 − z 4 z3 − z 4
Dacă dreptele M 1 M 2
si M 3 M 4 sunt perpendiculare atunci unghiul
dintre ele este
π
2
, sau
z − z 2 ⎧π 3π ⎫ z − z2 3π ⇔ arg 1 = ⎨ , ⎬ ⇔ Re 1 =0 . 2 z3 − z 4 ⎩ 2 2 ⎭ z3 − z 4
5.Patrulater inscriptibil. Fie A( z1 ), B ( z 2 ), C ( z 3 ), D( z 4 ) .
⇔
Patrulaterul
ABCD este inscriptibil
z 3 − z1 z 4 − z1 ∈R. : z3 − z2 z4 − z2
ABCD este inscriptibil ⇔ m(〈 ACB) = m(〈 ADB) ⇔ arg
z1 − z 3 z − z z − z1 z − z4 = arg 1 ∈R. ⇔ 3 1 : 4 z 2 − z3 z2 − z4 z3 − z 2 z 4 − z 2
arg
z1 − z 3 z − z z − z1 z − z4 = arg 1 ∈R. ⇔ 3 1 : 4 z 2 − z3 z2 − z4 z3 − z 2 z 4 − z 2
7
Patru puncte A,B,C,D sunt conciclice dacă şi numai dacă patrulaterul ABCD este inscriptibil. 6.Triunghiuri asemenea. Două
triunghiuri
ABC
şi
A’B’C’
cu
vârfurile
de
afixe
z1 , z 2 , z 3 respectiv z1 ' , z 2 ' , z 3 ' sunt asemenea dacă şi numai dacă: z 2 − z1 z ' 2 − z '1 = . z 3 − z1 z '3 − z '1 Relaţia
se
obţine
din
scrierea
asemănării
triunghiurilor:
z −z z' − z' m (〈 BAC ) = m (〈 B ' A' C ' ) ⇔ arg 2 1 = arg 2 1 z3 − z1 z '3 − z '1 si
z 2 − z1 z3 − z1
=
z '2 − z '1 z '3 − z '1
ΔABC ~ ΔA' B ' C ' ⇒
⇒
z 2 − z1 z ' 2 − z '1 AB A' B' = şi . = AC A' C ' z 3 − z1 z '3 − z '1 1 1 1
Relaţia se mai poate scrie şi astfel: z1
z 2 z3
=0.
z '1 z ' 2 z '3 Astfel putem arăta că un
triunghi ABC
este echilateral
⇔
z A ⋅ ε + z B ⋅ ε + z C = 0, unde 2
ε
este rădăcina de ordinul trei a unităţii, diferită de 1.
8
TEOREME ŞI PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE 1. a) Să se arate că mijloacele laturilor unui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram. b) Să se arate că se poate construi un patrulater cu distanţele de la un punct T la mijloacele patrulaterului dat . Rezolvare: a) Fie z A , z B , z C , z D afixele vârfurilor A,B,C,D ale patrulaterului respectiv. Atunci: afixul mijlocului lui AB este: z M =
z A + zB ; 2
z B + zC ; 2 zC + z D ; afixul mijlocului lui CD este: z P = 2 zD + z A : afixul mijlocului lui DA este: z Q = 2
afixul mijlocului lui BC este: z N =
Pentru a fi paralelogram, trebuie arătat că mijloacele diagonalelor patrulaterului MNPQ coincid, ceea ce este echivalent cu a arăta că:
z M + z P z N + zQ = , relaţie care 2 2
este adevărată dacă înlocuim relaţiile de mai sus. b) Din punctul a) rezultă că MNPQ
⇔ z M + z P = z N + zQ ⇒ z M − z N + z P − zQ
este paralelogram = 0 . Fie zT afixul
punctului T
⇒ ( z M − zT ) + ( zT − z N ) + ( z P − zT ) + ( zT − z Q ) = 0 ⇒ MT + TN + PT + TQ = 0 ⇒ că se poate forma un patrulater cu lungimile vectorilor
TM = z M − zT , TN = zT − z N , TP = zT − z P , TQ = zT − z Q .
9
2. Fie O punctul de intersecţie a diagonalelor unui patrulater ABCD. Să se arate că ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă
zO =
z A + z B + zC + z D . 4
Rezolvare: Dacă ABCD este paralelogram atunci diagonalele AC şi BD au acelaşi mijloc , aşadar relaţia dată este adevărată. Reciproc, fie M respectiv N mijloacele diagonalelor BD respectiv AC. Atunci
zB + zD z A + zC z + z B + zC + z D şi z N = . Cum z O = A 2 2 4 zM + zN ⇒ = zO ⇒ 2 zM =
O este mijlocul segmentului MN ceea ce se întâmplă numai dacă M , N, O sunt identice ⇒ ABCD este paralelogram. 3. Fie triunghiul ABC cu vârfurile de afixe z A , z B , z C , şi laturile BC, CA, AB, de lungime a, b respectiv c. Dacă z I este afixul centrului cercului înscris în triunghiul ABC atunci să se arate că are loc relaţia:
zI =
a ⋅ z A + b ⋅ z B + c ⋅ zC . a+b+c
Rezolvare: Fie D ∈ BC astfel încât AD este bisectoarea unghiului A şi E ∈ AC astfel încât BE este bisectoarea unghiului B . Notăm cu I intersecţia dintre AD şi BE. Aplicând Teorema bisectoarei în triunghiul ABC Rezultă:
BD c a⋅c . = şi de aici rezultă BD = DC b b+c
Din
Teorema
bisectoarei
în
segmentul
orientat
AI AB AI c b+c . ⇒ = ⇒ = = a⋅c ID BD ID a b+c
Cum
D
⇒ zD =
împarte
triunghiul
BC
în
ABD
raportul
c b
c ⋅ zC b ⋅ z B + c ⋅ zC b .(*) = c b+c 1+ b
zB +
10
Punctul
I
împarte
segmentul
orientat
AD
în
raportul
b+c zA + ⋅ zD a ⋅ z A + (b + c) ⋅ z D b+c a ⇒ zI = = b+c a a+b+c 1+ a a ⋅ z A + b ⋅ z B + c ⋅ zC Din (*) ⇒ z I = . a+b+c
A A
E
H
I B
D
C
O C
B A’ D
4. a) Dacă z A , z B , z C respectiv z H sunt afixele vârfurilor respectiv ortocentrului triunghiului ABC să se arate că : z H = z A + z B + z C . b) Dacă G1 ( z1 ), G 2 ( z 2 ), G3 ( z 3 ) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BHC, CHA, AHB, şi O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , să se arate că centrul de greutate al triunghiului G1G2 G3 este situat pe dreapta OH. Rezolvare: a) Se consideră O centrul cercului circumscris triunghiului ABC şi D un punct în plan astfel încât OD = OB + OC . Cum OB =OC rezultă că patrulaterul OBCD este romb ⇒ OD ⊥ BC .
OH = OA + OD = OA + OC + OB (*) Cum
OD AA' si AA' ⊥ BC ⇒ H ∈ AA' ⇒ H se
află
şi
pe
înălţimile BB’, CC’.
11
Dacă într-un sistem de axe ortogonale luăm punctul O drept originea sistemului , atunci din (*) ⇒ z H = z A + z B + z C . Mai mult
⇒ z H = 3 z G adică OH= 3OG b) Fie G( z G ) centrul de greutate al triunghiului G1G 2 G3 : ⇒ z G = z1 + z 2 + z 3 = 3 z B + zC + z H + z A + z H + zC + z A + z H + z B = 9 2( z A + z B + zC ) + 3z H 5 = zH ⇒ 9 9 G aparţine lui OH.
z A , z B , z C afixele vârfurilor triunghiului ABC, cu z A + z B + z C ≠ 0 . Să se arate că dacă punctele M,N,P au afixele
5.
Fie
2
z M = z A + z A ⋅ z B + z A ⋅ zC , 2
z N = z B + z B ⋅ z A + z B ⋅ zC , 2
z P = zC + zC ⋅ z A + zC ⋅ z B atunci triunghiurile MNP şi ABC sunt asemenea. Rezolvare: Cum z M − z N = ( z A − z B )( z A + z B + z C ) ,
z N − z P = ( z B − z C )( z A + z B + z C ) , z P − z M = ( z C − z A )( z A + z B + z C ) ⇒ zM − zN
=
zN − zP
z A − zB z B − zC ΔMNP ~ ΔABC .
=
zP − zM zC − z A
= z A + z B + zC ≠ 0 ⇒
6. Dacă ABC şi MNP sunt două triunghiuri echilaterale din acelaşi plan la fel orientate, să se arate că se poate forma un triunghi cu segmentele AM, BN, CP.
12
Rezolvare:
z − zC z A − zB = A ⇔ zM − zN zM − zP ( z A − z B )( z M − z P ) = ( z M − z N )( z A − z C ) ⇔ ΔABC ~ ΔMNP ⇔
z M ( z C − z B ) + z N ( z A − z C ) + z P ( z B − z A ) = o . Cum z A ( z C − z B ) + z B ( z A − z C ) + z C ( z B − z A ) = o , prin scăderea celor două egalităţi ⇒ ( zM − z A )( zC − z B ) + ( z N − z B )( z A − zC ) + ( z P − zC )( z B − z A ) = o iar prin trecere la modul ⇒
(*)
( z M − z A ) ⋅ ( zC − z B ) ≤ ( z N − z B ) ⋅ ( z A − zC ) + ( z P − zC ) ⋅ ( z B − z A ) ⇔ AM ⋅ BC ≤ BN ⋅ AC + CP ⋅ AB . Triunghiul ABC este echilateral (AB=AC=BC) ⇒ AM ≤ BN + CP . Din relaţia (*) pot fi scrise şi celelalte două inegalităţi ceea ce implică faptul că laturile unui triunghi.
AM, BN şi CP pot fi
7. Fie P un punct situat pe cercul circumscris unui triunghi ABC. Să se arate că ortocentrele triunghiurilor PAB, PBC, PCA formează un triunghi congruent cu triunghiul dat.
Rezolvare: Fie P de afix z şi punctul O centrul cercului circumscris triunghiului ABC astfel încât z O = 0 . Fie H 1 ortocentrul triunghiului MAB de afix : z1 = z + z A + z B Fie H 2 ortocentrul triunghiului MAC de afix : z 2 = z A + zC + z Fie H 3 ortocentrul triunghiului MBC de afix : z3 = z + z B + zC ⇒
13
H 1 H 2 = z 2 − z1 = z C − z B = BC H 1 H 3 = z 3 − z1 = z C − z A = AC H 2 H 3 = z 3 − z 2 = z B − z A = AB ⇒ c.c.t.d . 8. Fie ABC şi A’B’C’ două triunghiuri cu centrele de greutate G respectiv G’ şi punctele M, N, P situate pe segmentele AA’, BB’, CC’ care le împart în raportul k. Să se arate că centrul de greutate al triunghiului MNP este situat pe segmentul GG’ şi îl împarte pe acesta tot în raportul k.
Rezolvare: Fie A( z1 ), B( z 2 ), C ( z 3 ), A' ( z '1 ), B' ( z ' 2 ), C ' ( z '3 ), M ( z M ), N ( z N ), P( z P ). astfel încât AM BN CP = = =k MA' NB ' PC ' z + kz ' 3 z + kz '1 z + kz ' 2 , zN = 2 , zP = 3 . Atunci : z M = 1 1+ k 1+ k 1+ k Centrul de greutate al triunghiului ABC este G( z G ) z + z 2 + z3 ⇒ zG = 1 . 3 Centrul de greutate al triunghiului A’B’C’ este G’( z'G ) z' + z' + z' ⇒ z 'G = 1 2 3 . 3 Dacă notăm cu G’’(g) centrul de greutate al triunghiului MNP z + zN + zP atunci ⇒ g = M = 3 1 z1 + z2 + z3 z1 + z2 + z3 + k ( z '1 + z '2 + z '3 ) + = ⋅ 3(1 + k ) 1+ k 3 k z '1 + z '2 + z '3 zG + k ⋅ z 'G ⇒ + ⋅ = 1+ k 3 1+ k G,G’,G’’ sunt coliniare şi punctul G’’ împarte segmentul GG’ în raportul k. =
14
9. (Teorema lui Pappus). Fie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ situate pe laturile BC, AC respectiv AB le împart pe acestea în acelaşi raport k. Să se arate că triunghiurile ABC şi A’B’C’ au acelaşi centru de greutate.
Rezolvare: Fie punctele A( z1 ), B( z 2 ), C ( z 3 ), A' ( z '1 ), B ' ( z ' 2 ), C ' ( z ' 3 ) şi BA' CB ' AC ' = = =k⇒ A' C B' A C ' B z + kz 3 z + kz1 z + kz 2 z '1 = 2 z'2 = 3 z '3 = 1 , , , centrul de 1+ k 1+ k 1+ k greutate al triunghiului A’B’C’ este G’(g’) cu g’= z '1 + z ' 2 + z '3 z1 + z 2 + z 3 + k ( z1 + z 2 + z 3 ) z1 + z 2 + z 3 = = g, = 3 3(1 + k ) 3 unde G(g) este centrul de greutate al triunghiului ABC.
A
B’
C’
G=G’ C
B A’
10.
Să
se
OG 2 = R 2 −
arate
că
în
orice
triunghi
are
loc
relaţia
AB + BC + CA . (Teorema lui Euler) 9 2
2
2
unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, G centrul său de greutate iar R este raza cercului circumscris.
Rezolvare: Fie O
originea sistemului de axe. 2 2 2 AB + BC + CA ⇔ OG 2 = R 2 − 9 9OG 2 = 3R 2 + 3R 2 + 3R 2 − AB 2 − BC 2 − CA 2 ⇔
⇒
15
2
⎛ z + z B + zC ⎞ 2 2 2 2 2 9⎜ A ⎟ = 3 z A + 3 z B + 3 zC − ( z B − z A ) − ( zC − z B ) 3 ⎝ ⎠ − ( z A − zC ) ⇔ 2
2
2
2
2
2
2
z A + z B + zC + 2( z A z B + z B zC + zC z A ) = 3z A + 3z B + 3zC − 2
2
2
− 2 z A − 2 z B − 2 zC + 2( z A z B + z B zC + zC z A ) ceea ce este adevărat, rezultă că teorema este demonstrată. 11. Fie A, B, C, D patru puncte oarecare, distincte din plan. Să se arate că există un unic punct G astfel încât z A + z B + z C + z D = 0, unde
z A , z B , z C , z D sunt afixele punctelor A,B,C,D. Rezolvare. Fie O originea sistemului cartezian şi M,N,P,Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA . Cum mijloacele laturilor unui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram rezultă că intersecţia diagonalelor MP şi NQ pe care o notăm cu G este un punct de afix z A + z B zC + z D + z + z B + zC + z D zM + zP 2 2 = . zG = = A 2 2 4 z G = 0 ⇔ z G = z O adică G coincide cu originea sistemului cartezian ⇒ există şi este unic punctul G astfel încât z A + z B + zC + z D = 0 . 12. Fie ABCD şi A’B’C’D’ paralelograme astfel încât punctele M,N,P,Q împart segmentele AA’, BB’, CC’, DD’ în acelaşi raport k. Să se arate că MNPQ este paralelogram.
Rezolvare: Fie A( z1 ), B( z 2 ), C ( z 3 ), D( z 4 ) , A' ( z '1 ), B' ( z ' 2 ), C ' ( z ' 3 ), D' ( z ' 4 ) vârfurile paralelogramelor de
16
afixe corespunzătoare ⇔ z1 + z 3 = z 2 + z 4 , z '1 + z '3 = z ' 2 + z ' 4 . (*) Fie M ( z M ), N ( z N ), P( z P ), Q( z Q ) punctele care împart segmentele AA’,BB’,CC’,DD’ în raportul k. AM BN CP DQ = = = =k MA' NB' PC ' QD' z + kz ' 3 z + kz '1 z + kz ' 2 Atunci rezultă: z M = 1 , zN = 2 , zP = 3 , 1+ k 1+ k 1+ k z + kz ' 4 . Rezultă: zQ = 4 1+ k z + z 3 + k ( z '1 + z ' 3 ) zM + zP = 1 , 1+ k z + z 4 + k ( z'2 + z'4 ) . Din relaţiile (*) rezultă z N + zQ = 2 1+ k z M + z P = z N + z Q ceea ce este echivalent cu faptul că MNPQ este paralelogram. 13. Fie ABCD un patrulater convex şi punctele M, P ∈ (BD), iar N, Q ∈ (AC) împart segmentele orientate în raportul k astfel :
MB PD NC QA = = = =k. MD PB NA QC
a) Să se arate că centrul de greutate al patrulaterului ABCD coincide cu centrul de greutate al patrulaterului MNPQ. b) Fie E mijlocul lui (BD) şi F mijlocul lui (AC). Să se arate că mijlocul segmentului EF este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ.
Rezolvare: a) Să presupunem că G este centrul de greutate al patrulaterului ABCD şi să arătăm că G este şi centrul de greutate al ⇔ z A + z B + zC + z D = patrulaterului MNPQ z M + z N + z P + zQ Din
z − k ⋅ zD MB = k ⇒ zM = B , MD 1− k
17
z − k ⋅ zC QA , = k ⇒ zQ = A 1− k QC z − k ⋅ zB PD = k ⇒ zP = D , PB 1− k z − k ⋅ zA NC .⇒ = k ⇒ zN = C NA 1− k z A + z B + z C + z D − k ( z A + z B + zC + z D ) 1− k = z A + z B + zC + z D ⇒ c.c.t.d. b) Fie G mijlocul segmentului EF. A arăta că G este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ revine la a arăta că G este z + z B + zC + z D centrul de greutate al lui ABCD ⇔ z G = A . 4 G este mijlocul lui EF ⇒ z B + z D z A + zC + zE + zF z + z B + zC + z D 2 2 = A = zG = 2 2 4 ⇒ c.c.t.d . z M + z N + z P + zQ =
O A A
Q
G M B
E
P
F
M
D
D
N B
N
C
C
18
14. Fie ABCD un trapez cu AD N ∈ (BC)
astfel
încât
BC şi
MA NB = . MD NC
punctele M
∈ (AD) ,
Notând cu O punctul de
intersecţie a dreptelor AB cu CD să se demonstreze că punctele O, M, N, sunt coliniare.
Rezolvare: Fie punctele A( z A ), B( z B ), C ( z C ), D( z D ), M ( z M ), N ( z N ), O( z O ) cu afixele corespunzătoare. z − k ⋅ zC z − k ⋅ zD MA NB = = k 〈0 ⇒ z M = A , zN = B Din . MD NC 1− k 1− k OA OD Cum AD BC ⇒ = = t〉0 ⇒ AB DC z + t ⋅ zB z + t ⋅ zC zA = O , zD = O 1+ t 1+ t Pentru a arăta că O, M, N sunt coliniare este suficient să z + t ⋅ zN OM = t ⇔ zM = O . arătăm că MN 1+ t
zO + t ⋅ z B z + t ⋅ zC −k⋅ O z − k ⋅ zD 1+ t = zM = A = 1+ t 1− k 1− k ⎡ ⎤ k 1 = zO ⎢ − ⎥+ ⎣ (1 + t )(1 − k ) (1 + t )(1 − k ) ⎦ ⎡ ⎤ zB k ⋅ zC − + t⎢ ⎥= ⎣ (1 + t )(1 − k ) (1 + t )(1 − k ) ⎦ t z + t ⋅ zN 1 ⋅ zN = O = zO ⋅ + 1+ t 1+ t 1+ t Aşadar , punctele O, M, N sunt coliniare.
19
15. Să se demonstreze că dacă ABCD este un patrulater inscriptibil atunci centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA, DAB sunt puncte conciclice.
