INTEGRACIÓN NUMÉRICA Método de Romberg. Ing Yamil Armando Cerquera Rojas –
[email protected] Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombian Surcolombianaa Neiva – Huila
CONTENIDO DEFINICIÒN......................................................................................................................................2 INTRODUCCIÒN...............................................................................................................................2 OBJETIVOS ......................................................................................................................................3 GENERAL......................................................................................................................................3 ESPECÍFICOS................................................................................................................................3 OBSERVACIONES PRELIMINARES ...................................................................................................3 CÁLCULO DE ÁREAS .......................................................................................................................4 El Metodo de Romberg .................................................................................................................5 2
∫
Ejemplo 1: integral de
f ( x) =
1
dx ...................................................................................13 x 1 Solución .............................................................................................................................13 1
Ejemplo 2: Integral
∫
2
e x dx ....................................................................................................14
0 1
Ejemplo 3: Integral
∫
2
e x dx ....................................................................................................16
0 2
Ejemplo 4: Integral
∫ e
x
1
ln( x)dx .............................................................................................17
Ejemplo 5: Integral .................................................................................................................18 ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG ..................................................................19 Programa en Matlab: Función Romberg: .............................................................................20 RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS ...................................................................................................21 Bibliografía OnLine: ................................................................................................................22
DEFINICIÒN De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa “unir todas las partes en un todo; unificar, indicar la cantidad total,…”. 1 . Matemáticamente, la integración se b
representa por
∫ f ( x)dx . En los primeros años de ingeniería, se ven apartes de cálculo a
integral. Se aprenden técnicas que obtienen soluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e indefinidas. En esta parte se trata de solucionar integrales definidas, o sea integrar una función entre un par de límites dados [a, b] . Integral en la cual el intervalo de integración [a, b] , es finito, y f es una función de una variable real y valor real continua en [a, b] . Una integral definida se define geométricamente como el área bajo la curva f ( x) en el intervalo [a, b] . De acuerdo al teorema fundamental fundamental del calculo integral la ecuación b
se evalúa como
∫ f ( x)dx = F ( x) a . b
En donde F(x) es la integral de f ( x) , esto es,
a
cualquier función tal que
dF ( x)
f ( x) . La
F ( x)
nomenclatura nomenclatura de
dx b a
= F ' ( x) = f ( x) . Es decir F(x) es una antiderivada de
es F (b) − F (a) .
INTRODUCCIÒN Desafortunadamente en la mayoría de los casos prácticos es muy difícil o aun imposible hallar una antiderivada de f(x). En estos casos el valor de la integral debe de aproximarse. Esto puede lograrse de las siguientes maneras: Serie de potencias. Método gráfico. Métodos numéricos. Para realizar el cálculo de una integral definida por modelos ó métodos numéricos, además de aplicar la regla Trapezoidal o Rectangular con segmentos cada vez más pequeños, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b) , entonces se puede conectar los tres puntos con una parábola. A las formulas resultantes para calcular la integral bajo estos polinomios se llama Reglas de SIMPSON. Dicho de otra manera se dice que para cada aplicación de la regla de SIMPSON se 1
CHAPRA Steven. Canale Raymond. Raymond. Metodos numericos para ingenieros. Pag Pag 415.McGraw - Hill
requieren dos subintervalos, a fin de aplicarla n número de veces, deberá dividirse el intervalo (a,b) en un número de subintervalos o segmentos. Cada subintervalo sucesivo se aproxima por un polinomio de segundo grado (parábola) y se integra de tal manera que la suma de las áreas de cada segmento de la parábola sea la aproximación a la integración deseada.
OBJETIVOS GENERAL Resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor, asumiendo cada sub área como un pequeño arco de parábola. 1. Comprender Comprender las bases conceptuales de la integración aproximada. 2. Comprender los rasgos generales de la integración aproximada utilizando el método de Romberg. 3. Comprender la aproximación del error por truncamiento de la integración aproximada utilizando el método de Romberg, frente al valor exacto. 4. Resolver problemas de integración numérica y apreciar su aplicación en la solución de problemas problemas de ingeniería, ingeniería, utilizando el método de de Romberg.
