PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan Diferensial Eksak dan Faktor-faktor Integrasi
Disusun Oleh:
elom!ok " "# '# &# # )#
Nini Ninin n Ari Ari$a $a %"& %"&'' ''"( "()" )"** Pina Pina Sari Sari %"&' %"&''" '"() ()+* +* Rodi Rodiat atun un %"&' %"&''" '"(, (,+* +* Sell Sella a .a .ati %"& %"&'' ''"( "(/ /** .ell0 ell0 A!ri A!riani aniss %"&'' %"&''"(1 "(1* *
Dosen Pengam!u Rieno Se!tra Ner02 M#Pd#
PRO3RAM S45DI 4ADRIS MA4EMA4IA MA4EMA4IA FA5L4AS 4AR6I7A8 DAN E35R5AN 5NI9ERSI4AS ISLAM NE3ERI %5IN* RADEN FA4A8 PALEM6AN3 '(")
0
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA EKSAK DAN FAKTOR-FAKTOR AKTOR-FAKTOR INTEGRASI A. Persamaan Persamaan Diferens Diferensial ial Biasa Eksak Eksak Definisi:
ks"resi diferensial P ( x x , y ) dx + Q ( x , y ) dy
&i(
Dinamakan diferensial eksak jika &i( menyatakan diferensial t+tal dari fungsi dua ariabel f ( ( x , y ) yaitu =
∂
=
∂
Langkah-langkah Langkah-langkah menyelesaikan PD eksak adalah sebagai berikut: Langkah 1. Tuliskan PD dalam bentuk diferensial: M ( x , y ) dx + N ( ( x x , y ) dy =0
Langkah 2. Uji ke-eksak-an PD: ∂ M ∂ N = ∂ Y ∂ x
Langkah Langkah 3. Jika eksak eksak integralkan integralkan ! terhada" terhada" x ata atauu N terhad terhada" a" y !isal di"ilih M maka:
∫
Q ( x x , y )= M ( x , y ) dx + g ( y )
Langkah #. Turunan $ terhada" y dan samakan hasilnya dengan %&'y( N ( ( x x , y ) =
∂ ∂y
(∫ M ( ( x , y ) dx ) + g ' ( y )
' Langkah ). *ntegralkan g ( y ) untuk mem"er+leh g ( y )
Langkah ,. Tuliskan "enyelesaian "enyelesaian umum dalam bentuk im"lisit:
1
Q ( x , y )=C
Langkah /. tentukan C jika diberikan k+ndisi a0al tertentu ontoh:
dy − x − 2 y = , y ( 0 )= 3 dx y 2−2 x
elesaikan PD Pen0elesaian:
Langkah 1. entuk diferensial PD adalah : ( x −2 y ) dx + ( y −2 x ) dy = 0 2
Langkah 2. Uji ke-eksak-an PD ini : ∂ M =−2 ; ∂ N =−2 ∂y ∂x
Langkah 3. !isal di"ilih M untuk diintegralkan maka:
∫
Q ( x , y )= M ( x , y ) dx + g ( y )
¿∫ ( x −2 y ) dx + g ( y ) 1
2
¿ x − 2 xy + g ( y ) 2
Langkah #. !enyamakan turunan $&'y( terhada" y dengan %&'y(: ∂ ∂y
(
1 2
)
2
2
x −2 xy + g ( y ) = y − 2 x
Langkah ). *ntegralkan g ( y ) =
1 3
y
'
0 −2 x + g
( y ) = y −2 x 2
