MODUL I HIMPUNAN PENDAHULUAN
Modul ini merupakan modul bagian pertama dalam mata kuliah Matematika Arsite Arsitektu kturr 1.Urai 1.Uraian an dalam dalam modul modul ini terbag terbagii menja menjadi di 3 bagian bagian kegia kegiatan tan belajar. Dalam kegiatan belajar 1 mahasiswa akan mempelajari mengenai pengertian Himpunan yang menyangkut konsep himpunan dan bukan himpunan dalam konteks matematika serta metode pendefinisian himpunan. Selanjutnya pada kegiatan belajar akan dibahas tentang relasi dan operasi himpunan dan kegiatan belajar 3 tentang hukum dan aljabar himpunan. Mate Materi ri pada pada modu modull perta pertama ma memb membah ahas as tent tentan ang g kons konsep ep himp himpun unan an yang yang bersifat pengulangan! pendalaman dan pengembangan materi himpunan yang telah dipelajari disekolah tingkat menengah dan atas. Dalam penyajiannya! penguasaan konsep dasar lebih mendapat prioritas dengan harapan jika konsep dasar dikuasai! pengembangan konsep itu dapat berjalan lan"ar! baik dalam mempelajari mata kuliah lain maupun dalam mengajar di sekolah atau lembag lembagaa pendid pendidika ikan. n. #enemp #enempata atan n modul modul $himpu $himpunan nan%% ini sebaga sebagaii modul modul pertama karena konsep himpunan akan digunakan dalam setiap "abang matematika lainnya. Hal ini menjadi dasar dan pengembangan seluruh "abang matematika. &ompetensi dasar yang harus di "apai oleh mahasiswa dalam mempelajari modul pertama ini adalah mahasiswa harus dapat 1. Memb Membed edak akan an kump kumpul ulan an yang ang meru merupa paka kan n himp himpun unan an deng dengan an buka bukan n himpunan dalam konsep matematika . Mend Mendef efin inis isik ikan an himp himpun unan an deng dengan an "ara "ara!! meny menyat atak akan an sifa sifat! t! enum enumer eras asi! i! menuli menuliska skan n pola! pola! notasi notasi'at 'atura uran! n! inter( inter(al! al! garis garis bilan bilangan gan dan diagr diagram am (enn. 3. Menyebutk Menyebutkan an definisi definisi dan memberi memberikan kan "ontoh "ontoh himpunan himpunan semesta semesta!! kosong! kosong! berhingga! tak berhingga! terbilang! tak terbilang! terbatas! tak terbatas dan himpunan kuasa.
Halaman 1
). Menyebutk Menyebutkan an definisi definisi dan "ontoh "ontoh relasi himpun himpunan an meliputi meliputi relasi relasi bagian! sama dengan! eki(alen! kuasa! *.
Halaman 2
). Menyebutk Menyebutkan an definisi definisi dan "ontoh "ontoh relasi himpun himpunan an meliputi meliputi relasi relasi bagian! sama dengan! eki(alen! kuasa! *.
Halaman 2
1
PENDEFINISIAN HIMPUNAN
1.1 Pengertian Himpunan
Dalam kehidupan sehari+hari! sebutan himpunan! kumpulan! gugus! kelompok atau set atau set bukanlah sesuatu yang asing. Misalnya sebutan+sebutan sebagai berikut, a.
Himpun Himpunan an nega negara+ ra+neg negara ara asia asia!! yang yang disin disingka gkatt denga dengan n AS-A AS-A
b.
#erhimpunan bangsa+bangsa bangsa+bangsa yang disingkat disingkat dengan #//
".
Himp Himpun unan an Maha Mahasi sisw swaa juru jurusa san n Ars Arsit itek ektu tur r
d.
Seku Sekump mpul ulan an bina binata tang ng menj menjij ijik ikka kan n
e.
&elomp lompok ok gadis adis berj berjil ilba bab b
f.
&ump &umpul ulan an luki lukisa san n ala alam m yang yang meny menyej ejuk ukka kan n mata mata
g.
Dalam Dalam kitab kitab umat umat islam islam 0al+ 0al+ura uran2 n2 Surat Surat Ay Ayat disebu disebutka tkan n konsep konsep himpunan sebagai berikut,$ barang siapa yang beriman dan beramal soleh, maka mereka semua akan dihimpun di dalam sorga bersama orang-orang yang bergembira%
#ern #ernah ahka kah h
saud saudar araa
berf berfik ikir ir!!