ESPECÍFICOS 1. Conocer la interpretación geométrica de la integral definida. 2. Reconocer que el método de Romberg representa, geométricamente, el área bajo una función polinomial de segundo orden (Cuadrática o Parabólica). 3. Deducir la fórmula de Romberg a partir de la interpretación geométrica de la integral definida. 4. Acotar el error cometido en la integración numérica por el método de Romberg. 5. Explicar la obtención de fórmulas más precisas para calcular, numéricamente, integrales definidas. 6. Aplicar el método de Romberg, para calcular numéricamente, las aproximaciones de algunas integrales definidas.
OBSERVACIONES OBSERV ACIONES PRELIMINARE PRELIMINARESS Cuando se realiza un experimento, generalmente, se obtiene una tabla de valores que se espera, tengan un comportamiento funcional. Sin embargo, no se obtiene la representación explícita de la función que representa la regla de correspondencia entre las variables involucradas. En estos casos, la realización de cualquier operación matemática sobre la nube de puntos que pretenda tratarla como una relación funcional, tropezará con dificultades
considerables al no conocerse la expresión explícita de dicha relación. Entre estas operaciones se encuentra la integración de funciones. Además, es conocido que existen relativamente pocas fórmulas y técnicas de integración, frente a la cantidad existente de funciones que se pueden integrar. Es decir, un gran número de integrales de funciones elementales no puede ser expresada en términos de ellas. Entre estos casos singulares se tienen, a manera de ejemplo: x 2
∫ e
2
dx,
e x
dx
∫ ln( x) , ∫ 2
ln( x)
1 + x 3 dx, π / 4
∫ sin( x
2
)dx,
1
0
1 + x 4 dx,
π / 2
∫ x dx, ∫ x + 1 dx, ∫ x tan( x)dx, ∫ 1
∫
0
1
1
∫ 0 1 + x 5 .dx 1/ 3
1
sin( x)dx,
∫ (9 − x
2
)
dx
0
Lo anterior motiva el uso de los métodos de integración numérica que se estudian en lo que sigue; lo primero en considerar se basa en la aproximación de la función f mediante polinomios interpolantes. Para aclarar la contradicción contradicción antes señalada, señalada, se debe recordar recordar la condición necesaria necesaria para que una función sea integrable. Dicha condición se menciona de inmediato, sin demostración:
Proposición 1 (Condición necesaria de Integrabilidad). Si una función f es continua en el intervalo [a, b] , entonces la función f es integrable en el intervalo [a, b] . No obstante que las condiciones de la proposición 1 son sumamente generales, no se tiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolver integrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x) cualquiera necesaria para obtener la integral definida. Estos apuntes pretenden pretenden ilustrar al lector de forma detallada y lo mas sencillo posible, una de las técnicas básicas que permiten resolver dicha situación, haciendo uso de los métodos o modelos numéricos, a través de la denominada “INTEGRACIÓN APROXIMADA, POR EL MÉTODO DE Romberg”.
CÁLCULO DE ÁREAS Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma entre una función f(x), el eje x y los límites a y b. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la Fig. 1, reiterando que dicha área esta por debajo de la función f(x) entre los límites a y b:
Fig. 1
Partiendo del hecho que la función f ( ) y los valores a y b son conocidos. a se considera como el limite inferior y b se considera como límite superior. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:
Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada. Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.
Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.
El Método de Romberg b
Sea I (h) el valor de la integral que aproxima a
∫
I = f ( x )dx
, mediante una partición
a
de subintervalos de longitud
h=
b−a n
y usando la regla del trapecio.