Rezolvare: Fie punctele A( z A ), B( z B ), C ( z C ), D( z D ) - vârfurile patrulaterului ABCD . ABCD este inscriptibil z − zC z − zD ⇔ m ADˆ B = m ACˆ B ⇔ arg B = arg B ⇔ zA − zD z A − zC
(
) (
)
z B − z D z B − zC : ∈ R . (*) z A − z D z A − zC Fie G1 ( z1 ) - centrul de greutate al triunghiului ABC de afix z1 z + z B + zC ⇒ z1 = A ; 3 G2 ( z 2 ) - centrul de greutate al triunghiului BCD de afix z 2 z + zC + z D ⇒ z2 = B ; 3 G3 ( z 3 ) - centrul de greutate al triunghiului CDA de afix z 3 zC + z D + z A ; 3 G4 ( z 4 ) - centrul de greutate al triunghiului ABD de afix z 4 z + zB + zD . ⇒ z4 = A 3 ⇒ z3 =
⇒ G1G2 G3 G4 este inscriptibil
(
) (
)
z −z z − z4 ⇔ m G3 Gˆ 1G2 = m G3 Gˆ 4 G2 ⇔ arg 3 1 = arg 3 ⇔ z 2 − z1 z2 − z4 z − z z − z4 z − z B zC − z B ⇔ 3 1: 3 ∈R ⇔ D : ∈R relaţie z 2 − z1 z 2 − z 4 z D − z A zC − z A adevărată din (*). Rezultă că patrulaterul
20
G1G2 G3 G4 este inscriptibil adică vârfurile sale sunt patru puncte conciclice. 16. Fie ABC un triunghi, M un punct în planul triunghiului, G centrul său de greutate iar A’ , B’ respectiv C’ mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. Să se arate că are loc relaţia: 2
2
MA 2 + MB 2 + MC 2 + 9 MG 2 = 4 ( MA ' + MB ' + MC '
2
).
Rezolvare:
A
B’
C’
M
G
B
C A’
Fie M un punct în exteriorul triunghiului ABC şi z A , z B , z C afixele punctelor A,B,C , atunci relaţia 2 2 2 MA 2 + MB 2 + MC 2 + 9 MG 2 = 4 ( MA ' + MB ' + MC ' ) devine: 2
2
2
z A + z B + zC
2
⎛ z + z B + zC ⎞ + 9⎜ A ⎟ = 3 ⎝ ⎠
, unde punctul M ⎡⎛ z B + zC ⎞ 2 ⎛ z A + zC ⎞ 2 ⎛ z A + z B ⎞ 2 ⎤ 4 ⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ este originea sistemului ortogonal de axe. Mai departe rezultă 2 2 2 2 2 2 z A + z B + zC + z A + z B + zC + 2( z A z B + zB zC + zC z A ) =
(
)
= 2 z A + zB + zC + 2( z A zB + z B zC + zC z A ) ceea ce este adevărat , rezultă de aici că relaţia dată este adevărată. 2
2
2
21
17. Pe laturile AB şi BC ale triunghiului ABC se construiesc pătrate având centrele D şi E , astfel încât punctele C şi D sunt situate de aceeaşi parte a dreptei AB, iar punctele A şi E sunt separate de dreapta BC. Să se arate că dreptele AC şi DE se intersectează după un unghi de 45º.
Rezolvare: Fie z A , z B , z C , z D , z E afixele punctelor A, B, C, D, E. Cum segmentul BD se obţine din rotaţia lui AD cu un unghi de 90º ⇒ π π⎞ ⎛ z B − z D = ⎜ cos + i sin ⎟ ⋅ ( z A − z D ) =i ⋅ (z A − z D ) ⇒ 2 2⎠ ⎝ iz − z B zD = A . i −1 De asemenea BE se obţine din rotaţia lui CE cu un unghi de iz − z B . 90º ⇒ z E = C i −1 z A − zC z A − zC i −1 = = 1+ i = = z D − z E iz A − z B − izC + z B i i −1 π π⎞ ⎛ = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⇒ 4 4⎠ ⎝ AC şi DE formează între ele un unghi de 45º.
22
A
A
D
*D
F
C
B *E
P C
B E
N M
18. Fie ABCD şi CMNP două pătrate care nu au puncte interioare comune. Să se arate că mijlocul lui BM, C şi piciorul perpendicularei din C pe DP sunt trei puncte coliniare.
Rezolvare: Fie E mijlocul lui BM şi se prelungeşte EC până se intersectează cu DP în F. Aşadar a arăta că punctele E, C, F sunt coliniare este suficient să arătăm că EF este perpendicular pe DP echivalent cu zE − zF ∈ iR. zD − zP Rotind pe DC cu 90º se obţine BC astfel: π π⎞ ⎛ z B − zC = ⎜ cos + i sin ⎟ ⋅ ( z D − zC ) = i ( z D − zC ) 2 2⎠ ⎝ . (i − 1) zC + z B ⇒ zD = = (1 + i ) zC − iz B i Analog CP se obţine din CM printr-o rotaţie de unghi 90º ⇒
23
π π⎞ ⎛ z P − z C = ⎜ cos + i sin ⎟ ⋅ ( z M − z C ) ⇒ z P = (1 − i ) z C + iz M . 2 2⎠ ⎝ E, C, F coliniare ⇒ EC se obţine din CF printr-o rotaţie de 180º ⇒ CE (cos π + i sin π ). Notăm cu r raportul CF z + zM CE . Cum z E = B 2 CF z + zM ⇒ B − z C = − r ⋅ z F + r ⋅ zC + r ⋅ z F ⇒ 2 2 z (r + 1) − z B − z M zF = C 2r z E − z F (r + 1)( z B + z M − 2 z C ) r + 1 = = ⋅ i ∈ iR ⇒ EF ⊥ DP. zD − zP − 2ri ( z B + z M − 2 z C ) 2r z E − z C = (z F − z C ) ⋅
19. Se consideră patrulaterul convex ABCD, iar E respectiv F mijloacele diagonalelor AC respectiv BD . Să se arate că are loc relaţia:
AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2 + 4EF 2 (Relaţia lui Euler) . Rezolvare. Fie z A , z B , z C , z D , z E , z F afixele punctelor A, B, C, D, E, F. Avem de arătat următoarea relaţie: 2 2 2 2 z B − z A + zC − z B + z D − zC + z A − z D = 2
2
2
zC − z A + z D − z B + 4 z F − z E .
Cum E respectiv F sunt mijloacele diagonalelor AC respectiv BD ⇒
24
2
2
( z E − z F ) = z E − 2 z E ⋅ z F + z F = z A + 2 z A zC + zC − 4 2 2 z + z z + zD zB + 2 zB zD + zD −2 A C B + ⇒ 2 2 4 2 2 2 4( z E − z F ) = z A + 2 z A zC + zC − 2 z A z B − 2 z A z D − 2 zC z B − 2
2
2
2
2
− 2 zC z D + z B + 2 z B z D + z D ⇒
4( z E − z F ) = ( z A − 2 z A z B + z B ) + ( z C − 2 z B z C + z B ) + 2
2
2
2
2
2
2
2
2
( zC − 2 zC z D + z D ) + ( z D 2 z A z D + z A ) − 2
2
2
2
− ( z A − 2 z A zC + z D ) − ( z B − 2 z B z D + z D ) 2
2
2
2
Am adunat şi am scăzut suma z A + z B + z C + z D ⇒
4( z E − z F ) = ( z A − z B ) + ( z B − zC ) + ( zC − z D ) + ( z D − z A ) − 2
2
2
2
2
− ( z A − zC ) − ( z B − z D ) ⇒ 2
4 zE − zF
2 2
2
2
2
2
2
= z A − z B + z B − zC + zC − z D + z D − z A − 2
− z A − zC − z B − z D ⇒
4 EF 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 − AC 2 − BD 2 c.c.t.d. 20. Să se arate că într-un patrulater convex există relaţia: AC ⋅ BD ≤ AB ⋅ CD + AD ⋅ BC . (Inegalitatea lui Ptolemeu)
Rezolvare: Fie z A , z B , z C , z D afixele punctelor A, B, C, D. Atunci ( z C − z A ) ⋅ ( z D − z B ) + ( z B − z A ) ⋅ ( zC − z D ) + + ( z D − z A ) ⋅ ( z B − zC ) = 0 ⇒ ( z C − z A ) ⋅ ( z D − z B ) = ( z B − z A ) ⋅ ( z D − zC ) + + ( z D − z A ) ⋅ ( zC − z B ) Prin trecere la modul ⇒ zC − z A ⋅ z D − z B ≤ z B − z A ⋅ z D − zC + z D − z A ⋅ zC − z B ⇒ AC ⋅ BD ≤ AB ⋅ CD + AD ⋅ BC .
25
21. Fie A( z A ), B ( z B ), C ( z C ) vârfurile unui patrulater iar D este un punct de afix z D =
z A z B + z A zC + z B zC . Să se arate că patrulaterul z A + z B + zC
ABCD este inscriptibil.
Rezolvare: Dacă punctele A, B, C sunt pe un cerc de rază r atunci z A = z B = zC = r〉0 ⇒ z A z A = z B z B = z C z C = r 2 , mai rămâne să arătăm că şi D se
află pe cerc ⇔ z D = r ⇔ z D z D = r 2 z A ⋅ z B + z B ⋅ zC + z C ⋅ z A r 2 ( z A + z B + zC ) = zD = z A z B + z B zC + z A zC z A + z B + zC ⇒ z D ⋅ z D = r 2 ⇒ ABCD este inscriptibil 22. Fie triunghiul ABC cu BM ⊥ AB , BM=AB, CP ⊥ AC, CP=AC, E ∈ BC, EB=EC astfel încât
NE ⊥ BC, NE=
BC . Să se arate că 2
punctele M, N, P sunt coliniare.
Rezolvare: z M − z B = ( z A − z B ) ⋅ i ⇒ z M = z B + ( z A − z B )i z P − z C = −( z A − z C ) ⋅ i ⇒ z P = z C − ( z A − z C )i z B + zC z − zB z + zC z − zB =i C ⇒ zN = B +i C 2 2 2 2 zP − zM ⇒ = 2 ∈ R ⇒ M, N, P sunt coliniare zP − zN zN −
26
A P
N M
B
E
C
23. Să se determine mulţimea punctelor M de afix z astfel încât 2 punctele A(1), M(z), B( 1 + z + z ) să fie coliniare.
Rezolvare: Fie z=x+iy afixul punctului M. ⇒ z M − z A = x + iy − 1 = x − 1 + iy z B − z A = 1 + z + z 2 − 1 = x + iy + ( x + iy ) 2 = x + x 2 − y 2 + i ( y + 2 xy ) Punctele A, M, B sunt coliniare ⇔ vectorii AM ( x − 1, y ), si AB ( x + x 2 − y 2 , y + 2 xy ) să fie coliniari
⇔ (x-1)(y+2xy)-y( x + x 2 − y 2 )=0 ⇒ y ( x 2 + y 2 − 2 x − 1) = 0 ⇒ locul geometric căutat este
cercul de centru A(1,0) şi de rază
2.
24. Fie ABC un triunghi iar pe laturile sale se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ABP, BMC, CNA. Să se arate că centrele lor de greutate formează un triunghi echilateral. Rezolvare:
ΔMBC echilateral ⇒ z B + εz M + ε 2 z C = 0
⋅ ε 2 ⇒ z B ⋅ ε 2 + z M + z C ⋅ ε = 0 (1)
ΔACN echilateral ⇒ z C + ε ⋅ z N + ε 2 ⋅ z A = 0
(2)
27
ΔAPB echilateral ⇒ z A + εz P + ε 2 z B = 0 ⋅ ε ⇒ z A ⋅ ε + z P ⋅ ε 2 + z B = 0
(3)
Adunând cele trei relaţii ⇒ z B + zC + z M + ( z A + z N + z C ) ⋅ ε + ( z P + z A + z B ) ⋅ ε 2 = 0 : 3 ⇒ zG1 + zG2 ⋅ ε + zG3 ⋅ ε 2 = 0 ⇒ G1G2 G3 este echilateral.
N
A
P
A G2
G3
Q
M D B
C
B
G1
N C
P
M
25. Pe laturile patrulaterului ABCD se construiesc în exterior triunghiurile dreptunghice isoscele AMB, BNC, CPD, DQA. Să se arate că MP este perpendicular pe NQ.
Rezolvare. z B − z M = ( z A − z M ) ⋅ i ⇒ z M (1 − i ) = z B − z A ⋅ i z C − z N = ( z B − z N ) ⋅ i ⇒ z N (1 − i ) = z C − z B ⋅ i z D − z P = ( z C − z P ) ⋅ i ⇒ z P (1 − i ) = z D − z C ⋅ i z A − z Q = ( z D − z Q ) ⋅ i ⇒ z Q (1 − i ) = z A − z D ⋅ i ⇒
28
( z P − z M )(1 − i ) = z D − z B + ( z A − z C ) ⋅ i ( z Q − z N )(1 − i ) = z A − z C + ( z B − z D ) ⋅ i ⇒ z P − z M = ( zQ − z N ) ⋅ i ⇒ ⇒ MP = NQ şi MP ⊥ NQ. 26. Fie paralelogramul ABCD şi P ∈ (BD), M ∈ (AD), N ∈ (AB) astfel încât PM
AB şi PN
AD. Să se arate că triunghiul MNC şi
triunghiul ale căror vârfuri sunt centrele de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD au acelaşi centru de greutate.
Rezolvare: Este suficient să arătăm că z M + z N + z C = z1 + z 2 + z 3 , unde z1 , z 2 , z 3 sunt afixele centrelor de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD. Avem: 3 z1 = z D + z M + z P
3z 2 = z B + z N + z P 3z 3 = z B + z C + z D ⇒ 3( z1 + z 2 + z 3 ) = z M + z N + z C + 2( z P + z D + z B ). Cum ABCD este paralelogram
⇒ z A + zC = z B + z D + z P ⇒ z A + zC + z P = z B + z D + z P . Din AMNP paralelogram
⇒ z A + zP = zM + zN ⇒ z A + zC + z P = z M + z N + zC = z B + z D + z P ⇒ 3( z1 + z2 + z3 ) = zM + z N + zC + 2( z P + z D + z B ) = = 3( z M + z N + zC ) : 3 ⇒ c.c.t.d .
29
N
A M
A
D P
a
B C
B
b
E
c
C
27. Fie E un punct situat arbitrar pe latura BC a triunghiului ABC. Să se arate că are loc relaţia:
AB 2 ⋅ EC + AC 2 ⋅ BE − BE ⋅ EC ⋅ BC = AE 2 ⋅ BC (Teorema lui Stewart). Rezolvare:
Dacă asociem vectorilor AE, BE, EC numerele complexe corespunzătoare a,b,c atunci lui AC îi corespunde numărul a+c, lui AB numărul a-b, iar lui BC numărul b+c. Plecând de la identitatea: c(a − b) 2 + b(a + c) 2 = a 2 (b + c) + bc(b + c) pe care trecând-o la module, vom obţine tocmai relaţia din teorema lui Stewart. 28. Fie ABCD un patrulater convex cu E ∈ (AD), F ∈ (BC) astfel încât
AE BF = şi M ∈ (AB), N ∈ (EF), P ∈ (CD) ED FC AM EN DP = = . Să se arate că M, N, P sunt coliniare. astfel încât MB NF PC Rezolvare:
Fie
AE BF = =k ED FC
⇒ zE =
z A + kz D 1+ k
zF =
z B + kz C 1+ k
30
AM EN DP = = =t MB NF PC z + tz C zP = D ; 1+ t şi
⇒ zM =
z A + tz B z + tz F ; zN = E ; 1+ t 1+ t
Prin înlocuirea lui zE şi a lui zF în zN rezultă: z A + kz D z + kzC +t B 1 + k = z A + tz B + kzD + ktzC = zN = 1 + k 1+ t (1 + t )(1 + k ) z A + tz B z + tzC +k D 1 + t = z M + kzP = 1+ t 1+ k 1+ k ⇒ M, N, P sunt coliniare.
31
BIBLIOGRAFIE
-
Culegere de probleme de matematică - Mihai Cocuz, Editura Academiei, Bucureşti 1984; Culegere de probleme de matematică pentru clasa a X-a , - Maria Batineţu-Giurgiu şi colaboratori, Editura Porto-Franco, 1993: Culegere de probleme pentru concursurile de matematică- D. Acu şi colaboratori, Editura Societăţii de Ştiinţe Matematice din România, Bucureşti, 1997; Exercices et problemes de mathematiques- Joseph Gibert; Matematica în concursurile şcolare2001,2004-Dan Brânzei şi colaboratori, Editura Paralela 45; Numere complexe, Virgil Nicula; Probleme din Gazeta Matematică, N. Teodorescu şi colaboratori, Editura Tehnică, Bucureşti 1984. Probleme de geometrie şi de trigonometrie - Stere Ianuş, Nicolae Soare şi colab. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti ,1991 Probleme practice de geometrie - Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff, Editura tehnică, Bucureşti,1990; Probleme de geometrie - I.C.Drăghicescu, Editura Tehnică,1987 Manual de matematică pentru clasa a X-a, Costel Chiteş, Editura Sigma 2000; Manual de matematică pentru clasa a X-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress 2005;
32
33
Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri comerciale fără specificarea sursei şi acordul autorului
34
1. Mulţimea numerelor reale 1.. Scrierea în baza zece:
abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + d a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unităţilor;
a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 = = a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001 e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor. 2. Fracţii -Fracţii zecimale finite: a, b =
ab ; 10
a, bc =
abc ; 100
-Fracţii zecimale periodice:-
ab − a abc − a ; a, (bc) = ; 9 99 abc − ab abcd − ab mixte: a, b(c ) = ; a, b(cd ) = ; 90 990 simple: a, (b) =
3.. Rapoarte şi proporţii
a a a⋅n se numeste raport ∀b ≠ 0; = = k, n ∈ Q* , b b b⋅ n k se numeşte coeficient de proporţionalitate ; Proprietatea fundamentală a proporţiilor:
a c = ⇒a⋅ d = b⋅ c b d 4. Proporţii derivate: ⎧ ⎪ ⎪ a c ⎪ = ⇒ ⎨ b d ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
b d sau = a c a = a ± b c a a + c = b b + d
d c a b sau = = b a c d c a ± b c = sau ± d b a a − c = sau sau b b − d
± d d a2 c2 . = 2 b d 2
35
5. Sir de rapoarte egale: a a + a 2 + a 3 + .... + a n ; a1 a = 2 = ......... = n = 1 b1 b2 bn b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n )
sunt direct
a a1 a 2 = = .. = n = k . b1 b2 bn
proporţionale ⇔
(a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers proporţionale
⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn
6. Modulul numerelor reale Proprietăţi:
a
⎧ ⎪ a, ⎪ ⎨ 0, ⎪ ⎪− a, ⎩
def
a〉0 a = 0 a 〈0
1.
a ≥ 0,
∀a ∈ R ;
2.
a = 0,
3.
a = −a,
4.
a = b,
5.
a ⋅b = a ⋅ b
6.
a a = b b
7.
a − b ≤ a±b ≤ a + b
8.
x = a,
⇒ x = ± a,
9.
x ≤ a,
⇔ x ∈ [− a, a],
10.
x ≥ a,
⇔ x ∈ [−∞,− a] ∪ [a,+∞],
∀a ∈ R ; ;
⇔ a = 0; ⇔ a = ±b ; ;
;
a〉 0 ;
a〉 0 ; a〉 0 .
