Matematika 7 Alb

JOVO STEF STEFANOVSKI ANOVSKI NAUM CELLAKOSKI

të arsimit fillor tetëvjeçar

Shkup, 2009

Nxënës i dashur! dashur! Ky libër do të ndihmon ndihmon ti mësosh përmbajtjet përmbajtjet e parashikuara te programi. Do të mësosh mësosh përmbajtje përmbajtje të reja interesante për vektorët , translacionin dhe rrotacionin. Do të përvetësosh njohuri të rëndësishme për fuqitë, rrënjët dhe polinomët. Do ti zgjerosh njohuritë nga gjeometria. Do të njehsosh syprina të figurave. Do të përvetësosh njohuri të reja për funksionin dhe proporcionin. Libri është ndarë në pesë tërësi tematike, kurse çdonjëra prej tyre është ndarë në nëntema. Tërësitë tematike fillojnë me përmbajtje, kurse njësitë mësimore tek ato janë të numëruara. Te njësitë mësimore ka shenja me ngjyrë dhe nëpër ato janë shkruar porositë, aktivitetet, obligimet dhe sugjerime tjera dhe atë:

Njësitë mësimore fillojn fillojnëë me diçka që e ke të njohur njohur.. Duhet të kujtohe kujtohesh sh dhe ti zgjidhish kërkesat e dhëna. Ajo do të shërbej gjatë të mësuarit e mësimit të ri.

Kujtohu!

A

B ,

... .. .

... .. .

Me shenjat e këtill këtilla a janë shënuar aktivi aktivitetet, tetet, pyetje pyetjett dhe detyrat që do ti zgjidhish në mënyrë të pavarur ose me ndihmën e arsimtarit tënd. Në këtë pjesë e mëson të ren te mësimi, prandaj duhet të jesh i kujdesshëm dhe aktiv që më mirë ta mësojsh dhe kuptojsh. Më e rëndësishmja është ngjyrosur me ngjyrë të verdhë.

1. 2.

Me kët këto o shen shenja ja një njësia sia mësi mësimore more ësh është të nda ndarë rë në pje pjesë së (porc (porcion ione) e) të cil cilat at janë për kuptimet e reja.

Duhet të dish :

Më e rëndësishmj rëndësishmja a nga mësimi është veçuar në formë të pyetje pyetjeve, ve, detyra ose pohime. Atë duhet ta mbajsh mend dhe shfrytëzoje te shembujt praktik.

Kontrollohu Kontrolloh u!

Detyra Përpiqu Përpi qu

Kjo pjesë përmban pyetje dhe detyra me të cilat mundesh të kontrollohes kontrollohesh h vallë pjesën më të madhe nga ajo që është mësuar e kupton që të mundesh ta zbatojsh dhe shfrytëzojsh në jetën e përditshme.

Duhet rregullis rregullisht ht dhe në mënyrë të pavarur ti zgjidhi zgjidhish sh këto detyra detyra.. Me këtë më mirë do ta kuptojsh atë që e ke mësuar, kurse ajo do të jetë shumë e dobishme. Përpi qu ti zgji Përpiqu zgjidhis dhish h dety detyrat rat dhe proble problemet met në këtë pjes pjesëë (kjo nuk ësht ështëë e obligueshme). Me këtë do të dish më shumë dhe do të jesh më i pasur me ide.

KONTROLLO NJOHURINË TËNDE

Në fund të çdo teme ka gjashtë teste me pyetje dhe detyra. Zgjidhe në mënyrë të pavarur testin me këtë do ti kontrollojsh njohuritë tua nga tema e mësuar.

Kur do të hasi sh në vës vështi htirës rësii gja gjatë të të mës mësuar uarit it e mat matema ematik tikës ës mos u largo largo,, për përpiq piqu u për përsër sëri, i, kur kurse se këmbëngulsia do të sjelle rezultate dhe kënaqësi. Do të na gëzon nëse me këtë libër do ta duash matematikën më shumë dhe të arrish sukses të shkëlqyeshëm. Nga autor autorët ët

TEMA 1.

VEKTORËT VEKTORË T. TRANSLACIONI

VEKTORËT. OPERACIONET ME VEKTORË 1. Orientimi i gjysmëdrejtëzave. Kahja 4 2. Vektorët 7 3. Barazia e vektorëve 11 4. Mbledhja e vektorëve 14 5. Zbritja e vektorëve 19

TRANSLACIONI 6. Translacioni

22

7. Vetitë e translacionit

24

8. Zbatimi i translacionit

27

Kontrollo njohurinë tënde

30

Vektorët. Operacionet me vektorë

3

VEKTORËT VEKT ORËT.. OPERACIONE OPERACIONET T ME VEKT VEKTORË ORË

1

ORIENTIMI I GJYSMËDREJTËZAVE. KAHJA A

Kujtohu!

1.

Vizato drejtëz a dhe në të shëno pikë O.

Te drejtëza drejt ëza p vërej gjysmëdrejtëzat OA, O1A, OB dhe O1B.

Pika O e ndan drejtëzën a në dy pjesë ose dy bashkësi. Si quhet pjesa e drejtëzës e cila e përmban pikën O dhe njërën nga të dy pjesët në të cilat është ndarë drejtëza a me pikën O? Në vizatim është vizatua vizatuarr gjysmëdrejt gjysmëdrejtëza ëza OM me pikën e fillimit O dhe çfarëdo pike M. M.

Cila gjysmëdrejtëz është nënbashkësi e gjysmëdrejtëzës OA? Cila gjysmëdrejtëz është nënbashkësi e gjysmëdrejtëzës O B? 1

Vëreva se: Të gjitha pikat e gjysmëdrejtëzës O A i takojnë gjysmëdrejtëzës OA, d.m.th O1 A Í OA. Të gjitha pikat e gjysmëdrejtëzës OB i takojnë takoj në gjysmëd gjysmëdrejtëz rejtëzës ës O B, d.m.th. OB Í O 1B . 1

M O

Vizato gjysmëdrejtëza AB dhe AC, ashtu që pikat A, B dhe C nuk shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vizato drejtëz a dhe në të shëno pikë M dhe N. Çka paraqet prerja e gjysnëdrejtëzave MN dhe NM? Me drejtëzën b te vizatimi rrafshi është ndarë në dy gjasmërrafshe prej të cilëve njëri është ngjyrosur. C

B

B

p

A

O1

O

b

A

Cila prej pikave të shënuara shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë?

1

Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O A themi se janë me kahe të njëjtë. Edhe gjysmëdrejtëzat OB dhe O B janë me kahe të njëjtë. 1

1

Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O B themi se janë me kahe të kundërtë..Edhe gjysmëdrejtëzat OA dhe OB janë me kahe të kundërtë. 1

Gjysmëdrejtëzat me kahe të njëjtë do t'i shënojmë me shenjën "--,kurse me kahe të kundërtë me shenjën " -¯  . Shembull : OA -- O 1 A; OA -¯ O 1B .

Çka është drejtëza b për gjysmërrafshin?

Shqyrto vizatimin, vërej drejtëzat paralele a dhe b dhe te ato shënoi gjysmëdrejtëzat OA, O B dhe O C.

2.

1

1

Cila prej gjysmëdrejtëzave shtrihet në gjysmërrafshin e njëjtë me drejtëzën kufitare OO ? 1

4

Tema 1. Vektorët. Translacioni

O

a b

C

O1

A B

Vëreva se gjysmëdrejtëzat OA dhe O B shtrihen në gjysmërrafshin e njëjtë dhe drejtëzën kufitare OO .

Për gjysmëdrejtëzat OA dhe O B themi se janë me kahe të njëjtë, d.m.th. OA--O1B. Gjysmëdrejtëzat OA dhe O C nuk shtrihen në gjysmërrafs gjysmërrafshin hin e njëjtë me drejtëzën kufitare OO dhe për ato themi se janë me kahe të kundërtë, d.m.th. OA-¯O1C. 1

1

1

1

1

Vlen në përgjithësi Për dy gjysmëdrejtëza themi se janë me kahe të njëjtë (ose: kanë kahe të njëjtë) nëse shtrihen në një drejtëz dhe njëra është nënbashkësi e tjetrës ose nëse shtrihen në drejtëza paralele dhe i takojnë gjysmërrafshit gjysmërrafs hit të njëjtë me drejtëzën kufitare nëpër pikat e tyre të fillimit. Për dy gjysmëdrejtëza të cilat shtrihen në drejtëzën e njëjtë ose në drejtëza paralele dhe nuk janë me kahe të njëjtë themi se janë me kahe të kundërtë (ose: kanë kahe të kundërta). Cakto si janë orientuar:

3.

A

a)

a) gjysmëdrejtëzat OA dhe O A; b) gjysmëdrejtëzat gjysmëdrejtëzat OA dhe O A; c) gjysmëdrejtëzat OB dheO A; ç) gjysmëdrejtëzat OB dheO D; O D dhe O C; OB dhe O C.

O

1

c)

1

ç)

1 1

1

1

b) O

O1

B

O

A

B

O1

A O

º

O1

A

a

a||b

1

º

b

O1

D

C

Këte e ke të njohur Në vizatim ka shenja komunikacioni komunikacion i të cilat paraqesin kahen. KUMANOVË VELES

Sqaro çka paraqet çdonjëra nga shenjat. Fjalën kahe shpeshherë e përdorim; për shembull: ,,era fryen në kahen e veriut, ,,avioni fluturon në kahen Shkup - Ohër, etj. B

4.

Vizato gjysmëdrejtëz OA dhe pastaj: Vizato dy gjysmëdrejtëza O A dhe O B me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA. 1

1

2

2

Si janë orientuar gjysmëdrejtëzat O A dhe O B ? Sa gjysmëdrejtëza mund të kontsruktohen te rrafshi me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA? 1

1

2

2


5

Përfundojmë se në rrafsh ekzistojnë pafund shumë gjysmëdrejtëza me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën e dhënë OA.

Bashkësia S nga një gjysmëdrejtëz dhe të gjitha gjysmëdrejtëzat me kahe të njëjtë në atë rrafsh quhet kahe . Kahen S e paraqesim me një gjysmëdrejtëz AB nga bashkësia e gjysmëdrejtëzave me kahe të njëjtë dhe themi se gjysmëdrejtëza AB ka kahe S. S. B

5.

Janë dhënë gjysmëdrejtëzat OA, O A dhe O A ,ashtu që OA--O A ; O A -¯O A . Me gjysmëdrejtëzën OA është caktuar kahja S, kurse me gjysmëdrejtëzën O A kahja R. 1

1

1

1

1

2

1

2

S

2

A

2

2

2

A S

Çka është e saktë: O1 A1 Î S; O1 A1 Î R?

O

O1

A1

O2

R A2

Duhet të dish: Kontro Kon trollo llohu hu!

të sqarojsh cilat dy gjysmëdrejtëza kanë kahe të njëjtë, përkatësisht kahe të kundërtë; të sqarojsh sqa rojsh çka është kahe ka he dhe me çka paraqitet kahja.

Në vizatim vizat im gjysmëdrejtëza gjysmë drejtëzatt a dhe b janë paralele. Cila prej gjysmëdrejtëzave A O OA, O C dhe O B: janë me kahe të t ë njëjtë; njëj të; janë me kahe ka he të kundërt kundërtë; ë; C O1 B përcaktojnë kahe të njëjtë? 1

a

1

b

Detyra 1. Çfarë figure mund të jetë prerja e:

3. Vizato drejtkëndësh ABCD dhe le të jetë O

pikëprerja e diagonaleve të tija. Cila prej gjysmëdrejtëzave: AB, DC, BA, AO, OC dhe DB janë: a) me kahe të njëjtë; b) me kahe të kundërtë?

a) dy gjysmëdrejtëzave me kahe të njëjtë që shtrihen në një drejtëz; b) dy gjysmëdrejtëza me kahe të kundërtë që shtrihen në një drejtëz? 2.

6

Çfarë figure mund të jetë unioni i: a) dy gjysmëdrejtëzave me kahe të njëjtë që shtrihen në një drejtëz; b) dy gjysmëdrejtëza me kahe të kundërtë që shtrihen në një drejtëz? Tema 1. Vektorët. Translacioni

4.

Te drejtëza a janë dhënë gjysmëdrejtëzat OA, O A dhe O A,ashtu që OA-- O A, kurse O A-¯O A. Si jan\ë orientuar gjysmëdrejtëzat gjysmëdrejtëzat OA dhe O A ? 1

1

2

2

2

1

2

VEKTORËT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Me shënimin (a, b) shënojmë çift të renditur.

Pikat A dhe B le të jenë pikat p ikat e skajshme skaj shme të segmenti segmentitt a. a

te çifti i renditur saktë dihet cili është elementi i parë, kurse cili është i dyti. Për çiftin e renditur të pikave, (A, B), pika A është komponenta e parë, kurse pika B është komponenta e dytë. Çifti i renditur (5, 8) le të paraqet rreshtin e pestë dhe karriken e tetë në një kino sallë. Çifti i renditur (8, 5) a e paraqet karriken e njëjtë?

B A

Cili nga këto gjykime është i saktë: a) $% %$ ; b) AB dhe BA është segment i njëjtë; nj ëjtë; c) {A, B} = {B, A}; ç) (A, B) = (B, A)? 

Vëreva se: gjykimet nën a), b) dhe c) janë të sakta; gjykime nën n ën ç) nuk është i saktë, pasi edhe te çiftet e renditura vlen: (A, B) ¹ (B, A), kur A ¹ B. Segmenti AB AB te i cili njëra pikë e skajshme, kurse pika e dytë pikë e mbarimit quhet segment i orientuar dhe shënohet me AB. B

Pikat e skajshme të segmentit të orientuar AB paraqesin çift të renditur (A, B). Segmenti i orientuar AB, në vizatim, paraqitet me shigjetë prej pikës së fillimit A nga pika e mbarimit B. Pika A quhet fillimi, kurse pika B mbarimi i segmentit të orientuar AB.

A

a 2.

Në vizati vizatim m gjysmëdrej gjysmëdrejtëzat tëzat AB, CD dhe EF shtrihen në drejtëzat paralele a, b dhe c. Si janë orientuar gjysmëdrejtëzat: AB, CD dhe EF? Krahasoi gjatësitë e segmenteve: AB dhe CD; AB dhe EF.

A C

B

b

D

c

F

Vërej kahet kah et e segmenteve segment eve AB, CD, CD, EF dhe gjatë të shprehurit e ardhshëm përpiqu të kuptojsh për cilat dy segmente të orientuara thueht se janë të barabarta. E

Vëreva se gjysmëdrejtëzat AB, CD dhe EF janë me kahe të njëjtë;

%$= &' ;

$% < () .


7

Kahen që e përcakton përcakton gjysmëdrejtëza gjysmëdrejtëza AB quhet kahe e segmentit të orientuar AB. Prandaj, segmentet e orientuara AB, CD dhe EF janë me kahe të njëjtë. Gjatësia e segmentit AB quhet gjatësi (ose intenzitet) të segmentit segmentit të orientuar orientuar AB; shënohet me |AB|. Prandaj, |AB| = |CD|, kurse |AB| < |EF|. Segmenti i orientuar fillimi i të cilit puthitet me pikën Segmenti pikën e mbarimit (AA, BB, ...) quhetsegment i orientuar zero. Ai nuk ka kahe të caktuar, kurse gjatësia e tij është zero. B

Segmentet e orientuara AB dhe CD janë të barabartë, nëse kanë gjatësi të

A

barabartë dhe kahe të njëjtë, d.m.th.. |AB| = |CD| dhe AB--CD. Shkruajmë: D

AB = CD. B

3.

C

Pika O le të zhvendoset për katër njësi në të djathtë nëpër drejtëzën p, ku 2$



G

F

O

A

B

C

D

E p

.

Te cila pikë do të zhvendoset, d.m.th. do të pasqyrohet pika O e drejtëzës p? Vëreva se pika O do të zhvendoset (do të pasqyrohet) te pika D. Pika O është pika e fillimit, kurse pika D pika e mbarimit në këtë zhvendosje. Çka paraqesin pika O dhe D?

Pikat O dhe D janë pikat e skajshme të segmentit të orientuar OD. Ato paraqesin çift të renditur (O, D).

Kjo zhvendosje e pikës në rrafsh është krye në kahe të caktuar dhe në largësi të caktuar. Në vizatim, atë e paraqesim me segment të O

orientuar OD.

D

Le të jetë paraqitur një segment i orientuar AB. Sa segmenta të orientuar të barabartë me AB ekzistojnë?

E F

Mund të vizatoj shumë segmenta të orientuar të barabartë me AB, kurse ka pa fund shumë që janë të barabartë me atë.

D C

B

A G

H

Vëre dhe mbaj mend! Bashkësia prej segmentit të orientuar dhe të gjitha segmenteve të orientuara të barabartë me atë quhet vektor . Bashkësia e të gjithë segmenteve të orientuar zero quhet zero vektor. 8


Kjo është e rëndësishme!

a

A

Vektorin në vizatim vizat im do ta paraqesim me një segment të t ë orientuar, d.m.th. me një përfaqësues nga bashkësia e segmenteve të barabartë. Prandaj, segmenti i orientuar do të na paraqet vektor.

B D

b

C c

F

Vektorin do ta shënojmë me AB ose me shkronjë të vogël dhe shigjetë mbi

E

atë. Në vizatim janë dhënë vektorët: AB = a ; CD = b dhe EF = c . 4.

Shëno katër pika A, B, C dhe D. Paraqiti vektorët: a = AB; b = DC ;

c = AD.

Atë që e mësove për segmentet e orientuar, mund të thuhet edhe për vektorët. Le të jetë dhënë vektori a me segmentin e orientuar AB.

a

Segmenti i orientuar AB paraqet kahe të vektorit vekto rit a .

B

A

Gjatësia e segmentit të orientuar AB quhet gjatësia (ose intenziteti ) i vektorit a dhe shënohet me | a | ose ose me |AB|. 5.

Vizato dy vektor AB dhe CD, ashtu që ato të jenë: a) me kah kahee të të një njëjt jtëë b) me ka kahe të ku kund ndër ërtë të.. a) Vektorët AB dhe CD te kërkesat a) dhe b) mund t'i paraqesish si në vizatim.

B

b)

A

A C

B D

D

C

Vëreva se: kahja e vektorit përcaktohet në të njëjtën mënyrë si te segmentet e orientuara, pasi vektori paraqet pa raqet segment të orientuar. orientu ar.

6.

Vizato vektor AB dhe shëno pika C dhe M (si në vizatim). Vizato vektor CD ashtu që CD -- AB. Vizato vektor MN ashtu që MN -¯ AB.

B

A

C M

Vëre dhe mbaj mend!

Për vektorët që kanë kahe të njëjtë ose kahe të kundërtë themi se janë kolinear, d.m.th. vektorët AB dhe CD janë kolinear, nëse AB -- CD ose AB -¯ CD. Për vektorët kolinear themi se kanë drejtim të njëjtë. Vektorët. Operacionet me vektorë

9

Vizato dy vektor kolinear a dhe b, ashtu që ato të shtrihen:

7.

në drejtëza paralele a --b;

në drejtëza paralele dhe a -¯ b;

në drejtëzën e njëjtë dhe a-¯b;

në drejtëzën e njëjtë dhe a -- b,| a |=3cm ,| b |=5 cm .

Segmenti zero i orientuar paraqet zero vektor; ai shënohet me 0. zero vektorin e llogarisim për vektor kolinear me çdo vektor tjetër dhe me gjatësi të barabartë me zero.

Duhet të dish: të sqarojsh çka është segment i orientuar ori entuar dhe çka është vektor;

të caktojsh (dhe sqarojsh për) vektor me kahe të njëjtë, kahe të kundërtë dhe vektor kolinear.

Kontro Kon trollo llohu hu!

Në vizatim vizati m p është paralele me drejtëzën q. Cilët vektor janë paraqitur në vizatim? d

M

a

A

p

F

q

b

c

N

D

E C

B

Çfarë kahe kanë vektorët: a dhe b; a dhe c ; b dhe c ? Vektorët a dhe d a janë kolinear? Pse? Vektorët a, b dhe c a janë kolinear? Pse?

Detyra

3. Në vizatim janë dhënë vektorët te rrjeta katrore.

1. Shkruaj vektorët që janë të përcaktuar me çiftet

e pikave të rregulluara: (A, B),(C, D),dhe (E, F). 2. Është e njohur se vektorët AB dhe CD janë kolinear. kolinea r. A janë kolinear vektorët vektorët::

AB dhe DC;

BA dhe DC?

Si janë orientuar vektorët?

ç) PQ dhe RS; d) MN dh dhee TL; TL; e) EF EF dhe dhe PQ PQ ? C


A

E

B F P

M

10

c) AC dhe EF;

a) AB dhe AC; b) AB dhe EF;

T

N

Q

S R L

3 BARAZIA E VEKTORËVE A

Kujt Ku jtoh ohu u! Për cilët dy vektor AB dhe CD themi se kanë kahe të njëjtë?

Te paralelogrami ABCD janë shënuar

1.

vektorët AB = a; DC = b; AD = c; CB = d .

Çka paraqet gjatësia e vektorit AB?

D c

Te drejt këndës hi ABCD janë paraqitur

d a

vektorët AB = a dhe DC = b. Krahasoi gjatësitë e tyre dhe cakto si janë orientuar.

C

b

A

B

Krahasoi gjatësitë dhe cakto se si janë orientuar D

b

C

a

A

B

Brinjët e përballta te çdo paralelogram janë paralele dhe të barabarta.

vektorët a dhe b, përkatësisht vektorët c dhe d . Vëreva se: vektorët a dhe b kanë kahe të njëjtë dhe gjatësi të barabarta; vektorët c dhe d kanë kahe të kundërta dhe gjatësi të barabarta.

Vëre dhe mbaj mend ! Dy vektor a dhe b janë të barabartë nëse kanë kahe të njëjtë dhe gjatësi të barabarta, d.m.th. a = b nëse 1. a -- b dhe 2. | a | = | b |.

Dy vektor c dhe d janë me kahe të kundërta , nëse kanë kahe të kundërta dhe gjatësi të barabarta. Për vektorin d thuhet se është me kahe të kundërtë të vektorit c. Vektori i kundërtë i c shënohet me -c, d.m.th. d = -c. 2.

Vizato vektor MN të barabartë me vektorin e dhënë a = AB.

Sëpari do të vizatojsh vektor AB dhe do të shënojsh shënoj sh çfarëdo çfarë do pike M. Si do ta caktojsh pikën N për vektorin MN?

Nëpër pikën M do të tërheq gjysmëdrejtëz MD me kahe të njëjtë me gjysmëdrejtëzën AB. Te gjysmëdrejtëza MD do të caktoj pikë N ashtu që 01 = $% .


11

Vëreve se për vektorin e dhënë a mund të vizatojsh pa numër shumë vektor të barabartë me atë. Një vektor a është përcaktuar nëse është dhënë kahja e tij S dhe gjatësia | a | = r ose nëse është dhënë çifti i rregulluar rregullu ar i pikave (A, B) - fillimi i tij A dhe mbarimi i tij B. Vizato vektor a, nëse është dhënë kahja e tij S dhe gjatësia | a | = r.

3.

Vëreje mënyrën dhe krahasoe zgjidhjen tënde. F

r

P

Në vizatim vizati m është dhënë kahja kah ja S me gjysmëdrejtëzën gjysmëdrej tëzën AB dhe d he

F

gjatësinë r = 34 të vektorit a. Prej çfarëdo pike M konstruktojmë gjysmëdrejtëz MD me kahe të njëjtë me AB.

F

Te gjysmëdrejtëza MD caktojmë pikë N, ashtu që

01

S N

A a

= r.

4.

Është dhënë vektori AB = a dhe pika M. Vizato vektorin MN = -a .

5.

Sipas vizatimit cakto cili prej këtyre vektorëve janë të barabartë, përkatësisht të kundërtë: a) a dhe b ; ç) e dhe r ;

B

dhe c ;

d) g dhe h

c) b

dhe c;

e) c

6.

D

M

B

Me këtë është përcaktuar vektori MN = a .

b) a

Q

B

;

dhe n :

a

A

M b

a c

n

r

e

g

h

Është dhënë vektori AB = a dhe pika O. Konstrukto vektor OC të barabartë me vektorin AB. B

Shqyrto zgjidhjen dhe sqaro mënyrën. Në çfarë çfa rë mënyre mën yre e konstruk konstruktove tove sëpari gjysmëdrej gjysmëdrejtëzën tëzën OD?

F

Si e caktove pikën C të vektorit OC?

F

D

a

C

A O

a

Vëre dhe mbaj mend ! Nëse te rrafshi është dhënë dhën ë vektori AB = a dhe çfarëdo pikë O, atëherë ekziston vektor i vetëm OC me fillim në pikën O i cili është i barabartrë me vektorin a. Konstruktiminn e vektorit OC i barabartë me vektorin a , e quajmë bartja e vektorit a te pika O. Konstruktimi

12


7.

Zgjedh katër pika O, A, B dhe C. Te Te pika O barti vektorët AB dhe BC.

8.

Janë dhënë vektorët a dhe b .Te pika e mbarimit të vektorit a barte vektorin b . Shqyrto zgjidhjen dhe sqaro mënyrën.

F

Sëpari konstrukto gjysmëdrejtëzën gjysmëdrejtëzën BD me kahe si të b .

F

Si e caktove pikën C për vektorin BC të jetë i barabartë me b ?

B b

C

D

a b

A

Vëre dhe mbaj mend ! Për vektorin a dhe vektori i bartur b themi se janë të lidhur. Dy vektor janë të lidhur nëse mbarimi dhe fillimi i njërit vektor puthitet me fillimin e vektorit tjetër.


të sqar sqarojsh ojsh cil cilët ët dy vekt vektorë orë jan janëë të bara barabart bartë, ë, përkatësisht përkatësis ht të kundërtë; të bartish b artish vektor të dhënë d hënë te t e pika pi ka e dhënë dhe në vektor të dhënë të t ë lidhish lidhi sh vektor tjetër të t ë dhënë.

Vektori a lidhe për vektorin -b. B

Sqaro mënyrën. A

a

M

b

N

Detyra 1. Vizato dy vektor kolinear a dhe b dhe vektorin

4. janë dhënë çfarëdo dy pika A dhe B. Vektori

BA a është i kundërtë me vektorin AB? Sqaro!

a lidhe vektorin b.

2.

Vizato dy vektorë të kundërtë a dhe b dhe vektorit a lidhja vektorin b.

3. Vektorët e barabartë a janë kolinear? Sqaro!

5.

Zgjidh dy vektorë a = AB dhe b = CD. Vektorit a lidhja vektorin b .

pi ka O. Barti 6. Janë dhënë vektorët a, b, c dhe pika të tre vektorët vektorët te pika O.


13

4

MBLEDHJA E VEKTORËVE A

Kujtohu! Sqaroe mënyrën për bartjen e vektorit të dhënë

a

Barti vektorët

lidhja vektorin b. Sqaro mënyrën!

Konstrukto vektorin

F F

dhe pika O

a

dhe

b

b

O

ashtu që OA = a dhe a

AB = b.

c = OB.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen zgjidhj en e dhënë dhe mënyrën. F

a, b

a

te pika pi ka e dhënë O. Vektorit

Janë dhënë vektorët në rrafsh.

1.

B

c

b

O

Si e barte vektorin a = OA dhe vektorin b = AB? Si e caktove vektorin c = OB? Cila është pika e fillimit, kurse cila pika e mbarimit e vektorit c ?

b A

a

a

Çka paraqet pika O për vektorin a dhe pika B për vektorin b ? Vëre dhe mbaj mend se vektori i këtillë i konstruktuar kështu c quhet shumë e vektorëve

F

a

dhe

b

.

Kjo është rreg rregullë ullë e rëndësishme për mbledhjen e vektorëve Shuma e dy vektorëve të lidhur a dhe b paraqet vektorin c , fillimi i të cilit puthitet me fillimin e

vektorit a , kurse mbarimi puthitet me mbarimin e vektorit b , d.m.th. nëse a = OA dhe atëherë a + b = OB. Zgjedh tjetër pikë O e ndryshueshme nga O dhe barte vektorin a = O A vektori O B për vektorin a dhe b ? Krahasoi vektorët OB dhe O B . 1

1

1

1

1

1

dhe

b

b = AB ,

= A B . Çka paraqet 1

1

1

Vëre dhe përfundo! Vektori O1B1 = OB = c. Shuma e dy vektorëve është njëvlerësisht e caktuar dhe e pavarur nga zgjedhja e pikës së fillimit O.

2.

14

Vizato dy vektor jokolinear

a

dhe

b

dhe konstrukto shumën e tyre.


Si më lehtë do ta kryejsh mbledhjen e vektorëve vekto rëve a dhe b, pasi shuma e tyre nuk varet nga zgjedhja e pikës së fillimit O?

Do ta bart vet vektorin vektorin

a

b

, përkatësisht

do t'ia lidh vektorit b , kurse

pastaj do ta caktoj shumën e tyre. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. F

Emërtoi vektorët e dhënë me pikat e tyre të fillimit.

F

Si është konstruir vektori BC = b ? Çka paraqet vektori AC për vektorët a dhe

F

N

b b

?

C b

M

+

a

Vëreve se caktimi i shumës së dy vektorëve sillet në konstruktimin e trekëndëshit trekënd ëshit ABC. Për atë at ë themi, shuma e dy vektorëve vek torëve është caktuar c aktuar sipas rregullës së trekëndëshit.

=

A

Janë dhënë vektorët a,

3.

b

dhe

c

B

a

. Konstrukto shumën: a

b + c.

a + b;

b

c

c b

4.

a

janë dhënë vektorët koline kolinear ar AB = a ; CD = b dhe

A

EF = c. Konstrukto shumën: a) a + b ;

b) a + c ;

b

B

D

C

c

c) b + c

E

F D

shqyrtoe zgjidhjen nën a). AB = a ; BD = b dhe AD = a + b .

A

a

b B

Vëreve se si është zbatuar rregulla për mbledhjen e vektorëve. Sqaroe mënyrën. B

5.

Cakto shumën e zero vektorit 0 dhe vektorit a .

Vëreve se për shumën e vektorëve AA = 0 ; AB = a, sipas rregullës për mbledhjen mbledhjen e vektorëve vlen: vl en: 0 + a = AA + AB = AB = a . Gjithashtu:

a

+ 0 = AB + BB = AB = a .

Vlen edhe në përgjithësi Për çdo vektor

a

janë të sakta barazimet: 0 + a = a = a + 0 .

A

a

6.

Janë dhënë vektorët

a

dhe AA = 0 . Konstrukto vektorin 0 + a . Vektorët. Operacionet me vektorë

15

Vizato dy vektor të kundërtë

7.

Nëse

a

a

dhe - a , kurse pastaj cakto shumën e tyre.

= AB dhe - a = BA , atëherë sipas regullës për mbledhjen e vektorëve vijon:

+ (- a ) = AB + BA = AA = 0 . Gjithashtu: (- a ) + a = BA + AB = BB = 0 .

a

Vlen në përgjithësi Për çdo vektor a janë të sakta barazimet: 8.

Le të jenë dhënë dy vektor jokolinear vektorët a + b dhe b + a .

a

a

+ (- a ) = 0 = (- a ) + a . dhe

b

. Konstrukto shumat

a

+

b

dhe

+

b

. Krahasoi

a

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe vëreje mënyrën. F

D

Zgjedhim pikë A.Vektorin A.Vektorin a e bartim me fillim në pikën A dhe në të e lidhim vektorin b , d.m.th. AB = a BC = b; fitojmë: AC = a + b .

b

b

a

C

a +

b

a

a

b

b

+

a

F

E konstruktojmë paralelogramin ABCD, d.m.th. e caktojmë kulmin D.

F

Pasi te paralelogrami brinjët e përballta janë paralele dhe të barabarta, fitojmë: DC = AB = a , AD = BC = b .

F

Atëherë: AC = AD + DC = b + a , pra:

a

A

B

+b=b+a.

Vlen në përgjithësi Për çfarëdo dy vektor a dhe ka vetinë komutative.

b

është i saktë barazimi:

Sipas vizatimit, a mund të vë r ej sh më ny rë t j et ër pë r mbledhjen e vektorëve a dhe b

?

Vektorët (AB =

a

a

a

+ b = b + a , d.m.th.. mbledhja e vektorëve e

dhe

b

do t'i bart te fillimi i përbashkët

dhe AD =

b

), kurse pastaj do ta

konstruktoj paralelogramin ABCD. Vektorin që e përcakton diagonalja AC është shuma a +

Kjo rregullë për për mbledhjen e vektorëve quhet quhet rregulla e paralelogramit. 16


b

.

Vizato dy vektor jokolinear a dhe b dhe konstrukto shumën e tyre sipas rregullës së paralelogramit.

9.

a

C

D

a +

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë në vizatim dhe sqaroe mënyrën.

b

b

B

a

A

Është dhënë katërkëndëshi ABCD. Le të jetë AB = a , BC = b , CD = c dhe AD = d .

10.. 10

D

c d

Përpiqu të tregojsh se ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Vëre në vizatim se vektorët

a,b

dhe

c

a +

janë të lidhur.

F

Prej DACD mund të vërejsh se: AC + CD = AD, d.m.th. ( a + b ) + c = d .

F

Prej DABD vijon: AB + BD = AD, d.m.th.

F

a

b

b

b +

a

A

C

c

b B

+ ( b + c ) = d .

Prandaj, ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Vlen në përgjithësi Për çdo tre vektorë a , b dhe c është i saktë barazimi: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), d.m.th. për mbledhjen e vektorëve vlen vetia asociative. Prandaj, shuma e tre vektorëve mund të shkruhet edhe pa kllapa: a+b+c.

Vëre dhe mbaj mend Shuma e tre ose më shumë vektorëve vektorëve të lidhur fillimi i të cilit puthitet me fillimin e vektorit të parë, kurse mbarimi puthitet me mbarimin e vektorit të fundit fund it të lidhur.

Në vizatim viz atim është ësh të konstruktuar kons truktuar shuma e vektorëve a ,

b

,

c

dhe

d ,

d.m.th. a + b + c + d = e.

c

d

c

d

b a

b

e a

Vizato tre vektor jokolinear a, b dhe c, kurse pastaj konstrkto shumën e tyre.


17

Duhet ë dish: Kontro Kon trollo llohu hu!

të kon konstr strukt uktojs ojshh shum shumën ën e dy vekt vektorëv orëvee sip sipas as rregullës së trekëndëshit dhe të paralelogramit; t'i shprehish dhe t'i zbatojsh vetitë e mbledhjes së vektorëve vekt orëve..

Vizato dy vektorë a dhe b , ashtu që vektori i dhënë c të paraqet shumën e tyre. c

Detyra

1. Janë dhënë vektorët (si në vizatim)

3.

AB = a , CD = b dhe PP = 0.

AB =

B

A C

a

, BC = b , CD = c dhe DA = d . Sipas

vizatimit cakto shumën:

P

a

Është dhënë katërkëndëshi ABCD dhe vektorët

D

b

a) a +

b

;

c) a +

b

+

c

b) d +

a

;

ç) a +

b

+

c

; +

d .

D

c

Konstrukto me fillim në pikën e dhënë M, vektorët: a) - a ; b) - b ; c) a + b ; ç) a + 0;

2.

d) - b + 0;

e)

a

b

+ (- a ).

A

a

B

Është dhënë trekëndëshi ABC dhe vektorët AB = a , BC = b dhe CA = c. Cili prej këtyre barazimeve është i saktë?

a

A

b

=

c) a + c = a ;

Vizato tre vektor kolinear a ,

b

,

a

dhe c . Konstrukto shumat:

b

c

a) a +

4.

c

;

B

b)

c

, ashtu që

vektori b të ketë kahe të kundërtë nga vektorët

C

18

C

d

a

+

ç) a +

b b

=-c; +

c


= 0?

a) a +

b

;

b) a +

c

c) b +

c

;

ç) a +

b

; +

c

.

5

ZBRITJA E VEKTORËVE A

Kujtohu! Janë dhënë vektorët

a

dhe

b

Janë dhënë vektorët OA = a b

Konstrukto vektorin x ,

b

ashtu që b + x = a . a

B

c

A

, ashtu që

a

+

a

O

x

b

O

Vëreva se vektori x duhet të jetë i lidhur me vektorin e a , d.m.th. x = BA . F

b,

=

-

a

b

A

a

kurse mbarimi t'i puthitet me mbarimin

Vektori i këtillë i konstruktuar x quhet ndryshimi i vektorëve x

A

B

Shqyrto zgjidhjen (në vizatim) dhe sqaroe. Cila është pika e fillimit dhe cila e mbarimit e vektorit x ?

= c.

b

B

dhe OB = b .

.

C

Vizato vektor

1.

a

dhe

b ; ai shënohet me a

-

b , d.m.th.

.

Vëre dhe mbaj mend Ndryshimi i vektorëve vek torëve a dhe b paraqet vektorin x , ashtu që b + x = a , d.m.th. nëse b + x = a , atëherë x = a - b . Janë dhënë vektorët a dhe

2.

b

. b

Konstrukto vektorin c = a - b .

a

Shqyrto zgjidhjen dhe vëreje mënyrën. F

F

M c

Që ta konstruktojsh ndryshimin ndryshimin a - b duhet së pari vektorët a dhe b t'i sjellish te çfarëdo pikë e përbashkët, por më praktike është njërin prej vektorëve ta bartish në fillimin e vektorit tjetër. Nëse AB = a dhe AM = b, atëherë vektorin MB =

a

a

= a - b

b

A

a

B


19

- b e konstrukton sipas përfundimit:

-b.

a

Janë dhënë vektorët kolinear a , b dhe c. Konstrukto vektorin:

3.

a) m = a - b ;

b)

n

= b - c.

b c

Vëreje zgjidhjen dhe sqaroje. Sipas vizatimit: m

b

a) OB = a ; OA = b ; AB = m = a - b ;

O

A

a

B

b) OB = c ; OA = b ; BA = n = b - c . n

b O

4.

Vizato dy vektor c=a-b.

5.

a

dhe

b

c

A

ashtu që | a | = 5 cm, kurse | b | = 3 cm dhe konstrukto vektorin C

Sipas vizatimit cili prej këtyre barazimeve është i saktë: a) b + a = c ; b) c - b = a ; c)

B

c

=

a

-

b

;

B

ç)

c

-

a

=

b

b

?

A

a

c

B

Ti u njohe me vektorët, i njohe vetitë e tyre dhe disa operacione me ato. Në studimet e tua të mëtutjeshme të matemtikës, matemtikës, fizikës dhe shkencave tjera do ta vërejsh zbatimin e madh të tyre.

Nëse shënon se gjatësia e klasës është ësh të 10 m ose os e temperatura e ditës është ësh të +12 C, atëherë me këto të dhëna plotësisht janë përcaktuar gjatësia e klasës dhe temperatura. Madhësitë si kurse janë për shembull: gjatësia, syprina, vëllimi, masa, temperatura etj., plotësisht janë përcaktuar me numrat. Madhësitë e atilla quhen madhësi skalare ose skalarë. o

A është e mjaftueshme e dhëna nëse themi se era ka shpejtësi 20 km në orë?

6.

Nuk është e mjaftueshme e dhëna. Era karakteri karakteriszohet szohet edhe me kahen e saj e cila mund të jetë veriu, jugu, lindja etj. E natyrshme është madhësitë të cilat karakterizohen, përveç me vlerën e tij numerike, edhe me kahen e tij t'i quajmë madhësi vektoriale. Cilat madhësi i ke të njohura si madhësi vektoriale? 7.

20

Madhësi të atilla janë: shpejtësia, forca, nxitimi etj.

Uji në një lum rrjedh me shpejtësi 4 m në sekondë. Një bark niset nga një breg, normalisht n ormalisht në bregun tjetër, tjet ër, me shpejtësi personale prej 3 m në sekondë. cakto në cilën kahe do të lëviz barka dhe me çfarë shpejtësie. Tema 1. Vektorët. Translacioni

Mendo për zgjidhjen, kurse pastaj vëreje mënyrën që vijon. Me vektorin v (|v | = 3 m) është paraqit shpejtësia e lumit në ujin e qetë. Me vektorin v (|v | = 4 m) është paraqitur shpejtësia e lumit. Vektori v = v + v e paraqet shpejtësinë e lëvizjes së barkës.

F

1

F

2

F

v

v 2 +

v1 v

2

Kahja e vektorit vektorit

A

2

1

F

v2

1

lumi

është lëvizja e barkës, kurse gjatësia e

B

v2

paraqet sa metro në sekondë lëviz barka.

v

v1

v 1 =

Mat sa metro në sekondë lëviz barka.

F

Duhet të dish: Kont Ko ntro rollo llohu hu! !

ta shprehish përkufizimin dhe mënyrën për zbritjen e dy vektorëve; të konstrukton konstrukt on ndryshimin ndryshimi n e dy vektorëv vektorëve; e; të sqa sqaron ron cil cilat at jan janëë mad madhësi hësi skal skalare are dhe cil cilat at vektoriale.

Detyra 1. Janë dhënë vektorët AB = a; CD = b dhe

EF = c .

F

D

Vizato vektor a , kurse pastaj paraqite si ndryshim të dy vektorëv v ektorëve. e. Vizato dy vektor kolinear, kurse pastaj cakto ndryshimin e tyre.

3.

dhe

b a A

Konstrukto ndryshimin: a) a - b ; b) b c) 2.

a

-

c

c

B

;

ç) ( a -

c

C

E

b

)-

c

b

dhe

c

ashtu që a

janë vektor kolinear. c

b

Konstrukto vektorin ( a + b ) - c.

.

C

b

a D

A

Konstrukto vektorin: a) a - b ; b) a - 0 ; ;

,

;

MM = 0 .

a

b

a

a

Janë dhënë vektorët AB = a , CD = b dhe

c) 0 -

Janë dhënë vektorët

M

4.

Vizato drejtkëndëshin ABCD dhe vëndo AB = a , BC = b. Me vektorët a dhe a) AC AC;; b) B BD D.

b

shprehe vektorin

ç) ( a + b ) - 0. Vektorët. Operacionet me vektorë

21

TRANSLACIONI

6

TRANSLACIONI A

Kujt Ku jtoh ohu u!

a

1

C

1

CC të jenë të bara-

me vektorin AB = a. A Me çka është përcaktuar kahja e vektorit a ?

barabartë?

B

A

1

1

B

Cakto gjatësinë e vektorit a. Për cilët dy vektorë a dhe b themi se janë të

Në rrafsh është dhënë vektori a dhe

pikat A, B dhe C. a Caktoi pikat A , B dhe C , ashtu që vek torët AA1,BB dhe

Vektorin e paraqesim me segment të orientuar, kurse segmenti i orientuar, në vizatim, paraqitet paraqi tet me shigjetë. Në vizatim është paraqitur

1.

1

bartë me vektorin a . Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

a

A1 B

A

B1 C1

C

Vëren se pika A është zhvendosur (pasqyruar) për vektorin a te pika A , B në B dhe C në C . 1

1

1

Për pikën A themi se është pasqyrë e pikës A gjatë zhvendosjes, kurse kur se pika A është origjinali i pikës A . 1

1

Cila pikë është pasqyra e pikës B, kurse cila pikë është origjinali i pikës C ? 1

Çka paraqesin pikat A dhe A , përkatësisht B dhe B , përkatësisht C dhe C për vektorin a ? 1

1

1

Pika A është pika e fillimit, fillimit , kurse pasqyra A pika e mbarimit të vektorit a . Përkatësisht vlen edhe ed he për pikat B dhe B , përkatësisht C dhe C . 1

1

1

Vëreve se çdo pikë X nga rrafshi mund të zhvendoset (pasqyrohet), për vektor të dhënë a , vetëm në një pikë X . 1

Duhet të mbajsh mend Zhvendosja (pasqyrimi) në rrafsh, ku çdo pike M i përgjigjet pika M , ashtu që, vektori MM është i barabartë me vektorin e dhënë a , quhet translacion (ose zhvendosje paralele) për vektor a . 1

F

22

1

Vektori i dhënë a quhet vektor i translacionit. Translacion Translacionin in për vektor a simbolikisht e shkruajmë me t a . Tema 1. Vektorët. Translacioni

F

Për pikat përgjegjëse M dhe M themi: M është pasqyrë e M, kurse M është origjinali i M . Themi edhe se për pikën M kemi kemi krye translacion për për vektorin a . 1

1

1

t

F

Nëse M është pasqyra e M shkruajmë: M

2.

Janë dhënë vektorët a dhe b dhe pika M në rrafsh. Caktoi pikat t a (M) dhe t b (M).

a

1

M ose M = t a (M). 1

1

M a b

t a (M)

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Te pika M barti vektorët a dhe b .

F F

t b (M)

Mbarimi i vektorit të bartur a është pika t a (M).

a

M b

Si është përcaktuar pika t b (M)? Cilat translacione të pikës M janë krye? Sa translacione janë përcaktuar me një vektor a ?

Pikës M i janë krye translacionet t a dhe t b . Njëë vek to Nj torr a përcakton vetëm një translacion.

Vëreve se një translacion është përcaktuar me vektor a ose me një çift të pikave (M, t a (M)), d.m.th. M - origjinali i M = t a (M) - pasqyra e tij. 1

Mendo çfarë translacion translacionii përcakton zero vektori.

Pika e fillimit të zero vektorit puthitet me pikën e mbarimit. Vijon se translacioni për vektorin 0 , çdo pikë M e pasqyron në vetvet vet vete. e.

Translacioni për vektor 0 quhet translacioni identik .


të sqarojsh çka çk a është translacioni translac ioni me çka është përcaktuar një translacion të ca cakt ktos os h pa pasq sqyr yrën ën e pi kë këss së dh dhën ënëë gj at atëë translacionit translac ionit për p ër vektor të dhënë a .

Cakto pikë A, nëse është dhënë pasqyra e tij A = t a (A) gjatë translacionit për vektor a . 1

a

t a (A)

Translacioni

23

Detyra

2.

1. Janë dhënë vektori a dhe pikat A, B dhe C.

A

Është dhënë çifti i rregulluar i pikave (A, t(A)).

t(A)

Konstrukto vektorin a të translacionit t.

B a

A

C

3.

Kryej translacion të pikave A, B dhe C për vektorinn a . vektori

7

Për pikën e dhënë M kryeje translacionin t të dhënë me çiftin e rregulluar të pikave (A, t(A)).

A t(A) M

VETITË E TRANSLACIONIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Sqaro çfarë zhvendosje në rrafsh është translacioni. translacio ni. Me çka është përcaktuar një translacion? Për cilat dy figura F dhe F thuhet se janë të puthitshme? 1

Është dhënë vektori a dhe pikat e ndryshme A, B dhe C .

1.

1

Caktoi pikat A = t a (A) dhe B = t a (B).

C1

a

1

2

A

1

B

Mendo pikat A dhe B a mund të puthiten gjatë ndonjë translacioni. 1

1

Cakto pikë C ashtu që pika C të jetë pasqyra e saj gjatë translacionit për vektor a . Çdo pikë e rrafshit a mund të jetë pasqyrë e ndonjë pike gjatë translacionit për vektor a ? 1

A1

Shqyrtoe zgjidhjen dhe vëre: F

Pasi AA = a , BB = a edhe pikat A dhe B janë të ndryshme, atëherë edhe pikat A dhe B janë të ndryshme. 1

1

1

A

Për pikën e zgjedhur C , mund të konstruktojsh vektor CC = a , F d.m.th. të caktojsh pikë C ashtu që C të jetë pasqyra e saj gjatë translacionitt t a . translacioni Vëreve se çdo translacion e ka këtë veti. 1

C1

a

1

B

C

1

B1

1

F

2.

Pikat e ndryshme A dhe B gjatë translacionit për vektor a kanë pasqyra të ndryshme dhe çdo pikë C nga rrafshi është pasqyrë e ndonjë pike gjatë translacionit t a .

1

Është dhënë segmenti AB dhe vektori a (në vizatim). Caktoi pikat A = t a (A) dhe B = t a (B). 1

1

Trego se segmenti A B është paralel dhe i barabartë me segmentin AB. 1

24

1


a

A

B

Trego se segmenti A B është pasqyra e segmentit AB gjatë translacio translacionit nit t a . 1

1

A1

Shqyrto zgjidhjen dhe vëreje mënyrën. F

1

F

1

1

1

1

1

F

1

Pasi AA = a = BB , vijon se katërkëndëshi ABB A ka dy brinjë të përballta (AA dhe BB ) paralele dhe të barabarta, pra katërkëndëshi ABB A është paralelogram. 1

B1

a

Pikat A, B dhe pasqyrat e tyre A , B , të fituara me translacion t a , formojnë katërkëndësh ABB A . 1

X1

A

1

X

B

1

1

Nëse X është çfarëdo ç farëdo pike nga ng a segmenti segment i AB, atëherë atëhe rë X = t a (X) është pikë nga segmenti A B . (Pse?) Anasjelltas: për çfarëdo pikë X nga segmenti A B ka pikë X të segmentit AB, ashtu që t a (X) = X . Prandaj, segmenti A B është pasqyra e segmentit AB. 1

1

1

1

1

1

1

1

1

E vëreve këtë veti. F

Gjatë çdo translacioni segmenti zhvendoset (pasqyrohet) në një segment të barabartë dhe paralel me atë, d.m.th. nëse t (A) = A 1 dhe t (B) = B , atëherë $% = $ % dhe AB || A B . a

1

a

1

1

Vëreve se gjatë translacionit largësia ndërmjet pikave nuk ndryshon. Nëse në vend të segmenti segmentitt AB, vizaton drejtëz AB, atëherë në çka do të pasqyrohet drejtëza drejtëza AB me translacionin t ? a

A 1

Drejtëza AB do të pasqyrohet në drejtëz A B paralele me të.

B1

1

A a

AB || A1B1

B

1

Në përgjithë për gjithësi si vlen v len vetia: F

Gjatë çdo translacioni drejtëza drejtëza zhvendoset (pasqyrohet) (pasqyrohet) në drejtëz paralele paralele me të.

3.

Vizato segment AB, drejtëz CD dhe vektor a . Kryej translacionin e segemntit segemntit AB edhe të drejtëzës drejtëzës CD për vektor a .

4.

Vizato drejtëz AB dhe kryej translacion të drejtëzës AB për vektor a = AB . Në çka pasqyrohet drejtëza drejt ëza AB?? AB

5.

Është dhënë trekëndëshi ABC dhe vektori a .

C

Kryej translacion për vektor a të kulmeve A, B dhe C. Le të jetë j etë t a (A) = A dhe t a (B) = B dhe t a (C) = C . 1

Trego se D ABC @ D A1B1C1.

1

a

B

1

A Translacioni

25

Në vizatim është paraqitur translacioni tra nslacioni për vektor a të DABC.

a

Zbatoje vetinë e translacionit të segmentit dhe indicit BBB për puthitshmërinë e trekëndëshave. Me këtë do të tregojsh se DAB C @ DA B C . 1

1

C

Sipas vizatimit, mund të paraqitet se DABC është zhvendosur (i pasqyruar) për vektor a dhe puthitet me DA B C . Për DA B C themi se është ësht ë pasqyra e DABC gjatë translacionit t a . 1

1

1

1

X1

X

1

1

C1 B1

B A

A1

1

Domethënë, pasqyra e trekëndëshit të dhënë gjatë translacionit është trekëndësh, i puthitshëm me trekëndëshi trekë ndëshinn e dhënë. Në përgjithësi, dy figura F dhe F janë të puthitshëm nëse ekziston pasqyrim f : F ® F , ashtu që çdo pikë nga F është pasqyrë e të paktës një pike nga F dhe për çdo dy pika A, B Î F dhe f (A) (A) = A , 1

1

1

1

(B) = B1, vlen f (B)

%$

%$.

Vlen edhe kjo veti. F

Gjatë translacionit për vektor a çdo figurë F pasqyrohet në figurë F që është e puthitshme me atë. 1

Vëreve se translacioni për vektorin e kundërtë - a , çdo pikë X nga figura F e ,,kthen" në pozitën paraprake X, d.m. d.m.th. th. figur figuraa F ësht ështëë pasqyr pa sqyrëë e figurës figurës F gja gjatë të tra trans nslac lacionit ionit t a . 1

1

1

-

Translaconi për vektorin - a (i kundërtë i a ), paraqet translacion inverz të translacionit për vektor a .

Duhet të dish: t'i shprehish dhe sqarojsh vetitë e translacion translacionit it për vektor a ; t'i zbatojsh vetitë e translacionit translacioni t te detyrat.

Detyra 1.

Vizato segment AB dhe pastaj kryej translacionin të AB për: a) vektorin e dhënë a ; b) vektor a = BA .

2. Vizato drejtëz p dhe vektor a .

Kryej translacionin e drejtëzës p për vektorin a .

Kont Ko ntro rollo llohu hu! !

Vizato segment AB dhe në të kryej translacion për vektorin a = AB.

3. Vizato kënd AOB dhe vektor a .

Kryej translacionin e këndit AOB për vektorin a . 4. Është dhënë vija rrethore k me qendër O dhe

rreze r dhe vektor a , me | a | = 2r. Kryej translacionin translaci onin e vijës vi jës rrethore k për vektorin a . 5. Është dhënë

DABC dhe vektori a . Kryej

translacionin translac ionin e trekëndëshit trekëndëshi t ABC për: a) vektorin - a ; b) vektorin c = AB .

26


8

ZBATIMI I TRANSLACIONIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

Me ndihmën e translacionit vërtetohen shumë teorema gjeometrike dhe zgjidhen detyra. Si zbatohet translacioni - vëre në shembujt që vijojnë.

A

Në çfarë figure, gjatë translacionit, pasqyrohet: a) pika; b) segmenti; c) gjysmëdrejtëza gjysmëdrejtëza;; ç) drejtëza; d) këndi; e) vija rrethore; f) trek trekëndës ëndëshi; hi; g) dy dre drejtëz jtëzaa që prit priten en?

1.

Vërteto se:

a) dy kënde me krahë me kahe të njëjtë janë të barabartë;

Vizato kënd AOB dhe vektor a . Kryej translacionin e RAOB për vektorin a . Si janë sipas madhësisë RAOB dhe pasqyra e tij RA O B ? 1

1

b) dy kënde me krahë me kahe të kundërtë janë të barabarta;

1

c) dy kënde, ashtu që njëri çift i krahëve janë me kahe të njëjtë, kurse çifti tjetër me kahe të kundërtë, janë suplementar.

Shqyrtoe vizatimin dhe vëre mënyrën gjatë vërtetimit. b)

a) B1

B

B a

O

c)

B2

A1

A1

O1

B

OA -- O1 A1 OB -- O1B1

O1

a

B1

O

A

B1

A2

A

A1 O

OA -¯ O1 A1 OB -¯ O1B1

O1 A

OA -¯ O1 A1 OB -- O1B1

Zbato vetinë: gjatë translacionit, transla cionit, një figurë pasqyrohet në figurë të puthitshme me të, pra këndi pasqyrohet në kënd të barabartë (puthitshëm) me të. a) Le të jetë OO = a . Gjatë translacionit për vektor a këndi AOB zhvendoset në kënd kënd A O B , d.m.th. F t a (RAOB) = RA O B . Prandaj RAOB =RA O B . 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

b) Le të jetë OO = a . Gjatë translacionit për vektor a , RAOB zhvendoset në kënd A O B , d.m.th. F t a (RAOB) = RA O B . Prandaj RAOB = RA O B . 1

2

2

Vëreve se F

RA 2O1B2

1

2

2

1

1

2

2

= RA O B si kënde kryqëzore. Mund të përfundojsh se RAOB = RA O B . 1

1

1

1

1

1

Në mënyrë mën yrë të ngjashm n gjashmee vërteto vër teto pohimi pohiminn c) c ). Translacioni

27

2.

Me zbatimin e translacionit vërteto se shuma e këndeve të brendshme te trekëndëshi t rekëndëshi është 180 . o

b g a C g 1

Vëre mënyrën dhe vepro sipas kërkesave. F

Le të jetë AC = a dh dhee BC = b .

a

F

Për këndin a kryej translacion për vektorin a , d.m.th. t a (a) = a .

a

1

2

1

1

b

b

A

1

B

F

Si janë këndet a dhe a sipas madhësisë?

F

Për këndin b kryej translacio translacionn për vektorin b , d.m.th. t b (b) = b .

F

Si janë këndet b dhe b sipas madhësisë?

F

Kulmet e këndeve a dhe b janë zhvendosur në kulmin C. Sqaro, në çka janë pasqyruar krahët e këndeve a dhe b.

3

1

4

1

5

1

6

F 7

Psee g = g 1? Ps

F 8

Pse a1 + b1 + g1 = 180o?

F 9

Sqaro, pse a + b + g = 180o.

q

Janë dhënë drejtëzat p, q dhe vektori a . Te Te drejtëza drej tëza q konstrukto pikë M e cila është pasqyrë e ndonjë pike M nga drejtëza p gjatë translacionit t a .

3.

a

1

p

Analiza e zgjidhjes Supozo se detyra është zgjidhur (shiko vizatimin). Prej analizës shqyrto supozimin për konstruksionin e pikave M dhe M . 1

M1

q a a

F

Le të jetë M pasqyra e pikës M gjatë t a .

F

MM 1 = a . Pse?

F

Drejtëza p është pasqyra e p gjatë t

F

Pikën M mundesh ta konstruktojsh si pikëprerje të p dhe p .

F

Pikën M mundesh ta konstruktojsh si pasqyrë të pikës M gjatë translacionit për vektorin - a.

1

2

3

4

5

28

p 1

1

M

1

a

.

1

1

1


p

Konstruksi Konst ruksioni oni q p 1

Zgjedh pika A dhe B të p dhe konstrukto drejtëzën

F p 1

=

1

t

a

( p p). ).

F F

M

3

A1

1

a B 1

-a

p

M është pikëprerja e q dhe p .

2

M1

M

A

B

1

t- a (M1).

=

Duhet të dish: të kryejsh analizën anal izën e detyrës së dhënë dhe të vlerësojsh vlerës ojsh me zbatimin e translacio tra nslacionit nit a mund ta zgjidhish. zgji dhish.

Kontro Kon trolloh llohu u!

B

k

Është dhënë drejtëza AB, vija rrethore k dhe vektori a . Te drejtëza AB konstrukto pikë e cila pasqyrohet te vija rrethore k gjatë translacionit për vektor a .

A

O a

Sa pika të atilla mund të ketë drejtëza AB?

Detyra 1.

Janë dhënë drejtëzat p, q dhe segmenti AB. q

2. Konstrukto vijë rrethore që kalon nëpër pikën e

dhënë M dhe takon dy drejtëza paralele p dhe q.

A B

q p

M p

Konstrukto segment MN paralel dhe të barabartë me AB, pika e skajshme të të cilit shtrihen te drejtëzat e dhëna p dhe q. Translacioni

29

MËSOVE PËR VEKTORËT DHE TRANSLACIONIN. KONTROLLOJE NJOHURINË TËNDE

1.

Për cilat dy gjysmëdrejtëza themi se janë me kahe të njëjtë?

2.

Është dhënë gjysmëdrejtëza OA. a) Vizato Vizato gjysmëdrejtëz O A me kahe të 1

7.

Vizato dy vektor a dh dhee b , kurse pastaj konstrukto: a) vektorin c = a + b ; b) vektorin c = a - b .

8.

Janë dhënë vektorët a, b dhe MM = 0. Me fillim në pikën e dhënë A konstrukto konstrukto vektorin:

1

njëjtë me gjysmëdrejtëzën OA. b) Vizato gjysmëdrejtëz O A me kahe të kundërtë me gjysmëdrejtëzën OA. 2

3.

2

Për cilët dy vektor themi se janë kolinear?

a) -a + 0;

9.

b) 0 - b.

Janë dhënë pika A dhe pika A , që është 1

pasqyra e pikës A gjatë translacionit t për vektorin vektor in a. Cakto vektorin a të translacionit t . 4. Me fillim në pikën e dhënë A konstrukto vektor vektor

AB, ashtu që të ketë kahe të dhënë S dhe |AB| = 3 cm.

5.

Janë dhënë vektorët AB, CD dhe pika M. Konstrukto vektor:

10.. 10

Është dhënë segmenti AB dhe vektori a = AB. Kryej translacion t të segmentit AB për vektorin - a.

11.. 11

Janë dhënë vijat rrethore k (O, (O, r), k (O , r ) dhe drejtëza p. Konstrukto drejtëz q paralele me p, ashtu që ajo gjatë prerjes së vijave rrethore formon korda të barabarta.

12.. 12

Janë dhënë dy vija rrethore k dhe k që priten. Nëpër njërën pikëprerje pikëprerj e tërhiq drejtëz p, ashtu që kordat e vijave rrethore të cilat i takojnë p janë të barabarta.

a) MN të barabartë me AB. b) MD të kundërtë meCD.

6.

Vizato dy vektor të kundërtë a dhe b, kurse pastaj vektorin a lidhe me vektorinn b. vektori

30


1

1

2

1

1

TEMA 2.

FUQIA. RRËNJA RRËNJA KATRORE KATRORE

FUQIA ME TREGUES NUMËR NATYROR 1. Fuqia

32

KATRORI DHE RRËNJA KATRORE E NUMRIT RACIONAL 5. Katrori i numrit. Rrënja katrore

2. Paraqitja e numrit nëformë të fuqisë. Njehsimi i shprehjes numerike

35

45

6. Njehsimi i rrënjës katrore nuk është e obligueshme

49

OPERACIONET ME FUQI NUMRAT REALË

3. Shumëzimi dhe pjesëtimi i fuqive me baza të barabarta 4. Fuqizimi i fuqisë, prodhimit dhe herësit

39

7. Numrat iracionalë

52

42

8. Bashkësia e numrave realë

54

Kontrollo njohurinë tënde

56

Me fat 22 + 3

× 4-



ditëlindje

Fuqia me tregues numër natyror

31

FUQIA ME TREGU TREGUES ES NUMËR NA N ATYROR 1 FUQIA Kujt Ku jtoh ohu u! Shuma prej mbledhësave të njëjtë shkruhet si prodhim. 3 + 3 + 3 + 3 = 4 × 3 Shkruaj këto shuma si prodhime: prodhime:

Ameba është organizëm njëqelizore. Ajo shumohet me ndarje të thjeshtë në dy ameba të reja.

A

1.

36+36=

Një rreth i ngjyrosur le l e të paraqet një amebë

Vëre numrin e amebave që fitohet gjatë shumimit të një ameb amebee.

120+120+120+120= Prodhimi prej shumëzuesëve të njëjtë shkurtimisht shkruhet si fuqi si fuqi.. 6 × 6 × 6 = 63

Ndarja e parë 2=2

Shkruaj këto prodhime si fuqi: fuqi:

Ndarja e dytë 2 × 2 = 22 = 4

2 ×2 × 2 ×2 = Ndarja e tretë

18 ×18 =

2 × 2 × 2= 23 = 8 Shkruaj si prodhim të shumëzuesëve të barabartë ndarjen e katërtë të amebës. Shkruaje si fuqi ndarjen e katërtë të amebës. Sa është numri i amebave pas ndarjes së katërtë? Prodhimi 2 × 2 × 2 × 2 shkurtimisht shkruhet 24 (lexohet ,,dy në të katërtën"), kurse vlera numerike e tij është 16. 16.

Domethënë, fuqia 24 është shënimi i shkurtër i prodhimit prej 4 shumëzuesëve, të barabartë me numrin 2.

Në përg përgjithësi jithësi Prodhimi prej n shumëzuesëve të barabartë me numrin a shënohet me an dhe quhet fuqia e a, d.m.th. n D  D  D    D  = a . Me marrëveshje: a1 = a. 2.

32

Shkruaje si fuqi prodhimin: prodhimin: (- 3,2) × (- 3,2) × (- 3,2);

Tema 2. Fuqia. Rrënja katrore

Fuqia

F

a

nE

Lexohet: Lexoje fuqinë fuqinë:: 7 12 .

E a

në en.

Eksponenti, treguesi i fuqisë Baza e fuqisë

Fuqinë 34 shkruaje si prodhim dhe njehso vlerën e tij. Operacioni me të cilën njehsohet vlera numerike e fuqisë të ndonjë numri quhet fuqizim.

B

3.

Vërej shembujtë ku është krye fuqizimi. fuqizimi.

F

F

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = (3 × 3) × (3 × 3) = 9 × 9 = 81 3 × (3 × 3 × 3)= 3 × 27 = 81

ose

(- 4)2 = (- 4) × (- 4) = 16 (- 4)3 = (- 4) × (- 4) × (- 4) = 16 × (- 4) = - 64

§ · § · § · § · § · ¨ ¸ =¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ = © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ 

= F

Shfrytëzoe vetinë asociative ashtu si është më e përshtatshme.





×

Vëreje shenjën e bazës dhe shenjën e vll er ë s së f u q i s ë, p o r v eç a n ër i s h t v eksponenti a është numër çift ose numër tek.



=





17 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Sa është vlera e fuqisë me bazë 1, kurse sa është vlera e fuqisë me bazë (- 1)?

(- 1)3 = (- 1) × (- 1) × (- 1) = - 1 (- 1)6 = (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) × (- 1) = 1

F

06 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 



Vlera e fuqisë me bazë 0, a varet prej eksponentit?

         









Njehso vlerën vl erën e çdo fuqie: fuqi e: (1,2) 3 =

;(- 5) 4 =

;(-3) 3 =

§ · ¸ = ©¹

; ¨

; 0 18 =

; 1 6=

;71 =

.

Tabela që vijon do të ndihmon të vlerësojsh çfarë numri është vlera e fuqisë varësisht prej bazës dhe ekesponentit të fuqisë. Baza e fuqisë Numër pozitiv 1

Eksponenti cilido numër natyror

0 Numër negativ Cilido numër

Vlera e fuqisë Numër pozitiv 1

Numër çift

0 Numër pozitiv

Numër tek

Numër negativ

1

Vetë ai numër


33

4.

Duke i shfrytëzuar rregullat nga tabela cakto çfarë numri do të jetë vlera e çdo fuqie: 6 3;

§ · ¨ ¸ ; ©¹

(- 6) 3 ;

§ · ¨ ¸ ; © ¹

(- 0,23)1 ;

2 60 ;

1 10 3;

0 20 .

Vëre, vlera numerike e fuqisë (- 2)3, është njehsuar me kalkulator:

5.

x -2 y 3 =

-2

6 1;

×

Nëse kalkulatori ka y x tastatura.

-8

=

4

=

-8

ose x y

Nëse kalkulatori nuk ka y x te tastatura.

te

ose x y

Me kalkulator njehso: njehso: 33 =

;

0,5 10 =

;

(- 1,2) 4 =

;

(-136)3 =

Duhet të dish: çka është fuqia, baza dhe eksponenti i fuqisë (treguesi i fuqisë); të caktojsh caktoj sh vlerën numerike nu merike të fuqisë; fuqi së; ta vlerësojsh vlerëso jsh vlerën numerike nu merike të fuqisë. fuqi së.

; 152 =

.


Cakto çka është e saktë për fuqinë a n: a) a është eksponent, kurse n është baza e fuqisë; b) n tregon sa herë numri a është marrë për shumëzues; c) vlera e a n është numër pozitiv nëse a < 0 dhe n është numër tek Pohimet që për a n nuk janë të sakta, korrigjoi dhe shënoi.

Përpiqu të përgjigjes përgjigjesh h: Shprehja - 4 x6 nuk është fuqi, kurse shprehja (- 4 x x))6 është fuqi. Pse? Shkruaje çdonjërën prej shprehjeve si prodhim. Vëre ndryshimin ndërmjet shënimeve.

Problemi me algjet

Në një gotë ka algje. Algjet janë të atilla që për një ditë numri i tyre zmadhohet dy herë. Kanë qenë të nevojshme 10 ditë që gota të mbushet me algje. Për sa ditë gota ka qenë gjysmë e mbushur me algje? Sqaroe përgjigjen

34


Detyra fuqi: 1. Cakto bazën dhe eksponentin për çdo fuqi: x + 1 63; 36; 4,267; (3 p p))m; (- x x + 4) p; (- p (- p8)4; 2

(

3. Shkruaj si prodhim fuqitë:

) ;0

64 =

(- x ( x + 3)3=

;

. (- 2)4 =

§· ¨ ¸ = ©  ¹

2. Shkruaj si fuqi prodhimet:

(- 2,5) × (- 2,5) =

;

x × x × x × x × x × x =

;

4.

(a + b) × (a + b) × (a + b) = 6×6×6×6×6=

§ · § · ¨ ¸ × ¨ ¸ × © ¹ © ¹

( x x + 6) × ( x x + 6) =

2

;

§ ¨ ©

;

 

· ¸ = ¹

(m3)4 =

;

; .

Njehso vlerën vl erën e çdo fuqie: fuqi e:

(- 2)5 =

;

§ · ¨ ¸ = ©¹

(- 5)2 =

;

(- 0,6 )7 =

;

§ · ¨ ¸ = © ¹

;

20

;

; ;

Provoje rezultatin tënd me kalkulator.

.

PARAQITJA E NUMRIT NË FORMË TË FUQISË. NJEHSIMI I VLERËS NUMERIKE TË SHPREHJES

Kujtohu! Prodhimin 10×10×10, shkruaje si fuqi 103.

A

1.

Te tabela disa njëshe dekade dekad e janë shkruar si prodhim prej shumëzuesëve të njëjtë dhe si fuqi me bazë 10.

Cakto bazën dhe eksponentin e fuqisë 103.

Njës he Njëshe dekade

Shkruaje fuqinë 106 si prodhim të shumëzuesëve të barabartë baraba rtë dyshifrorë.

100 10 00 000 0

10 × 10 10 × 10 × 10 × 10

102 104

100 000

10 × 10 × 10 × 10 × 10

105

1 000 000

Krahasoi: numrin e zerove te çdo njëshe dekade, numrin e shumëzuesëve te prodhimi dhe eksponentin te shënimi si fuqi.

Prodhimi

10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Fuqia

106

Vëreva se numri i zerove te njëshja dekade është e barabartë me treguesin te shënimi sh ënimi i saj në formë for më të fuqisë me bazë 10.


35

2.

Shkruaj në formë të fuqisë numrat që hasen te çdonjëra prej fjalive: Masa e Neptunit është përafërsisht        

Masa e Hënës është përafërsisht        

kilogramë.. kilogramë

kilogramë.

Masa e Diellit është përafërsisht dhjetë milion herë më e madhe se masa e Hënës. Shkruaje masën e Diellit në formë të fuqisë. Unë kam 107 herë masë më të madhe

3.

Shkruaj si prodhim fuqitë: 109; 1011; 1010. Shkruaje njëshen dekade që është e barabartë me fuqinë 107.

Numrat të cilët mund të shkruhen si prodhim të numrit dhe njëshes dekade, mund të shkruhen edhe si prodhim prej numrit dhe fuqisë me bazë 10. Për shembull: shembull : 265 000 000 = 265 × 1 000 000 = 265 × 10 6. 4.

Shpejtësia e dritës është 300 000 kilometra në sekondë. Shkruaje shpejtësinë e dritës si prodhim prej numrit dhe fuqisë me bazë 10. Rrugën që e kalon drita për një vit quhet viti i dritës. Sa kilometra ka një vit i dritës?

Kujt Ku jtoh ohu u! 1 vit = 365 ditë; 1 ditë = 24 orë; 1 orë = 60 minuta; 1 minutë =60 sekonda;

Shkruaje vitin e dritës si prodhim të dy numrave prej të cilëve njëri është ësh të fuqi me bazë 10 dhe tregues 8.

1 vit drite = 300 000 × 365 × 24 × 60 × 60 =

Deri më tani vëreve se numrat e mëdhenjë mund të shkruhen si prodhim të dy numrave, prej të cilëve njëri është fuqi me bazë 10. Në mënyrë të ngjashme, numrat e vegjël v egjël mund të shkruhen si fuqi me bazë 0,1 0, 1 ose prodhit prodh it të numrit dhe fuqisë me bazë 0,1.

B

36

5.

Te tabela vëre numrat dhjetorë që janë shkruar si prodhim të shumëzuesëve të barabartë dhe si fuqi me bazë 0,1.


Numër

Shënimi si prodhim

Fuqia

0,01 0, 001

0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1

0,12 0,13

0,0001

0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1

0,14

0,00001

0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1

0,15

Krahasoe numrin e vendeve dhjetore pas presjes dhjetore te numri, me eksponent te shënimi i numrit si fuqi.

6.

Vëreva se eksponenti te shënimi si fuqi është i barabartë me numrin e vendeve dhjetore pas presjes dhjetore te numri.

Shkruaje si fuqi me bazë 0,1 numrat: 0,0000000001 dhe 0,0000001. ; 0,19 =

0,11 =

Fuqinë me bazë 0,1 shkruaje si numër dhjetor:

.

Çdo numër dhjetor mund të shkruhet si prodhim prej dy shumëzuesëve ashtu që njëri është fuqi prej 0,1.

7.

Vëre shembullin shembullin::

0,007 = 7 × 0,001 = 7 × (0,1 × 0,1 × 0,1) = 7 × 0,13

Shkruaje si prodhim të numrit të plotë dhe fuqi me bazë 0,1 këto numra: 0,3 =

;

0,0008 =

;

Kujt Ku jtoh ohu u!

0,000362 =

C Por, sëpari Por, te kllapat.

Pik at Pikat shkojnë para vizave .

8.

Nj eh so :

· §   ¸ - 2 = ¹ ©

3 + ¨

;

1,05 =

.

Operacioni fuqizim është operacion i rendit të tretë.

Vëre njehsimin e vlerës numerike të shprehjes (816-6):(-3) 4 - 6 3: 8) × 2.

.

Rendi i operacionit

Shprehja numerike ( 8 1 6 - 6 ) : ( - 3 )4- ( 6 3: 8 ) × 2

Kllapa

810 : (-3)4 - (63 : 8) × 2 =

Rendi i tretë

= 810 : 81 - (216 : 8) × 2 =

Rendi i dytë

= 10 - 27 × 2 =

Rendi i parë

= 10 - 54 =

Rezultati

- 44

Unë jam i rendit të tretë, por në vendin vendin e parë.

a 1

n +

2


-

3 37

Gjatë njehsimit të vlerës numerike të shprehjes, operacioni fuqizim kryhet para operacioneve operaci oneve të rendit të dytë (shumëzim dhe pjesëtim), kurse në fund janë operacionet të rendit të parë (mbledhje dhe zbritje). Kuptohet, duhet pasur kujdes te kllapat.

Cakto vlerën numerike të shprehjes: § · b) 32× ¨ ¸ ©¹

a) 620+3 ×5 2 -147:(- 7) 2 = ;

§· ¸ +20:(- 1) 12 3 = ©¹

-16: ¨

.


Duhet të dish: të shkruaj shkruajsh sh numra n umra të mëdhenjë dhe të vegjël në formë të fuqisë; ta zbatojsh zbatojsh renditjen e operacioneve gjatë njehsimit të vlerës vler ës numerike numeri ke të shprehjes shprehjes..

Syprinën e Tokës, e cila përafërsisht është 510 000 000 km , shkruaje si prodhim të dy shumëzuesëve prej të cilëve njëri është fuqi me bazë 10. Shkruaje renditjen sipas të cilës kryhen operacionet mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim te shprehja numerike. nu merike. 2

Detyra 1. Shkruaj si prodhim prej dy shumëzuesëve, ashtu

3. Cakto vlerën numerike të shprehjes:

që njëri të jetë fuqi i numrit 10 (ose anasjelltas) numrat që hasen te çdonjëra prej fjalive:

(16 - 13)2 : 3 =

Masa e Jupiterit është përafërsisht

 

      

;

tonelata.

Marsi ka përafërsisht 6,4 ×10 20 ton tonela elata ta. Te trupi i njeriut nj eriut ka përafërsisht 15 0 , 1 × 1 0 qeliza . 2. Nj eh so :

38

 =  

;

435 × 104 =

;

26783 × 102 =

6,9 × 102 =

;

0,45 × 103 =

15 × 0,13 =

;

0,392 × 0,12 =

;

.





   

   

=

;

.

Vëreje shprehjen numerike 6:3+3×3 2. Ku duhet të shkruhen kllapat ashtu që të jetë saktë vlera e saj numerike n umerike? 6 : 3 + 3 × 32 = 45; 6 : 3 + 3 × 32 = 9; 6 : 3 + 3 × 32 = 29.

;

Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

4.

43 + 4 × (8 : 23) =

OPERACIONET ME FUQI SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI PJE SËTIMI I FUQIVE FUQI VE ME BAZA TË BARABARTA BARABARTA

3

A

Kujtohu! n

 D  D    D



Shqyrtoe tabelën për shumëzimin e fuqive.

Shumëzimi i fuqive

Fuqia a në formë të prodhimit shkruhet ; D

1.

Prodhimi i fuqive

Shënimi i fuqive si prodhim

a1 = a.

Paraqiti si prodhim të shumëzuesëve të barabartë këto fuqi: 7 3=

;(-2) 2 =

.

Vëre se gjatë shumëzimit të dy fuqive me baza të barabarta: baza e rezultatit është e njëjtë sikurse shumëzuesët; F treguesi i fuqisë fuq isë së rezultat rezultatit it është ësh të shumë shu më e treguesëve t reguesëve të shumëzuesëve. shu mëzuesëve. F

Cili është treguesi i fuqisë që mungon te rasti i fundit të dhëna në tabelë? Prodhimi i fuqive me baza të barabarta është fuqi me bazën e njëjtë sikurse bazat e shumëzuesëve dhe tregues të barabartë me shumën e treguesëve të shumëzu shumëzuesëve. esëve. 2.

Caktoi prodhimet : a 4 × a 5 ; ( - 2) 7 Shkruaje rezultatin e shumëzimit të fuqive: x5 × x6 =

3.

; ( - k ) p × (- k )m =

( x 2 × x x 4) × x x 3 . ( x 2 × x x 4 ) × x x 3 = ( x 2+ 4 ) × x x 3 = x 6 x 3 = x 6 + 3 = x 9

Paraqiti në formë të fuqisë këto prodhime: .

m

a

× (- 2) 2 ;

n

×a

=

m + n

a

( a - 3) × ( a - 3) 6 .

.

Vëre se si është njehsuar prodhimi

b3 × (b7 × b2) =

Mbahet lehtë në mend:

×

Edhe kjo është e lehtë, bazën e përshkruajmë, kurse treguesët e fuqive i mbledh. a m × a n × a p a m n + p

§· §· §· §· × × × ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ = ¨ ¸ ©¹ ©¹ ©¹ ©¹

=

+

.

Operacionet me fuqi

39

Zbërtheje fuqinë 6 në tre shumëzuesë. Vëre se ka më shumë zgjidhje, por ti shkruaj vetëm dy.

4.

9

Prodhimi i një shumëzuesi dhe i a është e barabartë me a . Cili është ai shumëzuesë shumëzuesë?? Cili numër është treguesi i fuqisë që mungon te shumëzimi : 63 × 6 = 612? 7

Kujt Ku jtoh ohu u!

B

Nëse a, b dhe n janë numra natyrorë dhee n është pjesëtues i a dh dh dhee b, DQ

D

atëherë

E

97



EQ

Shqyrtoe tabelën për pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta.

5.

Pjesëtimi i fuqive

Shënimi i fuqive si pjesëtues të prodhimeve

.

    

25 : 22

 

Thjeshtoi thyesat:  

;

 

 

;

  

Shembull:





=



;

=

      

   

=

=

 

= ((-3)

(-3)2-1 = ((-3)

      

= 5×5×5×5

57-3 = 54

= 9×9×9 ×9 ×9

96-1 = 9

  



     

96 : 9



25-2 = 23

  

57 : 53

os e

=2×2×2

        

(-3)2 : ((-3)

.



Herësi i fuqive

Vëre se gjatë pjesëtimit të dy fuqive me baza të barabarta vlen: baza e herësit është e njëjtë sikurse baza e të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit; F treguesi i fuqisë fuq isë është ndryshimi ndrysh imi i treguesëve treguesë ve të pjesëtueshmit pjesëtueshmi t dhe pjesëtuesit. pjesëtuesi t. F

Cili numër është treguesi i fuqisë që mungon te shembulli i fundit të dhënë në tabelë? Herësi i fuqive me baza të barabarta (të ndryshme prej 0) është fuqi me bazë të njëjtë dhe tregues të barabartë me ndryshimin e treguesëve m dhe n, pjesëtueshmit it dhe pjesëtuesit. m > n, të pjesëtueshm 6.

Vëre njehsimin e herësit (-6) : (-6) = 5

3

     

=

Njj e h s o : 1 6 9 : 1 6 3 = N 7.

40

a

m

:

a

(-6) : (-6) = 5

  

   

= (-6)

3+2-3

  

Ose shkurtimisht: (-6) : (-6) = (-6) 5

Lehtë mbahet mend:

3

5- 3

3

n

=

a

a¹0 ; m>n

m-n

.

= (-6) . 2

= (-6) .

;(-3,5) 7 (-3,5) 2 =

2

;106 10 0 :106 99 =

;o

| ¸ : 



=

Vëre pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta kur i pjesëtueshmi dhe pjesëtuesi kanë tregues të njëjtë. Tema 2. Fuqitë. Rrënja katrore

.

Nëse a ¹ 0, atëherë a : a = F n

n

D

= 1, pasi numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë.

D

Nëse e zbaton rregullën për pjesëtimin pj esëtimin e fuqive me baza të t ë barabarta, do të fitojsh: fi tojsh: =a . a :a =a Vëre se në rastin e parë fitove 1, kurse në rastin e dytë a . Do të llogarisim se

F

n

n-n

n

o

o

a o = 1.

Cakto herësin: (-6)3 : (-6)3 =

;

12,02100 : 12,02100 =

;

(a -1)5 : (a (a -1)5 =

| | : o ¸ = o ¸  

;

.

Vëre pjesëtimin e fuqive me baza të barabarta kur treguesi i të pjesëtueshmit është numër që është më i vogël se treguesi i pjesëtuesit.        (-2) 6 : (-2) 8 = = = .             

8.

Njj e h s o :(-13) 4 : (-13) 7 = N

| | : o ¸ = o ¸  

;

;


t'i shprehish dhe zbatojsh rregullat: + n

, p ër m , n Î

F

am × an = am

F

përr a ¹ 0 a m : a n = a m - n, pë

F

am : an =

F

a : a = a n



0

dh e m > n;

Shprehe rregullën për shumëzimin e fuqive me baza të barabarta. Sqaro si pjesëtohen fuqitë me baza të barabarta.

dhee m < n; , për a ¹ 0 dh

D

n

N;

dhee n Î = 1, për a ¹ 0 dh

N.

Cili numër është herës gjatë pjesëtimit të dy fuqive me baza të barabarta (të ndryshme prej zeros) dhe eksponent të barabartë? Cila është vlera numerike e fuqisë me çfarëdo bazë a ¹ 0 dhe eksponent 0?

Detyra 3. Njehso herësat e fuqive:

prodhi met e fuqive 1. Njehso prodhimet x5 × x15 =

; y100 × y2 =

x3 × x5 × x2 =

174 : 172 = ;

615 × 6100 =

; (-b) × (-b)5 × (-b)10 =

x9 : x12 =

;

2. Çka duhet të shkruhet te çdo katror që të jenë të sakta barazimet:

a ×

9

p4 × p ×

15

=a ; 4

= p10?

7 ×7

100

135

=7

;

;

35 : 318 = ;

;

a3 : a3 =

.

numerikee të çdo shprehj shprehjee: 4. Njehso vlerën numerik 

6

;

126 : 126 =

.

1,14 : 1,1 =

;

 

=

2 × 32 - 6 ×

;  



 

=

+ 5 × (75 : 72) =

; .

Operacionet me fuqi

41

5. Njehso herësint 6.

N N

për k = 2 dhe për k = -2. Sa bakterje ka?

Numri i bakterjeve ba kterjeve te ndonjë nd onjë prodhim dy herë h erë zmadhohet zma dhohet në çdo 6 minuta. Sa bakterje do të ketë te prodhimi për 1 orë, nëse në fillim ka pasur një bakterje?

4 FUQIZIMI I FUQISË, PRODHIMIT DHE HERËSIT Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Fuqia a shkruhet si prodhim kështu: 3

Vëre se 2 paraqet bazën e fuqisë, kurse shënimi (2 ) - fuqizimi i e fuqisë. 3

Shkruaj si prodhim këto fuqi: 2

3 4

| b) o ¸ = 

;

c ) ( x + y y)) 3 =

3 4

Çka është baza, kurse çka eksponenti i fuqisë?

a3 = a × a × a

a) (-6) =

Shënimi (2 ) paraqet fuqi.

1.

;

Shkruaje fuqinë (2 ) si prodhim të shumëzuesëve të barabartë. 3 4

;

Shkruaje rregullën për shumëzimin e fuqive me baza të barabarta.

Fuqina e shkruar si prodhim është: ( 23)4 = 23 × 2 3 × 2 3 × 2 3.

A mundet fuqinë (2 ) ta shkruajsh si fuqi me bazë 2? A mund të vërejsh mënyrë të shkurtër për fuqizimin e fuqisë (2 ) ? 3 4

Është lehtë! (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = = 23+3+3+3 = 212. Ose (23)4 = 2 3 × 4 = 212.

3 4

Fuqia fuqizohet ashtu që baza e fuqisë fuqizohet me prodhimin e treguesëve të fuqive.

(a ) = m

2.

n

m

×

n

Vëre shembullin : ( x 4 ) 2 = x 4 Fuqizoi fuqitë:

42

a

Domethënë, baza përshkruhet, kurse eksponentet shumëzohen.

×

2

= x 8 .

(0,23)2 =


;

oo

| ¸¸ =   |

;

((ab ab))2)4 =

.

| Shqyrto shembullin: o ¸ 

3.

 

Thjeshtoi shprehjet: B

×

| oo ¸ ¸ =   |





| o ¸ 

×





=



×

| o ¸ 

;(-4)8 : (( ((-4)2)4 =

=

Cakto vlerën numerike të: a) ( 3 × 5 ) 2 = d h e b) 3 2

4.



× 52 =

=

| o ¸ 

=

| . o ¸ 

.

.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: a) ( 3 × 5 ) 2 = 1 5 2 = 1 5 × 15 = 225. b) 3 2

× 5 2 = ( 3 × 3 ) × ( 5 × 5) = 9 × 25 = 225.

Çka përfundon për vlerat numerike të a) dhe b)? Vëren se ( 3

× 5 )2 = 32 × 52.

Në përgjithësi, përgjithësi , fuqia e prodhimit prodhimi t është e barabartë me prodhimin e shumëzuesëve të fuqizuar me treguesin e dhënë, d.m.th.

Domethënë, prodhimin e fuqizoj ashtu që fuqizoj çdo shumëzuesë dhe fuqitë e fituara i shumëzoj.

(a × b)n = an × bn.

Shqyrtoi shembujt:

5.

a) ( x × y) y ) 3 = x 3 × y 3 ;

b) ( p 4

× k ) 2 = ( p 4 ) 2 × k 2 = p 8 × k 2 .

Fuqizoi prodhimet: a) (a × b × c)10 = ç) -(ab ab))6 =

C

6.

; ;

b) (4 xy xy))2 =

;

c) (-ax ax))4 =

d) (7 x2)6 =

;

e) oo

;

| S¸ = ¸   |

.

Cakto vlerën numerike të:  a) o | ¸ = 

dhe

b)



=



.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë:  a) o | ¸ = 

 

×

 

×

 

=

     

=

 

.

b)

 

=

     

=

 

.

Çka përfundon për vlerat numerike të a) dhe b)? | Vëren se o ¸ = 

 

ose (2 : 3) = 2 : 3 . 3

3

3

Operacionet me fuqi

43

Në përgjithës përgjithësi,i, fuqia e herësit është e barabartë me herësin e të pjesëtueshmit dhe pjesëtuesit të fuqizuar me treguesin e dhënë, d.m.th.

Domethënë, kur fuqizoj herës i fuqizoj të pjesëtueshmin pjesë tueshmin dhe pjesëtuesin pjes ëtuesin (ose numëruesin dhe emëruesin) në veçanti dhe fuqitë e fituara i pjesëtoj.

D | D = ; b ¹ 0. o ¸ E  E

N  N | N b) o ¸ = =  S    

|   Shqyrtoi shembujt: a) o ¸ = = ;  [ [ Fuqizoi herësat:

7.

[ | a) o ¸ \  8.

=

| ; b) o ¸ = [ 

; c) (c : 2) =

; ç) ( x x : y ) =

3

3

N

=

.

 S

; d) (2m : 3n) =

7 2

4

.

Vëre thjeshtimin e shprehjes ( x x ) : x me zbatimin e operacioneve me fuqi. 4 3

2

( x 4 ) 3 : x 2 = x 4

×

3

: x 2 = x 12 : x 2 = x 1 2

-

2

= x 10 .

Thjeshtoi shprehjet: a)

D

D

=

D 

;

b) ( y y

13

× y)

: ( y y ) =

;

7 2

c) (b ) : (b 4 3

4

× b3 × b2)

=

;

ç) (2 × 3) : 6 = 4

.

3

Njehso vlerën vl erën e shprehjeve shprehj eve numerike: numeri ke:

9.

| a) o ¸ 

10.. 10

×

(3 ) =

;

2 3

b) (2 × 3) : 3 = 4

;

3

c) ((-4) : (-4) ) : (-4) = 8

4

Shprehjet e dhëna shkruaj si fuqi me bazë 2, por sëpari shqyrto shembullin e zgjidhur. zgjidh ur. a) 2 : 4 = 7

2

;

b)



 

.

2

Shembull : 16 : 8 = (2 ) : (2 ) = =2 :2 =2 :2 = 2 =2. 4

3

4 4

4 ×4

=

.

3 ×3

16 - 9

3 3

16

9

7

Duhet të dish: të shprehish rregullën për fuqizimin e prodhimit, herësit dhe fuqisë Fuqizimi i fuqisë (a × b)n = an × bn

Fuqizimi i herësit

Fuqizimi i fuqisë

(a : b)n = an : bn; b ¹ 0

(am)n = am

×

n

t'i zbatojsh mënyrat për fuqizim të prodhimit, herësit dhe fuqisë te detyrat.


44

Kryej fuqizimin e çdo shprehje: | ( x x3 y4)5 = ; o ¸  =


;



o

 

| ¸  =

.

Detyra 4. Shkruaje fuqinë a18, si fuqi me bazë:

prodhimet: 1. Fuqizoi prodhimet:

(a3b)2 = (ay3b5)2 =

x4 y3)7 = ( x

;

(7a6b4)9 =

;

a) a2;

;

)

(

;

5. Cakto vlerën e shprehjeve:

D F |5 o ¸ = E 

)

(

a) o

.

3. Shkruaje herësin si fuqi:

| o ¸ ; E 

D

D

( )

E

 S

c) a9.

.

herësat: 2. Fuqizoi herësat: [ \ | 5 o ¸ = D 

b) a6;

|  [ ; ¸ S  \

D

[|

[ për a = 3; b)b)o ¸ për D  [

për x x = 2. ¸ për për

[

6. Prodhimet e dhëna prej fuqive, shkruaj si fuqi

prej prodhimeve.



( )

o

D |

D

=

.

a) a2b2 =

;

c) x c) x8 y4 z12 =

;

b) 36 x6 =

;

ç) 8 x9 y6 =

.

KATRORI KA TRORI DHE RRËNJ RRËNJA A KATRORE KATRORE E NUMRIT RACIONAL 5 KATRORI I NUMRIT. RRËNJA KATRORE Kujtohu

S=

a a

×

a

A Mate dhe shkruaj gjatësinë e brinjës së katrorit në vizatim.

Njehso prodhi prodhimet met:: 

5

×

5 =

;(-4)×-4) =

;



 ×



=

.

Shkruaj si fuqi këto prodhime:

a

Njehso syprinën e katrorit dhe shkruaje në mm2. Njehso syprinën syprin ën e katrorit katror it me brinjë brinj ë 

1.

 

cm.. cm



a) 7 × 7 × 7 = c) 6 × 6 = d) x d) x x ×x =

; ;

;

b)



 ×



 ×

 ×



ç) (-0,5) × (-0,5) = e) ab × ab =

=



;

.

Vëre Prodhimi i dy shumëzuesëve të barabartë quhet katror i atij shumëzuesi.

Katrori dhe rrënja katrore e numrit racional

45

;

Caktimi i vlerës numerike të katrorit të numrit quhet kuadrim kuadrim.. Në përgjithësi, për çdo numër racional racion al x x,, prodhimi x × x x,, shkurtimisht shkruhet si fuqi fuqi x x2. x × x = x2 (lexohet: ,,iks në katror") x2 është katror i numrit racional x x.. 2.

Shkruaje në formë të prodhimit prej dy shumëzuesëve të barabartë:

32 =

;

Njehso Njehs o:

42 =

;

(-5)2 =

62 =

;

(0,5)2 =

;

| = o ¸ 

;

(0,1)2 = 

Kuadroje çdonjërin prej numrave: numrave: 2; -2; 1; 3.

 

.

(-0,1) 2 =

;

; 2



| ¸ =  

o

;

.

; -10.

Njehsoi katrorët e shkruar: shkruar:

32 =

;

| = o ¸ 

;

o

| ¸ = 



Vëre se te çdonjëri nga shembujt rezultati është numër pozitiv ose zero.

4.

;

02 =

.

Mbaj mend : Për çdo numër racional x racional x i ndryshueshëm nga zero, 2 numri x numri për x = 0. x është numër pozitiv, por është 0 për x

Vërej shembujt për kuadrim me kalkulator:

7

×

=

49

a) 1232 =

Kkuadro me kalkulator:

|

b) o

a) 72 =

1

;

¸ =



: 5

-462 =

;

×

-0.2

b) (0,3)2 =

;

±

Njehsoi vlerat të shprehjeve shprehj eve numerike, kurse pastaj kryeje kr yeje provën me kalkulator. kalkulato r. a) 4122 - 5 ×792 =

B

5.

.

b) 40,42 - 10 × 2,282 =

Syprina e një katrori është është 81 cm2. Cakto gjatësinë e brinjës së katrorit.

46


.

=

o

0.04 |

¸ =



.

Vëre vizatimin 81 cm2

x

Gjatësia e brinjës së katrorit le të jetë jetë x = x × x ose S = x = x2. x.. Syprina e katrorit është S = x x

Domethënë duhet ta caktojmë vlerën për x x,, ashtu që x që x × x = 81. Për x Për x = 9, është e saktë se 9 × 9 = 81, por edhe për x = (-9) është e saktë se (-9) × (-9) = 81. Pasi gjatësia është gjithmonë numër pozitiv poziti v, vijon se brinja e katrorit është 9 cm.

Syprina e katrorit është x2 = 81. Që ta njehsojmë brinjën e katrorit duhet ta zgjidhim barazimin x2 = 81.

6.

Shqyrtoe shembullin: Numrat 4 dhe -4 janë zgjidhje zgjidh je të barazimit x barazimit x2 = 16, pasi 42 = 4 × 4 = 16 dhe (-4)2 = (-4) × (-4) = 16. 

Provo vallë numrat

dhe o



| barazimit x = ¸ janë zgjidhje të barazimit x  



2

 

.

Unë kam dy zgjidhje 7.

Cakto zgjidhjet e: a) x a) x2 = 1;

C

8.



b) x b) x2 =

2

.



=

a

Unë jam pozitiv.

Caktoi vetëm zgjidhjet pozitive të barazimeve: a) x a) x2 = 25; b) b) x x2 = 9; c) c) x x2 = 144.

Vëre Zgjidhjet jo negative të barazimit x barazimit x2 = a; a ³ 0, quhet rrënja katrore e a d he

Shenja

shkruhet

te shënimi D , numri a është baza e rrënjës ose madhësia nënrrënjësore. nënrrënjësore .

Shqyrto shembullin:

D

.

 



 

pasi o

është shenja për rrënjën katrore, kurse

 |  . ¸  





9.

Cili numër është rrënjë katrore prej: 49, 25, 16 dhe

10.

Vërteto se janë të sakta barazimet: a)



= 20;

b)



= 11;

c)

 = 0,2;



ç)

?

 = 0,5.


47

Mbaj mend! D = b (a b2 = a (b ³ 0).

³

11.. 11

0), nëse

Vëre dhe sqaro skemën e dhënë. K N J A AT R O R R Ë R E

Domethënë, që të njehsoj rrënjën katrore prej a duhet ta caktoj numrin jo negativ b katrori i të cilit është i barabartë me numrin a.

KATRORI 12.. 12

Njehso vlerën vle rën numerike numerik e të shprehjeve: shprehjeve :

4× 13.. 13

=



;

-2 ×



=





;

=



;



+



=

.

Shqyrtoi shembujt për caktimin e rrënjës katrore me kalkulator.

7 ; b) 6,25

a) 49

2.5 .

Njehso me kalkulat kalkulator or:: 

=



;

=

;

  

=

 =

;

;

 =

.

(-0,3)2 =

.

Bëje provën e rezultateve duke kuadruar.

Duhet të dish:


të caktojsh numër racional;

Nj eh so :

të caktojsh zgjidhje të t ë barazimit të formës x formës x2 = a;

32 =

me kalkulator të njehsojsh katror dhe rrënjë katrore të numrit.

Provo

1. Njehso:

48

 

 



a është zgjidhje e barazimit x barazimit x2 =



.

 = 2,3.

;

b) 82 + (4 × 8 : 4) = 

;

Cakto x x te barazimet: 2. Cakto

a) (16 - 13)2 : 2 =



(1,6)2 =

Provo a është e saktë:

Detyra

c)

;

[

;

  



=

.


a) x2 = 144; a) x

b) 2 x2 = 72;

c)



+ 2 = 20.

3. Njehso gjatësinë e brinjës së katrorit me syprinë

324 cm2.

Unë dij të njehsoj katror të numrit në tjetër mënyrë! Vëre se si janë njehsuar katrorët katrorët::

22 = 3 × 1 + 1 = 4;

3 2 = 4 × 2 + 1 = 9;

42 = 5 × 3 + 1 = 16;

5 2 = 6 × 4 + 1 = 25.

Zbulo rregullën e njehsimit. Shkruaj: 62, 72 dhe 82 në këtë nënyrë. Njehso 19 1 92, 312 dhe 992 duke shfrytëzuar mënyrën e dhënë. Provoi rezultatet e tua duke kuadruar.

6 NJEHSIMI I RRËNJËS KATRORE - nuk është e obligueshme Kujt Ku jtoh ohu u! Te tabela janë dhënë vlerat për numrin a. Caktoi katrorët e atyre numrave.

10

a

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

 ×



100

a2 Duke i shfrytëzuar vlerat nga tabela njehso: 

A 1.

=

;



=

;



-



=

;

=

.

Duhet të dish të vlerësojsh sa shifra do të ketë rrënja katrore e numrit të dhënë.

Shqyrtoi të dhënat te tabela. Sa shifra ka rrënja katrore e numrit: a) 5625 ; b) 1 000 000 ;

Numri a

Rrënja katrore

Shembull D



Njëshifro rë ose Njëshifrorë dyshifrorë

njëshifrorë

Treshifrorë ose katërshifrorë

dyshifrorë



c) 625 × 108? Njehso me kalkulator dhe kontrolloj kontrollojee përgjigjen tënde për numrat a) dhe b).

Pesëshifrorë ose gjashtëshifrorë .

.

=3



=5 = 11

 

treshifrorë 

= 60 = 101 = 800

.


49

Me kujdes ndiqe shembullin 1. Do të mësojsh të njehsojsh rrënjë katrore të numrit pa kalkulator.

B

Shembulli 1. 

F

Madhësia nënrrënjësore e dhënë ndahet në klasa prej të djathtës në të majtë nga dy shifra në klasa (klasa e parë nga e majta mund të ketë edhe një shifër).

F

Shifra e parë e rrënjës nga numri është shifra 3 dhe fitohet fit ohet si numër katrori i të cilit është më afër deri te 11 ose më i vogël se 11 (klasa e parë nga e majta). Pastaj prej klasës së parë zbritet katrori i numrit 3, d.m.th. 3×3=9.

F

Deri te ndryshimi i fituar 2 (11 - 9 = 2) nga e djathta shkruhet klasa vijuese (97) dhe fitohet numri 297 prej të cilit ndahet shifra e fundit (7). Numri dyshifrorë 29 pjesëtohet me prodhimin e dyfishtë të shifrës së parë nga rezultati, 3 × 2 = 6. Poashtu 29 : 6 = 4 dhe numri 4 është shifra e dytë nga rezultati. Shifra 4 përshkruhet te 6 (fitohet 64) dhe kështu numri i fituar shumëzohet me 4, kurse prodhimi i fituar zbritet prej 297.

F

Pranë ndryshimit nga zbritja (297 - 256 = 41) përshkruhet klasa vijuese (16). Fitohet numri 4116 prej të cilit ndahet shifra e fundit - shifra 6 (fitohet numri 411) dhe kështu numri i fituar pjesëtohet me dyfishin e prodhimi t të numrit nga shifra e parë dhe e dytë të rrënjës (34 × 2 = 68). Poashtu fitohet (411 : 68 = 6) shifra e tretë e rrënjës. Ajo përshkruhet pranë 68 dhe kështu numri i fituar shumëzohet me atë; fitohet (686 × 6 = 4116) 4116) prodhim prod him i cili zbritet nga numri i dhënë. Mbetja nga ky pjesëtim është 0.

        = 3 -9 2

    = 34 -9 29 7 : 64 × 4 - 25 6 41

    = 346 -9 29 7 : 64 × 4 - 25 6 411 6 : 686 × 6 - 411 6 0

Shembulli 2.   = 23,6 -4 15 6 : 43 × 3 - 12 9 279 6 : 466 × 6 279 6 0

50

Mënyra e ngjashme për numrin dhjetor. Ndryshimi i vetëm është që ndarja në klasa është në dy kahe: prej presjes dhjetore nga e majta nga dy shifra dhe nga e djathta nga dy shifra. Nëse klasa e fundit nga e djathta dja thta ka vetëm një shifër, sh ifër, përshkruhet 0.

Vëreve se para se të lëshohet klasa e parë e dhjetoreve, te rezultati vëndohet presja.


Nëse pas lëshimit të klasës së fundit ka mbetje, mënyra mund të vazhdohet, ashtu që shton klasa nga dy zero, kurse te rezultati vëndon vëndo n presje.

Shembulli 3.

  = 25,59

-4 25 5 : 45 × 5 - 22 5 300 0 : 505 × 5 - 252 5 4750 0 : 5109 × 9 - 4598 1 1519

Duke shtuar kështu vazhdimisht klasa nga dy zero mënyra mund të vazhdon. Rrënjën katrore të numrit e njehson deri te numër i caktuar i dhjetoreve. 2.

25,6

»

Nj eh so : a)

  

c)



=

=



;

 =

;

=

;

;



 =

b) =

 =

;

;

.

Te rasti nën c) rrethoe rezultatin në një dhjetore.

Duhet të dish: të caktojsh rrënjë rrën jë katrore të numrit të t ë dhënë pozitiv.


Njj e h s o : N



=

;



=

.

Sa shifra ka numri që është rrënja katrore e numrit pesëshifrorë? Cakto  dhe kontrollo rezultatin me kalkulator. kalkul ator.

Detyra 1. Caktoi numrat katrori i të cilëve është ndërmjet:

a) 4 dhe 9;

b) 9 dhe 16.

a)

Sqaro përgjigjen.

deri te vlera e këtyre rrënjëve katrore:  ;

3. Kontrollo a është e saktë

 





 

c)   

 

ç)    









b)  

2. Shkruaj nga dy numra të plotë që janë më afër

 ;

4. Kontrollo cila nga barazimet është i saktë:

.

 

 

;  ; 

;









.

ci lit është 5. Sa është perimetri i katrorit syprina e të cilit 25 cm2?

.


51

NUMRA NUMR AT REALË

7

NUMRAT IRACIONALË A

Kujt Ku jtoh ohu u!

1.

Një katror e ka syprinën 2 cm2. Sa është gjatësia e brinjës së tij?

Numr Nu mr at ra ci oa lë ja në nu mr mrat at që mu mund nd të Vëre zgjidhjen. Pasi S = a2, vlera numerike e gjatësisë së brinjës

D

shkruhen në formë të thzesës

E

, ku a dhe b

është numër i atillë që a2 = 2, d.m.th. a =

janë numra të plot plotëë dhe b ¹ 0. Bashkësia e numrave racionalë shënohet me Q dhe D

Q={

| a, b

E

Î

Z, b

¹



Por,

0}.

.

a është numër i plotë?

1<  < 2 pasi 12 = 1 dhe 22 = 4. Prandaj, nuk është numër i plotë.

Çdo numër racional mund të paraqitet si numër i fundshëm dhjetor ose si numër dhjetor periodik.





Me vlerësim dhe provë mund të caktohet: 1,4 <

Numrat:

 



= 1,666...;



< 1,5;

1,41 <



< 1,42, ...

Domethënë, gjatësia e brinjës së katrorit është ,,numër" ndërmjet 1,41 dhe 1,42.

a) 15; 4,27 janë numra të fundshëm dhjetor; b)



= 0,2777... Me kalkulator mund të njehsohet se

janë numra dhjetor periodik.

 »

1,4142135..., d.m.th.  është numër dhjetor i pafundshëm joperiodik pafundshëm joperiodik . Pasi çdo numër racional paraqitet si numër dhjetor i fundshëm ose numër dhjetor i pafundshëm periodik, përfundojmë se



nuk është numër racional.

Çdo numër dhjetor që ka pafund shumë dhjetore është joperiodik dhe quhet numër iracional. Kështu,



është numër iracional.

Edhe numrat:  ,  ,  , -  , -  etj. paraqiten si numra dhjetor të pafundshëm që janë joperiodik, pra edhe ato janë numra iracionalë.

Numrat iracionalë irac ionalë te shënimi shën imi dhjetor dhjeto r i shkruajmë me vlerë v lerë të përafërtë. përafërt ë. 2.

Me kalkulator cakto vlerat e përafërta të numrave numrave iracionalë në shënimin dhjetor me dy dhjetore. dhjetore. 

=

; =

; =

;

 =

.

Bashkësia e numrave iracionalë shënohet me shkronjën I. 52


3.

Duke i shfrytëzuar vlerat e

4.

Provo a vlen jobarazimi 10 <  < 11.

5.

Cakto vlerën e përafërtë të: 

dhe



vlerëso vlerën



dhe provoe vlerësimin tënd me kalkulator.

me saktësi të një vendi dhjetor;



6.



me saktësi deri 2 vende dhjetore.

A ekziston segment gjatësia e të cilit e ka numrin matës



?

C

Shqyrtoe vizatimin dhe ndiqe sqarimin. F

Brinja e katrorit AKBS e ka gjatësinë 1 cm, pra syprinën e ka SAKBS = 1 × 1 = 1.

F

Diagonalja e katrorit AKBS është brinja e katrorit ABCD.

F

Mund të tregohet se katrori ABCD ka dy herë syprinë më të madhe nga syprina e katrorit AKBS, d.m.th. SABCD = 2 × SAKBS =2 × 1 = 2.

1

K

gjatësi



, kurse ai është AB.

.

Nëse dëshiron dës hiron më shumë të dish... di sh...

B 7.

A

1

Domethënë, ekziston segment me

Kujtohu te detyra 1. Katrori me syprinë 2 e ka 

B 

Cakto gjatësinë e brinjës së katrorit ABCD, nëse syprina është 2 cm2.

brinjën me gjatësi

S

D

Vëre se si është paraqitur në drejtëzën numerike numri iracional

1

-

O

-2

-1

A

0

1



.

F

Mbi segmentin 2$ = 1 konstruk konstruktohet tohet katror. katror. Syprina e tij është 1.

F

Diagonalja e katrorit (gjatësia e saj) bartet në drejtëzën numerike. Largësia prej O deri te pika e fituar në kahen

2

pozitive është është -

-3

-2

-1

0

1

2

3

F





, kurse në kahen negative

.

Vëren se 1<



< 2;

-2 < -



Numrat realë

< -1. 53

Duhet të dish: Kontro Kon trolloh llohu u!

cili numër quhet numër iracional. Shkruaj 4 numra që janë iracionalë.

Detyra 1.



Cilët prej numrave 

;





;



;





3.

;

Numrat iracional i racionalëë që janë dhënë d hënë te shprehjet numerike rrethoni në dy vende dhjetore.

janë iracionalë?

Cakto vlerën numerike të shprehjeve:

Provo zgjidhjen duke njehsuar rrënjët katrore me kalkulator. kalkulat or.

b) 2. Paraqiti në drejtëzën numerike këto numra:

-3; -

8





; 0; 0,5;



a) 4 + 

= 

+

c) 3 ×



+

ç)

-



; 2; 3 dhe 4.



; = 

+

; =

;



=

.

BASHKËSIA E NUMRAVE REALË Deri më tani mësove të mbledhish, zbresish, shumëzojsh dhe pjesëtojsh numra, fuqi dhe rrënjën katrore të numrit.

A

Kujt Ku jtoh ohu u! N është bashkësia e numrave numrav e natyrorë: natyr orë: N = {1, 2, 3, 3, 4, 5, ...}. plotë: Z është bashkësia e numrave të plotë: Z = { ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

1.

a) 106 - 95 =

Q është bashkësia e numrave racionalë:

Q={

D E

Njehso:

ç) 9 - 15 =

| a, b

Î Z,

b

¹

0}.

f) 1 : 2 =

; b) 47 × 102 = ;

;

d) 135 : 5 = g) 63 =

;

; ;

c) 316 + 316 =

;

e) 816 - 816 =

;

h)1 : 3 =

Cakto cilës bashkësi të numrave i takon vlera e çdonjërit nga shprehjet numerike. Vëreve se: se :

vlerat e shprehjeve a) , b), c), c) , d) dhe g) janë elemente el emente të N; vlerat nga a) a ) deri te e) dhe g) janë elemente el emente të t ë bashkësisë bashkës isë Z; vlerat e të gjitha shprehjeve nga a) deri te t e h) janë elemente el emente të bashkësisë Q.

2.

Cakto zgjidhjen e barazimit x barazimit x2 = 3. Barazimi x Barazimi x2 = 3 a ka zgjidhje që është element i bashkësisë Q? Vëreve se se x x2 = 3 ka zgjidhje x zgjidhje x = 

dhe x dhe x = -



.

është numër numër iracional dhe nuk është element element i Q.

Cilës bashkësi u takojnë numrat: 54





,  dhe




?

.

3.

Sipas elementeve të bashkësisë: N - numrat natyrorë, Z - numrat e plotë, Q - numrat racionalë dhe I - numrat iracionalë, përgjigju në pyetjet: Çdo element nga N a i takon edhe Z?

Çdo element nga Z a i takon edhe Q?

Çdo element nga N a i takon edhe Q?

Çdo element nga Q a i takon edhe I?

Disa elemente nga Q a i takojnë edhe I? R

Vëre diagramet e venit: F

Q

Për bashkësitë N, Z, Q dhe I vlen: N Ì Z Ì Q dhe Q Ç I = Æ Bashkësia elementet e së cilës janë të gjithë numrat iracionalë quhet bashkësia e numrave realë dhe shënohet me R.

I

N

Z

R=QÈI 

4.

Cakto cilës bashkësi i takon çdonjëri nga numrat: 2; 106; -53; 0,002;

5.

Për çdo numër realë ekziston një pikë në drejtëzën numerike.

B E -5

D

-4

-3

-2

-

-

A



0

Te drejtëza numerike paraqiti numrat numrat::

; 6,6666; -1028937.

1

B

F

33 

1,5 2

4

5





6.



Në drejtëzën numerike janë jan ë shënuar pika. Cila prej tyre i është shoqëruar numrit racional, kurse cili numrit iracional?

C

-1

; -



- 2;

-



;



-



;

0;

 

;



;

2;

3

 

; 4,5.


cilët numra janë elemente të bashkësisë R; A është i saktë pohimi: Nëse Në se nu numr mrii a është element i bashkësisë së numrave të plotë Z, atëherë ai numër është element edhe i Q edhe i R. Sqaro!

të përmendish përmendi sh shembuj të numrave numrav e realë.

Detyra numrat : 1. Janë dhënë numrat: - ; -

 

; - 2; -

2. 

; -

 

; 0; 1; 2;

Cilët numra janë elemente të N? Cilët numra janë elemente të Z? Cilët numra janë elemente të Q? Cilët numra janë elemente të R?



.

Çka është e saktë: saktë: a)

 është numër iracional;

b) c)

 

është numër real;

është numër iracional dhe racional;

ç) 7 është numër natyrorë, numër i plotë, numër racional dhe numër real.

Numrat realë

55

MËSOVE PËR FUQITË. RRËNJA KATRORE. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE 1.

Cili numër është është baza, kurse cili eksponen eksponenti ti i 3 fuqisë 5 ?

9.

Kryej fuqizimin e fuqisë. a)  

2.

a) Paraqiti në formë të fuqive këto prodhime: prodhime: 3 × 3 ×3 × 3 × 3 ×3 =

©

10.. 10

;( x ;( x - y y)) 5 =

Nj ehso Njeh so vl er erën ën e fu fuqi qi së me ba zë ((-5) 5) dh e eksponent:

;

c) ( x2 : y y))3 =

Shprehjen

[

; b) 7 050 000 =

.

12.. 12

Shkruaje numrin në formë të prodhimit prej numrit natyror dhe fuqi me bazë 0,1. ;

b) 2,103 =

a) -22 ×

 ç) §¨ ·¸ =

.

© D ¹

[

shkruaje si fuqi me bazë x bazë x..



13.. 13

.

3

3

Cakto herësin e fuqive: ;

b)

b) x2 + 15 = 96.

[





.


;

b)

 =

Janë dhënë numrat: -3; -

[

=

.

15.. 15

a) a15 : a5 =

.

Zgjidhe barazimin

a)

b) (a + 1) 1) × (a + 1) =

;

=

14.. Njehso me kalkulator: 14

Cakto prodhimin e fuqive: 7

;

;

b) 32 - (23 + 1) + 200 × 0,12 =

a) x × x =

=

b )15-23(3 2- 3  ) -7

.

Cakto vlerën numerike të shprehjes:

a) 8 - 22 × 3 + 4 =

56

;

Njehso vlerën vler ën numerike të shprehjes: shpr ehjes:

a) 3 x2 = 48;

8.

;

b) (2 x3 y y))4 =

[

a) 0,00025 =

7.

.

Shkruaje numrin në formë të prodhimit prej numrit natyror dhe fuqi me bazë 10. a) 25 000 =

6.

;

Kryej fuqizimin e prodhimeve dhe herësave:

a) (ab ( ab))3 =

11.. 11

5.

=

¹

a) 4; b) 3; c) 1; ç) 0. 4.



;

b) Paraqiti në formë të prodhimit këto fuqi:

3.

b)   

;

§§  · ·

;

; (-2) 3 =

=

c) ¨ ¨ ¸ ¸ = ¨©  ¹ ¸

( a -1)( -1)(a a -1)( -1)(a a -1) =

x 7=



 

; 0,5;



;



; 3,2(7); 12.

Cili prej numrave i takon: a) N; b) Z; c) Q; ç) I; d) R.

.

TEMA 3.

POLINOMËT

MONOMËT DHE POLINOMËT 1. Shprehja 2. Monomët 3. Mbledhja dhe zbritja e monomëve 4. Polinomët 5. Shumëzimi dhe fuqizimi i monomëve 6. Mbledhja dhe zbritja e polinomëve 7. Shumëzimi i polinomit me monom 8. Shumëzimi i polinomëve 9. Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve 10. Katrori i binomit 11. Pjesëtimi i monomëve. Pjesëtimi i p o l i n o mi t me m o n o m

(A + B)2

58 63 67 69 73 74 76 78 81 83 86

12. Pjesëtimi i polinomit me polinom 13. Shprehjet racionale ZBËRTHIMI I POLINOMËVE NË SHUMËZUESË 14. Zbërthimi i polinomit duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapave dhe me grupim 15. Zbërthimi i polinomit të formës A2 - B2 në shumëzuesë të thjeshtë 16. Zbërthimi i polinomit të formës A2 + 2AB + B2 dhe A2 - 2AB + B2 në shumëzuesë të thjeshtë PUNA ME TË DHËNA 17. Mbledhja e të dhënave Kontrollo njohurinë tënde

88 90

93 95

97 99 102

A2 + 2AB +B2

Monomët dhe polinomët polinomët

57

MONOMËT DHE POLINOMËT

1

SHPREHJE

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Shënimet: 5 × 4 - 2; 7,5 - 3,8 : 2 + 2 ; 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 × 2 janë shprehje numerike.

Njehso vlerën vl erën e shprehjeve: shpreh jeve:

2

3 × 8 - 2,5 × 6 + 8 : (-4);      

Sipas cilës radhitje do t'i kryejsh operacionet te shprehjet e dhëna numerike?

.

Te shprehjet e dhëna sëpari kryej operacionin shumëzim dhe pjesëtim, kurse pastaj operacionet mbledhje dhe zbritje.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 3 × 8 - 2,5 × 6 + 8 : ((-4) = 24 - 15 - 2 = 9 - 2 = 7, 7, d.m.th. vlera e shprehjes është 7;

F

   ¸ 

F





   

 





, d.m.th. vlera e shprehjes është 3.

Numri që fitohet pasi që të kryhen të gjitha operaci operacionet onet te shprehja e dhënë numerike quhet vlera numerike e shprehjes. 2.

Njehso vlerën numerik numerikee të shprehj shprehjes es

         

.

Vlera e shprehjes 10 : 2 - 5 = 0, me zero nuk pjesëtohet, d.m.th. pjesëtimi me zero nuk ka kuptim.

Sa është vlera e shprehjes te emëruesi? Me atë numër a mund të kryhet pjesëtimi?

Për shprehjen numerike te e cila ka pjesëtim me zero thuhet se nuk ka vlerë numerike ose nuk ka kuptim.

3.

Cakto cila prej shprehjeve të shkruara nuk ka vlerë numerike: 36 - 9 × 4

58

(3 × 5 - 15) : 8;

Tema 3. Polinomët



 ;     

     

.

Njehso vlerën vl erën numerike numeri ke të këtyre këtyr e shprehjeve: shprehj eve:

4.

a) 12 - 2 × 5 + 30 : 6;

b) 6 - 4 : 2 + 7;

c) 5 - 3 × 8 + 18 : 3. 2

Cilat prej shprehjeve të dhëna kanë vlera numerike të barabarta? Vëre se shprehjet a) dhe c) kanë vlera numerike të barabarta. Për shprehjet numerike të cilat kanë vlera numerike të barabarta thuhet se janë shprehje numerike të barabarta. Është dhënë shprehja numerike 15 - 3 + 2,4 × 5 - (3,6 - 1,2) : 2. Prej çka përbëhet shprehja numerike e dhënë?

5.

2

Vëre se kjo shprehje numerike (edhe shprehje tjera numerike që i ke mësuar) përbëhet prej numrave, prej operacioneve: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim dhe fuqizim fuqiz im me eksponent numër natyror, si edhe me kllapa. Numrat: 15, 3; 2,4; 5; 3,6 janë konstante. konst ante. Konstante Konstan te janë edhe:  , këndi i drejtë, {1, 2, 3, 4}. Mund të thuhet se konstante janë objekte të sakta matematikore.

Kujt Ku jtoh ohu u!

B

6.

Sa mund të jetë gjatësia e brinjës a?

Perimetri i trekëndëshit barabrinjës njehsohet me ndihmën e shprehjes 3 × a. Me cilat simbole është formuar kjo shprehje? Çka paraqet çdonjëra prej këtyre shprehjeve? Çka paraqet çdonjëri çdonjëri prej prej simboleve?  A mundet a të jetë: 5; 27; 3,2; ? 

Le të jetë DABC: b = 9 cm dhe c = 5 cm.

Cilët numra i zëvëndëson shkronja a, nëse numri i tij matës është numër natyror?

Cilat jobarazime vlejnë për brinjët a, b dhe c te trekëndëshi? Gjatë zgjidhjes së detyrave zbatoi ato.

Për brinjët te trekëndëshi vlejnë jobarazimet: a < b + c dhe a > b - c. F

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a < 9 + 5, a < 14; a > 9 - 5, a > 4.

Vëre se shkronja a është zëvëndësim për numrat: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13. 7.

Le të jetë x shenjë për elementet e bashkësisë {1, 2, 3, 4, 5}. Cilat konstante i zëvëndëson shkronja x?

Vëre se shkronja x është zëvëndësim për numrat 1, 2, 3, 4 dhe 5. Çdonjëri nga këto numrave është vlera e tij.j. ti Monomët dhe polinomët polinomët

59

Ndryshorja është simbol (më së shpeshti shkronjë) e cila është shenjë e përbashkët për elementet të bashkësisë së dhënë. Bashkësia quhet domen i ndryshores (më së shpeshti shënohet me D), kurse çdo element i tij paraqet vlerë të ndryshores. Nëse nuk është ë shtë dhënë dhën ë domeni i ndryshores ndrys hores do të llogarisim llo garisim se ajo bashkësi është R të numrave realë.

8.

Cakto domenin e çdonjërës prej ndryshoreve te detyrat paraprake.

Vëre dhe mbaj mend Konstantet: 1, 2, 0,

 

, -9,



, ... janë shprehje.

Ndryshoret: x, y, z,... , a, b, c, ... janë shprehje. Shënimet: 3 + 5 × 2, x + y , x × ( y y - 4), 2

 [  

[  

edhe të tjera, të formurara prej konstanteteve dhe

ndryshoreve me ndihmën e shenjave për operacione, janë shprehje. Nëse te shprehja ka ndryshore, atëherë ajo quhet shprehje me ndryshore .

Cila prej këtyre shprehjeve është shprehje me ndryshore:

9.

3 × 8 - 42;

5 x - 2;

[ 

- 3 y y;;

 

.

Shprehja me ndryshore 5 x - 2 mund të shënohet me me A( x x) = 5 x - 2.

C

10.. 10

Njehso vlerën e shprehjes shp rehjes A( x x) = x - 2 x - 3 për x = -2. 2

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. x - 2 x - 3 = (-2) - 2 × (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5, d.m.th. numri 5 është vlera e shprehjes x - 2 x - 3 për x = -2 ose A(-2) = 5. 2

2

2

Shprehjes së dhënë me ndryshore i përgjigjet shprehje numerike përkatëse, nëse ndryshorja zëvëndësohet me vlerë të caktuar, vlera e shprehjes numerike është vlera numerike e shprehjes me ndryshore.

11.. 11

Njehso vlerën e shprehjes. shprehj es. 5 x - 2 për x = 2;

60

Tema 3. Polinomët

2 x - y për x = 7,2 dhe y = 6,8.

12.. 12

[  

Le të jenë dhënë shprehjet: A( x x) = x - 4 x - 5 dhe B( x x) = 2

[  

.

Caktoi vlerat e A( x x) dhe B( x x) për x Î {-2, -1, 0, 1, 2} = D.

Vëre në tabelë zgjidhjen e detyrës.

x

-2

-1 -1

0

1

2

A( x) x)

7

0

-5

-8

-9

-1

-2

-5

nuk ka vlerë

B( x) x )



 

Prej tabelës vëren se bashkësia e vlerave të shprehjes A( x x) = x - 4 x - 5 në domenin e ndryshores D = { -2, -1, 0, 1, 1, 2} është bashkësia bashkësia M = {7, 0, -5, -8, -9}. -9}. 2

Bashkësia e vlerave të shprehjes B( x x) =

[   [  

për x Î { -2, -1, 0, 1} është N = { -

 

, -1, -2, -5}.

Për cilën vlerë të x Î D shprehja B( x x) nuk ka vlerë? 13.. 13

Le të jenë dhënë shprehjet: A( x x) = x + 2 x dhe B( x x) = x( x x + 2). 2

Cakto bashkësinë e vlerave të A( x x) dhe B( x x), nëse x Î {-2, -1, 1, 2} = D. Krahasoe bashkësinë e vlerave të A( x x) dhe B( x x). Çka vëren? Vëre në tabelë zgjidhjen e kësaj detyre. x

-2

-1

1

2

A( x) x)

0

-1

3

8

B( x) x )

0

-1

3

8

Vëren se për çdo vlerë të x Î D, A( x x) = B( x x). Shprehjet me ndryshore që kanë vlera numerike të barabarta për çdo vlerë të ndryshores nga domeni quhen shprehje identike. 14.. 14

Janë dhënë shprehjet A( x x) = x -3 x dhe B( x x) = x( x x - 3), me domen D = {1, 2, 3, 4}. 2

Provo shprehjet A( x x) dhe B( x x) a janë identike. Nëse dy shprehje shpreh je identike identi ke janë të t ë lidhura me shenjën për barazim b arazim (=) fitohet fitoh et barazim barazi m që quhet identitet.

15.. 15

Shkruaje identitetin nga detyra 14.


61

Duhet të dish: Kontro Kon trolloh llohu u!

të njehsohet njehso het vlera e shprehjes numerike; të dalloj dallojsh sh shprehje numerike prej shprehjes me ndryshore;

Njehso vlerën v lerën numerike nume rike të këtyre kët yre shprehjeve: shpre hjeve:     

çka është: konstantja, ndryshorja dhe domeni i ndryshores.

  

  

;

    

.

Janë dhënë shprehjet: A( x x) = 6 x - 3 x dhe B( x x) = 3 x (2 - x), me domen D = {1, 2, 3, 4}. Trego se barazimi A( x x) = B( x x) është identitet. 2

Detyra 1.

Njehso vlerën vl erën numerike numer ike të këtyre kët yre shprehjeve: shpreh jeve: a) 5 + 3 × 2 - 12;

b)

2

c)

      





;

ç)







5.

- 2,5;

         

      

Për cilën vlerë të x shprehja

 [

 nuk ka [  

vlerë? vler ë? . 6.

Te bashkësia D = {1, 2, 3, 4} janë j anë dhënë shprehjet: A( x x) = 2 x - 4 x dhe B( x x) = 2 x( x x - 2). Trego se shprehjet A( x x) dhe B( x x) janë identike. 2

2.

Cakto cila prej këtyre shprehjeve numerike nuk ka vlerë numerike; a) c)

3.

     



ç)

  

 





; 7.

     

.

Cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje me ndryshore:

c)

62

b)

       

a) a + 2;

4.



;

[   [  

;

b) 3 × 2 - 1; 2

ç)

[

 

2

2

Janë dhënë shprehjet: A( x x) = 3 x - 6, B( x x) = 3( x x - 2) dhe C( x x) = 3( x x - 6), ku x Î {0, 1, 2, 3, 4}. Cakto cili prej barazimeve: A( x x) = B( x x ), A( x x) = C( x x) ose B( x x) = C( x x) është identitet.

?

Njehso vlerën numerike numeri ke të shprehjes x - 3 x + 5 për x = -2. 2

Tema 3. Polinomët

8.

Trego se barazimi 4 x - 4 = 4( x x - 1), për x Î {0, 1, 2, 3}, është identitet.

2

MONOMËT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A 

3a; 2 x y ; x - 5; 3

2

3



xy3;

1.

2

 

2

  [

[

;  \

[



 

x2 y2; -

2ab ; y ; 8; z. 2



janë shprehur shp rehur me ndryshore. nd ryshore. Cilat janë konstante, kurse cilat ndryshore te shprehjet: 2 x; 3 x y;

Janë dhënë shprehjet: 5 x ; 3

Prej cilave konstante dhe ndryshore është formuar çdo shprehje?

x; z?

Cilat operacione përfshihen te shprehjet e dhëna?

Vëre se disa shprehje janë vetëm konstante, kurse disa vetëm ndryshore. Te shprehjet tjera ndërmjet konstanteve dhe ndryshoreve ka vetëm operacion shumëzim. Disa ndryshore janë shkruar në formë të fuqisë. Shprehjet e dhëna paraqesin monome.

Në përgjith përgjithësi ësi Monome janë: konstante, ndryshore dhe shprehje që janë prodhim i konstanteve dhe fuqive të ndryshoreve. 2.

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë monome dhe sqaro përgjigjen. 2 x 2 y y;;

 [

;

\

 

( ab ) 3 ;

Kujt Ku jtoh ohu u!

B

Prodhimi i fuqive me baza të njëjta është fuqi me bazën e njëjtë dhe eksponent të barabartë me shumën e eksponenteve të shumëzuesëve. Caktoi këto prodhime: a4 × a2;

x3 × x5 × x. x.

Shumëzoi fuqitë me baza të njëjta te monomi 2a a b b. 2

3

4( z - 3 ) 2 ;

x + 2;

3.

 

;

y.. y

Është dhënë monomi 4 xy3 x2 y2. Prej cilëve shumëzuesë përbëhet monomi? Me cilët shumëzuesë te monomi mund të kryhet operacioni shumëzim? Kryeje shumëzimin me ato shumëzuesë.

2

Nëse zbaton vetinë komutative komutat ive dhe asociative asociativ e të shumëzuesëv shumëzuesëvee te monomi i dhënë dhe e kryen shumëzimin shumëzimi n do të fitojsh monom identik me monomin e dhënë.


63

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë F

4 x × x2 × y3 × y2 = 4( x x × x2) × ( y y3 × y2) = 4 x3 y5.

F

Vëre se monomi i fituar 4 x y ka vetëm një shumëzuesë numerik dhe nuk ka fuqi me baza të barabarta. 3

5

Nëse te një n jë monom mono m është krye operacion op eracionii shumëzim shumëz im me shumëzuesit shumë zuesit e tij që është e mundur, themi se ai monom është sjellur në formën normale. 4.

Vëre se si sillet monomi -3 -3 x y 2 x y në formën normale. 2

F

5.

2

3

2

-3 x2 y22 x3 y2 = (-3 × 2)( x x2 × x3) × ( y y2 × y2) = -6 x5 y4.

Shkruaj në formën normale këto monome: -2 x2 y 33 y 2 x2;

5 a 2 b 3 2a 4 b 2 ; 6.

2 x3 y y3 3 xy2(-3) xy. xy .

Është dhënë monomi -6 x5 y3. Cilët shumëzuesë te monomi janë konstante, kurse cilat janë ndryshore? Vëren se monomi -6 x y shumëzuesi -6 është konstante, kurse ndryshoret janë x dhe y. 5

3

Shumëzuesi numerik në formën normale të monomit (te rasti: -6) quhet koeficienti i monomit, kurse prodhimi nga ndryshoret (në rastin konkret: x y ), quhet vlera kryesore e monomit . 5

7.

3

Cakto koeficientin dhe vlerën kryesore të këtyre monomëve: -2 x2 y5;

3a 2 b 3 ;

-5 x2 y32 x3 y y..

Monomet: x; x y; ab kanë koeficient një. Njëshin si koeficient nuk e shkruajmë. 2

Cila është vlera kryesore e këtyre monomeve? Monomet: - x x ; -ab; - x x y kanë koeficient -1. 2

2

Shkruaje vlerën kryesore të këtyre monomeve.

C

8.

Janë dhënë monomet -3 x y dhe 4 x y . Vëre koeficientët dhe vlerat kryesore të dy monomëve. 3

2

3

2

Çka është e përbashkët për të dy monomët?

64

Tema 3. Polinomët

Të dy monomët kanë vlera kresore.

Monomët të cilët kanë vlera kryesore të barabarta quhen monomë të ngjashëm. 9.

Cakto cili prej këtyre monomëve është i ngjashëm. 2 x 5 y 2;

 



DE F ;



[ \ ;

-2 x5 y2;

- 3 a 2b 5c 3;

7 x5a2.

Kujt Ku jtoh ohu u! Dy numra racional; me vlerë absolute të njëjtë dhe shenja të kundërta quhen numra të kundërtë. 

Shkruaje numrin e kundërtë të çdonjërit prej numrave: a) -5; b) 7,8; c)  ; ç) 9,25. 

10.. 10

Janë dhënë monomët e ngjashëm: -3 x y dhe 3 x y . 2

3

2

3

Si janë ndërmjet veti koeficientët e monomëve të dhënë? Vëre se se koeficientët e monomëve: monomëve: -3 x y dhe 3 x y janë numra të t ë kundërtë. kund ërtë. 2

3

2

3

Dy monom të ngjashëm koeficientët e të cilëve janë numra të kundërtë quhen monome të kundërtë .

11.. 11

Shkruaje monomin e kundërtë të monomit:

12.. 12

Cakto cil;t prej këtyre monomeve janë të kundërtë.

Ç

-7a2bc 3;

- 7 a 3b2.

7ab 2c 3;

7a2bc 3.

Te monomi 5 x y z ndryshorja x është e shkallës së tretë, y është i shkallës së dytë dhe z i shkallës së parë. Shuma e shkallëve shkal lëve prej të gjitha ndryshoreve ndry shoreve është 3 + 2 + 1 = 6; prandaj thuhet thuh et se monomi 5 x y z është i shkallës së gjashtë. 3

3

13.. 13

5a2 x 3 y y;;

2

2

Cakto shkallën e çdo ndryshore te këto monomë: z;; 5 x 3 y 2 z

2a 3b3c 2.

Vëre dhe mbaj mend Shkalla e monomit paraqet shumën e eksponenteve të ndryshoreve te monomi. Nëse monomi është konstante, atëherë llogaritet se ai ka shkallë zero. Për shembull, monomi 4a bc është i shkallës së tetë, pasi 5 + 1 + 2 = 8, kurse kur se monomi 7 është i shkallës F zero. 5

2


65

14.. 14

Cakto shkallën e çdo monomi: -2 x3;

5 a2b ;

-4 x2 yz yz;;

8 a2b 2c 5.


të sillet monomi në formën normale normale;; të caktohet cak tohet koefici k oeficienti enti dhe dh e vlera kryesore e monomit; të përkufizojsh përkufi zojsh monomë mon omë të ngjashëm ngjas hëm dhe të kundërtë; të caktojsh shkallën shkal lën e monomit.

Shkruaj në formën normale këto monomë; -2 x y × (-3) xy xy dhe caktoi koeficientët dhe vlerën kryesore të monomit; 2

3

2

Është dhënë monomi -4 x y z. a) Shkruaj një monom të ngjashëm ngjashëm me monomin monomin e 3

2

dhënë. b) Shkruaj një monom të kundërtë kundërtë me monomin monomin e dhënë. c) Cakto shkallën e monomit të dhënë.

Detyra 1.

Shkruaj në formën normale këto monomë: 

-3a3b42a2c ;



[ \

 

5.

Cakto cilët prej monomëve janë të kundërtë:

[\ .

 

2.

Cakto koeficientët dhe vlerat kryesore të këtyre monomëve: 

-4 x 2 y 3; 3.



-2ab 2c 3; 6.

Cakto cilët prej këtyre monomëve janë të ngjashëm: 2

2



3

- 3a b c ;

 

7.

8. 2 3

2 xy z ;

66

2

2

5a b c .

Tema 3. Polinomët

 

D E F.

D E F.

Cakto shkallën e çdonjërit prej këtyre monomëve: 3a2bc 3;

[\ ] ;



Shkruaje monomin e kundërtë të monomit 

Shkruaj monom me koeficient -0,5 dhe vlerë kryesore a b . 2

4.

D E F.

2a2b3c ;

D E F;

-2 x2 y y;;

- 5a;

4 x3 yz yz..

Shkruaj dy monomë me koeficient -3 dhe ndryshore a dhe b, ashtu që njëri të jetë i shkallës së katërtë, kurse tjetri i shkallës së pestë.

3

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E MONOMËVE

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Janë dhënë monomët: 5 x y; -2 x y dhe 3 x y. 2

Shuma -5 + 12 + 3 - 10 - 7 njehsohet në këtë mënyrë: -5 + 12 + 3 - 10 - 7= (-5 - 10 - 7) +

2

2

A janë të ngjashëm ato monom? Sqaroe përgjigjen tënde. tënd e.

+ (+12 + 3) = -22 + 15 = -7.

Shkruaj monomët si shumë dhe mendo se si do ta njehsojsh atë shumë.

Njehso shumën: a) 9 - 4 - 15 + 2 + 8 - 6; b) -6,5 + 2,4 + 3,1 - 4,8 - 0,5.

Vëre mënyrën për mbledhjen e monomëve të dhënë.

MËNYRA

ZGJIDHJA

1

Të shkruarit e shumës së monomëve:

5 x2 y + ( -2 x2 y) + 3 x2 y

2

Lirimi prej kllapave:

3

Sipas vetisë distributive

4

Mbledhja e koeficientëve:

5 x2 y - 2 x2 y + 3 x2 y (5 - 2 + 3) x2 y 6 x2 y

Monomi që është është rezultat i mbledhjes mbledhjes a është është i ngjashëm me monomët - mbledhësat? mbledhësat? 2.

Cakto shumën shumën e monomëve: -9a b , 2a b dhe -4a b . 3

2

3

2

3

2

Vëre dhe mbaj mend Shuma e monomëve të ngjashëm është monom i ngjashëm me monomët që mblidhen, me koeficient të barabartë me shumën e koeficientëve të monomëve-mbledhësave. 3.

Cakto shumën e monomëve: 5 x y , 4 x y , -2 x y dhe -2 x y . 2

3

3

2

Te detyra ka monomë që nuk janë të ngjashëm: si do ta kryejsh mbledhjen në këtë mënyrë?

2

3

3

2

Në ra rast stin in e kë këti ti ll ë do t' i gr grup upoj oj më monomët e ngjashëm dhe pastaj do të caktojmë shumat.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. F

5 x2 y3 + 4 x3 y2 - 2 x2 y3 - 2 x3 y2 = (5 x2 y3 - 2 x2 y3) + (4 x3 y2 - 2 x3 y2) = (5 - 2) x x2 y3 + (4 - 2) x x3 y2 = = 3 x2 y3 + 2 x3 y2.


67

Kujtohu

B

Prej monomit 9a b të zbritet monomi mono mi -4 a b . 2

2

Të zbritet numri racional b prej numrit racional a domethënë: numrit a t'i shtohet numri i kundërtë i numrit b, d.m.th. a - b = a + (-b). Njehso ndryshimin e numrave: 9 dhe 4; 9 dhe -4;

4.

4

4

Vëren se monomët që duhet të zbriten janë monomë të ngjashëm. Vëre mënyrën për zbritjen e monomëve të ngjashëm.

-9 dhe -4 - 4.

1

Të shkruarit e ndryshimit:

2

Lirimi prej kllapave

3

Zbatimi i vetisë distributive:

(9 + 4) a2b4

4

Operacioni me koeficientët:

13a 13 a 2 b4

9a2b4 - (-4a2b4) = 9a2b4 + (+4a2b4) 9a2b4 + 4a2b4

Monomi që është ndryshim a është i ngjashëm me monomët i zbritshmi dhe zbritësi? Të zbritet monomi B prej monomit A doemthënë monomit A t'i shtohet monomi i kundërtë i monomit B, d.m.th. A - B = A + (-B). Monomi A - B quhet ndryshimi i monomëve mon omëve A dhe B. 5.

Prej monomit 4a b zbrite monomin 7a b. 2

2

Vëre mënyrën: 4a b - (+7a b) = 4 a b + (-7a b) = 4a b - 7a b = (4 - 7)a b = -3 a b. 2

6.

2

2

2

Prej monomit 7a x zbrite monomin: 2

2

a) 4a x ;

3

2

3

2

2

2

b) -4a x . 2

Duhet të dish:

3


të cakto caktojsh jsh shumën e dy dhe më shumë monomëv e ;

Cakto shumën e monomëve: -5 x y , -2 x y , -3 xy , 4 x y dhe -2 xy .

ta nj eh so sojj sh nd ndry rysh sh im in e dy mo mono no më mëve ve të ngjashëm.

3

2

3

2

2

a) -3a b dhe 5a b; 2

2.

2

5

2

2

2

b) 5 x , -2 x , -3 x , - x dhe 6 x . 2

68

2

Cakto shumën e monomëve: a) 6a b, -5a b , -2a b dhe -a b 2

3

2

3

dhe 5 x y 2

3

3

3.

Prej monomit 3ay zbrite monomin -5ay .

4.

Prej shumës së monomëve -3 x y dhe -2 x y zbrite monomin -7 x y.

3

3

b) 2 x y , -5 x y dhe x y .

2

2

2

2

Detyra Cakto shumën e monomëve:

2

Prej shumës së monomëve: -2 x y zbrite monomin - x x y . 2

1.

3

3

Tema 3. Polinomët

3

5

2

5

2

2

2

2

5.

Prej shumës së monomëve monomëve 5a b dhe -2a b zbrite ndryshimin e tyre. 2

3

2

3

4

POLINOMËT A

Kujt Ku jtoh ohu u!

1.

Janë dhënë shprehjet: 5 x y - 3 xy dhe 3a - 2 a b + b . 2

Çka është monom? Cilët monomë quhen monom të ngjashëm? Shkruaji në formë të shumës këto monomë: 2a b, -3ab , 3a b, ab . Cakto shumën e monomëve të ngjashëm. Sa monomë ka te shuma e monomëve të dhënë?

2

3

2

3

Prej sa monomë është formuar çdonjëra prej shprehjeve të dhëna?

A ka monomë të ngjashëm te çdonjëra prej shprehjeve të dhëna? Vëren se te shprehja 5 x y - 3 xy , mbledhësat janë monomët: 5 x y dhe -3 xy , të cilët nuk janë të ngjashëm. Shuma e dy monomëve të cilët nuk janë të ngjashëm quhet binom. Shprehja 3a - 2a b + ab është shumë shumë e monomëve: monomëve: 3a , -2a b dhe ab , të cilët nuk janë të ngjashëm. Shuma e tre monomëve, të cilët nuk janë të ngjashëm, quhet trinom. 2

2

3

2.

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

Cakto cili prej shprehjeve të përmendura është binom, kurse cili është trinom: 5 x y - 3 xy ; 5 x - 3 x + 5; ax - 3a y; 3 x y - 2 xy + y ; 5 x y ; 7 x - 2 x - 3 x - 7. 2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

3

2

Monomët, binomët binomët dhe shprehjet të cilat janë shumë e tre ose më shumë monomëve quhen polinomë . Monomët prej të cilëve është formuar polinomi quhen anëtarët e polinomit. 3.

Sa anëtarë ka çdonjëri prej këtyre polinomëve: a2b - 2ab2 + 3;

x3 + 2 y3;

y? 3 x2 y ?

B

Kujt Ku jtoh ohu u! 3

Shqyrto polinomin 3 x y + 2 x x y - 2 xy x y - 5. 2

Shkruaji në formën normale këto monomë: 5 xy 3 x y ; -2 x y 3 xy . 2

4.

2

4

2

Shkruaj dy monomë që janë të ngjashëm me monomin -2 x y . 3

2

2

2

2

Shkruaj të gjithë anëtarët anëtarët e polinomit në në formën normale. Vëreje mënyrën e të shkruarit e anëtarëve të polinomit 3 x y + 2 x x y - 2 xy x y - 5 në formën normale. 2

F

2

Vërej anëtarët e polinomit që nuk janë shkruar në formën normale.

2

Monomët që kanë vlera kryesore të barabarta quhen monomë të ngjashëm.

2

2

2

2

2

2

3 x2 y + 2 x2 x2 y2 - 2 xy2 x2 y - 5 = 3 x2 y + 2 x4 y2 - 2 x3 y3 - 5.


69

5.

Është dhënë polinomi 4 x y - 2 x y(3 xy ) - 3 x y xy. Shkruaje polinomin ashtu që të gjithë anëtarët e tij të jenë monomë mo nomë në formën f ormën normal n ormale. e.

6.

Është dhënë polinomi 3 x y - 2 xy - 3 x y - 4 xy + x y.

3

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

Te polinomi i dhënë a ka anëtarë të cilët janë monomë të ngjashëm? Grupoj monomët e ngjashëm te polinomi, kurse pastaj për monomët e ngjashëm kryej operacionet (mbledhje, përkatësisht zbritje). Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen zgjidh jen e dhënë dhe vëreje mënyrën. 3 x2 y - 2 xy2 - 3 x3 y3 - 4 xy2 + x2 y = (3 x2 y + x2 y) + (-2 xy2 - 4 xy2) - 3 x3 y3 = 4 x2 y - 6 xy2 - 3 x3 y3.

F

A ka monomë të ngjashëm te polinomi i atillë i fituar? Nëse te një polino polinom m disa anëtarë anëtar ë i sjellë në formën form ën normale ose kryen kry en mbledhjen mbledhje n (ose zbritjen) zbritj en) e anëtarëve anëtarëv e që janë monomë të ngjashëm, atëherë thuhet se te ai polinom është krye transformimi identik . Vëreve se te polinomi 4 x y - 6 xy - 3 x y të gjithë anëtarët janë shkruar në formën normale dhe nuk ka monomë të ngjashëm. 2

2

3

3

Në përgjith përgjithësi ësi Nëse te një polinom të gjithë anëtarët janë të shkruar në formën normale dhe nuk ka monomë të ngjashëm, thuhet se polinomi po linomi ka formë normale. 7.

Cakto cili prej këtyre këtyre polinomëve është në formën normale. 5 x2 + 3 xy + 2 y2;

2 x2 - 3 xy + y2 + 3 x2;

7a2b - 2abb2 - 3a2bab2;

8.

Transformoje në formën normale polinomin 7 x y - 2 x y - 2 x y - 3 x y .

9.

Është dhënë polinomi 2 x - 3 xy + 5 y .

3

2

2

2

3

3

2

2

3 x3 y - 2 x2 y2 + xy3.

3

2

Cakto koeficientin e çdo anëtari të polinomit të dhënë. Vëreve se koeficientët e anëtarëve anëtarëve të polinomit 2 x - 3 xy + 5 y janë numrat: 2, -3 dhe 5. 2

2

Te polinomi ax - bx + cx - 5 me ndryshore x koeficientët e anëtarëve të tij janë: a, -b, c dhe -5. 3

2

Koeficientët e monomëve që janë anëtarë të polinomit quhen quhen koeficientët e polinomit.

70

Tema 3. Polinomët

10.. 10

Caktoi koeficientët e këtyre polinomëve me ndryshore y. 4 y2 - 2 y - 5;

ay4 - 2by2 -4.

C

Kujt Ku jtoh ohu u!

11.. 11

Janë dhënë polinomët: 6 x y - 2 x y - 3 x dhe -6 x y + 2 x y + 3 x Vërej monomët e ngjashëm te dy polinomët. Çfarë monomë janë monomët e ngjashëm te dy polino polinomët? mët? 3

Për cilët dy monomë thuhet se janë monomë të kundërtë? Shkruaje monomin e kundërtë të monomit -3 x y . 2

3

3

Shkalla e monomit monomit paraqet shumën shumën e eksponentëve të ndryshoreve te ai. Cakto shkallën shkallën e monomit 2 x y z . 3

2

2

2

2

Vërej monomët e kundërtë te dy polinomët.

2 3

Të kundërtë janë monomët: monomët: 6 x y dhe -6 x y; -2 x y dhe 2 x y , -3 x dhe 3 x. 3

3

2

2

2

2

Për polinomët: 6 x y - 2 x y - 3 x dhe -6 x y + 2 x y + 3 x thuhet se janë polinomë të kundërtë. 3

2

2

3

2

2

Në për përgjithësi gjithësi Për dy polinomë thuhet se janë të kundërtë nëse të gjithë anëtarët e njërit polinom janë monomë të kundërtë me anëtarët e polinomot tjetër dhe anasjelltas. 12.. 12

Ç

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit 7 x y - 2 x y + 5 xy. 2

13.. 13

3

3

2

Është dhënë polinomi -3 x y + 2 x y + 5 x y - 6. 3

5

4

2

3

Cakto shkallën shkallën e çdo anëtari të të polinomit. Cili anëtarë i polinomit ka shkallë më të madhe? I cilës shkallë është anëtari -6? Vëren se anëtari i parë (-3 x y ) është i shkallës së tetë, i dyti (2 x y ) është i shkallës së gjashtë, i treti (5 x y) është i shkallës së katërtë dhe anëtari i katërtë (-6) është i shkallës zero pasi te ai nuk ka ndryshore. 3

5

4

2

3

Shkallë më të madhe (tetë) ka anëtari i parë. Për polinomin -3 x y + 2 x y + 5 x y - 6 thuhet se është i shkallës së tetë. 3

5

4

2

3


71

Në përgjith përgjithësi ësi Shkalla e polinomit në formën normale është shkalla më e madhe e monomëve që janë anëtarë të polinomit. 14.. 14

Cakto shkallën e çdonjërit çdonjërit prej këtyre polinomëve: 2 x + 3;

7 x3 y2 + xy3 - 2 xy;

3a2b - ab3;

Duhet të dish:

5 x - 7 y + 2.


të caktojsh caktoj sh se polinomi polino mi i dhënë a është ësh të në formën normale;

Sille në formën normale polinomin: 3 x2 y - 5 x2 y2 x3 y + 2 x2 y y..

të sjellish polinomin në formën normale;

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit: 1 + 5 x - 2 x - 3 x .

të sqarojsh cilët prej polinomëve janë të kundërtë;

2

3

Radhiti sipas madhësisë së shkallëve, duke filluar prej më të madhit, anëtarët anëtarët e polinomit 5 x y - 2 x y - 3 x y + 8. Cakto shkallën e polinomit të dhënë.

të caktojsh shkallën e polinomit dhe ta sqarojsh mënyrën për caktimin e shkallës.

3

2

3

5

Detyra 1.

Silli në formën normale normale anëtarët e polinomit:

4. Cakto koeficientët e polinomit sipas

ndryshores x: 5 x3 - 2ax2 + bx - 3.

2 x2 yxy2 - 3 x3 yy3 x2; -5a3b2b2 + 3a2b4b - 8a2b2. 2.

5.

6.

Njehso vlerën vlerë n numerike të polinomit polin omit x + 6 x 5 x - 3 për x = -2.

7.

Cakto shkallën e polinomit:

7 x3 + 2 x2 - 3 x - 2 x3 + 2 x2 3.

Transformoje në formën normale polinomin polinomin::

72

Tema 3. Polinomët

3

2

9 x5 y2 - 2 x3 y2 + 2 x2 y4; -4a8b + 2a7b - 3a6b.

2 x3 y2 y2 + 5 x2 y3 - 2 x2 y3 - 2 x2 x2 y, -2 x2 y2 + 3 x3 y - 2 x3 y + 2 x2 y2 + 7 xy3.

- x2 y3 + 3 xy2 - 2 xy.

4a2b - 2ab2 + 3 ab;

Sille në formën normale polinomin. 2 x2 y3 - 3 x3 y2 + 3 x2 y3 - 5 x3 y2

Shkruaje polinomin e kundërtë të polinomit:

8.

Te polinomi 5 x y - 2 x y + 3 x y - 7 radhiti anëtarët e tij sipas madhësisë së shkallëve. 2

3

2

2

4

5

SHUMËZIMI DHE FUQIZIMI I MONOMËVE

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Njehso prodhimin e monomëve: 3 x y dhe 2 x y. 2

Prodhimni i fuqive a dhe a është m

n

a ×a =a m

n

m

3

.

+ n

Njehsoii këto Njehso kë to prodhi p rodhime me: x5 × x3;

3

Vërej koeficientët dhe fuqitë me baza të barabarta. Si do ta kryejsh shumëzimin?

a3 × a.

Fuqia fuqizohet në atë mënyrë që baza e fuqisë fuqizohet me prodhimin prodhimin e treguesëve, treguesëve, d.m.th. (a ) = a m

n

m ×n

Mundem ndërmjet veti t'i shumëzoj koeficientët dhe fuqitë me baza të barabarta nga të dy monomët.

Njehso: a) ( x x ) ; b) (a ) . 2 3

2 5

Prodhimi fuqizohet me numër natyror ashtu që fuqizohen me atë numër të gjithë shumëzuesët. Për shembull: (a3 × b2)2 = a6b4.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 3 x y × 2 x y = (3 × 2) × ( x x × x ) × ( y y × y) = 6 x y . 2

Njehso: a) ( x x y ) ; b) (ab ) . 5

2 3

3

3

2

3

3

5

4

4 2

Sqaroe mënyrën gjatë njehsimit.

Monomët shumëzohen në atë mënyrë që shumëzohen koeficientët e tyre dhe fuqitë me baza të njëjta, ku fitohet monom në formën normale. 2.

Cakto prodhimin e monomëve: -8 x y dhe 2 xy ; 2

B

3.

2



-0,6a b c dhe 2,5a bc ; 2

3

3

2



[ dhe

 

[\ ;







DE F dhe 0,5ac2.

Cakto shkallën e tretë të monomit 2 x y . 3

A mundesh fuqinë (2 x y ) ta shkruajsh si prodhim? 3

2 3

2

Shkalla e tretë e monomit është: (2 x y ) = (2 x y ) × (2 x y ) ×(2 x y ). Prodhimin e atillë të fituar të tre monomëve, të cilën mund ta njehsoj. 3

2 3

3

2

3

2

3

2

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. F

(2 x3 y2)3 = 2 x3 y2 × 2 x3 y2 × 2 x3 y2 = (2 × 2 × 2) × ( x x3 × x3 × x3) × ( y y2 × y2 × y2) = 23 × ( x x3)3 × ( y y2)3 = 8 x9 y6.

F

Vëreve se: (2 x3 y2)3 = 23 × ( x x3)3 × ( y y2)3 = 8 x9 y6.

4.

Kryeje fuqizimin:

(5a2b4c )2;

(-3 x2 y3 z)3;

(-2a2xy3)4.


73


të njehsojsh prodhimin prodhi min e monomëve;

Cakto prodhimin:

të fuqizojsh monom me eksponent numër natyror.

(2 x3 y2) × (-3 xy2 z z)) × ( xy xy2 z z). ).

Cakto fuqinë e katërtë të monomit

Detyra 1.

-2 x yz . 2

5.

Cakto prodhimin e monomëve: -2a b c dhe

2ab dhe 3a b; 2

2.

2

2

3

 

3

2

2

Cakto fuqinë e dytë të monomit

DEF .

Caktoi këto prodhime të monomëve:

a) -2 x y ; 2

6.

3

y)) × (-2 xy2) × (3,5 x3 y3). (1,2 x2 y

Trego se për prodhimin e monomëve; -3a b dhe 2a b vlen vetia komutative e shumëzimit. 2

3

3



b)

3



D EF

Kryeje fuqizimin e monomëve:

(-5a (-5 a b c) × (2 (2a a b c);

3.

3

7.

(-3 y2)2;

(-2,5a2b3)2;

(3 x 2 y3)3;



 

D EF  .

Nj eh ehso so :

2

(-2a2b)2 × (3ab2); 4.

Trego se për prodhimin e monomëve: monomëve: -2a bc, 3ab c dhe -4abc vlen vetia asociative e shumëzimit. 2

2

6

Nj eh ehso so :

2

(( x2 y)2)3;

(( -2a3b2)3)2.

MBLEDHJA DHE ZBRITJA E POLINOMËVE

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Çka është polinomi? Emërtoi anëtarët e polinomit 5 x y - 2 x y - 3 xy . Formo polinom anëtarët e të cilit janë monomët: -5a b ; 2a b dhe 3ab. Vlera numerike e shumës së shprehjeve numerike: -12+3+18 dhe 5-9+1 njehsohet kështu: 3

3

3

2

2

2

3

2

(-12 + 3 + 18) + (5 - 9 + 1) = = -12 + 3 + 18 + 5 - 9 + 1 = =(-12 - 9) + (3 + 18 + 5 + 1) = = -21 + 27 = 6.

Njehso vlerën vl erën numerike numeri ke të shprehjes shpreh jes (-9 - 4 + 15) + (-2 + 8 - 16). 74

8.

(3 x3 y2) × (-2 x2 y4)3.

Tema 3. Polinomët

1.

Cakto shumën shumën e polinomëve: 3 x y - 3 x y - 2 xy dhe 4 x y - 2 x y . 3

2

2

3

3

2

2

Vëreje mënyrën për mbledhjen e polinomëve të dhënë. F

Të shkruarit e (3 x3 y - 3 x2 y2 - 2 xy3) + (4 x3 y - 2 x2 y2) shumës

F

Lirimi prej kllapave

F

Grupimi i monomëve të ngjashëm

= (3 x3 y + 4 x3 y) + + (-3 x2 y2 - 2 x2 y2) + (-2 xy3) =

F

Kryerja e operacioneve me monomë të ngjashëm:

= 7 x3 y - 5 x2 y2 - 2 xy3

3 x3 y - 3 x2 y2 - 2 xy3 + + 4 x3 y - 2 x2 y2 =

Të mblidhen polinomët domethënë të shkruhen njëpasnjë (si shumë) të gjithë anëtarët e tyre me shenjat

e tyre, kurse pastaj të kryhet sjellja e monomëve të ngjashëm, nëse ka.

2.

Cakto shumën e polinomëve: a) 5 x - 2 x - 3 x + 1 dhe 4 x - 2 x + 3; 3

2

2

b) 2a - 3a + 2a - 4 dhe 3a - 5a + 7. 3

2

3

Kujt Ku jtoh ohu u!

B

Prej monomit A të zbritet monomi B domethënë monomit A t'i shtohet monomi i kundërtë i monomit B, dm.th. A - B = A + (-B). Cakto ndryshimin ndryshimin e monomëve: 5 x y dhe -2 x y . 2

3.

3

2

3

Cakto ndryshimin e polinomëve: 7a b - 5a b - 6ab dhe 3a b - 2a b + 3ab . 3

F

Të shkruarit e ndryshimit:

F

Lirimi prej kllapave:

F

Grupimi i monomëve të ngjashëm:

F

Kryerja e operacioneve me monomët:

2

2

3

3

2

2

3

(7a3b - 5a2b2 - 6ab3) - (3a3b - 2a2b2 + 3 ab3) 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 - 3a3b + 2a2b2 - 3ab3 = = (7a3b - 3a3b) + ( -5a2b2 + 2 a2b2) + (-6ab3 - 3ab3) = 4a3b - 3a2b2 - 9ab3

Vëre dhe mbaj mend shtohet polinomi i kundërtë i polinomit B, Të zbritet polinomi B prej polinomit A domethënë polinomit A t'i shtohet d.m.th. 4.

Nj eh ehso so :

A - B = A + (-B).

(3ax3 - 5bx2) - (-ax3 + 2 bx2);

Duhet të dish: të njehsojsh njehsojs h shumën e polin polinomëve; omëve; të njehsojsh ndryshimin ndryshimi n e dy polinom polinomëve; ëve; ta sqarojsh mënyrën për mbledhjen, mbledhj en, përkatësisht zbritjen e polinomëve.

(7 x3 - 12 x2 + 3 x) - (5 x3 - 6 x2 - 2).


Transformoje në formën normale të polinomit këtë kët ë shprehje: (5a5b2 - 2a3b4) + (-a5b2 + 5 a3b4) + + (2a5b2 - 3a3b4)

Konstato a është i saktë barazimi: (9a3 - 4a2 - 3) - (7a3 - a2 - 3) = 2a3 - 3a2.


75

Detyra 1.

6.

Njehso shumën e polinomëve: polinomëv e:

a) 7 x - 2 x - 5 x dhe 4 x - 5 x - 4 x; b) 2,5a - 3b dhe -1,8a - 0,6b . 3

a) 3 a b - 2ab dhe a b - 3ab , b) 7 x - 4 x + x - 3 dhe 7 x - 3 x + 5. 2

2

3

2.

2

2

2

3

4

3

7.

2

3.

2

3

3

2

2

3

Polinomit 5 x y - 2 x y shtoja shumën e polinomëve:

9.

3

2

3

2

3

2

3

3

Transformoje në formën normale të polinomit këtë shprehje: a) (3 x - 2 xy - 2 y ) - ( x x + 2 xy - 6 y ); 2

2

8.

2

3

2

2

2

b) ( x - 4 xy + 4 y ) - (3 x - y ).

Cakto vlerën numerike të shprehjes: (6 y - 7 y + y) + (-4 y + 2 y - y), për y = 2. 3

4.

2

3

2

b) (-8a b - 4a b + 3 ab ) + ( a b + 4 a b -ab ). 3

2

3

2

Transformoje në formën normale të polinomit këtë shprehje: a) (5 x - 2 x + 8) + (4 x - x + 2 x - 5); 4

Njehso ndryshimin e polinomëve:

2

2

2

Cakto vlerën numerike të shprehjes: (3 x - 2 x - 4 x - 1) - (- x x + x ) për x = -2. 3

2

3

2

Cakto polinomin P ashtu që: P + ( x + 2 xy - 3 y ) = 3 x - 4 xy - 3 y . 2

2

2

2

2 x y + x y dhe x y - x y . 2

5.

3

3

2

2

3

3

2

10.. Për polinomët: A=3a2 - 4a + 1, 10

Trego se vlera e shprehjes

B = - a + 5a - 4 dhe C = 2a - a + 6 cakto: 2

(3 x - 2 x + 5) + (- x x - 2 x + 1) + (-2 x + 4 x -2) nuk varet prej x. 2

7

2

2

A - (B + C);

A - (B - C).

SHUMËZIMI I POLINOMIT ME MONOM

Kujt Ku jtoh ohu u!

Njeh Nj ehso so : -3 x5 y2 × 4 xy 2. Vetia distributive e shumëzimit në lidhje me mbledhjen shkruhet: (a + b) × c = a × c + b × c; a × (b + c) = a × b + a × c. Njehso në dy mënyra: (15 + 8) × 6 = 23 × 6 = ; (15 + 8) × 6 = 15 × 6 + 8 × 6 = Tema 3. Polinomët

Vetia distributive e shumëzimit ndaj mbledhjes mundëson prodhimi i polinomit dhe monomit të paraqitet në formën e polinomit.

A

Monomi shumëzohet me monom ashtu që do të shumëzohen koeficientët e tyre dhe fuqitë me baza të barabarta, ku fitohet monom në formën normale. Për shembull: -3a2b × 2a3b2 = =(-3 × 2) × (a2 × a3) × (b × b2) = -6a5b3.

76

2

.

1.

Vëren se si si njehsohet prodhimi prodhimi i polinomit 3 x + 4 y dhe monomit 2 x y . 2

3

3

2

F

Të shkruarit e prodhimit:

F

Zbatimi i vetisë distributive të shumëzimit ndaj mble- = (3 x2 × 2 x3 y2) + (4 y3 × 2 x3 y2) dhjes:

F

Shumëzimi i monomëve te kllapat (d.m.th. sjellja në = 6 x5 y2 + 8 x3 y5 formën normale):

(3 x2 + 4 y3) × (2 x3 y2)

2.

Cakto prodhimin:

(2 x3 - 3 x2 + 5 x) × 4 x2;

(3a2 - 2ab + b2) × 5a2b2.

mënyrë që çdo anëtar anëtar i polinomit do të shumëzohet shumëzohet me Polinomi shumëzohet me monom në atë mënyrë monomin dhe shuma e fituar do të paraqitet si polinom në formën normale.

3.

Cakto prodhimin:

4ax2 × (2a3 x - 5a2 x2 + 3 ax3);

(2,5 xy2 - 1,4 x2 y) × (-2 x2 y2).


të shumëzojsh shumë zojsh polin p olinom om me monom; ta sqarojsh mënyrën e shumëzimit të polinom polinomit it me monom.

Njehso prodhimin: a) (-5) × (4 x3 - 3 x2 + x); b) (-2 x3 y - 3 xy3 + 5) × (-2 x2 y2).

Detyra 1.

2.

3.

Njehso prodhim p rodhimin in: a) (2 x2 - 3 y3) × 4 xy; b) (5a3b - 3a2b2 + ab3) × (-2a2b2). Cakto prodhimin: a) 4 × (5a2 + 2a - 3); b) (-2) × (-3,5 x3 + x2 y2 - 3 y3).

4.

3

 

D E 

b)  [\  

 

[

  

DE  



 

[ \

E    

[\

  

DE \ .

2

3

2

2

5.

Paraqiti si polinom në formën normale këto shprehje: a) (3a2b - ab2) × a2b2 - 2a2b × ab3; b) (3 x3 - x2 + 2 x) × 5 x - (4 x2 - 3) × x2.

6.

Njehso vlerën vl erën numerike numeri ke të shprehjes shpreh jes 2 2 (3 x - 2 x + 1) × 2 x - ( x x - 3 x + 5) × 4 x për x = 2.

Caktoi këto prodhime: a) 

Le të jenë dhënë shprehjet: A = 2 x - 3 x + x, B = x + x - 3 x dhe C = 5 x . Silli në polinom në formën normale normale këto shprehje: a) (A + B) × C; b) C × (A - B).


77

8 SHUMËZIMI I POLINOMËVE Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Polinomi shumëzohet me monom në atë mënyrë që çdo anëtar i polinomit shumëzohet shumëzohet me monomin dhe prodhimet e fituara mblidhen.

Janë dhënë polinomet a + b dhe c + d . Njehso prodhimin (a + b) × (c + d ). Në çka do të sil sillet let shu shumëz mëzimi imi,, nës nësee binomin c + d e zëvëndëson zëv ëndëson me A?

Njehso prodhimin: a) (a + b) × c; b) x (2 + y); c) (2a2b - 3ab2 + 5) × 2ab.

Atëherë shumëzimi do të sillet në prodhimin (a + b)A, d.m.th. (a + b)A = aA + bA.

Çka do të fitojsh nëse A e zëvëndëson me c + d ?

Do të fitoj a A + b A = a(c + d ) + b(c + d ). ).

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: F

(a + b) × (c + d ) = (a + b) × A = a A + b A (ku A = c + d ) = a(c + d ) + b(c + d ) = ac + ad + bc + bd , d.m.th. (a + b) × (c + d ) = ac + ad + bc + bd .

Prodhimi i polinomëve a+b dhe c+d është i barabartë me shumën e prodhimeve të çdo anëtari të njërit polinom me çdo anëtar të polinomit tjetër. 2.

Njehso prodh prodhimin imin (2 x + 3) × ( y y + 5).

3.

Trego se barazimi (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd mund të interpretohet gjeometrikisht gjeometrikisht si barasi ndërmjet syprinës së drejtkëndëshit të madh dhe shumës së syprinave të katër drejtkëndëshave të vegjël (në vizatim). Shkruaj syprinat e çdo drejtkëndëshi sipas dimenzioneve të dhëna.

4.

78

Njehso prodhimi p rodhiminn e polinomëve: poli nomëve: 4 x - 5 x + 3 dhe 2 x - 3. 2

Tema 3. Polinomët

d

c

a

b

Vëreje mënyrën për shumëzimin e polinomëve të dhënë. F

Të shkruarit e prodhimit:

(4 x2 - 5 x + 3)(2 x - 3)

F

Shumëzimi i çdo anëtari të njërit polinom me çdo anëtar të polinomit tjetër:

= 4 x2 × 2 x + 4 x2 × (-3) - 5 x × 2 x - 5 x (-3) + + 3 × 2 x + 3 × (-3)

F

Kryerja e shumëzimit:

= 8 x3 - 12 x2 - 10 x2 + 15 x + 6 x - 9

F

Sjellja e polinomit në formën normale:

= 8 x3 - 22 x2 + 21 x - 9.

Polinomi shumëzohet me polinom në atë mënyrë që çdo anëtar i njërit polinom do të shumëzohet me çdo anëtar të polinomit tjetër dhe shuma e fituar do të paraqitet si polinom në formën normale.

5.

6.

Njehso prodhi prodhimin min (a3 + 2a2b - 3ab2) × (5a - 3b). Transformoje prodhimin (2 x - 3) × (3 x + 2) × (5 x - 1) në polinom që ka formën normale. Vëre se prodhimi i dhënë, për shkak të vetisë asociative të shumëzimit, mund të shkruhet: ((2 x - 3) × (3 x + 2)) × (5 x - 1) dhe të kryhet së pari shumëzimi i dy shumëzuesëve të parë.

Kujt Ku jtoh ohu u! Numri dyshifror dyshif ror me shifër të dhjetësheve dh jetësheve a dhe shifër të njësheve b në formën e zbërthyer shkruhet 10a + b. Shkruaj në formën e zbërthyer këto numra 62 dhe 68.

7.

B

Rregulla për shumëzimin e polinomëve ka zbatim të madh. Qe një zbatim (të vogël) për caktimin e shpejtë të prodhimit të numrave të formës: 62 × 68; 74 × 76; 53 × 57 57;; ato janë prodhime të numrave të dhjetëshes së njëjtë te i cili shuma e njësheve është ësht ë e barabartë bara bartë me 10.

Njehso prodhimi prodhiminn (10a + b) × (10a + c), ku b + c = 10. Duke e shfrytëzuar rezultatin e fituar, njehso 62 × 68. Vëreje mënyrën për caktimin e prodhimit (10a + b) × (10a + c), ku b + c = 10. (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = =100a2 + 10a × 10 + bc (za b + c = 10) = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.


79

Barazimin (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc mund ta shfrytëzojsh për zgjidhjen e detyrës. Sipas barazimit: 62 × 68 = 100 × 6 × 7 + 2 × 8 = 4200 + 16 = 4216. Prodhimi 62 × 68 mund të njehsohet edhe gojarisht gojarisht në atë mënyrë që numri i dhjetësheve dhjetësheve (6) shumëzohet me numër që është për 1 më i madh se ai (7) dhe ndaj prodhimit të fituar (42) përshkruhet prodhimi i njësheve të dy numrave (16), d.m.th. 62 × 68 = 4216. 8.

Njehsoi Njeh soi goja gojarish rishtt prodh prodhimet: imet: a) 34 × 36; b) 81 × 89; c) 53 × 57.

Duhet të dish:

Kontrollohu !

të caktojsh prodhim prodhi m të polino polinomëve; mëve; ta sqarojsh mënyrën për caktimin caktimi n e prodhimit të polinomëve.

Njehso prodhi p rodhimin min: 2 (4a - 2ab + b2) × (2a + b). Çka mungon për barazimin që të jetë saktë: (2 x2 - 3)(3 x2 - 2) = 2 x2 × 3 x2 - 3(-2)?

Detyra 1.

Njehso i këto prodhi Njehsoi prodhime: me: a) (2a + 3 b)(a - 2 b); b) ( x x + 2 xy - 5 y )(2 x - 3 y). 2

2.

3.

2

Njeh so: Njehso: a) (a - a b + ab - b )(a + b); b) ( x x + x y + xy + y )( x x - y). 3

2

2

3

3

2

2

3

Njehso: a) (1,2a - 2,5a + 0,2a)(a - 1,4); 3



b)  [ 

80

4.

2



 

[

2



 

[  [   .

Tema 3. Polinomët

Transformoe në polinom në formën normale këtë shprehje: (3 x - 2 x + 5)(4 x - 3)(2 x - 1). 2

5.

Njehso vlerën vle rën e shprehjes: shprehj es: ( x x + 1)( x x + 2) + ( x x - 3)( x x + 4) për x = 3.

6.

Njehsoi gojarisht prodhimet: a) 72 × 78 78;; b) 63 × 67 .

9 PRODHIMI I SHUMËS DHE NDRYSHIMIT TË DY SHPREHJEVE Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Polinomi shumëzohet shumëzohet me polinom ashtu që çdo anëtar i njërit polinom shumëzohet me çdo anëtar të polinomit tjetër dhe shuma e fituar paraqitet si polinom në formën normale.


Cakto prodhimin: (2a2 - 3b2)(4a - b2).

(A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 = A2 - B2,

d.m.th. fitohet identiteti (A + B)(A - B) = A2 - B2

Shuma e dy monomëve të kundërtë është zero. Cila prej këtyre shprehjeve e ka vlerën 0: a) -3a b + 3ab ; b) 2 x y - 2 x y ; c) a b - ab ; ç) - x x y + x y? 2

2

2

2

3

3

2

3

Le të jenë A dhe B shprehje. Njehso prodhimin (A + B) (A - B) dhe polinomini e fituar sille në formën normale.

Mbaj mend

2

3

Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të tyre.

Identi teti (A + B)(A - B) = A - B paraqet formulë për shumëzim të shkurtuar të shumës dhe ndryshimit Identiteti të dy shprehj shprehjeve. eve. 2

2.

2

Njehso prodhimin prod himin (2a + 3b)(2a - 3b) me ndihmën e formulës për shumëzimin e shkurtuar: (A + B)(A - B) = A - B . 2

2

Vëre me çka është e barabartë A, kurse me çka B. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhe vëreje mënyrën. F

Vëre se A = 2a dhe B = 3b.

F

Zëvëndëso te formula për shumëzimin e shkurtuar: A me 2a dhe B me 3b:

F

(2a + 3b)(2a - 3b) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2.

3.

Me ndihmën e formulës për shumëzimin shumëzimin e shkurtuar njehsoi njehsoi prodhimet: a) (3 x - y)(3 x + y);

B

4.

b) (5a + 2b)(5a - 2b);

c) (a - 3)(a + 3); 2

2

ç) (40 -1 )(40 + 1).

Me ndihmën ndi hmën e formulës (A + B)(A - B) = A - B , njehso prodhimin 42 × 38. 2

2

Numri 42 mund të paraqitet si shumë i numrave 40 dhe 2, d.m.th. 42 = 40 + 2. Shkruaje numrin 38 si ndryshim të numrave të njëjtë. Vëre se si do të zbatohet formula, që të njehsohet prodhimi 42×38: Monomët dhe polinomët polinomët

81

42 × 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

F

Kjo është një mënyrë për njehsimin e prodhimit të dy numrave, prej të cilëve njëri mund të shkruhet si shumë i dy numrave, kurse tjetri si ndryshim i numrave të njëjtë. 5.

Me ndihmën e formulës për shumëzimin e shkurtuar, njehso: a) 43 × 37 37;;

b) 68 × 72 72;;

ç) 20 1 × 199.

Duhet të dish:


të caktojsh prodhim pro dhim e shumës dhe ndryshimit ndryshimi t të dy monomëve;

Cakto prodhimin:

ta sqarojsh mënyrën për caktimin e prodhimit p rodhimit të shumës dhe ndryshimit të dy monomëve; ta zbatojsh mënyrën për caktimin e prodhimit p rodhimit të shumës dhe ndryshimit të dy monomëve në zgjidhjen e detyrave.

(-2a2 + 3b2) × (-2a2 - 3b2)

Njehso gojari gojarisht sht prodhi prodhimin min: 73 × 67.

Detyra 1.

5.

Caktoi prodhimet: a) ( x x - 3) ( x x + 3);

b) (2a + 3)(2a - 3).

Transformoje në polinom në formën normale këtë shprehje: a) ( x x - 2 y)( x x + 2 y) + 2 x - y ; 2

b) (a b + ab )(a b - ab ) + 2a(a b - ab ). 2

2.

Paraqiti si polin om në formën normale këto shprehje:

6.

a) (3 x y - 2 xy )(3 x y + 2 xy ); b) (6ab - 5a b)(6ab + 5a b). 2

2

3

3.

3

2

2

3

3

Cakto vlerën e këtyre shprehjeve: a) (60 - 1)(60 + 1); b) (100 + 4)(100 - 4).

Cakto vlerën e prodhimeve: a) 93 × 87;

b) 202 × 198.

2

a) x - 9; 2

7.

8.

2

2

Tema 3. Polinomët

2

4

b) 4 x - 9 y . 2

2

Transformoje shprehjen e dhënë në binom: a) (0,2ab - c)(0,2ab + c); 



[\





[\





[



.

Paraqite shprehjen e dhënë në polinom në formën normale. a) ( z z + 3)( z z - 3)( z z + 9); b) ( x x + y - 1)( x x + y + 1). 2

82

3

Cakto prodhimin që është i barabartë me ndryshimin e katrorëve:

b)  4.

2

10

KATRORI I BINOMIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Nëse A dhe B janë çfarëd çfarëdoo monomë, atëherë shprehjet (A+B) dhe (A-B) quhen katrori i shumës, përkatësisht katrori i ndryshimit të dy monomëve. Shkruaje katrorin e shumës dhe ndryshimit të monomëve: 3 x dhe 2 y. Shkruaj si prodhim fuqitë: a) a ; b) (a + b) ; c) (a - b) . 2

2

1.

Cakto katrorin e shumës A+B.

2

2

Si do të veprojsh që ta caktojsh (A+B) ? 2

Do të shkruaj: (A + B) = (A+B)(A+B), kurse pastaj do të njehsoj prodhimin. 2

2

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B 2 =A2 + 2AB + B 2, d.m.th (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Vëre dhe mbaj mend ! Katrori i shumës së dy monomëve është i barabartë me shumën e katrorit të monomit të parë, prodhimi i dyfishtë i monomit të parë dhe të dytë, dhe katrorit të monomit të dytë. F

Vëre mënyrën për caktimin e katrorit të shumës në këtë mënyrë: (2 x + 3 y)2 = (2 x)2 + 2 × 2 x × 3 y + (3 y)2 = 4 x2 + 12 xy + 9 y2. (3a + 2b)2;

2.

Caktoi katrorët e këtyre binomëve:

3.

Është dhënë katrori ABCD, me brinjën $% = a + b. Njehso syprinën e atij katrori.

( x x2 + y2)2.

D b

Vëre nësa pjesë është ndarë katrori ABCD me segmentat MN dhe PS.

S

S3 = ab

M

Vëre dimenzionet e çdo pjese. Cakto syprinën e çdo pjese.

a

C

S4 = b2 N

K

S2 = ab

S1 = a2

Syprina e katrorit S është shuma e syprinave S , S , S dhe S të pjesëve, d.m.th. S = S + S + S + S . 1

4

1

2

3

2

3

4

A

Shkruaje atë me syprinat e caktuara.

a

P

b

B

Vëreve se: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Te vizatimi gjeometrikisht është paraqitur me formulën (a + b) = a + 2ab + b . 2

2

2


83

4.

Me zbatimin e formulës (a + b) = a + 2ab + b mund të njehsohet 62 . 2

2

2

2

Shkruaje numrin 62 në formën e zbërthyer. Zbatoje formulën. Krahasoje zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. 622 = (60 + 2)2 = 602 + 2 × 60 × 2 + 22 = 3600 + 240 + 4 = 3844 .

F

B

5.

Cakto katrorin e ndryshiit A - B. Do të veproj në këtë mënyrë:

Si do të veprosh që të caktosh{ (A - B) ?

(A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = = A2- 2AB + B2.

2

Vëren se :

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Mbaj mend ! Katrori i ndryshimit të dy monomëve është i barabartë me katrorin e monomit të parë, minus prodhimit të dyfishtë të monomit të parë dhe të dytë, plus katrorin e monomit të dytë. Formulat: (A + B) = A + 2AB + B dhe (A - B) = A - 2AB + B quhen edhe formula për shumëzimin e shkurtuar. 2

F

2

2

2

2

2

Shqyrtoe mënyrën për caktimin e katrorit të ndryshimit të këtij shembulli: (5a - 2b)2 = (5a)2 - 2 × 5a × 2b + (2b)2 = 25a2 - 20ab + 4b2.

6. 7.

Cakto katrorët e këtyre polinomëve:

(3 x - 4 y)2;

(2a2 - b2)2.

Me zbatimin e formulave për katrorin e ndryshimit të dy monomëve, njehso 48 . Përpiqu vetë. 2

Shkruaje numrin 48 si ndryshim të 50 dhe 2. F

Zbatoe formulën (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.


8.

Nj eh so : 692

84

482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 × 50 × 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

372

Tema 3. Polinomët

982.


të caktojsh cakt ojsh katrorin ka trorin e shumës së dy d y monomëve; ta sqarojsh mënyrën për caktimin e katrorit kat rorit të shumës së dy monomëve dhe ta zbatojsh te detyrat;

Cakto:

(a + 3b)2;

Cakto:

  [   \  ; 

të caktojsh katrorin kat rorin e ndryshimit ndryshimi t të dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën për p ër caktimin e katrorit kat rorit të ndryshimit të dy monomëve dhe ta zbatojsh te detyrat;

822.

572.

Detyra 1.

Caktoi këto katror

6.

a) ( x x + 4) ; b) (2 x + 7 y) ; c) (3 x + 5 y ) . 2

2.

2

2

a) 41 ;

7.

2

b) 72 ;

2

2

2 2

Me zbatimin e formulës (a + b) = a + 2 ab + b cakto: 2

3.

2

2

8.

2

4.

2

2

2

2

2

9.

2

2

Cakto cili binom i katrorit është i barabartë me trinomin: a) x - 4 x + 4; 2

b) 4 x + 12 xy + 9 y . 2

5.

2

Zgjidhi këto barazime: a) ( x x + 2) - x = 16; 2

2

10.. 10

b) (3 x + 5) - 9 x = 55. 2

b) 9 x - 12 xy + 4 y . 2

2

Silli në formën normale këto polinome: a) (3 x -1) + ( x x - 5)( x x + 5); 2

b) (2a - 3b) + (2 a + 3 b) . 2

2

2

Shkruaje si polinom në formën formën normale këtë shprehje: 2

2

Cakto cili binom i katrorit është i barabartë me trinomin: a) a + 2 ax + x ;

2 2

a) (3 x - y) + ( x x - 2 y) ; b) (5a - 2b)2 - (a - b)2 + ( a + 3 b)2.

b) (3 x + 2 y) + (2 x + y) - ( x x + y) . 2

2

Me zbatimin e formulës (a - b) = a - 2 ab + b cakto: a) 38 ; b) 59 ; c) 96 . 2

Shkruaje si polinom në formën formën normale këtë shprehje: a) (a + 3) + (a + 4) ; 2

2

2

c) 105 .

2

Caktoi këto katror: a) ( a - 3) ; b) (3 x - 2 y) ; c) (4a - b ) .

2


85

1 1

PJESËTIMI I MONOMËVE. PJESËTIMI I POLINOMIT ME MONOM

Kujt Ku jtoh ohu u!

1.

A

Fuqi me baza të barabarta pjesëtohen ashtu që baza përshkruhet, përshkruhet, kurse eksponentët zbriten. Për shembull: a : a = a = a . 8

3

8-3

Njehso herësin e monomëve monomëve:: 6 x4 y5 dhe 2 x2 y2.

Vëreje mënyrën:

5

6 x4 y5 : (2 x2 y2) = (6 : 2)( x x4 : x2)( y y5 : y2) = 3 x2 y3.

Caktoi herësat: a) x : x ; 7

2

Sqaro se si është krye pjesëtimi i monomëve.

b) y : y . 5

4

Janë pjesëtuar koeficientët dhe janë pjesëtuar fuqitë me baza të njëjta. Shkruaje pjesëtimin pjesëtimin e monomëve në formë formë të thyesës, kurse pastaj pastaj cakto herësin. Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: 2.

 [ \



 [ \

 [





 [

\

  [ \ .

\

Njehso herësi herësinn 12 12a a6 y7 : ((-6a3 y2). Monomi me monom pjesëtohet pjesëtohet ashtu që pjesëtohet pjesëtohet koeficienti i të pjesëtueshmit pjesëtueshmit me me koeficientin e pjesëtuesit, kurse kurse fuqitë nga vlera kryesore e të pjesëtueshm pjesëtueshmit it pjesëtohen me fuqitë me me baza të njëjta të vlerës kryesore kryeso re të pjesëtuesit pjesëtu esit dhe herësat h erësat e fituara fit uara shkruhen shkruh en si prodhim. prodh im.

3.

Caktoi herësat:

-15 15a a5 x7 : (5 (5a a2 x3);

 [

Kujt Ku jtoh ohu u!

4.

B

;

( x x5 + x7) :: x x2 = x5 : x2 + x7 : x2 =

.

 

[ \

.

Polinomin 8a - 4a + 6a pjesëtoe me monomin 2a . 5

Vetia distributive e pjesëtimit në lidhje me mbledhjen mund të shkruhet: (a + b) : c = a : c + b : c . Nj eh so : (32 + 48) : 8 = 32 : 8 + 48 : 8 =

 

\

4

3

2

Si do ta shfrytëzojsh vetinë distributive? Çdo anëtar të polinomit 8a - 4a + 6a do ta pjesëtojsh me monomin 2a . 5

4

3

2


86

(8a (8 a5 - 4a4 + 6 6a a3) : (2 (2a a2) = (8 (8a a5) : (2 (2a a2) + (-4a4) : (2 (2a a2) + (6 (6a a3) : (2 (2a a2) = 4 4a a3 - 2a2 + 3a 3a.

Tema 3. Polinomët

5.

Kryeje pjesëtimin e polinomit me monom: (-6 x - 9 x + 3 x ) : (-3 x ). 5

4

3

2

Zbatoje vetinë distributive. Kryej pjesëtimet e përmendura Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë! F

(-6 x5 - 9 x4 + 3 x3) : (( -3 x2) = (( -6 x5) : (( -3 x2) + (( -9 x4) : (-3 x2) + (3 x3) : (-3 x2) = 2 x3 + 3 x2 - x x..

Polinomi pjesëtohet me monom ashtu që çdo anëtar i polinomit do të pjesëtohet me monomin, kurse herësat e fituar do të mblidhen. 6.

Njehso herësat: h erësat: (18 x5 y3 - 24 x4 y4 + 12 x3 y5) : (6 x2 y2);

(4a3b2 - 8a4b3) : (-4a2b).

Duhet të dish:


të caktojsh cak tojsh herësin e dy monomëve; ta sqarojsh mënyrën mëny rën për pjesëtimin e monomit me monom;

Sille polinomin në formën normale: (-4 x y ) : (2 x y ) + (-6 x y ) : (-2 x y ) = 3

të pjesëtojsh polinom me monom; ta sqarojsh mënyrën për pjesëtimin e polinomi polinomitt me monom.

4

2

2

5

3

3

.

2

Cakto herësin: (6a b - 9a b + 3 a b ) : (3a b ) = 5

4

4

3

3

2

3

2

.

Detyra 5. 1.

Njehsoi herësat:

a) (4 x y - 6 x y - 8 x y ) : (2 x y ); 5

a) (16 x y ) : (4 xy); 3

2.

b) (-9a b ) : (3a b ).

2

3

5

2

2

Nj eh ehso so :

3

a) (1,44 x y ) : (1,2 x y ); b)  3.

 

2

D E   

2

 

2

4.

Njehso vlerën vl erën e shprehjes: shprehj es: D E D E

3

3

4

3

2

4

4

3

5

2

2

2

4

3

2

3

b) (4 (4a a2b - 12 12a a4b3) : (4 (4a a2b). 7.

Silli në polinom në formën normale: a) (9a2b3 - 12 12a a4b4) : 3a 3 a2b - (2 + 3a 3a2b) × b2;

a) (( ((-2a3b) × (-3ab3)) : ((-6a2b2); §§  · §  ·· §  · b) ¨ ¨ [ \ ¸  ¨ [ \ ¸ ¸  ¨ [ \ ¸ . ¹ ©  ¹¹ ©  ©©  ¹

4

Nj eh so : a) (-4 x + 12 x y + 16 x y ) : (4 x ); 5

D E .

Silli në monom në formën normale:

2

b) (12a x - 8a x - 4a x ) : (4a x ). 6.

5

Njehsoi herësat:

b) ( x x2 - 2 xy xy)) × (3 x2) - (9 xy3 - 12 x4 y2) : (3 xy xy). ). 8.

Cakto x prej barazimeve: a) 6 x + (4 x3 - 12 x2) : 2 x2 = 10; b) 6 x - (14 x2 - 21 x3) : 7 x2 = 16.

për a = -2 dhe b = 2. Monomët dhe polinomët polinomët

87

12

PJESËTIMI I POLINOMIT ME POLINOM

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Nëse (2a - 5)(3a - 2) = 6a - 4a - 15a + 10, atëherë me çka është e barabartë: 2

3

2

(6a (6 a3 - 4 4a a2 - 15a 15 a + 10) : (2 (2a a2 - 5); (6a (6 a3 - 4 4a a2 - 15a 15a + 10) : (3a (3a - 2)?

Si është fituar anëtari i parë i prodhimit 6a - 4a - 15a + 10? 3

2

1.

Polinomi 6 x - 7 x - 7 x + 6 të pjesëtohet me polinomin 2 x - 3. 3

2

Pjesëtoe anëtarin e parë të pjesëtueshmit me anëtarin e parë të pjesëtuesit. Shumëzoe pjesëtuesin 2 x - 3 me herësin e fituar. Përpiqu prodhimin e fituar ta zbresish prej të pjesëtueshmit.

Nëse i kryen tre aktivitetet paraprake, ti e ke fituar anëtarin e parë 3 x x të herësit. Nëse i realizon të tre aktivitetet me mbetjen dhe pjesëtuesin do ta fitojsh anëtarin e dytë të herësit. 2

Vëre mënyrën për pjesëtimin e polinomëve të t ë dhënë. Vëre se atë praktikisht praktikisht do ta realizojsh. Kryerja e operacioneve Të shkruarit e pjesëtimit Mënyrat gjatë pjesëtimit të veçanta 3 (6 x3 - 7 x2 - 7 x + 6) : (2 x - 3) = 3 x2 + x - 2 Anëtari i parë 6 x i të pjesëtueshmit pjesëtohet me anëtarin e parë 2 x të pjesëtuesit dhe fitohet (6 x3) : (2 x) = 3 x2 6 x3 - 9 x2 2 1 + E F anëtari i parë i herësist; 2 x2 - 7 x + 6 Pjesëtuesi 2 x - 3 shumëzohet me anëtarin e 2 x2 - 3 x + 4 dytë 3 x2 të herësit dhe prodhimi i fituar 6 x3 9 x2 zbritet prej të pjesëtueshmit, d.m.th. me 2 - 4 x + 6 E (2 x - 3) × (3 x2) = 6 x3 - 9 x2 ndryshimin e shenjave e shton shprehjen e F - 4 x + 6 6 + kundërtë -6 x3 + 9 x.

E

F 3

F 4

F 5

F 6

F 7

88

Tema 3. Polinomët

Anëtari i parë 2 x2 i mbetjes nga zbritja pjesëtohet me anëtarin e parë 2 x të pjesëtuesit dhe fitohet anëtari i dytë i herësit; Pjesëtuesi 2 x - 3 shumëzohet me anëtarin e dytë x të herësit dhe prodhimi i fituar zbritet nga mbetja 2 x2 - 7 x + 6; Anëtari i parë -4 x i mbetjes -4 x + 6 pjesëtohet me anëtarin e parë 2 x të pjesëtuesit 2 x - 3 dhe fitohet anëtari i tretë i herësit; Pjesëtuesi 2 x - 3 shumëzohet me anëtarin e tretë -2 të herësit dhe prodhimi i fituar zbritet nga mbetja -4 x + 6. Fitohet mbetja 0, me të cilën mbetja është krye.

(2 x2) : (2 x) = x

(2 x - 3) × x = 2 x2

-

3 x

(-4 x) : (2 x) = -2

(2 x - 3) × (-2) = -4 x + 6

Sipas mënyrës që e vërejte gjatë pjesëtimit pjesëtimit të polinomëve, përgjigju në pyetjet: pyetjet: Me cilin anëtar të pjesëtuesit kryhet pjesëtimi? Cilët anëtar pjesëtohen me anëtarin e parë të pjesëtuesit? 2.

Shqyrtoje mënyrën e pjesëtimit të polinomi polinomitt me polinom te shembulli ( x 4- 3 x 3 + 3 x 2 + 6 x - 10) : ( x 2 - 2).

Sqaroi mënyrat prej 1 deri 6 që janë shkruar. 4 x ( x

-

4

3 x3 +

3 x2 +

-

3 x + 5

2 x2

-

x

-

2 2 x - 2) = x 6 x - 10) : ( x

+

3 x3 + 5 x2 + 6 x - x3 + 6 x +3 -

5 x2 5 x2 -

-

10

-

10 -+ 10 0

3.

Caktoi herësat: a) ( x x + 5 x + 8 x + 4) : ( x x + 1); b) (3a - 5a + 14a - 8) : (3a - 2). 3

Vëre se gjatë pjesëtimit të polinomit me polinom duhet paraprakisht anëtarët te polinomët të jenë të radhitur prej fuqisë më të madhe deri te më më e vogla të njërës nga ndryshoret. ndr yshoret.

2

3

4.

1. x4 : x2 = x2 1. x 2. ( x x2 - 2) × x2 = x4 - 2 x2 3. ((- 3 x3) : x : x2 = -3 x 4. ( x x2 - 2) × (-3 x x)) = -3 x3 + 6 x 5. (5 x2) : x : x2 = 5 6. ( x x2 - 2) × 5 = 5 x2 - 10.

2

Provo a është i saktë pjesëtimi i kryer: (3a4 - 2a3 - 8a2 + 6a 6a - 3) : (a (a2 - 3) = 3a 3a2 - 2a + 1.

Duhet të dish:


të pjesëtojsh polinom me polinom; Cakto herësin e polinomit 2 x + x - 5 x + 2 dhe x + 2, kurse pastaj kontrollo a e ke kryer saktë pjesëtimin. 3

ta sqarojsh mënyrën për pjesëtimin e polinomi polinomitt me polinom.

2

Detyra 1.

Nëse është a) (a b) (a

2 2

2.

(a - 1)(a + 1) = a - 1, atëherë me çka i barabartë - 1) : (a - 1); - 1) : (a + 1)? 2

Caktoi këto herësa: a) (2a - 7 ab + 6b ) : (a - 2 b); b) (6 x - 11 x + 13 x - 12) : (3 x - 4); c) (2a + 5 a b - 5 ab + b ) : (2a - b). 2

2

3

2

3

2

2

3. Kontrollo a janë të sakta barazimet:

a) (6 x - 11 x + 23 x - 15) : ( x x - x + 3) = = 6 x - 5 b) (2a + 5a - 6a - 15) : (a - 3) = 2a + 5. 3

3

2

2

2

2

4. Cakto polinomin po linomin A ashtu që jetë saktë barazimi:

( x x3 - y3) : A = x - y.

3


89

13

SHPREHJET RACIONALE

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Janë dhënë shprehjet: a) 2a + 3b; b) x - 5 x + 7;

Shprehje numerike janë: 14 - 6; 25 + 3 × 6;

2

100-5 ; (1,6+3,8):(7-6,5); §¨    ·¸   etj. © ¹  2

c)

Shprehje me ndryshore janë:

\

.

 [

Me cilat operacione janë lidhur konstatntet dhe ndryshoret te shprehjet e dhëna?

  \ etj. [   \ Njehso vlerën vl erën numerike numeri ke të shprehjes shpreh jes x - 2 x + 1 për x = -2. x + 8; 3 y2 - 5,

Vëre në tabelë konstantet, ndryshoret dhe operacionet me ato te shprehjet e dhëna.

2

2a + 3b 3b

x2 - 5 x + 7

konstantet

2; 3

1; -5; 7

ndryshoret

a; b

[



\

 [ 1; -2; 3

x

x;; y x

zbritje, shumëzim, mbledhje dhe fuqizim.

shumëzim dhe mbledhje

operacionet



Prej cilëve konstante dhe ndryshore është formuar çdonjëri nga shprehjet e dhëna?

Njehso vlerën vl erën e shprehjes shpre hjes numerike numer ike (13,5 - 8,25) : (4 - 1,5).

shprehja

[

zbritje, shumëzim dhe pjesëtim.

Prej tabelës mund të vërejsh se shprehjet e dhëna janë formuar prej konstanteve (numrave) dhe ndryshoreve (shkronjave), të lidhura me operacionet: mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe fuqizim me eksponent numër natyror, dhe vetëm me ato. [   \ Shprehjet si: 2a + 3b; x - 5 x + 7 dhe quhen shprehje racionale . 2



Shprehja x - 3 2

2.

[

nuk është racionale, pasi ndryshorja x është nën shenjën për rrënjëzim.

Cilët prej këtyre shprehjeve janë shprehje racionale: \

x2 - 2 x + 1;

B

3.

 [

;



     [  ;





[

.

Janë dhënë këto shprehje racionale: 3 x2 - 1;

[





\

;

[





[





;

 

[



;

Te cilat prej shprehjeve racionale të dhëna ka pjesëtim me ndryshoret? 90

D

Tema 3. Polinomët

( x x2 - 1) : ( x x + 2).

Çka do të thotë shprehja të ketë pjesëtim me ndryshore?

Vëren se te shprehjet racional racionale: e: 3 x - 1, 2

[



\

dhe

Kjo do të thotë pjesëtuesi, përkatësisht emëruesi te shprehja të përmban ndryshore. 

  atilla racionale quhen shprehje të plota racionale .

Shprehjet, si

[





4.





 nuk ka pjesëtim me ndryshore. Shprehjet e

dhe ( x x - 1) : ( x x + 2), te të cilat përfshihet pjesëtimi me ndryshore quhen shprehje 2

 thyesore racionale . [

[

Cilët prej këtyre shprehjeve racionale janë: a) shprehje të plota ra racionale; 

[

 5.



\

;







b) sh shprehje th thyesore ra racionale? 

;

[





[

;





 [

;

[   [  

[

;



[  

.

Janë dhënë polinomët: 3 x y, 2 x - 3 y, x - 3 x + 5. Cili lloj i shprehjeve shprehjeve racionale janë polinomët polinomët e shkruar? 2

2

Kujt Ku jtoh ohu u!

C

6.

Njeh so vle Njehso vlerën rën nume numerik rikee të shpr shprehj ehjes es racionale x - 2 x - 1 për x = -2. 2

Cila prej këtyre shprehjeve numerike nuk ka vlerë numerike:  



       



  

Zëvëndësoe ndryshoren x m e -2, çfarë shprehje do të fitojsh pas zëvëndësimit?

?

Për cilën vlerë të x emëruesi i shprehjes racionale  [ [





është zero?

Do të fitoj shprehje numerike: (-2) - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Vlera numerike e shprehjes x - 2 x - 1 për x =- 2 është 7. 2

Për x = 3 shprehja e dhënë a ka vlerë?

2

7.

8.

Njehso vlerën numerike n umerike të shprehjes shpre hjes racionale rac ionale

[ 

\

[ 

\

për x = 3 dhe y = -1.

 . \   Për cilën vlerë të ndryshores y vlera e emëruesit është zero?

Është dhënë shprehja racionale

 \

Cilat janë vlerat e lejuara të ndryshores y te shprehja e dhënë? Monomët dhe polinomët polinomët

91

Vëren se: nëse y = -3, atëherë y + 3 = -3 + 3 = 0. Prandaj nëse y = -3, atëherë shprehja racionale

 \ \









nuk ka vlerë. Bashkësia e vlerave të lejuara të kësaj shprehje R \ {-3}, d.m.th. të gjithë numrat realë përveç numrit -3. 9.

Caktoi vlerat e lejuara të ndryshores te çdonjëri prej shprehjeve:  [ [  

[

;

 [ 



 [   [  



;

 [  

.


të përmendish shembuj për shprehjet shpr ehjet racionale; racion ale;

Çfarë shprehje racionale janë ndryshoret?

të përkufizojsh shprehje racionale;

cilat shprehje thyesore janë racionale?

të përkufizojsh shprehje shprehj e thyesore racionale; të caktojsh vlerën numerike të shprehjes racionale; do të caktojsh vlerat e lejuara të ndryshores te shprehja racionale.



[

x2 - 3 x + 5;



[

;

[   

.

Caktoi vlerat e lejuara të ndryshores x te shprehja racionale

 [    [   [  

.

Detyra 1.

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje racionale. 5 x - 2;

2.

[





[





 [ [

3.

;

;



\



 [

;

[   [    [   [



[

[





për

.

Tema 3. Polinomët

5.

Për cilat vlera të ndryshores y shprehja

\     \

nuk ka kuptim? ;

.

Cakto vlerën vlerën numerike të shprehjes shprehjes racionale x - 3 x + 5 për x = 2. 2

92

 [

x= x =4. [

Cakto cilat prej këtyre shprehjeve janë shprehje të plota, kurse cilat shprehje thyesore racionale. 2 x2 - 3 y2;

4. Njehso vlerën numerike të shprehjes

6.

Cakto bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshores te shprehja racionale  [  [   [  

.

ZBËRTHIMI I POLINOMËVE NË SHUMËZUES 14 ZBËRTHIMI I POLINOMËVE ME NXJERRJEN E SHUMËZUESIT TË PËRBASHKËT PARA KLLAPËS DHE ME GRUPIM Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Polinomin ax2 + ay2 shkruaje si prodhim.

Te prodh prodhimi imi 60 = 4 × 15 numrat 4 dhe 15 janë shumëzuesë, kurse numri 60 prodhimi i tyre. Përkujtohu në vetinë distributive të shumëzimit.

Thuhet se te shënimi 60 = 4×15 numri 60 është zbërthye në shumëzuesë. Nëse shkruhet:60=2 shkruhet :60=2×2×3×5 ku shumëzuesët janë numra të thjeshtë, thuhet numri 60 është zbërthye në shumëzuesë të thjeshtë. Zbërtheje numrin 36 në shumëzuesë të thjeshtë. Zbërtheje numrin 28 në shumëzuesë të thjeshtë. Caktoi këto prodhime: a( x x2 + y2).

(a + 3) ( x x + y y). ).

Polinomi ax2 + ay2 fitohet kur polinomi me monomin a. x2 + y2 do të shumëzohet me

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhje e dhënë. F

ax2 + ay2 = a( x x2 + y2).

Thuhet se me këtë transformim identik polinomi ax 2 + ay 2 është zbërthye në shumëzuesë me nxjerrjen e shumëzuesit të përbashkët para kllapave.. kllapave

2.

Zbërthei në shumëzuesë këto polinome: polinome :

3.

Zbërtheje në shumëzuesë shumëzuesë polinomin 3ax2 + 6bx 6bx2 - 12cx 12cx2.

Cili është shumëzuesi i përbashkët për të gjithë anëtarët e polinomi polinomitt të dhënë?

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

3a + 3b 3b;

ax2 - bx2.

Shumëzuesi i përbashkët i të gjithë anëtarëve të polinomit është 3 x 2. Domethënë që ta zgjidhish detyrën atë do ta nxjerrë para kllapave. F

bx2 - 12 cx2 = 3 x2(a + 2b 3ax2 + 6 6bx 12cx 2b - 4c).

Vëre se polinomin në kllapa e fitojmë duke e pjesëtuar polinomin e dhënë me shumëzuesin e përbashkët të nxjerrun para kllapave. 4.

Zbërthej në shumëzuesë këto polinomë: polinomë :

5.

Zbërthej në shumëzuesë shprehjen 2a( x x - y y)) - 3b( x x - y y). ).

10 x3 -5 x2 + 15 x x;;

4a3b -6a2b2 + 8ab3.

Zbërthimi i polinomëve në shumëzues

93

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. dhënë.

F

2a( x x - y y)) - 3b( x x - y y)) = ( x x - y y)(2 )(2a a - 3b).

6.

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen

5 x x((a + 2b 2 b) - 2 y y((a + 2b 2 b).

7.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin

ax + 3 x + 3 y + ay ay..

A kanë shumëzuesë të përbashkët të gjithë anëtarët anëtarët e polinomit? Si do ta zbërthejsh polinomin në shumëzuesë?

Të gjithë anëtarët nuk kanë shumëzues të përbashkët. Do t'i grupoj anëtarin e parë me të katërtin dhe të dytin me të tretin, ose të parin me të dytin dhe të tretin me të katërtin. katërti n.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhënë.. F

8.

ax + 3 x + 3 y + ay = (ax ay)) + (3 x + 3 y y)) = a( x x + y y)) + 3( x x + y y)) = (a + 3) ( x x + y y). (ax + ay ).

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin 2ax - 6ay + bx - 3by by..

Duhet të dish:


të zbërthejsh polinom në shumëzuesë duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapës dhe me grupimin e anëtarëve;

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen shprehjen:: 15a 15 a2b - 10 10ab ab2 + 5ab 5 ab..

ta sqarojsh mënyrën për zbërthimin e polinomit në shumëzuesë duke nxjerrë shumëzuesë të përbashkët para kllapës.

ax((a - x ax x)) + (a - x x). ). ax + bx + a + b.

Detyra 1.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin: polinomin : a) 5a 5a + 5 x x;;

b) 2ax + 4ay 4ay;;

3.

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen shprehjen:: a) 2a 2a( x x - 3) - 3b 3b( x x - 3);

c) axy - bxy bxy..

b) 5 x x(5 (5 - x - x)) - 3 y y(5 (5 - x - x); ); c) 3 x x(2 (2a a - 3b 3 b) - (2a (2a - 3b 3 b).

2.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin: polinomin : 2

2

3

3

a) 12 x y - 9 xy + 3 x y ; 3

2

3

2

2

3

3

2

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen: shprehjen : a) 2a 2a(3 y - 4) - 5b 5b(4 - 3 y y); );

3

3

b) 7 x y - 14 x y + 21 x y ; 2

4.

2

c) 6a b - 9a b + 3a b .

udhëzim: -5b(4 - 3 y) = 5b(3 y - 4);

b) 3 x3 - 3 x2 + y2 - xy2; c) 3a2 x - 2a 2 a2 y - 2 y + 3 x x..

94

Tema 3. Polinomët

15 ZBËRTHIMI I POLINOMIT TË FORMËS A2 - B2 NË SHUMËZUES TË THJESHTË Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Prodhimi i shumës dhe ndryshimit të dy shprehjeve është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të shprehjes së parë dhe të dytë, d.m.th. ( A A + B)(A - B) = A2 - B2.

Zbërtheje në shumëzues polinomin 4a2 - 9b2. Vëren se 4a2 = (2a (2 a)2 dhe 9b2 = (3 (3b b)2. Si mundesh ta zbatojsh formulën A2 -B2 = (A + B) (A - B)? B)?

Caktoi prodhimet: ( x x + 5) ( x x -5);

1.

(3a - 2b)(3 )(3a a + 2b 2b). Nëse A 2 = (2a (2a)2 dhe B2 = (3b (3b)2 atëherë 4a2 - 9b2 = (2 (2a (3b mundem m a)2 - (3 b)2. Tani munde ta zbatoj formulën A2 - B 2 = (A + B)(A - B).

Shkruaje prodhimin prej të cilit është fituar shprehja 4 x2 - y2.


2.

4a2 - 9b2 = (2a (2a)2 - (3 (3b b)2 = (2a (2a + 3b 3b)(2 )(2a a - 3b). 9 x2 - y2;

Zbërthej në shumëzuesë polinomin: polinomin:

B

3.

4a2 - 25 x2.

Zbërtheje në shumëzues polinomin: polinomin: 18 x2 - 50 y2.

Në këtë rast nuk ka numë numërr i cil cilii i ngritur në katror jep 18 ose 50. Si do taa z b ë r t h e j sh k ë t ë p o l i n o m n ë t shumëzuesë?

Te polinomi i dhënë do të nxjerrë para kllapës 2 dhe do të fitoj 2(9 x2 - 25 y2), kurse pastaj për shprehjen në kllapa do ta zbatoj formulën A2 - B 2 = (A + B)(A - B).

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. dhënë. F

18 x2 - 50 y2 = 2(9 x2 - 25 y2) = 2((3 x x))2 - (5 y y))2) = 2(3 x + 5 y y)(3 )(3 x - 5 y y). ).

Vëren se polinomi 18 x2 - 50 y2 është zbërthye në shumëzuesë. Asnjëri prej shumëzuesëve nuk mund të zbërthehet. Prandaj Prandaj thuhet se polinomi është zbërthye në shumëzues të thjeshtë. thjeshtë . 4.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinome polinome:: 12a 12 a2 x - 27 27b b2 x x;;

3ax2 - 12 12ay ay2.


95

C

5.

Zbërtheje në shumëzuesë të thjeshtë shprehjen (a + 5)2 - (b - 2)2.

Le të jetë a + 5 = A dhe b - 2 = B. Si do ta zbatojsh formulën A2 - B2 = (A + B)(A - B)?

Nëse a + 5 = A dhe b - 2 = B, atëherë (a + 5)2 = A2 dhe (b (b - 2) 2 = B2, kurse (a + 5)2 - (b ( b - 2)2 = (a (a + 5 + b - 2)(a 2)(a + 5 -b - b + 2).


6.

(a + 5)2 - (b - 2)2 = (a (a + 5 + b - 2)( 2)(a a + 5 - b + 2) = (a (a + b + 3)(a 3)(a - b + 7).

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto shprehje: shprehje: (2 x - 3)2 - (3 y + 2)2;

( x x + y y))2 - x2 y2.


të zbërthej z bërthejsh sh në shumëzuesë polino polinom m të formës 2 2 A -B;

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomet: polinomet:

ta sqarojsh mënyrën për zbërthimin e polinomit të formës A 2 - B 2 në shumëzuesë.

a2 - 25 25b b2;

7a2b2 - 28;

(5a (5 a - 3b)2 - (2 (2a a - 7b)2.

Detyra 1.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: polinomët: a) x a) x2 - b2;

b) 4a2 - 49 y2;

c) 16a 16a4b2 - 25.

3.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët: polinomët: a) ( x - 5) 2 - ( y - 3) 2; b) (4a (4a + 3b 3b)2 - (a ( a - 2b 2 b)2;

2.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinomë:: polinomë a) 5a 5 a2 - 20 x2;

b) 7a2 x2 - 63 x2b2;

c) 5 x3 - 5 x x..

c) ( x x2 + 6)2 - 49.

mëny rë të zakonshme zakons hme prodhimet: prodhi met: 4. Njehso në mënyrë a) 642 - 362; b) 752 - 252; c) 7252 - 2752; udhëzim: 642 - 362 = (64 + 36)(64 - 36).

96

Tema 3. Polinomët

16

ZBËRTHIMI I POLINOMIT TË FORMËS A2 + 2AB + B2 DHE A2 - 2AB + B2 NË SHUMËZUESË TË THJESHTË

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Nëse A dhe B janë j anë çfarëdo monomë, atëherë 2 2 (A + B) = A + 2AB + B2 dhe (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

1.

Cakto binomin A + B, ku A dhe B janë monomë, që të jetë saktë barazimi 4 x2 + 12 xy + 9 y2 = (A + B)2.

Cakto (3 x + y y))2. Cili binom i ngritur në katror jep 9 x2 - 6 xy + y2?

Cilët anëtarë të polinomit 4 x2 + 12 xy + 9 y2 paraqesin A2 dhe B2? Si do t'i caktojsh A dhe B?

Pasi (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, vijon se A2 = 4 x2 dhe B2 = 9 y2, prej ku A = 2 x dhe B = 3 y y;; 2AB = 2 × 2 x × 3 y = 12 xy xy.. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhënë.. F

4 x2 + 12 xy + 9 y2 = (2 x x))2 + 2 × 2 x × 3 y + (3 y y))2 = (2 x + 3 y y))2; domethënë A + B = 2 x + 3 y y..

Vëren se polinomi 4 x2 + 12 xy + 9 y2 mund të shkruhet 4 x2 + 12 xy + 9 y2 = (2 x + 3 y y))2. Me këtë polinomi 4 x2 +12 xy + 9 y2 është zbërthye në shumëzuesë të thjeshtë (2 x + 3 y y))2 = (2 x + 3 y y)) (2 x + 3 y y)). 2.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët: polinomët : x2 + 4 x + 4;

B

3.

4a2 + 20ab 20ab + 25 25b b2.

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin 25 25a a2 - 20 20ab ab + 4 4b b2.

Cilën formulë do ta zbatojsh në në këtë rast?

Në këtë rast do ta zbatoj formulën: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2.


4.

25a 25 a2 - 20 20ab ab + 4 4b b2 = (5a (5a)2 - 2 × 5a × 2b + (2b (2b)2 = (5a (5a - 2b)2, d.m.th d.m.th.. 25 25a a2 - 20 20ab ab + 4 4b b2 = (5a (5a - 2b)2.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomet polinomet::

a2 - 6ab + 9 b2; 9b

4 x2 - 4 x + 1.


97

C

5.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë polinomët 12 12ax ax2 + 12axy 12axy + 3 3ay ay2.

Si do ta zbërthejsh në shumëzuesë polinomin e dhënë kur nuk ka monom i cili i ngritur në katror katro r jep 12ax 12ax2?

Së pari e nxjerrim para kllapave shumëzuesin e përbashkët 3a, kurse pastaj do ta zbërthej shprehjen në kllapa.


6.

ay2 = 3a x))2 + 2 × 2 x × y + ( y) y)2) = 3a y))2. 12ax2 + 12axy 12ax 12axy + 3 3ay 3a(4 x2 + 4 xy + y2) = 3a 3 a((2 x 3 a(2 x + y Zbërthej në shumëzuesë polinomët polinomët:: x;; 4 x3 + 12 x2 + 9 x

a2b + 8 ab2. 18a3 - 24 18a 24a 8ab

Duhet të dish:


të zbërthejsh zbër thejsh në n ë shumëzuesë shumëz uesë polinomin pol inomin e formës 2 2 2 A + 2AB + B dhe A - 2AB + B2;

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: polinomët:

ta sqarojsh sqarojsh mënyrën për zbërthimin në shumëzuesë polinomin e formës A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2.

25a 25 a4 + 20 20a a2 + 4;

4 x2 - 4ax + a2.

Detyra 1.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: polinomët: 2

a) a + 6a 6a + 9; 2.

3.

2

5.

b) 4 x + 20 xy + 25 y .

Transformoje shprehjen numerike, kurse pastaj pa staj njehso vlerën e tij.

a) 25 x2 - 10 x + 1; 6.

b) 4a2 - 28ab 28ab + 49b 49b2.

Nehso në mënyrë më më të shpejtë vlerën numerike të shprehjes:

a) 482 + 2 × 48 × 52 + 522;

a) 562 - 2 × 56 × 16 + 162;

b) 272 + 2 × 27 × 33 + 332.

b) 472 - 2 × 47 × 27 + 272.

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinomë:: polinomë

7.

Cakto monomin A ashtu që të jetë i saktë barazimi:

Zbërthej në shumëzuesë të thjeshtë këto polinomë:: polinomë a) 50 x2 - 20 xy2 + 2 y4;

a) 2 x2 + 12 x + 18; b) 2 xy2 + 16 xy + 32 x x.. 4.

Zbërthej në shumëzuesë polinomët polinomët::

2

b) 2ax2 - 16 ax + 32a 16ax 32a. 8.

a) 25 + 10 y2 + y4 = (5 + A)2;

Cakto polinomin A ashtu që të jetë i saktë barazimi:

b) 4 y4 + 4 y2 + 1 = (A + 1)2.

a) 81 x2 - 18 xy2 + y4 = (9 x - A)2; b) 16 16a a2 - 8a 8a + 1 = (4a (4a - A)2.

98

Tema 3. Polinomët

M E

17 A

1.

P U N A D H Ë N A

T Ë

MBLEDHJA E TË DHËNAVE

Numri i orëve kur ka pasur diell d iell (orët me diell) gjatë gj atë një jave ja ve është shënuar në këtë tabelë. tabel ë.

Dita

H

Ma

Më

E

P

Sh

D

Numri Numri i orëve

3

4

2

0

5

8

4

Të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme. Në këtë shembull, ato janë mbledhur duke vërejtur dh dhee matur sa ka zgjatur ngjarja.

Gjithësej sa orë me diell ka pasur gjatë javës? Cilën ditë gjithë dita ka qenë e vërenjtur?

Cila ditë ka qenë më me diell?

Cilët ditë kanë pasur numër të njëjtë të orëve me diell? 2.

Jetoni ka mbledhur të dhëna për llojin e adhuruesve shtëpiak që i ka çdo nxënës në paralelen e tij. Të dhënat janë dhënë në tabelën më posht. Që të mbledhish të dhëna të këtilla duke vërejtur vërejt ur është e nevojsh nevojshme me shumë kohë. Por, të dhënat mund të mblidhen duke parashtruar pyetje, pyetje , plotësimi i pyetësorit.

Lloj i Ma c e adhuruesve Numri i 4 fëmijve

Qen

Zog

9

12

Pes hq 5

Jetoni i ka mbledhur të dhënat me pyetësor i cili ka pasur dy pyetje: 1. A ke adhurues shtëpiak?

Po

Jo

Shkruaje pyetjen e dytë, nga pyetësori i Jetonit. Të dhënat mund të mblidhen në mënyra të ndryshme: duke pyetur me telefon, duke shfrytëzuar pyetësor, duke kërkuar nëpër revista, enciklopedi, tekste, etj. Të dhënat mund të mblidhen për madhësi me vlera numra realë. Për shembull: numri i nxënësve - me numra natyrorë; temperatura - me numra të plotë; koha - me numra racionalë etj. 3.

Nxënësit në klasën kl asën VII3 kanë qenë të ndarë në grupe dhe çdo grup është dashur të mbledh të dhëna. Shënoe mënyrën më të përshtatshme për mbledhjen e të dhënave për çdonjërën nga detyrat e parashtruara: a) Emërat dhe lartësitë e gjashtë maleve më të larta në botë; Puna me të dhëna

99

b) Emisioni për fëmijë më i shikuar nga nxënësit e klasës VII3; c) Koha në Shkup në muajin mars; ç) Ngjyra e automobilave që kanë kaluar nëpër rrugë para shkollës për 1 orë. Sqaro pse mënyra të cilën ti e zgjedhe është më e përshtatshme. Sqaro pse është më mirë të pyesish në stacionin stacioni n meteorologjik për sasinë sasin ë e shiut që ka ra në Prilep gjatë një muaji, në vend që të vërejsh dhe masish. Orëë Or

B

Të dhënat e mbledhura të grupohen dhe radhiten dhe mund të paraqiten në mënyra të ndryshme. Do të përkuj tohemi në këto shembuj. shemb uj.

12 10 8

4.

Të dhënat për atë se sa orë ka qenë koha e vërenjtur gjatë një jave janë dhënë me diagram shtyllor.. shtyllor Formo tabelë dhe të dhënat shënoi në të.

6 4 2

Cila ditë më e gjatë ka qenë e vërenjtur? H

5.

Ma

Më

E

P

Sh

D

Di t ë

Koha e vërenjtur gjatë një jave.

Cila ditë përgjithësisht nuk ka qenë e vërenjtur? Ky diagram fotografik e fotografik e tregon numrin e shkollave që garojnë në gara sportive. 9 garojnë në futboll (F); 6 garojnë në henboll (H); 5 garojnë në basketboll (B).

Gara shkollore F:

Një shenjë she një paraqet dy shkolla

H: B:

Shënoi të dhënat në tabelë dhe paraqiti me diagram shtyllor.

Koha/ h

6.

Te diagrami vijor i dhënë janë dhënë të dhënat për atë sa orë gjatë një dite dhe nate duhet të flejnë njerëzit të grupeve të ndryshme.

16 14 12

Të dhënat te diagrami vijor paraqiti në tabelë.

10 8

Çka mund të thuhet për nevojën nga flejtja e njerëzve të moshës 15 deri 25 vjet dhe prej 30 deri 40 vjet?

6 4 2 5

100

Tema 3. Polinomët

1 0 15 15 2 0 2 5 30 30 3 5 4 0 45 45 5 0 5 5 60 60

Nevoja për gjum

Mosha (vite)

7.

Të dhënat prej tabelës: populata në botë prej vitit 1900 deri 2000 dhe parashikimet e Uneskos për vitin 2020, paraqiti me diagram vijor.

Viti

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Banor miliarda

në

1,6

1,9

2,3

3,0

4,4

6,2

7,7

Mbaj mend Gjithmonë kur vizaton diagram, ke kujdes në atë se çdo diagram patjetër të ketë: Titull, i cili qartë tregon çka është paraqitur te diagrami; Titull, Emri (përshkrimi) çdo shtyllë me njësi matëse të shënuar dhe të qartë; Përshkrim i simbolit, nëse punohet për diagram fotografi; Vizatimi duhet të jetë i qartë që të mundet lehtë të lexohet.


t ë d h ën a t mu n d t ë mb l i d he n në më n yr a t ë të ndryshme; të dhënat e mbledhura duhet të shkruhen, shkruhen, grupohen numërohen dhe radhiten; të dhënat duhet duh et të paraqiten paraqi ten me lloje të ndryshme nd ryshme të diagram diagrameve. eve.

Detyra 1. Iliri ka dashur të konstaton sa kanë lexuar shokët e tij muajin e kaluar. Çka është më e përshtatshme: a) Ta pyet çdo shok sa libra ka lexuar? b) Të kontrollon në bibliotekën e shkollës sa libra çdonjëri prej tyre ka huazuar muajin e kaluar?

Shkruaj një shembull të të dhënave që mund të mblidhen me matje. Sqaro cilët elemente duhet t'i ketë çdo diagram.

Numri i pikëve të realizuara

0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 20

Frekuenca (numri i nxënësve)

Të dhënat paraqiti me diagram diagra m shtyllor. Nëse për pikë të arritura 15 - 20 pikë nota është 5, sa nxënës kanë marrë notën 5 në test?

Sqaroe përgjigjen. përgjigjen.

4 . Për një orë para një ndërtese shkollore kanë

2. Në një test nga matematika numri maksimal i

pikëve ka qenë 20. Testin e kanë zgjidhur 24 nxënës dhe numri i pikëve ka qenë: 15 19 18

6 20 15

10 18 18

19 10 12

5 4 15

20 13 20

17 20 5

12 18 6

Përshkruaje tabelën dhe shkruaj të dhënat e nevojshme.

kaluar: 16 automobilë me ngjyrëtë bardhë, 12 të kuq, 5 të kaltër, 7 të zi dhe 2 automobilë me ngjyrë ari. Shkruaj të dhënat në tabelë. Formo diagram shtyllor dhe paraqiti të dhënat. Ke kujdes diagrami t'i përmban të gjitha elementet e nevojshme.

Puna me të dhëna

101

MËSOVE PËR POLINOMËT. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE

1.

Prej cilave konstante dhe prej cilave ndryshore janë formuar formua r shprehjet: 2 x x;;

2.

 

ab;; -0,5 x2 y ab y??

Paraqite si monom në formën normale këtë shprehje: 5 ab ( a 3 b )

8.

Paraqite si polinom në formën normale këtë shprehje: ( x x2 - 1)( x x2 + 1) - x ( x x3 - x2 + 2).

9.

Nj eh so : a) 6a5b2c : (3 (3a a3bc bc); );

- ( a 2b ) 2 - 2 a 4b 2 .

b)

  

3.

Cakto shkallën e çdo monomi: 5; 2 x x;; 3 xy xy;; x2 y3.

10.. 10

\ ]

.

\

Cakto herësin: herësin: (6 x5 y3 - 3 x4 y4 + 2 x3 y5) : (3 x3 y3).

4.

Cakto shumën dhe ndryshimin e monomëve: -2 x2 y i -5 x2 y y..

11.. 11

Cakto herësin herësin:: ( x x5 - 3 x3 - 3 x2 + 2 x + 6) : ( x x2 - 2).

5.

Sille në polinom në formën normale këtë shprehje:

12.. 12

Zbërthej në shumëzuesë polinomët: a) 3a 3 a2b + 6ac 6 ac;; b) 2 x3 y2 + 4 x2 y3 - x2 y y..

13.. 13

Zbërthej në shumëzuesë polinomët:

(3 x2 - 5 xy + 4 y2) + (2 x2 - xy - y2) - (4 x2 - 4 xy + 2 y2).

a) 2a 2 a2(a - 3 x x)) - x2(3 x - a); 6.

Njehso: a) 3 x2 y × (-2 xy3);

b) 3ax 3 ax + 3bx 3bx - 5a 5 a - 5b 5 b.

§ [ ©

b) ¨

· . ¹

\ ]¸

14.. 14

a - 3)2. 36a2 - (5 36a (5a 15.. 15

7.

Cakto prodhimin: prodhimin: (3 x3 - 2 x2 y + xy2 - y3) × (-3 x2 y2).

102

Tema 3. Polinomët

Zbërtheje në shumëzuesë shprehjen: shprehjen:

Zbërtheje në shumëzuesë polinomin: polinomin: x4 - 6 x2 y + 9 y2.

TEMA 4.

VIJA RRETHORE DHE SHUMËKËNDËSHI. SYPRINA

KËNDET T E VIJA RRETHORE 1. Këndi qëndror 2. Këndi periferik 3. Teorema e Talesit KATËRKËNDËSHI KORDIAK DHE TANGJENCIAL 4. Katërkëndëshi kordiak 5. Katërkëndëshi tangjencial SHUKËNDËSHAT E RREGULLT 6. Shumëkëndëshat e rregullt. Kënde dhe perimetri 7. Vetitë e shumëkëndëshit të rregullt 8. Konstruksioni i shumëkëndësh shumëkëndëshave ave të rregullt TEOREMA E PITAGORËS 9. Teorema e Pitagorës 10. Zbatimi i teoremës së Pitagorës te drejtkëndëshi, drejtkëndë shi, katrori dhe trekëndëshi barabrinjës 11. Detyra me zbatimin e teoremës së Pitagorës

104 107 110

113 115

118 121 124 126

129

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT 12. Koncepti për syprinën 134 13. Syprina e drejtkëndëshit dhe katrorit 138 14. Syprina e paralelogramit 142 15. Syprina e trekëndëshit 145 16. Syprina e trapezit dhedelltoidit 149 17. Syprina e shumëkëndë shumëkëndëshit shit të rregullt 152 18. Detyra për syprinën e shumëkëndëshave 155 PERIMETRI DHE SYPRINA E RRETHIT 19. Perimetri i rrethit. Gjatësia e harkut rrethor 158 20. Syprina e rrethit, sektorit rrethor dhe unazës rrethore PUNA ME TË DHËNA 21. Diagrami sektorial 22. Mesi aritmetik. Mediana. Moda. Rangu Kontrollo njohurinë tënde

163 167 169 172

131

Këndet te vija rrethore r rethore

103

KËNDET TE VIJA RRETHORE

1 KËNDI QENDROR A

Kujtohu Shqyrtoe vijën rrethore k në vizatim dhe përgjigju në pyetjet: B N Cila pikë në vizatim c m 2 është qendër e vijës = r rrethore? k M O Cila pikë shtrihet në vijën A rrethore? Cila pikë është pi pikë kë e bre brend ndsh shme me për vijën rrethore? Vallë M Î k ? Segmenti OB është rrezja e vijës rrethore. Cili prej segmentëve ON, OM, OA, MN është rreze e asaj vije rrethore? Dy vija rrethore janë të puthitshme nëse kanë rreze të barabarta. Në fletore flet ore vizato viz ato k (O; (O; 2,5 cm), kurse në letrën e tejduksh tejd ukshme me k (O ; 2,5 cm). Pastaj trego se ato puthiten. Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju: Çka është korda e D E një vije rrethore? C Cili prej segmenO tëve AB, CD, EF, M N A MN është kordë e vijës rrethore? rretho re? B 1

1.

Shqyrto vizatimin dhe vëre: B

Kulmi i RAOB është në qendrën e k (O, (O, r). Çdo kënd i atillë quhet kënd qëndror te k .

r

O

r

A

k

Vizato dy kënde qëndrore te një vijë rrethore k (O, (O, r): RAOB dhe RMON.

(

q

Vëreji harqet rrethore të tyre $% dhe MN . Vëreve se ato janë formuar me këndet qëndrore përgjegjëse. q

Për këndin qëndror AOB dhe harkun rrethor $$ thuhet se janë përgjegjëse ndërmjet veti.

1

k

F

G Për cilën kordë themi se është diametri i vijës rrethore? Pikat e skajshme të një diametri e ndajnë vijën rrethore në dy gjysmëvija rrethore.

Çdo kënd qëndror ka kordë përgjegjëse dhe hark rrethor përgjegjës. Çdo hark rrethor a ka kënd qëndror përgjegjës? Po, dhe poashtu ka vetëm një kënd qëndror. 2.

Në vi viza zati tim m ja janë në dhënë vija rre thore k (O; (O; 2 cm).

B

Pikat C dhe D, në vizatim, e ndajnë vijën rrethore (

në dy harqe rrethore; i vogël - i kuqi CD ( dhe më i madhi - i kaltri CG CGD D.

Në l et ër t ë t ej dukshme vizato k (O ; 2 cm). 1

75 o

A

O

1

k 104

Tema 4. Vija rrethore dhe shumëkëndëshi. Syprina

Pse k dhed k janë vija rrethore të puthitshme? Vizato kënd qëndror RMO N = 75 . Ai është i puthitshëm me RAOB. Pse? Vendos letër të tejdukshme ashtu që të puthiten vijat rrethore k dhe k , përkatësisht këndet qëndrore RAOB dhe RMON. Çka vëren? 1

o

1

1

Vëreve se kordat përgjegjëse dhe harqet rrethore përgjegjëse puthiten, d.m.th. $% = 01 dhe $% = MN . q

B

3.

(

M

k

Te vija rrethore k (O; (O; 2 cm) janë vizatuar dy kënde qëndrore: RMON dhe RPOQ. Nëse RMON = RPOQ, vërteto se kordat

N

MN dhe PQ janë të barabarta, d.m.th. 01 = 34 . Vëren se DMON dhe DPQO janë barakrahas me krahë të barabartë me rrezen e vijës rrethore. Prandaj indici BKB, trekëndëshat janë të puthitshëm. Prandaj 01

=

O

34 .

Q

P

Vlen në përgjithësi! Nëse dy kënde qëndro qëndror, r, te një vijë rrethore ose te dy vija rrethore të puthitshme, janë të barabarta, atëherë kordat përgjegjëse të tyre, përkatësisht harqet rrethore përgjegjëse janë të barabarta. B k 4.

q

B1

q

Harqet rrethore $$ dhe %% të vijës rrethore k , në vizatim, janë të barabarta (d.m.th. të puthitshme).

b

O a

Këndet qëndrore përgjegjëse janë shënuar me a dhe b. Trego se a = b.

A1

A

Vëren se edhe kordat AA dhe BB janë të barabarta. Si do të tregojsh se a = b? 1

1

Trekëndëshat barakrahas OAA dhe OB B sipas indicit BBB janë të puthitshëm, d.m.th. DOAA @ DOB B dhe për atë shkak a = b. 1

1

1

1

Në përgjithë përgjithësi si! Nëse dy harqe rrethore te një vijë rrethore ose në dy vija rrethore të puthitshme janë të barabarta, atëherë këndet qëndrore përgjegjëse (përkatësisht kordat përgjegjëse) janë të barabarta.


105

Vizato dy vija rrethore k (O; ( O; 2 cm) dhe k (O ; 3 cm) dhe vizato këndet qëndrore RAOB = 55 dhe RA O B = 55 . Krahasoi kordat AB dhe A B , përkatësisht harqet rrethore $% dhe $ % . Çka vëren? Pse?

5.

1

o

1

q

o

1

1

1

1

1

q

Sa është këndi qëndror dhe sa janë kordat që janë përgjegjëse te një gjysmëvijë rrethore k (O; (O; 1,5 cm)?

6.

Duhet të dish:


të njohish këndin qëndror qënd ror te vija rrethore e dhënë, korda e saj përgjegjëse dhe harku rrethor i tij përgjegjës;

Sa shkallë ka këndi këndi qëndror që është përgjegjës përgjegjës i harkut rrethor: a) gjithë vija rrethore; b) gjysmëvija rrethore; c) një e treta e vijës rrethore; ç) një e katërta e vijës rrethore; d) një e gjashta e vijës rrethore?

të sqarojsh se këndet qëndrore mbi harqet rrethore të ba bara raba bart rtaa (t (tee e nj njëj ëjta ta vi vijë jë rr rret etho hore re os osee të puthitshme) janë të barabarta ndërmjet veti.

Vizato dy vija rrethore k (O; (O; 2 cm) dhe k (O; 2,5 cm) dhe te ato vizato korda 1

= 3 cm dhe 0 1 = 3 cm. Vallë RMON = RM O N ? Pse? 01

1

1

1

Detyra 1. Vizato trekëndësh barabronjës D ABC dhe

jashtashkruaj vijë rrethore rrethore rreth tij. Sa shkallë ka këndi qëndror?

Vizato një vijë rrethore dhe një kordë të saj me gjatësi të barabartë me rrezen. Sa shkallë ka këndi qëndror te i cili shtrihet ajo kordë përgjegjëse?

2.

4.

Te vija rrethore k (O; (O; r) është brendashkruar trekëndëshi barabrinj barabrinjës ës ABC me bazën AB. Nëse RAOB = 135 , Caktoi RAOC dhe RBOC (RAOB, RAOC dhe RBOC formojnë zona të ndryshme nga vija rrethore). o

5.

Me pikat A, B, C, D dhe E, vija rrethore k (O; (O; r) është ndarë në 5 harqe, ashtu që $% ësht ështëë 5%, 5%, %& - 15%, &' - 20%, '( - 25% e vijës rrethore. Caktoi këndet qëndrore përgjegjëse: RAOB, RBOC, RCOD, RDOE dhe REOA. q

q

3.

Te vija rrethore k (O; (O; r) është brendashkruar DABC ashtu që RAOB = 112 24', RBOC = 98 46' dhe ato formojnë zona të ndryshme të vijës rrethore. Sa është këndi konveks RAOC? o

106

o


q

q

2 KËNDI PERIFERIK A

Kujt Ku jtoh ohu u! Vizato DABC dhe shënoi këndet e tij a, b dhe g. Shënoje me a këndin e jashtëm që i shoqërohet a. Për këndet te DABC vlen:

q

180 ; a + a1 = 180 ; o

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet: Ku shtrihet kulmi i RAMB dhe çka janë krahët e tij për vijën rrethore?

M Për RAMB dhe harkun $% , zakonisht thuhet se k janë përgjegjës ndërmjet O veti. A mundet të vizatohet tjetër A kënd mbi harkun $% , kurse kulmi të shtrihet te vija rrethore?

1

a+b+g= a1 = b + g.

1.

o

Vizato vijë rrethore dhe mbi të një hark AB. Mbi harkun vizato këndin qëndror përkatës.

B

q

Vizato vijë rrethore k (O; (O; 2 cm) dhe mbi të një hark CD . Mbi harkun vizato disa kënde kulmi i të cilit është: a) pikë e brendshme; b) pikë e jashtme; c) pikë nga vija rrethore.

Vëren te vizatimi se te një vijë rrethore ekzistojnë pakufi shumë kënde mbi harkun e njëjtë 34 ose mbi kordën e njëjtë PQ kulmet e të cilit shtrihen te vija rrethore.

k

q

O Q

P

Çdo kënd kulmi i të cilit është pika nga vija rrethore, kurse krahët e këndit e prejnë vijën rrethore quhet kënd periferik .

2.

Vizato vijë rrethore dhe shëno një diametër të saj MN. Pastaj, vizato disa kënde periferike mbi diametrin MN. Për çdo kënd të atillë thuhet se është kënd periferik mbi gjysmëvijën rrethore ose se është brendashkruar te gjysmëvija gjysmëvi ja rrethore. rreth ore.

B

3.

Vizato tre kënde periferike b , b dhe b mbi harkun  01 nga vija rrethore k me qendër në pikën O: a) një krah i b të kalon nëpër qendrën O të vijës rrethore; b) qendra O të jetë pikë e brendshme e b ; c) qendra O të jetë pikë e jashtme e b . 1

2

b2

3

O

1

2

3

b1

b3

k

M


N 107

Shqyrtoe vizatimin dhe krahasoe me vizatimin tënd! F

Vëre se qendra e vijës rrethore O për çdo kënd periferik: ose shtrihet te një krah i tij ose është pikë e tij e brendshme ose është pikë e tij e jash jashtme tme.

4.

Te harku  përgjegjës a dhe këndi $% , te vizatimi, janë vizatuar këndi periferik përgjegjës periferik përgjegjës b ku një krah i tij kalon nëpër qendrën O (d.m.th. është diametër i vijës rrethore). Trego se b =

D



O

r b

a

k

.

r

A

Vëre se DOBC. Vëre se ai është barakrahas ( 2% 2& ), pra RB = RC = b. Me çka është i barabartë këndi i jashtëm a? 

5.

C

b

B

Këndi i jashtëm a është i barabartë me shumën e dy këndeve të brendshme jofqinjë, jofqin jë, d.m.th. a = 2b. Domethënë, b

D

=



.

Vizato vijë rrethore k (O; (O; 2,5 cm) dhe kënd qëndror prej 80 (me këndmatës). Si do të konstruktojsh kënd prej 40 (vetëm me vizor)? o

o

6.

Vizato trekëndësh kënddrejtë ABC me këndin e drejtë te kulmi C dhe jashtashkruaj vijë rrethore rreth tij (përkujtohuu se qendra O e asaj vije rrethore është mesi i hipotenuz (përkujtoh hipotenuzës ës AB). Caktoi këndet e ngushtë të DABC nëse RAOC = 110 . o

C

Shqyrtoi vizatimet te të cilët qendra O e vijës rrethore k është pikë a) e brendshme, b) e jashtme të këndit periferik RACB. Te të dy vijat rrethore është vizatuar diametri CD.

7.

Trego se këndi periferik është gjysma e këndit qëndror, d.m.th. b = C

D



.

b)

a) b

C

b1 b2 k

O a a 1 a2

k

O

b

a1 a

B

D B

A A D 108

b1


A ke ide që të vërtetojsh pohimin në të dy rastet (a) dhe (b)?

Te rasti nën a) mund ta shfrytëzoj sqarimin të detyra 4. pasi është e njëjtë për DAOC dhe D OBC.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. a)

F F

F F

a = a1 + a2; b = b1 + b2;

b)

a1 = 2b1; a2 = 2b2; a = a1 + a2 = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2); a = 2b ose b =

D



.

RDOB

= a1 + a;

F

RDOB

dhee a1 = 2b1; = 2RDCB dh

F

2b1 + a = 2b1 + 2b; a = 2b; ose b =

F F

RDCB

= b1 + b;

a1 + a = 2(b1 + b); D



.

I shqyrtove pohimet dhe duhet të mbajsh mend Këndi periferik te një vijë rrethore është i barabartë me gjysmën e këndit qëndror që është mbi harkun e njëjtë rrethor rretho r. 8.

Shqyrto vizatimin dhe përgjigju pse të gjithë këndet periferike të vizatuar janë të barabartë ndërmjet veti. O

Në përgjit përgjithësi hësi vlen Të gjithë këndet periferik mbi harkun rrethor të njëjtë janë të barabartë ndërmjet veti, pasi çdonjëri prej tyre është gjysma e këndit qëndror përgjegjës AOB! 9.

Vizato vijën rrethore të jashtashkruar te DABC 

dhe te harku $% merr çfarëdo pike M. Trego se RAMC = RB dhe RBMC = RA.

Duhet të dish: ta sh shpr preh ehis ishh ra rapo port rtin in ndërmjet këndit periferik dhe këndit qëndror mbi harkun rrethor të njëjtë; ta sq sqar aroj ojsh sh at atëë ra rapo port rt dhe ta zbatojsh te detyrat.

10.

B

A

Shuma e një këndi periferik dhe këndi qëndror i tij përgjegjës është 210 . Sa janë ato kënde? o

Trego me vizatim se mbi një hark rrethor rreth or mund të vizatohen viza tohen më shumë (pafund (paf und shumë) shum ë) kënde periferike. Si janë ato kënde ndërmjet veti? Kontrol Kon trollo lo!

Vizato gjysmëvijë rrethore me r = 2 cm dhe brendashkr brendashkruaj uaj C në të dy kënde periferike. Nga sa shkallë ka çdonjëri prej tyre?? tyre Mbi brinjën AB të DABC barabrinjës është vizatuar M gjysmëvija rrethore (AB është diametri i tij) që i pren dy brinjët tjera në pikat M dhe N. Caktoi y këndet qëndrore x, y dhe z. x z Udhëzim: R MAB është kënd periferik te ajo A O gjysmëvija rrethore. Këndet te vija rrethore r rethore

N

B 109

Detyra

4. Nëse  $% dhe  &' janë harqe rrethore të vijës

rrethore të njëjtë nëse  $% =  &' , atëherë çdo kënd periferik AMB është i barabartë me çdo kënd periferik CND. Pse?

1. Cili prej çifteve të këndeve:

a) 35 , 75 ; b) 35 , 70 ; c) 35 , 35 mund të jetë çifti i këndeve periferike dhe këndi qëndror përgjegjës? o

o

o

o

o

o

2. Një kënd periferik dhe këndi qëndror përgjegjës

q ëndror: 5. Nëse këndi qëndror: a) zmadh zmadhohe ohett tre her herë; ë; b) pë përr 15 15 , sa do të zmadhohen këndet periferike mbi harkun e njëjtë rrethor? o

kanë së bashku 132 . Nga sa shkallë ka çdonjëri prej tyre? o

r rethore k (O; (O; r) janë zgjedhur pikat pika t A 3. Te një vijë rrethore dhe B, ashtu që RAOB = 120 . Harkut më të madh prej tyre të përcaktuar me atë pikë është zgjedhur pika C, ashtu që RAOC = 110 . Njehso këndet e DABC. o

periferik rik është konstr konstruktuar uktuar mbi harkun harkun 6. Një kënd perife rrethor që është:

o



a)



; b)

 

; c)

 

; ç)

 

e vijës rrethore. Sa shkallë ka ai kënd?

3 TEOREMA E TALESIT Kujt Ku jtoh ohu u!

M

k

b Te vizatimi është dhënë vija rrethore k dhe dy O kënde: RAMB = b dhe a RAOB = a. B Përgjigju çka është e A saktë: a) a < b , b) a > b , c ) a = b , ç ) a = 2 b, d ) a = 3b. Nga sa shkallë kanë këndet a dhe b, nëse korda AB është diametri i vijës rrethore k ?

Në vizat vizatim im drejtëz drejtëzaa TP është tangjenta e vijës rrethore k me pikëprekje te pika T. 1

Sa është

RO1TP?

P T

O1

k 1

A

Në vizati vizatim m AB është diametri i vijës rrethore k . Vallë RAOB është kënd M3 M2 M1 qëndror? Cila është korda k e tij përgjegjëse? 1.

A

Sa shkallë ka ai kënd?

O

B

Emërtoi këndet periferike që janë konstruktuar mbi atë kordë (d.m.th. mbi diametrin AB). A mundet të vizatohen vizato hen edhe kënde tjera tj era të atilla? atil la? Për çdo kënd periferik mbi diametrin e një gjysmëvije rrethore thuhet se është brendashkruar te gjysmëvija rrethore. rretho re. Pse çdo kënd i atillë është kënd i drejtë?

Mbaj mend ! Çdo kënd i brendashkruar te gjysmëvija rrethore është kënd i drejtë.

110


Kjo veti është e njohur me emrin teorema e Talesit, e quajtur sipas Talesit Talesit i cili ka jetuar para 2 500 vjet.

Konstrukto trekëndësh trekëndësh kënddrejtë, nëse nëse janë dhënë hipotenuza c dhe një katetë a me ndihmën e teoremës së Talesit.

2.

Mbi hipotenuzën vizato një gjysmëvijë rrethore te e cila shtrihet kulmi i këndit të drejtë; atë kulm do ta caktojsh me ndihmën e katetës së dhënë. a

B

Në vizatim drejtëza drejtëz a a është tangjentë e vijës rrethore k me pikëprekje në pikën A; ajo është normale në rrezen OA. Nëpër pikën P, që është jashta vijës rrethore kalojnë pakufi shumë drejtëza. drejtëz a.

3.

P

A O

T

Ndonjëra prej tyre a e takon vijën rrethore k , përkatësisht përkatësisht është është tangjentë e k ? Drejtëza e atillë ekziston! Mendo si ta konstruktojsh; shfrytëzoe teoremën e Talesit. Mundem të përgjigjem për këtë: 1) nëse ka drejtëz nëpër P që e takon vijën rrethore te pika T, atëherë ROTP = 90 ; 2) Pasi ROTP është kënd i drejtë, sipas teoremës së Talesit, kulmi i tij T duhet të shtrihet te gjysmëvija rrethore me diametër OP dhe, sigurisht, vijës rrethore k . Domethënë T është pikëprerja e tyre; 3) Drejtëza PT është tangjentë e k me prekje në T. o

Pohimi është i saktë. Por, Por, mbi OP mund të vizatohet edhe një gjysmëvijë rrethore. Domethënë, ekzistojnë dy tangjenta! t 2

Shqyrto vizatimin dhe mbaj mend radhitjen e konstruksionit. 1) Është dhënë: k (O; r) dhe P; 2) S - mesi i OP;

k

T2 P

O

3) k (S; 63 ); 4) k k Ç Ç k = { T , T }; 5) Drejtëzat PT dhe PT janë tangjentat e kërkuara.

S

1

1

1

2

1

k 1

2

t 1

T1

Vëreve se tangjentat t dhe t janë tërhequr prej pikës P. Sipas vizatimit, përgjigju në pyetjet: 1

2

Të cilit lloj janë trekëndëshat trekëndëshat POT dhe POT ?

Pse

Si quhet brinja e përbashkët?

Cilët kënde janë përgjegjës dhe të barabartë?

Këto trekëndësha a janë të puthitshëm?

Cilët çiftet të tyre janë elemente përgjegjëse?

1

2

27



27

?

Vërej segmentet PT dhe PT të tangjentave t dhe t në vizatim. 1

2

1

2


111

Segmenti i tangjentës prej pikëprekjes deri te pika prej të cilës ci lës ajo është tërhequr quhet segmenti i tangjentës. Prej puthitshmërisë së trekëndëshave OT P dhe OT P vëre se: 1

2

Katërkëndëshi PT OT është delltoid; OP është simetralja e RT OT dhe e RT PT ;

F

1

F

2

1

2

1

2

F

37



37

,d.m.th.

Gjatësitë e segmenteve të tangjentav tangjentavee të dy tangj tangjentave entave që janë tërhequ tërhequrr prej një pike nga vija rrethore janë të barabarta. 4.

Vizato k (O; (O; 3 cm) dhe pikë M, ashtu që 20 = 4 cm. Konstrukto tangjentat e vijës rrethore të tërhequra prej pikës M. Nëse ato e prekin k në pikat T dhe T , cakto shumën RT OT + RT MT . 1

Duhet të dish: ta sqarojsh teoremën e Talesit dhe d he ta zbatojsh në detyra; të kon konstr strukt uktojs ojshh tan tangje gjent ntëë të vi vijës jës rrethore prej pikës që është jashta vijës rrethore.

2

1

2

1

2


Vizato trekëndësh kënddrejtë me katete 3 cm dhe hipotenuzë 5 cm me ndihmën e teoremës së Talesit. Pikat A dhe B janë në anë të ndryshme të drejtëzës p dhe $% = 4 cm. Konstrukto trekëndësh kënddrejtë ashtu që AB është hipotenuza e tij, kurse kulmi C i këndit të drejtë të shtrihet te p.

Detyra 4.

o

1. Pikat A dhe B nuk shtrihen në drejtëzën p. Te

drejtëza cakto pikë M e atillë që RAMB të jetë i drejtë. Sa zgjidhje ka? 2. Është dhënë drejtëza p dhe pika M që nuk

shtrihen në n ë të. me ndihmën ndih mën e teoremës së Talesit Talesit konstrukto normale të lëshuar prej pikës M në drejtëzën p. (Udhëzim: merr çfarëdo pikë N prej p dhe shfrytëzoe segmentin MN.)

Te vija rrethore k (O; (O; r) janë dhënë pikat A dhe B ku RAOB = 100 . Te A dhe B janë tërhequr tangjenta t dhe t të k (O; (O; r) që priten prit en te pika P. Caktoi këndet e DABP. Bëj vizatim. 1

5.

2

Me pikat M , M dhe M vija rrethore është ndarë në tre harqe rrethore: M , M është 25%, kurse M , M - 35% e vijës rrethore. Nëpër M , M dhe M tërhiq tangjenta të vijës rrethore; ato priten dy nga dy te A, B dhe C. Caktoi këndet e DABC. 1

2

3

1

1

1

2

2

2

3

3. Gjysmëvija rrethore mbi bazën e një trekëndëshi

barakrahas i pret krahët te pikat që janë rrënza të lar lartësi tësive ve të lës lëshua huara ra prej kul kulmeve meve pra pranë në bazës. Sqaroe atë.

6.

Dy vija rrethore me qendra te pikat O dhe O priten te pikat A dhe B. Nëpër pikën A janë tërhequr diametrat AA dhe AB të atyre vijave rrethore. Sqaro pse pikat pika t A , B dhe B shtrihen në një drejtëz. 1

1

1

1

112


1

KATËRKËND KA TËRKËNDËSHI ËSHI KORDIAK KORDIA K DHE TANGJEN ANGJENCIAL CIAL KATËRKËNDËSHI KORDIAK

4

Kujt Ku jtoh ohu u!

A C

Zgjedh tre pika A, B, C te një vijë rrethore dhe vizato A DABC.

Për D ABC thuhet se është k brendashkruar në vijën B rrethore.. rrethore Çdo trekëndësh a mund të brendashkruhet te ndonjë vijë rrethore? Cila është ajo vijë rrethore?

r

Çdo katërkëndësh a mund të brendashkruhet te vija rrethore? Në vizatim vizati m vërehet se çdo drejtkëndësh drejt këndësh mund të brendashkruhet te vija rrethore (pse?); ku është qendra e saj? D

r b a

a

k

r A

D

C

B

a k

r

Shumëkëndëshi kulmet e të cilit janë pika të një vije rrethore quhet shumëkëndësh kordiak.

F

Këndet e tij janë kënde periferike te vija rrethore.

F

Brinjët e tij janë korda korda të të vijës rrethore. rretho re.

1.

Njehso këndet e katërkëndëshi katërkëndëshitt kordiak ABCD, o nëse RB= 85 43', kurse diagonalja e tij BD është diametri i vijës rrethore të jashtashkruar rreth tij. ti j.

C

k r A

Çdo trekëndësh, ndonjë katërkëndësh, ndonjë pesëkëndësh, ndonjë gjashtëkëndësh etj., mund të brendashkruhet te një vijë rrethore.

B1 B B2

Vëren se rombi që nuk është katror nuk mund të brendashkruhet te vija rrethore, por ndonjë trapez mundet por ndonjë nuk mundet.

D

B

2.

d

Shqyrto vizatimin e një katërkëndëshi kordiak dhe përgjigju në pyetjet:

Sa është shuma e këndeve a, b, g dh dhee d të katërk katërkëndëshit ëndëshit ABCD?

A

a

g

C

a g1 1

Mendo dhe përpiqu të njehsojsh shumat a + g dh dhee b + d.

Katërkëndëshi kordiak dhe tangjencial

b B

113

a dh dhee g janë kënd këndee peri periferi ferike ke a është kënd qëndror përgjegjës a 1, kurse g dh e g1. Vëreve se a =

D 

, g =

Prandaj

J 

a + g =

Trego se edhe

dh e a1 + g1= 360o. D 

+

J 

=

D J 

=

 

.

Domethënë: a + g = 180o.

b + d = 180 o.

Atë që e vëreve është një veti e rëndësishme e katërkëndëshit kordiak. Te çdo katërkëndësh kordiak shuma e këndeve të përballta është 180 o. 3.

Le të jetë dhënë katërkëndëshi ABCD te i cili shuma e një çifti të këndeve të përballta është 180 o, për shembull a + g = 180o. Sa është shuma e çiftit tjetër të këndeve të përballta, b + d =? Mund të tregohet se çdo katërkëndësh me këtë veti është kordiak.

Vëre dhe mbaj mend! Nëse te një katërkënd katërkëndësh ësh një n jë çift ç ift i këndeve k ëndeve të përballta p ërballta janë suplementa suplementar, r, atëherë ai katërkënd katërkëndësh ësh është ësh të kordiak. Ky pohim është indici me të cilin mundesh të konstatojsh se një katërkëndësh a është kordiak.


Duhet të dish:

A mundet të jashtashkruhet vija rrethore rreth katërkëndëshit ABCD, nëse këndet e tij (sipas radhës të kulmeve) janë: a) 90o, 90o, 60o, 120o; b) 70o, 130o, 110o, 50o; c) 45o, 75o, 135o, 105o?

ta sqarojsh dhe ta përkufizo përkufizojsh jsh kuptimin katërkëndësh kordiak; sqarojsh katërkëndëshin kordiak dhe ta shfrytëzojsh në detyra.

Trego se çdo trapez barakrahas është katërkëndësh kordiak.

Detyra 1. Katërkëndëshi ABCD a është kordiak nëse

këndet e tij (sipas radhës së kulmeve) janë: a) 15%, 30%, 35%, 20%; b) 40%, 20%, 15%, 25%; c) 45%, 30%, 5%, 20% të këndit të plotë? 2.

114

3.

Prej pikës P te ndonjë kënd AOB janë lëshuar normale të krahëve rrënza e të cilës janë A 1 të krahut OA dhe B 1 të krahut OB. Sqaro pse katërkëndësh katërkëndëshii OA 1PB1 ështël kordiak.

Katërkëndëshi ABCD me kënde: a)RA = 80o, RB = 80o, RC = 100o; b) RA = 30o, RC = 128o, RD = 150o; c) RB = 117o, RC = 121o, RD = 63o a mundet të brendashkruhet te ndonjë vijë rrethore?


KATËRKËNDËSHI TANGJENCIAL

5

Kujto Kuj tohu hu !

Vëre në vizatim se te katërkëndëshi kat ërkëndëshi ABCD është brendashkruar vija rrethore, d.m.th. çdo brinjë e katërkëndëshit e prek vijën rrethore.

A

Zgjedh tre t re pika P, Q, T të një vije rrethore rret hore k k dhe dhe vizatoi tangjentat tangjenta t p që e prekin k në pikat pik at P, P, p,, q, t t që k në Q, T.

C

C T

D

P O

p

B

k

q

t

Q

A

O

Mbaj mend !

Drejtëzat p dhe q le të priten në A, q dhe t Drejtëzat p në B, t në t d he p në C. Për D ABC thuhet se është jasht ja sht ash kr kruar uar rreth vijës rrethore k ose në DABC është brendashkruar vija rrethore k . Vërej segmentet e tangjentave të çdo tangjente dhe vëre vetinë e tyre (për shembull: &3



B

A

Katërkëndëshi brinjët e të cilit e prekin një vijë rrethore quhet katërkëndësh tangjencial. tangjencial.

1.

&7 ).

Te çdo trekëndësh a mundet të brendashkruhet brendash kruhet vija rrethore? Ku është qendra e saj?

Vija rrethore k k ee brendashkruar te DABC i prek brinjët e trekëndëshit, trekëndëshit, dhe atë: AB në pikën C1, BC në A 1 dhe CA në B1. Nëse $& = 5cm, %& = 3cm dhe &$ = 4 cm, njehso

Te katërkëndëshi a mundet të brendashkruhet vija rrethore? Në vizatim vëren se te rombi dhe delltoidi mund të brendashkruhet vija rrethore.

perimetrin e DABC.

2.

a a

b

b a

= 2cm. Vizatoi tangjentat tangj entat e k k me me pikëprekje në A dhe në B; ato le të priten në pikën C.Pse DABC është barakrahas? Çka është baza, kurse çka krahët e atij trekëndësh trekëndëshi? i?

%$a

a

a Në viza vizatim tim vëren se te parale paralelogra logrami mi që nuk është romb nuk mund të brendashkruhet vija rrethore. Te Te ndonjë trapez mundet, kurse te ndonjë nuk mund të brendashkruhet vija rrethore. a

D

Vizato vijë rrethore k (O; (O; 2,5 cm) dhe në të kordë

B

3.

Në viz vizatim atim ësht ështëë para paraqitu qiturr një katë katërrkëndësh tangjencial ABCD. C N

C P

b

b a

B

D A

B1 B B2

Q

M A


115

Brinjët e tij e prekin vijën rrethore të brendashkruar, dhe atë: AB në M, BC në N, CD në P dhe DA në Q.

Shkruaj disa çifte të segmentave të barabartë (sikurse %0 = %1 ) dhe sqaro pse ato janë të barabarta. Mendo dhe përpiqu të vërejsh ndonjë lidhje ndërmjet brinjëve të përballta të katërkëndëshit.

Prej vizatimit mund të vërejsh se: $0 = $4 , %0 = %1 , &3 = &1 , '3 = '4 . Shkruaje shumën e brinjëve në anën e majtë dhe shumën e brinjëve të anës së djathtë nga barazimet. Pse ato shuma janë të barabarta? Mund të shkruhet se: ( $0 + %0 ) + ( &3 + '3 ) = ( $4 + '4 ) + ( %1 + &1 ). Vëre se barazimi mund të shkruhet vetëm me brinjët e katërkëndëshit ABCD: $% + &' = $' + %&

F

Kjo është vetia themelore e çdo katërkëndëshi tangjencial.

Nëse katërkë katërkëndëshi ndëshi ABCD është tangjenci tangjencial, al, atëherë shumat e gjatësive gja tësive të brinjëve bri njëve të tija ti ja të përballta përba llta janë të barabarta, d.m.th. $% + &' = $' + %& .

Në vizatim është dhënë trapezi kënddrejtë tangjencial. tangjencia l. Sipas të dhënave në vizati viz atim: m:

4.

D

C 1

a) provo a vlen $% + &' = %& + '$ ; b) njehso perimetrin e trapezit ABCD. A 2

C

4

B

Mund të tregohet se është i saktë edhe pohimi i anasjelltë të vetisë themelore të katërkëndëshit tangjencial.

Nëse te një katërkëndësh shuma e gjatësive të dy brinjëve të përballta është e barabartë me shumën e gjatësive të dy brinjëve tjera të përballta, atëherë katërkëndëshi është tangjencial.

Ky pohim është indici me të cilin mund të konstatojsh se njnë katërkëndësh a është tangjencial.

116


5.

Si do të konstatojsh se te katërkëndëshi i dhënë mund të brendashkruhe brendashkruhett vija rrethore?

6.

Vizato: a) katror; b) romb; c) delltoid. Pastaj te çdonjëri prej tyre, konstrukto vijë rrethore.

Ndihmë. Qendra e vijës rrethore të brendashkruar brendash kruar është në prerjen e diagonaleve, kurse kur se pikëprekjet të vijës rrethore me brinjët janë rrënzat e lartësive të lëshuara prej qendrës.

Duhet të dish:


ta sqarojsh dhe ta përkufizojsh kuptimin katërkëndësh tangjencial;

Bazat e një trapezi barakrahas janë 10 cm dhe 6 cm. Sa duhet të jetë krahu, që te ai të mund të brendashkruhet vija rrethore?

ta vërejsh dhe ta sqarojsh lidhjen ndërmje ndërmjett shumave të gjatësive të brinjëve të përballta te katërkëndëshi tangjencial.

Detyra

1. Tre brinjë të një katërkëndëshi tangjencial janë:

4.

$% = 7 cm, %& = 12 cm dhe

perimetrin 28 cm, $% = 7,5 cm dhe %& = 6,5 cm. Cakto gjatësitë e brinjëve CD dhe AD.. AD

$' = 5 cm. Cakto &' .

2.

3.

Cili paralelogram është katërkëndësh edhe kordiak edhe tangjencial?

A është katërkëndësh tangjencial katërkëndëshi ABCD nëse gjatësitë e brinjëve të tija (të njëpasnjëshme) njëpasnjëshm e) janë:

Katërkëndëshi tangjencial ABCD e ka

5.

Vërteto se vija e mesme e trapezit tangjencial është e barabartë me

 

e perimetrit të tij.

a) 5cm, 4cm, 6cm dhe 7cm; b) 11cm, 9cm, 10cm dhe 8cm?


117

SHUMËKËNDËSHA SHUMËKËN DËSHAT T E RREGULL RREGULLT T

6

SHUMËKËNDËSHAT E RREGULLT. KËNDE DHE PERIMETRI

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Sa është shuma e këndeve te një trekëndësh?

1.

Shqyrtoi të gjitha vizatimet dhe përgjigju në pyetjet. Në sa tr trek ekënd ënd ës ësha ha ësh të nd ndar arëë pe pesëk sëk ëndëshi me diagonalet të tërhequra prej një kulmi të tij?

Si sqarohet se shuma e këndeve te çdo katërkëndësh është 360o?

Në sa trekëndësha trek ëndësha është ësht ë ndarë gjashtëkëndësh gj ashtëkëndëshii me diagonalet dia gonalet të tërhequra tërhequr a prej një nj ë kulmi të tij? Mendo në sa trekëndësha do të ndahet një n-këndësh me diagonalet të tërhequra prej një kulmi të tij.

Vëreve se Pesëkëndëshi është ndarë në tre trekëndësha, d.m.th. në (5 - 2) trekëndësha, gjashtëkëndëshi në katër, d.m.th. në (6 - 2) trekëndësha, kurse n-këndëshi është ndarë në n - 2 trekëndësha, d.m.th. për dy më pak se numri i brinjëve. 2.

Cakto shumën shumën e këndeve këndeve të brendshme brendshme te: a) pesëkëndëshi, pesëkëndëshi, b) gjashtëkëndëshi, gjashtëkëndëshi, c) n - këndëshi. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhënë..

F

Shuma e këndeve te çdo trekëndësh është 180 o.

F

Numri i trekëndëshave është: a) 3; b) 4; c) n - 2.

F

Shuma e këndeve është: a) 3 × 180o = 540o;

b) 4 × 180o = 720o;

c) (n - 2) × 180o.

Shuma e këndeve të brendshme te n-këndëshi është (n - 2) × 180o. 3.

Cakto shumën e këndeve te n-këndëshi, nëse: a) n = 7; b) n = 8; c) n = 10; ç) n = 15.

4.

Shqyrtoe pesëkëndëshin ABCDE dhe përgjigju në pyetjet.

118


Cilët janë kënde të brendshme, kurse cilët janë kënde të jashtme te pesëkëndëshi? Pse çdo kënd i brendshëm dhe një kënd i jashtëm shoqërues janë suplementar, d.m.th. a + a 1 = 180o, b + b1 = 180o?

d1

g

C

E

j j1

Cakto shumën e këndeve të jashtme te pesëkëndëshi. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë dhënë.. o

b

Shuma e këndeve të brendshme brendshme dhe këndeve të jashtme është 5 × 180 = 900 .

F

Shuma e këndeve të brendshme është është:: (5 - 2) × 180o = 3 × 180o = 540o.

F

Shuma e këndeve të jashtme është: është : 5 × 180o - (5 - 2) × 180o = 900o - 540o = 360o.

A

b1

B

a

o

F

5.

g1

D d

a1

Përpiqu të sqarojsh në të njëjtën mënyrë se: se : Shuma e këndeve të jashtme te çdo n-këndësh është 360o.

Vëreje mënyrën: mënyrën : n × 180o - (n - 2) × 180o = n × 180o - n × 180o + 2 × 180o = 360o.

B

6. Si janë ndërmjet veti brinjët, kurse si këndet e:

a) tre trekë kën ndëshi hitt bar barabr brin injë jëss;

b) ka katr tro orit?

Për trekëndëshin barabrinjës themi se është trekëndësh i rregullt,, rregullt,, kurse për katrorin katërkëndësh i rregullt.. rregullt Shumëkëndëshi i cili brinjët i ka të barabarta dhe të gjitha këndet i ka të barabarta quhetshumëkëndësh quhet shumëkëndësh i rregullt. rregullt. 7.

Kujt Ku jtoh ohu u!

Cakto perimetrin e tetëkëndëshit të rregullt me brinjë a = 10 cm.

Perimetri i trekëndëshit të rregullt, me brinjë a = 5 cm është:

Si do ta njehsojsh perimetrin e n - këndëshit të rregullt me brinjë a?

P = 3 × a; P = 3 × 5; P = 15 cm. Cakto perimetrin e katërkëndëshit të rregullt me brinjë a = 9 cm.

Perimetrin do ta njehsoj me formulën P = n × a. 8.

Njehso këndin kën din e brendshëm brendsh ëm te tetëkëndëshi tetëkënd ëshi i rregullt. rregul lt. Vëre se shuma e këndeve të brendshme është (8 - 2) × 180o = 1080o, kurse një kënd i brendshëm është





  



 

H = 135 .

C b1

a

o

A

a1 B

Shumëkëndëshat e rregullt

119

Vëren se: Këndi i brendshëm a i n-këndëshit të rregullt njehsohet me formulën:

Si janë ndërmjet veti këndet e jashtme te shumëkëndëshi i rregullt?

F

a=

Q



  Q

Ato janë të barabartë ndërmjet veti dhe shuma e tyre është 360o. Këndi i jashtëm është: .

Si do ta njehsojsh këndin e jashtëm te n-këndëshi i rregullt?

  Q

9.

Njehso këndin e brendshëm dhe të jashtëm te: a) 7-këndëshi i rregullt; b) 10-këndëshi i rregullt.

Duhet të dish!


ta caktoj c aktojsh sh shumën sh umën e këndeve të brendshme br endshme dhe të jashtme jas htme te një n-këndësh; të përkufizojsh shumëkëndësh shumëkëndë sh të rregullt rregullt;;

Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të brendshme është: a) 360 o; b) 1800o?

të sqar sqarojs ojsh h se si cak caktoh tohet et kënd këndii i bren brendsh dshëm, ëm, përkatësisht këndi i jashtëm i n-këndëshit të rregullt;

Cakto këndin e brendshëm, këndin e jashtëm dhe perimetrin te 12-këndëshi i rregullt.

të sqarojsh se si njehsohet perimetri i n-këndëshit të rregullt.

Detyra

6.

Cakto perimetrin e pesëmbëdhjetëkëndëshit të rregullt nëse brinja e tij është a = 0,25 dm.

7.

Sa është brinja e shtatëkëndëshit të rregullt, nëse perimetri i tij është 77,7 dm?

8.

Cili shumëkëndësh i rregullt me brinjë 2,2 cm e ka perimetrin 24,2 cm?

9.

Për cilin n - këndësh të rregullt vlen: a) këndi i jashtëm është i barabartë baraba rtë me këndin e brendshëm; b) këndi i jashtëm është dy herë më i madh se këndi i brendshëm brendshëm;; c) këndi i jashtëm është tre herë më i vogël se këndi i brendshëm brendshëm;;

1. Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të bren-

dshme është: a)1260o ,b)900o, c) 1440o? 2.

Te cili shumëkëndësh shuma e këndeve të jashtme është: a) 180o, b) 360o?

3.

Cakto këndin e brendshëm dhe të jashtëm te: a) dhjetëkëndëshi, b) njëzetkëndëshi i rregullt.

4.

Te cili shumëkëndësh i rregullt këndi i jashtëm është: a) 36o, b) 24o, c) 60o?

5.

Sa brinjë ka shumëkëndëshi i rregullt, nëse këndi i tij i brendshëm ka: a) 144o, b) 156o?

120


7

VETITË E SHUMËKËNDËSHIT TË RREGULLT A

Kujt Ku jtoh ohu u!

1.

Trekëndëshi i rregullt ka vijën rrethore të brendashkruar dhe d he jashtshkruar.

Prerja O e simetraleve të brinjëve të DABC paraqet qendrën e vijës rrethore të jashtashkruar te DABC. C

O

O O

H

A

Sqaro se si caktohet qendra e vijës rrethore të jashtshkruar dhe brendashkruar te katrori.

B

Çka paraqet prerjat H e simetraleve të këndeve te trekën trekëndëshi? dëshi?

2.

Trekëndëshi EFG në vizatim vizat im është barakrahas.

G

Çka paraqet lartësia GK për bazën EF, kurse çka për REGF pranë majës G?

E

K

Si janë ndërmjet veti (. dhe .) ?

F

O

Te çdo shumëkëndësh i rregulltoj a mund të jashtashkruhet vija rrethore? Përgjigje është vërtetuar. Që ta vërejsh këtë, shqyrtoe vizatimin, te i cili është është paraqitur paraqitur 9 këndëshi i rregullt; drejtëzat s1 dhe s2 janë simetralet e dy këndeve fqinje: RKAB dhe RABC.

Tani ndiqi sqarimet. sqarimet. F

R1

F

Simetralet s1 dhe s2 priten në një pikë O, pasi R2 + R3 < 180o.

F

Për shkak R2 = R3, vijon se DABO është barakrahas, me majë O dhe krahë

2$

=

2% .

F

G

E s1 O

s2

H

D AOB @ DCOB (sipas indicit?), prej ku vijon 2$ =

2%

=

D C

K

Të gjitha kulmet tjera do t'i lidhim li dhim me pikën O, kështu fitohen 9 trekëndësha F me kulm të përbashkët dhe baza të barabarta. F

F

= R2 = R3 = R4, si gjysmëkënde të dy këndeve të barabartë. barabartë .

a

1

2

A

3

a

4

a

B

2& .

Nëse vazhdohet va zhdohet më tutje tut je me krahasi krahasimin min e trekëndësh trekëndëshave ave fqinjë, f qinjë, do të tregohet se të gjith gjithëë trekëndëshat barakrahas, se të gjithë janë të puthitshëm ndërmjet veti, ku: 2$

=

2%

=

2&

= ... =

2.

.

I njëjti përfundim vlen për çfarëdo shumëkëndësh të rregullt.


121

Prej kësaj mund të përfundojsh Të gjitha kulmet e shumëkëndëshit të rregullt janë njëlloj të larguara, larguara, prej një pike të tij të brendshme O, përkatësisht se shtrihen te vija rrethore me qendër O.

B

3.

Në vizatim është dhënë pesëkëndëshi i rregullt dhe vija rrethore rretho re e tij e jashtashkruar. Trego se te ai mund të brendashkruhet vja rrethore.

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Sqaro pse lartësitë te të gjithë pesë trekëndëshat barakrahas ABO, BCO, ... të lëshuara prej majës së tyre të përbashkët O janë të barabarta ndërmjet veti.

H3

D

C H2

H4 O

E

B

H5

H1 A

Rrënza H1 e lartësisë OH1 është mesi i brinjës AB. Pse? Prej 2+ = 2+ = ... = 2+

vijon se meset e brinjëve të pesëkëndë pesëkëndëshit shit të rregullt janë një lloj të larguara

prej pikës O. Domethënë ekziston vijë rrethore me qendër O që i prek brinjët e pesëkëndëshit të rregullt. Përfundimi i njëjtë vlen për çfarëdo shumëkëndësh të rregullt.

Mbaj mend Rreth çdo shumëkëndëshi të rregullt mund të jashtashkruhet vija rrethore. Te çdo shumëkëndësh i rregullt mund të brendashkruhet vija rrethore. Ato vija rrethore janë koncentrike. Për qendrën e tyre thuhet se është qendra e shumëkëndëshit të rregullt. 4.

Vizato: a) trekëndësh të rregullt; b) katërkëndësh të rregullt, dhe konstrukto vijën rrethore të jashtashkruar dhe brendashkruar.

5.

Te vija rrethore e dhënë me rreze R rreze R brendashkruaje: a) trekëndëshin e rregullt; b) katërkëndëshin e rregullt.

O

C

Në vizatim vi zatim është dhënë d hënë njëri nj ëri prej pr ej trekëndëshave tr ekëndëshave barakrahas përbërës, DAOB, të shumëkëndëshit të rregullt. Për DAOB thuhet se është trekëndësh karakteristik të karakteristik të n-këndëshit të rregullt.

R

R r

H1

A

D



122


B

Elementet e tij e përcaktojnë n-këndëshin e rregullt: O - qendra;

RAOB

=



- këndi qëndror;

%$= a - brinja;

Q

2$

= R - rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar; 2+ = h = r - rrezja e vijës rrethore të brendashkruar

ose apotema apotema,, e n-këndëshit të rregullt. 6.

Vizato trekëndësh karakteristik të: a) trekëndëshit të rregullt; b) katërkëndëshit të rregullt, nëse rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar është R është R = 3 cm.

7.

Konstrukto trekëndësh trekëndësh karakteristik te 12-këndëshi i rregullt me brinjë 2 cm. Si do ta caktojsh këndin pranë bazës?

Duhet të dish:


t'i tregojsh dhe sqarojsh sqarojsh pohimet për vijën rrethore të jash jashtash tashkrua kruarr dhe brend brendashk ashkruar ruar te shumë shumë-këndëshi i rregullt;

Si do ta caktojsh këndin pranë bazës të trekëndëshit karakteristik nëse:

të përkufizojsh trekëndësh karakteristik, apotemën dhe këndin qëndror të shumëkëndëshit të rregullt.

Cakto këndin qëndror qëndror te: a) trekëndsëhi; trekëndsëhi; b) katërkëndëshi; c) pesëkëndëshi; ç) gjashtëkëndëshi; gjashtëkëndëshi; d) tetëkëndëshi i rregullt. rregullt.

a) n = 5;

b) n = 8; c) n = 9?

Detyra 1. Cakto këndin e brendshëm, të jashtëm dhe

3. Te n - këndëshi i rregullt është:

qëndror te:

a) këndi qëndror 45o;

a) 12-këndë 12-këndëshi; shi; b) 15-këndë 15-këndëshi; shi;

b) këndi i jashtëm 30o;

c) 20-këndëshi i rregullt.

c) këndi i brendshëm 144o? 4. Vizato trekëndësh karakteristik të dhjetë-

2. A ekziston n - këndësh i rregullt te i cili këndi

këndëshit të rregullt me brinjë 2 cm.

qëndror është: a) 40o;

ç) 100o;

b) 80o;

d) 120o?

c) 90o;

shumëkëndëshii i rregullt këndi i tij ti j 5. trego se te shumëkëndësh qëndror është i barabartë me këndin e tij të jashtëm.


123

KONSTRUKSIONI I SHUMËKËNDËSHAVE TË RREGULLT

8

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Te vija rrethore me r = 2,5 cm brendashkruaje trekëndëshin e rregullt.

Për cilin shumëkëndësh thuhet se është i rregullt?

Vëre zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve.

Vijat rrethore e jashtashkruar dhe brendashkruar te n-këndëshit të rregullt janë koncentrik?

C

DOAB në vizatim është trekëndësh karakteristik i n-këndëshit të rregullt. Sa shkallë ka këndi qëndror g?

Njehso këndi këndin n qëndro qëndrorr g; g =

 

O

. A

Sa shkallë ka këndi d?

O g

g=



r

R

d=

= h

d

A

;

Tërhiqe kordën AB dhe barte te vija rrethore ashtu

 



J

që $% %& &$ . (Vëre se DABO është karakteristik për trekëndëshin e rregullt, DABC.) Sqaro pse DABC është trekëndëshi i rregullt i kërkuar. 

;

d a

B

Vizato vijë rrethore k (O; (O; 2,5 cm) cm) dhe kënd qëndror g = R AOB = 120o.

Q

R

g

B

A mund të vizatohet trekëndëshi karakteristik DOAB i n-këndëshit të rregullt nëse dihet vetëm a ose vetëm R ose vetëm h = r?

2.



Konstrukto katërkëndësh të rregullt, d.m.th. katror me brinjë a = 4 cm, me ndihmën e trekëndëshitt të rregullt. trekëndëshi

Shqyrto zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve.  Njehso këndi këndin n qëndro qëndrorr g (g= ) dhe këndin d pranë bazës së trekëndëshit karakteristik  ( d = 45 o). Vizato segment AB, $% = 4 cm dhe këndet RBAX = RABY = 45o.

D

C Y X

Sqaro pse prerja O e krahëve AX dhe BY është qendra e katrorit. Vizato vijë rrethore k (O;

O

2$ ).

Barte kordën AB nëpër vijën rrethore ashtu që

o

90

%$

%&



&'



'$ .

Sqaro pse katërkëndëshi i fituar ABCD është katrori i kërkuar.

o

45 A

3.

Trego se trekëndëshi karakteristik i gjashtëkëndëshit të rregullt është trekëndësh barabrinjës.

4.

Sa janë këndet e trekëndëshit karakteristik te dymbëdhjetëkëndëshi i rregullt?

124


45o B

B

5.

Vizato nëntëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore me rreze R = 3 cm.

Nëntëkëndësh i i rregullt nuk mund të konstruktohet Nëntëkëndëshi konstrukt ohet vetëm me vizor dhe kompas. Prandaj Pranda j do të shfrytëzojmë edhe këndmatës. D Shqyrtoe zgjidhjen në vizatim dhe vepro sipas udhëzimeve. E

C

Vizato vijë rrethore k (O; (O; 3 cm) dhe kënd qëndror RAOB = 40o. 3 O R =

F

Pikat A dhe B janë te vija rrethore dhe ato janë dy kulme fqinje të nëntëkëndëshit.

40

o

c m

B

h

70o


%$

%&



&'







G

A

+. . H

Sqaro pse është fituar nëntëkëndësh i rregullt.

K F

6.

Vizato nëntëkëndësh nëntëkëndësh të rregullt me brinjë a = 2 cm.

G

E

Shqyrtoe vizatimin dhe vepro sipas udhëzimeve . Vizato trekëndësh karakteristik D OAB, d.m.th. trekëndësh

H

O

D

barakrahas me bazë $% = a = 2 cm dhe këndet e bazës a = 70o. 40o

Le të jetë k ( O;

C

K

2$ ).

70o


%$7.



%&



&'







+.

A

= 2 cm.

Konstrukto gjashtëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija rrethore me R me R = 3 cm.

Duhet të dish: të ko konst nst ru rukt ktoj ojsh sh shu mëk mëkënd ënd ësh të rre gul lt të brendashkruar te vija rrethore; të sqarojsh (me trekëndëshi trekënd ëshin n karakteris karakteristik) tik) dhe ta zbatojsh mënyrën për atë konstruksion.

8.

70o

B

Vizato katror të jashtashkruar rreth vijës rrethore me r = 2,5 cm.

Kontrol Kon trollo lo!

Konstrukto trekëndësh karakteristik të dymbëdhjetëkëndëshit të rregullt. Sa janë këndet e atij trekëndëshi trekën dëshi?? Vizato pesëkëndësh të rregullt të brendashkruar te vija vij a rrethore me me R R = 3 cm.

Detyra 1. Vizato trekëndësh të rregullt: a) te vija rrethore me r = 4 cm; b) i jashtashkruar rreth vijës rrethore me r = 2,5 cm. 2. Vizato gjashtëkëndësh të rregullt te vija rrethore me r = 4 cm.

3. Vizato pesëkëndësh të rregullt:

a) me brinjë a = 3 cm; b) nëse dihet r e vijës rrethore të brendashkruar; b) nëse dihet R dihet R e vijës rrethore të jashtashkruar. jasht ashkruar.


125

TEOREMA E PITAGORËS 9 TEOREMA E PITAGORËS A

Kujto Kuj tohu hu ! Çka është katrori i një numri? Si caktohet rrënja katrore e numrit të dhënë?

Njehso: 5 ; 12 ; 3 + 4 ; 5 - 3 ; 2

2

2

2

2

2



.

Vizato një trekëndësh kënddrejtë dhe shënoi kulmet, këndet dhe brinjët.

Konstrukto trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzë c = 5 cm dhe katete b = 4 cm, me ndihmën e teoremës së Talesit. Mate katetën tjetër. 1.

Nëse ke matur mirë, ke fituar 3 cm.

Si quhet brinja që shtrihet përballë këndit të drejtë? Si quhen dy brinjët tjera?

3

3

5

5 4

Është dhënë trekëndëshi kënddrejtë me katete a = 3 cm, b = 4 cm dhe hipotenuzë c = 5 cm.

2.

4

Shqyrtoe vizatimin dhe përpiqu të vërejsh një lidhje ndërmjet katrorëve të brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë. Çdonjëri prej katrorëve është ndarë në katrorzë me brinjë 1 cm. Sa katrorzë ka çdo katror?

Për numrin e katrorzëve vëren se: F

Mbi a janë 9, d.m.th. a2 = 32; a2 = 9;

F

Mbi b janë 16, d.m.th. b2 = 42; b2 = 16;

F

Mbi c janë 25, d.m.th. c2 = 52; c2 = 25.

Çka vëren për shumën e katrorëve të kateteve dhe katrorit të hipotenuzës?

126

Vërej se shuma e katrorëve të kateteve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës, d.m.th. 9 + 16 = 25 ose a + b = c .


2

2

2

Për trekëndëshin te i cili numrat matës të brinjëve të tij janë 3, 4 dhe 5 qysh Egjiptasit e vjetër kanë ditur se është kënddrejtë. Për këtë shkak quhet trekëndëshi i egjiptasve. Indianët e vjetër kanë ditur për trekëndëshin kënddrejtë kënddrejtë me brinjë 5, 12 dhe 13; ai është i njohur si trekëshi i indisë. Provo a vlen barazimi a + b = c për trekëndëshin e indisë. Vetinë që e vëreve te trekëndëshi i indisë vlen vl en për çdo trekëndësh kënddrejtë dhe është i njohur me emrin teorema e Pitagorës. 2

2

2

Teorema e Pitagorës thotë: Te çdo trekëndësh kënddrejtë katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të kateteve.

3.

Njehso hipote hipotenuzën nuzën c të trekëndëshit kënddrejtë, nëse katetet e tij janë a = 8 cm dhe b = 6 cm. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Është dhënë: a = 8 cm dhe b = 6 cm.

F

F

m c 6 =

Skica :

c=?

b

F

Kërkohet : c = ?

F

Pasi trekëndëshi është kënddrejtë, sipas teoremës së Pitagorës kemi: c = a + b ; d.m.th. c = 2

c2 = 82+62;

F 







;

F 



a = 8 cm

2

2

D



E

;

; c = 10 cm.

Mbaj mend se te çdo trekëndësh kënddrejtë me katete a, b dhe hipotenuzë c vlen formula:

B

c2

=

a2

+

b2

B

a C

c

b

F Nëse

c2 = a2 + b2, d.m.th. c =

A F

D



.

E

Nëse janë j anë dhënë hipotenuz hipotenuzaa dhe dh e një nj ë katetë, kurse kërkohet kateta tjetër, atëherë:

a2 = c2 - b2, d.m.th. a =

4.

janë dhënë dy katete, kurse kërkohet hipotenuz hipotenuza, a, atëherë:

F



E

,

ose

b2 = c2 - a2 , d.m.th.

b=

F



D

.

Për trekëndëshin kënddrejtë me katete a = 12 cm, b = 16 cm dhe hipotenuzë c = 20 cm, provoi formulat e teoremës së Pitagorës. Teorema e Pitagorës

127

E saktë është edhe teorema e anasjelltë: Nëse te një n jë trekëndësh t rekëndësh vlen barazi barazimi mi c = a + b , atëherë ai trekëndësh është kënddrejtë. 2

2

2

Me ndihmën e teoremës së Pitagorës, provo trekëndëshi me brinjë 9, 10, 14 a është kënddrejtë.

5.

Duhet të dish:


ta shprehish sh prehish teoremën e Pitagorës; Pitag orës; ta shprehish shprehi sh çdo brinjë brinj ë të trekëndëshit trekëndës hit kënddrejtë kënddr ejtë me ndihmën e të tjerave.

A është trekëndësh kënddrejtë trekëndëshi me brinjë: a) 12; 16; 21; b) 3; 1,6; 3,4? Cakto brinjën e panjohur të trekëndëshit kënddrejtë me katete a dhe b dhe hipotenuzë c: a) c = 2,9, b = 2; b) c = 1, a = 0,8.

Detyra B

1. Brinjët e DABC janë:

5.

a) 7; 24; 24; 25; 25; b) 8; 10; 10; 15; 15; c) 8; 15; 15; 17; ç) 12; 15; 20. A është DABC kënddrejtë?

Cakto perimetrin e D ABC sipas të dhënave në vizatim.

20

x

A 5 D

16

C

2. Cakto brinjën e panjohur te trekëndëshi kënd-

drejtë me katete a, b dhe hipotenuzë c: a) a = 56, b = 33; c) a = 25, b = 31;

b) b = 12, c = 37; ç) c = 2,9, a = 2;

3

6.

Cakto perimetrin e katërkëndëshit nga vizatimi.

4

12

d) a = 0,3, c = 0,34. 3.

4.

128

Cakto perimetrin e trekëndëshit kënddrejtë nëse katetet e tij janë: a) 0,5 cm dhe 1,2 cm; b) 1,5 dm dhe 2 dm. Cakto perimetrin e trekëndëshit kënddrejtë me hipotenuzë dhe katetë: a) 1 m dhe 0,8 m; b) 0,17 dm dhe 0,15 dm.

7.

A mundet të tre brinjët e trekëndëshit kënddrejtë të jenë numra natyror: a) çift, b) tek? Sqaroe përgjigjen.


ZBATIMI TIMI I TEOREMËS SË PIT PITAGORËS AGORËS TE DREJTKËNDËSHI, 1 0 ZBA KATRORI DHE TREKËNDËSHI BARABRINJËS

Kujt Ku jtoh ohu u!

Shpeshherë është e nevojshme me ndihmën e trekëndëshit kënddrejtë të zgjidhish ndonjë problem nga jeta e përditshme, teknika, gjeodezia etj. etj . Te Te shumë figura gjeometrike gjeomet rike ai mund të vërehet dhe të ndihmon që të kryejsh njehsime të caktuara.

A

Për brinjët e trekëndëshit kënddrejtë vlen teorema e Pitagorës. c

a

c2 =a2 + b2 a2 =c2 - b2 b2 =c2 - a2

b

D

Në vizatim është paraqitur drejtkëndëshi drejtk ëndëshi ABCD me brinjë a = 12 cm dhe b = 5 cm.

1.

d

Vëreje diagonalen $& = d . Mendo se si do ta caktojsh gjatësinë e diagonales. Si është trekëndëshi DABC? Te Te cili kulm është këndi i drejtë?

d 2 = 122 + 52 = 169; d = 2.



2

b

a

A

Cilat janë katetet, kurse cila është hipotenuza e D ABC? Vëre se, sipas teoremës së Pitagorës: d = a + b ; 2

C

B

2

; d = 13 cm.

Cakto rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar rreth drejtkëndëshit me brinjë a = 32 cm, b = 24 cm. D

B

3.

C

Njehso gjatësinë gjat ësinë e diagonales diagona les së katrorit katrori t me brinjë a.

d

a

a

B

Shqyrtoe vizatimin dhe vëre: F

D ABC është barakrahas kënddrejtë.

F

Sipas teoremës së Pitagorës: d 2 = a2 + a2 = 2a2; d =

4.

A

D

; d = a



;

Njehso diagonalen e katrorit me brinjë: a) a = 6 cm; b) a = 1,2 cm.



» 1,41.

D

C

R

r 5.

Cakto rrezet e vijës rrethore të brendashkruar dhe jashtashkruar te katrori me brinjë a = 3 cm.

d

D

O



A

a

Teorema e Pitagorës

B 129

E dinë se diagonalja e katrorit me brinjë a është: d = a  . A mundet me ndihmën e a t'i shkruajsh rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar j ashtashkruar R dhe rrezen e vijës rrethore të brendashkruar r? C

6.

Prej vizatimit përfundoj se: r=

D 

, kurse R =

G 

, R =



D



. C

Në vizatim viz atim është paraqitur pa raqitur trekëndëshi barabrinjës ABC. Sipas vizatimit përgjigju në pyetjet.

a h

O

Çka paraqet segmenti CC për D ABC?

R

1

Çka paraqet segmenti CC për trekëndëshin kënddrejtë AC AC C? Çka paraqesin segmentet OD, përkatësisht OB? 1

1

A

D

C1



Pse ortoqendra O (prerja e lartësive) puthitet me pikën e rëndimit (prerja e vijave të rëndimit) te trekëndësh trekëndëshii barabrinjës?

D

r

B

Me ndihmën e brinjës a shkruaj: h - lartësia; r - rrezja e vijës rrethore të brendashkruar; R - rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar. Mund të tregohet se te trekëndëshi barabrinjës barabrin jës pikëprerja O e lartësive dhe vijave të rëndimit e ndan lartësinë la rtësinë (vijën e rëndimit) në pjesë:



2&





K;

2&

 

K.



Vëreje caktimin e: h, r, R te trekëndëshi barabrinjës. Prej trekëndëshit kënddrejtëk AC C vijon: 1

F

F

h2 = a2 - o

r=

 

h=

| ¸  

= a2 -



D

D



×





D



=

; r=

 

D



a2;





h=

.

D



F

D

; h=

R =







h=



;



 

D

×





» 1,73.

; R =

D





.

Njehso h, R dhe r te trekëndëshi trekëndësh i barabrinjës barabri njës me brinjë bri një a = 30 cm.

7.

Duhet të dish: ta zbatojsh teoremën e Pitagorës te drejtkëndëshi, katrori dhe trekëndëshi barabrinjës.


Sa është rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar rreth katrorit me brinjë a = 10 cm? Cakto lartësinë dhe rrezen e vijës rrethore të jashtashkruar jashtashk ruar dhe brendashkr brendashkruar uar te trekëndësh trekëndëshii barabrinjës me brinjë 10 dm.

130


Detyra 1. Cakto diagonalen e drejtkëndëshit me brinjë:

6.

Cakto h, R dhe r te trekëndëshi barabrinjës me brinjë:

a) 0,28 dm; 0,96 dm; b) 300 cm; 160 cm. 2.

Cakto perimetrin e drejtkëndëshit, të dhënë me: a) d = 13 m, a = 12 m;b) d = 8,5 dm; b = 1,3 dm.

3.

Te vija rrethore me R = 10 dm është brendashkruar drejtkëndëshi me brinjë 8 dm. Cakto perimetrin e tij. 4. Meset e brinjëve të katrorit me brinjë 10 cm j jaa n ë k u l m et e n j ë k a t ë r k ë n d ë sh i . C a k t o perimetrin e tij. 5.

a) a = 1, b) a = 100; c) a =



.

7.

Te një trekëndësh barabrinjës është brendashkruar vija rrethore me r = 3,46 cm. Cakto perimetrin e tij.

8.

A mundet diagonalja dhe brinjët e një drejtkëndëshi të kenë gjatësi: a) 30 30,, 40, 40, 50 50;; c) 10, 20 20,, 30; 30;

9.

b)20,, 30, b)20 30, 40 40;; ç) 150 50,, 20 200, 25 250? 0?

Janë dhënë dy katror. Njëri me brinjë a = 3 cm, kurse tjetri me brinjë b = 4 cm. Cakto brinjën c të ka katr tror orit it tj tjet etër ër sy sypr prin inaa e të ci cililitt ësh të e barabartë me shumën e syprinave të katrorëve të dhënë.

Cakto rrezet e vijës rrethore të brendashkruar dhe jashtashkruar te katrori me: a) a = 10 cm; b) d = 10 cm.

1 1 DETYRA ME ZBATIMIN E TEOREMËS SË PITAGORËS Kujt Ku jtoh ohu u! Për cilin trekëndësh themi se është barakrahas? Çfarë katërkëndëshi është rombi? Cili është trapezi barakrahas? Shqyrtoi vizatimet dhe shprehi vetitë e çdo figure.

A

1.

D a S

C

b a A

d 1

h b a

C

d 2

A

Db C b b

a c

B

c

h

a

a B

A

a a

B

Shqyrto trekëndëshin barakrahas në vizatim dhe përgjigju në pyetjet. C

Trekëndëshi kënddrejtë BCD a është pjesë përbërse e trekëndëshit barakrahas D ABC? Cilët elemente të D ABC janë katete dhe hipot hipotenuzë enuzë e DBCD?

b

Teorema e Pitagorës mundëson të vërehet një lidhje ndërmjet bazës, krahut dhe lartësisë së trekëndëshit barakrahas. Vëreve se :

D|

b 2= h 2+ o ¸  

b

h

a A

a D

D

B



.


131

Cakto lartësinë e trekëndëshit barakrahas me bazë 10 cm dhe krah 13 cm.

2.

Bëj vizatim të trekëndëshit barakrahas ABC dhe tërhiqe lartësinë CD. D| Prej DBCD vër vëree se: h2=b2- o ¸ ; h2=132- 52=169 - 25 = 144 .  

Domethënë h = 144;

h=

2



= 12, d.m.th. h = 12 cm.

Njehso perimetrin e trekëndëshit trekëndësh it barakrahas nëse janë ja në dhënë baza 14 cm dhe lartësia ndaj nd aj bazës 24 cm.

3.

4.

B

Shqyrto vizatimin dhe vëre se si do të zbatohet teorema e Pitagorës te trapezi barakrahas.

D b C

Vëreje vizatimin se si mund të caktohen gjatësitë $' = x. D



E

c x

F

Vërej se

5.

Cakto krahun e trapezit barakrahas me bazë 30 cm, 16 cm dhe lartësi 24 cm.

a=b+2 x;

2 x = a-b;

x =



.

c

h b

A

D1

x a

B

Vizato trapez barakrahas ABCD, shënoi elementet dhe tërhiq lartësinë DD . 1

Është dhënë: a = 30, b = 16 dhe h = 24.

F F

D

Prej trekëndëshit kënddrejtë AD D te detyra 4, fitohet:

c2 = h2 + o

1



c2 = 242 + o

 

 |

¸  = 576 + 49 = 625, përkatësisht c =



 E| ¸ ;  

= 25; c = 25 cm.

Cakto lartësinë h të trapezit barakrahas me baza 7 dm, 3 dm dhe krah 2,9 dm.

6.

C

7.

Mendo se do ta caktojsh brinjën a të rombit, nëse janë dhënë diagonalet e tij d dhe d . 1

D

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në pyetjet. Emërto një trekëndësh kënddrejtë te rombi ABCD. Cilët elemente elemente të rombit janë brinjët e atij trekëndëshi? trekëndëshi?

Sqaro pse 132

G | | a =o ¸ + o ¸ .    2


C S

a d 1

Cilët janë katetet dhe dhe hipotenuza te DABS kënddrejtë? G

2

A

d 2

a

B

8.

Cakto perimetrin e rombit me diagonale 24 cm dhe 10 cm. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

F

Është dhënë: d = 24 dhe d = 10.

F

a2 = o ¸ + o 

F

a=

9.

Te një romb janë dhënë brinja a = 13 cm dhe diagonalja d = 24 cm. Caktoe diagonalen tjetër d .

1

G

|





2

 |  | | ; a2 = o ¸ + o ¸ =12 + 5 = 144 +25 = 169; ¸      

G

= 13 cm.

2

F

2

P= 4a; P = 4 × 13 = 52, d.m.th. P = 52 cm.

1

Duhet të dish: ta zbato zbatojsh jsh teoremën e Pitag Pitagorës orës te detyr detyraa për trekëndë trek ëndëshin shin bara barakrah krahas, as, tra trapezi pezinn bara barakrah krahas, as, rombi dhe në shumë detyra.

2


Diagonalet e një rombi janë 12 cm dhe 16 cm. Njehso perimetrin e tij. Perimetri i një trekëndëshi barakrahas me krah 41 cm është 100 cm. Cato lartësinë ndaj bazës.

Detyra 1. Baza e trekëndëshit barakrahas është 24 cm,

kurse perimetri i tij 98 cm. Njehso lartësinë lart ësinë ndaj bazës.

5. Njehso krahun e trapezit barakrahas me baza

30 cm, 6 cm dhe lartësi 35 cm.

2.

Baza e trekëndëshit barakrahas është 28 cm, kurse lartësia e tij është 48 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit.

6.

Cakto perimetri e trapezit barakrahas me baza 34 cm dhe 16 cm dhe lartësi 12 cm.

3.

Diagonalet e një rombi janë: a) 42 dhe 50 50;; b) 24 24,6 ,6 dhe dhe 56,8. 56,8. Sa është është përafërsisht brinja e rombit?

7.

Të caktohet lartësia e trapezit barakrahas me baza 16 cm, 30 cm dhe krah 25 cm.

gj atë 3 m qëndron në mur. Pjesa 8. Një shkallë e gjatë 4.

Brinja e rombit është 2,9 dm, kurse një diagonale është 4 dm. Cakto diagonalen tjetër.

e saj e poshtme është në 1,8 m nga muri. Deri në cilën lartësi do të arrin shkalla në mur?


133

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT

12

KUPTIMI PËR SYPRINËN

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Te rrjeta katrore ka tre figura: A, B i C. B C A

Në vizatim janë jan ë dhënë: a) drejtkëndëshi P dhe katrori K; b) dy drejtkëndësha të puthitshëm Y dhe T; c) figura F, e ndarë në tre drejtkëndësha: F , F dhe F që nuk mbulohen. 1.

1

2

3

a)

E P

S2

S1

S3

K

Nj

Nëse për njësi matëse merret syprina Nj e një katrori nga rrjeti, atëherë syprina S e figurës A është S = 12Nj. Numri matës i syprinës S , me njësin Nj është 12.

b)

1

Y

1

1

T

Sa është syprina S e figurës B, përkatësisht syprina S e figurës C, me njësinë matëse Nj? 2

3

F

c)

Sa herë është më e madhe syprina S prej syprinës S ? Sa është shuma e syprinave S dhe S ? Çfarë syprine fitohet nëse syprina syprina S shumëzohet me 5? Cila shenjë duhet të qëndroj te rrethi që të fitohet gjykim i saktë: 1

F2

2

2

F1

3

1

S2 + S3

F3

S1?

Syprina Nj e një katrori nga rrjeti është marrë për njësi matëse.

Cakto syprinën e drejtkëndëshit P dhe katrorit K; çfarë vlere (pozitive ose negative) ka numri matës i syprinës të çdonjërit prej pr ej tyre? Si janë ndërmjet veti syprinat e drejtkëndëshave Y dhe T? Cakto syprinën S të figurës F dhe syprinat S , S , S të figurave F , F , F përkatësisht. Pastaj krahasoe syprinën S me shumën S + S + S . 1

1

134

2

2

3

3


1

2

3

Çka mund të përfundojsh për syprinat e shumëkëndëshave nën a), b) dhe c) nga detyra paraprake?

Mund të përfundoj se: a) syprina e drejtkëndëshit dhe katrorit janë shprehur me numra pozitiv; b) drejtkëndëshat e puthitshëm kanë syprina të barabarta; c) Syprina e figurës F është e barabartë me shumën e syprinave të drejtkëndëshave përbërës.

Për syprinën e shumëkëndëshit në përgjithësi, vlejnë këto veti themelore.

1o Syprina e një shumëkëndëshi shprehet me numër pozitiv. at o kanë syprina të barabarta. bara barta. 2o Nëse dy shumëkëndësha janë të puthitshëm, atëherë ato shumëkëndëshi dëshi përbëhet prej dy ose më shumë shumëkën shumëkëndëshave dëshave që nuk mbuloh mbulohen, en, atëherë 3o Nëse shumëkën syprina e tij është e barabartë me shumën e syprinave të atyre shumëkëndëshave.

4o Syprina e katrorit me brinjë 1 m merret për njësi themelre matëse; ajo quhet metër katror dhe shënohet: 1 m . 2

Prej njësisë matëse 1 m 2 nxirren njësitë më të vogla: 1 dm 2, 1 cm2, 1 mm 2 dhe më të mëdhaja: 1 dam 2, 1 hm2, 1 km2. 2.

Cilët prej drejtkëndëshave në vizatim kanë syprina të barabarta dhe në bazë të cilës veti? a)

25 cm 40 cm

b) m c 5 3

35 cm

3.

c)

ç)

3 ,5 d m

d m 6 3 ,

m d 4

2,5 dm

d) d m 5 3 ,

3 ,5 d m

Në vizatim, të t ë dy drejtkëndëshat drejtkëndë shat e figurës nën a) a ) mbulohen, kurse kur se nën b) - jo. Për cilën prej atyre dy figurave vlen vetia 3 , kurse për cilat nuk vlen? o

a)

b)

Syprina e shumëkëndëshit

135

4.

B

Në vizatim janë jan ë dhënë dy trekëndësha kënddrejtë këndd rejtë të puthitshëm, puthits hëm, T dhe T , kurse pastaj prej tyre janë formuar, tre figura gjeometrikei: a), b), c). 1

2

T2 T1

T2

T1

T2

T1

a)

T2

T1

b)

c)

Emërto çdonjërën prej figurave a), b) dhe c). Si janë ndërmjet veti syprinat e T dhe T ? Pse? Si janë ndërmjet veti syprinat e figurave a) dhe b); b) dhe c)? Pse? 1

2

Për dy figura thuhet se janë me syprina të barabarta, barabarta, nëse kanë syprina të barabarta. Dy figura që mund të formohen ose mund të ndahen në numër të njëjtë përkatësisht figura të puthitshme me syprina të barabarta thuhet se kanë syprina të barabarta. Figurat a), b) dhe c) nga detyra 4 janë me syprina të barabarta.

Cakto cila prej figurave janë me syprina të barabarta.

5.

a)

b)

c)


ta sqa sqaroj rojsh sh kup kupti timin min syp syprin rinëë të shumëkëndëshit; të njeh shumëkëndëshat shumëkëndësha t me syprina të barabarta; të zbërth zbërthen en shumëkën shumëkëndësha dësha në pjesë dhe të formon prej tyre të tjera, figura me syprina të barabarta.

Shprehe vetinë themelore për syprinën. Nëse dy figura janë të puthitshme, atëherë ato janë me syprina të barabarta. Vallë Vallë çfarëdo dy figura me syprina të barabarta baraba rta janë të puthitshme? put hitshme? Sqaroe! Sq aroe! D

Si do ta zbërthejsh romboidin që të fo formo rmohe hett dr drej ejtk tkën ëndës dëshh ng ngaa pjesët? Sqaroe atë me vizatim. A

136


C

B

Detyra 1. Preji dy trekëndësha kënddrejtë të puthitshëm

7.

dhe prej tyre formo: a) trekëndësh barakrahas; b) drejtkëndësh; c) romboid. Pse të gjitha figurat e fituara janë me syprina të barabarta? 2.

Figurën në vizatim ndaje në katër trapeza të puthitshëm.

Katrori është prerë nëpër diagonalet. Prej trek tr ekën ëndë dësh shav avee të fi fitu tuar ar fo form rmoo tr tree sh shum umëëkëndësha konveks. Vizatoi dhe emërtoi.

Pë P ë rp iqu ...

8.

shumëkën ëkëndësh dëshaa jan janëë me sypr syprina ina të 3. Nëse dy shum barabarta, a duhet të kenë patjetër numër të njëjtë të brinjëve?

Është dhënë katrori ABCD (në vizatim). vizat im). E, F, G, G, H janë meset e brinjëve të tij. Krahasoe syprinën e katërkëndëshit KLMN me syprinën e katrorit ABCD.

D

G

C M

N

F

H K A

E

L B

trekëndësha barabrinjës barabrinjës kanë perimetra 4. Nëse dy trekëndësha të barabartë, a duhet patjetër të kenë syprina të barabarta? 9.

Nëse se dy dr drej ej tk ën dë dësh sh a ka kanë në pe peri ri me metr tr a të 5. Në barabartë, a duhet patjetër të kenë syprina të barabartë? 6.

Konstato a është i saktë ky gjykim. a) Figurat e puthitshme janë me syprina të barabarta. b) Figurat me syprina të barabarta janë të puthitshme. c) Trekëndëshat Trekëndëshat barabrinjës barabrin jës janë të puthitshëm. ç) Trekëndëshat barabarinjës me brinjë përkatësisht të barabarta janë me syprina të barabarta. d) Katrorët me diagonale përkatëse të barabarta janë me syprina të barabarta.

Te rrjeta e katrorit është vizatuar viza tuar figura e lakuar. lakua r. Bëj (çka është e mundshme më mirë) vlerësim për syprinën e saj S duke marrun për njësi matëse syprinën Nj të një katrori nga rrjeta.

1 cm2

Të bëjsh vlerësim për S domethënë të caktojsh dy numra, m dhe n, ashtu që m Nj £

S

£ n Nj .


137

13

SYPRINA E DREJTKËNDËSHIT DHE KATRORIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

Gjatësia e bazës AB dhe gjatësia e lartësisë BC të drejtkëndëshit ABCD (në vizatim) janë shprehur shprehu r me numra të plotë :

C Të caktohet syprina e D drejtkëndëshit të dhënë domethënë nëse dihet sa katrorzë, me brinjë të barabartë me njësinë A B matëse për gjatësi, do të vendosen te drejtkënd drejtkëndëshi ëshi dhe do ta mbulojnë.

A

1.

%$= 7 cm,

%&

= 4 cm. C

D 4 3 2

Cilado prej brinjëve të drejtkëndëshit drejtkëndëshit ABCD mund të llogaritet për bazë të tij; në këtë rast, cilado prej brinjëve fqinje të tij llogaritet për lartësi të drejtkëndëshit.

1

A

1

2

3

4

5

6

7

B

Sa katrorë me brinjë 1 cm ka te rreshti që kufizohet me bazën, kurse sa cm ka baza? Sa katror e mbulojnë drejtkëndëshin? Sa është syprina e drejtkëndëshit të shprehur në cm ? 2

Pas numërimit të katrorëve, sigurisht konstatove se syprina është 28 cm . Por si mund ta fitojsh numrin e katrorëve që e mbulojnë drejtkëndëshin, por pa i numëruar? 2

Do t'i shumëzoj bazën dhe lartësinë dhe do të fitoj: 7×4 = 28.

Domethënë, syprina e drejtkëndëshit ABCD është e barabartë me prodhimin e bazës dhe lartësisë.

Njehso syprinën syp rinën e drejtkëndëshi drej tkëndëshitt me bazë 15 dm d m dhe lartësi lart ësi 6 dm në dm sipas të dhënave në vizatim.

2.

2

Kujtohu: njësia themelore për syprinën është metër katror (m 2). Metër katror është syprina e katrorit me brinjë 1 m.

B

Njësi matëse më të të mëdhaja se 1 m janë:

Njësi matëse më të të vogla se 1 m janë:

2

ar =

1 dam

ha =

1 hm

2

×

10 000

1 km

2

×

1 000 000

2

Sa cm ka në 1 dm ? 2

138

2

2

100

1 dm

2

10 000

1 cm

2

1 000 000

1 mm

× 100

:

1 m2

: :

Sa mm ka në 8 cm ? 2

2


2

Sa dm ka në 25 cm ? 2

2

D

Njehso syprinë syprinënn e drejtkënd dr ejtkëndëshit ëshit ABCD, ku gjatësia gjatësi a e bazës dhe dh e

3.

lartësisë janë shprehur me numra dhjetor: $% = 7,5 cm dhe %& = 4,3 cm.

C

4,3 cm

Nëse zgjedh 1 mm si njësi nj ësi matëse për gjatësitë, gjatës itë, me cilët c ilët numra numr a të plotë plot ë do të shprehen shpr ehen $% dhe Vëreve se

%$= 75 mm,

%&

7,5 cm

A

%& ?

B

= 43 mm. Cakto syprinën S të drejtkëndëshit në mm . 2

Numrin e fituar (S = 75 × 43 = 3 225; S = 3 225 mm ), shprehe në cm dhe krahasoe prodhimin e gjatësive të bazës dhe lartësisë: 7,5 × 4,3. 2

2

Çka përfundon prej këtu? Mund të përfundoj se syprina e drejtkëndëshit fitohet si prodhim i bazës dhe lartësisë dhe në këtë rast, kur ato janë të shprehur me numra dhjetor. Vlen në përgjithësi: Syprina e drejtkëndëshit është e barabartë me prodhimin e gjatësisë së bazës dhe lartësisë: S=a×

S - syprina;

a

- baza;

h

h a

h

- lartësia

Në veçanti, ve çanti, nëse a = h, atëherë drejtkëndëshi është katror, pra S = a

× h

=a

× a

Syprina e katrorit është e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së tij:

= a2.

a

S = a2 a

Formula S = a × h vlen edhe kur baza dhe lartësia lartësi a janë shprehur me çfarëdo ç farëdo numra realë. F

Në vend të ,,gjatësia e bazës", shkurtimisht thuhet vetëm:,,baza". Ngjashëm për: ,,lartësia", ,,diagonalja" etj.

4.

Njehso syprinën e drejtkëndëshit drejtkën dëshit me bazë 12,4 dm dhe lartësi 7,05 dm.

5.

Njehso syprinën e katrorit k atrorit me brinjë brin jë a = 3,4 cm. Syprina e shumëkëndëshit

139

Kujtohu

C

Pë r D ABC kënddrejtë me hipotenuzë c d h e kateta a, b vlen barazimi (teorema e Pitagorës) : c2

=

a2

+

B

Njehso syprinën sy prinën S të t ë drejtkëndëshit drejtk ëndëshit me bazë a=12 cm dhe diagonale d =13 cm.

c a

Nëse nuk kujto kujtohesh, hesh, vëreje mënyr mënyrën. ën. b

C

b2

Sa është c, nëse Sa është a, nëse Sa është c, nëse

6.

A

Shqyrtoe drejtkëndëshin ABCD në vizatim dhe vëreje vëre je tre trekënd këndëshi ëshinn kën kënddr ddrejt ejtëë DABC, te i cili hipotenuza d dhe kateta a janë të njohura, por nuk dihet kateta h.

= 5, b = 12? c = 10, b = 6? a = b = 1?

a

D

C

Shprehe katetën h me ndihmën e d dhe a. Vlerën e fituar për h (h = =

G



D

=



= 12) zëvëndësoe te formula S =



d



=



A

a × h.

B

a

N

Njehso syprinën syprin ën S të katrorit katror it me diagonale diagon ale d = 6 cm.

7.

h

M d

a

Krahasoe zgjidhjen tënde dhe vëreje mënyrën: Syprinën a duhet ta shprehish me diagonalen d . 2

F F

K

Te trekëndëshi kënddrejtë KLM, sipas teoremës së Pitagorës vlen: d = a + a ; d = 2a ; 2

Në vend të S = a mund të shkruajsh S = 2

F

S=

G 

; S=

 

; S=



G 

2

2

2

2

a2

a

=

L G 

.

.

; S = 18 cm . 2



Vlen në përgjithësi Syprina S e katrorit me diagonale

d

mund të njehsohet me formulën S=

G

.



Duhet të dish: të caktojsh syprinën sypri nën e drejtkëndëshit dhe katrorit kat rorit sipas formulës përkatëse përk atëse dhe ta shprehish në njësi matëse përkatëse; t'i shfrytëzojsh shfrytëz ojsh vetitë e drejtkëndëshit drejt këndëshit dhe katrorit kat rorit te detyrat detyra t më të ndërlikuara për p ër syprinën. 140



Syprina e një drejtkëndëshi është 72 dm , kurse lartësinë e ka 60 cm. Sa është baza? Perimetri i një katrori është 10 dm. Sa është syprina e tij? 2

Syprina e një katrori është 18 dm . Sa është diagonalja? 2

Detyra drejtkënd ëshit me brinjë: 1. Njehso syprinën e drejtkëndëshit a) 24 cm, 36 cm; c) 3

 

cm; 8

 

7. Si do të ndryshon syprina e drejtkëndëshit me

b) 7,8 dm; 4, 4,5 dm;

brinjë a dhe b (cm), ku b > 1 (cm), nëse a zmadhohet për 1 (cm), kurse b zvogëlohet për 1 (cm)?

cm.

Njehso hso per perime imetri trinn e ka katro trorit rit,, me syp syprin rinëë të 2. Nje barabartë me drejtkëndëshin me dimenzione 63 cm dhe 28 cm.

8. Sa përqind do të zmadhohet syprina e drejt-

këndëshit nëse gjatësitë e brinjëve zmadhohen nga 10%? 9. Sa herë duhet të zmadhohet brinja e katrorit që

3. Cakto syprinën e drej-

tkëndës hit të korniz tkëndëshit kornizës ës drejtkëndore sipas viza- 42 timit.. Dimenzionet timit Dimenzio net janë dhënë në cm.

të zmadhohet syprina e tij 2,25 herë? 46 30

10.. 10

Syprina e një drejtkëndëshi është 168 cm , kurse njëra brinjë e tij është 24 cm. Njehso diagonalen.

11.. 11

Diagonalja e një katrori është 4 a) syprinën; b) perimetrin e katrorit.

12.. 12

Perimetri i një drejtkëndëshi është 12 cm, kurse ku rse numrat matës të brinjëve të tij janë numra natyrorë. a) Sa drejtkëndësha të atillë ekzistojnë? Njehsoi syprinat e tyre. b) Cili prej tyre ka syprinë më të madhe?

13.. 13

Gjatësia e një dhome është 4,2 m, kurse gjerësia është 5,4 m. Në dhomë ka dritare me gjerësi 1,2 m dhe lartësi 1,6 m. Drita në dhomë llogaritet e mjaftueshme, nëse syprina S e dritareve paraqet 20% e syprinës sypr inës S të dyshemes. A është e mjaftueshme drita e dhomës?

56

4. Njehso syprinën e katrorit me:

a) brinjë 5,3 cm; b) diagonale 6,4 cm. 5. Si do të ndryshon syprina e drejtkëndëshit nëse:

a) baza zmadhohet 3 herë, kurse lartësia l artësia 4 herë; b) baza dhe lartësia zvogëlohen 2 herë; c) baza të zmadhohet 4 herë, kurse lartësia të zvogëlohet 4 herë; ç) baza të zmadhohet 3 herë, kurse lartësia të ngel e njëjtë?

6. Si do të ndryshon syprina e katrorit nëse brinja e

tij: tij: a) zmadhohet 2 herë; b) zvogëlohet 3 herë; c) zmadhohet 1,5 herë; ç) zmadhohet 50%; d) zvogëlohet 50%; e) zvogëlohet 60%?

2



cm. Njehso:

1


141

1 4

SYPRINA E PARALELOGRAMIT

Kujtohu!

A

1.

Çfarëdo brinjë e paralelogramit mund të quhet bazë e paralelogramit.

Prej kulmeve D dhe C të paralelogramit (në vizatim) janë lëshuar lartësitë ndaj bazës AB. D

C

Katërkëndëshi ABCD, në vizatim është paralelogram, kurse segmentet DD 1 dhe CC1 janë normale te baza AB.

D

C

A

B

F

G

Shqyrtoi DAFD dhe DBGC dhe mendo a janë të puthitshëm. A

B

D1

Mund të vërejsh se:

C1

Si janë ndërmjet veti gjatësitë '' dhe

&&

?

Çka janë segmentet DD , CC (dhe gjatësitë e tyre) për paralelogramin paralel ogramin ABCD? 1

1

Si janë ndërmjet veti RDAD dhe RCBC1? Si quhet paralelogrami ABCD, nëse:

F

dhee = RCBG dh R ADF = RBCG (kënde me krahë paralele).

F

D AFD @ DBGC

$' = %& , RDAF

(sipas indicit KBK).

Trego se katërkëndëshi FGCD është drejtkëndësh

1

a) $% = $' ? b) RA = 90 ? o

c)

%$¹ $'

dhe RA është i ngushtë?

Sqaro pse $% =

)* .

A janë me syprina të barabarta paralelogramet ABCD dhe drejtkëndëshi FGCD? Pse?

Po, pasi çdonjëri prej tyre përbëhet prej trapezit FBCD dhe nga një trekëndësh kurse ato janë të puthitshëm. Prej kësaj mund të vërejsh se: Syprina S e paralelogramit paralelogramit ABCD është e barabartë me syprinën e drejtkëndëshit FBCD, pra S=

)* × )'

=

$% × )' .

Në përgjithësi vlen: D Për paralelogramin me bazë $% = a dhe lartësi ') = h syprina është prodhimi nga baza dhe lartësia përkatëse e tij, d.m.th. S =

142

a × h.


C

h

A

F

a

B

Njehso syprinën syprin ën e paralelogramit paral elogramit me bazë a = 6,2 cm dhe lartësi të lëshuar nga baza, h = 4,5 cm.

2.

S=

a × h;

S = 6,2 × 4,5; S = 27,9 cm2.

3.

Brinjët e një romboidi janë a = 8 cm dhe b = 6 cm. Lartësia ndaj bazës a është 3 cm. Sa është lartësia ndaj brinjës b?

4.

Brinja e një rombi është 12,5 cm, kurse syprinën e ka 40 cm . Njehso lartësinë e rombit.

5.

Brinja më e madhe e një paralelogrami është 41 cm, lartësia lartësi a ndaj brinjës më të vogël është 40 cm, kurse diagonalja më e vogël është 50 cm. Njehso syprinën e paralelogramit.

2

D

Që ta njehsojsh syprinën e paralelogramit në këtë rast është e domosdoshme ta zbatojsh teoremën e Pitagorës. 40 cm2. Që të caktojsh $% , shqyrtoi trekëndëshat kënddrejtë AFD dhe BFD, kurse pastaj njehsoi: $) , Bën vizatim si i dhëni dhe vëre se S = $% )% ,

%$×

6.

50

41 40

= $) + )% . A

B

C

Në vi viza zati ti m ës ësht htëë pa para raqi qitu turr ro romb mbii AB ABCD CD.. Pa Past staj aj ës ësht htëë konstruktuar katërkëndëshi KLMN, ashtu që brinjët e tij janë paralele me diagonalet e rombit. me ndihmën e vizatimit, përpiqu të gjejsh formulë për njehsimin e syprinës së rombit nëse janë dhënë diagonalet e tij d dhe d . 1

B

F

N

D

M

d 1

A

C d 2

2

K

B

L

Shqyrtoe vizatimin dhe përgjigju në këto pyetje Si është pozita reciproke e diagonaleve të rombit? I cilit lloj është katërkëndëshi katërkëndëshi KLMN? Sa është syprina e katërkëndëshit KLMN, e shprehur me ndihmën e d dhe d ? Sa herë është më e madhe syprina e katërkëndëshit KLMN nga syprina e rombit? 1

2

Nëse përgjigjesh drejtë d rejtë në pyetjet paraprake, p araprake, mund të t ë përfundojsh se: Syprina S e rombit me diagonale d dhe d është e barabartë me gjysmën e prodhimit të diagonaleve, d.m.th. 1

S=

 

2

d 1

d 1 × d 2

d 2


143

7.

Njehso syprinën sy prinën e rombit me diagonale diago nale d = 6 dm dhe d = 45 cm. 1



S=



×

60 × 45 = 1 350;

2

S = 13,5 dm 2.

Duhet të dish:


të njehsojsh syprinën e paralelogramit (rombit dhe romboidit) sipas formulës përkatëse; ta sqarojsh saktësinë sa ktësinë e formulave formula ve për njehsimin e syprinës së romboidit dhe rombit; t'i shfrytëzoj shfrytëzojsh sh vetitë vet itë e romboidit dhe rombit ro mbit për p ër zgjidhjen e detyrave më të ndërlikuara për syprinën.

Sa është syprina e romboidit me bazë 12 cm dhe lartësi 7 cm? Sa është brinja e rombit me lartësi syprinë S = 96 cm ?

h

= 8 cm dhe

2

Rombi me diagonale d = 9 dm e ka syprinën S = 27 dm . Sa është diagonalja tjetër? 1

2

Detyra plla kës metalike meta like në n ë formë të 1. Njehso syprinën e pllakës romboidit me brinjë 25,8 cm dhe lartësi nga ajo brinjë 8,4 cm. r ombit me diagona diagonale le 18 cm 2. Njehso syprinën e rombit dhe 3 dm.

8. A mundet syprina e paralelogramit të jetë e

barabartë me prodhimin e bazës dhe njërës diagonale? 9. Syprina e një paralelogrami është 144 cm2. Prerja

e diagonaleve të larguara prej brinjëve 3 cm dhe 4 cm. Njehso perimetrin e paralelogr paralelogramit. amit.

jan ë 3. Njehso syprinën e romboidit te i cili brinjët janë 12,5 dm dhe 32,5 cm, kurse lartësia nga brinja më e vogël është 10 cm. Pastaj, cakto lartësinë tjetër.

10.. 10

j anë 9 cm dhe 12 cm. 4. Brinjët e një paralelogrami janë Njehso sypri syprinën nën e tij nëse lart lartësia ësia e tij më e madhe është 8 cm.

a) Si të ndahet rombi në tri pjesë, prej të cilëve mund të formohet drejtkëndësh, ashtu që baza të jetë njëra prej diagonale d iagonaleve ve të rombit? b) Duke e shfrytëzuar këtë, nxirre formulën që e shpreh syprinën e rombit nëpërmjet diagonaleve.

brinjë 6 cm 5. Njehso syprinën e paralelogramit me brinjë dhe 8 cm, por me këndin e ngushtë prej 30 . o

6. Njehso syprinën e rombit me brinjën 8,4 dm dhe

këndin e gjerë prej 150 . o

7. Katërkëndëshi në vizatim

11.. 11

Brinja më e vogël e paralelogramit është 13 cm, lartësia e lëshuar ndaj brinjës më të madhe është 12 cm, kurse diagonalja më e vogël është 15 cm. Cakto syprinën e paralelogramit.

është paralelogram. Kryej matjet e domosdoshme në të dhe njehso syprinën. 144


P ë r p i q u

. . .

D

C

B E

F

12.. Rrënzat E dhe F të lartësive të paralelogramit ABCD, të lëshuara 12

prej D dhe C përkatësisht, bien jashta bazës AB (si në vizatim). Trego Tre go se syprina S

ABCD

me syprinën S

EFCD

(e paralelogramit ABCD) është e barabartë

= (të drejtkëndëshit EFCD) dhe S ABC ABCD D

A

$% ×

'( .

Ndih Nd ihmë më : S ABC + SBFC = SEFCD + S AED; D AED ABCD D

15

@ DBFC,

pra S

=S

ABCD

EFCD

;

%$= () .

SYPRINA E TREKËNDËSHIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Për DABC në vizatim, cilado prej brinjëve mund të merret për bazë të tij. Segmenti AD (dhe gjatësia $' = lartësia,

h)

Paralelogrami ABCD në vizatim e ka bazën a = 9 cm dhe lartësinë h = 4 cm. A

është

D

përkatëse e bazës BC. 4 cm F

A h

B

D

K

B

h

C

G

9 cm

C

Njehso syprinën e tij. a

Vëre se DABC @ DCDA; si janë ndërmjet veti syprinat e atyre trekëndëshave? trekëndëshave?

H

Shqyrto paralelogrami paralelogramin n FGHK.

Sa është syprina e tij, nëse a është baza dhe lartësia përkatëse? Si janë ndërmjet veti DFGH dh dhee DHKF?

h

Sa është syprina e DABC? Pse? Sa herë ajo është më e vogël se syprina e paralelogramit?

A

2.

Në vizati v izatim m është ës htë dhënë DABC, baza e të cilit është a dhe lartësia përkatëse h.

h

B

a

C


145

Formula për njehsimin e syprinës së DABC është:



S=

Përpiqu ta vërtetojsh atë.



a × h.

A

D

Gjatë të zgjidhurit e detyrës 1, punonje me me paralelogramin ABCD si në vizatim. h

Kjo atë jep ide se si do të fitohet formula e kërkuar nga ajo që e din për paralelogramin?

B

C

a

Nëse nuk u kujtov kujtove, e, ndiqe këtë ide të të mendu menduarit. arit.

Si janë ndërmjet veti D ABC dh dhee DCDA?

F

D AB C @ D CD A

Sa është syprina e paralelogramit ABCD?

F

= S ABC ABCD D

F

S ABC =

Çfarë lidhje ka syprina e D ABC me syprinën e paralelogramit ABCD? Domethënë: syprina e D ABC është S = S ABC = 3.

 

a × h,

( Ps e ? )

a × h

 

= S ABC ABCD D

 

a × h

kurse këtë duhet ta vërtetojsh.

Njehso syprinën e trekëndëshit trek ëndëshit me bazë baz ë a = 8 cm dhe lartësia përkatëse ha = 9 cm. 

S=



 a ha

=



×

A

8 × 9 = 36; S = 36 cm2.

b

Si është formula për syprinën e DABC me bazën b dhe lartësin përkatëse hb?

4.

hb

B

Vëre dhe mbaj mend Çdo brinjë e

DABC

C

mund të merret për bazë dhe prandaj është e saktë se S=

 

a ha

=

 

b hb

=

 

c hc

,

d.m.th. syprina e trekëndëshit është e barabartë me gjysmëprodhimin e bazës dhe lartësia përkatëse. A 5.

Në vizatim vizat im është dhënë dhën ë trekëndëshi trekëndë shi kënddrejtë këndd rejtë DABC me katete a dhe b. b

Çka është lartësia përkatëse e katetëse a? Shkruaje formulën për njehsimin e syprinës së tij. 146


B

a

C

Njehso syprinë syprinënn e trekëndësh tr ekëndëshit it kënddrejt kën ddrejtëë me katete ka tete a = 10 dm dhe b = 7 dm. Syprina e trekëndëshit kënddrejtë me katete

a

dhe

S=

 

mund të njehsohet njehsohet me formulën: ab.

C

6.

B

b

Njehso syprinë syprinën n S të trekë trekëndëshit ndëshit barakr barakrahas ahas me bazë krah b = 13 cm.

Mendo se si do ta caktojsh lartësinë

h

=

&'

a

= 10 cm dhe

për ta zbatuar formulën

b

b

h



S= F

ah.



Shfrytëzoe vetinë për trekëndëshin barakrahas: lartësia e lëshuar prej majës është simetrale e bazës, pra

$'

A

D



= %' . D

F

7.

Njehso syprinën sypri nën e trekëndëshit trekëndës hit barabrinjës barabr injës me brinjë brin jë a = 8 cm.

b2

=

a

|

Zbatoe teoremën e Pitagorës:

h2

- o ¸ . 

a

a

h

a

Kujtohu se për trekëndëshin barabrinjës vlen: F

8.

h2

=

a2

D

|

D

- o ¸ = 



;

h

=

D 



B

D

S=

;

DK



Është dhënë DABC me brinjët a = 7 cm, b = 9 cm dhe

c



D

=



S=

;



K



.

= 12 cm. Sa është syprina e tij?

Syprina e trekëndëshit me brinjë a, b dhe c mund të njehsohet edhe sipas formulës b

S=

V

V 

D  V

 E  V  F 

ku s është gjysmëshuma e brinjëve, d.m.th.

V

a

, D 



E



F



c

.

Kjo formulë quhet formula e Heronit (sipas emrit të matematikanit antik Heron). V

 

6







 



= 14;

      = 











   

=



; S

»

31,3 cm 2 .


147

Duhet të dish të caktojsh cakt ojsh syprinën syp rinën e trekëndëshi t rekëndëshitt me bazën baz ën dhe lartësitë përkatëse të dhëna;


Syprina e një trekëndëshi është 56 cm , kurse një brinjë e tij është 14 cm. Sa është lartësia përkatëse? 2

ta sqarojsh formulën S =

 

ah,

për syprinën e

trekëndëshit;; trekëndëshit të zgjidhish detyra më të ndërlikuara për syprinën e trekëndëshit.

Te një trekëndësh kënddrejtë, njëra katetë është 12 mm, kurse hipotenuza është 13 mm. Sa është syprina?

Detyra 1. Cakto syprinën e trekëndëshit me bazë

a

dhe

bazë 18 cm dhe krahun 41 cm.

lartësinë përkatëse h nëse: a) a = 7 cm,

h

= 8 cm;

b) a = 6 dm,

h

= 12 cm;

c) a = 18,4,

h

5. Njehso syprinën e trekëndëshit barakrahas me

trekëndëshitt barabrin barabrinjës jës me 6. Njehso syprinën e trekëndëshi brinjë a = 8 cm.

= 13,5.

2. Sa do të ndryshon syprina e trekëndëshit nëse:

a) baza zmadhohet tre herë, kurse lartësia të zvogëlohet dy herë; b) baza të zvogëlohet dy herë dhe lartësia të zvogëlohet pesë herë?

7. Cakto syprinën e trekëndëshit nëse janë dhënë

të tre brinjët: a) a = 6 cm, b) a = 13 dm, c) a = 7 cm,

b

= 8 cm;

b b

c

= 10 cm;

= 14 dm;

= 11 cm;

c c

= 15 dm;

= 12 cm.

8. Cakto syprinën e trekëndëshi barakrahas 3. Sa përqind do të zmadhohet syprina e trekën-

dëshit nëse baza zmadhohet 50%, kurse lartësia të zvogëlohet zvogël ohet 30%?

kënddrejtë, nëse gjatësia e hipotenuzës së tij është c.

Pë r pi qu

syprinën ën e trekënd trekëndëshit ëshit kënddre kënddrejtë jtë me 4. Njehso syprin katete a dhe b, nëse: a) a = 15,

b

= 9;

b) a = 20 dhe njëri prej këndeve është 45 . o

148

. . .

9. Cakto syprinën e trekëndëshit barakrahas, nëse

lartësia, e lëshuar ndaj bazës është 30 cm, kurse lartësia e lëshuar nga brinja anësore është 36 cm.


16

SYPRINA E TRAPEZIT DHE DELLTOIDIT

Kujto Kuj tohu hu ! Katërkëndëshi ABCD në vizatim është trapez, ku AB P DC.

A D

Në vizatim është dhënë trapezi me baza 12 cm dhe 8 cm, dhe lartësi 5 cm.

1.

C

D A

F

ABD

Vëren se shprehja të shkruhet



') =

+S   ×

×

Nëse akom akomaa nuk je kujtua kujtuar, r, qe një ide: ndaje trape trapezin zin (me një diagonale) në dy trekëndësha - si detyra te ,,Kujtohu", për shembull, me DB; do të fitojsh:

4 cm.



= BCD

  

B

Cakto syprinën e tij.

5 cm,

S= S

12 cm

A

Njehso a) syprinën sypri nën e DABD; b) syprinën e DBCD, '& =

C

5 cm

B

Emërtoi: bazat, krahët dhe lartësitë e trapezit.

nëse $% = 8 cm,

8 cm



×

12 × 5 +

12 × 5 +  

×

 

8 × 5 = 50;

×

8 × 5 mund

S = 50 cm . 2

Syprina e trapezit është njehsuar ashtu që gjysmëshuma prej bazave është shumëzuar me lartësinë.

5. Cilat operacione janë

krye me elementet e dhëna të trapezit?

2.

Është dhënë trapezi me baza a dhe b, dhe lartësi h. Trego se syprina e tij mund të njehsohet me formulën:

D

S=





E

K,

d.m.th syprina e trapezit është e barabartë me gjysmëprodhimin e bazave të tij dhe lartësisë D

Shqyrto trapezin ABCD, i cili është ndarë me diagonalen BD në dy trekëndësha. Në çfarë lidhje është syprina S e trapezit me syprinat S S (i DABD dhe DBCD)?

ABD

h

dhe

BCD

Me ndihmën e a, b dhe h, shkruaj sa është S kurse pastaj mblidhi shprehjet e fituara.

ABD

C

b

dhe sa është S

, A

a

B

BCD


149

Vëreve se nga dy kërkesat paraprake vijon: S=S

ABD

+S

D K BCD

=



E K

+

D

=





E



K,

d.m.th. formula që kërkoheshte.

3.

Njehso syprinën e trapezit me baza baz a 5 dm dhe 4 dm, dhe lartësi la rtësi 25 cm.

4.

Katërkëndëshi ABCD në vizatim është trapez Katërkëndëshi trapez kënddrejtë. Kryej Kryej matjet e domosdoshme sa është e mundshme precize, dhe njehso syprinën.

C

D

Cila është lartësia e trapezit?

B

A

Njehso syprinën e trapezit barakrahas barakraha s me baza a = 48 cm, b = 30 cm dhe krah 41 cm.

5.

D

Përpiqu vet, kurse pastaj ndiqe udhëzimin. F

Vizato trapez barakrahas ABCD si në vizatim.

F

Që ta caktojsh lartësinë h, sëpari duhet ta caktojsh x =

F

Vëren se

F

Pastaj, që ta caktojsh lartësinë h, zbatoe teoremën e Pitagorës.

$)

=

*%

= x, pra x =

D



E



=

41

   

.

h x

A

= 9.

B

Kujt Ku jtoh ohu u!

$)

C

30

F

G

B

48

6.

Katërkëndëshi ABCD në vizatim është delltoid

Njehso syprinën S të delltoidit ABCD (në vizatim), nëse diagonalet janë: $&

= 14 cm,

%'

= 8 cm.

(me: $% = $' ). D A

S

B C A

C

B

Cilat brinjë janë të barabarta ndërmjet veti?

D

Si janë ndërmjet veti diagonalet e tij? Si janë ndërmjet veti D ABC dh dhee D ADC? Nëse $& = 10 cm dhe %' = 6 cm, sa është syprina e a) D ACD; b) D ABC?

Njehso syprinën S , pastaj syprinën S në fund, njehso: S = S +S . ABC

ADC

ABC

7.

dhe,

ADC

Cakto formulë për njehsimin e syprinës së delltoidit me ndihmën e diagonaleve të tij d dhe d . 1

2

150


Mendo vet, kurse pastaj shqyrto delltoidin ABCD në vizatim dhe ndiqe sqarimin. F F

D ABC @ D ADC;

=

6%

6'

=

 

D d

2

C

S

d

1

d 2;

A

B

F

S

F

S=S

ABC

=S

ADC

ABCD



=



= S

× $& ×

ABC

+S

ADC

6'

=

 

=

 

 d 1 ×

d 1d 2 +

 



d 2

=

d 1d 2 =

   

d 1d 2.

d 1d 2.

Vëre dhe mbaj mend : Syprina e delltoidit është e barabartë me gjysmëprodhimin e diagonaleve të tij, d.m.th. d

2

F

d 1

8.

G

S=

1

G



Me formulën e njëjtë mund të njehsohet syprina e çfarëdo katërkëndëshi tjetër me diagonale reciprokisht normale d dhe d

.

.

2

Është dhënë delltoidi me syprinë 90 dm , kurse njëra diagonale e tij është 15 dm. Sa është diagonalja tjetër?? tjetër 2


Duhet të dish: të njehsojsh syprinën e trapezit dhe delltoidit.

Njehso syprinën e trapezit me baza b = 5 dm dhe lartësi 8 cm.

a

= 9 dm dhe

Një dell delltoi toidd e ka sypr syprinën inën 90 cm , kurse njëra diagonale është 20 cm. sa është diagonalja tjetër? 2

Detyra 1. Bazat e një trapezi janë 8 cm dhe 4 cm, kurse

syprina e tij është 42 cm . Njehso lartësinë. lartësin ë. 2

2. Syprina e një trapezi është 150 cm2, njëra bazë

është 11 cm, kurse lartësia është 10 cm. Sa është baza tjetër? gjatësinëë e vijës së mesme të trapezi trapezit, t, 3. Njehso gjatësin syprina e të cilit është180 cm , kurse lartësia është 12 cm. 2

kënddrejtë, të, nëse 4. Njehso syprinën e një trapezi kënddrej baza më e vogël është 7 cm, kurse krahët janë 4 cm dhe 5 cm. trapezi t barakrahas barakra has me baza 5. Njehso syprinën e trapezit 9 cm dhe 15 cm, kurse njëri prej këndeve pranë bazës është 45 . o

trapezi t barakrahas me: 6. Njehso syprinën e trapezit a) baza 17 cm dhe 7 cm, dhe krah 13 cm; b) baza më e vogël 16 cm, krahu 25 cm dhe lartësia 24 cm.


151

D

delltoidit it me diagonal diagonalee 15 cm 7. Njehso syprinën e delltoid

C

dhe 4 cm. S

Njehso syprinën e delltoidit me brinjë 16 cm dhe 20 cm, kurse diagonalja e cila nuk është simetralja e këndeve të tija është 24 cm.

8.

A

M

a) Mbi bazë te vizatimi, konstato konstat o se trapezi është me syprinë të barabartë me trekëndëshin AMD. b) Nxirre formulën për syprinën e trapezit, duke shfrytëzuar formulën për syprinën e trekëndëshit.

Njnehso syprinën e trapezit bazat e të cilit janë 11 cm dhe 9 cm, kurse njëri prej krahëve është 10 cm dhe formon me bazën kënd prej 30 .

9.

B

o

10.. Në vizatim është dhënë trapezi ABCD, ku pika 10

S është mesi i krahut CB.

1 7

SYPRINA E SHUMËKËNDËSHIT TË RREGULLT

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Shumëkëndëshi brinjët e të cilit janë të barabarta dhe të gjitha këndet i ka të barabarta quhet shumëkëndësh i rregullt . Në vizatim është dhënë gjashtëkëndë gjashtëkëndësh sh i rregullt ABCDEF. Prej qendrës së tij O është tërhequr rrezja deri te ndonjë kulm i tij. E

D O O

C

F

a

h A

A

B

Në vizatim është paraqiparaqi tur pesëkë pesëkëndësh ndësh i rregullt rregullt..

1.

Njehso syprin syprinën ën e tij S, nëse janë dhënë brinja a = 3 cm dhe apotema h = 2 cm. Sa herë syprina e pesëkëndëshit është më e madhe se syprina e trekëndëshit karak teristik? Nëse nuk je kujt kujtuar uar,, ndiqe mënyrën mënyrën..

B

Në sa trekëndësh trekëndëshaa është ndarë gjashtëk gjashtëkëndëshi? ëndëshi? Cilido prej atyre trekëndëshave, për shembull D ABO, quhet trekëndësh karakteristik pë r gjashtëkëndëshin.

Si quhet lartësia e tij h? Si quhet brinja e tij OA? Sa është perimetri perimetri P i gjashtëkëndëshit me brinjën brinjën a = 4 cm?

Lidhe çdo kulm të pesëkëndëshit ABCDE me qendrën e tij O, si në vizatim - do të fitojsh pesë trekëndësha të puthitshëm.

O

E

a

Njehso syprinën e D ABO karakteristik.


D K





  

= 3.

C

h A

Njj e h s o : N 152

D

B

Çdo trekëndësh karakteristik i pesëkëndëshit e ka syprinën 3 cm . Si Si do ta njehsojsh syprinën e pesëkëndëshit?

Syprina S e pesëkëndëshit është pesë herë

2

më e madhe se S= 5 ×

D K

D K



, d.m.th.

= 5 × 3; S = 15 cm . 2



Vëre se vlen në përgjithësi : D K

Syprina e n-këndëshit të rregullt me brinjën e dhënë a dhe apotemën h fitohet syprina kur



e trekëndëshit

karakteristik të n-këndëshit të rregullt shumëzohet me n, d.m.th.

6

2.



Q

D K

N







Është dhënë n-këndëshi i rregullt me kulme K, L, M, N, ..., brinja a dhe apotema h. Prej qendrës së tij O janë ja në tërhequr rrezet deri te kulmet, si në vizatim. Shprehe syprinën S të n-këndëshit të rregullt me ndihmën e perimetrit të tij P. P.

O

M

h K

a

L

Vëre se trekëndëshaa të puthitshëm. n-këndëshi është ndarë në n trekëndësh Syprina e çdonjërit prej atyre trekëndëshave është Syprina e n-këndëshit është n Pasi na = P, vijon se S =

 

D K ×



, d.m.th.

D K



Q

. D K



.

Ph.

Vlen në përgjithësi : Syprina e shumëkëndëshit të rregullt është e barabartë me gjysmëprodhimin e perimetrit dhe apotemës së tij, d.m.th.

S =

3.

 

Ph.

Njehso syprinën e gjashtëkëndëshit gjasht ëkëndëshit të rregullt rregul lt me brinjën 3,5 dm dhe apotemën 0,3 m. Syprina e shumëkëndëshit

153

Cakto brinjën e dhjetëkëndëshit të rregullt me syprinë S = 769 cm dhe apotemën h = 15,38 cm.

4.

2

S = 10 ×

D K



; 769 = 10 ×

D

 

; 769 = 76,9 a; a = 10 cm.

R

O

4 cm

Cakto syprinën S të gjashtëkëndë gjashtëkëndëshit shit të rregullt me brinjën 4 cm.

5.

Vëre se R AOB = 360 : 6 = 60 . o

a

o

A

B

Trekëndëshi karakteristik ABO është trekëndësh barabrinjës. Pse?

F F

Vëre se te gjashtëkëndëshi i rregullt rrezja e vijës rrethore të jashtashkruar është e barabartë me brinjën e tij, d.m.th. R = a.

F

Syprina e trekëndëshit karakteristik është:

F

Syprina e gjashtëkëndëshit të rregullt është:

F

Për a = 4 cm, S =

 

×

4

2

×



=

 

×

16 ×



D

.



S= 6 = 24





×



D



;S

»

.

S=

 

a2



.

24 × 1,73; S » 41,52 cm . 2

Duhet të dish: ta shprehish syprinën sy prinën e n-këndëshit të rregullt me ndihmën e brinjës dhe apotemës dhe anasjellta; të zgjidh detyra për syprinën e shumëkëndëshit të rregullt.


Shkruaje formulën sipas të cilës do të njehsohet syprina sypri na e shtatëkëndëshit të rregullt. Sa teneqe nevoitet për të bërë tabelën STOP (gjashtëkëndësh i rregullt) me brinjë a = 32 cm dhe apotemë h = 38,62 cm?

STOP

Detyra syprinën ën e n-këndëshit të rregullt me 1. Njehso syprin brinjë a dhe apotemë h: a) n = 3; a = 8 cm; h = 2,31 cm. b) n = 4; a = 6 cm; h = 3 cm. c) n = 5; a = 4 cm; h = 2,74 cm. ç) n = 8; a = 16,6 cm; h = 2 dm.

3. Cakto syprinën e dhjetëkëndëshit të rregullt me

perimetër 14 dm dhe apotemë k . 4. Cakto syprinën e trekëndëshit të rregullt me:

a) brinjë 6 cm; b) apotemë 3 cm; c) perimetër 24 cm.

2. Cakto brinjën e pesëkëndëshit të rregullt me

syprinë S = 61,5 cm dhe apotemë 4,1 cm. 2

154


5. Cakto syprinën e gjashtëkëndëshit të rregullt me:

a) brinjë 12 cm; b) rreze të vijës rrethore të jashtashkruar 6 cm; c) apotemë 2



Përpiqu ... nuk është e obligues obligueshme hme 7. Cakto gjatësinë e brinjës a të gjashtëkëndëshit

të rregullt me syprinë të barabartë barabart ë me syprinën e trekëndëshit barabrinjës me perimetër 36 cm.

cm;

ç) perimetër 48 cm.

8. Vërteto se: nëse një trekëndësh i rregullt dhe një

gjashtëkëndësh i rregullt kanë perimetra të barabarta, atëherë syprina e trekëndëshit është

6. Dhjetëkëndëshi i rregullt e ka perimetrin 40 dhe

syprinën 40k . Caktoe apotemën.

 

18

e syprinës së gjashtëkëndëshit.

DETYRA PËR SYPRINËN E SHUMËKËNDËSHAVE

Kujt Ku jtoh ohu u! Për njehsimin e syprinës së shumëkëndëshave të ndryshëm mund të shfrytëzojsh formula përkatëse:

katror,, romb dhe delltoid katror d

d 1

a

drejtkëndsëshi:

d

d 1

d 2

d 2

b

S = a×b

S=

a

G

S=



G

G



paralelogrami: b

S =a

×

h

h

trapez tra pezii:

S=

D



a

D K

c

h



S=

a S

=

V V

 D  V  E  V  F  ,

V





h

n - këndëshi i rregullt

b

D

h

a

trek tr ekënd ëndës ëshi hi : S=

E

E



F

Q D K



; 6

3 K 





h a




155

1.

A

D

Sa dekar ka ara me formë të drejtkëndëshit (si në vizatim)

C 0 m 1 3

me brinjë $% = 120 m dhe diagonale $& = 130 m? Që ta njehsojsh syprinën, duhet ta caktojsh gjatësinë e brinjës BC. Njehso Nje hso

%&

prej D ABC kënddrejtë:

%&

=

 



 

120 m

A

B

.

Duhet të fitojsh: S = 120 × 50 = 6 000, d.m.th. S = 6 000 m ; 1 da = 1 000 m , pra S = 6 da. 2

2

2.

Njehso syprinën e një kopshti me formë të drejtkëndëshit ku njëra prej brinjëve brinj ëve është 65 m dhe diagonale diagonal e 97 m. Shprehe syprinën S në: a) metër katror; b) ari; c) dekarë. D C

3.

Diagonalja më e shkurtër e një rombi ka gjatësi të njëjtë sikurse brinja. Njehso syprinën e rombit, nëse diagonalja më e gjatë është 12 cm.

S D

6

Shqyrto rombin ABCD nga vizatimi, te i cili '% = $% = a dhe $& = 12 cm. Shprehe syprinën S të rombit me ndihmën e diagonaleve të tija (ose si shumë të syprinave të D ABD dh dhee DBCD).



a

A

B

Që ta caktojsh brinjën a, zbatoje teoremën e Pitagorës për DABS. Nëse zgjidh zg jidh drejtë, sigurisht fitove: S = 6 a ; a = 4  ; S = 24  cm . Zgjidhe detyrën drejtpërdrejt duke shfrytëzuar formulat për syprinën e trekëndëshit barabrinjës. 2

4.

C

Dy vëllezër duhet ta ndajnë arën me formë të trekëndëshit, në dy trekëdësha me syprina të barabarta. A mundesh ta kryejsh kr yejsh ndarjen? h

Nëse është ndihma e domosdoshme, shqyrto shqy rto DABC në vizatim; h është lartësia, kurse CD është vija e rëndimit ndaj brinjës AB. Pse DADC dhe DDBC kanë syprina të barabarta? 5.

A

2

Me cilën formulë mund të njehsohet syprina e trekëndëshit brinjët e të cilit janë j anë dhënë?

m 0 9

1 3 0 m

1 20 m

156


B

m 0 4 1

Njehso syprinën sypri nën e parcelës me formë f ormë të katërkëndëshit, katërkë ndëshit, të paraqitur në në vizatim. vizat im. Syprina S e katërkëndëshit është e barabartë me shumën e syprinave S dhe S të dy trekëndëshave në të cilët është ndarë. 1

D

m 0 5 1

s1 =

=

 

( 90 + 120 + 130) = 170; S =

   

1

    »

= 8 400; S = S + S 1

2

»

5 215; s = 2

 

( 130 + 140 + 150) = 210; S

2

13 615 m . 2

Detyra 1. Syprina e parkut nacional Galiçica është 23 000

ha. Sa kilometër katror është ai? 2. Parcela me formë të drejtkëndëshit me brinjë

pl ani i saj 9. Cakto syprinën e parcelës në ari, nëse plani është dhënë në vizatim. Në vizatim gjatësitë janë dhënë në milimetë mi limetër, r, kurse çdo milimetër paraqet paraqet 1 m në natyrë.

140 m dhe 180 m është mbjellur mbj ellur me misër. Gjatë mbjelljes është shpenzuar mesatarisht mesat arisht 115 kg në 1 ha. Sa farë gjithësej është përdorur? 20

3. Te një korridor drejtkëndor me dimenzione 5,1

30

20

m dhe 2,7 m duhet të vendosen pllaka katrore me brinjë 15 cm. Sa pllaka janë përdor për atë?

18

25

25

18

16

4. Sa speca do të fitohen prej parcelës me formë

të drejtkëndëshit drejtkënd ëshit dimenzionet dimenzi onet e të cili cilitt janë 250 m dhe 180 m, nëse të ardhurat janë 14,5 t në 1 ha?

10. Te trapezi ABCD janë tërhequr diagonalet.

Vërteto se: D

5. Vendi i oborrit me formë të drejtkëndëshit ABCD

C S

e ka syprinën 2 000 m dhe brinjë $% = 80 m; prej tij, me drejtëz paralele me brinjën AD të ndahet parcella me syprinë 750 m . 2

2

B

A 6. Konstrukto katror me diagonale 5 cm; pastaj

konstrukto katror që ka dy herë syprinë më të vogël. 7. Sa herë është më e madhe syprina e katrorit të

j as h ta sh kr ua r ng a sy pr i n a e ka tr o ri t të jas brendashkruar brendashkr uar në një vijë rrethore?

a) D ABD ka syprinë të barabartë me D ABC; b) D ACD ka syprinë të barabartë me DBDC; c) D ASD ka syprinë të barabartë me DBSC. Për a): vëre se trekëndëshat kanë bazë të përbashkët AB dhe lartësi të barabarta, pra S =S . ABD

8. Cakto lartësinë më të madhe të trekëndëshit

brinjët e të cilit janë 13, 84, 85.

ABC

Për c): S

ASD

=S

ABD

-S

ABS

=S

ABC

-S

ABS


=S

.

BSC

157

PERIMETRI DHE SYPRINA E RRETHIT

1 9

PERIMETRI I RRETHIT. GJATËSIA E HARKUT RRETHOR

Kujtohu!

A

1.

Në vizatim është është paraqitur katrori me brinjë a dhe gjashtëkëndëshi i rregullt me brinjë a.

Në vizatim është dhënë vija rrethore rreth ore me qendër O dhe rreze r. Çka është segmenti AB për vijën rrethore? Mate dhe kraha- A soe me r.

k r

O

B

Si quhet figura e formuar prej vijës rrethore dhe zonës së saj të brendshme?

a a

Shkruaje formulën për njehsimin e perimetrit të çdonjërës prej figuravee. Mati brinjët e katrorit dhe cakto perimetrin e tij P (në mm).

2.

Pasi rrethi është pjesë e rrafshit, i kufizuar me vijën rrethore, për gjatësinë e vijës rrethore zakonisht thuhet se është perimetri i rrethit. rrethit .

Shëno pikë O dhe me hapje të lirë të kompasit vizato rreth me qendër O. Mate: a) rrezen; b) diametrin e rrethit. Mendo se do ta masish ose njehsojsh gjatësinë e vijës rrethore, d.m.th. perimetrin e rrethit. Sigurisht kjo detyrë është më e vështir se detyra për perimetrin e katrorit ose gjashtëkëndëshit.

Te detyra që vijon do ta vërejsh përgjigjen. 3.

158

Forma rrethore kanë sende të ndryshme (për shembull: kofa, gota, monedhat metalike, sende me forma cilindrike).


k

Në vizatim është paraqitur saksia hapja e të cilës e ka formën rrethore; hapjen e saj e llogarisim për rreth.

r

r

Cilat matje (dhe si) duhet të kryhen që të njehsohet herësi P : 2r, ku P është perimetri, kurse 2 r është diametri i rrethit?

Shqyrtoe vizatimin dhe vëre mënyrat F

Me pe (ose shirit) dhe me metër do ta masim gjatësinë (P) të vijës rrethore k .

F

Gjatësin e diametrit (2r) do ta masim me metër .

F

Do ta njehsojmë herësin P : 2r. (Do të fitohet numër që është pak më i madh se 3.)

4.

Cakto tre (ose më shumë) modele të rrethit. Kryej matjet e domosdoshme, vizato tabelë sikurse është treguar dhe plotësoe. Për herësat P : 2r ke fituar numra të këtillë: 3; 3,1; 3,14; etj., që varet nga preciziteti yt.

2×r

P P

:

2r

Matematikanët që e kanë zgjidhur këtë problem kanë ardhur deri te përfundimi se: Për çfarëdo rreth, herësi i perimetrit P dhe diametrit 2r është numër konstant. Ai numër është iracional dhe përafërsisht është: 3,14159... Shënohet me shkronjën greke p (lexohet: ,,pi") Domethënë për çdo rreth vlen: P : 2r = p, d.m.th. P = 2rp.

Vëre dhe mbaj mend Perimetri i rrethi është i barabartë me prodhimin e diametrit të tij dhe numrit

p »

L = 2rp Gjatë njehsimeve praktike, zakonisht merret:

Matematikani Matematik ani antik Arhimedi për numrin

p

.

p

p »

3,14

3,14.

ka marrë

 

.

Perimetri dhe syprina e rrethit

159

5.

Njehso perimetrin e rrethit me: a) rreze 4 cm; b) diametër 10 cm. a) P= 2

6.

×r × p

=2×4

8 × 3,14; P

× p »

»

25,12 cm. b) P = 2

× r × p

= 10

×p

» 10 × 3,14; P

»

31,4 cm.

Perimetri i ndonjë rrethi është 25,12 cm. Sa është rrezja e tij? Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: P

=2

× r × p;

U

3 

U

S

7.

B

;

r »

U

 

= 4;

r »

4 cm.

Në vizatim janë paraqitur tre vija vi ja rrethore me rreze r = 2 cm, kënde qëndrore dhe harqe rrethore përkatëse. B

Sa pjesë të gjatësisë së vijës rrethore paraqet gjatësia e harkut rrethor: (

3 

(

P

(

O

AB , CD dhe EF .

r

= 2 cm

A

E

c m 2 60 =

r

= 2 cm

Q

F

180 18 0o

o

r

Nj eh so gj at ës it ë e ha rq ev e (

(

C

(

rrethore AB , CD dhe EF .

8.

D

Si do ta njehsojsh gjatësinë e harkut rrethor" te vija rrethore me rreze r, nëse këndi përkatës qëndror është a? 6

Shqyrtoe vizatimin dhe ndiqe të menduarit.

r

Paramendo se vija rrethore është ndarë në 360 harqe të barabarta - harqe rrethore me kënd qëndror 1 .

a

o

Gjatësia " e harkut rrethor me këndin qëndror 1 është 360 herë o

më i vogël se gjatësia e vijës rrethore, d.m.th. "

O

ose

Nëse , tani, harkut rrethor i përgjigjet përgjig jet këndi a, atëherë gjatësia e tij do të jetë a herë më e madhe se

Vëre dhe mbaj mend

160

d.m.th.

Gjatësia e harkut rrethor njehsohet me formulën :


Gjatësia e harkut rrethor njehsohet me formulën :

1o

6

1

9.

Te vija rrethore me rreze r = 12 cm, njehso gjatësinë e harkut rrethor me këndin qëndror: a) a = 30o; b) a = 30o 45'. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: "

a)

F

b) Së pari duhet "

10.. 10

"

=

F

a

= 2p cm ose

6,28 cm.

§  · ¸ = 0,75 , pra a = 30,75o; ©  ¹

= 30 45' ta shndërrojsh në shkallë 45' = ¨ o

= 2,05p; " = 2,05p ose

=

" »

"

Si mundet prej formulës a) rrezen r, nëse janë dhënë

a

=

dhe

" »

6,437 cm.

ta nj njeh ehso sojs jsh h:

";

b) këndi qëndror a, nëse janë dhënë

Zgjidhjen tënde krahasoe me zgjidhjen e dhënë. Prej " =

F

11.. 11

o

fitohet

rpa

r

dhe

"?

= 180 " , pra:

F

Njehso: a) rrezen e vijës rrethore, nëse këndit qëndror prej 40 i përgjigjet harku rrethor me gjatësi 6,28 cm; b) këndi qëndror, nëse janë dhënë r = 6 cm dhe " =7,85 cm. o

Duhet të dish dish:: të sqarojsh çka ç ka paraqet numri p;

të sh kr ua js h pe ri me tr in e rrethit me ndihmën e rrezes dhe numrit p; t a c a kt oj sh n j ër ën p r ej ta madhësive: gjatësinë e harkut rrethor,, këndin qëndror, rrezen, rrethor nëse duhen dy madhësi.


Sa është herësi i perimetrit dhe diametrit të rrethit të dhënë? Si duhet të jetë gjatësia e thuprës së hekurit që të mundet prej saj të bëhet unazë me rreze 45 cm? B

Brinja e katrorit është 4 cm. Njehso gjatësinë e harkut AB të vijës rrethore të brendashkruar. Sa është gjatësia e

M

(

AMB ?

A O


161

Detyra perimet rin e rrethit me rreze: rrez e: 1. Njehso perimetrin a) 3 cm; b) 0,5 dm; c) 4

 

9. Perimetri i një rrethi është 62,8 cm. Sa është

perimetri i rrethit rrezja e të cilit është më e vogël për 1 cm?

cm.

r rezen e rrethit rr ethit nëse n ëse perimetri perimetr i është: 2. Njehso rrezen a) 31,4 cm; b) 18,84 cm; c)

8p

10.. Njehso gjatësi 10 gjatësinë në " të harkut rrethor me rreze

cm.

r

= 18 cm dhe kënd kënd qëndror qëndror a: a) 15 ; b) 120 ; c) 25 36'. o

o

o

3. Vizato dy rrath të ndryshëm, kryej matjet e

nevojshme dhe njehsoi perimetrat.

11.. 11

Cakto këndin qëndror nëse: a) r = 5 cm,

4. Përshkruaje dhe plotësoe tabelën te e cila janë

b)

r

= 3 cm,

" "

= 6,28 cm; = 2p cm.

dhënë disa elemente të rrethit. rretho re nëse janë dhënë: 12.. Njehso rrezen e vijës rrethore 12 r

cm

Pc m

3

3,14 10p

25,12

p

5. Njehso gjatësinë gj atësinë e vijës vi jës rrethore rrethor e

162

a

= 80 , " = 18 cm. o

Korda e një vije rrethore është e barabartë me rrezen. Njehso gjatësinë e harkut rrethor përkatës më të vogël, nëse rrezja është 2,5 cm.

15.. 15

Këndi periferik prej 37 30' formon hark rrethor me gjatësi 15,7 cm. Njehso rrezen e vijës rrethore.

16.. 16

Harku rrethor që i përgjigjet këndi qëndror q ëndror prej 150 te vija rrethore me rreze 12 cm, është lakuar në vijë rrethore. Njehso rrezen e asaj vije rrethore.

vijën rretho rrethore) re) nëse rrezja e Tokës merret 6 370 km.

shkruar në katror. katror. Njehso perimetrin per imetrin dhe syprinën e atij katrori.

b)

o

14.. 14

metalik me gjatësi 31,4 dm?

8. Rrethi me perimetër 25,12 cm është brenda-

= 150 , " = 31,4 cm;

Diametri i rrotës të një lokomotive është 1 m. Për 2,5 minuta ajo rrotullohet 500 herë. Njehso shpejtësinë e lëvizjes së lokomotivës.

b) të jashtashkruar rreth katrorit me brinjë 11 cm;

7. Njehso gjatësinë e ekuadorit (duke menduar për

a

13.. 13

a) të brendashkruar te katrori me brinjë 11 cm;

6. Sa do të jetë diametri i unazës të bërë prej shiritit

a)

o


o

20

SYPRINA E RRETHIT, SEKTORI RRETHOR DHE UNAZA RRETHORE

Kujtohu!

A

1.

Është dhënë rrethi me rreze r.

Syprina e shumëkëndëshit të rregullt njehsohet

O

Si e gjejmë mënyrën (formulën) me të cilën e caktojmë numrin që do ta paraqet syprinën e rrethit?



me formulën S = kurse

h



r

Ph, ku P është perimetri,

është apotema.

Si fitohet ajo formulë? Do të përdorim mënyrën e ngjashme sikurse te shumëkëndëshat.

Shumëkëndëshin e rregullt ndaje në trekëndësha h të ndrys ndryshëm, hëm, si në viza tim, dhe pastaj syprinën e shumëkëndëshit shumëkëndësh it njehsoe si shumë të syprinave të trekëndëshave, trekëndësh ave, d.m.th. S

QDK

=





=



Vëreje iden dhe mënyrën. A mundemi rrethin ta ndajmë në trekëndësha? O

Ph.

F

E qartë se nuk mundet, por mundemi të brendashkruajmë shu-

h

mëkëndëshh të rregullt të trekëndëshave të puthitshëm barakrahas, si në vizatim. mëkëndës F

Shumëkëndëshi i rregullt i brendashkruar në rreth e ka syprinën S = 1

 

P1 h1.

Mendo se te rrethi është brendashkruar shumëkëndëshi shumëkëndëshi i rregullt edhe me numër më të madh të brinjëve (si në vizatim). Ai do të kishte perimetrinr P , apotemën h dhe syprinën S . 2

2

2

Vlerëso dhe radhiti sipas madhësisë, duke filluar prej më të voglit: a) perimetrin P të rrethit, P dhe P ; b) rrezen r të rrethit, h dhe 1

2

1

h2.

Nëse numri i brinjëve brinj ëve të shumëkëndëshit shumëkëndëshi t të brendashkruar brendashkru ar pafundësisht pafundësis ht zmadhohet, zmadhohet , atëherë: F

perimetri i shumëkëndëshit shumëkëndëshit do të dallohet pak prej perimetrit të rrethit;

F

apotema e shumëkëndëshit do të jetë përafërsisht e barabartë me rrezen e rrethit.

F

Pasi perimetri i rrethit është P = 2pr, mund të përfundojmë se:

Syprina S e rrethit mund të njehsohet me formulën:

6

3 U 





S U U 



d.m.th.

S

=

r2p




163

Për shembull, syprina e rrethi me rreze r = 3 cm është: S = r2 p; S = 32p » 3 × 3 × 3,14 = 28,26; S » 28,26 cm2. Përshkruaje dhe plotësoe këtë tabelë.

2.

r

cm

S cm

2



3

2

10



0,5



1

28,26

Pjesa e rrethit (në vizatim) e kufizuar me rrezet OA, OB dhe harkun rrethor AB quhet sektor rrethor.

B

Këndi AOB =

a



B

është këndi qëndror i sektorit rrethor.

a

O

A

Vizato rreth me rreze 3 cm, kurse pastaj në të sektor rrethor me kënd qëndror: qëndro r: a) 90 ; b) 60 ; c) 180 .

3.

o

o

o

Sektori rrethor me kënd qëndror prej 180 , në realitet, është gjysmërreth, pra syprina e tij është e barabartë me gyjsmën e syprinës së rrethit. o

Cila pjesë e syprinës së rrethit është syprina e sektorit rrethor me kënd qëndrorl: a) 90 ; b) 60 ? o

o

Njehso syprinën e çdonjërit ç donjërit nga ato sektor rrethor. rreth or. r

Mendo se si ta njehsojsh syprinën e sektorit rrethor i cili e ka rrezen r dhe këndin qëndror a.

4.

a

1o

Shqyrto vizatimin dhe mendo se rrethi është ndarë në 360 sektor rrethor të barabartë, çdonjëri me kënd qëndror 1 . Vëreje këtë që vijon:

O

o

Syprina S e një sektori rrethor të atillë është 360 - ta pjesë nga syprina e rrethit,

F

1

d.m.th. S = 1

F

r3 p

360 36 0

.

Nëse këndi qëndror është a, atëherë sektori rrethor do të ketë a herë syprinë më të madhe se S , 1

d.m.th. S = S1 × a =

r3 p

360 36 0

× a.

Mbaj mend Te rrethi me rreze r, syprina e sektorit rrethor me kënd qëndror me formulën

5.

Njehso syprinën e sektorit rrethor nëse r = 3 cm dhe a = 40 .

164

o


a

njehsohet

S

r 3 p =

360 36 0

× a

6.

Te rrethi me rreze 4 cm, është dhënë sektori rrethor harku rrethor i të cilit e ka gjatësinë " = 6,28 cm. Njehso syprinën e sektorit rrethor. O

Përkujtohu se gjatësia e harkut rrethor njehsohet me: "=

S= S= 7.

rpa

dhe vëre se syprina e sektorit rrethor është:

180 18 0 U

SD



=

   

U  U SD

    

=

U



×

U SD



=

U "



; S=

6

U "

;



= 2 × 6,28 = 12,56; S = 12,56 cm2.

Njehso syprinën e sektorit sektori t rrethor, nëse: a) r = 2 cm,

8.

r

b) r = 3 cm,

"

Vizato dy rrathë koncentrik, njëri me rreze ndryshimin e syprinave të tyre.

r1

"

= 3,14 cm;

p

=

2

cm.

= 2 cm, kurse tjetri me rreze

r2

= 4 cm. Njehso B

Dy rrath koncentrik me rreze r = 4& dhe r = 2% (r < r ) kufizojnë pjesë të rrafshit e cila ci la quhet unazë rrethore (pjesa e ngjyrosur në vizatim). 1

2

1

2

r

O

Syprina e unazës rrethore është e barabartë me ndryshimin e syprinave të rrathëve, d.m.th. S= 9.

U

S

U

S;

S=



U

U

2

r

1

A

S

Njehso syprinën sy prinën e unazës rrethore, nëse rrezet e rrathëve rrath ëve janë jan ë 6 cm dhe 5 cm.

Duhet të dish: të njehsojsh syprinën e: rrethit, sektorit rrethor dhe unazës rrethore.


Brinja e një katrori është 2,5 2, 5 cm. Sa është syprina e rrethit të brendashkruar? Njehso këndin qëndror dhe syprinën e sektorit rrethor nëse rrezja është 6 cm, kurse gjatësia e harku rrethor përkatës është " = 3,14 cm.


165

10.. 10

Detyra

Sa përqind e syprinës së tërë rrethit është syprina e sektorit rrethor me kënd qëndror 108 ? o

syprin ën e rrethit me: 1. Njehso syprinën a) rreze 8 cm; b) diametër 9 cm; c) perimetër 18,84 cm.

11.. Njehso syprinën e unazës rrethore që e formojnë 11

vij a rret vija rrethore hore e jas jashtas htashkru hkruar ar dhe e bren brendadashkruar: a) te katrori me brinjë a = 4 cm; b) te trekëndëshi barabrinjës me brinjë 2 cm; c) te gjashtëkëndëshi i rregult me brinjë 6 cm.

2. Cakto rrezen e rrethit me syprinë 200,96 cm2. 3. Sa herë do të zmadhohet syprina e rrethit nëse

rrezja e tij zmadhohet 10 herë? 4. Dy vija rrethore, njëra me rreze 6 cm, kurse

tjetr a me 2 cm, takohe tjetra takohenn prej brenda brenda.. Njehso syprinën e figurës të kufizuar me ato dy vija rrethore.

P ë r p i q u . . .

viza zati tim m ësh është të dhë dhënë në 12.. Në vi 12

barakrahas kënddrejtë. Mbi hipotenuzën AB, si mbi diametrin, është jashtashkruar gjysmëvija rrethore, por edhe hark rre thor me qendër C dhe rreze

5. Katetet e trekëndëshit kënddrejtë janë 9 cm dhe

12 cm. Njehso syprinën dhe perimetrin e rrethit të jashtashkruar jashta shkruar rreth trekëndëshit. 6. Janë dhënë dy rrathë me rreze 6 cm dhe 8 cm.

Cakto rrezen e rrethit syprina e të cilit është e barabartë : a) me shumën e syprinave të tyre b) me ndryshimin e syprinave të tyre.

c

&$ .

Trego se A pjesët e hijezuara kanë syprina të barabarta.

B a

a

C

7. Njehs Njehsoo sypri syprinën nën e sektor sektorit it rreth rrethor, or, nëse janë

dhënë: a) r = 6 cm dhe a = 45 ; b) r = 4,8 cm dhe a = 80 ; c) r = 9 cm dhe a = 45 30'; o

o

o

ç)

r

= 7,8 cm dhe

"

= 10 cm.

D ABC

13.. 13

Figurat e ngjyrosura mbi katetet quhen hënat e Hipokratit . Ato janë të kufizuara me gjysmëvija rrethore te të cilat diametrat janë brinjët e trekëndëshit kënddrejtë EFG. Vërteto se shuma e syprinave të hënave është e barabartë me syprinën e trekëndëshit.

8. Sektori rrethor me rreze 10 cm e ka syprinën

78,5 cm . Cakto këndin qëndror. 2

G

9. Te rrethi me rreze 6 cm është dhënë sektori

rrethor me kënd qëndror 70 . Njehso gjatësinë e harkut rrethor të tij dhe syprinën e tij. E

166


a

b

o

c

F

M E

T Ë

P U N A D H Ë N A

2 1 DIAGRAMI SEKTORIAL 1.

A

Kujt Ku jtoh ohu u! Të dhënat të dhëna në përqindje ose si pjesë e tërësisëë shpeshh tërësis shpeshherë erë paraqitet me digram sektorial.

Mënyra e udhëtimit Numrii i Numr nxënësve

Vëre !

Të dhënat për mënyrën që udhëtojnë deri në shkollë 90 nxënës, nxënës, janë dhënë në tabelë. Në Biçikletë Autokëmbë b us bus 11

26

33

Taksi 12

Automobil 8

Këto të dhëna mund të paraqiten me diagram sektorial. Qe se si do ta njehsojsh këndin te diagrami sektorial. Këndi i plotë ka 360 ; kurse numri i nxënësve është 90. 360 : 90 = 4 . Këndit prej 4 te diagrami i përgjigjet një nxënës. Çfarë këndi i përgjigjet nxënësve që shkojnë në këmbë? o

o

o

o

Pasi 11 11 nxënës shkojnë shkoj në në këmbë, vijon vij on se 11 × 4 = 44 dhe 44 është këndi që i përgjigjet pjesës së nxënësve që shkojnë në këmbë në shkollë. o

Mënyra e udhëtimit

Numri i nxënësve

Në këmbë Biçikletë Autobus Taksi

11 26 33

o

o

Këndi te diagrami sektorial 11 × 4 26 × 4 33 × 4

Automobil

44o 104o

Taksi

o

12

12 × 4

48

Autmobil

8

8×4

32o

Gjithësej

90

90 × 4

360o

o

48o

132o

Biçikletë

3 2

44o

104o 132o

Në këmbë Autobus

Mbaj men mend d ! Që të paraqiten të dhënat me diagram sektorial duhet: 1 të caktohet numri i përgjithshëm përgjithshëm i të dhënave që duhet duhet të paraqiten; paraqiten; o

2o të

pjesëtohet pjesët ohet 360 (shkallët e këndit të plotë) me numrin e përgjithshëm të fituar; 3o Çdonjëra prej të dhënave shumëzohet me herësin e fituar, me të cilën fitohet këndi i sektorit për atë të dhënë. Puna me të dhëna 167 o

2.

Koh a

Të dhënat për kohën ku fillojnë me punë 1800 të punësuar te konfeksioni konfeksioni ,,Moda". Paraqiti të dhënat me diagram sektorial. Vëren se: sektori te diagrami sa më i madh është, aq më i madh është edhe numri i të dhënave që janë paraqitur me atë sektor. Nëse te diagrami sektorial dihet numri i të dhënave të paraqitura paraq itura me njërin prej sektorëve, ose numri i përgjitshëm i të dhënave, lehtë mund të caktohet numri i sektorëve tjerë.

B

3.

Numri

Ndërmjet Ndërm jet 5 h dhe 6 h

240

Ndërmjet Ndërm jet 6 h dhe dhe 7h

180

Ndërmjet Ndërm jet 7 h dhe8 dhe8 h

768

Ndërmjet Ndërm jet 8 h dhe 9 h

612

Gjithësej

1800

Në një bibliotekë ka pasur pasur 720 720 libra. Ato kanë qenë qenë të grupuara si: si: lektura, libra shkencore, shkencore, tekste, tekste, doracak dhe fotografi. Të dhënat janë paraqitur me diagram sektorial më posht.

T e k k s t te e

Gjithësej ka pasur 720 libra. Domethënë 360 : 720 = 0,5, një libri i përgjigjet 0,5 nga rrethi. Sektori për tekste e ka këndin 60 ,domethënë 60 : 0,5 = 120, përkatësisht ka pasur 120 tekste. o

o

60o

Lektura

70o 40o 80o Libra shkencor Fotografi

i

k a c a r o D

Cakto numrin e doracakëve, librave shkencore dhe fotografive te biblioteka shkollore. Sa shkallë është këndi i sektorit që i paraqet lekturat? Sa është numri i lekturave në bibliotekë?

Detyra 1. Të dhënat në tabelë tregojnë në çfarë mënyre

ndryshme, dhe atë:

ndoten oqeanet. 1% = 3,6o

Ndotësit

Përqindja

Ndotësit prej lumejve

54%

Ndotësit prej ajrit

33%

Ndotësit prej peshkimit

12%

Prodhimi i naftës Gjithësej

sp ortive ka njerëz nj erëz të moshave të 2. Në një qendër sportive

1% 100%

Më të ri rinj nj pr prej ej 20 vj vjet et

30 pe pers rson onaa

prej 20 deri 29 vjet

15 persona


29 persona


14 persona

më të vje vjetër tër se 50 vje vjett

12 pe pers rson onaa

Sa anëtar ka gjithësej te qendra sportive? Të dhënat paraqiti me diagram sektorial.

Paraqiti të dhënat me diagram sektorial.

168


t ë ndryshme 3. Te diagrami sektorial më posht janë paraqitur të dhënat për lloje të Benzinë

të lëndëve djegëse të shitur te një pompë e benzinës. benzin ës. Janë shitur 2415 " dizel.

230o

Sa benzinë pa plumb është shitur?

105o B e n . p a p l u Dizel m b

Sa benzinë është shitur? Sa lëndë djegëse gjithësej janë shitur? 4.

Një agjension agj ension turistik t uristik ka mbledhur mbled hur të dhëna për interesimin për pushimet pushi met vjetore. Janë pyetur 720 intervistor i ntervistor dhe përgjigjet përgji gjet e tyre janë paraqitur paraqit ur me diagram sektorial. Mati këndet e çdo sektori;

N ë Në shtëpi

Sa shkallë paraqet një intervistor?

i r q u T

Nga sa intervistor janë deklaruar dekl aruar për çdo vend për pushim vjetor? Nga sa intervistor janë deklarua për pushim vjetor jashta vendit?

Ohër

i r a g l l u B

Greqi

22 MESI ARITMETIK. MEDIANA. MODA. RANGU A

Kujt Ku jtoh ohu u! Anëtarët e seksionit të artit janë pyetur nga sa orë i punojnë vizatimet e fundit. Ato janë përgjigjur: 2, 3, 4, 3, 5, 10, 5, 6, 3. I radhisim të dhënat duke filluar prej atij ati j me vlerë numerike më të vogël: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10.

E dhëna që më së shpeshti paraqitet është numri 3. Numri 3 është moda për këto të dhëna. Numri 4 është e dhëna që gjendet në mesin e vargut pas radhitjes. Numri 4 është mediana për këto të dhëna.  

   

  



1.

Mesi aritmetik ose vlera mesatare njehsohet ashtu që shuma prej vlerave numerike të vargu va rgutt të të dh dhëna ënave ve pj pjesë esëtoh tohet et me nu numri mrinn e të dhënave. Njehso mesin aritmetik të vargut: a) 8, 11, 14, 8, 9; b) 18, 14, 18, 14, 18, 17;



=

tendencat qëndrore.

,

c) 9, 12, 10, 9, 9, 11, 12, 11; ç) 21, 46, 29, 27, 42, 34, 25;

 

      

Mesi aritmetik, mediana dhe moda janë vlera që shfrytëzoh s hfrytëzohen en për përshkrimin përshk rimin e ,,qendrës", d.m.th. mesi i të dhënave të va varg rgut ut.. At o q uh en njësitë për

»

4,55, vlera

4,55 është mesi aritmetik

d) 9, 8, 9, 8, 9, 8.

për këto të dhëna. Puna me të dhëna

169

2.

E dhëna e cila gjendet në mesin e vargut, kur anëtarët e vargut do të radhiten duke filluar prej më të voglit është ësh të mediana. Cakto medianën te vargjet a, b dhe ç te detyra 1. Ke kujdes, mediana për vargun me numër çift të të dhënave është mesi aritmetik i të dy të dhënave në mes.

3.

E dhëna që paraqitet më së shpeshti në një varg të të dhënave quhet moda. Një bashkësi e të dhënave mund të mos ketë modë, të ketë vetëm një modë ose të ketë më shumë se një modë. Cakto modën për vargjet a, b, c, ç, d te detyra 1.

4.

Është dhënë vargu i numrave: 61, 57, 55, 60 dhe 62. Cakto mesin aritmetik dhe medianën. Numrin 62 zëvëndësoe me 262 dhe për vargun e atillë ati llë të fituar cakto cakt o mesin aritmetik dhe dh e medianën. Te vargu i dhënë në fillim, zëvëndësoe numrin 55 me 5 dhe për vargun e këtillë të fituar cakto mesin atitmetik dhe medianën. Krahasoi vlerat e fituara të mesit aritmetik dhe medianës. Në çka më së shumti ndikon vlera e madhe ose e vogël e të dhënës: mesit aritmetik ose medianës?

5.

Shëno : vargu prej 5 numrave mediana e së cilës është 7, kurse moda është 6; vargu prej 5 numrave numr ave me medianë 8 dhe mesi aritmetik 7; vargu prej p rej 5 numrave me modë 4 dhe mes aritmetik 6.

6.

B

Shkruaj 6 numra të cilët formojnë varg te i cili mediana është numër më i vogël se 10, mesi aritmetik i vargut është 10 dhe më i madhi prej gjashtë numrave është 25. 25 .

Kujt Ku jtoh ohu u! Nj ë di të në Ma Mana nast stir ir ës ësht htëë ma matu turr te temp mper erat atur uraa më e la lart rtëë 17 C, kurse më e ulta -9 C. Ndryshimi ndërmjet temperaturës më të lartë dhe më të ulët ka qenë 26 C. 17 - (-9) = 26. o

o

o

Ndryshi mi ndërmjet vlerës Ndryshimi vler ës më të madhe të të dhënave dhe vlerës më të vogël të të dhënave quhet rang. Rangu = (vlera më më e madhe) - (vlera më e vogël)

170


Vëreje shembullin.

7.

Është dhënë vargu i numrave: 29, 61, 17, 80, 32. Vlera më e madhe është 80.

Vle lerra më më e vogël ës është 17 17.

Rangu = 80 - 17 = 63.

Cakto rangun rangun e vargut të numrave: a) 107, 15, 36, 94, 27, 100; b) 3,26; -0,24; -5,15; -5,15; 1,13; 7. Dhjetë nxënës në testin e matematikës i kanë fituar këto pikë:

8.

Nxënës Nxë nës

N

Pikë

78

1

N 2

N 3

N 4

N 5

N 6

N 7

N 8

N 9

N 1 0

80

65

56

87

94

29

63

55

56

Cakto rangun ndërmjet nxënësit nxënësit me numër më të madh të pikëve të fituara dhe nxënësit me numër më të vogël të pikëve pikëv e të fituara. fituara . Për çdo nxënës në veçanti, cakto cak to rangun ndërmjet numrit numri t të pikëve të fituara dhe 100 pikë pik ë (numri më i madh i pikëve që janë parashikuar për testin). 9.

Tetëmbëdhjetë atletë kanë garuar në 20 km. Koha e tyre në minuta ka qenë kështu: 96, 90, 115, 112, 111, 111, 96, 100, 112, 117, 90, 98, 100, 101, 95, 99, 110, 98, 119. Cila është koha më e mirë e vrapimit? Cila është koha më e dobët e arritur në vrapim?

Detyra 1.

2.

Në 7 sënduqe të barabarta ka pasur pjeshka. Numri i pjeshkëve te çdo sënduk - përkatësish përkatësishtt ka qenë: 35, 45, 46, 37, 55, 37, 32. Sa është numri mesatar i pjeshkëve në një sënduk? Cakto medianën. Cili numër është modë? Sa është rangu? Prej 5 testeve, Teuta Teuta ka fituar mesatarisht 66 pikë. Që të ketë pesëshe, mesatarja e saj duhet të jetë 70 pikë prej 6 testeve. Sa pikë më pak duhet të fiton Teuta në testin e gjashtë?

3.

Jetoni dhe Iliri kanë garuar në pikado, me nga 6 shigjeta. Rezultatet e tyre (largësia prej qendrës në centimetra) janë dhënë në këtë tabelë. Shigjeta

1

2

3

4

5

6

Jetoni

10

4

5

5

7

8

Iliri

12

11

5

6

10

6

Njehso largësinë mesatare deri te qendra për çdo garues. Cakto rangun e çdo garuesi. Cili garues është më i suksesshëm? Sqaroe përgjigjen tënde. Puna me të dhëna

171

MËSOVE PËR RRETHIN, SHUMËKËNDËSHIN DHE SYPRINAT E TYRE. KONTROLLO NJOHURINË TËNDE 1.

Shuma e një këndi periferik dhe këndit të tij përkatës qëndror është 180 . Cakto madhësinë e këndeve.

9.

o

2.

Është dhënë trekëndëshi këndngushtë ABC. Gjysmëvija rrethore mbi brinjën AB i pret dy brinjët tjera në pikat M dhe N. Konstrukto ortoqendrën H të DABC vetëm me vizor.

10.. Njehso syprinën e katrorit me diagonale 6 cm. 10

11.. 11 3.

Te katërkëndëshi kordiak ABCD janë të njohur RA = 108 dhe RB = 98 . Cakto RC dhe RD. o

4.

Sa dërrasa me gjatësi 3 m dhe gjerësi 25 cm nevoiten për mbulimin e dyshemes me formë drejtkëndore, me dimenzione dimenzione 6 m dhe 3,5 m?

Brinjët e një romboidi janë a = 12 cm dhe b = 8 cm. Lartësia ndaj brinjës a është 4 cm. Sa është lartësia ndaj brinjës b?

o

Për katërkëndëshin tangjencial ABCD dihet R

%$= 7 cm,

$'

= 5 cm. Cakto

%&

sy prinën e trekëndësh tr ekëndëshit it kënddrejtë kënd drejtë me 12.. Njehso syprinën 12 katetë 24 cm dhe hipotenuzë 30 cm.

= 12 cm, &' .

syprinën e trapezit barakrahas me baza baza 13.. Njehso syprinën 13 5.

18 cm dhe 10 cm, kurse krahu 5 cm.

Sa brinjë ka shumëkëndëshi i rregullt, nëse këndi i tij i jashtëm është: a) 135 ; b) 150 ; c) 140 ? o

o

o

Nëë n t ëk ën d ës h i 14.. N 14 6.

Vizato pesëkëndësh pesëkëndësh të rregullt me apotemë h = 2,5 cm.

7.

Cila katetë është më e madhe, a ose b, te trr e k ë n d ë s h i k ë n d d r e j t ë t ë d h ë n ë m e t a = 7 dm dhe c = 25 dm?

8.

Cakto perimetrin e trekëndëshit barakrahas me bazën a = 1 dm dhe lartësinë ndaj bazës h = 1,2 dm.

172

i rregullt me brinjë a = 8 cm ka syprinën S = 395,28 cm . Sa është apotema e tij? 2

15.. 15

Sa herë rrotullohet rrota e një traktori, e cila e ka rrezen 40 cm, në rrugën prej 2512 m?

16.. 16

Te një romb me perimetër 48 cm është brendashkruar rreth me syprinë 25p cm . Njehso syprinën e rombit.


2

TEMA 5.

FUNKSIONI. PROPORCIONI

SISTEMI KËNDDREJT KOORDINATIV NË RRAFSH 1. Prodhimi i deakrtit 176 2. Rrafshi koordinativ 178

PROPORCIONI 6. Raporti 7. Proporcioni 8. Mesi gjeometrik. Proporcioni i vazhduar

192 197 201

PASQYRIMI (FUNKSIONI) 3. Relacionet 4. Pasqyrimi (funksioni) 5. Mëny nyra ra e dhë hënë nëje jess së pas asqy qyri rim mit

MADHËSITË PROPORCIONALE 9. Madhësitë proporcionale të drejta 10. Madh Madhësi ësitë të prop proporcio orcionale nale të zhdr zhdrejta ejta 11. Rregulla e thjeshtë e treshit Kontrollo njohurinë tënde

204 2088 20 212 215

183 185 189

3 : 1

Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

173

SISTEMI KËNDDREJTË KOORDINATIV NË RRAFSH

1

PRODHIMI I DEKARTIT

Kujt Ku jtoh ohu u!

Çifti i renditur grafikisht paraqetet me shigjetë prej komponentes së parë nga komponenta e dytë.

A

Në klasën kla sën V mëso mësove. ve. .. Çifti te i cili a është elementi i parë, kurse b është elementi i dytë quhet çifti i renditur dhe shënohet me (a, b).

Në viz vizati atim m me shi shigje gjeta ta jan janëë par paraqi aqitur tur çif çiftet tet e renditura (a, b), (c, c) dhe ( h, g ). ). b

Elementet e çiftit të renditur quhen komponenta. Dy çfte të renditura janë të barabartë nëse komponentat përkatëse janë të barabarta. Cakto x dhe y ashtu që ( x x, 2) = (5, y).

a 1.

Prodhimi i Dekartit A x B i bashkësive A dhe B

h g

c

Vërej çiftet e renditu A ra në vizatim.

2

1

B

4

është bashkësia e të gjitha çifteve të renditura ashtu që komponenta e parë është element i bashkësisë A, kurse e dyta nga bashkësia B.

Shkruaj të gjitha çiftet e renditura.

Le të jenë A = {2, 3}, B = {5, 10, 15}. Cakto bashkësinë A x B dhe paraqite në n ë mënyrë tabelare.

A është paraqitur çifti i renditur (4, 5)?

3

6 8

5

Bashkësia A x A ose A quhet katrori i dekartit .

Prej cilës bashkësi janë komponentet e para të çifteve çi fteve të t ë renditura? rendi tura?

Le të jetë A = {a, b}. Cakto A .

A ka çift të renditur ku komponenta e parë është nga bashkësia B?

2

2

Janë dhënë bashkësitë A = {a, b} dhe B = {m, n, p}.

2.

Paraqiti me diagram të venit. Elementet e prodhimit të dekartit A x B paraqiti me shigjeta. Vëreje këtë në vizatim dhe krahasoe zgjidhjen tënde. F F

174

A a

Për prodhimin e dekartit të paraqitur në këtë mënyrë themi se është dhënë me graf . Prodhimi i dekartit grafikisht mund të paraqitet edhe me skemë koordinative në këtë mënyrë: Tema 5. Funksioni. Proporcioni

m n

b

p

B

B

m n p

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

A x B

Më praktike B m n p

A a

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

b

Prodhimin e dekartit G x H i bashkësive G = {1, 2, 3, 4} dhe H = { a, b} paraqite në mënyrë tabelare

4.

A

b

a 3.

A x B

me graf

me skemë koordinative A x B

Te skema koordinative prodhimi i dekartit A x B, janë shkruar elementet (1,n), (2, m) dhe (3, p).

B p

(3, p) (1, n)

n

Shkruaj elementet e bashkësisë A dhe të bashkësisë B.

(2, m)

m

Shkruaje prodhimin e dekartit A x B në mënyrë tabelare. 1

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë F F F

5.

2

3

A

Elementi (1, n) Î A x B, që nuk është shënuar te skema, tregon se edhe 1 Î A dhe n Î B. Në mënyrë të ngjashme vëre se 2 Î A, m Î B, 3 Î A dhe p Î B. Domethënë Do methënë A = {1, 2, 3}, B = {m, n, p}. A x B = {(1, m), (1, n), (1, p), (2, m), (2, n), (2, p), (3, m), (3, n), (3, p)}. Paraqiti me graf dhe me me skemë skemë koordinative katrorin katrorin e dekartit të bashkësisë a) M = {1, 2}; b) P = {a, b, c}. Vëre grafin dhe skemën koordinative të M dhe krahasoe zgjidhjen tënde. 2

M M2 1

2

2 1

1 6.

(1, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(2, 1)

2

M2

M

Është dhënë prodhimi i dekartit K x L = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Shkruaji tabelarisht bashkësitë K dhe L.


175

Duhet të dish Kontro Kon trollo llohu hu!

grafikisht të paraqesish çiftin e renditur; Cilat çifte të renditura janë dhënë në vizatim?

të paraqesish prodhimin e dekartit me graf dhe me skemë koordinative.

Paraqite me graf katrorin e dekartit të bashkësisë P = { 1, 5}.

4.

(1, 5), (m, 2) dhe (4, 4).

2

n

b

Detyra 1. Vizato grafin e çdo çifti të rendit

m

a

Shkruaj bashkësitë A dhe B sipas skemës koordinative të prodhimit të dekartit A x B.

2. Le të jetë A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Shënoi

elementet e bashkësive bashkësive A dhe B.

B

(3, p) (a, 2)

3. Paraqite me skemë koordinative prodhimin e

dekartit të bashkësive A = { ¡, *, D} dh dhee B = { d , m, p, s}. 1

2

m

5 A

n

RRAFSHI KOORDINATIV

Kujtohu! -2

-1

O

E

A

0

1

2

Si quhet numri që i është shoqëruar pikës së dhënë nga boshti numerik? a

Në dre drejt jtëz ëzën ën num numeri erike ke a me shigjetë është shënuar kahja pozitive. Drejtëza numerike quhet edhe boshti numerik .

A -3

-2

B -1

0

C 1

2

2



3 a



Vëre pikën A në boshtin numerik. Ajo ka koordinatë - 2, d.m.th. A(- 2).

Pikës O i është shoqëruar numri 0, kurse pikës A numri 2.

Shënoi pikat B dhe C me koordinatat e tyre.

Segmenti OE është segment njësi, d.m.th.

Paraqiti pikat M(-1 ) dhe P(3, 4) të boshtit

2( =

176

4

1.

Tema 5. Funksioni. Proporcioni





numerik.

Në vi viza zati tim m ja janë në tr treg egua uarr em emra ratt e A nxënësve të një klase, si ulen në klasë. Në vijën vertikale OB janë shënuar numrat rendor të rreshtave, kurse në vijën horizontale OA - numrat rendor të shtyllave.

Si mund të paraqitet vendi në të cilën ulet nxënësi i caktuar?

B 7

Bashkim

Drita

Dona

Mentor

6

Merita

Petrit

Maliq

Zy l f o

5

Verim

Neire

Vera

Loni

4

Lisa

Leon

Labi

Lenard

3

Kastriot

Elona

Ema

Dashe

Laura

Agim

Jeto n

Nora

Ilir

Lirik

Arta

Gëzim

1

2

3

4

Ku ulet Jetoni? Si do ta paraqesish 2 vendin e tij? 1

Jetoni ulet në vendin e shtyllës së 3-të dhe rreshtin e 2-të. Kjo mund të paraqitet me çiftin e renditur (3, 2).

O

A

Cakto vendin e nxënësit sipas shtyllës dhe rreshtit dhe shënoe si çift të renditur: a) Ilir; b) Neire; c) Dona; ç) Lenard. Emërto nxënësin që ulet në vendin: a) (2, 1); b) (2, 3); c) (4, 7); ç) (3, 5). Përshkruaje pozitën e vendeve te të cilat ulen nxënësit Labi dhe .Shënoi çiftet e renditura të atyre vendeve. Çka vëren për ato çifte?

y

Shkruaje vendin si çift i renditur në të cilën ti ulesh në klasën tënde. 2.

Në vizatim viz atim janë dhënë dy boshte bo shte numerike reciprokisht normalet x dhe y, me segment njësi të barabarta. Ato priten te pika O. Në rrafshin e boshteve janë objektet (pikat) A, B, C, D dhe E. Shtegu deri te çdo objekt ,,niset" prej O. Ajo është shënuar shënu ar me ngjyrë.

x

Vërei shtigjet F

Shtegu deri te A është: 3 njësi në kahen pozitive të boshtit x (d.m.th. +3), kurse pastaj 2 njësi në kahen pozitive të boshtit y (d.m.th. +2) +2).. Sistemi kënddrejtë koordinativ në rrafsh

177

F

Shkurtimisht mund të shkruhet{ shkruh et{ A(+3, +2) ose A(3, 2).

F

Shtegu deri te B, e shkruar shkurtimisht është B(+1, +3) ose B(1, 3).

F

Shtegu deri te C: 2 njësi në kahen negative të boshtit x (d.m.th. -2), kurse pastaj 3 njësi në kahen pozitive të boshtit y (d.m.th. +3) .

F

Shënimi i shkurtër: C(-2, +3) ose C(-2, 3).

Komponentat e çiftit të renditur (-2, 3) quhen koordinata të pikës C. Shënoi shkurtimisht shtigjet deri te objektet D dhe E. Rrugën e kaluarat e shënojmë me + ose -, varësisht prej asaj vallë lëvizim në kahen pozitive ose negative të boshtit.

Mbaj mend ! Koordinatatat e pikës quhen abshisa dhe ordinata.Ato paraqesin çift të renditur ku abshisa është komponenta e parë, kurse ordinata e dytë.

y

M

M2

Për pikën P që e ka abshisën a dhe ordinatën b shkruajmë P(a, b).

abshisa

Për pikën M (në vizatim) themi se e ka abshisën abshi sën +4 dhe ordinatën +3. Shkruajmë M(+4, +3) ose vetëm M(4, 3).

O

a t a n i d r o

M1

x

Boshtet numerike reciprokisht normale quhen boshte koordinative, kurse prerja e tyre quhet fillimi i koordinatave . Njëri bosht koordin koordinativ ativ quhet boshti i abshisave ose boshti x, kurse tjetr boshti i ordinatave ose boshti y. Dy boshte numerike reciprokisht reciprokisht normale, me segmente segmente njësi të barabarta dhe me me pikë zero të përbashkët (fillimi i koordinatave), formojnë tërësi (sistem). Ai quhet sistemi kënddrejt koordinativ i dekartit ( sipas Rene Dekart Rene Dekart 1596 - 1650

matematikan, fizikan dhe filozof françez që i pari e futi në përdorim këtë sistem) sistem) Shkurtimisht thuhet sistemi koordinativ dhe shënohet: O xy.

B

Rrafshi në të cilin është dhënë sistemi kënddrejt koordinativ i dekatrit quhet rrafshi koordinativ. Boshtet koordinative e ndajnë rrafshin në katër kënde të drejta, të cilat janë të numeruara si në vizatim. Ato quhen kuadranta.

II


I

(+ , +)

1

-3 -2 -1

(- , -)

3 2

(- , +) III

178

y

0

1 2 3

-1 -2 -3

IV

x

(+ , -)

Mbaj mend Në kuadrantin I : abshisa dhe ordinata janë pozitive. Në kuadrantin II: abshisa është negative, kurse ordinata pozitive. Në kuadrantin III : abshisa dhe dh e ordinata janë negative. n egative. Në kuadrantin IV : abshisa është pozitive, pozitiv e, kurse ordinata negative. negativ e. Cakto në cilin kuadrant gjendet çdonjëra prej këtyre pikave

3.



A(+3, +5), B(-2, -1), C(+4,2; -6 ), D(-1, +5).  Vëren se: F

Abshisa dhe ordinata e A janë pozitive, d.m.th. pika A gjendet në kuadrantin I.

Pika B gjendet në kuadrantin III. Sqaro pse. Vepro në mënyrë të ngjashme për pikat C dhe D.

Kjo është e rëndësishme Çdo pike nga rrafshi koordinativ që i përgjigjet vetëm një abshisë dhe ordinatë janëçift koordinatash. Çdo çifti të koordinatave i përgjigjet vetëm një pikë nga rrafshi koordinativ.

4.

Paraqiti në rrafshin koordinativ këto pika: A(-1, -2), B(-

 

y

B

, 2), C(2, -1), D(2,5; 1,5).

2

D

1,5

1

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Pikat nga boshti x e kanë ordinatën 0.

-2

-1 

Pikat nga boshti y e kanë abshisën 0.



0



-1

1

2 2,5 3 x C

Fillimi i koordinatave e ka abshisën 0 dhe ordinatën 0.

-2 A

5.

Paraqiti në rrafshin rraf shin koordinativ koordinati v pikat A(0, -3), B(-2, 0), C(0, 0), D(0, 1), E(2, 0).

6.

Caktoi koordinatat e pikave A dhe B që janë simetrike me pikat A(-2, 5) dhe B(4, 7) në lidhje me a) boshtin x; b) boshtin y. 1

1


179

Duhet të dish:


të sqaroj sqarojsh sh si është formua formuarr sistemi kënddr kënddrejtë ejtë koordinativ; çka është rrafshi koordinativ; çka janë koordinatat e pikës;

Cila prej pikave P(3, 8) ose S(5,1) është më afër boshtit x? Çka është rrafshi koordinativ? Në cilin kuadrant shtrihet pika A(2, -4)? Në cilën prej boshteve bosh teve koordinati koo rdinative ve shtrihet shtri het pika pik a M(0, -1)?

të paraqesish pikë në rrafshin koordinativ.

Detyra 5. Caktoi koordinatat e pikave A, B, C, D, E dhe F

sipas vizatimit:

1. Caktoi pikat në rrafshin koordinativ që u

përgjigjen çifteve të renditura: y

(3, 2); (-

 

(-1, -

, 2);

 

);

(-4, 1);

5

(1, -1);

4

A

(0, -2);

E (-2,4; 0).

(-3, -1);

2

x

1

B

koordinata t e pikës që është simetrike me 2. Caktoi koordinatat

F

3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

-1

pikën M(2, -1) në lidhje me: a) boshtin e abshisave dhe shënoe me M ; b) boshtin e ordinatave dhe shënoe me M ; c) fillimin e koordinatave dhe shënoe me M .

4

5

6

D

-2

1

-3

2

-4

C

3

-5

6. 3. Vizato segment AB nëse A(-1,3), B(-4, -2).

Vizato DABC, kurse pastaj cakto gjatësitë e brinjëve të tij nëse: a) A (-4, 0), B (0, 1), C (-1, 3); 1

1

1

b) A (-1, -3), B (4, 0), C (3, -4). 2

4. Vizato trekëndësh ABC, nëse: a) A (-2, -1), B (3, -2), C (-1, 3); b) A (-3, 0), B (0, -4), C (3, 1); 1

2

1

2

7.

2

Te rrafshi koordinativ paraqite pikën M me

1

2

abshisë  dhe ordinatë Pastaj vizato DABC: A(

180

2




, 1), B(-3,





.

), C(-2, -3).

PASQYRIMI (FUNKSIONI) 3 RELACIONET Kujt Ku jtoh ohu u! Me skemën koordinative është paraqitur katrori i dekartit dekart it në bashkësinë A = { 1, 2, 3, 4, 5}. A 5 4 3 2 1

A

1.

A

Dritoni

Janë dhënë basahkësitë A = {Dritoni, Iliri, Selveri} dhe B = {matematikë, fizikë, kimi, biologi}. Ndërmjet elementeve të bashkësisë A dhe B është dhënë lidhja (relacioni): "... ka notë të shkëlqyeshme nga ...", e cila te grafi është paraqitur me shigjeta prej A nga B.

A x A

R1

R2

Iliri 1 2 3 4 5

Selveri A

Vërej nënbashkësitë R dhe R për të cilët vlen: R1 Ì A x A dhe R2 Ì A x A. 1

2

R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}.

Për elementet R vlen: komponenta e parë është për 1 më e vogël se nga komponenta e dytë. 1

Shkruaje tabelarisht bashkësinë R 2. Shprehe ndonjë lidhje (relacion) ndërmjet komponenteve te çiftet e radhitura të bashkësisë R . 2

B

matematikë fizikë kimi biologji

Sa elemente ka prodhimi i dekartit A x B dhe cilët janë ato? a to? Shkruaje në mënyrë tabelare bashkësinë R prej çifteve të radhitura për të cilët vlen relacioni "... ka notë të shkëlqyeshme nga ...". Paraqiti bashkësitë A x B dhe R në skemën koordinative. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. B AxB Ax B

matematikë

R fizikë

Çdo çift i renditur që i takon R, a i taa k o n ed h e Ax B? Çk a pa r aq et t bashkësia R për prodhimin prodhimin e dekartit AxB? Nëse çifti i renditur i takon R, atëherë a tëherë ai i takon edhe A x B, d.m.th. R

Ì

A x B.

kimi biologji

i n o t i r D

i r i l I

i r e v l e S

A

Pasqyrimi (funksioni)

181

Mbaj mend Cilado nënbashkësi R nga prodhimi i dekartit A x B quhet relacion prej A nga B. Le të jetë R Í A x B. Nëse çifti çi fti i radhitur ( x x, y) Î R , shpeshherë shkruhet x R y y; lexojmë: x është në relacion R me y.

F F

bashkësia e të gjitha çifteve të renditura të cilat i takojnë R quhet edhe grafik i relacionit R dhe shënohet me

2.

5,

d.m.th.

5

= {( x x, y) | x

Î

A, y Î B dhe x R y} y}.

Relecioni R: "... është më i vogël për 2 se ..." prej bashkësisë A = {1, 4, 7, 12} nga bashkësia B = {3, 6, 14, 20} është paraqitur me graf.

A

B

R 1

3

Paraqite prodhimin e dekartit A x B me skemë koordinative.

4

6

Shkruaj çiftet e renditura që janë elemente të grafikut 5 .

7

14

Trego se grafiku graf iku

12

20

3.

5

është nënbashkësi e prodhimit të dekartit A x B.

Në vi viza zati tim m ësh është të dhë dhënë në ba bashk shkësi ësiaa A x A dh dhee rel relac acio ioni ni R në bashkësinë A. Provo me relacionin R a është paraqitur kjo lidhje ndërmjet elementeve "... është më i vogël se ...", d.m.th. vallë R = {( x x, y) | x, y Î A dhe x < y y}}.

5

(1,5) (2,5)

Ax A

4 R

3 2 1

Paraqite relaconin me graf . 1

4.

2

3

4

5

Një familje ka pesë anëtarë: babai - Miron, nëna - Lule dhe fëmijët: Blerta, Jetoni dhe Selveri. Paraqite me graf relacionin R: a) "... është nëna e ..."; b) "... është vëllau i ...";

Duhet të dish: të sqarojsh sqa rojsh çka është relacioni prej bashkësisë A nga bashkësia e dhënë B; të paraqesish relacionin e dhënë me graf, me grafik dhe me skemë koordinative. 182



Në ba bash shkë kësi sinë në A = {1 {1,, 2, 3, 4} ësh është të dh dhënë ënë relacioni R: "... është për 2 më i madh se ...". Paraqite relacionin R me graf dhe me grafik.

Detyra 1. Me graf paraqite relacionin R prej bashkësisë

A = {12, 16, 22, 28, 32} nga bashkësia B = {17, 21, 27, 33, 37}, nëse: a) R: " < "; b) R: "...është për 5 më i vogël se ...".

a) Paraqite relacionin R me graf. b) Grafikun e relacionit paraqite në" mënyrë tabelare. 4. Paraqite me graf dhe me skemë koordinative

A

2. Te bashkësia

a

A = {a, b, c, d , e} me graf është dhënë relacioni R. Shkruaje grafikun e relacionit R në mënyrë tabelare. tabelar e.

relacionin e dhënë me:

b

= {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 5), (1, 5)} prej A = {0, 1, 2, 3} nga B = {1, 3, 5}. 5

e

5. Në bashkësinë M = {1, 2, 3, 4, 5} është dhënë

relacioni R me:

d

c

5=

dhën ë 3. Te bashkësia S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} është dhënë

a) Shkruaje grafikun e R tabelarisht b) Paraqite relacionin R me graf. c) Paraqite relacionin R me skemën koordinative.

relacioni R me: 5=

{( x x, y) | x, y Î M dhe y = 6 - x}.

{( x x, y) | x, y Î S dhe y = 2 x}.

4 PASQYRIMI (FUNKSIONI) Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Relacioni prej A nga nga B është çdo ç do nënbashkësi e prodhimit të dekartit A x B të bashkësisë A dhe B. Shqyrtoi relacionet R dhe R . 1

R1

A

B A

Do të shqyrtojmë vetëm relacione të atilla ndërmjet dy bashkësive ku çdo element nga bashkësia e parë është në relacion vetëm me nga një element nga bashkësia e dytë.

2

R2

B

1.

Prej bashkësisë A = {1, 2, 3, 4} nga bashkësia B = {2, 4, 6, 8, 10} ështëdhënë relacioni relac ioni R: ... është 2 herë më i vogël se.. Vërej skemën koordinative dhe grafin e relacionit.

Sqaro për cilin prej relacioneve R ose R vlen kjo: 1

F

F

2

çdo element prej A është në relacion me element prej B; çdo element prej A është në relacion vetëm me nga një element prej B.

R

B

10 8 6 4 2

A x B R

1 2 3 4

A

A


B

183

Mund të vërejsh se çdo element prej A është në relacion vetëm me nga një element prej B. Për relacionin e atillë thuhet se është pasqyrim.

Mbaj mend Nëse çdo element nga bashkësia A është në relaci relacion on R vetëm me nga një element të bashkësisë B, relacioni i atillë quhet pasqyrim (ose funksion) prej A në B. Nëse çdo ç do element e lement prej A ka vetëm një shigjetë nga ndonjë element të B.

Prej grafit të relacionit R prej A nga B si do ta caktojsh a është ai pasqyrim? Cili prej relacioneve R , R dhe R është pasqyrim? 1

R

1

A

2

3

B

A

R

2

B

A

R

3

B

vetëm relacioni rel acioni R është pasqyrim. R nuk është pasqyrim, pasi prej 4 ka dy shigjeta. R nuk është pasqyrim, pasi prej 2 nuk ka shigjetë nga element i B. 2

1

3

Pasqyrimi f Pasqyrimi f prej bashkësisë A në bashkësinë B është relacioni prej A nga B ku çdo element nga

B

A është në lidhje vetëm me një element nga B dhe shënohet me: f : A ® B ose

$ o %

F

Bashkësia A quhet domen ose bashkësia e përkufizimit.

F

Bashkësia B quhet kodomen e pasqyrimit f . Është dhënë me graf (në vizatim) pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 12, 18, 24, 30, 32}. 3 2}.

2.

B

f A

Kush është domeni, kush është kodomeni i këtij pasqyrimi? V

Elementi 1 Î A është në relacion f me elementin 6 Î B. Thuhet se: elementit 1 është shoqëruar me f elementi 6 ose 6 është pasqyra e 1 gjatë pasqyrimit f . Shkruajmë  o  ose f (1) (1) = 6. Për 1 thuhet se është origjinali për 6 gjatë pasqyrimit f .

184


Shkruaj pasqyrat e elementeve 2, 3 dhe 4 nga A, gjatë pasqyrimit f . Vëreve se V

Í

B. Për V themi se është bashkësi pasqyrash, d.m.th. bashkësia e vlerave të f .

Do të shkruajmë: f (1) (1) = 6; f (2) (2) = 12; f (3) (3) = 18; f (4) (4) = 24. Cilat numra janë pasqyra të numrave 3 dhe 4?

Në përgji përgjithësi thësi Bashkësia elementet e të cilës janë pasqyrat e elementeve nga domeni gjatë pasqyrimit të dhënë quhet bashkësia e vlerave të pasqyrimit. Në se y Î B është vlera e x Nëse f : x ® y ose y = f ( x x).

Î

A,d.m.th. y është pasqyra e x gjatë pasqyrimit f , shkruajmë

Bashkësia e të gjitha çifteve të renditura të relacionit f prej A nga B që paraqet pasqyrim quhet grafik i pasqyrimit f dhe shënohet me G f . Domethënë f : A ® B, atëherë G f = {( x x, y) | x Î A dhe y = f ( x x)}. 3.

Me graf është paraqitur pasqyrimi f : "... është 3 herë më i vogël se ..., prej bashkësisë A = {1, 3, 5, 7} nga bashkësia B = {3, 9, 15, 18, 21, 24}.

A

B

Shkruaje tabelarisht grafikun e f . Cakto domenin, kodomenin dhe bashkësinë e vlerave të f . Shkruaj me çka është e barabartë: f (3). Të sqarojsh çka është pasqyrim

Duhet të dish: pasqyrimin; të paraqesish pasqyrimin pasqyri min me graf dhe grafik; të sqarojsh çka ç ka është domeni, domen i, kodomeni kodomen i dhe bashkësia bashkësi a e vlerave të t ë pasqyrimit. pasqyrimi t.


185


A

B

A B

Me cilën prej vizatimeve është dhënë pasqyrim prej A nga B? Prej grafikut G f = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (6, 7), (8, 11)} cakto domenin dhe bashkësinë e vlerave dhe të pasq pasqyrim yrimit it f .

Detyra 1.

Sqaro pse relacioni R, që është dhënë me graf, nuk është pasqyrim. A

B

a)

4.

B

b)

A

Është dhënë pasqyrimi f : A ® B, ku A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; 5} ; B = {0, 1, 2, ..., 10, 11, 12}, me rregullën f : x ® 2 x, d.m.th. f ( x x) = 2 x. Cakto: f (0); f (3) dhe f (5). Shkruaje bashkësinë e vlerave të funksionit.

2.

A

Me gra graff është dhënë funksioni f : A ® B. Cakto : B

domenin; kodomenin;

5.

Pikat e gjysmëvijës rrethore P pasqyrohen në pikat e diametrit D ashtu që pasqyra Y e pikës X Î P gjendet në prerjen e normales prej pikës X nga diametri. Cakto domenin, kodomenin dhe bashkësinë e vlerave të këtij pasqyrimi X

bashkësinë e vlerave të funksionit f .

3.

Pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 20, 22} është përcaktuar me relacionin: "... është për 5 më i vogël se ..., d.m.th. f ( x x) = x + 5. cakto a te barazimi: f (1) f (1) = a; f f (5) (5) = a; f f (9) (9) = a; f (a) = 8; f (a) = 12.

186


A

Y

P

D

B

5 MËNYRA E DHËNËJES SË PASQYRIMEVE Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1. Le të jetë A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {6, 7, 8,

9, 10}. Pasqyrimi f : A ® B, është dhënë me rregullën:  x është për 5 më i vogël se y

Në çfarë mënyre deri më tani jepeshte pasqyrimi? A f B Pasqyrimi f : A ® Bështë dhënë -2 me grafin . 4 -1 2 1

Shënoe grafikun G f të pasqyrimit f . Shkruaj elementet e G f në tabelë

Sipas rregullës së dhënë formo tabelë të origjinaleve dhe pasqyrave gjatë këtij pasqyrimi.

1

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë.

Paraqite pasqyrimin me skemë koordinative.

F

Prandaj: f : 1 ® 1 + 5, d.m.th. f (1) = 1 + 5; f (1) = 6;

Vëre se pasqyra y është për 5 më e madhe se origjinali x.

f : 2 ® 2 + 5, d.m.th. f (2) = 2 + 5; f (2) = 7.

Ngjashëm Ngjas hëm vijo vijonn: f f (3) (3) = 8; f 8; f (4) (4) = 9; f 9; f (5) (5) = 10. F

i fitove çiftet e renditura prej origjinaleve dhe fotografive: (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10).

vendosi në tabelë ashtu që në një rresht të jenë F origjinalet, kurse te tjetri pasqyrat e tyre.

x

1

2

3

4

5

y = f f (( x) x)

6

7

8

9

10

Pasqyrimi mund të jetë i dhënë me tabelë te e cila janë vendosur origjinalet (d.m.th. elementet nga domeni) dhe pasqyrat e tyre (d.m.th. elementet përkatëse nga kodomeni). Dhënëja e atillë quhet mënyra tabelare e dhënëjes së pasqyrimit. 2.

B

Pasqyrimi f është dhënë me tabelë te i cili përfshihet domeni dhe kodomeni. x

1

3

4

0

-1

-3

- 10

y = f f (( x) x)

a

a

a

n

b

b

b

3.

Shkruaj a) grafikun; b) domenin; c) bashkësinë e vlerave të pasqyrimit.

Është dhënë pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3,. .., 20} me rregullën  x x është 4 herë më i vogël se y. Sipas rregullës, shkruaj formulë me të cilën fitohen pasqyrat gjatë gja të këtij pasqyrimi. Cakto bashkësinë e vlerave të pasqyrimit. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Vëreve se pasqyra y është 4 herë më e madhe se origjinali x. Pasqyrimi (funksioni)

187

Zbatoe atë që të caktojsh pasqyrat e elementeve të bashkësisë A.

F

f : 1 ® 4 × 1, d.m.th. f (1) = 4 × 1 = 4; f : 2 ® 4 × 2 d.m.th. f f (2) = 4 × 2 = 8; etj f : 5 ® 4 × 5, d.m.th. f (5) = 4 × 5 = 20.

Në përgjithësi përgjit hësi për pë r çfarëdo çfar ëdo element ele ment x Î A, dhe pasqyrën e tij y = f ( x x) vlen: f : x ® 4 × x, d.m.th. f ( x x) = 4 x. Shënimi f ( x x) = 4 x paraqet mënyrën e përgjithshme (formulë) sipas të cilës kryhet pasyrimi.

Vëre se Pasqyrimi mund të jepet me formulë sipas të cilës caktohen vlerat e pasqyrimit. Kjo quhet mënyra analitike e dhënëjes së pasqyrimit.

Pasqyrimi f : A ® B, ku A ={-5, -4, -3, 0, 2, 4, 5}, B ={-3, -2, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 5} është dhënë me formulë f ( x x) = x + 1. Shkruaje: a) grafikun G f ; b) bashkësin e vlerave f .

4.

B

5.

Pasqyrimi f : A ® B ku A = {1, 2, 3, 4, 5} dhe B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, është dhënë me grafik në skemën koordinative.

y

5 4 3

Cakto elementet elementet e bashkësisë bashkësisë së vlerave V Í B të f .

2

Cilat numra duhet të qëndrojnë në vend të pikëpyetjeve: a) f (?) = 3; b) f (?) = 0; c) f (4) = ?

1 0

Krahasoe Krah asoe zgji zgjidhje dhjen n tën tënde de me zgj zgjidhj idhjen en e dhë dhënë në

2 3 4 5

x

Pikat e shënuara në vizatim kanë koordinata: (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 5) dhe (5, 2). Elementet e bashkësisë së vlerave V janë koordinatat e dyta të pikave. Domethënë V = {3, 1, 0, 5, 2} f : 1 f : 2 f : 3

® ® ®

3, d.m.th. f (1) = 3; f : 4 ® 5, d.m.th. f (4) = 5; 1, d.m.th. f (2) = 1; f : 5 ® 2, d.m.th. f (5) = 2. 0, d.m.th. f (3) = 0;

Pasqyrimi mund të jepet grafikisht me skemën koordinative. Në rastin rast in e këtillë themi se ai është dhënë d hënë grafikisht.

y

5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0

6.

Pasqyrimi f : A ® B, A = { x | x Î Z , -3 £ x £ 5} dhe B = Z është dhënë në në vizatim me grafik, në skemën koordinative.

-1 -2 -3

Paraqite grafikun G f të pasqyrimit f tabelarisht. Formo tabelë të pasqyrimit. 188


x

1

2

3

4

5

Duhet të dish: t'i sqarojsh mënyrat mënyr at me të cilat mund të jepet një n jë pasqyrim.


Pasqyrimi f : A ® B, ku A = {1, 2, 3, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} është dhënë me rregullën f : x ® x - 2. Formo tabelën e atij pasqyrimi. Shkrauje grafikun tabelarisht. Pastaj, pikat nga grafiku paraqiti në rrafshin koordinativ koordinativ.. 4.

Detyra 1. Pasqyrimi f : A ® B është dhënë me tabelë.

Në të janë dhënë elementet prej A dhe B. a)

x

-2 -1 0

f ( x) 0

b)

1

2

1

2

3

3

4

5

-3 -2 -1 0

1

2

f ( x) -1 -1 -1 0

1

1

x

c)

Paraqite grafikisht funksionin f ( x x) të dhënë analitikisht f ( x x) = x - 1, ku domeni dhe kodomeni është bashkësia R (për këtë funksion themi se është funksion real). Vepro sipas kërkesave.

x f ( x)

0

0

1

5

2

10

3

15

Cakto domenin dhe bashkësia e vlerave të f . 2. Grafiku i pasqyrimit f është:

G f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}. Cakto sa është f (1) (1) dhe f (3). Për cilën vlerë të x është f ( x x) = 1?

Plotësoe tabelën x

- 2

0

0,5

3

f ( x x))

Çiftet e renditura të fituara te tabela shkruaj si koordinata të pikave, me radhë: A, B, C dhe D. Paraqiti pikat A, B, C dhe D në rrafshin koordinativ. Provo me vizor se pikat a shtrihen në të nëjjtën drejtëz. Zgjedh në mënyrë arbitrare disa vlera për x. Caktoi pasqyrat e tyre f ( x x) dhe çiftet e renditura të fituara paraqiti në vizatimin e njëjtë.

3. Pasqyrimi f : A ® B, ku

A = {-5, -2, -1, 0, 2}, kurse B = Q,e dhënë me rregullën I  [ tabelarisht.

o

[ 

. Shkruaje grafikun G f

Provo edhe ato pika a shtrihen në drejtëzën e njëjtë. Vëre se grafiku i funksionit f ( x x) = x - 1 është: G f = {( x, y) : x Î R dhe y = x - 1} dhe atë, të paraqitur grafikisht është drejtëz. Pasqyrimi (funksioni)

189

PROPORCIONI

6

RAPORTI

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Njehso herësin 28 : 7. Çka tregon vlera vl era (4) te ky herës?

1.

Njehso 27 : 3;

Shkruaj herës sipas fjalisë: "I pjesëtueshmi është 42 dhe ai është 3 herë më i madh se pjesëtuesi".

 

: 6;

9,6 : 1,2.

Për çdonjërin prej tre herësave thuhet se është raport ose përpjesë ndërmjet numrave të dhënë. Lexohet: "27 ndaj 3, "

 

ndaj 6,...

Në përg përgjithësi jithësi Nëse a dhe b janë dy numra ku b herës a : b (ose

D E

z

0, atëherë raporti ose përpjesa e numrit a ndaj numrit b quhet

); a quhet anëtari i parë , kurse b - anëtari i dytë i raportit. Nëse a : b = k , numri

k quhet vlera e raportit.

Cakto vlerën e raportit: a) 255 : 17; b) 17 : 255. Çka tregon vlera e tij?

2.

Krahasoe përgjigjen tënde me përgjigjen e dhënë. a) 255 : 17 = 15. Vlera15 tregon se numri 255 është 15 herë më i madh se numri 17. b) 17 : 255 =

 

. Vlera

 

tregon se numri 17 është

 

pjesë e numrit 255.

3.

Krahasoi numrat: a) 184 dhe 23;

4.

Vlera e një raporti është 5. Cakto anëtarin e parë, nëse anëtari i dytë është 8.

5.

Janë dhënë raportet 18:3 dhe

 



b) 16 dhe 48.

 

. Caktoi vlerat e tyre dhe krahasoi.

Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë. Raporti i parë 18:3 e ka vlerën 6. Edhe raporti i dytë e ka vleën 6, d.m.th.  

190



 

 







 







.


Raportet që kanë vlera të barabarta quhen raporte të barabarta. 6.

Provo a janë të barabarta këto raporte: a) 4 : 25 dhe

7.

Kujtohu Vlera reciproke e numrit 5 është numri i



është





 

, kurse

 



 

;

b) 1,4 : 3,5 dhe 0,2 : 0,5.

Raportet 3 : 5 dhe 5 : 3 dallolhen sipas vendeve të anëtarëve të tyre. Shkruaj një raport të dy numrave. Pastaj, formo raportin e numrave të njëjtë, por me renditje të anasjelltë nga raporti paraprak.

.



Cila është vlera reciproke e numrit 0,4? Cakto prodhimin e numrit

 

dhe vlerës së tij

Mbaj mend

reciproke.

8.

Raportet a : b dhe b : a (a

0, b ¹ 0) quhen raporte reciprokisht të anasjelltë, d.m.th. raporti a : b është i anasjelltë i raportit b : a, kurse raporti b : a është i anasjelltë i raportit a : b.

Shkruaje raportin e anasjelltë të raportit: a) 5 : 8, b) 1 : 4.

¹

Cakto prodhimin e çdonjërit prej raporteve të dhëna me raportin e anasjelltë. Krahasoe zgjidhjen tënde për a). Raporti i anasjelltë i 5 : 8 është raporti 8 : 5. (5 : 8) × (8 : 5) =

 

 



= 1.

Vlen në përgjithësi Prodhimi i një raporti a : b me raportin e anasjelltë b : a është 1, d.m.th. (a : b) × (b : a) = 1, (a ¹ 0, b

9.

Si do ta sqarojsh se raportet a : b dhe

 D



 E

¹

0) .

, a ¹ 0, b ¹ 0 janë reciprokisht të anasjelltë?

Ndihmë. Raportin e dytë shkruaje shkruaje si thyesë dyfishore dyfishore dhe thjeshtoe.

B

10.

a) Drejtkëndëshi në vizatim ka 6 cm . 2

Çka është matur te drejtkëndëshi dhe është fituar numri 6 cm ? 2

1 cm2

Proporcioni

191

b) Liriku është matur në peshoren e shtëpisë dhe ka konstatuar se ka 46 kg. Çka ka matur Liriku në peshore dhe ka fituar 46 kg? c) Janë dhënë segmentet

%$= 6 cm dhe

&'

= 2 cm.

Segmenti AB është është për 4 më i madh se segmenti segmenti CD, prandaj

%$-

&'

= 6 cm - 2 cm = 4 cm.

Çka krahason te të dy segmentet dhe e ke fituar numrin 4 cm?

Krahasoi përgjigjet tua me këto Numri 6 cm paraqet syprinë të drejtkëndëshit; Liriku në peshore ka matur masën e tij; te segmentet AB dhe CD i krahasuam gjatësitë e tyre. 2

Qesen e vëndova në peshore dhe masën e saj e krahasova me masën e peshave për matje. Peshorja ishte në baraspeshë kur vendosa 3 pesha matjeje prej nga 1 kg.

Si konstatove se qesja ka 3 kg sheqer?

Mbaj mend Sypria, masa, gjatësia, vëllimi, temperatura, koha, shpejtësia... paraqesin madhësi .

Karakteristika e madhësive është se ato mund të maten. Të matet një madhësi domethënë ajo të krahasohet me njësi matëse përkatëse dhe të caktohet sa herë njësia matëse përfshihet te ajo madhësi, d.m.th. të caktohet numri matës i madhësisë.

Sa herë segmenti

11.. 11

%$= 6 cm është më i gjatë se segmenti

&'

= 2 cm?

Këtë e ke të njohur Segmenti prej 6 cm është 3 herë më i gjatë se segmenti prej 2 cm, d.m.th. 6 cm : 2 cm = 3. Segmenti prej 2 cm është segmentit prej 6 cm, d.m.th. 2 cm : 6 cm = 192

 


.

 

6 cm

prej

2 cm

2 cm

2 cm

Vëre Krahasimin e gjatësive të segmenteve e kryem nëpërmjet krahasimit të numrave të tyre matës. Vlera e raportit të dy gjatësive është numër i paemërtuar. Krahasohen vetëm madhësitë e llojit të njëjtë.

Vëre dhe mbaj mend Raporti ose përpjesa e dy madhësive të një llojta quhet herësi i numrit matës të njërës madhësi dhe numrit

matës të madhësisë tjetër, të matura me njësi matëse të njëjtë. Vlera e raportit gjithmonë është numër i paemërtuar. 12.. 12

Cilët prej këtyre herësave janë raporte: a) 3 : 31; b) 12 m : 4 m ; 2

2

Pse herësi 6 m : 3 është raport? A mundet 8 min : 5 s të llolgaritet për raport?

13.. 13

c) 6 m : 3;

ç) 8 min : 5 s?

Vlera e herësit 6 m : 3 është 2 m, kurse ky është numër i emërtuar. Prandaj ky herës është raport. Herësi 8 min : 5 s mund të llogaritet për raport nëse anëtarët e tij paraqiten me njësi të njëjtë matëse.

Cakto vlerën e raporteve: a) 72 : 4; b) 4 kg : 60 kg; c) 5 km : 200 m; ç) 2 6 : 5 d6.

Kujto Kuj tohu hu ! Thyesën Thyesën

 

C

zgjeroe me 5.

 

thjeshtoe me 4.

14.. 14

Është dhënë raporti 12 : 8.

Cakto vlerën e tij. Anëtarët e raportit shumëzoi së pari me 2, kurse pastaj me 4, dhe njehso vlerën e çdonjërit nga raportet e fituara. Krahasoi vlerat e raporteve.

Çka vëren?

Vlerat e të tre raportevea janë të barabarta 1,5.

Proporcioni

193

Vlen në përgjithësi Vlera e k te raporti a : b nuk ndryshon nëse anëtarët e tij shumëzohen ose, pjesëtohen me numër të një njëjt jtëë m ¹ 0, (a × m) : (b (b × m) = k

(a : m) : (b ( b : m) = k , (m ¹ 0)

zgjerimi i raportit

thjeshtimii i raportit thjeshtim

Kjo është vetia themelore e raportit. 15.. 15

Anëtarët e raportit (ose numrat matës te ato) shkruaj me numra natyror. 4,8 : 0,12;

16.. 16

1,5 kg : 5 kg; kg;

 

: 2,5;

450 m : 2,5 km. km.

Këto raporte janë barazuar me vlerat e tyre. Caktoe të panjohurën te barazimi: a) x : 3 = 5;

b) a : 12 = 20; c) 6 : y = 2; ç) 25 : b = 12,5.

Nsiqe zgjidhjen zgji dhjen për a) dhe dh e c). a) x është i pjesëtueshmi. I pjesëtueshmi është i barabartë me prodhimin e pjesëtuesit dhe herësit, d.m.th. x = 3 × 5; x = 15. c) y është pjesëtues; y = 6:2; y = 3.

Duhet të dish:

Kontr Ko ntroll olloh ohu u

të sqarojsh çka është raport, çka janë anëtarët dhe çka është vlera e raportit; ta shprehish dhe dh e shfrytëzojsh shfrytëzoj sh vetinë themelore themelo re të raportit; cilët raporte janë të barabarta, kurse cilët janë reciprokisht të anasjelltë;

Cakto vlerën e raportit 27 : 36. Provo raportet 6 : 5 dhe 90 : 75 a janë të barabartë. Raportin 3 : 10 zgjeroe me 4. Pse 15 m : 5 m nuk është raport? 3

2

Cakto x nëse a) x : 2=20; b) 8 : x = 32.

të caktojsh caktoj sh raportin e dy d y madhësive.

Detyra 1.

194

Gjyshi ka 63 vjet, kurse mbesa ka 9 vjet.

2.

A janë të barabartë raportet: 

Për sa vjet gjyshi është më i vjetër vjetë r se mbesa?

a)

Sa herë gjyshi është më i vjetër se mbesa?

b) 








3



 

dhe 27 m :10 m ?



 

dhe 76 : 55?

3

3.

a) 96 : 24; b) 3,4 : 3 4.

 

?

a) 4 : 5;

b)



  ; c) 2,7 m :12 cm.



Cilët prej herësave paraqesin raport: a) 4 m : 24;

b) 3 kg : 8 kg; ç)

c) 5 km : 5 cm; 5.

6. Shkruaje raportin ashtu që anëtari i parë të jetë 1:

Cili raport është i anasjelltë:

 

7. Njehso anëtarin e panjohur x:

a)

kg : 8 cm?

Cakto vlerën e raportit: a) 324 : 4; c) 90 min :

[ 

 

 



;

b)

c) x : 0,1 = 0,01;ç) 2,7 : x = b) 4,74 : 3;

 

8.

h;

ç) 6 km : 600 m.

d) 1 dm : 1 m;

 [



 





;

.

Në çfarë raporti rap orti janë: a) syprinat;

e) 1 km : 1 m;



b) vëllimet;

e dy kubeve me tehe 4 m, përkatësisht 6 m?

f) 1 m : 1 ar. 2

7

PROPORCIONI

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

1.

Cakto vlerën e raporteve 32 : 8 dhe 20 : 5. Si janë ndërmjet veti ato dy raporte?

Raporti 24 : 8 është i barabartë me raportin 45 : 15. Prandaj mund ta shkruajsh (saktë) barazimin numerik 24 : 8 = 45 : 15, d.m.th.



 





.

Cilin barazim të saktë ndërmjet tyre mund ta shkruajsh? Shkruaj dy raporte të barabarta dhe formo (saktë) barazim ndërmjet tyre.

Mbaj mend Barazia e dy raporteve quhet proporcion. Raportet a : b dhe c : d që kanë vlera të barabarta, d.m.th. a : b = k dhe c : d = k e formojnë proprcionin a : b = c : d , t.e.

D E

F 

G

.

Lexohet: "a ndaj b qëndron njëjtë si c ndaj d ". ". a, b, c dhe d janë anëtarët e proporcionit . a është anëtari i parë, b është i dytë, c është i tretë, d është i katërti a dhe d quhen anëtar të jashtëm, kurse b dhe d quhen anëtar të brendshëm.

anëtar i parë

anëtar i dytë

anëtar i tretë

anëtar i katërt

anëtarët e brendshëm

anëtarët e jashtëm

Proporcioni

195

Çdo anëtar i proporcionit quhet proporcionalja e katërtë gjeometrike për tre anëtarët tjerë. Vlera e k të raporteve quhet koeficienti i proporcionalitetit. Te proporcioni 17 : 68 = 21 : 84 në vend të çdonjërit prej raporteve shkruaje raportin e tij të anasjelltë dhe bindu se barazimi i fituar është proporcion.

2.

Vlen në përgjithësi Nëse a, b, c, d ¹ 0 dhe a : b = c : d është proporcion, atëherë edhe barazimi b : a = d : c është proporcion. Vëreje sqarimin. F

Prej a : b = k , vijon se b : a =

 N



.

F

Prej c : d = k , vijon se b : a =

F

Raportet b : a dhe d : c janë të barabartë, pra b : a = d : c është proporcion.

3.

Provo a fitohet përsëri proporcion nëse te proporcioni 15 : 9 = 90 : 54 ndrrohet vendet: 15 dhe 54;

N

.

15 dhe 90;

9 dhe 90;

E pa obligueshme

Vërej

Me zhvendosjen e anëtarëve të një proporcioni a : b = c : d fitohen edhe 7 proporcione.

Kujt Ku jtoh ohu u! Vëre: prej



a:b=c c:d=a d :: b = c d a:c=b

B



 



9 dhe 54.

4.

: : : :

d b a d

c : a = d : b d :: c = b : a d b : a = d d :: c b:d=a:c

Shkruaj raportet në proporcon 4 : 5 = 28 : 35 në formë të thyesës.

vijon 3 × 20 = 5 × 12.

Cakto x te barazimi



[







ashtu që do të

Kryej shumëzim të kryqëzuar dhe krahasoi prodhimet e fituara.

kryejsh "shumëzimi i kryqëzuar". Çka vëren? x × 27 = 3 × 8, d.m.th. x =

196

 

.


Vëreva: prej

 

 



vijon 4 × 35 = 5 × 28 = 140, d.m.th. prodhimi nga anëtarët e jashtëm të

proporcionit është i barabartë me prodhimin e anëtarëve të brendshme.

Vlen në përgjithësi Te proporcioni proporc ioni a : b = c : d prodhimi i anëtarëve të jashtëm është i barabartë me prodhimin e anëtarëve të brendshëm. Kjo quhet vetia kryesore e proporcionit.

a a

Ndiqe sqarimin. Raportet e barabarta kanë vlera të barabarta: F a : b = k ; c : d = k , d.m.th. a = kb; c = kd .

:

b

=

c

d

× ×

× d = b × c

F

Prodhimi i anëtarëve të jashtëm a dhe d është: a × d = (k × b) × d = k × (b × d ). ). (Pse?)

F

Prodhimi i anëtarëve të brendshëm b dhe c është: b × c = b ×(k × d ) = k × (b × d ). ). (Pse?) Domethënë a × d = k × (b × d) = b × c.

5.

:

Cakto anëtarin e panjohur x te proporcioni: x : 12 = 9 : 4;

15 : x = 3 : 5;

 



 



[



 

.

Që ta caktojsh x te çdonjëri prej tre proporcioneve shfrytëzoe vetinë themelore themelore të proporcionit.

6.

Cakto proporcionalen e katërtë gjeometrike për anëtarët e proporcionit: a) 2 : 3 = 5 : x; b) 2 : 7 = x : 77.

7.

Për numrat numrat 3, 4, 9 dhe 12 është e saktë 3 × 12 = 4 × 9. Formo proporcion anëtarët e të cilit do të jenë 3, 4, 9 dhe 12. Një zgjidhje 3 : 4 = 9 : 12. Ka 8 zgjidhje. Cakto edhe ndonjë.

Për shembull: 3 : 9 = 4 : 12; 12 : 4 = 9 : 3; 12 : 9 = 4 : 3 etj.

Vlen në përgjithësi Nëse për katër numra a, b, c dhe d , që janë të ndryshëm prej zeros, prodhimi i dy prej atyre numrave është i barabartë me prodhimin e dy numrave tjerë, atëherë ato katër numra janë anëtar të proporcionit.

Proporcioni

197

7.

Formo proporcion (nëse është i mundshëm) prej numrave: a) 3; 16; 6; 8;

b) 3; 0,4; 0,5; 2,4;

c) 2; 3; 4; 5.

Duhet të dish:


të sqarojsh çka është proporcioni dhe të emërtojsh emërtojsh anëtarët e tij; ta shprehish vetinë themelore të proporcionit; proporcion it;

Shprehe vetinë themelore të proporcionit. A është e saktë se 2 :

të caktojsh anëtar të panjohur te proporcioni. proporcion i.



=3:



 

?

Cakto x te proporcioni 1 : 5 = x : 4. Nu mr i 3 a ës h t ë p ro po rc i on a l j a e k at ë rt ë gjeometrike për numrat 5, 12 dhe 20?

Detyra 1.

Lexoe proporcionin dhe emërtoi anëtarët e jashtëm jasht ëm dhe të brendshëm: bre ndshëm: a) 0,2 : 3 = 1 : 15;

2.

b) a : x = b : y.

7.

Janë dhënë proporcionet: a) 14 : 56 = 23 : 92; b)

Formo proporcion prej numrave në barazimin: a) 6 × 8 = 16 × 3;

Formo proporcion për të cilin 5 është koeficienti i proporcionalitetit.

3.

6.

b)





  

 









.



 



 



 



.

A mundet të formohet proporcion prej numrave: a) 3, 4, 9 dhe 12;





c) 3, 5, 8 dhe 13;

b) 1, 5, 17 dhe 85; ç)

 



 



 

dhe

 

?

Shkëmbeni vendet e anëtarëve të çdo raporti. Provo a fitove përsëri proporcion. 4.

Te proporcioni vendet: a) 4 dhe







 





 

; b) 4 dhe 8; c)

8.

shkëmbej

tretë është   

198

Cakto x te proporcioni: a) x : 63 = 8 : 21;

ç) 2 : x = 5 : 30;

b) 304 : 456 = x : 768;

d) 3,03 : x = 5,05 : 6;

c) 2 x : 3,7 = 8 : 7,4;

e) 3,4 : 17 = 0,1 x : 4.


 

, cakto anëtarin e katërtë.

dhe 8.

A fitohet gjithmonë proporcion? 5.

Anëtari i parë te një proporcion është 7,5 herë më i madh prej anëtarit të dytë. Nëse anëtari i

Num um r i i a n ë t a r ë v e t ë r i n j ë t e se k si o n i 9. N "Matematikan të rinjë" qëndron si 5 : 2. Nëse numri i natyralistëve të rinjë është 24, sa është numri i matematikanëve të rinjë?

8

MESI GJEOMETRIK. PROPORCIONI I VAZHDUAR

Kujt Ku jtoh ohu u!

A

Nj eh so a n ët a r i n e p a nj oh u r x t e proporcioni:

1.

Me ndihmën e vetisë themelore të proporcionit, provo a është proporcion: a) 1 : 3 = 3 : 9;

a) 3 : x = x : 27; b) x : 4 = 36 : x

b) 5 : 2 = 12,5 : 5.

ashtu që anëtarët të jenë pozitiv.

Ndiqe zgjidhjen zgjidhj en nën a). Zbatoe vetinë themelore të proporcionit: 3 : x = x : 27; 3 × 27 = x × x;

x2

F F F

Njehso vlerën e x: x = +

 , x

=-



= 81.

; x = 9, x = -9.

Cakto zgjidhjen sipas kushtit: x = 9. Te proporcioni i parë anëtarët anët arët e brendshëm janë të barabartë, kurse te e dyta - anëtarët e jashtëm janë të barabartë.

Çka vëren te anëtarët e të dy proporcioneve?

Mbaj mend Nëse te t e një n jë proporcion anëtarët e brendshëm janë të barabartë (a : b = b : c), anëtari që përsëriten quhet mesi gjeometrik (ose proporcionalja e mesme gjeometrike) për dy anëtarët tjerë.

a b

:

b

=

b

:

c

F

b

=

a

DF

është mesi gjeometrik për a dhe c.

a

:

b

=

c

:

a

F

a

=

EF

është mesi gjeometrik për b dhe c.

Cakto mesin gjeometrik të numrave:

2.

4 dhe 16;

 

dhe 8;

4 dhe 9;

1 dhe 49.

Cili numër pozitiv është mesi gjeometrik për numrat 4 dhe 16? B

3.

Krahasoi vlerat e raporteve:

 

: 5; 8 :

Ai është numri sisht numri 8.  

   ,

përkatë-

dhe 3 : 20.

Krahaso zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë  F F



: 5 = 0,15;

F

8:

 

= 24 : 160 = 0,15;

F

3 : 20 = 0,15.

Domethënë, vlerat e të tre raporteve janë të barabarta. Proporcioni

199



Mund të shkruajsh:



:5=8:

 

= 3 : 20.

Vlen në përgjithësi Nëse tre ose më shumë raporte, për shembull shembul l

a : a1, b : b1

të shkruhen në formë të proporcionit të vazhduar

a

Shkurtimisht shkruhet:

:

b

c

:

=

a1

anëtarët e parë

:

a

b1

dhee dh

:a =

:

1

c : c1, b

janë të barabarta, atëherë ato mund

: b = c : c , d.m.th. 1

1

D D

=

E E

=

F F

.

c1

anëtarët e dytë

Shkruaje shkurtimisht proporcionin e vazhduar:

4.



2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21;



: 5 = 21,25 : 100 =

Është dhënë proporcioni i vazhduar 3 : 5 =

5.



:



 

 

: 4.

= 2,4 : 4.

Formo raport anëtari i parë i të cilit është shuma e anëtarëve të parë të proporcionit, kurse anëtari i dytë - shuma e anëtarëve të dytë. Krahasoe vlerën e këtij raporti me vlerën e cilitdo raport të proporcionit të vazhduar. Çka vëren? Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë: 



Të gjitha raportet janë të barabarta. Vlera e tyre është 3 : 5 = 0,6.

F

Vlera e raportit të fituar është e barabrtë me vlerën e cilitdo raport nga proporcioni i vazhduar.















F









F



   













 

Vlen në përgjithësi Te proporcioni i vazhduar shuma e anëtarëve të parë të proporcionit ndaj shumës të të gjithë anëtarëve të dytë është e barabartë me cilindo raport nga proporcioni i vazhduar. Për shembull, nëse

a

: a = b : b = c : c = d : d = k , atëherë 1

1

1

1

(a + b + c + d ) : (a + b + c + d ) = k , d.m.th. 1

1

1

1

Kjo quhet vetia themelore e proporcionit të vazhduar. 200


D D





EF

E



F



G





G

N .

Te një trekëndësh këndet e brendshme a, b dhe g qëndrojnë si:

6.

a) 2 : 3 : 4;

b) 1 : 5 : 12.

Caktoi këndet a, b dh dhee g. Puno sipas udhëzimit dhe krahasoe zgjidhjen. Shkruaje shumën e këndeve te trekëndëshi: a + b + g = 180 . . . . (1) F Shkruaje proporcionin e vazhduar (nëpërmjet raporteve të barabarta) a :2=b :2=b:3= :3=gg:4. F Le të jetë k vlera e çdo raporti. Shprehi këndet a, b dhe g me ndihmën e k . F a : 2 = k , d.m.th. a = 2k ; b : 3 = k , d.m.th. b = 3k ; g : 4 = k , d.m.th. g = 4 k . F Zëvëndësoi shprehjet për a, b dhe g te barazimi (1) dhe njehso k . O

F F

2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. Cakto këndet a , b d h e g . a =( 2 × 2 0) ; a = 4 0 ; b = (3 × 2 0) , b = 60 ; g = 80 . o

o

o

o

o

Duhet të dish të njehsojsh njehso jsh mesin gjeometrik gj eometrik të t ë dy numrave numrav e ose të dy madhësive; madh ësive; të sqarojsh çka është proporcioni i vazhduar; ta shprehish dhe zbatojsh vetinë themelore themelo re të proporcionit të vazhduar;

Kontro Kon trollo llo!

Si quhet anëtari a te proporcioni 8 : a = a : 32? A është 6 mesi gjeometrik i numrave 1 dhe 36? Provo vallë shënimet: 3 : 9 = 5 : 15 = 28 : 84 dhe 3 : 5 : 28 = 9 : 15 15 : 84 paraq paraqesin esin proporr p roporrcion cion të njëjtë të vazhduar.

Është dhënë proporcioni i vazhduar 3 : 2 = 15 : 10 = 105 : 70 ku çdo raport e ka vlerën 1,5. Pa njehsuar, cakto vlerën e raportit (3 + 15 + 105) : (2 + 10 + 70).

4. Numrin 2 160 paraqite si shumë të 3 numrave të

Detyra 1.

cilët do të qëndrojnë: 1 : 5 : 12;

Cakto x te proporcioni: a) x : 8 = 50 : x;

b) x : 15 = 15 :

c) 6 : x = x : 24.

 

5.

.

2.

Formo proporcion anëtarët e të cilit do të jenë 8, 12, 18 dhe 12.

3.

Caktoi numrat a, b dhe c ashtu që a

+ b + c = 39 dhe

a

1 : 10 : 25.

Për mbledhjen e prodhimeve verore në një fermë kanë punuar organizatat organizatat A, B dhe C. Ato kanë realizuar përkatësisht 16 000, 20 000 dhe 30 000 orë pune. Për punën e kryer ferma u ka paguar gjikthësej 330 000 denarë, proporcionalisht sipas orëve të punës së realizuar. Nga sa denarë ka fituar çdo organizatë?

: b : c = 3 : 4 : 6. Proporcioni

201

MADHËSITË PROPORCIONALE 9

MADHËSITË PROPORCIONALE TË DREJTA A

Kujt Ku jtoh ohu u!

Si do të ndryshon perimetri P i katrorit nëse brinja e tij a: a) zmadhohet; b) zvogëlohet?

1.

Është dhënë raporti 21 : 7. Shkruaj tre raporte që janë të narabarta me atë. Vlera e raporit a : b është 5. Nëse anëtari b është 8, sa është anëtari a? Nëse b zvogëlohet 4 herë, si do të ndryshon a?

Vëreje atë ndryshim në këtë tabelë: a (cm)

1

2

2,5

3

4

5

P (cm)

4

8

10

12

16

20

Vëren se ka dy madhësi të ndryshueshme (ose vetëm me: ndryshore): brinja e katrorit dhe perimetri i katrorit . Vëreje tabelën sa herë do të zmadhohet perimetri, nëse brinja zmadhohet dy herë paraqesin proporcion të njëjtë të vazhduar. (për shembull: prej 2 në 4 ose prej 2,5 dhe 5). Një automobil lëviz drejtvizorisht dhe kalon 2 km për 1 min. Sa kilometra do të jetë rruga e kaluar nëse kohëzgjatja e lëvizjes sëhtë 2 min; 4 min; 5 min?

2.

Nëse zmadhohet zmadhohe t kohëzgjatja kohëzgja tja e lëvizjes, lëviz jes, çka ndodh ndo dh me rrugën e kaluar? kalu ar?

Vëren se F F F

Edhe kjo detyrë ka dy ndryshore: kohëzgjatja e lëvizjes së automobilit (ta shënojmë me x) dhe gjatësia e rrugës së kaluar (ta shënojmë me y). Ndryshoret x dhe y janë ndërmjet veti të varura, pasi ndryshimi i vlerës së njërës ndikon në vlerën e ndryshores tjetër. Varësia e ndryshoreve x dhe y shihet më mirë nga kjo tabelë:

202

x (min)

1

2

3

y (km)

2

4

6

3,5


5

6

10

12

6,5

8 16

10 1 0 , 5

12

15 30

Vlerat e ndryshores x janë dhënë çfarëdo prej 1 deri 15.Vlerat përkatëse të y janë fituar duke njehsuar. Vërehet se çdo vlerë e y është dy herë më e madhe se vlera përkatëse për x.

Çka vëren te vlerat e ndryshores x, kurse çka te vlerat e y?

Mund të shkruajsh se y : x = 2 ose y = 2 x. Si ka ndryshuar gjatësia e rrugës kur kohëzgjatja e lëvizjes së automibilit zmadhohet 2 herë ( prej 3 min. deri në 6 min.) ose 3 herë (prej 5 min. në 15 min.)?

Gjatësia e rrugës është zmadhuar aq herë sa është zmadhuar kohëzgjatja e lëvizjes: dy herë (prej 6 km. në 12 km.) ose tre herë (prej 10 km. në 30 km.).

Thuhet se: zmadhimit (përkatësisht zvogëlimit) zvogël imit) të vlerës së njërës ndryshore i përgjigjet zma zmadhim dhimii pro propor porciona cional l (përkatësisht zmadhimi proporcional proporcional ) i vlerës së ndryshores tjetër. Varësia e atillë ndërmjet dy madhësive quhet proporcionalja e drejtë, kurse ndryshoret x dhe y thuhet se është madhësia e drejtë proporcionale.

Në përgji përgjithësi thësi Për madhësinë e ndryshueshme y thuhet se është proporcionale e madhësisë x nëse për çdo çift të vlerave përkatëse të y dhe x, herësi

\ [

\ [ 

është e barabartë me një numër të njëjtë k k ((k ¹ 0).

N d.m.th. y ,

=

k × x

Numrii k quhet koeficienti i proporcionalitetit, kurse barazimi y = kx funksion (ose formulë) i Numr proporcionalitetit. Barazimi y = kx mund të shkruhet edhe në formën [ koeficient të proporcionalitetit 3.



N

 

N

\ . Në këtë rast x është në proporcion me y, me

.

Çmimi i 1 kg mollë është 20 denarë. Sa para janë të nevojshme për 4,5 kg mollë Sa kilogramë mollë mund të blehen për 330 denarë?

Ndiqe zgjidhjen zgji dhjen dhe vëreje mënyrën: F

Shënoe me x masën e mollëve në kg, kurse me y shumën përkatëse denarë. Madhësitë proporcionale

203

F



\

Për shkak



[



, mund të shkruajsh y = 20 x. Për 4,5 kg mollë janë të nevojshme

y = 20 × 4,5 = 90; 90 denarë. F

Pasi [

 

N

\ , për y = 330 denarë mund të blehen [



 





  



   x = 16,5 kg mollë.

Që të lyhet 15 m e banesës janë të nevojshme 2,4 l ngjyrë. Sa ngjyrë është e nevojshme që të lyhen 70 m?

4.

2

2


). x - syprina (në m2), y - herësi ngjyra (në l ).

F F

 

\ [







 është koeficienti i proporcionalitetit.

Për x = 70 m fitohet y = 0,16 × 70 = 11,2; d.m.th. e nevojshme është 11,2 11,2 l ngjyrë.

B

2

Me formulën \

5.

 



[ është dhënë proporcioni i drejtë ndërmjet madhësive x dh dhee y.

Përshkruaje tabelën e dhënë dhe shkruaj në të vlerat përkatëse për y. x

-2

-1

y

-1 -0,5

0

1

2

3

4

y

2

3

Paraqiti çiftet ( x x, y): (-2, -1), (-1, -0,5), etj. (gjithësej 7) si pika në rrafshin koordinativ. Vizatimi yt duhet të jetë si vizatimi i dhënë.

2 1 -2

x

-1 0

Me ndihmën e vizorit bindu se pikat e fituara në vizatim vizati m shtrihen në drejtëzën e njëjtë.

1

2

3

4

-1

Si vlera për x merri numrat 0,5; -1; 2; 3; 4.

y

Njehsoi përkatësisht vlerat e y. Shkruaj çiftet e renditura të fituara të numrave racional dhe paraqiti në rrafshin koordinativ. koordi nativ.

3 2

Bindu se ato janë kolineare me pikat paraprake.

1 -2

Edhe më shumë, çdonjëra nga pikat me abshisë x dhe ordinatë y = 0,5 x, për x Î R shtrihet në drejtëzën e njëjtë nga vizatimi. 204


x

-1 -1,2

0 0,5 1 -1

2

3

3,4

4

Mbaj mend Grafiku i proporcionit së drejtë që është dhënë me formulën y = 0,5 x është drejtëz. 6.

Vizato grafikun e proporcionit të drejtë të dhënë me formulën y = 2 x.

Duhet të dish dish::


të sqa sqaroj rojsh sh kur dy mad madhës hësii the themi mi se ja janë në në proporcion të drejtë; ta njohish formulën për proporcioni proporcioninn e drejtë;

Është dhënë proporcioni i drejtë i dy madhësive x dhe y me formulën y = 4 x. Formo tabelë. Pastaj vizato grafikun e proporcionit të drejtë dr ejtë për p ër

ta vizatojsh grafikun e proporcionit të drejtë.

[

    ½  ®        ¾ .     ¿ ¯

Detyra 1.

Cilët prej këtyre madhësive janë në proporcion të drejtë?

4.

Paraqite me grafik proporcionin e drejtë a) y : x = 1 : 2; b) y = 3 x.

a) Brinja e katrorit me perimetrin e katrorit. b) Rrezja e rrethit me syprinën e rrethit. c) Rruga e kaluar dhe shpejtësia gjatë lëvizjes drejtvizore ç) Numri i punëtorëve dhe koha e nevojshme për kryerjen e punës. d) Tehu Tehu i kubit dhe syprina e kubit. 2.

3.

Madhësitë x dhe y janë proporcionale me koeficientin e proporcionalitetit k = 3. 3. a) Shkruaje formulën e proporcionit të drejtë. b) Cakto vlerat përkatëse për y nëse x Î {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

Shkruaje formulën për perimetrin e: a) katrorit me brinjë a; b) vijës rrethore me rreze r; c) trekëndëshit barabrinjës me brinjë y.

Për çdo formulë cakto koeficientin e proporcionalitetit cionalitet it dhe sqaro a është kjo formula e proporcionit të drejtë.

5. Në vizati vizatim m është dhënë grafiku i drejtëzës së

proporcionit të drejtë të madhësive x dhe y. y 2 1 -2

-1 0

1

2

3

x

4

-1

Formo tabelë, sipas vizatimit. Cakto koeficientin e proporcionalitetit. Shkruaje formulën e proporcioni proporcionitt të drejtë.

Madhësitë proporcionale

205

10 MADHËSITË PROPORCIONALE TË ZHDREJTA A

Kujt Ku jtoh ohu u!

1.

Drejtkëndëshi me brinjë a dhe b e ka syprinën 36 cm , d.m.th. a × b = 36. Te tabela janë dhënë gjatësitë e brinjëve të disa drejtkëndëshave me syprinë 36 cm . 2

Le të jenë x dhe y madhësi proporcionale të

2

drejta, të lidhura me formulën

\ 

[

.

Për x = 4, Sa është y?

a (cm)

1

2

3

4

5

6

Nëse vlera e x zmadhohet 5 herë (për shembull: prej 4 në 20) si do të ndryshon vlera e y?

b (cm)

36

18

12

9

7,2

6

Si ndryshon gjatësia e brinjës b kur brinja a zmadhohet: a) 2 herë (për shembull: prej 1 në 2; prej 2 në 4); b) 3 herë (për shembull: prej 1 në 3; prej 2 në 6)? Vëreva se sa herë zmadhohet brinja a, aq herë brinja b zvogëlohet.

Nëse 24 punëtorë punët orë me aftësi aft ësi pune të t ë barabartë një punë mund ta kryejnë për 16 ditë, për sa ditë d itë punën e njëjtë do ta kryejnë: 2 herë më pak (d.m.th. 12) punëtorë; 4 herë më pak (d.m.th. 6) punëtorë; 2 herë më shumë (d.m.th. 48) punëtorë?

2.


2 herë më pak (d.m.th. 12) punëtorë do ta kryejnë punën për 2 herë më shumë (d.m.th. 32 )ditë;

F

4 herë më pak (d.m.th. 6) punëtorë do ta kryejnë punën për 4 herë më shumë (d.m.th. 64) ditë;

F

2 herë më shumë, (d.mth. 48) punëtorë do ta kryejnë punën për 2 herë më pak (d.m.th. 8) ditë.

F

Vëre se: 24

×

16 = 12

×

32 = 6

×

64 = 48

×

8 = 384.

Në përg përgjithësi jithësi Nëse numri i punëtorëve pun ëtorëve është x, kurse numri i ditëve është y, atëherë x × y = k ose \

N 

[ (k - konstante), d.m.th. prodhimi i vlerave vl erave të ndryshores x dhe vlerës përkatëse të ndryshores y është konstant.

Për dy madhësi të këtilla thuhet se janë në proporcion të zhdrejtë.

206


Prej shembujve vëreve Me zmadhimin e vlerës së njërës ndryshore m herë, vlera përkatëse e ndryshores tjetër zvogëlohet zvogëlohet m m herë.

Thuhet: zmadhimit të vlerës së njërës ndryshore i përgjigjet zvogëlimi proorcional proorcional i vlerës së ndryshores tjetër. Varësia e dy madhësive të atilla quhet propor proporcion cion i zhdrejtë.

Mbaj mend Për x dhe y thuhet se janë madhësi proporcionale të zhdrejta, me koeficient të proporcionit të zhdrejtë k (k > 0), nëse x × y = k . Barazimi \

N 

quhet funksion (ose formula) e proporcionit të zhdrejtë.

[

Për çdo çift të vlerave përkatëse për x dhe y cakto prodhimin y × x dhe konstato se madhësitë x dhe y janë në proporcion të zhdrejtë.

3.

a)

B

4.

x

3

4

5

6

y

8

6

4,8

4

b)

x

10

20

30

40

60

y

60

70

40

30

20

Proporcioni i zhdrejtë ndërmjet madhësive x dhe y është dhënë me formulën \

Formo tabelë duke marrë x Î {-12, -8, -6, -4, -3, -2, -1

 

, -1, 1, 1

 

 

[

.

, 2, 3, 4, 6, 8, 12}. 12}.

Çiftet e radhitura të fituara paraqiti si pika në rrafshin koordinativ. koordin ativ. Krahasoe zgjidhjen tënde me zgjidhjen e dhënë -12

x

\

 

[

-8

-1 - 

 

-6

-4

-3

-2

-2

-3

-4

-6

-

 

-8

-1

1

-12 12



 

8

2

3

4

6

6

4

3

2

8 


 

12 1

207

Vëre F

Vlerave pozitive të x u përgjigjen vlera pozitive për y.

F

Vlerave "të mëdhaja të x u përgjigjen vlera "të vogla të y dhe anasjelltas.

Shembull: për x = 12: y = 1; për x = 120: y = 0,1; kurse për x = 12 000: y = 0,001. për x = 2: y = 6; për x = 0,2: y = 60; kurse për x = 0,002: y = 6000. F

Vlerave negative të x u përgjigjen përgjigjen vlera negative për y.

5.

Është dhënë funksioni i proporcionit të zhdrejtë \ Për x Î {-6, -4, -3, -2, -1

 

, -1, 1, 1

 

 

[

.

, 2, 3, 4, 6} formo tabelë të vlerave përkatëse.

Çiftet e fituara të renditura ( x x, y) nga tabela, paraqiti si pika te sistemi kënddrejtë koordinativ. koordinat iv.

Vizato grafikun e funksionit \

 

[

.

Pika A(2 400; 0,0025) a i takon atij grafiku? Krahasoe grafikun tënd me grafikun e dhënë në vizatim.

6.

Cili numër duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjes në tabelë, nëse dihet se x dhe y janë madhësi proporcionale të zhdrejta? a)

x

1

2

3

4

y

?

?

4

?

b)

x

-3

-2

2

y

?

?

3

Shkruaje formulën e proporcionit të zhdrejtë te rastet a), b), c).

208


c)

x

1

5

50

y

?

20

?


Duhet të dish dish::

Prej tabelës veço dy çifte të vlerave për madhësitë proporcionale të zhdrejta X dhe Y dhe formo proporcion.

të sqarojsh kur dy madhësi janë në proporcion prop orcion të zhdrejtë; të shkruajsh formulë për proporcionin e zhdrejtë;

X

të ko konst nstat atoj ojsh sh se pr propo oporc rcio ioni ni i zh zhdre drejt jtëë i dy madhësive sipas vlerave të dhëna (tabela dhe të ngjashme);

2

3



Y

1



4

5

6













Vizato grafikun e funksionit të proporcionit të

të vizatohet grafiku i proporcionit të zhdrejtë zhdrejtë të dy madhësive.

zhdrejtë \

 

marrë për x

[ Î

, pasi që të formojsh tabelën, duke

{-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}.

Detyra 1.

Konstato cilët prej këtyre madhësive janë në proporcion të drejtë, kurse cilët në proporcion të të zhdrejtë: a) prerja tërthore e gypit prej të cilit mbushet rezervuari dhe koha për të cilën mbushet; b) rruga e kaluar e automobilit dhe benzina e shpenzuar; c) masa e trupit dhe nxitimi që e fiton gjatë veprimit të forcës me fuqi konstante; ç) syprina e katrorit dhe gjatësisë së brinjës së

3.

proporcioni i zhdrejtë është dhënë me formulën \

 

[

.

a) Caktoi vlerat për madhësinë y përkatësisht vlerat për x

Î

{ -5, -4, -2, 2, 4, 5, } .

b) cakto vlerat për x përkatësisht për vlerat e y

Î

{ -2, -1, -

 



,



, 1, 4} 4} .

tij.

2.

Madhësitë x dhe y janë në proporcion të zhdrejtë me koeficientin e proporcionalitetit k = -4. Cakto vlerat për y nëse x Î {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 6}.

4.

Paraqite grafikisht proporcionin e zhdrejtë: a)

 \



[

; b)

 \



; c)

 \






[

.

209

11 RREGULLA E THJESHTË E TRESHIT A

Kujtohu! Mironi është ngjitur për një kodre. Kur pjerrësia ka qenë më e madhe, Mironi është ngjitur më ngadal. Në vendet ku kodrat kanë qenë më të lehta, Mironi e ka shpejtuar ngjitjen.

1.

Mimoza dhe Rezarta e kanë zgjidhur në mënyrë të pavarur, çdonjëra në mënyrën e vet.

Si janë ndërmjet veti madhësitë: shpejtësia e ngjitjes së Mironit dhe pjerrësia e kodrës? Mironi ka udhëtuar me automobil. Për 2 orë ai ka arritur në vendin ku ka udhëtuar. Nëse me automobilin lëviste më shpejtë, ai do të arrinte për më pak se 2 orë.

Një automobil që lëviz drejtvizor drejtvizorisht, isht, për 3 orë ka kaluar 216 km.Sa kilometra do të kalon i njëjti automobil për 7 orë?

Mimoza

Për një orë automobili ka kaluar 216 : 3 = 72, d.m.th. 72 km. Për 7 orë ai ka kaluar 7 × 72 = 504, d.m.th. 504 km. Rezarta

Si janë ndërmjet veti madhësitë: shpejtësia e

Nëse x është rruga që duhet ta kalon me auttomobil, atëherë për 3 orë

automobilit të Mironit dhe kohëzgjatja e udhëtimit deri te vendi i caktuar?

automobili do të kalon d.m.th. 216 =

Vëre

 

x, x =

×

    



 

e rrugës x,

= 504, d.m.th.

504 km.

Madhësitë rruga dhe koha te detyra janë në proporcion të drejtë. Nëse x është gjatësia e rrugës së kërkuar, kërku ar, atëherë raporti 3 orë : 7 orë është i barabartë me 216 km : x km, d.m.th. 3 : 7 = 216 : x, 3 x = 7 × 216, x = 504, d.m.th. 504 km. Më e qartë shkruhet në këtë mënyrë:

F

orëë 3 or

216 km

orëë 7 or

x km

Në rreshtin e parë shkruhen shkruh en anëtarët e njohur 3 orë .... 216 km.

F

Te rreshti i dytë shkruhet anëtari tjetër t jetër i njohur dhe i panjohuri, panjo huri, duke pasur llogari gjatë të shkruarit njëri nën tjetrin numrat e emërtuar të jenë të llojit të njëjtë.

F

Rreshti i të njohurave quhet qëndrimi kushtor, kurse rreshti që e përmban anëtarin e panjohur qëndrimi pyetësor.

F

Vëndo shigjetë prej anëtarit të panjohur deri te ai.

210


F

Vëndo shigjetë para dy anëtarëve të njohur (në shtyllën e dytë) me kahe të njëjtë me shigjetën para x nëse madhësitë janë në proporcion të drejtë, kurse me kahe të kundërtë nëse ato janë në proporcion të zhdrejtë.

F

Formo proporcion prej dy çifteve ashtu që te çdonjëri prej raporteve anëtari i parë të jetë ai që është në fillim, kurse i dyti ai që është në fund prej shigjetës: x : 216 = 7 : 3.

F

Vlera e anëtarit të panjohur të proporcionit është është zgjidhje e detyrës; x = 504 km.

3 x = 216

×

7,

Mbaj mend Parashtrimi i proporcionit sipas skemës së treguar quhet rregulla e treshit të thjeshtë. 2.

Për 6 ditë rrobaqepësi mund të qep 2 kostume. a) Sa kostume do të mund të qep rrobaqepësi për 24 ditë? b) Për sa ditë ai rrobaqepës do të qep 9 kostume?

3.

Ndonjë dorëshkrim dorëshkr im prej 126 faqe ka k a nga 45 rreshta në çdo faqe. Sa faqe do të ketë dorëshkrimi do rëshkrimi nëse në çdo faqe ka nga 35 rreshta? Qe si e kanë zgjidhur Jetoni dhe Bashkimi.. Bashkimi

Jetoni

Nëse çdo faqe ka nga 35 rreshta, dorëshkrimi do të ketë 126 faqe dhe (126 × 10) rreshta = 1 260 rreshta; 1260 : 35 = 36 faqe. Gjithësej do të ketë ketë 126 + 36 = 162, d.m.th. 162 faqe.

Numri i rreshtave rreshtave dhe numri numri i faqeve janë në proprcion të zhdrejtë. Nëse x është numri i faqeve të dorëshkrimit me nga 35 rreshta të çdo faqe, atëherë 45 : 35 = x :126; 35 x = 45 × 126; x = 162, d.m.th. 162 faqe.

Më e qartë 126 faqe

45

rreshta

x faqe

35

rreshta

E

qëndrimi kushtor

E

qëndrimi pyetësor

x : 126 = 45 : 35; x = 162 faqe.

Te qëndrimi pyetësor (rreshti i dytë) parashtrohet pyetja: Nëse numri i rreshtave te një faqe duhet të zvogëlohet (prej 45 në 35), çka do të ndodh me numrin e faqeve të atij dorëshkrimi? Përgjigje: Numri i faqeve do të zmadhohet. Domethënë, madhësitë: numri i rreshtave te një faqe dhe numri i faqeve (për dorëshkrimin e njëjtë) janë në proporcion të zhdrejtë.


211

3.

Firma "Ushqimi i shëndosh i ka lëvruar sipërfaqet sipërfa qet me 6 traktor, për të cilat ka lëndë djegëse për 15 ditë. Pas 5 ditë janë përfshirë edhe 4 traktor të atillë. Për sa ditë rezervat e lëndëve djegëse do të shpenzohen nëse traktorët kanë të njëjtin shpenzim?

Ndihmë Sa ditë kanë lëvruar 6 traktorë, kurse sa 10 traktorë? Shqyrto dy situata për 10 ditët tjera: 1) kur do të lëvronjin 6 traktorë do të ketë për 10 ditë; 2) kur do të lëvrojnë (6 + 4) traktorë për sa ditë do të ketë lëndë djegëse?


Duhet të dish dish:: t'i shkruajsh anëtarët e proporcionit në dy rreshta, ashtu që në njërin prej tyre të përfshihet anëtari që kërkohet;

Nëse 12 kg kafe kushton 2 160 denarë, atëherë sa denarë kushton 23 kg kafe?

me qëndrimin pyetësor të caktojsh si është proporcioni - i drejtë ose i zhdrejtë;

Vendos shigjeta. shigjet a.

Formoe skemën! Njehso anëtarin e panjohur te proporcioni.

të parashtro parashtrojsh jsh proporcio proporcionn dhe ta caktojsh anëtarin e panjohur te ai.

Detyra 1.

largësinë prej vendit A deri te vendi B. largësinë Për sa orë automobili do ta kalon largësinë prej A deri te B nëse lëviz me shpejtësi prej 80 km/h?

Nëse 17 kg mish kushton 3 060 denarë, atëherë sa denarë kushton 71 kg prej mishit të njëjtë?

kryejn ë 2. Një punë 24 punëtorë mund ta kryejnë për 8 ditë. Për sa ditë, me kushte të njëjta, punën mund ta kryejnë 16 punëtorë?

automobil obil shpe shpenzon nzon 22,5 l që të kalon 3. Një autom 250 km rrugë. Sa kilometra do të kalon automobili me 90 l ?

212

4. Një automobil lëviz me 60 km/h dhe për 6 orë e ka kaluar


5.

Tre murator 14 ditë mund të bëjnë 150 m mur. Për sa ditë 7 muratorë me kushte të njëjta mund të bëjnë 375 m mur? 3

3

Udhëzim: zbatoe dy herë rregullën etreshit të thjeshtë.

6. Një pompë për 

 

orë nxjerrë 360 hl ujë në lartësi

prej 25 m. Sa hektolitra ujë pompa do të nxjerrë për 8 orë në lartësi prej 10 m?

MËSOVE PËR FUNKSIONIN DHE PROPORCIONIN. KOLNTROLLO NJOHURINË TËNDE 1.

Me graf duhet të paraqitet katrori i dekartit të bashkësisë A = {a {a, b, c}. Sa shigjeta mungojnë? Cilat janë ato?

2.

A

7.

Janë dhënë bashkësitë A = {a {a, b, c, d , e, f f }}, B = {1, 2, 3, 4, 5}.

5.

8.

Num ëroi Numër oi mën yr yrat at me të ci cila latt ësh të dh dhën ënëë pasqyrimi.

9.

Cakto anëtarin e panjohur te barazimi: a) x a) x : 0,5 = 2,5; b) 3 × x = 4 .

10.. 10

Te skema koordinative janë treguar relacioni relaci oni R, e ndrshueshme nga A x B.

12.. 12

3 : 8 = x = x : 60.

5 4 3 2 1

A x B R1

1 2 3 4 A

B 5 4 3 2 1

Madhësitë x dhe Madhësitë x dhe y y,, që janë dhënë me tabel tabelëë janë në proporci proporcion on të drejtë.

x

2

4

6

7

y

7 14 21 ?

Cakto koeficientin e proporcionalitetit. Çka duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjes në tabelë? tabel ë?

A

13.. 13

Cili prej relacioneve R 1 ose R 2 është pasqyrim (funksion) prej A në B? B

Formo proporcion anëtarët anëtarët e të cilit do të jenë shumëzuesët te barazimi 7 × 24 = 6 × 28.

panjohur x te proporcioni 11.. Njehso anëtarin e panjohur x 11

Me graf është dhënë relacioni R në bashkësinë A = {1, 2, 3}. Shënoe grafikun e tij.

6.

B

Paraqite prodhimin e dekartit A x B me skemën koordinative.

Te bashkësia T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} është dhënë relacioni R = {(1, 1), (1, 2),(3, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (6, 6)}. Paraqite relacionin R në skemën koordinative.

4.

A

të fitohet pasqyrimi prej A në B?

Vizato DABC, A (3,1), B(-1,2), C(-2,-3) në rrafshin koordinativ. koordi nativ.

3.

Cilat dy shigjeta duhet të fshihen që

x y

A x B R2

Madhësitë x dh e y janë në proporcion të zhdrejtë me koeficientin e proporcionalitetit = 20. k = k Çka duhet të qëndron në vendin e pikëpyetjeve në tabelë?

14.. 14

4

4 800 120

64

Për 5 ditë 12 nxënës kanë mbjellur 940 bredha. a) Për sa ditë të njëjtën punë do ta kryejnë 30 nxënës?

1 2 3 4 5 6 A

b) Sa nxënës të njëjtën punë do ta kryejnë për një ditë? Kontrollo njohurinë tënde

213

TEMA 5


.

5 m

1

1.

2.

a) dhe b)

4.

A = {a { a, b, c}, B = {1}.

y

5.

5 1 3.

4

2

A

3 A x B

( D , d )

D

2

2

-1 -2

A1 m

p

s

x 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

¡

d

C2

1

A2

*

4.

4

C1

B

A = {1, 3, 4, m, n, a, 5}, B = { p, p, 2}.

B2

B1

-3 -4

y

1.



(-



y

6.

, 2)

A(-5, 3), B(-4, 0), C(-2, -4), D(5, -1), E(0, 2), F(6, 3).

(3, 2)

4

C1

2

3

-3

-2

-1

0



(-1, (-3,-1)



A1

x

(-2,4; 0) -4

2 B 11

1

(-4,1)

1

2

-4 -3 -2 -1 0

3

-1 -2 -3

(1, -1)

)

A2

-1 (0, -2) -2

-4

y

2.

1 -2 -1 M2(-2, -1)

0 1 -1

A

$ %











, $ &



 

, %&

2

Për gjatësitë e brinjëve të D A2B2C2 kemi:

M

$ %

y 3.

C2

Për gjatësitë e brinjëve të DA1B1C1 kemi:

M1(2, 1) x

M3(-2, 1)

x P B2 1 2 3 4







 

, $ &





.

2

2 1 B

.

4 3

-4 -3 -2 -1



y

y

7.

, %&



x x

1

0 1 -1

x



0

-

1

2



3

-1 

M

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

221

b)

x

-2

-1

0

1

2

3

y

-6

-3

0

3

6

9

3.

a) P = 4a 4 a; b) P = 2r 2rp; c) P = 3 y y..

4.

a) y =

 [

a) k = 4;

b) k k = = 2p; c) k k = = 3. Të gjitha formulat janë për proporcionin 4.

e drejtë. y 2

-2 -1 0 1

a) y a) y =

;



x

-2

0

2

4

y

-1

0

1

2

1 2 3 4 x -1

y 3

b) y = 3 x ;

2

x

-1

0

1

y

-3

0

3

x

-2 -1 0 1

x

-2

0

2

4

y

-1

0

1

2

10

1.



k =

 

y =



; x;

Proporcion i zhdrejtë janë madhësitë nën a) dhe c). Madhësitë nën ç) nuk janë as proporcion i drejtë as i zhdrejtë. a) y = -



;

y

3.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 







a)



-

2



-5

x y

b)) x = b



1

 

4

1

2

3

-4 -2 -

-4

-2

2

4

-2

-4

4

2

 

4 -1 -

5  

5 

4 h 30 min. min .

5.

2.

Për 12 ditë .

15 ditë.

6.

3.

1 000 km.

1 600 hl .

1.

a) Le të kemi 1 200 topa (Numri i nxënësve) dhe 365 kutia (numri i ditëve në vit). 1 200 = 365 × 3 + 105. 105 topat tjerë do të vendosen në kutijat që tanimë kanë nga tre topa . Domethënë, të paktën në njërën prej kutijave do të ketë më shumë se tre topa, d.m.th. do të ketë më shumë se tre nxënës të cilët festojnë ditëlindje në të njëjtën ditë. b) Inicijal Inicijalee të ndryshme mund të kenë 31 × 31 = 961 persona. Të tjerët 1 200 - 961 = 239 persona kanë inicijale që janë të barabartë me inicijalet e disave disave nga nga personat personat paraprak.

6 -

 

Shkupi ka më shumë se l 500 000 banorë. b anorë. Ndërmjet tyre mund të ketë persona që nuk kanë asnjë qime në kokë, pastaj persona me një qime në kokë, me dy qime etj. Kështu banorët b anorët e Shkupit, sipas numrit të qimeve në kokë, mund të ndahen në 200 001 grupe. Të supozojmë se në Shkup ka saktë 500 000 persona. 500 000 = 200 001 × 2 + 99 998. Domethënë 99 998 persona kanë numër të njëjtë të qimeve në kokë si disa nga banorët paraprak, d.m.th. ka të paktën tre persona me numër të njëjtë të qimeve në kokë.











y

-2

-1 -

x

-4

-8 -16 16

\

12 780den.

2.

[

x

1.

1 4

Proporcion i drejtë është madhësia nën b).

2.

4.

1 2 -1

-2 -3 5.

11

3.

1

4

8

2

Udhëzim. 37 = 12 × 3 + 1. Nëse çdo muaj kanë lindur nga tre nxënës, atëherë prej 12 × 3 = 36 dhe 37 - 36 = 1, vijon se ka nxënës të cilët kanë lindur lindu r në muajin e njëjtë me një nga tre nxënës paraprak. 4.

Udhëzim. 25 = 8 × 3 + 1. Puno si te detyra paraprake.

Përgjigje dhe zgjidhje të detyrave

223

Testi : 1.

Mungojnë shigjetat: prej a nga c, prej c nga b dhe prej b nga b.

2.

4.

y 4 3

B

2

A

1

-4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4

-1 -2

C

-3 -4

R = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.

6.

Relacioni R 2.

7.

(a, n) dhe (b ( b, r); ose (a (a, n)

dhe (b (b, q); ose (a (a, m) dhe (b (b, q); ose (a (a, m) dhe (b ( b, r). 8.

3.

(a, 5)

5.

Me formulë (analitikisht), (analitikish t), me tabelë dhe me grafik 9.

(skema koordinative).

A x B

10. 12.

R

7 : 6 = 28 : 24.

k = 3,5.

24,5.

13.

x



x = .  11. x = 22,5.

14.

4









120

64

a) Dy ditë; b) 60 nxënës nxënës..

4 800 

y

5



.

PASQYRA E KONCEPTEVE KONCEP TEVE A apotema, 123 abshisa, 178 B binomi bin omi,, 69 boshti, 178 - abshisa, 178 - koordinative, 178 - ordinatës, 178 Ç çifti i renditur, 7 D drejtkëndëshi, 138, - syprina e, 139 delltoidi, - syprina, 150

224

diagrami - vijor 100 - fotografik, 100 - shtyllor, 100 E eksponenti, 32 ekzemplari, 213 F figura,, 136 - me syprina të barabarta, 136 formula e Heronit,147 funksioni, 184 - vlera e, 18 -bashkësia, 185 fuqia, 32 - vlera e, 33 - herësi, 40 - baza, 32

Pasqyra e koncepteve

- prodhim i, 39 - fuqizimi, 42 fuqizimi, 33 GJ gjasa, 220 gjysmëdrejtëza, 4 - me orientim të njëjtë, 5 H harku rrethor, 104 - gjatësia , 159 herësi, 43 - fuqia, 43 - fuqizimi i, 43 I identiteti, 61 K

kahja, 5

- e njëjtë, 5 - e kundërtë, 5 kuadrant, 178 katror, 139 - syprina, 139 katërkëndëshi - i rregullt, 119 - tangjencial, 115 - kordiak 113 kënd, 104 - periferik, 107 - qëndror, 104 kuadrimi, 46 konstante, 59 M madhësia, 192 - nënrrënjësore, 47

- vektoriale, 20 - proporcionale e zhdrejtë,, 207 zhdrejtë 207 - proporci proporcional onal -drejtë, 203 - ndryshore, 202 - skalare, 19 mediana, 169 mesi aritmetik,169 mesi gjeometr g jeometrik, ik, 199 199 moda, 169 monomi, 63 - vlera kryesore e, 64 - pjesëtimi, 86 - shuma, 67 - identik, 63 - koeficienti, 63 - shumëzimi, 73 - forma normale, 64 - zbritja, 68 - ndryshimi, 68 - të ngjashme 65 - mbledhja, 67, - të kundërtë, 65 - shkalla , 65 mesi, - aritmetik, 169 - gjeometrik, 199 N ndryshore 60 - vlera , 60 - domen, 60 - shprehja, 60 - shkalla, 43 - fuqizimi i, 43 ngjarja e rastit, 214 numër, 52 - iracional, 52 - katroi i, 45 - natyror 54 - racional, 54 - real, 55 - kundërt, 65 - i plotë, 54 O ordinata, 178 origjinal, 22, 184 P paralelogram,, 142

- syprina, 142 pasqyra 22, 184 pasqyrimi, 184 - vlera, 185 - bashkësia 185 - grafik , 185 - domen , 187 - kodomen, 184 polinom, 69 - pjesëtimi, 88 - katrori, 33 - koeficienti i, 70 - shumëzimi 79 - forma normale, 70 - zbritja, 75 - prodhimi, 78 -zbërthimitendenca - qëndrore - njësitë e, 169 93, 95 - mbledhja, 75 - të kundërtë, 71 - shkalla, 72 - anëtarët, 69 popullata, 213 prodhim, 42 - i dekartit, 174 proporcioni, 195 - vetia themelore, 197 - e vazhduar, 200 proporcional, 203 - koeficienti , 203 - funksioni, 203 proporcionalja, - e katërt katërtëë gjeometri gjeometrike,196 ke,196 - mesi gjeometrik 199 - me orientim të kundërtë, 5 R raport, 190, 193 - vlera e, 190 - të barabartë, 191 - reciprokisht i anasjelltë, 191 - anasjelltë, 191 - vetia themelor themelore, e, 194 rang, 170 relacioni, 182 - grafiku i, 182 RR rrafshi rraf shi koo koordi rdinativ, nativ, 178 178 rrënja, 47

- katrore, 47 - baza e, 47 rregulla - e paralelogramit, 16 - e trekëndëshit, 14 - e treshit të thjeshtë, 221 rrethi, 158 - perimetri i, 158 - syprina e, 171 S sektori rrethor, 164 - syprina e, 164 sistemi koordinativ178 - kënddrejtë i dekartit, 178 skalar, 20 skema koor koordina dinative tive,, 175 segmenti, 7 - gjatësia, 7 - të barbartë 8 - orientuar , 7 - zero, 7 - tangjenten, 112 - gjatësia 112 T translacioni, 22 - vektor, vekto r, 22 - identik, 23 - inverz, 26 transformacioni, - identik, 70 trapez, 149 - syprina, 149 trekëndësh, - egjiptas, 127 - i indis 127 - karakteristik,122 - syprina, 145 - i rregullt, 119 trinomi, 69 tendenca qëndrore - njësitë e, 169 U unaza rrethore, 156 - syprina e, 165 V vektor, 8 - gjatësia,9 - të barabartë, baraba rtë, 11 11 - shuma 14

- kolinear, 9 - i lidhur 13 - kahja e, 9 - zero, 10 - bartja e, 12 12 - ndryshimi, ndryshi mi, 18 - të kundërtë, kundërt ë, 11 11 SH shprehje 60 - numerike, 58 - vlera numerike, 58, 60 - të barabartë, 59 - identik, 61 - racional, 90 - thyesor, 91 - i plotë, 91 - me ndryshore, 60 shumëkëndëshi, 113 - syprina 135 - i rregullt, 119 - tangjenten, 115 - kordiak, 113 Z zgjedhja e rastit, 214


225

PËRMBAJTJA VEKTORËT, TRANSLA TRANSLACIONI CIONI DHE RROTACIONI

TEMA 1.

TEMA 2.

FUQIA. RRËNJA RRËNJA KATRORE. KATRORE.

33

TEMA 3.

POLINOMËT

59

TEMA 4.

VIJA RRETHORE DHE SHUMËKËNDËSHI. SYPRINA

TEMA 5.

226

5


Autorë:

Jovo Stefanovski, d-r Naum Cellakoski

Recenzentë:

prof. d-r Nikita Shekutkovski Gordana Andonova Andonova,, profesor Shaban Alija, Alija, profesor

Redaktor:

Jovo Stefanovski

Përkthyes:

Muzafer Beqiri


105 10 5 175 17 5

Botues :

MINISTRIA E ARSIMIT DHE SHKENCËS E REPUBLIKËS SË MAQEDONISË Rr. Mito Haxhi-Vasilev Jasmin p.n. Shkup

Recensues:

Dr. Nikita Shekutkovski  kryetar Shaban Alia  anëtar Gordana Andonova  anëtare

So Re{enie na Ministerot za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija br. 10-1621/1 od 19.06.2009 godina, se odobruva upotrebata na ovoj u~ebnik.

Me Vendim të Ministrit të Arsimit dhe Shkencës të Republikës së Maqedonisë nr. 10-1621/1 të datës 19.06.2009, lejohet përdorimi i këtij libri shkollor.

Jovo Stefanovski, d-r Naum Celakoski: MATEMATIKA za VII oddelenie za osumgodi{no osnovno obrazovanie * Urednik na izdanieto: Jovo Stefanovski * Prevod: Muzafer Be}iri * Kompjuterska obrabotka: Dragan [opkoski * Podgotovka za pe~at: PROSVETNO DELO AD, ul. Dimitrija ^upovski 15 - Skopje * Pe~ati: Grafi~ki centar - Skopje * Tira`: 8.000 primeroci.

Jovo Stefanovski, Dr. Naum Celakoski: Celakoski: MATEMATIKA për klasën VII të arsimit fillor tetëvjeçar * Redaktor i botimit: Jovo Stefanovski * Përkthyes: Muzafer Beqiri * Përpunimi kopjuterik: Dragan Shopkoski * Përgatitja për shtyp: PROSVETNO DELLO SHA, rr rr.. Dimitrija Çupovski 15 - Shkup * U shtyp në shtypshkronjën: Grafiçki centar - Shkup * Tirazhi: 8.000 kopje.

CIP - Katalogizacija vo publikacija Nacionalna i univerzitetska biblioteka Sv. Kliment Ohridski, Skopje 373.3.016:51(075.2)=163.3 STEFANOVSKI, Jovo Matematika za VII oddelenie za osnovno osumgodi{no obrazovanie / Jovo Stefanovski, Naum Celakoski. Skopje : Ministerstvo za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija, 2009. - 239 str. : ilustr. Vo boja ; 24 sm ISBN 978-608-4575-05-4 1. Celakovski, Naum [avtor avtor]] COBISS.MK-ID 79204362

Matematika 7 Alb

Recommend Documents