Metode Integrasi ROMBERG

METODE INTEGRASI ROMBERG

Integrasi Romberg merupakan teknik yang digunakan dalam integrasi numerik untuk  menganalisis kasus dimana fungsi yang akan diintegrasikan tersedia. Teknik ini memiliki keunggulan untuk menghasilkan nilai-nilai dari fungsi yang digunakan untuk mengembangkan skema yang efisien bagi pengintegrasian secara numerik. Integrasi Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson ( Richardson’s  Richardson’s extrapolation extrapolation), ), yaitu metode untuk mengkombinasikan dua perkiraan integral secara numerik untuk memperoleh nilai ketiga, yang lebih akurat. Teknik ini bersifat rekursif dan dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah perkiraan integral dalam batas toleransi kesalahan (error (error tolerance) tolerance) yang sudah ditentukan terlebih dahulu. Metode ini digunakan untuk memperbaiki hasil pendekatan integrasi metode trapesium, karena kesalahan metode trapesium trapesium “cukup” besar untuk polinom pangkat tinggidan tinggi dan fungsi transeden. Pada proses integrasi Romberg, mula-mula kita hitung kuadratur dengan lebar langkah h dan 2h. Defisini kuadratur adalah

2

2n + 2

Untuk menurunkan galat hampiran integral dari O(h ) menjadi O(h

) dapat digunakan

ekstrapolasi Richardson seperti dinyatakan dalam teorema :

Jik didefinisikan barisan kuadratur {I(i, j) : i ≥ j dimana j = 1, 2, 3, …} untuk  hampiran integral f (x) pada [a, b] sebagai : I (i, 1) = Ti – 1.

i ≥ 1 ( barisan aturan trapezium majemuk)

I (i, 2) = Si – 1.

i ≥ 2 (barisan aturan Simpson majemuk)

I (i, 3) = Bi – 1.

i ≥ 3 (barisan aturan Boole majemuk)

Maka integrasi Romberg untuk meningkatkan keakuratan hampiran integral dapat di tulis sebagai

4 k  1 I j 

I j ,k 



1,k 1   I  j ,k 1



4 k  1  1 

Dengan: k (> 1) adalah level integrasi (k = 1 berhubungan dengan aturan trapezoidal yang asli).  j (≥ 1) membedakan antara perkiraan yang lebih ( j+1) dan kurang ( j) akurat.

Contoh soal :    dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka di belakang 

1. Hitung integral ∫ koma. Jawab :

Jarak antar titik : h = (1-0)/ 8 = 0,125

Table titik  – titik didalam selang [ 0,1 ] dengan h = 0,125: