Mate Matic as 4 Ortiz Tabasco

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Este libro pertenece a la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

MATEMATICAS 4

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DGB Serie integral por competencias

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MATEMATICAS 4

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Serie integral por competencias

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4

segunda edición

MATEMÁTICAS 4 Edición especial para Tabasco Francisco José Ortiz Campos Francisco Francisco Javier Javier Ortiz Ortiz Cerecedo Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

tercera edición 2015 cuarta edición 2017

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Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Ciudad de México

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Juan Castro Pérez Ilustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez Jiménez Fotografías: Thinkstock Todas las pantallas tienen ©, D.R. de WolframAlpha LLC y no pueden ser utilizados sin permiso.

Matemáticas 4.

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Edición especial para Tabasco Derechos reservados: ©2010, 2014, 2015, 2017, Francisco José Ortiz Campos, Francisco Javier Ortiz Cerecedo, Fernando José Ortiz Cerecedo ©2010, 2014, 2015, 2017, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

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ISBN: 978-607-744-187-8 (Cuarta edición) ISBN: 978-607-744-187-8 (Tercera edición)

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Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico

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Primera edición: 2010 Segunda edición: 2014 Tercera edición: 2015 Cuarta edición: 2017

(0155) 53 54 91 00

Grupo Editorial Patria®

Contenido

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4

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V IX

1 .1 1 .2 1 .3

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaciones (dominio, contradominio e imagen) . . . . . . Regla de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 13 14

Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades y características de las transformaciones gráficas (traslaciones y reflexiones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 40 41 43 44

3 .1 Modelo general de las funciones polinominales . . . . . . . 3 .2 Forma polinomial de funciones de grados cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .3 Representación gráfica de funciones de grados cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos .

62

2 .1 2 .2 2 .3 2 .4 2 .5 2 .6

4 .1 Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .2 Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .3 Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .4 Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .5 Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX X

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63 63 66 67

100 100 101 101 104 III

Contenido

5 .1 Ceros y raíces de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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5 .2 Teoremas del factor y del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

5 .3 División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 .4 Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5 .5 Teorema de factorización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5 .6 Gráficas de funciones polinomiales factorizables . . . . . 123

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6 .1 Función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6 .2 Dominio de definición de una función racional . . . . . . . 137

Aplicas funciones racionales

6 .3 Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas . . . . . . . . . . . 142 6 .4 Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7 .1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7 .2 Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

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7 .3 Gráfica de la función exponencial y logarítmica . . . . . . . 163

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

7 .4 Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7 .5 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7 .6 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7 .7 Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7 .8 Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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8 .1 Funciones trigonométricas: seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . 181 8 .2 Funciones circulares: seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Aplicas funciones periódicas

8 .3 Formas senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8 .4 Representación gráfica de funciones trigonométricas . . 183 8 .5 Características de las funciones periódicas: amplitud, frecuencia y periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 IV


Introducción a la asignatura y a tu libro

Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

El contenido temático de esta cuarta edición especial para Tabasco de Matemáticas 4 para bachillerato general se ha modificado para adecuarlo al programa vigente de la asignatura . Esta obra se desarrolla en ocho bloques que son:

Bloque 1 Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones En este bloque se inicia con algunos conceptos preliminares que son necesarios para establecer una adecuada comunicación . Las nociones de función y de relación se introducen a partir de ejemplos . Estos conceptos se amplían gradualmente . Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto de pares ordenados, y se les representa en tablas o gráficas . Se clasifica a las funciones por sus características y se estudian sus propiedades, tales como inyectiva, suprayectiva y biyectiva . Aunque no está en el programa, se incluyó el concepto de “intervalo” que se utiliza a lo largo del curso .

Bloque 2 Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas A partir del reconocimiento de las características de la función inversa de una función dada se procede a sus representaciones geométrica y algebraica con respecto a la función identidad . Al valor absoluto, constante, idéntica y escalonada, se les define y representa por medio de tablas y gráficas, se determina la imagen de su dominio y se analizan sus propiedades . Con las gráficas de funciones se realizan transformaciones, tales como traslaciones verticales y horizontales o reflexiones sobre los ejes o sobre la recta y = x .

Bloque 3 Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente . Se aplica el concepto de pendiente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas . Se identifica la ecuaV

Introducción a la asignatura y a tu libro

ción de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos . También, se identifica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos .

Bloque 4 Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro En este bloque se introducen los conceptos de función par y función impar como antecedente para el bosquejo de la gráfica de funciones de grados tres y cuatro .

Bloque 5 Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Para determinar ceros reales o complejos de una función polinomial, así como para predecir su trazo, se recurre a conceptos y teoremas . Se explica el procedimiento para obtener la regla de la división sintética y se aplica para resolver ecuaciones polinomiales factorizables

Bloque 6 Aplicas funciones racionales A partir del concepto de función racional se procede a su caracterización . Se identifican las posibles asíntotas horizontales, verticales y oblicuas . Los intervalos se utilizan para identificar las regiones del plano en las que está o no la gráfica de la función racional . Se hace una introducción a la variación inversa .

Bloque 7 Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Este bloque inicia con una revisión del concepto de exponente y de sus respectivas leyes para tratar lo relacionado con la función exponencial . Incluye la función exponencial natural . Se hace una interpretación algebraica y gráfica de la función logarítmica como inversa de la función exponencial . Las propiedades de los logaritmos son utilizadas para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas .

Bloque 8 Aplicas funciones periódicas En este bloque se estudian las funciones periódicas senoidales . Se les representa gráficamente . Se determinan sus características y elementos principales y se aplican en algunos fenómenos de la vida cotidiana . Cada bloque inicia con su nombre e incluye la o las competencias, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas para el diseño de situaciones didácticas . Además tiene las siguientes secciones: ¿Qué sabes hacer ahora? (evaluación diagnóstica). Para tu reflexión. Actividades de aprendizaje. Aplicas lo que sabes. Instrumentos de evaluación. La evaluación diagnóstica nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante . La actividad de aprendizaje posibilita conocer el grado de avance en el proceso de enseñanza–aprendizaje para hacer los ajustes necesarios . Los instrumentos de evaluación, establecen una comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque .

VI


En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo, de acuerdo con el enfoque por competencias . Para ello, se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta . A continuación, se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos . El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas . La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento . La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno . En el caso de que el estudiante no pueda efectuar el problema planteado, se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos . Hecho lo anterior, podrá regresar a resolver el problema planteado . Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades . Para el o la docente esta obra ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias . Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos: 1. Competencia. Es la competencia a desarrollar de acuerdo con el programa de estudios vigente . 2. Situación didáctica. Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera . 3. Secuencia. Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo . Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar, a fin de resolver la dificultad que se plantea en la situación didáctica . En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a efectuar . Estas acciones tendrán un peso en la evaluación . 4. Evaluación por producto. Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, ésta evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia . 5. Rúbrica de evaluación. Incluye los elementos considerados para la evaluación . Se trata de hacer transparentes los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación . 6. Aplicación de TICs. En la actualidad el conocimiento está disponible para todos en gran cantidad de plataformas tecnológicas, recientemente hemos generado mucha información en casi todas las ramas del conocimiento, pero es importante diferenciar la información útil de la que no lo es, por esta razón es importante que el alumno aprenda a identificar las fuentes de información confiables de aquellas que no lo son . Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación . Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas . Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, éstas tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos . Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva . A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico los cuales son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior . La autoevaluación y coevaluación son herramientas esenciales que se realizan entre pares para que el alumno sea motivado a reconocer su papel como integrante de un grupo cuyo objetivo principal es el logro del aprendiVII

Introducción a la asignatura de tu libro zaje en el que es protagonistas y corresponsable . Para ello debe identificar y ejecutar la formación de juicios de valor acerca de sí mismo y de los demás, de esta forma se pretende rescatar la experiencia del profesor en la evaluación, aunada a la reflexión que el grupo hace del trabajo general e individual, consciente de la responsabilidad que presenta emitir un juicio constructivo del trabajo de un compañero así como aceptar los que se hacen al trabajo personal . La heteroevaluación es una herramienta que se realiza entre personas que pertenecen a distintos niveles, r es la evaluación que realiza una persona de otra, respecto a una actividad, trabajo, etcétera . Se refiere a la evaluación que lleva a cabo el profesor con respecto a los aprendizajes de los alumnos . También los alumnos pueden evaluar a los profesores . Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla . Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

VIII


Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar; éstas les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una

convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etcétera . Por lo anterior, estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato . A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue . 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros . 3. Elige y practica estilos de vida saludables . 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados . 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos . 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva . 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida . 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos . 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo . 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales . 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables .

Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas Competencias disciplinares básicas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Bloques de aprendizaje

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Secciones deTu libro Conoce tu libro

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Inicio de bloque

Empleas funciones polinomiales Empleas de grados cero, uno y dos funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos C (6, 5), D (1, 4). 2. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos C (6, 5), D (1, 4). Al iniciar el mes, una empresa de electrodomésticos tiene en existencia 500 refrigeradores, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente Al iniciarlael mes, una empresa de electrodomésticos tiene en existencia 500 función que describe el número de aparatos para cualquier mes. 3. día del refrigeradores, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la función que describe el número de aparatos para cualquier día del mes. 4. Determina si la función f ( x) 5 7 2 3xx , es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta. 4. Determina si la función f ( x) 5 7 2 3x , es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta. En una fábrica de ropa el costo total C (x) (xx)) de producción de x número de prendas (x de vestir está dado por: En una fábrica de ropa el costo total C (x) de producción de x número de prendas C ( x) 5 80x 1 2 500 de vestir está dado por: 5. a) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir? C ( x) 5 80x 1 2 500 5. b) ¿Cuál es el costo fijo? a) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir? c) ¿Cuál es el costo total de producción de 10 000 prendas de vestir? b) ¿Cuál es el costo fijo? c) ¿Cuál es el costo total de producción de 10 000 prendas de vestir? 6. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo. 6. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.

3 3

3.1 Modelo general de las funciones polinomiales

3.2 Forma polinomial de funciones de grados cero, uno y dos 3.3 Representación gráfica de funciones de grados cero, uno y dos

Competencias por desarrollar

3.4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 3.5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad Competencias que tienesa desarrollar para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A (26, 6), B (3, 6). 1. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A (26, 6), B (3, 6).

2.

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y B LO Q U E contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y Objetos de aprendizaje pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Qué sabes hacer ahora?


1.

Objetos de aprendizaje

w


Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

3.

B LO Q U E

Objetos de aprendizaje

7. Obtén dos números tales que sumen 50 y la suma de sus cuadrados sea mínima. 7. Obtén dos números tales que sumen 50 y la suma de sus cuadrados sea mínima.


8. Esboza la gráfica de la función: f :  → , f ( x ) 5 3x 2.

3.2 Forma polinomial de funciones de grados cero, uno y dos

8. Esboza la gráfica de la función: f :  → , f ( x ) 5 3x 2.

3.3 Representación gráfica de funciones de grados cero, uno y dos

Desempeños por alcanzar

3.4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 3.5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos


Competencias a desarrollar

Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te Desempeños por alcanzar posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de para determinar o estimar su comportamiento. objetivos que persigue. valores, ideas y prácticas y/o variables determina dicha clase de funciones. Analiza las relacionesparticulares entre dos o más de siuncorresponden proceso social oanatural Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones Se conoce y valora a sí mismo ycreencias, aborda problemas y retos teniendosociales. en cuenta los Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de para determinar o estimar su comportamiento. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, asíy/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. particulares Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextosobjetivos que persigue. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación decreencias, valores, ideas y prácticas sociales. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las como sus gráficas respectivas. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así magnitudes del de espacio y las propiedades físicas de los objetos quelo rodean. mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. procedimientos aritméticos, algebraicos, la e interpreta modelos matemáticos mediante Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextosgeométricos y variacionales, para Construye la aplicación Determina si la situación corresponde aque unlomodelo de grados cero, unosusy dos, como gráficas respectivas. comprensión yherramientas análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos rodean. mediante la utilización de medios, códigos y apropiados. Elige un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un proceso o Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción desi la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, Determina comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. fenómeno, y argumenta su pertinencia. establecidos. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Elige un enfoque determinista o aleatorio el estudio de un procesoparticulares o Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos enunciados, tipos depara gráficas y regularidades observadas. empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de fenómeno, y argumenta su pertinencia. establecidos. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentestablas, enfoques. Interpreta gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricastipos o de gráficas y regularidades particulares observadas. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos enunciados, y científicos. y los contrasta prácticas quediagramas implican yo textos no, razones de crecimiento o decrecimiento constante Interpreta tablas, gráficas, mapas, con símbolos matemáticos Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o Participa y colabora de maneramatemáticos efectiva en equipos diversos.con modelos establecidos o situaciones reales. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y científicos. que se asocien con el modelo. matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante

que se asocien con el modelo.

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Situación didáctica

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¿Cómo lo resolverías?

Rúbrica

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos ¿Cómo lo resolverías?

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

En una fábrica de ropa, el costo total C ( x ) de producción de x 000.. número de prendas de vestir está dado C por ( x )5 40 x 135 000 ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir?

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

¿Cuál es el costo fijo? ¿Cuál es el costo total de producción de 50 000 prendas de vestir?

Secuencia didáctica

¿Qué tienes que hacer?

Forma equipos para resolver el problema.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Evaluación por producto

Cada equipo debe investigar:

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

A partir de la expresión algebraica del costo de producción:

En este ejemplo:

¿Cuáles son los parámetros?

Producto a elaborar

¿Qué representa cada uno de ellos?

Presentar los cálculos realizados para resolver el problema.

¿Cómo se obtiene el costo de cada prenda de vestir? ¿Cómo se obtiene el costo fijo? ¿Cómo se calcula el costo total de producción?


Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

¿Qué tienes que hacer? La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

Rúbrica


Para determinar los datos que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron éstos; tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se

evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

54


Ejercicios Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

7

BLOQUE

Glosario Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

factorizando

log1.338226 5 log (1.06 )n

ln x 5 0

o bien:

ln x 1 2 5 0

ln x 2 2 5 0 de donde:

por tanto x 5 e0

ln x 5 2 2

x51

x 5 e22

ln x 5 2 x 5 e2

Ejercicios

Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2002.

Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.

Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003.

Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una función cuadrática cuya incógnita es x.

Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.

Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990.

Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 1998.

Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988.

Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz.

Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas.

Dominio. Es el conjunto de valores que toma x.

Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el producto indicado de sus factores.

t

4 000 5 500(2 ) Dividiendo entre 500:

4ln x 5 ln (5x2 2 4) ln x 5 1 1 3 ln x

4 000 500(2 t ) 5 500 500 8 52t

ln 12 2 ln (x 2 1) 5 ln (x 2 2)

Como 8 5 23 entonces: 23 5 2 t Por tanto:

t 53

Lo que significa que tres horas después de iniciado el cultivo se tienen 4 000 bacterias.

Ejemplos 1. Si se invierten 5 000 unidades de dinero al 6% de interés anual compuesto cada año, ¿al cabo de cuántos años el capital será de 6 691.13 unidades de dinero? Solución: Se puede obtener aplicando logaritmos de la siguiente forma. En la fórmula:

C n 5(11 i )n se sustituyen los valores del problema: 6 691.135 5 000(11 .06)n

6691.13 5(1.06 )n 5 000

1.338226 5(1.06 )n

b) De manera semejante, cuando f ( t )55 464 se tiene que: t 5 464 5 500(2 t ) entre 500: 10.928 5 2 . Aplicando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:

log10.928 5 log 2 t O bien:

log10.928 5t log 2

De donde:

log10.928 5t log 2

Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003.

Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la representación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función.

Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como factor.

log (x 1 2) 1 log (x 2 1) 5 1

Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994.

Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y.

Fracción decimal a) Cuando el número de bacterias es de 4 000, la expresión an- periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo. terior nos queda así:

log x 5 log 36 2 2 log 3

Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición. Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.

De acuerdo con lo expuesto antes, el número de bacterias en un Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas ext tiempo t está dado por: f ( t )5500(2 ) t en horas. presiones algebraicas de la ecuación.

log x 1 log (x 1 15) 5 2

X

log1.338226 5n log1.06 0.126529463 5n 0.025305865 55n

b) 5 464

log (2x 2 3) 5 1 2 log (x 2 2)

o sea:

Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.

Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales.

Ecuación lineal o de primer grado. Tiene como representación

log x 1 3 log 2 5 3

158

Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la

Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por un número o por una letra.

a) 4 000

2 log x 5 6 log 2

de donde:

Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982.

gráfica una500 línea recta. 2. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora, si se inició con Eje de simetría de una parábola: Es su eje focal. al cabo de cuántas horas serán:

log (x 2 1)5 2

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986.

Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.

segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la El resultado indica que el número que representa alEcuación capitalde se que el mayor valor de su única incógnita es 2. logra cinco años después de su inversión.

Encuentra el valor de x en:

Ejemplos

log1.338226 5n 5 n log (1.06 )

Bibliografía Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables.

Binomio. Polinomio de dos términos. función con el eje x. Tomando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:

ln x (ln x 1 2) (ln x 2 2) 5 0 se iguala cada factor con cero


1.038540686 5t 0.301029995 3.45 5t O sea que a las 3.45 horas de iniciado el cultivo el número de bacterias es de 5 464.

Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001.

Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema. Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal. Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Otras herramientas

Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética.

Vínculos en Internet

Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica.

http://www.matworks.com

Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje. 233

235

3

BLOQUE

3

BLOQUE

Aplica lo que sabes


Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Si f ( x )50 entonces 05 mx 1b donde x es la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje x, es decir, la raíz o solución de la ecuación que corresponde con el cero de la función. En dicho punto de intersección la ordenada vale cero.

Gráfica y parámetros

Actividad de aprendizaje ¿Qué tipo de problemas se pueden modelar utilizando la función lineal?

La expresión algebraica de la función cuadrática es de la f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, donde a, b y c son constantes a ≠ 0. El parámetro a es el coeficiente cuadrático y su valor, positivo o negativo, determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo; si a . 1 la gráfica se contrae (sus ramas se acercan al eje y) y si a ∈ 0 ,1 la gráfica se dilata (sus ramas se alejan del eje y).

Actividad de aprendizaje ¿Cómo son entre sí las gráficas de una función lineal y de su correspondiente ecuación?

Dominio y rango Para tu reflexión

Jacobo Clerk Maxwell A los 12 años comenzó a construir diversas formas geométricas con cartón. Todavía no conocía el nombre de algunas de ellas. Cuando Jacobo Clerk Maxwell conoció la primera dinamo o máquina electromagnética de Faraday quiso saber todo sobre ella y sobre la electricidad. Posteriormente expresó en términos matemáticos una parte importante de la obra de Faraday. La mayor aportación de Maxwell fue un tratado sobre la electricidad y el magnetismo. En su gran teoría sobre electromagnetismo, clasificaba la luz como un fenómeno ondulatorio electromagnético. Predijo el descubrimiento de las ondas de radio. Es considerado el físico teórico (matemático) más relevante del siglo XIX en Europa.

¿A qué se llama identificar la ecuación con la función?

Representación geométrica de la gráfica de la función cuadrática

¿A qué se le llama cero de la función?

(x, f (x))

22

f (2 2)5(2 2)2 5 4

(22, 4)

21

f (21)5(21)2 51

(21, 1)

0

f (0)5( 0 )2 5 0

(0, 0)

1

f (1)5(1)2 51

(1, 1)

2

f (2)5( 2 )2 5 4

(2, 4)

Esta depreciación se puede expresar linealmente así: f ( x ) 5 costo de adquisición 2 depreciación por año o bien Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. En el tratamiento de la basura, es importante su separación en orgánica e inorgánica, desde su fuente de origen (casas, escuelas, industria, comercio, oficinas, parques, jardines, etcétera). La basura orgánica (restos de alimentos, de jardín, hueso, madera o fibra vegetal), se puede utilizar para elaborar composta como abono orgánico.

Al representar en el plano cartesiano los puntos obtenidos y unirlos se forma una parábola (figura 3.17).

La basura inorgánica puede contener materiales reciclables como: papel, cartón, vidrio, metales o trapo.

f (x)

La función cuadrática como caso particular de la función polinomial

Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

Para efectos del pago de impuestos, en ciertas empresas su maquinaria se deprecia contablemente cada año, hasta que llega el momento en que su valor es de cero, sin importar que la maquinaria continúe en buenas condiciones y produciendo. Lo mismo ocurre con sus equipos de oficina o vehículos.

Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: f (x) 5 x2

Expresa algebraicamente una función lineal que relacione las toneladas diarias de basura orgánica e inorgánica que se generan en tu comunidad.

Modelos lineales

La función f (x) 5 x2 tiene como dominio a los números reales y como rango a los números reales no negativos, esto es A 5 , C 5 1 ∪ {0}.

x

precio y cómo se pueden aprovechar los recursos económicos así obtenidos en beneficio de tu escuela.

f ( x )5b 2 mx 52 mx 1b

donde b representa el costo original del bien adquirido, m indica el monto de la depreciación por año y x es el número de años transcurridos, de tal manera que la depreciación del bien es una función del tiempo.

En economía, el costo total C ( x ) de producción de x número de artículos que tiene un costo de producción de m unidades de dinero por artículo y cuyo costo fijo es de b unidades de dinero está dado por: C ( x )5 mx 1b

de tal manera que el costo total de producción es una función del número de artículos producidos. Así, si en una empresa se fabrican electrodomésticos, entonces el costo total C ( x ) de producir x número de artículos a un costo de 12 unidades de dinero por artículo y con un costo fijo de 5 000 unidades de dinero está dado por: C ( x )512 x 1 5 000

Forma estándar de una función cuadrática Ejemplos

Gráficas de funciones cuadráticas Sea f : → con f ( x )5 x 2.

Investiga cómo se puede clasificar la basura inorgánica.

Gráfica de la función cuadrática

Investiga qué productos de desecho son reciclables.

Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, en los que la primera componente es un número real y la segunda componente es el cuadrado de la primera. f 5{( x , f ( x )) f ( x )5 x 2 , x ∈ }

x

Investiga el precio que se puede obtener por ese material. Investiga con qué tipo de material reciclable se puede obtener el mejor

Figura 3.17

Grupo Patria® a Está diseñada para que puedas aplicar tusEditorial conocimientos situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Dos compañías, A y B, rentan automóviles. Para un mismo tipo de automóvil, A cobra una tarifa diaria de 10 unidades de dinero más 90 centavos por kilómetro; B cobra una tarifa diaria de 60 unidades de dinero más 70 centavos por kilómetro. Para un recorrido de 800 km, ¿qué opción es más económica?

Actividad de aprendizaje A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

72

74

Para tu reflexión Grupo Editorial Patria®

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

Aplicación de las TICs

Aplicación de las TICs 1. Ahora que conoces diferentes conjuntos de números reales y su relación, consulta el sitio www.wolframalpha.com para contestar las siguientes preguntas. Tip:: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre empleado para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en el idioma inglés, por lo que puedes apoyarte de tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google (www.google.com/translate) www.google.com/translate) para poder entender la plataforma. www.google.com/translate a) De los conjuntos reales que conoces, ¿cuáles son contables y cuáles no? Tip 1. Ingresa a WolframAlpha y escribe en el buscador la palabra “sets” (“conjuntos” en inglés).

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Instrumentos de evaluación Después de hacer lo anterior, se abrirá una nueva ventana de la que copiarás el texto.

Lista de cotejo

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a). Tip 3. Ahora la plataforma te muestra la definición de “countable set” (conjunto contable), para saber qué dice haz clic en el botón “More information” (Más información).

BLOQUE

4


Realizas transformaciones algebraicas I

Apellido materno


Portafolio de evidencias

Nombre

Grupo

es

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Asignatura 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?


¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

2

8. Factoriza la expresión x 1 x y 1 x 1 y.

Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2

o,

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

Conclusiones

3

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo.

3

13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada Rúbrica pizza y orden de alitas de pollo.

15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de ecuaciones simultáneas.

Nombre del alumno:

16. Calcula el valor de cadaExcelente pizza y de cada orden de alitasBueno de pollo. Criterios (4) (3)

4

Portafolio de evidencias 235

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Rúbrica Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Deficiente (1)

Ecuaciones lineales

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea 171 ni expresa el modelo matemático de un problema.

Resolución de ecuaciones lineales en una variable

Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación.

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano.

En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.




Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes.

29

Aspecto a evaluar

92

Regular (2)

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

5

o,

al


12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas.

Indicaciones: 14.es para Comprende y lodeexpresa algebraicamente. Esta rúbrica valorar elel problema desempeño los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6.

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

Propósito del portafolio de evidencias

Observaciones

no

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

los más significativos en el proceso de aprendizaje.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

sí

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3

cumple

Criterio

21

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Determina P (x ) 2 Q (x )

Nombre del alumno:

Tip 4. Copia y pega el texto del rectángulo rojo en el recuadro de la izquierda del traductor de Google que se encuentra en www. google.com/translate. Observa como aparece la traducción en el recuadro de la derecha; si esto no sucede, presiona el botón que dice “Translate” (Traducir). Asegúrate que traducirá de inglés a español, puedes verificarlo haciendo clic sobre las flechas de cada recuadro.

Instrumentos de evaluación Apellido paterno

Lista de cotejo

Dominio del tema



Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo de la página 160 del Bloque 7.

Presentación

Tip 2. Encuentra la sección “Topics” (Temas), busca “countable sets” (conjuntos contables) y haz clic en el enlace.

Desarrollo


Actividades que te posibilitarán vincular tus conocimientos de esta asignatura con las TICs.

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. XI Técnicas para graficar la función lineal

Comentarios Generales:

153

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Tiempo asignado:

8 horas

1

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 1.1 Funciones

1.2 Relaciones (dominio, contradominio e imagen) 1.3 Regla de correspondencia

Competencias a desarrollar n

n

n

Aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos de aprendizaje con base en las funciones y relaciones analizadas. Escucha e interpreta los distintos tipos de funciones mediante la utilización de material didáctico apropiado. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para solucionar ejercicios de diferentes áreas, aplicando los conceptos de función, dominio, contradominio, imagen y regla de correspondencia.

n

n

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales, en el aula y fuera de ella. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la comprensión y análisis de ejercicios sustentados en situaciones reales. Resuelve operaciones con funciones, aplicando los conocimientos y habilidades adquiridos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas:

n Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos, en diferentes áreas del conocimiento. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o

natural para determinar o estimar su comportamiento en una función, posteriormente grafique. n Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y

científicos, donde reconoce la importancia de una función.

