Matematika Dasar UPT

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN (LKPP) ___________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________ ____________________________________ _________________

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

MATEMATIKA DASAR 1

Oleh : Drs. Raupong, M.Si.

Dibiyai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan  Nomor :469/H.423/PM.05/2008 Tanggal 04 Februari 2008

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS HASANUDDIN FEBRUARI 2008

LEMBARAN PENGESAHAN

RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL Matakuliah : Matematika Dasar 1

Angkatan ke-2 Telah diperiksa dan disetujui Oleh Coach Clinic SCL Universitas Hasanuddin

Cochee,

Drs. Muh. Hasbi, M.Sc.  NIP.

Drs. Raupong, M.Si NIP. 131 802 902

Mengetahui, Ketua LKPP-Unhas Ub. Kepala PKPAI-Unhas,

Ir. Machmud Syam, DEA  NIP. 131 637 597

Judul :

BAB

Induksi Matematika dan Koefisien Binomial

I. Pendahuluan A. Latar Belakang

Modul ini adalah suatu pengantar dalam memahami matematika dasar 1 khususnya dalam pembuktian matematika dan pengembangan materi segitiga  pascal dengan materi induksi matematika dan rumus Binomium Newton.

B. Ruang Lingkup Isi

Adapu ruang lingkup materi modul 1 ini meliputi : Notasi Sigma dan Perkalian, induksi matematika, kombinasi dan koefisien binomial

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan pengantar bagi modul-modul selanjutnya

D. Sasaran Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menggunakan notasi sigma pada deret matematika dan  polinomial 2. Mahasiswa

dapat

menyelesaikan

perpangkatan

dua

suku

dengan

menggunakan rumus binomium Newton 3. Mahasiswa dapat menghitung koefisien binomial pada perpangkatan dua suku

BAB II. Pembahasan 1. Notasi Sigma dan Notasi Perkalian 1.1. Notasi Sigma ( ∑ ) Misalkan kita tuliskan polinomial  P n( x) sebagai : n n-1  P n( x) = an x + an-1 x + ….+ a1 x + a0

……………

(1)

atau n-1

 P n( x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ….+ an-1 x

+ an xn

Mungkin penulisan dan pengucapan bentuk (1) ini dirasa terlalu panjang dan tidak praktis. Sebuah notasi jumlah akan memendekkan dan menghemat penulisan tersebut. Sebagai misal  bentuk (1) diatas dapat ditulis dengan menggunakan notasi jumlah sebagai berikut :

 P n ( x) =

n

∑ a  x

i

…………………

i

(2)

i =0

huruf  i disebut “variable dummy” yaitu “indeks jumlah” (disingkat indeks saja). Notasi

Σ

adalah huruf kapital yunani yaitu “sigma” yang berkorespondensi dengan huruf latin “s” (bandingkan dengan SUM dalam bahasa Inggris). Artinya “sigma untuk jumlah”. Indeks i mengambil harga-harga bilangan bulat dari yang kecil ke y ang terbesar.

i pada a x , diperoleh a 0x0. i

Perhatikan persamaan (2) jika disubtitusikan i = 0

Jika

i disubtitusikan i = 1 pada a x , diperoleh a1 x dan seterusnya. Jika disubtitusikan i = n pada i i n a x i , diperoleh an x . untuk lebih jelasnya perhatikan ekspresi berikut : 1

∑ a  x

Polinom derajat 1 : P 1(x) = a0 + a1x =

i

i

i =0

Polinom derajat 2 : P 1( x) = a0 + a1 x + a2 x2 =

2

∑ a  x

i

i

i =0

2

5

Polinom derajat 5 : P 1( x) = a0 + a1 x + a2 x + ….+ a5 x =

5

∑ a  x

i

i

i=0

Huruf yang sering digunakan selain huruf  i juga biasa digunakan huruf kecil seperti  j, k , r , dan lain-lain. Contoh :

b j + b j+1 + b j+2 + …..+ bk -1 + bk  k 

dapat ditulis secara singkat sebagai :

∑b

i

i = j

dibaca “sigma dari bi, i mulai j sampai k “ indek i bisa dimulai dari sembarang bilangan yang dikehendaki, misalnya :

a3 + a4 + a5 + ….+ a10 10

∑a

dapat disingkat sebagai :

i

i =3

Sifat-sifat sigma : n

...4  c +4 +2 +3c = nc; ∑ c = c1+4c4 

(i)

i =1

n  suku

n

∑ ca

(ii)

c konstan

n

i

i =1

= c ∑ ai i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

(iii) ∑ (ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi n

∑

(iv)

i =1

n

∑

(v)

ai

i =0

n −1

n −1

 j =0

i =0

= ∑ a j +1 = ∑ ai +1

ai

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

+ ∑ bi = a0 + ∑ ai + ∑ bi = a0 + ∑ (ai + bi )

Beberapa rumus-rumus sigma n

1.

∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = 12 n(n + 1) i =1 n

2.

∑i

2

1

= 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6

i =1

⎛ 1  ⎞ i = 1 + 2 + 3 + ... + n = ⎜ n(n + 1) ⎟ ∑ ⎝ 2  ⎠ i =1 n

3.

3

3

3

3

2

3

1.2. Notasi Perkalian (∏ ) Untuk menyingkat perkalian a1a2 a3 ...an dapat ditulis dengan menggunakan notasi perkalian dengan lambang

∏

yaitu

a1 a 2 a3 ...a n dimana

∏

i =1

adalah huruf kapital Yunani untuk  Pi yang berkorespondensi dengan huruf 

latin P (product).

Contoh :

n

= ∏ ai

(a).

(b).

n

∏ i = 1. 2 . 3. ... (n − 1)n = n !

i =1 5

∏2

n =1

n

= 2. 2 2 . 2 3. 2 4 2 5 = 215

2. Induksi matematika Terlebih dahulu simak teladan berikut : Pernahkah anda waktu kecil bermain dengan sekumpulan kaset lagu-lagu dengan cara membariskan kaset-kaset tersebut secara tegak dan berdekatan. Jika sebuah kaset disentuh hingga terjatuh, maka kaset tersebut akan menimpa kaset di belakangnya dan mengakibatkan kaset kedua terjatuh menimpa kaset berikutnya dan seterusnya. Pada akhirnya dapat dibayangkan hasilnya bahwa sederetan kaset-kaset tersebut akan jatuh semua.

Gambar 1.1.

Teladan sederetan kaset yang jatuh di atas mengilustrasikan esensi dari induksi matematika, yaitu suatu metode yang sangat penting untuk pembuktian rumus-rumus atau pernyataan tertentu yang melibatkan bilangan asli. Kebenaran metode induksi matematika itu didasarkan  pada teorema berikut. Teorema 1 ( Prinsip Induksi Matematika)

Misalkan kita mempunyai barisan tak hingga dari pernyataan  P (1),  P (2),  P (3), …,  P (n), … ,  jika kita dapat menunjukkan bahwa 1. Pernyataan P (1) benar, 2.  jika P (k ) benar, maka  P (k +1) juga benar untuk sembarang bilangan asli k, maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan  P (n) benar untuk semua bilangan asli n. Bukti

Andaikan 1. dan 2. benar tetapi kesimpulan teorema tidak berlaku. Ini berarti bahwa  P (n) tidak berlaku untuk setiap bilangan asli n. Misalkan m adalah bilangan asli terkecil sehingga  P (m) tidak benar, yaitu  P (1),  P (2), …,

 P (m-1) benar, tetapi  P (m) tidak benar . Langkah 1 menyatakan  P (1) benar. Untuk  n ≥ 1,

langkah 2 menyatakan  P (2) benar,  P (3) benar, dan seterusnya hingga  P (m-1) benar dan seharusnya  P ((m-1)+1) benar.  P ((m-1)+1)= P (m), sehingga  P (m) benar. Hal ini bertentangan dengan untuk  m yang pernyataan  P (m) tidak benar.

Definisi 1 :

Misalkan S himpunan himpunan bagian dari bilangan asli N, yang mempunyai sifat (1). n0 ∈ S  , khususnya untuk  n0 = 1 (2). Jika k  ∈ S  ⇒ (k  + 1)

∈ S , ( k  ≥ n0 ), maka N = S , yaitu bahwa himpunan S  mengandung

semua bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan n0

Catatan

Langkah (1) biasanya dinamakan “basis induksi” Langkah (2) dinamakan “langkah induksi” Selain itu, asumsi bahwa n = k pada (2) dinamakan hipotesis induksi.

Contoh :

Kita akan buktikan rumus-rumus berikut dengan induksi matematika. 1+ 2 + 3 +L+ n =

1 2

n( n + 1)

Langkah (1) : Untuk  n = 1, maka 1 =

1 2

1(1 + 1) benar.

Langkah (2): Andaikan untuk  n = k , pernyataan 1 + 2 + 3 + L + k  =

1 2

k (k + 1) benar, akan

ditunjukkan kebenaran pernyataan di atas untuk  n = ( k + 1 ). Dari langkah (2), kedua ruas ditambahkan faktor ( k + 1 ), sehingga diperoleh 1 + 2 + 3 + L + k + (k + 1) = =

1 2

k ( k + 1) + (k + 1)

k (k + 1) + (k + 1) 2

1.3. Kombinasi dan Koefisien Binomial 1.3.1 Kombinasi Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek yang bersangkutan tanpa memperhatikan urutan objek itu sendiri. Misalnya pemilihan 3 wakil mahasiswa secara acak  untuk hadir pada lokakarya jurusan dari 4 mahasiswa yang telah terseleksi berdasarkan data

akademiknya. Kombinasi ini memberikan berbagai pilihan yang mungkin tanpa memperhatikan urutan nomor mahasiswa mereka misalnya atau yang indeks prestasinya  paling tinggi dari keempat mahasiswa tersebut. Definisi 7 :

Suatu kelompok yang terdiri dari r  objek dan yang ingin dipilih dari n objek berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi r  objek dari n objek berbeda dengan 0 < r < n. Banyaknya kombinasi yang mungkin dinotasikan sebagai

C r n atau

⎛ n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ r  ⎠

Teorema 2 :

Jumlah kombinasi r objek yang dipilih dari n obyek berbeda adalah :

C r n

=

n! r !(n − r )!

∀n ∈ N  dan 0!= 1 .

dengan n!= n(n − 1)(n − 2 )L 2.1 = n(n − 1)!, Contoh :

Berapa carakah sebuah panitia yang beranggotakan 3 orang dapat dibentuk dari 5 pria

dan

2 wanita jika dalamkepanitian tersebut paling sedikit harus terdapat 2 pria

Penyelesaian : Untuk membentuk panitia dengan syarat paling sedikit ada 2 pria, kita harus mengklasifikasikannya atas dua kasus yaitu : 1. Panitia itu terdiri dari 2 pria dan 1 wanita Pemilihan 2 pria dari 5 pria menghasilkan :

C 25

=

5! 2!(5 − 2 )!

=

5! 2!.3!

= 10

cara

Sedangkan pemilihan 1 wanita dari 2 wanita menghasilkan

C 12

=

2! 1!(2 − 1)!

=

2! 1!.2!

=2

cara

Jadi banyaknya cara pembentukan panitia yang terdiri dari 3 orang yang  beranggotakan 2 pria dan 1 wanita adalah :

C 25 .C 12

= 10.2 = 20

cara.

2. Panitia itu terdiri dari 3 pria dan 0 wanita. Pemilihan 3 pria dari 5 orang :

C 35

=

5! 3!(5 − 3)!

=

5! 3!.2!

= 10

cara

Sedangkan pemilihan 0 wanita dari 2 wanita menghasilkan

C 02

=

2! 0!(2 − 0 )!

=

2! 0!.2!

= 1 cara

Jadi banyaknya cara pembentukan panitia yang terdiri dari 3 orang yang  beranggotakan pria sebanyak 3 orang dan tanpa wanita adalah :

C 35 .C 02

= 10.1 = 10 cara

Kesimpulan :

Kepanitian yang beranggotakan 3 orang yang terbentuk dari 5 pria dan 2 wanita dengan ketentuan anggota prianya paling sedikit 2 orang adalah

C 25 .C 12

+ C 35 C 02 = 20 + 10 = 30 cara

1.3.2. Koefisien Binomial  Nilai kombinasi C r n atau C nn− r  sesungguhnya merupakan koefisien binomial. Secara aljabar  dapat dilihat bahwa perpangkatan

( x +  y )2 = ( x +  y )( x +  y ) =  x 2 + 2 xy +  y 2 Koefisien dari setiap suku dalam penguraian binomial dapat diperoleh dengan menghitung 2

setiap kombinasinya. Koefisien  x adalah C 02 2

koefisien  y adalah C 22

= C 02 = 1 .

= C 22 = 1 , koefisien  xy adalah C 12 = 2 dan

Sehingga secara keseluruhan ( x +  y)

2

kombinasi C r n atau C nn− r  sebagai berikut :

( x +  y )2 = C 02 x 2 + C 12 xy + C 22 y 2 =  x 2 + 2 xy +  y 2 . yang dapat ditulis singkat sebagai : 2

( x +  y )2 = ∑ C r 2 x 2−r  y r  . r =0

Secara umum dapat ditulis

( x +  y )n = C 0n x n + C 1n x n−1 y + C 2n x n−2 y 2 + L + C nn y n 2

= ∑ C r 2 x 2−r  y r  r =0

Contoh : 4

Gunakan rumus koefisien binomial untuk menguraikan ( x +  y ) .

dengan koefisien

Penyelesaian :

( x +  y )4 = C 04 x 4 + C 14 x 3 y + C 24 x 2 y 2 + C 34 xy 3 + C 44 y 4 =  x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 +  y 4 . T U G A S 1. 1. Tentukan nilai dari jumlahan berikut 5

6

∑ (4k − 3)

a.

b.

k =1

20

2. Diketahui

∑a

k 

k = 1

= 99 dan

k =1

20

∑b

k 

c.

∑ (−1) 2 i

k = 0

= 21 . Hitunglah : 20

∑ (ak  + bk )

b.

k =1

∑ (4ak  + bk  + 2) k =1

20

c.

∑ (a k =1

3. Hitunglah 1

n

∏

a.

 j =1  j

b.

+1

c. Gunakan notasi

n

∏

 j 2

 j = 2

−1

 j 2

∏ untuk menuliskan 1 x 3 x 5 x 7 x … x 99.

4. Buktikan rumus-rumus berikut dengan induksi matematika : a. 1 + 3 + 5 + L + (2n − 1) = n 2 ,

∀n ∈ N 

 b. 13

+ 2 3 + 33 + L + n 3 = (12 n(n + 1))

c. 12

+ 32 + 5 2 + L + (2n + 1)2 = n(2n − 1)(2n + 1)

d.

2

1

3

1 1.2

+

1 2.3

+

1 3.4

+L+

1 n(n + 1)

=

n

(n + 1)

e.

2n

< n 3 untuk setiap bilangan asli n ≥ 10.

f.

n3

+ 20 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.

5. Hitung nilai kombinasi a.

C 53

i +1

k =1

20

a.

∑ (k + 5)

5

2

b. C 18 8

c. C 53 .C 84

k 

− 3bk  )

3. Dalam berapa cara 5 buah pertanyaan dapat dipilih dari 9 pertanyaan ?

6. Uraikan perpangkatan berikut dengan menggunakan koefisien binomial a.( x + y )7 2 5

 b.(2 x –  y )

4 2

c. Tentukan koefisien suku x  y dari perpangkatan

BAB III

(  x 1 2

2

+ 3 y ) . 5

PENUTUP

Keberhasilan mahasiswa memahami konsep dasar notasi sigma, notasi perkalian, induksi matematika dan koefisien binomial serta dapat menyelesaikan soal-soal dengan baika akan memudahkan untuk mempelajari modul selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

1. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey. 2. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta. 3. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.

Judul :

BAB

Fungsi Real

I. Pendahuluan E. Latar Belakang

Modul ini akan dibahas perbedaan relasi dan fungsi, jenis fungsi, domain dan daerah hasil (Range) suatu fungsi serta grafik fungsi yang sangat berkaitan dengan modul-modul selanjutnya. Pada kegiatan modul 2, khusus akan dibahas mengenai fungsi satu-satu dan  pada yang disingkat fungsi satu-satu dan bagaimana menggambarkan

grafik 

fungsi sederhana serta bagaimana pula menentukan invers suatu fungsi dan syarat suatu fungsi komposisi dapat ditentukan.

F. Ruang Lingkup Isi

Adapun ruang lingkup materi modul 2 ini meliputi : Fungsi Real, domain dan range fungsi, grafik fungsi, invers fungsi, fungsi kompusisi,dan fungsi implit .

G. Kaitan Modul

Modul ini merupakan konsep dasar bagi modul berikutnya yang mana mahasiswa tersebut dapat memahami konsep fungsi real untuk dapat digunakan  pada modul-modul berikutnya.

H. Sasaran Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat membedakan relasi dan fungsi 2. Mahasiswa dapat menentukan domain dan range suatu fungsi 3. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi sederhana 4. Mahasiswa dapat menentukan invers suatu fungsi 5. Mahasiswa dapat syarat suatu fungsi dapat dikomposisi dan menghitungnya 6. Mahasiswa dapat memebedakan fungsi implisit dan fungsi eksplisit

BAB II. Pembahasan 2.1 Fungsi Real dan Grafik Misalkan  A, B himpunan bagian dari  R (bilangan Riil) yang tidak kosong, maka suatu fungsi bernilai real dari A ke B adalah suatu aturan yang mengawankan setiap unsur di dalam A dengan tepat satu dan hanya satu unsur di dalam B. Jika fungsi dinotasikan dengan f  dan

a ∈ A maka

bilangan  f (a ) disebut nilai fungsi  f  di titik  a.  Notasi

a a  f (a )

menyatakan bahwa  f memetakan a ke  f(a). Definisi 2.1:

Misalkan  A, B

⊆  R , maka fungsi f dari A ke B , ditulis :  f   ⎯→  f  :  A →  B atau  A ⎯   B

yaitu didefinisikan sebagai suatu aturan pemasangan yang mengaitkan setiap unsur   x ∈ A dengan tepat satu unsur   y ∈ B . Unsur yang berkaitan dengan unsur  x ini dilambangkan sebagai  y =  f ( x ) , yang dinamakan aturan fungsi dimana  x dinamakan variabel bebas (independent) dan  y disebut variabel terikat (dependent) Dalam hal ini,  A disebut domain fungsi yang dinotasikan  D f  atau D(f), dan himpunan

{ y ∈ B : y =  f ( x), ∀ x ∈ A} disebut Range dari f, yang dinotasikan R f  atau R(f). Bilamana daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah “ daerah asal alamiah” (natural domain) dari fungsi  f . Catatan

• • •

Istilah fungsi biasa juga disebut “pemetaan” (mapping). Daerah asal biasa disebut “daerah definisi atau domain “ Daerah hasil biasa juga disebut “daerah nilai atau Range”

Disini,  D f  atau  R f  semuanya merupakan himpunan bagian dari  R sehingga fungsi  f  ini dinamakan “fungsi  f  dengan peubah real dan bernilai real“ , disingkat “fungsi real”. Fungsi real  y =  f ( x) dapat

digambarkan

dalam bentuk diagram panah seperti

gambar 2.1.  f   f 

range

Rf 

Df   f 

image

domain

gambar 2.1a

x

gambar 2.1b

 f(x)

pada

Jika diketahui persamaan fungsi  y = f ( x),  x ∈ D f  ,  f ( x ) ∈ R f  , maka : f ( x) adalah peta (image) dari x yang dibawa oleh f , dan x adalah prapeta (antesenden) dari  y. Jadi sebuah bilangan  x dengan bayangannya  f ( x) direpresentasikan melalui sebuah titik  P  ( x,

 f ( x)) , yang biasanya dituliskan sebagai titik  P ( x,y). Ciri-ciri fungsi ditinjau dari diagram panah adalah a) Setiap unsur di dalam domain , melepaskan sebuah anak panah ke sebuah unsur di dalam daerah hasil (range).

Artinya tidak satupun unsur dalam domainnya yang tidak 

melepaskan sebuah anak panah.  b) Setiap anak panah yang dilepaskan dari daerah asal (domain akan mengenai tepat satu sasaran dalam daerah hasil. Ini berarti bahwa tidak mungkin sebuah anak panah akan mengenai lebih dari satu sasaran .

Hal ini berbeda dengan suatu relasi yang

memungkinkan hal tersebut bisa terjadi. c) Mungkin saja terjadi kasus beberapa anak panah yang dilepaskan oleh masing-masing unsur di dalam domain akan mengenai sasaran yang sama di dalam daerah hasilnya. 2.1.1 Grafik

Grafik fungsi  f  :  A

→ B

adalah himpunan semua titik ( x,y) didalam  R2 , dimana

 x ∈ A ,  y =  f ( x) ∈ B dan  A ⊂ R,  B ∈ R . Misal kita mempunyai fungsi  y = f ( x) ,  x ∈ D f  ,  f ( x ) ∈ R f  . Nilai-nilai  x direpresentasikan oleh absis (sumbu- x), sedangkan nilai-nilai  f ( x) direpresentasikan oleh ordinat (sumbu- y). Jadi Himpunan titik-titik ( x,y) yang memenuhi  y = f ( x) dinamakan grafik fungsi  f  yaitu

{( x, y )∈ R × R  y =  f ( x ),  x ∈ D f 

dan  y ∈ R f  }

2.1.2 Domain Dan Range Suatu Fungsi Domain  f  adalah suatu himpunan :  D f  himpunan :  R f 

= { f ( x ) ∈ R x ∈ D f  }

=  x ∈ R  f ( x )∈ R f  dan range  f  adalah suatu

. Untuk menentukan domain dan range fungsi perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh :

Gambar 2.2 berikut merepresentasikan suatu grafik fungsi perubahan temperatur pada suatu ruangan tertentu selama 24 jam.

 f (t ) = temperatur dalam oC 25

20

15

 R 10

5

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

t = waktu dlm jam Df  gambar 2.2

Misal persamaan fungsi temperatur adalah  y

=  f (t ) ; t ∈ R *

* maka  Df  = [0,24] = t ∈ R  f (t ) ∈ R f 

{

 Rf  = [10,21] =  f (t ) ∈ R t ∈ R * 

};

*

R  bilangan real non negatif.

Dari grafik terlihat bahwa untuk  0 ≤ t ≤ 24

maka 10 0

≤  f (t ) ≤ 210 C 



 f (14) = 21, menunjukan bahwa pada jam 1400, temperatur ruangan mencapai 21 0 C



0  f (5) = 10, menunjukkan bahwa pada jam 5, temperatur ruangan mencapai 10 C

2.1.3. Terminologi Fungsi Jika  A, B ⊆  R dan  f suatu fungsi dari  A ke B ditulis  f  : A → B , maka : 1) Fungsi  f  dikatakan fungsi pada (onto function) atau “Surjective” jika setiap unsur dalam himpunan B (range) merupakan bayangan satu atau beberapa unsur dalam himpunan A (domain) lihat gambar 2.3a. 2) Fungsi  f  dikatakan fungsi satu-satu (one to one function) atau “Injective” bila tidak ada dua unsur dalam himpunan A yang memiliki bayangan yang sama dalam himpunan B lihat gambar 2.3b.

3) Fungsi  f  dikatakan fungsi satu-satu dan pada (one to one-onto function) atau “Bijective”  jika f fungsi pada dan sekaligus satu-satu, gambar 2.3c.

 A

 f 

* *

B

*

 A

 f 

*

*

*

*

*

* *  Fungsi pada gambar 2.3a

 f   A

B

* * * * *

B

*

*

*

*

*

*

*

*

 Fungsi pada dan satu-satu gambar 2.3c

 Fungsi satu-satu gambar 2.3b

Catatan

• •

Untuk fungsi satu-satu, bila  x1 , x 2 ∈ Df  dan  x1

≠  x2 ⇒  f ( x1 ) ≠  f ( x2 )

Jika A = B, fungsi f dari A ke A dinamakan fungsi pada  A

Contoh :

 f ( x) =  x + 1 adalah fungsi yang bersifat satu-satu, sebab setiap unsur yang berlainan dalam daerah domain mempunyai bayangan berlainan pula.

2.2 Sifat Simetri Grafik Fungsi

Kadang-kadang dengan melihat kesimetrian dari suatu aturan atau grafik fungsi, sifat fungsi tersebut lebih mudah dikenali atau digambarkan. Sifat simetri yang mudah dikenali adalah simetri terhadap sumbu- x, sumbu- y atau simetri terhadap titik asal. 1. Simetri terhadap sumbu- x. Grafik fungsi  y = f ( x) dikatakan simetri terhadap sumbu  x jika ( x,y) terletak pada grafik  f maka ( x,-y) juga terletak pada grafik  f . Ini berarti grafik fungsi

 f  sekaligus memuat titik ( x,y) dan ( x,-y), dengan kata lain kedua titik tersebut memenuhi  persamaan fungsi f . 2. Simetri terhadap sumbu  y, yaitu bahwa jika ( x,y) terletak pada grafik fungsi  f  maka

 x,y) juga terletak pada grafik fungsi  f.

(-

3. Simetri terhadap titik asal, yaitu bahwa jika titik ( x,y) terletak pada grafik fungsi  f  maka (-x,-y) juga terletak pada grafik fungsi  f. Ini berarti grafik fungsi  f  memuat sekaligus titik  ( x,y) dan (-x,-y). Contoh 2

2

o

Fungsi x = y dan 2 y – 3 x + 1 = 0, grafiknya simetri terhadap sumbu  x.

o

Fungsi y = x2 , grafiknya simetri terhadap sumbu  y.

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Definisi 2.2 :

1.

Fungsi  f  dikatakan “Fungsi Genap”  jika untuk setiap  x ∈  D f 

 berlaku

 f (− x) =  f ( x) 2.

Fungsi f dikatakan “Fungsi Ganjil” jika untuk setiap x ∈  D f  berlaku

 f (− x) = − f ( x)

Catatan : pada definisi di atas, unsur  x dan –x ∈  D f .

Berdasarkan definisi di atas, maka “grafik fungsi genap simetri terhadap su mbu  y” dan grafik  fungsi ganjil simetri terhadap titik asal ( 0,0). Dari pengertian tersebut, sebuah fungsi bukan fungsi genap  jika terdapat suatu  x sehingga

 f (-x) ≠  f ( x) , dan bukan fungsi ganjil jika terdapat s uatu  x ∈  D f  sehingga

 f (-x) ≠  -f ( x). Contoh : 4

2

1. Fungsi f ( x) = 5 x – 3 x + 1 adalah fungsi genap, karena 4 2 4 2  f ( x) = 5( -x) – 3(-x) + 1 = 5 x – 3 x + 1 = f( x). 3

2. Fungsi f ( x) = 2 x + 4 x adalah fungsi ganjil, karena 3 3 3  f (-x) = 2(-x) + 4(- x) = -2 x - 4 x = -(2 x + 4 x) = - f( x).

2.3 Operasi Pada Beberapa Fungsi

∈ D f 

Definisi 2.3 :

Misalkan diberikan dua buah fungsi  f  dan  g , dengan peubah bebas  x, maka  jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari  f dan g ditulis sebagai f + g ; f – 

 g ; f.g dan

 f  , didefinisikan sebagai  g 

a). ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)

 b). ( f – g )( x) = f ( x) – g ( x)

c). ( f g )( x) = f ( x) . g ( x)

d).

⎛  f  ⎞  f ( x) ⎜⎜ ⎟⎟( x) = , g ( x) ≠ 0 ( )  g   g   x ⎝   ⎠

Jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya maka a). D f + g  = D f 

∩ D g 

 b). D f – g  = D f  ∩ D g 

c). D f . g  = D f 

∩ D g 

d).  D f 

= D f 

∩ D g  – { x ∈  R : g ( x) = 0 }

 g 

Tampak bahwa D f + g  = D f – g  = D f . g  ; tetapi tidak sama dengan  D f  .  g 

Contoh :

Diberikan  f ( x) =

 x

+1

dan  g ( x) =

1 − x  x

; Tentukan aturan fungsi  f + g ; f . g dan tentukan

daerah definisinya masing-masing.

Penyelesaian :

a). Jumlah dari f dan g adalah ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) =

 x  x + 1

+

1 − x

=

 x 2

+ (1 − x)( x + 1 1 =  x( x + 1)  x( x + 1)

daerah definisinya adalah  D f + g  = D f  ∩  D g  = R – {-1} ∩ R – {0} = R – {-1,0} . Jadi daerah asal dari f + g adalah semua bilangan real kecuali -1 dan 0.

 b). Hasil kali dari fungsi f dan g adalah

 x  ⎞ ⎛ 1 − x ⎞  x(1 − x ) 1 − x ( f . g )( x ) =  f ( x ). g ( x ) = ⎛  = ⎜ ⎟.⎜ ⎟= ⎝  x + 1 ⎠ ⎝   x  ⎠  x( x + 1)  x + 1 dan  D fg  = D f  I  D g  = R − {− 1,0}

2.4 FUNGSI-FUNGSI KHUSUS 2.4.1 FUNGSI POLINOM (FUNGSI SUKU BANYAK) Definisi 2.4 :

Fungsi f yang didefinisikan sebagai  f ( x ) = a0

+ a1 x + a2 x 2 + L + a n x n

dengan n bilangan bulat non negatif dan a0 , a1 , ....., an adalah konstanta real, dinamakan “fungsi polinom (fungsi suku banyak)”.

• Jika a n ≠ 0, maka “derajat” fungsi polinom tersebut adalah n. • Jika n = 0, maka diperoleh  f ( x ) = a0 untuk semua  x, maka fungsi polinom tersebut adalah fungsi konstan.

Jadi suatu fungsi konstan yang nilainya tidak nol dianggap

sebagai suatu fungsi polinom yang derajatnya nol

• Jika a0 = 0

dan n = 0, maka derajat fungsi polinom tidak terdefinisi. Fungsi polinom

tanpa derajat ini disebut “fungsi nol” oleh karena nilainya  f ( x ) = 0 untuk semua x.

•

Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat 1, yang dapat dituliskan dalam bentuk 

 f ( x ) = a 0

+ a1 x

atau

 f ( x ) = ax + b , dengan a dan b adalah konstanta , dan a ≠ 0 Grafiknya merupakan garis lurus dengan tanjakan a dan memotong sumbu  y dititik (0,b), (gambar 2.27). Jika a = 1 dan b = 0 diperoleh  f ( x ) =  x yang dinamakan fungsi satuan (fungsi identitas).

•

Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam bentuk 

 f ( x ) = a 0

+ a1 x + a 2 x 2 atau

 f ( x ) = ax 2 + bx + c dengan a, b, c adalah konstanta dan a ≠ 0

Grafiknya adalah suatu parabola yang simetri dengan garis vertikal  x mempunyai titik puncak di

⎛ − b , − D ⎞ ⎜ ⎟ ⎝  2a 4a  ⎠

dimana  D

=

−b 2a

, dan

= b 2 − 4ac .

Contoh :

Misalkan C1, C2 , C3 , berturut-turut grafik fungsi kuadrat 1  f ( x ) =  x 2 ,  f ( x ) = 3 x 2 dan  f ( x ) =  x 2 , lihat gambar 2.4.1 2 C2

C1

C3

14

12

10

8

6

4

2

0 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2

gambar 2.4.1

Perhatikan bahwa grafik  C 2 lebih ramping dari grafik  C 1, sedangkan grafik  C 3 lebih lebar  dari C 1.

•

Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapat dituliskan dalam bentuk 

 f ( x ) = a 0

+ a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d  ,

atau

a, b, c, d  konstanta dan a ≠ 0.

Grafik fungsi kubik ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik. Untuk kasus a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak (gambar  2.4.1a). Untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak (gambar  2.4.1b).

y = ax3+bx2+cx+d a<0

20   0   2

3

y = ax3 a>0

2

y = ax +bx +cx+d a>0

10

y = ax 3 a<0

  0   1

0 -3

-2

-1

0

1

2

  0

3   3

  2

  1

  0

  1  -

  2  -

  3 -

-10   0   1  -

-20   0   2  -

gambar 2.4.1a

gambar 2.4.1b

2.4.2 FUNGSI RASIONAL Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua fungsi polinom, yaitu :

+ a1 x + a 2 x 2 + L + a n x n  f ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + L + bm x m a0

untuk semua x yang membuat penyebut tidak nol. Contoh :

 f ( x ) =

+1 ; x ≠ 1  x − 1

 x 2

adalah fungsi rasional

2.4.3 FUNGSI IRRASIONAL Fungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang tidak rasional yaitu mengandung faktor   penarikan akar. Contoh :

 f ( x ) = x 2

+ 3  x 3 − x ;  g ( x ) =

2 x − 1  x

2

−1

dan

2.4.4 Fungsi Nilai Mutlak Domain

: R, himpunan bilangan real

Range

: Bilangan real non negatif 

Lambang

:  x

Definisi

:  f ( x ) =  x

Grafik

: gabungan dua buah “semi garis”, yaitu :

⎧ x  jika  x ≥ 0 =⎨ ⎩− x  jika  x < 0

 x − x 2

+6

 f 1 ( x ) = x ,  jika  x ≥ 0 dan  f 2 ( x ) = − x ,  jika  x < 0 Fungsi ini mempunyai dua aturan yaitu fungsi  f 1 ( x ) =  x pada selang [0, ∞ ) dan fungsi

 f 2 ( x ) = − x pada selang

(− ∞,0], sehingga  D f  = D f 1 U D f 2 , dan fungsi  f  berubah

sifat di

titik  x  x = 0. y

f 1

f 2 2 1

-2

0

1

x

gambar 2.4.4

Fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak dapat dituliskan sebagai fungsi dengan “banyak  aturan”.

Contoh :

1. fungsi  f ( x ) =  x − 2 dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu :

⎧ x − 2  jika  x ≥ 2  f ( x ) = ⎨ ⎩2 − x  jika  x < 2

y 2

 f berubah sifat di  x = 2

1 0

2

x

gambar 2.4.4a

2.4.5 Fungsi Bilangan Bulat Terbesar (Fungsi Tangga) Domain

: R 

Range

: Himpunan bilangan bulat

Lambang : [ x ] menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, yaitu :

[ x] = n

,  jika n ≤  x < n + 1 , n bilangan bulat .

Fungsi  f ( x ) = [ x] dinamakan fungsi bilangan bulat terbesar. Grafiknya : menyerupai tangga (lihat gbr. 2.4.5b). Jika  x ∈ R , maka tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan  x, yang pada garis bilangan digambarkan di sebelah kiri  x.

 x

↓ | n–2

| n–1

| n

| x

| n+1

| n+2

......  bilangan bulat yang

≤ gambar 2.4.5a

diantara semua bilangan bulat tersebut ada “yang terbesar” dan bilangan terbesar inilah yang dimaksud [ x ] Contoh : 

 jika  x = 3,6  , maka terdapat bilangan bulat - 2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 yang semuanya lebih kecil dari 3,6. Dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat bulat 3 yang terbesar, sehingga [3,6] = 3



demikian juga jika  x = -2, maka terdapat ......, -5 , -4 , -3 , -2 yang semuanya lebih kecil atau sama dengan -2, dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat -2 yang terbesar sehingga

[− 2] = −2 .

Jadi : 

[3,6] = 3 , sebab bilangan 3 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 3,6



[− 1,4] = −2 , sebab bilangan -2 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 1,4

Demikian juga

[0,3] = 0

Untuk

= 1 ; [π ] = 3 ; [0] = 0 menggambarkan grafik fungsi  f ( x ) = [ x ] , perhatikan [ x] = n ,  jika n ≤  x < n + 1 , n bilangan bulat. ;

[− 0,3] = −1

;

2

Jika dipilih n = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , diperoleh :

langkah=langkah berikut :

⇒ −2 ≤  x < −1 ⇒ [ x] = −2 ⇒  f ( x ) = −2 n = −1 ⇒ −1 ≤  x < 0 ⇒ [ x ] = −1 ⇒  f ( x ) = −1 n = 0 ⇒ 0 ≤  x < 1 ⇒ [ x] = 0 ⇒  f ( x ) = 0 n =1 ⇒ 1 ≤  x < 2 ⇒ [ x ] =1 ⇒  f ( x ) = 1 n = 2 ⇒ 2 ≤  x < 3 ⇒ [ x ] = 2 ⇒  f ( x ) = 2 n = 3 ⇒ 3 ≤  x < 4 ⇒ [ x ] = 3 ⇒  f ( x ) = 3 n = −2

⎧LLLLL ⎪− 2 , jika − 2 ≤ x < −1 ⎪ ⎪− 1 , jika − 1 ≤ x < 0 ⎪ ⎪⎪0 ,  jika 0 ≤ x < 1 Jadi  f ( x ) = [ x] = ⎨1 ,  jika 1 ≤  x < 2 ⎪2 ,  jika 2 ≤ x < 3 ⎪ ⎪3 ,  jika 3 ≤ x < 4 ⎪LLLLL ⎪ ⎪⎩n ,  jika n ≤ x < n + 1

 y 3 2 1

 x -3

-2

-1

-1

1

2

3

-2

grafiknya digambarkan pada gambar 2.39 -3

Grafik 

 f ( x ) = [ x ]

Gbr. 2.4.5b

2.5 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 2.5.1 Fungsi Komposisi Komposisi (Fungsi (Fungsi Bersusun) Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

 f : A → B dan g : B → C, Jika R f f  ∩ Dg ≠ ∅ , maka terdapat fungsi h : A → C  yang merupakan  fungsi komposisi dari  f  dan  g ( f dilanjutkan g) yang ditulis g o f dan aturannya ditentukan oleh :

h(x) = (g ο f)(x) = g(f(x))

 x• 

 f  >

 f(x)

 g  >

 g(f(x))

 g o f 

gambar 2.5.1

Daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi  g o f  masing-masing adalah :

D g ο f  = { x∈  A |  f ( x)∈  B}={ x ∈  D f  |f ( x) ∈  D g } , dan R  g ο f  = { y∈ C |  y = g (t ) , t ∈ R    f } Dalam hal ini D g o f  adalah himpunan bagian dari D f . Selanjutnya, fungsi komposisi  f o g  dirancang serupa, dengan  f dan g saling bertukar peran.

Misalnya R g

∩ Df  ≠ ∅, maka fungsi komposisi dari  f  dan  g  ( g  dilanjutkan  f ) ditulis  f o g  dan

aturannya ditentukan oleh ( f o g ) ( x) = f ( g ( x) ) Daerah asal dan derah hasil fungsi komposisi  f o g masing-masing adalah D f o g  = { x ∈ Dg | g(x) ∈ Df  } dan R f o g  = { y ∈ R f  | y = f(t), t ∈ R g } Dalam hal ini D f o g  adalah himpunan bagian dari D g. Catatan  f o g  ≠  g o f  Contoh :

Tentukan fungsi komposisi  f ο g; g ο f  dan tentukan pula daerah definisi fungsi komposisi dari fungsi-fungsi berikut:

 f ( x) =  x + 5 ,  g ( x) =

1

 x − 4

Penyelesaian : :

 f ( x) =  x + 5 ,  g ( x ) =

1

 x − 4

⎛  1  ⎞ = 1 + 5 (i).  f  o g ( x) =  f ( g ( x) ) =  f ⎜ ⎟ ⎝  x − 4 ⎠  x − 4 fungsi komposisinya dijamin oleh :

 R g  ∩ D f 

= [(−∞,0) ∪ (0, ∞)] ∩ (−∞, ∞) =  R − { 0 } ≠ ∅

 D f o g 

=  x ∈ D g   g ( x) ∈ D f 

= { x ∈ R  x ≠ 0}

(ii).  g o  f ( x) =  g ( f ( x) ) =  g ( x + 5) =

 R f 

1

 x + 1

, fungsi komposisinya dijamin oleh :

∩ D g  = { x ∈ R  x ≠ 0} ≠ ∅

 D g o f 

=  x ∈ D f   f ( x) ∈ D g  =  x ∈ D f   x + 5 ∈ D g 

= { x ∈ D f   x + 5 ≠ 4} =  x ∈ D f   x ≠ −1

2.5.2 FUNGSI INVERS (FUNGSI BALIKAN) Perhatikan kembali definisi fungsi satu-satu pada pembahasan yang lalu. Jika

 f: : A→  B suatu fungsi dari  A ke  B.  f dikatakan “ fungsi satu-satu” jika dan hanya jika untuk  setiap dua elemen  x1 , x2 ∈  A , x1≠  x2 mengakibatkan  f(x1 ) ≠  f( x2 ). Dengan kata lain  f  dikatakan fungsi satu-satu jika hanya jika tidak terdapat dua elemen berlainan dalam daerah asal yang memiliki pemadanan (peta) yang sa ma dalam daerah nilai. Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dapat diperiksa dengan menarik garis mendatar sejajar sumbu  x. Setiap garis mendatar   y = k , k  ∈  R f  , hanya memotong grafik  fungsi di satu titik. Fungsi  f  bersifat

satu-satu (one-to-one function) menjamin adanya

 –1

fungsi invers (fungsi balikan )  f  . Teorema :

Jika f adalah fungsi satu-satu , maka terdapat satu dan hanya satu fungsi  g yang terdefenisi  pada range (daerah nilai) f dan memenuhi persamaan  f ( g ( x) ) =  x, ∀ x ∈ R f  -1

Fungsi g pada teorema 2.5 selanjutnya disebut inverse dari  f dan dinotasikan f  .

 A

 f 

-1

 A

 B •  y  f(x)

 x• 

 f 

 B

 x•  -1  f  (y)

•  y

-1

 x = f  (y)

 y = f(x) gambar 2.5.2

Jika  f  adalah fungsi satu-satu, maka terdapat satu dan hanya satu fungsi  g  yang terdefinisi  pada range  f  dan memenuhi persamaan  f(g(x) ) = x, ∀  x∈  R f . Fungsi  g  pada teorema diatas selanjutnya disebut inverse dari  f dan dinotasikan oleh  f -1.

Contoh:

Carilah inversi dari  f  yang mempunyai aturan :  f ( x) =  x 3 .

Penyelesaian : :

 f ( f  −1 ( x) ) =  x karena  f ( x) =  x 3 , maka  f ( f  −1 ( x) ) = ( f  −1 ( x) )

⇒ ( f  −1 ( x) ) =  x 3

⇒  f  −1 ( x) =  x

1

3

2.5 Fungsi Transenden Fungsi yang dibahas pada uraian terdahulu adalah fungsi-fungsi Aljabar. Selanjutnya, fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden, meliputi fungsi trigonometri dan inversnya, fungsi logaritma dan inversnya.

 2.6.1 Fungsi Trigonometri Misalkan bahwa sebuah lingkaran satuan yang berpusat di titik asal 0 dengan jari-jari 1 dalam koordinat kartesian, sebuah sudut

θ

(dalam satuan derajat) diperoleh dengan

memutar (berlawanan arah jarum jam) dari lingkaran tersebut dari titik (1,0) pada sumbu- x yang panjangnya u (dalam satuan radian) untuk lengkungan tempuhnya. Karena panjang  busur lingkaran satuan adalah 2π , maka θ  = 360 o ×

u 2π 

,

atau u

=

θ  360 o

2π 

Perhatikan suatu titik P( x,y) pada sistem koordinat kartesian, ditransformasi menjadi titik  P’(u,r )  pada sistem koordinat kutub (polar), maka diperoleh hubungan persamaan: sin u = cos u =

 y r   x r 

⇔  y = r sin u ⇔  x = r cos u ;

r = jari-jari lingkaran yang berpusat di titik asal 0 Apabila dipilih sebuah lingkaran satuan ( r =1), diperoleh hubungan : sin u = y;

tan u =

cos u = x ;

cot u =

sin u cos u cos u sin u

 y

= ;  x  x

= ;  y

sec u =

1

=

1

cos u  x 1 1 cosec u = = sin u  y

=

= -

Lin karan Koordinat Kartesian

Gambar

Pilih sudut θ yang bersesuaian dengan u, P disebut titik tunggal pada lingkaran satuan dengan pusat 0. Perhatikan bahwa titik P’ (u,r)  pada lingkaran satuan di atas berpadanan dengan radian u, dan juga berpadanan dengan tiap bilangan (u+k.2π  ) dengan k  bilangan  bulat sembarang sehingga berlaku :

 y = sin u = sin(u+2k π )   x = cos u = cos(u+2k π )  ; k = 0,± 1, ± 2, …… Ini berarti nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang-selang kelipatan 2 π. Oleh karena itu fungsi trigonometri disebut  periodik. Suatu fungsi  f disebut periodik jika terdapat suatu bilangan positif   p sedemikian sehingga:

 f(x+p) = f(x), untuk setiap x ∈ D f   bilangan positif  p terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut “periodik fungsi”. Fungsi Sinus, Cosinus, Secan, Cosecan mempunyai periode

2π. Fungsi tangen dan cotangen

mempunyai perioda π.

2.6.2 Grafik Fungsi Trigonometri

1.

Grafik   y = sin x dan y = cos x y

cos x

sin x

1

-2π

-

-π

-π/2

0 -1 gambar 2.6.2a

π/

π

3π/2

2π

2. Grafik  y = tan x

1

-π/2

-π

-

0

π/2

π

3π/

-1

gambar 2.6.2b

Contoh :

Tentukan perioda kemudian gambar grafik dari fungsi

 f(x) = 3 sin (1/2)x

Penyelesaian : :

a.  f(x) = 3 sin (1/2)x; karena sin x mempunyai perioda 2 π, berarti sin(1/2)x mempunyai  perioda 4π, berarti  f(x) = 3sin(1/2)x berperioda 4π 

 f(x) memotong sumbu  x jika 3 sin(1/2)x = 0, yaitu untuk  x = 0, ±2π, ±4π, ±6π,…  f(x) mencapai maksimum 3 bila  x = π ± 4k π, k = 0, ±  1, ±  2, ……  f(x) mencapai minimum -3 bila  x = -π ± 4k π, k = 0, ±  1, ±  2, ……

Gambar Grafik sebagai berikut:

3sin (1/2)x

3

-4π

-3π

-2π

-π

0

π

2π

3π

4π

-3 gambar 2.55

2.6.3

FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Telah dijelaskan pada uraian terdahulu bahwa fungsi-fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi satu-satu atau fungsi monoton (naik/turun). Fungsi trigonometri adalah fungsi  periodik sehingga tidak bersifat satu-satu. Namun kita dapat membatasi domainnya (memilih interval) dimana fungsi trigonometri tersebut bersifat satu-satu.

Perhatikan fungsi sinus dalam domain [- π/2 ,π/2] bersifat satu-satu (monoton naik), maka fungsi sinus dalam domain [- π/2,π/2] mempunyai fungsi invers. Definisi 2.6 :

Misalkan  y = f(x) = sin x  bersifat satu-satu dalam suatu selang, maka:

 y = sin x jika hanya jika x = arcsin y atau ditulis:  y = sin x

x = arcsin y

⇔ 

 baca: x sama dengan arkus sinus y yang merupakan fungsi invers sinus dinotasikan (  –1

 f  (x) = arcsin x) Jadi

 y=sin x ⇔  x = arcsin y atau -1  f(x)=sin x ⇔  f  (x) = arcsin x

Perhatikan kembali:

 y = f(x) = sin x ⇔ 

–1 x = f  (y) = arcsin y, dengan menukarkan variabel  y dengan  x

diperoleh :  x = f –1(x) = arcsin x atau sering ditulis  f –1(x) = sin –1(x)(   baca: arkus sinus x) Catatan 1 sin x

Tanda pangkat (-1) adalah pengertian arkus atau invers dan bukannya

Karena fungsi sinus kontinu dan monoton naik pada selang tutup [- π/2,π/2], maka fungsi invers sinus juga kontinu dan monoton naik pada selang tertutup [-1,1]. Perhatikan grafik   berikut:

 y

 y = x

1

π/

 y =sin x

π/2  x

-π/2

 y = x

 y

-1

-1

 y =sin

1

π/

-1

 D f  –1 =[-1,1] -1  R f  = [-π  /2,π  /2]

 D f  = [-π  /2,π  /2]  R f  = [-1,1] gambar 2.6.3

 x

Perhatikan kedua grafik di atas : 1. Domain fungsi sinus merupakan range fungsi invers sinus dan sebaliknya. 2. Grafik arcsin x dan sin x merupakan pencerminan terhadap garis  y = x Dengan metode yang serupa di atas kita dapat menentukan fungsi invers kosinus. Fungsi invers cosinus kontinu dan monoton turun pada selang tertutup [0, π], maka ia mempunyai invers yaitu  Arkus Cosinus yang disebut fungsi invers cosinus. Jadi

 y = cos x

⇔ 

x = arccos y yang dinotasikan f  –1(x) = arccos x yang

merupakan fungsi invers cosinus. Daerah definisi fungsi invers cosinus adalah [-1,1] dan daerah hasilnya (Range) adalah [0,π], gambar grafik sebagai berikut:

 y

 y

π

1

 y =cos x  x

π/2

0

π

 y =arccos x

π/2

-1

 D f  = [0,π  ] ambar 2.6.3a

0

-1

1

 x

 –1

 D f  =[-1,1] -1  R f  = [0,π  ]

Grafik   f  dan

 f 

-1

simetri terhadap garis y = x. Perhatikan bila kedua grafik di atas

digambar dalam satu sumbu sebagai berikut:

= =

2.6.4 Fungsi Logaritma Dan Fungsi Eksponen 2.6.4.1 Fungsi Logaritma Asli Logaritma basis a dari suatu bilangan x ditulis alog x atau log a x a>0, a ≠ 1 Logaritma basis 10 ( a = 10) dari suatu bilangan  x ditulis log x, disebut logaritma biasa. (basis 10 tidak ditulis) Logaritma basis e ( e ≈ 2,71828) dari suatu bilangan  x ditulis ln x, disebut logaritma asli. Sekarang kita akan membahas fungsi logaritma asli. Definisi :

Fungsi logaritma asli didefinisikan sebagai:  x

ln x =

1

∫ t dt 

;  x

>0

1

daerah definisi adalah semua bilangan riil pos itif. Karena

1

t 

> 0 , ∀ t > 0 maka:

⎧⎪bernilai positif  untuk   x > 1 ln x = ⎨bernilai 0 untuk   x = 1 ⎪⎩bernilai negatif  untuk  0 <  x < 1 grafik   y = ln x memotong sumbu  x hanya dititik (1,0), di sebelah kanan titik (1,0), grafiknya  berada di atas sumbu  x dan di sebelah kiri titik (1,0), grafiknya berada di bawah sumbu  x. Lengkungan grafiknya kontinu, monoton naik dan cekung ke bawah.

2

 y  y = ln x

1 (1,0) 0

2

3

4

 x

 D f = (0,∞)  R f = (-∞,+∞) gambar 2.6.4

Sifat-Sifat Logaritma Asli Misalkan a dan b bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:

1

1

∫ t dt  = 0

1. ln 1 = 0 ; karena ln 1 =

1

2. ln ab = ln a + ln b

⎛ a ⎞ = ln a - ln b ⎟ ⎝ b ⎠

3. ln⎜

4. ln an = n ln a

Definisi 2.8 :

(i.) Persamaan ln x = 1 mempunyai Penyelesaian : tunggal yang dinyatakan oleh e, yaitu: ln e = 1

e = 2,71828182845…

(nilai hampiran)

e disebut bilangan Euler (Leonard Euler) (ii.)Jika  x bilangan riil maka e x  bilangan tunggal yang memenuhi : ln e x = x, x∈ℜ 

Contoh :

Gunakan sifat-sifat logaritma asli untuk menyederhanakan fungsi:  f ( x ) = ln 5

 x − 2  x 4

Penyelesaian : :

⎛   x − 2 ⎞  x − 2 ⎞ ⎟ = ln⎛  ln⎜ 5 ⎜ 4 4 ⎟ ⎜  x ⎟  x ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

1

5

=

⎛  x − 2 ⎞ 1 ln⎜ 4 ⎟ = (ln( x − 2) − ln x 4 ) 5 ⎝   x  ⎠ 5 1

=

1 5

ln( x − 2) −

4 5

ln x

2.6.4.2 Fungsi Logaritma Dengan Basis Bukan e

Fungsi logaritma dengan basis a ditulis: a a  y = f(x) = log x atau  y = log x dengan a > 0 dan a ≠ 1

Pada pembahasan lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa : a  x  y = log x ⇔  y = a

Sifat-Sifat  Misalkan x dan y bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku: 1.

a

2.

a

log xy = alog x + alog y

3.

a

log

4.

a

log 1 = 0

 x  y

= alog x - alog y

log xn = n alog x

5.

a

log x =

 p

log x

 p

log a

=

ln x ln a

;a

> 0, a ≠ 1;  p > 0,  p ≠ 1

2.6.4.3 Fungsi Eksponen Definisi :

Fungsi eksponen didefinisikan sebagai :  x

 x

atau

 f(x) = e

 y = e ,

x∈ℜ  dengan domain (-∞,+∞) dan rangenya adalah

(0,+∞) Teorema :  x  y = e ⇔  x = ln y

 x

 y

 y =e

 y = x

 Bukti:

⇒  y = e x

⇒  ln y = ln e x = x ln e = x  x

Jadi y = e ⇒  x = ln y ……… (1)  x

1  x

⇐   jika  x = ln y ⇒  ln e = ln y ⇒  e = y Jadi x = ln ⇒  y = e x

……… (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

 y =

 y = ln

 x

-2 -1

0

1

 x  y = e ⇔  x = ln y

Dari

uraian di atas, dapat disimpulkan

 bahwa :

“fungsi eksponen saling invers dengan fungsi Gambar. 2.6.4.3

logaritma” Jadi :  –1  x  Jika f(x) = ln x ⇒  f  (x) = e  x

 Jika f(x) = e

 –1

⇒  f  (x) = ln x



ln (e x ) = x, untuk  x∈ℜ 



e

ln x

= x, untuk x > 0

Sifat-Sifat Eksponen

Jika a dan b bilangan riil sembarang, maka berlaku: 1. e0 = 1 2. eaeb = ea+b

2

3

 x

ea

3.

e

b

= e a e −b = e a −b

(e ) = e a b

4.

ab

5. eaeb = ea+b

ea

6.

e

b

= e a e −b = e a −b

(e ) = e a b

7.

ab

2.6.4.4 Fungsi Eksponen Basis Bukan e Definisi :

Jika a bilangan positif dan  x bilangan riil, maka fungsi  f  dengan persamaan:  x

 f(x) = a

 x

atau

disebut fungsi eksponen basis a

y=a

Batasan :

= a x ln a y = alog x

a x a

 y

Jika  y = log x maka a = a

⇔ a

log x

 y

 x = a

 y

dengan a>0 , a ≠  1, dan y positif 

, tetapi a =  x berarti a

a

log x

= x dengan a>0

ln a

 y

Jika  y = ln x maka a = e = e  ,  jika keduanya dipangkatkan  x diperoleh:

= (e ln a ) = e x ln a  x

a x

 jadi

Sifat-Sifat

Jika a dan b bilangan positif dan dan x, y  bilangan riil, maka berlaku: 0

a =1 a x = a x a − y  y a  x  x

 x  y

 x+y

4. a a = a

= a x− y

5.

(a ) = a  x  y

 xy

 x

a b = (ab)

T U G A S 2. A. Untuk soal no 1 sampai dengan no 6, tentukan daerah asal dan daerah hasil/daerah nilai dari setiap fungsi berikut.

1).  f ( x) = 3 − 2 x − x 2 3). . f ( x) = 5). f ( x) =

2).  f ( x ) = 1 − 2sin x

1

 x( x − 2)

4). f ( x ) =

1 − x 2 1

 x − 1

6).  f ( x) =

( x − 1)3

 x 1 − x

B. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan tentukan apakah fungsi genap atau fungsi fungsi ganjil atau bukan fungsi genap dan bukan fungsi fungsi ganjil.

a ).  f ( x ) = 5 x 3

− 7 x

b).  f ( x ) =

 x − 1  x + 1

c)  f ( x ) = 2 x 4

− 3 x 2 + 1

C. Tentukan aturan fungsi  f + g ; f – g  dan  f/g  dari fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan pula daerah asal dari hasil operasinya.

a ).  f ( x ) = x − 5 ;  g ( x ) = x 2

b).  f ( x ) =  x ;  g ( x ) = x 2

−1

+1

D. Gambarkan grafik fungsi fungsi berikut: 1.

2.  f ( x ) = −[ x ];

 f ( x ) = 2 x

4.  f ( x ) =

 x

[ x ]

dan  f ( x ) =

 x

− 2 ≤ x ≤ 2

 x

3.  f ( x ) =

 x

dan  f ( x ) = x x

5.  f ( x ) = sin x

 x

⎧| x | −5 ,  jika | x | ≥ 5 ⎪  f ( x) = ⎨ ⎪ 25 − x 2 ,  jika  x < 5 ⎩

,  x ≤ 0 ⎧1 ⎪ 7.  f ( x) = ⎨ x + 1 ,0 < x < 2 ⎪ x 2 − 1 ,  x ≥ 2 ⎩

E. Periksa apakah pada soal 1 – 9 adalh adalh fungsi satu-satu dan dan jika dia adalah  f  satu-satu carilah inversnya. 1.  f ( x)

= 5 x + 3

4.  f ( x) = x

3

5

2.  f ( x) = 1 − x 2 5.  f ( x) =

 x  x

3.  f ( x) = x 5 6.  f ( x) =

+1

1 1 − x

−2

BAB III

PENUTUP

Keberhasilan mahasiswa memahami konsep fungsi real secara umum umum

akan

memudahkan mahasiswa tersebut dalam mempelajari matematika lanjutan seperti matematika dasar 2 dan lebih mudah untuk menerapkan menerapkan pada bidang ilmu lain

DAFTAR PUSTAKA

4. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey. 5. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Erlangga. Jakarta. 6. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.

Judul :

BAB

Limit Fungsi dan Kontinutas

I. Pendahuluan I. Latar Belakang

Modul ini akan dibahas limit fungsi dan kontinutas suatu fungsi yang sangat  berkaitan dengan modul berikut berikut yaitu modul tentang turunan fungsi. Pada kegiatan modul 3 ini akan dibahas secara detail mengenai mengenai definisi definisi limit fungsi baik secara intuitif maupun secara formal dan teknik-teknik  menghitung limit fungsi dan dilanjutkan pengertian kontinutas suatu fungsi yang sangat erat kaitannya dengan limit fungsi.

J. Ruang Lingkup Isi

Adapu ruang lingkup materi modul 3 ini meliputi : Definisi limit fungsi , limit kiri dan limit kanan suatu fungsi, kontinutas suatu fungsi, kontinu kiri dan kontinu kanan serta kontinu selang pada suatu fungsi.

K. Kaitan Modul

Modul ini merupakan merupakan konsep bagi modul modul berikutnya dan sangat berkaitan dengan modul sebelumnya yang mana mahasiswa dapat memahami konsep limit dan kontinutas kontinutas suatu fungsi yang akan digunakan pada pada modul berikutnya.

L. Sasaran Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menulis seraca tepat definisi limit secara formal 2. Mahasiswa dapat

menghitung nilai δ  bila nilai ε  ditentukan dengan

menggunakan definisi limit 3. Mahasiswa dapat menghitung nilai limit suatu fungsi 4. Mahasiswa dapat menentukan kekontinuan suatu fungsi

BAB II. Pembahasan 2.1 Limit Fungsi Di Suatu Titik 2.1.1 Pengertian Intuitif  Untuk memahami pengertian limit fungsi pada suatu titik , pandang sebuah fungsi yang didefinisikan seperti berikut ini :

 f ( x ) =

−1  x − 1

 x 3

Fungsi f jelas tidak terdefinisi dititik  x = 1 , karena pada titik tersebut nilai fungsi adalah

0 0

.

Tetapi pertanyaan yang mungkin timbul adalah “ bagaimana nilai f(x) disekitar x = 1 ?” . Apakah f(x) “ mendekati “ nilai tertentu bila  x “ mendekati ” 1 ?. Istilah “mendekati “ disini menggunakan pengertian ukuran jarak dua titik pada garis yang dinyatakan dalam “nilai mutlak”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut , ada beberapa hal yang dapat dilakukan , dua diantaranya adalah : 1. Menghitung nilai-nilai  f untuk  x yang mendekati 1, seperti yang dinyatakan pada tabel 1. Tabel 1: Nilai  f  disekitar  x = 1.

0,75

 X 

−1  x − 1

 x 3

0,9

0,99

0,999

1

2,313 2,70 2,970 2,997

?

1,001

1,01

1,1

3.030 3,310

1,25 3,813

Tabel 1 menunjukkan bahwa nilai  f(x) akan mendekati 3 apabila  x dibuat cukup dekat dengan 1. Dengan kata lain, jika  x mendekati 1 dan  x

≠ 1 maka  f(x) mendekati 3. Jadi ,  f 

dapat dibuat sedekat mungkin ke 3 dengan cara mengambil nilai  x cukup dekat ke 1, tetapi  x ≠ 1 . 2. Sketsa grafik  y

Grafik   y

=

=  f ( x) −1  x − 1

 x 3

ditunjukkan dengan gambar 1 berikut :

 f(x)

3

 f(x) 1

gambar 1

Grafik   f  terpotong di  x = 1 (ditandai dengan bulatan kosong “0”) menunjukkan nilai

 f(1) tidak ada ( f  tidak terdefinisi di  x = 1). Meskipun demikan , dari grafik tersebut terlihat  bahwa apabila x semakin mendekati 1, nilai f(x) semakin mendekati 3. Informasi yang diperlukan dari bagian. 1 dan 2. adalah :

−1  x − 1

 x 3

o

 f ( x ) =

o

Jarak   f ( x ) =

mendekati 3 jika  x mendekati 1 ,  x

−1  x − 1

 x 3

ke- 3 dapat dibuat sedekat mungkin dengan cara membuat jarak 

 x ke-1 cukup dekat ,  x o

≠ 1 atau

≠ 1 atau

−1 − 3 dapat dibuat sekecil mungkin dengan cara membuat  x − 1 cukup kecil  x − 1

 x 3

 pula , dengan  x

≠1.

Informasi-informasi tersebut dalam notasi matematika dinyatakan sebagai :  x 3 − 1 lim =3  x →1  x − 1  x 3 − 1 disebut “limit untuk  x mendekati 1 dari adalah 3.  x − 1 Pengertian limit secara umum dinyatakan dalam definisi berikut :

Definisi 1. (Pengertian Secara Intuisi) Fungsi “ f  mempunyai limit L pada titik  x = a” berarti bahwa  f(x)

mendekati L apabila  x cukup dekat (tetapi berbeda) dengan a, dan ditulis :

Jika pengertian “dekat” dalam definisi 1, menggunakan ukuran bilangan ε  dan δ  (yang cukkup kecil), maka definisi limit dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

Definisi 2. (Pengertian formal)

Misalkan a

adalah sebuah titik dalam selang buka  I, dan  f  fungsi yang

terdefinisi pada setiap titik di dalam I , kecuali mungkin di titik  a sendiri.

“Limit fungsi f di titik a adalah L” dan dinotasikan sebagai: lim  f ( x ) = L jika dan  x → a

hanya jika untuk setiap bilangan

δ

ditentukan bilangan

ε

positif (bagaimanapun kecilnya) selalu dapat

positif sedemikian sehingga jika 0 <  x − a <

 f ( x ) − L < ε.

Penjelasan secra geometri, diperlihatkan pada gambar 2.

 f(x)

 f(x)

ε  {  L ε  {

 L

a

C-δ a

 x

Untuk setiap ε  > 0

 x

Sehingga 0 < |  x-a | < δ

 f(x)

 f(x)

 L+ε  L  L-ε

 L

δ a δ

 x

a | f(x)-L | < ε

terdapat δ > 0 gambar 2 : Interpretasi geometri limit fungsi

 x

δ

maka

Jadi yang pertama diberikan adalah bilangan ε, sedangkan δ ditentukan kemudian dan  pada umumnya bergantung pada ε.

Contoh :

Buktikan bahwa : lim (3 x − 7) = 5

 x → 4

Analisis awal : Kita akan menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan

ε

> 0 (bagaimana pun kecilnya),

dapat ditentukan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 <  x − 4

< δ  ⇒ (3 x − 7 ) − 5 < ε 

Pandang ketaksamaan pada ruas kanan

(3 x − 7 ) − 5 < ε  ⇔

3 x − 12

< ε  ⇔ 3 x ( − 4) < ε  ⇔ 3 x − 4 < ε 

⇔  x − 4 < Jadi pilih δ  =

ε  4

ε  4

(atau bilangan lain yang lebih kecil)

Bukti Formal : Ambil ε > 0 sebarang, pilih δ  =

ε  4

(atau bilangan lain yang lebih kecil)

Akibatnya , Jika 0 <  x − 4

< δ 

maka

(3 x − 7 ) − 5 = Jadi

3 x − 12

= 3( x − 4) = 3 x − 4 < 3δ  = ε 

terbukti lim (3 x − 7) = 5  x → 4

ε

lim (3 x − 7 ) = 5

ε

 x → 4

 f(x) ε  { ε  {

4

lim

2 x

 x → 2

− 3 x − 2 =5  x − 2

2

( ε  ) ( ε  ) 3 3 2

 x

δ = ε 

2

gambar 3

2.1.2 Limit Kiri dan Limit Kanan (Limit Sepihak) Sebelum kita membahas konsep “Limit kiri” dan “limit kanan”, perhatikan dengan seksama fungsi  f  beserta grafik pada contoh berikut :

 y

2 1

Contoh : 0

 f ( x) =

 x

-1

⎧ 1,  x > 0 =⎨ | x | ⎩− 1,  x < 0  x

-2

Gambar 4

 f(x) =

 x | x |

fungsi  f ini terdefinisi pada semua bilangan real kecuali di  x = 0 jadi D f  = R – {0}. Sebagaimana halnya pada contoh di atas, maka berikut ini kita amati perilaku fungsi

 f ( x) =

 x | x |

disekitar  x = 0. Bilamana  x cukup dekat ke 0, maka  f ( x) tidak mendekati suatu

nilai tertentu, sehingga kita katakan lim  f ( x) = lim

 x →0

 x→0

 x | x |

tidak ada .

•

Akan tetapi, bilamana  x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai  x yang  besar dari 0), maka  f ( x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi  x mempunyai “limit kanan” di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis lim+  f ( x) = lim+

 x→0

•

 x →0

 x | x |

=1

Demikian juga bilamana  x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai  x yang lebih kecil 0), maka  f ( x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan  bahwa fungsi f mempunyai “limit kiri” di 0 dengan nilai limit kiri adalah -1, ditulis lim−  f ( x) = lim−

 x→0

 x→0

 x | x |

= −1

Dari kenyataan ini kita definisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :

Definisi Limit Kanan

Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka ( a,b) , maka limit kanan f dititik a ditulis sebagai: lim+  f ( x) =  L atau  f ( x) → L bila x → a

+

 x → a

 jika ∀ε > 0 terdapat bilangan

δ > 0 sedemikian sehingga 0< x - a < δ

⇒ | f(x) - L | < ε.

Perhatikan bahwa 0< x–a <δ mengakibatkan  x > a yang berarti x terletak disebelah kanan a.

Definisi Limit Kiri

Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (c,a), maka limit kiri

 f dititik a ditulis sebagai: lim−  f ( x ) =  L atau f ( x) → L bila x → a

 x → a

 jika ∀ε > 0 terdapat bilangan

δ > 0 sedemikian sehingga 0< a – x < δ

⇒ | f(x) - L |< ε.

Perhatikan bahwa 0< a–x <δ mengakibatkan  x < a yang berarti x terletak disebelah kiri a. Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan dan limit kiri

y

y

f 

f(x)

f 

L

L

f(x)

0

a x

 b

c

0

Limit Kanan fungsi f di a

x a

Limit Kiri fungsi f di a

gambar 5a

gambar 5b

Bandingkan kedua definisi dari situasi geometri di atas dengan definisi limit fungsi  f  di titik  a. lim  f ( x) = L jika ∀ε > 0 , ∃ δ > 0

 x →a

sehingga 0 < | x – a | < δ ⇒ | f(x) – L | <

ε

Bila x → a+ , maka x > a. Akibatnya x – a > 0, sehingga |  x – a | = x – a, yang bila digantikan  pada definisi limit akan menghasilkan defenisi limit kanan. Demikian juga bila x → a , -

maka x < a. Akibatnya x – a < 0, sehingga |  x – a | = a –  x, yang bila digantikan pada definisi limit akan menghasilkan definisi limit kiri. Catatan

1. Semua sifat-sifat limit fungsi disuatu titik berlaku juga untuk limit sepihak bilamana  x

→ a diganti x → a+ atau x → a-. 2. Jika lim+  f ( x) atau lim−  f ( x) tidak ada, maka lim  f ( x) juga tidak ada.  x→ a

 x →a

 x →a

3. Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka ( c,d ) maka lim  f ( x) ditulis lim  f ( x) , dan lim−  f ( x) ditulis lim  f ( x) .

 x →c +

 x→c

 x →d 

 x →d 

Berdasarkan catatan nomor 3, maka dapat dipahami bahwa : lim  x

 x →0

=0

karena f terdefinisi pada D f  = [ 0, ∞ ) yang berarti  f terdefinisi pada interval buka (0, ∞), sehingga lim  f ( x) ditulis lim  f ( x) = 0.

 x →0+

 x→0

Hubungan antara limit fungsi di suatu titik dengan limit kiri dan limit kanannya di titik  tersebut diberikan dalam teorema berikut : Teorema 1 :

lim  f ( x) ⇔ lim+  f ( x) = lim−  f ( x) = L

 x →a

 x→a

 x→ a

Catatan Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi  f di a dapat dihitung dengan cara menghitung limit fungsinya di a, asalkan limit fungsi tersebut ada. Teorema 2 :

Jika lim−  f ( x) = L1 dan lim+  f ( x) = L2 dengan  L1 ≠ L2 , maka lim  f ( x) tidak ada.  x → a

 x → a

 x → a

Contoh :

⎧ 2 Diberikan fungsi  f ( x) = ⎨ x ;  x ≤ 1 ⎩2 ;  x > 1 Tunjukkan bahwa lim  f ( x) tidak ada, dan gambar grafiknya.  x →1

Penyelesaian :

Untuk menghitung limit kiri dari  f  digunakan persamaan :

 f ( x) =  x 2

;  x ≤ 1

(domain dari  f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari  f  digunakan persamaan  f ( x) = 2 ;  x

> 1 . Sehingga

lim−  f ( x ) = lim−  x 2

 x →1

 x →1

=1

sedangkan lim  f ( x) = lim+ 2 = 2 .

 x →1+

 x →1

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa lim  f ( x)  x→1

tidak ada.

 y  y =

y= 2 1

0

-1

1

 x

Gambar 6

2.2 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 2.2.1 Limit di Tak Hingga

Pandang sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

 f ( x ) =

 x

1+ grafiknya di perlihatkan pada gambar 3.4.

2

 y

-1

0

1

 x

gambar 7

Pertanyaan yang mungkin timbul adalah : “Berapa nilai  f ( x ) apabila  x makin besar dan makin besar ?”.  Notasi matematika untuk jawaban pertanyaan tersebut adalah lim  f ( x )  x → ∞

Pada Tabel 2, kita mempunyai daftar nilai-nilai  f ( x ) untuk beberapa nilai  x. Tampak bahwa  f ( x ) mengecil dan makin mendekati 0 (dari kanan) bilamana x membesar  dan makin membesar. Berdasarkan nilai pada Tabel tersebut, kita tulis:

lim

 x → ∞

 x 1+

=0

2

Apabila x membesar ke arah negatif, maka  f ( x ) makin mendekati 0 (dari kiri), dan di tulis :

 x

lim

 x → − ∞

1+

=0

2

Tabel 2

 x

 x

1+

10

0,099

100

0,010

1000

0,001

10000

0,0001

( x)

Definisi 3 (Limit untuk  x

2

?

→ ∞)

Misalkan  f  terdefinisi pada

[ c , ∞)

untuk suatu c ∈ ℜ .

Limit  f ( x ) adalah L

 bilamana x membesar tanpa batas, dan ditulis sebagai : lim  f ( x )

 x → ∞

Jika

∇ ε  > 0, ∃ M  > 0

=  L

sedemikian sehingga  x > M  ⇒  f ( x) − L

< ε 

Gambar 3.4, diharapkan dapat membantu pemahaman mengenai definisi 3.

Definisi 4 (Limit untuk  x

→ −∞ )

Misalkan  f  terdefinisi pada (− ∞, c

] Suatu c ∈ ℜ .

Limit  f ( x ) adalah L bilamana  x

mengecil tanpa batas, dan ditulis sebagai : lim  f ( x )

 x →

Jika

∇ ε  > 0, ∃

−∞

=  L

bilangan M sedemikian sehingga  x <  M  ⇒  f ( x ) − L

Contoh :

Tunjukkan (dengan definisi) Bahwa jika k adalah bilangan bulat  positif, maka: lim

 x → ∞

1 k 

=0

< ε 

Penyelesaian :

Analisis awal : Apabila diberikan bilangan ε  > 0 sebarang, akan ditentukan bilangan  M  > 0 sedemikian 1

sehingga jika  x >  M  maka

 x

k 

1

−0 =

Pilih  M > 0 sedemikian sehingga

 x

1 k 

k 

< ε 

karena

1

 x

<

1

 M 

jadi

1 k 

<

1 k 

= ε 

Bukti formal : Ambil ε  > 0 sebarang Pilih  M  =

k 

1

ε 

1

Maka  x >  M  berakibat

Jadi terbukti lim

 x → ∞

1  x k 

 x

k 

−0 =

1  x

k 

=

1  x

<

k 

1 k 

 M 

= ε 

=0 .

Penentuan limit fungsi untuk 

→ ∞ atau  x → −∞ dengan menggunakan definisi di

atas umumnya rumit dan terkadang sulit untuk dilakukan.

Rumus-rumus limit yang

disajikan sebelumnya, berlaku umum sehingga dapat digunakan dalam menentukan limit di tak hingga.

Berikut ini diberikan contoh-contoh menghitung limit di tak hingga tanpa

menggunakan definisi.

2.2.2 Limit Tak hingga Pandang grafik   f ( x ) =

1

; x ≠ 0 sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.4

 Nilai-nilai  f ( x ) untuk beberapa nilai  x yang mendekati nol (baik dari kiri maupun dari kanan) pada tabel 3. Tabel 3 : Nilai  f ( x) disekitar  x = 0. 1 1 1 1 … 0 … 2 x 10 10000 1000000  f(x) 2 10 10000 1000000 … ? …

−1

−1

−1

1000000 10000 10

−1 2

-10 -2 100000 10000 0

Dari tabel 3, terlihat bahwa : Nilai  f ( x) akan semakin membesar tanpa batas, bilaman  x semakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalam hal ini dikatakan lim  f ( x) = + ∞

 x →0 +

 Nilai f(x) akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman x semakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalam hal ini dikatakan lim  f ( x) = − ∞

 x →0 −

Jadi limit kanan  f(x) dan limit kiri f(x)  pada x =0 dikatakan tidak ada. Catatan Lambang -∞ dan +∞ bukan bilangan

Jadi lim  x →0

1  x

tidak ada.

Untuk menyatakan nilai limit seperti kasus di atas, akan diberikan definisi berikut ini : Definisi 5 :

Misalkan  f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat a , kecuali mungkin pada titik a sendiri, maka : (i)

limit  f ( x ) dikatakan “membesar tanpa batas” (+∞) bilamana  x mendekati a, ditulis sebagai: lim  f ( x) = + ∞  x → a

∀M > 0, ∃ δ > 0 sedemikian sehingga 0 <  x − a < δ  ⇒  f ( x ) >  M  . Limit f(x) dikatakan “mengecil tanpa batas” (-∞) bilamana x mendekati a, ditulis

 jika (ii)

sebagai: lim  f ( x) = − ∞

 x→a

 jika

∀M > 0, ∃ δ >0 sedemikian sehingga ⇒  f ( x ) < − M  . 0 <  x − a <

Sebagai ilustrasi perhatikan contoh-contoh berikut : Perhatikan grafik dan limit fungsi f di sekitar  x = 1 berikut :

⎛  1  ⎞ = +∞ a. lim+ ⎜ ⎟  x →1 ⎝  x − 1 ⎠ ⎛  1  ⎞ = −∞ lim− ⎜ ⎟  x→1  x − 1 ⎝   ⎠ maka disimpulkan bahwa ⎛  1  ⎞ tidak ada lim⎜ ⎟  x→1  x − 1 ⎝   ⎠

⎛  − 1  ⎞ = −∞  b. lim+ ⎜ ⎟  x→1  x − 1 ⎝   ⎠ ⎛  − 1  ⎞ = +∞ lim+ ⎜ ⎟  x→1  x − 1 ⎝   ⎠

y

1

−1 0

1  x − 1

1

; x > 1 x

; x < 1 Gambar 8

−1 ; x < 1  x − 1

y

0

1

x

−1 ; x > 1  x − 1

maka disimpulkan bahwa gambar 9

⎛  − 1  ⎞ tidak ada lim⎜ ⎟  x →1  x − 1 ⎝   ⎠ c. lim+  x→1

1

= +∞

( x − 1)2

lim−

 x→1

y

1

1

( x − 1)

2

= +∞

1

; x < 1 2

( x − 1)

maka disimpulkan bahwa : 1 = +∞ lim  x→1 ( x − 1)2

( x − 1)2 0

1

; x > 1

x

gambar 10

⎛  − 1  ⎞ ⎟ = −∞ 2 ⎟  x→1 −  x 1 ( ) ⎝   ⎠ ⎛  − 1  ⎞ ⎟ = −∞ lim− ⎜⎜ 2 ⎟  x→1  x − 1 ( ) ⎝   ⎠

d. lim+ ⎜⎜

y

0

1

−1 ; x < 1 ( x − 1)2

maka disimpulkan bahwa :

⎛  − 1  ⎞ ⎟ = −∞ 2 ⎟  x →1 ( ) −  x 1 ⎝   ⎠

lim⎜⎜

x

−1 ; x > 1 ( x − 1)2

gambar 11

2.3 Kontinuitas Fungsi 2.3.1 Kekontinuan Fungsi Di Suatu Titik  Dalam pembahasan yang lalu tentang konsep limit, dimana eksistensi (keberadaan) nilai limit fungsi di suatu titik tidak tergantung kepada nilai fungsinya di titik tersebut. lim  f ( x) = L ,

 x→a

tidak mempersoalkan apakah fungsi  f  terdefinisi di titik a atau tidak. Sekarang akan ditinjau hubungan limit fungsi dengan nilai fungsinya di suatu titik. Jika limit fungsi  f  di titik a adalah  f(a), dikatakan bahwa fungsi f  kontinu dititik  x = a.

Definisi 3.10 (Kekontinuan)

Suatu fungsi  f dikatakan kontinu di titik a jika  lim  f ( x) =  f (a)

 x→a

Definisi 3.10 menjelaskan bahwa sebuah fungsi  f  dikatakan kontinu di titik  a  jika memenuhi ketiga syarat berikut:

(ada )

1. lim  f ( x) = L  x → a

2.  f(a) ada ( f  terdefinisi dititik a) 3. lim  f ( x) = L =  f (a)  x→a

Catatan

Jika salah satu syarat kekontinuan di atas tidak dipenuhi, dikatakan fungsi f  “tidak kontinu” (diskontinu) di titik tersebut. Contoh

⎧ x 4 − x 3 ⎪⎪  x − 1 ,  x ≠ 1 Diberikan fungsi  f ( x) = ⎨ ⎪1 ,  x = 1 ⎪⎩ 2 Selidiki apakah fungsi f kontinu di x =1 dan gambarkan grafik  f. Penyelesaian

⎧ x 3 ,  x ≠ 1 ⎪ Fungsi f di atas dapat dituliskan sebagai  f ( x) = ⎨ 1 ⎪⎩ 2 ,  x = 1 Fungsi  f  terdefinisi untuk semua bilangan riil  x , grafiknya terdiri atas titik terpencil (1,1/2) 3

dan semua titik pada kurva  y = x kecuali titik (1,1) lihat gambar 12. Sekarang kita periksa syarat-syarat kekontinuan fungsi  f dititik  x = 1

•

lim  f ( x ) = lim x 3  x→1

 x→1

•  f(1) = ½, •

= 1, ( syarat  (1) dipenuhi )

(syarat 2 dipenuhi)

lim  f ( x) ≠  f (1),

( syarat  (3) tidak  dipenuhi)

 x→1

Kesimpulan Fungsi f “tidak kontinu” dititik  x = 1.

 y

 y

3

 f(x)=x

 f(x) 1

1 (1, ½ -1

0 -1

1

 x

gambar 12

-1

0 -1

1

 x

gambar 13

Catatan

Dari Contoh di atas, bilamana didefinisikan  f( 1 ) = 1 maka dikatakan fungsi  f  “kontinu” di titik  x = 1 (gambar 13).

 2.3.2 Kontinu Kanan dan Kontinu Kiri Definisi :

1)

Suatu fungsi  f  dikatakan kontinu kanan dititik  x = a jika memenuhi tiga syarat  berikut: a.

lim  f ( x) ada (artinya limit kanan di a ada)

 x→a +

 b.  f(a) ada, ( artinya f terdefinisi di a) c. 2)

lim  f ( x) =  f (a)

 x→a +

Suatu fungsi f dikatakan kontinu kiri dititik  x = a jika memenuhi tiga syarat berikut: a.

lim  f ( x ) ada (artinya limit kiri di a ada)

 x→a −

 b.  f(a) ada, ( artinya f terdefinisi di a) c.

lim  f ( x) =  f (a)

 x→a −

Teorema :

Fungsi  f  kontinu di titik  x = a

⇔ lim+  f ( x) = lim−  f ( x) =  f (a)  x→ a

 x→a

Contoh :

 y

 f(x) =  x − 1 fungsi  f  terdefinisi  pada Df  = [ 1,

∞ ) sehingga  f 

 f(x) =  x − 1 1

kontinu  pada selang tersebut, karena f kontinu  pada selang terbuka (1,

∞) dan kontinu kanan di  x

= 1.

 2.3.3 Kekontinuan Dalam Suatu Selang Definisi :

0

1

2

 x

1. Suatu fungsi  f  dikatakan kontinu  pada  selang buka (a,b) jika dan hanya jika  f  kontinu pada setiap titik pada selang buka (a,b). 2. Suatu fungsi  f  dikatakan kontinu  pada  selang tutup [a,b] jika dan hanya jika  f  kontinu pada setiap titik pada  selang buka (a,b), kontinu kanan di  x=a dan kontinu kiri di x=b 3. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka [ a,b) jika dan hanya jika

 f kontinu pada setiap titik pada selang terbuka ( a,b) serta kontinu kanan di titik  a. 4. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka ( a,b] jika dan hanya jika

 f kontinu disetiap titik pada selang terbuka ( a,b) serta kontinu kiri di titik  b. Contoh 1

a. Fungsi  f(x) = x yang terdefinisi pada selang [0,+ ∞) kontinu pada selang tersebut, karena  f  kontinu pada selang buka (0,+ ∞), dan kontinu kanan di titik  x = 0. hal ini dapat dilihat dari : lim  x

= a , untuk semua a∈  (0,+∞) dan

lim  x

= 0 (gambar 15)

 x→a

 x→0+

 f  kontinu kanan

di  x=0 , yaitu

 b. Fungsi  g(x) = 9 − x 2 ; kontinu pada selang tertutup [-3,3], oleh karena  g kontinu pada setiap  x∈ (-3,3), serta kontinu kanan di  x = -3 dan kontinu kiri di  x = 3 (gambar 16). Perhatikan bahwa:

y 3

 f ( x) =  x

0 Fun si f kontinu ada 0,∞

gambar 15

x

-

0

3

Fungsi g kontinu pada [-3,3]

 x

Jenis-Jenis Ketakkontinuan 1)

Ketakkontinuan  yang dapat dihapuskan (removable discontinuity), yang terjadi  bilamana

lim  f ( x)

lim  f ( x ) ≠  f (a ) . Pengertian “dapat

ada tetapi

 x→a

 x→a

dihapuskan” adalah dengan mengganti (mendefinisikan )  f(a) sama dengan nilai

limitnya, maka fungsi  f  akan menjadi fungsi kontinu dititik tersebut. 2)

loncat

Ketakkontinuan lim  f ( x)

 x→a +

(jump

discontinuity)

terjadi

bilamana

≠ lim−  f ( x) . Pengetian “loncat” adalah limit kiri di  x=a  berbeda  x→a

dengan limit kanan di a (ada loncatan). 3)

tak

Ketakkontinuan

hingga,

yang

terjadi

bilamana

lim  f ( x) = ±∞ atau

 x→a +

lim  f ( x ) = ±∞ .

 x→a −

4)

lim  f ( x) atau

lim  f ( x) tidak ada dan tidak sama dengan

 x→a +

 x→a −

±∞.

T U G A S 3. 1. Tuliskan definisi limit secara formal untuk  ε  = 0,001 2. Tentukan δ  dari lim ( 2 x + 1) = 3  bila ε  = 0,05  x →1 3. Hitung nilai limit fungsi berikut : 1 a.

c.

lim 5 x 2

 x → 3

+ 2 x

− c2 lim  x → c  x 3 − c 3  x 2

b. lim  x  x → 3

d. lim

−

1

3 , x ≠ 0 −3 4 + x

 x → 0

dan  x ≠ 3

−2

 x

4. Gunakan limit sepihak untuk menghitung limit fungsi berikut : a. lim  x →1

| x − 1 |

−1

⎧ x + 2 ;  x < 0 ⎪  b. Diberikan fungsi : f(x) = ⎨  x 2 ; 0 ≤  x < 1 ⎪  x ;  x ≥ 1 ⎩ (i). Gambarkan grafik fungsi  f  (ii). Hitung lim  f ( x) dan lim  f ( x) jika ada.  x → 0

 x →1

⎡ x ⎤ c. (i) lim− ⎢ ⎥  x → 2 ⎣ 2 ⎦ d. lim  x →1

⎡ x ⎤ (ii) lim+ ⎢ ⎥  x → 2 ⎣ 2 ⎦

(iii). lim+  x →1

 x

[2]

| x − 1 |

 x − 1

5. Selidiki apakah fungsi yang diberikan kontinu pada titik  x = 3? Jelaskan alasannya. a.  f(x) =

9

 x − 3

c. h(x) =  x − 2

b. . f(x)=

9 − x 3 −  x

d. Q(x) =

 x − 3

 x − 3 6. Tentukan semua nilai x sehingga fungsinya kontinu. a. f(x) =  x − 1 x

b. f(x) =

 x + 2

7. Gambar grafik fungsi dan tentukan pada selang manakah fungsi yang diberikan kontinu. 1

a. f(x) =  x − 3

b. g(x) =

⎧⎪ 12 ( x + 2) , x > 0 , x = 0 c. F(x) = ⎨0 ⎪⎩1 − x 2 , x < 0

⎧− x 2 − 2 x  , x < 0 ⎪ 2 d. G(x) = ⎨ x + 2 x  ,0 ≤  x ≤ 1  ,1 <  x < 4 ⎪ x4 −− x4  ,  x ≥ 4 ⎩

 x − 3

8. Selidiki apakah  f  kontinu pada titik  x=5? Jelaskan alasannya.

− 25 a. f(x) =  x − 5  x 2

⎧⎪ x 2 − 25 b. f(x) = ⎨  x − 5  , x ≠ 5 ⎪⎩6  , x = 5

9. Diberikan fungsi G dengan persamaan G ( x) = harus diberikan pada G(3) agar G kontinu di

 x − 3  x

− 3

 x = 3?

10. Selidiki jenis ketakkontinuan fungsi-fungsi berikut:

⎧ x ; x ≤ 2 , a.  f ( x) = ⎨ 2 ⎩( x − 2) ; x > 2

di titik  x= 2

⎧⎪ 2 x 2 − x − 3 ; x ≠ −1 b.  f ( x) = ⎨  x + 1 ⎪⎩0 ; x = −1

,di titik  x= -1

⎧⎪ x 2 −  x ; x ≠ 0 , c.  f ( x) = ⎨  x ⎪⎩0 ; x = 0

di titik  x= 0

,  x ≠ 3 nilai berapakah yang

BAB III

PENUTUP

Keberhasilan mahasiswa memahami konsep limit fungsi

akan memudahkan

mahasiswa tersebut dalam mempelajari modul-modul selanjutannya seperti turunan dan aplikasing serta Integral.

DAFTAR PUSTAKA

7. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey. 8. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta. 9. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.

Judul :

BAB

Turunan ( Derivative ) Fungsi

I. Pendahuluan M. Latar Belakang

Modul ini akan dibahas perbedaan relasi dan fungsi, jenis fungsi, domain dan daerah hasil (Range) suatu fungsi serta grafik fungsi yang sangat berkaitan dengan modul-modul selanjutnya. Pada kegiatan modul 2, khusus akan dibahas mengenai fungsi satu-satu dan  pada yang disingkat fungsi satu-satu dan bagaimana menggambarkan

grafik 

fungsi sederhana serta bagaimana pula menentukan invers suatu fungsi dan syarat suatu fungsi komposisi dapat ditentukan.

N. Ruang Lingkup Isi

Adapun ruang lingkup materi modul 2 ini meliputi : Fungsi Real, domain dan range fungsi, grafik fungsi, invers fungsi, fungsi kompusisi,dan fungsi implit .

O. Kaitan Modul

Modul ini merupakan konsep dasar bagi modul berikutnya yang mana mahasiswa tersebut dapat memahami konsep fungsi real untuk dapat digunakan  pada modul-modul berikutnya.

P. Sasaran Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat membedakan relasi dan fungsi 2. Mahasiswa dapat menentukan domain dan range suatu fungsi 3. Mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi sederhana 4. Mahasiswa dapat menentukan invers suatu fungsi 5. Mahasiswa dapat syarat suatu fungsi dapat dikomposisi dan menghitungnya 6. Mahasiswa dapat memebedakan fungsi implisit dan fungsi eksplisit

BAB II. Pembahasan 2.1 Turunan Fungsi Di Suatu Titik Dan Interpretasi Geometri Konsep turunan dan diferensial dewasa ini tampil cemerlang dan memegang peranan  penting di dalam menyelesaikan berbagai masalah pada cabang Ilmu Pengetahuan dan Teknologi . Karena itu banyak pengalaman dari kejadian sehari-hari yang nampak abstrak  dan rumit, kemudian dapat ditemukan rumus matematikanya yang selanjutnya dihubungkan dengan suatu pola pikir (logika) dan penalaran yang dapat digunakan semua orang. Misalkan suatu fungsi  y

=  f ( x) , maka secara matematis, turunan pertama fungsi f 

= c didefinisikan sebagai berikut:

di suatu titik tertentu  Definisi 1

Misalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka  I yang memuat c, maka turunan pertama fungsi  f di titik  = c didefinisikan sebagai:  f ' (c) = lim

 f ( x ) −  f (c))

 x → c

 x − c

……………………..(2.1)

asal limitnya ada Dengan penggantian  x = c + ∆ x , yang mengakibatkan  x → c ⇔ ∆ x → 0 , dan  x − c = ∆ x , maka turunan pertama fungsi  f di titik  x = c dapat dituliskan dalam bentuk  :

∆ y  f (c + ∆ x ) −  f (c) = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x

 f ' (c) = lim

…… (2.2)

asalkan limitnya ada, dikatakan mempunyai turunan di  x

=c

Sebaliknya, jika limitnya tidak ada, dikatakan  f tidak terturunkan di dimana

=c

∆ y disebut hasil bagi selisih atau hasil bagi difernsi ∆

Perhatikan bahwa jika  x berubah sebesar  ∆ x , maka nilai y juga berubah sebesar  ∆ y : Perubahan nilai  x

dari  x = c

Perubahan nilai fungsi  y

dari  y 0

=  f (c)

ke

 x = c + ∆ x

ke

 y 0

Besarnya perubahan y akibat perubahan x adalah :

+ ∆ y =  f (c + ∆ x)

∆ y =  f (c + ∆ x) −  f (c)

 Notasi Turunan Jika  y

=  f ( x) , maka turunan pertama dinotasikan oleh salah s atu simbol berikut : dy

 y ' ;

dx

;  f  ' ( x) ;

d  dx

 f ( x) atau  D x y

Sedangkan nilai turunan di suatu titik terntu (misalnya di x

 y '

 x = c

;  f  ' ( c )

atau

= c ) dinotaikan dengan :

dy dx

 x = c

Untuk menentukan turunan fungsi di suatu titik, gunakan langkah-langkah berikut : (1). Tuliskan  y 0

=  f (c)

(2). Tuliskan  y 0

+ ∆ y =  f (c + ∆ x)

(3). Dapatkan ∆ y

=  f (c + ∆ x) −  f (c)

(4). Lakukan pembagian

∆ y ∆ x

∆ y . Hasil limit ini (jika ada) merupakan turunan pertama dari ∆ x →0 ∆ x fungsi  y =  f ( x) dititik  x = c , dinotasikan  f  ' (c)

(5). Hitung lim

Contoh :

Tentukan turunan fungsi berikut di titik-titik yang ditentukan

 f ( x) =  x 2

− 3 x + 1 , di titik  x =  x0

 Penyelesaian  f ( x) =  x 2

− 3 x + 1 ,  x =  x0

(1) : Tulis :

 y 0

=  f ( x 0 ) =  x 0 2 − 3 x 0 + 1

(2) : Tulis :

 y 0

+ ∆ y =  f ( x 0 + ∆ x) = ( x0 + ∆ x) 2 − 3 ( x0 + ∆ x) + 1 =  x0 2 + 2. x0 .∆ x + ( ∆ x) 2 − 3 x0 − 3.∆ x + 1

(3) : Dapatkan :

∆ y =  f ( x0 + ∆ x) −  f ( x0 ) = [ x0 2 + 2. x0 .∆ x + (∆ x) 2 − 3 x0 − 3.∆ x + 1] − [ x0 2 − 3 x0 + 1] = (∆ x) 2 + 2. x0 .∆ x − 3.∆ x = (∆ x + 2. x0 − 3).∆ x

(4): Dapatkan : (5): Hitung

lim

∆ y (∆ x + 2. x0 − 3).∆ x = = (∆ x + 2. x0 − 3). ∆ x ∆ x ∆ y

∆ x →0 ∆ x

=

lim (∆ x + 2. x0

∆ x→0

Jadi  f  ' ( x0 ) = 2. x0 − 3

− 3) = 2. x0 − 3

2.1.1 FUNGSI TURUNAN Perhatikan pada contoh 1-a, diatas , jika indeks o dijalankan (dihilangkan), diperoleh

 f  ' ( x) = 2. x − 3 , yang juga merupakan  fungsi x, yang disebut fungsi turunan.

Turunan fungsi  f di sembarang titik dalam domain  f didefiniskan sebagai berikut: Definisi 2 Jika  f  adalah sebuah fungsi maka turunan pertama fungsi  f  yang nilainya di setiap titik   x  pada daerah definisi  f  dinyatakan sebagai :

 f ( x + ∆ x) −  f ( x)

 f ' ( x) = lim

∆ x

∆ x →0

…………………...………..(2.3)

asal limitnya ada. Selanjutnya fungsi  f  dikatakan terturunkan (differentiable) jika  f  ' ( x) ada untuk setiap x dalam daerah asalnya.

2.1.2 Interpretasi Dari Turunan Turunan fungsi di suatu titik dapat di artikan sebagai  gradient dari suatu garis singgung pada kurva, sebagai kecepatan, sebagai percepatan dan lain sebagainya. 2.1.2.1 Turunan sebagai Gradien (Tanjakan) garis

Secara geometri, turunan fungsi  f di titik 

= c , dinotasikan sebagai  f ' (c)

menyatakan tanjakan garis singgung g pada kurva  y

=  f ( x) dititik (c ,  f (c)) , di mana garis

singgung g tersebut tidak sejajar sumbu- y. Perhatikan uraian berikut : Misalkan fungsi f terdfinisi dalam daerah asalnya dan grafiknya digambarkan pada gambar (4-1). Misalkan garis l memotong kurva f dititik  P dan

Q, maka tanjakan garis (tali bususr) l adalah :

ml  =

∆ f   f (c + ∆ x) −  f (c) = ; ∆ x ≠ 0 ………(2.1.1.) ∆ x ∆ x  y

=  f ( x )

 y  y0

+ ∆ y =  f (c + ∆ x)

l 

y

y Q(c + ∆ x ,  f (c + ∆ x))

Q

 g 

∆ y  P (c,  f (c))  y0

=  f (c)

y

y

∆ y y R

∆ x

Gambar (4 P 

∆ x

 R

 x y y y 0 c + ∆ x c Tanjakan tali busur ini tidak lain daripada kenaikan nilai fungsi  f  antara c dan c + ∆ x

Bilamana titik  Q bergerak (sepanjang kurva  f ) mendekati P  sedekat mungkin, maka

∆ x akan mengecil menuju nol (∆ x →  0), akibatnya tali busur l akan berimpit dengan garis singgung g. Dengan proses limit, tanjakan garis singgung g dititik  P dinyatakan sebagai:

 f (c + ∆ x) −  f (c ) ∆ f  = lim ∆ x ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0

m g  = lim

…………………….(2.1.2)

atau notasikan ∆ x = h , maka persamaan (4.1.2) dapat ditulis:

∆ y  f (c + h) −  f (c) = lim ; h →0 ∆ x h →0 h

m g  (h) = lim

h≠0

…………………(2.1.3)

Jika limit ini ada, nilainya disebut tanjakan (koefisien arah) garis singgung  g  pada grafik  f  dititik  P. Jelas bahwa tanjakan garis singgung  g diperoleh dengan mengambil limit dari tanjakan tali busur l , (2.1.1)

Teorema 1 Agar supaya representasi grafik fungsi  f  mempunyai sebuah garis singgung di titik 

(c,  f (c)) dan tidak paralel sumbu y maka syarat perlu dan syarat cukupnya adalah fungsi  f  harus mempunyai turunan ( terturunkan) di titik  tidak lain dari turunan  f di titik 

= c . Tanjakan garis singgung tersebut

=c

Dengan demikian persamaan garis singgung melalui titik (c,  f (c)) pada grafik   f  adalah:

 y −  f (c) =  f ' (c)( x − c) atau  y

……………[2.1.4]

=  f ' (c)( x − c) +  f (c)

Dan persamaan garis normal n melalui titik  (c,  f (c)) adalah:

 y =

−1  f  ' (c)

( x − c) +  f (c) …......……[2.1.5]

Kedua garis ini ( g dan n ) saling tegak lurus di titik (c,  f (c)) pada kurva  f  , gambar (4-2)

 y

=  f ( x)

 y

 g : grs singgung   P (c,  f (c))  y 0

=  f (c) y

y

y

y c

0

gambar (4-

 x n: grs normal 

Contoh :

Suatu garis g menyinggung parabola  y

=  f ( x) =  x 2 − 4 x dititik  x = 1 , tentukan

a. gradien garis singgung tersebut, kemudian tentukan persamaan garis singgungnya  b.  persamaan garis normal di titik  x = 1

 Penyelesaian Misalkan garis g menyinggung parabola  y

=  f ( x) =  x 2 − 4 x di titik  P (c,  f (c) , maka titik 

tersebut adalah  P (1, − 3) .Gradien garis singgung adalah :

∆ y  f (1 + ∆ x) −  f (1) = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x

 f  ' (1) = lim a.

(1)  f (1) = 12

− 4(1) = 3

(2)  f (1 + ∆ x) = (1 + ∆ x) 2

− 4(1 + ∆ x)

= 1 + (∆ x) 2 + 2.∆ x − 4 − 4.∆ x = (∆ x) 2 − 2.∆ x − 3 (3). (4).

∆ y =  f (1 + ∆ x) −  f (1) = [(∆ x) 2 − 2.∆ x − 3] − 3 = (∆ x − 2).∆ x ∆ y (∆ x − 2).∆ x = = ∆ x − 2 ∆ x ∆ x ∆ y = lim (∆ x − 2 ) = −2 ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0

(5). lim

Jadi gradien garis singgung adalah  f  ' (1) = −2 Dari rumus (4.1.4), maka persamaan garis singgung pada kurva di titik   P (1, − 3) adalah  y − 1 = (−2) ( x − 1) ⇔  y = −2 x + 3  b.

Dengan rumus (4.1.5), maka persamaan garis normal melalui titik  P (1, − 3)

adalah  y

=−

1 ( − 2)

.( x − 1) + 3

1

⇔  y =  x + 3 12 2

 2.1.2.2 Turunan sebagai Kecepatan /laju Sesaat Jika s(t) suatu fungsi waktu dalam t , maka  s ' (t ) menyatakan kecepatan sesaat dari  perubahan s pada saat t. Khususnya jika s(t ) menyatakan jarak yang ditempuh suatu benda  bergerak pada suatu garis lurus, maka kecepatan setiap saat t dinyatakan sebagai,  s (t + ∆t ) − s (t ) ∆ s = lim ∆t →0 ∆t  ∆t →0 ∆t 

 s ' (t ) = lim dimana

...... 4.1.6

∆ s menyatkan kecepatan rata-rata benda bergerak. ∆t 

Catatan :  Notasi untuk kecepatan pada saat t , biasanya dilambangkan sebagai v(t ) , sedangkan  percepatan pada saat t dilambangkan a(t ) . Dimana v (t ) = s ' (t ) , dan a(t ) = v' (t ) = s" (t )

Contoh . (Masalah Laju Sesaat)

Dari tepi sebuah jurang, sebuah batu dilemparkan tegak lurus ke bawah. Jarak yang ditempuh oleh batu tersebut dari titik asal hingga titik akhir  t detik pertama dinyatakan oleh  persamaan

 s = 20t + 16t 2 Bila jarak diukur dalam satuan kaki dan waktu diukur dalam satuan detik, tentukanlah 1. Kecepatan sesaaat batu tersebut pada : a. Akhir  t detik   b. Akhir 3,4 detik  2. Setelah berapa lamakah batu jatuh tersebut mencapai kecepatan 132 kaki/dt. Penyelesaian :

Jarak yang ditempuh batu tersebut merupakan fungsi waktu yang dapat ditulis sebagai :

 s =  f (t ) = 20t + 16t 2 1. a. Dengan menggunakan rumus (4.1.4), kecepatan batu pada akhir  t detik adalah: ∆ s  f (t + ∆t ) −  f (t ) = lim v(t ) =  s ' (t ) = lim ∆t →0 ∆t  ∆t →0 ∆t 

= lim

(20(t + ∆t ) + 16(t + ∆t ) ) − (20t + 16t  ) 2

∆t  (20 + 32.t + 16∆t )∆t  = lim ∆t →0 ∆t  = lim 20 + 32 t + 16∆t  = 20 + 32 t  ∆t →0

∆t →0

2

Jadi laju (kecepatan) batu jatuh pada akhir  t  detik adalah

v(t ) = 20 + 32.t 

kaki / dt 

 b. Kecepatan (laju) sesaat batu jatuh pada saat 3,4 detik dapat dihitung dengan menggunakan hasil soal (i)a, dimana dalam hal ini t = 3,4 Jadi kecepatan sesaat batu jatuh pada saat t = 3,4 adalah:

v(3,4) = 20 + 32(3,4) = 128,8

kaki / dt 

2. Diketahui v(t ) = 132 kaki/dt , jadi kita harus menentukan nilai t pada hasil soal 1. a , yang memenuhi : 132 = 20 + 32 t  diperoleh t = 3,5 detik. Sehingga pada saat 3,5 detik jatuh, batu memiliki laju 132 kaki/detik.

2.1.3 Turunan Kiri dan Turunan Kanan Misalkan  f  terdefinisi pada selang buka yang memuat a maka 1. Turunan kiri fungsi  f  di  x=a didefinisikan sebagai

 f ' − (a ) = lim−

 f ( x) −  f (a)  x − a

 x→ a

; asal limitnya ada

2. Turunan kanan fungsi  f  di  x=a didefinisikan sebagai

 f ' + (a ) = lim+

 f ( x) −  f (a)  x − a

 x → a

Teorema  f  ' ( a ) ada

⇔

 f  ' + ( a )

=

; asal limitnya ada

 f  ' − ( a )

Contoh .

Selidiki apakah fungsi berikut mempunyai turunan di  x

= −1

 f ( x ) =  x x + 1

Penyelesain :

⎧ x + 1 ;  x ≥ −1 Karena  x + 1 = ⎨ ⎩− x − 1 ;  x < −1 ⎧⎪ x 2 + x ;  x ≥ −1 Maka  f ( x ) = ⎨ ⎪⎩− x 2 − x ;  x < −1

y

1 x

-1

0

-1

Dari Definisi di atas diperoleh Turunan kanan :

Grafik f 

 f ' + (−1) = lim+  x → −1

 f ( x) −  f (−1)  x + 1

= lim+  x → −1

 x 2 + x − 0  x + 1

= lim+  x = −1  x→ −1

Turunan kiri :

 f ( x) −  f (−1)

− x 2 − x − 0 = lim− = lim− − x = 1  f ' − (−1) = lim−  x → −1  x →−1  x → −1  x + 1  x + 1 Karena turunan kanan ≠ turunan kiri, maka  f ' (−1) tidak ada.

2.2 Turunan Fungsi Pada Suatu Selang Definisi 1. Suatu fungsi  f  dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang terbuka (a,b), jika f  mempunyai turunan di setiap titik pada selang (a,b). 2. Suatu fungsi  f  dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang tertutup [a,b], jika f  mempunyai turunan pada selang ( a,b) dan turunan kiri [  f  ' − (a) ada ] dan turunan kanan [  f  ' + (b) ada]. 3. Suatu fungsi  f  dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang setengah buka (a,b], jika  f  mempunyai turunan pada selang ( a,b) dan turunan kanan [  f  ' + (b) ada ]. 4. Suatu fungsi  f  dikatakan terturunkan (dapat diturunkan) pada selang setengah buka [a,b), jika  f  mempunyai turunan pada selang ( a,b) dan turunan kiri [  f  ' − (a) ada].

Hubungan antara turunan dan kekontinuan diberikan oleh teorema berikut: Teorema Misalkan fungsi  f mempunyai turunan di  x=a, yaitu  f ' (a ) ada maka  f kontinu di x=a Catatan Kebalikan teorema ini tidak berlaku. Artinya ada beberapa fungsi yang kontinu pada titiktitik tertentu tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Kiranya jelas  bahwa jika  f  diskontinu di x=a maka  f  tidak terturunkan di x=a Perhatikan contoh diatas sebelumnya yang telah dibahas,  f  kontinu di x = -1, tetapi 1  f  tidak mempunyai turunan di  x = -1, karena  f  (-1) tidak ada

2.3. Rumus-Rumus Dasar Turunan Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan dengan melibatkan limit tidak selalu mudah, bahkan beberapa fungsi yang akan rumit dan be ntuknya susah diselesaikan.

Dalam pasal ini akan diberikan rumus-rumus sederhana untuk menghitung turunan fungsi yang mudah dihapal dan mudah digunakan.Disini kita tuliskan ∆ x

=h

1. Turunan Fungsi Konstan Teorema-1 Jika  f ( x) = c, c = konstanta, maka  f  ' ( x) = 0 ; ∀ x ∈ ℜ

 Bukti:  f ( x) = c ;

c konstanta maka  f ( x+h) = c sehingga  f ( x + h) −  f ( x) c−c = lim = lim 0 = 0  f ' ( x) = lim h →0 h →0 h →0 h h

2. Turunan Fungsi Identitas Teorema 2 Jika  f ( x) =  x , maka  f ' ( x) = 1

; ∀ x ∈ ℜ

 f ( x) =  x maka  f ( x + h) = x + h sehingga ( x + h) − x  f ( x + h) −  f ( x) = lim  f ' ( x) = lim h →0 h →0 h h

 Bukti:

= lim h →0

3. Turunan Fungsi pangkat  Teorema 3 Jika  f ( x) =  x n maka  f ' ( x) = n. x n −1 ; n ∈ Z + ;  x

h h

=1

≠0

 Bukti:  f ( x) =  x n maka  f ( x + h) = ( x + h) n sehingga n n  f ( x + h) −  f ( x) = ( x + h) − x

= ( x n + nx n−1h + n ( n2−1) x n−2 h 2 + ... + h n ) − x n  f ( x + h) −  f ( x) h Jadi  f ' ( x) = lim h →0

= nx n−1 + n ( n2−1) x n−2 h + ... + h n−1

 f ( x + h) −  f ( x) h

= lim (nx n−1 + n ( n2−1) x n−2 h + ... + h n−1 ) = nx n−1 h →0

4. Turunan dari hasil kali Fungsi dengan sebuah konstant  Teorema-4 Misalkan f suatu fungsi yang terturunkan dan c sebuah konstanta, maka (cf ) ' = c  f  '

 Bukti:

Misal kita tuliskan  F ( x) = cf ( x) ;  f  dapat diturunkan, maka  F ( x + h) − F ( x ) cf ( x + h) − cf ( x) = lim  F ' ( x) = lim h →0 h→ 0 h h  f ( x + h) −  f ( x) = c lim = c  f ' ( x) h →0 h 5. Turunan Jumlah Dua Buah Fungsi Teorema-5 (i). Jika f dan g masing-masing terturunkan dan (f+g) juga dapat teturunkan, maka ( f  + g )' ( x ) =  f ' ( x) + g ' ( x) (ii). Dengan cara yang sama juga berlaku : ( f  − g )' ( x) =  f ' ( x) − g ' ( x) Teorema ini dapat diperluas menjadi : ( f 1 +  f 2 + ... +  f n )' =  f 1 '+ f 2 '+... +  f n '

 Bukti diserahkan kepada pembaca

6. Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi Teorema -6  (Bukti diserahkan kepada pembaca) Jika  f  dan  g  masing-masing fungsi yang dapat diturunkan dan ( f g ) juga terturunkan maka: (i) Jika  y =  f ( x). g ( x) , maka  y ' =  f  ' ( x). g ( x) +  f ( x). g ' ( x)  f  ' ( x). g ( x) −  f ( x). g ' ( x)  f ( x) (ii). Jika  y = , maka  y ' = ,  g ( x) ≠ 0  g ( x ) [ g ( x)] 2 (iii). Jika  y

7.

=

1

 f ( x)

,

maka  y ' =

−  f  ' ( x) [ f ( x)] 2

, dengan  f ( x) ≠ 0; ∀ x ∈ D f 

Teorema -7 Jika  y = [ f ( x)] n , maka  y ' = n.[ f ( x)] n −1 . f  ' ( x) , n ∈ Z , n > 1

8. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri a. Jika  f ( x) = sin x maka  f ' ( x) = cos x  b. Jika  f ( x) = cos x maka  f ' ( x) = − sin x c. Jika  f ( x) = tan x

maka

 f ' ( x) = sec 2  x

d. Jika  f ( x) = cot x e. Jika  f ( x) = sec x f. Jika  f ( x) = csc x

maka maka maka

 f ' ( x) = − csc 2  x  f ' ( x) = sec x tan x  f ' ( x) = − csc x cot x

(untuk bagian c sampai f gunakan ;  x ≠ ( π2 + k π) ; k ∈ Z  9. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma :  x a. Jika  f ( x) = e x maka  f ' ( x) = e

 b. Jika  f ( x) = a x

maka

c. Jika  f ( x) = ln x

maka

 f ' ( x) = a x ln a; a > 0 1  f ' ( x) = ;  x > 0  x 1 ;  x > 0; a > 0; a ≠ 1  f ' ( x) =  x ln a

d. Jika  f ( x) = a log x maka Catatan a

log x =

ln x ln a

2.4. Turunan Fungsi Komposit & Aturan Rantai  Fungsi komposisi sudah dibicarakan pada modul 2. Sekarang misalkan fungsi  f  terturunkan di  x dan fungsi  g  terturunkan di  f(x) maka fungsi komposisi ( g ο f) dapat diturunkan di  x , sehingga Jika h( x) = ( g o  f )( x) , maka h' ( x ) = ( g o  f )' ( x ) = ( g ( f ( x )) )' = g ' ( f ( x ))( f ' ( x )) ...……..…..(2.4.1) Rumus (4.5.1) di atas dikenal dengan nama “   Aturan Rantai”  yang dapat dituliskan secara singkat sebagai berikut Misalkan  y = g (u ) dan u =  f ( x) maka  fungsi komposisi  y = g ( f ( x)) mempunyai turunannya sebagai:

dy dx dengan notasi  y ' =

=

dy du

du dx dy

...………………..….…….(2.4.2)

dx rumus (4.5.2) dapat diperluas untuk sejumlah berhingga komposisi-komposisi fungsi, misalnya  y =  f (u ) , u = u (v ) dan v = v( x) , maka dy dy du dv = ………………………...(2.4.3) dx du dv dx Contoh Tentukan turunan fungsi komposisi berikut:

a.

 y = (6 x 5

− 5 x 4 + 8) 6

b.  y = ln 5

Penyelesaian : a.  y = (6 x 5 − 5 x 4 + 8) 6 , dapat dituliskan sebagai  y

Dengan memisalkan u = 6 x 5 − 5 x 4 + 8 Akibatnya,

 y = u 6

⇒

dy du

= 6u 5

maka dengan aturan rantai, diperoleh : dy dx

=

dy du du dx

⇒

 x − 2  x 4

= u6 du dx

= 30 x 4 − 20 x 3

dy dx

 b.

 y

= ln ( 5

= 6u 5 (30 x 4 − 20 x 3 ) = 6(6 x 5 − 5 x 4 + 8) 5 (30 x 4 − 20 x 3 )

 x − 2  x 4

Misalkan : v = dan u = v

1

5

)  x − 2 4

 x

dv

⇒ du

⇒

dv

=

dx

1 5

v

−4

5

=

=

 x 4

− 4 x 3 ( x − 2)  x

1 5v

4

⇒

dy du

dy dx

=

1 u

=5

1 v

1 5

 x − 2

8 − 3 x  x 5

1

= 5

5  y = ln u

=

8

5

, maka

⎛  x − 2 ⎞ ⎜ 4 ⎟ ⎝   x  ⎠

dy dx

=

4

dy du dv du dv dx

 x 4

 ⎞ ⎛   ⎞⎛  ⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟ 8 − 3 x ⎜ 1 ⎟⎜ 1 8 − 3 x  ⎞ ⎟⎛  =⎜ = ⎜ 5 ⎟ = ⎟⎜  x − 2 ⎞ ⎜ 5  x − 2 ⎟⎜ ⎛  x − 2 ⎞ 4 ⎟⎟⎝   x  ⎠ 5 x 5 ⎛  ⎜ 4 ⎟ ⎜  x 4 ⎟⎜ 5 5 ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎝   x  ⎠ ⎝   ⎠⎝  ⎝   x  ⎠  ⎠

8 − 3 x 5 x( x − 2)

2.5. Turunan Fungsi Invers (Fungsi Balikan) Teorema Misalkan f sebuah fungsi dengan persamaan  y

=  f ( x) , kontinu dan monoton pada

selang tutup [a, b] dan fungsi inversnya adalah  f  −1 ( y ) kontinu dan monoton pada selang

[ f (a),  f (b)] didalam [a, b] , maka turunan fungsi invers ini dinyatakan sebagai :

( f  − )' ( y ) = 1

1

 f ' ( x)

;  f ' ( x) ≠ 0, ∀ x ∈ [a, b] …….… (2.5.1)

atau

dx dy

=

1

⎡ dy ⎤ ⎢⎣ dx ⎥⎦

……………………..…...(2.5.2)

Contoh Tentukan fungsi invers, kemudian tentukan turunan fungsi invers tersebut bila diberi fungsi-fungsi berikut: 2 x a. y = f (x) = x 2 – 2x – 5; x ≥ 1 b. y = f (x) = ; x ≠ 3 −3 Solusi : a.  Metode pertama

Kita cari dulu fungsi inversnya dengan menyatakan  x sebagai fungsi dari y.

 y =  x 2

− 2 x − 5 = ( x − 1) 2 − 6  y + 6 = ( x − 1) 2 ⇒ x − 1 =  y + 6 ⇔  x = 1 +  y + 6  jadi fungsi inversnya adalah :  x =  f  −1 ( y ) = 1 +  y + 6 ; y ≥ −6 dengan mempertukarkan y dengan x diperoleh  f  −1 ( x) = 1 +  x + 6 ; x > −6

[ f  − ( x)] 1

dan turunannya adalah

'

=

1

; x

2  x + 6

> −6

 b.  Metode kedua

 y =  f ( x) = x

2

− 2 x − 5

dy

⇒

= 2 x − 2 = 2( x − 1) dx dan monoton turun pada  x ≥ 1 serta mempunyai turunan

Karena  f  kontinu untuk x ≥ 1 , maka

dx

=

dy

1 dy

=

1 2( x − 1)

; x

≠ 1,

dx

selanjutnya karena  x − 1 =  y + 6

dx

atau dalam variabel  x diperoleh

 b.

 y

=  f ( x) =

2 x

; x

 x − 3

dx

maka

dy

=

dy

=

1 2  y + 6

1 2  x + 6

≠3

 Metode 1

 y =

2 x

 x − 3

maka

⇔  y ( x − 3) = 2 x ⇔  yx − 2 x = 3 y ⇔  x( y − 2) = 3 y

 x =  f  −1 ( y ) =

3 y

 y − 2

; y

≠2

atau dalam variabel x dapat ditulis:  f  −1 ( x) =

3 x  x − 2

; x

≠2

sehingga turunan fungsi invers ini adalah : 3( x − 2) − 3 x

 f  −1 ( x) =

( x − 2)

2

=

−6 = ( x − 2) 2

−6 ; x ≠ 2 ( x − 2) 2

 Metode II   y

maka

dx dy

=

1 dy dx

=

=

2 x  x − 3

⇒

dy dx

− ( x − 3) 2 6

 x − 3 =

=

2( x − 3) − 2 x ( x − 3) 2

karena  x = 3 y

 y − 2

−3 =

=

3 y

 y − 2

−6 ; x ≠ 3 ( x − 3) 2 maka

6 ( y − 2) 2

dan dalam variabel x dapat dituliskan :

dx dy

= ( f  −1 )( x) =

−6 ( x − 2) 2

2.6. Turunan Fungsi Pangkat rasional Sudah dibuktikan pada uraian yang lalu bahwa untuk  n bilangan bulat positif   berlaku:

Jika  y =  x n , maka  y ' = n. x n −1

, n bilangan bulat positif 

Sekarang akan diberikan rumus yang sama untuk  n bilangan rasional. Dari rumus turunan fungsi untuk  r bilangan rasional berlaku Jika  y =  x r  maka  y ' = r . x r −1 r ∈ bilangan rasional . Selanjutnya, jika  y

=  f ( x) = u r  , dengan u = u ( x) dy

maka

= r .u r −1 .u '

dx

Dalam hal ini notasi  y ' =

dy dx

, dengan u ' =

du dx

, [Aturan rantai]

=  f  ' ( x)

Contoh

Tentukan turunan pertama fungsi  y

=  f ( x) = ( x − 3 x + 2) 3

5

2

Penyelesaian : 3  y =  f ( x) = 5 ( x

− 3 x + 2) 2 = ( x 3 − 3 x + 2) 2 / 5 = u

Dengan memisalkan : u =  x 3 sehingga

dy dx

=

2 5

=

.u

2 5

2

5

( x 3

−1

2 5

− 3 x + 2 ⇒ u ' = 3 x 2 − 3

.u '

− 3 x + 2)

−3

5 (3 x 2

− 3) =

2(3 x 2 5 ( x 3

− 2)

− 3 x + 2)

3

5

2.7 Turunan Fungsi Invers Trigonometri 2.7.1 FUNGSI ARC SINUS Misalkan fungsi  f  : x → sin x

⎡ − π  π  ⎤ [ ] ⎢⎣ 2 ' 2 ⎥⎦ → − 1,1 Maka fungsi inversnya adalah

⎡ − π  π  ⎤ , ⎣ 2 2 ⎥⎦

 f  −1 : x → arcsin x ; [− 1,1] → ⎢ Untuk setiap x, y

∈ℜ,

dapat dituliskan :

⎧ x = sin y ⇔ ⎨ π  ⎩− 2 ≤  y ≤ π  2 Untuk setiap x ∈ (− 1,1) dan setiap y ∈ (− π  / 2, π  / 2), diperoleh persamaan  y = arcsin x

 y = arcsin (-1)

⎧− x = sin y ⎪  x = − sin y ⎪⎪ ⎨  x = sin(−  y ) ⎪−  y = arcsin x ⎪ ⎪⎩  y = − arcsin x

⇔

Jadi untuk setiap x ∈ [− 1,1] berlaku arcsin (- x)= - arcsin x. Hal ini menunjukan bahwa fungsi arcus sinus adalah fungsi ganjil.

⎡ − π  π  ⎤ turunan fungsi x = sin y adalah  f 1 ( y ) = cos y , , ⎣ 2 2 ⎥⎦

Untuk setiap y ∈ ⎢ dimana

 f ( y ) = 0 untuk y = - π  / 2 dan y = π  / 2,  f ( y ) ≠ 0 untuk y ∈ (− π  / 2, π  / 2 )

Jadi untuk setiap x ∈ (− 1,1), maka  f  −1 ( x ) = Karena cos 2 y

d  dx

(arcsin x)

=

1 cos y

.

= 1 − sin 2  y = 1 − x 2

maka cos y = 1 − x 2

cos y = -

atau

maka cos y > 0, sehingga cos y =  f 1 ( x ) =

d  dx

1 − x 2

1

(arcsin x ) =

1 − x 2 tetapi y

1 − x

2

∈ (− π  / 2, π  / 2)

dan dapat ditulis :

; ∀ x ∈ (− 1,1) ……………………(1)

Dengan penurunan yang sama diperoleh rumus –rumus turunan fungsi invers trigonometri :

−1

⎫ ⎪ dx 1 − x 2 ⎪ ⎪⎪ d  1  f ( x ) = arctan x ⇒  f ' ( x ) = (arctan x) = ⎬ ...................(2) dx 1 + x 2 ⎪ ⎪ d  1  f ( x ) = arc sec x ⇒  f ' ( x ) = (arc sec x) = ⎪ dx ⎪  x  x 2 − 1 ⎭  f ( x ) = arccos x ⇒  f ' ( x ) =

d 

(arccos x) =

Secara umum jika u = u( x) dan 1.  y = arcsin u ⇒  y ' = 2.  y = arctan u ⇒  y' =

d 

(arcsin u ) =

dx d 

du

1 − u 2 dx 1 du

1 + u 2 dx d  1 du (arc sec u ) = dx u u 2 − 1 dx

dx

3.  y = arc sec u ⇒  y ' =

(arctan u ) =

1

Contoh Tentukan turunan fungsi berikut: 2 a.  y = arcsin x b.  y = arctan e 2 x Penyelesaian :

a.  y

= arcsin  x 2

maka

dy dx

 Misal  u

=  x 2 ⇒ u 2 =  x 4 ⇒

1

=

( )

1 −  x 2

2

2 x

du dx

= 2 x

2 x

=

1 − x 4

b.  y = arctan e 2 x  Misal  u = e 2 x

du

⇒ u 2 = e 4 x 1

maka

 y

dx

1

=

( )

1+ e

2 x 2

2e

= 2e 2 x

2 x

=

2e 2 x 1 + e 4 x

Catatan Dari contoh di atas dapat dituliskan 2

a).  y = arcsin x

⇔  x2 = sin y

 b).  y = arctan e2 x ⇔ e2 x = tan y

2.9 Turunan Tingkat Tinggi (Orde Tinggi) Turunan sebuah fungsi, juga merupakan sebuah fungsi yang dapat diturunkan lagi asal memenuhi syarat-syarat turunan. Turunan kedua dari suatu fungsi  f  didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan pertama, turunan ketiga didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan kedua dan seterusnya. Turunan ke- n didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan ke ( n-1).  Notasi Misalkan suatu fungsi  f  dinyatakan dengan persamaan  y = f ( x) maka notasi-notasi turunan  pertama, kedua sampai turunan ke- n diberikan dalam tabel berikut: Tabel 4.9.1 Persamaan fungsi :  y  Notasi  y ' ; Turunan pertama  Notasi Turunan kedua  Notasi Turunan ketiga

M  Notasi Turunan ke-n

 y ' ' ;  y ' ' ' ;

M

dy dx d 2 y 2

dx d 3 y dx 3

=  f ( x)

;  f ' ( x)

;  D x y ;

df ( x) dx 2

;  f ' ' ( x) ;  D 2 x y ; 3  x

;  f ' ' ' ( x) ;  D  y ;

d   f ( x) dx 2 d 3 f ( x) dx3

M M M M n n d   y d   f ( x) ;  f ( n ) ( x) ;  D n x y ;  y (n ) ; n n dx dx

Jadi  f ' ' ( x ) =

d  dx

( f ' ( x) ) =

d  ⎛ df ( x) ⎞

⎜

dx ⎝  dx

d 2 f ( x )

⎟= dx 2  ⎠

3 d  ⎛  d  ⎛ df ( x ) ⎞ ⎞ d   f ( x)  ⎞ ( f ' ' ( x) ) = ⎜ ( f ' ( x) )⎟ = ⎜⎜ ⎜  f ' ' ' ( x) = ⎟⎟ = dx dx ⎝ dx dx 3  ⎠ dx ⎝ dx ⎝  dx  ⎠ ⎠⎟

d  ⎛  d 

d 

Secara umum turunan ke- n didefinisikan sebagai:

n  f ( ) ( x) =

d  dx

( f 

( n −1)

( x) )

atau dalam bentuk limit

 f  ( x) = lim (n)

 f ( n−1) ( x + h) −  f ( n−1) ( x)

h →0

h

asal limitnya ada Contoh a. Tentukan turunan ke-4 dari  f ( x) = 3 x 5 − x 4

+ 2 x 3 − x + 1

 b. Tentukan nilai turunan ke-3 di  x = 0 dan  x =π/2 dari  g ( x) = sin(3 x) 1 c. Tentukan rumus ke- n dari fungsi h( x) = ;  x ≠ 1 1 − x Solusi : a.  f ( x) = 3 x 5 − x 4

+ 2 x 3 − x + 1 , maka Turunan pertama :  f ' ( x) = 15 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 1 Turunan kedua

:  f ' ' ( x) = 60 x 3

− 12 x 2 + 12 x

Turunan ketiga

:  f ' ' ' ( x) = 180 x 2

Turunan keempat

:  f ( 4) ( x) = 360 x − 24

− 24 x + 12

 b.  g ( x) = sin(3 x) , maka

 g ' ( x) = 3 cos(3 x) ; Untuk  x = 0

 g ' ' ( x) = −9 sin(3 x) ;  g ' ' ' ( x) = −27 cos(3 x)

maka  g ' ' ' (0) = −27 cos(0) = −27

Untuk  x = π/2 maka  g ' ' ' ( π2 ) = −27 cos( 32π ) = −27(0) = 0 c. h( x) =

1 1 − x

h ( n ) ( x) =

;  x ≠ 1 , turunan ke– n untuk fungsi h adalah:

n! (1 − x) n +1

;  x ≠ 1 (tunjukkan)

2.9 Turunan Fungsi Implisit Misalkan sebuah fungsi dinyatakan dalam persamaan

 y = f(x) , maka fungsi ini

 selalu dapat  dinyatakan dalam bentuk   F ( x,y) = 0 , dimana

 F ( x, y ) =  y −  f ( x) atau

 F ( x, y ) =  f ( x) −  y . Sebaliknya, jika diberikan sebuah fungsi dalam bentuk    F ( x,y) = 0,

dengan diketahui  y fungsi dari  x, ternyata tidak selalu dapat dinyatakan dalam bentuk   y =

 f ( x). Perhatikan illustrasi berikut: (i)  y =  f ( x) = 2 x 3 − x + 3 [bentuk eksplisit] (ii)  F ( x, y ) =  x 3

+ 2 y 3 − 3 x 2 y − 4 xy 2 −  y

Tampak bahwa bentuk (i) dapat dinyatakan dalam bentuk   F ( x,y) = 0 yaitu

 F ( x, y ) = 2 x 3 − x + 3 −  y = 0 [Bentuk implisist] Sedangkan bentuk (ii) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk   y = f(x) secara eksplisit. Fungsi yang dinyatakan sebagai

 y = f(x) disebut “   fungsi eksplisit ”  dan fungsi yang

terkandung dalam bentuk  F(x,y)=0 disebut “   fungsi implisit ” . Setiap bentuk fungsi eksplisit merupakan bagian dari fungsi implisit, tetapi tidak sebaliknya. Secara geometri, grafik fungsi eksplisit merupakan bagian dari grafik fungsi implisitnya. Perhatikan persamaan (iii)  x 2 +  y 2

=4

yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di 0

dan berjari-jari 2. Bentuk persamaan (iii) ini dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk  eksplisit dengan batasan-batasan tertentu; yaitu

 f ( x) = 4 − x 2 ;  x ∈ [−2,2]

-

atau

0

 g ( x) = − 4 − x ;  x ∈ [ −2,2] 2

Persamaan  x 2 +  y 2 = 4 ⇔  x 2 +  y 2 − 4 = 0 adalah bentuk fungsi dari  F ( x,y)=0, dimana  F ( x, y ) =  x 2 +  y 2 − 4

2

 x  g ( ) = − 4 − x 2

( x) =

4 − x 2

-2

0 2  x Gambar 2.9

Dari gambar 4.5 di atas mudah ditunjukkan bahwa  f  dan  g  kontinu pada selang dan terturunkan pada selang

[− 2 , 2] .

