matemáticas financieras

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE BANCA Y FINANZAS

M ATEMÁTICAS FINANCIERAS Guía didáctica 4 CRÉDITOS CICLOS

AUTOR: Ángel Romelio Muñoz Guamán

PLAN DE ESTUDIOS ANTERIOR

UTPL-ECTS

1. Datos informativos

CARRERAS

2

• Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras

3

• Administración en Banca y Finanzas • Administración de Empresas • Contabilidad y Auditoría

4

• Economía • Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

ABRIL-AGOSTO 2010

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Guía didáctica

Ángel Romelio Muñoz Guamán UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2585977 C. P.: 11- 01- 608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Derechos de autor: 022241 Tercera edición Cuarta reimpresión ISBN-978-9942-00-184-9

Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/ Abril, 2010

2. Índice 1. 2. 3. 4.

Datos informativos Índice Introducción ................................................................................................................................. Lineamientos generales del modelo Educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL-ECTS............................................

7

9

4.1 Competencias genéricas ............................................................................................................ 10 4.2 Competencias específicas ......................................................................................................... 10

5. Bibliografía .................................................................................................................................. 11 5.1 Básica ......................................................................................................................................... 11 5.2 Complementaria ........................................................................................................................ 11

6. Orientaciones generales para el estudio............................................................ 12 7. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias .............................................................................................................................. 13 PRIMER BIMESTRE 7.1 Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................... 13 7.2 Sistema de evaluación ............................................................................................................ 16 7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 17 CAPÍTULO 1: GENERALIDADES .................................................................................................................. 17

1.1 Porcentaje .................................................................................................................................. 17 1.2

LEY DE SIGNOS .............................................................................................................................. 20

1.3

DEPRECIACIÓN ............................................................................................................................... 21

1.4

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS ..................................................................................................... 22

1.5

SERIES O PROGRESIONES ............................................................................................................. 26

1.6

ECUACIONES .................................................................................................................................. 27

ACTIVIDADES RECOMENDADAS ................................................................................................................... 27 ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN NRO. 1 ................................................................................................. 28 CAPÍTULO 2: INTERéS SImPLE ................................................................................................................... 29

2.1. Interés ............................................................................................................... 29 2.2. Cálculo del valor actual o presente a interés simple ................................................... 31 Actividades recomendadas ............................................................................................ 32 Actividades de auto evaluación Nro. 2 ............................................................................. 33 CAPÍTULO 3: DESCUENTO ......................................................................................................................... 34

3.1 Descuento ........................................................................................................... 34 3.2 Descuento racional ............................................................................................... 34 3.3 Descuento bancario, comercial o bursátil .................................................................. 35

3.4 Valor actual con descuento bancario o valor efectivo................................................... 36 3.5 Análisis de la relación descuento racional - descuento bancario y comparación entre tasa de interés y tasa de descuento . ............................................................................. 37 Actividades recomendadas.............................................................................................. 38 Actividades de auto evaluación Nro. 3.............................................................................. 38 CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO .................................................................... 39

4.1 Ecuaciones de valor............................................................................................. 39 4.2 Cuentas de ahorro............................................................................................... 40 4.3 Liquidaciones de intereses en cuentas de ahorro....................................................... 40 Actividades recomendadas.............................................................................................. 41 Actividades de auto evaluación Nro. 4.............................................................................. 42

Segundo bimestre 7.1 Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................... 43 7.2 Sistema de evaluación . ........................................................................................................... 46 7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 47 CAPÍTULO 5: Interés compuesto............................................................................................................. 47

5.1. Interés compuesto............................................................................................... 47 5.2. Comparación interés simple - interés compuesto....................................................... 47 Actividades recomendadas . ........................................................................................... 53 Actividades de auto evaluación Nro. 5.............................................................................. 54 CAPÍTULO 6: Anualidades o rentas........................................................................................................ 55

6.1. Anualidades o rentas............................................................................................ 55 6.2. Gradientes.......................................................................................................... 60 Actividades recomendadas.............................................................................................. 61 Actividades de auto evaluación Nro. 6.............................................................................. 61 CAPÍTULO 7: Amortización y fondos de amortización . ..................................................................... 62

7.1. Amortización...................................................................................................... 62 Actividades recomendadas.............................................................................................. 66 Actividades de auto evaluación Nro. 7.............................................................................. 66 CAPÍTULO 8: Documentos financieros ................................................................................................. 67

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Sistema Financiero.............................................................................................. 67 Bonos................................................................................................................ 67 Tasa de interés real.............................................................................................. 68 Valor actual neto (VAN)........................................................................................ 69

8.5. Tasa interna de retorno......................................................................................... 69 Actividades recomendadas . ........................................................................................... 71 Actividades de auto evaluación Nro. 8.............................................................................. 72

8. Solucionario................................................................................................................................ 73 9. Anexos. .......................................................................................................................................... 91

PRELIMINARES

Guía didáctica: Matemáticas Financieras

3. Introducción Estimados Estudiantes, permítanme darles la bienvenida a este nuevo periodo de estudios dentro de la carrera que han elegido; es satisfactorio para mí, en calidad de docente de la asignatura de Matemáticas Financieras, desearles el mejor de los éxitos y poderles asistir en el proceso de entendimiento de los distintos temas propuestos. Mi nombre es Ángel Muñoz y estoy presto en ayudarles a resolver sus distintas inquietudes. Matemática Financiera constituye una aplicación del vasto campo de las matemáticas; su estudio es un requisito dentro del pensum de materias en la formación universitaria de profesionales para el 3er ciclo en Contabilidad y Auditoría, Administración de Empresas, Administración en Banca y Finanzas con la asignación de 4 créditos; y 4to ciclo para las carreras de Economía, Administración en Empresas turísticas y Hoteleras con 3 créditos. Su estudio o su conocimiento es indispensable para las actividades del área Administrativa, por cuanto requiere aplicar las matemáticas financieras en las operaciones de crédito, ahorros, inversiones, descuentos, depreciación, valor actual, negociación y utilización de documentos financieros, como pagarés, letras de cambio, cédulas hipotecarias, bono, pago de cupones, acciones, certificados de inversión, etc. El interés sobre los saldos deudores, también constituye una aplicación práctica de esta disciplina así como el financiamiento de obras, equipos, bienes o capital de operación de las empresas, mediante amortización gradual, la elaboración de tablas de amortización, se aplica como base para créditos a mediano y largo plazo, operaciones de seguros, análisis financieros y contables; en conclusión, se utilizan como herramienta principal en las actividades de la vida profesional de un Contador Auditor, Administrador, Financista, Economista o profesiones similares. La presente asignatura tiene como propósito, el dotarle de las herramientas necesarias en el análisis de los principales conceptos de las matemáticas financieras y proporcionarle las técnicas necesarias que permitan valorar como el dinero pierde o cambia su valor en diferentes períodos de tiempo y con ello aprovechar de la mejor manera este recurso con el fin de obtener mayores beneficios o rentabilidad. Con esta intención, Amigo Estudiante, le invito a adentrarse en el interesante mundo de las matemáticas a través de la investigación de otros textos, además del que le presentamos como texto básico; esto le permitirá adquirir mayores conocimientos y habilidades en la aplicación y manejo de los diferentes conceptos y temas que se tratarán más adelante, relacionados con la matemática financiera. Iniciaremos el estudio con el primer capítulo de generalidades con revisión de porcentajes, aplicaciones, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. El segundo capítulo se refiere al interés simple, tasa de interés, fórmulas de cálculo, monto, valor presente o valor actual a interés simple, gráfica de tiempos y valores, el interés sobre saldos deudores, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. El tercer capítulo analizaremos los tipos de descuento, comercial o bursátil, el valor actual con descuento bancario o valor efectivo, y comparación entre tasa de interés y tasa de descuento. Actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso.



PRELIMINARES

El cuarto capítulo incluye la utilización de las ecuaciones de valor, las cuentas de ahorro, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. En el capítulo quinto se analizará el Interés Compuesto, la comparación de interés simple – interés compuesto, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. El capítulo sexto se refiere a las anualidades o rentas, anualidades anticipadas, gradientes, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. El capítulo séptimo trata de las amortizaciones y fondos de amortización o de valor futuro, actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. Finalmente el capítulo octavo incluye nociones sobre el sistema financiero, bonos, seguros, tasa de interés real, tasa de interés internacional, valor actual neto (VAN), tasa interna de retorno. Además se incluye actividades de ejercitación, actividades de auto evaluación y actividades de repaso. Le deseo éxitos en su tarea

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PRELIMINARES


4. Lineamientos generales del Modelo Educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL- ECTS

Sr. Estudiante recuerde que usted ha iniciado su formación en tercer nivel con un sistema educativo basado en el desarrollo de competencias a través de créditos académicos. Este modelo le convierte a usted en protagonista de su propia formación y al profesor en mediador de las experiencias de aprendizaje. Surge entonces la necesidad de que tenga claro dos conceptos fundamentales competencia y crédito académico. •

¿Qué es competencia? Entendemos por competencia el conjunto de actitudes, habilidades y conocimientos que el alumno adquiere e incorpora según sus características personales y experiencias laborales y, que se ponen de manifiesto en el desempeño de la actividad profesional.

Las competencias se adquieren a lo largo del proceso formativo de la carrera y se desagregan en objetivos de aprendizaje propuestos en cada asignatura. Elementos de una competencia. Tres son los elementos que podemos distinguir en toda competencia: o

Actitudes: son predisposiciones y comportamientos ante situaciones concretas.

o

Habilidades: son destrezas para ejecutar con éxito tareas, utilizar procedimientos y realizar trabajos. Se desarrollan a través de la práctica y la experiencia.

o

Conocimientos: constituyen los contenidos científicos, conceptuales, teóricos, conocidos también como el aprendizaje académico.

• ¿Qué es un crédito académico UTPL/ECTS en la Modalidad a Distancia? Un crédito académico es la unidad de medida de la actividad académica del estudiante, implica 32 horas de trabajo del alumno (29 horas de trabajo autónomo y 3 horas de interacción)2 Los créditos académicos que el estudiante irá acumulando en el transcurso de la carrera involucran: aprendizaje autónomo (estudio personal), tareas de investigación, interacción en el Entorno Virtual de aprendizaje (EVA), participación en tutorías, videoconferencias y otros eventos académicos (Jornadas, seminarios, cursos, congresos avalados por la UTPL), prácticas académicas, pasantías pre profesionales y de vinculación con la colectividad; actividades de evaluación; así como la realización del trabajo de titulación. El modelo adoptado por la UTPL contempla dos tipos de competencias: genéricas y específicas. •

1

Competencias Genéricas: Son aquellas capacidades (Actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrecen en la UTPL. Constituyen una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formación. CONESUP (2008): Reglamento del Régimen Académico del Sistema Nacional de Educación Superior, art. 18.



PRELIMINARES

•

Competencias especificas: Son propias de la titulación, aportan a la cualificación especifica para la profesión, dándole consistencia social y profesional al perfil formativo.

•

¿Estructura general del programa formativo Las Unidades Académicas o escuelas de la UTPL han estructurado el programa formativo contemplando cinco ámbitos o bloques de asignaturas: Formación Básica (10%); Genéricas de carrera (15%); Troncales (35%) Complementarias (10%), Libre configuración (10%) y además, el Practicum que comprende las pasantías preprofesionales y de vinculación con la colectividad y Practicum Académico (20%).

4.1 Competencias genéricas •

Vivencia de los valores universales del Humanismo Cristiano

•

Adquirir hábitos y técnicas de estudio eficaces

•

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis

•

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

•

Conocimiento sobre el área de estudio

•

Capacidad de aprender a aprender como política de formación continua

•

Capacidad critica y autocritica

•

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

•

Habilidad para trabajar en forma autónoma

•

Capacidad para formular, diseñar y gestionar proyectos

•

Capacidad para tomar decisiones

•

Compromiso ético.

•

Motivación de Logro

4.2 Competencias específicas Estas se detallan en la planificación para el trabajo del alumno:

10



PRELIMINARES


5. Bibliografía 5.1 Básica -

Mora Zambrano, A.,( 2007): Matemáticas Financieras, Bogotá – Colombia, Segunda Edición, Grupo Editor S.A. Alfaomega.

El texto básico de Matemáticas Financieras de Armando Mora Zambrano, lo hemos tomado, porque está orientado a estudiantes de las ciencias Administrativas, Contables, Económicas, Bancarias y similares, en general, porque la metodología utilizada facilita al estudiante de modalidad a distancia, comprender e interpretar cualquier problema que se plantee en el mundo fantástico de las matemáticas financieras. Armando Mora Zambrano, es Máster en Administración de Empresas MBA, y Profesor de destacadas Universidades con más de treinta años de experiencia, lo que le ha permitido obtener la práctica necesaria para el desarrollo del presente libro, que reúne las condiciones para asimilar el contenido de las matemáticas financieras de forma sencilla y con gran variedad de ejercicios prácticos. -

Muñoz Angel.,( 2009): Guía de Matemáticas Financieras, Loja – Ecuador, Editorial UTPL.

Como apoyo para el aprendizaje se elaboró la presente guía de matemáticas financieras con el fin de facilitar a usted, elementos indispensables para el manejo y aplicación del texto básico, especialmente respecto a las variables que se utilizarán en la resolución de problemas y ejercicios propuestos.

5.2 Complementaria 1.

Álvarez Arango, A., (1999): Matemáticas Financieras, Bogotá – Colombia, Editorial Mc Graw Hill, Interamericana. S.A. El presente texto se ha considerado como complementario porque nos permite acceder a los diferentes temas planteados para el presente ciclo, con la única diferencia respecto al texto básico, la nomenclatura y algunos temas como: valor presente neto y costo anual uniforme equivalente (Capítulo 7), evaluación financiera de alternativas de inversión (Capítulo 8), bonos (Capítulo 10), etc., mismos que son tratados con mayor profundidad.

2.

Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras, México, segunda edición Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. Otro de los textos que se lo ha tomado como complementario es de Alfredo Díaz Mata, por la cantidad de ejercicios propuestos y porque proporciona al estudiante las herramientas necesarias para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla y posible; es decir abordando los temas con menor complejidad matemática que el tema permite.

3.

Villalobos, José L. (2001), Matemáticas Financieras, México, segunda edición, Pearson Educación, S.A. Me permito recomendar este texto como complementario, toda vez que con la gran cantidad de ejercicios y problemas planteados y resueltos utilizando dos o más métodos y los diagramas de tiempos y valores, constituyen gran ayuda en especial a los señores estudiantes que han escogido la modalidad a distancia.


11


PRELIMINARES

6. Orientaciones generales para el estudio Las matemáticas financieras que analizaremos son de vital importancia para los estudiantes de las diferentes carreras que desempeñarán actividades en el campo administrativo como son: Contabilidad y Auditoría, Economía, Administración de Empresas, Bancaria, Administración en empresas Hoteleras y turísticas, y carreras afines. Amigo estudiante, los materiales básicos a utilizar será la calculadora, un formulario, texto básico y la guía didáctica. Por otra parte es necesario indicar que para obtener un mayor rendimiento en el estudio a realizar deberá hacerlo preferentemente en las mañanas, un lugar adecuado que tenga ambiente tranquilo, cómodo y con mucha claridad, por lo menos deberá dedicarle una hora diaria en especial en el desarrollo de los ejercicios prácticos de aplicación. y trate de incluirlo en sus actividades diarias. Esta asignatura ha sido considerada para el análisis en los primeros ciclos de su formación profesional, por lo que es indispensable tener los conocimientos básicos adquiridos en las materias de Matemáticas I y II aprobadas en los ciclos anteriores. Debido a que esta materia se constituye como la aplicación de contenidos ya aprendidos sería conveniente haga una ayuda memoria de los contenidos de las materias cadena. Las dificultades frecuentes en el estudio de esta materia, son el despeje de las fórmulas en especial del tiempo y la tasa de interés, para lo cual se sugiere resolver las autoevaluaciones y comparar con sus respuestas, en el solucionario propuesto dentro de esta guía. Estudie detenidamente cada uno de los capítulos presentados, mediante cuadros resúmenes y el desarrollo de todos los ejercicios planteados, ya que sólo después de interiorizarlos y comprenderlos estará en capacidad para desarrollar satisfactoriamente las preguntas y actividades de aprendizaje propuestos al final de cada capitulo. Recuerde revisar la bibliografía complementaria, la misma que le ofrecerá información adicional para profundizar en el contenido de los diferentes temas propuestos. Analice detalladamente los ejemplos y ejercicios propuestos que se indican en el texto básico, eso le ayudará a relacionar la parte teórica con los hechos reales, además le permitirá comprender mejor los temas que se esta tratando en cada capitulo. Por otra parte me permito recomendar que los problemas desarrollados, se lleven al campo práctico como es un préstamo bancario personal o familiar y analizar la conveniencia del mismo de acuerdo con la tasa de interés, así como también sí desea comprar una póliza de “X” valor, previamente debe analizar la tasa de rendimiento. Señor estudiante si encuentra dificultad en alguno de los temas, relacionados con la materia puede escribir al correo electrónico [email protected] y en caso de que no disponga de este medio, no dude en consultar en el horario de asesoría que lo encuentra en su guía didáctica, que estaré presto a dar la ayuda necesaria y si no ha sido posible en el horario indicado podrá hacerlo llamando a mi domicilio al teléfono 07 2 563034 a partir de las 20h00 a 22h00. Recuerde que cada bimestre debe entregar un trabajo a distancia que consta de dos partes, una de ensayo con valoración de dos puntos y otra de aplicación con la valoración de 4 puntos, este trabajo es obligatorio presentarlo en el centro regional en las fechas indicadas, pues constituye un requisito para que pueda rendir su evaluación presencial.