1.

¿Qué es una relación?

2.

¿Qué es una función?

3.

¿Cuándo una función es creciente?

4.

Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante 5 (o constantes) en la expresión: °C 5 ( °F 2 32), donde °F es la temperatura 9 Fahreheit y °C la temperatura Celsius (centígrada).

5.

Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero cada uno.

Desempeños por alcanzar Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango. Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes. Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones. Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones. Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.

1

BLOQUE




Presenta un ejemplo de una relación que no sea función y fundamenta el por qué.

Secuencia didáctica Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.


¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Qué es una relación? ¿Qué es una función? ¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una relación?


¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una función?


¿Cómo se puede distinguir una relación que es función de una relación que no es función?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presentar un ejemplo de una relación que no sea función y argumentar el por qué.

Rúbrica Para dar un ejemplo de una relación que no es función, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califican con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-


¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Presenta ejemplos de una función que sea:

b) Suprayectiva pero no inyectiva.

a) Inyectiva pero no suprayectiva.

c) Biyectiva.

4


Secuencia didáctica Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analizen las formas de resolver el problema.



¿Qué es una función inyectiva? ¿Qué es una función suprayectiva? ¿Qué es una función biyectiva?


¿Cómo se distingue una función inyectiva que no es suprayectiva?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara:

¿Cómo se distingue una función suprayectiva que no es inyectiva? ¿Cómo se distingue una función que es biyectiva?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y presentar ejemplos.

Rúbrica Para presentar los ejemplos solicitados, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-

Producto a elaborar Presentar los ejemplos solicitados con su respectiva fundamentación.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

5

1

BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicios matemáticos 1

A(5, 4)

B(–4, 6)

C(–6, –2)

D(5, –3)

E(4, 0)

F(0, 5)

G(–5, 0)

H(0, 6)

I(–4, –6)

J(0, 0)

3. Localiza en el plano coordenado a los puntos P (x, y) tales que:

1. Determina las coordenadas de cada uno de los puntos marcados. 2. Localiza los siguientes puntos en un plano.

a) x • y . 0

b) x • y , 0

c) x • y 5 0

y

B

A

C

D

E 0

x’

x

F

G H I J y’

Figura 1.1

Ejercicios matemáticos 2 A. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en cada uno de los casos siguientes, y soluciona en cada caso: 1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20. 2. Un móvil se desplaza a una velocidad de 60 kilómetros por hora. ¿Qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas? 3. Una fuente luminosa tiene una potencia de 250 watts. Halla la intensidad de iluminación a una distancia de 1, 5, 10, 15 y 25 metros de la fuente. Fórmula de la intensidad luminosa: P I5 4 πd2

6

4. Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero cada uno.

5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados cuando su lado mide 3, 5, 7 y 11 metros. 6. Para una misma distancia (d), determina: la velocidad (v) de un móvil y el tiempo (t) que emplea en recorrerla. 7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses?

8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan P unidades de dinero por kilovatio-hora.


9 4. ° F 5 °C 132 5 5. S 5180(n 2 2) donde s es la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. 6. y 5 x3, donde x y y son números reales. 7. A 54π r 2 donde A es el área total de una esfera de radio r. 8. V 5 a 3 donde V es el volumen de un cubo de arista a.

9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 kilómetros por litro, halla la cantidad de combustible que queda en el tanque cuando se ha recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros.

gt 2 donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente, 2 g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

9. h 5

10. A 5 2πrh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y altura h.

Ejercicios matemáticos 3 A. Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar cuáles son funciones y cuáles no. En cada caso, fundamenta tu respuesta: 10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, halla P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años. Utiliza la Fórmula: PA 5 2KPi donde PA 5 Pobl. actual Pi 5 Pobl. inicial K 5 Periodo

1. Sea f la relación que asocia a cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital.

2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una escuela secundaria con el grado que cursan. B. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante (o constantes) en cada una de las expresiones siguientes: 1. A t 56a donde At es área total, a es arista del cubo. 4 2. V 5 π r 3 donde V es el volumen de una esfera de radio r. 3 5 3. °C 5 (° F 232) donde °F es la temperatura Fahrenheit y °C 9 la temperatura Celsius (centígrada). 7

1

BLOQUE


3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus respectivos hijos.

10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas que tienen pasaporte.

4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población con su respectivo tipo de sangre.

B. De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuáles son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respuesta. En el caso de los que son funciones, determina su dominio y su imagen:

5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad.

1. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} 2. {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)} 3. {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} 4. {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)} 5. {(4, a), (3, b), (2, c), (3, d)} 6. {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)} 7. {(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)} 8. {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7) (5, 7), (6, 7)} 9. {(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4) (3, 6), (4, 3)}

6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoamericanos con sus respectivas obras. 7. Sea f la relación que asocia a cada número real no negativo con su respectivo cuadrado. 8. Sea g la relación que asocia a cada planeta de nuestro Sistema Solar con su respectiva distancia media al Sol.

10. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}

Ejercicios matemáticos 4 Encuentra en cada caso el valor o los valores de x. 1. 5(7 x 2 4)# 2( x 23) 2. 8(2 x 23)# 7(2 x 28) 3. 2(3x 2 7)$ 2(5 x 2 2) 4. 9(7 x 23). 2(12 x 23) 5. 7(3x 2 4). 2(12 x 23) 6. 5(2 x 2 7)# 8(3x 2 2) 7. 5(2 x 23). 2(3x 26) 8. 2( 4 x 21)$ 5(3x 2 4)

9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas huellas digitales. 8

9. 5( 4 x 2 4).23(2 x 21) 10. 7(2 x 23)$ 2(9 x 2 5)


“E pur si muove” Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol). Galileo

En donde se observa que todo número natural es un número entero, por lo que utilizando la notación de subconjunto, se tiene que: ⊂ El conjunto de los números racionales se denota por y se define así:

{

}

a a ∈ ,b ∈ ,b ≠ 0 b Que se lee: “ el conjunto de números de la forma a entre b tales que a y b son números enteros y b es diferente de cero”. 5

Todo número entero se puede expresar como el cociente de dos enteros, la manera más simple de hacerlo consiste en dividirlo entre la unidad, como en: 0 3 5 5 5 , 35 , 0 5 1 1 1 Por lo tanto: ⊂

Introducción Este bloque inicia con algunos conceptos preliminares que son necesarios para establecer una comunicación adecuada. Las nociones de función y de relación se introducen a partir de ejemplos. Estos conceptos se amplían gradualmente. Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto de pares ordenados y se les representa por tablas o gráficas. Se clasifica a las funciones por sus características y se les estudia por sus propiedades como inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Aunque no están en el programa, se consideró conveniente incluir el concepto de intervalo que se utiliza en diversas partes del curso.

Conceptos preliminares Con el propósito de comprender la diferencia entre una relación y una función, es conveniente revisar algunos conceptos preliminares como los siguientes. Los números reales. En el desarrollo de esta obra se utilizan los números reales. Algunos de sus subconjuntos más importantes son: El conjunto de los números naturales que se denotan por y se define así: 5{1, 2 ,3,...} Donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”. El conjunto de los números enteros que se denota por _ y se define así: 5{..., 23, −2 , 21, 0 ,1, 2 ,3,...}

Que se puede expresar como: 5{..., 23, 22 , 21} ∪ {0} ∪ {1, 2 ,3,...} O bien: 5{..., 23, 22 , 21} ∪ {0} ∪

Por definición, un número racional es el cociente de dos números enteros. Al efectuar la división se puede obtener un cociente exacto o aproximado de sus términos. 1 Tal es el caso de que al efectuar la división da como resultado 2 4 0.25, o bien, cuyo cociente es 0.666... A este tipo de expresiones 3 numéricas se les da el nombre de fracciones periódicas. En teoría de conjuntos se establece y demuestra que los conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es decir: A5B⇔A⊂B∧B⊂A Que se lee: “conjunto A es igual a conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”. Por otra parte, también se puede demostrar que a todo número racional le corresponde una expresión decimal periódica o exacta y toda expresión decimal periódica o exacta es igual a un número racional. En consecuencia, {números racionales} 5 {números decimales periódicos} El conjunto de los números irracionales se denota por 9 y está formado por todos los números decimales no periódicos como en el caso de π que es aproximadamente igual a 3.1415926535..., el 2 51.4142... el e52.71828... sus simétricos y todos los demás decimales no periódicos. De lo anterior se concluye que: {Decimales periódicos} ∩ {Decimales no periódicos} 5 [ {Decimales periódicos} ∪ {Decimales no periódicos} 5 {decimales} 5 {reales} Lo cual se puede representar así:

9

1

BLOQUE


Racionales positivos

Enteros positivos (naturales) Fracciones comunes y decimales positivos

Cero (entero)

Racionales

Racionales negativos

Reales

Enteros negativos Fracciones comunes y decimales negativos

Positivos Negativos

Irracionales

Dichas rectas se llaman ejes coordenados. Al eje horizontal se le llama eje x x’, eje x o eje de las abscisas. Al vertical se le llama y y’, eje y o eje de las ordenadas; los puntos del eje x a la derecha del origen están asociados con números positivos y los puntos que están a la izquierda del origen se asocian con números negativos. De manera semejante, en el eje y los puntos que están arriba del origen se asocian con números positivos y los que están abajo del origen con números negativos.

Reales Irracionales Enteros

Naturales

Los ejes pertenecen a un plano que se divide en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran como se indica en la figura anterior. Figura 1.2

Generalmente, se elige la misma unidad de medida en ambos ejes a partir del origen y se trazan las marcas que se asocian con números enteros, de manera que a cada punto del plano se le asocia un par de números, e inversamente, a cada par ordenado de números le corresponde un punto del plano.

Sistema coordenado rectangular Consiste en dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto 0 al que se llama origen del sistema. y

II

I

Q(–3, 4) P(x, y)

x’

O

x

R(–4, –3) S(6, –5)

III Figura 1.3

10

y’

IV

Un punto P del plano se localiza trazando desde él perpendiculares a los ejes x y y. Los valores de x y y de los puntos de intersección de estas perpendiculares con los ejes son respectivamente la abscisa (coordenada x) y la ordenada (coordenada y) del punto P que se simboliza como P( x , y) y se lee: “punto P de coordenadas equis, ye”. En la figura anterior, el punto P tiene como coordenadas (5, 3), y el punto Q tiene como coordenadas (–3, 4). Cuando se dan las coordenadas de un punto para representarlo en el plano se procede a la inversa, es decir, si un punto R tiene como coordenadas (–4, –3), primero se localizan el –4 en el eje x y el –3 en el eje y, a partir de estos puntos se trazan perpendiculares a los ejes y en el punto donde se cortan esas perpendiculares está el punto que se quiere representar. De esta manera se han representado los puntos R (–4, –3) y S (4, –5).


Para tu reflexión la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:

Galileo Cuando Galileo estudiaba en Pisa observó, en una catedral, que una lámpara oscilaba regularmente. Una vez en casa experimentó con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes y encontró que, sin importar la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita tardaba el mismo tiempo en recorrer la ida que la vuelta. Sólo el cambio de la longitud afectaba el tiempo de la oscilación. Esta observación condujo al invento del péndulo, utilizado en instrumentos de precisión para medir el tiempo, como los relojes.

velocidad 5

d , de donde: d 5 vt t d 80 5 , por tanto d 5 80, pues d 5 80 (1) 1 d 80 5 , por tanto d 5 160, pues d 5 80 (2) 2 d 80 5 , por tanto d 5 240, pues d 5 80 (3) 3 d 80 5 , por tanto d 5320 4 d 80 5 , por tanto d 5 400 5 d 80 5 , por tanto d 5 480 6 v 5

o bien: de donde:

Desde lo alto de la torre de Pisa dejó caer dos bolas de plomo, una de una libra y otra de 10 libras y éstas llegaron al suelo aproximadamente al mismo tiempo. De esta manera comprobó que era falsa la afirmación de Aristóteles: la velocidad de los objetos es proporcional a su peso. Construyó un plano inclinado con el que formuló sus teorías sobre las relaciones que guardan entre sí, la velocidad, la distancia y el tiempo. La obra de Galileo sirvió de base para la formulación de las leyes del movimiento de Newton. Su método de experimentación y observación directa ha sido fundamental para el desarrollo de la ciencia moderna.

distancia tiempo

Con los valores dados y los obtenidos puedes construir una tabla.

t d

1 80

2 160

3 240

4 320

5 400

6 480

En ella puedes observar que la velocidad es una constante, es decir:

d 80 160 240 320 400 480 5 5 5 580 v5 5 5 5 2 3 4 5 6 t 1

1.1 Funciones A partir de los conceptos revisados se introduce la noción de función. Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas. Los dos problemas que se estudian a continuación nos permitirán comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor amplitud. Ejemplo Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora, halla la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas. Solución: Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con el tiempo. También que la velocidad es el cociente que resulta de dividir

También puedes observar que los valores que toma la distancia dependen de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor tiempo corresponde menor distancia y a mayor tiempo corresponde mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables. La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se denomina variable independiente; la variable cuyo valor se determina por el que toma aquélla, la distancia en este caso, se llama variable dependiente o función. En este problema, en consecuencia, la distancia es una función del tiempo. 11

1

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Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordenado para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también se pueden disponer en una tabla en forma vertical. Los valores de la tabla se colocan de manera que queden en el primer renglón (o primera columna) los que corresponden a la variable independiente y en el segundo renglón (o segunda columna), los que corresponden a la variable dependiente o función.

P 5a 1a 1a 1a O bien:

P 5 4a

De donde: P 5 4(10) por tanto, P 5 40 P 5 4(12) por tanto, P 5 48 P 5 4(14) por tanto, P 5 56

td

Distancia

1

80

2

160

P 5 4(18) por tanto, P 5 72

3

240

P 5 4(20) por tanto, P 5 80

4

320

Con los valores obtenidos se puede construir la tabla:

5

400

6

480

P 5 4(16) por tanto, P 5 64

a

10

12

14

16

18

20

P

40

48

56

64

72

80

En esta tabla puedes observar que si se divide el perímetro entre la longitud de lado correspondiente se obtiene como constante 4, que es el número de lados de la figura.

Distancia 480

P 40 48 56 64 72 80 5 5 5 5 5 5 54 a 10 12 14 16 18 20

400 320 240 160 80 0

1

2

3

4

5

6

Tiempo

Figura 1.4

En el plano coordenado, los valores de la variable independiente se localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la variable dependiente (o función) se localizan en el eje de las y o eje de las ordenadas. Ejemplo Se desea delimitar un terreno que tiene forma de cuadrado. Calcula el número de metros lineales de cerca que se necesitan si la longitud del lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y 20 metros. Solución: Por la geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma medida, por lo que si designamos el perímetro con P y la longitud del lado igual con a, entonces:

12

También puedes observar que los valores que toma el perímetro dependen de los valores que toma la longitud del lado de manera que a menor longitud del lado corresponde menor perímetro y a mayor longitud del lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perímetro y la longitud del lado son las variables, a es la variable independiente y P es la variable dependiente o función. Dicho en otras palabras, el perímetro P es una función de la longitud del lado a. Si se representan los valores de la tabla en el plano coordenado, se puede trazar la gráfica correspondiente en la siguiente figura.


Este tipo de relaciones también se establece entre las variables que intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de la naturaleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso, o bien, para hacer una estimación de los valores entre los cuales se espera un resultado.

Perímetro 80 60

1.2 Relaciones (dominio, contradominio e imagen)

40

Con los ejemplos anteriores se ha tenido una aproximación a los conceptos de función y de relación que es necesario ampliar gradualmente.

20

0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 Longitud del lado

Figura 1.5

Actividad de aprendizaje Da tres ejemplos en los que se aplique el concepto de variable e identifícala.

Expresa un ejemplo de una función como una ecuación, como una tabla o por medio de una gráfica.

Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio con los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio (codominio), de tal manera que a cada elemento del dominio corresponde uno o más elementos en el contradominio. Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Cada elemento del contradominio que está relacionado con algún elemento del dominio recibe el nombre de imagen de éste. Al conjunto de imágenes se le llama rango o dominio de imágenes. El rango es un subconjunto, propio o impropio, del contradominio. NOTA: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B . Si fuera igual a B sería un subconjunto impropio de B .

Ejemplos Los ejemplos que se presentan a continuación son para introducir la noción de relación. Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de dos conjuntos de objetos. 1. A cada persona se le asocia:

Una edad, Una estatura, Un peso, Etcétera.

2. A cada automóvil se le asocia:

Un modelo, Un número de motor, Un número de placas (matrícula), Etcétera.

3. En un almacén a cada artículo se le asocia:

Un precio, Un número de inventario, Un volumen, Etcétera.

4. A cada país se le asocia:

Un régimen socioeconómico, Una superficie, Una altura sobre el nivel del mar, Un clima, Etcétera.

13

1

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1.3 Regla de correspondencia En consecuencia, toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones. Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes: 1.

Dominio

Contradominio

País

Capital

Canadá

Ottawa

Estados Unidos

Washington

Francia

París

Inglaterra

Londres

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio entonces la relación es una función. 2.

Dominio

Contradominio

Marca de automóvil

País

4.

Dominio

Contradominio

x

x2

2

0

1

1

0

4

–1 –2

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre un número y su respectivo cuadrado. Observa que los elementos del dominio (2 y 22) están relacionados con un mismo elemento del contradominio (4), lo mismo ocurre con el 1 y 21 que están relacionados con el 1; sin embargo, se cumple con el criterio de que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio y, por tanto, esta relación es una función. La mayoría de los dominios y contradominios a los que haremos referencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de correspondencia que se expresa como una ecuación con dos variables.

Fiat

Italia

Renault

Francia

Actividad de aprendizaje

Japón

Describe un ejemplo de relación e identifica su dominio y contradominio.

Citröen Toyota

En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una marca de automóvil y el país al cual pertenece su patente. Observa que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio, por tanto, esta relación es una función. 3.

Dominio

Contradominio

País

Idioma oficial

Francia

Francés

Canadá Inglaterra

Inglés

Funciones de formas distintas y equivalentes Para representar una función se utiliza la notación siguiente: si en una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio conjunto B, entonces la función se simboliza: f : A → Bf . f

O bien: A → B. La regla de correspondencia de esta relación se establece entre cada país y el idioma oficial que se habla en él. Puedes observar que un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos elementos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no es una función porque no cumple el criterio de que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio.

14

Que en ambos casos se lee: “función de A en B”. Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x (variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función). El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el nombre de imagen de x.


El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según la función f ” o simplemente “y igual a f de x”. Como y 5 f (x) , el par ordenado (x, y) se puede expresar de la siguiente forma: (x, y) 5 (x, f (x)). Ejemplos En un ejemplo anterior se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así: y 5 x2 f (x ) 5 x 2

O bien:

El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, –1, –2} , de manera que las imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue:

f ( 2 )5 2 5 4

“4 es la imagen de 2”

f (1)51 51


f ( 0 )5 0 5 0


f (21)5(21)2 51

“1 es la imagen de –1”

f (22) = (22)2 5 4

“4 es la imagen de –2”

2

2

2

Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento. En los dos problemas, referidos a la velocidad constante y al perímetro de un cuadrado, la función se ha representado por una ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos da información completa y precisa en general, pero cuando se desea conocer un caso particular, unos cuantos valores expresados en una tabla nos da información sobre su comportamiento y si esos valores se representan con puntos en el plano se puede obtener el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver. Gradualmente se irán incorporando más elementos en el estudio de la ecuación, la función y sus respectivas gráficas. Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números. Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valo Ejemplos 1.

Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1), (0, 0), (–1, 1) y (–2, 4), por lo que la función f también se puede expresar como un conjunto de pares ordenados así:

f 5{(2 , 4),(1, 1),(0 , 0),(21, 1),(22 , 4)}

La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la C 5 2pr donde 2 y π son constantes mientras que C y r son variables y como el valor de C depende del valor que toma r, se dice que la longitud de una circunferencia es una función de su radio.

2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la fórmula A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables y como el valor de A depende del valor que tome l se dice que el área de un cuadrado es una función de su lado.

Como puedes observar, la primera componente de cada par ordenado es un elemento del dominio y la segunda componente o imagen es un elemento de contradominio. Sin embargo, no todo conjunto de pares ordenados representa una función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio corresponde una y sólo una imagen. Si al aplicar este criterio en un conjunto de pares ordenados se observa que no existen dos pares diferentes con el mismo primer elemento entonces es una función. En caso de que dentro del conjunto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo primer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y por tanto no es una función. Anteriormente se dieron los conceptos de relación y de función como una regla de correspondencia. Con base en la información adicional podemos definir cada una de ellas de manera equivalente como un conjunto. Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos.

15

1

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Ejemplo

¿A qué se le llama imagen?

En una función expresada como un conjunto de pares ordenados: ¿Qué nombre se da al conjunto formado por el primer componente de cada pareja?

f ( x )5

1 x

Una función irracional es aquella que contiene variables con exponentes fraccionarios. Ejemplo

y 5sen x

¿Qué nombre se da al conjunto formado por el segundo componente de cada pareja?

 1 f ( x) 5    2

x

y 5log 2 x Explica por qué toda función es una relación pero no toda relación es una función. Aplica lo que sabes

Clasificación de las funciones como: algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas y uno a uno, sobre y biunívocas

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. Investiga cuál es el proceso de producción del papel. Investiga qué cantidad de papel se produce en nuestro país al año. Investiga qué cantidad de ese papel se utiliza para impresión. Elabora una expresión algebraica que relacione las dos cantidades anteriores.

racterísticas.

¿Qué se puede hacer para reducir al mínimo el consumo de papel?

Algebraicas y trascendentes


cas y trascendentes. Una función algebraica es aquella cuyo valor puede ser obtenido de operaciones algebraicas. Ejemplo

f ( x )5 x 2 1 2 x 23 Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales. Una función racional es aquella en la que las variables no figuran con exponentes fraccionarios.

Continuas y discontinuas De manera intuitiva se dice que una función es continua cuando su

16


pel. En caso contrario se dice que la función es discontinua. Esto lo puedes observar, por ejemplo, en las gráficas de las funciones seno y tangente, respectivamente. Actividad de aprendizaje Cuando la gráfica de una función no tiene interrupciones ni saltos, se dice que es

Presenta una gráfica que ilustre una función continua o una función discontinua.

En la figura 1.6 también puedes observar que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva, m . 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente significa que tiene pendiente positiva y viceversa. Función decreciente. Cuando los puntos x1, x2 son tales que x1 , x 2 y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación f ( x1 ) . f ( x 2 ) de manera que x1 , x 2 ⇒ f ( x1 ) . f ( x 2 ) entonces se trata de una función decreciente. Dicho de otra manera, cuando al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de sus respectivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar el valor de x disminuye el de sus respectivas imágenes, entonces la función es decreciente. f(x)

f(x3) f(x2) x1

Crecientes y decrecientes Función creciente. Si los puntos x1, x2 son tales que x1 , x2, como se ilustra en la figura, y se obtienen sus respectivas imágenes que mantienen la siguiente relación f ( x1 ) , f ( x 2 ), entonces la representación geométrica corresponde a una función creciente, es decir, cuando x1 , x 2 ⇒ f ( x1 ) , f ( x 2 ) .

x2 f(x3)

x3

x

Figura 1.7

En la figura 1.7 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en consecuencia la pendiente es negativa , m , 0. Por tanto, decir que una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente negativa y viceversa. Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0º, por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función correspondiente no es creciente ni decreciente.

f(x)

Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuándo es creciente (m . 0) o decreciente (m , 0).

f(x3) f(x2)


x1 x2 f(x1)

x3

x

Si una función es creciente, entonces su pendiente es:

Si una función es decreciente, entonces su pendiente es:

Figura 1.6

17

1

BLOQUE


Traza la gráfica de f (x ) 5 | x | con 23 # x # 3 y señala dónde es creciente o decreciente.

Mexicana con su respectiva capital. En otra situación, algunos elementos del contradominio quedan sin relacionar, es decir, no son imagen de algún elemento del dominio; por ejemplo, al relacionar los automóviles de una entidad federativa con sus respectivas matrículas (placas), algunos juegos de placas no corresponden a ningún automóvil. b) En otras funciones, cada elemento del contradominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio, como sucede en los casos siguientes. • Si se relaciona cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital, entonces el conjunto de imágenes (C) es igual al contradomino (B), es decir, C 5 B. • Si se relacionan las letras del alfabeto español con una vocal o consonante, entonces cinco elementos del dominio tendrán como imagen vocal y los 22 restantes tendrán como imagen consonante, por tanto, C 5 B.

Aplica lo que sabes Explica por qué una parábola con eje focal paralelo al eje y representa una función mientras que una parábola con eje focal paralelo al eje x no representa una función. Fundamenta tu respuesta.

• Si para un espectáculo cuyo precio de entrada es único se relaciona a los concurrentes con el precio de su boleto, entonces cada espectador tiene la misma imagen, por lo cual, C 5 B. c) En otras funciones se cumplen las condiciones de los incisos a) y b), es decir, a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes; además cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio, tal es el caso de la relación que se establece entre las entidades federativas y sus respectivas capitales, o entre las personas y sus huellas dactilares. Función inyectiva (uno a uno). Las funciones descritas en el inciso a) tienen la propiedad de que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes, y se les llama funciones inyectivas. Una función f : A → B es inyectiva si para todo x1, x2 de A, x1 ≠ x 2 implica que f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) o lo que es lo mismo, si f ( x1 )5 f ( x 2 ) entonces x1 5 x 2.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas,uno a uno, sobre y biunívocas Propiedades de las funciones En los ejemplos de funciones estudiadas hasta ahora se observan ciertas características que las distinguen: a) En algunas funciones, a elementos diferentes del dominio corresponden diferentes imágenes. Además, se pueden dar las siguientes situaciones: que cada elemento del contradominio sea imagen de algún elemento del dominio; dicho caso se presenta al relacionar cada entidad federativa de la República 18

Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del contradominio es imagen de, cuando más, un elemento del dominio. A la función inyectiva también se le llama función “uno a uno”. Ejemplos 1. Las siguientes son funciones inyectivas: A

A

B Pegaso Mercedes Fiat

España Alemania Italia Francia

Mercedes Fiat Renault


A

B España Alemania Italia Francia

B

A

Mercedes

Francia

Fiat

Italia

Renault

Alemania

0 4 8 3 7

2 6 1 5 9

B par impar

Figura 1.10

Figura 1.8

“x número dígito es par o impar”.

“x marca de automóvil es de y país”.

2. Sea f : → tal que f (x ) 5 x 2

A

Algunos pares ordenados que pertenecen a la función f son:

f 5{(1, 1),(2 , 4),(3, 9),( 4 , 16),...} Y en ellos observas que cada imagen corresponde a uno solo de los elementos del dominio.

–3 –2 –1 0 1 2 3

B

0 1 4 9

Figura 1.11

f(x) 5 x 2.

Actividad de aprendizaje Da un ejemplo de una función inyectiva.

Dicho en otras palabras, una función es suprayectiva, si cada elemento del contradominio es imagen de cuando menos un elemento del dominio. A la función suprayectiva también se le llama función sobre. Actividad de aprendizaje

Función suprayectiva Las funciones descritas en el inciso b) tienen la propiedad de que todo elemento del contradominio es imagen, bajo la función, de algún elemento del dominio. Sea f : A → B . Sea C la imagen del dominio de f. Si cada elemento del conjunto B, o contradominio de f, es imagen de un elemento de su dominio de tal manera que B 5 C; entonces f es una función suprayectiva, o bien, una función es suprayectiva si y sólo si para todo y en B implica que existe x en A de tal forma que y 5 f (x). Ejemplos 1. Las siguientes son funciones suprayectivas: A

B Fiat Renault Citröen

Figura 1.9

“x marca de automóvil es de y país”.

Italia Francia

Describe un ejemplo de una función suprayectiva.

Función biyectiva Las funciones en las que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes y, además, cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio, son inyectivas y suprayectivas a la vez, y se llaman funciones biyectivas. Una función f : A S B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y suprayectiva. A la función biyectiva también se le llama función biunívoca. Ejemplos 1. Sea f la función que relaciona a cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital, f es una función inyectiva pues a entidades federativas diferentes corresponden diferentes capitales.

19

1

BLOQUE


También es suprayectiva porque cada elemento del contradominio es imagen de un elemento del dominio, es decir, B 5 C, por consiguiente, f es biyectiva. 2.

A

5.

x1 x2 x3 x4

B España Francia Italia Alemania

Pegaso Renault Fiat Mercedes

“x marca de automóvil es de y país”. A

B 1 2 3 4 5

y1 y2 y3

Figura 1.15

6. 4 8 12 16 20

B

No es una función inyectiva pues x1 Z x2 pero f (x1) 5 f (x2). Es suprayectiva porque todo el conjunto B es imagen, es decir, B 5 C. En consecuencia, no es biyectiva.

Figura 1.12

3.

A

A

B x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

Figura 1.16 Figura 1.13

f(x) 5 4x.

A partir de lo ya expuesto podría pensarse que todas las funciones son, necesariamente, inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Por tanto, es conveniente aclarar que algunas no poseen las propiedades de ninguna de dichas funciones. Por ejemplo, considérese la función f que relaciona a cada ser humano del conjunto H con su respectiva edad, expresada en años del N entonces f : H S N tal que f 5 {(x, y) ) x ser humano tiene y años de edad} no es una función inyectiva, pues habrá muchos humanos que tengan la misma edad, es decir, la misma imagen; no es suprayectiva pues no existen seres humanos cuya edad sea de 200, 300, 400 o más años; por tanto, dicha función tampoco es biyectiva. A continuación se representan diagramas de funciones con algunas de las propiedades descritas. 4.

A x1 x2 x3 x4

B

y1 y2 y3 y4 y5

Figura 1.14

Es una función inyectiva pues a elementos diferentes del domino corresponden imágenes diferentes. No es suprayectiva pues y5 ∈B y no existe ningún elemento x de A tal que f (x ) 5 y5. Por consiguiente, tampoco es biyectiva.

20

Es una función inyectiva pues a elementos diferentes del dominio corresponden diferentes imágenes. Es suprayectiva debido a que todo B es imagen, B 5 C. También es biyectiva porque es inyectiva y suprayectiva a la vez. Para una determinada escuela secundaria de una comunidad, considera: 7. La función que relaciona a los alumnos regulares con su respectivo grado. • No es inyectiva pues varios alumnos tienen la misma imagen, ya sea 1º, 2º o 3º. • Es suprayectiva ya que todo B es imagen, B 5 C, B 5 {1º, 2º, 3º} • Por consiguiente, no es biyectiva. 8. Un grupo de 20 alumnos en un salón con 35 butacas y la función que relaciona a cada alumno con su respectiva butaca: • Es inyectiva porque a alumnos diferentes corresponden butacas distintas. • No es suprayectiva porque algunas butacas del contradominio no son imágenes de ningún elemento del dominio. • Por consiguiente, no es biyectiva. 9. Un grupo de alumnos y la función que relaciona a cada alumno con su respectivo número de matrícula: • Es inyectiva pues cada alumno tiene un número único de matrícula. • Es suprayectiva porque el conjunto de matrículas del grupo es igual al contradominio. • Es biyectiva por ser inyectiva y suprayectiva a la vez.


Considera las siguientes representaciones geométricas de funciones reales para determinar el dominio, la imagen y la propiedad de la función, ya sea inyectiva, suprayectiva o biyectiva. 10.

+ 12. El contradominio de la siguiente función es B5 ∪{ 0}

y

y

x

x

Figura 1.19

Figura 1.17

A5 

+

A 5 ∪{ 0}, B 5

B 5 + ∪{ 0} 5C

+

C 5 ∪{ 0}

No es inyectiva Es suprayectiva No es biyectiva

Es inyectiva

No es suprayectiva No es biyectiva

En el último ejemplo puedes observar que la gráfica no corresponde a una función inyectiva o “uno a uno” pues 2 Z22 pero f (2) 5 f (22) 5 4, es decir, dos elementos del dominio tienen la misma imagen. Este hecho lo puedes notar en la gráfica si trazas rectas paralelas al eje de las x por los puntos f (x ) Z 0 de tal manera que cada recta interseca en dos puntos a la representación gráfica de la función.

11. y

x

Actividad de aprendizaje Proporciona un ejemplo de una función biyectiva y fundaméntalo.

Figura 1.18

A5  B5 C5  Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva

21

1

BLOQUE


Intervalo Examinemos los siguientes conjuntos de números:

x1 5{ x 3 , x , 7} x 2 5{ x 3 # x # 7} x 3 5{ x 3 , x # 7} x 4 5{ x 3 # x , 7}

Esta forma de representación se conoce como constructivista. Notamos que los cuatro conjuntos sólo contienen los puntos que están entre 3 y 7, con las excepciones posibles de 3 o 7. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números 3 y 7 son los extremos de cada intervalo. x1 es un intervalo abierto porque no contiene los extremos, x2 es un intervalo cerrado ya que contiene ambos extremos, x3 y x4 son abierto-cerrado y cerrado-abierto, respectivamente. La representación gráfica de estos conjuntos en la recta real es como sigue: x1 0

3

0

3

x2

7 7

x3 0

3

0

3

x4

7 7

Figura 1.20

Observamos que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 3 y 7, y se remarca el segmento entre dichos puntos. Cuando un intervalo incluye un extremo, se llena el círculo que representa dicho extremo. Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en matemáticas, empleamos una notación abreviada para designarlos. De esta manera, los intervalos anteriores los denotamos así: x 2 5[3, 7] x1 5 3, 7 x3 5 3, 7 ]

x 4 5[3, 7

Un paréntesis rectangular (corchete) nos indica que el extremo se incluye y un paréntesis “KoL” nos indica que el extremo no está incluido en el intervalo; en este caso también se utiliza el paréntesis “(“ o ”)”.

Intervalos infinitos Los conjuntos de la forma:

A 5{ x x .1}

C 5{ x x ,3}

B 5{ x x $2}

D 5{ x x #4}

E 5{x x ∈} Se llaman intervalos infinitos. También se les denota por: A5 1, ∞

22

B 5 [2, ∞8


D5 2∞ , 4 

C 5 2∞, 3 E5 2∞ , ∞ Y se representan en la recta real, de la siguiente forma:

A B

0 0

C D

0 0

E

0 Figura 1.21

Ejemplos Halla el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades y exprésalo como intervalo (x H ):

14 x235 $ 214

3( x 13),( x 1 5)

14 x $ 214 135

3x 1 9 , x 1 5

14 x $ 21

3x 2 x , 5 2 9

x$

2 x,24 4 x ,2 52 2 2 Conjunto solución { x x ,2 2} 5 2 ∞ , 2 2 3(x + 4) . 15 3x + 12 . 15 3x . 15 2 12 3x . 3

x.

3 51 3

Conjunto solución x x.1 5(1, ∞)

21 3 5 14 2

Conjunto solución x x $

3 3 5 ,∞ 2  2

9( 4 x23)# 45 36 x2 27 # 45 36x # 45 1 27 36x # 72

x#

72 52 36

x#2 Conjunto solución {x ) x # 2} 5 (2∞, 2]

7(2 x2 5)$ 214

23

1 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Ahora que sabes más acerca de los pares ordenados, números reales y el sistema coordenado rectangular, utiliza la plataforma WolframAlpha, que se encuentra en el sitio de internet: www.wolframalpha.com, y contesta las siguientes preguntas. TIP: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre que puedes emplear para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en inglés, por lo que, de ser necesario, puedes pedir ayuda a tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google que se encuentra en el sitio de internet: www.google.com/translate, para usar la plataforma. 2. Contesta: • ¿Qué es una relación? • ¿Qué es una función? Ingresa a la plataforma y escribe la palabra “function” ( función) y presiona la tecla Enter, o bien, haz clic sobre el símbolo de igual (5).

Observa que tienes varias definiciones de la palabra función, la primera de ellas es en sentido matemático; para conocer un poco más acerca de dicha definición puedes hacer clic en la liga que se encuentra en el recuadro rojo y dice: “refering to a mathematical definition”, esto quiere decir, referida a una definición matemática; si tienes problemas para comprender la información que te presenta la plataforma WolframAlpha puedes emplear el traductor de Google que se encuentra en el sitio de internet: www.google.com/ translate, para conocer el significado en español. La siguiente pantalla muestra el resultado de tu búsqueda.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utilizada sin su permiso.

La plataforma te dará el siguiente resultado.



3. Determina qué condiciones debe cumplir una relación para ser una función. 4. Explica en qué casos una relación no es una función. 24


Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.

2. Lo puedo hacer sin ayuda. Desempeños

1

2

3. Puedo ayudar a otros para lograrlo. 3

Debo mejorar en…

Utilizo los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada es funcional o no. Describo una función empleando diferentes tipos de registros y refiero su dominio y rango. Empleo la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes. Aplico diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones. Utilizo operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones. Aplico las nociones de relación y función para describir situaciones de mi entorno.

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3. Muy bien

2. Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo

Criterios de evaluación

1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve en la página 26 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 1 y entrégala a tu profesor.

25

1 BLOQUE


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Localiza en el plano coordenado a los puntos P (x, y )tales que: a) x • y . 0 b) x • y , 0 c) x • y 5 0

a) A 5 2p r h, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y altura h.

2. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en cada uno de los casos siguientes: a) Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan P unidades de dinero por kilovatiohora.

b) h 5

b) La población P de una ciudad se duplica cada n años, halla P cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años.

3. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante (o constantes) en la expresión:

gt 2 donde h es la altura de un cuerpo que cae libre2

mente, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.

4. Dados los siguientes conjuntos de pares ordenados, identifica los que son o no son funciones. Fundamenta tu respuesta. En el caso de los que son funciones determina su dominio y su imagen. a) {(1, 7),( 2 , 7),(3, 7),( 4 , 7),( 5 , 7),(6 , 7)} b) {(1, 0),(2 , 4 ),(3, 5),(2 , 4 ),(3, 6),( 4 , 3)}

c) {(1, 2),(2 , 3),(3, 4),( 4 , 1)}

Guía de observación

Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una función dada es funcional o no. Describe una función empleando distintos tipos de registros y refiere su dominio y rango. Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio explícito e implícito, para obtener las imágenes correspondientes. Aplica distintos tipos de funciones en el análisis de situaciones. Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas relaciones. Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno. Comentarios generales:

26

Cumple Sí

No

Comentarios


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la definición y diferencia entre los conceptos de relación y función del Bloque 1. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio

cumple sí

no

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Desarrollo

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Conoce y distingue correctamente los conceptos de relación y de función. 12. Argumenta por qué una relación es o no es una función. 13. Conoce distintas formas de expresión de una función: como una relación de dependencia entre variables, como un conjunto de pares ordenados, como una representación gráfica en el plano cartesiano. 14. Determina el dominio y contradominio de una relación y de una función. 15. Establece la diferencia entre una relación y una función. 16. Reconoce las distintas formas de expresión de una función.

27

1

BLOQUE


Rúbrica

Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 1. Nombre del alumno:

Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Relaciones y funciones

Conoce y distingue las características de relaciones y funciones. Determina el dominio y rango de una función.

Distingue características de relaciones y funciones. Determina el dominio y rango de una función.

Conoce y distingue algunas características de relaciones y funciones.

No conoce ni distingue las características de relaciones ni de funciones. No determina el dominio y rango de una función.

Funciones de formas distintas y equivalentes

Conoce y distingue distintas formas del concepto de función.

Distingue formas del concepto de función.

Conoce alguna forma del concepto de función.

No conoce ni distingue formas del concepto de función.

Clasificación de las funciones como: algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biyectivas

Identifica, clasifica y distingue funciones algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biyectivas.

Identifica y distingue funciones algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biyectivas.

Identifica algunas funciones algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biyectivas.

No identifica, ni clasifica, ni distingue funciones algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biyectivas.

En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posibilitará registrar de manera ordenada numerosas actividades. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite. Registro anecdótico Fecha:

Tarea:

Docente:

Registro de actividades

28

Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos


Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

• Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

• No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje.

• Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2 3 4 5

29

1

BLOQUE


Lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una , en el espacio de acuerdo al desempeño obtenido. Excelente 5 5

Bueno 5 4

Regular 5 3

Deficiente 5 2

Estructura

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

30


Escala de clasificación

La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011). Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre se presenta el atributo. Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye materiales de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

31

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Tiempo asignado:

8 horas

2

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 2.1 Función inversa

2.2 Función escalonada 2.3 Función valor absoluto 2.4 Función identidad 2.5 Función constante 2.6 Propiedades y características de las transformaciones gráficas (traslaciones y reflexiones)


n

n

Aborda problemas y retos teniendo en cuenta los conocimientos previos, para representar una función inversa, escalonada, valor absoluto, identidad y constante. Interpreta diferentes funciones mediante la utilización de medios y herramientas tecnológicas apropiadas. Aprende por iniciativa propia, al formular cuestionamientos acerca de las funciones.

n

n

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para resolver ejercicios de distintas funciones (inversa, escalonada, valor absoluto, identidad y constante). Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales al convivir con sus compañeros de equipo. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos, para la comprensión y análisis de situaciones específicas que cumplan con cada tipo de función.

w


n Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes

funciones de transformación. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos. n Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o

natural para determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos a partir de sus conocimientos y habilidades adquiridas.

1.

Encuentra la ecuación de la función inversa f ( x ) 5 4x 1 5 así como su respectivo dominio y rango.

2.

Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica y 5 x 2 1 3.

3.

Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica y 5 x 2 2 3.

Desempeños por alcanzar Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a la función inversa de una función dada. Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada. Señala si la relación inversa corresponde a una función. Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función inversa posible. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teóricos-prácticos.

2

BLOQUE




A partir de la f ( x )5 x 24 , x$4 encuentra la ecuación de su función inversa, así como su respectivo dominio y rango. Representa en un mismo plano coordenado a las dos funciones.

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.


¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

¿Cómo se pueden obtener puntos de la gráfica de la función para trazar un bosquejo?

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo se obtiene la expresión algebraica de la función inversa?


¿Cómo se pueden obtener puntos de la gráfica de la función inversa para trazar un bosquejo?


¿Cómo se determina el dominio y rango de la función dada y de su inversa?

En este ejemplo:


Rúbrica Para determinar la representación geométrica de la función dada así como de su inversa que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-

Situación didáctica Respecto a la función identidad traza una reflexión y 5 x 23, x $ 3. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?

34

Producto a elaborar Representación geométrica de la función dada y de su inversa, así como sus respectivos cálculos para determinar su dominio y rango.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías? ¿Cuál es el dominio y rango de cada función?


Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se determina el rango de la función dada? ¿Qué sustitución debe hacerse en la función dada para poder transformarla? ¿Qué operaciones deben efectuarse para obtener la ecuación de la función inversa? ¿Cómo se obtiene el dominio y el rango de la función inversa? ¿Cómo se representa en el plano coordenado a la función dada y su reflexión con respecto a la función identidad?


Rúbrica Para determinar la ecuación de la función inversa que se pide, deben anexarse los conceptos investigados y los cálculos realizados; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentación de una tabla de distancias recorridas por el camión en cada ruta. Representación geométrica de la función dada y de su inversa, así como sus respectivos cálculos para determinar su dominio y rango.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

35

2

BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Se alcanza el éxito convirtiendo cada paso en una meta y cada meta en un paso. Carlos Cumandá Cortés

Ejercicios matemáticos 5 Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la ecuación de su función inversa correspondiente, así como su respectivo dominio y rango. 1. f ( x )53x 2 2

6. f ( x )5 x 23 x $3

2. f ( x )5 4 x 1 5 4 25x 3. f ( x )5 ; x≠0 x 1 4. f ( x )5 2 2 ; x ≠ 0 x 5. f ( x )5 x ; 0 # x #16

7. f ( x )5 x 2 23

Introducción A partir del reconocimiento de las características de la función inversa de una función dada se procede a su representación geométrica y algebraica con respecto a la función identidad. En cuanto a la función valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas, se les define y representa por medio de tablas y gráficas, se determina la imagen de su dominio y se analizan sus propiedades.

8. f ( x )5 x 3 9. f ( x )5 x 3 21 10. f ( x )52 x 2 ; x$0

Con las gráficas de funciones se realizan transformaciones como traslaciones verticales y horizontales o reflexiones respecto a los ejes o respecto a la recta y 5 x.

2.1 Función inversa

Ejercicios matemáticos 6 1. Utiliza como base la gráfica y 5 x 2, para trazar las gráficas de: a) y 5 x 2 13

d) y 5( x 13)2

b) y 5 x 2 23

e) y 52 x 2 11

c) y 5( x 21)2

Las funciones inversas tienen características que nos permiten identificarlas. A continuación vamos a examinar la noción de función inversa. Sean f1 , f 2 , f3 funciones A → B, tales que f1 es inyectiva pero no suprayectiva, f2 es suprayectiva, pero no inyectiva y f3 es inyectiva y suprayectiva, es decir, biyectiva.

2. Utiliza como base la gráfica y 5 x , para trazar las gráficas de: a) y 5 x 22

d) y 5 x 13

b) y 5 x 13

e) y 52 x

A

B a b c

A 1 2 3 4

a b c

c) y 5 x 22 A

3. A partir de la gráfica y 5 x ; x $ 0: a) b)

B A

1 a Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con 2 a b respecto al eje x. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica? 3 b c 4 c Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con

B

A

respecto al eje y. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?

A 4. Representa en un mismo plano coordenado a los puntos A(2, 3) y A9(3, 2) y determina con respecto a qué recta sona simétricos. ¿Cuál es la ecuación de esa recta? b

B A

1a 2b 3c 4

1 2

5. Con respecto a la función identidad, traza una reflexión c y 5 x ; x $ 0. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?

3

Figura 2.1

B 1

a

B 1

b

2

c

3

B

1

ba

21

cb c

3

2

a

f1 , f 2 , f3 , respectivamente.

36

A B A

2


Si en cada caso se intercambian el dominio y el contradominio y se invierte la regla de correspondencia de la función, se obtienen los siguientes diagramas: 1 2 3 4

a 1 b 2 3 c 4 A

B

Si f : A → B es biyectiva, entonces la f 21 : B → A donde f 21 5 f A 5 {( f ( x ), x ) x ∈ A } esB la función inversa de f. Observa que el rango de f es el dominio de f 21a y el dominio de f es el rango f 21. 21

A

B A

Si una función es biyectiva, entonces tiene una única función inversa que se denota por f 21.

B a b c A B A

A

1

En general, si una función: f : A → B es biyectiva, su inversa b f 21 : B → A también es biyectiva.

a1 b c 2

a 11 b2 c 32

c

2

La obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia de la inversa de una función se ilustra en el siguiente ejemplo. B B

a Ejemplo a b b c Sea la f : → tal que c

f ( x )53x 1 2

Si se calculan algunos valores de x se puede obtener la tabla: B A

2

a 1 b 2

3

c 3

1

B

x

a b c

Figura 2.2

f1 21 , f 2 21 , f3 21 , respectivamente. En los diagramas anteriores puedes notar que la relación del primero no es una función, pues el elemento 4 del dominio no tiene imagen; el segundo tampoco ilustra una función porque el elemento 2 del dominio tiene dos imágenes; el tercero sí representa una función, que es biyectiva porque si la función f3 : A → B es suprayectiva se garantiza que todo elemento del codominio es imagen del algún elemento del dominio, y como también es inyectiva, pues elementos diferentes del dominio tienen diferentes imágenes, al intercambiar el dominio y el contradominio también se define una función biyectiva. Actividad de aprendizaje Dada una función y su inversa, ¿cómo son entre sí sus gráficas con respecto de la función identidad?

Descripción geométrica y algebraica de la inversa de una función Para estar en condiciones de describir geométrica y algebraicamente la inversa de una función, se introduce la siguiente notación.

f (x) 5 3x 1 2

(x, f (x))

23

f (23) 5 3 (23) 12 5 27

(23, 27)

22

f (22) 5 3 (22) 12 5 24

(22, 24)

21

f (21) 5 3 (21) 12 5 21

(21, 21)

0

f (0) 5 3 (0) 12 5 2

(0, 2)

1

f (1) 5 3 (1) 12 5 5

(1, 5)

2

f (2) 5 3 (2) 12 5 8

(2, 8)

3

f (3) 5 3 (3) 12 5 11

(3, 11)

Despejando x en f ( x )53x 1 2 se obtiene f

f ( x )2 2 53 x

21

(función inversa):

f ( x )2 2 5x 3

Calculando x para los valores que se indican f (x ): f (x)

f (x )2 2 5x 3

( f (x) x,)

27

x 5 23

(27, 23)

24

x 5 22

(24, 22)

21

x 5 21

(21, 21)

2

x 5 20

(2, 0)

5

x51

(5, 1)

8

x52

(8, 2)

11

x53

(11, 3)

37

2

BLOQUE

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Ejemplo

En las tablas de f ( x )53x 1 2 y su inversa puedes observar que están invertidos los componentes de los pares ordenados correspondientes, que se representan en la siguiente figura del plano:

2 La gráfica de la función f ( x ) 5 x es la siguiente:

f (x)

8

f (x)

53 x1

2

6 )5

x

4

x f(

2 1 x) f2 (

x

–3 Figura 2.4

–2

El dominio

Figura 2.3

En la figura anterior las representaciones geométricas de las gráficas de f y f 21son simétricas respecto a la representación de la función identidad.

–1

1

2

3

1 f ( x ) es y su rango ∪{ 0}

Esta función no es inyectiva (uno a uno) pues elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen, lo cual puedes observar fácilmente al trazar paralelas al eje x. A esto se le llama prueba de la horizontal, si corta a la gráfica en un punto, la función es inyectiva y si la corta en más de un punto no es inyectiva.

Actividad de aprendizaje Actividad de aprendizaje

En una gráfica de una función, ¿para qué se utiliza la prueba de la horizontal?

Dada una función, ¿qué relación guarda su dominio y rango con respecto al dominio y rango de su función inversa?

La función es suprayectiva pues para cada y ∈B existe x ∈ A tal que f ( x )5 y .

Dominio y rango En el apartado correspondiente a la notación de una función inversa se ha establecido que para una función f : A → B su inversa f 21 : B → A en donde puedes notar que sus respectivos dominio y rango están intercambiados. A continuación se presentan dos ejemplos en los que se ilustra el procedimiento para determinar el dominio y rango de la función inversa. 38

Para que f ( x )5 x 2 sea biyectiva es necesario que sea a la vez inyectiva y suprayectiva.

Si en la función f ( x )5 x 2 se restringe el dominio a 1 ∪ {0} entonces f (x) es inyectiva y suprayectiva y, por tanto, es biyectiva. En consecuencia f ( x ) tiene inversa.

El procedimiento para obtener la ecuación de la función inversa consiste en lo siguiente: Es necesario que la función sea inyectiva (uno a uno).


Se despeja x en términos de y. Como y 5 f ( x ) entonces:

f ( x )5 x 2 y5x2

Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad ± y 5x Como el valor de x pertenece al dominio de los reales no negativos se utiliza el signo 1 en lugar de ± en el radical. Una vez despejada x en términos de y se intercambian éstas con lo que nos queda 1 x5y

Como puedes observar, las gráficas de f ( x )5 x 2 y f 21 ( x )5 x son simétricas con respecto a la función f ( x )5 x cuya representación gráfica corresponde a una recta con un ángulo de inclinación de 45°. Cuando la gráfica de una función es simétrica de otra, se dice que una es la reflexión de la otra con respecto al eje de simetría, en este caso con respecto a la recta f ( x )5 x . Ejemplo Dada la f ( x ) 52 2 x 1 5 con dominio en [23, 5] , encuentra la ecuación de su función inversa y determina su dominio y rango. Solución: La función f ( x ) 52 2 x 1 5 es inyectiva (uno a uno) pues a elementos diferentes del dominio les corresponden diferentes imágenes.

A esta y se le sustituye f 21, de donde

Al evaluar f ( x ) 52 2 x 1 5 en los valores extremos de su dominio

x 5 f 21

f (23)52 2(23)1 5

Las tablas de f ( x ) 5 x 2 y f 21 ( x ) 5 x para algunos valores de x son los siguientes:

56 1 5 511

x

f (x)

x

f 21(x)

0

0

0

0

1

1

1

1

5210 1 5

2

4

4

2

525

3

9

9

3

4

16

16

4

f ( 5 )52 2( 5 )1 5

Se determina que el rango de f ( x ) 52 2 x 1 5 es [11, 25] Se sustituye f (x ) por y en f ( x )52 2 x 1 5

En la siguiente figura se representan las dos gráficas en un mismo sistema coordenado junto con la función f ( x ) 5 x .

y 52 2 x 1 5 Se expresa x en términos de y

y 2 5 52 2 x

3

y 25 5x 22 Al multiplicar por 21, tanto al numerador como al denominador de la fracción, queda así:

2

52 y 5x 2 Se intercambian x y y

1

52x 5y 2 Se sustituye y f 21 (x )

0.5

1

1.5

2

2.5

3

52x 5 f 21 ( x ) 2

Figura 2.5

39

2

BLOQUE

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Aplica lo que sabes

Como el dominio de f 21 (x ) es el rango de f (x ), es decir, [25, 11] entonces el rango de f 21 ( x )5

f 21 (11)5 f 21 (2 5 )5

52x [23, 5], pues 2

5 211 26 5 523 2 2

5 2(2 5 ) 10 5 55 2 2

Este intervalo corresponde al dominio f (x ).

Para tu reflexión

Jorge Simón Ohm Herrero de oficio, construyó los alambres y aparatos que utilizó en sus experimentos sobre electricidad. Demostró que el flujo de electricidad por los alambres del mismo material variaba con sus dimensiones físicas.

Describe el procedimiento para determinar la función inversa de una función dada. Incluye la obtención de sus respectivos dominio y rango, así como la representación gráfica de las dos en un mismo plano coordenado.

2.2 Función escalonada En un estacionamiento se cobra $12.00 por hora o fracción. Después de la segunda hora, y hasta un máximo de 8 horas, se cobra una cuota fija de $30.00. Elabora una tabla de valores y una gráfica. Solución: Si se representa con x el número de horas y con y la cantidad a pagar, se obtiene la tabla:

Encontró que el flujo de electricidad en los conductores: a) Depende del material con el que esté hecho el alambre. b) Es inversamente proporcional a su longitud.

x

y

0,x#1

12

0,x#2

24

0,x#8

30

Utilizando diferentes escalas en los ejes se puede trazar la gráfica de la figura 2.6:

c) Es directamente proporcional a la superficie de la sección transversal del alambre. Posteriormente demostró que el aumento de la temperatura de la mayoría de los conductores metálicos daba lugar a una disminución del flujo de la corriente. Sin embargo, se podía hacer que la corriente aumentara si se incrementaba el voltaje o la diferencia de potencial aplicado al circuito eléctrico cerrado. La ley de Ohm se expresa I 5

E donde I es igual a la corriente eléctrica, R

E es igual al voltaje aplicado, R es igual a la resistencia. Cada uno de estos elementos tiene una unidad de medida que corresponde al apellido de los científicos: amperio (Ampere: francés), voltio (Volta: italiano) y ohmio (Ohm: alemán). Por lo que esta ley también se expresa así:

amperios 5

voltios ohmios

30 20 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura 2.6

El círculo relleno (1, 12) pertenece a la gráfica de la función, mientras que el círculo hueco (1, 24) no pertenece a la gráfica de la función. Por la forma que tiene el trazo de la gráfica se le conoce como función escalonada o función escalón.

40


Con base en lo anterior puedes observar que la función f ( x )5 x tiene como dominio a los números reales (R) y como rango a los números enteros ().

Actividad de aprendizaje ¿Cómo es la gráfica de una función escalonada?

Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.

¿Cuál es el rango de la función máximo entero?

1. Investiga en un estacionamiento, ¿cuál es la tarifa que se cobra por hora o fracción? • ¿Cuántos automóviles puede recibir como máximo?

Función máximo entero Una función escalonada, diferente a la anterior, es la función máximo entero que se expresa f ( x )5 x . Esta función asigna a cada número real x el mayor entero que sea menor que o igual a x. Así 22 5 22; 22.3 5 23; 0.487 5 0; 4.7 5 4. Para el intervalo 23, 4 se obtiene la tabla: x

f (x)

23 # x , 22

23

22 # x , 21

22

21 # x , 0

21

0#x,1

0

1#x#2

1

2#x,3

2

 3 # x , 4   Su gráfica es la siguiente:                                 Figura 2.7          

• ¿En qué horario y días de la semana es cuando se ocupa más? • ¿En qué horario y días de la semana es cuando se ocupa menos? 2. Considerando los gastos de operación del estacionamiento, obtén la expresión algebraica de una función que describa las ganancias. 3. Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para desincentivar el uso del automóvil y cuidar nuestro medio.

3

                  

Las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas son funciones especiales.

              

           

2.3 Función valor absoluto Sea f : R �→ R, tal que f (x) 5| x |.

 Recuerda que el valor absoluto de un número se simboliza por | x | y se define así:     x, si x . 0   | x | 5  0, si x 5 0     2x, si x , 0       Ejemplo  ) 22 ) 5 2 (22) 5 2; ) 2 ) 5 2, ) 0 ) 5 0

41

2

BLOQUE


Gráfica de la función valor absoluto La gráfica de la función valor absoluto es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, en los cuales la primera componente es un número real y la segunda componente es el valor absoluto de la primera.

Actividad de aprendizaje La función valor absoluto, ¿es inyectiva?

f 5{(x, f (x))| f (x) 5 | x |, x H R}

Representación geométrica de la gráfica de la función valor absoluto Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 | x |

(x, f (x))

22

f (22) 5 |22| 52

(22, 2)

21

f (21) 5 |21| 51

(21, 1)

0

f (0) 5 |0| 50

(0, 0)

1

f (1) 5 |1| 51

(1, 1)

2

f (2) 5 |2| 52

(2, 2)

La representación geométrica de los puntos de la gráfica de la función valor absoluto queda como sigue: f(x)

Propiedades de la función valor absoluto a) Inyectividad Existen pares de números reales diferentes (números simétricos), tales que su imagen bajo la función es la misma. Esto se puede evidenciar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x, pues cada una de ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la gráfica de la función; por consiguiente, la función valor absoluto no es inyectiva. b) Suprayectividad La función valor absoluto tiene dominio y contradominio real, pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos y ya que R Z R1 ∪ {0} entonces la función valor absoluto no es suprayectiva. c) Biyectividad La función valor absoluto no es inyectiva ni supraectiva y, por tanto, tampoco es biyectiva. Ejemplo Sea f : R → R, tal que f ( x )5 x 22

x

Gráfica de la función Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función:

Figura 2.8

Imagen del dominio de la función valor absoluto Como puedes observar, a cada número real x del domino se le asocia un número real no negativo, por lo que: C 5 R 1 ∪ {0}

42

Representación geométrica de la gráfica de la función f 5 {(x, f (x))| f (x) 5 |x 22|, x HR} Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 | x 5 2 |

(x, f (x))

22

f (22) 5 2| 2 2 2| 54

(22, 4)

21

f (21) 5 2| 1 2 2 | 53

(21, 3)

0

f (0) 5 | 0 2 2 | 52

(0, 2)


1

f (1) 5 |1 2 2 | 51

(1, 1)

2

f (2) 5 | 2 2 2 | 50

(2, 0)

3

f (3) 5 | 3 2 2 | 51

(3, 1)

4

f (4) 5 | 4 2 2 | 52

(4, 2)

La representación geométrica de los puntos de la gráfica de la función valor absoluto queda de la siguiente forma:

2.4 Función identidad Sea f : R �→ R, tal que f (x) 5 x.

Gráfica de la función identidad Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, cuyos primeros y segundos componentes son el mismo número real. f 5 {(x, f (x))| f (x) 5 x, x HR}

Representación geométrica de la gráfica de la función identidad

f (x)

Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

x

Figura 2.9

Imagen del dominio o función

x

f (x) 5 x

(x, f (x))

22

f (22) 5 22

(22, 22)

21

f (21) 5 21

(21, 21)

0

f (0) 5 0

(0, 0)

1

f (1) 5 1

(1, 1)

2

f (2) 5 2

(2, 2)

Al localizar en el plano cartesiano los puntos que corresponden a estos pares ordenados y unirlos consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.

Como a cada número real x del dominio se le asocia un número real no negativo: C 5 R1 ∪ {0}.

f(x)

Propiedades de la función a) Inyectividad La función no es inyectiva porque existen dos números reales diferentes, por ejemplo 0 y 4, tales que su imagen bajo la función es la misma.

x

b) Suprayectividad La función no es suprayectiva porque su imagen es el conjunto de los números reales no negativos: R Z R1 ∪ {0} c) Biyectividad La función no es inyectiva ni suprayectiva y, por tanto, tampoco es biyectiva. Figura 2.10

43

2

BLOQUE


Imagen del dominio de la función identidad La función identidad a cada número real x de su dominio le asocia, bajo la función, su mismo valor como imagen, por tanto, el conjunto de las imágenes de esta función es: C5R

Representación geométrica de la gráfica de la función constante Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 3

(x, f (x))

Propiedades de la función identidad

22

f (22) 5 3

(22, 3)

a) Inyectividad

21

f (21) 5 3

(21, 3)

Dados dos números reales diferentes, las imágenes que les corresponden también son diferentes, es decir, x1, x2 ∈ R, x1 Z x2, f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) por consiguiente, la función identidad es inyectiva.

0

f (0) 53

(0, 3)

1

f (1) 5 3

(1, 3)

b) Suprayectividad

2

f (2) 5 3

(2, 3)

La imagen de la función identidad es igual al codominio, B 5 C 5 R, en consecuencia, la función identidad es suprayectiva. c) Biyectividad

Si se localizan en el plano cartesiano los puntos correspondientes a estos pares ordenados y se unen consecutivamente, se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.

La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez; por tanto, también es biyectiva.

f (x) Actividad de aprendizaje ¿Cómo es la gráfica de la función identidad?

x

2.5 Función constante Sea f : R → R, tal que f ( x )5 k con k, x ∈R.

Figura 2.11

Imagen del dominio de la función constante

Ejemplos 1. Sea f : R → R, tal que f (x ) 5 3.

La función constante asocia la misma imagen a cada número real x de su dominio; en este caso, la imagen de la función es: C5{3}

Gráfica de la función constante Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante, en este caso el número 3.

{

f 5 ( x , f ( x )) f ( x )53, x ∈ 44

}

Propiedades de la función constante a) Inyectividad A cada elemento del dominio corresponde el 3 como imagen, de manera que elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen, por tanto, la función constante no es inyectiva.


b) Suprayectividad Como el dominio y contradominio de la función son los números reales, y a cualquier x H A corresponde el número 3, entonces el conjunto imagen es C 5 { 3} y {3 } Z R, por consiguiente, la función constante no es suprayectiva.

f(x)

c) Biyectividad La función constante no es inyectiva ni suprayectiva, en consecuencia, tampoco es biyectiva. x

Actividad de aprendizaje En una función constante de la forma f (x ) 5 k, ¿cuál es su dominio?

¿Cuál es su rango? Figura 2.12

Imagen del dominio de la función La función asocia la misma imagen para cada número real x de su dominio, por lo que

Sea f : R �→ R, tal que f (x) 5 22.

Gráfica de la función

C 5 {2 2}.

Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante 22. f 5 {(x, f (x))| f (x)5 2 2, x HR}

Representación geométrica de la gráfica de la función Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

Propiedades de la función a) Inyectividad La función no es inyectiva porque a cada elemento del dominio corresponde 22 como imagen; dicho de otra manera, a elementos diferentes del dominio les corresponde la misma imagen. b) Suprayectividad La función no es suprayectiva pues para todo x H A su imagen es 22 por tanto,

x

f (x) 5 22

(x, f (x))

22

f (22) 5 22

(22, 22)

c) Biyectividad

21

f (21) 5 22

(21, 22)

Como la función no es inyectiva ni suprayectiva entonces tampoco es biyectiva.

0

f (0) 522

(0, 22)

1

f (1) 5 22

(1, 22)

2

f (2) 5 22

(2, 22)

En la figura 2.12 se ilustra la representación geométrica de una parte de la gráfica de la función.

C 5 {2 2} y {2 2} Z R

2.6 Propiedades y características de las transformaciones gráficas (traslaciones y reflexiones) Transformación de gráficas de funciones Conocemos la representación gráfica de algunas funciones básicas definidas por una ecuación, cuando ésta se modifica su represen45

2

BLOQUE


tación gráfica también cambia y a estos cambios se les denomina transformaciones.

1

4

(1, 4)

Dentro de las diferentes transformaciones que es posible realizar se hará referencia de las traslaciones, horizontales y verticales, así como de la reflexión con respecto al eje x y a la recta y 5 x.

2

5

(2, 5)

3

6

(3, 6)

Traslaciones horizontales y verticales

8

Dada la función f ( x )5 x su ecuación correspondiente es y 5 x. Su representación gráfica es una línea recta por un ángulo de inclinación a 45° que cruza el primer y tercer cuadrante, como ya se ha visto en la función identidad.

6 4 2

Una tabla de valores para y 5 x (figura 2.13) es la siguiente: x

y

Puntos

23

23

(23, 23)

22

22

(22, 22)

21

21

(21, 21)

0

0

(0, 0)

1

1

(1, 1)

x

y

Puntos

2

2

(2, 2)

23

27

(23, 27)

3

3

(3, 3)

22

26

(22, 26)

21

25

(21, 25)

0

24

(0, 24)

1

23

(1, 23)

2

22

(2, 22)

3

21

(3, 21)

–4

–2

2

4

–2 Figura 2.14

La ecuación y 5 x 2 4 (figura 2.15) da lugar a la tabla de valores:

f(x)

x

–4

2

–2

4

–2 Figura 2.13

–4

Para la ecuación y 5 x 1 3 (figura 2.14) una tabla de valores es:

46

x

y

Puntos

23

0

(23, 0)

22

1

(22, 1)

21

2

(21, 2)

0

3

(0, 3)

–6 –8

Figura 2.15

Si las gráficas de y 5 x, y 5 x 1 3, y 5 x 2 4 se representan en un mismo sistema coordenado, nos quedan como en la figura 2.16:


En la figura 2.17 puedes apreciar que, con respecto a la gráfica de y 5 x, la gráfica de y 2 5 5 x está recorrida cinco unidades hacia arriba y la gráfica de y 1 4 5 x está recorrida cuatro unidades hacia abajo.

8 6 4

10

2

7.5 1

2

3

4

5

5

–2

2.5

–4

–4

Figura 2.16

–2

Las ecuaciones y 2 5 5 x y y 1 4 5 x se pueden tabular así: Representando en un mismo sistema coordenado las gráficas y 2 5 5 x, y 1 4 5 x, queda en la siguiente forma. x

y

Puntos

23

2

(23, 2)

22

3

(22, 3)

21

4

(21, 4)

0

5

(0, 5)

1

6

(1, 6)

2

7

(2, 7)

3

8

(3, 8)

x

y

Puntos

23

27

(23, 27)

22

26

(22, 26)

21

25

(21, 25)

0

24

(0, 24)

1

23

(1, 23)

2

22

(2, 22)

3

21

(3, 21)

4

–2.5

Aquí puedes observar, con respecto a la gráfica de y 5 x, que la gráfica de y 5 x 1 3 se ha recorrido tres unidades hacia la izquierda, mientras que la gráfica de y 5 x 2 4 se recorrió cuatro unidades hacia la derecha. De manera general, si en la ecuación y 5 x se sustituye x por x 2 h, siendo h un número real, la gráfica de la ecuación se traslada horizontalmente. Cuando h.0 la gráfica se traslada hacia la derecha una distancia igual a h y si h,0 la gráfica se traslada hacia la izquierda una distancia igual h .

2

–5 –7.5

Figura 2.17

De manera general, si en la ecuación y 5 x se sustituye y y 2 k siendo k un número real, la gráfica de la ecuación se traslada verticalmente. Cuando k .0 la gráfica se traslada hacia arriba una distancia igual a k y si k ,0 la gráfica se traslada hacia abajo una distancia igual a k .

Actividad de aprendizaje ¿Qué tipo de transformaciones se pueden hacer con la gráfica de una función?

Si en la ecuación y 5 x se suma al segundo miembro un valor positivo, ¿qué ocurre con la gráfica de y 5 x ?

Si en la ecuación y 5 x se suma algebraicamente al primer miembro un valor negativo, ¿qué ocurre con la gráfica de y 5 x ?

47

2

BLOQUE


Reflexión respecto a los ejes

Ejemplo

Por geometría sabemos que dos puntos del plano son simétricos con respecto a una recta cuando están en una misma perpendicular a la recta y a una distancia igual de ella. A este tipo de simetría se le conoce como simetría axial y a la recta de referencia se le llama eje de simetría.

Para y 5 f ( x )52 x 2 su gráfica es la de la figura 2.19:

Se sabe también por geometría que, un punto cualquiera del plano con respecto a una recta, tiene un punto simétrico y éste es único. Si en lugar de una recta se utiliza un espejo plano, se observa que un objeto refleja su imagen dentro del espejo, a una distancia igual a la que se encuentra el objeto con respecto al espejo. Al trazar dos figuras en una hoja de papel, que sean simétricas con respecto a una recta, puedes observar que si se hace un doblez a la hoja sobre la recta, se pueden hacer coincidir las dos figuras en todos sus puntos, por lo que se dice que una es reflejo de la otra con respecto a la recta, mediante un giro de 180° alrededor de la recta. Ejemplo La gráfica de y 5 f ( x )5 x (figura 2.18), como ya se ha visto, corresponde a una parábola que tiene su vértice en el origen y sus dos ramas son simétricas con respecto al eje y.

x

y

Puntos

23

24

(23, 29)

22

24

(22, 24)

21

21

(21, 21)

0

0

(0, 0)

1

1

(1, 21)

2

4

(2, 24)

3

9

(3, 29)

2

x

y

Puntos

23

29

(23, 9)

22

24

(22, 4)

21

21

(21, 1)

0

0

(0, 0)

1

1

(1, 1)

2

4

(2, 4)

3

9

(3, 9)

–4

–2

2

4

–5 –10 –15 –20 –25

Figura 2.19

8 6

Esta gráfica es simétrica de la de y 5 f ( x )5 x 2 con respecto al eje x.

4

De manera general si en la expresión y 5 f ( x ) se sustituye y por 2y queda en la forma2 y 5 f ( x ) o bien y 52 f ( x ) donde la gráfica de ésta es la reflexión de y 5 f ( x ) con respecto al eje x.

2

23

22

Figura 2.18

48

21

1

2

3

Si en y 5 f ( x ) se sustituye x por 2x se transforma en y 5 f (2 x ) y sus gráficas correspondientes quedan reflejadas respecto del eje y.


Actividad de aprendizaje ¿Qué tipo de simetría se utiliza para reflejar una gráfica sobre un eje coordenado?

2

Reflexión respecto a la recta y 5 x

–2

Al tratar lo relacionado con la función inversa se estableció que si una función es biyectiva tiene función inversa y que el dominio y rango de ésta corresponde respectivamente al rango y dominio de aquella por lo que sus respectivas gráficas son el reflejo, una de la otra, con respecto a la función y 5 f ( x )5 x .

–1

1

2

3

–2 Figura 2.20

Ésta es la ecuación de la función inversa f ( x )5 x 12

Ejemplos

Sustituyendo esta y por f 21 (x ) la función inversa se expresa así:

1. Encuentra la ecuación de la función inversa y el correspondiente dominio e imagen de la función f ( x )5 x 1 2 ; x ∈[21, 7]. Solución: La función f ( x )5 x 12 es uno a uno, pues a elementos diferentes del dominio les corresponden diferentes imágenes. Al evaluar la función en los valores extremos de su dominio, se obtienen los valores extremos de su rango. Esto es:

f (21)5 211 2 51 f ( 7 )5 7 1 2 5 9 53

x 2 2 2 5 f 21 ( x ) Como ya se ha dicho antes, el rango de f (x ) es el dominio f 21 (x ), por lo que al evaluar f 21 (x ) en [1, 3] se obtiene:

f 21 (1)512 2 2 521 f 21 ( 3)532 2 2 5 9 2 2 5 7 En consecuencia, el rango de f 21 (x ) es [21, 7]que corresponde al dominio f (x ) 2. Encuentra la ecuación de la función inversa y el correspondiente dominio e imagen de la f (x ) 5 5 2 x2; xH[0, 4].

Por tanto, el rango de la función [1, 3]

Solución:

Al sustituir en la función a f (x ) por y se obtiene:

La función f (x ) 5 5 2 x2 es uno a uno, pues a elementos diferentes del dominio corresponden diferentes imágenes.

y 5 x 12 Elevando al cuadrado a los dos miembros de la igualdad

y 2 5 x 12 Sumando 22 a los dos miembros de la igualdad

y 2 225 x Intercambiando x por y y y por x

x 2 225 y

Al evaluar la función en los valores extremos de su dominio se obtienen los valores extremos de su rango. Esto es:

f ( 0 )5 5 2 0 2 5 5 f ( 4 )5 5 2 4 2 5 5 216 5211 Por tanto, el rango de la función es [5, 211]. Al sustituir en la función a f (x ) por y se obtiene:

y 552 x 2

49

2

BLOQUE

Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas Actividad de aprendizaje

Sumando x 2 a los dos miembros de la igualdad Representa en el plano cartesiano las situaciones didácticas de la página 34,Ejercicio 3 y 5.

y 1 x 2 55 Sumando 2y a los dos miembros de la igualdad

A partir de la gráfica y 5 x ; x $ O:

x 2 552 y Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad

x 5± 52 y

a ) Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con respecto al eje x. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?

Intercambiando x por y y y por x

y 5± 52x Como los valores de x son no negativos, se toma el signo positivo del radical

b ) Traza en un mismo plano coordenado a su simétria con respecto al eje y. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?

y 5 52x Ésta es la ecuación de la función inversa de f (x ) 5 5 2 x 2 Sustituyendo esta f 21 (x ) la función inversa se expresa así:

f 21 ( x )5 5 2 x Como ya se ha dicho antes, el rango de f (x ) es el dominio de f 21 (x ) por lo que al evaluar f 21 (x ) en [5, 211], se obtiene:

f 21 ( 5 )5 5 2 5 5 0 5 0 f 21 (211)5 5 2(211) 5 16 5 4 En consecuencia el rango de f 21 (x ) es [0, 4] que corresponde al dominio f (x )

Con respecto a la función identidad traza una reflexión y 5 x ; x $ O. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?

4

2

1 Figura 2.21

50

2

3

4

5


Aplicación de las TICs Función inversa 1. Dada la función f (x) 5 3x 1 2, obtén su función inversa f 21. Tip: puedes emplear la plataforma WolframAlpha para responder la pregunta anterior; para ello, tienes que indicarle al sistema qué es lo que necesitas; en este caso, vamos a emplear la siguiente sintaxis: “inversefunction f (x) 5 3x 1 2”, en español esto significa: decir “función inversa de f (x)”.


En la siguiente pantalla se muestra el resultado de la función anterior. Observa que la plataforma calcula la función inversa y además te presenta la relación de simetría de ambas funciones respecto a la función y = x. Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utilizada sin su permiso.

2. Traza sus gráficas en un mismo plano coordenado, junto con la función f (x) 5 x. 3. Contesta: ¿qué observas de la gráfica de la función y su inversa con respecto a la función identidad? 4. Evalúa f (f 21(x)) y f 21 ( f (x)), para comprobar que una es la inversa de la otra.

51

2 BLOQUE




1

2


Debo mejorar en…

Represento el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a función inversa de una función dada. Escribo la ecuación de la relación inversa de una función dada. Señalo si la relación inversa corresponde a una función. Utilizo la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función inversa posible. Resuelvo problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. Argumento el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teóricos prácticos.


2. Bien

1. Regular



1

2


52

3

4

5


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Para la f ( x ) 5 4 x 1 5 encuentra la ecuación de su función inversa correspondiente, así como sus respectivos dominio y rango.

2. Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica y 52 x 2 1 1.

4. Para la función f ( x )5 x 23 ; x $ 3, encuentra la ecuación de su función inversa correspondiente, así como sus respectivos dominio y rango.

3. Para la función ff (x) ( x )5 5 x ; 0 # x # 16 encuentra la ecuación de su función inversa correspondiente, así como sus respectivos dominio y rango.

5. Con respecto a la función identidad traza una reflexión de y 5 x ; x $ 0. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?


Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a función inversa de una función dada. Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada. Señala si la relación inversa corresponde a una función. Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función inversa posible. Resuelve problemas que involucran funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idéntica y constante. Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución de problemas teórico-prácticos. Comentarios generales:

53

2

BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el procedimiento para determinar la función inversa de una función dada de la sección Aplica lo que sabes, de la página 40. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Desarrollo

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema


54

11. Conoce y aplica correctamente el concepto de función inversa. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Obtiene la función inversa de una función dada. 14. Determina el dominio y rango de la función dada. 15. Determina el dominio y rango de la función inversa. 16. Representa en un plano cartesiano a la función dada y su inversa.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Características de funciones que son inversas de otras

Con base en las características de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, determina si la relación inversa es o no una función.

Dadas las características de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, determina en dos casos si la relación inversa es o no una función.

Dadas las características de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, determina en un caso si la relación inversa es o no una función.

No conoce las características de las funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas, no puede determinar si la relación inversa es o no una función.

Descripción geométrica y algebraica de la inversa de una función

Describe geométrica y algebraicamente la inversa de una función. Determina su dominio y rango.

Describe geométricamente la inversa de una función. Determina su dominio y rango.

Describe parcialmente la inversa de una función.

No describe geométrica ni algebraicamente la inversa de una función. No determina su dominio ni rango.

Funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonada

Identifica y describe geométrica y algebraicamente las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonada.

Identifica y describe geométrica y algebraicamente a tres de las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonada.

Identifica y describe geométrica y algebraicamente a dos de las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonada.

No identifica ni describe geométrica ni algebraicamente a ninguna de las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonada.

Traslaciones verticales y horizontales y reflexiones respecto a los ejes y a la recta x = y, a gráficas de funciones

Transforma las gráficas de funciones mediante traslaciones verticales y horizontales y realiza reflexiones respecto a los ejes y a la recta x = y.

Transforma las gráficas de funciones mediante traslaciones verticales y horizontales y realiza reflexiones respecto a los ejes.

Transforma las gráficas de funciones mediante traslaciones verticales y horizontales.

No transforma las gráficas de funciones mediante traslaciones verticales ni horizontales y no realiza reflexiones respecto a los ejes ni a la recta x = y.

Aspecto a evaluar

Criterios

Observaciones generales:

55

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Tiempo asignado: 10 horas

3

B LO Q U E Objetos de aprendizaje


3.2 Forma polinomial de funciones de grados cero, uno y dos 3.3 Representación gráfica de funciones de grados cero, uno y dos 3.4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos 3.5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos


n

n

n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta las habilidades previas para comprender el modelo general de las funciones polinomiales. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de argumentos sustentados en una base bibliográfica. Propone soluciones a problemas a partir de modelos establecidos para las funciones de grados: cero, uno y dos. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos para resolver ejercicios de funciones de diferentes grados (cero, uno y dos).

n

n

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales, dentro y fuera del aula. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, y gráficos, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas en donde se integren las distintas áreas (ciencias experimentales, sociales o económicoadministrativo). Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando las características y modelos de las funciones polinomiales.

w


n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos de los modelos de las funciones de grado: cero, uno y dos y los contrasta con situaciones reales que involucran las diferentes áreas del saber. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural que involucre las funciones de diferentes grados (cero, uno y dos) para determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos, sustentado en las habilidades desarrolladas.

1.

Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A (26, 6), B (3, 6).

2.

Determina si la función f ( x ) 5 7 2 3x , es creciente o decreciente. Fundamenta tu respuesta.

3.

Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.

4.

Obtén dos números tales que sumen 50 y la suma de sus cuadrados sea mínima.

Desempeños por alcanzar Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas respectivas. Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas. Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocien con el modelo.

3

BLOQUE




En una fábrica de ropa, el costo total C ( x ) de producción de x número de prendas de vestir está dado C por ( x )5 40 x 135 000. ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir? ¿Cuál es el costo fijo? ¿Cuál es el costo total de producción de 50 000 prendas de vestir?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.

¿Qué tienes que hacer? Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.




A partir de la expresión algebraica del costo de producción: ¿Cuáles son los parámetros?

En este ejemplo:

Producto a elaborar

¿Qué representa cada uno de ellos? ¿Cómo se obtiene el costo de cada prenda de vestir?

Presentar los cálculos realizados para resolver el problema.

¿Cómo se obtiene el costo fijo? ¿Cómo se calcula el costo total de producción?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Rúbrica Para determinar los datos que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron éstos; tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se 58

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.




Para que no haya pérdidas, en un espectáculo se requiere que asistan 500 espectadores que paguen $300 cada uno. Se ha observado que por cada espectador de más se puede cobrar $1 menos. ¿Con cuántos espectadores adicionales es posible obtener las ganancias máximas?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Qué relaciones es posible establecer entre los datos de acuerdo con las condiciones del problema?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


¿Cómo se puede plantear algebraicamente el problema?


¿Cómo se puede verificar que las soluciones obtenidas a partir de la ecuación son las del problema?

En este ejemplo:


Rúbrica

Producto a elaborar Presentar los cálculos realizados para resolver el problema.


Para determinar la solución al problema que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

59

3

BLOQUE



9 3. La temperatura en grados Fahrenheit es igual a de la tem5 peratura en grados Celsius más 32:

Ejercicios matemáticos 7 Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos. 1. A (26 , 6), B (3, 6)

2. C (6 , 5), D (1, 4)

3. E (5 , 0), F (2 7 , 21)

4. G (2 2 , 3), H (6 , 2 2)

5. I (0 , 2 5), J (6 , 2 7)

6. K (2 , 2 5), L (2 , 2)

7. M (2 5 , 2 4), N (2 5 , 5)

8. P (23, 26), Q ( 4 , 3)

9. R (2 4 , 21), S (5 , 21)

10. T (2 2 , 6), U (1, 23)

Ejercicios matemáticos 8 1. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año en 10% de su costo de adquisición, el cual fue de 15 000 unidades de dinero.

a) Determina la expresión algebraica de la función que describe la equivalencia. b) Identifica la ecuación con la función haciendo y 5 f (c). c) Calcula la temperatura en grados Fahrenheit a la que equivalen 10, 20 y 50 grados Celsius bajo cero; 5, 10, 20 y 30 grados Celsius sobre cero, y represéntalos en el plano. d) Encuentra el cero de la función y su interpretación en el problema. 4. Al iniciar el mes, una empresa de electrodomésticos tiene en existencia 500 refrigeradores al iniciar el mes, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la función que describe el número de aparatos para cualquier día del mes.

a) Determina el valor contable del equipo en el año de adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años. b) Tabula y representa en el plano coordenado. c) Encuentra la expresión algebraica que determina la función que describe el problema. d) Determina el dominio, el contradominio y el rango. 2. En el contrato anual de renta de un televisor, se cobra un depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de 75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe.

5. De las siguientes funciones, determina cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes. Fundamenta tu respuesta. a) f ( x )5 7 23x

b) f ( x )56 x 13 c) f ( x )53 d) f ( x )523 (2 2 x ) e) f ( x )52 x 21 f ) f ( x )52 2 x 13



2 3

g) f ( x )52 2 x 1   

60


h) f ( x )5 5 x 2 2

2 5

a) ¿Cuál es el costo por aparato? 1 3

i) f ( x )52 1 x j) f ( x )52 x 1

1 4

Ejercicios matemáticos 9 1. Una empresa produce zapatos. Obtén el costo total C ( x ) si cada par tiene un costo de 40 unidades de dinero y su costo fijo es de 5 000 unidades de dinero.

2. En una fábrica de ropa, el costo total C ( x ) de producir x número de prendas de vestir está dado por:

b) ¿Cuál es el costo fijo? c) ¿Cuál es el costo total de producir 5 000 aparatos? 4. En una fábrica de artículos escolares, uno de ellos tiene como funciones de costo y venta, V ( x )55 x y C(x) 5 2x 1 180, respectivamente. a) Traza las dos funciones en un mismo sistema coordenado. b) Determina el costo inicial (cuando la producción es cero). c) ¿Cuántos artículos se deben producir como mínimo para que no haya pérdidas? (ganancia 5 venta 2 costo) d) ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades? e) ¿Cuánto se obtiene por la venta de 100 unidades? f ) Determina el número de unidades que se deben vender para que la ganancia sea de 51 000 unidades de dinero.

Ejercicios matemáticos 10 1. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo. 2. Obtén dos números tales que sumen 50 y cuya suma de sus cuadrados sea mínima. 3. Para que no haya pérdidas en un espectáculo, se requiere que asistan 300 espectadores que paguen $500. Se ha observado que por cada espectador extra es posible cobrar una unidad de dinero menos. ¿Con cuántos espectadores adicionales se puede obtener las máximas ganancias?

C ( x )580 x 1 25 000 a) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir? b) ¿Cuál es el costo fijo? c) ¿Cuál es el costo total de producir 10 000 prendas de vestir? 3. El costo total C ( x ) para producir cierto tipo de aparato electrodoméstico está dado por:

4. Se dispone de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular de manera que su área sea máxima. ¿Cuáles son las dimensiones de este terreno?

C ( x )5 45 x 118 000 61

3

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5. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t) 5 2 3 t ² 1 12 t 1 36. Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo.

Ejercicios matemáticos 11 Esboza la gráfica de la función f : → . 1. f ( x )53x 2.

2

1 f ( x )52 x 2 2

3. f ( x )5 x 2 23x 4. f ( x )52 2 x 2 2 4 x 5.

2

f ( x )5 x 2 4

El arte de vivir con éxito consiste en ser capaces de sostener en tensión, a un mismo tiempo, dos ideas opuestas: la primera, hacer planes a largo plazo como si fuéramos a vivir para siempre; la segunda, conducirnos diariamente como si fuésemos a morir mañana. Sydney Harris

Introducción Se trata el concepto de función polinomial, así como su notación y sus características. Se describen las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. De manera particular, la función constante, lineal y cuadrática.

3.1 Modelo general de las funciones polinominales

6. f ( x )5 2 x 2 18

Concepto de función polinomial

7. f ( x )5 x 2 1 2 x 11

Notación y características

2

8. f ( x )52 x 2 2 x 21 9. f ( x )5 2 x 2 1 4 x 1 2 10. f ( x )5 x 2 1 2 x 1 4

Una expresión, en orden decreciente de los exponentes de x, de la forma an x n 1 an21 x n21 1 an22 x n−2 1…1 a2 x 2 1 a1 x + a0 donde an , an21 , an22 ,..., a2 , a1 , a0 son números reales, an ≠ 0 se llama polinomio de grado n. En él, x no representa un valor específico, sólo se utiliza para indicar la posición o el lugar de cada término dentro de la expresión, de manera semejante a las unidades, decenas, centenas, etcétera, dentro de nuestro sistema decimal de numeración. Cada término está separado del siguiente por medio del signo de la suma. El grado de un término lo determina el grado de x en dicho término. El término de mayor grado determina el grado del polinomio. El término que no contiene a x es de grado cero y se llama término independiente o término constante. Actividad de aprendizaje En un polinomio, el término de mayor grado determina

62


3.2 Forma polinomial de funciones de grados cero, uno y dos

En una ecuación polinomial, ¿a qué se le llama raíz o solución de la ecuación?

Grado de una función polinomial Coeficiente principal. En el polinomio, el término de mayor grado aparece en primer lugar, por lo que se le llama término inicial; su coeficiente es el inicial (principal) y su grado es el del polinomio. Si en la función el polinomio x es un número real, entonces se define la función polinomial:

¿A qué se le llama cero del polinomio?

f ( x )5 an x n 1 an21 x n21 1 an22 x n22 1…1 a2 x 2 1 a1 x 1 a0

donde n es un entero no negativo y an Z 0. El grado de un término es el del exponente de x en dicho término, y el grado de toda la expresión es igual al del término de mayor grado. f (x) 5 0 se llama función polinomial cero para distinguirla de f (x) 5 a0 donde a0 ≠ 0, que es una función polinomial de grado cero y corresponde a la función constante. Si n 5 1, la expresión queda de la siguiente forma: f (x) 5 a1x 1 a0 5 mx 1 b que es la forma general de la función lineal; y si n 5 2 entonces: f(x) 5 a2x2 1 a1x 1 a0 5 ax2 1 bx 1 c que corresponde a la forma general de la función cuadrática. Por lo anterior se deduce que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de la función polinomial. Cuando f (x) 5 0 se tiene una ecuación polinomial de grado n. Un valor de x que satisface la ecuación recibe el nombre de raíz o solución de la ecuación, también se dice que es un cero del polinomio. En este bloque se estudia lo referente a las raíces o soluciones de las ecuaciones lineal y cuadrática, así como los respectivos ceros de las funciones lineal y cuadrática, y algunas propiedades de estas funciones en relación con sus ceros o las raíces de sus ecuaciones correspondientes con el propósito de hacer su representación gráfica. Revisaremos los puntos de teoría de ecuaciones relacionados con los polinomios, para aplicarlos a la representación gráfica de una función polinomial. Actividad de aprendizaje En una función polinomial, ¿a qué se le llama coeficiente principal?

Dominio y rango En las funciones que se tratan a continuación se especifican sus características, entre las que se incluye sus respectivos dominio y rango, así como sus propiedades.

3.3 Representación gráfica de funciones de grados cero, uno y dos Funciones reales especiales Se analizan las propiedades de algunas funciones reales especiales de uso frecuente: función identidad

f:  → f ( x )5 x

función lineal

f:  →  f ( x )5 ax 1b

función cuadrática

f:  →  f ( x )5 ax 2 1bx 1 c , a ≠ 0

Como la representación de la gráfica de cada una consta de un número infinito de puntos, uno para cada número real, sólo se trazará una parte que permita visualizarlas e identificarlas. Todas son funciones algebraicas, pues su regla de correspondencia se puede expresar con un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces.

La función constante como caso particular de la función polinomial Sea f:  → , tal que f ( x )5 k con k, x H . 63

3

BLOQUE

Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Dominio y rango

Ejemplos

Imagen del dominio de la función constante Sea f :  → , tal que f (x ) 5 3.

La función constante asocia la misma imagen a cada número real x de su dominio, en este caso la imagen de la función es:

Gráfica de la función constante Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante, en este caso el número tres. f 5 {(x, f (x )) | f (x ) 5 3, H f : }

Representación geométrica de la gráfica de la función constante Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

C5{3}

Propiedades de la función constante a) Inyectividad A cada elemento del dominio le corresponde el número 3 como imagen, de manera que elementos diferentes del dominio tienen la misma imagen; por tanto, la función constante no es inyectiva. b) Suprayectividad Como el dominio y el contradominio de la función son los números reales, y a cualquier x H A corresponde el número 3, entonces el conjunto imagen es C 5 { 3} y {3} Z  por consiguiente, la función constante no es suprayectiva.

x

f (x) 5 3

(x, f (x))

22

f (22) 5 3

(22, 3)

c) Biyectividad

21

f (21) 5 3

(21, 3)

0

f (0) 5 3

(0, 3)

La función constante no es inyectiva ni suprayectiva, en consecuencia, tampoco es biyectiva.

1

f (1) 5 3

(1, 3)

2

f (2) 5 3

(2, 3)

Sea f :  S , tal que f (x) 5 22.

Gráfica de la función

Si se localizan en el plano cartesiano los puntos correspondientes a estos pares ordenados y se unen consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.

Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y la segunda es el valor constante 22. f 5 {(x, f (x) | f (x) 5 2 2, x H}

Representación geométrica de la gráfica de la función

f(x)

Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

x

Figura 3.1

64

x

f (x) 5 22

(x, f (x))

22

f (22) 5 2 2

(22, 22)

21

f (21) 5 2 2

(21, 22)

0

f (0) 5 2 2

(0, 22)

1

f (1) 5 2 2

(1, 22)

2

f (2) 5 2 2

(2, 22)


En la figura 3.2 se ilustra la representación geométrica de una parte de la gráfica de la función.

¿Cuál es su imagen?

f(x)

x

En general, ¿cómo se representa geométricamente la gráfica de una función constante?

\ Figura 3.2

Dominio y rango Imagen del dominio de la función La función asocia la misma imagen para cada número real x de su dominio, por lo que C 5 {2 2}

Propiedades de la función a) Inyectividad La función no es inyectiva porque a cada elemento del dominio corresponde 22 como imagen; dicho de otra manera, a elementos diferentes del dominio corresponde la misma imagen. b) Suprayectividad La función no es suprayectiva, pues para todo x H A su imagen es 2 2 por tanto, C 5 {2 2} y {2 2} Z  c) Biyectividad Como la función no es inyectiva ni suprayectiva entonces tampoco es biyectiva. Actividad de aprendizaje En una función constante de la forma f (x ) 5 k, ¿cuál es su dominio?

La función identidad como caso particular de la función polinomial Sea f:  S , tal que f (x) 5 x.

Gráfica de la función identidad Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, cuyas primeras y segundas componentes son el mismo número real. f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 x, H }

Representación geométrica de la gráfica de la función identidad Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 x

(x, f (x))

22

f (22) 522

(22, 22)

21

f (21) 521

(21, 21)

0

f (0) 5 0

(0, 0)

1

f (1) 5 1

(1, 1)

2

f (2) 5 2

(2, 2)

65

3

BLOQUE


Funciones polinomiales de grado uno y particularidades de los modelos lineales

f(x)

Las funciones constante, identidad y lineal, se representan en forma geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se les llama funciones lineales. x

En general, una función lineal es una función real de la f ( x )5 mx 1b, donde m, b, x son números reales, de los cuales m y b son constantes. La función constante es el caso particular de la función lineal cuando m 5 0, porque si f ( x )5 mx 1b y m50, entonces f ( x )5 0 1b 5b donde b es una constante. La función identidad se obtiene a partir de la función lineal haciendo m 5 1 y b 5 0, f ( x )51( x )1 0 5 x.

Figura 3.3

Al localizar en el plano cartesiano los puntos que corresponden a estos pares ordenados y unirlos consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.

Dominio y rango Imagen del dominio de la función identidad La función identidad asocia a cada número real x de su dominio, bajo la función, su mismo valor como imagen; por tanto, el conjunto de las imágenes de esta función es: C5

Propiedades de la función identidad a) Inyectividad Dados dos números reales diferentes, las imágenes que les corresponde también son diferentes, es decir, x1 , x 2 ∈, x1 ≠ x 2 implica que f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) por consiguiente, la función identidad es inyectiva. b) Suprayectividad La imagen de la función identidad es igual al codominio B 5 C 5 , en consecuencia, la función identidad es suprayectiva. c) Biyectividad La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez, por tanto también es biyectiva.

3.4 Características de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos La función polinomial de grado cero, como ya se ha dicho, corresponde a la función constante f(x) 5 k. Al representar gráficamente la función constante, se observa como característica que está contenida en una paralela al eje x. La función polinomial de grado uno es de la forma f(x) 5 mx 1 b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. La gráfica de esta función presenta características que dependen de los valores de m y b. Si m . 0, la función es creciente y su trazo de izquierda a derecha va de abajo hacia arriba. Si m , 0, la función es decreciente y su trazo de izquierda a derecha va de arriba hacia abajo. Si b 5 0, la gráfica pasa por el origen; si b . 0 corta al semieje positivo de las y y si b , 0 entonces corta el semieje negativo de las y. La función polinomial de grado dos es de la forma: f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.


La gráfica de esta función presenta características que dependen del valor de a.

¿Cómo es la gráfica de la función identidad?

Si a . 0, la gráfica abre hacia arriba y si a , 0, la gráfica abre hacia abajo. En ambos casos, su eje vertical es el eje y o una paralela a él.

66


3.5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos

f(x)

La función lineal como caso particular de la función polinomial Sea f:  S , tal que f (x) 52 x 11.

x

Gráfica y parámetros La expresión algebraica de esta función es de la f ( x )5 mx 1b donde los parámetros m y b corresponden respectivamente a su pendiente y a su ordenada al origen. Figura 3.4

Gráfica de la función lineal Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función: f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 2x 1 1, x H }

Imagen del dominio de la función lineal La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número real que puede ser positivo, negativo o cero, por ello, la imagen del dominio de la función lineal es: C5

Dominio y rango La función lineal tiene como dominio y rango a los números reales, esto es, A 5  y C 5 .

Propiedades de la función lineal a) Inyectividad

Representación geométrica de la gráfica de la función lineal

Existen dos números reales diferentes, x1 ≠ x 2 tales que las imágenes que les corresponden también son diferentes f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) así pues, la función lineal es inyectiva.

Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

Lo anterior se puede observar fácilmente en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que intersecan la representación de f en, a lo más, un punto. A esto se le conoce como la prueba de la horizontal. Si cualquier recta horizontal interseca a la gráfica de f (x) en, a lo más, un punto, entonces f (x) es inyectiva, y si interseca a la gráfica de f (x) en más de un punto entonces f (x) no es inyectiva.

x

f (x) 5 2x 1 1

(x, f (x))

22

f (22) 5 2(22) 1 1 523

(22, 23)

21

f (21) 5 2(21) 1 1 521

(21, 21)

0

f (0) 5 2(0) 1 1 5 1

(0, 1)

1

f (1) 5 2(1) 1 1 5 3

(1, 3)

2

f (2) 52(2) 1 1 5 5

(2, 5)

Si en el plano cartesiano se localizan los puntos correspondientes a estos pares ordenados y se unen consecutivamente, se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.

b) Suprayectividad La imagen de la función lineal es igual al contradominio, B 5 C 5 ; por tanto, la función lineal es suprayectiva. c) Biyectividad La función lineal es inyectiva y suprayectiva, entonces también es biyectiva. Las funciones constante, identidad y lineal se representan en forma geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se les llama funciones lineales. En general, una función lineal es una función real de la forma f ( x )5 mx 1b donde m , b, x son números reales, de los cuales m y b son constantes.

67

3

BLOQUE


La función constante es el caso particular de la función lineal cuando m 5 0, porque si f ( x )5 mx 1b y m50, entonces f ( x )5 0 1b 5b donde b es una constante:

f(x)

La función identidad se obtiene a partir de la función lineal haciendo m 5 1 y b 5 0, entonces f (x) 5 1(x) 1 0 5 x. El ejemplo de la función lineal f (x) 5 2x 1 1 ilustra el caso en el que m 5 2 y b 5 1; sin embargo, como m y b son reales, éstos pueden ser positivos, negativos o cero, de tal manera que si f : ℝ S ℝ, entonces también son funciones lineales las siguientes:

x

f ( x )52 2 x 23

3 f ( x )5 x 21 4 2 f ( x )53 x 1 3 1 f ( x )52 x 13 2

Figura 3.5

Imagen del dominio de la función La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número real que puede ser positivo, negativo o cero; por tanto: C 5 ℝ.

Ejemplo

Propiedades de la función Sea f : ℝ S ℝ, tal que f ( x )523x 1 2 .

a) Inyectividad

Gráfica de la función Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función: f 5 {(x, f (x))| f ( x )523x 1 2 Hℝ}

b) Suprayectividad La función es suprayectiva porque su imagen es igual al contradominio B 5 C 5 ℝ.

Representación geométrica de la gráfica de la función Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 3x 1 2

(x, f (x))

22

f (22) 523(22) 1 2 5 8

(22, 8)

21

f (21) 523(21) 1 2 5 5

(21, 5)

0

f (0) 523(0) 1 2 5 2

(0, 2)

1

f (1) 523(1) 1 2 521

(1, 21)

2

f (2) 523(2) 1 2 524

(2, 24)

La representación geométrica de una parte de la gráfica de la función se ilustra en la figura 3.5: 68

La función es inyectiva porque dados dos números reales diferentes, x1 ≠ x 2 sus respectivas imágenes también son f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ). Si se trazan rectas paralelas al eje x se observa que intersecan la representación de f en, a lo más, un punto.

c) Biyectividad La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, también es biyectiva. Actividad de aprendizaje En una función lineal de la forma f (x ) 5 mx 1 b, ¿qué representan sus parámetros m y b?

¿En qué consiste la prueba de la horizontal?


Representación gráfica de la función lineal Recuerda la definición y notación de función que se trataron antes. Una función es una terna compuesta por: Un primer conjunto no vacío llamado dominio de la función. Un segundo conjunto no vacío llamado contradominio de la función. Una regla de correspondencia que cumple con las siguientes condiciones: • A cualquier elemento del dominio, por medio de la regla, se le puede asociar un elemento del contradominio. • Ningún elemento del dominio queda sin su asociado en el contradominio. • Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contradominio. Si de la ecuación de la recta en su forma canónica se despeja la variable y se obtiene: Ax 1 By 1C 5 0 By 52 Ax 2C C A y 52 x 2 si B ≠ 0 B B que es de la forma y 5 mx 1b en la que la variable y está expresada en función de la variable x, es decir, y es la variable dependiente y x es la variable independiente. A C Como y 5 f ( x ) entonces la ecuación y 52 x 2 se puede B B expresar como una función: A C f ( x )52 x 2 B B Y, en general, la ecuación lineal y 5 mx 1b se puede expresar como una función lineal: f ( x )5 mx 1b

A este respecto es conveniente precisar la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal. Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números indeterminados y una función es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto. En la ecuación x135 7 se establece la condición de que si a x se le suma 3 se obtiene como resultado 7 y, en consecuencia x54. En cambio en una función podemos elegir cualquier valor dentro de su dominio y determinar el que le corresponde en el contradominio. Así, en la función f ( x )5 x 13, la regla de correspondencia establece que para cualquier valor de x dentro de su dominio al sumarle 3 se obtiene su asociado en el contradominio. Si el dominio

de la función es el conjunto de los números reales, entonces algunos pares ordenados de la función son: f ( 2 )5 2 1 3 5 5

( 2 , 5)

f ( 0 )5 0 1 3 5 3

(0 , 3)

f (23)523135 0 1  1 1 f   5 1353  2 2 2

(23, 0) 1  , 2

7  2

La representación gráfica de una función lineal nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades. En el plano coordenado, un punto cualquiera está asociado con un par ordenado e inversamente, a un par ordenado corresponde un punto; por consiguiente, si una función se define como un conjunto de pares ordenados entonces se puede representar su gráfica en el plano cartesiano. Actividad de aprendizaje ¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal?

Variación directa Un gran número de fenómenos de la física se expresa mediante una proporción o variación. Tal es el caso del alargamiento de un resorte (dentro de los límites de elasticidad) y el peso que se le aplica. La fuerza (f ) que se aplica a un cuerpo de masa (m) y la aceleración (a) que se imprime a dicho cuerpo. Este tipo de relaciones se expresa en matemáticas por medio de una función cuya ecuación establece la dependencia de una variable con respecto a otra. Como ya se ha explicado antes, a la variable que puede tomar cualquier valor de su dominio se le llama variable independiente y a la variable cuyos valores dependen de los que toma la independiente se le llama variable dependiente o función. De esta manera, si se conoce un valor de la variable independiente, se puede calcular el valor correspondiente de la función. A este tipo de variación se le conoce como variación directa y su expresión general es de la forma: y 5 kx donde k (distinta de cero) es la constante de proporcionalidad. Así, el perímetro (P) de un cuadrado de lado (a) se puede expresar como: P5a1a1a1a P54a 69

3

BLOQUE


donde el valor de P depende del valor que tome a. La constante de proporcionalidad es 4 y se dice que el perímetro del cuadrado es directamente proporcional a la longitud de su lado.

