Medidas de Posicion Cuantiles

UNIVERSIDAD PERUANA DE LAS AMÉRICAS FACULT ACULTAD DE CIENCIA CIENCIAS S EMPRESARIA EMPRESARIALES LES

ESTADÍSTI ESTADÍSTICA CA BÁSICA APLICADA APLICADA A LOS NEGOCIOS I

MEDIDAS DE POSICIÓN CUANTILES

Dr. SALOMÓN MARCOS BERROCAL VILLEGAS

MEDIDAS DE RESUMEN

CUANTILES

•

DEFINICIÓN Y CARACTERÍTICAS

•

CÁLCULO DE LOS CUARTILES, DECILES, PERCENTILES

•

CÁLCULO DE CUANTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

•

CÁLCULO DE CUANTILES PARA DATOS AGRUPADOS

•

ME D I D A S D E R E S UME N entre entr e ell ellas as tenemos

ME D I D A S D E POSICIÓN

Tendencia central ME D I A ME D I A N A

ME D I D A S D E DIS SP P E RS R S IIÓ Ó N N

L ocal ocalizaci ización ón de datos MOD MO D A CUANTILES

ME D I D A S D E DISTRIBUCIÓN

CUANTILES Los cuantiles son medidas de posición porcentual que tienen la propiedad de dividir un conjunto de observaciones, previamente ordenados o tabulados en cuatro, diez o cien partes igua les. TIPOS DE CUANTILES

CUANTILES Antes de desarrollar ejercicios sobre cuantiles se tiene que ordenar las observaciones de forma ascendente.

RELACIÓN ENTRE CUANTILES

CUARTILES Los cuartiles son medidas de posición porcentual que tienen la propiedad de dividir un conjunto de observaciones, previamente ordenados o tabulados en cuatro partes iguales de 25% cada una. Estas medidas son: el primer cuartil Q 1, el segundo cuartil Q 2, y el tercer cuartil Q3. Supongamos que se ubican ordenadamente, en línea recta , los “n” valores de la variable x, entonces resulta un segmento que se inicia en el menor valor de x y termina en el mayor valor de x. Q1 Xmin

Q2 = Me

Q3 Xmax

Por lo cual para dividir el segmento (Xmáx, Xmin) en cuatro partes iguales, se requiere definir tres puntos, los valores de estos puntos

CUARTILES Dado el siguiente conjunto de datos hallar el primer cuartil (Q 1), segundo cuartil (Q2) y tercer cuartil(Q3) 13

13

13

13

Para el primer cuartil (Q 1)

Para el segundo cuartil (Q2)

Para el tercer cuartil (Q 3)

14

14

16

17

18

19

19

CÁLCULO DE CUARTILES PARA DATOS SIN AGRUPAR Dado el siguiente conjunto de datos hallar el primer cuartil (Q 1), segundo cuartil (Q 2) y tercer cuartil(Q 3) Primer ejercicio: 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 17 18 18

Segundo ejercicio: 3

3

4

4

4

5

5

6

6

6

7

7

8

8

CÁLCULO DE CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS CUARTIL INFERIOR: (Q 1) Donde: Q1 = Primer cuartil Lj = Límite inferior de la clase que contiene al cuartil n = Número total de observaciones F j-1= Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartil f j = frecuencia absoluta simple de la clase que contiene al cuartil Cj = Tamaño del intervalo de la clase cuartil

CUARTIL SUPERIOR: (Q 3) Donde: Q3 = Tercer cuartil Lj = Límite inferior de la clase que contiene al cuartil n = Número total de observaciones F j-1= Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase cuartil f j = frecuencia absoluta simple de la clase que contiene al cuartil

CÁLCULO DEL PRIMER CUARTIL (Q 1) PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase

INTERVALOS DE CLASE (LI – LS>

Frecuencia absoluta simple (fi)

1

[18 - 21>

2

2

[21 - 24>

3

3

[24 - 27>

4

4

[27 - 30>

15

5

[30 - 33>

10

6

[33 - 36>

4

7

[36 – 39]