12



* Planificar actividades de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros en la organización. (Administración en Banca y Finanzas)

* Utiliza modelos matemáticos en la solución de problemas financieros y de inversión de las organizaciones (Contabilidad y Auditoria)

COMPETENCIAS ESPECIFICAS

CONTENIDOS Unidades / Tema CAPÍTULO 1: Generalidades 1.1 Porcentaje 1.2 Ley de signos 1.3 Depreciación 1.4 Logaritmos y antilogaritmos 1.5 Series o progresiones 1.6 Ecuaciones

OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE

1. Interpretar y ejemplificar los conceptos de porcentaje, depreciaciones, progresiones, logaritmos y ecuaciones.

7.1 Planificación para el trabajo del alumno

Semana 1 y Semana 2 (8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)

(Tiempo Estimado)

CRONOGRAMA ORIENTATIVO

Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas Resolución del cuestionario de autoevaluación. Interacción en el EVA Participación en el foro en el EVA Inicio del desarrollo de la evaluación a distancia

1.

2.

3.

4.

5.

6.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Primer bimeStre

Textos complementarios

Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA)

3.

4.

Guía didáctica

Texto básico

2.

1.

RECURSOS DIDÁCTICOS

7. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias

Evaluaciones Presenciales

Evaluaciones a distancia: P. Objetiva y P. de Ensayo.

Desarrollar las Actividades recomendadas y autoevaluaciones indicadas en la guía didáctica

EVALUACIÓN

PRIMER BIMESTRE



13

14


* Identificar y Examinar críticamente la información contable y financiera de las organizaciones turísticas para gestionar los recursos financieros.(Ad ministración de Empresas Turísticas y Hoteleras)

* Aplicar modelos estadísticos y matemáticos en el procesamiento de datos para la toma de decisiones, así como el desarrollo de estrategias de crecimiento empres arial.(Administración en Empresas)

3. Interpretar y distinguir lo esencial de los concepto de descuento y redescuento tanto racional como bancario o bursátil.

2. Ejemplificar el cálculo del interés simple y sus variables (capital, tasa de interés, tiempo); así como también el cálculo del monto y del valor actual o presente.

CAPÍTULO 3: Descuentos 1.1 Descuento 1.2 Descuento racional 1.3 Descuento bancario, comercial o bursátil 1.4 Valor actual con descuento bancario o valor efectivo 1.5 Análisis de la relación descuento racional - descuento bancario y comparación entre tasa de interés y tasa de descuento

CAPÍTULO 2: Interés simple 1.1. Interés 2.2.Cálculo del valor actual o presente a interés simple

Semana 5 y Semana 6 ( 8 horas de autoestudio y 8 horas de interacción)



5. Continuación del desarrollo de la evaluación a distancia

Evaluaciones Presenciales 4. Participación en el foro en el EVA

Desarrollar las Actividades recomendadas y autoevaluaciones indicadas en la guía didáctica Evaluaciones a distancia: P. Objetiva y P. de Ensayo.

3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico

3. Resolución del cuestionario de autoevaluación.

2. Realización de las actividades recomendadas

1. Lectura comprensiva del texto guía



4. Participación en el foro en el EVA


3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico




Guía didáctica: Matemáticas Financieras PRIMER BIMESTRE

* Examinar aspectos contables y financieros de la empresa y la economía para la toma de decisiones. * Tomar decisiones de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros.(Escuela de Economía)

4. Aplicar las ecuaciones de valor en problemas reales de empresas del sector público y privado.

CAPÍTULO 4: Ecuaciones de valor y cuentas de ahorro 1.1 Ecuaciones de valor 1.2 Cuentas de ahorro 1.3 Liquidaciones de intereses en cuentas de ahorro






3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico




PRIMER BIMESTRE



15


Criterios


x

x x

Pruebas mixtas: objetivas y ensayo x

x

x

x

x

x

Esfuerzo e interés en los trabajos Respeto a las personas y a las normas de comunicación x

x

x

x

x

Creatividad e iniciativa x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Emite juicios de valor argumentadamente x

x

x

x

x

Dominio del contenido x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

TOTAL

Conocimientos Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas

Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autorregular su proceso de aprendizaje

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

x

x

x

x

x

x x

x

Comportamiento ético

Interacción en el EVA

Ensayo

Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad

x

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

Habilidades

Presentación, orden y ortografía

Actitudes

PORCENTAJE

6

4

2

14

20 puntos en cada bimestre

En actividades especifícas tanto presenciales como en el EVA.

70%

Complementa la evaluación a distancia, máximo en 1 punto.

30%

20%

10%

Estrategia de aprendizaje*

PUNTAJE

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa; sin embargo, en circunstancias especiales podría afectarle positiva o negativamente en su calificación cuantitativa.

Sr. estudiante:

(período octubre- febrero) o 15 de mayo (período abril-agosto).

** Recuerde: que la evaluación a distancia del primer bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario hasta el 15 de noviembre

*

3. Coevaluación

Prueba Presencial

Evaluación a Distancia**

Objetiva

1. Autoevaluación y actividades recomendadas.

Formas de evaluación

2. Heteroevaluación

Investigación (cita fuentes de consulta)

16 Aporta con criterios y soluciones

7.2 Sistema de evaluación

Guía didáctica: Matemáticas Financieras PRIMER BIMESTRE


PRIMER BIMESTRE

7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias Señor estudiante, es el momento de iniciar el estudio de la primera unidad.

CAPÍTULO 1.

GENERALIDADES

Para el estudio del capítulo uno, Generalidades deberá dirigirse al capitulo uno del texto básico. En especial se recomienda desarrollar los ejercicios y problemas de la actividad de ejercitación y revisar los ejercicios de la actividad de auto evaluación Nro. 1. Con el fin de proporcionar una mayor ayuda al estudiante en el aprendizaje de las Matemáticas Financieras, se incluyen algunos temas preliminares como un repaso de aquellos conceptos matemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenido del texto. Estamos conscientes de que en la mayor parte de los casos, han olvidado los conceptos de porcentajes, depreciaciones, agotamiento, logaritmo, progresiones aritméticas y geométricas, en fin, se ha olvidado en parte de su formación matemática. Por esta razón, es necesario realizar una revisión y así familiarizarse nuevamente con estos temas y nada más apropiado que proporcionar la información adecuada para una buena nivelación y comprensión del resto de conceptos que se tratarán en el presente ciclo: los mismos que se irá en forma secuencial orientando y ampliando de acuerdo con el esquema anteriormente presentado. 1.1.

PORCENTAJE

Iniciaremos con el término porcentaje o tanto por ciento. “Consiste en relacionar una cantidad con respecto a 100 y se expresa con el símbolo %. Cualquier número expresado en forma decimal puede ser escrito como porcentaje, colocando simplemente el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo %.”2 A continuación se plantean algunos ejercicios sobre este tema, que permitirán recordar lo antes aprendido. Por ejemplo: -

8% significa tomar 8 unidades de cada 100

-

50%

-

0,5% significa tomar 0,5 unidades de 100

significa tomar 50 unidades de cada 100

8/100 = 0,08 = 8%; 50/100 = 0,5 = 50%; 0,5/100 = 0,005 = 0,5%. En el campo práctico se utiliza con frecuencia el tanto por ciento fraccionario en las tasas de interés. Por ejemplo:

2

Mora Zambrano A. (2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pag.14


1


- - - -

1 1/8% 11 3/8% 9 6/ 16% 12 4/16%

PRIMER BIMESTRE

= 1, 125% = 11.375% = 9,375% = 12,25

= 0,01125 = 0,11375 = 0.09375 = 0,1225.

PROCEDIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE PORCENTAJES: 1. Dado un porcentaje respecto de una cantidad, encontrar la cantidad resultante. Utilizamos la regla de tres simple, o se multiplica directamente la cantidad por el porcentaje, expresando en forma decimal. Ejemplo: Calcular el 12% de $800 -

POR REGLA DE TRES SIMPLE

800 = 100% X = 12% (800) (12) X

= ------------- = $96.00 100

-

DIRECTAMENTE

(800) (0.12) = $ 96.00

2.

Dada la cantidad resultante, encontrar el porcentaje respecto de una cantidad.

Aplicamos la regla de tres simple, o se divide la cantidad dada, entre los resultantes multiplicada por cien.

Ejemplo: ¿Qué porcentaje de $ 600.00 es $ 90.00? a.

600 = 100% 90 = X% (90) (100)

X = --------------- = 15% 600 (90) (100) X = ---------------- = 15% 600 b.

18




PRIMER BIMESTRE

APLICACIONES Las aplicaciones más comunes son: Descuento por compra al contado: Calcular el valor de la factura de venta de un televisor de 32 pulgadas cuyo precio de lista es de $ 680.00, si se ofrece el 15% de descuento por venta al contado. Primer procedimiento: •

$ 680,00 precio de lista 102.00 15% descuento ($ 680.00) (0,15) $ 578.00 valor de la factura.

Segundo procedimiento:

$. 680.00 (1 – 0,15) = $ 578.00

Descuento por compra al contado con aplicaciones de impuestos. Calcular el valor de la factura de venta de un equipo de sonido cuyo precio de lista es de $ 280.00 con el 15% de descuento por compra al contado, si se aplica el 12% de impuesto a las ventas. Primer procedimiento •

$ 280.00 -42.00 -------------- $ 238.00 • + 28.56 $ 266.56

precio de lista 15% descuento ($ 280 .00) (0,15) precio con descuento impuesto a las ventas ($238.00) (0.12) Valor de la factura de venta.

Segundo procedimiento

$ 280.00 (1- 0,15) = $ 238,00. $ 238.00 (1+0,12) = $ 266,56

Cálculo del porcentaje del precio de costo Ejemplo: Un comerciante desea obtener una utilidad o beneficio del 25% sobre el precio de costo de un producto que adquirió en $ 800.00; calcular el precio de venta. Primer procedimiento Precio de venta = Precio de costo + utilidad Precio de venta = $ 800,00 + $ 800,00 (0.25) Precio de venta = $ 800.00 + $ 200.00 Precio de venta = $1,000.00


19


PRIMER BIMESTRE

Segundo procedimiento Precio de venta = $ 800.00 (1+ 0,25) = $ 1,000.00 Cálculo del porcentaje sobre el precio de venta Ejemplo: Un comerciante desea vender computadoras portátiles que tienen un costo de $ 2.200,00, con una utilidad del 20% sobre el precio de venta. Calcular el precio al que puede vender cada computadora. Primer procedimiento Precio de venta = Precio de costo + utilidad Precio de venta – utilidad = Precio de costo Precio de venta - [ 0,20 ( precio de venta) ] = 2.200,00 PV (1 -0,20 ) = 2.200,00 PV (0 ,80 ) = 2.200,00 PV = 2.200,00 0,80 PV = $ 2.750,00 Segundo procedimiento Precio de venta ( 1-0,20 ) = 2.200,00 PV ( 0,80 ) = 2.200,00

PV = 2.200,00

0,80

PV = $2.750,00

Otro de los temas que consideramos de suma importancia para la resolución de operaciones es el manejo adecuado de la ley de signos, en razón de que, al ser más utilizadas trae como consecuencia resoluciones erróneas de los ejercicios. Cabe recalcar que esta información no consta en la bibliografía indicada, ya que se trata de un extracto de la Matemática Básica 1.2.

LEY DE SIGNOS

•

El producto de dos factores de igual signo es siempre positivo.

Ejemplo: 5(5) = 25 (-6) (-2 ) = 12. •

El producto de dos factores de signos diferentes es siempre negativo.

20




PRIMER BIMESTRE

Ejemplo: (-7) (3) = - 21 (9) (-4) = -36. División: •

El cociente entre dos números del mismo signo es siempre positivo.

Ejemplo: 30/5 = 6 •

y

- 40/ - 10 = 4

El cociente de dos números de signos diferentes es siempre negativo.

Ejemplo: •

84/ 7 = - 12

y

55/ - 11 = - 5.

Una vez que hemos recordado las leyes de los signos y estar seguros de su correcta aplicación, será fácil la resolución de cualquier ejercicio completo con operaciones indicadas, de tal forma que al momento de resolver los problemas planteados, usted podrá hacer uso de lo aprendido en el texto básico como las indicaciones dadas en la presente guía. Ejemplo: (- 30 + (- 5)/ ((-2) (3) + 1) (- 30 – 5)/ (-6 + 1) = - 35/ -5 = 7. Si revisamos el ejercicio desarrollado, se observa que hemos aplicado las leyes de los signos de las cuatro operaciones matemáticas fundamentales (suma, resta, multiplicación y división); mismas que le serán de mucha ayuda para la solución de los problemas propuestos del texto básico y la actividad de auto evaluación que se adjunta al final de cada capítulo. 1.3.

DEPRECIACIÓN

Señor estudiante, la tipificación de los métodos de depreciación se clasifican en Métodos de Depreciación Contable y Métodos de Depreciación Económica y se encuentran desglosados en el texto básico, en el capitulo 1. A Continuación le adjunto algunos ejercicios para mejorar la comprensión del tema. De estos métodos los de uso común son los métodos uniforme o de línea recta y el método por porcentaje fijo o método legal. EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LOS DOS MÉTODOS •

Calcule la depreciación al 31 de diciembre de 2008 de un vehículo Forsa II, cuyo costo actual es de $ 11,200.00, adquirido el 1º de enero/08; y para el cual se estima un valor residual de $ 140.00 y una vida útil de diez años.


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PRIMER BIMESTRE

SOLUCIÓN BAJO LOS DOS MÉTODOS 1.

MÉTODO POR PORCENTAJE FIJO O LEGAL:

D

= (V/actual – V/ residual) % = ($ 11,200.00 - $ 140.00) 20% = ($ 11,060.00) 0,20 = $ 2, 212.00 (depreciación por año)

NOTA: Esta cifra es el tope tributarios. 2.

del gasto deducible aceptable por el Ministerio de Finanzas, para efectos

MÉTODO LÍNEA RECTA: D =

V/actual – V/residual Nro. Años vida

$ 11,200.00 - $ 140.00 = ---------------------------------- = 10 1.4.

$ 11,060.00 ----------------------10

= $ 1,106.00 (depreciación por año)

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS

Para el desarrollo del presente tema confróntese con los contenidos del texto básico en el capitulo 1. Al tratar este tema estudiaremos únicamente la parte que tiene aplicación en la resolución de problemas de matemáticas financieras, y de ella, los que aun si se utilizan calculadoras electrónicas de bolsillo no pueden resolverse directamente y requieren explicación. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS3: 1.

Los números negativos no tienen logaritmos.

2.

La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativo.

3.

En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero.

4.

Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo.

5.

Todo número menor que la unidad tendrá logaritmo negativo

Es importante tener presente los siguientes conceptos elementales sobre este tema: El logaritmo de un producto de dos o más números positivos, es igual a la suma de los logaritmos de dichos números. Log (A) (B) = Log A + Log B.