La segunda ley de Newton se expresa por la fórmula: f 5 ma donde f es la fuerza que se aplica a un cuerpo, m es la masa del cuerpo y a es la aceleración que se imprime a un cuerpo cuando se le aplica una fuerza f.

Actividad de aprendizaje ¿Cuál es la expresión general de la variación directa?

Si un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme entonces recorre distancias iguales en tiempos iguales. Esto significa que la razón de cambio entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla corresponde a la velocidad, que es constante.

Pendiente y razón de cambio Si se representan en el plano coordenado los puntos P (2 5, 2 1), Q (1, 3) y R (4, 5) puedes observar que los tres son colineales. y

R(4, 5)

1

, 3)

Q(

a

V

a x′

x

a S

P (–5, –1)

T

y′ Figura 3.6

Veamos la relación que guardan entre sí las coordenadas de dos puntos cualesquiera de una recta, sin importar el orden en que tomemos los dos puntos considerados. Si tomamos las coordenadas de los puntos P y Q, en ese orden, tenemos P (25, 21), Q (1, 3). diferencia de ordenadas 32(21) 311 4 2 5 5 5 5 diferencia de abscisaas 12(2 5) 11 5 6 3 Si tomamos como primer punto a Q y como segundo punto a P, se tiene: diferencia de ordenadas 2123 2 4 2 5 5 5 diferencia de abscisaas 2 5 21 26 3 70


Consideremos ahora los puntos Q (1, 3) y R (4, 5) en ese orden: diferencia de ordenadas 5 23 2 5 5 4 21 3 diferencia de abscisaas Si R es el primer punto y Q es el segundo punto:

VR y 2 5 5 QV x 3 Esto significa que el punto R se encuentra dos unidades hacia arriba y tres unidades hacia la derecha respecto al punto Q. tan a5

De manera similar, en el triángulo rectángulo PSQ la tangente del ángulo a es:

diferencia de ordenadas 32 5 2 2 2 5 5 5 diferencia de abscisaas 12 4 23 3 Si procedemos de manera semejante con las coordenadas de dos puntos distintos de una recta no vertical, obtendremos siempre un mismo número que denominamos pendiente.

SQ y 4 2 5 5 5 PS x 6 3 Y para el triángulo rectángulo PTR:

Si tomamos dos puntos diferentes de una recta no vertical, veremos que la diferencia entre sus ordenadas determina la elevación (desnivel) de un punto con respecto al otro, mientras que la diferencia entre sus abscisas corresponde al corrimiento de un punto con respecto al otro.

TR y 6 2 5 5 5 PT x 9 3 Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0° y como tan 0° 5 0, se dice que su pendiente es cero.

A la razón de cambio entre el desnivel y el corrimiento se le llama pendiente. Desnivel (cambio vertical ) 5 Pendiente Corrimiento (cambio horizontal ) La pendiente de una recta se simboliza con la letra m y se le define así: Dados los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y2 ) y2 2 y1 x 2 2 x1 x1 ≠ x 2

m5

Es decir, para los puntos P1 y P2, m es el cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas correspondientes o tomadas en el mismo orden.

tana5

tana5

Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x; por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como tan 90° no está definida, entonces la pendiente de una recta perpendicular al eje x no existe. Ejemplo Para cada par de puntos, traza la recta que determinan y calcula su pendiente. a ) P (21, 3), Q (2 , 2 2) b ) P (23, 21), Q (2 , 3) c ) P (24 , 2), Q (2 , 2) d ) P (3, 5), Q (3, 23) Solución: y

La pendiente expresa una inclinación; ésta es, precisamente, la tangente de un ángulo formado por la recta con el eje x, o sea: m5 tan a

P (–1, 3)

El ángulo a se mide a partir del eje x en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y su valor puede variar entre 0° y 180°. Por trigonometría sabemos que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, por tanto: y tan a5 5 m x Observa en la figura 3.6 que los segmentos PT y QV son paralelos al eje x; en consecuencia, el ángulo que forman éstos con la recta es el mismo que forma el eje x con la recta.

0

x′

x Q (2, –2) y′

Figura 3.7

m=

2 2 23

2 2( 21)

5

25 3

En el triángulo rectángulo QVR, la tangente del ángulo a es:

71

3

BLOQUE


y

m5

Q (2, 3)


0

x′

23 2 5 28 5 ( no existe ) 3 23 0

x

¿Cómo se llama la razón de cambio entre el desnivel y el corrimiento?

P (–3, –1)

y′ Figura 3.8

m=

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal?

32( 21)

2 2( 23)

5

4 5

Para el eje y o cualquier paralela a él, ¿qué ocurre con su pendiente?

y

P (–4, 2)

Q (2, 2)

Ejemplos 0

x′

x

Consideremos los siguientes problemas. 1. El costo de un aparato electrodoméstico es de 200 unidades de dinero si se compra al contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de 10 unidades de dinero.

y′

Figura 3.9

m5

222

0 5 50 2 2( 2 4 ) 6 y P (3, 5)

x′

0

x Q (3, –3) y′

Figura 3.10

72

a ) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses? b ) Tabula y construye una gráfica. c ) Encuentra la expresión algebraica que determina la función. d ) Determina el dominio y la imagen.


Solución:

En esta función, la ordenada al origen es 200 y su pendiente es 10.

a ) Si se compra de contado se deben pagar 200 unidades de dinero. Si se compra en abonos se debe pagar:

{ } B 5{ y ∈ 200 # y # 260}

En un mes 200 110 (1)5 210

B 5C Como puedes observar en la gráfica, la representación geométrica de la función lineal es una línea recta. Sin embargo, es conveniente aclarar que no todas las líneas rectas representan funciones lineales; de hecho, las que son paralelas al eje de las y ni siquiera representan funciones.

En dos meses 200 110 (2)5 220 En tres meses 200 110 (3)5 230 En cuatro meses 200 110 ( 4 )5 240

2. El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de 40 litros. Si su rendimiento es de 15 km por litro, la función que describe la cantidad de gasolina que queda en el tanque después

En cinco meses 200 110 (5)5 250

1

de recorrer una distancia x f ( x )5 40 2 x. Si el tanque está 15 lleno determina:

En seis meses 200 110 (6)5 260

f ( x )5 y 0 200

b) x

1 2 3 4 5

210 220 230 240 250

6

260

d) A 5 x ∈ 0 # x # 6

a) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando el automóvil ha recorrido 0, 15, 30, 60, 90, 150, 300 y 600 km? b) Construye la gráfica. c) Si la función es creciente o decreciente. d ) El dominio, contradominio e imagen de la función. e) El cero de la función. Solución:

1 ( 0 )5 40 20 5 40 15 1 f (15 )5 40 2 (15 )5 40 21539 15 1 f ( 30 )5 40 2 ( 30 )5 40 2 2 538 15 1 f ( 60 )5 40 2 ( 60 )5 40 2 4 536 15 1 f ( 90 )5 40 2 ( 90 )5 40 26 534 15 1 f (150 )5 40 2 (150 )5 40 210 530 15 1 f ( 300 )5 40 2 ( 300 )5 40 2 20 5 20 15 1 f ( 600 )5 40 2 ( 600 )5 40 2 40 5 0 15

a) f ( 0 )5 40 2

unidades de dinero 300

200

100

1

2

3

Figura 3.11

4

5

6 meses

c) f : → B , f ( x )5 200 110 x

73

3

BLOQUE


Solución: a)

ff((00))5 5200 2001 110 10((00))5 5200 2001 1005 5200 200 ff((11))5 11005 5210 5200 2001 110 10((11))5 5200 20011 11 210

ff((22))5 5200 110 5200 120 5220 2001 10((22))5 2001 205 220 ff((33))5 5200 110 2001 10((33))5 5200 2001 130 305 5230 230

ff((44))5 5200 2001 110 10((44))5 5200 2001 140 405 5240 240 ff((55))5 5200 2001 110 10((55))5 5200 2001 150 505 5250 250

ff((66))5 5260 5200 2001 110 10((66))5 5200 2001 166005 260 ff((77))5 1 5 1 5 200 10 7 200 70 270 ( ) 5 200 110 ( 7 )5 200 1 70 5 270

b)

ff((88))5 5200 110 2001 10((88))5 5200 2001 180 805 5280 280 ff((99))5 5200 2001 110 10 ((99))5 5200 2001 190 905 5290 290

litros 40

ff((10 10))5 5200 2001 110 10((10 10))5 5200 2001 1100 1005 5300 300

30 20 10 30 60 90 150

300

600 kilómetros

Figura 3.12

c ) decreciente

{

d ) A 5 x ∈ 0 # x # 600

}

B 5{ y ∈ 0 # y # 40} C 5{ y ∈ 0 # y # 40} 1 f ( 600 )5 40 2 ( 600 )5 40 2 40 5 0 lo cual significa que 15 cuando el automóvil ha recorrido 600 km ya no queda combustible en el tanque de gasolina. 3. En una empresa, un obrero gana cinco unidades de dinero por cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana; el tiempo extra se le paga doble con un máximo permisible de 10 horas a la semana. La expresión algebraica que describe el sueldo semanal f ( x )5 200 110 x a ) Determina el sueldo semanal cuando el obrero trabaja 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 horas extra. b ) Construye la gráfica. c ) Decide si la función es creciente o decreciente. d ) Determina el dominio, el contradominio y la imagen de la función.

74

b) unidades de dinero

300 200 100

1

2

3

4

5

Figura 3.13

c ) Creciente

{ } B 5{ y ∈ 200 # y # 300}

d ) A 5 x ∈ 0 # x #10

B 5C

6

7

8

9

10 horas


Aplica lo que sabes En un sistema coordenado y a partir del origen, representa la escala Fahrenheit en el eje horizontal y la escala Celsius (centígrada) en el eje vertical. Tomando en cuenta que en la escala Fahrenheit el agua se congela a los 32° y hierve a los 212°, mientras que en la escala centígrada el agua se congela a los 0° y hierve a los 100°, encontrar la ecuación lineal que exprese la temperatura centígrada en función de la temperatura Fahrenheit. Sugerencia: Localiza los puntos (32, 0) y (212, 100) y determina su pendiente; utiliza la fórmula de la recta en la forma punto-pendiente.

Al trazar la gráfica de una función, los valores de la variable independiente (x) quedan localizados en el eje horizontal o eje de las abscisas y los valores de la variable dependiente o función y 5 f ( x ) se ubican en el eje vertical o eje de las ordenadas. Ahora bien, si en la expresión algebraica de la función lineal f ( x )5 2 x 23 se sustituye f ( x ) por y, se obtiene la ecuación y 5 2 x 23 cuya representación en el plano coordenado se puede hacer identificando la ecuación con la forma y 5 mx 1b de la recta, donde 2 22 m 5 2 5 5 , b 523 1 21

Relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado con dos variables Consideremos la función f ( x )5 2 x 23. Si determinamos algunos

y=

2x

–3

y

pares ordenados de la función y los localizamos en el plano coordenado entonces podremos trazar la línea recta que representa a la función.

0

Elijamos 2, 0 y 22 como valores del dominio de la función y encontremos sus respectivas imágenes.

(1, –1)

x

(0, –3)

f (2)5 2 (2)235 4 2351 f (0)5 2 (0)235 0 23523

(–1, –5)

f (2 2)5 2 (2 2)235 2 4 23 = 2 7 De esta manera se han determinado los puntos de coordenadas (2, 1), (0, 23) y (22, 27). Localicemos estos puntos en el plano coordenado y tracemos la recta que los contiene. f (x)

Figura 3.15

(–2, –7)

2x – )=

(0, –3)

f (x

0

3

(2, 1) x

Por tanto, se localiza el punto de coordenadas (0 , 23) y a partir de él se toman dos unidades hacia arriba y una a la derecha, o bien, dos unidades hacia abajo y una a la izquierda con lo cual se determinan tres puntos colineales que están contenidos en la recta que representa la ecuación. Como puedes observar, la gráfica de la función lineal y de su correspondiente ecuación lineal, es la misma. A esto se le llama identificar la ecuación con la función, haciendo y 5 f ( x ), de tal manera que si en la función lineal f ( x )5 mx 1b, se sustituye y 5 f ( x ) la expresión funcional se transforma en la ecuación y 5 mx 1b, correspondiente a una ecuación lineal con dos incógnitas.

Si f ( x )5 k (constante), sea k 5 mx 1b , que representa una ecuación lineal con una incógnita. Figura 3.14

75

3

BLOQUE


Si f ( x )50 entonces 05 mx 1b donde x es la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje x, es decir, la raíz o solución de la ecuación que corresponde con el cero de la función. En dicho punto de intersección la ordenada vale cero. Actividad de aprendizaje ¿Cómo son entre sí las gráficas de una función lineal y de su correspondiente ecuación?

precio y cómo se pueden aprovechar los recursos económicos así obtenidos en beneficio de tu escuela. Expresa algebraicamente una función lineal que relacione las toneladas diarias de basura orgánica e inorgánica que se generan en tu comunidad. Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

Modelos lineales ¿A qué se llama identificar la ecuación con la función?

¿A qué se le llama cero de la función?

Para efectos del pago de impuestos, en ciertas empresas su maquinaria se deprecia contablemente cada año, hasta que llega el momento en que su valor es de cero, sin importar que la maquinaria continúe en buenas condiciones y produciendo. Lo mismo ocurre con sus equipos de oficina o vehículos. Esta depreciación se puede expresar linealmente así: f ( x ) 5 costo de adquisición 2 depreciación por año o bien

Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. En el tratamiento de la basura, es importante su separación en orgánica e inorgánica, desde su fuente de origen (casas, escuelas, industria, comercio, oficinas, parques, jardines, etcétera). La basura orgánica (restos de alimentos, de jardín, hueso, madera o fibra vegetal), se puede utilizar para elaborar composta como abono orgánico. La basura inorgánica puede contener materiales reciclables como: papel, cartón, vidrio, metales o trapo.

f ( x )5b 2 mx 52 mx 1b

donde b representa el costo original del bien adquirido, m indica el monto de la depreciación por año y x es el número de años transcurridos, de tal manera que la depreciación del bien es una función del tiempo.

En economía, el costo total C ( x ) de producción de x número de artículos que tiene un costo de producción de m unidades de dinero por artículo y cuyo costo fijo es de b unidades de dinero está dado por: C ( x )5 mx 1b

de tal manera que el costo total de producción es una función del número de artículos producidos. Así, si en una empresa se fabrican electrodomésticos, entonces el costo total C ( x ) de producir x número de artículos a un costo de 12 unidades de dinero por artículo y con un costo fijo de 5 000 unidades de dinero está dado por: C ( x )512 x 1 5 000 Ejemplos

Investiga cómo se puede clasificar la basura inorgánica. Investiga qué productos de desecho son reciclables. Investiga el precio que se puede obtener por ese material. Investiga con qué tipo de material reciclable se puede obtener el mejor

76

Dos compañías, A y B, rentan automóviles. Para un mismo tipo de automóvil, A cobra una tarifa diaria de 10 unidades de dinero más 90 centavos por kilómetro; B cobra una tarifa diaria de 60 unidades de dinero más 70 centavos por kilómetro. Para un recorrido de 800 km, ¿qué opción es más económica?


Solución: Sea k el número de kilómetros que se recorren. El costo es una función del número de kilómetros recorridos. El costo en A y B se puede obtener a partir de sus tarifas: Costo en A 5C (k )510 1 0.90k Costo en B 5C (k )560 1 0.70k Para un recorrido de 800 kilómetros los costos en A y B son, respectivamente,

C (k )510 1 0.90 (800) 510 1 720 5 730

C (k )560 1 0.70 (800) 560 1 560 5620

Por tanto, la opción más económica es B. Supón que la distancia por recorrer no está definida, entonces conviene determinar el número de kilómetros para el que los costos son iguales, es decir:

10 1 0.90k 560 1 0.70k de donde o sea por tanto

10 1 0.90k 560 1 0.70k

0.90k 2 0.70k 560 210 0.20k 550

de donde o sea

50 0.20 k 5250

k5

0.90k 2 0.70k 560 210 0.20k 550 50 0.20 k 5250

k5

por tanto

Los costos de A y B se representan en la siguiente figura: A

Costo 390 360 330 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30

B

(250, 235)

0

50

100

150

200

250

300

350

400 kilómetros

Figura 3.16

Para un recorrido de 250 kilómetros, tanto en A como en B el costo es de 235 unidades de dinero. Para un recorrido menor la opción A es más económica y para un recorrido mayor la opción B es más económica. En ambas funciones de costo la pendiente indica el costo por kilómetro recorrido mientras que la ordenada en el origen indica la cuota fija diaria.

77

3

BLOQUE


Actividad de aprendizaje ¿Qué tipo de problemas se pueden modelar utilizando la función lineal?

Gráfica y parámetros La expresión algebraica de la función cuadrática es de la f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, donde a, b y c son constantes a ≠ 0. El parámetro a es el coeficiente cuadrático y su valor, positivo o negativo, determina si la gráfica abre hacia arriba o hacia abajo; si a . 1 la gráfica se contrae (sus ramas se acercan al eje y) y si a ∈ 0 ,1 la gráfica se dilata (sus ramas se alejan del eje y).

Dominio y rango Para tu reflexión

Jacobo Clerk Maxwell A los 12 años comenzó a construir diversas formas geométricas con cartón. Todavía no conocía el nombre de algunas de ellas. Cuando Jacobo Clerk Maxwell conoció la primera dinamo o máquina electromagnética de Faraday quiso saber todo sobre ella y sobre la electricidad. Posteriormente expresó en términos matemáticos una parte importante de la obra de Faraday. La mayor aportación de Maxwell fue un tratado sobre la electricidad y el magnetismo. En su gran teoría sobre electromagnetismo, clasificaba la luz como un fenómeno ondulatorio electromagnético. Predijo el descubrimiento de las ondas de radio. Es considerado el físico teórico (matemático) más relevante del siglo xix en Europa.

La función f (x) 5 x2 tiene como dominio a los números reales y como rango a los números reales no negativos, esto es A 5 , C 5 1 ∪ {0}.

Representación geométrica de la gráfica de la función cuadrática Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 x2

(x, f (x))

22

f (2 2)5(2 2)2 5 4

(22, 4)

21

f (21)5(21)2 51

(21, 1)

0

f (0)5( 0 )2 5 0

(0, 0)

1

f (1)5(1)2 51

(1, 1)

2

f (2)5( 2 )2 5 4

(2, 4)

Al representar en el plano cartesiano los puntos obtenidos y unirlos se forma una parábola (figura 3.17).

f (x)

La función cuadrática como caso particular de la función polinomial Forma estándar de una función cuadrática Gráficas de funciones cuadráticas Sea f : → con f ( x )5 x 2. Gráfica de la función cuadrática Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, en los que la primera componente es un número real y la segunda componente es el cuadrado de la primera. f 5{( x , f ( x )) f ( x )5 x 2 , x ∈ }

78

x

Figura 3.17


Imagen del dominio de la función cuadrática Bajo la función cuadrática, a cada número real x del dominio se asocia un número real no negativo, por lo que la imagen de la función es C 5 1 ∪ { 0}. Propiedades de la función cuadrática a) Inyectividad Existen números reales diferentes, por ejemplo dos números simétricos, tales que su imagen bajo la función es la misma. Al trazar paralelas al eje x, cada una de ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la gráfica de la función, por ello, la función cuadrática no es inyectiva. b) Suprayectividad La función cuadrática tiene dominio y contradominio real, pero su imagen es el conjunto de los números reales no negativos y ≠ 1 ∪ { 0} entonces la función cuadrática no es suprayectiva. c) Biyectividad Como la función cuadrática no es inyectiva ni suprayectiva, tampoco es biyectiva.

La representación geométrica de una parte de la grafica de la función se ilustra a continuación: f (x)

x

Figura 3.18

Ejemplo

Imagen del dominio de la función El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando a la función cuadrática:

Sea f : → con f ( x )5 x 2 2 x 2 2

x 52

Gráfica de la función Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función: f 5{( x , f ( x )) f ( x )5 x 2 2 x 2 2 , x ∈ } Representación geométrica de la gráfica de la función Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 x2 2 x 2 2

(x, f (x))

22

f (2 2)5(2 2)2 2(2 2)2 2 5 4

(22, 4)

21

f (21) = (21)2 2(21)2 2 5 0

(21, 0)

0

f ( 0 )5( 0 )2 2( 0 )2 2 52 2

(0, 22)

1

f (1)5(1)2 2(1)2 2 52 2

(1, 22)

2

f ( 2 )5( 2 ) 2( 2 )2 2 5 0

(2, 0)

3

f ( 3)5( 3)2 2( 3)2 2 5 4

(3, 4)

2

b 2a

El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas  1 9  ,2  , esto significa que a cada número real x del dominio se 2 4 9 9 le asocia un número real y mayor o igual que 2  y$2  por 4 4 tanto: 9  C 5  y ∈ y $2  4 

Propiedades de la función a) Inyectividad La función no es inyectiva porque hay dos números reales diferentes, por ejemplo 22 y 3, de manera que su imagen bajo la función es la misma. b) Suprayectividad La función no es suprayectiva porque a cada número real x del do9 minio corresponde un número real y $ 2 4

79

3

BLOQUE


c) Biyectividad Como la función no es inyectiva ni suprayectiva, tampoco es biyectiva. Actividad de aprendizaje ¿De qué depende que la gráfica de la función cuadrática abra hacia arriba o hacia abajo? a) Determina la expresión algebraica de la función que describe el problema. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de su término cuadrático es un número entero mayor que 1 y va aumentando?

b) Encuentra el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. c) Representa en el plano coordenado la gráfica de la función en el 0 , x ,150 . Solución:

¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de su término cuadrático es un número fraccionario del intervalo 70, 18, conforme disminuye su valor?

a) Para cercar los tres lados del terreno se tienen 300 m de cerca. Si el lado paralelo al río se designa con y y a los otros dos lados con x, entonces:

2 x 1 y 5300…(1) y 5300 2 2 x…( 2 )

Por tanto:

x

¿Qué tipos de problemas se pueden modelar con una función cuadrática?

y

terreno

río

x

Problemas sencillos de máximos y mínimos Modelos cuadráticos La función cuadrática se utiliza como modelo en problemas de optimización, es decir, cuando la solución del problema implica la determinación de un valor máximo o de un valor mínimo. Ejemplos 1. Se desea cercar un terreno de forma rectangular de manera que su área sea la máxima posible. Se dispone de 300 metros lineales de cerca y un río corre a lo largo de uno de los lados, que es aproximadamente recto, en el que no se pondrá cerca.

80

Figura 3.19

El área A del terreno se obtiene por el producto de sus dos dimensiones, es decir:

A 5 xy…( 3) Sustituyendo (2) en (3): A 5 x(300 2 2 x ) O sea:

A 5300 x 2 2 x 2

donde el área queda expresada en función de uno de los lados, por lo que:

A5 f (x) En consecuencia:

f ( x )5300 x 2 2 x 2


corresponde a la expresión algebraica de la función que describe el problema.

Esto significa que el terreno rectangular de área máxima tiene 75 m de ancho y 150 m de largo.

b) En este inciso se pide encontrar el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible. Esto significa que debemos determinar dos conjuntos y obtener una relación entre ellos.

c) En el inciso b) se obtuvo el par ordenado (75 11 500) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Una parte de ésta se puede bosquejar en el 0 # x # 150.

El primer conjunto se llama dominio de la función (A) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles longitudes del lado designado con x. Toda longitud es mayor que cero y como sólo se dispone de 300 m de cerca, la longitud del lado debe ser menor que

300 5150 de manera que los valores de x 2

se pueden tomar del conjunto.

A 5{ x ∈ 0 , x ,150} El segundo conjunto se llama contradominio de la función (B ) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles áreas del terreno, dichos valores pertenecen al 1 conjunto de los números reales positivos, , o sea:

x

f (x) 5 300x 2 2x2

f (x)

0

f (0) 5 300(0) 2 2(0)²

0

25

f (25) 5 300(25) 2 2(25)²

6 250

50

f (50) 5 300(50) 2 2(50)²

10 000

75

f (75) 5 300(75) 2 2(75)²

11 250

100

f (100) 5 300(100) 2 2(100)²

10 000

125

f (125) 5 300(125) 2 2(125)²

6 250

150

f (150) 5 300(150) 2 2(150)²

0

Observa que los ceros de la función son 0 y 150. Como la longitud de la cerca es de 300 m, los ceros de la función se pueden interpretar así: cuando el ancho es cero, el largo es de Cuando se estudió la gráfica de la ecuación cuadrática, 2 300 m y el área es 0(300) 5 0; cuando el ancho es de 150 , se dijo que si la curva abre hacia a,0 ax 1bx 1 c 5 0 se tiene que dos veces el ancho más una vez el largo es igual abajo y el vértice de la misma, o punto máximo, se obtiene a 300, es decir: 2b 2x 1 y 5 300 . Aplicando esto en la expresión algebraica de la funx5 2a 2(150) 1 y 5 300 ción que describe el problema: 300 1 y 5 300 f ( x )5300 x 2 2 x 2 Por tanto: y 5 0 2b 2300 300 5 75 el área es 150(0) 5 0 52 5 Entonces se observa que a 5 22(a , 0), b 5 300, por lo que x 5

B5 +

x5

2a

2b 2300 300 5 75 . 52 5 2a 2(2 2) 2 4

2(2 2)

24

12 000

Por tanto, el valor máximo de la función se obtiene x575 esto es:

(75 11 250)

10 000

f ( x )5300 x 2 2 x 2

8 000 2

f (75)5300 (75)2 2(75)

6 000

5 22 500 2 2 (5 625)

4 000

5 22 500 211 250 511250

2 000 2

En consecuencia, el área máxima del terreno es 11250 m .

0

Sustituyendo x 5 75 en (2):

75

150

y 5 300 2 2x 5 300 22(75) 5 300 2150 5 150

Figura 3.20

En la gráfica de la función puedes observar que el dominio (A) es el conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, que son

81

3 BLOQUE


válidos para el problema porque el área que corresponde es un número real positivo, entonces:

t 52

A 5 {x H  , x , 150}

P or tanto, el proyectil alcanza su altura máxima a los 6 segundos.