Entonces, I = I (h) + E (h) , donde E (h) es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto. El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva. Suponga que se tiene dos aproximaciones: aproximaciones: I = I (h1 ) + E (h1 )
I (h1 )
e I (h2 )
⇒ I (h1 ) + E (h1 ) = I (h2 ) + E (h2 )
I = I (h2 ) + E (h2 )
Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas: E (h1 ) ≈ −
(b − a ) 12
y
h12 f ' '
E (h2 ) ≈ −
(b − a ) 12
h22 f ' '
Donde f ' ' es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los subintervalos. Ahora bien, si se supone que el valor de f ' ' es constante, entonces: −
(b − a)
h12 f ' '
h 12 ≈ ≈ 2 , donde E (h1 ) ≈ E (h2 ) 1 (b − a) 2 E (h2 ) h2 h2 − h2 f ' ' E (h1 )
h12
2
12
Sustituyendo esto último en la primera igualdad, se tiene que: 2
h I (h1 ) + E (h2 ) 1 ≈ I (h2 ) + E (h2 ) h2 2 h 2 h1 I (h1 ) − I (h2 ) ≈ E (h2 ) − E (h2 ) = E (h2 )1 − 1 h h2 2
De aquí se puede despejar
E (h2 ) : E (h2 ) ≈
I (h1 ) − I (h2 )
h 1 − 1 h2
I = I (h2 ) +
En el caso especial cuando
h2 =
I ≈ I (h2 ) +
h1 2
2
I (h1 ) − I (h2 )
h 1 − 1 h2
2
(que es el el algoritmo de Romberg), Romberg), se tiene:
I (h1 ) − I (h2 ) 1 − 22
, donde
I (h1 ) 4 I ≈ I (h2 ) − 3 3
Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel, es cuando se aplica la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, se debe duplicar cada vez el número de subintervalos: así, se puede comenzar con un subintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc, hasta donde sea necesario. Posteriormente, se pasa al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguas de aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando
h2 =
h1 2
.
Después se pasa al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo se cuenta con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En general, si en el primer nivel, se inicia con n aproximaciones, entonces se alcanzará a llegar hasta el nivel de aproximación n. Este diagrama explica un poco más lo anterior. NIVEL 1
NIVEL 2
NIVEL 3
4
1 I (h2 ) − I (h1 ) 3 3
Regla del Trapecio h1 = b − a b−a h2 = 2 b−a h3 = 4 b−a h4 = 8
Una estrategia fructífera para acelerar la convergencia consiste en combinar aproximaciones aproximaciones obtenidas con un mismo método numérico pero con mallas refinadas a la mitad del paso anterior. Ese procedimiento se conoce con el nombre de b
extrapolación. Sea
I io (
f )
la fórmula del Trapecio que aproxima
∫
I ( f ) = f ( x)dx
con
a
paso h = b-a 2
i
, es decir, que utiliza
(2
i
+ 1) nodos equiespaciados: x j = a + jh ,
∀ j = 0,1,...1,2 i . Considere una lista de estos valores para i = 0,1,...,K y a partir de ella
se construye una segunda lista definida por I i1(f) = 4I i+10-I i0(f) 3 para i = 0,1,...,K-1. Se comprueba fácilmente que la fórmula I i1(f) corresponde al método de Simpson con paso h = b-a 2 i+1 . En efecto, para este h las fórmulas del Trapecio I i0(f),Ii+10(f) con pasos 2h = b-a 2 i y h, respectivamente, respectivamente, serán
I i0 ( f ) = h{ f (a) + 2 f (a + 2h) + 2 f (a + 4h) + ... + 2 f (a + 2 i h) + f (b)} I i0+1 ( f ) = h{ f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + ... + 2 f (a + (2 i +1 − 1)h) + f (b)}
Y por lo tanto I i0 ( f ) = h{ f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + ... + 4 f (a + (2 i +1 − 1)h) + f (b)}
Se tiene así que la combinación propuesta de 2 fórmulas de Trapecio, que cometen errores que dependen de (2h)2 y h2 respectivamente, produce una fórmula de Simpson cuyo error depende de h 4, si f ∈ C [a ,b ]4 y por lo tanto convergerá más rápido si h decrece. La pregunta que surge de inmediato es acerca de la posibilidad de combinar apropiadamente 2 fórmulas de Simpson (de la lista I i1(f)) de modo de aumentar aún más la velocidad de convergencia. Esto es efectivamente posible si f tiene la regularidad suficiente. En general se puede definir el procedimiento procedimiento recursivo Para 1 ≤ k ≤ K ,
0 ≤ i ≤ K − k
I ( f ) = k i
4 k I ik +−11 − I ik −1 ( f ) 4 k − 1
1
Tabla 1 Tabla de Romberg I 00 I 01
I 10
I 02
I 11 I 20
I 03
I 21
I 13 I 22
I 30
…
I k 0−1
… …
…
I 31
….