apak apakah ah yang ang
dima dimaks ksud ud deng dengan an
himpunan4 5oba anda perhatikan sebutan himpunan di atas! dalam konteks mate matema mati tika ka sebu sebuta tan n himp himpun unan an pada pada opti option on d ! e da dan f bukan bukan termasuk termasuk himpunan! karena anggotanya tidak jelas atau tidak dapat disebutkan se"ara tegas karena bersifat relatif tergantung dari suatu sudut pandang tertentu. /inatang menjijikkan! gadis "antik dan lukisan indah bagi beberapa orang bisa jadi benar tapi untuk orang orang lain bisa jadi tidak. Akan tetapi tetapi sebutan pada option a! b! c! dan g dan g sifat sifat objek'indi(idu di dalam himpunan tersebut dapat dite ditent ntuk ukan an deng dengan an jela jelass dan dan insy insyaA aAll llah ah seti setiap ap oran oranga gaka kan n mem memilik ilikii pemahaman yang sama tentang karakteristik anggotanya. Misalnya dalam Halaman 3
optin g optin g ! siapa yang terdapat dalam himpunan orang+orang yang bergembira di dalam sorga..4 6elas mereka yang beriman danber amal soleh. /agaimana jika hanya beriman tanpa beramal soleh..4atau sebaliknya tidak beramal soleh soleh tanpa tanpa berima beriman.. n..44 6elas 6elas dapat dapat kita kita ketahu ketahuii mereka mereka terseb tersebut ut bukan bukan term termas asuk uk dala dalam m himpu impuna nan n oran orang+ g+or oran ang g yang yang berg bergem embi bira ra di dala dalam m sorg sorga. a.Ap Apal alag agii jika jika tida tidak k beri berima man n dan dan tida tidak k bera berama mall sole soleh h jela jelass buka bukan n anggota himpunan tersebut. 6adi apakah himpunan tersebut..4 Dalam matematika! konsep himpunan termasuk dalam unsur yang tidak tidak terdef terdefini inisi si (undefinedterm), arti artiny nyaa bahw bahwaa jika jika kita kita menj menjaw awab ab pertanyaan $apakah himpunan itu4% &ita tidak bisa menyebutkan dengan tepat tepat sehing sehingga ga jelas jelas penger pengertia tianny nnya. a. 6ika 6ika kita kita jawab jawab $ Himpun Himpunan an adalah adalah kumpulan objek % pernyataan itu kurang tepat! sebab himpunan dijelaskan oleh kumpulan sementara kumpulan sendiri adalah himpunan. Akan tetapi kita kita dapat dapat membed membedaka akan n konsep konsep himpun himpunan an dan bukan bukan himpun himpunan an dengan dengan pengertian sebagai sebagai berikut,
Pengertian 1.1 Himpunan a). Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berlainan dan terdefnisi dengan jel jelas(weel defned). b).Objek-objek dalam himpunan disebut anggota atau ∈
elemen yang
disimbolkan dengan
dan dan untuk ∉
bukan elemen disimbolkan dengan . c). c).an anya yakn knya ya angg anggot ota a hi him mpuna punan n di dis sebut ebut deng dengan an kardinal himpunan yang disimbolkan dengan n(!) untuk missal ! suatu himpunan &ata &ata kun" kun"ii dari dari kons konsep ep peng penger erti tian an himp himpun unan an ters terseb ebut ut adal adalah ah berlainan dan terdefinisi. /erlainan berarti objek+objek dalam kumpulan tersebut berbeda satu dengan yang lainnya dan terdefinisi dimasudkan dengan Halaman 4
masing+masing dari objekyang berlainan tersebut memiliki identitas! nama! sebutan atau dapat ditentukan dengan jelas. Teladan1.1 Selidiki manakah berikut ini yang merupakan himpunan
a.
7 8 &oleksi nama+nama abi
b.
M 8 &umpulan makanan le9at
".
A 8 Himpunan bilangan asli yang kurang dari 1* 01!!3.....1)2
d.
/ 8 Himpunan binatang ternak yang menyusui
e.
6 8 Himpunan bunyi yang menggemaskan 0bayi! kuntilanak! ku"ing lapar! sapi dll2
f.
D 8 Himpunan dosen non muslim Unindra 6akarta
g.
: 8 Himpunan nama+nama Allah 0;;2
h.
U 8
Solusi:
a.
7 merupakan himpunan! karena objek anggotanya dapat terdefinisi dengan jelas dimana elemen dari 7 8 dris! uh! Hud! Soleh! >brahim! ?uth! >smail! >shak! @akub! @usuf! Ayub! Syuib! Musa! Harun! :ulkifli! Daut! Sulaiman! >lyas! >lyasa! @unus :akaria! @ahya! >sa! Muhammad=
b.
&arena lezat bersifat relatif! tergantung dari "ipta rasa seseorang! maka makanan le9at dinyatakan tidak terdefinisi. Bleh karena itu M bukan termasuk himpunan! akan tetapi bisa disebut himpunan jika konsep le9at diberikan kriteria+kriteria tertentu.Analisis himpunan pada option "! d! e! f dan g diberikan sebagai latihan mahasiswa.
1.2 Metode Pendefinisian Himpunan
#endefinisian himpunan dapat dilakukan dengan beberapa metode. Dalam kuliah ini akan dibahas C metodeyakni 012 Menyatakan Sifat ! 02
Halaman 5
Enumerasi, 032 Menuliskan Pola! 0)2 Notasi, 0*2 Interval, 02 Grafik dan 0C2 Diagram Venn. /erikut akan diuraikan se"ara ringkas dan jelas.
1.2.1.Menatakan sifat keanggotaan!
Metode ini dilakukan dengan "ara menuliskan kalimat pernyataan yang memuat sifat+sifat keanngotan dari himpunan tersebut. Teladan 1.2
a.
M 8 Himpunan malaikat yang wajib diketahui dan diimani oleh umat islam. Artinya bahwa! M telah didefinisikan sebagai himpunan nama+nama malaikat yang wajib kita ketahui! sehingga jika seseorang beru"ap M! maka yang dimasudkan adalah nama+nama malaikat yang wajib diketahui dan diimani umat islam.
b.
/ 8 Himpunan bilangan bulat dari +C hingga C
".
# 8 Himpunan bilangan prima yang kurang dari E
d.
& 8 Himpunan mahasiswa Mipa jurusan Arsitektur Unindra angkatan E1)
1.2.2.
Enumerasi!
Metode ini dilakukan dengan "ara mendaftar atau menuliskan semua anggota himpunan tersebut dalam tanda < =. Teladan 1.3
/ersesuain pada Feladan 1. di atas! jika didefinisikan dalam bentuk enumerasi sebagai berikut, a.
M 8 <6ibril! Mikail! >srofil! >9roil! Mungkar! akir! 7aib! Atid! Malik 7idwan=
b.
/ 8 <+C!+!+*!+)!+3!+!+1!E!1! ! 3! )! *!!C= Halaman 6
".
# 8 <!3!*!C!11!13!1C=
d.
& 8
1.2." Menuliskan pola keanggotaan
Metode ini dilakukan dengan "ara menuliskan beberapa anggota himpunan yang jelas polanya kemudian anggota selanjutnya diwakilkan oleh tiga buah noktah. Teladan!" a.
M 8 <6ibril! Mikail! >srofil! . . .= Artinya bahwa! M terdefinisi sebagai Himpunan nama+nama malaikat
b.
/ 8 <+C!+!+*! . . .!C= Artinya bahwa! / terdefinisi sebagai himpunan bilangan bulat dari +C hingga C
".
# 8 <! )! ! . . .= Maksudnya # didefinisikan sebagai himpunan bilangan genap positif
d.
G 8 <. . .! +! +1! E! 1! ! . . .=
Maksudnya G didefinisikan sebagai himpunan bilangan bulat bulat #atatan$Dalam penulisan pola ini! perlu diperhatikan bahwa pola yang digunakan jangan sampai multi arti! sehingga setiap orang harus memiliki penafsiran yang sama! tapi pola tersebut harus memiliki arti yang tunggal.