7. Reguli de calcul în R
1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 2
2. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ; 2
3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
36
4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 2
5. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 3
6. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ; 3
7. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ; 8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) . 8. Puteri cu exponent întreg
a n def
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ......⋅ a n factori
1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0;
5. ( a m ) n = a m ⋅ n
2. a m + n = a m ⋅ a n
6. a − n =
1 ,a ≠ 0 an
n
3. ( a ⋅ b ) = a ⋅ b n
4.
n
an ⎛a⎞ 7. ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0 b ⎝b⎠
n
am = am−n ; a ≠ 0 n a
8. a m = a n ⇔ m = n.
9. Proprietăţile radicalilor de ordinul doi 1.
a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R
2.
a ⋅b = a ⋅ b
3.
a b
=
a ,b ≠ 0 b n
4.
an = ( a )n = a 2 ,
5.
a± b =
a + a2 − b a − a2 − b ± 2 2
unde a²-b=k² .
37
10. Medii
x+ y 2 Media geometrică m g = x ⋅ y Media aritmetică ma =
p⋅x+q⋅ y ; p, q − ponderile p+q 2 2 xy Media armonică m h = . = 1 1 x+ y + x y
Media ponderată m p =
Inegalitatea mediilor
2 xy ≤ x+ y
xy ≤
x+ y 2
11. Ecuaţii
b a ⋅ x + b = 0 ⇒ x = − ,a ≠ 0 a x2 = a ⇒ x = ± a , a ≥ 0 ; a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac . 2a
a ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = ± a.
x = a, a ≥ 0 ⇒ x = a 2
[x] = a ⇒ a ≤ x〈 a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1)
.
12. Procente p % din N =
p ⋅N 100
38
D=
S ⋅ p⋅n …. Dobânda obţinută prin depunerea la bancă a unei 100 ⋅ 12
sume S de bani pe o perioadă de n luni cu procentul p al dobândei anuale acordate de bancă . Cât la sută reprezintă numărul a din N. x % din N =a ⇒ x =
a ⋅ 100 . N
13. Partea întreagă
1. x = [x ] + {x} , ∀x ∈ R , [x ] ∈ Z şi {x} ∈ [0,1) 2. [x ] ≤ x < [x ] + 1
[x] = a ⇒ a ≤ x < a + 1
3. [x ] = [ y ] ⇔ ∃K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 1 4. [x + k ] = k + [x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R 5. {x + k } = {x}, ∀x ∈ R , ∀k ∈ Z 6. Dacă
{x} = {y} ⇒ x − y ∈ Z
7. Dacă x ∈ R ⇒
[[x]] = [x] ∈ Z [{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x}
8. Identitatea lui Hermite
[x] + ⎡⎢ x + 1 ⎤⎥ = [2 x] , ⎣
2⎦
∀x ∈ R
9. [x + y ] ≥ [x ] + [ y ] , ∀x, y ∈ R 10. Prima zecimală, după virgulă, a unui număr N este dată de [10 ⋅ {N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10]
39
2. Inegalităţi a k −1 < a k ∀ k ≥ 1 a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 1 2. 0 < a ≤ b ⇒ a m − b m a n − b n ≥ 0 ∀ m, n ∈ N 1 1 3. a + ≥ 2 (∀) a > 0 a + ≤ −2 ∀ a < 0. a a 1 1 4. < = k - k −1 k + k −1 2 k 1 1 > = k +1- k . 2 k k + k +1 1. a > 1
(
)(
)
2
⎛a+b⎞ ⎜ ⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R ⎝ 2 ⎠ a+b 2 ≥ ab ≥ , ∀ a, b > 0 1 1 2 + a b 7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R a2 + b2 5. ≥ 2 a2 + b2 6. ≥ a+b
(
)
8. 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R 2
a 2 + b2 + c2 1 ≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R a+b+c 3 3 10. a + b + c ≥ a + b + c ∀a, b, c ≥ 0 3 11. (n − 1)(a12 + ... + an2 ) ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an ) 9.
(
(
)
)
12. n a12 + ... + a n2 ≥ (a1 + ... + a n ) , ∀ n ∈ N 2
2
a n + bn ⎛ a + b ⎞ 13. ≥⎜ ⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0. 2 ⎝ 2 ⎠ a a a+r , ∀r > 0. 14. 0 < < 2 ⇒ < b b b+r a a a+r 1< ⇒ > , ∀r > 0 b b b+r
40
15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a. 16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC . 17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C . 18. a − b ≤ a − b in R sau C . 19.
1 1 1 1 1 = ≤ = − 2 n n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n 1 1 1 1 < = − n! (n − 1)n n − 1 n
m ∉ Q ⇒ ma 2 − nb 2 ≥ 1. n 21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi
20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z ,
dacă şi numai dacă ∃ x, y, z ∈ R+* a.i
a = y + z , b = x + z, c = x + y.
⎛a⎞ 22. ⎜ ⎟ ⎝b⎠
a −b
≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 ,
a+b b+c c+a + + ≥ 6. c a b 24. Dacă x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul k x 2 ⋅ x 2 ...x n e maxim când x1 = ... = x n = . n
23. a, b, c ∈ R+* ⇒
25. Dacă. x1 ,..., xn < 0 si
n
∏
xi = k constant ⇒ x1 + ... + x n e
i =1
minimă atunci când x1 = ... = xn =
n
k.
26. Dacă x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atunci
x 2p1 ⋅ x 2p1 ...x npn este maxim când x1 x x k = 2 = ... n = , pi ∈ N * , i = 1, n p1 p2 pn p1 + ... + pn
41
27. Teorema lui Jensen:
f ( x1 ) + f ( x2 ) ⎛ x1 + x2 ⎞ ⎟ ≤ (≥ ) 2 ⎝ 2 ⎠ f ( x1 ) + ... + f ( xn ) ⎛ x + ... + xn ⎞ ∀x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ 2 ⎟ ≤ (≥ ) n n ⎠ ⎝ Dacă f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜
∀xi ∈ Ι , i = 1, n. 28. Inegalitatea mediilor
n
1 1 + ... + a1 an
⎛1 1 + ... + an ⎝ a1
29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜⎜
≤ n a1 ...a n ≤
a1 + ... + a n . n
⎞ ⎟⎟ ≥ n 2 . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n. ⎠
egalitate când ai = aj , ∀i, j = 1, n. 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
(a
)(
)
+ ... + an2 b12 + ... + bn2 ≥ (a1b1 + ... + anbn ) ∀ai , bi ∈ R. ai aj 31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" ⇔ = . bi bj 2 1
⎛ a1α + ... + anα ⎜⎜ n ⎝ α , β ∈ R.
1
⎞ α ⎛ a1β + ... + anβ ⎟⎟ ≥ ⎜⎜ n ⎠ ⎝
2
1
⎞β ⎟⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β , ⎠
⇓ ⎛ a + ... + a n ⎝
32. ⎜⎜
2 1
2 n
1 2
⎞ a + ... + a n ⎟⎟ ≥ 1 n ⎠
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
(1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N .
42
3.Mulţimi. Operaţii cu mulţimi. 1. Asociativitatea reuniunii si a intersecţiei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a intersecţiei: A B=B A A B=B A 3. Idempotenţa reuniunii si intersecţiei: A A=A A A=A A Ø=Ø 4. A Ø=A 5. Distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune: A (B C)=(A B) (A C) 7. A,B E, 8.
A E,
(A B)=
A
B
(A B)=
A
B
(
A)=A
(A B) 9. A\B= 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B\C)=(A×B)\ (A×C) A×B≠B×A A B ⇔ ( x) (x ∈ A=>x ∈ B) A B ⇔ ( x)((x ∈ A) (x B)) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A) x ∈ A\B ⇔ (x ∈ A) (x B)
43
12. Relaţiile lui de Morgan 1. ( ךp q)=ךp ךq, (ךp q)= ךp ךq . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. ךp p=A, ךp p = F. 4. p ⇒ q ךp q. 5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) (ךp q) ( ךq p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. ך(ךp)=p 9. p ךp =F , p ךp =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F
44
4. Progresii
1. Şiruri Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirul numerelor pare 2,4,6,…… Din observaţiile directe asupra acestor şiruri, un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... unde
a1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezintă poziţia pe care îi ocupă termenii în şir. Definiţie: Se numeşte şir de numere reale o funcţie f: N*→R , definită prin f(n)=a n Notăm (a n )n∈N * şirul de termen general , a n
Observaţie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începând cu zero: a 0 , a1 , a 2 ,.....
ai
, i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i.
Un şir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mulţimii de termeni. 2,4,6,8,…….. b) cu ajutorul unei formule a n =2n c) printr-o relaţie de recurenţă. a n +1 = a n + 2 Un şir constant este un şir în care toţi termenii şirului sunt constanţi : 5,5,5,5,….. Două şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dacă a n = bn , ∀n ∈ N Orice şir are o infinitate de termeni.
45
2. Progresii aritmetice Definiţie: Se numeşte progresie aritmetică un şir în care diferenţa
oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia progresiei aritmetice. 1. Relaţia de recurenţă între doi termeni consecutivi:
an+1 = an + r, ∀n ≥1 2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔
an =
a n −1 + a n +1 2
3. Termenul general este dat de :
an = a1 + (n −1)r
4. Suma oricăror doi termeni egal departaţi de extremi este egal cu suma termenilor extremi :
ak + an−k+1 = a1 + an 5. Suma primilor n termeni :
Sn =
(a1 + a n ) ⋅ n 2
6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,…….
a m − a n = (m − n )r
7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetică de forma : x1 = u – v
x2 = u
x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ .
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmetică astfel: x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ . 9. Dacă
÷ ai ⇒
ak ak +1 〈 ak +1 ak + 2
46
4. Progresii geometrice Definiţie : Se numeşte progresie geometrică un şir în care raportul oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant q, numit raţia progresiei geometrice. 1. Relaţia de recurenţă : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 1 2. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi
⇔ bn =
b n −1 ⋅ b n + 1 n −1
3. Termenul general este dat de : b n = b1 ⋅ q 4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor
bk ⋅ bn − k +1 = b1 ⋅ bn
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
Sn
1− qn = b1 ⋅ 1− q
6. Şirul termenilor unei progresii geometrice :
b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,.... 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometrică de forma : x1 =
u v
x2 = u
x3 = u ⋅ v , ∀u , v ∈ R*+
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometrică astfel :
u v3 u x2 = v x3 = u ⋅ v x4 = u ⋅ v 3 ∀u , v ∈ R*+ x1 =
47
5. Funcţii
I. Fie ƒ: A→B. 1) Funcţia ƒ este injectivă,dacă ∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y). 2) Funcţia ƒ este injectivă,dacă din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y. 3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa 0x intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. II. 1)Funcţia ƒ este surjectivă, dacă ∀ y ∈ B, există cel puţin un punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y. 2) Funcţia ƒ este surjectivă, daca ƒ(A) =B. 3) Funcţia ƒ este surjectivă, dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. III. 1) Funcţia ƒeste bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă. 2) Funcţia ƒ este bijectivă dacă pentru orice y ∈ B există un singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecuaţia ƒ(x)=y,are o singură soluţie,pentru orice y din B) 3) Funcţia ƒ este bijectivă dacă orice paralelă la axa 0x, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graficul funcţiei într-un punct şi numai unul. IV. 1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A. 1) Funcţia ƒ: A→B este inversabilă , dacă există o funcţie g:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, funcţia g este inversa funcţiei ƒ şi se notează cu ƒ-1. 2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y) 3) ƒ este bijectivă <=> ƒ este inversabilă.
48
V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, două funcţii. Dacă ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectivă. 1) Dacă ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectivă. 2) Dacă ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectivă. 3) Dacă ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este 4) (strict) crescatoare. Dacă ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este 5) (strict) descrescatoare. Dacă ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci 6) g o ƒ este descrescatoare. Dacă ƒ este periodică, atunci g o ƒ este periodică. 7) Dacă ƒ este pară, atunci g o ƒ este pară. 8) Dacă ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impară, 9) Dacă ƒ este impară si g pară, atunci g o ƒ este pară. 10) VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, două funcţii. Dacă g o ƒ este injectivă, atunci ƒ este injectivă. Dacă g o ƒ este surjectivă, atunci g este surjectivă. Dacă g o ƒ este bijectivă, atunci ƒ este injectivă si g surjectivă. Dacă ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectivă si h o ƒ = h o ƒ, atunci ƒ = g. VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mulţimi oarecare. Funcţia ƒ este bijectivă, dacă şi numai dacă oricare ar fi funcţiile u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezultă u=v. Funcţia ƒ este surjectivă, daca şi numai dacă oricare ar fi funcţiile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezultă u=v
49
VIII. 1)Dacă ƒ :A→B este strict monotonă,atunci ƒ este injectivă. 2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monotonă, atunci ƒ este constantă. 3) Daca ƒ : R→R este bijectivă şi impară,atunci ƒ-1 este impară. 4) Fie A finită şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectivă <=> este surjectivă. IX. Fie ƒ: E → F, atunci 1)ƒ injectivă <=> (∃) g : F →E (surjectivă) a.i. g o ƒ=1E. 2) ƒ surjectivă <=>(∃) g : E→F (injectivă) a.i. ƒ o g =1F 3) ƒ bijectivă <=> inversabilă. X. Fie ƒ : E → F. 1)Funcţia ƒ este injectivă dacă şi numai dacă (∀) A,B ⊂ E ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B). 2) Funcţia ƒ este surjectivă dacă şi numai dacă (∀) B ⊂ F există A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B. 3) Funcţia ƒ este injectivă dacă ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B), ∀ A, B ⊂ E. XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci ƒ(A) ={y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y} ƒ-1 (B) = {x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}. 1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B), b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B), c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B), d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B).
50
2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B), b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B), c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B), d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B), e) ƒ-1 (F) = E.
Funcţia de gradul al doilea Forma canonică a funcţiei f:R→R,
f ( x) = ax 2 + bx + c,
a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este
2
b ⎞ Δ ⎛ , ∀x ∈ R ; f ( x ) = a⎜ x + ⎟ − 2a ⎠ 4a ⎝ Δ⎞ ⎛ b Graficul funcţiei este o parabolă de vârf V ⎜ − ,− ⎟ , unde ⎝ 2a 4a ⎠
Δ = b2 − 4ac
a〉 0
f este convexă;
Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) >0, ∀x ∈ R ; Δ⎞ ⎛ b ,− ⎟ - punct V⎜− ⎝ 2a 4a ⎠ de minim;
51
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a
Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ; f(x)<0, ∀x ∈ ( x1 , x 2 )
b ⎞ ⎛ Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict descrescătoare; 2a ⎠ ⎝ b Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict crescătoare 2a
52
a<0 funcţia este concavă
Δ 〈0 ; x1,x2 ∈ C
f(x) <0, ∀x ∈ R ; Δ⎞ ⎛ b ,− ⎟ - punct de V⎜− ⎝ 2a 4a ⎠
maxim
Δ = 0 , x1=x2 ∈ R
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a
Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ x1 , x 2 ] ; f(x)<0, ∀x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞)
53
b ⎞ ⎛ Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ funcţia este strict crescătoare; 2a ⎠ ⎝ b Pentru x ∈ [− ,+∞), funcţia este strict descrescătoare. 2a
6. NUMERE COMPLEXE 1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ ALGEBRICĂ
⎧ ⎫ C = ⎨z z = a + ib, a, b ∈R, i2 = −1⎬ ⎩ ⎭ - mulţimea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im z OPERAŢII CU NUMERE COMPLEXE
Fie z1 = a + ib,
z 2 = c + id . Atunci:
1. z1 = z 2 ⇔ a = c
si
b=d.
2. z1 + z 2 = ( a + c ) + i (b + d ). 3. z1 ⋅ z 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + i ( a ⋅ d + b ⋅ c). 4. z1 = a − ib, conjugatul lui z1
z1 a ⋅ c + b ⋅ d b⋅c − a⋅d = 2 +i 2 2 z2 c +d c +d2 1 b a 6. . = 2 −i 2 2 z1 a + b a + b2
5.
54
PUTERILE LUI i
= 1; 2. i = i; 4k +2 3. i = −1 ; 4 k +3 4. i = −i ; 1 −1 1 −n 5 . i = n , i = = −i ; i i 1. i
4k
4 k +1
6. i
−n
⎧i n , n par ⎪ = (−i ) = (−1) ⋅ i = ⎨ ⎪− i n , n impar ⎩ n
n
n
PROPRIETĂŢILE MODULULUI
z = a 2 + b 2 - modulul nr. complexe 1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0
2. z ⋅ z = z
2
3. z = z
4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 5.
z1 z1 = , z2 ≠ 0 z2 z2
6.
z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2
8. z ∈ C ;
7. z
n
= z
n
z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z
ECUAŢII:
z2 = a + ib ⇒ z1,2 = ± a + ib ⇒ ⎡ a + a2 + b2 2 2 ⎤ a a b − + + ⎥ z1,2 = ±⎢ ±i 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ‚+’ dacă b pozitiv; ‚-‚ dacă b negativ
55
ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
daca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau x1, 2 =
−b±i −Δ daca 2a
Δ〈0
NUMERE COMPLEXE SUB FORMĂ GEOMETRICĂ
Forma trigonometrică a numerelor complexe: z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
ϕ = arctg
ρ
b + kπ , a
⎧0, ⎪ ⎪ k = ⎨1, ⎪ ⎪ 2, ⎩
(a, b) ∈ I ( a , b ) ∈ II , III ( a , b ) ∈ IV
= z = a + b se numeşte raza polară a lui z 2
2
Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ; z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + kπ z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 )
56
1 1 = [cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )] z1 ρ 1 z2 ρ2 = [cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )] z1 ρ 1
z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n z = n ρ (cos 1 + i sin 1 ), k ∈ 0, n − 1 1 1 n n n
n
7. FUNCTIA EXPONENTIALĂ Def. f: R→ (0,∞), f(x)= a x , a〉 0, a ≠ 1
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〈 a x2 Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〉 a x2 Proprietăţi: Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒
57
(a
⋅b
(a ) x
a a
y
= a
x+ y
)x
= a
x
⋅a
x
a
x y
y
= a
= a x
a
− x
=
pentru
y
x⋅y
x− y
a ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ = b ⎝ b ⎠ 0 a = 1
⋅a
,a ≠ 0 x x
,b ≠ 0
1 ,a ≠ 0 a x a 〈 0 , nu
se
defineste
a
x
Tipuri de ecuaţii: 1. a f ( x ) = b, a〉 0, a ≠ 1, b〉 0 ⇒ f ( x) = log a b 2. a f ( x ) = a g ( x ) , a〉 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) 3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b〉 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b 4. ecuaţii exponenţiale reductibile la ecuaţii algebrice printr-o substituţie. 5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei exponenţiale. Inecuaţii a>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1)
a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
58
FUNCTIA LOGARITMICĂ Def: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0
Dacă a 〉1 ⇒ f este strict crescătoare
x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〈log a x 2 Dacă a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descrescătoare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〉 log a x 2 Proprietăţi:
Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒
a
y
= x 〉 0 ⇒ y = log
log
a
log
a
x ⋅ y = log x = log y
a
a
a
x
x + log
x − log
a
a
y
y
59
m
log
a
a
log
a
b =
a
log
log
b
a
c
= m,
= c
log log log
c c b
1 = 0,
a
log b , a
m
b
= m log
a
b
= log
b
a
1 log x = a
, log
a
a
a
b
log
a
x
a = 1.
