UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Unidad Académica de Ingeniería Civil FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL MÉTODOS NUMÉRICOS
Resumen de Clase N°12 DOCENTE: Ing. Civil. Romero Valdiviezo Elsi A. ALUMNA: Figueroa Vite Jennith Ninoska CURSO: 5do “B” FECHA: 12/01/2017 UNIDAD IV: Interpolación, integración, diferenciación numérica. TEMA: Integración de Romberg. OBJETIVO: -
Calcular aproximadamente el valor de una integral definida.
INTRODUCCIÓN: En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente: b
∫ f ( x ) dx a
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado.
En el presente informe se hará un resumen de la clase, con información que encontramos en las diapositivas facilitadas por el docente a cargo de la asignatura Ing. Elsi Romero y también con ayuda de investigación bibliográfica como complemento a la información entregada sobre el tema de “Interpolación de Romberg”.
MARCO CONCEPTUAL: INTEGRACIÓN DE ROMBERG La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente. Se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo. Extrapolación de Richardson Usamos refinamiento iterativo para mejorar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. Hay técnicas de corrección del error para mejorar los resultados de la integración numérica con base en la misma estimación de la integral. Dichos métodos
usan dos estimaciones de una integral para calcular una tercera más exacta y, en general, se les conoce como extrapolación de Richardson.
La estimación y el error correspondiente a la regla del trapecio de aplicación múltiple se representa de manera general como: I =I ( h ) +E (h) Dónde: I = el valor exacto de la integral I (h)
= La aproximación obtenida de una aplicación con n segmentos de la regla del
trapecio, con un tamaño de paso
h=(b−a)/n .
E(h) = el error de truncamiento. Si hacemos, por separado, dos estimaciones usando tamaños de paso h1 y h2 y tenemos valores exactos del error. I ( h 1) + E ( h1 )=I ( h2 ) + E( h2)
…(22.1)
Ahora recuerde que el error de la regla del trapecio de aplicación múltiple puede representarse en forma aproximada mediante la ecuación 22.1 con n=(b−a)/h : E ≡−
Si se supone que
´f ' '
b−a 2 ´ h f '' 12
…(22.2)
es constante para todo tamaño de paso, la ecuación 22.2 se utiliza
para determinar la razón entre los dos errores, que será E (h1 ) h 21 = E (h2 ) h 22
…(22.3)
Este cálculo tiene el importante efecto de eliminar el término
´f ' '
de los cálculos. Al
hacerlo, fue imposible utilizar la información contenida en la ecuación (22.2) sin un conocimiento previo de la segunda derivada de la función. Para lograr esto, se reordena la ecuación (22.3) para dar E(h 1)=E (h2 )
h1 h2
2
( )
Que se puede sustituir en la ecuación (22.1): h1 2 I ( h 1) + E (h2 ) =I ( h2 ) + E( h2) h2
( )
De donde se despeja h 1 /h 2 ¿ ¿ 1−¿ I ( h1 )−I ( h2 ) E ( h2 ) = ¿
Así, hemos desarrollado un estimado de error de truncamiento en términos de las estimaciones de la integral y de sus tamaños de paso. La estimación se sustituye después en I =I ( h 2) + E(h2 ) Para obtener una mejor estimación de la integral: h1 /h2 ¿ ¿ ¿ 2−1 ¿
…(22.4)
1 I ≡ I ( h2 ) + ¿ Se puede demostrar (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta estimación es O(h 4). Así, hemos combinado dos estimaciones con la regla del trapecio de O(h 2) para obtener una nueva estimación de O(h 4). En el caso especial donde el intervalo es dividido a la mitad (h2=h1/2), esta ecuación se convierte en I ≡ I ( h2 ) +
1 [I ( h1 )−I ( h2 ) ] 2 −1 2
O agrupando términos. I≡
4 1 I ( h2 )− I ( h1 ) 3 3
…(22.5)
La ecuación (22.4) proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla del trapecio con un error O(h2), para calcular una tercera estimación con un error O(h 4). Este procedimiento es un subconjunto de un método más general para combinar integrales y obtener mejores estimaciones. Así, en el ejemplo 22.1, calculamos dos integrales mejoradas de O(h4) con base entre estimaciones con la regla del trapecio. Estos dos cálculos mejorados pueden, a su vez, combinarse para generar un valor aún mejor con O(h6). En el caso especial donde las estimaciones originales con la regla del trapecio se basan en la división sucesiva de la mitad del tamaño de paso, la ecuación usada para una exactitud O(h6) es I≡
Donde
Im
16 1 I m− I l 15 15
…(22.6)
e I l son las estimaciones mayor y menor, respectivamente. De manera
similar, dos resultados O(h6) se combinan para calcular una integral que es O(h8) utilizando I≡
64 1 I − I 63 m 63 l
…(22.7)
El algoritmo de integración de Romberg Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [ecuaciones (22.5), (22.6) y (22.7)] suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada para la implementación en computadora: k −1
I jk ≅
Donde
I j+1, k−1−I j ,k−1
4
I j+1, k−1 −I j ,k−1 k−1 4 −1
…(22.8)
las integrales más y menos exactas, respectivamente e
I j ,k
=; la
integral mejorada. El subíndice k significa el nivel de la integración, donde k=1; corresponde a la estimación original con la regla del trapecio, k=2 corresponde a O ( h4 ) , k =3 a O ( h6 ) , y así sucesivamente El subíndice j se usa para distinguir entre la estimaciones más (j+1) y menos (j) exactas. Por ejemplo, con k=2 y j=1, la ecuación 22.8 se convierte en: I 1,2 ≅
4 I 2,1−I 1,1 3
…(22.5)
La forma general representada por la ecuación 22.8 se atribuye a Romberg, y su aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de Romberg. La figura 22.9 es una representación gráfica de la sucesión de estimaciones de la integral generadas usando este procedimiento. Cada matriz corresponde a una sola iteración. La I j ,k primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadas por , donde j=1, indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de paso es b-a), j=2, corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/2], j=3,
corresponde a una aplicación de cuatro segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/4], y asì sucesivamente. Las otras columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación 22.8 para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral.
COMENTARIO: En la clase dada por el docente Ing. Elsi Romero se hizo una buena explicación del tema: “Integración de Romberg”. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado.
CONCLUSIONES: Con la presente investigación bibliográfica se llegó a la conclusión:
-
El Método de Romberg, utiliza la Regla del Trapecio compuesto para obtener aproximaciones preliminares y enseguida aplicar un proceso de extrapolación de Richardson para mejorar la aproximación.
-
Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables.
BIBLIOGRAFÍA: [1]. Diapositivas facilitadas por el docente Ing. Civil. Elsi Romero Valdiviezo. “Integración de Romberg”. [2] Lois Q, PPTx. “Métodos Romberg”. es.slideshare.net, 2016. [Online]. Disponible en: http://es.slideshare.net/guest7e60c1/integracin-romberg. [Acceso: 06 de enero de 2017]. [3]. CHAPRA-RAYMOND P. 2011. Métodos Numéricos para Ingenieros. Mc. Graw Hill Editorial. Sexta Edición. ISBN: 978-607-15-0499-9
