MODUL 2 Metode Integrasi .doc.docx

1

Acep Hidayat Kelas PKK

Universitas Mercu Buana

MODUL KULIAH : Analisa Struktur 1 SKS : 3

oleh : Acep Hidayat,ST,MT.

Jurusan Teknik Perencanaan Fakultas Teknik Perencanaan dan Desain Universitas Mercu Buana Jakarta 2012

Analisa Struktur I

2



MODUL 2 DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI

Analisa Struktur I

3



MODUL 2 DEFORMASI LENTUR METODE INTEGRASI

2.1 Pendahuluan

Semua balok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apabila terbebani. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur terlalu

berlebihan

untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan)

pemakainya. Deformasi lentur adalah perubahan bentuk struktur yang disebabkan oleh momen gaya dalam .Ada beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan defleksi pada balok. Dalam diktat ini hanya akan dibahas tiga metode, yaitu metode integrasi ganda (”doubel integrations ”), luas bidang momen ( ” Momen Area Method ” ), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang Sedangkan

metode

luas

bidang

momen

mengetahui lendutan dalam satu tempat saja.

sangat

sekaligus.

cocok dipergunakan untuk

Asumsi yang dipergunakan untuk

menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gayagaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi. 2.2 Penurunan Rumus

Pada waktu membahas tegangan lentur (modul 3) kita sudat mendapat hubungan :

M : Momen gaya dalam R : Jari-jari kelengkungan E : Elastisitas bahan I : Momen Inersia penampang Karena

sangat kecil, maka AB’

putaran sudut di B Analisa Struktur I

4



= OC2 + CB’ =OB2

Pada

Mc

B’

Karena yB sangat kecil dibanding 2R

Y B2 ≈ 0

lendutan di B

 Hubungan kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan

Perjanjian tanda untuk kelengkungan, putaran sudut, dan lendutan adalah:

Bidang momen : M X+

Bidang momen : M X+

Dari P⟶Q :dx positif (⟵x+)

Dari P⟶Q :dx positif (⟶x+)

d

negatif ; Mx+

∴

Analisa Struktur I

d ∴

positif; Mx-

5



Pers. Mx positif (serat bawah tarik)

Maka didapat hubungan :

=

Pers. Mx negatif (serat bawah tekan)

persamaan deferensial deformasi (PDD)

⟶

Persamaan ini bila di integrasi sekali (menjadi . ) akam menghasilkan persamaan putaran sudut. Dan bila diintegrasi lagi (menjadi. y) akan menghasilkan persamaan lendutan. Jadi, bila suatu elemen struktur denganpembebanan tertentu mempunyai persamaan gaya dalam (Mx), maka deformasinya (putaran sudut dan lendutan) dapat dihitung. 2.3 Contoh Soal

1. sebuah balok kantilever dengan EI tertentu mendapat gaya luar berupa momen pada ujungnya. Hitung lendutan dan putaran sudut di titik B (

)! jawab Bila x kita mulai dari titik B, maka persamaan gaya dalam momen pada penampang sejauh x dari B menjadi : Mx = -M Persamaan diferensial deformasi : ⟶

Diintegrasi sekali menjadi Diintegrasi sekali lagi menjadi Untuk mendapatkan nilai konstanta integrasi C 1 dan C2 diperlukan 2 persamaan dari hasil menghitung harga deformasi yang diketahui (kondisi batas). Pada struktur kantilever ini, harga lendutan yang sudah diketahui (kondisi/syarat batas) adalah yA=0 dan  Syarat batas (1) :

A = Analisa Struktur I

A=0

(jepit). Maka :

6



0= M.l + C1⟶ C1 = - Ml  Syarat batas (2) : YA = 0⟵x = l

Sehingga persamaan deformasinya menjadi : Putaran sudut : Lendutan : Menghitung

dan yB : titik B ⟶ x = 0

⟶

2. Hitung

dan YA dari kantilever dengan

pembebanan seperti di samping ini!

Jawab : X dari titik A Mx = - P. X = - 3x Persamaan diferensial deformasi : ∴

 Syarat batas (1) :

B =  Syarat batas (2) : YB = 0⟵X3 = 4

Analisa Struktur I

7



Persamaan deformasinya :

∴

Putaran sudut : Lendutan

:

Periksa putaran sudut di B : B = Menghitung

dan Y A : x = 0

A =

3. Hitung

dan YB dari kantilever di bawah ini !

Jawab : Ambil x dari kanan Mx = - R x.1/2x = - q . x .1/2 x = - ½ qx 2 →Mx = - ½ .2 .x 2 = -x2

Persamaan diferensial deformasi:

 Syarat batas:  SB (1):

A =

Analisa Struktur I

= 0 (jepit)→ x = 4

8


 SB (2) :


= yA = 0→x = 4

0 = -64 + C 2 → C2 = +64  Persamaan deformasi :

 Perhitungan deformasi :

4. Hitung

dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :  Reaksi perletakan :

∑MA = 0 +P.3 – VB.5 = 0 +15 – 5 VB = 0 → VB = +3t (↑) ∑V = 0 VA + VB – P = 0 Analisa Struktur I

9



VA + 3 – 5 = 0 → VA = 5 – 3 = 2t (↑)  Persamaan bidang mmomen ( x dari kiri ) pada interval terakhir:

Mx = + V A. x – P(x - 3) = + 2x – 5(x – 3)  Persamaan diferensial deformasi :

 Syarat batas  SB (1) : yA = 0 → x = 0

→  SB (2) : yB = 0 → x = 5

 Persamaan deformasi :

Putaran sudut : Lendutan :  Perhitungan Deformasi :

Analisa Struktur I



10

5. hitung putarannn sudut

dan lendutan tengah bentang dari balok dengan

pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab :  Reaksi Perletakan : VA = VB =

 Persamaan bidang momen (x dari kiri) :

Mx = +VA . x – Rx .1/2 x = +4x – ½.qx2 →Mx = +4x – x2

 Persamaan diferensial deformasi :

 Syarat batas (SB) :  SB (1) : yA = 0 → x = 0

0 = 0 – 0 + 0 + C 2 →C2 = 0  SB (2) : yB = 0 → x = 4

Analisa Struktur I



11


 Perhitungan deformasi :

Lendutan di tengah bentang


dan lendutan

pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab : Analisa Struktur I

dari balok sederhana dengan



12

R = 5 . 2 = 10 t  Reaksi Perletakan : ∑M A = 0

→ +P . 1 – VB . 4 + R . 4 ½ = 0 4 – 4 ½ + 45 = 0 → VB = +

∑V = 0 VA +

VA + VB – P – R = 0 - 4 – 10 = 0 → VA = 14 -

=

 Persamaan bidang momen : (x diambil dari kiri)

Mx = VA . x – P(x-1) – ½ q(x-2)2 + VB(x-4) ∴

Mx =

 Persamaan diferensial deformasi :

- 4(x-1) – (x-2)2 +

(x-4) –

−

 Syarat batas (SB) :  SB (1) : yA = 0 → x = 0

→ 0 = C2  SB (2) : yB = 0 → x = 4


Analisa Struktur I

- 4(x-1) – (x-2)2 +

(x-4)

Acep Hidayat Kelas PKK 13

Periksa : yB = 0 ? → x = 4

 Perhitungan deformasi : 

→yC = ? → x = 7

→yC = +  Garis elastis/deformasinya adalah :

Analisa Struktur I




14


dan lendutan

dari balok sederhana dengan pembebanan

seperti di bawah ini.

Penyelesaian : Ambil x dari kiri : Mx = R x.



Persamaan diferensial deformasi: EI EI

d 2 y dx 2 dy dx

= - M x = - ( 32 x2) = - 32 . 13 x3 + C1 = - 12 x 3  C 1



. x4 + C1x + C2

EI y

= - 12 .

EI y

= - 18 . x4 + C1x + C2

1 4

Syarat batas: 1)

A =

EI

0

 x

dy

IA

dx

=0 = - 12 x 3  C 1 = - 12 .03 + C1

0 = C1 2)

A

= yA = 0  x = 0

Analisa Struktur I

Mx =

1

=

3

2

2

1 2

x = q. x.