Tipuri de ecuaţii: 1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g 〉 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x ) b 2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) 3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a b 4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecuaţii algebrice printr-o substituţie. 5. ecuaţii ce se rezolvă utilizând monotonia funcţiei logaritmice. log g ( x )
Inecuaţii a>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x)
60
8. BINOMUL LUI NEWTON
În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a găsit următoarea formulă pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscută încă din antichitate de către matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123), Newton a extins-o şi pentru coeficienţi raţionali. TEOREMĂ: Pentru orice număr natural n şi a şi b numere reale
există relaţia: n k (a+b)n =Cn0an +Cn1an−1⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 +.......... +Cn an−k ⋅bk +.....+Cn bn
(1) 0
1
n
Numerele C n , C n ,...., C n se numesc coeficienţii binomiali ai dezvoltării; Este necesar să se facă distincţie între coeficientul unui termen al dezvoltării şi coeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+….. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial este C41 =4; Pentru (a-b)n avem următoarea formă a binomului lui Newton: k n (a−b)n =Cn0an −Cn1an−1 ⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 −.......... .+(−1)kCn an−k ⋅bk +.....+(−1)nCn bn
(1’) Proprietăţi: 1. Numărul termenilor dezvoltării binomului (a+b)n este n+1; Dacă n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltării este Cnk şi este cel mai mare. Dacă n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari; Cno
Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k
61
Cno…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1. 2. Coeficienţii binomiali din dezvoltare, egal depărtaţi de termenii extremi ai dezvoltării sunt egali între ei.
k
Cn = Cn
n−k
(2) 3. Termenul de rang k+1 al dezvoltării (sau termenul general al dezvoltării) este
k
Tk+1 =Cn an−k ⋅bk , k =0,1,2,....,n (3)
⇒ Formula binomului lui Newton scrisă restrâns are forma: n
(a + b )n = ∑ C n k a n − k b k . k =0
(4) 4. Relaţia de recurenţă între termenii succesivi ai dezvoltării este următoarea:
Tk + 2 n − k b = ⋅ Tk +1 k + 1 a (5) 5. Pentru a=b=1 se obţine n 0 1 2 n n n n n (6) ceea ce înseamnă că numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n .
C +C +C +.......... ...+C =(1+1)
62
9. Vectori şi operaţii cu vectori Definiţie: Se numeşte segment orientat, o pereche ordonată de puncte din plan; Se numeşte vector, mulţimea tuturor segmentelor orientate care au aceeaşi direcţie, aceeaşi lungime şi acelaşi sens cu ale unui segment orientat. Observaţii: Orice vector AB se caracterizează prin: - modul(lungime,normă), dat de lungimea segmentului AB; - direcţie, dată de dreapta AB sau orice dreaptă paralelă cu aceasta; - sens, indicat printr-o săgeată de la originea A la extremitatea B. Notaţii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B; AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde
A(x0,y0), B(x.y). Definiţie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi modul şi sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face după regula triunghiului sau după regula paralelogramului:
63
λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ R Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direcţia şi sensul
vectorului v dacă λ 〉 0 şi sens opus lui v dacă λ 〈0 . Definiţie: Doi vectori se numesc coliniari dacă cel puţin unul este nul sau dacă amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari.
vectori coliniari
vectori necoliniari
Teoremă: Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare.
Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u .
64
Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC .
AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari; Dacă u şi v sunt vectori necoliniari atunci ∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 .
Teoremă: Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , există α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b .
Vectorii a şi b formează o bază.
( )
α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b . Definiţie: Fie XOY un reper cartezian. Considerăm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direcţiile axelor şi sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY.
( )
Baza i, j se numeşte bază ortonormată.
65
v = A' B ' + A' ' B ' ' = x ⋅ i + y ⋅ j
v = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j
x=xB- xA, y=yB- yA
AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Teoremă: Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’); 2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’); 3) u ( x, y ), v( x' , y ' ) sunt coliniari x y ⇔ = = k , x' , y ' ≠ 0. ⇔ xy '− x' y = 0. x' y ' 4) Produsul scalar a doi vectori nenuli. u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ].
cos α =
x ⋅ x'+ y ⋅ y ' x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2
π π α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0
2 2 Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci:
u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y ' = 0.
2
u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u. u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0. i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0.
Vectori de poziţie. Dacă rA , rB sunt vectori de poziţie, atunci: AB = rB − rA
66
10. Funcţii trigonometrice Semnul funcţiilor trigonometrice:
⎡ π π⎤ , → [− 1,1] ⎣ 2 2 ⎥⎦
Sin: ⎢ −
⎡ π π⎤ arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦
[
] [
]
Cos: 0, π → − 1,1
arccos:[-1,1] → [0, π ]
67
⎛ π π⎞ , ⎟→R ⎝ 2 2⎠
Tg: ⎜ −
⎛ π π⎞ arctg:R→ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠
Reducerea la un unghi ascuţit Fie u ∈ (0,
π
2
) Notăm sgn f= semnul funcţiei f; cof = cofuncţia lui f
π ⎧ sgn f (k ± u ) ⋅ sin u , k = par ⎪ ⎛ π ⎞ ⎪ 2 sin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨ Analog pentru ⎝ 2 ⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar ⎪⎩ 2 celelalte;
π ⎧ ⎪⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ f (u ), k = par În general, f ( k ± u ) = ⎨ 2 ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar ⎪⎩ 2 π
68
Ecuaţii trigonometrice
Fie x un unghi, a un număr real şi k ∈ Z .
sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,1] = ( − 1)
k +1
arcsin a + kπ , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2kπ , dacă a ∈ [0,1] = ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ]
tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + kπ
arcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + kπ arccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2kπ arctg (tgx) = a ⇒ x = a + kπ sin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + kπ cos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2kπ tgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z Ecuaţii trigonometrice reductibile la ecuaţii care conţin aceeaşi funcţie a aceluiaşi unghi; Ecuaţii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2 x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0 Ecuaţii trigonometrice care se rezolvă prin descompuneri în factori; Ecuaţii simetrice în sin x şi cos x; Ecuaţii de forma:
a sin x + b cos x + c = 0 : a ⇒ sin x + tgϕ cos x = −
c ⇒ a
c x + ϕ = (−1) k arcsin(− cos ϕ ) + kπ a
a sin x + b cos x ≤
a2 + b2
Observaţie importantă: Prin ridicarea la putere a unei ecuaţii trigonometrice pot apărea soluţii străine iar prin împărţirea unei ecuaţii trigonometrice se pot pierde soluţii;
69
FORMULE
TRIGONOMETRICE
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ;
1.
α ∈ R
sin α = ± 1 − cos α 2
2.
tgα = ± 3. 4. 5. 6. 7. 8.
sin α
=±
1 − cos 2 α ⇒ cos α
tg 2α + 1 =
1 ; cos 2 α
1 − sin α 1 tgα cos α = ± ; sin α = ± ; 1 + tg 2α 1 + tg 2α cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ; sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ; sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ; tgα + tgβ tgα − tgβ ; tg (α − β ) = ; tg (α + β ) = 1 − tgα ⋅ tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ
9.
ctg (α + β ) =
2
ctgα ⋅ ctgβ − 1 ; ctgα + ctgβ
10. sin 2α = 2 sin 11. 12. 13. 14. 15.
ctg (α − β ) =
ctgα ⋅ ctgβ + 1 ; ctgα − ctgβ
α cos α ;
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 1 + cos 2α 1 − cos 2α cos 2 α = ; sin 2 α = ; 2 2 α α 1 + cos α 1 − cos α cos = ± ; sin = ± ; 2 2 2 2 1 − cos α 1 + cos α α α tg = ± ; ctg = ± 2 1 + cos α 2 1 − cos α 2 2tgα ctg α − 1 ; ctg 2α = ; tg 2α = 2 2ctgα 1 − tg α
70
2tg
16. tgα =
1 − tg
α 2 ; 2
α
17.
ctgα =
1 − tg 2 2tg
2
α
α
2;
2 3tgα − tg 3α tg 3α = 1 − 3tg 2α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin α ; 3
ctg 3α − 3ctgα ; ctg 3α = 3ctg 2α − 1
cos 3α = 4 cos α − 3 cos α ; 3
18. tg
α 2
=
sin α 1 − cos α = = 1 + cos α sin α
19. sin α =
2tg 1 + tg
α 2 ;
2 α
2
cos α =
1 ctg
2
1 − tg 2 1 + tg
;
α
α 2;
2 α
2
a+b a−b ⋅ cos 2 2 a−b a+b sin a − sin b = 2 sin ⋅ cos 2 2
sin a + sin b = 2 sin
a+b a−b ⋅ sin 2 2 a−b a+b cos a + cos b = 2 sin ⋅ cos 2 2
cos a − cos b = −2 sin
tga + tgb =
sin( a + b) cos a ⋅ cos b
sin( a − b) cos a ⋅ cos b sin(b − a ) ctga − ctgb = sin a ⋅ sin b
tga − tgb =
ctga + ctgb =
sin(a + b) sin a ⋅ sin b
71
sin a ⋅ cos b =
sin( a + b) + sin( a − b) 2
cos a ⋅ cos b =
cos(a + b) + cos(a − b) 2
sin a ⋅ sin b =
cos( a − b) − cos( a + b) 2
arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) arcsin x+arccos x=
π
2 1 π arctg x+arctg = x 2
arctg x +arcctg x=
π 2
arccos(-x)= π -arccos x
72
11. ECUAŢIILE DREPTEI ÎN PLAN 1. Ecuaţia carteziană generală a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 0 2. Ecuaţia dreptei determinată de punctele A(x1,y1), B(x2,y2): y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 3. Ecuaţia dreptei determinată de un punct M(x0,y0) şi o direcţie dată( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecuaţia explicită a dreptei (ecuaţia normală): y − y1 y=mx+n, unde m = tgϕ = 2 este panta x 2 − x1 dreptei şi n este ordonata la origine. x y 5. Ecuaţia dreptei prin tăieturi: + = 1, a, b ≠ 0. a b 6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’ ⇔ m=m’şi n ≠ n’. Dreptele d şi d’ sunt paralele Dreptele d şi d’ coincid ⇔ m=m’şi n=n’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1. Tangenta unghiului ϕ a celor două drepte este m − m' tgϕ = 1 + m ⋅ m' 7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şi θ = m( 〈 d , d ' ) a b c Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ = ≠ a ' b' c '
73
a b c = = a ' b' c ' a b Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔ a ' b' ab’-ba’ ≠ 0.
Dreptele d şi d’ coincid ⇔
cos θ =
v ⋅ v' v ⋅ v'
=
a ⋅ a ' +b ⋅ b ' a
2
+b
2
2
⋅ a ' +b'
2
unde
v (−b , a ), v' (−b' , a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor
d şi d’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare, d ⊥ d ' ⇔ a ⋅ a ' +b ⋅ b ' = 0 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan. Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD ⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD. Dreptele AB şi CD sunt perpendiculare, AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0 Condiţia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) să fie coliniare este:
y 3 − y1 x − x1 = 3 y 2 − y1 x 2 − x1 9. Distanţa dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2)
AB= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2
este
2
Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie (h): ax+by+c=0 este dată de: ax0 + by 0 + c . d ( M 0 , h) = a2 + b2
74
12. CONICE 1.CERCUL
Definiţie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal depărtate de un punct fix, numit centru se numeşte cerc.
C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r } 1. Ecuaţia generală a cercului A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0 2. Ecuaţia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r” (x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r² 3. Ecuaţia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2) (x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0 4. Ecuaţia tangentei după o direcţie O(0,0) : y = mx ± r 1 + m² O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m² 5. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) (x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r² 6. Ecuatia normala a cercului
75
x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu O(-m; -n) şi r² = m² + n² - p 7. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0,y0) x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0 8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaţie y = mx + n este d(0,d) =
| ma − b + n | | ax 0 + by 0 + c | sau ( d = ) m² + 1 a ² + b²
9. Ecuaţiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0) I. Se scrie ecuaţia 4 şi se pune condiţia ca M să aparţină cercului de ecuaţie 4. II. y - y0 = m(x - x0) x² + y² = r² , Δ =0 2. ELIPSA Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma distanţelor la două puncte fixe, constantă, se numeşte elipsă.
F,F’- focare, FF’ distanţa focală E= {M ( x, y ) MF + MF ' = 2a} MF,MF’- raze focale 1. Ecuaţia elipsei
76
x² y ² + =1 , a ² b²
b² = a² - c²
2. Ecuaţia tangentei la elipsă y = mx ± a ² m² + b² 3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0) la elipsă b² x0 x ⋅ x0 y ⋅ y0 + =1 , m=− ⋅ a² b² a² y0 4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la elipsă VAR I Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M să aparţină elipsei de ecuaţie 2 de unde rezultă m VAR II Se rezolvă sistemul y – y0 = m(x-x0) , x² y ² + = 1 cu conditia Δ = 0 a ² b²
3. HIPERBOLA
Definiţie: Locul geometric al punctelor din plan a căror diferenţă la două puncte fixe este constantă, se numeşte hiperbolă
77
H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a } y=±
b x --ecuaţia asimptotelor a
1. Ecuaţia hiperbolei
x² y ² − = 1 , b² = c² - a² ; a ² b² Daca a = b => hiperbola echilaterală 2.Ecuaţia tangentei la hiperbolă y = mx ± a ² m² − b ² 3. Ecuaţia tangentei în punctul M(x0, y0)
x ⋅ x0 y ⋅ y 0 − =1 , a² b²
m=
b² x0 ⋅ a² y0
4. Ecuaţiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaţia 2 si se pune condiţia ca M să aparţină hiperbolei de ecuaţie 2, de unde rezultă m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x0)
x² y ² − =1 a ² b²
,
cu Δ = 0
4. PARABOLA Definiţie: Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix, (numit focar) şi o dreaptă fixă (numită directoare), se numeşte parabolă.
78
P: = { M(x, y) | MF = MN } (d): x = −
p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem 2
duce tangente la o parabolă). 1. Ecuaţia parabolei y² = 2px 2. Ecuaţia tangentei la parabolă y = mx +
P 2m
3. Ecuaţia tangentei în M (x0, y0) y·y0 = p(x + x0) 4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaţia 2 şi se pune condiţia ca M ∈ (ecuatia 2) => m VAR II. Se rezolvă sistemul y - y0 = m(x - x0) y² = 2px cu Δ = 0
79
13. ALGEBRA LINIARĂ 1. MATRICE.
⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝c d ⎠ ⎝z t ⎠ ⎝c + z d +t ⎠ ⎛ x y⎞ ⎛a⋅ x a ⋅ y⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ a ⋅ ⎜⎜ ⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅t ⎠ Înmulţirea matricelor ⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b⋅t ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅t ⎠
Adunarea matricelor
T
⎛a c ⎞ ⎛a b ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ Transpusa unei matrice ⎜⎜ ⎝b d ⎠ ⎝c d ⎠ 2. DETERMINANŢI.
a b c d
= a⋅ d −b⋅ c;
a b c d e f = a⋅e⋅i + d ⋅ h⋅c + g ⋅b⋅ f − c⋅e⋅ g − f ⋅ h⋅ a −i ⋅b⋅ d g h i Proprietăţi:
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii(sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale. 4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice atunci determinantul său este nul;
80
5. Dacă toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un element a, obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu a înmulţit cu determinantul matricei iniţiale. 6. Dacă elementele a două linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dacă la o matrice pătratică A de ordin n presupunem că '
''
elementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aij atunci det A = det A’ +det A’’; 8. Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinaţie liniară de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi element se obţine o matrice al cărei determinant este egal cu determinantul matricei iniţiale; 10. Determinantul Vandermonde: 1 1 1 a b c = (b − a )(c − a )(c − b) ; a2 b2 c2 11. Dacă într-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ; a 0 0 b c 0 = a⋅c⋅ f d e f 12. Factor comun
a⋅x
a⋅ y
a⋅z
y
z
b⋅ m b⋅ n b ⋅ p = a ⋅b ⋅ m n
p
u
v
r
x u
v
r
81
3. Rangul unei matrice
Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) . Definiţie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecţia celor r linii şi r coloane. Definiţie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Numărul natural r este rangul matricei A ⇔ există un minor de ordinul r al lui A, nenul iar toţi minorii de ordin mai mare decât r+1 (dacă există) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ există un minor de ordin r al lui A iar toţi minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minor de ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s) al lui AB se poate scrie ca o combinaţie liniară de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecărei matrice. Definiţie: ∈ M n (C ) . A este inversabilă ⇔ det A ≠ 0.( A este nesingulară). Teorema: Inversa unei matrice dacă există este unică. Observaţii: 1) det (A·B) =det A· det B. 1 2) A−1 = ⋅ A* det A τ
( A→A
→ A* = ((−1)i+ j dij)i, j → A−1 ) 3) A-1 ∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 .
Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordează cu o linie (respectiv cu o coloană). Dacă noul determinant este nul rezultă că ultima linie(respectiv coloană )este combinaţie liniară de celelalte linii (respectiv coloane).
82
Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele (respectiv linii) este o combinaţie liniară de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numărul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele să nu fie combinaţie liniară a celorlalte. 4. Sisteme de ecuaţii liniare
Forma generală a unui sistem de m ecuaţii cu n necunoscute este: ⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1 ⎪ sau (1 ⎨............................................. ⎪a x + a x + .......... + a x = b m2 2 mn n m ⎩ m1 1 n
∑
a ij x
j =1
j
=
bi
Unde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficienţilor necunoscutelor. ⎛ a11 ... a1n b1 ⎞ ⎟ ⎜ Matricea A = ⎜ ... ⎟ se numeşte matricea extinsă ⎟ ⎜a ⎝ m1 .... amn bm ⎠ a sistemului. Definiţie: Un sistem de numere α1 ,α 2 ,.......α n se numeşte soluţie a sistemului (1) ⇔ n
∑a j =1
ij
α
j
= b i , i = 1, m .
Definiţie: - Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel puţin o soluţie; - Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are o singură soluţie;
83
- Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are o infinitate de soluţii; Rezolvarea matriceală a unui sistem Fie A, B ∈ M n (C ) .
A−1 A ⋅ X = B ⇒ X = A−1 ⋅ B ⇒ X j =
n 1 ⋅ ∑ aij ⋅ bi , j = 1, n . det A i =1
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer: Teorema lui Cramer: Dacă det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul
AX=B are o soluţie unică Xi=
Δi . Δ
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil ⇔ toţi minorii caracteristici sunt nuli.
Notăm cu m-numărul de ecuaţii; n- numărul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienţilor. I
m=n=r
II
m=r 〈 n
III
n=r 〈 m
Sistem compatibil determinat Sistem compatibil nedeterminat Sistem compatibil determinat sau
Δ≠0
Minorul principal este nenul Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli
84
Sistem incompatibil IV
r 〈 n, r 〈 m
Sistem compatibil nedeterminat sau Sistem incompatibil
Există cel puţin un minor caracteristic nenul Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli Există cel puţin un minor caracteristic nenul
Teorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai soluţia banală ⇔ Δ ≠ 0
85
14. SIRURI DE NUMERE REALE 1. Vecinătăţi. Puncte de acumulare. Definiţia 1 : Se numeşte şir , o funcţie f : N → R definită prin f(n) = an . Notăm (a n )n∈N : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,...........