1.2.#. Notasi
Metode ini dilakukan dengan "ara membuat simbol aturan dari sifat atau pola keanggotaan tersebut. Teladan !% a. P 8 < & & himpunan bilangan asli antara C dan 1*= Maksudnya P 8
7 8 01! 2 #endefinisian di atas berarti bahwa 7 adalah himpunan bilangan 7ealdari setelah satu sampai dengan sebelum .Simbol $0$ berari bahwa bilangan 1 bukan termasuk anggota himpunan. Demikian juga dengan$ 2 $ berarti bukan termasuk anggota himpunan.
b.
7 8 01! J #endefinisian di atas berarti 7 adalah himpunan bilangan
7ealdari
setelah satu sampai dengan .Simbol $ J $ berarti bahwa bilangan termasuk anggota himpunansedangkan 1 bukan termasuk anggota. ".
7 8 K1! 2 dan 7 8 K1! J diberikan sebagai latihan mahasiswa.
d.
7 8 0+L!2 #endefinisian tersebut berarti bahwa 7 adalah himpunan bilangan real yang kurang dari dua. Dalam hal ini bilangan bukan termasuk anggota himpunan 7.
e.
7 8 0+L!J #endefinisian tersebut berarti bahwa 7 adalah himpunan bilangan real yang kurang dari dan sama dengan dua.
f.
780!L2! 7 8 K!L2 dan 7 8KJ diberikan kepada mahasiswa sebagai latihan.
1.2.' Metode (rafik Halaman 8
#endefinisian himpunan dengan menggunakan metode grafik! dilakukan dengan "ara membuat garis bilangan dan noktah sebagai ilustrasi keanggotaan himpunan pada bilangan tersebut. /erikut diberikan "ontoh untuk membangun pemahaman metode grafik. Teladan !* #erhatikan himpunan 7 pada Feladan 1. di atas
1.2.) Diagram *enn
#endefinisian himpunan dengan diagram (enn dibentuk dengan "ara menempatkan himpunan Semesta S pada sebuah persegi panjang dan untuk himpunan lainnya dengan kur(a tertutup sederhana dan anggotanya dengan noktah 0titik2.
Teladan !+ Misalkan dimiliki himpunan A 8 < a! i! u! e! o! 1! = dan / 8 <1! ! 3! )! a! o= maka pendefinisian dalam diagram (enn sebagai berikut
&
!
Halaman 9
.i# .u# .e
.1." .a .o .$ .%
Diagram (enn di atas berarti bahwa! telah didefinisikan himpuan A 8 <1! ! a! i!u!e!o= dan / 8 <1!!3!)!a!o= dan himpunan <1!!a!o=.
1.2 +enis,-enis Himpunan
Felah dikemukakan di atas bahwa konsep himpunan dalam matematika angggotanya harus terdefinisi dengan jelas. Dari konsep tersebut dikembangkan beberapa konsep himpunan yang didefinisikan. &onsep+ konsep tersebut adalah sebagai berikut,
Definisi 1.1 Himpunan Semesta Suatu himpunan S disebut himpunan semesta jia dan han!a jia ese"u#uhan da#i e"emenn!a menjadi t$pi pembahasan suatu himpunan te#tentu. Teladan 1.2
a.
Misalkan / 8 himpunan mahasiswa jurusan Arsitektur Unindra 6akarta! maka himpunan semesta dari / adalah S 8 himpunan mahasiswa fakultas Arsitektur Unindra 6akarta atau S 8 himpunan mahasiswa Unindra 6akarta.
b.
Misalkan / 8 himpunan bilangan Asli! maka himpunan semestanya adalah S 8 1!!3!)!*!!C!I!;.
".
Misalkan 5 8 himpunan bilangan bulat! maka himpunan semestanya adalah S 8 !)!!I!1E.....
Halaman 10
Definisi 1.% Himpunan &$s$n' Suatu himpunan disebut himpunan $s$n' jia dan han!a jia himpunan te#sebut tida memi"ii an''$ta dan disimb$"an den'an atau * + Teladan 1.3
Misalkan didefinisikan himpunan sebagai berikut, a.
A 8 Himpunan dosen non muslim Unindra 6akarta Dalam hal ini! dengan jelas dapat ditentukan bahwa himpunan A tidak memiliki anggota! karena syarat untuk menjadi dosen Unindra 6akarta harus muslim.
b.
/ 8 Himpunan bilangan asli yang kurang dari 1 &arena himpunan bilangan asli adalah <1! ! 3! . . .=! jelas bahwa tidak ada bilangan asli yang kurang dari 1! sehingga n 0/2 8 E.
Definisi 1. Himpunan -e#hin''a dan a -e#hin''a Suatu himpunan disebut be#hin''a jia dan han!a jia ban!an!a an''$ta himpunan te#sebut dapat din!ataan da"am bi"an'an bu"at ta ne'atif dan seba"in!a disebut himpunan ta be#hin''a
Sebutan lain dari himpunan berhingga adalah finit set dan tak berhingga unfinit sets.
Teladan 1.3
Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut, A 8 Himpunan mahasiswa U>D7A yang masih /A?>FA 0berhingga2 / 8 <1!3!*!C= 0berhingga2 5 8
D 8 <' nama hari dalam seminggu= / - 8 8 sayang 0manusiawi2 F /
Dari himpunan tersebut di atas! himpunan A! /! 5 dan D adalah himpunan berhingga karena n0A2 8 E! n0/28)! n052 8 11 dan n0D2 8 C. Sedangkan himpunan -! N dan O adalah himpunan tak berhingga! karena n0-2! n0N2 dan n0O2 tidak diketahui.
Definisi 1./ Himpunan e#bi"an' dan a e#bi"an' Suatu himpunan disebut te#bi"an' jia dan han!a jia setiap an''$tan!a dapat disebutan satu pe#satu, dan seba"in!a disebut ta te#bi"an'. >stilah lain dari himpunan terbilang adalah #aountable atau Denumerabledan untuk yang tak terbilang disebut n #ountable atau Non Denumerable! Teladan 1.4
Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut, A 8 nsyaAllah dapat disebutkan satu per satu meskipun / juga termasuk himpunan tak berhingga.Sedangkan 5 adalah himpunan tak terbilang! karena kita tidak dapat menyebutkan satupersatu anggotanya. &arena kita tidak dapat
Halaman 12
menyebutkan bilangan real setelah nol atau bilangan real sebelum 1.Dalam hal ini 5 juga disebut himpunan tak berhingga dan tak terbilang.