.3.x2 x2

1 2

x=

1 2

.q.x2



15

EI yA = - 18 . x4 + C1x + C2 = - 81 . 04 + 0 + C 2 0 = C2 3) Persamaan deformasi: EI

dy dx

= - 12 x 3 = - 18 . x4

EI y

4) Perhitungan deformasi: 1)

B =

EI

?  x = 4

dy dx

IB

==-

1 2 1 2

x3 43

EI B

= - 32

B

=-

EI yB

=-

EI yB

=-

EI yB

= - 32

yB

=-

32 EI

1 8 1 8

x4 .44

32 EI

8. Hitung A, B, yc dari balok sederhana dengan pembebanan seperti di bawah ini!

Analisa Struktur I



16

Penyelesaian: 

Reaksi perletakan:  MB =

0

- (P. 2) – (VA . 5) = 0 - (5.2) – 5VA = 0 VA =

10 5

VA = 2 t (  V

)

=0

VA + VB - P = 0 2 + VB – 5 = 0 VB = 3 t ( 

)

Persamaan bidang momen ( x dari kanan) pada interval terakhir: Mx

= VB. x – P (x – 2) = 3x – 5 ( x – 2)



Persamaan diferensial deformasi: - EI

- EI - EI

d 2 y

= Mx

dx 2 d 2 y

= 3x – 5 (x – 2)

dx 2 dy

= 3.

dx

- EI y 

=

3 2

1 2

.

x2 + 5.

1 3

x3 -

5 2

1 2

.

1 3

(x - 2) 2 + C1 =

1) yB = 0  x = 0

- EI yB =

1 2

1 2

x3 03 -

C2 = 0 2) yA = 0  x = 5

Analisa Struktur I

5 6 5 6

2

x2 +

(x – 2)2 + C1x + C2

Syarat batas (SB):

- EI yB =

3

(x – 2)2 + C1x + C2 (0 – 2)2 + C1.0 + C2

5 2

(x - 2)2 + C1



17

- EI yA

=

- EI yA

=

- EI yA

=

1

5

x3 -

2 1

6 5

53 -

2

125

(5 – 2)2 + C1.5 + C2

6 45

-

2

(x – 2)2 + C1x + C2

+ 5C1 + 0

3

80

5C1 = -

2

C1 = - 8 

Persamaan deformasi:

dy

Putaran sudut : - EI Lendutan 

dx

= 1

: - EI y =

2

3 2

x2 -

x3 -

5 6

5 2

(x - 2)2 + C1

(x – 2)2 + C1x + C2

Perhitungan deformasi: A =

?  x = 5

- EI

dy

IA

dx

= =

dy

- EI

52 -

2

75 2

-

2 5 2

45 2

(x - 2)2 + C1 (5 - 2)2 – 8

-

16 2

=

14 2

=-

7 EI

?  x = 0

- EI - EI

dy dx dy dx

B= B=

3 2 3 2

x2 02 -

- EIB = -8 B = C =

2 3

5

x2 -

=7

dx A

B =

3

=

8

EI

yc ?  x = 2

Analisa Struktur I

5 2 5 2

(x - 2)2 + C1 (0 - 2)2 - C1



18

- EI yc = - EI yc=

1 2 1 2

x3 23 -

- EI yc

=

5 6 5 6 8 2

(x – 2)2 + C1x + C2 (2 – 2)2 + C1.2 + C2 -

32 2

- EI yc= - 12 yc = C =

12 EI

yc ?  x = 2

- EI yc = - EI yc=

1 2 1 2

x3 23 -

- EI yc

=

5 6 5 6 8 2

(x – 2)2 + C1x + C2 (2 – 2)2 + C1.2 + C2 -

32 2

- EI yc= - 12 yc =

12 EI

Daftar Pustaka

1. Chu Kia Wang, “ Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc. 2. Kinney, J.S. “ Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley Publishing Co.

Analisa Struktur I

Kelas PKK MK Analisa Struktur 1

Teknik Sipil Universitas Mercu Buana

19

MODUL 2 Metode Integrasi .doc.docx

Recommend Documents