…
I 12
…
I 0k
… …
I k 3−3 I k 2− 2
I k 1−1 I k 0
Y confeccionar una tabla triangular de aproximaciones aproximaciones de I ( f ) según el esquema de la Tabla 1 Tabla de Romberg.
En cada columna k se tiene un método que converge con h 2( k +1) si f ∈ C [a,b ]2( k +1) . La aproximación de Romberg de I ( f ) , es I 0K y comete un error que depende de h 2 K + 2 con h = (b − a) / 2 K . Sin llegar a constituir una demostración, el desarrollo que sigue ilustra este comportamiento de ganar 2 órdenes de convergencia por cada columna que se agrega. Toda la construcción se hace a partir de la fórmula del Trapecio, cuyo error hemos expresado antes. Cuando se analizó el comportamiento asintótico de éste (para n+1 nodos), se observa la presencia de una suma de Riemann: E n ( f ) =
− h2 12
n −1
∑ hf ' ' (η ) j
j =0
Que puede ser aproximada por la expresión asintótica del error −1 2 ~ E n ( f ) = h ( f ' (b) − f ' (a)) 12 ~
Para comparar E n ( f ) con E n ( f ) se nota que integrando 2 veces por partes se tiene: 1
x j +1
2
1
x j +1
∫ ( x − x )( x − x ) f ' ' ( x)dx = − 2 ∫ ( x − x j +1
j
x j +1
∫
+ x − x j +1 ) f ' ( x)dx
x j
x j
=
j
f ( x)dx −
x j
1 2
h( f ( x j ) + f (x j +1 ))
Y por lo tanto, el error de Trapecio con (n + 1) nodos se puede expresar como E n ( f ) =
n −1
1
x j +1
∑ 2 ∫ ( x − x j = 0
j
)( x − x j +1 ) f ' ' ( x) dx
x j
Como ~ E n ( f ) =
n −1
1
x j +1
∑ − 12 h ∫ f ' ' ( x)dx j = 0
2
x j
Conviene realizar la comparación para cada sumando. x j +1
( x − x j )( x − x j +1 ) h 2 h 2 + − dx = f ' ' ( x ) ∫ 2 12 12 x j
u (u − h ) h 2 = − ( f ' ( x j +1 ) − f ' ( x j )) + ∫ f ' ' (u + x j ) + du 12 2 12 0 h
h2
Si la regularidad de f lo permite, integrando integrando por partes esta última integral se tendrá, h
h u 3 u 3 u2 u2 2 u ( 3) 2 u = − ( f ' ( x j +1 ) − f ' ( x j )) + f ' ' (u + x j ) − h + h − + − + ( ) f u x h h j du ∫ 12 6 4 12 6 4 12 u =0 0
h2
Eliminando el segundo sumando, que se anula tanto en 0 como en h, e integrando nuevamente por partes se obtiene h
h 2 2 u 4 u 4 u3 u3 ( 3) 2 u ( 4) 2 u f ( u x ) h h = − ( f ' ( x j +1 ) − f ' ( x j ) ) + f (u + x j ) − h + h + + − + j du ∫ 12 24 12 24 24 12 24 u =0 0
h2
Nuevamente se anula el segundo sumando y debe ser eliminado. Para obtener una vez más un término que se anule en la integración por partes, se suma y se resta la cantidad h4
h
f 720 ∫
(4)
0
(u + x j )du =
h4
( f
( 3)
720
( 3) ( x j +1 ) − f ( x j ) )
Con lo cual se tiene 2 u 4 u3 1 2 u + ∫ f (u + x j ) − h + h − h4 du 24 12 24 720 0
h
( 4)
Integrando nuevamente por partes (si la regularidad de f lo permite), se cancelará un término y se tendrá que la última integral es igual a 3 u5 u4 u 2 u − ∫ f (u + x j ) −h +h − h4 du 120 48 72 720 0
h
(5)
Lo que corresponde a un término en f (5) y h 6 que se denota por − h 6 C n j Sumando esta expresión se obtiene finalmente que si f ∈ C [a , b ]5 el error del Trapecio se puede escribir como E n ( f ) = −
