Análisis Estructural
Resumen del método de rigidez
Fundamento teórico D5
F5 D4
Grados de libertad D2
F2
D3
Equilibrio (1º Castigliano):
F1
W
1
ext
F j
2
j
U
F i
U
j
Equivale al PTV
i
Sustituyendo U:
Fuerzas generalizadas
F3
D1
Conservación de la energía:
F4
F6
D6
Fi
1
F j
j
Fundamento teórico D5
F5 D4
Grados de libertad D2
F2
D3
Equilibrio (1º Castigliano):
F1
W
1
ext
F j
2
j
U
F i
U
j
Equivale al PTV
i
Sustituyendo U:
Fuerzas generalizadas
F3
D1
Conservación de la energía:
F4
F6
D6
Fi
1
F j
j
Desarrollo teórico Desarrollando 1º Castigliano con la U:
Fi
U i
1 2
Fj i
j
j
1 2
Fi
i
i
i
Pero:
j
F j
j
j
F i
F j j
F
j
j j
F j
j
F j
F i
Resultado:
F j
1 2
i
F j
U j
2
U
Resumen teórico del método de rigidez Equilibrio:
F j
F i
2
U
j j
j j
i
Fi
j
K ij
j
i
Estas expresiones de K no son útiles
j
F1
..
K 11
.. ..
.. .. .. ..
Fn
Kn1
Fi
.. .. K 1 j .. .. .. .. K ii K ij .. .. .. .. .. .. .. .. K nj
.. K 1n 1 .. .. .. .. .. .. .. .. j .. .. .. .. K nn n
D5
F5 D4
F6
D6 D2
F2
D3 D1
F3 F1
F4
Significado físico de [K] Columna j de [K]: Fuerzas y momentos que hay que aplicar sobre los grados de libertad de la estructura, para imponer un desplazamiento unitario en la dirección j, y cero en todas las demás No se puede emplear Para toda la estructura
F1
K 11
.. ..
.. .. ..
Fn
Kn1
F j
Ki3
Ki1
K33 K11
.. K 1 j .. K 1n .. .. .. .. .. K jj .. .. .. .. .. .. .. K nj .. K nn
D1=1
D3=1
0
1
.. 1
j
.. n
0
Significado físico de [K] para una viga plana Se emplea a nivel de una barra sola. Para obtener su matriz de rigidez local. K41
K11 dJY =D5
dIY =D2 dIX =D1
D1=1
dJX =D4
qIZ =D3
qJZ =D6
K22
K52 D2=1
K62
K32
F1
..
K 11 .. K 1 j .. K 16
..
.. .. ..
F6
K 61
F j
.. .. .. K jj .. .. .. K 6 j
.. .. .. .. .. .. .. K 66
0
1
.. 1
j
.. 6
0
K23 K33
D3=1
K53 K63
Catálogo de elementos (1) Barras 2D
PJY
Barras 3D
PJX PJZ
XL
PIY
PIZ
PIX
Y
X
Z
YG XG ZG
Catálogo de elementos (2) Muelles
q2
q1
Barras curvas 2D
dIY
y dIX
dJY
dJY
dIY
dJX
dIX qI
+ otros en el futuro (MEF)
dJX qJ
Dos cuestiones fundamentales
En cualquier método de análisis estructural, se deben garantizar:
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Compatibilidad de deformaciones
Cómo se garantiza esto en el método de rigidez??
Compatibilidad de deformaciones
En el método de rigidez es automática: Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se comparten entre las barras que llegan a dicho nudo. Las deformaciones en el interior de las barras se definen en función de los grados de libertad de los nudos. DY
DY
qZ2 DY
DX
DX
DX
qZ qZ1
A)
B)
C)
qIZ
YL dIY d
qZ v
qJZ dJY
Grados de libertad
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo tanto basta con cumplir: Equilibrio de todas las barras
e
KG
e
e
F
e
1, b
ext
FI
Equilibrio de todos los nudos e
FI
ext
FI
I
A
-FI
1, N
B
-FI
e
B
FI
B
B
A FI
A
A
FJ
Equilibrio de cada barra de la estructura Equilibrio estático de la barra: 3 ecs. en el plano, 6 en el espacio Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en función de los grados de libertad y de las fuerzas en los extremos, mediante la ecuación de rigidez:
DJ e
FJ
J
En el sistema local de la barra e
e
KLII
KLIJ
e KLJI
e KLJJ
e
I
PI
J
e PJ
DI
YG XG
e
FI
I
ZG
En el sistema general de la estructura e
e
KGII
KGIJ
e KGJI
e KGJJ
e
I
FI
J
e FJ
Sólo cambia el tamaño y el valor de las matrices
Equilibrio de los nudos Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra ‘e’ e
e
KGII
I
e
KGIJ
Equilibrio del nudo I: las fuerzas exteriores se equilibran con las fuerzas interiores en las barras
J
e
ext A
-FI -FI
ext
FI
e
Sustituyendo las fuerzas interiores e
KGII e
B
FI
B
e
KGIJ
I e
J
FI
B
FI
FI
ext
FI
B
A FI
A
A
FJ
Equilibrio de los nudos ext
FI
DI
DJ
e
A
KGII
e
I
e
B DK
Equilibrio del nudo I
..
..
..
..
..
..
e
..
KGII
e
..
..
..
..
..
KGIN
..
1
..
..
..
..
..
.. ext
e
e
..
J
ext
FI
e
.. KGI 1
KGIJ
I
.. N
Tantas ecuaciones de equilibrio estático como g.d.l. tiene el nudo
FI
..
Matriz de rigidez de la estructura Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los que se conecta la barra Contribución de la barra ‘e’ a la ecuación de equilibrio total
..
..
..
..
..
..
e KGII
..
e KGIJ
..
..
..
..
..
..
..
KGJI
e
..
KGJJ
e
..
..
..
..
..
..
.. I
.. J
..
..
ext
FJ
DJ
ext FI
.. ext FJ
..
ext
FI
e DI
Ejemplo
1
A
B
3
2
C
A
D
C
KG 11
E K
A
KG 11 A
KG 21 0
KG 12 A
KG 22
B
KG 22 B
KG 32
0 D
B
KG 22
KG 23 B
KG 33
E
KG 33
Ejemplo 3 B
1
C
A
B
K 11 G 0
K
E
4
D
A
K 11 G
2
0 C
K 22 G
D
K 22 G
K 31 G
B
K 32 G
C
0
K 42 G
E
E
K 22 G
F
K 13 G
B
0
C
K 24 G
E
K 23 G B
C
K 33 G
K 33 G 0
E K 44 G
0 F
K 44 G
Propiedades matemáticas de [K]
Simétrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones
Definida positiva. Define la energía Conservación de la energía:
U F
Equilibrio:
Energía en función de
U
0
:
U
0
det
1
ext
W
2
K
1
T
K
2
K)
0
T
F
Propiedades topológicas de [K]
Su estructura topológica depende de la numeración de los nudos.