Definisi 1.0 Himpunan te#batas dan a e#batas Suatu himpunan disebut te#batas, jia dan han!a jia himpunan te#sebut memi"ii batas atas dan batas baah Sebutan lain dari himpunan terbatas adalah -ounded Set dan Fak terbatas n bounded Set . Teladan 1.5
a. & 8<1!!3!)=! mempunyai batas bawah 1 dan batas bawah ). 6adi & merupakan himpunan terbatas. b. ? 8 <' P )=! hanya mempunyai batas bawah! yakni ). 6adi ? merupakan himpunan tak terbatas. Untuk lebih memantapkan pemahaman anda mengenai materi yang telah dipelajari! kerjakan dengan benar soal latihan berikut, 1. . 3.
). *.
/erikan masing+masing * "ontoh kumpulan yang merupakan himpunan dan bukan himpunan dalam konsep matematika. Apakah setiap himpunan yang ditulis dalam enumerasi! dapat ditulis dalam bentuk notasi aturan dan apakah dapat berlaku sebaiknya4 Fuliskan 3 buah himpunan! kemudian periksa apakah himpunan tersebut merupakan himpunan berhingga! tah berhingga! terbilang! tak terbilang! terbatas dan tak terbatas. 6elaskan jawaban andaR Sebutkan kelemahan dan keunggulan pendefinisian himpunan menggunakan diagram (enn dan grafik Fuliskan dalam bentuk diagram (enn himpunan bilangan 7eal! 7asional! >rrasional! ./ulat dan Asli.
E/ 0MA$0 1 Halaman 13
6awablah soal+soal di bawah ini dengan "ara memberikan tanda silang pada option yang benar dan disertai dengan alasannya. 1. &umpulan
yang
merupakan
himpunan
dalam
pengertian
matematika adalah kumpulan a. Ouru b. Ouru matematika ". Ouru Matematika yang mengajar matematika d. Ouru matematika yang bukan manusia . Himpunan yang tidak dapat dinyatakan dengan metode enumerasi adalah a. <' bilangan asli= b. <' nama hari dalam seminggu ". <' P E! bilangan bulat= d. <'EPPC! bilangan rasional= 3. 6ika A 8
φ d. < = adalah E *. Himpunan <'E P P 1! bilangan real= adalah himpunan a. Ferhingga non denumerable b. Fak hingga! tak terbilang! dan tak terbatas ". Ferhingga! tak terbilang! dan tak terbatas d. Ferbatas! terbilang dan tak hingga Halaman 14
. Salah satu "ontoh himpunan yang tak terbatas! tak terbilang dan tak hingga adalah a. Himpunan bilangan asli b. Himpunan bilangan bulat tak negati(e ". Himpunan bilangan prima d. Himpunan bilangan rasional
Halaman 15
2
RELASI DAN OPERASI HIMPUNAN
2.1 elasi Himpunan
7elasi antara dua buah himpunan adalah pernyataan yang mendefinisikan hubungan antara suatu himpunan dengan himpunan lainnya.
Definisi 1.23e"asi -a'ian (Sub Set) Suatu himpunan A disebut ba'ian da#i himpunan - jia dan han!a jia untu setiap an''$ta A menjadi an''$ta da#i -. . ⊆ - ⇔ ( ∀ & ∈ . ⇒ & ∈ - ) 4 M$de" simb$"in!a Lebih "anjut A disebut Himpunan -a'ian da#i - dan - disebut Supe# Himpunan A Teladan1.6
a.
Misalkan A 8 himpunan mahasiswa Arsitektur Unindra 6akarta dan / 8 himpunan mahasiswa Arsitektur Nakultas M>#A Unindra 6akarta. dalam hal ini Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari /! karena semua mahasiswa Arsitektur Unindra 6akarta adalah mahasiswa Nakultas
. ⊆ M>#A Unindra 6akarta. Se"ara simbolik ditulis sebagai
∀ & ∈ .! & ∈ b.
Misalkan dimiliki himpunan
Halaman 16
& arena
5 8 < 1! ! 3! a! b! "! d= dan D 8 < 1! b! 3! d=! makaD adalah himpuan bagian dari 5! karena semua anggota D adalah anggota 5.
Pen'e#tian 1.% Himpuan -a'ian Mu#ni (P#$pe# Subset) Himpunan ba'ian mu#ni ada"ah himpunan mempe#hatian himpunan itu sendi#i.
ba'ian
tanpa
Teladan 1.7
Misalkan 5 8
Pen'e#tian 1. &$"esi Himpunan 5$""e6ti$n $f Sets) Suatu himpunan !an' an''$tan!a te#di#i da#i himpunan disebut $"esi himpunan Teladan 1.
Misalkan dimiliki himpunan <1!!3=!
Pen'e#tian 1./ Himpunan &uasa Suatu $"esi himpunan !an' an''$tan!a semua himpunan ba'ian da#i suatu himpunan te#tentu disebut seba'ai himpunan uasa da#i himpunan te#sebut. Teladan 1.!
Misalkan dimiliki himpunan A 8 <1! ! 3=! maka himpunan bagian A adalah <1=! <=! <3=! <1!=! <1!3=! <!3=! <1!!3=. Himpunan kuasa dari A adalah #0A2 8
e$#ema 1.1 Halaman 17
7ia A ada"ah himpunan den'an a#dina" n, maa a#dina" da#i himpunan uasa A ada"ah %n Teladan 1.1"
Dari Feladan 1.; di atas! diketahui bahwa kardinal dari A adalah 3! maka kardinal dari himpunan kuasa A adalah 3 8 I.
Definisi 1.83e"asi &esamaan Himpunan A disebut sama den'an - jia dan han!a jia A ada"ah Sub Set da#i - dan - ada"ah Sub Set da#i A. . = - ⇔ ( . ⊂ - dan - ⊂ .) M$de" simb$"in!a4 Teladan 1.12
Misalkan dimiliki himpunan A 8 < 1! ! 3!)= dan / 8 < )! 3! ! 1= Dapat diketahui dengan mudah bahwa! setiap anggota A adalah anggota / 0
( - ⊂ .)