3

Álvarez Arango, A., (1999): Matemáticas Financieras, Bogotá – Colombia, Editorial Mc Graw Hill, Interamericana. S.A., pág. 16

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PRIMER BIMESTRE

Ejemplo: Log (2) (4) = Log 2 + Log 4 El logaritmo de un cociente de dos números positivos, es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Log A/B = Log A – Log B Ejemplo: 4 Log ------------- = Log 4 – Log 2 2 El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicador por el logaritmo de la base. Log An = n log A Ejemplo: Log 4³ = 3 log 4 El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida por el índice de la raíz. log 4 3

log √4 =---------

NOTA: √4 = 41/3 1 log 4 Luego log 41/3 3 3

= ------ log 4 = --------

ANTILOGARITMOS4 Si L = log N, N es llamado antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L = log N. Por ejemplo: 200 = antilog 2.301030

ya que log 200 = 2.301030

0,5 = antilog 0,698970 – 1

ya que log 0,5 = 0,698970 – 1

El antilogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado utilizando una calculadora electrónica o por medio de tablas. 4

Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras, México, segunda edición Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. pág. 17


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PRIMER BIMESTRE

Ejemplos: Dado el log 8.37 = 0,922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos. a.

2. 922725

b.

1. 922725

c.

0. 922725 – 3

d.

3. 922725

e.

0. 922725 – 1

SOLUCIÓN a.

Antilog 2.922725 = 837.00

b.

Antilog 1.922725 = 83.70

c.

Antilog 0.922725 – 3 = 008370

d.

Antilog 3.922725 = 8370.00

e.

Antilog 0.922725 – 1 = 0.8370

Los logaritmos han perdido importancia ante el advenimiento de las calculadoras y computadoras electrónicas que permiten la realización de complejas operaciones aritméticas con rapidez y precisión. Sin embargo, aún deben utilizarse los logaritmos para encontrar la solución de una ecuación o problemas planteados. Ejemplos: Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos: a. b.

85 347 X 15 274 ----------------------125 386 (0.03768)2 (6.354428)6

SOLUCIÓN: a. log

85 347 x 15 274 ------------------------125 386

antilog 4. 016892 b.

= log 85 347 + log 15 274 – log 125 386

= 4. 931188 + 4. 183953 – 5. 098249 = 4. 016892 = 10 396. 62

log ( 0,03768)2 ( 6. 354428 )6

24


= 2 log 0.03768 + 6 log 6. 354428 = 2 ( -1. 423889 ) + 6 (0. 803076) = -2. 847778 + 4. 818456 La Universidad Católica de Loja


PRIMER BIMESTRE

= 1. 970678 antilog 1. 970678 = 93. 471239. Existen problemas que sólo pueden resolverse mediante el uso de logaritmos; por ejemplo: El tiempo en que un capital quintuplicará su valor dada una tasa de interés de 5% mensual es de aproximadamente 33 meses. a.

Determine el valor de n ( números de periodos de conversión ) si n representa semestres, y 4 500

( 1+ 0. 25 )-n

= 600

log 4500 + - n log ( 1.25 ) •

n log

•

n (0.096910)

1. 25

= 600

= log 600 – log 4 500 = 2. 77915125 – 3.653212514

0. 87406126 n = -------------------- 0. 096910 n b.

=

9. 02 semestres

Determine el valor de n ( número de pagos periódicos ) si n son trimestres, y ( 1 + 0.18 )n 0.18

-1 = 12

DESARROLLO: c.

Por logaritmos: ( 1 + 0.18)n - 1

=

12 (0.18 )

( 1 + 0.18)n - 1

=

2.16

( 1 + 0.18)n

=

2.16 + 1

( 1.18)n

=

3.16

n log 1.18

=

log 3.16

log 3.16 n = ------------log 1.18

0.499687082 n = -----------------0.071882007

n = 6.95 pagos trimestrales


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1.5.

PRIMER BIMESTRE

SERIES O PROGRESIONES

Una serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12 4, 8, 16, 32 Las progresiones se pueden aplicar para la resolución de problemas, Así tenemos que estas pueden ser: progresión aritmética y progresión geométrica; así: PROGRESION ARITMÉTICA, Es una serie de números, llamados términos, en la que cualquier término posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumándole (o restándole) un número constante llamado diferencia común (d)5. Ejemplo: 6, 12, 18, 24 En este caso la diferencia es de 6 El primer término es 6 El último término es 24 Ejemplo: Por la compra de una casa una persona paga al final del primer año la cantidad de 5,500 dólares; al final del segundo año 5,000 dólares; al final del tercer año 4,500 dólares. ¿Cuánto pagará por la casa si realiza 10 pagos? 5,500; 5,000; 4, 500;…….; es una progresión aritmética cuya diferencia es -500 en razón de que es progresión decreciente; por lo tanto se debe calcular el último término, en el presente caso término décimo. U = a + (n-1) d U = 5, 500 + (10 – 1) ( - 500) U = 5,500 + (9) (-500) U =5, 500 – 4,500 U = 1,000 Para encontrar el costo total de la casa se aplica la fórmula de la suma, así: S = n/2 ( a + u) S = 10/2 (5,500 + 1, 000) S = 5 (6,500) S = 32,500 (Costo total) 5

Mora Zambrano, A. (2007): ): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág. 24

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PROGRESIÓN GEOMÉTRICA “Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se deduce del anterior multiplicándolo o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón.”(Diccionario Enciclopédico Universal, 1980, Valencia)6 Ejemplo: Es una institución pública se constata que al 31 de diciembre de 1999, el equipo de computación tiene un valor de 1,800 dólares. Si al final de cada año se deprecia el 20%. ¿Cuál será su valor después de 10 años?. Valor inicial: 1,800 dólares Final del primer año: 1,800 – 1,800 (0,20) 1,800 (1-0,20) = 1,800 (0,80) Final del segundo año: 1, 800 (0,80) – 1, 800 ( 0, 80 ) ( 0, 20) = 1, 800 (0, 80) (1 – 0, 20) = 1, 800 (0,80)² Se puede escribir la progresión geométrica 1, 800 + 1, 800 (0, 80) + 1, 800 (0, 80)² +1,800(0, 80)³ … U = a r n-1 U = 1, 800 ( 0, 80) = 1,800 ( 0, 134217728)9 U = 241. 592 dólares. Valor al final del décimo año. 1.6.

ECUACIONES

Le invito a leer detenidamente el capitulo 1, del texto básico en lo relacionado con la unidad de ecuaciones, ya que trata de conocimientos de Matemática básica. Si tiene la oportunidad y desea ampliar sus conocimientos sobre este capítulo, le sugiero referirse a los textos complementarios de Alfredo Días Mata y Víctor Manuel Aguilera Gómez, y José Luis Villalobos, Matemáticas Financieras, a las páginas 2 a la 41. y 2 a la 35, respectivamente, en el orden indicado. ACTIVIDADES RECOMENDADAS -

Señor estudiante, le recomiendo desarrollar las actividades de repaso que se encuentra en las páginas de la 33 a la 36 del texto básico, y de esta forma estar seguros de los conocimientos asimilados en este primer capítulo.

6

Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras, México, segunda edición Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. pág. 17


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Autoevaluación 1 Aplicando la regla de tres simple y directamente, calcular: 1.

a. EL 15% de $ 500.00 dólares b. El 12% de $ 800.00 dólares c. El 25% de $ 320.00 dólares.

2.

¿De qué cantidad es $ 240.00 el 15%?

3.

¿De qué cantidad es $360.00 el 18%?

4.

¿Qué porcentaje de $ 1,200.00 dólares es $ 45.00 dólares?

5.

¿Qué porcentaje de $ 2,500.00 dólares es $ 85.00 dólares?

6.

Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos:

7.

Calcular el valor de la factura de venta de un televisor cuyo precio de lista es $380.00 dólares, con el 8% de descuento por compra al contado, si se aplica el 12% de impuesto a las ventas.

8.

Un comerciante desea obtener una utilidad del 25% sobre el precio de costo de un artículo que adquirió en $ 12.00 dólares; calcular el precio de venta.

9.

Una firma desea vender equipos de sonido que tiene un costo de lista de $ 400.00 dólares, con una utilidad del 28% sobre el precio de venta. Calcular el precio al que puede vender cada equipo de sonido.

10.

Utilizando logaritmos y calculadora, calcular (i): a. b.

(1 + i)50 = 4,383906019 (1 + i)25 = 3,386354941

11.

Calcular n: (1 + 0,05)n = 80,73036503.

12.

Calcular el término 15 y la suma de los 15 primeros términos de la progresión: 6; 14; 22; 30;........

13.

Aplicación de progresiones a un problema: a.

Por la adquisición de un automóvil, una persona paga al final del primer año $ 1,200.00 dólares, al final del segundo año; $ 1,150.00 dólares, y al final del tercer año $ 1,100.00. ¿Cuánto pagará por el automóvil si hace 15 pagos.

Hemos concluido el primer capitulo de los temas de estudio, es el momento de referirse al capítulo 2.

2




PRIMER BIMESTRE

CAPÍTULO 2. 2.1.

INTERÉS SIMPLE

INTERÉS

Antes de adentrarnos a tratar lo que es el Interés Simple, es necesario que conozcamos qué es el interés: Algunos autores lo definen como7: 1.

“Utilidad o ganancias que genera un capital”.”( Villalobos, 2001: Matemáticas Financieras)”

2.

“Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”.”( F. Ayres Jr.: 1971Teoría y 500 problemas resueltos,)”

3.

“Valor del dinero en el tiempo” ”( Álvarez. A. 1999: Matemáticas Financieras)”

4.

“Rendimiento de una inversión” ”( Álvarez. A. 1999: Matemáticas Financieras)”.

5.

“Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un período determinado”, etc. ”.”(Teoría y 500 problemas resueltos, F. Ayres Jr., 1971)”

Las definiciones anteriormente citadas son válidas: A continuación presentamos un ejemplo para aclarar lo expuesto. El señor Flores le prestó al señor Román la suma de $ 1,200.00 con la condición de que el señor Román le devuelva al señor Flores la suma de 1,224.00 dólares dos meses después. Como podemos observar, el señor Flores se ganó $24.00 por prestarle $ 1,200 al señor Román durante dos meses. Esto indica que los intereses fueron de $ 24.00 dólares durante los dos meses, o en otras palabras, de $ 12 mensuales. Del problema expuesto podemos deducir lo siguiente:

7

a.

$ 1,200.00 representan el capital invertido, o el capital inicial o valor presente o valor actual del crédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula “C”, por consiguiente C = 1,200.00

b.

$ 1,224.00 representa el valor en el cual se transformaron los $1,200.00 durante dos meses; es el valor inicial más los intereses, se denominará Monto o valor futuro y se representará con la letra M; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma una suma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada o pactada; M = $ 1,224.00 dólares.

c.

$ 24.00 representa el valor de un interés devengado por $ 1,200.00 prestados durante dos meses. Este valor se indica con la letra mayúscula “I” y se define como la diferencia entre el monto y el capital; o lo que es lo mismo decir, la diferencia entre el valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de los conceptos dados anteriormente.



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PRIMER BIMESTRE

I=M–C Del ejemplo planteado, I = $1,224.00 – 24.00 = $ 1,200.00 y corresponde un periodo de dos meses, el cual se denota con la letra minúscula « t », así, t = 2 meses. Si en dos meses los intereses fueron de $ 24.00, en un mes serán de $ 12.00. Esto equivale a decir que el interés será de $ 12.00 por cada $ 1,200.00 prestado en un mes. Por lo tanto en porcentajes se tiene que $ 12/1200 = 0,01, este valor corresponde a un índice porcentual que indicará el valor de los intereses; este indicador se denomina tasa de interés y se denota con la letra minúscula « i ». Obsérvese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor de crédito. i = l/C = 12/1 200 = 0,01 = 1% (mensual). NOTA: Siempre que trabajemos con problemas o ejercicios financieros, es necesario tener en cuenta que la tasa de interés debe estar dada en función del período en el cual se trabaje o el tiempo de las transacciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica deberá ser trimestral. Resumiendo y abundando sobre el ejercicio planteado: C = $ 1,200 I = $ 24 t = 2/12 =1/6 i = 12% = 0,12 ( anual ) M = $ 1,224.00 Podemos observar que, en general: M = C + I 1,224 = 1 200 + 24

(1)

El monto es igual al capital más los intereses I = C i t 24 = 1,200 (0,12) ( 1/6)

(2)

El interés es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo, combinando las dos expresiones anteriores, tenemos: M = C + Cit Al obtener el factor común C; se tiene la fórmula del monto. M = C (1 + it)

30


(3)



PRIMER BIMESTRE

M = C (1 + it ) =1 200 [1 +0,12 (1/6)] =1 200 (1,02) = $ 1.224 dólares. Al factor (1 + i t) se lo conoce como factor de acumulación con interés simple. Finalmente, otra relación que es necesario destacar es: M = C (1+ i.t)-1 C=

(4)

= M(( 1 + i t)-1 ) = 1 224 ( 1,02 )-1 = 1,224 ( 0.980392156)

C = $1,200.00 dólares. Este problema podría expresarse, con las mismas cantidades, en los siguientes términos: El señor Pérez tiene una deuda de $. 1,224.00 que debe cancelar dentro de dos meses. Si la transacción está acordada a 12 por ciento anual de interés simple, ¿cuánto debería cancelar para saldar su deuda? La respuesta es, desde luego, $1,200.00 dólares. 2.2. CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL O PRESENTE A INTERÉS SIMPLE Para comprender mejor sobre el calculo del valor actual o presente , recordemos una breve definición. “Valor actual o presente de un documento o deuda es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento del documento, deuda o pago. Se representa por la letra « C ». Valor actual de una suma, con vencimiento en una fecha futura, es aquel que, a una tasa dada y en un periodo de tiempo determinado hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un valor igual a la suma debida.”8 La presente definición, resume el concepto del valor actual y precisa que el tiempo faltante para el vencimiento de un documento financiero o deuda es el que interesa y debe tomarse en cuenta para el cálculo. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL VALOR ACTUAL La deducción de la fórmula del valor actual, se encuentra en el texto básico pág. 53. A continuación se plantea un ejercicio con todo el proceso que usted deberá desarrollar en problemas similares. Ejemplo: Un ejecutivo compró un automóvil nuevo por el cual pagó 18,000.00 dólares el primero de enero, y lo vende el primero de junio del año siguiente en 18,500.00 dólares. A parte del uso que ya le dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hizo, considerando sólo los valores de compra y venta, ¿fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés de mercado era el 15%?

8



31


PRIMER BIMESTRE

SOLUCIÓN: En el presente caso, para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual o presente de $ 18,500.00 dólares, 17 meses atrás, a una tasa similar a las vigentes en ese lapso, para comparar esa cantidad con lo que se pagó. Valor actual de $ 18,500.00 dólares, 17 meses antes, a 15% anual simple.

C= C = $ 15,257.73 Dejó de ganar ($ 18 500 – 15.257,73) = 3 242,27 dólares aproximadamente), al haber invertido en el automóvil en vez de haberlo hecho en una inversión bancaria o bursátil que habría tenido el mismo rendimiento del mercado. Para una mejor comprensión, sugiero a los señores estudiantes utilizar la Gráfica de Tiempos y Valores, que consiste en una línea recta en la cual se colocan los siguientes datos: Valor nominal

Valor actual

Enero 3 Fecha de suscripción

Marzo 18 Fecha de negociación

Monto

Agosto 5 Fecha de vencimiento

Esta gráfica es muy útil para el planteamiento y resolución de problemas de valor actual y otros tipos de problemas en matemática financiera, como veremos en los ejercicios que se explican a continuación. Se presentan dos casos en el cálculo del valor actual: 1.

Cuando conocemos el valor al vencimiento o monto.

2.

Cuando hay la necesidad de calcular el monto.

Para ampliar los conocimientos sobre el interés simple seria importante y si tiene la oportunidad, revisar los textos complementarios de Alfredo Días Mata y José Luis Villalobos, Matemáticas Financieras, a las páginas 44 a la 78 y 62 a la 102, respectivamente, en el orden indicado. ACTIVIDADES RECOMENDADAS

32

-

Hemos concluido este segundo capítulo relacionado con el Interés Simple, los conocimientos adquiridos y desarrollados hasta el momento serán aplicados en el ámbito financiero y comercial; en tal virtud, se le recomiendo realizar las actividad de repaso que consta en la página 63 del texto básico, esto proporcionará un mayor grado de confianza en el manejo de las diferentes variables: capital, tasa de interés, tiempo, valor actual y sus aplicaciones.

Con la lectura comprensiva de los contenidos del capítulo 2 estamos en capacidad de desarrollar la siguiente actividad:




PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 2 Aplicando las fórmulas del Interés Simple, Monto y Valor actual, resuelva los siguientes ejercicios: 1.-

Calcular el interés simple que genera un capital de $ 500.00 dólares colocados a una tasa de interés del 25% anual durante 120 días.

2.-

Calcular el monto del ejercicio anterior.

3.-

Determinar la fórmula para calcular: a.

la tasa de interés,

b.

el tiempo,

c.

el capital inicial.

4.-

¿Cuál es la fórmula para calcular el valor actual en cualquier tiempo comprendido entre la fecha de suscripción y la fecha de negociación?.

5.-

Un pagaré de $ 3,200.00 dólares, suscrito el 12 de abril a 180 días de plazo con una tasa de interés del 25% anual desde la suscripción, es vendido el 15 de junio del mismo año a una tasa de interés del 22% anual; calcular: a.

la fecha de vencimiento;

b.

la gráfica de tiempos y valores;

c.

el valor al vencimiento o monto;

d.

el número de días comprendidos entre las fechas de suscripción y la fecha de negociación o venta;

e.

el valor actual o precio del pagará a la fecha de negociación


33


CAPÍTULO 3.

PRIMER BIMESTRE

DESCUENTOS

Para el estudio de este capítulo debemos revisar previamente, las páginas del capitulo 3 del texto básico. Haciendo una lectura comprensiva. 3.1.

DESCUENTOS

Es necesario conocer que el descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones bancarias, y consiste que éstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor actual o nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha del vencimiento. El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia entre éste y aquél radica en que el interés simple por lo general se paga vencido, en cambio que el descuento se produce por anticipado. 3.2. DESCUENTO RACIONAL Para calcular el descuento racional o descuento simple, se debe conocer primero el valor actual y luego restarlo del monto:

C=

Descuento racional:

Dr = M -

(3.1)

Dr = monto - valor actual Dr = M - C Ejercicios de aplicación: Una hipoteca tiene un valor de 2,500.00 dólares al vencimiento. Determinar su valor 6 meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento del 4.5% de interés simple. Calcular el descuento racional. M =$ 2 500

C = M / (1 +i t)

i = 0,045

C = 2 500 / ((1 +0,045(6/12))

t = 12/12-6/12=6/12

C = 2 500 / 1,0225

C = $ 2,444.99

Luego: Dr = M - C Dr = 2 500 – 2,444.99 Dr = $ 55.01 dólares.

34




PRIMER BIMESTRE

A fin de que su estudio sea productivo y obtenga aprendizajes significativos le planteo el siguiente tema: 3.3. DESCUENTO BANCARIO, COMERCIAL O BURSÁTIL Previo a la realización de algunos ejercicios, indicaremos la fórmula para el cálculo del descuento bancario, comercial o bursátil. Descuento bancario: Db = M d t

(3.2)

Descripción Db = descuento bancario, comercial o bursátil M

= valor del documento a la fecha de vencimiento

d

= tasa de descuento

t

= tiempo en días, comprendido entre la fecha del descuento del documento y la fecha de vencimiento.

Ejemplo: -

¿Cuál es el descuento bancario que un banco aplica a un cliente que descuenta un pagaré de $ 5,400.00 en el día de hoy, a 90 días plazo, considerando una tasa de descuento del 15% anual? Monto: $ 5 400 dólares. Para encontrar el descuento bancario aplicamos la fórmula (3.2) Db = Mdt Db = 5 400 (0,15 (90/360)) = 202.50 dólares. Db = $ 202.50 dólares.

-

Una institución bancaria desea ganar el 5% de interés simple por el descuento de documentos. ¿Qué tasa de descuento debe utilizar si el período de descuento es:

a.

3 meses d = i / (1 + i t) d = 0,05 / (1+0,05 (1/4)) d = 0,05/1, 0125 d = 0,04938 = 4,94%

a.

120 días d = i/(1 +it) d = 0,05/(1 +0,05(4/12)) d = 0,05/(1,01666) d = 0,04918 = 4,92% UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

35


PRIMER BIMESTRE

3.4. VALOR ACTUAL CON DESCUENTO BANCARIO O VALOR EFECTIVO El valor actual con descuento bancario se identifica como la diferencia entre el valor al vencimiento del documento y el descuento bancario. Se lo expresa como Cb.9 Cb = M - Db, Remplazando el valor de Db, según la fórmula (3.2) Cb = M - Mdt, Factorizando, Cb = M (1 - dt), valor actual con descuento bancario (3.3). De donde puede deducirse, el Monto en función del valor actual con descuento bancario: (3.4). M=

Ejemplo: Calcular el valor efectivo que recibe una persona que realiza un descuento de una letra de cambio de $ 960.oo dólares, suscrita el 12 de abril sin intereses a 210 días de plazo, si se descontó el 20 de Julio del mismo año al 22% anual. Primeramente elaboramos el gráfico: v 12 de abril

20 de julio

Fecha de suscripción

8 de noviembre

Fecha de descuento

Fecha de vencimiento

Luego calculamos la fecha de vencimiento y los días comprendidos entre la fecha de descuento y la de vencimiento. PLAZO

TIEMPO DE DESCUENTO

Abril

18

Julio

11

Mayo

31

Agosto

31

Junio

30

Septiembre

30

Julio

31

Octubre

31

Agosto

31

Noviembre

Septiembre

30

Octubre

31

Noviembre TOTAL

TOTAL

8 111

8 210

Finalmente aplicamos la fórmula y desarrollamos el problema: 9

Mora Zambrano, A. (2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega,, pág. 80

36




PRIMER BIMESTRE

Cb = M (1 - dt)Cb = 960 Cb = $ 894.88 3.5. ANÁLISIS DE LA RELACIÓN DESCUENTO RACIONAL - DESCUENTO BANCARIO Y COMPARACIÓN ENTRE TASA DE INTERÉS Y TASA DE DESCUENTO10 Relación tasa de interés y tasa de descuento: a.

La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático y se aplica sobre el valor actual de un documento, se representa por la letra i.

b.

La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario, comercial o bursátil; se aplica sobre el valor al vencimiento del documento o monto y se representa por la letra d.

Ejemplo: Calcular el descuento racional y el descuento bancario de una letra de cambio de $ 2.500,00 dólares a 180 días de plazo, si se descuenta 60 días antes de su vencimiento a una tasa de 1,5% mensual. Gráficamente: a.

Descuento racional:

$ 2.427,18

M $ 2.500,00 dólares

60 días

C =

Dólares

Dr = M - C Dr = 2.500 – 2.427,18 = $ 72.82 dólares. Comprobamos que corresponde al interés simple del valor actual: I = Dr = Cit = $ 2.427,18 (0,015) 60/30 = $ 72.82 dólares. b.

Descuento bancario: Db = Mdt; Db = 2.500 (0,015) 60/30 = $ 75.00 dólares.

En el descuento bancario, el Interés se calcula sobre el monto o valor al vencimiento. 10 Mora Zambrano, A. (2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág. 83


37


PRIMER BIMESTRE

Como podemos observar, el descuento bancario es siempre mayor que el descuento racional aplicado antes de la fecha de vencimiento de un documento financiero. Para conocer la relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento, se le sugiere revise las páginas del capitulo tres del texto básico. ACTIVIDADES REDOMENDADAS Señor estudiante, es importante tomar en cuenta que aun con mucha práctica y experiencia, no siempre se resuelven acertadamente los problemas en un primer intento, y la peor actitud que puede tomarse, será el abandonar la inquietud, el interés y el entusiasmo por aprender; por ello me permito recomendar que dediquen un poco más de tiempo y desarrolle las actividades de repaso que se encuentran en la página 88 del texto básico. Ahora, con los conocimientos adquiridos a través del capitulo tres, ¨descuentos¨ es momento para realizar la siguiente actividad.

Autoevaluación 3 1.-

Un pagaré de $ 420.00 dólares, suscrito el 10 de marzo a 120 días de plazo, se descuenta el 12 de abril del mismo año a una tasa de interés del 25% anual. Calcular el descuento racional.

2.-

Del ejercicio anterior, calcular el descuento bancario si se considera una tasa de descuento del 25% anual.

3.-

Del mismo ejercicio calcular el precio o valor efectivo del documento.

4.-

Un documento financiero de $. 2,400.00 dólares, suscrito el 8 de agosto a 90 días de plazo, se descuenta en la Bolsa de Valores el 14 de octubre del mismo año a una tasa de descuento del 24% anual. Calcular el precio o valor efectivo del documento. ¡Continuemos con los contenidos!

3




PRIMER BIMESTRE

CAPÍTULO 4. 4.1.

ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO

ECUACIONES DE VALOR

Estimado Estudiante, las aplicaciones de las ecuaciones de valor las encontrará en el texto básico en el capítulo 4; le invito a que revise y pueda continuar su aprendizaje en forma exitosa. Como podemos apreciar, el uso de las ecuaciones de valor tiene su importancia generalmente en operaciones comerciales, toda vez que con frecuencia es necesario cambiar paquetes de obligaciones por otro conjunto de diferentes capitales disponibles en tiempos distintos. Por otra parte, debemos anotar que, todo problema de matemáticas financieras puede ser resuelto mediante una ecuación de valor. Por ello se recomienda al estudiante, revisar con mucho detenimiento la resolución de los ejercicios y problemas planteados en el texto básico, en especial los gráficos de tiempos y valores, que constituyen una verdadera herramienta previa al desarrollo del problema. Ejemplo: Una compañía tiene las siguientes deudas: $ 1,000.00 a 90 días de plazo; $ 2,500.00 a 150 días de plazo; $ 3,600.00 a 210 días de plazo y $ 8,000.00 a 270 días de plazo; la compañía desea reemplazar sus obligaciones por una sola con vencimiento el día de hoy; si se considera que la operación se realizará con una tasa de descuento del 12% anual, calcular el valor de la obligación el día de hoy. Solución al problema: 1.

Elaboramos una gráfica de tiempos y valores:

$ 1000 FF

90

$ 2500

$ 3600

$ 8000

150

210

270

Elaborado por: El autor Como podemos observar la fecha focal está en el día de hoy; pues a ella se traen los diferentes valores, como valores presentes o actuales a una tasa de descuento, según las condiciones del problema: 2.

Desarrollo: X = 1,000 [1 - 0,12 (90/360)] + 2,500 [1 - 0,12 (150/360)] + 3,600

[1-0,12 (210/360)] + 8,000 [1 - 0,12 (270/360)].

X = 1,000 (0,97) + 2,500 (0,95) + 3,600 (0,93) + 8,000 (0,91)


39


PRIMER BIMESTRE

X = 970 + 2,375 + 3,348 + 7,280. X = 13,973.00 dólares (valor del nuevo documento). 4.2. CUENTAS DE AHORRO El presente tema se considera de vital importancia, para Ud. señor estudiante, por lo que se recomienda poner el mayor interés en analizar y desarrollar todos y cada uno de los problemas propuestos en el texto básico, los mismos que han sido considerados los más comunes en el campo de la prestación del servicio bancario. 4.3. LIQUIDACIONES DE INTERESES EN CUENTAS DE AHORRO. “Para realizar la liquidación de los intereses utilizamos la fórmula del interés simple, con dos modalidades de cálculo: La primera toma en cuenta el valor de la transacción, sea este depósito o retiro; y la segunda, los saldos”11. Ejemplo: El señor Pérez, poseedor de la cuenta de ahorro Nro. 130054 de una institución bancaria, tiene un saldo en su cuenta de $ 10,000.00 dólares a 30 de junio; en el segundo semestre del mismo año realizó el siguiente movimiento; un retiro de $ 6,500.00 el 25 de agosto; un depósito de $ 2,000.00 el 18 de septiembre; un retiro de $ 3,500.00 el 4 de noviembre. Si la tasa de interés fue del 22% anual. ¿Cuánto interés ganará la cuenta al 31 de diciembre? Desarrollo: Tiempo Julio

31

Agosto

31

6

Septiembre 30

30

12

Octubre

31

31

31

Noviembre

30

30

30

26

Diciembre

31

31

31

31

128 104

57

Total:

184

Interés del saldo: I = (C)(i)(t) I =10.000 (0,22) (184/365) = $ 1,109.04 dólares Primer retiro: I = 6.500 (0,22) (128/365) =

11

$ 501.48 dólares

Mora Zambrano, A. (2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pag.53

40




PRIMER BIMESTRE

Primer depósito: I =2.000 (0,22) (104/365) = $ 125.37 dólares Segundo retiro: I = 3 500 (0,22) (57/365) = $ 120.25 Total de intereses:

$ 1,856.14 dólares.

Otra forma de resolver este problema es utilizando los multiplicadores fijos o factores. I =10,000 (0,110904109) = $ 1,109.04 dólares I = 6,500 (0,077150684) =

501.48 dólares

I = 2,000 (0,062684931) =

125.37 dólares

I = 3,500 (0,034356164) =

120.25 dólares

Total intereses:

$ 1,856.14 dólares

ACTIVIDADES RECOMENDADAS Señor estudiante, le sugiero desarrollar las actividades de repaso, mismas que se encuentran al final del capítulo cuatro del texto básico, la realización de estas preguntas reforzará los conocimientos y le brindará seguridad al momento de su aplicación. Seguramente con el desarrollo del capitulo cuatro, su estudio es muy productivo, le planteo trabajar en la siguiente actividad.


41


PRIMER BIMESTRE

Autoevaluación 4 1.-

Una empresa mantiene las siguientes obligaciones a corto plazo: a.

$. 2,000.00 dólares a 60 días;

b.

2,500.00 a 120 días;

c.

3,000.00 a 180 días. La empresa acuerda con su acreedor reemplazar sus obligaciones por un sólo pago a los 90 días, con una tasa de interés del 25% anual. Calcular el valor del pago único.

2.-

El mismo problema anterior, considere la fecha de pago en el tiempo cero, o al día de hoy.

3.-

Un municipio cuenta con un presupuesto de $ 28,000.00 dólares para comprar maquinaria. Al consultar a varios proveedores, recibe las siguientes propuestas:

42

a.

Pagar $ 17,200.00 dólares al contado y $ 10,800.00 a 150 días;

b.

pagar $ 10,000.00 dólares al contado y $ 18,000.00 a 120 días;

c.

pagar $ 6,000.00 dólares al contado y $ 22,000.00 dólares a 90 días. ¿Cuál oferta le conviene, si se considera una tasa de interés del 25% anual?.



5.1. Interés compuesto 5.2. Comparación interés simple - interés compuesto 5.2.1. Variables de interés compuesto 5.2.2. Tasas equivalentes 5.2.3. Cálculo de la tasa de interés 5.2.4. El valor actual a interés compuesto, o cálculo del capital 5.2.5. Descuento compuesto 5.2.6. Ecuaciones de valor en interés compuesto 5.2.7. Tiempo equivalente Actividades recomendadas Actividades de auto evaluación

5. Interpretar y utilizar los criterios del interés compuesto. 6. Ejemplificar y Aplicar el valor actual a largo plazo; y las tasas de interés nominal, efectiva, anticipada y vencida.

* Utiliza modelos matemáticos en la solución de problemas financieros y de inversión de las organizaciones (Contabilidad y Auditoria)

* Planificar actividades de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros en la organización. (Administración en Banca y Finanzas)

CONTENIDOS Unidades / Tema

OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE

COMPETENCIAS ESPECIFICAS

7.1 Planificación para el trabajo del alumno


CRONOGRAMA ORIENTATIVO (Tiempo Estimado) Lectura comprensiva del texto guía Realización de las actividades recomendadas Resolución del cuestionario de autoevaluación. Participación en el foro en el EVA

1.

2.

3.

4.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Segundo bimeStre

Textos Complementarios

EVA

3.

4.

Guía didáctica

Texto básico

2.

1.