h2 12
( f ' (b) − f ' (a) ) +
h4 720
( f
( 3)
(b) − f ( 3) (a ) ) − h 6 C n
El procedimiento mediante el cual se llegó a esta expresión del error del método del Trapecio se puede continuar hasta donde la regularidad de f lo permita. En el teorema que sigue se explicitan las fórmulas del error así obtenidas. Teorema. Sean f ∈ C [a ,b ]
m≥0
y n ≥ 1,
h = (b − a) / n, x j = a + jh
, para j = 0,1,...,n. Si
2 m+ 2
, entonces, el error de la fórmula del trapecio asociada a esta malla se puede expresar como E n ( f ) = −
m
B2i
∑ (2i)! h
2i
2 i −1
( f
2 i −1
(b) − f
(a )) +
i =1
h 2 m+ 2
x − a 2 m+ 2 B 2 m + 2 ( ) f ( x)dx h (2m + 2)! a b
∫
2
Donde: B j ( x) si 0 ≤ x > 1 B j ( x ) = B j ( x − 1) si x ≥ 1
Es la extensión periódica del polinomio de Bernoulli de grado j definido implícitamente por ∞
t j
∑ j! B ( x) =
t (e xt − 1)
j
j =1
e t − 1
1
Y B j = − ∫ B j ( x)dx son los números de Bernoulli. 0
Para una demostración formal de este Teorema se necesita usar las propiedades de estos polinomios y números. (Véase por ejemplo Ralston (1)). En cambio podemos utilizar la expresión (3.13 ( 3.13)) para analizar el error de las fórmulas que aparecen en la tabla de Romberg. Sea E jk ( f ) = I ( f ) − I ik ( f )
El error de la fórmula de integración I ik(f) de la tabla de Romberg. La expresión ( 3.13 3.13)) 0 i con n = 2 corresponde así a E i ( f ) y por lo tanto E ( f ) = 1 i
4 E i0+1 − E i0 3
Como B4 =
−1 30
, el término para j=2 en la sumatoria resulta ser
Que corresponde al error asintótico de Simpson con paso
(b − a )
2 i +1
como se esperaba. Del
mismo modo se observa que la expresión del error de la fórmula
Comienza en j
= 3 con el término
Ya que el término de la sumatoria para j = 2 se cancela. En resumen, si la regularidad de f lo permite, utilizando la expresión del error del método del Trapecio entregada por el teorema anterior, se puede probar que en la columna k-ésima de la tabla de Romberg se tiene una fórmula de integración que converge con h 2k+2. Es decir, mediante el método de Romberg se acelera la convergencia. En las tablas que siguen mostraremos el comportamiento del método de Romberg en dos casos en los cuales la función tiene la regularidad suficiente. El índice i de la primera columna indica, al igual que en las tablas anteriores, que el paso correspondiente, de la fórmula del Trapecio de esa misma línea, es h = (b - a)/2 i. La diagonal superior de la tabla corresponde a las sucesivas aproximaciones de Romberg. El método de Romberg tiene un error O 2 j y es exacto para polinomios de grado 2 j − 1 .
2
Ejemplo 1: integral de ∫ f ( x) = 1 dx x 1
Usa la integración de Romberg para evaluar la integral de f ( x) = 1 / x entre x = 1 y x = 2 . Lleva seis decimales y continúa hasta que no haya cambio en la quinta cifra decimal. Compare con el valor analítico, cuyo valor es ln(2) .