Orice şir are o infinitate de termeni; şirului (a n )n∈N . Definiţia
2
:
Două
şiruri
a n este termenul general al
(a n )n∈N , (bn )n∈N
sunt
egale
⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ N Definiţia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecinătate a punctului a ∈ R, o mulţime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a de forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V. Definiţia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ R se numeşte punct de acumulare pentru D dacă în orice vecinătate a lui α există cel puţin un punct din D- {α } ⇔ V ∩(D- {α }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e punct de acumulare se numeşte punct izolat. 2. Şiruri convergente Definiţia 5 : Un şir (a n )n∈N este convergent către un număr a ∈ R dacă în orice vecinătate a lui a se află toţi termenii şirului cu excepţia
⎯→ a sau unui număr finit şi scriem a n ⎯n⎯ →∞
lim a n = a n→∞
a se numeşte limita şirului . Teorema 1: Dacă un şir e convergent , atunci limita sa este unică. Teorema 2: Fie (a n )n∈N un şir de numere reale. Atunci:
(a n )n∈N
este monoton crescător
a n +1 − a n ≥ 0, sau
⇔ a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N
sau
a n +1 ≥ 1; an
86
(a n )n∈N
a n +1 − a n 〉 0, sau
(a n )n∈N
sau
a n +1 〉1 ; an
este monoton descrescător ⇔ a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N
a n +1 − a n ≤ 0, sau
(a n )n∈N
⇔ a n 〈 a n +1 , ∀n ∈ N
este stict crescător
sau
a n +1 ≤ 1; an
⇔ a n 〉 a n +1 , ∀n ∈ N
este strict descrescător
a n +1 〈1 . an Definiţia 6. Un şir (a n )n∈N este mărginit ⇔
sau
a n +1 − a n 〈 0, sau
încât a n ≤ M
∃α , β ∈ R
∃ M ∈ R astfel
sau
astfel
încât
α ≤ an ≤ β .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton şi mărginit este convergent. Definiţia 7: Dacă un şir are limită finită ⇒ şirul este convergent. Dacă un şir are limită infinită + ∞
sau
−∞
⇒ şirul este
divergent. Teorema 4: Orice şir convergent are limită finită şi este mărginit dar nu neapărat monoton. Teorema 5: Lema lui Cesaro: Orice şir mărginit are cel puţin un subşir convergent. Definiţia 8: Un şir e divergent fie dacă nu are limită, fie dacă are o limită sau dacă admite două subşiruri care au limite diferite. OBS: Orice şir crescător are limită finită sau infinită. Teorema 6: Dacă (a n )n∈N ∈ R+ este un şir strict crescător şi *
nemărginit atunci
lim a n = +∞
⇒ lim
1 =0 . Un şir an
n→∞ descrescător cu termenii pozitivi este mărginit de primul termen şi de 0.
87
3. Operaţii cu şiruri care au limită Teorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limită:
⎯→ a , b n ⎯n⎯ ⎯→ b . a n ⎯n⎯ →∞ →∞ Dacă operaţiile a+b,ab
a b , a au b
sens
atunci
şirurile
a b an + bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn , n , an n au bn
.
lim ită
lim( a n + bn )= lim a n +lim bn ; lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ; n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ lim( α ⋅ a n )=α·lim a n ; lim a n
bn
lim
a n lim a n = bn lim bn
= (lim a n ) lim bn
lim (log a a n ) = log a (lim a n )
lim
k
a
=
n
k
lim a
n
Prin convenţie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R; a+(-∞)=-∞; ∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0; a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0; ∞
0 = 0;
⎧ ⎪∞, dacă a〉 0 ∞ =⎨ ⎪0, dacă a〈 0 ⎩ a
Nu au sens operaţiile: ∞-∞, 0·(±∞); Teorema 8: Dacă a n − a ≤ bn Dacă a n ≥ bn
şi
şi
±∞ , ±∞
1∞ ,
1−∞ ,
∞0.
bn → 0 ⇒ a n ⎯n⎯ ⎯→ a →∞
bn → ∞ ⇒ a n ⎯n⎯ ⎯→ ∞ →∞
88
Dacă a n ≤ bn
Teorema
bn → −∞ ⇒ a n ⎯n⎯ ⎯→ −∞ →∞
şi
Dacă a n ⎯n⎯ ⎯→ a ⇒ →∞
a n ⎯n⎯ ⎯→ a . →∞
Dacă a n ⎯n⎯ ⎯→ 0 ⇒ →∞
a n ⎯n⎯ ⎯→ 0 . →∞
9:
Dacă
şirul
(a n )n∈N este
convergent
la
zero,
iar (bn )n∈N este un şir mărginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn este convergent la zero.
4. Limitele unor şiruri tip
⎧ ⎪ 0 , dac ă q ∈ ( − 1,1) ⎪ ⎪1, dac ă q = 1 n lim q = ⎨ n→∞ ⎪ ∞ , dac ă q 〉1 ⎪ ⎪ ⎩ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1 ⎧⎪ ∞ , a 〉 0 0 lim a 0 n p + a1n p −1 + .... + a p = ⎨ n→∞ ⎪⎩ − ∞ , a 0 〈 0
(
)
⎧ ⎪0, dacă p〈q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q p p −1 a0 ⋅ n + a1 ⋅ n + .......+ a p ⎪⎪ b0 =⎨ lim q q −1 a + ..... + bq n →∞ b0 ⋅ n + b1 ⋅ n ⎪∞, dacă p〉 q şi 0 〉0 b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞, dacă p〉q şi 0 〈0. ⎪⎩ b0
89
n ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ ⎟⎟ lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜⎜ 1 + x n ⎝ ⎠ n ⎠ ⎝ n→∞ x n →∞
1
lim (1 + xn ) xn = e x n →0 lim
arcsin x n =1 xn
x n →0
lim
arctgx n =1 xn
sin xn =1 xn x n →0
lim
lim
tgx n =1 xn
lim
ln(1 + xn ) xn
=1
x n →0
a xn − 1 = ln a lim xn x n →0
e xn xn
=e
x n →0
x n →0
lim
xn
p
x n →∞
=∞
lim
(1 + xn )r − 1 xn
=r
x n →0
lim
ln x n xn
p
=0
x n →∞
90
15. LIMITE DE FUNCŢII Definiţie: O funcţie f:D ⊆ R → R are limită laterală la stânga ( respectiv la dreapta) în punctul de acumulare
x0 ⇔
există l s ∈ R (respectiv l d ∈ R) a. î. lim f(x)= l s ,
(respectiv lim f(x) = l d ).
x → x0
x → x0
x〈 x0
x〉 x0
Definiţie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare. Funcţia f are limită în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 ) Proprietăţi:
1.
Dacă lim f(x) există, atunci această limită este unică.
x → x0 2. Dacă lim f(x) =l atunci
x → x0 3. Dacă
lim f ( x) = l . x → x0
Reciproc nu.
lim f ( x) = 0
⇒
lim f ( x) = 0
x → x0 4. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecinătate a lui x0 ∈ D astfel
încât f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D ∩ U − {x0 } şi dacă există lim f ( x), lim g ( x) x → x0 , x → x0
⇒ lim f ( x) 〈 lim g ( x)
x → x0
x → x0
91
5. Dacă f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi ∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l .
x→x0
x→x0
x→x0
6.
f ( x) − l ≤ g ( x)
∀ x ∈ D ∩ U − {x0 } şi
Dacă lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
7. Dacă
lim f ( x) = 0 şi ∃M 〉 0 a.î. g ( x) ≤ M .
⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0 Dacă 8.
f ( x) ≥ g ( x )
şi
lim g ( x) = +∞
şi
lim g ( x = −∞
⇒ lim f ( x) = +∞.
Dacă
f ( x) ≤ g ( x )
⇒ lim f ( x) = −∞.
OPERAŢII CU FUNCŢII
Dacă există lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 şi au sens operatiile
l l l1 + l2 , l1 − l2 , l1 ⋅ l2 , 1 , l1 2 , l1 l2
atunci: 1. lim(f(x) ± g(x))= l1 ± l 2 . 2. limf(x)g(x)= l1 ⋅ l 2
92
3.lim
f ( x) l1 = g ( x) l 2 l
4.lim f ( x) g ( x ) = l1 2 5.lim
f ( x) = l1
P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0 n lim P( x) = a0 (±∞) x⎯ ⎯→ ±∞
lim
x
q =
q ∈ (− 1,1) q=1
0, 1,
dacă dacă
∞, nu există,
dacă q>1 dacă q ≤ −1
x ⎯⎯→ ∞
93
⎧ ⎪0, dacă p 〈 q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q p p −1 a 0 ⋅ x + a1 ⋅ x + ....... + a p ⎪⎪ b0 =⎨ lim q q −1 a0 + ..... + bq x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x ⎪∞ , dacă p 〉 q şi 〉 0 b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞ , dacă p 〉 q şi 0 〈 0. ⎪⎩ b0
a>1
lim a
x
lim a
x
lim
=∞
x ⎯⎯→ ∞
a ∈ (0,1)
x ⎯⎯→ −∞
lim a
=0
x ⎯⎯→ ∞
a>1
a
x=∞
lim log
a
x = −∞
x ⎯⎯→ ∞
lim
sin x =1 x
lim
tgx =1 x
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
u x
tgu ( x ) =1 ⎯⎯→ 0 u ( x )
u x
arcsin u ( x ) =1 u (x ) ⎯⎯→ 0
lim ( )
x ⎯⎯→ 0
x=∞
lim ( )
arctgx =1 x =e
a
x = −∞
sin u ( x ) =1 ⎯⎯→ 0 u ( x )
lim
1 x
a
lim ( )
u x
lim (1 + x )
=∞
lim log
x ⎯⎯→ 0
arcsin x =1 x
x ⎯⎯→ 0
lim log
x ⎯⎯→ 0
lim
x ⎯⎯→ 0
x
⎯→ −∞ x⎯
lim log
x ⎯⎯→ ∞
a ∈ (0,1)
ax = 0
lim ( )
u x
arctgu ( x ) =1 u(x ) ⎯⎯→ 0 1 u x
lim (1 + u(x )) ( ) = e ( )
u x ⎯⎯→ 0
94
x
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ = e lim x⎠ x ⎯⎯→ ∞ ⎝
⎛ 1 ⎞ ⎜⎜1 + ⎟ lim u ( x ) ⎟⎠ u ( x ) ⎯⎯→ ∞ ⎝
u(x )
=0
lim
ln(1 + x ) =1 x
u x
lim
a x −1 = ln a x
au( x) − 1 = ln a lim u (x ) ⎯→ 0 u(x ) ⎯
lim
(1 + x )r − 1 = r
(1 + u (x ))r − 1 = r lim u (x ) u ( x ) ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x ⎯⎯→ 0
x
xk lim x = 0 x ⎯⎯→ ∞ a
lim
x ⎯⎯→ ∞
ln x =0 xk
ln(1 + u ( x )) =1 u (x ) ⎯⎯→ 0
lim ( )
u (x ) =0 lim u(x ) u ( x ) ⎯⎯→ ∞ a k
ln u (x )
lim u(x ) ( )
u x ⎯⎯→ ∞
k
=0
95
16. FUNCŢII CONTINUE DEFINIŢIE. O funcţie f : D ⊂ R → R se numeşte continuă în punctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecinătatea V a lui f(x0) , există o vecinătate U a lui x0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V. DEFINIŢIE. f : D ⊂ R → R este continuă în x0 ∈ D ⇔ f are limită în x0 şi lim f(x) = f(x0) sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0). x0 se numeşte punct de continuitate. Dacă funcţia nu este continuă în x0 ⇒ f.se numeşte discontinuă în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi: - punct de discontinuitate de prima speţă dacă ls (x0 ), ld (x0 ) finite, dar ≠ f(x0); - punct de discontinuitate de a doua speţă dacă cel puţin o limită laterală e infinită sau nu există. DEFINIŢIE. f este continuă pe o mulţime ( interval) ⇔ este continuă în fiecare punct a mulţimii ( intervalului). • Funcţiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definiţie. Exemple de funcţii elementare: funcţia constantă c, funcţia identică x, funcţia polinomială f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcţia raţională f(x)/g(x), funcţia radical n f ( x) , funcţia logaritmică log f(x), funcţia putere xa, funcţia exponenţială ax, funcţiile trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCŢII ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE DEFINIŢIE. Fie f : D ⊂ R → R. Dacă f are limita l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒
⎧ f ( x), x ∈ D ⎩l , x = x0
f: D ∪ { x0} →R, f(x) = ⎨
96
este o funcţie continuă în x0 şi se numeşte prelungirea prin continuitate a lui f în x0. OPERAŢII CU FUNCŢII CONTINUE T1. Dacă f,g:D→R sunt continue în x0 ( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg,
f
sunt continue în x0 ( respectiv pe D); α ∈ R, g ≠ 0. T2. Dacă f:D→R e continuă în x0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ f (x) e continuă în x0 ∈ ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabilă. T3. Fie f:D→R continuă în în x0 ∈A şi g:B →A continuă în x0 ∈B, atunci g•f e continuă în x0 ∈A. lim f( g (x) = f( lim g(x)) x→x0 x→x0 Orice funcţie continuă comută cu limita. PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL LEMĂ. Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ a,b] şi dacă are valori de semne contrare la extremităţile intervalului ( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci există cel puţin un punct c ∈ ( a,b) astfel încât f(c) = 0. • Dacă f este strict monotonă pe [ a,b] ⇒ ecuaţia f(x) = 0 are cel mult o rădăcină în intervalul ( a, b). f este strict monotonă ⇔ f: I →J - continuă f(I) =J - surjectivă f - injectivă Orice funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi îşi atinge marginile.
97
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCŢII PROP. O funcţie continuă pe un interval, care nu se anulează pe acest interval păstrează semn constant pe el. DEFINIŢIE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. ⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b), f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ. TEOREMĂ. Orice funcţie continuă pe un interval are P.D. Dacă f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval. ( Reciproca e în general falsă). CONTINUITATEA FUNCŢIILOR INVERSE T1. Fie f : I ⊂ R → R o funcţie monotonă a.î. f( I) e interval. Atunci f este continuă. T2. Orice funcţie continuă şi injectivă pe un interval este strict monotonă pe acest interval. T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale. Dacă f e bijectivă şi continuă atunci inversa sa f-1 e continuă şi strict monotonă.
98
17. DERIVATE FUNCŢIA
DERIVATA
C x xn
nxn-1
xa
axa-1
ax
a x lna
ex
ex 1 x2 n - n+1 x 1
-
1 x
1 xn x n
0 1
x
sin x cos x tg x ctg x arcsin x
2 x 1 n n x n −1
cosx -sinx 1 cos 2 x 1 - 2 sin x 1 1− x2
99
arccos x
1
-
1− x2 1 1+ x2 1 1+ x2 1 x 1 x ln a
arctg x arcctg x lnx log a x (uv)’
=
f(x)=
v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu
ax + b cx + d
f’(x)=
a c
b d
( cx + d ) 2
REGULI DE DERIVARE (f.g)’=f’g+fg’
(χf )' = χf ' '
⎛ f ⎞ f ' g − fg ' ⎜⎜ ⎟⎟ = g2 ⎝g⎠
( f ) ( f ( x )) = −1 '
0
1 f ( x0 ) '
100
18. STUDIUL FUNCŢIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR Proprietăţi generale ale funcţiilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei funcţii. Fie Ι un interval şi f:Ι → R. Definiţie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) al funcţiei f , un punct a ∈ Ι pentru care există o vecinătate V a lui a
astfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f ( x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V. • Un punct de maxim sau de minim se numeşte punct de extrem. • a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dacă f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι. Obs.1.O funcţie poate avea într-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul).
Obs.2.O funcţie poate avea într-un punct a un maxim (local), fără a avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul f (a ) < f (c ) ).
(a, f (a)), (c, f (c)) -puncte de maxim
(b, f (b),)(d, f (d))
-puncte de minim
101
TEOREMA LUI FERMAT 0
Dacă f este o funcţie derivabilă pe un interval Ι si x0 ∈ I un punct
de extrem,atunci f ' ( x0 ) = 0 . Interpretare geometrică: • Deoarece f ' ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul (x 0 , f ( x0 )) este paralelă cu OX. Obs.1. Teorema este adevărată şi dacă funcţia este derivabilă numai în punctele de extrem. Obs.2. Condiţia ca punctul de extrem x0 să fie interior intervalului este esenţială. (dacă ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ' ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x. Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevărată.(se pot găsi funcţii astfel încât f ' ( x0 ) = 0 dar x0 să nu fie punct de extrem).
• Soluţiile ecuaţiei f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele de extrem se găsesc printre acestea. • Teorema lui Fermat dă condiţii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata într-un punct să fie nulă. O altă teoremă care dă condiţii suficiente pentru ca derivata să se anuleze este :
102
TEOREMA LUI ROLLE. Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dacă: 1. f este continuă pe [a,b];
2. f este derivabilă pe (a, b ) ;
3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel puţin un punct c ∈ (a, b ) a.î f ' (c ) = 0.
INTEPRETAREA GEOMETRICA Dacă funcţia f are valori egale la extremităţile unui interval
[a,b], atunci există cel puţin un punct în care tangenta este paralelă
cu axa ox .
Consecinţa 1. Între două rădăcini ale unei funcţii derivabile se află cel puţin o rădăcină a derivatei. Consecinţa 2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcţiei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite)
Fie f : I → R,I (interval, a, b ∈ I, a < b. Dacă: 1. f este continuă pe [a, b]
103
2. f este derivabilă pe (a,b ), atunci există cel puţin un punct
c ∈ (a, b ) a.î să avem f (b ) − f (a ) = f ' (c ). b−a
INTERPRETAREA GEOMETRICĂ Dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct(cu excepţia eventual,a extremităţilor) există cel puţin un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremităţile), în care tangenta este paralelă cu coarda care uneşte extremităţile.
f (b ) − f (a ) tangenta la grafic în M are coeficientul. b−a unghiular f ' (c ) dar f (b ) − f (a ) f ' (c ) = b−a Obs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle. tgα =
Consecinţa 1. Dacă o funcţie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval. • Dacă o funcţie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai rămâne adevărată în general.
⎧1, x ∈ (0,1) ⎩2, x ∈ (2,3)
Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨
104
Consecinţa 2. Dacă f si g sunt două funcţii derivabile pe un interval I şi dacă au derivatele egale f ' = g ' atunci ele diferă printr-o constantă. f − g = c. c ∈ R • Dacă f si g sunt definite pe o reuniune disjunctă de intervale,
proprietatea e falsă în general. Expl. f ( x ) = tgx
⎧ ⎛ π⎞ ⎪tgx + 1, x ∈ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ , g (x ) = ⎨ ⎪tgx − 1, x ∈ ⎛⎜ π π ⎞⎟ ⎪⎩ ⎝2 ⎠ Consecinţa 3. Daca f ' ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict crescătoare pe I.
Daca f ' ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descrescătoare I. −
Consecinţa 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s' ( x0 ) = f d' ( x0 ) = l ∈ R .
⇒ f are derivata în x0 şi = f ' ( x0 ). Dacă l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 .
Consecinţa 5.Daca f ' ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f ' păstrează semn constant pe I.
ETAPELE REPREZENTĂRII GRAFICULUI UNEI FUNCŢII
1. Domeniul de definiţie; 2. Intersecţia graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox conţine puncte de forma{x,0},unde x este o rădăcină a ecuaţiei f(x)=0 {daca există}. Intersecţia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dacă punctul 0 aparţine domeniului de definitie} 3. Studiul continuităţii funcţiei pe domeniul de definiţie :
105
Dacă funcţia este definită pe R se studiază limita funcţiei la ± ∞ iar dacă este definită pe un interval se studiază limita la capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f’. b. Rezolvarea ecuaţiei f’(x)=0.Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculează f’’ b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. Rădăcinile acestei ecuaţii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convexă şi pe cele pe care f’’<0, funcţia eate concavă. 6.Asimptote :
a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde a= lim f ( x) dacă cel puţin una din aceste limite are sens şi x → ±∞
există în R. b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, dacă există cel puţin o limită laterală a funcţiei în x0, infinită. c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde f ( x) m = lim ∈ R si n = lim ( f ( x) − mx) ∈ R , analog şi pentru x x →∞ x →∞ -∞. 7. Tabelul de variaţie; 8. Trasarea graficului.
106
19. PRIMITIVE Primitive. Proprietăţi. Fie I un interval din R. Definiţia 1. Fie f: I → R. Se spune că f admite primitive pe I
dacă ∃ F : I →R astfel încât a) F este derivabilă pe I; b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I.
F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fi şi o reuniune finită disjunctă de intervale).