RECURSOS DIDÁCTICOS




EVALUACIÓN

SEGUNDO BIMESTRE



43

7. Analizar la clasificación de las anualidades o rentas, en función al monto y el valor actual.

8. Comparar los documentos financieros y tasas de intereses especiales.

* Aplicar modelos estadísticos y matemáticos en el procesamiento de datos para la toma de decisiones, así como el desarrollo de estrategias de crecimiento empresar ial.(Administración en Empresas)

* Identificar y Examinar críticamente la información contable y financiera de las organizaciones turísticas para gestionar los recursos financier os.(Administración de Empresas Turísticas y Hoteleras)

44 CAPÍTULO VII: AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 7.1. Amortización 7.1.1. Período de gracia 7.1.2. Derechos del acreedor y el deudor 7.1.3. Amortizaciones con reajuste de la tasa de interés Actividades recomendadas Actividades de auto evaluación

CAPITULO VI ANUALIDADES O RENTAS 6.1. Anualidades o rentas 6.1.1 .Clasificación de las anualidades o rentas 6.1.2. Monto de una anualidad 6.1.3. Valor actual de una anualidad 6.2. Gradientes Actividades recomendadas Actividades de auto evaluación













3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico

3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico







Guía didáctica: Matemáticas Financieras SEGUNDO BIMESTRE

* Examinar aspectos contables y financieros de la empresa y la economía para la toma de decisiones. * Tomar decisiones de inversión, financiamiento y gestión de recursos financieros.(Escuela de Economía)

9. Diferenciar los documentos financieros y tasas de intereses especiales.

CAPÍTULO VIII: DOCUMENTOS FINANCIEROS 8.1. Sistema Financiero 8.2. Bonos 8.3. Tasa de interés real 8.4. Valor actual neto (VAN) 8.5. Tasa interna de retorno Actividades recomendadas Actividades de auto evaluación






3. EVA

2. Guía didáctica

1. Texto básico




SEGUNDO BIMESTRE



45


Criterios


x

x x

Pruebas mixtas: objetivas y ensayo x

x

x

x

x

x

Esfuerzo e interés en los trabajos Respeto a las personas y a las normas de comunicación x

x

x

x

x

Creatividad e iniciativa x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Emite juicios de valor argumentadamente x

x

x

x

x

Dominio del contenido x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

TOTAL

Conocimientos Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas

Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autorregular su proceso de aprendizaje

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

x

x

x

x

x

x x

x

Comportamiento ético

Interacción en el EVA

Ensayo

Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad

x

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

Habilidades

Presentación, orden y ortografía

Actitudes

PORCENTAJE

6

4

2

14

20 puntos en cada bimestre

En actividades especifícas tanto presenciales como en el EVA.

70%

Complementa la evaluación a distancia, máximo en 1 punto.

30%

20%

10%

Estrategia de aprendizaje*

PUNTAJE

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa; sin embargo, en circunstancias especiales podría afectarle positiva o negativamente en su calificación cuantitativa.

Sr. estudiante:

enero (período octubre- febrero) o 15 de julio (período abril-agosto).

** Recuerde: que la evaluación a distancia del segundo bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario hasta el 15 de

*

3. Coevaluación

Prueba Presencial

Evaluación a Distancia**

Objetiva

1. Autoevaluación y actividades recomendadas.

Formas de evaluación

2. Heteroevaluación

Investigación (cita fuentes de consulta)

46 Aporta con criterios y soluciones

7.2 Sistema de evaluación

Guía didáctica: Matemáticas Financieras SEGUNDO BIMESTRE


SEGUNDO BIMESTRE

7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias Hemos concluído la primera parte del estudio de Matemáticas Financieras; iniciaremos este segundo Bimestre con el concepto de Interés Compuesto, el cual, a diferencia del interés simple, se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan, se le denomina capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama período de capitalización.

CAPÍTULO 5.

INTERÉS COMPUESTO

Para el análisis del presente capítulo usted deberá dirigirse al capitulo 5 del texto básico. 5.1.

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en una unidad de tiempo, se adiciona al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como periodos de capitalización se hayan establecido. 5.2. COMPARACIÓN INTERÉS SIMPLE - INTERÉS COMPUESTO Para comprender mejor y dar una adecuada aplicación de este criterio, se plantea el siguiente ejemplo: Calcular el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $3,000.00 a una tasa de interés del 18% anual durante 6 periodos. En primer lugar calculamos el interés simple: I = C.i.t. = 3.000 (0,18) (6) = $ 3.240,00 dólares. M= C (1 + i.t) = 3.000[1 +0,18(6)] = $ 6.240,00 En segundo lugar calculamos el interés compuesto: (Primer periodo) M = 3.000 [ 1 + 0,18 (1)] = $ 3.540,00 dólares (Segundo periodo) M = 3.540 [1 +0,18(1)]= $ 4.177,20 dólares (Tercer periodo) M = 4.177,20 [ 1 + 0,18 (1) ] = $ 4.929,096 dólares


4


SEGUNDO BIMESTRE

(Cuarto periodo) M =4.929,096 [ 1 + 0,18 (1 ) ] = $ 5.816,33 dólares (Quinto periodo) M = 5.816,33 [1+0,18(1)]= $ 6.863,269 dólares (Sexto periodo) M = 6.863,269 [1 + 0,18 (1) ] = $ 8.098,66 dólaresDel resultado obtenido, podemos de inmediato notar la diferencia, que en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, el monto total que producen: Monto a interés simple: $ 6.240,00 dólares. Monto a interés compuesto: $ 8.098,66 dólares. En el siguiente cuadro observaremos el comportamiento del interés simple y el interés compuesto, y sus respectivos montos: Periodos

Monto Interés simple

Monto Interés compuesto

1

$ 3.540,00

$ 3.540,00

2

4.080,00

4.177,20

$ 97,20

3

4.620,00

4.929,09

309,09

4

5.160,00

5.816,33

656,33

5

5.700,00

6.863,26

1.163,26

6

6.240,00

8.098,66

1.858,66

Diferencia

Para una mejor comprensión le recomiendo analizar detenidamente los gráficos comparativos entre el interés simple - interés compuesto, y los montos a interés simple - interés compuesto. (Páginas 127128) texto básico. 5.2.1. Variables de interés compuesto Es importante tener en cuenta previamente el cálculo de las variables (i) y (n), correspondientes a la tasa de interés por periodo de capitalización (i) y el número de periodos de capitalización (n). Si aplicamos a este mismo ejemplo la fórmula del monto a interés compuesto, el resultado será directo: M = c (1 + i)n M = 3.000 (1 + 0,18)6 = 3.000 (2.699554153) M = $ 8.098,66 dólares

48




SEGUNDO BIMESTRE

Para el estudio y aplicación de los diferentes conceptos que abarca este capítulo, es necesario familiarizarse con el manejo de las fórmulas que nos servirán para el desarrollo de los ejercicios y problemas propuestos, los mismos que han sido tomadas del texto básico, capitulo cinco y que se detallan a continuación: M = C (1+ i)n

(5.1)

I=M-C

(5.2)

Fórmula del monto para periodos de capitalización menos de un año- semestral, trimestral, mensual, diario o continúa. M = C(1+j/m) m.t

(5.3)

M = monto C = capital inicial J = tasa de interés nominal capitalizable varias veces en un año m = número de capitalizaciones en el año t = número de años. Ejemplo: •

Calculemos el monto compuesto que acumulará

•

un capital de $3.500,00 durante 6 años y 9 meses al 16% anual con capitalización mensual:

5.2.2. Tasas equivalentes Fórmula de equivalencia de tasa nominal - tasa efectiva. ( 1 + i) = (1 + j/m) m

(5.4)

Ejemplo: •

A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 16% anual capitalizable semestralmente:

En este caso: i=? j = 16% m=2


49


SEGUNDO BIMESTRE

Para el cálculo de la tasa de interés anticipada, aplicaremos la siguiente fórmula: 1 + i = (1 - d/m )-m

(5.5)

5.2.3. Cálculo de la tasa de interés Fórmula para el cálculo de la tasa de interés. La tasa no efectiva o nominal puede calcularse partiendo de la fórmula del monto a interés compuesto. a.

M = C (1 + i)n ; b) M = C(1+j/m)mt

Por tanto; M/C=( 1 + i)n

5.2.4. El valor actual a interés compuesto, o cálculo del capital Fórmula para el cálculo del valor actual a interés compuesto, para ello consideramos la fórmula del monto a interés compuesto:

M= C (1 + i)n, de donde despejamos « C», C = C = M (1 + i)-n

(5.6)

También conocemos que, M = C (1 + j/m)m.t , por tanto. C = M (1 + j/m) –m.t

(5.7)

Ejemplo: •

Calcule el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 2 años y 6 meses será de 8.500,00, considerando una tasa de interés de 14% anual, capitalizable trimestralmente: En este caso: M = $8.500,00 j = 0.14 t = 10 m=4

50




SEGUNDO BIMESTRE

m=4

C = $6025.80 5.2.5. Descuento compuesto Fórmula para el cálculo del descuento compuesto: Dc = M - C Dc = M - M (1 + i)-n Dc = M [1 -(1+ i) -n]

(5.8)

Fórmula para el cálculo del descuento bancario: Dbc = M - M [ (¡ -d ) n] Dbc = M (1 - (i -d) n)

(5.9)

Ejemplo: •

Calcule el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento cuyo monto al final de los 8 años es de $6.000,00, si fue descontado tres años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés del 12% efectiva. En este caso: M = $6.000,00 i = 12% n=3 Descuento compuesto matemático

Dc = $1.729,31 Descuento compuesto Bancario

Dc = $1.911, 168


51


•

SEGUNDO BIMESTRE

Recuerde que el descuento compuesto matemático es el que más se utiliza

En la lectura previa de los contenidos, me imagino le fue muy bien, es por ello que continuamos con el siguiente tema: 5.2.6. Ecuaciones de valor en interés compuesto Este concepto es similar a Ecuaciones de valor en interés simple, por lo que se utilizan cuando se requiere reemplazar un conjunto de obligaciones; así como también para la comparación de ofertas, le sugiero analizar el capitulo cinco del texto básico. 5.2.7. Tiempo equivalente Fórmula para el cálculo del tiempo equivalente:

T.E =

(5.10)

Ejemplo: •

Una empresa tiene las siguientes deudas u obligaciones: $3.000,00 a 2 años plazo con una tasa del 12% efectiva; $5.000,00 a 4 años plazo al 18% capitalizable trimestralmente; $7.000,00 a 8 años plazo al 15% capitalizable semestralmente; $9.000,00 a 10 años plazo al 12% capitalizable semestral. La empresa acuerda con sus acreedores reemplazar sus deudas por un solo pago, con un tiempo equivalente para los tres vencimientos. Calculemos la fecha de pago considerando una tasa de interés del 14% anual, capitalizable semestralmente.

52




SEGUNDO BIMESTRE

TE=15.84 semestres Cálculo de tiempos con referencia a la fecha focal: 15.84 – 4 =11,84 15.84 – 8= 7,84 15.84 – 16 = -0,16 15.84 – 20 = -4,16 Entonces, se puede plantear la ecuación de valor:

X = 17,754.59+ 28,246.50 + 21,803.62 + 16,735.38 X = 84,540.09 Si tiene la oportunidad, me permito recomendar a usted, se sirva revisar las páginas de la 104 a la 139 del capítulo cuarto del texto de complementario de José Luis Villalobos, en especial lo relacionado a la resolución de problemas. ACTIVIDADES RECOMENDADAS Señor estudiante, una vez concluido el estudio del quinto capítulo relacionado con el Interés compuesto y sus aplicaciones en los documentos financieros, usted se dará cuenta que cada vez nos vamos adentrando en el difícil pero fascinante mundo de las matemáticas financieras, por ello es indispensable desarrollar las actividades de repaso que se encuentran en las páginas de la 178 a la 179 del texto básico, y de esta forma mantener claros los conceptos analizados.


53


SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 5 Amigo estudiante, le sugiero desarrollar los siguientes ejercicios y problemas que corresponde al capítulo quinto (Interés compuesto). Si usted realizó en forma correcta y llegó a la respuesta que consta en el solucionario, ¡ FELICITACIONES!. Sin embargo, para aprobar los mismos se requiere haber alcanzado por lo menos el 80% de las respuestas correctas, caso contrario revise nuevamente los contenidos y la aplicación correcta de las fórmulas, en especial aquellos conceptos que le resultaron más difíciles. 1.

Calcular el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de $1.800,00 dólares, colocado durante 10 años a una tasa de interés de 15% anual. Analizar los resultados.

2.

Una compañía tiene un préstamo de $ 2.080,00 a 8 años de plazo con una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento.

3.

Calcular el número de periodos de capitalización y la tasa de interés, por periodo de capitalización, de un capital colocado a una tasa del 20% anual capitalizable semestral mente durante 8 años 9 meses.

4.

¿A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 15% anual, capitalizable trimestralmente?

5.

Un documento de $ 2.500,00, suscrito el día de hoy a 8 años y 6 meses de plazo, con una tasa de interés de 18% anual capitalizable semestralmente desde su suscripción, es negociado una vez transcurridos 3 años y 6 meses de la fecha de suscripción, con las siguientes opciones: una tasa de interés de 20% efectiva, una tasa de 18% anual, capitalizable semestralmente, una tasa de 14% anual capitalizable trimestralmente. Calcular el valor actual o precio a la fecha de negociación para cada alternativa e indicar si es con premio, a la par o con castigo.

¡Continuemos con los contenidos!

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CAPÍTULO 6.

ANUALIDADES O RENTAS

Para la revisión del presente tema debe referirse al capítulo seis del texto básico, y así prepararse para el día de la evaluación a distancia. Con este antecedente y a fin de que su estudio sea productivo, analizaremos: 6.1.

ANUALIDADES O RENTAS

Se relaciona con las anualidades o rentas, las mismas que son utilizadas con mucha frecuencia en el mercado financiero para pagar o ahorrar, está determinada por el sistema de cuotas constantes y periódicas, o sea por el sistema de anualidad. Las anualidades son muy útiles para la elaboración de tablas de amortización gradual, tablas de valor futuro y para el cálculo de cuotas periódicas. Por otra parte, las anualidades o rentas se emplean en cuotas de pólizas de seguros, cuotas de depósito, cuotas de pago, cálculo actuarial, préstamos a largo plazo, préstamos hipotecarios y otros; por lo tanto, para analizarlas y manejarlas adecuadamente, se requiere un verdadero dominio del interés simple y el interés compuesto, por lo que sugerimos a los señores estudiantes realizar la mayor cantidad de ejercicios y problemas propuestos en el texto guía sobre los conceptos anotados. «En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo”12. Algunos ejemplos de anualidad son: •

Los pagos mensuales por renta

•

El cobro semanal, quincenal o mensual de sueldos

•

Los abonos mensuales a una cuenta de crédito

•

Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. 6.1.1. Clasificación de las anualidades o rentas 13: La variación de los elementos que intervienen en las anualidades se hace que existan diferentes tipos de ellas. Por lo que, conviene, clasificarlas de acuerdo con diversos criterios: CRITERIO

a. b. c. d.

Tiempo Intereses Pagos Iniciación

TIPOS DE ANUALIDADES Ciertas, contingentes Simples, generales Vencidas, anticipadas Inmediatas, diferidas

Fuente: Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras Elaborado por: El Autor

12 Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras, México, Editorial Mc Graw Hill, segunda edición Interamericana, S.A., pág. 128 13 Díaz Mata, A. (1997), Matemáticas Financieras, México, Editorial Mc Graw Hill, segunda edición Interamericana, S.A., Págs. 129 y 130


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a.

b.

c.

d.

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Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades: •

Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último.

•

Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Ejemplo; las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que éste morirá, pero no se sabe cuándo.

En este caso: •

Anualidad simple. Cuando e! periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Es el tipo que será analizado en este capítulo. Ejemplo: El pago de una renta mensual (X) con interés al 18% anual capitalizable mensualmente.

•

Anualidad general. A diferencia de lo anterior, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización: Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente

De acuerdo con los pagos: •

Anualidad vencida. Conocida también como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

•

Anualidad anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

De acuerdo con el momento en que se inicia: •

Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato: Ejemplo: hoy se compra a crédito un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).

•

Anualidad diferida. Se supone la realización de los cobros o pagos: Ejemplo: se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

6.1.2. Monto de una anualidad14 Dada su importancia, vale la pena destacar las características de este tipo de anualidades: 14 Díaz Mata A., Aguilera Gómez V. Matemáticas Financieras, México, segunda edición, Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. p. 130

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•

Simples: el periodo de pago coincide con el de capitalización.