2

Total

40

Frecuencia absoluta acumulada Fi

CÁLCULO DEL PRIMER CUARTIL (Q 1) PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera:

Intervalo de la Clase cuartil

N° de clase


1 2 3 4 5 6 7 Total

[18 - 21> [21 - 24> [24 - 27> [27 - 30> [30 - 33> [33 - 36> [36 – 39]

Frecuencia absoluta simple (fi) 2 3 4 15 10 4 2 40

Frecuencia absoluta acumulada Fi 2 5 9 24 34 38 40 Frec

Frecuencia absoluta inferior a la clase cuartil

Frecuencia absoluta acumulada de la clase cuartil

ia absoluta simple

CÁLCULO DEL PRIMER CUARTIL (Q 1) PARA DATOS AGRUPADOS

Entonces: el intervalo que contiene al primer cuartil [27-30] De esta manera ubicamos nuestros datos: Q1 = Cuartil 1 Lj = 27 n = 40 F j-1 = 9 fj = 15 Cj = 3

CÁLCULO DEL TERCER CUARTIL (Q 3) PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase



1

[18 - 21>

2

2

[21 - 24>

3

3

[24 - 27>

4

4

[27 - 30>

15

5

[30 - 33>

10

6

[33 - 36>

4

7

[36 – 39]

2

Total

40


DECILES Los deciles son medidas de posición porcentual que tienen la propiedad de dividir un conjunto de observaciones, previamente ordenados o tabulados en diez partes iguales. En total hay nueve deciles: D1, D2, D3, D4, … D9. Supongamos que se ubican ordenadamente, en línea recta, los “n” valores de la variable x, entonces resulta un segmento que se inicia en el menor valor de x y termina en el mayor valor de x.

D1 Xmin

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

D9 Xmax

Por lo cual para dividir el segmento (Xmáx, Xmin) en diez partes iguales, se requiere definir nueve puntos, los valores de estos puntos define los

CÁLCULO DE DECILES PARA DATOS SIN AGRUPAR Dado el siguiente conjunto de datos hallar el primer decil (D 1), tercer decil (D3) y el sétimo decil (D 7) Datos

5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 11 12 12 13 14 14 16 17 18 19 19

i (n  1) 10

CÁLCULO DE DECILES PARA DATOS SIN AGRUPAR Dado el siguiente conjunto de datos hallar el primer decil (D 1), tercer decil (D3) y el sétimo decil (D 7) Primer ejercicio: 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 17 18 18


3

4

4

4

5

5

6

6

6

7

7

8

8

CÁLCULO DE DECILES PARA DATOS AGRUPADOS i = 1, 2, 3, 4 …. 9

Donde: Di = Decil “i” Lj = Límite inferior de la clase que contiene al decil i = Posición del decil que se desea calcular n = Número total de observaciones F j-1= Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase decil f j = frecuencia absoluta simple de la clase que contiene al decil Cj = Tamaño del intervalo de la clase decil

Así por ejemplo para calcular el decil 8, la fórmula será la siguiente:

Donde : i = 8

CÁLCULO DEL DECIL 8 PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase



1

[18 - 21>

2

2 3 4

[21 - 24> [24 - 27> [27 - 30>

3 4 15

5 6 7

[30 - 33> [33 - 36> [36 – 39]

10 4 2

Total

40


CÁLCULO DEL DECIL 8 PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase

Intervalo de la Clase decil

1 2 3 4 5 6 7 Total

INTERVALOS DE CLASE (LI – LS> [18 - 21> [21 - 24> [24 - 27> [27 - 30> [30 - 33> [33 - 36> [36 – 39]



Frecuencia absoluta inferior a la clase decil

Frecuencia absoluta acumulada de la clase decil

ia absoluta simple

CÁLCULO DEL DECIL 8 PARA DATOS AGRUPADOS

Entonces: el intervalo que contiene al D 8 será [30-33] De esta manera ubicamos nuestros datos: D8 = Decil 8 Lj = 30 i = 8 n = 40 F j-1 = 24 fj = 10 Cj = 3