Fie f : I → R. Dacă
Teorema 1.1
F ,F 1
2
: I → R sunt
două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c ∈ R astfel încât F 1 ( x) = F 2 ( x) + c, ∀ x ∈ I.
F , F sunt primitive atunci F , F derivabile ⇒ F ( x ) = F ' ( x) = f ( x) ∀ x ε I ⇔ ( F − F ) ( x) = F ( x) − F ' ( x) = 0 , x ε I. ⇒ F ( x) − F ( x) = c , c= constantă
Demonstraţie : Dacă
1
2
1
2
sunt
'
1
2
'
'
1
1
2
1
2
2
OBS 1. Fiind dată o primitivă
F a unei funcţii, atunci orice primitivă F a 0
lui f are forma F = F0 + c , c= constantă
⇒ f admite o infinitate de primitive. OBS 2. Teorema nu mai rămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă de intervale Expl: f: R- {0 }, f(x) = x² ⎧ x3 ⎪⎪ + 1 x3 3 F= , G= ⎨ 3 3 ⎪x + 2 ⎪⎩ 3 F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1 OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se ştie că derivata oricărei funcţii are Proprietatea lui Darboux , rezultă că f are Proprietatea lui Darboux. F’ =f.
107
F P.D
P
C D
OBS 4. Dacă I este interval şi f(I)
def { f ( x) / x ∈ I
} nu este interval
atunci f nu admite primitive. Dacă presupunem că f admite primitive atunci din OBS 3 rezultă că f are P lui Darboux, rezultă f(I) este interval ceea ce este o contradicţie. OBS 5. Orice funcţie continuă definită pe un interval admite primitive.
Fie f: I →R o funcţie care admite primitive. Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala Definiţia 2.
nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul
∫ f (x ) dx.
Operaţia de calculare a primitivelor unei funcţii(care admite primitive ) se numeşte integrare. Simbolul
∫
a fost propus pentru prima dată de Leibniz, în
1675. Fie F(I)= { f : I → R} Pe această mulţime se introduc operaţiile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , (αf)(x)=α.f(x) ∀ x ∈ R ,α constantă C= { f : I → R / f ∈ R}
∫ f ( x ) dx = {F ∈ F ( I ) / F
primitivă
a
lui
}
f .
108
Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt funcţii care admit primitive şi α ∈ R, α ≠0, atunci funcţiile f+g, αf admit de asemenea primitive şi au loc relaţiile: ∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C Formula de integrare prin părţi. Teorema 1.1 Dacă f,g:R→R sunt funcţii derivabile cu derivatele continue, atunci funcţiile fg, f’g, fg’ admit primitive şi are loc relaţia: ∫ f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- ∫ f’(x)g(x)dx Formula schimbării de variabilă (sau metoda substituţiei). Teoremă: Fie I,J intervale din R şi
ϕ : I → J , f : J → R , functii cu proprietat ile : 1) ϕ este derivabilă pe I; 2) f admite primitive. (Fie F o primitivă a sa.) Atunci funcţia (f o ϕ ) ϕ ’ admite primitive, iar funcţia F o ϕ este o primitivă a lui (f o ϕ ) ϕ ’ adică:
∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ (t )dt '
= Fo ϕ + C
5. Integrarea funcţiilor trigonometrice Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrării prin părţi, fie metoda substituţiei. În acest caz se pot face substituţiile: 1. Dacă funcţia este impară în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t. 2. Dacă funcţia este impară în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t. 3. Dacă funcţia este pară în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.
109
4. Dacă o funcţie nu se încadrează în cazurile 1,2,3,atunci se utilizează substituţiile universale: sin x =
2t 1− t2 x = , cos 1+ t2 1+ t2
unde t = tg
x 2
5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice: sin 2x=2sin x .cos x, sin
2
x =
1 − cos 2 x 2
cos
2
x =
1 + cos 2 x 2
Integrarea funcţiilor raţionale Definiţie: O funcţie f:I→R , I interval, se numeşte raţională dacă
f ( x) , g ( x) ≠ 0, x ∈ I , unde f,g sunt funcţii polinomiale. g ( x) Dacă grad f ≥ grad g, atunci se efectuează împărţirea lui f la g ⇒ f=gq+r, 0 ≤ grad r
R( x) =
f ( x) r ( x) = q( x) + . Pentru g ( x) g ( x)
scrierea
ca suma de
functii
R ( x ) se
rationale
face
simple .
PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE 1.
∫ cdx = c ⋅ x + C ,
2.
∫
x n dx =
∫
x α +1 x dx = +C α +1
∫
ax a dx = + C ln a
3.
4.
c∈R
x n +1 + C n +1
α
x
110
5.
∫e
6.
∫
7.
∫ sin
8.
∫ cos
9.
∫ sin xdx = − cosx + C
10.
∫ cos
11.
∫x
2
12.
∫x
2
13.
∫
14.
∫
15.
∫
x
dx = e
x
+ C
1 dx = ln x + C x 1 2
dx = − ctgx + C
x
1 2
x
dx = tgx + C
xdx = sin x + C
1 1 x dx = arctg + C 2 a a +a 1 1 x−a dx = ln +C 2 2a x+a −a 1
x +a 2
2
1 x −a 2
2
1 a −x 2
2
dx = ln( x + a 2 + x 2 ) + C
dx = ln x + x 2 − a 2 + C
dx = arcsin
x +C a
111
16.
∫
tgxdx = − ln cos x + C
17.
∫
ctgxdx = ln sin x + C
18.
∫
19.
x x2 + a
x
∫
20.
∫
21.
22.
2
x2 − a
2
x a −x 2
2
dx =
x2 + a
2
+ C
dx =
x2 − a
2
+ C
dx = − a 2 − x 2 + C
∫
x2 + a2 dx =
x 2 2 a2 x + a + ln x + x2 + a2 + C 2 2
∫
x2 − a2 dx =
x 2 2 a2 x − a − ln x + x2 − a2 + C 2 2
23.
∫
x 2 a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 a
24.
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
25.
∫ ( ax
1
∫ 26.
2
2
1
1 1 1 ⋅ + C dx = − n n −1 a + b) ( n − 1 )( ax + b )
1 1 dx = 2 2 2 2 (x + a ) a
1 a2
∫
1 1 dx − 2 2 2 x +a a
x2 + a2 − x2
∫ (x ∫
2
+ a2
)
2
+C =
⎛ −1 x ⋅ ⎜⎜ 2 2 ⎝2 x +a
(
'
)
⎞ ⎟⎟ dx ⎠
112
1 ⎧ dx, Δ〉 0 ⎪∫ ⎪ a[( x + b ) 2 − ( Δ ) 2 ] 27. 1 ⎪ 2a 2a ∫ ax 2 + bx + c dx = ⎨ 1 ⎪ dx, Δ〈0 ⎪∫ b 2 −Δ 2 ) ] ⎪ a[( x + ) + ( 2a 2a ⎩
28.
∫ ax
2 ax + b dx = ln ax 2 + bx + c + C 2 + bx + c
m ( 2 ax + b ) + n dx = ax 2 + bx + c 29. 1 m ⋅ ln ax 2 + bx + c + n ⋅ ∫ dx 2 ax + bx + c
∫ ax
Ax + B dx = + bx + c
2
∫
113
Bibliografie: - Arno Kahane. Complemente de matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1958. - C. Năstăsescu,C. Niţă, Gh. Rizescui:”MatematicăManual pentru clasa a IX-a”, E.D.P., Bucureşti, 1982. - C. Năstăsescu, C Niţă, I. Stănescu: Matematică-Manual pentru clasa a X-a-Algebră”, E.D.P., Bucureşti,1984. - E. Beju, I. Beju:”Compendiu de matematică”, editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1996. - E. Rogai,”Tabele şi formule matematice”,Editura tehnică,1983. - „Mică enciclopedie matematică”, Editura tehnică, Bucureşti,1980. - Luminiţa Curtui,” Memorator de Matematică-Algebra, pentru clasele 9-12”, Editura Booklet,2006.
114
Probleme propuse şi rezolvate 1.Să se determine numerele întregi a şi b astfel încât
4 6 + 14 = a 2 + b 3; Rezolvare: Ridicăm la puterea a doua expresia dată: 4 6 + 14 = 2a 2 + 2 6ab + 3b 2 ; Din egalarea termenilor asemenea între ei rezultă : ab=2 şi 2a2+3b2=14 rezultă: a=1 şi b=2. 1 1 2.Dacă a − =7, să se calculeze a4 + 4 . a a Rezolvare: 1 Ridicăm la puterea a doua relaţia dată: ( a − )2=49, a 1 a2+ 2 =51 procedând analog se obţine a 1 1 a 4 + 4 = 512 − 2 ⇒ a 4 + 4 = 2599 . a a 3.Aflaţi X din X.3 2008 = (3 2008 – 1) : (1+ 1 1 1 + 2 + ....... + 2007 ) 3 3 3
Rezolvare: 1 1 1 3 3 2008 − 1 1 + + + ........ + 2007 = ⋅ 2008 , după formula 3 3² 2 3 3 1 + X + X ² + ......... + X n = ⇒ X ⋅3
2008
= [3
2008
X n +1 − 1 X −1
2 3 2008 2 − 1] ⋅ 2008 ⇒X = 3 3 3 −1
115
4. Să se calculeze:
2a − 3 3−a
unde a =
7 − 11 − 4 7
Rezolvare: 11 − 4 7 =
2 2− 3 3− 2
=
11 + 3 11 − 3 − = 7 −2⇒ a = 2 2 2
(2 2 − 3 )( 3 + 2 ) = 2 6 + 4 − 3 − 6 = 6 +1 3− 2
a = 3 − 1 să se calculeze partea întreagă a b a ² + b² numărului a ² − b²
5. Ştiind că
Rezolvare: a = 3 + 1 ⇒ a = 3 + 1, b = 1 ⇒ b =
5+2 3 3+ 2 3
=
(5 + 2 3 )(3 − 2 3 ) =
( (
) = 3+ 2 3 + 1)² − 1 3 + 2
3 +1 ² +1
3 +1+1 3 +1−1
=
9 − 12
15 − 10 3 + 6 3 − 12 3 − 4 3 4 3 − 3 = = 3 −3 −3 ⎡ 4 3 − 3⎤ ⎢ ⎥ =1 3 ⎣ ⎦
=
6.Se dă numarul x = 6 − 2 5 − 6 + 2 5 Să se arate ca x² = 4 Să se calculeze (X+2)2007
Rezolvare: a)
116
(1 − 5 )² − (1 + 5 )² =
x =
1 − 5 − 1 + 5 = −1 + 5 − 1 − 5 = −2 ⇒ x² = 4 b. x = − 2 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ ( x + 2) 2007 = 0
66b a . = 2007 , să se calculeze b a 223 − 9b Rezolvare: 66b 66 66 1 a = b 2007 ⇒ = = = b 2007 ⋅ 223 − 9b 223 ⋅ 3 − 9 660 10 7. Dacă
8.Să se calculeze suma S=
2 + 2 2 + 2 3 + .......... + 2 2007 .
Rezolvare: S= =
( 2+
)
23 + 25 + ............ + 22007 +
+ ⎛⎜ 22 + 24 + ............ + 22006 ⎞⎟ = ⎝ ⎠
(
)
= 2 1 + 2 + 22 + ............ + 21003 + + 2 + 22 + 23 + ............. + 21003 + 1 − 1 =
( = [(2 ) − 1](
= 1 + 2 + 22 + ............. + 21003
)
)(
)
2 +1 −1 =
2 + 1 − 1. Am adăugat şi am scăzut 1. 1004
117
9.Calculaţi: E =
(
)
4 + 2 3 + 7 − 4 3 + 2 68 − 351 + 2 68 : 350
Rezolvare:
4+2 3 =
4+2 4−2 + = 3 +1 2 2
7−4 3 =
7 +1 7 −1 − = 2− 3 2 2
(2 ) − (3 ) 4 17
3 17
(
)
< 0 ⇒ E = 3 + 1 + 2 − 3 + − 268 + 351 + 268 : 350
= 3 + 3 : 3 = 3 + 3 = 6. 51
50
10.Determinati n ∈ Z astfel încât Rezolvare
(3 − 5 )
2
=
+ n
(
)
5 −1
2
=
14 − 6 5 + 6 − 2 5 ∈ Z. n
3− 5 + n
5 −1
=
3 − 5 + 5 −1 n
2 ∈ Z ⇔ n ∈ {− 2,−1,1,2} n
11. Să se rezolve ecuaţia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6 Rezolvare: Ecuaţia dată este echivalentă cu: (2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 ⇔ (4x2 –4x-8) (4x2 –4x-3)=-6 Notam 4x2 –4x-8=t ⇒ t(t-5)=-6 ⇒ t2-5t+6=0 ⇒ t1=2 si t2=3
⇒ 4x2 –4x-8=2 ⇒ x1,2= 1 ± 11 2
8=3 ⇒ x3,4=
4x2 –4x-
1± 2 3 . 2
118
12 . Se dă ecuaţia: x² + 18x + 1 = 0. Se cere să se calculeze 3 x1 + 3 x 2 , unde x1, x2 sunt soluţiile ecuaţiei .
Rezolvare : Fie A = 3 x1 + 3 x 2 . Se ridică la puterea a treia A³ = x1 + x2 + 3 3 x1 x 2 · A Cum x1 + x2= - 18 x1+x2=1 (Relaţiile lui Viete) A³- 3A + 18= 0 ; Soluţia reală a acestei ecuaţii este A = -3 ; restul nu sunt reale A³+ 3A²-3A²-9A+6A+18=0 A²(A+3) – 3A (A+3)+6(A+3)=o (A+3)(A²-3A+6)=0 A=-3 13. Doua drepte perpendiculare între ele în punctul M(3;4) intersectează axa OY în punctual A si OX în punctual B. a) să se scrie ecuaţia dreptei AB b) să se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului.
Rezolvare : Scriem ecuaţiile dreptelor AM si MB (1)AM : y − 4 = m(x − 3) cum AM ⊥ MB (2)MB : y − 4 = − 1 (x − 3) m Aflam coordonatele lui A: - din (1) când x = 0 ⇒ y = 4 − 3m Aflam coordonatele lui B: - din (2) când y = 0 ⇒ x = 4m + 3
119
Fie P(x,y) mijlocul lui AB 4M + 3 4 − 3m 2x − 3 ⇒X = ⇒x= ,y = 2 2 4 2x − 3 ⇒ 2y = 4 − 3⋅ ⇒ 8 y = 16 − 6 x + 9 ⇒ 4 ⇒ 6 x + 8 y − 25 = 0(ec.drepteiAB ) 3 ⇒ panta dreptei AB este m = − . 4 Panta dreptei OM este evident 4−0 4 = ⇒ m AB ⋅ mom = −1 ⇒ OM ⊥ AB. 3−0 3 A
M(3,4) O
B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere: a) perimetrul triunghiului ABC şi natura sa ; b) coordonatele centrului de greutate; c) ecuaţia dreptei BC; d) ecuaţia medianei AM şi lungimea sa; e) ecuaţia înălţimii din A pe BC şi lungimea sa ; f) ecuaţia dreptei care trece prin A şi face un unghi de 300 cu axa OX;
120
g) ecuaţia dreptei care trece prin A şi este paralelă cu BC; h) ecuaţia bisectoarei din A şi lungimea ei i) aria triunghiului ABC.
Rezolvare: a) Aplicând formula distanţei pentru cele trei laturi ale triunghiului AB =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
obţinem:
AB = 3 5 , BC = 5 5 ,AC = 4 5 ⇒ P = 12 5 ; Se verifică cu reciproca teoremei lui Pitagora că triunghiul este dreptunghic cu unghiul de 900 în vârful A. b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula: ⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ⎞ ⎛4 7⎞ , G⎜ 1 ⎟ ⇒ G⎜ , ⎟ ; 3 3 ⎝3 3⎠ ⎝ ⎠ c) Ecuaţia dreptei BC se scrie folosind formula: y − y1 x − x1 = ⇒ y 2 − y1 x 2 − x1 y−3 x+ 4 = ⇒ 5x+10y-10=0 x+2y-2=0 10 −5 1 (forma generală a dreptei )sau y = − x + 1 (forma normală); 2 1 d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M (1, ) ⇒ 2 ecuaţia medianei este: x−2 y−6 = ⇒ 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii 1− 2 1 −6 2 medianei AM se poate folosi faptul că într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: BC 5 5 ⇒ AM = = , altfel se poate aplica formula distanţei. 2 2 e) Fie AD înălţimea din A ⇒ AD şi BC sunt perpendiculare ceea ce înseamnă că produsul pantelor este egal cu -1. Cum
121
1 ⇒ panta lui AD este 2. Rămâne să 2 scriem ecuaţia dreptei care trece prin A şi are panta 2 : y-6=2(x-2) ⇒ 2x-y+2=0 este ecuaţia înălţimii din A; Pentru calculul înălţimii (într-un triunghi dreptunghic) este convenabil să aplicăm formula: AB ⋅ AC 3 5 ⋅ 4 5 12 5 AD = = = ; BC 5 5 5 Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuaţiile dreptelor BC şi AD pentru a determina coordonatele lui D. 3 f) y-6= (x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) în 3 condiţiile în care panta este tg300 1 1 g) y-6= − (x-2) unde − este panta dreptei BC . 2 2 h) Fie AE bisectoarea unghiului A. BE AB 3 Din teorema bisectoarei k= = ⇒ k= .Folosindu-ne EC AC 4 de raportul în care un punct împarte un segment rezultă ⎛2 6⎞ coordonatele lui E ⎜ , ⎟ . Atunci ecuaţia bisectoarei este: ⎝7 7⎠ x−2 y−6 = ⇒ 21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea 2 6 −2 −6 7 7 bisectoarei ne putem folosi şi de formula A 2 AB ⋅ AC cos 2 care este utilizată de obicei când se AE = AB + AC cunoaşte măsura unghiului a cărei bisectoare se calculează. 12 10 . ⇒ AE = 7 i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este dată de formula A = AB ⋅ AC = 30 . 2 panta dreptei BC este −
122
Se va insista pe faptul că dacă triunghiul nu ar fi fost dreptunghic ar fi trebuit să se calculeze distanţa de la A la dreapta BC adică tocmai lungimea înălţimii iar aceasta s-ar putea face mai simplu folosind formula : Distanţa de la un punct M0(x0,y0) la o dreaptă h de ecuaţie (h): ax+by+c=0 este dată de: ax0 + by 0 + c d ( M 0 , h) = . a2 + b2
15. Sa se rezolve ecuaţia : x x 3 ⎞ ⎛ 4 4 ⎟ ⎜ 2006 − 2005 = 6 ⋅ 2005 + 4⎜ 2005 + 2005 ⎟ + 1 ⎝ ⎠ Rezolvare : Ecuaţia dată este echivalentă cu : x
x 2
x
4
x ⎛ ⎞ 2006 = ⎜⎜ 2005 4 + 1⎟⎟ ⎝ ⎠ Ridicăm la puterea x x x x 1 ⇒ 2006 4 = 2005 4 + 1 ⇒ 2006 4 − 2005 4 = 1 4 x
(x )
Din monotonia funcţiei f ( x ) = (1 + a ) − a x care e strict crescătoare ⇒ ecuaţia (x ) are soluţie unică ⇒ x = 4 x
16 . Să se rezolve ecuaţia: x 2x x x 3 3 2007 – 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
123
Rezolvare: Ecuaţia dată este echivalentă cu: x x 3 3 2007 = (2006 + 1) . Ridicăm la puterea 1/3 => x x 3 3 2007 = 2006 +1 => x x 3 3 2007 – 2006 =1 (*) Din monotonia funcţiei f(x) = (1+ a)x – ax care e strict crescătoare => ecuaţia (*) are soluţie unică: x = 3 17. Să se determine numărul de cifre din care este compus numărul 72007. Rezolvare:
102 < abc <103 ; p = 3 ______ 3 10 < abcd < 104 ; p = 4
(*) 10p-1 ≤ N < 10p , unde p reprezintă numărul de cifre ale lui N. Din (*) => lg 10p-1 ≤lg N p-1 ≤ lg N lg N = 2007 lg 7 ≈ 1696 de cifre.