Solución La integración de Romberg se basa en el uso de la regla del trapecio compuesto, el cual se usa para obtener aproximaciones preliminares. Con el proceso de extrapolación de Richardson se mejoran dichas aproximaciones. Si T N ,1 es la b
aproximación calculada de la integral
∫ f ( x)dx por medio de la regla trapezoidal con a
subintervalos, se tiene la siguiente relación de recurrencia que permite calcular dicha aproximación: aproximación: n=2
N
1
Los restantes términos de las distintas sucesiones se calculan mediante la fórmula general de extrapolación de Romberg: T N , j =
4 j −1 T N +1, j −1 − T N , j −1 4
j −1
2
−1
A continuación se presenta la tabla con los valores calculados para los T N , j mediante (1) y (2): N
J=1
2
3
4
0 0.750000 0.694445 0.693175 0.693148 1 0.708334 0.693254 0.693148 2 0.697024 0.693155 0.693146 3 0.694122 0.693147 4 0.693391
Teniendo en cuenta que el valor exacto de la integral es Ln(2)=0.693147, las aproximaciones conseguidas se pueden considerar como buenas. Las pequeñas diferencias entres sucesiones son debidas al error de redondeo. Ejemplo. 4
1
∫ 1 + x
2
dx = 2.6516353
−4
1
Ejemplo 2: Integral ∫ e
x 2
dx
0 1
Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral
∫
2
e x dx
0
Usando segmentos de longitud
1,
1 1 , 2 4
Solución. Primero se calculan calculan las integrales del del nivel 1, usando la regla regla del trapecio para para las longitudes de segmentos indicadas:
(h1 = 1) un segmento 1 h2 = dos segmentos 2 1 h3 = cuatro segmentos 4
Con estos datos, se tiene: I (h1 ) =
1− 0 2
[e
0
2
2
]
+ e1 = 1.859140914
2 1 2 1− 0 0 12 2 + e = 1.571583165 I (h2 ) = e + 2e 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1− 0 0 1 4 4 4 I (h3 ) = e + 2 e + e + e + e = 1.490678862 8
Ahora se pasa al segundo nivel de aproximación donde se usa la fórmula que se dedujo anteriormente: 4
1 I (h2 ) − I (h1 ) 3 3
Donde I (h1 ) es la integral menos exacta (la que usa menos subintervalos) e la más exacta (la que usa el doble de subintervalos).
I (h2 )
es
En un diagrama se observa lo siguiente:
Para avanzar al siguiente nivel, se debe conocer la fórmula correspondiente. De forma similar a la deducción de la fórmula, 4
1 I (h2 ) − I (h1 ) 3 3
Se puede ver que la fórmula para el siguiente nivel de aproximación (nivel 3) queda como sigue: 16 15
I m −
1 15
I l
Donde: Es la integral más exacta I l Es la integral menos exacta I m
En el siguiente nivel (nivel 4) se tiene ti ene la fórmula 64 63
I m −
1 63
I l
En el ejemplo anterior, se obtiene la aproximación en el nivel 3 como sigue: 16 15
(1.463710761) −
1 15
(1.475730582) = 1.46290944
Así, se puede concluir que el valor de la aproximación, obtenido con el método de Romberg en el ejemplo 1, es: 1
∫
2
e x dx ≈ 1.46290944
0
1
Ejemplo 3: Integral ∫ e
x 2
dx
0 1
Usar el algoritmo de Romberg para aproximar la integral:
∫
2
e x dx
0
Del ejerció anterior anterior se tiene calculada la tabla para para los tres segmentos asi: I (h1 ) =
1− 0 2
[e
02
2
]
+ e1 = 1.859140914
1 1− 0 0 1 2 e + 2e + e = 1.571583165 I (h2 ) = 4 2 2 2 1 2 3 2 1− 0 0 12 4 4 4 I (h3 ) = e +2 e +e +e + e = 1.490678862 8 2
2
2
Agregando a la tabla anterior
I (h4 )
1
donde h4 = . 8