. ⊂ 2 dan setiap anggota / adalah anggota dari A
.
2.1." elasi Eki%alensi
Definisi 1.9:i;a"ensi Himpunan Himpunan A disebut ei;a"en den'an - jia dan han!a jia a#dina" da#i A sama den'an a#dina" da#i -. . U - ⇔ ( n0 .2 = n0 -2 ) M$de" simb$"in!a4 Teladan 1.13
Halaman 18
Misalkan dimiliki himpunan A 8
Setiap himpunan yang sama! maka himpunan tersebut eki(alen
b.
Setiap himpunan yang eki(alen! maka himpunan tersebut sama
2.2 /ifat,sifat elasi Himpunan
Definisi Sifat 3ef"esif Suatu #e"asi disebut #ef"esif jia dan han!a jia #e"asi te#sebut me#e"asian himpunan te#sebut den'an himpunan itu sendi#i Teladan 1.14 ⊆
6ika A adalah himpunan! maka jelas bahwa A
A! A8A dan AA. Hal ini
menunjukkan relasi bagian! relasi kesamaan dan relasi eki(alen merupakan suatu relasi refleksif.
Definisi Sifat Siment#i Suatu #e"asi anta#a dua buah himpunan disebut simet#i jia dan han!a jia himpunan pe#tama be#e"asi den'an himpunan edua men'aibatan himpunan edua be#e"asi pu"a den'an himpunan pe#tama 7elasi kesamaan $ 8 $ dan eki(alen $% merupakan relasi simetrik! sebab i2. A 8 / 88W / 8 A ii2 A / 88W / A Halaman 19
⊆
sedangkan
bukan relasi simetrik! sebab
⊆
iii2 A
⊆
/ maka belum tentuk /
A ⊆
6ika A adalah himpunan! maka jelas bahwa A
A! A8A dan AA. Hal ini
menunjukkan relasi bagian! relasi kesamaan dan relasi eki(alen merupakan suatu relasi refleksif.
Definisi Sifat Anti Siment#i Suatu #e"asi anta#a himpunan A dan - disebut Antisimet#i jia dan han!a jiaA be#e"asi den'an - dan - be#e"asi den'an A men'aibatan A < ⊆
7elasi
⊆
merupakan relasi Anti simentrik! sebab jika A
⊆
/ dan /
A
maka A 8 /. Sedangkan relasi bukan Anti Sementrik! sebab tidak berlaku jika A/ dan /A tidak dapat menyebabkan A 8 / Apakah relasi 8 merupakan relasi Anti Simetrik..4Silahkan selidiki sebagai latihanR
Definisi Sifat #ansitif Suatu #e"asi anta#a dua himpunan disebut t#ansitif jia dan han!a jia himpunan pe#tama be#e"asi den'an himpunan e=dua men!ebaban himpunan pe#tama be#e"asi den'an himpunan eti'a. ⊆
&etiga relasi! ⊆
i2. A
! 8 dan merupakan relasi transitif! karena ⊆
/ dan /
⊆
5 maka A
5 Halaman 20
ii2. A 8 / dan / 8 5 maka A 8 5 iii2. A / dan /5! maka A 5 1." perasi Himpunan
Bperasi adalah suatu relasi yang berkenaan dengan suatu unsur atau lebih sehingga menghasilkan unsur lain yang unik'tunggal. 1.".1 perasi Uner
Bperasi uner merupakan operasi tunggal! dalam himpunan operasi uner yang didefinisikan adalah kom/lemen.
Definisi 1.9Ope#asi &$mp"emen 7ia A ada"ah suatu himpunan, maa $pe#asi $mp"emen pada A X . = { & ' & ∉ . ! & ∈ S } didefinisian seba'ai #engertian dari definisi tersebut adalah! komplemen dari A adalah himpunan A yang anggotanya adalah bukan anggota dari himpunan A yang ada pada himpunan semesta A. Teladan 1.15
Misalkan A 8 <1! ! 3! )=! maka jelas bahwa semesta dari A adalah S 8 Himpunan bilangan Asli. Maka A 8 < *! ! C! . . .=. Misalkan / 8 < Muharam! 7ajab! :ulhijjah=! maka jelas bahwa himpunan semesta dari adalah S 8 Himpunan nama bulan hijriah. Bleh karena itu maka /" 8
/iner berarti dua! sehingga operasi biner berarti operasi yang melibatkan dua buah himpunan.
Definisi 1.>Ope#asi I#isan (Inte#se6ti$n) Halaman 21
7ia A dan - semba#an' himpunan, maa $pe#asi i#isan A dan . ∩ - = { & ' & ∈ . dan & ∈ -} didefinisian seba'ai #engertian dari definisi di atas adalah! irisan dari himpunan A dan / adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan yang ada di A dan juga ada di /. Teladan 1.16
Misalkan A 8 < 1! ! 3! )! *= dan / 8 <3! )! *! ! C= maka irisan dari A dan / adalah
. ∩ - = <3!)!*= ! karena
3 ∈ . dan -! ) ∈ . dan - serta * ∈ . dan -
1# "
$# %# '
#
Ada dua jenis relasi sebagai tambahan ketiga relasi tersebut di atas yang berhubungan terdefinisinya irisan! yakni elasi &erpotongan 'Lepas.
Definisi 3e"asi -e#p$t$n'an atau be#i#isan Dua buah himpunan disebut memi"ii #e"asi be#p$t$n'an jia dan han!a jia i#isann!a buan himpunan $s$n'. Da"am n$tasi . ⊇⊆ - ⇔ . ∩ - ≠ Φ matematia ditu"is seba'ai Himpunan yang yang memenuhi definisi tersebut disebut sebagai himpunan beririsan atau berpotongan. Halaman 22
Teladan 1.17
Misalkan dimiliki himpunan A 8 < 1!! 3! )= dan / 8 <! 3! *! C= maka A dan
. ∩ - = { !3} ≠ Φ / disebut himpunan yang saling beririsan karena
Definisi 3e"asi Lepas Dua buah himpunan disebut memi"ii #e"asi "epas jia dan han!a jia i#isann!a me#upaan himpunan $s$n'a. Ditu"is da"am n$tasi . ⊇⊆ - ⇔ . ∩ - = Φ matematia seba'ai . Selanjutnya himpunan yang memenuhi definisi relasi lepas! disebut sebagai himpunan saling lepas. Teladan 1.1
Misalkan dimiliki himpunan
A 8 < 1!! 3! )= dan / 8 <*! C! 11!1C= maka A
. ∩ - = {
}=Φ
dan / disebut himpunan yang saling lepas karena
Definisi 1.1+ Ope#asi ?abun'an Himpunan (Uni$n) 7ia A dan - semba#an' himpunan, maa $pe#asi 'abun'an A dan . ∪ - = { & ' & ∈ . atau & ∈ -} - didefinisian seba'ai Dari definisi tersebut! hasil operasi gabungan himpunan A dan / adalah himpunan baru yang anggotanya ada di A atau ada di /. Dengan kata lain himpunan yang anggotanya gabungan dari anggota himpunan A dan /! Teladan 1.1!