g ( y ) = y '
2
g ( y ) di"er+leh: '
3
Langkah ,. Penyelesaian umum dalam bentuk im"lisit $&'y( 4: 1 2
2
x −2 xy +
1 3
3
y =c
Langkah /. Dengan k+ndisi a0al y&5( 3 di"er+leh C 6 sehingga "enyelesaian khususnya adalah: 2
1 2
2
x −2 xy +
1 3
3
y =9
ontoh:
elesaikanlah PD 'y7 8 y 8 # 5. Pen0elesaian:
PD di atas da"at dituliskan dalam bentuk & y 8 #( d' 8 x dy 5. Terlihat bah0a !&'y( y 8 # dan % &'y( '. Di"er+leh ∂ M ∂ y = 1 dan
∂ N ∂ x ; 1
ehingga meru"akan PD eksak. 9kibatnya u&'y(
∫ M ( x , y ) dx + K ( y )
u&'y(
∫ M ( y + 4 ) dx + K ( y )
u&'y( 'y 8 #' 8 &y( ∂u ∂y
' 8 K’ &y( %&'y(
' 8 K’ &y( '. Jadi 7&y( 5 sehingga &y( ;. Penyelesaian PD adalah u&'y( 'y 8 #' 8 ; 5. ontoh:
elesaikalah PD &y3 < '( y7 y. Pen0elesaian:
3
dy dx y
& y – x( 3
& y3 – x( d y y d' y d x < & y3 < x( d y 5
!& x,y( y dan %& x,y( x-y3. ∂ M =1 ∂y ∂ N = 1 ∂x
}
∂ M ∂ y
∂ N ∂x
PD eksak.
Dengan demikian di"er+leh
∫ ( x , y ) dy + c ( x ) 3
u&'y(
−1
u&'y(
4
y
4& x(
8 4&'(
{
−1
∂u ∂ ∂ x x ∂ x ∂ c ( x ) ∂x
4
4
4
y + c ( y )
} !&
x,y(
y
∫ y dx= xy +k
jadi "enyelesaiannya adalah 1
u&'y( xy 8 k -
4
y
4
5
ontoh :
elesaikanlah PD x d x 8 y d y <
y dx − xdy 2
x + y
Pen0elesaian:
PD ini da"at ditulis menjadi
4
2
5.
(
x −
y 2
x + y
2
) (
d x + y +
x 2
x + y
2
) d 5. y
9kibatnya di"er+leh y
!& x,y( x < x + y 2
x
2
dan %& x,y( y 8 x + y 2
2
elanjutnya di"er+leh
( x + y ) − y (2 y ) ( x + y ) 2
∂ M ∂ y ; -
( x + y −2 y ) ( x + y )
2
2
; -
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
− x + y ; ( x + y )
2 2
2
Dan
( x + y ) − x ( 2 x ) ( x + y ) 2
∂ N ∂ x ;
2
2
( x + y −2 x ) ( x + y ) 2
2
;
2
2
2
2
2 2
x + y ; -
2
2 2
( x + y ) 2
elain itu 2
2
2
2
∂ M y − x = ∂ y ( x2 + y 2 )2
− ∂ N = y2 x2 2 ∂ x ( x + y )
}
∂ M ∂ y ;
∂ N ∂x
!aka PD eksak. 9kibatnya di"er+leh y ∂u ∂ x !& x,y( '- x 2 + y 2
u& x,y(
x
(
∫ x− x + y
2
2
y
ar4 tan
2
2
)
dx
x
2
2
-
( ) 8 4& ( x y
y
5
∫ x +y y 2
2
d x 8 4& y(
y ∂u ∂y
()
x + c (¿) y
∂ ∂y
x
2
2
1
x
()
x 1+ y
2
x
y + x 2
8 y
2
x ∂ c ( y ) y 8 x 2 + y 2 ∂y
8
x ∂ c ( y ) y 8 x 2 + y 2 ∂y
8
2
− arc tan ¿ ¿
N (x,y)
Terlihat bah0a ∂ c ( y ) y ∂y
ehingga di"er+leh 1
4& y(
y2 8 k.
2
Jadi "elesaian PD adalah u& x,y(
x
2
2
- ar4 tan
( ) 8 x y
1
y2 8 k 5.