124
⎛a b ⎞ ⎟⎟ ∈ M 2 (Z ) e 18. Să se arate că matricea A = ⎜⎜ d c ⎠ ⎝ inversabilă , unde : a = 2005 2006 b = 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006 c = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 11
2006 ori de 1
d = 2006 Rezolvare :
2005
A e inversabilă ⇔ det A ≠ 0 ⇔ ultima cifră a numărului det A e≠0
u (a ) = 5
u (d ) = 6 ⇒ u (det A) = 5 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 = 0 − 6 = 4 ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0. u (b ) = 6 u (c ) = 6
125
Probleme - sinteze
I. NUMERE REALE. APLICAŢII. 1. Să se calculeze: a) b)
98 − 44 − 50 + 99 . (7 2 − 8 3 ) − (5 2 − 6 3 ) + (− 2 + 2 3 ).
c)
( 20 − 18 ) ⋅ ( 45 + 50 ) − 10 .
d)
(520 + 330 − 520 ) : 914.
e)
( 287 − 358 − 358 ) : 1620.
f)
3 2 3
−
2
12 . 3 2 3 3−2 2
{
⋅
[
(
g)
5 2 + 3⋅ − 8 3 + 4⋅ 3 2 + 2⋅
h)
12 − 2 3 12 + 3 2 2 6 − 6 − + . 2 3 3 2 6
i)
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 − ⎟:⎜ ⎟ . ⎜ 20 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5
)]}
3 − 2 2 : 22.
−1
126
j)
6561 + 1225 − 5184 .
k)
⎛ 1 2 1 ⎞ ⎜⎜ − + ⎟⎟ : 3 2 32 2 2 ⎠ ⎝3 2
( )
−1
2⋅ 2+ 2 ⋅ 2+ 2+ 2 ⋅ 2− 2+ 2.
l)
(3 − 7 ) + (2 − 7 ) . (3 − 2 ) + (2 2 − 3) − (3 2 − 5) . 3 + 2 2 + 6 − 4 2 − ( 2 − 1) . 2
m)
2
2
n)
2
2
2
o)
16 x16
p)
.
25 y 24 q)
3 + 7 ⋅ ( 13 − 7 − 5 − 7 ).
r)
2 − 3 ⋅ ( 6 − 2 ) ⋅ (2 + 3 ).
s)
11 − 6 2 + 6 − 4 2 + 9 + 4 2 .
t)
2+ 3 2− 3 + . 2− 3 2+ 3 2+ 3
u) v)
(
2− 3
+
2+ 2+ 3
) ( 2
3+ 2 −
2− 2− 3
) ( 2
3− 2 +
2. Dacă a=2006.2007, arătaţi că 3. Să se calculeze numărul
. 3+ 2
)(
)
3− 2.
a + a + a 〈 2007.
a 2 − b 2 pentru a = 242,5 şi b = 46,5
127
4. Comparaţi numerele:
a=
(
)
2
5− 3 +
(
)
(
2
3− 5 +2
)
(
2
)
5 + 3 +46− 5 .
b = 6 − 2 5 + 6 + 2 5 + 2 14 − 6 5 . a 3b = 1996 , calculati . 5. Dacă b a ⋅ 499 + 3b 6. Arătaţi că numărul
(
)
5
a = 1,41 − 2 + 251 − 334 + 251 : 32 + 1,41 − 2
e pătrat perfect.
7. Să se arate că expresia
E= b=
2a − b ∈Q a + 2b
stiind ca a = 3 − 5 + 9 − 4 5
7 − 1 − 11 − 4 7
8. Să se aducă la o formă mai simplă expresia:
E (a) = 6a 4 + 6a 8 + 5a 16 + 16a 32 , a〉 0. 3
10*. Să se arate că: a)
11. Să se arate că:
2
2 sau 3
9. Care număr este mai mare:
.
a) 5n + 7 ∈ R − Q b) 5n + 13 ∈ R − Q
a) 3 2 n + 2 ⋅ 4 2 n + 3 − 2 2 n +1 ⋅ 6 2 n + 3 ∈ Q, ∀n ∈ N b) 2 ⋅ 9 2n
n +1
+4
n+ 2
⋅3
2n
∈ N , ∀n ∈ N
.
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....... ⋅ 31 + 32 ∈ Q.
12. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei:
2 x = 1 + 2 0 + 21 + 2 2 + 2 3 + ....... + 2 999. 2x − 4 14. Să se afle numerele întregi x pentru care ∈ Z. x+5
13. Să se afle x ştiind că
a)
3
5 2 +7 −3 5 2 −7 = 2
b)
3
9+4 5 +3 9−4 5 =3
15. Să se verifice egalităţile:
16. Să se ordoneze crescător numerele: 2 , 17. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
3
3, 6 6 .
128
1
a) 3
5 −3 2 2− 2 − 3 2+ 2 − 3
b) 3
.
; e)
1 2−3 3
1 2 +1
;
c) 3
1 9 +3 5
; d)
.
18. Să se determine rădăcina pătrată a numărului a= 6 + 2 3 − 2 19. Să se determine cel mai mare număr natural n cu proprietatea:
1 2+ 3
+
1 4 + 15
+ .................... +
2 −2 6
1 2n + 4n 2 − 1
≤3 2.
20. Fie a,b,c numere raţionale astfel încât ab+ac+bc=1. Să se demonstreze că:
(a
2
)(
)(
)
+1 b2 +1 c2 +1 ∈ Q .
21. Să se demonstreze că
2+ 3+ 5
nu este un număr raţional.
II. PROGRESII ARITMETICE
1. Să se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (a n )n dacă :
a) a1 =-3 ; r=5 b) a1 =7 ;r=2
c) a1 = 1,3 ; r= 0,3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei aritmetice (a n )n :
a) a1 , a 2 ,15,21,27,......
b) a 1 , a 2 , − 9 , − 2 , 5 ,........
3. Să se calculeze primii cinci termeni ai şirului cu termenul general a n
a) a n =3n+1 ; b) a n = 3 + (-1)
n
c) a n = n +n + 1 2
4. Fie (a n )n o progresie aritmetică . Dacă se dau doi termeni ai progresiei
să se afle ceilalţi :
a )a3 = 7, a5 = 13, a9 = ?, a15 = ?
b)a8 = 40, a 20 = −20, a 7 = ?, a10 = ? c)a 6 = 2, a10 = 36, a9 = ?, a11 = ? d )a 2 = −5, a9 = −125, a 7 = ?, a19 = ? 5. Fie (a n )n o progresie aritmetică. Se dau :
129
a )a1 = −2, r = 0,5 se cere a 12 b) a1 = 3, r = −1,5 se cere a 19 c) a10 = 131, r = 12 se cere a1 d) a 200 = 0, r = −3 se cere a1 6. Să se găsească primul termen şi raţia unei progresii aritmetice dacă :
a )a5 = 27, a 27 = 60
b)a 20 = 0, a 60 = −92 c)a1 + a 7 = 42, a10 − a3 = 21 d )a 2 + a 4 = 16, a1 ⋅ a5 = 28 e) S10 = 8S 5 , S 3 = −3 f )a1 + a 2 + a3 = a 7 , a3 + a 4 + a5 = a12 + 2 7. Şirul ( x n )n este dat prin formula termenului general.
a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. Să se arate că ( x n )n e o progresie aritmetică.
Să se afle primul termen şi raţia.
a)a1 =10, a100 =150 8.
÷ ai
. Să se afle S 100 dacă : b)a1 = 2, r = −5
c)a1 = 5,5, a100 = 7,5 9.Cunoscând Sn să se găsescă : 2
a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dacă Sn =5n +3n ; Sn =3 n
2
n2 − n. 4
; Sn =
b) a1 = ?, r= ? dacă Sn = 2 n
2
+3n ;
10. Este progresie aritmetică un şir pentru care : 2
a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ; 11.
÷ ai
2
c) Sn = -4 n +11.
, S10 = 100, S30 =900 . Să se calculeze S50.
12. Determină x ∈ R astfel încât următoarele numere să fie în progresie aritmetică.
130
a) x-3, 9, x+3 ;
b)
x
2
+ 2, (3x ) ,4 − 2 x + x 2
2
c)
x + 2 ,18, x − 2 13. Să se rezolve ecuaţiile : a) 1+7+13+….+x =280 ; b) 1+3+5+…..+x = 169 ; c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…..+(x+28) = 155 ; d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ……..+(x+25) = 338 ; e) x+(x+5)+(x+10)+………+(x+100) = 2100. 14. Să se arate că următoarele numere sunt în progresie aritmetică : a) (a+b)² , a²+b² , (a-b)² ;
a a+b b , , ; b(a − b) 2ab a (b − a) a x + a −1 x2 + a −1 , , , x ≠ −1, x ≠ 0. c) x +1 2x x( x + 1)
b)
1 1 1 sunt în progresie , , b+c c+a b+a 2 2 2 aritmetică atunci numerele a , b , c sunt în progresie aritmetică.
15. Să se arate că dacă numerele
16. Fie (a n )n o progresie aritmetică.
Să se arate că :
1 1 1 n −1 + + ....... + = , ∀n ≥ 2 . a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a n −1 ⋅ a n a1 ⋅ a n
17. Fie ecuaţia ax² +bx+c =0 cu soluţiile x1,x2. Dacă numerele a,b,c sunt în progresie aritmetică atunci există relaţia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 0 18. Să se demonstreze : a) ÷ a − bc, b − ca, c − ab ⇔ ÷a, b, c b) 2
÷ a 2 + 2bc, b 2 + 2ca, c 2 + 2ab ⇔ ÷
2
2
1 1 1 , , b−c c−a a−b
c)
÷ a3
a2 3 b2 3 c2 d2 ,b ,c ,d3 ⇒ ÷a 2 , b 2 , c 2 , d 2 bcd acd abd abc
131
III. PROGRESII GEOMETRICE 1. Să se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dacă :
a) b1 = 6, q = 2 c) b2 = −10, q = e) b1 = 1, q = 5
b) b1 = −24, q = −0,5
1 2
d) b2 = 0,5, q =
3
2. Să se găsească primii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n :
b) b1 , b2 ,225,−135.81,......,.......
a) b1 , b2 ,24,36,54,.......
3. Dacă se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n
a) b3 = 6, b5 = 24 , să se găsească b7 , b9 , b10 b) b5 = 10, b8 = −10 ,……………. b6 , b12 , b3 . 4. Să se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin : b) b1 = 4, bn +1 = −3bn a) b1 = 2, bn +1 = 3bn
c) b1 = 9, bn +1 = 2bn
d) b1 = 10, bn +1 =
1 bn 5
5. Este progresie geometrică un şir pentru care suma primilor n termeni este :
a) Sn = n² -1 ; 6. Să se determine x geometrică :
a) a+x, b+x, c+x ;
b) Sn = 2 − 1 ; n
c) Sn = 3 + 1 n
a.î. numerele următoare să fie în progresie 2
4
b) 2 x , x ,32 ;
c) 1, x ,6 − x ; 2
2
7. Să se găsească primul termen b1 şi raţia q a progresiei geometrice (b n ) n dacă :
132
⎧b2 − b1 = −4 ⎩b3 − b1 = 8
⎧b6 = 25 ⎩b8 = 9
⎧b3 − b2 = 12 ⎩b4 − b2 = 48
a) ⎨
b) ⎨
c) ⎨
8.Să se calculeze sumele :
a) 1 + 2 + 2 + 2 + ......... + 2 2
b) 1 − 2 + 2
1 1 + 2 22 1 1 d) − 2 2 2 c)
3
2008
− 23 + ......... + 22008 1 1 + 3 + ....... + 2008 2 2 1 1 + 3 − ....... − 2008 2 2 2
e) 1+11+111+1111+………111111…1 (de n ori 1) f) 3+33+333+……..33333…..3 g) 7+77+777+…..7777…7(de n ori 7) h) 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2
2
+ 4 ⋅ 23 + .....100 ⋅ 22007
9. Să se rezolve ecuaţiile :
a) 1 + x + x + x + .....x
= 0, x ≠ 1 2007 b) 1 + (1 + x) + (1 + x ) + ........ + (1 + x ) = 0, x ≠ 0 2
3
2007
2
IV. LOGARITMI 1. Să se logaritmeze expresiile în baza a : a) E=a2
b) E= 4 c) E=
7
ab 6 .
a3 . b5
a⋅3 b
a ⋅ b2 1 2. Să se determine expresia E ştiind că : lg E=2 lga- lgb-3 lg3. 2 3. Să se arate că log26+log62>2.
4. Să se calculeze expresiile:
a)
log12125
11
133
1 log 4 b) 7
49
c) E=log225-log2 ⎛⎜
20 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎟ + log 2 ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 21 ⎠ d) log 5 (log 3 (log 6 216)) e) log 2 (log 5 (log 3 243)) f)
log 5 125 − log 3 3 9
g)
5.
64 log 8 2 + log 2
49
log 7 3
log 3 x + log 3
independentă de valorile strict mai x,z,y.
b) E=
+ log 3 81
log 2 3 2 − log 3 3 log 2 x + log 2 y + log 2 3 z
Să se arate că expresia: E=
6. Să se calculeze expresiile: a) E=
2
y + log 3 3 z
este
mari ca 1 ale variabilelor
log 2 24 log 2 192 − . log 96 2 log12 2
31+log3 7 − 2 log 4 121
7.Să se calculeze suma:
1 1 + log 2 1 + log 2 2 + ... + log 2 n log 3 1 + log 3 2 + .... + log 3 n + ... +
1 log n 1 + log n 2 + ... + log n n
8. Să se arate că dacă a,b,c sunt în progresie geometrică atunci are loc egalitatea:
2 1 1 = + log b x log a x log c x
∀a, b, c ∈ R * + − {1}, x〉 0
9. Să se arate că dacă x, y, z sunt în progresie geometrică atunci
log a x, log b y, log c z sunt în progresie aritmetică.
134
PRIMITIVE 1. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii.
1. ∫(3x 5 −2 x 3 + 3 x − 2)dx 3. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 5.
∫ (2
)
x − 3 x + 45 x dx
7. ∫ x ( x − 1) 3 dx 9. ∫( e x + 11.
1 )dx ex
2. ∫ x(x-1)(x-2)dx 1 4. ∫ (3 x + 3 )dx x x ⎛ 5 3 2 ⎞ ⎟⎟dx 6. ∫ ⎜⎜ 5 − 3 + x x⎠ ⎝ x 5 3 ⎞ ⎛ 8. ∫ ⎜ 2 x + − 2 ⎟dx x x ⎠ ⎝ 10. ∫ (x 5 +5 x )dx
2
⎛ 5 + 4x ⎞ ⎟ dx x ⎠
∫ ⎜⎝
12.
∫
13. ∫
x 2 + 4dx
14. ∫
15. ∫
4 − x 2 dx
16. ∫
17.
∫
x2 + 3
dx x2 + 2 1 19. ∫ dx 2 sin x. cos 2 x 1+ x dx 21. ∫ 1− x
18.
∫
20.
∫
(x + 2)3 dx x3
x 2 − 9dx 1
dx x + x2 −1 x2 − 2 dx x2 − 3 1 dx sin x . cos x
135
2..Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii compuse.
1. ∫ 5 ⋅ 2 5 x dx
2. ∫ 3 4 x dx
4. ∫ 3 cos 3 xdx
5.
1
∫ 5x + 3 dx
1 dx − 16 1 10. ∫ dx sin 2 5 x 1 13. ∫ dx 16 x 2 + 4 2 7.
∫ 4x
3. ∫ 4 sin 4 xdx
8.
2
1
∫ 25 − 9 x
2
∫
dx 4x + 9 1 9. ∫ dx cos 2 3 x 2
dx
11. ∫ tg 4 xdx 14.
1
6. ∫
1 9 − 16 x 2
12. ∫ 2ctg 2 xdx dx
3. Să se calculeze primitivele următoare utilizând metoda integrării prin părţi:
1. ∫ ln xdx 4.
1
∫x
2.
ln xdx
5.
∫ x ln xdx 1 ∫ x ln xdx 2
2 8. ∫ ln(1 + )dx x
7. ∫ ln 2 xdx
ln 2 x 10. ∫ dx 11. ∫ cos(ln x)dx x2 2 13. ∫ ( x − 2 x + 3) ln xdx 15.
∫
x
ln(1 + x 2 + 1)dx
x +1 x + 1 ⋅ e x dx 2
) ∫( 19. ∫ (x + 2 x ) ⋅ e 21. ∫ x ⋅ e dx 2
17.
2
2
23.
∫
2x
−x
x ⋅ e dx 2
3x
∫ x ⋅ ln xdx ln(ln x) 6. ∫ dx x
3.
9. ∫
2
ln 3 x dx x2
12. ∫ sin(ln x)dx
∫ x ln( x − 1)dx x −1 16. ∫ x ln dx x +1
14.
∫ x ⋅ e dx 20. ∫ x ⋅ e dx −x
18. dx
2
x
22. ∫ ( x 3 + 5 x 2 − 2) ⋅ e 2 x dx 3⋅ 2x + 2 ⋅ ex 24. ∫ dx 2x
136
∫ e ⋅ sin xdx 27. ∫ e ⋅ sin 2 xdx 29. ∫ x ⋅ sin xdx 31. ∫ x ⋅ sin xdx 33. ∫ x ⋅ sin 2 xdx 35. ∫ x ⋅ sin xdx x dx 37. ∫ cos x
26. ∫ e x ⋅ cos xdx
x
25.
∫ e ⋅ cos 2 xdx 30. ∫ x ⋅ cos xdx 32. ∫ x ⋅ cos xdx 34. ∫ x ⋅ cos 2 xdx 36. ∫ x ⋅ cos xdx x dx 38. ∫ sin x
x
2
2
2
2
2
2
2
39.
∫
x ⋅ arcsin x
41. ∫ e − x
∫x⋅ 45. ∫ x ⋅ 47. ∫
2
40.
dx
1− x2 ⋅ sin 2 xdx
∫
arcsin x dx x2
42. ∫ cos 2 (ln x)dx 44. ∫ x ⋅ x 2 + 16dx
x 2 − 9dx
43.
x
28.
4 − x 2 dx
46.
∫
x ln xdx
x 2 − 2x + 5 dx ex
3. Să se calculeze integralele prin metoda substituţiei
∫ (ax + b ) dx 3. ∫ x(2 x − 1) dx 5. ∫ x (x + 1) dx n
1.
9
2
7.
3
x ∫ x ⋅ 7 dx 2
ex 9. ∫ 2 x dx e +1 e x dx 11. ∫ x
6
∫ (2 x − 1) dx 4. ∫ x(5 x − 3) dx 6. ∫ x (x + 1) dx 9
2.
2
k
8.
k +1
7
n
ex ∫ e x + 1dx
10. ∫ e x dx 12.
e2x ∫ e x − 1dx
137
e3x 13. ∫ 2 x dx e −1
∫ 2 x + 5dx 17. ∫ x 1 − x dx 3
21.
∫
23.
∫
25
4
25.
∫
27.
∫
3
x
dx
1
4x + 2x − 3 x 29. ∫ 4 dx x +1 1 31. ∫ dx 4 x(1 + ln x ) 1 33. ∫ dx 2 x 3 − ln x 2
dx
1 + ln x dx x 1 dx 37. ∫ x(2005 + ln x) 2006 35. ∫
3
3
2
− x 2 − x + 2dx
ln x dx x x−2 x
2
16.
