Metode Romberg Metode integral Romberg didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilai integral yang semakin baik. Perlu diketahu bahwa setiap penerapan ekstrapolasi Richardson akan menaikkan order galat pada hasil solusi sebesar dua:
2
misalnya, bila I(h) dan I(2h) dihitung dengan kaidah trapesium yang berorde galat O(h ), maka ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah Simpson dan I(2h) dihitung dengan kaidah Simpson
4 yang berorde O(h ), selanjutnya I(h)
, ekstrapolasi Richardson menghasilkan kaidah
6
Boole, yang berorde alat O(h ). Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson :
Misalkan I adalah nilai integral sejati yang dinyatakan sebagai :
Yang dalam hal ini,
k
Ak = perkiraan nilai integral dengan kaidah trapesium dan jumlah segmen n= 2 . Orde galat A k 2
adalah O(h ). Sebagai contoh, selang [a, b] dibagi menjadi 64 segmen :
Arti dari setiap A k adalah sebagai berikut :
A0 = taksiran nilai integral
∫ dengan menggunakan kaidah trapesium dan 0
pembagian daerah integrasi menjadi n = 2 = 1 buah segmen
A1 = taksiran nilai integral
∫ dengan menggunakan kaidah trapesium dan 1
pembagian daerah integrasi menjadi n = 2 = 2 buah segmen
A2 = taksiran nilai integral
∫ dengan menggunakan kaidah trapesium dan 2
pembagian daerah integrasi menjadi n = 2 = 4 buah segmen
A
6
= taksiran nilai integral
∫ dengan menggunakan kaidah trapesium dan 6
pembagian daerah integrasi menjadi n = 2 = 64 buah segmen Tiga Ak pertama dilukiskan oleh gambar seperti di bawah ini
A0
A1
A2
Gunakan A0, A 1, A 2, …., Ak pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan B 1, B 2, …., Bk yaitu :
4
6
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = B k + D’h + E”h + . . . dengan orde galat 4
Bk adalah O(h ).
Selanjutnya gunakan B 1, B2,
.
…,
Bk pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk
mendapatkan runtunan C 1, C2, …. , Ck , yaitu :
6
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = C k + E”h + . . . dengan orde galat C k 6
adalah O(h )
Selanjutnya gunakan C 2, C3,
.
…,
Ck pada persamaan ekstrapolasi Richardson untuk
mendapatkan runtunan D 3, D4, …. , Dk , yaitu :
8
Jadi nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = D k + E”’h + . . . dengan orde galat Dk 8
adalah O(h ). Demikian seterusnya. Dari runtunan tersebut diperoleh table disebut table Romberg, sebagai berikut :
Contoh soal :
1. Hitung integral ∫ dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka di belakang koma. Jawab : Jarak antar titik : h = (1-0)/ 8 = 0,125 Table titik – titik didalam selang [ 0,1 ] dengan h = 0,125:
