DIKTAT BAHAN KULIAH
MATEMATIKA
UNI 612105 BOBOT 3(3-0) SEMESTER I
OLEH YOHANNES NIP. 195204071986031001 195204071986031001
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG AGUSTUS 2012
KATA PENGANTAR
Matematika adalah ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan teknik sipil yang dapat dapat diatasi dengan pendekatan pendekatan matematika. Oleh karena itu penguasaan penguasaan bidang ilmu ini sangat penting bagi seorang mahasiswa teknik sipil. Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan, walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai konsep matematika disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan. Rumus-rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika lebih mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks lainnya. Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang memberi saran dan kritik demi penyempurnaan penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.
Bandarlampung, 16 Agustus 2012 Penulis,
Yohannes
i
DAFTAR ISI Halaman JUDUL KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
………………………………………… … …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… …
i ii iii
………………………………………… … …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… …
1 2 3 4
BAB II Fungsi dan dan Grafik Grafik 2.1 Pengertian Fungsi 2.2 Menggambar Grafik 2.3 Fungsi Trigonometri Tugas Mandiri Bab II
………………………………………… … …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………… ………………… …………………………………………… ………………………………………… …
5 6 7 9
BAB III Limit 3.1 Limit Fungsi Aljabar 3.2 Limit Fungsi Trigonometri Trigonomet ri 3.3 Kontinuitas Kontinuita s Tugas Mandiri Bab III
………………………………………… … …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… …
10 11 12 13
BAB IV Turunan / Diferensial 4.1. Definisi Turunan …………………………………………… ………………………………………… … 4.2. Turunan Fungsi Aljabar …………………………………………… ………………………………………… … 4.3. Turunan Fungsi Trigonometris ………………........…………………….. ………………........…………… ……….. 4.4. Gradien Garis Singgung …………………………………………… ………………………………………… … 4.5. Fungsi Naik, Stasioner dan Fungsi Turun ............................................ ............................... ............. Tugas Mandiri Bab IV …………………………………………… ………………………………………… …
14 15 16 17 19 20
BAB V Turunan Fungsi Transenden 5.1 Pendahuluan 5.2 Fungsi Logaritma Natural 5.3 Fungsi Eksponen 5.4 Fungsi Inversi Trigonometri 5.5 Fungsi Hiperbolik 5.6 Fungsi Inversi Hiperbolik Tugas Mandiri Bab V
………………………………………… … …………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………… ………………… …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… … …………………………………………… ………………………………………… …
22 22 23 25 27 28 29
BAB VI Turunan Fungsi Berbagai Variabel 6.1 Geometri Geometr i Fungsi Dua Variabel …………………………………………… ………………………………………… … 6.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel ................................................. ................................ ................. 6.3 Turunan Parsial Lebih Tinggi …………………………………………… ………………………………………… … 6.4 Turunan Fungsi Implisit …………………………………………… ………………………………………… … 6.5 Bidang Singgung dan Garis Normal ……………………………………. 6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim …………………………………………… 6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter ……………………………………… ……………………………………… 6.8 Diferensial Diferensi al Total …………………………………………… ………………………………………… … Tugas Mandiri Bab VI …………………………………………… ………………………………………… …
31 32 33 33 34 35 35 36 37
.......………………………………………………................… .......………………………………… ……………................…
39
Bab I 1.1 1.2 1.3
Sistem Bilangan Himpunan Bilangan Real Pertidaksamaan Pertidaks amaan Harga Mutlak Tugas Mandiri Bab I
Sumber Pustaka
ii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3 Gambar 1.4 Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6 Gambar 2.7 Gambar 2.8 Gambar 2.9 Gambar 3.1 Gambar 4.1 Gambar 4.2 Gambar 4.3 Gambar 4.4 Gambar 6.1 Gambar 6.2 Gambar 6.3 Gambar 6.4 Gambar 6.5 Gambar 6.6 Gambar 6.7 Gambar 6.8
Sketsa Bilangan Real …………………………………………… Skala Bilangan …………………………………………… ………………………………………… … Interval Hingga …………………………………………… ………………………………………… … Interval tak Hingga …………………………………………… ………………………………………… … Grafik Fungsi y = – x + |x| ……..….…………………………… ……..….……… …………………… Grafik Fungsi f(x) …………………………………………… ………………………… ………………… Grafik Fungsi f(x) …………………………………………… ………………………… ………………… Segitiga ABC …………………………………………… ………………………………………… … Fungsi y = sin x …………………………………………… ………………………………………… … Fungsi y = cos x …………………………………………… ………………………………………… … Fungsi y = tan x …………………………………………… ………………………………………… … Grafik y = 2sin ½ (x + 1/3 π) ………………....................…. Grafik y = sin2x dan y = cosx .………………....................…. Sketsa Limit Barisan …………………………………………… ………………………………… ………… Gradien Garis Singgung ............………………………...…… Fungsi Naik, Stasioner dan Fungsi Turun .…………………… Grafik Fungsi y = x3 + x2 ………………………………………. ………………………… ……………. 3 2 Grafik Fungsi y = x – x – 8x + 2 …………................……… Paraboloida Eliptik …………………………………………… ………………………………………… … Bola pusat di (0, 0,0) jari-jari r ...........……….…………………... Elipsoida berpusat di (0, 0, 0) …….................………………… Hiperboloida Hiperboloida berdaun satu ……….................………………… Silinder Parabolik …………………………………………… ………………………………………… … Hiperboloida Hiperboloida berdaun dua ……………..........………………… Kerucut Eliptik …………………………………………… ………………………… ………………… Bidang Singgung dan Garis Normal ..........…………………
iii
1 1 1 1 5 6 6 7 7 7 8 8 8 10 17 18 18 19 31 31 31 32 32 32 32 32
BAB I SISTEM BILANGAN 1.1 Himpunan Bilangan Real Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Rincian terlihat pada gambar 1.1 bil. bulat positip : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. bil. asli : 1, 2, 3, 4, 5, ….
bil. bulat Bilangan rasional
bil. bulat negatip : – 1, – 2, – 3, – 4….
bil. prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. a bil. pecahan , a dan b bulat b
Bilangan real
Bilangan irrasional : √2 = 1,4242...., π = 3,14159....., dll. Gambar 1.1 Sketsa Bilangan Bilangan Real Dikenal juga bilangan imajiner yaitu √ –1. Paduan bilangan real dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks. Ditulis a + b√ –1, dimana a dan b bilangan real. Bila i = √ –1 maka ditulis menjadi a + bi. Sifat-sifat urutan bilangan: 1. Trikotomi : jika x dan y suatu bilangan, berlaku: x < y atau x = y atau x > y 2. Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z 3. Penambahan : jika x < y jika dan hanya jika x + z < y + z 4. Perkalian : jika z positip maka x < y jika dan hanya jika xz < yz jika z negatip maka x < y jika dan hanya jika xz > yz Skala bilangan bilangan merupakan penampilan secara grafis dari himpunan bilangan real oleh simbol titik-titik pada sebuah garis. Garis tersebut dinamakan garis bilangan. Setiap bilangan dinyatakan hanya oleh satu titik, dan demikian pula sebuah titik hanya mewakili sebuah bilangan. Jika a dan b adalah dua bilangan berbeda dan a < b, maka a terletak di sebelah kiri b pada garis bilangan tersebut. -5/2 – 4
–3
-3/2
–2
2
1/2 –1
0
π 2
1
3
4
Gambar 1.2 Skala Bilangan Interval bilangan dapat dibedakan atas interval hingga dan interval tak hingga. a. Interval hingga: hingga: jika a dan b adalah dua bilangan real berbeda dimana a < b, himpunan bilangan x antara a dan b dikatakan memiliki interval hingga. Titik a dan b disebut titik ujung interval.: o o o
Terbuka Tertutup Semi Terbuka x
a b interval terbuka a < x < b
: a < x < b : a ≤ x ≤ b : a < x ≤ b atau a ≤ x < b x a b interval tertutup a ≤ x ≤ b
x
x
a b interval semi terbuka a < x ≤ b
a b interval semi terbuka a ≤ x < b
Gambar 1.3 1.3 Interval Hingga b. Interval tak hingga: hingga: jika a sebuah bilangan real, maka himpunan bilangan x yang memenuhi a, x ≤ a, x > a, atau x ≥ a, dikatakan memiliki interval tak hingga. x
x
a interval tak hingga x < a
a interval tak hingga x ≥ a
Gambar 1.4 Interval Tak Hingga
1
x<
1.2 Pertidaksamaan Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b disebut pertidaksamaan dengan pertidaksamaan dengan beberapa ketentuan, yaitu: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
a > 0 jika dan hanya jika a positip a < 0 jika dan hanya jika a negatip a > 0 jika dan hanya jika – a < 0 a < 0 jika dan hanya jika – a > 0 jika a < b dan b < c, maka a < c jika a < b dan c bilangan real, maka a + c < b + c jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d jika a < b dan c bilangan positip, maka ac < bc jika a < b dan c bilangan negatip, maka ac > bc jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd Teorema: | x | < a jika dan hanya jika – a < x < a dimana a > 0 | x | > a jika dan hanya jika x < – a atau x > a
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut 1.
– 5 ≤ 2x + 6 < 4
2.
x – x < 6 Jawab: faktorisasi (x – 3)(x + 2) < 0 Titik pemecah x = – 2 dan x = 3
2
0
+
0
–
– 2 3.
Jawab: – 11 ≤ 2x < – 2 → – 11/2 ≤ x < – 1 HP : { x : – 11/2 ≤ x < – 1 }
3
2
3x – x – 2 > 0 0
+
Jawab: faktorisasi f aktorisasi (3x ( 3x + 2)(x – 1) > 0 , titik pemecah x = - 2/3 dan x = 1 0
–
– 2/3 4.
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh HP : { x : – 2 ≤ x < 3 }
+
x −1 ≥0 x+2
+
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh HP : { x : x < – 2/3 atau x > 1 }
1
Jawab:
Jangan mengalikan kedua ruas dengan x+2, sebab angka pengali itu bisa positip atau negatip, Ttitik pemecahnya yaitu x = – 2 dan x = 1. 0 + ∞ + – untuk x = 1, nilainya 0 dan x = – 2, nilainya ∞ – 2 5.
HP : { x : x < – 2 atau x ≥ 1 }
1
2x − 5 ≤ 1 x−2
Jawab:
Jangan mengalikan kedua ruas dengan x – 2, tapi pindahkan angka 1 ke ruas kiri 2x − 5 − 1≤ 0 x−2
HP : 6.
3
2x − 5 x − 2 − ≤0 x−2 x−2
→
x−3 ≤0 x−2
{ x : 2 < x ≤ 3 }
+
∞
–
2
0
+
3
2
x – 5x + 4x ≤ 0 Jawab: pertidaksamaan di atas dapat difaktorisasi menjadi x(x – 1)(x – 4) ≤ 0, sehingga terdapat 3 titik pemecah yaitu x = 0, x = 1, dan x = 4. Buat garis bilangan. –
0 + 0 0
7.
→
0
–
HP :
1 2
0 – 1
{ x : x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 4 }
4
(x + 1)(x – 1) (x – 3) ≤ 0 +
+
–
0 1
–
Jawab: Ada 3 titik pemecah, yaitu x = – 1, x = 1, dan x = 3 0 +
HP :
3
2
{ x : – 1 ≤ x ≤ 3 }
8.
Sebuah halaman berbentuk persegi panjang memerlukan pagar sepanjang 200 meter. Panjang salah satu sisinya adalah x meter. Nyatakan luas L sebagai fungsi dari x. Tentukan pula daerah dari x. Jawab: pagar Panjang pagar = 200 m. Jika lebar = x m, panjang = 100 – x m. Luas y = panjang x lebar = x (100 – x). halaman x Fungsi L = x(100 – x) syarat x > 0 dan 100 – x > 0 atau x < 100 100 – x Daerah x adalah 0 < x < 100 meter.
9.
Sebuah kertas berukuran 10 x 14 cm akan dibuat kotak terbuka bagian atasnya. lalu kertas tersebut digunting ujung-ujungnya berbentuk bujur sangkar bersisi x. Nyatakan volume kotak itu sebagai fungsi x dan tentukan daerah x. Jawab: 14 cm Berdasarkan sketsa di samping diperoleh: V = panjang x lebar x tinggi x x V = (14 – 2x)(10 – 2x) x = 4(7 – x)(5 – x) x 14 – 2x syarat volume > 0 atau V > 0, sehingga 10 cm 10 – 2x 4(7 – x)(5 – x) x > 0 Titik pemecah x = 0, x = 5, dan x = 7. –
0 0
+
0
–
5
0 + 7
HP { x : 0 < x < 5 atau x > 7 } Namun x > 7 tidak mungkin sebab panjang = 14 – 2x akan menjadi negatip. Jadi daerah x adalah 0 < x < 5 1.3 Harga Mutlak Harga mutlak | x | dari bilangan real x didefinisikan sebagai :
| x | = x
jika x ≥ 0 dan
| x | = – x jika x < 0 Contoh : 1. Tentukan harga x yang memenuhi | 3x + 2 | = 5 Jawab: untuk 3x + 2 = 5, diperoleh x = 1 untuk – (3x + 2) = 5, atau – 3x – 2 = 5, diperoleh diperoleh x = – 7/3 Jadi HP: HP: { x: x = 1 atau x = – 7/3 } 2. Tentukan harga x yang memenuhi | 2x – 1 | = | 4x + 3 | Jawab: untuk 2x – 1 = 4x + 3, diperoleh x = – 2 untuk – (2x – 1) = 4x + 3, diperoleh x = – 1/3 Jadi HP: { x: x = – 2 atau x = – 1/3 } 3. Tentukan harga x yang memenuhi | 5x + 4 | = – 3 Jawab: Tidak ada harga x yang yang memenuhi sebab harga mutlak tidak mungkin negatip 4. Tentukan harga x yang memenuhi | x – 5 | < 4 Jawab: | x – 5 | < 4 sama dengan – 4 < x – 5 < 4 Jadi HP: { x: 1 < x < 9 } 5. Hitung: jawab:
→ 1 < x < 9.
13 + | – 1 – 4 | – 3 – | – 8 | 13 + | – 1 – 4 | – 3 – | – 8 | = 13 + 5 – 3 – 8 = 7
6. Selesaikan | 3x – 5 | ≥ 1 Jawab: untuk 3x – 5 ≤ – 1 diperoleh diperoleh x ≤ 4/3 dan untuk 3x – 5 ≥ 1 diperoleh x ≥ 2
3
TUGAS MANDIRI BAB I Tugas Subbab 1.1 Sederhanakan 1.
11 − 3 49 7 11 + 3 49 7
2.
1
(
2
−
5 2
2
)−2
18 4 6 − + x 2 + 3x x x + 3
.3.
x x2 + x − 6 x2 + x − 2 4. x 2 − 1 x 2 − 5x + 6
5.
2 y 2y + 1 + − 2 6y − 2 9y − 1 1 − 3y
x−3
2
−
x 2 − 4x + 3 5 5 + x −1 x − 3
6.
Tugas Subbab 1.2 x 2 − 5x + 6 <0 x 2 − 4x + 3
1.
Tentukan nilai yang memenuhi
2.
Suatu persegi panjang, panjangnya lebih 3 cm daripada lebarnya. Jika lebarnya x cm dan luasnya 2 minimum 15 cm , tentukan sistem pertidaksamaannya.
3.
Jika y = 2x + 1 dan x – 8x + 15 < 0, tentukan nilai y yang memenuhi.
4.
Selesaikan
5.
Selesaikan
6.
2
10. Selesaikan
2x 2 + 5x − 3 <0 4x 2 + 2x − 6
2x + 7 ≤1 x −1
11. Selesaikan
x 2 − 3x − 4 <0 6x − 4
Selesaikan
2x − 1 <1 x
12. Selesaikan
7.
Selesaikan
( x − 1)(2x + 4) <1 x2 + 4
13. Selesaikan (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2)
8.
Selesaikan
4 − x2 ≥0 x2 + 2
14. Selesaikan x −
9.
Selesaikan
2x − 6 <0 x 2 − 6x + 5
15. Selesaikan
5 x−7
>
7 x+5
Tugas Subbab 1.3 1.
Jika | 2x – 3 | < 1 dan 2x < 3, tentukan x
2.
Jika | x – 2 | < 4 | x – 2 | + 12, tentukan x
3.
Jika | –x + 2x – 2 | < 2, tentukan x
2
2
4. Jika | 2x + 1 | < | 2x – 3 |, tentukan x 5. Jika x ≥ 1 dan x | x – 1 | + | x | | x – 1 | ≤ 2x, tentukan x 6.
Jika
3 > 1 dimana x ≠ 1/2 , tentukan x. 2x − 1
7. Jika 0 < | x – 3 | ≤ 3, tentukan x 8. Tentukan himpunan penyelesaian untuk ketidak samaan berikut a.
x −2 3
≤6
b.
1 −3 x
c.
2+
5 x
>1
d.
3x +1 ≤ 4 5
>6
4
2x ( x − 2) 2
≥
4 x
3x 3 x 1 ≥ + 4 8 2
3 x 2 − 3x + 2
<
5 x 2 − 4x + 3
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK 2.1
Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak bebas. Contoh : 2
1. Diketahui f(x) = x – 2x, tentukan
f ( 4 + h) − f ( 4) h
Jawab:
2
f(4) = 4 – 2.4 = 16 – 8 = 8 2
2
f(4+h) = (4+h) – 2(4+h) = 16 + 8h + h – 8 – 2h = 8 + 6h + h
2
f ( 4 + h) − f ( 4) 6h + h2 = = 6 + h h h 1 g (a + h ) − g ( a ) , tentukan x h 1 1 − g ( a + h ) − g (a ) −h 1 1 + a h a = . =− = h h (a + h) a h a 2 + ah
2. Diketahui g(x) =
Jawab:
2
3. Jika f(x) = x – x maka tentukan f(x – 1) 2
Jawab
2
2
f(x – 1) = (x – 1) – (x – 1) = x – 2x + 1 – x + 1 = x – 3x + 2
Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan bilangan real terbesar, dimana aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah. Contoh: 1. Tentukan daerah asal alamiah untuk
(a) f(x) =
1
(b) g(t) =
x−3
9 − t2
Jawab: (a) daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan bilangan real untuk untuk x ≠ 3. 2 (b) agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t ≥ 0. (3 + t)(3-t) ≥ 0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3 ≤ t ≤ 3. Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3 ≤ t ≤ 3} 2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x | Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya Jawab: y=–x+|x| sumbu y
x
y
– 4
8
– 3
6
– 2
4
4
– 1
2
2
0
0
1
0
2
0
8 6
–4 –3 –2 –1 0
Fungsi y = – x +
sumbu x 1
2
Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + x
5
x
2.2
Menggambar Grafik
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah: a. Fungsi identitas : f(x) = x b. Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta c. Fungsi modulus (nilai mutlak) : f(x) = x jika x ≥ 0 –x jika x < 0 d. Fungsi tangga : 0 jika 0 ≤ x < 1 f(x) = 1 jika 1 ≤ x < 2 2 jika 2 ≤ x < 3 e. Fungsi linier : f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta 2 f. Fungsi kuadrat : f(x) = ax + bx + c, dimana a, b, dan c konstanta Contoh : 1. Gambarkan grafik dari fungsi x + 1 jika x > 3 f(x) = 2 jika – 2 ≤ x ≤ 3 2x + 3 jika x < – 2 jawab:
5 4 3
x
y
2
– 4 – 3 – 2 – 2 – 1 0 3 + 3 4
– 5 –3 – 1 2 2 2 2 4 5
1 0 1 –1
–4 –3 –2 –1
2
3
4
–2 –3 –4 –5 Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)
2. Gambarkan grafik fungsi y= Jawab
– x 2 x –2 x+1
untuk untuk untuk
– 3 ≤ x ≤ – 1 – 1 < x ≤ 2 2 < x ≤ 3
Y 4 3
x
y
2
– 3 – 1 + – 1 0 1 2 + 2 3
3 1 – 1 –2 –1 2 3 4
1 X –3 –2 –1
0 1 2 –1 –2
3
–3
Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)
2 x + c , memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0 3 2 Jawab: Fungsi linier tersebut dapat ditulis menjadi y = x + c 3
2. Suatu fungsi linier f: x →
Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x dan y ke fungsi tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1. Jadi persamaan tersebut adalah y =
2 2 3 x + 1 . Jika f(x) = 0, maka x + 1 = 0, didapatkan x = – 3 3 2
6
2.3
Fungsi Trigonometri
Untuk mempelajari fungsi trigonometri, perlu diulang kembali rumus-rumus trigonometri : 2
2
2
sin x + cos x = 1
2
2
1 + tan x = sec x
2
1 + cot x = csc x
Rumus penjumlahan
Rumus pengurangan
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y
cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
tan(x + y) =
tan x + tan y 1 − tan x tan y
tan x − tan y 1 + tan x tan y
tan(x – y) =
Rumus sudut ganda 2
sin 2x = 2 sin x cos x tan 2x =
2
2
2
cos 2x = cos x – sin x = 1 – 2 sin x = 2 cos x – 1
2 tan x 2 cot x 2 = = 1 − tan2 x cot 2 x − 1 cot x − tan x
Rumus perkalian sin x cos y =
1 {sin(x+y) + sin(x – y)} 2
sin x sin y =
1 {cos(x+y) – cos(x – y)} 2
cos x sin y =
1 {sin(x+y) – sin(x – y)} 2
cos x cos y =
1 {cos(x+y) + cos(x – y)} 2
Rumus faktor sin x + sin y = 2 sin
x+y x−y cos 2 2
cos x + cos y = 2 cos
sin x – sin y = 2 cos
x+y x−y sin 2 2
cos x – cos y = − 2 sin
C
γ a
b
α A
Rumus Sinus
c
x+y x−y sin 2 2
Rumus Cosinus
a b c = = sin α sin β sin γ
β
x+y x−y cos 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a = b + c – 2 bc cos α b = a + c – 2 ac cos β
B
c = a + b – 2 ab cos γ
Gambar 2.4 Segitiga ABC Persamaan a.
Jika sin x = sin a, maka . o x = a + k.360 0 0 x = (180 – a) + k.360
b. Jika cos x = cos a, maka o x = a + k.360 o x = – a + k.360 o
c. Jika tan x = tan a, maka x = a + k.180
a. Fungsi Sinus : Bentuk sederhana : y = sin x dimana: x dalam satuan sudut atau atau radian y dalam satuan jarak
o
d. Jika cot x = cot a, maka x = a + k.180 Y 0
o
o
90
180
o
270
X o 360
o
Gambar 2.5 Fungsi y = sin x b. Fungsi Cosinus Bentuk sederhana : y = cos x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak
Y o
0
o
90
o
180
270
o
Gambar 2.6 Fungsi y = cos x
7
X o 360
c. Fungsi Tangen Bentuk sederhana : y = tan x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak
Y 360
180 90
0
X
270
Gambar 2.7 Fungsi y = tan x
Contoh :
o o 1. Gambarkan sketsa grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 π) untuk interval 0 ≤ x ≤ 360 .
2
Jawab: 1/3 π = 60 x o 0 o 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180
y
x o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360
1 1,414 1,732 1,932 2 1,932 1,732
3
o
2
y 1,414 1 0,518 0 – 0,528 –1
1 0
o
o
0
90
180
o
o
270
360
o
– 1 – 2
Gambar 2.8 Grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 π) 2
o
3
o
2. Tentukan titik potong persamaan y = sin 2x dan y = cos x dalam interval 0 ≤ x ≤ 360 . Gambarkan sketsa kedua grafik dan titik potongnya. Jawab Bila kedua persamaan di atas dipotongkan diperoleh sin 2x = cos x atau o sin 2 x = sin (90 – x) berdasarkan persamaan di atas diperoleh o o o o o o a. 2x = 90 – x + k.360 didapat 3x = 90 + k.360 atau x = 30 + k.120 o o untuk k = 0 maka x = 30 dan y = 0,866, untuk k = 1 maka x = 150 dan y = – 0,866 o untuk k = 2 maka x = 270 dan y = 0 b.
o
o
o
o
o
o
o
2x = 180 – (90 – x) + k.360 didapat didapa t 2x = 90 + x + k.360 atau x = 90 + k.360 o untuk k = 0 maka x = 90 dan y = 0 o o o o Jadi himpunan titik potong potong adalah { (30 , 0,866), (90 , 0), (150 , – 0,866), (270 , 0) }
Penggambaran grafiknya sbb y = sin 2x x o 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 90 o 105 o 120
y = cos x
y 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 – 0,5 – 0,866
x o 135 o 150 o 165 o 180 o 195 o 210 o 225 o 240
y –1 –0,866 – 0,5 0 0,5 0,866 1 0,866
x y o 255 0,5 o 270 0 o 285 – 0,5 o 300 –0,866 o 315 –1 o 330 –0,866 o 345 – 0,5 o 360 0
o
180
y
0 o 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180
1 0,866 0,5 0 – 0,5 – 0,866 –1
y = cos x
y = sin 2x 0
x o
o
o
o
90
270
o
Gambar 2.9 Grafik y = sin 2x dan y = cos x
8
360
x o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360
y – 0,866 – 0,5 0 0,5 0,866 1
TUGAS MANDIRI BAB II Tugas Subbab 2.1 x −1 1 , hitung f(0), f(2a), dan f( ) x x2 + 2
1. Diketahui f ( x) = 2. Jika f(x) =
3x 2 − 5 , hitunglah f(0) + 6f(2) x+6
3. Jika f(x) =
3x 2 − 5 , tentukan f(2) + 6 f(–3) x+6
Tentukan daerah asal dari: 4. a. y =
5. a. y =
x 2 − 16
x2 − 1 x2 + 1
b. y =
x 2 − 2x + 1 16 − x 2
b. y =
x2 − x x +1
Tugas Subbab 2.2 1. Gambarkan sketsa grafik 2 a. y = x – 2x + 4 3 2 b. y = x + x – 2x
2
c. y = 2x – 4x + 3 2 d. y = – 2x – 4x + 3
2. Gambarkan sketsa grafik a.
y=
( x − 2)( x − 3) x−5
4
c. y = x – 2
3. Gambarkan sketsa grafik 2
f(x) =
x +1 2 2x – x x+3
x ≤ – 2 – 2 < x ≤ 1 x > 1
jika jika jika
4. Gambarkan sketsa grafik f(x) =
x 3 x –1 2 x +3
x ≤ – 2 – 2 < x ≤ 1 x > 1
jika jika jika
Tugas Subbab 2.3 o
0
A. Gambarkan sketsa grafik untuk 0 < x < 360
2. y = 2 sin (x + 1 π) + 1.
1. y = sin x – cos x
3. by = cos 1 x
2
2
o
0
5. x = sin 2y – 3 untuk 0 < y < 180
4. y = 1 – cos 2x
B. Tentukan himpunan x untuk persamaan berikut 0
0
o
0
1. sin x = 0,5 untuk – 180 < x < 180
4. sin x = cos 2x untuk 0 < x < 360
2. cos x = 1
5. tan 2x = 1
2
o
2 untuk 0
< x < 7200
3
C. Tentukan titik potong antara antara fungsi-fungsi berikut 0
0
1.
y = sin 2x dengan y = cos x untuk – 180 < x < 180
2.
o 0 y = sin 1 x dengan den gan y = cos 1 x untuk 0 < x < 720
3.
y = sin x + 1 dan y = – sin x – 1 untuk 0 < x < 360
4.
y = sin 3x dan y = 1
2
2
o
2
o
3 untuk 0
0
< x < 3600 9
o
3 untuk 0
< x < 1800
BAB III LIMIT 3.1 Limit Fungsi Aljabar Limit Barisan. Jika terdapat suatu barisan 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, …….., 2 – 1 /n, lalu diplotkan diplotkan pada garis bilangan, maka untuk n sangat besar mendekati tak hingga, nilainya akan mendekati 2. Dikatakan bahwa limit barisan adalah 2 atau ditulis: lim un = lim (2 − 1 / n) = 2 n→ ∞
n→∞
......... 0
1
3/2 5/3
2
Gambar 3.1 Sketsa Limit Limit Barisan 2
Limit Fungsi. Jika diketahui fungsi f(x) = x , maka untuk x mendekati 2, fungsi akan bernilai 4. Bila fungsi itu disajikan dalam tabel akan terlihat sebagai berikut x y
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996
1,9999 3,9996
1,99999 3,99996
1,999999 3,999996
....... .......
Perhatikan, saat x semakin mendekati dua, maka y semakin mendekati 4. Secara matematis dituliskan sebagai 2
: lim f ( x) = lim x = 4 x→2
x →2
Perhatian! Pernyataan x
a berarti x ≠ a
Limit Kiri dan Limit Kanan –
Jika x mendekati a dari kiri, ditulis x → a disebut limit kiri + Jika x mendekati a dari kanan, ditulis x → a disebut limit kanan – misalnya x → 2 maka nilai a = 1,9 1,99 1,999 1,9999 dan seterusnya + x → 2 maka nilai a = 2,1 2,01 2,001 2,0001 dan seterusnya mendekati 2 dari kiri
2
mendekati 2 dari kanan
Gambar 3.2 Limit kiri dan limit kanan Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit jika limit kiri dan limit kanan ada dan bernilai sama. lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri
x →a − lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kanan x →a + Jadi, lim f ( x ) ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri dan kanan dan bernilai limit sama x →a
Contoh : 1. Tentukan limit untuk barisan berikut: 3, 5/2, 7/3, 9/4, 11/5, …….., 2+1/n, ………
2.
1 n
Jawab : lim un = lim (2 + ) = 2 n →∞
x 3 − 27 ( x − 3)( x 2 + 3x + 9) x 2 + 3 x + 9 27 9 lim = lim = lim = = ( x − 3)( x + 3) x+3 6 2 x →3 x 2 − 9 x →3 x →3
10
n→∞
3.
1 lim x →0 3 + 21 / x
Selidiki
–
Untuk x → 0 , maka
1 1 = lim 1 / x 3+0 x →0 − 3 + 2
Untuk x → 0+ , maka
1 1 = lim 1 / x ∞ x →0 + 3 + 2
=
1 3
=0
1 = tidak ada x →0 3 + 21 / x
Karena limit kiri ≠ limit kanan, maka lim
4.
5.
x −1 x −1 = lim . lim x →1 x 2 + 3 − 2 x →1 x 2 + 3 − 2
x2 + 3 + 2 x2 + 3 + 2
( x − 1)( x 2 + 3 + 2) x →1 x2 + 3 − 4
= lim
lim x →1
( x − 1)( x 2 + 3 + 2) 4 ( x − 1)( x 2 + 3 + 2) x2 + 3 + 2 = lim = lim = = 2 2 ( x + 1)( x − 1) ( x + 1) x →1 x →1 x2 −1
lim x →0
( x + h)3 − x 3 ( x 3 + 3x 2h + 3xh2 + h3 ) − x 3 3 x 2h + 3xh2 + h3 = lim = lim h h h x →0 x →0 2
2
lim 3x + 3xh + h x→0
= 3x
2
3.2 Limit Fungsi Trigonometri Dalam limit fungsi trigonometri dinyatakan persamaan sebagai berikut: x lim = 1 x →0 sin x
lim x →0
sin x = 1 x
x = 1 lim x → 0 tan x
lim x →0
tan x = 1 x
Contoh: Contoh: Hitunglah 1.
1 − cos 2x 2 sin2 x 1 − (1 − 2 sin 2 x ) = lim = lim lim x → 0 1 − cos 4 x x → 0 1 − (1 − 2 sin 2 2x ) x →0 2 sin2 2x
= lim
sin 2 x
x → 0 ( 2 sin x cos x ) 2
= lim
1
x →0 4 cos2 x
=
1 4
1 x. 1 x 1x 1x x tan x tan x x 1 2 2 x tan x 2 2 2. lim = lim . = lim . = 2 1x x x →0 2 sin 2 1 x 1 x. 1 x x → 0 1 − cos x x → 0 2 sin 2 1 x 4 2 2 2 2
− 2 sin 1 (mx + nx ) sin 1 (mx − nx ) cos mx − cos nx 2 2 3. lim = lim 2 2 x →0 x →0 x x − 2 sin 1 (m + n) x sin 1 (m − n) x lim x →0
2
2
x2
1 (m + n) x. 1 (m − n) x 2 2 . = – 1 (m + n)(m – n) 1 (m + n) x. 1 (m − n) x 2 2 2
11
3.3 Kontinuitas Fungsi f(x) disebut kontinu di x = x0, jika a. f(x0) terdefinisi lim f(x) ada b. x →xo
c.
syarat fungsi kontinu
lim f(x) = f(x0) x →xo
Contoh : Selidiki apakah fungsi berikut kontinu. Jika tidak, di titik mana fungsi tersebut diskontinu. 3 + x untuk x ≤ 1 1. Fungsi f ( x ) = 3 − x untuk x > 1
Jawab: Melihat fungsi di atas, titik yang perlu perlu diselidiki adalah di x = 1 a. Fungsi f(x0) = f(1) = 3 + 1 = 4 → fungsi tersebut ada untuk x = 1 lim 3 + x = 4 (limit kiri) b. f(x) = lim 3 – x = 2 (limit kanan) lim f(x) = lim x →1−
x→x0
x→x0
x →1+
Karena limit kiri ≠ limit kanan, berarti tidak ada limit (syarat kedua tidak terpenuhi) Kesimpulan : fungsi tersebut diskontinu di x = 1 2. Fungsi f ( x ) =
x2 − 4 x −2
Jawab:
Titik yang perlu diselidiki adalah x = 2 dan x = – 2 Untuk x = 2 4−4 0 = = tak terdefinisi 2−2 0
a. Fungsi f(x0) = f(2) =
syarat pertama tak terpenuhi. Jadi, fungsi diskontinu di x = 2 Untuk x = – 2 a. Fungsi f(x0) = f(–2) =
b. c.
4−4 0 = =0 −2−2 −4
→ fungsi tersebut ada untuk x = – 2
( x + 2)( x − 2) x2 − 4 = lim = lim (x + 2) = 0 lim f(x) = lim x−2 x→x0 x → −2 x − 2 x → −2 x → −2 lim f(x) = f(x0) = 0 x→x0
Karena memenuhi ketiga syarat, maka fungsi kontinu di x = – 2 3. Fungsi f(x) =
x 2 + 4x − 5 untuk x ≠ 1 x −1
6
untuk x = 1
Jawab: Titik yang perlu diselidiki diselidiki adalah x = 1 a. Fungsi f(x0) = f(1) = 6 ( x + 5)( x − 1) x 2 + 4x − 5 = lim = 6 x −1 x −1 x →1
b.
lim f(x) = lim x →1 x→x0
c.
lim f(x) = f(x0) = 6 x→x0
Kesimpulan, karena memenuhi ketiga syarat, fungsi kontinu di x = 1
12
TUGAS MANDIRI BAB III Tugas Subbab 3.1 Hitunglah : (3x − 1)2 1. lim x →1 ( x + 1)3
2. lim x →1
2x 4 − 6x 3 + x 2 + 3 x −1
lim ( x 2 + x − x 2 − x x →∞
3.
4.
x2 + x − 2 x → ∞ 4x 3 − 1
5.
x 3 − a3 lim x →a x 2 − a 2
6. lim
7.
4 − x2 lim x →2 3 − x 2 + 5
8.
x2 + x − 2 lim x →1 ( x − 1) 2
9.
11.
x2 + x − 2 lim x →1 ( x − 1) 2
12.
14.
x 2 − (a + 1) x + a lim 3 3 x →a x −a
1 3 15. lim − 1− x x →1 1 − x 3
lim
a a− b b
10. lim
a−
a →b
13.
b
x2
lim
x → ∞ 10 + x x
x−4
x → 4 x 2 − x − 12
lim (3 x − 2) −
x → ∞
2x 2 − 8 x 2 − 2x + lim 2x − 4 x → 2 x − 2
Tugas Subbab 3.2 Hitunglah: tan x − sin x 1. lim x →0 x3
4.
lim x →a
sin x − sin a x −a
x 2 sin 2 x x → 0 1 − cos x
7 lim
sin x + cos 1 x 2 2. lim 1 x→π cos x 2 sin 2 x 5. lim x → 0 1 − cos x
8.
3.
lim x → π / 2
cos x − cos π / 2 x − π / 2
tan 2x − sin 2x x x →0
6. lim
1 − cos x x → 0 1 − cos 2x
sin 3x lim x → 0 1 − 2 cos x
9. lim
Tugas Subbab 3.3 Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut dan gambarkan sketsa grafiknya x3 − 8 untuk x ≠ 2 1. f ( x ) = 2 x 4 − 3 untuk x = 2
2x + 3 untuk x ≤ 1 2. f(x) = 8 − 3x untuk 1 < x < 2 x + 3 untuk x ≥ 2
9x 2 − 4 3. f(x) = 3x − 2
x 2 − 4x + 3 untuk x ≠ 3 4. f ( x) = x − 3 2 untuk x = 3
5. f(x) =
7. f(x) =
x 4 − 16 x2 − 4
4 − x2 3 − x2 + 5
6. f(x) =
8. f(x) =
13
x2 + x − 2 ( x − 3)2 x2 − 4 x 2 − 5x + 6
9 x 2 − 2x + 5
BAB IV TURUNAN / DIFERENSIAL 4.1
Definisi Turunan
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x di titik x = x0 didefinisikan sebagai: f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) ∆y ∆f lim = lim = lim jika limitnya ada dan ditulis sebagai f’(x). ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
Contoh : 1.
Tentukan
dy 3 2 untuk fungsi y = x – x – 4 di titik x = 0 dan x = – 1 dx
Jawab: 3
2
y + ∆y = (x + ∆x) – (x + ∆x) – 4 3 2 2 3 2 2 = x + 3x (∆x) + 3x (∆x) + (∆x) – x – 2x (∆x) – (∆x) – 4 3 2 2 2 2 3 = (x – x – 4) + 3x (∆x) – 2x (∆x) + 3x (∆x) – (∆x) + (∆x) ∆y = (3x2 – 2x) ∆x + (3x – 1) (∆x)2 + (∆x)3
∆y 2 2 = 3x – 2x + (3x – 1) ∆x + (∆x) , ∆x dy 2 = lim { 3x – 2x + (3x – 1) dx ∆x →0
Untuk x = 0, 2.
dy dy 2 2 = 3 (0) – 2(0) = 0 dan x = 1, 1, = 3 (–1) – 2(–1) = 5 dx x = 0 dx x = −1
Carilah turunan dari fungsi y = Jawab: =
∆x + (∆x)2 } = 3x2 – 2x
y + ∆y =
1 ( x + ∆x ) − 2
1 x−2
di titik x = 1 dan x = 3
→ ∆y =
1 1 – x−2 ( x + ∆x ) − 2
( x − 2) − ( x + ∆x − 2) −∆x ∆y −1 = maka = ∆x ( x − 2)( x + ∆x − 2) ( x − 2)( x + ∆x − 2) ( x − 2)( x + ∆x − 2)
dy −1 −1 = lim = dx ∆x → 0 ( x − 2)( x + ∆x − 2) ( x − 2)2
−1 dy = =–1 2 dx x =1 (1 − 2)
−1 dy dan = = – 1 2 dx x = 3 ( 3 − 2) 2
3. Lintasan dengan persamaan s = t + 3t. Hitunglah kecepatan sesaat waktu t = 2 Jawab : Kecepatan sesaat =
ds ds = 2t + 3. Untuk t = 2, maka = 2.2 + 3 = 7 dt dt
Jadi kecepatan sesaat = 7 satuan kecepatan 4.
2
Lintasan dengan persamaan s = (3t + 5) m dengan waktu t berubah dari 2 sampai 3 detik. Hitunglah kecepatan rata-rata. Jawab : Kecepatan rata-rata = =
∆s s ( t + ∆t ) − s ( t ) {3( t + ∆t )2 + 5} − (3t 2 + 5) = = ∆t ∆t ∆t
6t∆t + 3∆t 2 (3t 2 + 6t∆t + 3∆t 2 + 5) − (3t 2 + 5) = = 6t + 3∆t ∆t ∆t
untuk t = 2 dan t1 = 3 maka ∆t = 3 – 2 = 1. Kecepatan rata-rata =
14
∆s = 6.2 +3.1 = 15 m/s ∆t
4.2
Turunan Fungsi Aljabar n
a. Turunan Fungsi y = ax
n
Jika diketahui suatu fungsi f(x) = ax , maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah: a ( x + h)n − ax n f ( x + h) − f ( x) = lim h h h →0 h →0 a ( x + h) − ax ah ax + ah − ax untuk n = 1, yaitu f(x) = ax, maka f’(x) = lim = lim = lim = a h h h→0 h→0 h →0 h a ( x + h)2 − ax 2 ax 2 + 2axh + ah2 − ax 2 2 untuk n = 2, yaitu f(x) = ax , maka f’(x) = lim = lim h h h →0 h →0 2axh + ah2 = lim = lim 2ax + ah = 2ax h h →0 h→ 0
f’(x) = lim
dan seterusnya f(x) = ax, 2 f(x) = ax , 3 f(x) = ax , Jadi:
turunannya turunannya turunannya n
f(x) = ax , turunannya
f’(x) = a f’(x) = 2ax 2 f’(x) = 3ax n-1
f’(x) = nax
Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut 1.
3 f(x) = 2 x 2
2. f(x) =
x − 1 x
2 −1 2 −1 4 2 4 3 3 Jawab : f(x) = 2 x . f’(x) = 2. x = x 3 = 3 3 33x 1 −1 − 1 2 ( x − 1 ) x Jawab : f(x) f( x) = = x 2 − x −1 .
−3 1 Jadi f’(x) = − x 2 − ( −1)x − 2 = 2
−
1 2x x
+
1 x2
b. Turunan Fungsi dari Fungsi Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y = f{g(x)} adalah fungsi dari x. Jika y fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u dapat diturunkan terhadap x, maka y = f{g(x)} adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. dy dy du = . dx du dx
Demikian pula, jika y = f(t) sedangkan x = g(t), maka turunan y terhadap x dy dy dt = . dx dt dx
Contoh : 1.
dy u −1 untuk fungsi y = , dimana u = x dx u +1 2 dy (u + 1) − (u − 1) 2 Jawab : = = = dan du (u + 1)2 ( x + 1) 2 (u + 1) 2
Hitunglah
Jadi
2 dy dy du 1 = . = . = 2 dx du dx 2 x ( x + 1)
1 x ( x + 1) 2
15
du 1 = dx 2 x
2.
Hitunglah Jawab :
2t dy untuk fungsi y = dan x = 2 dx t −1 dy 2( t 2 − 1) − 2t.2t 2t 2 − 2 − 4t 2 dt
=
=
( t 2 − 1)2
−1 dx 2 1 2 .2t = ( t − 1 ) = 2 dt
( t 2 − 1) 2
t
=
t2 − 1 t
− 2 − 2t 2 ( t 2 − 1) 2
dt = dx
→
t2 − 1
dy dy dt − 2(1 + t 2 ) = . = dx dt dx ( t 2 − 1)2
t2 − 1
=
=
− 2(1 + t 2 ) ( t 2 − 1) 2
t2 − 1 t
− 2(1 + t 2 )
t2 − 1
t ( t 2 − 1) 2
c. Turunan Fungsi Lebih Tinggi Jika y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, turunannya disebut turunan pertama. Jika turunan pertama dapat diturunkan lagi maka turunannya disebut turunan kedua. Ditulis
d2 y , y”, atau f”(x) 2 dx
Demikian seterusnya turunan dari turunan kedua disebut turunan ketiga dinyatakan dengan d3 y , y”’, atau f’”(x), ..................... dan seterusnya dx 3
Contoh: 4
3
2
Jika y = 4x – x + 6x – 7x + 8 Jawab :
Tentukan
dy 3 2 = 16x – 3x + 12x – 7, dx
d3 y dx 3
d2 y d3 y 2 = 48x – 6x + 12, dan = 96 x – 6 dx 2 dx 3
d. Turunan Fungsi Implisit Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu menentukan y sebagai fungsi implisit dari x. Turunan y’ dapat diperoleh dengan salah satu cara berikut: a. Jika mungkin, ubahlah fungsi implisit tersebut menjadi fungsi eksplisit y = g(x). Kemudian turunkan dengan cara biasa. b. Pikirkan y sebagai fungsi x. Turunkan persamaan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang diperoleh diselesaikan untuk y’. Proses penurunan ini disebut penurunan implisit. Contoh: Jawab : 4.3
dy dari persamaan implisit xy + x – 2y – 1 = 0 dx dy dy dy x + y + 1 – 2 = 0, → (x – 2) = – (y + 1) → dx dx dx
Hitung
dy −( y + 1) = dx ( x − 2)
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri y = sin x dapat diperoleh sebagai berikut: f ( x + h) − f ( x ) sin ( x + h) − sin x f’(x) = lim = lim = lim h h h →0 h →0 h →0 2x + h h 2 cos sin 2 2 = lim cos 2x + h = cos x f’(x) = lim h 2 h →0 h→0
2 cos
x+h+x x+h−x sin 2 2 h
Dengan cara yang sama, dapat pula dihitung turunan f’(x) untuk y = cos x, y = tan x, dan seterusnya.
16
Berikut adalah hasil turunan dari fungsi trigonometri: 1. Fungsi y = sin u → 2. Fungsi y = cos u → 3.
Fungsi y = tan u →
dy du = cos u dx dx dy du = – sin u dx dx dy 2 du = sec u dx dx
4. Fungsi y = cot u → 5. Fungsi y = sec u → 6. Fungsi y = csc u →
dy 2 du = – csc u dx dx dy du = tan u sec u dx dx dy du = – cot u csc u dx dx
dy untuk fungsi-fungsi berikut dx dy 2 2 y = x sin x Jawab : = 2x sin x + x cos x dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 y = tan (3x – 2) Jawab : = 2 tan(3x – 2) sec (3x – 2) (6x) = 12x tan(3x – 2) sec (3x – 2) dx sin x dy dy sin y + cos x = 1 Jawab : cos y – sin x = 0 → = dx dx cos y
Contoh : Hitunglah 1. 2. 3.
4. sin y = cos 2x 5.
4.4
Jawab : cos y
dy = – 2sin 2x dx
dy −2 sin 2x = dx cos y
→
dy dy = cos(x+y) + cos(x+y) dx dx dy dy cos y − cos( x + y ) {– x sin y – cos(x+y)} = – cos y + cos(x+y) → = dx dx x sin y + cos( x + y )
x cos y = sin(x+y)
Jawab : cos y – x sin y
Gradien Garis Singgung y = f(x)
f(x+h)
f(x)
Q(x+h, f(x+h))
garis singgung
P(x, f(x))
Titik P(x, f(x)) adalah sebarang titik yang terletak pada kurva y = f(x). Garis singgung kurva pada titik P adalah garis lurus melalui P dengan gradien m, dimana: m = f’(x) =
h 0
x
dy f ( x + h) − f ( x ) = lim , jika limit itu ada. dx h h →0
x+h
Gambar 4.1 Gradien Garis Singgung Contoh soal: 1.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3x Jawab: Gradien garis singgung kurva m =
2
− 5x di titik (1, – 2).
dy = 6x – 5. Pada titik (1, – 2), maka m = 6.1 – 5 = 1 dx
Persamaan garis garis singgung dengan m = 1 dan melalui (1, – 2) adalah: y – y1 = m (x – x1) → y – (– 2) = 1 (x – 1) → y = x – 3 adalah pers. garis singgung tsb. 2.
2 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x − x + 3 sejajar garis y = 3x – 2
Jawab: Gradien garis singgung kurva m 1 =
dy = 4x – 1 dx
Gradien garis y = x – 3 adalah m2 = 3 Untuk x = 1, maka pada kurva y = 2x
2
sejajar berarti m1 = m2 4x – 1 = 3, atau x = 1
− x + 3 didapat y = 4. Jadi titik singgungnya (1,4)
PGS yang diminta adalah: y – 4 = 3 (x – 1) → y = 3x + 1
17
3.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = Jawab: Kurva y =
x , gradien garis singgung m =
Pers. garis menyinggung kurva di (x, y2 – y1 = m (x2 – x1)
→ 0–
x melalui titik (– 4, 0) dy 1 = dx 2 x
x ), melalui (– 4, 0) dengan m =
x =
1 2
x
1 2
x
(– 4 – x) kedua ruas dikalikan
x , didapat
– 2x = – 4 – x sehingga – x = – 4 atau x = 4
4.5
1
4 = 2, dan m =
Jadi, pers. garis singgungnya: y – 2 =
1 1 (x – 4) atau y = x + 1 4 4
2
4
=
1 4
Untuk titik singgung x = 4 didapat y =
Fungsi Naik, Stasioner, dan Fungsi Turun f’(x0) = 0 stasioner
f’(x0) > 0 naik y = f(x)
f’(x0) = 0 stationer
titik minimum
turun f’(x0)<0 stasioner titik maksimum f’(x0) = 0
Ada 3 keadaan kurva berkaitan sifat turunannya, yaitu: 1. Jika f’(x0) > 0, fungsi y = f(x) naik naik di titik x = x0 2. Jika f’(x0) < 0, fungsi y = f(x) turun di titik x = x0 3. Jika f’(x0) = 0, fungsi y = f(x) stationer di titik x = x0
titik belok
Gambar 4.2 Fungsi Naik, Stasioner, Stasioner, dan Fungsi Turun Terdapat juga tiga keadaan titik stasioner berkaitan dengan turunan kedua fungsi, yaitu: a. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) > 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik minimum b. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) < 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik maksimum c. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) = 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik belok Contoh soal : 3
2
1. Tentukan titik-titik titik-titik ekstrim ekstrim pada persamaan y = x + x . Gambarkan sketsanya Jawab: 2 Turunan fungsi f’(x) = 3x + 2x = x (3x + 2) Titik ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga x (3x + 2) = 0. Didapat x = 0 atau x = – 2/3. Untuk x = 0, maka y = 0, untuk x = – 2/3, maka y = 4/27 Jadi titik ekstrim terdapat pada titik (0, 0) dan titik (– 2/3, 4/27) Untuk menyelidiki jenis titik ekstrim tersebut dihitung f”(x) = 6x + 2 Untuk titik (0, 0) diperoleh f”(x) = 2 > 0, titik tersebut adalah titik minimum Untuk titik (– 2/3, 4/27) diperoleh f”(x) = – 2 < 0, titik tersebut adalah titik maksimum Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut Y 2
titik maksimum (– 2/3, 4/27)
1
– 1 – 2
0 – 1
1
2
X
titik minimum (0, 0) 3
Gambar 4.3 Grafik y = x + x
2
18
3
2
2. Diketahui persamaan y = x – x – 8x + 2. Tentukan interval fungsi y naik dan turun. Gambarkan sketsa grafiknya Jawab: 3
2
y = x – x – 8x 8x + 2, fungsi naik jika
dy dx
> 0 dan fungsi turun jika
dy 2 = 3x – 2x – 8 = (3x + 4) (x – 2). Titik pemecah x = dx
Fungsi naik saat
dy dx
< 0
4
− dan x = 2 3
> 0 dan fungsi turun saat f’(x ) < 0
Dari sketsa di samping diperoleh kesimpulan bahwa Fungsi naik untuk x < − Fungsi turun untuk −
4 3
+
4 atau x > 2 3
–
−
4 3
+ 2
< x < 2
Untuk menyelidiki sifat titik x = − Untuk x = −
dy dx
4 dan x = 2, maka dihitung 3
d2 y = 6x – 2 dx 2
4 d2 y diperoleh = – 10 < 0, maka titik tersebut adalah titik maksimum 3 dx 2 d2 y
Untuk x = 2 diperoleh
dx 2
= 10 > 0, maka titik tersebut adalah titik minimum
4 230 , didapat y = dan untuk x = 2, didapat y = – 10. 3 27 4 230 Jadi ( − , ) adalah titik maksimum, sedangkan (2, – 10) adalah titik minimum 3 27
Untuk x = −
Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut Y
(-4/3, 230/27) titik maksimum
y = x – x – 8x 8x + 2
X
0
(2, – 10) titik minimum 3
2
Gambar 4.4 Grafik y = x – x – 8x + 2 3. Bagilah bilangan 150 menjadi 2 bagian sehingga perkalian bagian pertama dengan dengan kuadrat bagian kedua menjadi bernilai maksimum. Tentukan nilai kedua bilangan itu. Jawab : Misalnya bilangan bagian kedua = x, maka bagian pertama = 150 – x 2 Jadi fungsinya menjadi f(x) = (150 – x) x . Fungsi ini harus bernilai maksimum. 2
Harga ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga 300 x – 3 x = 0 Persamaan menjadi 3x (100 – x) = 0 didapat x = 0 dan x = 100. (x = 0 tidak memenuhi) f”(x) = 300 – 6x, untuk x = 100, maka f”(x) = – 300 < 0, jadi x = 100 bernilai maksimum. Jadi bilangan bagian pertama = 150 – 100 = 50 dan bagian kedua = 100.
19
TUGAS MANDIRI BAB IV Tugas Subbab 4.1
∆y 2 jika diberikan y = x + 4x dan x berubah dari 0,7 menjadi 0,85. ∆x
1. Hitung 2.
2
Tentukan kecepatan rata-rata jika t berubah dari 2 sampai 5 detik dan s = (2t + 5t – 3) m.
3. Tentukan turunan dari y =
2x − 1 2x + 1
4. Tentukan kemiringan dari kurva y =
4 x +1
di titik x = 1 2
5. Tentukan kemiringan garis singgung parabola y = – x + 5x – 6 di titik parabola memotong sumbu x. Tugas Subbab 4.2 1. Tentukan
2x + 2 x
a. y = b. y =
dy dari fungsi berikut dx
1 3 2x
2. Tentukan turunan
y +5
d. y =
x3 −
x +
e.
dy dari dx
( x 3 + 6 x − 2) 3
x3 − 1 2x 3 + 1
y=
y = ( x 2 + 4)3 (2x 3 − 1)2
f.
y = ( x 2 + x + 1) (2x 2 + 3 x )
y = ( x 2 − 3) 4
g.
y=
h.
x y= 1 + x
y=
b. c.
y=
3 (a 2 − x 2 ) 2
3. Tentukan turunan
y = 1
1 x5
e.
a.
d.
c. x =
, a konstan
(2x + 1) (3x 2 − 2) ( x 3 + 5) 2
i.
y=
x −1 x +1
j.
y=
2x + 3
k.
y=6
l.
y = 2x 2
2
2x
x4 +
4 x
2−x
dy dari fungsi implisit berikut dx
a.
x 2 y − xy 3 + 3x 2 + 2y 2 = 0
c.
y=
b.
x3 − y =2 2x + y 2
d.
x 4 + 3y − 4 x 3 y 3 = 5 x + 1
xy +
xy 3 − x 2 y + x 2 − 5x + 6 = 0
e.
xy
4. Diketahui f ( x ) = 2x 3 + 9x 2 − 24 x + 5 . Jika f’(x) < 0, tentukan nilai x 5. Tentukan turunan pertama dan kedua dari persamaan persamaan berikut: a. x3 y + xy3 = 2 untuk x = 1
b. x + xy + y = 2
Tugas Subbab 4.3 1.
y = 1 tan x sin 2x
2.
y=
cos 4 x 1 − sin 4 x
3.
y=
tan x
2
4. y = x (3 x + 4 cos x)
7. y =
5. y =
x x + sin x
8. y =
6. y =
x + sin x 1 + cos x
9. y =
20
x sin x + cos x sin x sin x + cos x sin x − cos x sin x + cos x
10. y =
x sin x sin x + cos x
Tugas Subbab 4.4 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva : 2
1. 2.
y = 2x + 3 sejajar garis 8x – y + 3 = 0 2 y = 9 – x melalui titik di di luar kurva (0, 11)
3.
y=
1 2x 2
melalui titik di luar kurva (1, – 2)
3
4. y = x melalui titik singgung (8,2) 5. y = x (x – 1) (x – 2) di titik potong kurva dengan sumbu X. 2 6. y = (4x – 3) – 1 tegak lurus garis x + 2y – 11 = 0 3 2 7. Tentukan kedudukan titik-titik pada pada kurva y = 2 x + 13 x + 5x + 9 dimana garis singgung di titik-titik tersebut melalui (0, 0) b x
8. Jika garis singgung pada kurva y = (a + ) x di titik (4, 8) mempunyai gradien 2, tentukan harga a dan b Tugas Subbab 4.5 1. Selidiki apakah persamaan y =
1 x−2
mempunyai nilai maksimum atau minimum.
Tentukan pula interval fungsi y naik atau turun. Gambarkan sketsa grafiknya. 2. Selidiki fungsi y = 3x 4 − 10 x 3 − 12x 2 + 60 x − 7 untuk titik belok, interval fungsi naik atau turun, serta titik maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya 3. Sebatang kawat 60 meter dipotong menjadi 2. Satu potong dibentuk menjadi lingkaran dan potongan kedua menjadi bujur sangkar. Agar luas kedua bentuk itu maksimum, tentukan panjang masingmasing potongan kawat tersebut. 4. Selembar karton berukuran 100 x 140 140 cm akan dibuat menjadi sebuah kotak tanpa tutup. Setiap sudut karton dipotong berbentuk bujur sangkar. Jika ingin diperoleh volume kotak maksimum, tentukan tinggi kotak tersebut. 5. Ongkos produksi x buah TV per hari Rp Rp ( 1 x 2 + 35 x + 25 ), harga jual total Rp (50 – 1 x). Berapa 2
4
buah televisi harus diproduksi per hari agar keuntungannya maksimum? 6. Diberikan y = 1 x 3 + 1 x 2 − 6 x + 8 . Tentukan titik-titik kritis, interval y naik dan turun, dan nilai 3
7. 8. 9. 10.
2
maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya. 3 Tunjukkan bahwa y = x – 8 tidak memiliki titik maksimum maupun minimum. 5 Tunjukkan bahwa y = x + 20 x – 6 adalah fungsi naik untuk semua nilai x. 3 7 Tunjukkan bahwa y = 1 – x – x adalah fungsi turun untuk semua nilai x. Jika dalam sebuah lingkaran berjari-jari r akan digambarkan sebuah trapesium yang alasnya 2r dengan luas maksimum, buktikan luas trapesium itu = 3 r 2 4
2
2
3.
11. Tentukan titik maksimum dan minimum dari 2x – 4xy + 3y – 8x + 8y – 1 = 0. 2 12. Tentukan nilai absolut maksimum dan minimum dari y = (x – 3) dalam interval 0 ≤ x ≤ 4. 13. Tentukan persamaan garis melalui titik (3, 4) yang memotong kuadran pertama dalam bentuk segitiga dengan luas minimum
21
BAB V TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN 5.1
Pendahuluan
Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transenden. Fungsi transenden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik 5.2
Fungsi Logaritma Natural
Dalam matematika dikenal bentuk logaritma natural : ln x = e log x 1n 1 / k dimana : e = lim (1 + ) = lim (1+ k ) = 2,7182818284589……. n n→∞ k →0 bilangan e adalah irasional dan tak terukur Telah dibuktikan secara matematis bahwa fungsi y = ln x turunannya
1 dy = x dx
dy 1 du = dx u dx
Secara umum, jika y = ln u maka turunannya
Catatan : Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu: b
a. ln (ab) = ln a + ln b b. ln
a b
c. ln a = b ln a
= ln a – ln b
d. ln e = 1
Contoh soal: Tentukan turunan dari 2
1. y = ln (x – 1)
Jawab :
2
2. y = ln {2x (4x – 1) Jawab: 2
1 2x dy 1 du 2x = = = dx u dx x2 − 1 x2 − 1 1 2 (6 x − 1) dy = (24 x 2 − 4 x ) = x ( 4x − 1) dx 2x 2 ( 4 x − 1) 2
3. y = ln (x – 1)
Jawab : y = ln (x – 1) = 2 ln ln (x – 1) Jadi
2 dy = x −1 dx
b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural Diferensiasi secara logaritmik adalah membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi: 1 dy 1 f ' ( x ) diperoleh = y dx f ( x )
Contoh soal:
dy f ' ( x) =y dx f ( x)
Tentukan turunan dari
3
7
2 3
1. y = (x + 1) (2 – x ) Jawab: 3
7
2 3
3
2
ln y = ln(x +1) (2 – x ) atau ln y = 7 ln (x + 1) + 3 ln (2 – x ) 2 3 (−2x ) 7 (3 x 2 ) 1 dy → dy = y ( 7 (3 x ) + = + y dx dx 2 − x2 x3 + 1 x3 + 1 dy 3 (−2x) 7 (3 x 2 ) = y ( + ) = ( x 3 +1)7 ( 2 − x 2 )3 { 2 3 dx 2−x x +1
= ( x 3 +1)7 ( 2 − x 2 )3 {
3 ( −2x) −6x 21 x 2 ) = ( x 3 +1)7 ( 2 − x 2 )3 { + } 2 3 2 − x2 2 − x x +1 2 −6x 21 x x3 + 1
+
2 − x2
}
42x 2 − 21x 4 − 6 x 4 − 6 x 3 } = ( x 3 +1) 6 ( 2 − x 2 )2 3x (– 9x + 14x – 2) 3 2 ( x + 1) ( 2 − x )
22
1− x2
2. y =
3
Jawab:
( x + 1) 2
1 2 ln (1 − x 2 ) − ln ( x + 1) 2 3
ln y =
3 (−2x) 4 6 dy − = x +1 y dx 1− x 2
→ 6 ln y = 3 ln (1 − x 2 ) − 4 ln ( x + 1) lalu kedua ruas diturunkan 4 dy y 3 ( −2x) − = ( ) x +1 dx 6 1− x 2
→
1− x 2 1− x 2 dy 1 1 − 6 x 2 − 6x − 4 + 4 x 2 − 2x 2 − 6 x − 4 = ( )= ( ) 2 ) ( x + 1) 2 ) ( x + 1) dx 6 3 6 3 2 2 ( 1 x − ( 1 x − ( x + 1) ( x + 1) 1− x 2 dy 1 −( x + 2) −( x + 2)( x + 1) = ( )= 2 3 dx 3 3 3 ( x + 1)2 1 − x 2 ( x + 1) 2 (1 − x ) ( x + 1) a
c. Diferensiasi Fungsi y Fungsi y = log x a
y
y
y = log x sama dengan a = x, atau ln a = ln x → y ln a = ln ln x → y =
ln x ln a
ln a = konstan
dy ln x 1 maka = ln a x ln a dx
a
Untuk y = log x =
a
Secara umum, untuk y = log u, turunannya
dy 1 du = dx u ln a dx
Contoh soal: Tentukan turunan dari 1. y =
2
2
log (x – 1) 4
2
2. y = log (x + 3x ) 5.3
Jawab:
dy 2x = dx ( x 2 − 1) ln 2
Jawab:
dy 4x3 + 6x = dx ( x 4 + 3x 2 ) ln10
Fungsi Eksponen x
u
Fungsi eksponen ada dua jenis, yaitu y = e atau y = e
dan
x
u
y = a atau y = a
Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: a+b
a
b
e = e . e a–b a b e = e / e ab a b b a e = (e ) = (e ) x x ln a x a = e sehingga ln a = x ln a Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. x
a. Turunan fungsi y = e x
x
Fungsi y = e diubah menjadi ln y = ln e → ln y = x ln e → ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan didapat,
dy 1 dy = y = ex = 1 atau dx y dx
dy dy du = ex atau secara umum y = eu maka = eu dx dx dx 1 2 Contoh Soal : Tentukan turunan dari y = e x 1 1 x2 dy = e x2 . ( − 2 ) = − 2 e Jawab: dx x3 x3
Jadi
x
y = e maka
23
x
b. Turunan fungsi y = a x
x
Fungsi y = a diubah menjadi ln y = ln a → ln y = x ln a. Jika diturunkan didapat, dy 1 dy = y ln a = ax ln a = ln a atau dx y dx dy = ax ln a dx dy du = au ln a turunannya adalah dx dx
x
Jadi
y = a turunannya adalah u
y=a Contoh soal:
Tentukan turunan dari y = 2 4x −1 y = 2 4x −1 maka turunannya
Jawab:
dy = 2 4x −1 ln 2 . 4 = 2 4x +1 ln 2 dx
x
h(x)
c. Turunan fungsi y = x dan f(x) = g(x)
Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu: a
Fungsi pangkat :
a
y = x atau y = u dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap x u x u Fungsi eksponen : y = e atau y = e dan y = a atau y = a dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel x
h(x)
Namun, fungsi y = x dan f(x) = g(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural. Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut 1.
x
y=x Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan 1 dy x = ln x + = ln x + 1 y dx x
2.
Jadi
dy = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1) dx
2 2 y = x x − 2x → ln y = (x – 2x) ln x diturunkan 1 dy 1 = (2x − 2) ln x + ( x 2 − 2x ) y dx x
dy dx
=
2 x x − 2x (2x ln x – 2 ln x + x – 2)
Contoh soal esai: 1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000? Jawab: dA = laju pertumbuhan bakteri, dt dA dA maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai = k.A atau = k dt. dt A
Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan
Kedua ruas diintegralkan menjadi: ∫
dA = ∫ k dt A
menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = ekt + C1 = ekt e C1
Jika eC1 = C, didapat persamaan A = C e kt 0 Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka
24
12 k
2000 = 1000.e
sehingga e
12 k
= 2 → 12k = ln 2 → k =
ln 2 = 0,05776 12
Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 e0,05776 t → e0,05776 t = 1000 → 0,05776 t = ln 1000 t=
ln 1000 = 119, 6 6.. Jadi waktu waktu yang yang diperlukan diperlukan = 119, 6 menit 0,05776 0,0001t
2.
Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e . Hitung 0 0 pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0 menjadi 25 . Jawab: dL 0,0001t 0,0001t L = 60 e turunannya adalah = 60 e . 0,0001 dt 0,0001t Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e dt 0 0 0 0 0 Diketahui t1 = 0 , t2 = 25 , maka dt = 25 – 0 = 25 , maka 0,0001x0 dL = 0,006 e 25 = 0,150 meter
5.4
Fungsi Inversi Trigonometri
Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut: a. b. c. d. e. f. a.
y = arc sin x y = arc cos x y = arc tan x y = arc cot x y = arc sec x y = arc csc x
jika dan hanya jika jika dan hanya jika jika dan hanya jika jika dan hanya jika jika dan hanya jika jika dan hanya jika
siny = x cos y = x tan y = x cot y = x sec y = x csc y = x
untuk untuk untuk untuk untuk untuk
– π /2 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ π – π /2 < y < 0 < y < π – π ≤ y ≤ – – π ≤ y ≤ –
π /2 π /2 π /2, 0 ≤ y < π /2 π /2, 0 < y ≤ π /2
Turunan Fungsi y = arc sin x
y = arc sin x → sin y = x, kedua ruas diturunkan cos y dy = dx atau sin y = x dan cos y = 1 x
maka,
y
1− x2
Secara umum
dy dx
=
1 cos y
=
dy 1 = dx cos y
1− x2
1 1− x2
Jadi untuk y = arc sin x turunannya adalah y = arc sin u turunannya turunann ya adalah
dy = dx
dy = dx
1 1− x 2
1
du dx 1 − u2
b. Turunan Fungsi y = arc cos x y = arc cos x → cos y = x, kedua ruas diturunkan – sin y dy = dx atau 1 y
x
1− x2
cos y = x dan sin y = maka,
−1 dy = = dx sin y
Jadi untuk y = arc cos x turunannya adalah
Secara umum
dy = dx
y = arc cos u turunannya turunann ya adalah
1− x2 −1
1− x 2
−1 1− x 2 dy = – dx
25
1
du dx 1 − u2
−1 dy = dx sin y
c. Turunan Fungsi y = arc tan x dy 1 = dx sec 2 y
2
y = arc tan x → tan y = x, kedua ruas diturunkan sec y dy = dx atau x2 + 1 x y
1
maka,
dy 1 1 = = dx sec 2 y x2 + 1
Jadi untuk y = arc tan x turunannya adalah Secara umum
x2 + 1
tan y = x dan sec y =
dy 1 = dx x2 + 1
1 du dy = dx u 2 + 1 dx
y = arc tan u turunannya turunann ya adalah
d. Turunan Fungsi y = arc cot x dy −1 = dx csc 2 y
2
y = arc cot x → cot y = x, kedua ruas diturunkan csc y dy = dx atau x2 + 1
x2 + 1
cot y = x dan csc y = 1
maka,
x
y
Jadi:
dy −1 −1 = = dx csc 2 y x2 + 1
dy 1 = – dx x2 + 1 1 du dy = – y = arc cot u turunannya adalah dx u 2 + 1 dx
y = arc cot x turunannya adalah
Secara umum
e. Turunan Fungsi y = arc sec x y = arc sec x → sec y = x, kedua ruas diturunkan sec y tan y dy = dx atau x y
x2 − 1 1
Jadi:
dy 1 = = dx sec y tan y
x2 − 1
1 x x2 − 1 dy = dx
y = arc sec x turunannya adalah
Secara umum f.
sec y = x maka tan y =
dy 1 = dx sec y tan y
dy = dx
y = arc sec u turunannya turunann ya adalah
1 x2 − 1
x
1 u2 − 1
u
du dx
Turunan Fungsi y = arc csc x
y = arc csc x → csc y = x, kedua ruas diturunkan – csc y cot y dy = dx atau csc y = x maka cot y =
x y
1 x2 − 1
Jadi: Secara umum
dy −1 = = dx csc y cot y
x2 − 1
−1 x x2 − 1
y = arc csc x turunannya adalah y = arc csc u turunannya adalah
dy = – dx dy = – dx
26
1 x
x2 − 1 1
u
u2 − 1
du dx
dy −1 = dx csc y cot y
Contoh : Tentukan turunan dari 1 + x 1. y = arc cot 1 − x Jawab:
2 1 1 1+ x du 1 − 2x + x 2 maka = dan = = 2 1− x dx 1 − 2x + x 2 u2 + 1 2(1 + x 2 ) 1 + x +1 1 − x
2 dy 1 − 2x + x 2 = – = 2 2 dx 2(1 + x ) 1 − 2x + x
2.
dy = dx
=
5.5 a.
x a
1 du dy = – dx u 2 + 1 dx
1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka Misal u =
a 2 − x 2 + a 2 arc sin
2. y = x
a 2 − x 2 + x
−
1 1+ x 2
1 2 (a − x 2 )−1 / 2 ( −2x ) + a 2 2 x2
a 2 − x 2 –
a2 − x 2
+
a2 a2 − x 2
1
1 a x 1 − ( )2 a 2 (a 2 − x 2 )
=
a2 − x 2
= 2 a 2 − x 2
Fungsi Hiperbolik Definisi fungsi hiperbolik e x − e −x 2 e x + e −x
1. Sinus hiperbolik :
sinh x =
2. Cosinus hiperbolik :
cosh x =
3. Tangent hiperbolik :
tanh x =
sinh x cosh x
=
e x − e −x ex + ex
4. Cotangent hiperbolik :
coth x =
cosh x sinh x
=
e x + e −x ex − ex
5. Secant hiperbolik :
sech x =
1 cosh x
=
6. Cosecant hiperbolik :
2
2
ex + e− x 2 1 csch x = = sinh x ex − e−x
Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa: Fungsi Hiperbolik
Fungsi Trigonometri
a.
1 tanh x = coth x
b. c. d.
cosh x – sinh x = 1 2 2 1 – tanh x = sech x 2 2 1 – coth x = – csch x
2
tan x = 2
2
1 cot x 2
cos x + sin x = 1 2 2 1 + tan x = sec x 2 2 1 + cot x = csc x
b. Turunan Fungsi Hiperbolik a. y = sinh x = b. y = cosh x =
ex − e−x 2 e x + e −x 2
e x − e −x c. y = tanh x = ex + ex
dy e x + e −x = = cosh x dx 2 dy ex − e−x dx
=
2
= sinh x
2 dy 2 2 = = sech x dx e x + e − x
27
2 dy 2 = – csch2 x = − x x − dx e − e 2 dy e x − e −x
e x + e −x d. y = coth x = ex − ex
e. y = sech x = f. y = csch x =
2 e x + e− x
dx
2
= –
ex + e− x e x + e − x − 2 (e x + e − x )
= – sech x tanh x
dy = = – csch x coth x x x 2 − dx (e − e )
e − e− x x
Secara umum: a.
y = sinh u →
b.
y = cosh u →
c.
y = tanh u →
dy du = cosh u dx dx dy du = sinh u dx dx dy du 2 = sech u dx dx
d. y = coth u → e. y = sech u → f. y = csch u →
dy du 2 = – csch u dx dx dy = – sech u tanh u dx dy = – csch u coth u dx
Contoh : Tentukan turunan dari 1.
dy 2 2 = – 2x sech (1 – x ) dx dy cosh x Jawab : = = coth x dx sinh x
2
y = tanh (1 – x )
Jawab :
2. y = ln (sinh x) 3. 5.6
y = tanh (
4x + 1 ) 5
Fungsi Inversi Hiperbolik
1.
y = arc sinh u
dy = dx
2.
y = arc cosh u
dy = dx
3.
y = arc tanh u
4.
y = arc coth u
5.
y = arc sech u
6.
dy 4 4x + 1 ) = sec h 2 ( dx 5 5
Jawab :
1 u2 + 1 1 u2 − 1
dy 1 = dx 1 − u2 dy 1 = dx 1 − u2 dy = dx dy = dx
y = arc csch u
du dx du dx
du 2 dimana u < 1 dx du 2 dimana u > 1 dx
1
du dimana 0 < u < 1 dx 2 1− u
u
−1 u
du dimana u ≠ 0 dx 2 1+ u
Contoh : 1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya Bukti: Misal u = sinh y, maka 2
2
cosh y = 1 + sinh y = 1 + u Jadi
dy = dx
1 u2 + 1
2
dy = dx
1 u2 + 1
du dx
du dy dy 1 du = cosh y = atau dx dx dx cosh y dx
maka cosh y =
1 + u2 =
du terbukti dx
28
u2 + 1
du dx du dx
TUGAS MANDIRI BAB V Tugas Subbab 5.2 A. Tentukan turunan dari: 2
2
1. y = ln {(4x + 3) (2x – 1)} 3
6. y = ln cos x
2
2
2. y = ln (x + 2) (x + 3)
7. y = (x – 2) ln sin x
x4
3. y = ln
8. xy + y ln x – ln y = 0
(3 x − 4 ) 2 3
2 3
4. y = {ln (x – 4) }
x ( x 3 + 3)
5. y = ln
9. xy (ln y + ln x) = 1 2 10. y = (ln x 2 ) x
B. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut x2 + 1 x2 − 1
1. y = 3
3. y = 3
x2 + 1
2. y =
4. y =
x3 − 4
x 2 ( x 2 − 3 )2 x 2 − 3x + 5
x (1 − x 2 )2 1+ x 2
C. Tentukan turunan dari a
2
1. y = log (3x – 5)
4. y = log (ln x)
3
2. y = log ( 2x + 5) 2 3. y =
5
3
5. y = ln (log x)
2
log sin x
Tugas Subbab 5.3 a. Tentukan turunan dari fungsi berikut 1. y = e x
2
4. y = e −x sin 2x
2 2, y = e x ln x
3. y =
5. y = e −x ln x
e x − e−x ex + e−x
6. y =
e ax − e −ax e ax + e − ax
3. y =
2x − 1 2x + 1
b. Tentukan turunan dari 1. y = 5 2
x
2. y = x 3
4. Y = ( 4 x 2 − 3 x ) 3 x
x
2
c. Tentukan turunan dari 1. y = ( x 2 + 1)sin x
−x 2. y = x e
2
2 3. y = (2x − 1) x + 4
4. y = 3
x
7. y = 53x − 4
5. y = ( x 2 − 3) x +1
8. y = xln x
6. y = (ln x 2 )2x + 3
2 9. y = ( x 2 + 1)10 + 10 x +1
10. y = x e + e x
d. Soal esai: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?
29
Tugas Subbab 5.4 Tentukan turunan dari 2
1.
y sin x + y = arc tan x
2.
y=
3.
y = x arccos
4.
y = arc tan
x a2 − x2 2
x
5. y = ln ln sec 2x
– arc sin 2 x
x a
9. y = arc sin e
x2 − 4 1 x + arc sec 2 2 x2
6. y =
10. y = arc sin
sin x
7. y = x
3 x
11. ln (x+y) = arc tan
8. y = arc sin (x-1)
Tugas Subbab 5.5 A. Buktikan x
6. cosh 2x = cosh x + sinh x
-x
7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
1.
cosh x + sinh x = e
2.
cosh x – sinh x = e
3. 4. 5.
1 cosh x − 1 x= 2 2 2 tanh x tanh 2x = 1 + tanh 2 x sinh2
cosh2
2
2
8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
1 cosh x + 1 x= 2 2
B. Tentukan turunan dari dari 2
x
2
2
1.
y = x sech x
4. y = csch (x + 1)
2.
y = ln cosh x
5. y = a cosh
3.
y=
x a
1 tanh x + 1
Tugas Subbab 5.6 1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas. 2. Buktikan persamaan 8 – 10
30
x y
BAB VI TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL 6.1 Geometri Fungsi Dua Variabel Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan. Untuk melukiskan permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut. 2. Sifat simetri fungsi f tersebut. 3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) YOZ) dengan memasukkan • nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY • nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ • nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ 4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misal dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z0 didapat dengan memasukkan z = z0, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y0 didapat dengan memasukkan y = y0, atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x 0 didapat dengan memasukkan x = x0. Kurva perpotongan disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur. Contoh : 2 2 a. Gambarkan permukaan 4 x + y = z 2 2 Jawab : Pers. tsb diubah menjadi z = 4 x + y Dalam bentuk z = f(x, y), y), daerah definisi Df adalah bidang XOY. Nilai z selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Rentang fungsi Rf 2 2 adalah z ≥ 0. Level kurva didapat dari persamaan 4x + y = c dimana c bilangan riel > 0, ini 2 persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x yaitu persamaan parabola pada bidang 2 XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya sebagai berikut: Z
Pada z = c, kurva berbentuk elips Pada Pada y = 0, z = 4 x , dan 2 x = 0, z = y , kurva berbentuk parabola
Permukaan ini disebut arabol araboloid oida a eli tik Y X
Z
Gambar 6.1 Paraboloida Eliptik 2
2
2
2
b. Gambarkan permukaan x + y + z = r Jawab : Persamaan itu dilukiskan sebagai bola dengan pusat di (0,0,0) dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan memotong bidang 2 2 2 YOZ menjadi y + z = r berupa lingkaran, untuk y = 0 2 2 2 memotong bidang XOZ menjadi x + z = r berupa lingkaran, 2 2 2 untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x + y = r berupa lingkaran. c.
Gambarkan permukaan
Y
(0, 0, 0)
X
Gambar 6.2 6.2 Bola pusat di (0, 0, 0) dan jari-jari r
x2 y2 z2 + + = 1 dimana a, b, dan c positip, dan a = b a2 b2 c 2 Z
Jawab : Perpotongannya dengan bidang koordinat
• XOY, dengan z = 0 adalah
x2 y2 + =1 a 2 b2
Y
a = b, membentuk persamaan lingkaran
X
x2 z2 + =1 a2 c 2 y2 z2 YOZ, dengan x = 0 adalah + =1 b2 c 2
(0, 0, 0)
• XOZ, dengan y = 0 adalah •
Gambar 6.3 Elipsoida berpusat di (0, 0, 0)
keduanya membentuk persamaan elips. Jadi persamaan tersebut berbentuk elipsoida (elips putaran)
31
d. Gambarkan permukaan
x2 y2 z2 + − = 1 dimana a, b, dan c positip, dan a = b 2 2 2 a b c Z
Jawab : Perpotongan persamaan itu dengan bidang:
•
XOY, dengan z = 0 adalah
x2 y2 + =1 a 2 b2
Y
untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran
• •
x2 z2 − =1 a2 c2 y2 z2 YOZ, dengan x = 0 adalah − =1 b2 c2
X
XOZ, dengan y = 0 adalah
Gambar 6.4 Hiperboloida berdaun satu
keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu. e.
f.
Z
2
Gambarkan permukaan z = y Jawab : Persamaan itu tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan 2 bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik
Y X
Gambar 6,5 Silinder parabolik Z
z2 y 2 x2 Gambarkan permukaan − − = 1 dimana a, b, c 2 b2 a2
dan c positip, dan a = b Jawab: Persamaan tersebut menghasilkan gambar sebagaimana tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
Y X
Gambar 6.6 Hiperboloida berdaun dua Z
g.
Gambarkan permukaan
x2 a
2
+
y2 b
2
=
z2 c
Y
dimana a, b,
2
dan c positip, dan a = b Jawab : Persamaan tersebut menghasilkan gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
X
Gambar 6.7 Kerucut eliptik
6.2 Turunan Parsial Parsial Fungsi Dua Variabel Turunan parsial dari fungsi z = f(x, y) adalah: ∂z = turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana y dianggap konstan ∂x T ∂z = turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana x dianggap konstan ∂y T Contoh: Tentukan turunan parsial dari: ∂z ∂z 2 2 a. z = x + y Jawab : = 2x dan = 2y ∂x ∂y
b.
z = xy
Jawab :
∂z = y dan ∂x
∂z = x ∂y 32
6.3 Turunan Parsial Lebih Tinggi Turunan parsial tingkat dua fungsi z = f(x, y) y) terbagi atas 4 macam, yaitu: 1. 2.
∂2f ∂x 2 ∂2f ∂y 2
=
∂ ∂f ∂x ∂x
3.
∂2f ∂ ∂f = ∂x ∂y ∂x ∂y
=
∂ ∂f ∂y ∂y
4.
∂ ∂f ∂2f = ∂y ∂x ∂y ∂x
catatan :
∂ 2f ∂2f = ∂x ∂y ∂y ∂x
Turunan parsial tingkat tiga fungsi z = f(x, y) y) terbagi atas 8 macam, yaitu: 1. 2.
3.
∂3f ∂x 3 ∂3f ∂y 3
=
∂ ∂ ∂f ∂x ∂x ∂x
4.
=
∂ ∂ ∂f ∂y ∂y ∂y
5.
∂3f ∂ ∂ ∂f = ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x
6.
∂3f ∂ 2 x ∂y ∂3f ∂ 2 y ∂x
=
∂ ∂ ∂f ∂x ∂x ∂y
7.
=
∂ ∂ ∂f ∂y ∂y ∂x
8.
∂3f ∂x ∂ 2 y ∂3f ∂y ∂ 2 x
=
∂ ∂ ∂f ∂x ∂y ∂y
=
∂ ∂ ∂f ∂y ∂x ∂x
∂3f ∂ ∂ ∂f = ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
Contoh soal : Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi: 2
a. z = x sin y
∂ 2z ∂x 2
Jawab :
∂ 2z
= 0,
∂y 2
b. z = sin (xy)
∂ 2z ∂y 2
∂z ∂z 2 = sin y dan = 2 x sin y cos y = x sin 2y ∂x ∂y 2
= 2x cos 2y,
Jawab :
2
= – x sin (xy),
∂ z ∂ 2z = 2 sin y cos y = sin 2y, dan = sin 2y ∂x ∂y ∂y ∂x
∂z ∂z = y cos (xy) dan = x cos (xy), ∂x ∂y
∂ 2z ∂x 2
2
= – y sin (xy),
∂ 2z ∂ 2z = cos (xy) – xy sin (xy), dan = cos (xy) – xy sin (xy) ∂x ∂y ∂y ∂x
6.4 Turunan Fungsi Implisit Persamaan f(x,y,z) = 0 adalah fungsi implisit dalam ruang tiga dimensi. Untuk menghitung
dz maka dx
variabel z dan x diturunkan terhadap x dengan menganggap y konstan, dan untuk menghitung variabel z dan y diturunkan terhadap y dengan menganggap x konstan. Contoh: 1. Hitung
dz dan dx
dz 2 2 3 dari persamaan implisit xyz + x z – 2y z – xy + 2 = 0 dy
2 dz 2 2 dz dz + 2xz + x – 6y z – y = 0 dx dx dx 2 2 2 dz dz y − yz − 2 xz (xy + x – 6y z ) = y – yz – 2xz maka = dx dx xy + x 2 − 6 y 2 z 2
Jawab : yz + xy
xz + xy 2
dz 2 dz 3 2 2 dz + x – 4yz – 6y z – x = 0 dy dy dy 2 2
(xy + x – 6y z )
dz 3 = x – xz – 4yz maka dy
33
x − xz dz = dx xy + x 2
− 4 yz 3 − 6y 2z 2
dz maka dy
2. Hitung
dz dan dx
dz 2 2 2 2 dari persamaan implisit xy sin z + x cos z – y – xy = 0 dy
2 2 dz dz + 2xcos z – 2x cos z sin z – y = 0 dx dx 2 2 2 2 dz (xy cos z – 2x cos z sin z) = y – y sin z – 2xcos z dx 2 y − y sin z − 2 x cos 2 z dz maka = dx xy 2 cos z − 2 x 2 cos z sin z 2
2
Jawab : y sin z + xy cos z
2
dz dz 2 – 2x cos z sin z – 2y – x = 0 dy dy
2
dz = x – 2xy sin z + 2y dy
2xy sin sin z + xy cos z 2
(xy cos z – 2x cos z sin z) maka
x − 2 xy sin z + 2 y dz = dx xy 2 cos z − 2 x 2 cos z sin z
6.5 Bidang Singgung dan Garis Normal Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x 0, y0, z0) adalah: ∂z ∂z ( x − x o ) + ( y − y o ) ∂x T ∂y T
z − zo =
garis normal
Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah: X = (x o , y o , zo ) + t N dimana: X = vektor garis normal t = parameter ∂z ∂z N = (1, 0, ) X (0, 1, ∂x T ∂y T X = perkalian perk alian cross (silang) vektor
bidang singgung
T(x0, y0,
bidang permukaan z = f(x, y)
Gambar 6.8 6.8 Bidang Singgung dan Garis Normal
Contoh: 3 2 3 2 Diketahui bidang permukaan z = x + x y + y + y x + 1. Tentukan : a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b. Persamaan garis normal Jawab: a.
∂z 2 2 = 3x + 2xy + y maka ∂x
∂z = 3 + 2 + 1 = 6 ∂x T
∂z ∂z 2 2 = x + 3y + 2xy maka = 1 + 3 + 2 = 6 ∂y ∂y T
maka persamaan bidang singgung: ∂z ∂z z − z o = ( x − x o ) + ( y − y o ) ∂x T ∂y T z – 5 = 6 (x – 1) + 6 (y – 1) maka z = 6x + 6y – 7 b. Persamaan garis normal : X = ( x o , y o , z o ) + t N N
∂z ∂z = (1, 0, ) X (0, 1, = (1, 0, 6) X (0, 1, 6) ∂x T ∂y T i
=
j
j
1 0 6 = – 6i – 6j + k = (– 6, – 6, 1) 0 1 6
Jadi
6, – 6, 1) dengan t = parameter X = (1, 1, 5) + t (– 6,
34
6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku ∂z = 0 dan ∂x T
∂z = 0 ∂y T
serta diskriminan fungsi f = ∆, dimana
∆ =
∂ 2 f – ∂x ∂y 2 ∂y
∂ 2f
∂ 2f
∂x 2
2
maka berlaku ketentuan sebagai berikut: 1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan 2. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan
∂ 2f ∂x 2 ∂ 2f ∂x 2
< 0 atau > 0 atau
∂ 2f
< 0, maka T adalah titik maksimum
∂y 2 ∂2f ∂y 2
> 0, maka T adalah titik minimum
3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim 4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T 2
2
Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x + y Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu:
∂z = 2x ∂x
∂ 2z = 0 ∂y ∂x
∂2z
∂z = 2y ∂y
∂ 2z = 0 ∂x ∂y
∂ 2z
∆ =
∂2f ∂x 2
∂ 2 f – ∂x ∂y 2 ∂y
∂2f
∂y 2
= 2
= 2
2
Titik stasioner didapat dari 2
∂x 2
= 2.2 – 0 =4>0
∂z ∂z = 0 dan = 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0, ∂x ∂y
2
sedangkan z = x + y = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner stasioner ini, maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh ∆ = 4 > 0,
∂ 2z ∂x 2
= 2 > 0 maka sesuai ketentuan di
atas, disimpulkan titik tersebut minimum. 6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Contoh 1. Tentukan
∂z jika ∂t
2
2
2
z – 3xy + 2yz + 5 = 0, x = t – 5t +7, dan y = sin t
Jawab : Persamaan di atas adalah persamaan implisit. Diturunkan diperoleh:
∂z ∂z – 3y + 2y = 0 ∂x ∂x ∂z ∂z 2z – 3x + 2z + 2y = 0 ∂y ∂y 2z
z → (2z + 2y) ∂ = 3y
∂x ∂z → (2z + 2y) = 3x – 2z ∂y
35
z → ∂ =
3y 2z + 2y
∂x ∂z 3 x − 2z → = ∂y 2z + 2y
∂x ∂y 2 = 2t – 5 dan y = sin t → = 2 sin t cos t = sin 2t ∂t ∂t ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x 3y 3 x − 2z = + = (2t – 5) + sin 2t ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t 2z + 2y 2z + 2y 3y( 2t − 5) ∂z (3 x − 2z ) sin 2t = + ∂t 2z + 2y 2z + 2y 2
x = t – 5t +7 →
2
2. Diketahui suatu persamaan volume silinder silinder v = πR T, dimana R = jari-jari lingkaran silinder dan T = tinggi silinder Jika pada silinder itu berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,3 cm/detik, dan jari-jarinya bertambah dengan kecepatan 0,5 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume silinder pada saat tingginya 10 cm dan jari-jari 7 cm.
∂v ∂v = 2πRT dan = ∂R ∂T ∂T ∂R = – 0,3 cm/dt dan = 0,5 cm/dt ∂t ∂t 2
Jawab: v = πR T maka
πR
T R Silinder
2
sedangkan
Jadi kecepatan berubahnya volume silinder
∂v ∂v ∂R ∂v ∂T = + = 2πRT 0,5 + ∂t ∂T ∂t ∂R ∂t
2
πR
(– 0,3)
untuk T = 10 cm dan R = 7 cm maka
∂v 2 3 = 2π 7 10 0,5 – π 7 0,3 = (70 – 14,7) π = 55,3π cm /dt ∂t 6.8 Diferensial Total Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz =
∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y
Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas. Contoh: 1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 m dan lebar 314 m, setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru panjangnya berubah menjadi 421,02 m dan lebarnya menjadi 313,97 m. Berapa perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? Jawab: Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, y, maka L = xy
∂L ∂L = y dan = x, dx = 421,02 – 421 = 0,02 m dan dy = 313,97 – 314 = – 0,03 m ∂x ∂y ∂L ∂L 2 dx + dy = y dx + x dy = 314 . 0,02 dL = 0,02 + 421 (– 0,03) = – 6,35 m ∂x ∂y 2. Tentukan nilai taksiran (4,02)1,1 sampai 3 desimal. Jawab : Ambil harga bulat, x = 4 maka dx = 4,02 – 4 = 0,02 dan y = 1 maka dy = 1,1 – 1 = 0,1 y
Fungsi tersebut adalah z = x
∂z ∂z 0 y 1 = y x y −1 = 1. 4 = 1 dan = x ln x = 4 ln 4 = 4 ln 4 ∂x ∂y ∂z ∂z y dz = dx + dy = y x y −1 dx + x ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575 ∂x ∂y
turunan parsialnya
Jadi ( 4,02)1,1 = 4 + dz = 4 + 0,575 = 4,575 1
1,1
Check : 4,02 = 4,620071092
36
TUGAS MANDIRI BAB VI Tugas Subbab 6.3 Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut: 2
1.
z = x sin y
2.
z = ln
3.
z=
2
4. z = x + 3xy + y
x2 + y2
5. z = arctan
x y2
6. z =
9. Diketahui z = 10. Diketahui z = ln
2
7. z = x cos y – y cos x
y x
y
8. z = x
x y − y2 x2
∂z ∂z +y =z ∂x ∂y ∂z ∂z −y =1 x 2 + y 2 , buktikan x ∂x ∂y
x 2 + y 2 , buktikan x
Tugas Subbab 6.4 Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal 1 – 8 d dii atas Tugas Subbab 6.5 1. Tentukan turunan
∂z ∂z 2 3 dan dari ysin(xz) – 2 tan x + y cos x + xsin z = 0 ∂x ∂y
2. Diketahui persamaan
x 2z y x e y + z log xy
= xy – xz + yz. Tentukan turunan
3. Diketahui suatu persamaan implisit Hitung
2
∂z ∂z dan ∂x ∂y
2
x z – 3yz = – 2
∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z , , , , di titik (1, 1, 1) ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂y ∂x
Tugas Subbab 6.6 x+y dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut. x
1. Diketahui persamaan z =
Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 3
2
2. Idem, persamaan z = x – 2xy + y dan titik T (1, – 1, 4) 3. Idem, persamaan z =
x2 + y2
dan titik T (4, – 3, 5)
4. Idem, persamaan z =
y x − y2 x2
dan titik T (1, – 1, 2)
5.
x y2
Idem, persamaan z =
dan titik T (2, – 1, 2)
Tugas Subbab 6.7 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut: a. b. c.
3
2
3
2
z = x + x y – 2y + 3y 3 3 2 2 z = x + y + x – 5y – x + 3y 2 2 z = x + y + 3xy
2
2
d. z = 2x – y + 20x – 11y 2 2 e. z = 4xy – 2x y – x
volume 108 cm Z
3
2. Akan dibuat dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm . Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum?
Y X
37
Tugas Subbab 6.8 1.
Tentukan a. b.
∂z jika ∂t
2
2
z = x + 3xy + 5y , x = sin t, dan y = cos t 2 2 -t t z = ln (x + y ), x = e , dan y = e
2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm. Petunjuk : Volume kerucut v = 1 π x 2 y , dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut 3
dan y = tinggi kerucut. Kecepatan berubahnya volume =
∂V ∂V ∂x ∂V ∂y = + ∂x ∂t ∂t ∂y ∂t
Tugas Subbab 6.9 1.
Tentukan diferensial total dari 3
a. z = x y + 2xy y b. z = arctan x
2.
3.
2 2 c. z = e x − y
−1 2 2 d. z = x ( x + y ) 2
Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6 meter dan y = 8 meter. Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm dan pada pengukuran y terdapat kesalahan – 0,125 cm. Berapa kesalahan pada z? Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC, diperoleh data sbb: x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm θ = 60o dengan kesalahan dθ = 0,5o. Jika luas L = 1 x y sin θ, tentukan besar kesalahan luas dL 2 dengan menggunakan perhitungan diferensial total dL =
∂L ∂L ∂L dx + dy + dθ ∂x ∂y ∂θ
Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian
38
z
x
y
C y
A
θ
x
B
Sumber Pustaka 1. Purcell, E.J., dan D. Varberg, 1987, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Alih Bahasa: I.N. Susila, B. Kartasasmita, dan Rawuh, Penerbit Erlangga, Jakarta 2. Soemartojo, N., 1988, Kalkulus, Penerbit Penerbit Erlangga, Jakarta
39