El contradominio (B ) de la función es el conjunto en el que se puede encontrar el área que se busca, por lo que: B5

1

b) La altura del proyectil es una función del tiempo, es decir: h 5 f (t )

El conjunto imagen (C ) es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición, es decir:

Por lo que: (t ) 5 2 4t ² 1 48t 2 80

C 5{ y ∈ 0 , y ,11250} En este problema se usa A para designar el área del terreno y el dominio de la función. También se ha designado el largo del terreno y los valores de la función con y. En ambos casos, la diferencia se obtiene del contexto pues corresponden a conceptos que tienen significados definidos. 2. Desde una plataforma que está a 80 m bajo el suelo se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 48 metros por segundo. La altura h, en metros, del proyectil a los t segundos de tiempo está dada por: h 5 2 4 t ² 1 48t 2 80

2 48 48 5 56 2(2 4 ) 28

La altura máxima se alcanza a los 6 segundos, entonces: f (6) 5 2 4(6)² 1 48(6) 2 80

5 2 4(36) 1 288 2 80

5 2 144 1 288 2 80

5 64 Esto significa que la altura máxima del proyectil es de 64 metros.

a ) Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su máxima altura.

c) De los incisos a) y b) se obtiene el par ordenado (6, 64) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Para bosquejar una parte de ésta vamos a encontrar los ceros de la función. Como el proyectil se lanza desde una plataforma subterránea, habrá dos momentos en que se encuentre al nivel del suelo, cuando h 5 f (t ) 5 0, por tanto:

b ) Encuentra la máxima altura que alcanza el proyectil. c ) Traza la gráfica de la función.

0 5 2 4t ² 1 48t 2 80

d ) Interpreta el significado físico de las intersecciones de la curva con los ejes coordenados.

O sea:

24t ² 1 48t 2 80 5 0

Dividiendo la ecuación entre 24:

t ²2 12t 1 20 5 0 Factorizando: (t 2 2)(t 2 10) 5 0 De donde:

t1 5 2, t2 5 10

Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 , t , 10:

x

f (x ) 5 2 4t 2 1 48t 2 80

f (x )

0

f (0) 5 2 4(0)² 1 48 (0) 2 80

2 80

2

f (2) 5 2 4(2)² 1 48 (2) 2 80

0

4

f (4) 5 2 4 (4)² 1 48 (4) 2 80

48

Solución:

6

f (6) 5 2 4 (6)² 1 48 (6) 2 80

64

a) En la expresión algebraica de la función se observa que a , 0, por lo que se trata de una parábola que abre hacia abajo y tiene

8

f (8) 5 2 4 (8)² 1 48 (8) 2 80

48

10

f (10) 5 2 4 (10)² 1 48 (10) 2 80

0

un punto máximo t 52

82

b , es decir: 2a


c) Determina el dominio e imagen de la función. y

B

(6, 64)

60

P

A

40 20 0

(2, 0)

(10, 0) x

Q


Solución: a) Sea t el tiempo buscado. La distancia recorrida por cada móvil después de t horas es: 40 t km para el que parte de A y llega a la posición P; –80

(0, –80)

30 t km para el que parte de B y llega a la posición Q; Aplicando el teorema de Pitágoras PQ 2 5 PB2 1 BQ 2 donde

PB 5 (200 2 40t ) y BQ 5 30t

Figura 3.21

En la gráfica puedes observar que el dominio de la función es: A 5 {x H 0 # x # 10} El contradominio de la función es: B 5 {y H y $ 2 80} La imagen de la función es: C 5 {yH 2 80 # y # 64} d) El punto de coordenadas (0, 280) indica que cuando el tiempo t 5 0, no se ha disparado el proyectil que se encuentra a 80 m bajo el suelo. El punto de coordenadas (2, 0) significa que 2 segundos después del disparo el proyectil pasa a la altura del suelo. El punto (6, 64) indica que a los 6 segundos el proyectil alcanza una altura máxima de 64 metros. El punto (10, 0) significa que después del disparo el proyectil tarda 10 segundos en recorrer su trayectoria que termina al llegar al suelo. 3. La distancia entre dos lugares A y B es de 200 kilómetros. Dos móviles parten al mismo tiempo de A y B en las direcciones que se indican en la figura 3.16. El que parte de A lleva una velocidad de 40 km/h y el que parte de B lleva una velocidad de 30 km/h. a) ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia entre los dos móviles es mínima?

Por lo que: PQ 5

PB2 1 BQ 2

2 2 PQ (200 2 40 ) 1(30 )

Efectuando operaciones y reduciendo términos: PQ

2

40 000 216 000 1 25 00

Esta raíz cuadrada tiene un mínimo en el mismo valor de t para el cual la expresión subradical: D 5 2 500t 2 16 000t 1 40 000 es mínima, esto es en:

t5

2b 2(216 000) 5 53.2 horas 2a 2(2 500)

Para este valor de t :

PQ 5  200 2 40(3.2) 1[ 30(3.2)] 2

2

PQ 5 (200 2128)2 1(96)2 PQ 5 72 2 1 96 2 PQ 5 5184 1 9 216

Encuentra la distancia mínima entre los dos móviles.

PQ 5 14 400

b) Traza la gráfica de f (t ) para 1 # t # 5.

PQ 5120 83

3

BLOQUE


Esto significa que 3.2 horas (3 horas 12 min) después de su salida los móviles se encuentran a una distancia mínima de 120 kilómetros uno del otro. b) La distancia PQ es una función del tiempo t, es decir:

Representación gráfica de la función cuadrática Anteriormente se resolvió una ecuación cuadrática en forma gráfica. El procedimiento consiste en sustituir el cero por y en la ecuación:

PQ 5 f (t ) Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 # t # 5. t

f (x)

1

162.79

2

134.16

3

120.42

4

126.49

5

150.00

Distancia

Por tanto:

ax 2 1bx 1 c 5 f ( x )

O bien:

f ( x )5 ax 2 1bx 1 c

b y a partir de éste se 2a eligen valores mayores y menores que él para construir una tabla de valores de y 5 f (x). Así se obtienen pares ordenados que pertenecen a la función los cuales, una vez localizados en el plano coordenado, se unen en forma consecutiva mediante un trazo continuo, con lo que se obtiene un subconjunto de puntos de la curva llamada parábola. Después se determina el valor de x 5 2

200

También se estableció antes que si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) y si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). En el primer caso se dijo que la parábola tiene un punto mínimo (el punto más bajo), mientras que en el segundo caso la parábola tiene un punto máximo (el punto más alto). El punto mínimo (o máximo) recibe el nombre de vértice de la parábola y sus coordenadas son:

120 100

1

2

3

4

5

 2b 4 ac 2b 2   2a , 4 a 

x Tiempo

Ejemplos

Figura 3.23

c) El móvil que parte de A tarda 5 horas en recorrer los 200 kilómetros que lo separan de B, en ese mismo tiempo el móvil que parte de B habrá recorrido 150 kilómetros y como lo que se busca es la distancia mínima entre los dos móviles, entonces el tiempo debe ser menor que 5 horas. Antes de iniciar el movimiento la distancia entre los móviles es de 200 kilómetros. En consecuencia t debe estar en el intervalo 0 , t , 5, por lo que el dominio de la función es: A 5 {x H  ) 0 , x , 5} Tomando en cuenta los valores de t dentro de su dominio, la imagen de la función es: C 5 { y H  ) 120 # y # 200}

84

Con lo cual se obtiene: ax 2 1bx 1 c 5 y que corresponde a una función en la que y es la variable dependiente o función, y x es la variable independiente, es decir: y 5 f (x)

y

0

ax 2 1bx 1 c 5 0

1. Dada la función f : → f (x ) 5 x 2 a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Indica si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función, encuentra el intervalo en el que la función crece y el intervalo en el que decrece. Solución: a) El eje de simetría de la parábola es x 5

2b 2 0 5 50 . 2a 2(1)

es decir: x 5 0, que es la ecuación del eje y.


Como el dominio y contradominio de la función son los números reales, la figura 3.24 es sólo un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola.

 2b 4 ac 2b 2  5(0 , 0). 4 a 

El vértice de la parábola es:  ,  2a

O sea, que el vértice de la parábola es el origen del sistema coordenado. b) En la expresión algebraica de la función observa que a > 0, por tanto la curva es cóncava hacia arriba. c) Se construye una tabla para y 5 f (x ): x

f (x) 5 x

f (x)

Puntos

3

f (3) 5 3²

9

(3, 9)

2

f (2) 5 2²

4

(2, 4)

1

f (1) 5 1²

1

Puedes observar en la figura 3.24 que el eje y es el eje de simetría de la parábola y su vértice, o punto mínimo, es el origen. La curva decrece en el intervalo , 2 ∞, 0] y crece en el intervalo [0, ∞ .. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. 2. Sea la f : → , f (x ) 5 2x 2 a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola. b) Di si es cóncava hacia arriba o hacia abajo. c) Esboza la gráfica de la función y determina los intervalos en que crece o decrece. Solución: a) El eje de simetría de la parábola es x 5

(1, 1)

2b 20 0 5 5 0. 5 2a 2(21) 2

O sea: x 5 0, que es la ecuación del eje y.

2b 50 2a

f (0) 5 0²

0

(0, 0)

21

f (2 1) 5 (2 1)²

1

(2 1, 1)

22

f (2 2) 5 (2 2)²

4

(2 2, 4)

23

f (2 3) 5 (2 3)²

9

(2 3, 9)

 2b 4 ac 2b 2  El vértice de la parábola es  , 5(0 , 0) . 4 a   2a Que es el origen del sistema coordenado. b) La parábola es cóncava hacia abajo porque en la expresión algebraica de la función, a , 0. c) Se construye una tabla para y 5 f (x ).

x=0

y

0

x

x

f (x) 52 x 2

f (x)

Puntos

3

f (3) 5 2 3 ²

29

(3, 2 9)

2

f (2) 5 2 2 ²

24

(2, 2 4)

1

f (1) 5 2 1 ²

21

(1, 2 1)

2b 50 2a

f (0) 5 0

0

0 (0, 0)

21

f (2 1) 5 2 (2 1) ²

21

(2 1, 2 1)

22

f (2 2) 5 2 (2 2) ²

24

(2 2, 2 4)

23

f (2 3) 5 2 (2 3) ²

29

(2 3, 2 9)

Figura 3.24

85

3

BLOQUE


y

y

0

x=0

x=0

x

0

x

Figura 3.26

Observa que la parábola de la figura 3.26 es menos abierta que las anteriores.

Figura 3.25

En la figura 3.25 se representa un subconjunto del conjunto de puntos de la parábola. El eje de simetría de la curva es el eje y, y su vértice, o punto máximo, coincide con el origen. La parábola crece en el intervalo , 2 ∞, 0] y decrece en el intervalo [0, ∞ ..

4. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )5 Solución: El eje de simetría de la parábola x 5 Entonces su ecuación es x 5 0.

El cero de la función se obtiene cuando x 5 0. Solución:

x

2b 2 0 0 5 5 50 2a 2(2) 4

3

O sea x 5 0. b ) Se construye una tabla de valores para y 5 f (x )

86

x

f (x) 5 2x

3

2

2b 20 5 50 2a  21  2   3 

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x )

2 3. Esboza la gráfica de la f : → , f ( x )52 x .

a ) El eje de simetría de la parábola es: x 5

21 2 x. 3

2

21 2 x 3 21 f (3)5 (3)2 3 21 2 f ( 2 )5 ( 2 ) 3

f ( x)5

f (x)

Puntos

23

(3, 23)

2

4 3

4   2 ,2  3

2

1 3

1   1,2  3

0

(0, 0)

f (x)

Puntos

f (3)5 2(3)2

18

(3, 18)

2

f (2)5 2(2)2

8

(2, 8)

1

f (1)5 2(1)2

2

(1, 2)

2b 50 2a

f (0)5 2(0)2

0

(0, 0)

21

f (21)5

21 (21)2 3

2

1 3

1   21, 2  3

21

f (21)5 2(21)2

2

(2 1, 2)

22

f (2 2)5

2

22

f (2 2)5 2(2 2)2

8

(2 2, 8)

21 (2 2)2 3

4 3

4   2 2 , 2  3

23

2

18

(2 3, 18)

23

f (23)5

21 (23)2 3

23

f (23)5 2(23)

1

2

b 50 2a

f (1)5

21 2 (1) 3

f ( 0 )5

21 2 ( 0) 3

(3, 23)


x=0

y

0 x x = 5– 2

0

Figura 3.27

Como puedes observar, esta parábola (fig. 3.27) es más abierta que las anteriores y en las cuatro su vértice coincide con el origen. Estas parábolas son del tipo:

y 5 ax 2

Figura 3.28

donde el cero de la función se obtiene cuando x 5 0, es decir, el origen es el único que la parábola tiene en común con el eje x.

Los ceros de esta función se obtienen en x 5 0 y x 5 5, o sea que (0, 0) y (5, 0) son los únicos puntos que la parábola tiene en común con el eje x.

5. Esboza la gráfica de la f : → , f ( x )5 x 2 5 x . 2

Solución: El eje de simetría de la parábola es: x 5 Por lo que su ecuación es: x5

2b 2(2 5) 5 5 5 2a 2(1) 2

2 6. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )523x 1 9 x .

Solución: El eje de simetría de la parábola es:

5 2

x5

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x).

Entonces su ecuación es:

x

f (x) 5 x2 2 5x

f (x)

Puntos

5

f (5)5 5 2 2 5(5)

0

(5, 0)

4

f ( 4)5 4 2 2 5( 4)

24

3

f (3)532 2 5(3)

2b 5 5 2a 2 2

2

 5  5  5 f   5  2 5   2  2  2 f (2)5 2 2 2 5(2) 2

2b 29 3 5 5 2a 2(23) 2 x5

3 2

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). x

f (x) 5 2 3x2 1 9x

f (x)

Puntos

(4, 24)

4

f ( 4)523( 4)2 1 9( 4)

212

(4, 212)

26

(3, 26)

3

f (3)523(3)2 1 9(3)

0

(3, 0)

25 2 4

 5 2 25   ,  2 4 

2

f (2)523(2)2 1 9(2)

6

(2, 6)

26

(1, 26)

3 2

 3  3  3 f   523  1 9   2  2  2

27 4

 3 27   ,  2 4

1

f (1)523(1)2 1 9(1)

6

(1, 6)

0

f (0)523(0)2 1 9(0)

2

(0, 0)

21

f (21)523(21)2 1 9(21)

212

(21, 212)

1

f (1)51 2 5(1)

24

(1, 24)

0

f (0)5 0 2 2 5(0)

0

(0, 0)

2

87

3

BLOQUE


y

x

f (1)512 2 9

28

(1, 28)

2b 50 2a

f ( 0 )5 0 2 2 9

29

(0, 29)

21

f (21)5(21)2 2 9

28

(21, 8)

22

f (2 2)5(2 2)2 2 9

25

(22, 25)

23

f (23)5(23)2 2 9

0

(23, 0)

24

f (2 4)5(2 4)2 2 9

7

(24, 7)

x = 3– 2

0

1

x=0

y

Figura 3.29

Los puntos que la parábola (fig. 3.29) tiene en común con el eje x son (0, 0) y (3, 0), es decir, que los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y x 5 3.

x

0

2 En los ejemplos 5 y 6 las parábolas son del tipo y 5 ax 1bx .

Donde los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y

x5

2b a

2 7. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )5 x 2 9

Solución: El eje de simetría de la parábola es x 5 Por tanto su ecuación es x 5 0.

2b 2 0 5 50 2a 2(1)

En esta función los ceros se encuentran cuando x 5 3 y x 5 2 3.

Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ). f (x) 5 x2 2 9

f (x)

Puntos

4

f ( 4 )5 4 2 2 9

7

(4, 9)

3

f (3)532 2 9

0

(3, 0)

25

(2, 25)

2

88

2 8. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )52 2 x 1 4 .

x

2

f ( 2 )5 2 2 9

Figura 3.30

Solución: El eje de simetría de la parábola es x 5

2b 20 50 5 2a 2(2 2)

Es decir, que su ecuación es: x 5 0 Se construye una tabla de valores para y 5 f (x).


x5± 2

x

f (x) 5 2x2 1 4

f (x)

Puntos

3

f (3)52 2(3)2 1 4

214

(3, 214)

2

f (2)52 2(2)2 1 4

24

(2, 24)

1

f (1) 52 2(1)2 1 4

2

(1, 2)

2b 50 2a

f (0)52 2(0)2 1 4

4

(0, 4)

21

f (21)52 2(21)2 1 4

2

(21, 2)

22

f (2 2)52 2(2 2)2 1 4

24

(22, 24)

Cuando a . 0 y b ² 2 4ac , 0, el punto mínimo de la parábola está por encima del eje x, por tanto, los ceros de la función no son números reales sino complejos. De manera similar, cuando a , 0 y b ² 2 4ac , 0, el punto máximo de la parábola queda por debajo del eje x y, así, los ceros de la función no son números reales sino complejos.

23

f (23)52 2(23)2 1 4

214

(23, 214)

Cuando la función es el tipo: f (x ) 5 ax ² 1bx 1 c se pueden presentar los casos ya estudiados.

En consecuencia, los ceros de la función se obtienen cuando

x5 2 y x 52 x5 2 Observa en los ejemplos 7 y 8 que los ceros de la función son valores simétricos de x. 2 Estas funciones son del tipo: f ( x )5 ax 1 c .

y

Actividad de aprendizaje ¿Cómo son entre sí las gráficas de una función cuadrática y su correspondiente ecuación?

0 x=0

x

Figura 3.31

Los ceros de la función se encuentran cuando f (x ) 5 0, es decir:

0 52 2 x 2 1 4 O bien: De donde:

22x 2 1 4 50 2 2 x 2 52 4 24 x2 5 22 x 2 52

Relación entre la función y la ecuación cuadrática De manera semejante a la relación que existe entre la función y la ecuación lineal, se puede decir que la gráfica de la función cuadrática: f (x) 5 ax² 1 bx 1 c y de su correspondiente ecuación y 5 ax² 1 bx 1 c es la misma Si la ecuación x² 1 2x11 5 0 se multiplica por 21, se obtiene 2 x² 2 2x 2 1 5 0 y si se multiplica por 2 se obtiene 2x² 1 4x 1 2 5 0. 89

3

BLOQUE


Estas tres ecuaciones son equivalentes pues al resolverlas se obtienen las mismas raíces o soluciones. Si en estas ecuaciones se sustituye el 0 por y se transforma en: x² 1 2x 1 1 5 0

o bien

2 x² 2 2x 1 1 5 0

y 5 x² 1 2x 1 1 y 5 2 x² 2 2x 2 1 y 5 2x² 1 4x 1 2

2x² 1 4x 1 2 5 0

y como y 5 f (x) entonces: f (x) 5 x² 1 2x 1 1 f (x) 5 2 x ² 2 2x 2 1 f (x) 5 2x² 1 4x 1 2

Figura 3.32

Que corresponden a funciones diferentes. Sea x 5 5, entonces:

f (5) 5 5² 1 2(5) 1 1 5 36 f (5) 5 2 5² 2 2(5) 2 1 5 2 36 f (5) 5 2(5)² 1 4(5) 1 2 5 72

Como puedes observar, para un mismo valor de x se obtienen diferentes imágenes con cada función. Esto se puede hacer más evidente al trazar sus respectivas gráficas. En consecuencia, si una ecuación cuadrática se multiplica por una constante diferente de cero, se obtiene otra ecuación que es equivalente a la primera, pero sus correspondientes funciones son diferentes.

Un empaque en forma de tetraedro permite contener el máximo volumen con el mínimo de material.

90


Aplicación de las TICs 1. Utiliza el navegador de tu preferencia para buscar en qué consiste la función máximo entero. 2. Traza la gráfica de la función f (x) 5 9x0 utilizando la plataforma WolframAlpha Tip: puedes indicarle al sistema que necesitas la gráfica usando la siguiente instrucción “Plot[IntegerPart[x]]” esto es equivalente a pedir la gráfica de la función máximo entero; da clic en el signo de igual o bien presiona la tecla enter.


Analiza el resultado que te da la plataforma


Define el rango de graficación con la siguiente sintaxis: “Plot[IntegerPart[x],{x, 25, 5}]” esto quiere decir: “Grafica[ f (x),{x,min,max}]” 3. Traza la gráfica de la función f (x) 5 92x0. 4. Obtén la gráfica de f (x) 5 9x0 1 92x0. 5. Interpreta el resultado y discute con tus compañeros.

91

3 BLOQUE




1

2


Debo mejorar en…

Comparo el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y determino si corresponden a dicha clase de funciones. Identifico la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas respectivas. Determino si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas. Empleo los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocien con el modelo.


2. Bien

1. Regular



1

2


92

3

4

5


Instrumentos de evaluación Apellido paterno Apellido materno Nombre Grupo Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos T (2 2 , 6), U (1, 23).

a) ¿Cuál es el costo por aparato?

b) ¿Cuál es el costo fijo?

1

2. Determina si la función f ( x )52 x 1 , es creciente o decre4 ciente. Fundamenta tu respuesta.

c) ¿Cuál es el costo total de producir 5 000 aparatos?

3. El costo total C ( x ) para producir cierto tipo de aparato electrodoméstico está dado por:

C( x )5 45 x 118 000

2 4. Esboza la gráfica de la función f : → , f ( x )52 2 x 2 4 x .


Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas respectivas. Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas. Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocian con el modelo. Comentarios generales:

93

3

BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit de la sección Aplica lo que sabes, de la página 75. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema


94

11. Conoce y aplica correctamente los conceptos de las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Obtiene la ecuación lineal que expresa la temperatura Celsius en función de la temperatura Fahrenheit. 14. Representa en el plano cartesiano los puntos en que el agua se congela y hierve en cada temperatura, Celsius y Fahrenheit. 15. Representa gráficamente la temperatura Celsius en función de la temperatura Fahrenheit. 16. A partir de la fórmula de la recta en la forma punto-pendiente obtiene la ecuación lineal que expresa la temperatura Celsius en función de la temperatura Fahrenheit.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

No conoce ni aplica el concepto, notación, características o grado de una función polinomial en una variable.

Conoce las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

Conoce algunas características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

No conoce las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. No identifica casos particulares.

Identifica el modelo matemático de las funciones polinomiales de grado uno, incluyendo casos particulares.

Identifica el modelo matemático de las funciones polinomiales de grado uno.

Identifica el modelo matemático de algunos casos particulares de las funciones polinomiales de grado uno.

No identifica el modelo matemático de las funciones polinomiales de grado uno, ni casos particulares.

Reconoce la influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado con dos variables.

Reconoce la Influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica.

Reconoce la influencia de algunos de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica.

No reconoce la influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica. No establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado con dos variables.

Define las funciones polinomiales de grado dos y particularidades de los modelos cuadráticos. Resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos. Establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática.

Define las funciones polinomiales de grado dos y particularidades de los modelos cuadráticos. Resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos.

Define las funciones polinomiales de grado dos y particularidades de los modelos cuadráticos.

No define las funciones polinomiales de grado dos y particularidades de los modelos cuadráticos. No resuelve problemas sencillos de máximos y mínimos. No establece la relación entre la función y la ecuación cuadrática.

Conoce y aplica el concepto, notación, características y grado de una función polinomial en una variable.

Conoce el concepto, notación, características y grado de una función polinomial en una variable.

Características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Conoce las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Identifica casos particulares.

Funciones polinomiales de grado uno y particularidades de los modelos lineales

Define las funciones polinomiales de grado dos y particularidades de los modelos cuadráticos

Deficiente (1)

Conoce el concepto, notación y algunas características de una función polinomial en una variable.

Funciones polinomiales en una variable

Influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica

Regular (2)

95

Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro Tiempo asignado: 10 horas


4

4.1 Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro 4.2 Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro 4.3 Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados tres y cuatro 4.4 Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros 4.5 Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro


n

n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los conocimientos y habilidades previas para comprender el modelo matemático de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos matemáticos y herramientas tecnológicas. Propone soluciones a problemas a a partir de las propiedades geométricas de las funciones polinomiales.

n

n

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos, con la finalidad de resolver ejercicios con los métodos de las ecuaciones factorizables. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad, valores, ideas y prácticas sociales dentro y fuera de aula. Construye, interpreta y explica los modelos de las funciones polinomiales en función de los valores que toman sus parámetros, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y gráficos para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas.

w


n Formula y resuelve problemas matemáticos, hasta llegar a su

representación gráfica de las funciones polinomiales. n Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos y gráficos mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento en diferentes áreas (ciencias experimentales, sociales, económico-administrativo) n Interpreta tablas, gráficas y textos con símbolos matemáticos y científicos, con ayuda de los conocimientos y habilidades adquiridos y desarrollados.

1.

¿Qué propiedad tiene una función par?

2.

¿Qué propiedad tiene una función impar?

3.

¿Cómo se determinan los ceros de una función polinomial?

4.

Determina los puntos comunes de f ( x ) 5 (x 1 1) (x 2 3) (x 2 5) con el eje x.

Desempeños por alcanzar Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.

BLOQUE

4




¿Cómo se puede demostrar que x 4 1 2 x 3 2 7 x 2 28 x 212 tiene como factor a x12?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las opciones de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se obtienen las raíces de un polinomio a partir de sus factores? ¿Cómo se determinan los ceros de un polinomio factorizable?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo comapre y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


¿Cómo se expresa el factor como raíz del polinomio?


¿Cómo se comprueba que el valor dado es una raíz del polinomio?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar


Presenten los cálculos realizados para demostrar que el polinomio tiene como uno de sus factores al factor dado.

Rúbrica Para demostrar lo que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se calificará con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de

Situación didáctica Bosquejar la gráfica f ( x )5 x 3 1 2 x 2 2 5 x 26 .

98

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? 3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos de la actividad. Todo sumará un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.



Secuencia didáctica Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se obtienen las raíces de un polinomio a partir de sus factores? ¿Cómo se determinan los ceros de un polinomio factorizable?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo se expresa el factor como raíz del polinomio?


¿Cómo se comprueba que el valor dado es una raíz del polinomio?


¿Cómo se hace un bosquejo de la gráfica de un polinomio?