•

Ciertas: las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación.

•

Vencidas: los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos.

•

Inmediatas: los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la operación»15.

Ejemplos: Monto de una anualidad.

Fórmula: S =

(6.1)

Sea una anualidad o renta de $. 10.000 dólares al final de cada 6 meses durante 4 años, al 15% anual capitalizable semestralmente. (Anualidad vencida). Solución: Primero representamos el problema en un diagrama: ( miles de dólares) S 10

10

1

10

10

2

10

10

3

10

10

4 años

R = $ 10.000 i = 0,15/2= 0,075 S = Monto n = 8 (Tomamos como fecha focal el final del año 4)

S = 10.000

S = 10.000 (10.446371)

S = $ 104. 463.71 6.1.3. Valor actual de una anualidad Fórmula: A=R

(6.2)

15 Díaz Mata A., Aguilera Gómez V. Matemáticas Financieras, México, segunda edición, Editorial Mc Graw Hill Interamericana, S.A. p. 130 y 131


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Ejemplo: Calcular el valor actual de una anualidad de $ 20.000 cada trimestre durante 4 años 6 meses al 18% capitalizable trimestralmente. (Anualidad vencida simple).

0 F.F.

1

2

3

4

5 años

R = pago periódico o renta, i = Tasa de interés por periodos de capitalización: 0,18/4 = 0,045 j = Tasa nominal anual n = número de períodos de pago: ((4)(4) + 2 ) =18 rentas A =Valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las rentas. A = 20.000 [ 1 - ( 1 + 0,045 )-18 /0,045 ] A = 20.000 (1 - 0,452800368/0,045) A = 20.000 (0.547199632/ 0.045) A = 20.000(12.15999182) = $ 243,199.84 Valor actual de la anualidad. Previo al análisis del texto guía, observaremos que existen tablas de tasas de interés que llegan al 14%, en la presente guía, en los trabajos a distancia y en las evaluaciones presenciales se utilizarán las fórmulas para la resolución de los problemas, por lo que se trabajará con las siguientes fórmulas básicas: (6.1) Monto de una anualidad; S = R [(1 + i )n -1/ i] (6.2) Valor actual de una anualidad: A = R [ 1 - (1 + i)-n/ i] (6.3) Cálculo de la renta o pago periódico: R = Es el momento para trabajar y revisar los ejercicios de aplicación, que a continuación planteamos. EJERCICIO DE APLICACIÓN •

Una empresa desea acumular un fondo de $25,000.00 para la adquisición de materia prima, mediante depósitos mensuales durante 2 años en una institución financiera que paga una tasa de interés del 3% anual capitalizable mensualmente ¿Calcule el valor del depósito mensual?. Tenemos: S =25,000.00; i =0.03⁄12 =0,0025; n =(2)(12)= 24,

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Aplicamos la formula de cálculo de pago periódico R= R=

R= R= 1,012.03 (6.4) Cálculo de la renta a partir del valor actual: R (6.5) Cálculo del número de períodos de pago: Partimos de la fórmula del monto (S) y calculamos (n), aplicando logaritmos.

(6.6) Así mismo, a través de la fórmula del valor actual (A)

(6.7) Cálculo de la tasa de interés; partimos de la fórmula del monto de una anualidad.

S/R =

Se resuelve por interpolación de tablas o por aproximaciones, dando diferentes valores a (i), revisar ejemplo páginas Nros. 204 - 205 del texto guía. (6.8) Así mismo, podemos partir de la fórmula del valor actual (A) de una anualidad y resolvemos por interpolación de tablas o por aproximaciones, dando diferentes valores a (i). A/R = (6.9) Monto de una anualidad anticipada: S = R (1+i) [(1 +i)n-1/i] (6.10) Valor actual de una anualidad anticipada:


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EJERCICIO DE APLICACIÓN •

La empresa ABC, debe pagar cuotas de un préstamo, al inicio de cada mes por el valor de $ 2,500.00 a una tasa de interés del 8% anual, capitalizable trimestralmente, ¿Cuánto ha pagado del capital de la deuda original en el trascurso de 3 años?. Tenemos: A =?, R = $2,500; i =0.08⁄4 =0,02; n =(3)(4)= 12, Aplicamos la formula del valor actual de una anualidad anticipada

A= 26,967.12 ¿Cómo le fue con estos ejercicios?.....Seguramente bien, ahora continuemos con los contenidos. 6.2. GRADIENTES Cuando manejamos series de pagos, cuotas o valores que crecen o decrecen de manera uniforme, se trata de Gradientes, cuya aplicación se efectúa en el cálculo de cuotas crecientes y decrecientes, pronósticos de presupuestos y otras formas prácticas. Para una mejor ilustración, le recomiendo revise las páginas 210 -211 del texto básico y proponga otros ejercicios en base a los desarrollados en dichas páginas.

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ACTIVIDADES RECOMENDADAS Es probable que su entusiasmo y su interés por aprender matemáticas, no sea tan importante como el entusiasmo por otras asignaturas inherentes a su preparación profesional. Hacer referencia a las múltiples causas que dieron lugar a estas actitudes, no tiene tanta importancia como la que tiene el encausar sus inquietudes a la búsqueda de recursos que faciliten, talvez no el gusto por las matemáticas, pero si comprenderlas mejor sobretodo en su sentido conceptual y de contexto. Por esta razón se recomienda realizar las actividades de repaso que han sido propuestas en las páginas 211 – 213 del texto básico. Con los conocimientos adquiridos en este tema, es el momento para desarrollar la siguiente actividad.

Autoevaluación 6 Resuelva los siguientes ejercicios y problemas planteados: 1.

Calcular el monto de una serie de depósitos de $ 20,00 dólares cada 6 meses, durante 6 años a 12% anual capitalizable semestralmente.

2.

Una empresa requiere acumular $ 2.000,00 dólares, mediante depósitos semestrales de $ 26,00 dólares a una tasa de interés de 12% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuántos depósitos completos debe realizar y con que depósito adicional, realizado en la misma fecha del último depósito anual, completará su monto?.

3.

Una empresa necesita constituir durante 8 años un fondo de depreciación de $ 32.000,00 para reposición de maquinaria; calcular el valor del depósito trimestral que deberá realizar en una institución financiera que paga una tasa de interés de 15% anual capitalizable trimestralmente.


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CAPÍTULO 7. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN Para comprender mejor este capitulo, lea atentamente las paginas 219 a la 245 del texto básico, esta lectura es una herramienta ágil y agradable realizándola de manera responsable, ordenada y secuencial 7.1.

AMORTIZACIÓN

Las amortizaciones y fondos de amortización, son aplicaciones de las anualidades o rentas analizadas en el capítulo anterior. En el caso de las amortizaciones se utilizan para programas de endeudamiento a largo plazo, y en el caso de fondos de amortización, para constituir fondos de valor futuro. En la actualidad, el sistema de amortización gradual, tiene una aplicabilidad muy significativa en todo el sistema financiero, en lo que respecta al crédito a mediano y largo plazo. Así como también, para la constitución de fondos de valor futuro o fondos de depreciación. Ejemplo: Una empresa obtiene un préstamo de $ 15.000,00 dólares con interés al 15% anual capitalizable semestralmente, el cual será amortizado mediante pagos iguales, cada semestre, durante 3 años y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral. Solución:

(Utilizamos la fórmula de pago periódico respecto al valor presente) R=

, o lo que es lo mismo: R =

(7.1)

A = $15.000 dólares R =? n = ((3)(12)+6))/6 =7 i = 0,15/2 = 0,075 R=

R=

$ 2.832,00 Dólares.

Luego el valor del pago o cuota semestral será $ 2.832,00 dólares. Para la elaboración de tablas de amortización gradual, le sugiero analizar las páginas 223 y 224 del texto guía. Los cálculos del capital insoluto se realizan a través de la fórmula del interés simple.

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7.1.1. Período de gracia: Por lo general se realizan préstamos a largo plazo con la modalidad de amortización gradual, en que se “incluye un periodo sin que se paguen cuotas (es decir sólo se paga el interés), el cual se denomina periodo de gracia, con la finalidad de permitir a las instituciones o empresas, operar libremente durante un tiempo y luego cubrir las cuotas correspondientes”16. Ejemplo: Una compañía obtiene un préstamo por un valor de $ 2,500.00 dólares a 12 años plazo, incluido 2 años de gracia, con una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimestralmente, para ser pagado mediante cuotas trimestrales por el sistema de amortización gradual; la primera cuota deberá pagarse un trimestre después del periodo de gracia. Calcular la cuota trimestral y el saldo insoluto inmediatamente después de haber pagado la cuota 6 y la distribución de la cuota 7, en lo que respecta al capital e intereses.

0

1

0

2

1

3

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12 años

Período de gracia

Período de pago: (10)(4) = 40 cuotas

Luego presentamos la gráfica para el saldo insoluto. K = 40 - 6 = 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ......40 trimestres

0

1

2

R=

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 años

= 108.155 dólares.

P = 108.155 P = 2.285.51, saldo insoluto por pagar (de capital, excluido interés) La composición de la cuota 7 será, tanto de interés como de capital: I = ($ 2.285.51) (0,03) = $ 68.57 de interés Cuota - interés = Capital pagado por cuota 108.155 - 68.57= $ 39.59 dólares. 16

Mora Zambrano, A.,( 2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág.225


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Es oportuno desarrollar las actividades que a continuación se plantean EJERCICIO DE APLICACIÓN •

Una empresa obtiene un préstamo de $220,000.00 para amortizarlo en cuotas semestrales a 12 años de plazo, con una tasa de interés de 12% anual, capitalizable semestralmente calcule el saldo insoluto luego de pagar la cuota 10, así también reconstruya la tabla de amortización gradual en el periodo 11 y 12.

Solución: (Utilizamos la fórmula de la renta de una anualidad en función del valor actual)

R=

, o lo que es lo mismo: R =

A = $220,000.00 dólares R =? n = (12)(2) =24 i = 0,12/2 = 0,06 R=

R=

$ 17.529,38 Dólares.

Luego el saldo insoluto (P) luego del pago 10 se calcula utilizando la fórmula del saldo insoluto. n= 24 m=10

k=24-10=14

Se toma el saldo insoluto luego del pago 10, que es el mismo valor al inicio del periodo 11 y 12 y se reconstruye la tabla de amortización. Saldo insoluto al inicio del periodo 11= $162,935.31 Interés= ($ 162,935.31)(0.06)= 9,776.12 Cuota o renta = $ 17.529,38 Capital pagado por cuota = $ 17.529,38 -9,776.12 = 7,753.26 Saldo de la deuda = $162,935.31 - 7,753.26 =155,182.05

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Período

Saldo Insoluto

Interés

Cuota o renta

Capital pagado

Saldo deuda

11

$162,935.31

$9,776.12

$17,529.38

$7,753.26

155,182.05

12

$155,182.05

$9,310.92

$17,529.38

$8,218.46

146,63.59

7.1.2. Derechos del acreedor y del deudor17 Cuando nos encontramos pagando una deuda por el sistema de amortización gradual, es común querer conocer qué parte de la deuda está ya pagada en determinado tiempo o también cuáles son los derechos del acreedor (parte por pagar) o los derechos del deudor (parte pagada).(Portus Govinden, pág.179) Derechos del acreedor + Derechos del deudor = Deuda DA + DD = DO O en otra palabras: Saldo insoluto + parte amortizada = Deuda original. Los fondos de amortización o de valor futuro se calculan mediante la fórmula del monto de una anualidad, en razón de que la fecha focal que se toma como referencia es el término de la anualidad, fecha en la que se debe completar la cantidad o capital prefijado. Ejemplo: Una empresa resuelve acumular un capital de $ 2.800,00 en 5 años mediante depósitos semestrales en una cooperativa de ahorro y crédito que le reconoce una tasa de interés del 18% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota semestral. Solución: S = $. 2 800 dólares n = (5)(2)=10, i = 0,18/2=0,09 R=

(7.2)

R=

R=

dólares

17 Citado por Mora Zambrano, A.,( 2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág.226


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7.1.3. Amortizaciones con reajuste de la tasa de interés Le planteo los temas de Amortizaciones con reajuste de la tasa de interés, págs. 227 hasta la 230 del texto básico, cálculo de la renta cuando no coincide el período de pago con el período de capitalización. Se tratan de aplicaciones de los conocimientos anteriormente revisados y que tienen uso en el sistema de amortización gradual. Si tiene la oportunidad, le sugerimos analizar el capítulo octavo del texto complementario de Alfredo Díaz y Víctor M. Aguilera, las páginas 214 a la 248, y capítulo sexto de José Luis Villalobos, páginas: 198 a la 248. La siguiente actividad le ayudara a comprender y transferir los conocimientos adquiridos. ACTIVIDADES RECOMENDADAS Si nuestro entusiasmo e interés es aprender y aplicar las matemáticas en el extenso campo de las finanzas, debemos familiarizarnos con las diferentes variables que intervienen en la resolución de los ejercicios y problemas planteados en este capítulo, es decir, utilizar de una manera acertada las herramientas y la metodología, esto lo lograremos previo al desarrollo de las actividades de repaso que se encuentran al final del capitulo, página 235 del texto básico.

Autoevaluación 7 Señores Estudiantes, la mejor forma de verificar los conocimientos adquiridos es desarrollando en forma correcta los ejercicios y problemas propuestos, en tal virtud, le recomiendo realizar los problemas que a continuación se detalla: 1.

Una empresa desea acumular un capital de $ 4.000,00 en tres años mediante depósitos semestrales en una institución financiera que reconoce una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota semestral y elaborar la tabla de fondo de amortización correspondiente.

2.

Un Municipio desea adquirir un volquete para reparto de materiales, por un valor de $ 26.000,00 a 3 años plazo, que debe ser pagado en cuotas fijas mensuales con una tasa de interés de 1,1 % mensual. ¿Cuál de las siguientes alternativas le conviene para comprar el volquete?

3.

a.

por el método de acumulación de intereses o método « lagarto »

b.

por el método de saldos deudores

c.

por el método de amortización gradual.

Un comerciante obtiene un préstamo de $ 11.600,00 a 4 años de plazo con una tasa de interés de 13.5% anual capitalizable mensualmente, que se reajusta luego del primer año a 15% anual capitalizable mensualmente. Calcular la cuota origina! y la cuota con el reajuste.

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CAPÍTULO 8. DOCUMENTOS FINANCIEROS Para el estudio de este capítulo ruego a usted revisar las páginas del texto básico de la 247 a la 278. 8.1.

SISTEMA FINANCIERO

El Sistema Financiero es un conjunto de instituciones interrelacionadas e interdependientes que regulan y operan las actividades financieras mediante leyes o normas en un país o región geográfica. Las instituciones que conforman este sistema recogen los excedentes financieros, los ahorros, y los canalizan hacia aquellas personas que lo necesitan. El conjunto de leyes constituyen disposiciones que regulan las actividades de las personas naturales y jurídicas dedicadas a las funciones financieras, como manejo del dinero, captaciones, inversiones, préstamos, ahorros, compraventa de documentos financieros, manejo de la tasa de interés, etc. Para que conozcan algunas de las normas que rigen este sistema, se recomienda a los señores estudiantes revisar el texto básico páginas: 248 -252. 8.2. BONOS De igual forma para el estudio de uno de los principales documentos financieros como lo son los bonos, les invito a revisar la página 252 del texto básico. Para el desarrollo de los ejercicios propuestos, me permito sugerir a los señores estudiantes, analizar muy detenidamente cada una de las Características de los Bonos, (páginas Nº. 253-258), esto facilitará en gran medida la solución de los mismos. Fórmula para calcular el precio de un bono: P = C (1 + i)-n + cupón [ 1 - (1 + ¡) -n / i]

(7.4)

Ejemplo: Calcular el precio de venta de un bono de $ 12.000,00 a 15%, el 1 de abril de 1999, redimible a la par el 1 de abril del 2009, si se desea un rendimiento del 12% FA, anual capitalizable semestralmente. P =C( 1 + i)-n + cupón [1 -(1 + i) -n / i] Valor de redención: $1 200 (1) = $. 12 000 Número de cupones: 20 Valor de cada cupón: $ 12 000 (0,15/2 ) = $. 900 dólares Tasa de rendimiento o de negociación = 0,12/2 = 0,06 P = 12 000 (1+ 0,06)-20 + 900 [1 – (1+0,06) -20 / 0,06]


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P = 3 741.66 + 900 (11,4699212383) P = 3 741.66+ 10 322.93 P = 14 064.59 Dólares Los Bonos, por ser documentos financieros perfectamente negociables, se compran o se vende considerando una tasa de interés del inversionista, que es diferente de la del bono. Así mismo, en este tipo de transacciones es importante considerar si la negociación del bono es a la par, sobre la par, o por debajo de la par. Para comprender mejor el desarrollo de los problemas propuestos en el texto básico, se sugiere a los señores estudiantes revisen los ejemplos desarrollados que constan en las páginas 254 a la 257. 8.3. TASA DE INTERÉS REAL Como se manifiesta en el texto básico en la pág.266, la tasa efectiva o anual que al ser relacionada con la tasa de inflación o la variación porcentual del índice de precios al consumidor, da lo que se denomina la tasa de interés real. Las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los empréstitos y en las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad. Para calcular la tasa de interés real (r) contamos con dos fórmulas: a.