Sólo hay términos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras
Estructura dispersa, o de banda compacta.
Los programas reordenan los nudos para obtener una estructura de banda compacta de [K]
Se necesita menos memoria para almacenarla
Se facilita su factorización
4
8
5
2
1
9
10
6
Celosía plana 10 nudos n=20 ecs.
3
7
Propiedades topológicas de [K] A) 4
n=20 Matriz llena 5
Almacenamiento de K
1
9
3
A
B
C
n2
400
400
400
Llena Simétrica
n2/2+n/2
210
210
210
Banda Simétrica
n m –m2/2
210
168
102
98
98
98
Llena 8
B) 6
1
C) 2
2
10
7
6
n=20 Matriz banda m=12 7
2
8
3
9
10
5
4
Dispersa
Operaciones para factorizar K
n=20 Matriz banda m=6 4
6
8
10
A
B
C
Llena Simétrica
n3/6
1330
1330
1330
Banda Simétrica
n m2/2-m3/3
1330
864
288
Fuerzas sobre los elementos
Se transforman en fuerzas nodales equivalentes, mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)
Situación real
Las fuerzas de fase 0 pasan con signo (-) al vector de fuerzas exteriores
F
0 0
-F
Fase 0
Fase 1
Fases 0 y 1
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Tienen M, Q, N y deformaciones locales, según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman bajo la acción de las cargas exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
F
-F
0
Fase 0 0
=0
0
u(x) v(x3)
Fase 1 K
1
0
=-F
Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)
Puntuales y distribuidas sobre las barras.
Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de libertad
Térmicas sobre las barras.
Temperatura media y gradiente en el canto de la barra
Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l. EAaTm
EAaTm
0
PT
EIaTg EAaTm
EIaTg EAaTm
Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)
Errores en la forma de las barras (deformaciones de montaje)
Se conoce la diferencia (error) entre:
la forma natural (descargada) de la barra y
la forma en la que se le obliga a ser montada en la estructura Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a la barra a montarse en la estructura
E
Aplicar –
Forma natural
E
Errores de forma XL
0
PE
KL
YL
E
Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones) Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se está aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la misma en la estructura
Deben estar en equilibrio entre sí.
Son directamente las fuerzas de fase 0
0
Ppret
Forma natural
Barra montada
Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones) habituales
Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.
Fuerzas aplicadas desde el exterior
N0
N0
0
Ppret
D
P
Esfuerzos interiores en las barras
Esfuerzos interiores son la suma de :
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
e 0
F
Todas las barras son biempotradas.
Esfuerzos interiores M, Q, N según el tipo de carga e1
Fase 1: los nudos se deforman
F
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante) 0
F
0
M
Fase 0
Fase 1 1
1
F =KD
e
K
e 1
Deformaciones en las barras
Deformación real es la suma de:
Fase 0: Todas las barras son biempotradas
No hay deformaciones de los nudos.
Deformaciones u,v de la barra según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman:
F
Lateralmente a flexión, según cúbicas v(x 3) Axial: linealmente u(x) -F
0
v
0
u(x) v(x3)
0
Fase 0 0
=0
Fase 1 K
1
0
=-F
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra Donostia - San Sebastián
Resumen de las propiedades de rigidez de los elementos estructurales
Juan Tomás Celigüeta Marzo 2004
1
BARRA BIARTICULADA PLANA - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
P P P P
IX
IY
JX
JY
EA / L 0 EA / L 0
0
EA / L
0
0
0
EA / L
0
0
0 IX
0 0 0
IY
JX
JY
XL JY
JX
J YL
IY
I
IX
BARRA BIARTICULADA PLANA - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL FJY
JY
F F F F
IX
IY
JX
JY
c 2 sc c2 sc EA sc s 2 sc s2 2 2 L c sc c sc sc s 2 sc s2
IX
FJX
JX
IY
JX
JY
FIY
IY
IX
FIX
2
BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL P P P P P
P IX IY
IZ
JX
JY
JZ
0 EA 0 L 1 0 0 1
0
0
1
0 0 IX
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
IZ
JX
JY
JZ
PJX
JX
0 IY 0 0 0 0
PJY
JY
YL
PJZ
JZ
PIY
IY
IX
PIX
PIZ
IZ
ZL
BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL F F F F F F
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
EA L
JY
IX
FJY
JX
FJZ