2
B. Faktor-Faktor Interasi De!nisi" Sebuah faktor pengali yang menjadikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak menjadi persamaan diferensial ontoh: x Tunjukkan bah0a x d y 8 &2y - xe ( d x 5 tidak eksak teta"i dengan
mengalikan dengan fakt+r μ= x PD tersebut menjadi eksak. emudian selesaikan= 6
Pen0elesaian :
Uji ke-eksak-an ∂ ( 2 y − xe x )=2 dan ∂ ( x )=1 ∂y ∂x
Jadi PD adalah tidak eksak dengan mengalikan fakt+r integral ' di"er+leh: 2 xy − x
x dy + ( 2 xy − x e ) dx =0 → PD eksak 2
2
x
¿
2
x
e
∂¿ ∂ M =¿ ∂y
Dari langkah-langkah "enyelesaian PD eksak maka: Q ( x , y )= x y − x e + 2 x e −2 e + g ( y ) 2
2
x
x
x
Jika diketahui: ∂ Q ( x , y ) = N ( x , y ) ∂y
!aka 2 2 ' ' x + g ( y )= x → g ( y ) =0 → g ( y )=0
Jadi s+lusi PD adalah: Q ( x , y )=c → x y − x e + 2 x e −2 e = c 2
3
x
x
x
#onto$" Selesaikan persamaan diferensial ( y 2 + y dx – x dy ! 0
(1
Pen%elesaian" Seperti yang kita katakan diatas bah"a persamaan diferensial ini
mempunyai
membuktikannya.
faktor
integrasi
#ersamaan
$
−2
y
diferensial
(diminta yang
untuk
diperoleh
dengan mengalikan persamaan (1 dengan faktor integrasinya adalah
( ) 1+
x
1
y
dx %
y
2
dy ! 0& y ≠ 0 (2
Sekarang kita bisa menyelesaikan persamaan diferensial (2 dengan metode standar. 'ika kita susun lagi persamaan diferensial (2 dengan ara berikut) y dx − x dy
dx +
y
! 0& y
2
≠
0
(3
*aka suku kedua dari persamaan terakhir merupakan bentuk diferensial d( x/y . +arenanya dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh penyelesaian keluarga 1%parameter x +
x y
4 atau
y =
x c − x
y ≠
0 (4
#erlu kita perhatikan dengan teliti bah"a garis y ! 0 juga penyelesaian persamaan diferensial (1 yang tidak dapat diperoleh dari persamaan (4. ,leh karenanya& penyelesaian ini dinamakan penyelesaikan khusus untuk (1. *etode standar untuk menari faktor integrasi yang kita bahas sebelumnya adalah untuk persamaan diferensial tipe% tipe khusus saja. -erikut ini kita akan membahas faktor integrasi untuk berbagai maam tipe persamaan diferensial yang lebih umum. +ita mulai pembahasan dengan meninjau persamaan diferensial berbentuk #( x,y dx /( x,y dy ! 0
(5
yang mana persamaan ini seara umum tidak eksak. +ita asumsikan bah"a faktor integrasi dari persamaan diferensial (5 adalah fungsi dari h( x,y . ujuan dari pembahasan kita kali ini adalah untuk menentukan fungsi dari h sedemikian hingga
persamaan (5 menjadi eksak. -erdasarkan denisi persamaan diferensial h( x,y P( x,y dx h( x,y Q( x,y dy ! 0
(6
adalah persamaan diferensial eksak. ,leh karenanya dengan teorema kita dapatkan ∂ ∂ y h( x,y P( x,y dx !
∂ ∂x
h( x,y Q( x,y dy
($ Selanjutnya kita akan meninjau tipe%tipe fungsi h sendiri.
&.
h F'nsi
$an%a (ari x ntuk kasus ini h( x,y ! h( x . engan menyelesaikan diferensial ($ kita dapatkan h( x ( x
∂ ∂ y P( x,y ! h( x
∂ ∂x
Q( x,y dy Q( x,y
dh dx
(
persamaan terakhir ini dapat kita tulis dalam bentuk dh ( x ) d ( x ) !
∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x d Q ( x , y )
(
Sekarang kita perhatikan dengan saksama arti persamaan ( ini. +arena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari x saja maka ruas kanannya harus pula fungsi dari x saja. Sekarang misalkan koefesien dari dx adalah F ( x & yaitu 7(
∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x Q ( x , y )
!
(10
engan meninjau persamaan ( kita ketahui
dh ( x ) d ( x ) ! F ( x
yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari h( !
F ( x ) dx e∫
(11
7aktor integrasi dari persamaan diferensial (6 adalah hasil dari integrasi ruas kanan (11
#onto$" unjukkanlah bah"a persamaan diferensial 2 (1%y d (y % x ¿ dy ! 0
bukan
persamaan
diferensial
(12
eksak
dan
kemudian
tentukanlah faktor integrasinya. Pen%elesaian" 8angkah pertama kita nyatakan koefesien dari d dan dy dengan fungsi #(&y dan /(&y. ari (12 diperoleh bah"a #(&y ! 1 9 y dan /(&y ! y % x ∂ P ( x , y ) ! % dan ∂y
2
. ,leh karenanya.
∂Q ( x , y ) ∂x
! y%2
(13
alam hal ini persamaan diferensial (12 tidak eksak dan
− x − y + 2 −1 7( ! xy − x ! x
(14
2
engan menggunakan (11 kita peroleh faktor integrasi dari persamaan diferensial (12 yaitu h( !
∫ − x1 dx e !
− ln x
e
). $ F'nsi $an%a (ari %
10
1
! x
(15
alam
kasus
ini&
dengan
mengalikan
persamaan
diferensial (5 dengan faktor integrasinya h (fungsi hanya dari y dan kemudian menggunakan kondisi keeksakan persamaan diferensial& diperoleh ∂ dh ( y ) h(y ∂ y #(&y #(&y ! h(y dy
∂ ∂ y /(&y
(16 persamaan (16 dalam bentuk ∂ ∂ Q ( x , y )− P ( x , y ) dh ( y ) ∂x ∂y dy d ( y ) ! P ( x , y )
(1$
Sekarang kita perhatikan dengan saksama arti persamaan (1$ ini. +arena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari y saja maka ruas kanannya harus pula fungsi dari y saja. Sekarang misalkan koefesien dari dy adalah G( y & yaitu
:(y !
∂ ∂ Q ( x , y )− P ( x , y ) ∂x ∂y P ( x , y )
engan meninjau persamaan (1$ kita dapatkan
(1 dh ( y ) d ( y )
!
:(y yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari h(y !
G ( y ) dy e∫
(1
7aktor integrasi dari persamaan diferensial (6 adalah hasil dari integrasi ruas kanan (1
#onto$" unjukanlah bah"a persamaan diferensial 2
xy dx (1 x ¿
dy ! 0
(20
bukan persamaan diferensial eksak kemudian tentukanlah faktor integrasi nya.
11
Pen%elesaian" engan memperhatikan koefesien dx dan dy persamaan (20 kita peroleh ∂ P ( x , y ) ∂y
!
x
∂Q ( x , y ) ∂x
dan
!
2
(21 alam hal ini persamaan diferensial (21 tidak eksak dan 2 x − x
:( y
!
1
!
xy
y
(22 #ersamaan (30 membuktikan bah"a persamaan diferensial (20 tidak
eksak. Selanjutnya
menggunakan (1 kita
peroleh faktor integrasi dan persamaan diferensial (20 diberikan oleh h(y !
G ( y ) dy e∫ !
e
ln y
! y .