Tasa de interés real

(7.5)

r=

b.

Tasa de interés con ajuste de inflación r = 100 100

Ejemplo: Calcular la tasa de interés real que se aplica en un país que tiene una tasa efectiva de 22% y una tasa de inflación de 7%. ¿Cuánto gana o pierde una persona que invierte $ 15 000 dólares en un año en dicho país?

r = 100

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r = 100 r = 14,019% tasa de interés real, o también.

r = 100 r = 100 (0.140186915) = 14,019% 8.4. VALOR ACTUAL NETO ( VAN )18 El valor actual neto (VAN) de una inversión, considera de una manera explícita el valor del dinero en el tiempo, por lo que se estima como una técnica compleja de preparación de presupuestos de capital. Todas estas técnicas descuentan, de una u otra forma, los flujos de efectivo de la empresa a una tasa específica. Esta tasa (llamada a menudo tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital o costo de oportunidad), se refiere al rendimiento mínimo que es necesario obtener de un proyecto para que el valor en el mercado de la empresa permanezca sin cambios. EL CRITERIO DE DECISIÓN Cuando se utiliza el VAN, el criterio para tomar decisiones de aceptación y rechazo es el siguiente: si el VAN es mayor que $ 0, aceptar el proyecto; el VAN es menor que $ 0, rechazar el proyecto. En otras palabras, si el VAN es mayor de $ 0, la empresa ganará un rendimiento mayor que su costo de capital. Dicha acción incrementará el valor de la empresa en el mercado y, por tanto, la riqueza de sus propietarios. 8.5. TASA INTERNA DE RENDIMIENTO19 La tasa interna de rendimiento (TIR) aunque es mucho más difícil de calcular a mano que el VAN, es probablemente la técnica compleja de preparación de presupuestos de capital más utilizada. La tasa interna de rendimiento (TIR) es la tasa de descuento que equipara el valor actual de las entradas de efectivo con la inversión inicial de un proyecto de inversión, lo que ocasiona que el VAN sea de $ 0. CRITERIO DE DECISIÓN Cuando se utiliza la TIR, el criterio para tomar decisiones de aceptación y rechazo es el siguiente; Si la TIR es mayor que el costo de capital, aceptar el proyecto; si la TIR es menor que el costo de capital, rechazar el proyecto. Un resultado de este tipo mejorará el valor de la empresa en el mercado y, por tanto, la riqueza de sus propietarios. Para realizar los cálculos del Valor Actual Neto y la Tasa Interna de Retorno, se recomienda, utilizar las fórmulas que se indican en el texto básico y seguir paso por paso el desarrollo del ejercicio que se encuentra desarrollado en la páginas 272. Seguramente con el desarrollo del capítulo 8, su estudio es muy productivo, revisando los ejercicios propuestos en el texto básico, es hora de desarrollar el siguiente ejercicio de aplicación: 18 Mora Zambrano, A., ( 2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág.268 19 Mora Zambrano, A., ( 2009): Matemáticas Financieras, Bogotá-Colombia, Alfaomega, pág.269


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EJERCICIO DE APLICACIÓN •

La empresa FOREVER proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión: $ 3,000.00, ingreso anual por renta promedio: $ 1,000.00; costo anual de operación: $ 300.00; depreciación anual: $ 600.00. Calcular su valor actual neto. si espera recuperar su inversión en 5 años, Considerar dos alternativas de tasa de interés. Calcular la tasa interna de retorno e indicar si la inversión es rentable considerando el rendimiento del dinero con una tasa de interés real del 15%. Año

0

1

2

3

4

5

Ventas Costo de Operac. Depreciación Utilidad(Antes De Impuestos)

-

1,000 300

1,000 300

1,000 300

1,000 300

1,000 300

-

600

600

600

600

600

-

100

100

100

100

100

3,000

700

700

700

700

700

Flujo Neto De Caja:

Primero calculamos el Valor Actual Neto para cada año: Con r = 5% VAN1 - $ 3,000

FNC0

FNC =

660.38

FNC =

622.99

FNC =

587.73

FNC =

554.47

FNC =

523.08

30.63

70

Con r = 6% VAN2 - $ 3,000


- 51.35



SEGUNDO BIMESTRE

Como se halló un valor positivo y otro negativo, esto significa que la tasa interna de rendimiento o retorno, se encuentra entre los límites: r1 = 5%

y r2 = 6%

Entonces, la tasa interna de retorno puede calcularse por interpolación de las dos tasas: TIR = r1 + (r2 - r1 )

TIR = 0,05+(0,06-0,05)

TIR = 0,05+(0,01) TIR = 0,05 + ( 0,01 ) ( 0,373628) TIR = 0,05+ 0,00373628 TIR = 5,3736%. Debido a que la TIR es menor que la tasa de costo de capital del 15%, no se recomienda la inversión. ACTIVIDADES RECOMENDADAS Señor Estudiante, con el presente capítulo hemos concluido el análisis de la asignatura de Matemáticas Financieras, en consecuencia, es importante dar la respuesta correcta al cuestionario que consta en la actividad de repaso, en el capitulo ocho del texto básico, y así llenarnos de satisfacción por los logros alcanzados, mismos que nos permitirán ser profesionales exitosos y así coadyuvar a construir un país mejor. Para culminar nuestro estudio de las Matemáticas financieras, la siguiente actividad ayudará a comprender y transferir los conocimientos aprendidos y desarrollados para este Segundo Bimestre


71


SEGUNDO BIMESTRE

Autoevaluación 8 CAPITULO VIII: DOCUMENTOS FINANCIEROS 1.

Calcular el precio que se puede pagar por un bono de $ 2.400,00 al 13% FA, redimible a 102 después de 10 años, si se desea un rendimiento de 12% capitalizable semestralmente.

2.

Con el propósito de ganar 17% anual capitalizable semestral mente, el 15 de marzo de 1992 se compra un bono de $ 1.800,00 al 18% MS, redimible a la par el 15 de marzo del año 2007. Hallar el precio de compra.

3.

Calcular la tasa de interés real de una inversión de $ 3,040.00 durante un año, si la tasa efectiva fue 43% y el índice de precios al consumidor o tasa de inflación, 35%.

4.

Una empresa proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión: $ 4,000.00, ingreso anual por renta promedio: $ 1,200.00; costo anual de operación: $ 200.00; depreciación anual: $ 800.00. Calcular su valor actual neto. si espera recuperar su inversión en 5 años, Considerar dos alternativas de tasa de interés.

5.

Calcular la tasa interna de retorno para el problema 15 e indicar si la inversión es rentable considerando el rendimiento del dinero con una tasa de interés real del 15%.

2




SOLUCIONARIO

8. Solucionario CAPÍTULO I 1.

Mediante regla de tres: a.

500 = 100% X = 15% X =

X= 0,75 (100)= $ 75 dólares.

Forma directa: 500 (0.15) = $ 75 dólares. b.

800 = 100% X = 12% X= X= X = 0,96 (100) X = $ 96 dólares.

Forma directa: 800 (0,12) = $ 96 dólares. c.

320 = 100% X = 25%

X= X=

dólares

Forma directa: 320 (0,25) = $ 80 dólares. 2.

240 = 15% X = 100%


3


SOLUCIONARIO

X= X = $ 1 600 dólares 3.

360 = 18% X = 100%

X=

4.

1 200 = 100%

dólares

45 = X

X=

X = 3,75

X = 3,75 %

5.

2500 = 100% 85 = X

X=

X = 3,4%

X = 0,034

6.

De acuerdo con el primer procedimiento, tenemos: $ 380.oo precio de lista - 30.40 (8 % descuento (380 x 0,08) $ 349.60 precio con descuento +41.95 impuesto a las ventas ( 349.60 x0,12 $ 391.55 dólares ----------Segundo procedimiento: 380.oo (1 -0,08) = $ 349.60 dólares 349.60(1 +0,12)=$ 391.55 dólares.

7.

Primer procedimiento

Precio de venta = Precio de costo + Utilidad PV = $ 12 + 12 (0,25)

74




SOLUCIONARIO

PV = $ 12 +3 PV = $ 15 dólares. Segundo Procedimiento: Precio de Venta = Precio de costo más utilidad PV = 12 (1 + 0,25) PV = $ 15 dólares. 8.

Precio de Venta = Precio de Costo + Utilidad PV - Utilidad = Precio de costo PV - [ 0,28 ( Precio de venta) ] = 400 PV (1 - 0,28( = 400 PV ( 0,72 ) = 400 PV = $ 555.56 dólares.

9.

Calcular i: ( 1 + i )50 = 4.383906019 Aplicamos logaritmos a los dos miembros: a.

50 Log (1+i) = Log ( 4.383906019 )

Log ( 1 + i) =

( 1 + i) = antilogaritmo 0,012837224

( 1 + i) = 1,03 i = 1,03 - 1 i = 0,03 i=3% Sin utilizar logaritmos, mediante calculadora, procedemos elevando ambos miembros a la potencia 1/50. 1 + i )50 = 4.383906019 (1 + i )50/50 = (4.383906019)1/50

1+i = 1,03

i = 1,03 - 1

i = 0,03 i = 3%

b.

( 1 + i )25 = 3,386354941

25 Log ( 1 + ¡) = Log ( 3,386354941 )


75


Log ( 1 + ¡) =

Log ( 1 + ¡) =

( 1 + ¡) = 1,05

SOLUCIONARIO

( 1 + ¡) = antilogaritmo 0,021189299

i = 1,05 - 1 i = 0,05 i=5% Mediante Calculadora: Procedemos elevando ambos miembros a la potencia 1/25. ( 1 + i )25 = 3,386354941 (1+i )25/25 = ( 3,386354941)1/25 ( 1 + i) = ( 3,386354941)0.04 1 + i = 1, 05 i = 1,05 - 1 i = 0,05

i = 5%

10. Calcular n: (1 + 0,05 )n = 80.73036503 n Log(1,05) = Log 80,73036503 n ( 0,021189299) = 1.907036916 n=

n = 90

11. u = a + (n-1) (d) = 6 + (15-1 )(8) =118 S = n/2 ( a + u ) S = 15/2 (6+118) S = 7.5 ( 124) S = 930

76




SOLUCIONARIO

Progresiones: Aplicación en un problema. 12. Por la adquisición de un automóvil, una persona paga al final del primer año $ 1 200 dólares, al final del segundo año $ 1.150,00, al final de! tercer año $ 1.100,00. ¿Cuánto pagará por el automóvil si hace 15 pagos?. 1 200; 1 150; 1 100; ........... dólares, es una progresión aritmética cuya razón es $ 200 dólares. En donde a = 1 200; n = 15; d =-50. U = a + (n-1 )d. U = 1200+ (15-1 )(-50) U = 1 200 + (14) (-50) U = 1 200 - 700 U = $ 500 dólares S= S= S = 7,5 ( 1 700 ) S = $ 12 750 dólares. CAPÍTULO II 1.

Desarrollo: Se aplica la siguiente fórmula para calcular el interés simple: I = C.i.t. I = (500) (0,25) (120/360) I = ( 500 ) ( 0,083333 ) I = $ 41.67 dólares.

(Se dividió 120 entre 360, porque se trata de una tasa de interés anual, y el tiempo se expresa en días).

2.

M = C + C.i.t. M = C (1 + i.t) M = 500 {1 +(0,25)120/360) M = 500 {1,0833} = $ 541.65 dólares.


77


3.

SOLUCIONARIO

Las fórmulas solicitadas debemos deducir de la fórmula principal: I = C.i.t

a.

4.

c.

i=

b.

t=

C=

La fórmula para calcular el valor actual podemos deducir de la fórmula del monto. M = C (1 + i.t) C=

5.

Solución: a. Calculamos la fecha de vencimiento. Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Total

b.

18 31 30 31 31 30 09 ------180 días

Gráfica de tiempos y valores.

12 de abril

c.

C = $ 2 986.47

M = $ 3 600 dólares

15 de junio

10 de octubre

El montó: M = 3 200 [ (1+ (0,25) 180/360 ) ] = $ 3 600 dólares

d. número de días comprendidos entre la fecha de negociación y vencimiento. Junio Julio Agosto Septiembre Octubre -------Total

78

15 31 31 30 09 116




SOLUCIONARIO

e.

Valor actual:

C=

C = $ 3.361,69 CAPÍTULO III 1.

En primer lugar, elaboramos la gráfica y luego damos solución al problema.

C = $ 396.07

10 de marzo

M = $ 420 dólares

12 de abril

Plazo

8 de julio

Tiempo de Descuento

Marzo

21

Abril

30

Mayo

31

Junio

30

Julio

8

TOTAL

120 días

18 31 30 8

87 días

Dr = M - C Dr = 420 -

Dr = 420 -

Dr = 420 - 396.07 Dr = $ 23.93 dólares. Respuesta: $ 23.93 dólares. 2.

Db = M.d.t. Db = $ 420 [ 1 - 0.25 ( 87/360 ) ] = $. 25.38 Dólares.

3.

Cb = M (1 - d.t.)

Cb = $ 420 [ 1 - 0,25 ( 90/360 ) ] Cb = $ 420 [ 0,9375 ]


79


SOLUCIONARIO

Cb =$ 393.75 dólares Respuesta: $ 393.75 dólares. 4.

En primer lugar, elaboramos la gráfica:

8 de agosto

14 de octubre

Plazo

6 de noviembre

Tiempo de Descuento

Agosto Septiembre Octubre Noviembre

23 30 31 6

16 días 31 días 6 días

TOTAL

90 días

53 días

Cb = M(1 - d.t) Cb = 2 400 [ 1 - 0,24 ( 53/360 ) ] Cb = 2 400 [ 0,96466666] Cb =2315.20 dólares. Respuestas $ 2.315,20 dólares. CAPÍTULO IV En primer lugar planteamos el problema gráficamente. $ 2 000

0

30

60

X

90

$ 2 500

120

$ 3 000

150

180

Luego, se calcula el tiempo: t1 = 90 - 60 = 30 t2 = 90 -120 = -30 t3 = 90 -180 = -90 A continuación expresamos la ecuación de valor. X = 2 000 [ 1 + 0,25 ( 30/360) ] + 2 500/ [ 1 + 0,25 ( 30/360 ) ] + 3 000/ [ 1 + 0,25 ( 90/ 360 ) ]

80




SOLUCIONARIO

X = 2 041.67 + 2 448.98 +2 823.53 X = 7 314.18 Respuesta: $ 7 314.18 dólares. 5.

El mismo problema, considere la fecha de pago en el tiempo cero o el día de hoy.

0

30

$ 2 000

X

$ 2 500

60

90

120

$ 3 000

150

180

Luego, se calcula el tiempo: t = 0 – 60 = /- 60/ t = 0 – 120 =/-120/ t = 0 – 180 =/-180/ A continuación expresamos la ecuación de valor. X = 2 000 / [1 + 0,25(60/360)] + 2 500 / [1 + 0,25 (120/360)] +3 000 / [1 + 0.25(180/360)] X = 2 000 / 1,041666667 + 2 500 / 1,083333333 + 3 000 / 1,125 X = 1 920 + 2 307.69 + 2 666.66 X = $ 6 894.35 6. Para resolver este problema, utilizamos el criterio de valor actual. a) b)

X1 = 17 200 + 10 800 / [1 +0,25 (150/360)] = 17 200 + 9 781.13 = $ 26 981.13 dólares X2 = 10 000 + 18 000/ [1 +0,25 (120/360)]

= 10 000 + 16, 615.38

= $ 26 615.38 dólares

c)

X3 = 6 000 + 22 000 / [1 + 0,25 (90/360)]

= 6 000 + 20 705.88

X3 = $ 26 705.88 dólares

Respuesta. Le conviene la propuesta: b) $ 26 615.38 dólares


81


SOLUCIONARIO

SEGUNDO BIMESTRE CAPÍTULO V 1.