YG
IY
JZ
IZ
IZ
IX
JY
JZ
FIY
IY
JX
ZG
XG
FIZ
FIX
FJX
3
VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
P P M P P M
IX
IY
I
JX
JY
J
0 0 0 0 EA / L EA / L 0 12 EI / L3 6 EI / L2 0 12EI / L3 6EI / L2 2 2 0 6 EI / L 4 EI / L 0 2EI / L 6EI / L 0 0 0 0 EA / L EA / L 3 2 3 2 0 0 12EI / L 12 EI / L 6EI / L 6EI / L 6 EI / L2 2 EI / L 0 6EI / L2 4EI / L 0
IX
I Y
I
JX
JY
J
JY
XL
J
PJY
JX
I
PIY
IX
MJ PJX
YL
IY
MI PIX
4
VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL EAc2 / L 12 EIs2 / L3 F IX EAsc / L 3 F IY 12 EIsc / L M I 6 EIs / L2 F JX EAc2 / L F JY 12 EIs2 / L3 M J EAsc / L 12 EIsc / L3 2 6 EIs / L c = cos
EAsc / L
12 EIsc / L3 EAs
2/
L
12 EIc 2 / L3 6 EIc / L2
EAsc / L 12 EIsc / L3 EAs2 / L 12 EIc2 / L3 6 EIc / L2
6 EIs / L2 6 EIc / L2 4 EI / L 2
6 EIs / L
6 EIc / L2 2 EI / L
EAsc / L
EAc2 / L
3 12EIs2 / L3 12 EIsc / L EAsc / L EAs 2 / L 12 EIsc / L3 12 EIc 2 / L3
6 EIc / L2
6 EIs / L2 EAc
2/
EAsc / L
L
3 12EIs2 / L3 12 EIsc / L EAsc / L
EAs
2/
L
12 EIsc / L3 12 EIc2 / L3 6 EIs / L2
6 EIc / L2
6 EIs / L2
2 6 E Ic / L IX IY 2 EI / L I JX 2 6 EIs / L JY J 2 6 EIc / L 4 EI / L
s = sen
JY
J
J
IY
I
I
IX
JX
5
VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA HORIZONTAL F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
EA / L 0 0 0 0 EA / L 0 12 EI / L3 6 EI / L2 12 EI / L3 6 EI / L2 0 0 6 EI / L2 4 EI / L 0 6 EI / L2 2 EI / L 0 0 0 0 EA / L EA / L 0 12 EI / L3 6 EI / L2 6 EI / L2 0 12 EI / L3 6 EI / L2 4 EI / L 6 EI / L2 2 EI / L 0 0
IX
I Y
I
JX
JY
J
IY
JY
I
I
J
J
IX
VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA VERTICAL F IX 12 EI / L3 0 6 EI / L2 12 EI / L3 0 6 EI / L2 IX 0 0 0 0 EA / L EA / L F IY IX 2 2 M 6 / 0 4 / 6 / 0 2 / EI L EI L EI L EI L I I F 0 6 EI / L2 12 EI / L3 0 6 EI / L2 JX JX 12 EI / L3 F 0 0 0 0 EA / L EA / L JY JY M 6 EI / L2 2 0 2 EI / L 6 EI / L 0 4 EI / L J J
JY
J
JX J
IY I I
IX
JX
6
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL m m P m m P
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
0 0 0 0 GJ / L GJ / L 0 2 2 6EI / L 4 EI / L 0 2 EI / L 6 EI / L 0 0 6EI / L2 12EI / L3 6EI / L2 12EI / L3 0 0 0 0 GJ / L GJ / L 0 6EI / L2 2 EI / L 0 4 EI / L 6 EI / L2 6 EI / L2 12EI / L3 0 6EI / L2 12EI / L3 0
IX
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
IY
IZ
Y
JX
Y
Y
Y
Y
Y
Y
mIY
IY
IX
IZ
Y
JZ
Y
mIX
PIZ mJX
JX
mJY
JY
JZ
JY
PJZ
7
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
M M F M M F
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
c
GJc 2 / L 2 4 EIs / L GJsc / L 4 EIsc / L 6 EIs / L2 2 GJc / L 2 EIs2 / L GJsc / L 2 EIsc / L 6 EIs / L2
cos( )
s
sen( )
GJsc / L
IY
6 EIs / L
4 EIsc / L GJs
2
/L
6 EIc / L2
4 EIc / L 6 EIc / L2 GJsc / L 2 EIsc / L 2
3
12 EI / L
6 EIs / L2
GJc 2 / L 2 EIs 2 / L GJsc / L 2 EIsc / L 2
6 EIs / L GJc
2
/L
4 EIs
2
/L
GJs 2 / L GJsc / L 2 EIc / L 6 4 EIsc / L 2 EIc2 / L 6 EIc / L2 12 EI / L3 6 EIs / L2 y I
GJsc / L 6 EIs / L2 2 EIsc / L 2 GJs / L 2 6 EIc / L 2 2 EIc / L 2 3 6 EIc / L 12 EI / L GJsc / L 6 EIs / L2 4 EIsc / L 2 GJs / L 2 EIc / L 6 4 EIc2 / L 6 EIc / L2 12 EI / L3
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
I Y
2
XG
FIZ
IZ
XG
MIX
MIY
IX
MJX
JX
YG
JY
MJY
JZ
FJZ
8
ELEMENTO VIGA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL P P P m m m P P P m m m
IX
IY
IZ
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
JX
JY
JZ
0 0 0 0 0 EA / L 0 0 0 0 0 EA / L 0 3 2 3 2 12 I / L 0 0 0 6I / L 0 12 I / L 0 0 0 6I / L 3 2 3 2 0 0 12 I / L 0 6 I / L 0 0 0 12 I / L 0 6 I / L 0 0 0 0 0 0 0 0 GJ / L 0 0 GJ / L 0 2 2 0 0 6 I / L 0 4 I / L 0 0 0 6I / L 0 2I / L 0 6 I / L2 0 0 0 4I / L 0 0 0 0 2 I / L 6 I / L2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA / L EA / L 0 12 I / L3 0 0 0 6 I / L2 0 12 I / L3 0 0 0 6 I / L2 0 12 I / L3 0 6 I / L2 0 0 0 12 I / L3 0 6 I / L2 0 0 0 0 0 GJ / L 0 0 0 0 0 0 0 GJ / L 0 6 I / L2 0 2I / L 0 0 0 6 I / L2 0 4I / L 0 0 2 2 0 6 I / L 0 0 0 2 I / L 0 6 I / L 0 0 0 4 I / L
IX
z
z
Y
z
z
Y
Y
IY
Y
IZ
IX
Y
Y
Y
z
z
Y
IY
z
IZ
z
JX
z
z
Y
z
z
Y
Y
Y
JY
JZ
JX
Y
Y
Y
z
z
PJY
JZ
mJY
JX
JX
JZ
PJZ
IY
IY
PIY
IX
IZ
IZ
z
JY
JY
z
Y
mIZ
IX
PIZ
mIY PIX mIX
mJX PJX mJZ
JY
JZ
9
ELEMENTO VIGA ESPACIAL - MATRIZ DE ROTACIÓN Y
YG XL=X
YL
XG
Y
O ( cos sen ) / DP P (sen cos ) / D PQ
Z ZG
YL