(23
*. $ F'nsi (ari +% ;nggaplah faktor integrasi persamaan diferensial (5 adalah h(y. *isalkan u(&y ! y. engan menggunakan aturan rantai persamaan ($ didapatkan h (u )
∂ h ( u ) ∂h ( u ) ∂ =h ( u ) ∂ Q ( x , y )+ Q ( x , y ) P ( x , y )+ P ( x , y ) ∂y ∂y ∂y ∂y
&2#( dimana ∂ ∂ u dh ( u ) ∂ u = h ( u ) =h ( u ) ∂x ∂x du ∂ x
dan
&2)(
∂ ∂ u dh ( u ) ∂ u = h (u )=h ( u ) ∂y ∂y du ∂ y
12
&2,(
∂ u / ∂ x y dan
mengingat u xy akibatnya
∂ u/ ∂ y
x dan
"ersamaan &2,( menjadi dh ( u ) ∂ h ( u ) = yh ( u )= y ∂x du
&2/(
dan dh ( u ) ∂ h (u )= xh ( u ) = ∂y du
&2>(
Dengan mensubstitusikan "ersamaan &2,( &2/( dan &2>( ke dalam &2#( kita da"atkan ∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x du. y Q ( x , y ) − x P ( x y )
dh ( u ) h ( u ) =
&26(
emudian mengingat ruas kiri "ersamaan &26( adalah fungsi dari u maka k+efisien dari du adalah fungsi dari u juga. ekarang misalkan ∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x F(u)= y Q ( x , y ) − x P ( x y )
!aka
&35(
dh ( u ) h ( u ) F(u) du
Penyelesaian dari "ersamaan diferensial diberikan +leh h(u) =
e∫
F ( u ) du
&31(
ontoh:
Tunjukkanlah bah0a "ersamaan diferensial 3
& y 8 'y2 8 y( dx 8 & '3 8 '2 y + x ( dy 5
&32(
ukan "ersamaan diferensial eksak dan 4arilah fakt+r intergrasinya. Pen0elesaian: 13
3
"ada 4+nt+h ini kita ketahui bah0a P(x,y) y 8 'y 2 8 y dan Q(x,y) '3 8 '2 y + x. Dengan mendiferensialkan P terhada" y dan Q terhada" x ∂ P ( x , y ) ∂y
di"er+leh
3y 8 2'y 8 1 dan 2
∂ P ( x , y ) ∂x
3'2 8 2'y 81 &33(
kita "er+leh ∂ P ( x , y ) 3&y2- '2(. ∂x
∂ P ( x , y ) ∂y
&3#(
?al ini menunjukkan bah0a "ersamaan diferesial &32( tersebut tidak eksak. elanjutnya akan kita tentukan fakt+r integrasinya. Dengan menggunakan &35( maka dida"atkan x x
∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x y Q ( x , y ) − x P ( x y )
F(u)=
¿ 2−¿ y xy ¿ ¿ −3 (¿ ¿ 2− y ) ¿ ¿ 2
−3 u
2
&3)( emudian kita "er+leh fakt+r integrasinya yaitu: −∫ 3 du
h&u( e
u
− !nu e &'y(-3. 3
&3,(
ujilah bah0a "ersamaan diferensial &32( akan menjadi eksak jika "ersamaan itu dikalikan dengan &'y( -3. 4. Fungsi dari x/y
!isalkan u x/y dan h h(u) maka dengan menggunakan aturan rantai dida"atkan dan
14
∂ h ( u ) h’(u) = ∂y
x ∂u ∂ y = y 2
d du h(u)
&3/(
dan ∂ h ( u ) h’(u) = ∂x dh ( u ) h (u )
1 d ∂u ∂ x = y du h(u)
y =
2
(
&3>(
)
∂P ( x , y )− ∂Q ( x , y ) ∂y ∂x
du
x P ( x , y ) + y Q ( x " y )
&36( ekarang misalkan y G(u)=
2
(
)
∂P ( x , y )− ∂Q ( x , y ) ∂y ∂x xP + yQ
(
dh ( u ) h ( u ) G(u).
(
Dengan mengintergralkan terhada" u di"er+leh h(u)
G ( u ) du e∫
.