Demikian pula dari aturan  x 2

h( y ) =

[− 2 , 2]

+  y 2 = 4

, kita dapat menyatakannya secara eksplisit

4 −  y 2 dan l ( y ) = − 4 −  y 2 .

Jadi dari aturan  F ( x, y ) = 0 , kita mengatakan bahwa  y adalah fungsi implicit dari  x, dan  x adalah fungsi implicit dari  y. Dan dari aturan  F ( x, y ) = 0 ,mungkin terjadi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x (atau sebaliknya), atau mungkin juga tidak. Perhatikan pula persamaan:  x + 3 y − 10 y 2 + 5 y 3 − 4 y 4 + 2 y 5 = 0 ini mendefinisikan secara implisit fungsi  x dalam  y atau  x =  f ( y ) , akan tetapi kita tidak mungkin menyatakan  y dengan x atau  y = f ( x). Selanjutnya kita pusatkan perhatian bagaimana menentukan turunan fungsi dalam

bentuk implisit. Contoh

Tentukan

dy

dari bentuk implisit berikut: dx a.  x 2 +  y 2 = 4 b.  y 3 sin( x 2 ) =  y 2 − xy

Solusi : a.  x 2 +  y 2

= 4 , setiap suku diturunkan terhadap  x , yaitu : d  dx

( x 2 ) +

2 x + 2 y

d  dx

dy dx

( y 2 ) =

=0 ⇔

d  dx

( 4)

dy dx

=−

 x  y

;  y

≠0

Cara lain, kita tentukan dahulu fungsinya dalam bentuk eksplisit, kemudian kita turunkan. Dalam hal ini kita punyai:

 y =  f ( x ) = 4 − x 2

 y =  g ( x) = − 4 − x 2 ,

atau

sehingga

− 2 x 2 4 − x 2 − x  f ' ( x) = 4 − x 2

 f ' ( x) =

 b.

 f ' ( x) = −

 x

karena  y

=

 y sin( x ) =  y 3

2

2

⎛ 

 x

 ⎞ ⎟ 2 ⎟ ⎝ − 4 − x  ⎠

 g ' ( x ) = −⎜⎜

 y 4 − x 2

− xy ,

2

− 2 x 4 − x 2

 g ' ( x) = −

 g ' ( x) = −

 x

karena  y

=−

 y 4 − x 2

− ( y + 2 xy 3 cos( x 2 )) = (Tunjukkan) dx (3 y 2 sin( x 2 ) − 2 y + x ) dy

Catatan Pada pembahasan bab mendatang akan diberikan rumus sederhana tentang turunan

fungsi implisit, setelah membicarakan turunan parsial. Rumus yang dimaksud sebagai  berikut jika F( x, y) = 0 suatu fungsi implisit, maka turunan

⎛ ∂ F   ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ∂ x ⎟ dx ⎜ ∂ F ∂ y ⎟ ⎝   ⎠

dy

2.10 Fungsi Parameter Dan Turunannya Untuk memahami konsep fungsi parameter terlebih dahulu perhatikan illustrasi  berikut:

Misalkan suatu fungsi  f :ℜ→ ℜ , yang ditentukan oleh persamaan : 1.  y = F ( x) = 2 x − x 2 . Fungsi  F  ini dapat dituliskan sebagai “ sepasang fungsi” dalam variabel lain t  dalam  beberapa bentuk antara lain: a.

⎧ x =  f (t ) = t  ⎨ y =  g (t ) = 2t − t 2 ⎩

c.

⎧ x =  f (t ) = et  ⎨ y =  g (t ) = 2et  − e 2t  ⎩

; t ∈ ℜ

; t ∈ ℜ

b.

d.

⎧ x =  f (t ) = t − 1 ⎨ y =  g (t ) = −t 2 + 4t − 3, t ∈ ℜ ⎩ ⎧ x =  f (t ) = 1 ⎪ t  ⎨ 2t − 1 ⎪ y =  g (t ) = 2 ; t ∈ ℜ, t  ≠ 0 t  ⎩

Perhatikan bahwa eliminasi t  dari keempat persamaan di atas akan menghasilkan persamaan 2

 bentuk asalnya (i). Grafik fungsi  F  dari persamaan (i) adalah sebuah parabola di R , dan  pada setiap persamaan (a),(b),(c) dan (d) diatas, titik

( x,y) = ( f (t ) ,g (t )) terletak pada grafik 

 parabola  y = 2 x − x 2 . (lihat gambar 2.10)

Keempat pasang persamaan di atas

 y = 2 x − x 2

disebut “persamaan fungsi parameter t” 1

dari  F ( x ) = 2 x − x 2

 x, = 0

2

1

t , t   x

Gambar 2.10

Definisi (fungsi parameter)

Misalkan  f 

dan  g  masing-masing adalah fungsi yang terdefinisi pada daerah asalnya

D⊆ℜ, maka :

 x =  f (t )  y =  g (t ) ; t ∈ D

menyatakan suatu “persamaan fungsi parameter” dengan

t  sebagai parameter, dan

grafiknya adalah himpunan titik-titik di R  yaitu {( x, y ) x =  f (t ); y =  g (t ), t ∈ D} . 2

TURUNAN FUNGSI PARAMETER

Perhatikan fungsi parameter 

 x =  f (t ) = cos t   y =  g (t ) = 2 cos t + sin 2 t − 1

Bila parameter  t  dieliminasi dari kedua persamaan tersebut, diperoleh fungsi dengan x = f (t ) sebab

 y = H(x)

 y = 2 cos t + sin 2 t − 1

= 2 cos t + 1 − cos2 t − 1 = 2 cos t − cos2 t , sehingga  y = 2 x − x 2

;  x = cos t 

Persamaan terakhir ini dapat ditulis sebagai bentuk eksplisit :

 y = 2 x − x 2 maka  y = H ( x) atau

dengan  x = f (t )

 bentuk implisit :

 y − 2 x + x 2

=0

maka G ( x,y)=0

Jadi jika diberikan fungsi parameter dengan persamaan menyatakan dalam bentuk sederhana sebagai:  y = H ( x ) dengan

⎧ x =  f (t ) ⎨ y =  g (t ) ; t ∈ D ⎩

kita dapat

 x =  f (t )

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:

dy dt 

=

dy dx dx dt 

⇔

dy dx

dy

=

dt  ; dx ≠ 0 dx dt  dt 

yang merupakan turunan fungsi parameter.

Teorema  Misalkan  x = f(t) dan  y = g(t), t ∈  D  ⊆ ℜ masing-masing fungsi yang mempunyai turunan terhadap peubah t  dengan

dx dt 

≠0

dan menyatakan suatu persamaan fungsi parameter yang

dinyatakan dalam bentuk   y = H(x) atau G(x,y) = 0, maka turunan  y terhadap x adalah:

dy dx

dy

=

dt  =  g ' (t ) dx  f ' (t ) dt 

Turunan kedua diberikan oleh :

 y' ' =

d 2 y dx

2

=

 f ' (t ) g ' ' (t ) −  f ' ' (t ) g ' (t )

( f ' (t ))3

Contoh

Tentukan

dy

dari fungsi parameter berikut: dx a.  x = t  ;  y = 2t − t 2 , t ∈ ℜ  b.  x = 5 cos 2t  ;  y = −5 sin 2t  , 0 < t  ≤ π Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema di atas diperoleh: dy 2 − 2t  dy a. = dt = = 2 − 2 x 1 dx dx dt 

dy

 b.

dx

dy

=

dx

− 10 cos 2t  cos 2t   x 5 − x = = = − 10 sin 2t  sin 2t  − y  y

dt = dt 

5

T U G A S 4. I.

Tentukan tanjakan (gradien) garis singgung di titik yang diberikan  , kemudian tentukan pula persamaan garis singgung tersebut. Gambar kurva dan garis singgungnya 1.  f ( x ) = x 2

3.  f ( x) = 4 x − 3

⎧− − x ;  x ≤ 0 ⎩−  x ;  x > 0

III.

6.  f ( x ) =

; di x = 0

; di x = 2

 x

; di x = 2

 x + 1

; di x = -1  x − 2 Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan fungsi pada titik yang diberikan 2 + x 2 1.  f ( x) = x − 2 x ; di  x = 0 2.  f ( x) = ; di x = 1 3− Gambar grafik fungsi, selidiki apakah  f  kontinu di  x = a dan tentukan turunan kiri dan turunan kanan di  x = a serta selidiki apakah  f’(a) ada.

⎧ x 2 − x ; x ≥ 1 ;  x = 4 1.  f ( x) = ⎨ ; x < 1 ⎩ x =1 IV.

1

4.  f ( x) = 2 x

; di x = 1

5.  f ( x) = ⎨

II.

2.  f ( x) =

; di x = 1

⎧ 1 − x 2 ;  x 2.  f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − 1 ;  x

≤1 >1

;  x = -1 dan x

Dalam soal nomor 26 sampai 30, misalkan sebuah benda jatuh dari keadaan diam, 2

dalam t detik di tempuh jarak   s meter sehingga  s = 16t  . Tentukan kecepatan sesaat atau laju sesaat benda jatuh tersebut pada saat a=3 detik dan a=0,75 V.

Sebuah partikel bergerak sepanjang suatu garis koordinat.  s adalah jarak dari titik asal yang ditempuh pada akhir  t  detik dalam satuan kaki. Tentukan kecepatan sesaat  partikel tersebut pada akhir a detik. a.

VI.

 s = 2t 2

+5

;

b.  s = t 2

a = 1,7

+7

;

a=3

Tentukan fungsi turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut : 3 1.  f ( x) = 2 x − 3 x + 4

4.  y

2.  f ( x) = 1 − 2 x

5.  f ( x) = ( x − 2)

⎧2 x + 1 ;  x > 1 3.  f ( x) = ⎨ 2 ;  x ≤ 1 ⎩ x

6.  f ( x) =

2

= 8 x 1

3

1 2  x

VII. Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus dasar turunan 1.

 f ( x) =  x + 1 +

4 ( x − 3)

2

2.  f ( x) = ( x 2 − x + 2)(2 x 3 − 3)

2.

 f ( x) = ( x 2

−  x) sin x

5.

 f ( x) = 2 x ln x 3

4.  g ( x) =

1 + x 2 2 x − 1

6.  f ( x) =  x. 2 x

7.  f ( x) = x x

VIII. Tentukan Tururnan dari setiap fungsi komposit berikut : 3 1 − t  1  f ( x ) =  x + 3  x 2.  F (t ) = 1 + t 

⎛ 1 − t  ⎞ ⎟ ⎝ 1 + t  ⎠

3.  F ( x) = sin(cos  x ) IX.

Tentukanlah fungsi invers dan turunan fungsi invers dari fungsi: 2

1.  y =  f ( x ) = x 3.  y = x

X.

3

2

− 2 x − 3 ;  x ≥ 1

2.  y = 2 − x ;  x < 2

;  x > 0

4.  y =

 x − 1  x + 1

Tentukanlah turunan pertama fungsi

1 y = arcsin(3 x ) XI.

4.  F (t ) = sin⎜

2,  y =

1 2

( )

( )

arcsin e x

3.  y = (3 x − 1)arccos x 2

Tentukan  f’’’(x) 1.  f ( x) =  x 3

+ 3 x 2 − 5 x + 4

2.  f ( x) =

sin x

3.  f ( x) = ( x 2

 x

e

XII. Gunakan rumus turunan fungsi implisit untuk menentukan

dy dx

diberikan di bawah ini: 1.

4 x 3

2.

 xy

+ 3 y = 10 x

3.

 x 2 − xy =  x 3 sin  y 2

4.

 x 2 y −3 − x  y

XIII Tentukan 1.

+ 11 xy 2 − 2 y 3 = 0

dy dx

= 2 x

dari fungsi parameter berikut:

⎧ x = t + 9 ⎨ y = t  ; t ≥ 0 ⎩

⎧ x = 2 cos t  ⎨ y = 2 cos( 1 t ) ; t ∈ ℜ 2 ⎩

2.

⎧⎪ x = 3t + 5 ⎨ y = 1 ; t  > 0 ⎪⎩ t 

3.

+ 3) 2

, dari persamaan yang

BAB III

PENUTUP

Keberhasilan mahasiswa memahami konsep turunan

akan memudahkan

menerapkan matematika ada bidang ilmu lain seperti pada teknik, pertanian dll.

DAFTAR PUSTAKA

10. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey. 11. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta. 12. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara. Jakarta.

Judul :

BAB

Aplikasi Turunan

I. Pendahuluan Q. Latar Belakang

Modul ini akan dibahas penggunaan turunan pada masalah ekstrim (maksimum dan minimum suatu fungsi dan bidang il mu lain. Pada kegiatan modul 5, khususnya akan dibahas mengenai penggunaan turunan pada masalah ekstrim, penggunaan turunan pada ilmu s ains dan rekayasa, dan penggunaan turunan dalam ilmu ekonomi.

R. Ruang Lingkup Isi

Adapun ruang lingkup materi modul 5 ini meliputi : Maksimum dan minmum fungsi , kemonotonan fungsi, Jenis ekstrim, teorema Rolle, teorema nilai rata-rata, dan penggunaan turunan pada ilmu sains dan rekayasa, serta  penggunaan turuanan dalam bidang ekonomi..

S. Kaitan Modul

Modul ini merupakan

konsep dasar

bagi pengguna matematika untuk 

 berbagai bidang ilmu dan sangat erat kaitannnya dengan modul-modul sebelumnya .

T. Sasaran Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menetukan jenis dan nilai ekstrim suatu fungsi 2. Mahasiswa dapat

menggunakan turunan dalam bidang ilmu sains dan

rekayasa 3. Mahasiswa dapat menggunakan turunan yang berkaitan dengan masalah ekstrim 4. Mahasiswa dapat menggunakan turunan dalam bidang ilmu ekonomi

BAB II. Pembahasan 2.1. Maksimum Dan Minimum  Konsep turunan fungsi yang telah dibahas pada bab sebelumnya akan digunakan untuk mempelajari perilaku grafik fungsi. Suatu grafik fungsi dapat ditelusuri jejaknya bilamana kita telah mendapatkan informasi tentang:

•

Selang naik atau turun suatu fungsi (kemonotonan);

•

Titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum;

•

Perilaku garis singgung terhadap grafik fungsi;

•

Titik balik (Infleksi) dari grafik fungsi (jika ada);

•

Asimtot-asimtot grafik fungsi dan lain sebagainya.

Kita mulai pembahasan pasal ini dengan konsep kemonotonan (naik turunnya) suatu fungsi.

2.1.1 Kemonotonan Suatu Fungsi  Ingat kembali definisi, jika  f  suatu fungsi yang terdefinisi pada sebuah selang sembarang I (terbuka, tertutup, setengah tutup), maka besarnya kenaikan f  antara dua titik berbeda  x1  y dan  x pada I adalah sebuah bilangan : 2

 f ( x2 ) −  f ( x1 )  x2 − x1

∀

⇔

 f(x1 )

 x  x

0

sepasang bilangan  x1, x2 ∈ I,

 x1 <  x2

 f  monoton naik  ada I 

Sebuah fungsi f dikatakan (i). monoton naik (increasing) pada I

 f(x2 )

⇒  f ( x1 ) <  f ( x2 ) . Lihat gambar 5.1.

x  I 

gambar 5.1

 y (ii). monoton turun (decreasing)

pada I

⇔ ∀

 f(x1 )

 f monoton turun  pada I 

sepasang bilangan  x1, x2 ∈ I 

 x1 <  x2

⇒  f ( x1 ) >  f ( x2 ) . Lihat gambar 5.2

 f(x2 ) 0

 x  x1

 I 

 gambar 5.2

x2

(iii). monoton tak turun  pada I

∀

 y

⇔

sepasang bilangan  x1,  x2 ∈ I 

 x1 <  x2

 f(x2

 f  monoton tak 

⇒  f ( x1 ) ≤  f ( x2 ) . Perhatikan gambar 5.3.

turun pada I 

 f(x1

 x  x

0 (iv).  monoton tak naik  pada I

∀

 x1 <  x2

 I 

⇔

gambar 5.3

 y

sepasang bilangan  x1,  x2 ∈ I 

⇒  f ( x1 ) ≥  f ( x2 ) (gbr.5-4)

x

 f(x1

 f  monoton tak  naik

ada I  

 f(x2

 x  x

0

 I 

x

 gambar 5.4

(v).(Kasus khusus) f  konstan pada I 

⇔  y

∀ sepasang bilangan  x1,  x2 ∈ I   x1 <  x2

⇒  f ( x1 ) =  f ( x2 )

 f   Konstan pada  f(x1 ) =

 x 0

 x

 I 

x

 gambar 5.5

Jika salah satu sifat di atas dipenuhi oleh  f, maka dikatakan  f  monoton pada I . Ingat kembali bahwa  f  suatu fungsi satu-satu pada  I bilamana untuk setiap pasang  x1,  x2 ∈

 I ,  x1 ≠  x2

⇒  f ( x1) ≠  f ( x2). Ini berarti bahwa jika  f 

monoton naik (naik murni) pada  I 

maka  f  adalah fungsi satu-satu pada I , demikian pula kalau  f  monoton turun (turun murni)  pada  I  maka  f  adalah  fungsi satu-satu  pada I . (lihat gambar 5.1 dan 5.2).

Teorema 1

Misalkan  f  fungsi kontinu pada selang sembarang  I  dan  f  terturunkan pada setiap titik  dalam I . (i)

Jika  f ' ( x) > 0, ∀ x ∈ I , maka  f  monoton naik pada  I 

(ii)

Jika  f ' ( x) < 0, ∀ x ∈ I , maka  f  monoton turun pada  I 

Teorema 2 (Titik kritis)

Andaikan  f  terdefinisi pada selang  I  yang memuat titik  c. Jika (c,  f (c) ) adalah titik  ekstrim, maka (c,  f (c) ) haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu dari

(i). titik ujung interval I (ii) titik stasioner dari  f ( f ' (c) = 0 ) (iii) titik singular dari  f ( f ' (c) = tidak  ada ) Titik kritis suatu fungsi adalah titik-titik yang diduga merupakan titik ekstrim

fungsi

tersebut. Jika nilai-nilai ekstrim fungsi ada, maka nilai-nilai tersebut terdapat pada bilangan bilangan kritis fungsi. Akan tetapi tidak selamanya setiap bilangan kritis c dapat menjamin keberadaan f (c) sebagai ekstrim relatif.

Teorema 3 Misalkan  f  sebuah fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka  I  yang memuat c. Jika  f  mencapai ekstrim relatif pada  x = c maka haruslah  f’(c) = 0 atau  f’(c) tidak ada. Catatan

1. Kebalikan teorema 3 tidak  berlaku, yaitu bilamana  f’(c) = 0, fungsi  f  belum tentu mencapai ekstrim relatif pada titik   x = c. Sebagai contoh :  f ( x) =  x 3 , jelas bahwa  f’(0)

= 0, namun titik (0,0) bukan titik ekstrim relatif fungsi  f  (gambar 5-6 a) . 2. Bisa juga terjadi kasus di mana  f’(c) tidak ada, namun fungsi  f  mencapai ekstrim relatif   pada titik   x = c. Sebagai contoh:  g ( x ) =  x − 1 , maka fungsi  g  mencapai minimum relatif di  x = 1, namun  g’(1) tidak ada (gambar 5-6 b). Perhatikan ilustrasi dalam gambar 5.6 berikut :

 y

 y

 g ( x) =  x − 1

3

 f(x) = x

 x  x

0  f’(0) = 0, tapi (0,0)  bukan titik ekstrim relatif 

0

(1,0 titik (1,0) merupakan titik  minimum relatif  f , namun  g’(1) tidak ada

gambar 5.6

2.1.2 Hubungan Kemonotonan, Garis Singgung Dan Turunan Pertama  Pandanglah sebuah fungsi  f  yang dapat diturunkan pada suatu selang  I , maka ada cara sederhana untuk menentukan pada selang mana fungsi  f  naik atau turun.

(i) Jika fungsi  f  dapat diturunkan pada selang  I , maka setiap titik pada grafik   f  dalam I  dapat dibuat (ada) garis singgung pada titik tersebut. (ii) Pada bagian grafik yang naik, tanjakan garis singgung di suatu titik pada grafik   f 

 positif  (arah garis singgung menunjuk ke kanan atas), maka nilai fungsi dititik   berikutnya akan lebih besar  dari nilai fungsi di titik sebelumnya, sehingga fungsi  f  monoton naik. Sebaliknya dalam hal tanjakan garis singgung di suatu titik pada grafik  f  negatif , maka nilai fungsi  f  monoton turun. (iii) Oleh karena tanjakan garis singgung

pada sebuah titik ( x,f ( x)) adalah  f’ ( x), maka

dapat disimpulkan bahwa: 1. f  naik apabila  f’ ( x) > 0 2. f  turun apabila  f’ ( x) < 0 3. f  stasioner apabila  f’ ( x) = 0 (Lihat gambar 5.7)

 y

 A

Tanjakan 0  f 

C 

Tanjakan (-)

Tanjakan (-) Tanjakan (+)

 B

 D

Tanjakan 0 0

 x1

 x2

 x3

x4

 x

Variasi naik turun

 Prilaku Grafik f 

Turun Pada selang  [ x1, x2]  f’ ( x)<0

Naik Pada

Turun Pada selang  [ x1, x2]  f’ ( x)<0

Gambar 5.7

2.1.3 Nilai Maksimum Dan Minimum Fungsi Kontinu  Sebuah fungsi  f  : A → R dikatakan mencapai (i)  nilai maksimum di titik  a ∈ A jika  f ( x) ≤  f (a), ∀ x ∈ A,  nilai minimum di titik  a ∈ A jika  f ( x) ≤  f (a ), ∀ x ∈ A, (ii)

Teorema 1 (Ekstrim Absolut) Misalkan f sebuah fungsi kontinu dalam interval tertututp [ a,b]. Maka fungsi  f  dijamin mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada [ a,b]

Teorema 2 (Lokasi Ekstrim Absolut) Misalkan f sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup [ a,b]. Maka ekstrim fungsi f  dalam interval ini dicapai pada salah satu dari (i). pada ujung interval a atau b (ii) pada titik x didalam ( a,b), dimana  f ' ( x ) = 0 atau  f ' ( x) tidak  ada .

Perhatikan gambar 5.8 , fungsi  f terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Maka dijamin ada nilai maksimum absolut yaitu  f(a) dan nilai minimum absolut yaitu  f(b). Titik A=(a,f(a)) sebagai titik minimum absolu t dan titik  B=(b, f(b)) sebagai titik maksimum absolut. T

R  P Q A

 x

 x  f(x3 )

 f(a)

 X 1

a

 x4

 X 2 X 3 X

 f(x5 ) X 

U

 f(b)

 x b

 X 

gambar 5.8

5.2. Ekstrim Lokal (Relatif) 

Perhatikan gambar 5.9,fungsi  f  terdefinisi pada (a,b), tetapi  f  tidak terdefinisi pada ujung-ujung interval ( a dan b), sehingga meskipun seolah-olah titik A titik terendah dan titik B titik tertinggi, namun keduanya bukan titik minimum dan maksimum. Titiktitik P, R, dan T merupakan titik-titik maksimum relatif  dari fungsi  f , dan  f(x1 ), f(x 3 ), dan  f(x5 ) merupakan  nilai-nilai maksimum relatif  f . Titik-titik Q, S, dan U merupakan  titik-titik minimum relatif  dari fungsi  f , dan  f(x2 ), f(x4 ), dan  f(x6  ) merupakan  nilai nilai minimum relatif   f . T

R  P Q A

 x

 x  f(x3 )

 f(a)

a

X 1

 x4

 X 2 X 3 X

 f(x5 ) X 

Gambar 5.9

U

 f(b)

 x  X 

b

Definisi (ekstrim lokal(Relatif) (i)

 f(a) dinamakan nilai  maksimum relatif (lokal) fungsi  f  di  x = a bilamana terdapat selang terbuka  I yang memuat a, sehingga:  f (a) ≥  f ( x),

∀ x ∈ I 

dan titik  (a,f(a)) dinamakan titik maksimum relatif dari fungsi  f. (ii)

 f(a) dinamakan nilai minimum relatif (lokal) fungsi  f  di  x=a bilamana terdapat selang terbuka  I yang memuat a, sehingga:  f (a ) ≤  f ( x),

∀ x ∈ I 

dan titik  (a,f(a)) dinamakan titik minimum relatif dari fungsi  f 

Pertanyaan Eksistensi ekstrim Misalkan sebuah fungsi

 f  : A → R , apakah f mempunyai nilai ekstrim pada  A ?.

Jawabnya tergantung pada : (i). Tergantung pada himpunan  A tersebut.

3

 x = x

Ambillah misalnya

 x

 f ( x) = x 3  pada  A = (∞, ∞) ,

0

maka fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum (gambar  5.10).

gambar 5.10a

Untuk fungsi  f yang sama pada selang  A =

⎡ −1 ⎢⎣ 2

3

 y

⎤ ⎦

, 1⎥ mempunyai nilai maksimum

 f(x) = x

 x

-1/2

1

 f (1)=1, dan nilai minimum  f (− 1 ) = − 1 (gambar 5.10b). 2 8

gambar 5.10b

Untuk fungsi yang sama pada selang  A = [ −1

3

 x = x 2

tetapi

, 1) tidak mempunyai nilai maksimum, nilai

minimumnya

 f (− 1 ) = − 1 2 8

-1/2 0

(gambar 5.10c). (ii). Juga tergantung

pada tipe fungsinya.

Ambillah fungsi tak kontinu

ambar

1

 g : [0,2] → R yang didefinisikan

2

⎧⎪  x ; 0 ≤ x < 1 ⎪⎩− x 2 + 2 x + 1; 1 ≤ x ≤ 2

1

 g ( x ) = ⎨

 x 0

Pada  A= [0,2] fungsi  g  tidak mempunyai

1

2

gambar

nilai maksimum tetapi nilai minimumnya

 g (0) = 0 (gambar 5.10d).

Uji kemonotonan fungsi

(i). Jika  f ' ( x) > 0 pada suatu interval I , maka grafik f monoton naik pada  I  (ii). Jika  f ' ( x) < 0 pada suatu interval I , maka grafik f monoton turun pada  I  Uji ekstrim dengan turunan pertama Teorema 1 (The first derivative test)

Misalkan c adalah bilangan kritis untuk  f dan f kontinu pada di titik  c , maka (i). Jika  f ' berubah tanda dari positif ke negative pada c, maka ( c, f (c)) merupakan titik  maksimum lokal. (ii). Jika  f ' berubah tanda dari negatif ke positif pada c, maka ( c, f (c)) merupakan titik  minimum lokal. (iii) Jika  f ' tidak berubah tanda pada c, maka (c, f (c)) bukan titik ekstrim lokal.

Turunan kedua sebuah fungsi juga dapat digunakan untuk menyelidiki kecekungan kurva fungsi. Turunan kedua dari fungsi  f didefinisikan sebagai

 f " ( x) = lim

 f ' ( x + h) −  f ' ( x)

h →0

h

.

 Notasi: Jika  y =  f ( x) maka turunan kedua dinotasikan

d 2 y dx 2

=  f " ( x) .

Uji kecekungan (Test for Concavity) Misalkan f  terturunkan dua kali pada interval terbuka  I  (i). Jika  f " ( x) > 0  pada  I , maka  f cekung keatas pada setiap titik dalam  I . (ii). Jika  f " ( x) < 0  pada  I , maka  f cekung kebawah pada setiap titik dalam  I . Hubungan antara turunan pertama, turunan kedua dan kecekungan diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Jika  f " > 0 dan  f ' ( x) monoton naik, grafik  f cekung ke atas

Cekung keatas

 f ' ( x) < 0

 f " ( x) > 0

 f ' ( x) > 0

gambar 5.11

Jika  f " > 0, dan  f ' ( x) monoton naik grafik f cekung ke bawah Cekung `

 f ' ( x) > 0

 f ' ( x) < 0  f " < 0 gambar 5.12

Uji turunan kedua untuk jenis ekstrim lokal Misalkan  f ' (c) = 0 1.  f (c) merupakan nilai maksimum lokal jika  f " (c) < 0 . 2.  f (c) merupakan nilai minimum lokal jika  f " (c) > 0 . 3. Jika  f " (c) = 0 , uji ini gagal (tidak ada kesimpulan jenis ekstrim). Contoh :

Diberikan fungsi  f  :  R → R dengan persamaan:  f ( x) = x 3 − 3 x 2

+ 2,  x ∈ R

Maka 1.  f mencapai maksimum lokal dititik (0,2) dengan

 y

 f 

2

nilai maksimum lokal  f (0)=2. 2.  f mencapai minimum lokal dititik (2,-2) dengan nilai minimum lokal  f (2)= - 2. 3.

Grafik  f monoton naik pada selang

(−∞ , 0) ∪ (2 , ∞)

 x 0

-

1

2

(2,-2)

dan monoton turun pada selang (0,2) . 4.  f mencapai titik belok di (1,0). 5.  f Cekung ke bawah pada selang (−∞ ,1) dan

cekung ke atas pada selang (1, ∞) . Teorema 2 (Ekstrim absolut)

gambar 5.13a

Misalkan fungsi  f  kontinu pada selang tertutup [ a,b], maka ada bilangan-bilangan c1 dan c2  pada selang [a,b] sehingga  f(c1 ) dan  f(c2 )

masing-masing merupakan nilai maksimum

mutlak dan minimum mutlak fungsi  f   pada [a,b]. Catatan

1. Kebalikan teorema ini tidak berlaku, artinya terdapat beberapa fungsi yang mencapai nilai maksimum dan minimum mutlak pada selang tertutup [ a,b], tetapi fungsi tersebut tidak kontinu pada [ a,b]. 2. Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang setengah tutup ( a,b] atau [a,b) , teorema belum tentu berlaku. Contoh

 y

 f  : [0,2] → ℜ , diskontinu dan didefinisikan 2

sebagai

⎧  f ( x) = ⎨  x 2 ⎩− x

; 0 ≤  x < 1 + 2 x + 1; 1 ≤  x ≤ 2

Jelas bahwa  f  mencapai nilai maksimum mutlak  f (1)

1

 x 0

1

2

Gambar 5-14

= 2 di titik   x = 1 dan nilai minimum mutlak  f (0) = 0 di titik   x = 0, namun dalam hal ini  f  tidak kontinu di  x = 1.

Langkah-langkah menentukan ekstrim absolut i) Tentukan nilai fungsi  f(a) dan  f(b) yaitu nilai fungsi pada ujung-ujung selang tertutup [a,b]. ii) Tentukan semua titik-titik kritis fungsi  f  pada selang tertutup [a,b]. iii) Nilai fungsi yang terkecil yang diperoleh dari langkah (i) dan (ii) merupakan nilai

minimum mutlak

f   pada selang tertutup [a,b], dan nilai terbesar merupakan

nilai

maksimum mutlak  f  pada selang tertutup [a,b].

 2.3. Titik Balik (Titik Infleksi)  Perubahan kemonotonan suatu fungsi kontinu menghasilkan

titik ekstrim relatif 

 pada grafik fungsi. Sedangkan perubahan kecekungan suatu fungsi kontinu menghasilkan  suatu titik balik (point of inflection) bilamana di titik tersebut terdapat garis singgung pada  grafik fungsinya.  Definisi

 Misalkan f suatu fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat  c. Titik ( c ,f ( c )) dinamakan titik balik dari fungsi f  jika kedua syarat berikut dipenuhi: (i)

Terdapat garis singgung pada grafik  f  di titik ( c ,f (c  )).

(ii)

Terdapat perubahan kecekungan dari fungsi f di sekitar titik  x = c.

Catatan 1. Syarat adanya garis singgung pada fungsi f  di titik baliknya tidak ekivalen dengan

 fungsi f  mempunyai turunan di x = c. 2.  Perubahan kecekungan yang dimaksudkan adalah apabila ada selang terbuka ( a , b )

 yang memuat  c sehingga f  cekung ke atas pada ( a ,c ) dan cekung ke bawah pada ( c , b ) atau sebaliknya. 3. Garis singgung di titik balik akan melintasi grafik fungsi f . lihat gambar 5.17a dan

 gambar 5.17b.  y

 y Titik balik

Titik balik Garis singgung

Garis singgung

 x

 x 0

a

c

0

b

a

c

b

gambar 5.17b

gambar 5.17a

Teorema

 Misalkan f  terdiferensial pada selang I , dan misalkan c sebuah titik dalam I dan misalkan pula  f ' ' kontinu di c. Jika titik ( c ,f ( c )) adalah titik balik dari grafik  f  maka  f ' ' (c) = 0 . Catatan  f ( x) =  x 4

1.  Kebalikan teorema tersebut tidak benar. Artinya bilamana

 f ' ' (c ) = 0 , belum tentu

2

( c ,f ( c )) 1

merupakan titik balik fungsi f . Sebagai ilustrasi 4  fungsi  f ( x) =  x  ,

-1

maka  f ' ' ( x) = 12 x 2 dan  f ' ' (0) = 0 akan tetapi titik  (0,0) bukan titik balik karena  f  " ( x) > 0,

∀ x ≠ 0 , ini

berarti bahwa grafik fungsi f  cekung ke atas untuk   setiap x ≠  0. lihat gambar 5.18.

0

1

Gambar 5.18

2. Sebaliknya, titik ( c ,f ( c ))

dapat merupakan titik 

balik grafik  f  meskipun  f ' ' (c) tidak ada.

Contoh :

Tentukan titik-titik balik fungsi berikut dan gambar grafiknya. a.  f ( x) = 12 x 3 b.  g ( x) =  x

1

3

+1

+3

 Penyelesaian :

a.  f ( x) = 12 x 3

+1  y

⇒   f ' ( x) = 32 x 2

Titik balik

⇒   f ' ' ( x) = 3 x .

(0, 1)

 Jelas bahwa  f ' ( x) = 32 x 2

0

kontinu di R . Jadi

f’( x ) = 0. Akibatnya grafik  f  mempunyai garis

 singgung

di

titik

(0,1).

Turunan

 x

gambar 5.19

kedua

 f ' ' ( x) = 3 x jelas bahwa f’’( x ) > 0 untuk  x > 0 dan

f’’( x ) < 0

untuk  x < 0. Jadi

f’’( x )

berubah tanda di sekitar  x = 0. Karenanya titik  (0,1) adalah titik balik dari fungsi

f, lihat 

 gambar 5.19.

 y  g(x)

b.  g ( x) =  x

1

3

+3

Titik belok

⇒  g ' ( x) = 13 x ⇒  g ' ' ( x) =

−2

 g’’(x) < (0,3)

3

 g’’(x) >

−2  x −5 3

 x

9

0

 Dalam hal ini satu-satunya nilai x = 0 yang  membuat  g’( x )

tidak ada. Jadi

titik (0,3)

merupakan titik kritis. Selanjutnya, untuk  x = 0, tampak bahwa g’’(0)  g ' ' ( x) =

−2 9 x

5

3

tidak ada. Tetapi

ada untuk setiap x ≠ 0 dan

 g ' ' ( x) > 0, ∀ x < 0,

 g " ( x) < 0, ∀ x > 0

gambar 5.20

 Jadi untuk  x < 0 grafik  g cekung ke atas dan untuk  x > 0 grafik  g cekung ke bawah. Sehingga terjadi perubahan kecekungan grafik  g di sekitar  x = 0. Jadi (0,3) merupakan titik balik grafik  g , meskipun g”(0) tidak ada, lihat gambar 5.20. Catatan

 g ' (0) = lim  x→0

 g ( x) − g (0)

= lim

 x − 0

 x→0

⇒  g ' (0) = lim  x

−2

3

 x→0

 x

+3−3  x − 0

1

3

= +∞ .

 Ini berarti meskipun g’(0) tidak ada, tetapi grafik  g masih mempunyai garis singgung di titik (0,3) yaitu sumbu y.

2.4. Teorema Rolle Dan Teorema Nilai Rata-Rata 2.4.1 Teorema Rolle  Misalkan  f  suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [ a,b] dan mempunyai turunan pada selang terbuka ( a,b) serta  f (a) =  f (b), maka ada bilangan c ∈ (a,b) sedemikian sehingga f ’ (c) = 0.

Teorema Rolle ini menjelaskan secara geometri bahwa jika  f  kontinu dan memiliki turunan  pada setiap titik

∈ ( a , b)

dan jika  f (a) = f (b) maka ada paling sedikit satu titik pada grafik   f 

antara  x = a dan  x = b yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu x. (lihat gambar  5.25a). Jika antara

 x = a dan  x = b ada sebuah titik di mana  f  tidak memiliki turunan,

maka ada kemungkinan grafik   f  tidak memiliki garis singgung horisontal, walaupun  f  kontinu dan  f (a) =  f (b), lihat grafik 5.25b. Dalam hal ini teorema Rolle tidak berlaku. Selanjutnya teorema Rolle ini memungkinkan kita mengetahui lokasi terjadinya titik ekstrim fungsi.

 y

Teorema Rolle berlaku

 f(a) =

0a

c

b

 x

gambar 5.25a

 y

 Teorema Rolle

 f(a) =

0a

c

b

gambar 5.25b

 x

Contoh :

Diberikan fungsi dengan persamaan:

 f ( x) = 16 x 3

− 2 x

a. Tentukan selang tertutup pada daerah definisi fungsi  f  dimana syarat teorema Rolle dipenuhi.  b. Tentukan nilai c pada selang terbuka dari jawaban (a) yang memenuhi kesimpulan teorema Rolle. Penyelesaian :

a. Grafik fungsi f memotong sumbu-x bilamana f(x) = 0, yaitu

 f ( x) = 16 x 3

⇔  x( x + 2

− 2 x =  x( 16  x 2 − 2) = 0

 x = −2 3 ;

diperoleh titik-titik x = 0;

3 )( x − 2 3 ) = 0

 x = 2 3 , dengan

 f (0) = 0;  f (−2 3 ) = 0 ; dan  f (2 3 ) = 0 disini jelas pula bahwa fungsi  f  kontinu dan mempunyai turunan pada  R. Karena itu syarat teorema Rolle dipenuhi pada selang tertutup: [−2 3 ,0] ;

[0,2 3 ] ; dan

[−2 3 ,2 3 ] .  b. Karena syarat teorema Rolle dipenuhi oleh fungsi  f  pada selang tertutup [−2 3 ,0] , maka ada bilangan c ∈ (−2 3,0) sehingga  f ’ (c) = 0. Karena 1 2

c2

 f ' ( x ) = 12 x 2

−2

kontinu pada

− 2 = 0 , menghasilkan c1 = -2

 R sehingga  f ' (c) = 12 c 2

−2,

akibatnya

dan c2 = 2. Yang dipilih adalah c1 = -2 karena c

harus terletak pada selang (−2 3,0) . Jadi bilangan c yang memenuhi teorema Rolle  pada selang (−2 3 ,0) adalah -2. Dengan cara yang sama, maka pada selang

 y

(0,2 3 ) , nilai c yang memenuhi teorema

Terakhir pada selang (−2 3 ,2 3 ) ,

adalah

c

−2

yang memenuhi teorema Rolle

c1 = -2

 f(x)

2

Rolle adalah 2.

nilai

3

dan

c2 = 2. Perhatikan

gambar 5.26.

3

1 1 -

-

-3 gambar 5.26

2.4.2 TEOREMA NILAI RATA-RATA

Misalkan  f  suatu fungsi yang memenuhi syarat : (i)

 f  kontinu pada selang tertutup [ a,b]

2 x 3

2 3

 f  mempunyai turunan pada selang terbuka ( a,b)

(ii)

maka ada suatu bilangan c ∈ (a,b) sehingga:

 f ' (c) =

 f (b) −  f (a)

 f (b) =  f (a) + (b − a) f ' (c )

atau

b−a  y

 B

 f(b)

 f 

 A

 f(a)

 x a c

0

b

Gambar 5.28

Catatan:

Teorema nilai rata-rata adalah perluasan teorema Rolle atau dapat dikatakan teorema  Rolle adalah hal khusus dari teorema nilai rata-rata. Secara geometri, teorema nilai ratarata mengatakan bahwa jika grafik fungsi kontinu memiliki garis singgung pada tiap titik  antara A dan B gambar 5.28, maka ada paling sedikit satu titik pada kurva antara A dan  B yang garis singgungnya sejajar dengan tali busur AB. Contoh

 Diberikan:  f  : [4,9] → ℜ ,

 f ( x) = 2  x

Tentukanlah nilai c dalam selang terbuka (4,9) yang memenuhi teorema nilai ratarata. Penyelesaian :

 f ( x) = 2  x , maka  f ' ( x) =

1

 x

, sehingga  f  kontinu dan  f ’ ada untuk semua  x > 0. Jadi  f 

memenuhi syarat-syarat teorema nilai rata-rata pada selang [4,9]. Maka ada bilangan c (4,9) sehingga :

 f ' (c) =

 f (b) −  f ( a) b−a

⇒  f ' (c) =

 f (9) −  f (4) 9−4

Dalam hal ini

⎛ 25 ⎞ =  f (9) −  f (4) = 2 ⎟ 9−4 5 ⎝  4  ⎠

 f ' ⎜

⇒

1

c

=

6−4

⇒c=

5

 y

 B

6   A

4

 P 

merupakan tanjakan garis AB ( tanjakan garis singgung kurva di titik P). Lihat gambar 5.29.

25 4

 f 

 x 0

1

4

gambar 5.29

c

9

∈

(i)

 g ( x) =  x ;

−1 ≤  x ≤ 9

⎧⎪  x ⎪⎩ − x

; 0 ≤  x ≤ 9

Dalam bentuk tidak mengandung nilai mutlak :  g ( x) = ⎨

⎧ 1 ⎪⎪ 2  x  g ' ( x) = ⎨ ⎪− 1 ⎪⎩ 2 − x

dan

;

− 1 ≤  x < 0

; 0 < x < 9 ;

− 1 < x < 0

mudah ditunjukkan bahwa g ’(0) tidak ada a. Jelas bahwa  g  kontinu pada selang tertutup [-1,9]. Tetapi  g  tidak mempunyai turunan di  x = 0, maka syarat teorema nilai rata-rata tidak dipenuhi pada selang yang diberikan.  b. g(9) = 3 dan

 g ' (c) = 1 2 c

=

g(-1) = 1. Misalkan nilai c positif , maka

 f (9) −  f (−1)

 y

9 − (−1) 3 −1 10

⇔

 B

3 1

2 c

=

1 5

⇔ c = 6 14

,

 A

2

 P 

 g 

1

c positif , Jadi nilai c = 6 14 .

 x

 Nilai ini masih terletak pada selang (-1,9) Andaikan nilai c negatif , maka

-1 0

1

4

c

9

Gambar 5.26

1 −1 = ⇔ − c = −2 12 2 −c 5 hal ini kontradiksi bahwa hasil penarikan negatif.

akar pangkat dua tidak mungkin

Akibatnya bilangan c dalam kasus ini tidak mungkin negatif.

Perhatikan andaikan kita pilih selang [-1,4] maka dalam kasus ini fungsi g tidak memenuhi syarat teorema nilai rata-rata sebab tidak ada bilangan c yang memenuhi

 g ' (c) =

 f (4) −  f (−1) 4 − (−1)

.

 2.5 Menggambar Grafik Fungsi  Menggambar grafik fungsi dapat dilakukan dengan menguji persamaan fungsinya, apakah simetri terhadap sumbu-sumbu koordinat atau terhadap titik asal. Bila memungkinkan dapat pula ditentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y, walaupun hanya perkiraan saja. Pengetahuan tentang daerah asal dan daerah nilai fungsi dapat  membatasi grafik fungsi pada sebuah daerah yang terbatas pada bidang. Pengetahuan

tentang nilai-nilai ekstrim lokal fungsi dan letaknya titik-titik balik sangat membantu. Selain itu pengetahuan tentang tanda turunan pertama dapat memberikan informasi tentang  kemonotonan

(naik/turunnya)

grafik fungsi, tanda turunan kedua dapat memberikan

informasi tentang kecekungan grafik fungsi. Asimptot-asimptot sangat dapat membantu menggambar grafik-grafik. Selain itu titik-titik fungsi

f   , f ’ dan f ’’ yang tidak terdefinisi

 penting pula diketahui. Dengan memperhatikan hal-hal tersebut di atas, grafik sebuah fungsi dapat digambar dengan mudah dan cermat.  Langkah-langkah yang dapat ditempuh untuk menggambar grafik fungsi adalah sebagai berikut:  I.

 Analisis Pendahuluan meliputi: a. Tentukan daerah asal dan bila mungkin tentukan pula daerah nilai fungsi, serta tentukan titik-titik (daerah) pada bidang yang tak memuat grafik fungsi. b. Tentukan kemungkinan adanya sifat simetri fungsi terhadap sumbu-sumbu koordinat atau terhadap titik asal.

Catatan 1

Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-sumbu koordinat, grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. c. Tentukan titik-titik potong grafik fungsi dengan sumbu-sumbu koordinat bila ada, meskipun hanya perkiraan.

Catatan 2

Titik potong grafik fungsi dengan sumbu

x dicapai jika

y = 0, titik potong 

 grafik fungsi dengan sumbu-y dicapai jika x = 0. d. Gunakan turunan pertama untuk menentukan selang-selang grafik fungsi monoton naik dan monoton turun. Catatan 3 f  monoton naik pada I, jika f ’( x ) > 0, ∀  x ∈ I. f  monoton turun pada I jika f ’( x ) < 0, ∀  x ∈ I.

e. Tentukan semua bilangan-bilangan kritis fungsi dan gunakan turunan pertama dan turunan kedua untuk menentukan titik-titik ekstrim lokal dan jenisnya.

Catatan 4  Bila c adalah bilangan kritis fungsi maka f ’( c ) = 0 atau f ’( c ) tidak ada.

 f.

Gunakan turunan kedua untuk menentukan selang-selang grafik cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Catatan 5

 f ' ' ( x) > 0,

∀ x ∈ (a, b) , maka grafik 

f  cekung ke atas pada ( a , b ).

 f ' ' ( x) < 0,

∀ x ∈ (a, b) , maka grafik 

f  cekung ke bawah pada ( a , b ).

 g. Tentukan titik-titik balik jika ada, dan asimtot-asimtotnya jika ada.

 II.  Dari analisa di atas ditambah dengan beberapa titik pada grafik, maka kurva tersebut  dapat digambar. Contoh :

 Lakukan analisa pendahuluan, kemudian gambar grafik dari fungsi : 4  f ( x) = 14 x

− 13 x 3 − x 2 + 1

Penyelesaian :

a.

 f ( x) = 14 x 4

− 13 x 3 − x 2 + 1 . Domain f   f ' ( x) =  x 3 − x 2 − 2 x =  x( x + 1)( x − 2)  f ' ' ( x) = 3 x 2 − 2 x − 2 = ( x − 1+3 7 )( x − 1−3 7 ) .

adalah

semua

bilangan

real 

R 

 Jelas bahwa f   , f ’ dan f ’’ kontinu pada setiap bilangan real R. 

 Bilangan kritis

f 

diperoleh

dengan menyelesaikan persamaan

f ’( x ) = 0,

diperoleh x = -1, x = 0, dan x = 2, dengan nilai-nilai fungsi masing-masing  untuk   x = −1

⇒  f (−1) = 72 dan  f ' ' (−1) = 3 > 0

 x = 0

⇒  f (0) = 1

dan  f ' ' (0) = −2 < 0

 x = 2

⇒  f (2) = − 53 dan  f ' ' (2) = 6 > 0

 Kesimpulan: Titik maksimum relatif dari f  adalah (0,1) dan Titik minimum relatif dari f  adalah (-1,7/2) dan (2,-5/3).



Selang Grafik   f ' ( x) > 0

f 

naik diperoleh dengan menyelesaikan pertidaksamaan

⇔  x( x + 1)( x − 2) > 0 ,

Tanda f ’

------------ ++++++++ ---------+++++++ 0 -1 2

dapat diperiksa dari gambar 

berikut dari hasil ini disimpulkan bahwa f naik  pada selang (-1,0)

gambar 5.27

∪ (2,+∞  ), ini

berarti f  turun pada selang (-∞  ,-1) ∪ (0,2). 

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan  f " ( x) = 0 ,diperoleh

Titik balik  f   x = 13 (1 ± 7 ) .



Tanda f ’’( x ) dapat diperiksa sebagai berikut:

+++++ 0 ------

0 +++++

1− 7 3

 f’’(x) > 0

1+ 7 3

 f’’(x) < 0

 f’’(x) > 0

gambar

 y Sehingga grafik  f  cekung ke atas  f(x)

 pada selang   x < 13 (1 − 7 )

∪  x > 13 (1 +

1

7) . (-1, 7 12 )

 grafik  f  cekung ke bawah pada

-1

 x 0

1

2

 selang  1 3

(1 − 7 ) <  x < 13 (1 + 7 )

Grafik fungsi

f  pada gambar 

(- 5 3 )

(2,- 5 3 )

Gambar 5.29

5.29.

2.6. Penggunaan Turunan Pada Ilmu Sains Dan Rekayasa 2.6.1 Laju Berhubungan (Related Rates)

Misalkan  y adalah fungsi dari waktu t  dengan persamaan  y =  f (t ), yang dapat diturunkan maka maka

dy dt  dy dt 

menyatakan laju perubahan  y terhadap waktu t . Dalam hal  y menyatakan jarak, merupakan kecepatan.

Akan tetapi banyak masalah yang memuat peubah-peubah x dan y, dan hubungan diantaranya merupakan persamaan yang tidak memuat waktu t. Sedangkan x dan y adalah fungsi-fungsi dari t yang tidak diketahui. Kerapkali mungkin dalam persoalan demikian untuk menghitung

dx dt 

dan

dy dt 

yang merupakan laju perubahan/kecepatan sesaat  x dan  y

terhadap waktu tanpa menyatakan  x atau  y secara eksplisit sebagai fungsi dari t , bila salah satunya diketahui. Permasalahan seperti ini yang diselesaikan dengan turunan implisit, dikenal sebagai “laju berhubungan” dan dapat diselesaikan sebagai berikut : 1. Tentukan semua persamaan yang menghubungkan besaran-besaran yang terlibat didalamnya. 2. Tentukan turunan implisit dari kedua ruas persamaan terhadap peubah t . 3. Gunakan hasil dari langkah kedua untuk menentukan laju perubahan yang tidak  diketahui. 4. Tetapkan titik asal O, ambillah arah positif kekanan/keatas, dan arah negatif  kekiri/kebawah. Bila partikel bergerak kekanan atau keatas maka  bergerak kekiri atau kebawah maka

dx dt 

atau

dy dt 

dx dt 

positif, dan bila

bertanda negatif.

dinding

Contoh :

Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada

Gambar 5.31

dy

dinding tegak, dan ujung bawahnya terletak pada lantai datar. Jika pada saat ujung atas tangga berada 4 meter di atas lantai, kecepatan meluncurnya adalah 3 meter/detik. Tentukan kecepatan meluncur ujung tangga di lantai pada saat itu. (gambar 5.34)

Tangga 5m

dt 

y 4m

dx x lantai Gambar 5.34

Penyelesaian :

dt 

Misalkan  y meter menyatakan jarak ujung tangga bagian atas ke lantai dan  x meter  menyatakan jarak ujung tangga bagian bawah ke dinding. Akan dihitung

dx dt 

pada saat  y = 4 meter, bila diketahui

dy dt 

= -3 meter/detik (tanda negatif 

menyatakan arah ujung tangga meluncur kebawah). Karena panjang tangga = 5 meter maka persamaan yang menghubungkan  x dan  y 2

2

(menggunakan Phytagoras) adalah :  x + y = 25 ……………….(1) Turunan implisit terhadap t dari kedua ruas adalah 2 x

dx dt 

+ 2 y

dy dt 

=0

atau

 x

dx dt 

+ y

dy dt 

=0

…………………(2)

untuk  y = 4 meter maka dari pers.(1) diperoleh  x = 25 − 16 Dan karena

dy dt 

= -3 m/dt maka dari pers.(2) diperoleh : 3.

=3

dx dt 

meter.

+ 4(−3) = 0, ⇒

dx dt 

= 4 m dt .

Kesimpulan

Kecepatan meluncurnya ujung tangga di lantai pada saat kecepatan meluncurnya ujung atas tangga 3 m/s ketika berada 4 meter diatas lantai adalah

2.6.2

dx dt 

= 4 m/s.

Penggunaan Turunan Pada Masalah Ekstrim Banyak masalah dalam kejadian sehari-hari atau dalam sains, teknik, geometri dan

ekonomi menentukan penentuan nilai maksimum (atau minimum) mutlak dari suatu fungsi kontinu. Dalam contoh-contoh berikut akan diperlihatkan bagaimana cara menerjemahkan  problem yang tersamar ke dalam suatu model matematika dan kemudian menentukan nilai ekstrimnya.

Ringkasan langkah-langkah yang diperlukan adalah : a) Amati persoalan yang dihadapi dengan cermat, kemudian tentukan besaran yang mana (atau fungsi yang objektif) yang akan dimaksimumkan (atau diminimumkan).  Nyatakan besaran ini dengan suatu huruf. Selanjutnya nyatakan besaran ini sebagai “fungsi dari hanya satu peubah”. Seringkali kita berhadapan dengan dua persamaan yang terdiri atas tiga peubah, jika demikian halnya, eleminasikan salah satu peubah untuk memperoleh suatu persamaan (atau fungsi objektif) dengan satu peubah bebas saja.

 b) Tentukan turunan fungsi objektif yang diperoleh dari langkah a) dan andaikan turunannya sama dengan nol, untuk mendapatkan bilangan-bilangan kritis fungsi. Penyelidikan jenis ekstrim dapat dilakukan dengan salah satu uji coba yang telah dibahas pada bab terdahulu. c) Tentukan nilai maksimum (atau minimum) fungsi dengan membandingkan nilai ekstrim lokal yang nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang daerah definisi fungsinya.

Contoh :

Sehelai karton berbentuk bujursangkar dengan luas 81 cm 2. Pada keempat ujung-ujung karton tersebut digunting bujursangkar yang ukurannya sama. Selanjutnya karton tersebut dilipat keatas sehingga diperoleh sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan volume dos yang  paling besar yang dapat dibuat dari karton tersebut.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar 

9 - 2x

x

x

9 - 2x

x

LUAS= 81 cm2

9-2x

9 cm

9 - 2x

x x

Gambar 5.38

9 cm Misalkan  x = ukuran sisi bujur sangkar yang dibuang pada ke 4 ujung karton (lihat gambar)

v = Volume kotak yang akan dimaksimumkan. Ukuran (atau sisi) kotak yang akan kita buat adalah

= 9 – 2 x cm

Panjang Tinggi Maka volume kotak adalah

Lebar = 9 – 2 x cm

= x cm, dengan 0 ≤ x ≤ 9/2 (mengapa ? ) .

V(x) = (9 – 2x)(9 – 2x). x, merupakan fungsi terhadap peubah bebas  x. 3

atau

2

V(x) = 4x – 36x + 81x

0 ≤ x ≤ 9/2 ……..

; 1

(1).

1

Syarat agar V mencapai maksimum adalah V  (x) = 0 atau V  (x) tidak ada. Karena V 1(x) = 12x2 – 72x + 81 maka kita selesaikan persamaan V 1(x) = 0 yaitu

⇔ 3 (2 x – 3) (2x – 9) = 0

2

3 (4 x – 24 x + 27) = 0

……

(2).

Karena V 1(x) ada untuk semua  x ∈ R, maka dari (2) diperoleh bilangan kritis V adalah

 x =

3 2

atau  x =

9 2

, keduanya berada dalam selang tertutup

Karena V  kontinu dalam selang tutup

⎡ ⎣

dalam selang ⎢0,

⎡0, 9 ⎤ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

⎡0, 9 ⎤ . ⎢⎣ 2 ⎥⎦

maka V  mempunyai nilai maksimum mutlak 

9⎤

. 2 ⎥⎦  Nilai ekstrim V  dicapai pada bilangan kritisnya atau pada ujung-ujung interval daerah definisinya; yaitu untuk  x = 0 ;  x =

V (0) = 0 ;

3 2

; atau  x =

⎛ 3 ⎞ = 54 ⎟ ⎝ 2 ⎠

V ⎜

9 2

, sehingga dari persamaan (1) diperoleh

⎛ 9 ⎞ = 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠

; dan V ⎜

Kesimpulan

Volume maksimum kotak yang dapat dibuat dari karton tersebut adalah

⎛ 3 ⎞ = 54 ⎟ ⎝ 2 ⎠

V ⎜

centimeter kubik.

Untuk menguji volume maksimum kotak ini, dapat dilakukan uji turunan kedua yaitu

V ”( x) = – 72 + 24 x , sehingga V ”(3/2) = - 72 + 24(3/2) = - 36 < 0

⎛ 3 ⎞ = 54 ⎟ ⎝ 2 ⎠

Jadi V ⎜

cm3 merupakan volume maksimum kotak.

2.6.3 Penggunaan Turunan Dalam Ekonomi Di dalam ilmu ekonomi, variasi (perubahan) suatu besaran (peubah) terhadap besaran lainnya dapat dinyatakan (diekspresikan) dalam konsep “rata-rata” dan “konsep marginal”

Definisi

Pandang suatu fungsi  y = f(x), maka

(i)

(ii)

Fungsi rata-rata  y didefinisikan sebagai hasil bagi  y yaitu:  x  y  f ( x) ………….(1)  y = =  x Fungsi marginal  y’  didefinisikan sebagai hasil bagi diferensial dy yaitu tak  dx lain dari turunan pertama  f  yaitu :

 y ' =

dy dx

= lim  x

 f ( x + ∆ x) −  f ( x)

∆ x

∆ →0

……….(2)

asal limitnya ada

Antara fungsi rata-rata  y dan fungsi marginal  y’  terdapat hubungan bahwa fungsi  y

=

 y  x

mempunyai garis singgung mendatar maka di titik itu kedua fungsi  y dan  y’  mempunyai nilai yang sama, yaitu bilamana :  y ' = 0

maka  y = y’ .

Di sini ini diperlihatkan mengapa hal tersebut terjadi.

 y =

 y  x

⇒  y' =

 xy'− y  x 2

 bila

 y ' = 0

⇒

0=

 xy '− y  x

⇔  xy' =  y

 y

⇒  y' = = y .  x

 y S 

Perhatikan gambar 5.44 berikut yang merupakan definisi  y . Nilai  y di suatu titik dengan tangen sudut

β

 R

P ditunjukkan

tan β =

 x

=  y

yang dibuat garis OP dengan

memberikan sudut rata Q minimum.

β

 y

 β  0

.

Tampak bahwa garis singgung OR memberikan sudut

 y = T  Q

sumbu  x positif, karena:

 y

 P(x,y)

 x

α 

 x

Gambar

β

terbesar dan garis singgung OQ

terkecil, sehingga fungsi rata-rata  y di R maksimum dan fungsi rata-

Selanjutnya fungsi elstisitas E didefinisikan sebagai hasil bagi antara fungsi marginal  y’  dengan fungsi rata-rata  y yaitu:  E  =

 y

yang dapat dituliskan sebagai:

dy

dy  E  = dx  y

 y'

 y dx

=

=

d ln y

………(3)

d ln x

Fungsi elastisitas ini meskipun jarang digunakan dalam matematika namun merupakan hal sangat penting  dalam ekonomi. Grafik elastisitas ditunjukkan dalam gambar 5.45.

 y  y = f(x)  P(x,y)

 D

 y 0

 x

α   A

C 

 x

Gambar 5.45

Sekarang kita akan definisikan fungsi biaya total, fungsi biaya rata-rata, dan fungsi biaya marginal. Definisi

Misalkan

 x

menyatakan banyaknya unit (satuan) barang (komoditi) tertentu yang

diproduksi, maka: (i)

 Biaya total  untuk memproduksi  x satuan barang atau pengeluaran total untuk  memproduksi  x satuan barang itu dan dituliskan sebagai:

 y = c( x)

……….(4)

Fungsi c disebut fungsi biaya total (total cost function) (ii)

 Biaya rata-rata, yaitu biaya rata-rata untuk memproduksi satu satuan barang yang dituliskan sebagai:

Q( x) =

c( x)

……….(5)

 x

Fungsi Q disebut fungsi biaya rata-rata (everage cost function) (iii)

 Biaya  Marginal , yaitu biaya untuk memproduksi secara tambahan satu satuan  barang yang dituliskan sebagai:

 y ' = c' ( x) = lim

∆ x→0

c( x + ∆ x) − c ( x)

∆ x

………(6)

 jika limitnya ada, fungsi c’  disebut biaya marginal (marginal cost function).

Contoh :

Misalkan c(x) menyatakan biaya total dalam rupiah untuk memproduksi  x satuan pensil HB ( x ≥  10) dan c(x) ditentukan oleh:

c( x) = 15 + 800 x +

400

 x

maka:  Fungsi biaya rata-rata tiap satuan pensil adalah: Q ( x) =

c( x)  x

15 + 800 x + 400  x =  x

a. Fungsi biaya marginal adalah:

c' ( x) = 800 −

 b. Misalkan dalam satu minggu

diproduksi

marginalnya adalah:

c' (500) = 800 −

400 500 2

=

15

 x

+ 800 +

400

 x 2

400

 x 2  x = 500

satuan pensil maka biaya

= Rp. 799,9984

c. Biaya untuk memproduksi pensil yang ke 501 (satu pensil lebih) adalah:

c(501) − c(500) = 400815,7982 − 400015,8 = Rp. 799,9982  perhatikan bahwa jawaban (c) dan (d) terdapat perbedaan sebesar Rp. 0,0002 hal ini disebabkan karena biaya marginal merupakan biaya perubahan sesaat dari c(x). Dalam hal ini c’(500) merupakan biaya pendekatan untuk memproduksi pensil yang ke 501 (satu pensil lebih). d. Untuk memproduksi 5 batang pensil lebih adalah kira-kira:

(5)(c' (500)) = (5)( 799,9984) = Rp. 3999,9920 Selanjutnya akan didefinisikan biaya rata-rata marginal sebagai berikut:

Definisi

Misalkan Q(x) menyatakan banyaknya biaya dalam rupiah untuk memproduksi satu unit dari  x

unit barang (komoditi) tertentu, maka biaya rata-rata marginal

untuk   x = x1

didefinisikan sebagai Q’(x1 ) asal turunannya di  x1 ada dan Q’  disebut fungsi biaya rata rata marginal.

 Perhatikan bahwa :

Q( x) =

c( x)  x

⇒  Q' ( x) =

 xc' ( x) − c( x)  x 2

Selanjutnya turunan kedua adalah: Q' ' ( x) =

 x 2 c' ' ( x) − 2( xc' ( x) − c ( x))  x 3

Bila

Q’(x) = 0 Maka

 xc’(x) – c(x) = 0, sehingga

Q' ' ( x) =

c' ' ( x)  x

.

Dalam ekonomi  x umumnya positif, sehingga tanda Q’’(x) sama dengan tanda c’’(x) dengan demikian:

Q’(x) = 0 dan c’’(x) > 0 maka Q(x) mencapai minimum Q’(x) = 0 dan c’’(x) < 0 maka Q(x) mencapai maksimum

Selanjunya grafik dari fungsi biaya total, fungsi biaya marginal, dan fungsi biaya rata-rata masing-masing kita namakan TC, MC, dan AM. Perhatikan gambar (5-37 a,b,c) berikut:

1. Fungsi biaya total linier 

c ( x) = mx + b m harus positif karena fungsi c monoton naik dan b  y

harus positif. Biaya marginal diberikan oleh:

 AC 

c' ( x) = m adalah garis lurus yang sejajar sumbu  x. Jika Q merupakan fungsi biaya rata-rata, maka

Q( x) = m + b  x dan fungsi biaya rata-rata marginal

adalah: Q' ( x) = −

b  x 2

TC 

b m 0

 x Gambar 5.46a

merupakan hiperbola umum.

2. Fungsi biaya total kuadrat

c( x) = ax

 y 2

+ bx + c

TC 

dimana a dan c  positif.

c' ( x) = 2ax + b dan bilangan kritis dari

c

dibedakan atas 2 kasus yaitu b ≥  0 dan b < 0. Kasus b −b 2a

c

adalah −2 ab , di sini −b

0

2a

 x

Gambar 5.46b

0,

adalah negatif atau

0. Ini berarti puncak 

 y

 parabola terletak di sebelah kiri sumbu- y atau pada

TC 

domain  x yang negatif. Selanjutnya karena domain c harus positif, maka sketsa dari TC

c

untuk  b > 0 ditunjukkan pada

0

gambar 5.46b.

−b

2a

 x

Gambar 5.46c

Kasus b < 0, −2 ab positif maka puncak parabola

terletak di kanan sumbu- y atau pada domain  x > 0, dan domain dari c adalah [ −2 ab ,+∞) , sketsa TC untuk  b < 0 ditunjukkan pada gambar 5.46c.

Contoh :

Misalkan c(x) adalah biaya total untuk memproduksi

100 x

unit produksi dengan

 persamaan

c( x) = 12 x 2

− 2 x + 8 .

Tentukanlah: a. Fungsi biaya rata-rata  b. Fungsi biaya marginal c. Fungsi biaya rata-rata marginal d. Hitung nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata dan buat sketsa grafik biaya total, fungsi rata-rata, dan fungsi biaya rata-rata marginal dalam satu sistem sumbu.

Penyelesaian :

a. Fungsi biaya rata-rata adalah Q( x) =

c( x)  x

= 12 x − 2 +

8

 x

 b. Fungsi biaya marginal adalah c' ( x) =  x − 2 c. Fungsi biaya rata-rata marginal adalah Q' ( x) = 1 2

d. Untuk  Q’(x) = 0, diperoleh dengan Q(4) = 12 (4) − 2 +

Q' ' ( x) =

16

 x 3

8 4

−

8

=0

 x 2

1 2

−

8

 x 2

sehingga bilangan kritis untuk  Q adalah 4

=2

⇒ Q' ' (4) =

16 64

>0

maka Q mencapai minimum relatif yaitu 2 pada saat  x = 4.

Karena  x > 0 maka Q( x) kontinu pada (0,∞), dan hanya ada minimum relatif pada (0,∞) yaitu dicapai pada  x = 4. Maka disimpulkan bahwa Q mempunyai nilai minimum absolut  pada  x = 4 dan 100 x = 400, maka nilai minimum absolut untuk biaya rata-rata unit adalah Rp. 4,-. Jika 400 unit diproduksi. Sketsa grafik TC, MC, dan AC ditunjukkan pada gambar 5.47.

 y

c( x) = 12  x 2

T

8

− 2 x + 8

MC

c' ( x) =  x − 2

6 A 3 2

Q( x ) = 12 x − 2 +

8

 x

 x 0

2

4

Gambar 5.47

Fungsi Pendapatan, Fungsi Keuntungan dan Fungsi Pendapatan Marginal

Harga satuan barang yang dapat dijual adalah fungsi  permintaan. Fungsi permintaan tersebut kita namakan  p. Jika ada  x satuan barang dapat dijual maka  p( x) adalah harga satuan barang yang telah terjual tersebut. Misalkan  x

banyaknya barang tertentu yang

diproduksi dan dipasarkan, Fungsi permintaan (penerimaan) total  R, nilainya adalah  R( x) , kalau  x satuan terjual. Jadi  R( x) = xP ( x) atau

 R ( x)  x

=  p( x) .

Keuntungan  P ( x) jika  x satuan barang telah diproduksi dan terjual adalah selisih antara  pendapatan total dengan biaya total, yaitu:

 P ( x) = R( x) − c( x)  Pendapatan marginal  adalah laju kenaikan pendapatan (penerimaan) tiap satuan kenaikan dalam penjualan, dan dinotasikan sebagai  R’(x); sedang  p’(x) adalah harga marginal dan

 P’(x) adalah keuntungan marginal. Selanjutnya jika kedua ruas diturunkan diperoleh:  P ' ( x) = R' ( x) − c' ( x)  Jadi keuntungan marginal = pendapatan marginal – biaya marginal.

T U G A S 5.  LATIHAN 

Untuk soal nomor 1 sampai nomor 34, pada setiap fungsi yang diberikan, tentukanlah: a. Semua bilangan kritis fungsi b. Selang-selang dimana fungsi tersebut monoton naik atau turun c. Selang-selang fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah d. Titik-titik balik fungsi bila ada e.  Nilai ekstrim relatif dan jenisnya  f.

Sketsa grafik fungsi

1

1.  f ( x) = ( x − 5) 2

3.  f ( x) =

2.  f ( x) = 9 − x 2

4.  f ( x) = 2 x 3

5.  f ( x) =  x 4

6.  f ( x ) = 1 − x

− 6 x 3 − 24 x 2 + x + 2

1 + x 2

− 3 x 2 − 12 x + 8 2

3

Selidiki apakah titik (0,0) adalah titik balik dari garfik fungsi berikut, kemudian gambar   grafik fungsi tersebut untuk memeriksa kebenarannya.

⎧ x ;  x < 0 1.  f ( x) = ⎨ 2 ⎩ 2 x − x ;  x ≥ 0 1

⎧ x 2 2.  f ( x) = ⎨ ⎩  x

3

;  x < 0 ;  x ≥ 0

Gambarkan sebuah grafik fungsi yang memiliki karakteristik berikut: a.  f kontinu dimana-mana b.  f(2) = 3 c.  f’(2) = 0; f’(6) = 3; f’(x) > 0 , untuk x ≠  2 d.  f’’(6) = 0; f’’(x) > 0, untuk 2 < x < 6 dan f’’(x) < 0, untuk x > 6  Sebuah pesawat terbang Garuda, terbang kearah selatan dengan laju 400 mil/jam. Pada pukul 12.30 pesawat Garuda melintasi kota A. ada pesawat Merpati terbang pada ketinggian yang sama kebarat dengan laju 500 mil/jam dan melintasi kota A pada  pukul 13.00. tentukan laju perpisahan kedua persawat tersebut pada pukul 14.00. (Petunjuk : andaikan t = 0 pada pukul 13.00 ). 10 cm V.

Sebuah kerucut lingkaran tegak terbalik berjari-jari 10 cm dan tingginya 20 cm berisi penuh air. Jika air keluar  3

dari puncak kerucut dengan laju 5 cm /dt, tentukan laju

20 cm

turunnya permukaan air di dalam kerucut pada saat tinggi air 5 cm dari bidang atasnya ( Jawab: 4 45π 

dh dt 

h

= r

).

dv

3

= −5 cm dt  dt 

Sebuah jembatan layang jalan raya bersilangan tegak lurus dengan rel kereta api pada ketinggian 15 meter. Jika suatu saat lokomotif  y

kereta api melaju dengan kecepatan 54 km/jam tepat berada pada sebuah mobil yang melaju

R

Jembatan P

dengan kecepatan 36 km/jam, tentukanlah 15m

kecepatan berpisah antara lokomotif kereta api

S

dan mobil setelah 8 detik. x

B

Rel k.Api

Keliling sebuh persegi panjang adalah 40 meter. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut agar luasnya maksimum. selembar aluminium yang berbentuk persegi panjang, dengan panjang 32 cm dan lebar 20 cm. pada ujung-ujungnya dipotong bujur-bujur sangkar yang ukurannya sama. Aluminium yang tersisa dilipat keatas sehingga membentuk sebuah kotak tanpa tutup. Tentukan volume maksimum kotak aluminium tersebut. Misalkan

c( x) = 8300 + 3,25 x − 0,0002 x 2 adalah fungsi biaya total dengan  x merupakan

 banyaknya satuan yang diproduksi dan dipasarkan. Tentukanlah: a. Biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginalnya.  b. Jika tiap minggu diproduksi dan dipasarkan  x = 200 satuan, tentukanlah biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marginal untuk memproduksi dan memasarkan satu satuan lebih.

Seorang pedagang kain merasa bahwa ia dapat menjual tiap bulan 4000 yard tekstil  tertentu apabila ia menjualnya dengan harga $ 6 tiap yard. Penjualan bulan ini akan naik dengan 250 yard apabila ia memberikan potongan harga Tuliskan persamaan untuk

$ 0,15 tiap yard.

p(x) dan tentukan harga tiap yard yang menghasilkan

 pendapatan yang maksimal.  Manager pabrik meramalkan bahwa ia dapat menjual 500 satuan hasil pabriknya tiap minggu, jika harganya $ 20 tiap satuan. Penjualan mingguan akan naik dengan 50  satuan apabila ia memberikan potongan $ 0,50 tiap satuan. Biaya pembuatan dan  penjualan barang tersebut tiap minggu adalah: c( x) = 4200 + 5,1 x + 0,0001 x 2 Tentukanlah : a.

Fungsi permintaan

b.

Besarnya produksi minguan yang dapat menghasilkan keuntungan maksimum.

c.

Harga satuan barang pada tingkat maksimum produksi.

d.

Harga marginal pada tingkat maksimum produksi.