Solución. Se calcula I (h4 ) con la regla del trapecio:
2 3 4 5 6 7 1 0 8 8 8 8 8 8 I (h4 ) = e + 2 e +e +e +e +e +e + e 8 16 I (h4 ) = 1.469712276
1− 0
2
2
Se tiene entonces la siguiente tabla:
2
2
2
2
2
2
+ e1
2
1
De donde se concluye que la aproximación buscada es:
∫
2
e x dx ≈ 1.462653593
0
2
Ejemplo 4: Integral ∫ e
x
ln( x)dx
1 2
Aproximar la siguiente integral:
∫ e
x
ln( x)dx
1
Usando el método de Romberg con segmentos de longitud h1 = 1, h2 =
1 2
, h3 =
1 4
, h4 =
1 8
Solución. Igual que arriba, primero se usa la regla del trapecio (con los valores de h indicados) para llenar el nivel 1. Se tiene entonces que:
A continuación, usamos las fórmulas de Romberg para cada nivel y se obtiene la siguiente tabla:
2
De donde se concluye que la aproximación buscada es:
∫ e
x
1
ln( x)dx ≈ 2.062586821
3
x
Ejemplo 5: Integral ∫ e dx x 1
3
Se calculará
e x
∫ x dx
utilizando el algoritmo de Romberg con
ε s
= 0.01% .
1
En este caso no se sabe la cantidad de iteraciones que se deben deben hacer con la regla del trapecio. Se comenzará con 1, 2,4 y 8 subintervalos: I (h1 ) =
3 − 1 e1
2 1
+
e3
= 9.413460803
3
3 − 1 e1
e 2 e 3 I (h2 ) = + 2 + = 8.401258451 4 1 2 3 3 − 1 e1
e1.5 e 2 e 2.5 e 3 + = 8.131024374 + + I (h3 ) = + 2 8 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 − 1 e1
e1.25 e1.5 e1.75 e 2 e 2.25 e 2.5 e 2.75 e 3 + = 8.06191719 + + + + + + I (h4 ) = + 2 16 1 1 . 25 1 . 5 1 . 75 2 2 . 25 2 . 5 2 . 75 3
Con estos datos se pueden hacer los cálculos hasta el nivel 4. Se tiene entonces:
Haciendo los cálculos de los errores se tiene una buena aproximación aproximaci ón y se puede decir que: 3
ε a
= 0.008% < 0.01%, es decir se tiene
e x
∫ x dx ≈ 8.038733067 1
1
n=8
1
∫
−x2
e dx
0
Error absoluto
x
∫ x 0
2+1
dx
Error absoluto
Valor exacto Trapecio Compuesto Simpson Compuesto
0.74682413 0.74586561 0.0095852 0.74682612 0.00000199
Integración de Romberg 0.74682401 0.000000115
0.34657359 0.34264290 0.34658409
0.00399063 0.0000105
0.346572411 0.000001179
ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG Los coeficientes en cada una de las fórmulas en el método de Romberg, deben sumar 1. Así se tiene la siguiente fórmula recursiva: recursiva: I j , k ≈
4 k −i I j +1 , k −1 − I j , k −1 4 k −1 − 1
Donde: I j +1,k −1
Es la integral más exacta, I j ,k −1 es la integral menos exacta
Y el índice k indica el nivel de integración o de aproximación. Por ejemplo, si k=2, j=1, entonces se tiene: I 1 , 2 ≈
4 I 2 ,1 − I 1 ,1 3
Que es la fórmula del nivel 2 de aproximación. Como todo proceso iterativo, éste se detiene cuando se obtiene una aproximación suficientemente buena. buena. En este caso se pide que: ∈a =
I j , k − I j , k −1 I j , k
*100% <∈ s
Donde ∈ s es la cota suficiente. *Entrada: extremos a, b; entero n >0 *Salida:
un arreglo R (calcule R por renglones; solo los 2 últimos renglones se guardan en almacenamiento) almacenamiento) -Paso 1: tomar h = (b − a) ;
R1,1 =
h
( f (a) + f (b)) 2 Salida ( R1,1 )
-Paso 2: -Paso 3: Para i = 2,......, n hacer pasos 4-8 -Paso 4: Tomar R2,1
2i −1 = R1,1 + h∑ f (a + (k − 0.5)h) / 2 k =1
(Aproximación por el método del trapecio) -Paso 5: Para j = 2,......, i − R R Tomar R2, j = R2, j −1 + 2, j −1j −1 1, j −1 (Extrapolación)