L M D cos T ( cos sen ) / D M MN ( sen cos ) / D Dsen
2
Z
X
D
2 2
ZL
L
JY
F JY
JY
JZ
M JZ
JX
M JX
JX M IY
IY F IY
IY IX IZ
IX
F JX
F JZ
JZ
IZ
M JY
F IX
F IZ M IZ
M IX
10
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
P P M P P M
IX
IY
I
JX
JY
J
0 EA / L 0 3EI / L3 0 0 0 EA / L 0 3EI / L3 3EI / L2 0
JY
0
EA / L
0
0
0
3EI / L3
0
0
0
0
EA / L
0
0 0
IX
IY
I
JX
3
0
3EI / L
0
3EI / L
JY
2
XL
3EI / L2 0 0 2 3EI / L 3EI / L 0
J
PJY
J
MJ PJX
JX
YL MI=0 PIY
IY
PIX
IX
J
Giro en la articulación
I
3 2 L
( JY
IY )
J 2
I
JY
IY
11
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
EAc 2 / L 2 3 3 EIs / L EAsc / L 3 EIsc / L3 0 2 EAc / L 3EIs 2 / L3 EAsc / L 3 EIsc / L3 3 EIs / L2
EAsc / L
3 EIsc / L3 EAs
2
/L
3 EIc
2
3
/L
0
0
0 0
EAsc / L 3 EIsc / L3 EAs 2 / L 3 EIc 2 / L3 2
3EIc / L
0 0
IX
IX
0 EAc
0
EAsc / L 2 3 EIs / L 3EIsc / L3 2 EAs / L 2 3 EIc / L 2 3 3EIc / L 0 0 EAsc / L 2 3 EIs / L 3 3EIsc / L 2 / EAs L 2 3 EIc / L 3EIc2 / L3 3EIc / L2 3EI / L
EAc 2 / L 3EIs2 / L3 EAsc / L 3EIsc / L3 2
I
/L
3EIs
2
JX
3
/L
JY
EAsc / L
J
3EIsc / L3 2
3EIs / L
JY
J
J
IY
I
IX
JX
12
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
0 EA / L 0 3EI / L3 0 0 0 EA / L 0 3EI / L3 3EI / L2 0
EA / L
0
0
0
3EI / L
0
0
0
0
EA / L
0
0
0
3EI / L3
0
3EI / L
0
0
3EI / L2 0 0 2 3EI / L 3EI / L 0
3
IX
IY
I
JX
JY
2
J
IY
JY
IX
IY
I
JX
JY
J
0 3 EI / L EA / L 0 0 0 3 EI / L 0 0 EA / L 2 0 3 EI / L 3
J
IX
3
3EI / L2
0
3EI / L3
0
0
0
EA / L
0
0
0
0
0
3
IX
I
0
3EI / L
0
3EI / L
0
0
EA / L
0
0
3EI / L
0
2
3EI / L
IX
2
J
I
ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO VERTICAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
F F M F F M
JX
JY
J
JY
J
JX J
IY I
IX
JX
13
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
P P M P P M
IX
IY
I
JX
JY
J
0 0 0 EA / L EA / L 0 3EI / L3 3EI / L2 0 3EI / L3 3EI / L2 3EI / L 0 3EI / L2 0 EA / L 0 0 0 EA / L 0 0 3EI / L3 3EI / L3 3EI / L2 0 0 0 0 0 XL
0 IX
0 0 0 0
0 IY I
JX
JY
J
PJY
JY
PJX
JX
YL
MJ=0
IY
MI
PIY
I
PIX
IX
J
Giro en la articulación
J
3 2 L
( JY
IY )
I 2
I
JY
IY
14
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
EAc2 / L 2 3 3 EIs / L EAsc / L 3 EIsc / L3 3 EIs / L2 2 EAc / L 3 EIs 2 / L3 EAsc / L 3 EIsc / L3 0
EAsc / L
3 EIsc / L3 EAs
2
3 EIs / L
2
/L
3 EIc / L 2
3
2
3EIc / L
3 EIc / L2
EAc2 / L 3EIs 2 / L3 EAsc / L 3EIsc / L3 2
3EI / L
3 EIs / L
EAsc / L EAc / L 2 EIs / L 3 3 EIsc / L3 3EIs 2 / L3 EAsc / L EAs 2 / L 2 EIc / L 3 3EIsc / L3 3 EIc2 / L3 2
0
0
0
JY
J
IY
I
I
IX
JX
EAsc / L 0 3EIsc / L3 EAs 2 / L 0 2 3 3EIc / L 2 EIc L 3 / 0 EAsc / L 0 3 3EIsc / L 2 EAs / L 0 3EIc 2 / L3 0 0 IX
IX
I
JX
JY
J
15
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL
F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
0 0 0 EA / L EA / L 0 3EI / L3 3 EI / L2 0 3EI / L3 0 3EI / L2 3EI / L 0 3EI / L2 0 0 EA / L 0 EA / L 0 0 3 EI / L3 3EI / L3 3EI / L2 0 0 0 0 0
0 IX
0 0 0 0 0
IY
I
JX
JY
J
IY
JY
I
I
J
IX
ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO VERTICAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL JY
F F M F F M
IX
IY
I
JX
JY
J
3EI / L 0 3 EI / L 0 0 2 EA / L 0 3EI / L 3 EI / L 3 EI / L3 2 0 3 EI / L 0 EA / L 0 0 0 0 3
2
3EI / L
3
0
0
0 IX
J
JX
EA / L 0 IX
2
3EI / L
3
0
3EI / L
0
0
EA / L
0
0
0 I
0 0 0
JX
JY
J
I I
IY IX
JX
16
MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL P J Y
P P P P
IX
IY
JX
JY
K 0 K 0
0
K
0
0
0
K
0
0
P J X
0 IX
0 0
0 IY JX
JY
P IY P IX
MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL FJY
JY
c2 F IX c 2 sc IX sc F 2 sc s 2 IY sc s IY K 2 c sc c 2 sc JX F JX 2 2 F JY sc s sc s JY
FJX
JX
FIY
IY
IX
FIX
MUELLES AL GIRO R M 1 U L K K O R 1 U S V M PS V T M 2 W N K K Q T 2 W
M 1
M 2 1
2
17
ELEMENTO VIGA PLANA CON ENERGÍA DE ESF UERZO CORTANTE - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
P P M P P M
IX
IY
I
JX
JY
J
EA 0 L 12 EI 0 (1 ) L3 6 EI 0 (1 ) L2 EA 0 L 12 EI 0 (1 ) L3 6 EI 0 (1 ) L2
JY
0
(1 ) L
2
(4 ) EI
0
(1 ) L
(1 ) L3 6 EI
6 EI
(1 ) L 0
(2 ) EI
(1 ) L3
0
(1 ) L
6 EI (1 ) L2
2
PJY
PIY
I
IY
IX
MJ PJX
JX
YL
J
GA' L
J
JX
12 EI
XL
I
JY
12 EI
0
(1 ) L2
IX
IY
2
L
6 EI (1 )L2 (2 ) EI (1 )L 0 6 EI 2 (1 ) L (4 ) EI (1 )L 0
12 EI
EA
0
0
L
6 EI
EA
0
MI PIX
18
ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO CON ENERGÍA DE ESFUERZO CORTANTE – RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL
m m P m m P
IX
IY
IZ
JX
JY
JZ
GJ L 0 0 GJ L 0 0
0 (4 ) EIY (1 ) L
0
6 EIY
6 EIY (1 ) L
2
(1 ) L
(1 ) L
0
0
(2 ) EIY
6 EI Y
(1 ) L 6 EIY (1 ) L
2
GJ L
(1 ) L 12 EIY
(1 ) L
6 EIY
IX
IZ
IZ
JY
Y
Y
(1 ) L
2
12 EI Y 2
GA' L
mIY
IY
mIX
PIZ mJX
JX
mJY
JY
JZ
IY
JX
0
(1 ) L
0
3
(1 )L
(4 ) EIY
0
Y
2
Y
IX
6 EIY
6 EI 2 (1 )L 12 EI (1 )L3 0 6 EI 2 (1 ) L 12 EI (1 )L3 0
(1 ) L
0
2
0
(2 ) EIY
0
3
L
12 EIY 2
GJ
PJZ
JZ
Esfuerzos de empotramiento perfecto V IGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS
R A
R B
M A L
P
M A L / 2
M B
PL
RA
8
P 2
L / 2
2
M A
P
a
RB
b
R A
M A
2
Pab
M B
L2 Pb
2
L3
( L 2a)
M
qL2
RB
RA
Pba L2 Pa
2
L3
R
( L 2b)
qL
q
a
b
M
a
b
+ T
h T
V IGA ARTICULADA EMPOTRADA
M A
M B
R A
R B
F L3 20 L H q F 3 L 30 L H q
q( L b ) q( L a )
6
R A
M A
2
L
a
3
I K 3 2 2 I L a La K
2
L a
La
2
L M A M B
H L
L
I K
2
6 Mab L
M B RB
3
MB
7
M A M B
Mb F 3b
M A
3
3
6
a
EI 2T / h
Ma F 3a I 2 L H L K
6 Mab L3
RA
RB
0
2
M B
q 1
R A
L
120
b33q1 120
q
a
b
b
+ T
M B
h
8q2 g
12q2 g
qL2 15
RA
64 q( L a) 120 L q( L b)
R A
M
6
RB
RA
5qL2
M B
M
a
M B
R A
L
M B
q
b7q1
M 2
2 L
3M 3
2 L
d7 L2
3a
M B
120
RB
10
11qL
RB
64
2
b27q1
48q2 g
4qL 10
21qL 64
i
q( L a) 6
L2 i
a2 i
3EI T / h
L
qL
R B
L
d3a2 d L2
RB
RA
M B L
Condiciones de apoyo especiales
1. Apoyos no orientados según los ejes generales
Condiciones de apoyo especiales
Apoyos no orientados según los ejes generales
Apoyos no orientados según XG YG Q
La condición de apoyo no se puede definir fácilmente en los . ΔX sin α − ΔY cos α = 0
Definir un sistema de ejes local al nudo , XN, Y N, en el que
Q
N
ΔY =
Y N
0
N
N ⎧ ⎪ΔX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ΔY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ cos α ⎢ − sin α ⎢⎣
sin α ⎤ ⎧⎪ΔX ⎫⎪
⎪ ⎥⎪ cos α ⎥ ⎪⎪ΔY ⎪⎪ ⎦⎩ ⎭
N
X
Y G XG
N
Δ j = Tj Δ j 2
N
F j
= Tj Fj
Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (1) Equilibrio en el general
⎡ K11 ⎢ ⎢ .. ⎢ ⎢ ⎢ K j 1 ⎢
..
⎢ ⎢K ⎢⎣ n 1
..
K1 j
..
..
..
..
..
K jj
..
..
..
..
..
Knj
..
K1n ⎤ ⎧ ⎪Δ1 ⎫ ⎪
⎧ F1 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥⎥ ⎪ .. ⎪ ⎪ .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ K jn ⎥ ⎨Δ j ⎪ ⎬ = ⎨Fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ .. ⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ Knn ⎥ ⎪ Δn ⎪ ⎪ n⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭
Transformar las deformaciones al sistema N
Multiplicar la columna j por TT
3
⎡ K11 ⎢ ⎢ ⎢ ..
..
K1 j T j
..
..
..
..
⎢K ⎢ j 1 ⎢ ⎢ ..
.. ..
..
⎢K ⎢⎣ n 1
..
Knj T j
T
T
K jj T j
.. ..
T
..
Y G
XG
T
N
Δ j = T j Δ j
⎪ Δ1 ⎫ ⎪ K1n ⎤ ⎧
⎪ F1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ N ⎪ ⎪=⎪ ⎪F ⎪ ⎪ K jn ⎥ ⎪ Δ j ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ j ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ ⎪ ⎪ n ⎪ Knn ⎥ ⎪ Δ ⎪ ⎪ n ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
j
Y N XN
Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (2) Partimos de la ecuación anterior: Para transformar las fuerzas: multiplicar la fila j por T j ⎡ K ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
..
..
⎢⎣ Kn 1
..
..
j
jj
⎤⎧ ⎪Δ ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ ⎪ =⎪ j jn ⎥ j ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Knn ⎪ Δn ⎪ ⎪ ⎥⎦ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
..
K T
.. j 1
j
T
..
K
.. T j
..
..
..
..
..
Knj T j
..
n
⎫ ⎪ ⎪ .. ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j j ⎪ .. ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ n ⎪ ⎭ 1
N
T j Fj = Fj
Equilibrio en el sistema mixto ⎡ K11 ⎢ ⎢ ⎢ .. ⎢T K ⎢ j j 1 ⎢ ⎢ .. ⎢ K ⎢⎣ n 1 4
T
..
K1 j T j
..
..
..
..
..
T T j K jj Tj
..
..
..
..
..
T Knj T j
..
⎪ Δ1 ⎫ ⎪ K1n ⎤ ⎧
⎧ ⎪ F1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ N ⎪ ⎪=⎪ ⎪FN ⎪ ⎪ Tj K jn ⎥ ⎪ Δ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ j j ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ Knn ⎥ ⎪ Δ ⎪ n ⎪ n ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎭
En el sistema N es fácil aplicar la condición de ligadura especial N
Δ jY =
0
Resumen Equilibrio en el sistema mixto K11
..
K1 j T j
..
..
..
..
..
⎢T K ⎢ j j 1 ⎢ ⎢ ..
..
T T j K jj Tj
..
..
..
..
⎢ K ⎢⎣ n 1
..
Knj T j
⎢ ⎢ ⎢
5
T
..
⎪ Δ1 ⎪ ⎪ F1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪FN ⎪ Tj K jn ⎥ ⎪ Δ j ⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ j ⎬ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. ⎥ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪⎪ .. ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ Knn ⎥ ⎪ ⎪ n ⎪ Δn ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎭ K1n
N j
Next ⎧ ⎪ F jX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = N ⎪R (?)⎪ ⎪ ⎪ ⎪ jY ⎪ ⎩ ⎭
N j
N ⎧ ⎪ Δ jX (?) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = N ⎪Δ = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ jY ⎪ ⎩ ⎭
Ejemplo 2Y
3Y
2X
3X
B
1Y 1X
Y N
Y
N
N ⎧ ⎪Δ1X
⎫ ⎪ ⎨ N ⎬ = ⎪Δ1Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ cos(−45) ⎢− sin(−45) ⎢⎣
sin(−45)⎤ ⎧ ⎪Δ1X ⎫ ⎪
Y =0 X
⎨ ⎬ Δ1Y ⎪ cos(−45)⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎦⎩ N
X
N
1
6
=
1
1
-45
XN
Ejemplo. Rigidez general y mixta 2Y
Rigidez en el sistema general
3Y
2X
3X
B
⎡KA ⎢ G11 ⎢ A K = ⎢KG 21
C
A
KG 12 A
KG 22
⎢ ⎢⎣ 0
0 B
B
+ KG 22 B
KG 32
KG 23 B
KG 33
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
C ⎥ + KG 33 ⎥ ⎦
1Y 1X
Rotación de 1 a su sistema local
⎡T1KA T1T G 11 ⎢ ⎢ A 1T ⎢ ⎢ ⎢⎣
7
G 21
0
1
A
T KG 12 A G 22 B KG 32
N
Δ1 = T1 Δ1
⎤ ⎥ ⎥
0
B G 22
B G 23 B KG 33
⎥
C ⎥ + KG 33 ⎥
⎦
N
Ejemplo: Ensamblado de la rigidez general 2Y
3Y
2X
3X
A
⎡KA ⎢ G11 A KG = ⎢ A
C
⎡ 0.0233 0 −0.0233 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ −7.⎥ 0 7. 0 ⎥ 8 ⎢ = 10 ⎢ ⎥ −0.0233 0 0.0233 0 ⎢ ⎥ ⎢ −7. 0 0 7. ⎥ ⎣ ⎦
KG 12 ⎤ A A
⎣⎢
⎥ ⎥ ⎦⎥
1Y 1X
B
⎡KA ⎢ G11 ⎢ A K = ⎢K ⎢ ⎢⎣ 0
A
KG 12 A
K
0 B
B
+K B
KG 32
K B
C
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡KGB ⎢ 22 B
⎢KG 23 ⎣
KG 23 ⎤ B
⎥
B
=
KG 33 ⎥
⎦
⎥ ⎦
KG 33 + KG 33 ⎥ C
K
8
= 10
⎡0.0233 ⎢ ⎢⎣
8
⎡ 7. ⎢ ⎢ 0. 8 ⎢ ⎢−7 ⎢ ⎢ 0. ⎣
0. −7. 0.⎤
Δ2x
0.
0.
⎥ 0.⎥⎥
Δ2y
0.
7.
0.⎥
Δ3x
0.
0.
0.⎥
Δ3y
⎥ ⎦
0⎤
Δ3x
.⎥
3y
⎥ ⎦
Δ1x Δ1y Δ x Δ2y
Ejemplo: Rigidez en el sistema general
2Y
⎡
3Y 3X
B 8
A
C
1Y 1X
9
0.02
⎢ 0. ⎢ ⎢ ⎢−0.02 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
0.
0. 0.⎤
Δ1X
0. −7.
0. 0.⎥⎥
Δ1Y
0. −0.02 7. 0.
7.02
0.
0. −7
0.
7.
0.
0.
−7.
.
.
.
0.⎥⎥
Δ2X
0. 0.⎥
Δ2Y
−7.
0. 7.02 .
.
⎥ 0.⎥⎥
Δ3X
.⎥
Δ3Y
⎦
Ejemplo: Rotación de la rigidez al sistema mixto T
2Y
T1
3Y
2X
3X
B
.
T1 =
C
1Y 1X
8
⎢ ⎢ 0. ⎢ ⎢ ⎢−0.02 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
. − . 7.
. 0. −7.
0.
7.02
0.
0. −7
0.
7.
0.
0.
−7.
.
.
.
.
.
⎥
0. 0.⎥⎥
Δ1Y
0.⎥⎥
Δ2 X
0. 0.⎥
Δ2Y
−7.
⎥ 0.⎥⎥ ⎥ . ⎦
0. 7.02 .
.
Δ3X 3Y
Rigidez en el sistema mixto de gdl
N
K
10
8 = 10
3.51 −3.49 −0.016 ⎡ ⎢ ⎢ −3.49 3.51 −0.016 ⎢ 7.02 ⎢−0.016 −0.016 ⎢ ⎢ 4.95 −4.95 0. ⎢ ⎢ − . . . ⎢ 0. 0. 0. ⎢⎣
N
0. 0.⎤
−4.95
0.
⎥ 0.⎥⎥
Δ1X Δ1Y
0.
−7.
0.⎥
7.
0.
4.95
. 0.
. 0.
⎥ 0.⎥ ⎥ .⎥ ⎥ 7.⎥ ⎦
N
Δ2X Δ2Y 3 X
Δ3Y
Ejemplo: Fuerzas 1 kN/m
1125
10000
2
⎧ ⎧ 1875⎪ ⎫ ⎪F 1X ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪F ⎪ ⎪ 0.⎪⎪ ⎪ 1Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 2X ⎪ ⎪ ⎪ 1125⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ F= ⎪ 2Y ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ ⎪ ⎪ 0. ⎪ 3X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ 3Y ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
3
2
5000
5000
1125 1
Fuerzas nodales giradas
1125 5000
2
5000
3
N
F
1326
1 11
1326
⎪F 1X ⎪ ⎧ 1326⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 1Y ⎪ ⎪ 1326⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪F 2Y ⎪ ⎪−5000⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎪⎪ ⎪ 3X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−5000⎪ ⎪F 3Y ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪
Ejemplo: ecuaciones finales Se introduce la condición de ligadura debida al apoyo inclinado:
8
10
⎡ 3.51 −3.49 −0.016 4.95 ⎢ ⎢ −3.49 3.51 −0.016 −4.95 ⎢ 7.02 0. ⎢−0.016 −0.016 ⎢ 0. 7. ⎢ 4.95 −4.95 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
12
0.
0.
−7.
0.
0.
0.
0. 0.⎤ 0.
⎥ 0.⎥⎥
−7.
0.⎥ ⎥
0. 0.⎥
0. 7.02 0.⎥⎥ 0.
0. 7.⎥⎥ ⎦
N ⎧ ⎪ Δ1X ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ ⎪Δ1Y = 0⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
Δ2X Δ2Y Δ3X Δ3Y
N
Δ1Y =
⎧ ⎪ 1326⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1326⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1125⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪−5000⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−5000⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩
0
Ejemplo: deformaciones
N
Δ
N ⎧ 0.9032⎫⎪ ⎪Δ1X ⎫ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ2X ⎪ ⎪ 0.3440⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ ⎪ ⎪−0.6394⎪ ⎪10−2 = ⎨ 2Y ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ 3X ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ3Y ⎪ ⎪ −0.007⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭
Y N N
Y =0 X=0.6386
N
X=0.9032
Y =-0.6386
13
XN
Rotación de las deformaciones locales del nudo 1 al sistema general ⎧ ⎪Δ1X ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬= ⎪ ⎩ 1Y ⎪ ⎭
⎡ cos(−45) ⎢ ⎢− s n − ⎢⎣
⎧ ⎪Δ1X ⎫ ⎪ ⎨ ⎬= ⎪Δ1Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎡ 1
T N sin(−45)⎤ ⎧ ⎪Δ1X ⎫ ⎪ ⎪ ⎪
cos − T
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎪ ⎬ 1Y ⎪ ⎪ ⎭
1⎤ ⎧ ⎫ ⎪ ⎧ 0.6386 ⎪ ⎫ ⎪0.9032⎪ = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 0 ⎪ ⎪−0.6386⎪ 2 ⎢⎢⎣−1 1⎦⎥⎥ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭
Ejemplo: esfuerzos en la barra A Fase 0 + fase 1 (En el sistema local de la barra) ⎪ 1x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ 1y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1875⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪1125⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩
14
8
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
−
0
⎢ ⎢−7 ⎢ ⎢ 0
0.0233
0.07
0
.
.
0
0
7
−0.0233
−0.07
0
⎪− . ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ −0.0233 ⎪ −0.6386⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ − . ⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪⎪−0.6394⎪⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ 0.0233 ⎥ ⎪⎪−0.3440⎪⎪ ⎩ ⎭
−2
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −5000⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ −5000⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 8000⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Apoyos inclinados modelizados con muelles No todos los programas (pocos) permiten emplear sistemas de ejes locales , . Método intuitivo y práctico para modelizar un apoyo inclinado: introducir un muelle de gran rig idez en la l a dirección fija fij ada por el apoyo
X
K
Rigidez del muelle en el sistema general ⎡ M
K
15
=⎢ ⎢−K ⎣
2
sin α cos α
⎤
−
K sin2 α
⎥ ⎥ ⎦
Apoyos inclinados modelizados con muelles Ecuación de equilibrio del nudo en el sistema general X,Y, incluyendo la rigidez del muelle y la del resto de la estructura
...
xi ⎢ ⎢ ⎢... K yi ⎣
...
2 xx
xy
... K xy − K sin α cos α
⎫ ⎧ ⎫ ⎥⎪ X⎪ ⎪ X⎪ ⎬=⎨ ⎬ ⎥⎨ ... K yj ...⎥ ⎪⎪⎩ΔY ⎪⎪⎭ ⎩⎪⎪F Y ⎭⎪⎪ ⎦
...
−
K yy + K sin2 α
xj
... ⎧
Al ser K muy grande, los demás términos son despreciables frente a él. ⎡0 ⎢ ⎢
K cos2 α
0 −K sin α cos α
−K sin α cos α
K sin2 α
0⎤ ⎧⎪ΔX ⎫⎪ ⎥⎪ ⎥⎨ 0 ⎪⎩Δ
⎧F X ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ ⎪F ⎪ ⎭ ⎩ ⎭
Dos ecuaciones casi linealmente dependientes entre sí !! Problemas de estabilidad numérica al resolver el sistema de ecuaciones si K muy grande. Usar con precaución , cuidando el valor de K. 16
Ejemplo: modelo numérico cespla 2Y
A = 100 cm
.
2
4
4
6
3X
B
2
A
K = 1.5 ⋅ 1010 kg / cm K = EA / L
3Y
2X
I = 10 cm
C
Rigidez de las barras al desplazamiento: orden 106 kg/cm
1Y
K
1X 1
Solución correcta para un amplio rango de valores de K: 108 - 1014 kg/cm
17
Condiciones de apoyo especiales
Deformaciones impuestas en los apoyos
Deformaciones impuestas en los apoyos Q
Q
Q
Se conoce el valor de algunos grados de libertad. Normalmente uno sólo o unos pocos. Ningún problema teórico: valores conocidos de algunas incógnitas Se dividen los g.d.l. en dos tipos: GDLs de valor conocido: DD
⎢ ⎢K ⎢⎣ CD
ΔC
GDLs de valor desconocido:
ΔD
⎧ D ⎫ ⎧ D ⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪FC + RC ⎪ KCC ⎥ ⎪ΔC ⎪ ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ DC
RC: reacciones exteriores sobre los GDL conocidos, necesarias
para imponer los valores conocidos de las deformaciones. Incógnitas: R reacciones exteriores ΔD deformaciones. 19
Deformaciones impuestas en los apoyos ⎡ KDD ⎢ ⎣⎢ Q
CD
KDC ⎤ ⎧ ⎪ΔD ⎫ ⎪
⎥⎪ ⎨ CC ⎥ ⎪ ⎦⎩
⎧ ⎪ ⎪=⎪ ⎬ ⎨ C ⎪ ⎪ ⎭ ⎩
FD C
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ C ⎪ ⎭
A nivel teórico se resuelve en dos pasos: X
La primera ecuación proporciona las deformaciones de los nudos KDD ΔD + KDC ΔC = FD
KD D ΔD = FD − KD C ΔC
Nuevo término de cargas: fuerzas nodales equivalentes a los GDL conocidos. X
La segunda ecuación proporciona las reacciones a aplicar para obtener las deformaciones impuestas RC = KC DΔD + KCC ΔC − FC
20
Ejemplo 1y
2y 2
1
3y 2x
1x
4y=-2
3x
⎧ ⎫ Δ1x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ΔD ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δ2y ⎪ ⎪ ⎪ Δ=⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ΔC ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δ ⎪ ⎪ ⎪ 3 x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Δ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪Δ = −2⎪ ⎪ 4y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
8x8 No hay fuerzas exteriores
21
⎡ KDD ⎢ ⎢
KDC ⎤ ⎧ ⎪ΔD ⎫ ⎪
⎥⎪ ⎥⎨ ⎪ ⎩
1x1
⎧ ⎪=⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
0 ⎫⎪
⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Ejemplo. Ecuación de equilibrio Ensamblando las matrices K de las distintas barras. 6.67
0.
0.
2.678
0.266 ⎢ 0.037 ⎢ ⎢−6.67 0. ⎢ 8⎢ 0.. −0.178 . ⎢ 0. 0.266 ⎢ ⎢ ⎢ 0. 0. ⎢
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎣
0.
0.
0.
−2.5
0.037 −6.67
0.
0.
0.
0.
0.266
0. −0.178
0.266
0.
0.
0.733
0. −0.266
0.266
0.
0.
0. −6.67
0.