(
"ersamaan ( ini adalah fakt+r integrasi. ontoh:
Tunjukkanlah bah0a "ersamaan diferensial 3y dx < x dy 5
(
ukan "ersamaan diferensial eksak. emudian tentukanlah fakt+r integrasinya. Pen0elesaian:
Dengan mem"erhatikan "ersamaan &)( dan ( kita da"atkan bah0a P = 3y, Q = -x . Dengan demikian dida"atkan
menggunakan ( di"er+leh 15
∂P ∂ y 3
∂Q ∂ x = -1. Dengan
2
y ( 3 + 1) G(u)= 3 xy − xy
arena G(u)
=2
y x =
2
&##(
u
5 maka "ersamaan diferensial tersebut bukan "ersamaan
diferensial eksak. 2
∫ 2udu h(u)= e =
2
!nu
e
= u 2 =
x 2 y
&#)( Jadi fakt+r integrasi dari "ersamaan diferesial tersebut diberikan +leh ( '2@y2.
5. h Fungsi dari y/x
Dengan mengikuti langkah-langkah yang diberikan dalam subbab 2./.# akan kita da"atkan fakt+r integrasi yang diberikan +lah ∫ K ( u )du h(u) e
&#,(
di mana u = x/y dan x K(u) =
2
(
)
∂Q ( x , y )− ∂ P ( x , y ) ∂x ∂y
&#/(
x P ( x , y ) + y Q ( x " y )
ontoh :
Tunjukkanlah bah0a "ersamaan diferensial ydx – 3xdy 5
&#>(
bukan "ersamaaan diferensial eksak. Tentukan fakt+r intergarinya. Pen0elesaian:
ita "er+leh P = y dan Q= -3x karenanya
16
∂P ∂ y 1 dan
∂Q ∂ x -3.
2
x (−3−1 ) K(u)= xy −3 xy =2
arena K(u)
x y =
2
(
u
5 maka da"at disim"ulkan bah0a "ersamaan diferensial
tersebut tidak eksak. h(u)=
∫ 2u e du =
2
y x
2
!nu
e
= u2 =
&)5(
Dida"atkan bah0a fakt+r intergrasi dari "ersamaan diferensial tersebut 2
adalah
y 2 x
6. 6entuk husus P dan Q
Jika "ersamaan diferensial da"at dijadikan ke dalam bentuk "ersamaan ! ! diferensial berikut y (Ax p yq + Bx y ) dx + x (Cx p yq + "x y ) dy = # &)1(
Di mnan A, B, C, dan " semuanya k+nstanta maka "ersamaan diferensial tersebut mem"unyai fakt+r integrasi fungsi dari ' ay b di mana $ dan % dua k+nstanta yang di"ilih sedemikian hingga "ersamaan diferensial ! ! x$ y% (y(Ax p yq + Bx y ) dx + x(Cx p yq + "x y )dy) 5 eksak.
&)2(
ontoh:
Tunjukkan bah0a "ersamaan diferensial y (2x2 y3 + 3) dx + x(x 2 y3-&) dy = #
&)3(
bukan eksak. Tentukanlah fakt+r integrasinya= Pen0elesaian:
P = y(2x 2 y3+3) dan Q = x(x2 y3-&).
!aka berarti
∂P 2 3 ∂ y >' y 83 dan
1$
&)#( ∂Q 2 3 ∂ x 3' y - 1.
&))(
∂P ∂ y -
∂Q 2 3 ∂ x )' y 8 #
&),( Da"at disim"ulkan bah0a "ersamaan diferensial tersebut tidak eksak. Dengan mengalikan "ersamaan diferensial dengan fakt+r integrasinya x$ y% di"er+leh (2x2+2 y%+' + 3x$ y%+& ) dx + (x$+3 y%+3 – x$+& y% ) dy 5
&)/(
arena PD tersebut adalah diferensial eksak maka menurut te+rema haruslah
∂P ∂y
∂Q ∂ x 5 untuk semua nilai ' dan y d+main yaitu
-
&setelah "enyederhanaan( &2L 8 >( '2y3 8 3b 8 3 &a 8 3( ' 2y3 < &a 81(.
&)>(
arena "ersamaan di atas berlaku untuk semua ' dan y dalam d+main maka haruslah 2b 8 > a 8 3 dan 3b 8 3 -a < 1.
&)6(
Di"er+leh 7
a
9
dan
5
b
-
&,5( jadi fakt+r intergrasi dari "ersamaan diferensial tersebut adalah ' /@)y-6@).
LA4I8AN:
1. Tentukan a"akah PD berikut meru"akan PD eksakA a. y dx + 2 xy dy =0 2
1
5.
b. xy’ 8 y 8 # 5 x ( ) dx =0 + − x dy y x e 2 4. d.
− x − y dx − x − y dy =0 2
2
1
2. Tentukan s+lusi PD eksak berikut a. ( x − y ) dx − x dy =0 2
3 x 2 x
b.
(¿¿ 2+ 2 y ) dy =0 (¿¿ 2 + 4 xy ) dx +¿ ¿
3. Tentukan s+lusi PD berikut ini: 1 dx + 2 x dy = 0 a. y
b.
( 4 xy + 3 y − x ) dx + x ( x + 2 y ) dy =0 bila fakt+r integrasinya hanya 2
tergantung "ada x saja PEN7ELESAIAN:
1. a.
2
y dx + 2 xydy= 0 . M & x, y( y
∂ M ∂ y 2 y
2
∂ N ∂ x 2 y
N & x, y( 2 xy
arena
∂ M ∂y
∂ N ∂ x maka
"ersamaan diferensial eksak. b. x +x’ y + 25 5 dx x + y + 20 5 dy
&' 8 25(dy 8 ydx 5
1
2
y dx + 2 xydy= 0 meru"akan
∂ M ∂ y 1
M & x, y( yd'
∂ N ∂ x 1
N & x, y( x+2#
∂ M ∂ y
arena
∂ N ∂ x maka x 8 x’ y 8 25 5 meru"akan "ersamaan
diferensial eksak. 4.
x dy + ( 2 y − x e ) dx =0 x
# ( x , y )=( 2 y − x e
x
) dan
N ( x , y )= x
x
∂ M ∂ ( 2 y − x e ) = =2 ∂y ∂y ∂ N = 1 ∂x
Jadi d.
∂ M ∂ N ≠ ∂y ∂x −2
meru"akan PD Tak ksak
−1
2
$ x y dx − x ydy =0 −2
M ( x , y )=− x y
∂ M =−2 x −2 y ∂y
2
∂ N −2 = x y ∂x
−1
N ( x , y ) =− x y
∂ M ∂y
arena
B
∂ N ∂x
− x − y dx − x − ydy =0 tidak eksak. 2
2
1
2. a. ! &' < y( 2
∂ M =−1 ∂y
20
maka
"ersamaan
diferensial
∂ N =−1 ∂x
% -'
∂ M ∂ N =−1= ∂y ∂ x maka PD eksak
arena C&' y( 4 arena
∂ f 2 ∂ x ! maka f&' y( ' &' < y( d'
1 3
x
3
- y' 8
∅
&y(
Dimana ∅ &y( adalah fungsi sembarang dari y saja. E' berarti integral terhada" ' dengan y teta"F Langkah selanjutnya men4ari ∅ &y( dengan 4ara mendiferensialkan ∂ f ∂ x - ' 8
"arsial terhada" y dan di"er+leh : arena
∂ f ∂ x % maka <' 8 ∂ ∂y
<
∅
< 1
ehingga f&' y(
3
x
∂ ∂y
∅
∅
∂ ∂y
∅
&y(
&y( -'
&y( 5
&y( k &k+nstanta(
3
- y' 8 k
4 ∴
1
Penyelesaian umum PD eksak ini adalah
3
x
3
- y' 4
b. Jelas "ersamaan ini adalah PD eksak karena ∂ M ( x , y ) ∂ N ( x , y ) # x ∂y ∂x &
∀ x,
y(
∈
".