CÁLCULO DEL D2, D5, D7, D9 PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, proceda a hallar los siguientes deciles: D 2, D5, D7, D9 N° de clase



1

[18 - 21>

2

2

[21 - 24>

3

3

[24 - 27>

4

4

[27 - 30>

15

5

[30 - 33>

10

6

[33 - 36>

4

7

[36 – 39]

2

Total

40


PERCENTILES Los percentiles son medidas de posición porcentual que tienen la propiedad de dividir un conjunto de observaciones, previamente ordenados o tabulados en cien partes iguales. Existen 99 percentiles.

Supongamos que se ubican ordenadamente, en línea recta, los “n” valores de la variable x, entonces resulta un segmento que se inicia en el menor valor de x y termina en el mayor valor de x. P1 Xmin

P2 …

P99 Xmax

Por lo cual para dividir el segmento (Xmáx, Xmín) en cien partes iguales, se requiere definir 99 puntos, los valores de estos puntos define los

CÁLCULO DE PERCENTILES PARA DATOS SIN AGRUPAR Dado el siguiente conjunto de datos hallar el percentil 35 (P35) y el percentil 52 (P52) Datos

Luego

percentil 14 (P 14),

5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 11 12 12 13 14 14 16 17 18 19 19

Pi 

i * (n  1) 100

CÁLCULO DE PERCENTILES PARA DATOS SIN AGRUPAR Dado el siguiente conjunto de datos hallar el primer decil (P 18), tercer decil (P38) y el sétimo decil (P47) Primer ejercicio: 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 15 15 16 17 18 18


3

4

4

4

5

5

6

6

6

7

7

8

8

CÁLCULO DE PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS i = 1, 2, 3, 4 …. 99

Donde: Pi = Percentl “i” Lj = Límite inferior de la clase que contiene al percentil i = Posición del percentil que se desea calcular n = Número total de observaciones F j-1= Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase percentil f j = frecuencia absoluta simple de la clase que contiene al percentil Cj = Tamaño del intervalo de la clase percentil

Así por ejemplo para calcular el percentil 72, la fórmula será la siguiente: Donde : i = 72

CÁLCULO DEL PERCENTIL 88 (P 88) PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase



1

[18 - 21>

2

2 3 4

[21 - 24> [24 - 27> [27 - 30>

3 4 15

5 6

[30 - 33> [33 - 36>

10 4

7 Total

[36 – 39]

2 40


CÁLCULO DEL PERCENTIL 88 (P 88) PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, procedemos a hallar la frecuencia absoluta acumulada (Fi) y procedemos de la siguiente manera: N° de clase

Intervalo de la clase percentil

1 2 3 4 5 6 7 Total

INTERVALOS DE CLASE (LI – LS> [18 - 21> [21 - 24> [24 - 27> [27 - 30> [30 - 33> [33 - 36> [36 – 39]



Frecuencia absoluta inferior a la clase percentil

Frecuencia absoluta acumulada de la clase percentil

ia absoluta simple

CÁLCULO DEL PERCENTIL 88 PARA DATOS AGRUPADOS

Entonces: el intervalo que contiene al P88 será [33-36]

De esta manera ubicamos nuestros datos: P88 = Percentil 88 Lj = 33 i = 88 n = 40 F j-1 = 34 fj = 4 Cj = 3

CÁLCULO DEL P28, P32, P42, P56 PARA DATOS AGRUPADOS Tomando como base los datos de la siguiente tabla de frecuencia, proceda a hallar los siguientes percentiles: P28, P32, P42, P56 N° de clase


1 2 3 4 5 6 7 Total

[18 - 21> [21 - 24> [24 - 27> [27 - 30> [30 - 33> [33 - 36> [36 – 39]



Medidas de Posicion Cuantiles

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