Halaman 23
Misalkan dimiliki himpunan A 8 < 1!! 3! )= dan / 8 <! 3! *! ! C= maka
. ∪ - = {1!!3!)!*!D!C}
Definisi 1.>. Ope#asi Penjum"ahan Himpunan 7ia A dan - semba#an' himpunan, maa $pe#asi penjum"ahan himpunan A dan didefinisian seba'ai . + - = { & ' & ∈ . ! & ∈ - dan & ∉ . ∩ -}
Dari definisi tersebut adalah! hasil operasi penjumlahan himpunan A dan / adalah humpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan Adan Anggota himpunan / yang tidak termasuk dalam anggota irisan A dan /. Teladan 1.2"
Misalkan dimiliki himpunan A 8 < 1!! 3! )= dan / 8 <! 3! *! C= maka
. ∩ - = { !3}
. + - = {1!)!*!C} sehingga
Definisi 1.1+. Ope#asi Pen'u#an'an Himpunan 7ia A dan - semba#an' himpunan, maa $pe#asi pen'u#an'an himpunan A dan didefinisian seba'ai . − - = { & ' & ∈ . dan & ∉ -}
#engertian dari definisi tersebut adalah! hasil operasi pengurangan himpunan A dan / adalah humpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan menjadi anggota himpunan /.
Teladan 1.21 Halaman 24
Misalkan dimiliki himpunan A 8 < 1!! 3! )= dan / 8 <! 3! *! C= maka
. − - = {1!)}
Definisi 1.1+. Ope#asi Pe#a"ian 7ia A dan - semba#an' himpunan, maa $pe#asi pen'u#an'an himpunan A dan didefinisian seba'ai . × - = { ( &! y ) ' & ∈ . ! y ∈ -}
#engertian dari definisi tersebut adalah! hasil operasi perkalian himpunan A dan / adalah humpunan baru yang anggotanya dibentuk dari pasangan terurut anggota A dan /. Teladan 1.21
A 8
. 3. ).
Misalkan A 8
( - ∩ # ) − . a.
.′ ∩ - ∩ # b.
Halaman 25
( . ∪ - ) + ( - ∩ # ) ".
E/ 0MA$0 2
6awablah soal+soal di bawah ini dengan "ara memberikan tanda silang pada option yang benar dan disertai dengan alasannya. 1. Diketahui himpunan A 8
a.
*
A ∈
b. D / ". 5 bukan Sub set dari / 1 ∈ ( . ∩ - ∩ D ) d. . 6ika A dan / keduanya himpunan yang tidak kosong dan n0A+/2 8 n0A2. a. A 8 /
∩
b. A ".
A
∩
/8/
/8/ ∩ - = φ
d. A 3. 6ika A8<'+* YY*=! / 8<'* P Y 1E= dan 5 8 <'3 P P *=!
∩ maka hasil dari operasi 0A+/2 a. <'3 Y Y *= b. <'+* Y Y 1E=
5 sama dengan
Halaman 26
". <' 3 Y Y 1E= d. <'+* Y Y 3= ). #ernyataan yang benar berikut ini adalah a. n0A2 8 n0/2 88W A 8 / b. A / 88W A 8 / ". A 8 / 88W n0A2 8 n0/2 d. A 8 / 88W A / *. #erhatikan diagram (enn berikut. Daerah yang himpunan
∩ a.
A
b. A ".
A
∩ ∩ ∩
diarsir
∩ / / /
5
∩ ∩ ∩
5 D
Halaman 27
adalah
a
! * 1#"#$#%#'
33
Hukum dan !+ * -1# -"# -$# -%# -' Aljabar Himpunan * %# '# # # ".1 Hukum,Hukum Himpunan
+ * -%# -'# -# - Hukum dalam pengertian ilimiah adalah teorema yang kebenaranya sudah
, * #Ferdapat # # 1/ terbukti. banyak hukum dalam teori himpunan! akan tetapi dalam pengantar dasar matematika! akan dibahas 1 hukum. Misalkan A! / dan 5
,+ *
sembarang himpunan! maka berlaku relasi berikut, 1.
Hukum >dentitas
.
Hukum Dominasi
. ∪ S = S
. ∪ φ = . i2
i2
. ∩ φ = φ
. ∩ S = . ii2 3. Hukum &omplemen >
ii2 ). Hukum &omplemen >>
. ∪ .′ = S i2.
. ∩ .′ = φ
(φ )′ = S
i2.
S ′ = φ
ii2 *.
Hukum >dempoten
ii2. . Hukum >n(olusi
. ∪ . = .
( .′) ′ = .
i2
. ∩ . = .
i2.
ii2. C. Hukum De Morgan
I. Hukum #enyerapan'absorpsi
. ∪ ( . ∩ - ) = .
( . ∩ - ) ′ = .′ ∪ -′ i2.
i2.
. ∩ ( . ∪ - ) = .
′
( . ∪ - ) = .′ ∩ -′ ii2.
ii2.
Halaman 28
;. Hukum &omutatif'#ertukaran
1E. Hukum Asosiatif'#englompokan
. ∪ ( - ∪ # ) = ( . ∪ - ) ∪ #
. ∪ - = - ∪ . i2.
i2.
. ∩ - = - ∩ .
. ∩ ( - ∩ # ) = ( . ∩ - ) ∩ #
ii2.
ii2.
11. Hukum Distributif
. ∪ ( - ∩ # ) = ( . ∪ - ) ∩ ( . ∪ # ) i2.