Dengan menggunakan 4ara yang "ertama maka kita
mem"unyai ∂ F ( x , y ) ∂x
2
3 x
+ 4 y dan
*ntegralkan bentuk "ertama 21
∂ F ( x , y ) ∂y
2 x
2
+ 2 y
∫ M ( x , y ) ∂ x +
F & x, y(
∅
( y )=∫ ( 3 x + 4 xy ) ∂ x + ∅ ( y ) 2
emudian turunkan terhada" y ∂ F ( x , y ) d ∅ ( y ) 2 x + ∂y dy 2
"adahal kita "unya ∂ F ( x , y ) N ( x , y ) 2 x + 2 y ∂y 2
ehingga 2 x
2
+ 2 y
2 x
2
+
d ∅ ( y ) atau dy
d ∅ ( y ) 2 y. dy
*ntegralkan "ersamaan terakhir ini di"er+leh demikian F & x, y( menjadi F ( x , y )= x + 2 x y + y + c 3
2
∅
( y ) = y + c dengan 2
0
2
0
F ( x , y ) meru"akan s+lusi umum maka keluarga s+lusi itu
ila
adalah F ( x , y )= c sehingga 1
3
2
2
x + 2 x y + y + c 0= c 1 atau x 3+ 2 x 2 y + y 2= c
∴
3. 1
a.
y 1
y
dx + 2 xdy =0
: "ersamaan diferensial tidak eksak
dx =−2 xdy
ydy =
−1 2 x
dx
∫ ydy =−21 ∫ x1 dx 1 2 1 2
2
y=
2
y+
−1
1 2
2
| x|+´c
ln
| |=´c
ln x
: dikalikan 2
22
y + ln| x|=2 c´
:
y + ln| x|= c
: "enyelesaian
2
2
b.
´ =c
2c
P ( x , y )=4 xy + 3 y − x 2
Q ( x , y ) = x ( x + 2 y )= x + 2 xy 2
∂ P ( x , y ) =4 x + 6 y − D ∂y ∂Q ( x , y ) = 2 x +2 y ∂y
}
Tidak ksak
∂ ∂ P ( x , y )− Q ( x , y ) ∂y ∂x F ( x )= Q ( x , y )
¿ ¿ ¿ ¿
4 x + 6 y −( 2 x + 2 y ) 2
x + 2 xy 2 x + 4 y 2
x + 2 xy 2 ( x + 2 y )
x ( x + 2 y ) 2
x
f ( x ) dx h ( x )=e∫
∫ x2 dx ¿e
¿ e∫ ¿ x
2 %nxdx
2
23
DAF4AR P5S4AA
;nonim. anpa ahun. Persamaan Diferensial Biasa. anpa +ota) anpa #enerbit. https)==""".aademia.edu diakses "ada elasa 2#
!aret 251) Pukul 1#:3/ G*. 9n+nim. Tan"a Tahun. P!$$$* "*!$ B$!$ (P"B) d $0u. Tan"a +ta: Tan"a Penerbit. htt":@@sigitkus.le4ture.ub.a4.id diakses "ada elasa 2# !aret 251) Pukul 1#:1) G*.
24
Dafik. 1666. P!$$$* "*!$ B$!$. Jember: Uniersitas Jember. htt":@@PersamaanH25DiferensialH251."df diakses "ada elasa 2# !aret 251) Pukul 1#:15 G*. Darma0ij+y+. 2511. P!$$$* "*!$ B$!$. Palembang: PT Iel+ra 9ksara Pratama. Lestari d0i. 2513. "k0$0 P!$$$* "*!$ . +gyakarta: Uniersitas %egeri +gyakarta. htt":@@staff.uny.a4.id diakses "ada elasa 2# !aret 251) Pukul 1#:55 G*. u"rihatin ambang dkk. 2513. P!$$$* "*!$ B$!$. +gyakarta: 9ndi Kffset.
25