−1 por j = 1,2,......, i ) 4
-Paso 6: SALIDA ( R2, j
-Paso 7: Tomar h = -Paso 8: Para
h
2 j = 1,2,......, i
tomar R1, j = R2, j
(Actualizar el renglón 1 de R)
-Paso 9: PARAR
Programa en Matlab: Función Romberg: function y = Romberg(f,a,b,n) %n debe ser numero par global x; x=a; s=polyval(f,x); x=b; t=polyval(f,x); %no quiere calcular el valor correcto h=b-a; R=(h/2)*(s+t); suma=0; for i=2:n R=(h/2)*(s+t); c=2^(i-1); for k=1:c suma=suma+polyval(f,((a+k-0.5)*h)); end B=(R+h*suma)/2; for j=2:i R2=B+(B-R)/(4^(j-1)-1); R=R2; end h=h/2; end y=R;
RECURSOS BIBLIOGRAFÍCOS Bibliografía Básica:
MATHEUS. John H. H . Fink Kurtis D. Métodos Numéricos con MATLAB. Editorial Prentice Hall
Bibliografía Complementaria: Complementaria:
ALTZ, Franz L. Electronic. Digital. computers: Their use in science and Engineering. Engineering. 1958 Academic Press inc. New York. BURDEN Richard L., J. Douglas Faires; Análisis numérico. tr. Efrén Alatorre Miguel; Revisión Revisión Técnica. Ildefonso. 1998 (Biblioteca USCO. USCO. Nro Topográfico: Topográfico: 515 / B949a.) B949a .) CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P, Numerical Methods for engineers. McGraw Hill, Inc. 1988. 839p. ISBN 0-07-909944-0. CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P. Métodos numéricos para ingenieros: con aplicaciones en computadoras personales. 1988 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 519.5 / C467m) C467m ) CONDE S. D, Carl de Boor. Análisis numérico elemental: Un enfoque algorítmico. Mc. Graw-Hill 1972, (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.8 / C761 Biblioteca). CORMICK MC., John M. and SALVADOR M.C. Numerical Methods in FORTRAN. 1964. Prentice-Hall Prentice-Hall Inc Inc Englewood Cliffs N:J. CURTIS, F. Gerald, WHEATLEY, O. Patrick. Análisis numérico con aplicaciones. Tr. Hugo Villagomez Vasquez. 6 Ed. Pearson Educación. 2000, 698p. ISBN 968444-393-5 FADDEEVA, V.N. Computacional Computacional methods methods of linear algebra, algebra, Dover Publications. 1969, New York. GASTINEL Noél; Análisis numérico lineal. tr. Javier Ruiz Fernández de Pinedo. 1975. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / G255). G255 ). GREENSPAN, D. Theory and solutions solutions of Ordinary Differencial Differencial Equations. Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York. KINCAID David y Ward Cheney; Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. tr. Rafael. 1994 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / K51a). K51a). LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antonio, SCHUTZ Fernando, Métodos numéricos. 1986 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / L973m). L973m ). McCRACKEN, Daniel D., Métodos numéricos y programación fortran: con aplicaciones en ingeniería y ciencias. 1986. Editorial Limusa. México. (Biblioteca USCO Nro. Topográfico: 001.6424 / M117). M117 ). NAKAMURA Shoichiro; Métodos numéricos aplicados con software. tr. Oscar Alfredo Palmas Velasco. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1995. 570p. (Biblioteca USCO. Nro. Topográfico: 511.8 / N163m) N163m ) ISBN 968-880-263-8
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