. ∩ ( - ∪ # ) = ( . ∩ - ) ∪ ( . ∩ # ) ii2.
∩
1. Hukum DualitasQ yakni penukaran operasi
degan
dan himpunan
( . ∩ S ) ∩ (φ ∪ .′) = φ ⇔ ( . ∪ φ ) ∪ ( S ∩ .′) = S
φ S dengan
∪
. Misal
".2 Ala-abar Himpunan
Aljabar berarti penyelesaian permasalahan matematika dengan pengoperasian simbol+simbol sebagai lambing dari permasalahan matematika yang belum diketahui penyelesainnya. &onsep fikir aljabar ini pertama kali dikembangkan oleh ilmuan islam Al+&hwari9mi yang berkembang pada tahun CIE+I*EM. >stilah Aljabar diambil dari tulisannya yang paling terkenal dengan judul Hisab Al,-abr 3al mu4abala5 yang artinya per5itungan dengan restorasi dan reduksi pada tahun I3EM. $stila5 &a5asa Arab
Al,+abr
$stila5 &a5asa $ndonesia
Aljabar
$stila5 &a5asa $ngris
Algebra
&onsep ?ajabar yang dikembangkan oleh Al+&hawari9mi disebut al-abar klasik ang merupakan suatu konsep matematika yang menggunakan simbol,simbol untuk me3akili bilangan yang belum diketahui dalam Halaman 29
perhitungan.Dalam
pengembangan
ilmu
pengetahuan
dan
teknologi!
kenyataan diketahui bahwa tidak hanya bilangan yang dapat diwakili oleh simbol+simbol tersebut! bisajuga konsep+konsep lainnya! seperti sifat simetri suatu banngun! posisi dari suatu jaringan! instruksi terhadap suatu mesin atau dapat juga melambangkan desain dari sebuah ekspresi statistik. &enyataan ini kemudian disebut dengan al-abar modern . Demikian juga halnya dengan teori himpunan! konsep himpunan yang dibahasa di atas! merupakan konsep
5impunan klasik 67rip8
yang
dikembangkan oleh Ahli matematika 6erman Oeorge 5antor 01I)*+1;1I2. Dalam 5impunan klasik ini! keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan A hanya akan memiliki dua kemungkinan keanggotaan! yakni menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A. 6ika objek tersebut menjadi anggota A! maka nilai keanggotaanya 1 dan jika tidak nilai keanggotaanya E. Seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi! teori himpunan dikembangkan lebih modern yang disebut 5impunan fuzz. &onsep ini dikembangkan oleh ilmuan islam ?utfi Ahmad :adeh! seorang kebangsaan >ran. Dalam tero himpunan fu99y yang dikembangkannya! nilai keanggotaan suatu elemen berada pada himpunan bilangan real KE! 1J. &onsep ini kemudian
memberikan
pendefinisian
untuk
suatu
himpunan
yang
keangggotaan tidak jelas menjadi jelas. Akan tetapi dalam kuliah #DM! &onsep teori himpunan fu99y tidak dibahas. Teladan
6ika A! / dan 5 semabarng himpunan! maka /uktikan bahwa
( . ∩ - ) ∪ ( . ∩ -′) = . 1.
Halaman 30
/ukti, i2 Menggunakan hukumZhukum himpunan,
( . ∩ - ) ∪ ( . ∩ -′) = . ∩ ( - ∪ -′)
, 0k . Distriutif
= . ∩ S
, 0k . 1omlemen I
= .
, 0k . Identitas
ii2 Menggunakan tabel sifat keangotaan dengan "ara sebagai berikut, Misalkan & suatu objek! maka terhadap himpunan A dan / akan terdapat
∉
∈ kemungkinan
A atau
∉
∈
A! dan
/ atau
/. 6ika kenyataan
sebagai anggota dinyatakan sebagai 1 dan dan kenyataan bukan sebagai anggota dinyatakan dengan E! maka dapat dikontruksi tabel kebenaran sebagai berikut, A
∩
& A
1 1 : :
1 E 1 E
&
1 E E E
∩
&9 A
E 1 E 1
∩ &9
6A
∪ &8
E 1 E E
∩ 6A
&98
1 1 E E
Dari tabel tersebut! diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada
∩ himpunan A sama dengan sifat keanggotaan himpunan 0A
∩ maka dapat disimpulkan bahwa A 8 0A
∪ /2
∪ /2
∩ 0A
∩ 0A
/2. 6adi terbukti.
Halaman 31
/2!
. ∪ ( - − .) = . ∪ 2! /ukti,
. ∪ ( - − .) = . ∪ ( - ∩ .′)
Definisi 3/erasi Pengurangan
= ( . ∪ - ) ∩ ( . ∪ .′) 0k . Distributi f = ( . ∪ - ) ∩ S
0k . 1om/lemen
= . ∪ -
0k . Identitas
Dengan tabel keanggotaan A
&
∪
&,A
∪
A
6&,A8 A & 1 1 E 1 1 1 E E 1 1 : 1 1 1 1 : E E E E Dari tabel tersebut! diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada
∪
∪ himpunan A
0/+A2 sama dengan isfat keanggotaan himpunan A
∪ dapat disimpulkan bahwa A
∩ 0/+A2 8 0A
∪ /2
/! maka
∩ 0A
/2. 6adi terbukti.
( . − - ) − # = ( . − # ) − 3. /ukti,
Halaman 32
( . − - ) − # = ( . ∩ -′) − # Def .Selisi4 = ( . ∩ -′) ∩ # ′ Def .Selisi4 = ( . ∩ # ′) ∩ -′ 0k . .sosiatif = ( . − - ) ∩ -′ Def .Selisi4 = ( . − # ) − - Def . Selisi4 6adi terbuktiQ #embuktian dengan tabel keanggotaan sebagai berikut, A & ; A,& 6A,&8,; A,; A,;8,& 1 1 1 E E E E 1 1 E E E 1 E 1 E 1 1 E E E 1 E E 1 1 1 1 : 1 1 E E E E : 1 E E E E E : E 1 E E E E : E E E E E E Dari tabel tersebut! diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada
himpunan 0A+/2+5 sama dengan isfat keanggotaan himpunan A+52+/! maka dapat disimpulkan bahwa 0A+/2+5 8 0A+52+/. 6adi terbukti.