M =C (1 +i.t). M =1 800 (1 + (0,15)(10)) M = 1 800 ( 2,5) M= $ 4 500 M = C( 1 + i)n M =1 800 (1 +0,15)10 M =1 800(1,15)10 M = 1 800 ( 4,045557736) M = $ 7 282.00 Dólares. Monto a interés compuesto = $ 7 282.00 Dólares Monto a interés simple

2.

= $ 4 500.00 Dólares.

M = C( 1 + i)n, n = 8(12)/6 =16; i = 0,15/2 = 0.075. M = 2 080 (1 + 0,075)16 M = 2 080(3,180793154) M = $ 6 616.05 Dólares. I=M-C I = 6 616.05 - 2080.00 I = $ 4 536.05 Dólares.

3.

m= 360/180 =2 i = 0,20/2 = 0,10 n=

4.

(1 +¡) = (1 +j/m)m; ¡=?; J =15%; m = 4. (1 +¡) =(1 +0.15/4)4 (1 +i) =1,158650415 i = 1,158650415 - 1 ¡ = 0,158650415 i =1 5,865%

82




SOLUCIONARIO

5.

Primero el problema debemos expresarlo gráficamente y luego procedemos a plantear la solución del mismo. Negociación con una tasa del 20% efectiva: n= M = 2 500 (1 +0,18/2)17 M = 2 500 (1,09)17 M =10 819.08 Dólares n= n= 5 C = 10 819.08 (1 +0.20)-5 C = 10 819.08 (0,401877572) C = $ 4 347.95 Dólares (Negociación con castigo)

NEGOCIACIÓN CON UNA TASA DEL 18% ANUAL CAPITALIZABLE SEMESTRALMENTE n= C = 10 819,08 (1 + 0,18/2)-10 C = 10 819.08 (0,422410806) C = $ 4 570.10 Dólares (negociación a la par). COMPROBAMOS n= n = 2 500 (1 +0,18/2)7 n = 2 500 (1,82803912) n = $ 4 570.10 Dólares.

NEGOCIACIÓN CON UNA TASA DEL 14% ANUAL CAPITALIZABLE TRIMESTRALMENTE n=

C = 10 819.08 (1 +0,14/4) 20


83


SOLUCIONARIO

C = 10 819,08(1,035) 20 C = 10 819.08 ( 0,502565884) C = $ 5 437.30 Dólares (Negociación con premio). CAPÍTULO VI 1.

i = 0,12/2 = 0,06; n = (6)(2) = 12 periodos

S=R

S = 20

S = 20 (16,8699412) S = $ 337.40 Dólares. 2.

R = $ 26 ; S = $. 2 000; i = 0,12/2 = 0,06; n = ?

n=

n=

n= n = 22,06 depósitos de $.26 y un último de $ 866.33 Dólares.

2000 = 26 2 000 = 26 ( 43,60263194 ) + X 2 000 = 1 133.67 + X 2 000 - 1 133.67 = X X = $ 866.33 Dólares. 3.

S = $ 32 000 i = 0,15/4=0,0375 n = (8)(12) / 3 = 32 periodos

84




SOLUCIONARIO

R= R= R= R = $ 533.80 Dólares. CAPÍTULO VII 1.

Calculamos primero la cuota. S = $ 4 000; n = (3) (2) = 6; i = 0, 15/2 - 0,075 S = $ 4 000; n = (3) (2) = 6; i = 0, 15/2 - 0,075 R=

R=

R = $ 552.18 Dólares. Para la elaboración de la tabla revise la página 221 del texto guía. 2.

Se calcula la cuota fija durante los 36 meses, mediante cada uno de los métodos indicados: a.

Este método acumula los intereses; por tanto, utilizamos la fórmula del monto a interés simple:

M = 26 000 [ 1 + 0,011 ( 36 ) ] = $ 36 296 dólares.

M = $ 36 296/36 = $ 1 008.22 dólares. ( Cuota fija )

b.

Este método calcula la cuota mensual sobre saldos. Primera cuota

$ 1,008.22 Dólares.

I= c.i.t. I=(26000)(0,011)(1) = 286 1ra cuota = 722,22 + 286 = 1,008,22 Cuota del capital Última cuota

26 000/36 = $ 722.22 dólares

$ 722.22 + 722.22 (0.011) = $ 730.16 Dólares.


85


Cuota fija =

SOLUCIONARIO

Cuota fija = c.

Dólares

Este método utiliza las amortizaciones graduales, con la fórmula de la renta en función del valor actual de una anualidad. ¡ = 0,011; n = 36

R= R= R = $ 878.55 Respuesta: le conviene el método de saldos deudores literal (b).

3.

i = 0,135/12 = 0,01225; n = (4)(12) =48;

R=

R=

R=

Dólares

Nueva Renta. Se calcula el saldo insoluto luego del pago 12. K = 36 -12 =24 P12 = 314.09

= 314.09 (20,93056693)

= $ 6 574.08 i = 0,15/12 = 0,0125; n = 24.

R=

R = $ 318.76 Dólares. Cuota con reajuste.

86




SOLUCIONARIO

CAPÍTULO VIII 1.

P = C ( 1 + i )-n+ cupón

Valor de redención: $ 2 400 (102) = $ 2 448 Dólares. Número de cupones: 20 (cupones Semestrales) Valor de cada cupón: 2 400 (0,13/2) = $ 156 Dólares. Tasa de negociación: 0,12/2 = 0,06 P = 2 448 (1 + 0,06)-20 + 156

P = 2 448 (0.311804726 )+ 156 P = 763.29 + 156 (11.46992123) P = 763.29 + 1 789.31 P = $ 2.552.60 Dólares. 2.

Valor de redención: 1 800 (1 ) = 1 800 Dólares. Número de cupones: 30 Valor de cada cupón: 1 800 (0,18/2) = $ 162 Dólares. P = C (1 + i)-n + Cupón

P = 1 800 ( 1 + 0,085)-30 + 162

P = 155.73 + 162 P = 155.73 + 1 740.99 P = $ 1 896.72 Dólares. 3.

r = 100

r = 100


87


r = 100

SOLUCIONARIO

r = 100 (0,059259)

r = 5,925% Tasa de interés real. 4. Año

0

1

2

3

4

5

Ventas Costo de Operac. Depreciación Utilidad(Antes De Impuestos)

-

1 200 200 800

1 200 200 800

1 200 200 800

1 200 200 800

1 200 200 800

-

200

200

200

200

200

1 000

1 000

1 000

1 000

1 000

Flujo Neto De Caja:

4 000

Primero calculamos el Valor Actual Neto para cada año: FNC0

Con r = 7% - VAN 1 - $ 4 000

Con r = 8% VAN 2 - $ 4 000

FNC =

925.93

FNC =

857.34

FNC =

793.83

FNC = 735.03

FNC =

680.58 + 100.20

- 7.29

5. Como se halló un valor positivo y otro negativo, esto significa que la tasa interna de rendimiento o retorno, se encuentra entre los límites: r1 = 7%

88

y r2 = 8%




SOLUCIONARIO

Entonces, la tasa interna de retorno puede calcularse por interpolación de las dos tasas: TIR = r1 + ( r2 - r1 )

TIR = 0,07+(0,08-0,07)

TIR = 0,07+(0,01)

TIR = 0,07 + ( 0,01 ) ( 0,932179737) TIR = 0,07+ 0,0093217973 TIR = 7,9322%.


89


ANEXOS

9. Anexos El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.

Amigo estudiante, con el propósito primordial de que usted adquiera un verdadero conocimiento de las matemáticas financieras, se le sugiere hacer uso de las herramientas matemáticas necesarias y realice cada uno de los ejercicios propuestos y que tienen relación con los capítulos analizados; material que le será fundamental para evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias; y de esta forma, conseguir los objetivos propuestos en el área de las matemáticas financieras y el éxito en el mundo de la administración en general. De igual forma me permito recomendar utilicen el C.D que se acompaña en el texto básico y ustedes podrán completar y manejar con fluidez todas las operaciones que demanda el estudio de esta asignatura. PROBLEMAS PROPUESTOS INTERÉS SIMPLE 1.

Una empresa pidió prestado $ 3 200 por 7 meses. Si la tasa de interés era el 9%, determine: a. b.

¿qué cantidad de interés deberá? ¿cuánto tendrá que liquidar al vencimiento?

a. Respuestas: $ 168 dólares. b. Respuesta: $ 3 368 dólares. 2.

Un préstamo de $ 4 200 se liquidó con un cheque por $ 4 319. Si el tiempo era 4 meses, ¿cuál era !a tasa de interés?. Respuesta: $119 dólares.

4.

Un comerciante tomó prestado $ 2 500 con intereses al 12%. ¿Cuánto duró su préstamo si pagó $ 150 como cargos por intereses?. Respuesta: t = 6 meses.

4.

Determine el interés ordinario y exacto cuando se toman prestados $ 400 por 80 días al 10% de interés. Respuestas: Interés ordinario $ 8.89 dólares. Interés exacto $ 8.77 dólares.

5.

¿Qué capital se convertirá en $ 3 402 en 50 días si la tasa de interés es el 9%? Respuesta: $ 3.360 dólares.


1


6.

ANEXOS

El 15 de mayo, Juan Rosas recibió $ 1 325.35 como pago de un pagaré de fecha 26 de febrero. El había cargado intereses al 9%. ¿Cuál fue el valor nominal de! pagaré?.

Respuesta: $ 1.300 dólares.

7.

Un pagaré con valor nominal de $ 3 600 tiene fecha del 20 de agosto. Vence el 31 de octubre con intereses al 11%. Después de que fue firmado el pagaré, la tasa del mercado aumentó el 12%. ¿Cuál es el valor actual del pagaré al 1ro, de octubre a la tasa de mercado?.

Respuesta: $ 3,642.77

INTERÉS COMPUESTO 1.

Un empresario invierte $ 3 000 al 9% capitalizable en forma semestral durante 8 años. a.

¿Cuánto tendrá después de 8 años?

b.

¿Qué importe de intereses habrá ganado?

Respuestas: a. Importe compuesto $ 6 067.11 b. Interés $ 3037.11 2.

Un comerciante desea tener $ 20 000 en diez años. Se pueden ganar intereses al 8% capitalizable en forma trimestral. Determine: a.

La suma que tiene que invertir

b.

El interés compuesto ganado

c.

La tasa efectiva.

Respuestas:

a.

Valor actual = $ 9057.81

b.

Interés = $ 10942.19

c.

Tasa efectiva = 8,24%

3. Se depositaron $ 600 en un banco de ahorros que paga el 9% de interés capitalizable en forma mensual.

a.

¿Cuánto contendrá la cuenta después de 9 años?

b.

¿Cuánto interés habrá ganado?

Respuestas:

92

a.

Importe compuesto = $ 1 344.66

b.

Interés = $ 744.66




ANEXOS

5.

¿Cuánto tiene que ser invertido al 16 ½% capitalizable en forma mensual para tener $ 20 000 en 7 años?. ¿Cuánto interés se ganará?

Respuestas: $ 6 350.93, $ 13 649.07.

5.

¿Cuánto tiene que ser invertido al 12% capitalizable en forma trimestral para cubrir el pago inicial de $ 17 000 para una casa que una familia piensa comprar dentro de 9 años?. ¿Cuánto interés ganará?.

Respuestas:

a.

$ 5 865.55; $ 11 134,45.

6. ¿Cuál es el valor actual, si el valor del dinero es el 11 % capitalizable en forma trimestral, de una herencia de $ 30 000 a pagar en 15 años? 7.

8.

Respuesta: $ 5 891.30 Un empresario desea comprar dos nuevas computadoras dentro de 5 años a un costo estimado de $ 5 400. Si invierte ahora $ 2 750, al 8% capitalizable en forma semestral, ¿tendrá dinero suficiente para comprar las computadoras?. Respuesta: NO. Se obtiene un préstamo bancario de $ 15 000 a plazo de un año y con interés de 12% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el monto que deberá liquidarse?. Respuesta: $ 16 882.63 ANUALIDADES

1.

En el décimo cumpleaños de su meta, el abuelo de Juan puso $ 1 000 en una cuenta que gana el 12% capitalizable en forma trimestral. Si se deja que se acumulen el capital y los intereses, ¿cuál será e¡ valor de la cuenta cuando Juan cumpla 21 años?.

Respuesta: C.A. = $3.671,45

2.

Para asegurar el retiro eventual de bonos en circulación, una Corporación invierte $ 20 000 en un fondo especial cada año. Si el interés es del 8% capitalizable en forma anual, ¿cuánto habrá en e! fondo después de 15 años?. ¿Cuánto interés se habrá ganado?.

Respuestas: 3.

a. b.

$ 543 042.26; $ 243 042.26.

Una fundación desea depositar una suma de dinero suficiente al 10% capitalizable en forma trimestral con el fin de estar en posibilidad de retirar $ 5 000 cada tres meses durante los siguientes 5 años. ¿Qué anualidad se debe depositar?. ¿Cuánto interés se ganará?.

Respuestas:

a. $ 77 945.81 b. $ 22 054.19


93


4.

ANEXOS

Una empresa tiene que liquidar $ 3.500,000 dentro de 25 años. ¿Cuánto debe invertir la compañía cada seis meses para tener el importe necesario si la tasa de interés es del 14% capitalizable en forma semestral?.

Respuesta: $ 8 609.30

5. Carlos Barriga tomó prestados $ 15 000 y convino en liquidarlos en plazos trimestrales iguales durante un periodo de 7 ½ años. Si la tasa de interés es del 11% capitalizable en forma trimestral, ¿cuál es el importe de cada pago?. ¿Cuánto se paga de intereses?.

Respuestas: ga. R = $ 740.77 c. I = $ 7 223.10

6.

Un empresario piensa modernizar su sistema de calefacción en 4 años con un costo de $ 4 000. Si su cuenta de ahorros y préstamos le paga el 7% con capitalizaciones trimestrales, ¿cuánto debe depositar ahora para tener $ 4 000 en 4 años?. ¿Cuánto interés se habrá ganado?.

Respuestas: 7.

a. b.

$ 3 030.46 $ 969.54.

Un automóvil de $ 8 000 se vendió con una pago inicial de $ 1 000 y pagos trimestrales por 3 años. Si se incluye un interés al 12% capitalizable en forma trimestral, ¿cuánto importa cada pago?.

Respuesta: $ 703.23

8.

a. b. c.

¿Cuánto tiene que depositar cada mes al 9% con capitalización en forma mensual para tener $ 15.000 al final de 4 años?. ¿Cuál es el importe total depositado? ¿cuánto interés se gana?.

Respuestas: 9.

a. $ 260.78; b. $ 12.517.44; c. $ 2 482.56.

Una compañía tiene que pagar una deuda pendiente de $ 30 000 dentro de 10 años. a.

¿Cuánto tiene que depositar cada trimestre al 8 % capitalizable en forma trimestral para tener el importe requerido en 10 años?

b.

¿Cuánto es el interés ganado?

Respuestas:

a. a.

$ 496.67; $ 10 133,20.

10. Luisa Andrés tomó prestados $ 10 000 para remodelar su casa. Liquidará el préstamo en pagos trimestrales por 11 años. El interés es al 14% capitalizable en forma trimestral.

94




ANEXOS

a. b.

¿Cuál es el pago trimestral de Luisa? ¿Cuánto interés será pagado?.

Respuestas:

a. b.

$ 448.78; $ 9 746.32.

Ahora usted ya tiene todas las herramientas necesarias para su estudio, sólo es cuestión suya saber si utiliza esta información o la deja como la aprobación académica de una materia NOTA Agradeceremos comunique por escrito cualquier aspecto que haya observado como negativo en la atención que el Profesor y la Universidad en general le brindan.

AMG/lg/29-12-09/95


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matemáticas financieras

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