2 x + 5dx
19.
x − 1dx
∫ x 1 + x dx 18. ∫ x x + 2dx 20. ∫ x − 6 x − 7 dx
15.
3
∫x
14.
22.
∫
ln x dx x
24.
∫
x ln xdx
26.
∫
28.
∫
(1 − x )2 dx x x
1
− x + 3x + 4 x 30. ∫ dx x2 +1 1 32. ∫ dx 2 x ln x + 8 1 34. ∫ dx x ln x 2
(
dx
)
36 . ∫ x 3 x 2 + 2dx 38.
∫x
1 x2 −1
dx
4. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii trigonometrice:
1. ∫ sin 3 x ⋅ cos xdx 3. ∫ sin(2 x + 5)dx
2. ∫ cos 3 x ⋅ sin 2 xdx
4. ∫ sin 3 x ⋅ cos 2 xdx
138
5.
∫ (tgx + tg x )dx 3
sin 3 x ∫ cos x dx x dx 9. ∫ 1 − cos x 7.
cos x
6.
∫ 1 + sin
8.
∫
1 x
x
dx
cos x dx
10. ∫ sin 3 xdx
11. ∫ cos 3 xdx
12.
sin x 13. ∫ dx cos 2 x − 4
14. ∫
∫
arcsin x
dx
1− x sin 2 x 2
1 − (cos x ) 1 16. ∫ dx sin x
1
15. ∫
2
2
2
dx
dx 1 − x 2 ⋅ arcsin 2 x 1 dx 17. ∫ 18. ∫ sin 10 x ⋅ cos 3 xdx cos x (arctgx )2006 dx 1 dx 20. ∫ 19. ∫ 1+ x2 1 − x 2 ⋅ (2005 + arcsin x) 2006
5.Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii raţionale:
1
2x + 3
1.
∫ 3x + 5 dx
2.
∫ 2 x + 1 dx
4.
∫ 2 x + 3 dx
5.
∫ (2 x + 3)
1 − 3x
1 8. ∫ x 2 + 4 dx 1 dx 10. ∫ 2 3x + 5 1 dx 12. ∫ (x + 1)(x + 2) 7.
1
2005
dx
x2 ∫ x 2 − 2 dx
11. ∫ 13.
1
x
3.
∫ x + 4 dx
6.
∫x
9.
x2 ∫ x 2 + 1 dx
(x − 1)(x − 2)
2
1 dx −9
dx
1
∫ x(x + 2) dx 139
1 dx − 3x + 2 1 dx 16. ∫ 2 3x + x + 1 4x − 3 dx 18. ∫ 2 2 x − 3x + 1 3x − 2 dx 20. ∫ 2 x − 5x + 6 x +1 22. ∫ 2 dx x + 2 x + 10 x dx 24. ∫ 1 4 x + 4 3 x dx 26. ∫ 1 + x8 14.
28.
∫x
2
x
∫ (x − 1)
10
dx
1 dx − x −3 1 17. ∫ 2 dx x − 2x + 5 6x − 2 19. ∫ 2 dx 3x − 2 x + 5 5x − 2 21. ∫ 2 dx x +4 x2 23. ∫ 6 dx x −3 2x 25. ∫ dx 1+ x4
15.
∫ 2x
2
x3
27.
∫ (x − 1)
29.
x2 ∫ x 6 + 4 dx
12
dx
140
ISTORICUL NOŢIUNILOR MATEMATICE
Sec. 18 î.e.n. mesopotamienii creează primele tabele de înmulţire; sec. 6 î.e.n. este cunoscută asemănarea triunghiurilor de către Thales; Sec. 5 î.e.n. pitagorienii introduc noţiunile de număr prim, număr compus, numere relativ prime, numere prime perfecte; Sec. 4 î.e.n. Aristotel (384-322 î.e.n) filozof grec a introdus noţiunile de perimetru, teoremă, silogism. Sec. 3 î.e.n. Matematicianul grec Euclid(330-275 î.e.n ) cel care a întemeiat celebra şcoală din Alexandria (în 323 î.e.n) a introdus noţiunile de semidreaptă, tangentă la o curbă, puterea unui punct faţă de un cerc sau sferă, sau denumirile de paralelogram, poliedru, prismă, tetraedru. A enunţat teorema catetei şi a înălţimii pentru un triunghi dreptunghic şi a demonstrat concurenţa mediatoarelor unui triunghi; Apolonius din Perga(262-200 î.e.n), unul din cei mai mari geometri ai antichităţii introduce pentru prima dată denumirile pentru conice, de elipsă, hiperbolă, parabolă şi noţiunile de focare, normale şi defineşte omotetia şi inversiunea şi dă o aproximare exactă a lui π cu patru zecimale. este dată aria triunghiului în funcţie de laturi sau în funcţie de raza cercului înscris şi semiperimetru; Eratostene din Cyrene(275-195 î.e.n) introduce metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai mici decât un număr dat, metodă cunoscută sub numele de „Ciurul lui Eratostene”
141
în prima carte din „Elementele” lui Euclid este cunoscută teorema împărţirii cu rest şi „algoritmul lui Euclid” pentru aflarea c.m.m.d.c. a două numere întregi 85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezintă în cartea sa „Almagest”, pe lângă vaste cunoştinţe de astronomie şi trigonometrie şi diviziunea cercului în 360 de părţi congruente şi exprimarea acestora în fracţii sexagesimale. Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de către Pappos; acesta a mai dat şi definiţia conicelor precum şi teorema despre volumul corpurilor de rotaţie Sec. 7 sunt cunoscute regulile de trei directă şi inversă de către Bragmagupta, matematician indian; Arhimede(287-212 î.e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria şi volumul elipsoidului de rotaţie şi ale hiperboloidului de rotaţie cu pânze. 1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce notaţia pentru fracţia ordinară; 1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numărul zero, precum şi sistemul de numeraţie zecimal. Tot prin opera sa „Liber abaci” sunt introduse pentru dată în Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii; 1150- este descrisă extragerea rădăcinii pătrate şi a celei cubice în cartea „ Lilavati” a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezintă şi operaţiile de înmulţire şi împărţire cu numere negative; 1515- rezolvarea ecuaţiilor de gradul al treilea cu o necunoscută de către Scipio del Fero, iar mai târziu de Niccolo Tartaglia în 1530, şi pe acelea de gradul al patrulea de Ludovico Ferrari în 1545. Acestea au fost făcute cunoscute abia în 1545 de către Girolamo Cardano(1502-1576) în lucrările sale, deşi promisese autorilor lor să nu le divulge;
142
1591-matematicianul francez Francois Viete(15401603) introduce formulele cunoscute sub numele de relaţiile lui Viete; 1614- inventarea logaritmilor naturali de către John Neper(1550-1617); 1637- este introdusă noţiunea de variabilă de către Rene Descartes(1596-1650), cel care a introdus literele alfabetului latin pentru notaţii şi a folosit coordonatele carteziene (definite după numele său), reducând problemele de geometrie la probleme de algebră; 1640- este introdusă denumirea pentru cicloidă de către Galileo Galilei (1564-1642); 1654- începutul creării teoriei probabilităţilor datorat corespondenţei dintre Pierre Fermat(1601-1665) şi Blaise Pascal(1623-1662) şi dezvoltarea combinatoricii odată cu apariţia lucrării lui Pascal, „Combinaţiones”; 1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) 1 1 introduce simbolul ∞ cu notaţiile = ∞, = 0 şi a ∞ 0 denumirilor de interpolare respectiv mantisă 1670- este determinat semnul sinusului şi desenată sinusoida respectiv secantoida de către John Wallis); 1678- este dată teorema lui Ceva de către Ceva Giovani(1648-1734); 1679- în „Varia opera mathematica” apărută postum, a lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dată „Marea teoremă a lui Fermat”, reguli de integrare, definiţia derivatei. 1692- este scris primul manual de calcul integral de către matematicianul elveţian Jean Bernoulli(16671748)” Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque”, tipărit abia în 1742 şi de asemenea a mai scris un manual de calcul diferenţial, descoperit abia în 1920. „Regula lui l’Hospital” este dată de către Jean Bernoulli lui Guillaume de l’Hospital pe care acesta o publică în 1696;
143
1690- este propusă denumirea de integrală de către Jacques Bernoulli(1654-1705) 1692- sunt descoperite proprietăţile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli) 1694- este descoperită curba numită lemniscată, caracterizată de inegalitatea (1+x)n ≥ 1+nx (Jacques Bernoulli); 1696-1697- introducerea calculului variaţional, punerea problemei izoperimetrelor de către Jean Bernoulli. 1705- este dată „Legea numerelor mari” de către Jacques Bernoulli; 1711- realizarea dezvoltării în serie a funcţiilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de către matematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calculului diferenţial şi integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716); 1729- este demonstrată existenţa rădăcinilor complexe în număr par a unei ecuaţii algebrice cu coeficienţi reali de către Mac Laurin Colin(1698-1746; 1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina poziţia unui obiect în funcţie de cele trei coordonate; 1733- crearea trigonometriei sferoidale de către Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elveţian Leonhard Euler(17071783) introduce şi calculează constanta 1 1 1 e= lim(1 + + + ... + − ln n) =0,577215..., n→∞; n 2 3 1739- introducerea conceptului de integrală curbilinie de către Alexis Clairaut; 1746- relaţia lui Stewart este demonstrată de Mathew Stewart după ce în prealabil ea îi fusese comunicată de către Robert Simson în 1735; 1747 este enunţată problema celor trei corpuri de către Clairaut;
144
introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminaţi în studiul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de către Jean Le Rond D’Alembert(1717-1783); 1750- Gabriel Cramer dă o regulă de rezolvare a sistemelor cunoscută sub denumirea de metoda lui Cramer; 1755- sunt puse bazele calculului variaţional de către Lagrange(1736-1813) concomitent cu Euler, 1765- începutul creării geometriei descriptive de către Gaspard Monge(1746-1818); 1766- crearea mecanicii analitice de către Joseph Lagrange(1736-1813) cu enunţarea principiului vitezelor virtuale şi a ecuaţiilor Lagrange; 1767- demonstrarea iraţionalităţii lui π de către Heinrich Lambert(1728-1777); 1768- demonstrarea existenţa factorului integrant la ecuaţiile diferenţiale de ordinul întâi de către D’Alembert; 1771- a fost dată ecuaţia planului normal şi formula distanţei dintre două puncte din spaţiu de către matematicianul francez G. Monge; 1775- introducerea noţiunilor de soluţie generală şi soluţie particulară în teoria ecuaţiilor diferenţiale de către Leonhard Euler; acesta a introdus şi funcţia ϕ (n ) - indicatorul lui Euler, precum şi notaţiile e, i, f(x)şi a creat teoria fracţiilor continue; 1780- au fost introduse liniile de curbură ale suprafeţelor(G. Monge); sunt descoperite funcţiile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); 1785- a fost dată ecuaţia planului tangent(G. Monge); 1796- este dată „Teorema lui Fourier” de determinare a numărului rădăcinilor reale cuprinse într-un interval, de către Joseph Fourier(1768-183); 1797- este dată formula creşterilor finite, cunoscută sub denumirea de „teorema lui Lagrange”;
145
1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale unei drepte(G. Monge); este introdus simbolul [.], pentru partea întreagă de către Arien Marie Legendre (1752-1833); 1807-, 1822 sunt date seriile Fourier care au contribuit la crearea teoriei analitice a căldurii. 1812- este introdusă seria hipergeometrică de către Carl Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel care a demonstrat teorema fundamentală a algebrei; 1816-1835- Augustin Cauchy(1789-1857), fondatorul analizei matematice moderne, a enunţat criteriul de convergenţă al seriilor, criteriu care-i poartă numele, a dat primele teoreme de existenţă din teoria ecuaţiilor diferenţiale şi al ecuaţiilor cu derivate parţiale, a introdus noţiunile de afix, modul al unui număr complex, numere conjugate, transpoziţie; 1820- introducerea noţiunii de raport anarmonic de Chasles Michel(1793-1880), fondatorul către geometriei proiective alături de matematicianul francez Jean Poncelet; 1822 introducerea funcţiilor Bessel de către Friedrich Bessel; este introdusă notaţia pentru integrala definită b
∫ f ( x)dx , de către Fourier.; a
este propusă denumirea de reprezentare conformă de către Gauss; cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte este considerat pentru prima dată de către Charles Brianchon , Jean Poncelet şi Karl Feuerbach, atribuinduse din greşeală numele lui Euler acestei teoreme;
146
1823-1831- începutul creării primei geometrii Bolyai(1802-1860) neeuclidiene de către Janoş concomitent şi independent de cea a lui Lobacevski. 1824este dată denumirea de geometrie neeuclidiană de către Gauss; Niels Abel(1802-1829) demonstrează imposibilitatea rezolvării cu ajutorul radicalilor, a ecuaţiilor algebrice de grad mai mare decât patru; 1825- Abel introduce integralele ce-i poartă numele; 1827- este creată teoria funcţiilor eliptice de către Abel; 1828 sunt introduse formele fundamentale ale suprafeţelor şi curburii totală a unei suprafeţe(curbura Gauss) de către Gauss; demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de către matematicianul german Dirichlet (1805-1859); 1830- este propusă denumirea de grup cu înţelesul actual de către matematicianul francez Evariste Galois(1811-1832); 1831- definitivarea calculului cu numere complexe de către Gauss ; 1834- introducerea noţiunii de factor de discontinuitate, referitor la integralele 1837- introducerea notaţiilor pentru limite laterale de către Dirichlet şi a funcţiei care îi poartă numele, funcţia Dirichlet; W. Hamilton introduce termenul de asociativitate a unei legi de compoziţie; 1839introducerea noţiunii de integrale multiple(Dirichlet); 1840- este dată o formă a eliminantului a două ecuaţii algebrice de către James Sylvester(1814-1897), matematician englez; 1841descoperirea invarianţilor de către matematicianul irlandez George Bole (1815-1864);
147
introducerea noţiunilor de margine inferioară şi superioară ale unei funcţii, de convergenţă uniformă de către Weierstrass(1815-1897); 1843- descoperirea cuaternionilor de către William Hamilton (1805-1865); 1845- „Teorema limită centrală” este dată de matematicianul rus Pafnuti Cebâşev; 1846- Legea numerelor mari – Cebâşev; introducerea variabilei complexe în teoria numerelor imaginare de către D’Alembert; 1847 este introdus calculul logic de George Boole, creatorul algebrei booleene; este introdusă noţiunea de ideal de către Ernest Kummel(1810-1893); 1851- sunt introduse noţiunile de rang şi signatură a unei forme pătratice şi sunt propuse noţiunile de matrice şi jacobian(J. Sylvester); introducerea sufrafeţelor riemann de către matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866), lui datorându-se studiul integralei definite. 1852- introducerea segmentelor orientate AB de către Chasles Michael(1793-188) care a formulat şi proprietăţile axei radicale a două cercuri precum şi a conicelor şi cuadricelor. 1853- Kronecker(1823-1891) introduce notaţia a ij = det(a ij ) ; 1854- este introdusă noţiunea de oscilaţie într-un punct de către Riemann care creează o nouă geometrie neeuclidiană, numită geometria sferică; 1858- crearea calculului matriceal de către Arthur Cayley(1821-1895) matematician englez ; 1871 Dedekind introduce noţiunile de corp şi modul ceeace în limbajul actual exprimă noţiunile de subcorp şi Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mulţimea întregilor unui corp de numere algebrice, definind şi
148
idealele acestei mulţimi şi demonstrează teorema fundamentală de descompunere unică a oricărui ideal în produs de ideale prime; 1872introducerea structurilor de subinel şi modul de către Dirichlet; introducerea numerelor raţionale prin tăîeturi de către Dedekind; 1873- Charles Hermite(1822-1901) demonstrează 1 transcendenţa numărului e= lim (1 + ) n = 2,718281.... n →∞ n 1874- este dată denumirea de subgrup de către Sophus Lie(1842-1899); 1874-1897- crearea teoriei mulţimilor de către Georg Cantor(1845-1918). El a introdus noţiunile de mulţime deschisă, mulţime închisă, mulţime densă, mulţime bine ordonată, mulţime numărabilă, punct de acumulare, punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersecţie. 1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentru colorarea hărţilor de către Cayley; 1880-sunt descoperite funcţiile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); 1882Ferdinand Lindemann(1852-1939) a demonstrat trascendenţa numărului π =3,141592......; (un număr se numeşte transcedent dacă nu este soluţia niciunei ecuaţii algebrice cu coeficienţi raţionali); tot el demonstrează imposibilitatea cvadraturii cercului cu rigla şi compasul; 1893- H. Weber, asociază conceptului de corp, sensul de astăzi, ca o structură cu o lege de grup aditiv şi o înmulţire asociativă, distributivă şi în care orice element e inversabil; 1897- introducerea denumirii de inel de către Hilbert(1862-1943); 1899 -axiomatizarea geometriei de către David Hilbert;
149
1900introducerea axiomatică a numerelor întregi(D.Hilbert); 1905- este introdusă noţiunea de distanţă între două mulţimi închise de către matematicianul român Dimitrie Pompeiu(1873-1954); 1910- este introdusă denumirea de funcţională de către Jacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatorii analizei funcţionale; 1912 -este descoperită noţiunea de derivată areolară(Pompeiu) 1927-s-a stabilit formula Onicescu referitoare la geodezice dată de Octav Onicescu(1892-1983); 1928 -este introdusă funcţia areolar-conjugată de către matematicianul român Miron Nicolescu(1903-1975); 1933 -introducerea funcţiilor convexe de ordin superior de către Tiberiu Popoviciu(1906-1975); 1936 -Matematicianul român Gheorghe Mihoc(19061981) dă o metodă cunoscută sub numele de metoda Schulz-Mihoc, de determinare a legilor limită ale unui lanţ Markov; 1941 -teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unui spaţiu riemannian este introdusă de Grigore Moisil(1906-1973); 1944 -este introdusă în domeniul algebrei moderne noţiunea de signatură de către matematicianul român Dan Barbilian(1895-1961); 1950 -este introdusă noţiunea de Δ - derivată de către Dan Barbilian; 1996 -celebra conjectură a lui Fermat este demonstrată de către Andrew Wiles de la institutul Isaac Newton din Cambridge. 2000 -este determinat cel mai mare număr prim 269725931, având două milioane de cifre, obţinut cu ajutorul a 20 de mii de calculatoare puse în reţea;
150
BIBLIOGRAFIE.
1: N. Mihăileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Editura Ştiinţifică şi enciclopedică; Bucureşti,1974/ 1981; 2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu; 3. Neculai Stanciu, 100 de probleme rezolvate. Editura Rafet; 4. Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti
151
Cuprins Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie.............5 Sinteze matematice Mulţimea numerelor reale...........................................37 Inegalităţi....................................................................42 Mulţimi. Operaţii cu mulţimi..................................... 45 Progresii......................................................................47 Funcţii.........................................................................50 Numere complexe.......................................................56 Funcţia exponenţială şi logaritmică............................59 Binomul lui Newton....................................................63 Vectori şi operaţii cu vectori..................................... .65 Funcţii trigonometrice.................................................69 Formule trigonometrice...............................................72 Ecuaţiile dreptei în plan..............................................75 Conice..........................................................................77 Algebră liniară..............................................................82 Şiruri de numere reale..................................................88 Limite de şiruri.............................................................93 Funcţii continue...........................................................98 Derivate.......................................................................101 Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor.....................103 Primitive......................................................................109 Probleme propuse şi rezolvate....................................117 Probleme.sinteze.........................................................128 Istoricul noţiunilor matematice...................................143
152
153
