7. LOGIKA MATEMATIKA

7. LOGIKA MATEMATIKA A. Negasi (Ingkaran) Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p p B S

~p S B

B. Operator Logika 1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”. p ∧ q : p dan q 2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”. p ∨ q : p atau q 3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”. p ⇒ q : Jika p maka q 4) Biimplikasi Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …” p ⇔ q : p jika dan hanya jika q C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Disjungsi, Implikasi, Implikasi, dan Biimplikasi premis 1 P B B S S

premis 2 q B S B S

konjungsi konjungsi p ∧ q B S S S

disjungsi disjungsi p ∨ q B B B S

implikasi p ⇒ q B S B B

biimplikasi p ⇔ q B S S B

Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal 1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar, 2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah 3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S) 4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Bila terdapat bentuk implikasi p ⇒ q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut: Implikasi Implika si Invers Konvers Konver s Kontraposisi p⇒q ~p⇒~q q⇒p ~ q ⇒ ~ p Kesimpulan yang dapat diambil adalah: 1) invers adalah negasi dari implikasi 2) konvers adalah kebalikan dari implikasi i mplikasi 3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi E. Pernyataan-Pernyataan Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi ≡ kontraposisi : p ⇒ q ≡ ~ q ⇒ ~ p 2) konvers ≡ invers : q ⇒ p ≡ ~ p ⇒ ~ q 3) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi 4) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi 5) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi 6) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q 7) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA

http://www.soalmatematik.com

F. Kuantor Universal Universal dan Kuantor Kuantor Eksistensial Eksistensial • Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “ ∀x” dibaca “untuk semua nilai x” •

Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “ ∃x” dibaca “ada nilai x” atau “beberapa nilai x”

•

Ingkaran dari pernyataan berkuantor 1) ~(∀x) ≡ ∃(~x) 2) ~(∃x) ≡ ∀(~x)

G. Penarikan Kesimpulan Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu: 1) Modus Ponens (MP) p ⇒ q : premis 1 p : premis 2 : kesimpulan ∴q

2) Modus Tollens (MT)

3) Silogisme

p ⇒ q : premis 1 ~q : premis 2 : kesimpulan ∴~p

: premis 1 p ⇒ q : premis 2 q ⇒ r ∴p ⇒ r : kesimpulan

Cermati secara seksama seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

52



SOAL PENYELESAIAN 1. Ingkaran dari pernyataan “Semua anak-anak Ingkaran dari “semua” : ada suka bermain air.” Adalah … Ingkaran dari “suka” : tidak suka a. Tidak ada anak-anak yang suka bermain air. ……………………………………………(c) b. Semua anak-anak tidak suka bermain air. c. Ada anak-anak yang tidak suka bermain air d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka bermain air. e. Ada anak-anak suka bermain air. 2. Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan Negasi :~ dan saya tidak membawa payung” adalah … Hari ini tidak hujan : ~p a. Hari ini hujan tetapi saya tidak dan :∧ membawa payung Saya tidak membawa payung : ~g b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung sehingga pernyataan tersebut jika disajikan dalam c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak kalimat matematika adalah: membawa payung d. Hari ini hujan dan saya membawa ~ (~ p ∧ ~ q ) ≡ p ∨ q payung e. Hari ini hujan atau saya membawa jika dijabarkan menjadi: p : hari ini hujan payung ∨ : atau q : saya saya membawa payung ………………………………………………….(e) 3. Jika ~p menyatakan negasi dari pernyataan Diketahui : ~p : B p, dengan ~p bernilai benar dan q bernilai q:S salah, maka pernyataan berikut bernilai Periksa pernyataan yang menggunakan operator ∧ benar adalah … a. (~p ∨ ~ q) ∧ q jawaban yang sudah pasti salah adalah a, b, c, dan d, kenapa? karena b. (p ⇒ q) ∧ q • jawaban a dan b pernyataan sebelah kanan c. (~p ⇔ q) ∧ p yaitu q nilainya salah (S (S) d. (p ∧ q) ⇒ p • jawaban c, nilai pernyataan sebelah kiri e. (~p ∨ q) ⇒ p yaitu (~p ⇔ q) nilainya salah (S (S) B ⇔ S ∴S •

jawaban d, nilai pernyataan sebelah kiri yaitu (p ∧ q) nilainya salah (S ( S) S ∧ S ∴S

Jadi, jawaban yang benar adalah ….(e) 4. Invers dari pernyataan p … a. (~ p∧ ~ q) ⇒ ~ P b. (~ p∨ ~ q) ⇒ ~ P c. ~ P ⇒ (~ p ∧ ~ q) d. ~ P ⇒ (~ p ∧ q) e. ~ P ⇒ (~ p ∨ ~ q)

⇒

(p ( p ∧ q) adalah Invers adalah implikasi yang dinegasi, maka: p ⇒ (p ∧ q) inversnya adalah : ~p ⇒ ~(p ∧ q) ≡ ~p ⇒ (~p ∨ ~q) ……………….(e)


53



5.

6.

7.

8.

9.

SOAL Ditentukan pernyataan (p∨ ~q) ⇒ p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah … a. p ⇒ (~ p ∨ q) b. p ⇒ (p ∧ ~ q) c. p ⇒ (p ∨ ~ q) d. p ⇒ ~ (p ∨ ~ q) e. p ⇒ (~ p ∨ ~ q) Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ⇒ (p ∨ ~ q) adalah … a. (p ∨ ~ q) ⇒ ~ p b. (~ p ∧ q) ⇒ ~ p c. (p ∨ ~ q) ⇒ p d. (~ p ∨ q) ⇒ ~ p e. (p ∧ ~ q) ⇒ p Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut adalah … P ⇒ q q ⇒ r ∴ …. a. p ∧ r b. p ∨ r c. p ∧ ~ r d. ~ p ∧ r e. ~ p ∨ r Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis yang dinyatakan dalam bentuk lambang berikut. (1) : p ∨ q adalah … (2) : ~ p a. p b. ~p c. q d. ~q e. p ∨ q Penarikan kesimpulan dari 1. ~ p ∨ q Yang sah adalah: a. 1, 2, dan 3 ~p b. 1 dan 2 ∴q c. 1 dan 3 2. p ⇒ ~ q d. 2 saja p e. 3 saja ∴~ q 3.

p ⇒ r q ⇒ r ∴ p ⇒ q

PENYELESAIAN Konvers adalah implikasi yang dibalik, maka: (p∨ ~q) ⇒ p konversnya adalah : p ⇒ (p ∨ ~ q) ……………………………………(c) ……………………………………(c)

Kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi, maka: p ⇒ (p ∨ ~ q) kontraposisinya adalah: ~(p ∨ ~ q) ⇒ ~p ≡ (~p ∧ q) ⇒ ~p ………………(b)

Jenis penarikan kesimpulannya adalah silogisme P ⇒ q q ⇒ r ∴ p ⇒ r ≡ ~ p ∨ r ………………………… …………………………(e) (e)

Rubah dulu bentuk penarikan tersebut ke dalam bentuk baku: (1) : (2) :

p ∨ q ≡ ~p ⇒ q ~ p____ Modus ponen ∴ q ……………………..(c) ……………………..(c)

1. ~p ∨ q

≡ p

q ~ p___ ⇒

tidak sah, karena bukan bentuk penarikan kesimpulan

2. p ⇒ ~q p___ modus ponen ∴~ q ………………………. ……………………….sah sah 3. p ⇒ r q ⇒ r ___

tidak sah, karena bukan bentuk penarikan kesimpulan

Jadi, jawaban yang benar adalah ……………..…(d)


54



SOAL 10. Kesimpulan dari tiga premis berikut adalah … P1 : p ⇒ q ……………….(1) P2 : q ⇒ r………………..(2) P3 : ~ r___ ………………(3) ∴………. a. ~ q ⇒ p b. q ⇒ p c. ~ (q ⇒ p) d. ~p e ~q 11. Diketahui tiga premis sebagai berikut P1 : p ⇒ q ………………….(1) ………………….(1) P2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P3 : ~ r___ …………………..(3) ∴………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah..... a. q ∨ r b. q c. p ∧ ~ q d. p ∨ q e. p ∨ ~ r

PENYELESAIAN (1) dan (2) …… silogisme p ⇒ q ……………….(1) q ⇒ r………………..(2) r………………..(2) ∴p ⇒ r ……………..(4) (4) dan (3) ……..modus tolen p ⇒ r ……………….(4) ~r___ ……………….(3) ∴~p ………………………… …………………………………………(d) ………………(d) (1) Bentuk penarikan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode penarikan kesimpulan yang ada, baik dengan MP, MT, ataupun silogisme. (2) Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “ kesimpulan suatu pernyataan akan bernilai benar jika semua premisnya adalah benar ” sehingga P1, P2, dan P3 harus benar (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling sederhana yaitu P 3 P3 : ~r = B (ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P 2, P2 juga harus benar. Dari langkah (i) diperoleh hasil ~r = B P2 : (~r ⇒ q) = B B ⇒ … = B supaya P2 benar, maka q = B (ingat rumus C. 3)

Uraian di samping jika diringkas adalah sbb: P1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii) B/S ⇒ B = B P2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii) B⇒B =B

(iii) terakhir ke P1, P1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B P3 : (p ⇒ q) = B …⇒B =B supaya p3 benar, maka P = B atau S (ingat rumus C. 3)

P3 : ( ~ r )___ = B …………….(i) Maka diproleh data ~r = B, q = B, dan p = B/S dari data yang telah diperoleh kemudian dicek jawabannya satu persatu a) q ∨ r B ∨ S = B ………….rumus B ………….rumus C.2) b) q = B c) p ∧ ~ q B / S ∧ S = S ………… rumus C.1) Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c)


55



SOAL 12. Diketahui beberapa premis berikut: Premis 1 : ~ p ⇒ ~ q Premis 2 : p ⇒ r Premis 3 : q a. ~ p benar b. p salah c. ~ r benar d. r salah e. r benar 13. Diketahui argumentasi: i : p ∨ q iii : p ⇒ q ~ p__ ~q ∨ r___ ∴~ q ∴~ r ⇒~ p ii : ~ p ∨ q iv : ~ q ⇒ ~ p ~ q___ ~ r ⇒ ~ q_ ∴~ p ∴ p ⇒ r Argumentasi yang sah adalah …

a. b. c. d. e.

i dan ii ii dan iii iii dan iv i, ii, dan iii ii, iii, dan iv

PENYELESAIAN (1) dan (3) …… modus ponen ~p ⇒ ~q ≡ q ⇒ p ……………….(1) q ………………..(3) ∴p ……………..(4) (2) dan (4) ……..modus ponen p ⇒ r ……………….(2) p___ ………………..(4) ∴r …………………………………………(e) …………………………………………(e) Cek pernyataan satu persatu i : p ∨ q ≡ ~p ⇒ q ~ p__ modus ponen …….tidak sah, sah, seharusnya q ∴~ q …….tidak ii : ~ p ∨ q ≡ p ⇒ q ~ q___ modus tolen ∴~ p ………sah ………sah iii : ~q ∨ r

p ⇒ q ≡ q ⇒ r silogisme ∴~ r ⇒~ p ≡ p ⇒ r ………sah ………sah

iv : ~ q ⇒ ~ p ≡ p ⇒ q ~ r ⇒ ~ q_≡ q ⇒ r silogisme ∴ p ⇒ r ……. sah Jadi, jawaban yang benar adalah ………………(e)

14. Diketahui premis-premis: i. Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru. ii. Ibu tidak membelikan sepatu baru Kesimpulan yang sah adalah … 1. Marni rajin belajar atau Marni patuh pada orang tua. 2. Marni rajin belajar dan Marni patuh pada orang tua. 3. Marni tidak rajin belajar atau Marni patuh pada orang tua. 4. Marni tidak rajin belajar dan Marni patuh pada orang tua. 5. Marni tidak rajin belajar dan Marni tidak patuh pada orang tua.

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : (p ∨ q) ⇒ r Premis 2 : ~r________ ………….modus tolen Kesimpulan : ~( p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q ……rumus E.4) ~p ∧ ~q Jika diuraikan adalah ………………..….(e)


56



SOAL 15. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas. Premis 2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju. Kesimpulan yang sah adalah … a. Dodi tidak rajin belajar tetapi ia akan dibelikan baju. b. Dodi rajin belajar tetapi ia tidak akan dibelikan baju. c. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan baju. d. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju. e. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan baju. 16. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia kuliah di perguruan tinggi negeri. Premis 2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Anik jadi sarjana. Premis 3 : Anik bukan sarjana Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … a. Anik lulus ujian b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri c. Anik tidak lulus ujian d. Anik lulus ujian dan kuliah di perguruan tinggi negeri e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah

PENYELESAIAN Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ r ≡ ~p ∨ r …………rumus E.6) ~p ∨ r Jika diuraikan adalah ………………..….(d) ………………..….(d)

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 Premis 2 Premis 3

: p ⇒ q : q ⇒ r : ~r_____

Kesimpulanany adalah Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ r Premis 4 p ⇒ r ………… (1) dan (2) silogisme Premis 3 : ~r___ ~p ………….…(4) dan (3) MT ~p Jika diuraikan adalah ………………..….(c) ………………..….(c)

17. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua bahan pokok naik Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Harga BBM tidak naik b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang orang tidak senang c. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang d. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik e. Harga BBM naik dan ada orang yang senang

Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kalimat matematika adalah: Premis 1 : p ⇒ q Premis 2 : q ⇒ ∀(~r) ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ ∀(~r) Negasi dari p ⇒ ∀(~r) adalah: ~( p ⇒ ∀(~r)) ≡ p ∧ ~(∀(~r)) ≡ p ∧ ∃r p ∧ ∃r Jika diuraikan adalah ………………….(e) ………………….(e)


57

7. LOGIKA MATEMATIKA

Recommend Documents