0.
13.62
0.769
−0.266 .
0.769 .
−0.133 2.274 . .
0.266
0. −0.133
0. −6.67 0.
0. −0.133
0.
6.67
0.
0. −0.044 −0.133
0.
2.544
0.
0.
0. −0.77
0.
0.933
0.. −0 ..044
−2.05
0.
-2 cm
22
0.⎤ ⎪⎧⎪Δ1x ⎪⎫⎪
⎥⎪ ⎪ ⎪ Δ −2.5⎥ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ 1y ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪ θ1 ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −0.77 ⎥ ⎪Δ2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ −2.0 . 5⎥ ⎪Δ ⎪ y
⎪ ⎥⎪ 0.⎥ ⎪⎪ θ2 ⎪⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪⎪Δ3x ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪⎪Δ3y ⎪⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 4.5 5⎥ ⎪⎪Δ4y ⎪⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪R4y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Ejemplo. Fuerzas equivalentes a la deformación ⎡ ⎢ ⎢ ⎢
6.67
0.
0.
2.678
0.037 −6.67 0.266
0.
0.
0.
0. −0.178
0.266
0.
0.266 0.733 0. −0.266 0.266 0. ⎢ 0.037 ⎢ ⎢−6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. − 6.67 108 ⎢⎢ 0. −0.178 −0.266 0.769 2.274 −0.133 0. ⎢ ⎢ 0. 0.266 0.266 0. −0.133 0.933 0. ⎢ ⎢ ⎢ 0. 0. 0. −6.67 0. 0. 6.67 ⎢ ⎢ 0. 0. 0. 0. −0.044 −0.133 0.
−K
23
⎧F 1x ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = −108 Δ =⎨ ⎬ ⎪ 2y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪M ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ ⎪ 3x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 3y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
0.⎤ 0.⎫⎪ ⎡ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ − . ⎥ ⎪ − . ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 0. 0. ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪−1.54⎪ ⎢−0.766⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 6 ⎢ ⎥ −0.02 = ⎪ ⎬ 10 ⎨ − . − . ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 0. 0.⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 0. 0.⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ 0. 0. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎩ ⎭
0.⎤ ⎪⎧⎪Δ1x ⎪⎫⎪
⎧ ⎪0⎫ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥⎥ ⎪⎪Δ1y ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪⎪ θ1 ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪Δ2x ⎪⎪ ⎪⎪⎪0⎪⎪⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ − 10 −0.044⎥⎥ ⎪Δ2y ⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ −0.133⎥ ⎪ ⎪ θ2 ⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0. ⎪Δ3x ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ 2.544 ⎪ y ⎪⎪ ⎪⎪0⎪⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎡ 0. ⎢ ⎢ −2.5 ⎢
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ 0. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−0.77⎥ ⎢ ⎥ ⎢−2.05⎥ Δ4y = −0.02 ⎢ ⎥ ⎢ 0. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0. ⎥
{
}
Ejemplo. Deformaciones ⎡ ⎢ ⎢ ⎢
6.67
0.
0.
2.678
0.037 −6.67 0.266
0.
0.
0.
0. −0.178
0.266
0.
0.266 0.733 0. −0.266 0.266 0. ⎢ 0.037 ⎢ ⎢−6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. −6.67 108 ⎢⎢ 0. −0.178 −0.266 0.769 2.274 −0.133 0. ⎢ ⎢ 0. 0.266 0.266 0. −0.133 0.933 0. ⎢ ⎢ ⎢ 0. 0. 0. −6.67 0. 0. 6.67 ⎢ ⎢ 0. 0. 0. 0. − 0.044 −0.133 0.
D
24
⎧Δ1x ⎪ ⎫ ⎧− ⎪ ⎪ 1.892⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . − 1y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ θ ⎪ ⎪ ⎪ 0.247 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ ⎪ ⎪ ⎪ − 1.894 ⎪ 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = = ⎪Δ2y ⎪ ⎪−1.273⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.320⎪ ⎪ θ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− . ⎪ ⎪ 3x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ ⎪ ⎪−0.005⎪ ⎪ 3y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
−2
0.⎤ ⎪⎧⎪Δ1x ⎪⎫⎪
⎥⎪ ⎪ 0.⎥⎥ ⎪⎪⎪Δ1y ⎪⎪⎪ 0.⎥ ⎪⎪ θ1 ⎪⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪Δ2x ⎪⎪ 8 ⎪ ⎥⎪ ⎨ ⎬ = 10 − 0.044⎥⎥ ⎪Δ2y ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ −0.133⎥ ⎪ ⎪ θ2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0. ⎪Δ3x ⎪⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ 2.544 ⎪ y ⎪⎪ ⎩ ⎭
⎡ 0. ⎢ ⎢ −5 ⎢
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ 0. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−1.54⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4.1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
0. ⎥⎥ ⎥
0. ⎥ ⎥
0. ⎥
Ejemplo. Reacción en el apoyo que se mueve ⎡ ⎢ ⎢
6.67
0.
0.037 −6.67
0.
0.
0.
0.
0. 2.678 0.266 0. −0.178 0.266 0. 0. ⎢ 0.266 0.733 0. −0.266 0.266 0. 0. ⎢ 0.037 ⎢ ⎢−6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. −6.67 0. ⎢ 8⎢ . − . . . . − . − . − . ⎢ 0. 0.266 0.266 0. −0.133 0.933 0. −0.133 ⎢ ⎢ ⎢ 0. 0. 0. −6.67 0. 0. 6.67 0. ⎢ ⎢ . . . . − . . . − . ⎢ 0. 0. −0.77 −2.05 0. 0. 0. −2.5 ⎢ ⎣⎢
De la última ecuación
{R4 } = 108 ⎡⎣⎢0. y
25
−2.5
0. −0.77 −2.05 0. 0. 0.
0.⎤ ⎧⎪⎪Δ1x ⎫⎪⎪
⎧ 0 ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2.5⎥ ⎪ 0 ⎪Δ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪ θ1 ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ Δ −0.77⎥ ⎪ ⎪ 2x ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2y ⎪ ⎪=⎪ ⎪ − . ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ 0.⎥ ⎪⎪ θ2 ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.⎥ ⎪⎪Δ3x ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .⎥ ⎪⎪ 3y ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R 4.55⎥ ⎪Δ4y ⎪ ⎪ 4y ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩
⎪− . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−2.008⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0.247⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−1.894⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−1.273⎪ −2 ⎤ 4.55⎥ ⎨ ⎬ 10 = − 13617(N ) ⎦⎪ ⎪ ⎪ 0.320⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−1.893⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−0.005⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −0.02⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Conocido
Ejemplo. Esfuerzos finales
26