( . + - ) ∩ . = . ∩ -′ ). /ukti,
( . + - ) ∩ . = [ ( . ∩ -′) ∪ ( - ∩ .′) ] ∩ , def . Pen5umla4an = [ ( . ∩ -′) ∩ .] ∪ [ ( - ∩ .′) ∩ .] , 0k . distributif
Halaman 33
= [ ( . ∩ .) ∩ -′] ∪ [ ( . ∩ .′) ∩ - ] 0k . .sosiatif = ( . ∩ -′) ∪ [ ( . ∩ .′) ∩ - ]
0k . Idem/oten
= ( . ∩ -′) ∪ ( φ ∩ - )
0k .kom/lemen
= ( . ∩ -′) ∪ φ
0k . Do min asi
= . ∩ -′
0k . Identitas
( . + - ) ∩ . = . ∩ -′ Ferbukt bahwa #emuktian dengan menggunakan tabel keanggotaan adalah sebagai berkut, A 1 1 : :
&
∩
A<&
1 E 1 E
6A<&8 E 1 E E
E 1 1 E
∩
&9 A
A
E 1 E 1
&9
E 1 E E
Dari tabel tersebut! diperoleh kenyataan bahwa sifat keanggotaan pada
∩ himpunan 0A[/2
∩ A sama dengan sifat keanggotaan himpunan A
∩ maka dapat disimpulkan 0A[/2
/!
∩ A8A
/. 6adi terbukti.
/erikut diberikan "ontoh pembiktuan sifat himpunan menggunakan alajab himpunan berdasarkan definisi himpunan. Teladan
. ⊆ ( - ∪ # ) /uktikan bahwa! jika
. ∩ - = φ dan
. ⊆ # maka
Halaman 34
/ukti,
. ⊆ ( - ∪ # ) Diketahui bahwa, i2.
. ∩ - = φ dan ii2.
. ⊆ # Akan dibuktikan
& ∈ . Misalkan
. ⊆ ( - ∪ # ) 1. &arena
∀ & ∈ . & ∈ ( - ∪ # ) ! maka ! , def.sub set
& ∈ ( - ∪ # ) ⇒ & ∈ - atau & ∈ # . &arena
, def. Union
. ∩ - = φ ⇒ . ⊇⊆ 3. &arena
( & ∈ -
, def. Himpunan ?epas
atau & ∈ # ) dan . ⊇⊆ - ⇒ & ∉ - dan & ∈ #
).
∀ & ∈ . ! & ∈ # ⇒ . ⊆ # *. &arena
. ⊆ ( - ∪ # ) 6adi terbukti bahwa ! jika
. ∩ - = φ dan
. ⊆ # Teladan
Halaman 35
maka
6ika
A! / dan 5 adalah sembarang himpunan! buktikan bahwa
( . − # ) ∩ ( # − - ) = φ /ukti, Feknik pembuktian menggunakan metode kontradiksi. Artinya kita
( . − # ) ∩ ( # − - ) ≠ φ misalkan
! maka jika kita dapat menunjukkan
( . − # ) ∩ ( # − - ) ≠ φ bahwa permisalan
salah! maka haruslah yang
( . − # ) ∩ ( # − - ) = φ bernilai benar adalah . Metode ini digunakan karena tidak mungkin kita dapat menunjukkan suatu keanggotaan yang kosong. #rosedur pembuktian sebagai berikut,
( . − # ) ∩ ( # − - ) ≠ φ Misalkan
! maka
( . − # ) ∩ ( # − - ) ≠ φ ⇒ ∃ & ∈ ( . − # ) ∩ ( # − - ) 1.
& ∈ ( . − # ) ∩ ( # − - ) ⇒ & ∈ ( . − # ) dan & ∈ ( # − - ) .
& ∈ ( . − # ) ⇒ & ∈ .! & ∉ # $.
& ∈ ( # − - ) ⇒ & ∈ # ! & ∉ %.
Halaman 36
& ∈ # dan & ∉ # 0enyataan $ dan % bertentangan# yakni
#
dimana kondisi tersebut mustahil terjadi. Hal ini berarti
( . − # ) ∩ ( # − - ) ≠ φ bahwa
bernilai salah! jadi seharusnya yang
( . − # ) ∩ ( # − - ) = φ bernilai benar adalah
.
Demikian telah disampaikan tiga metode aljabar himpunan untuk menentukan kebenaran hasil operasi suatu himpunan. Metode tersebut dengan menggunakan hokum+hukum himpunan! table keanggotaan dan definisi himpunan. Untuk mengukur tingkat pemahaman anda! silahkan soal+soal berikut diselesaikan. Misalkan A! /! dan 5 adalah sembarang himpunan! buktikan bahwa
. ∩ . = . 1.
S ′ = φ .
. ∪ S = S 3.
( . − - ) ∩ ( . − # ) = . − ( - ∪ # ) ).
. ∪ ( . ∩ - ) = . ∩ ( . ∪ - ) = . *.
Halaman 37
E/ 0MA$0 "
6awablah soal berikut dengan "ara berikan tnada silang pada optin yang benarR 1. 6ika A! / daan 5 adalah himpunan+himpunan yang tidak kosong
[ ( . ∩ - ) ∪ # ] ∪ # ′ maka himpunan
akan sama dengan
φ a.
. ∩ b.
( . ∪ - ) ∩ # ".
( . ∩ - ) ∪ # ′ d. . 6ika # dan G adalah dua himpunan yang berpotongan! maka
( P ∩ ') ∪ ( P ∩ '′) himpunan a. # b. # ". G d. G
sama dengan
. ⊆ 3. 6ika
maka pernyataan yang benar adalah . ∪ - = .
a.
. ∩ - = b. Halaman 38
. − - = φ ".
. ∩ - = φ d. ). #ernyataan berikut yang benar adalah . ⊆ ( . ∩ - ) a. ( . − - ) ⊇ ( . ∪ - ) b. ( . − - ) ∪ - = φ ". . ∪ - = φ . = φ - = φ d. ika # maka dan *. Himpunan yang sama dengan himpunan A adalah ( . ∩ - ) ∪ ( . ∩ -′) a.
( . ∪ - ) + ( . ∪ -′ ) b.
. ∪ ( .′ ∩ - ) ".
. ( .′ ∪ - ) d.
Halaman 39