Rúbrica

En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar el bosquejo de la gráfica del polinomio.


Para trazar el bosquejo de la gráfica que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tendrán un valor de 5 puntos y se calificará con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos de la actividad. Todo ello sumará un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.

99

4 BLOQUE



Es un milagro que la curiosidad sobreviva a la educación reglada. Albert Einstein

Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones: 1. f ( x )5( x 21)2 ( x 2 2)( x 23) 2. f ( x )5( x 2 2)( x 13)( x 16) 3. f ( x )5 x( x 1 2)( x 23) 4. f ( x )5( x 11)( x 23)2 5. f ( x )5( x 1 2)2 ( x 23) 6. f ( x )5( x 23)2 ( x 13) 7. f ( x )5( x 13)( x 1 2)2 8. f ( x )5( x 2 2)2 ( x 1 2)2 9. f ( x )5 x( x 13)( x 2 4) 10. f ( x )5( x 21)2 ( x 1 2) Factoriza las siguientes ecuaciones que tienen raíces reales. 1. x 3 2 2 x 2 2 5 x 16 5 0 2. x 3 16 x 2 1 11 x 1 6 3. x 3 2 5 x 2 13x 1 9 5 0 4. x 3 1 2 x 2 211x 212 5 0 5. x 3 1 x 2 2 5 x 135 0 6. x 4 18 x 3 1 22 x 2 1 24 x 1 9 5 0 7. x 4 28 x 3 1 22 x 2 2 24 x 1 9 5 0 8. x 4 2 2 x 3 213x 2 114 x 1 24 5 0

Introducción En este bloque se introducen los conceptos de función par e impar como antecedente para bosquejar la gráfica de funciones de tercer y cuarto grado.

4.1 Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro Si en la función polinomial f (x) 5 anxn 1 an21xn21 1 an22xn22… a2x2 1 a1x 1 a. se da a n el valor 3, nos queda de la siguiente forma: f (x) 5 a3x3 1 a2x2 1 a1x 1a. si n 5 4, entonces:

9. x 4 1 x 3 213x 2 2 x 112 5 0

f (x) 5 a4x4 1 a3x3 1 a2x2 1 a1x 1 a.

10. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112 5 0

que corresponden, respectivamente, a los modelos matemáticos de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

4.2 Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro Para trazar la representación geométrica de una función polinomial se debe tomar en cuenta la relación que existe entre el grado del polinomio y sus respectivas propiedades geométricas. Las funciones polinomiales de grado impar: uno, tres, etcétera, se caracterizan por lo siguiente: Si es positivo el coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado), entonces su trazo se inicia en el semieje negativo de las

100


y y termina en el semieje positivo de las y e interseca al eje x, por lo menos una vez.

Ejemplos

Las funciones polinomiales de grado par: dos, cuatro, etcétera, se caracterizan por lo siguiente:

Factorizar la ecuación x 3 26 x 2 111x 26 5 0 .

Si es positivo el coeficiente principal, entonces su trazo inicia en el semieje positivo de las y y termina en el semieje positivo de las y y no en todos los casos intersecan al eje x. Tanto en las funciones polinomiales de grado par como en las de grado impar, cuando el coeficiente principal es negativo, su gráfica con respecto al eje x es un reflejo de la gráfica correspondiente cuando el coeficiente principal es positivo.

4.3 Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados tres y cuatro Si no se cuenta con un dispositivo de graficación para estar en condiciones de trazar la gráfica de una función polinomial de grados tres y cuatro, además de conocer sus propiedades geométricas, se deben determinar los puntos de intersección con el eje x. Con ese propósito se utilizan los teoremas aplicables del álgebra para expresar la función polinomial como el producto de sus factores lineales y cuadráticos. A partir de estos factores se pueden determinar los puntos de intersección de la función con el eje x. Para una función polinomial de la forma P(x) se buscan los posibles valores de sus raíces. Si se encuentra una raíz, r entonces la función polinomial se puede expresar como un producto de la forma: P(x) 5 (x 2 r) Q(x) Donde Q(x) es un polinomio reducido, de manera que si P(x) es de grado tres, entonces Q(x) es de grado dos y se puede resolver por factorización o con aplicación de la fórmula general para resolver cuadráticas. Si P(x) es de grado cuatro, entonces Q(x) sería de grado tres y se procedería a buscar una de sus raíces para que P(x) se pueda expresar como el producto de dos factores lineales y uno cuadrático y éste se resuelve por factorización o con aplicación de la fórmula general para resolver cuadráticas. Para resolver ecuaciones que son factorizables, podemos utilizar los productos notables que estudiamos en álgebra, con sus correspondientes factorizaciones.

Solución: Con los recursos teóricos de que se dispone hasta ahora podemos ensayar con los factores o divisores del término independiente. Iniciamos con x 5 1 para evaluar la ecuación

(1)3 26 (1)2 111(1)26 5 0 126 11126 5 0 12 212 5 0 Como el valor de x 5 1 satisface la ecuación, esto significa que (x 2 1) es uno de sus factores. Si dividimos la ecuación entre el factor, se obtiene:

x 2 25 x 16 x 21 x 3 2 6x2 111x 26 2x 3 1 x 2 25 x 2 111x 15 x 2 25 x 6 x 26 26 x 16 0 Entonces la ecuación se puede expresar como:

x 3 26 x 2 111x 26 5( x 21)( x 2 2 5 x 16) El factor cuadrático x 2 2 5 x 16 se puede expresar como: x 2 2 5 x 16 5( x 2 2)( x 23) Por tanto, la ecuación también se puede expresar así:

x 3 26 x 2 111x 26 5( x 21)( x 2 2)( x 23) El factor cuadrático se puede resolver utilizando la fórmula general.

4.4 Comportamiento de la gráfica de una función polinomial en función de los valores que toman sus parámetros Este bloque trata sobre los procedimientos que se utilizan para determinar las soluciones de una ecuación polinomial de grado mayor que dos y se aplican para el trazo de la gráfica de la función polinomial correspondiente.

101

BLOQUE

4


Imagen del dominio de la función cúbica

Ejemplo

La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número real que puede ser positivo, negativo o cero, por lo que la imagen del dominio de la función cúbica es:

Sea f : R → R, tal que f (x ) 5 x3.

C5R

Gráfica de la función cúbica Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, en los que la primera componente es un número real y la segunda es el cubo de la primera. f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 x3, x ∈R}

Representación geométrica de la gráfica de la función cúbica Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla: x

f (x) 5 x 2

(x, f (x))

3

22

f (22) 5 (22) 5 8

(22, 28)

21

f (21) 5 (21)3 521

(21, 21)

0

f (0) 5 (0)3 5 0

(0, 0)

1

f (1) 5 (1)3 5 1

(1, 1)

2

f (2) 5 (2)3 5 8

(2, 8)

Si los puntos obtenidos se representan en el plano cartesiano, podrás observar que no están alineados, sino que sugieren un trazo curvo como el que se ilustra en la figura 4.1.

Propiedades de la función cúbica a) Inyectividad Dados dos números reales diferentes, x1 ≠ x 2 imágenes que les corresponderán también serán diferentes, f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ), por tanto, la función cúbica es inyectiva. Éstos se pueden observar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que intersecan a la representación de f en un solo punto. b) Suprayectividad La imagen de la función cúbica es igual al contradominio, C 5 B 5 , por consiguiente, la función cúbica será suprayectiva. c) Biyectividad La función cúbica al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, entonces será también biyectiva. Ejemplo 3 f : R, → R tal que f ( x )5 x 21

Gráfica de la función Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función. f 5 {(x, f (x))| f ( x )5 x 3 21 H }

Representación geométrica de la gráfica de la función

f (x)

x

x


102


Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:

Por lo anterior se dan comportamientos similares entre las gráficas de las funciones polinomiales de grado impar (uno y tres) y entre las de funciones de grado par (dos y cuatro).

x

f (x) 5 x 3 2 1

(x, f (x))

22

f (22) 5 (22)3 21 529

(22, 29)


21

f (21) 5 (21)3 21 522

(22, 22)

¿Qué propiedad tiene una función par?

0

3

f (0) 5 (0) 21 521

(0, 21)

1

f (1) 5 (1)3 21 5 0

(1, 0)

2

f (2) 5 (2)3 21 5 7

(2, 7)

¿Qué propiedad tiene una función impar?

La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número real que puede ser positivo, negativo o cero; por ello, la imagen del dominio de la función es: C5

Propiedades de la función a) Inyectividad Dados dos números reales x1 ≠ x 2 las imágenes que les corresponden también son diferentes f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ); por tanto, la función será inyectiva. Esto lo podemos observar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que intersecan a la representación de f en un solo punto. b) Suprayectividad La imagen de la función es igual al contradominio, C 5 B 5 ; por consiguiente, la función será suprayectiva. c) Biyectividad La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, también será biyectiva.

Función cúbica Al trazar la gráfica de una función es útil aplicar propiedades de la simetría. En el caso de una función del tipo f ( x )5 x 2 que tiene como gráfica una parábola simétrica con respecto al eje y. Esto se debe a que al elevar al cuadrado valores simétricos de x, bajo la función nos da la misma imagen, es decir f ( x )5 f (2 x ). Cuando una función tiene ese comportamiento se dice que es una función par. En consecuencia, si se traza la parte de la gráfica que está de un lado con respecto al eje y, la otra parte se obtendrá con puntos simétricos. Una función de la forma f ( x )5 x 3 se caracteriza porque f (2 x )52 f ( x ). Esto significa que la curva es simétrica con respecto al origen. Esto se puede observar si trazamos una recta que pase por el origen y corte a la curva en dos puntos que están a la misma distancia del origen. Una función que tiene este comportamiento se dice que es una función impar.

Para tu reflexión

Ferdinand Lindemann (1852-1939) Científico alemán que hizo importantes contribuciones a la ciencia matemática. Demostró que el número p(pi) es trascendental. Asistió a las universidades de Erlangen, Gotinga y Munich; en 1875 estudió en Londres y París, se graduó en Wurzburgo y ese mismo año trabajó como profesor extraordinario en Friburgo. Este matemático fue catedrático en la Universidad de Königsberg en 1883; 10 años más tarde colaboró con la Universidad de Munich. Ferdinand Lindemann utilizó los métodos de Charles Hermite para analizar el número p(pi), la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro y pudo demostrar que es un número trascendental. Con esta afirmación demostró que no podía construirse un cuadrado de área igual a la de un círculo dado recurriendo únicamente a la regla y compás. Este problema de construcción se había tratado de resolver desde la época de los griegos. Trabajó con el último teorema de Fermat y dio a conocer un vasto trabajo sobre este teorema que, según él, había resuelto. También estudió la solución de las ecuaciones algebraicas por medio de funciones trascendentales; hizo algunos aportes a la teoría matemática en las líneas espectrales; además, anotó la traducción del texto de Jules Henri Poincaré publicado en 1904.

103

BLOQUE

4


Aplica lo que sabes Para hacer una caja se va a utilizar una lámina rectangular de cartón. En cada esquina se recorta un cuadrado de 15 centímetros por lado y después se dobla hacia arriba para hacer una caja abierta. Si la lámina mide de largo el doble de su ancho y su volumen es de 27 000 centímetros cúbicos, ¿cuáles serán las dimensiones de la lámina de cartón?

x (k, 0) Figura 4.5

Si las funciones anteriores fueran negativas, f ( x )52( x 2 k ) f ( x )52( x 2 k )2 f ( x )52( x 2 k )3

Influencia de los parámetros de funciones de grados tres y cuatro en su representación gráfica Algunas funciones polinomiales se pueden expresar algebraicamente de manera factorizada. Para hacer un bosquejo de su representación gráfica tomamos en cuenta las funciones del tipo: 1. f ( x )5( x 2 k ) 2. f ( x )5( x 2 k )2

¿cómo serían sus gráficas?

4.5 Representación gráfica de funciones polinomiales de grados tres y cuatro Ejemplos 1. Bosqueja la gráfica f ( x )5( x 11)( x 13)( x 1 5).

3. f ( x )5( x 2 k )3 para valores de x próximos, pero no iguales, a k. Cuando x 5 k se obtiene un cero de la función, es decir, la gráfica interseca al eje x en el (k , 0). En el caso de las funciones 1 y 3, f ( x ) cambia de signo cuando x varía de valores menores que k a valores mayores que k, por lo que la curva corta al eje x en (k , 0). La función 2 corresponde a un cuadrado perfecto y no puede tener valores negativos. En consecuencia, la curva permanecerá por encima del eje x con excepción del punto de tangencia (k , 0).

Solución: Por inspección de la función observamos que cuando x 5 21, 23, 25, los factores serán cero. Por tanto, en el eje x, los puntos (21, 0), (23, 0) y (25, 0) son comunes con la gráfica de la función. Para el factor (x 1 5), vemos que cuando x toma valores menores que 25, la gráfica estará por debajo del eje x y para valores mayores que 25, la gráfica estará por encima del eje x. El comportamiento es semejante para los factores (x 1 3) y (x 1 1), pues los tres son factores lineales. Si evaluamos la función en x 5 24, y en x 5 22 obtendremos puntos adicionales que nos ayudarán a bosquejar la función.

x

f (2 2)5(2 2 11)(2 2 13)(2 2 1 5)

(k, 0) Figura 4.3

5(21)(1)(3)523 f (2 4)5(2 4 11)(2 4 13)(2 4 1 5) 5(23)(21)(1)(3)5 3 x (k, 0)

Figura 4.4

104


Aplica lo que sabes y

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.

5

Al generar energía eléctrica se utilizan combustibles fósiles que producen gases de invernadero. x

0 –5

–4

–3

–2

Averigua cómo se puede reducir el consumo de energía eléctrica en el hogar.

0

–1

Investiga cuál es el consumo de cada aparato electrodoméstico en el hogar.


–5

Figura 4.6 2

2. Bosqueja la gráfica de f ( x )5( x 21)( x 2 2) ( x 23). Solución: f (x ) 5 0 cuando x 5 1, 2, y 3, por tanto, la curva toca al eje x en los puntos (1, 0), (2, 0) y (3, 0). El factor ( x22)2 es un cuadrado perfecto por lo que sus valores serán positivos con excepción de x 5 2 donde hay un punto de tangencia. Los factores ( x −1) y ( x 23) son lineales y su comportamiento es como el descrito en el ejemplo anterior. Si evaluamos la función en x 5 1.5 y x 5 2.5, se obtiene

f (1.5)5(1.5 − 1)(1.5 2 2)2 (1.5 23)5 0.1875 f (2.5)5(2.5 21)(2.5 2 2)2 (2.5 23)52 0.1875 Entonces el bosquejo de la gráfica será: y 10

5

x

0 0

2

4

Figura 4.7

105

4 BLOQUE


Aplicación de las TICs 1. Emplea la plataforma WolframAlpha para trazar la gráfica de f (x) 5 x3 1 x2 2 4x 2 4 . 2. Halla las raíces de la función. 3. Expresa la función de manera factorizada. 4. Explica en qué intervalos es creciente y en cuáles decreciente. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.

2. Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños Reconozco el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Describo las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Utilizo transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas. Observaciones generales:

106

1

2

3. Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas. Comentarios generales:

107

4 BLOQUE



Apellido materno

Nombre Grupo


1. ¿Qué es una función par?

4. Determina los puntos comunes de f (x ) 5 (x 2 1)(x 1 2) (x 2 3) con el eje x.

2. ¿Qué es una función impar?

2 2 5. Bosqueja la gráfica de f ( x )5( x 21) ( x 11) .

3. ¿Cómo se determinan los ceros de una función polinomial?

108

6. Esboza la gráfica de de la función f :  → R, f (x ) 5 2x 2 2 4x.


Rúbrica Rúbrica para evaluar situaciones didácticas.

Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Planteamiento de la situación didáctica

Identifica el problema y sus características

Identifica el problema

Identifica una parte del problema

No identifica el problema o no lo entiende

Datos

Elabora una lista de todos los datos

Elabora una lista necesaria y suficiente de datos

Elabora una lista insuficiente de datos

Elabora una lista de datos incorrectos

Incógnita

Determina cuál es la incógnita y cómo la va a resolver

Reconoce la incógnita y tiene idea de cómo resolverla

Identifica la incógnita pero no tiene la idea de qué va a hacer

No identifica la incógnita ni sabe cómo resolverla

Hipótesis

Predice todos los posibles

Predice algunas hipótesis

Predice algunos factores

No logra realizar una predicción

Procedimientos

Elabora una lista con todos los pasos y toma en cuenta detalles

Elabora una lista con todos los pasos

Elabora una lista con algunos pasos

Elabora una lista incorrecta de pasos

Resultados

Presenta resultados completos de forma escrita y gráfica

Presenta la mayoría de los resultados de forma organizada

Presenta algunos resultados de forma incompleta

Presenta resultados incompletos e incorrectos

Conclusiones

Obtiene conclusiones correctas y crea nuevos conocimientos y nuevas hipótesis

Llega a conclusiones correctas

Llega a algunas conclusiones

No logra realizar conclusiones

Escala de rango. Aspectos a evaluar

1

2

3

4

5

Explica claramente el problema. Explica además de los pasos, sus ideas. Presenta más de una solución. Si recibe una respuesta incorrecta, la usa para crear una discusión. Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?, ¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si...? Responden las preguntas realizadas por sus demás compañeros/as. Está atento a la clase y respeta la participación de sus compañeros. Nunca 5 1; Raramente 5 2; Algunas veces 5 3; Casi siempre 5 4; Siempre 5 5

109

BLOQUE

4


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la caja de cartón de la sección Aplica lo que sabes, de la página 104. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


110

11. De acuerdo a las condiciones, construye la caja de cartón. 12. Establece el modelo matemático del problema. 13. Obtiene la medida de las dimensiones de la lámina de cartón. 14. Representa gráficamente las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones necesarias para obtener el modelo matemático del problema. 16. Determina las dimensiones de la lámina de cartón.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Comportamiento de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en su representación gráfica

Reconoce el comportamiento de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en su representación gráfica.

Reconoce el comportamiento de las funciones polinomiales de grados tres en su representación gráfica.

Reconoce el comportamiento de algunas de las funciones polinomiales de grados tres en su representación gráfica.

No reconoce el comportamiento de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en su representación gráfica.

Influencia de los parámetros de funciones de grados tres y cuatro en su representación gráfica

Reconoce la influencia de los parámetros de funciones de grados tres y cuatro en su representación gráfica.

Reconoce la influencia de los parámetros de funciones de grado tres en su representación gráfica.

Reconoce la influencia de algunos de los parámetros de funciones de grados tres en su representación gráfica.

No reconoce la influencia de los parámetros de funciones de grados tres y cuatro en su representación gráfica.

Solución de ecuaciones factorizables

Utiliza productos notables y recursos de factorización para resolver ecuaciones factorizables.

Utiliza recursos de factorización para resolver ecuaciones factorizables.

Utiliza algunos recursos de factorización para resolver algunas ecuaciones factorizables.

No utiliza productos notables ni recursos de factorización para resolver ecuaciones factorizables.


111

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Tiempo asignado: 12 horas


5

5.1 Ceros y raíces de la función 5.2 Teoremas del factor y del residuo 5.3 División sintética 5.4 Teorema fundamental del álgebra 5.5 Teorema de factorización lineal 5.6 Gráficas de funciones polinomiales factorizables


n

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas que le permitan desarrollar habilidades para el entendimiento y conclusión de este bloque. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos herramientas apropiadas.

n

Sustenta una postura personal en la resolución de problemas considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia sus compañeros.

w


n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales. n Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos

numéricos y gráficos.

1.

En la siguiente división, encuentra el residuo aplicando el teorema del residuo: (x ³ 1 8x ² 1 9x 1 2) 4 (x 1 3).

2.

Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera expresión tiene como factor a la segunda: 4x 3 2 17x ² 2 16x 1 5; x 5 5.

3.

Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo de: (2x 3 2 3x 2 1 5x 2 7) 4 (x 2 2).

Desempeños por alcanzar Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales. Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a. Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable. Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.

BLOQUE

5




Utiliza la división sintética para obtener el cociente y el residuo de 2 x 5 214 x 3 18 x 2 1 7 entre x13.

Secuencia didáctica Formar equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿En qué consiste la teoría de ecuaciones? ¿En qué consiste el teorema del residuo? ¿En qué consiste el teorema del factor? ¿Cómo se efectúa una división mediante la regla de la división sintética? ¿Cómo es posible obtener el cociente y el residuo de un polinomio entre un binomio por medio de la división sintética? ¿Cuál es el cociente y el residuo del polinomio entre el binomio dados?


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar el cociente y el residuo del polinomio entre el binomio.


Rúbrica Para determinar el cociente y el residuo que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción

Situación didáctica Bosqueja la gráfica x 4 23x 3 211x 2 1 25 x 112 .

114

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.




¿Qué tienes que hacer?

Formar equipos para resolver el problema.

Trabajo individual

Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.


Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿En qué consiste la teoría de ecuaciones? ¿En qué consiste el teorema del residuo? ¿En qué consiste el teorema del factor? ¿Cómo se efectúa una división mediante la regla de la división sintética?



¿Con qué valores conviene iniciar la búsqueda de los ceros del polinomio?

A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.

¿Cómo se determinan las cotas entre las que está algún cero?

En este ejemplo:

¿A qué se llama raíces de multiplicidad?

Producto a elaborar

¿Qué características tienen los ceros que no son reales?

Presentar el bosquejo de la gráfica que se pide.

Rúbrica Para determinar la representación gráfica que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción


115

5 BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicios matemáticos 12 En cada una de las siguientes divisiones, encuentra el residuo aplicando el teorema del residuo:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

(x³ 1 8x² 1 9x) 4 (x 1 3) (x³ 2 7x² 1 4x 2 1) 4 (x 2 7) (x³ 2 2x² 1 2x 2 4) 4 x 1 1) (3x³ 1 5x² 2 6x 1 17) 4 (x 2 2) (x³ 2 4x² 2 20x 1 50) 4 (x 2 2) ( x4 2 8x² 2 9) 4(x 2 2) (2x4 2 17x ² 2 4) 4 (x 1 3) (x 4 2 7x3 1 7x 2 18) 4 (x 2 3) 1 9. (4x³ 1 5x² 21) 4 (x 1 ) 2 10. (x ³ 1 3) 4 (x 1 1) Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera expresión tiene como factor a la segunda. 11. 4 x 3 217 x 2 216 x 1 5; x 2 5 12. 2 x 3 111x 2 118 x 1 9; x 13 13. x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26; x 2 2 14. x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26; x 11 15. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112; x 2 2 16. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112; x 23 4

3

2

17. x 1 x 28 x 1 2 x 112; x 2 2 18. x 4 2 2 x 2 28; x 2 2 19. x 6 214 x 4 1 49 x 2 236; x 11

25. ( x 4 1 2 x 3 210 x 2 211x 2 7 )4( x 23)

26. ( 2 x 4 110 x 3 111x 2 2 2 x 1 5 )4( x 1 2 ) 27. ( 2 x 4 1 7 x 3 1 x 111)4( x 13) 28. ( x 4 1 x 2 2 5 x 1 5 )4( x 11)

29. ( 2 x 5 214 x 3 18 x 2 1 7 )4( x 13) 30. ( x 5 21)4( x 21)

Ejercicios matemáticos 13 Bosqueja la gráfica de: 1. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 28 x 2. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 2 5 x 26 3. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 2 5 x 16 4. f ( x )5 x 3 13x 2 26 x 28 5. f ( x )5 x 4 2 5 x 2 1 4 6. f ( x )5 x 3 2 7 x 26 7. f ( x )5 x 3 2 4 x 2 1 x 16 8. f ( x )53x 3 2 4 x 2 235 x 112 9. f ( x )56 x 3 2 5 x 2 2 7 x 1 4 10. f ( x )5 x 4 2 x 3 2 9 x 2 13x 118 Para cada ecuación, aproxima hasta dos decimales una raíz real en el intervalo que se indica. 11. x 3 2 5 x 2 135 0;4 , x , 5 12. x 3 2 4 x 2 13x 115 0;21, x , 0 13. x 3 13x 2 2 x 2 4 5 0;2 2 , x ,21

20. x 6 214 x 4 1 49 x 2 236; x 21

14. x 3 23x 2 2 x 1 4 5 0;2 2 , x ,21

Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo en cada caso.

15. x 3 13x 2 2 5 x 2 47 5 0;3 , x , 4

21. ( 2 x 3 23x 2 1 5 x 2 7 )4( x 2 2)

16. x 3 2 4 x 2 13x 115 0;1, x , 2

1  22. ( 2 x 3 2 5 x 2 16 x 13)4 x 2   2

17. 4 x 3 212 x 2 1 4 x 1 5 5 0;21, x , 0

24. ( 2 x 3 1 4 x 2 2 9 x 211)4( x 13)

19. x 3 13x 28 5 0;1, x , 2

23. ( 3x 3 13x 2 1 4 x 1 21)4( x 1 2)

18. x 3 110 x 2 134 x 260 5 0;1, x , 2

20. x 4 2 x 235 0;1, x , 2 116


La juventud me resulta más cercana ahora que cuando yo era joven. Quizá porque ya no veo la felicidad como algo inalcanzable. Ahora sé que la felicidad puede ocurrir en cualquier momento y que no se debe perseguir.

Ejemplo

Jorge Luis Borges

Solución:

f ( x )5 x 3 1 2 x 2 2 5 x 215 halla f (2) en dos formas distintas. a ) Evaluando la función f (x ) para x 5 2 se obtiene: f (2) 5 2³ 1 2(2)² 2 5(2) 2 15

5 8 1 8 2 10 2 15

5 16 2 25

5 29

b ) Efectuando la división de la función f (x ) entre x 2 2:

x 2 1 4 x 13 3 2 x 2 2 x 1 2 x 2 5 x 215

Introducción

x ² 2 2x ²

Para determinar ceros reales o complejos de una función polinomial, así como para predecir su trazo, se recurre a conceptos y teoremas.

4x ² 2 5x

4x ² 2 8x

Se explica el procedimiento para obtener la regla de la división sintética y se aplica tanto para encontrar ceros o cotas entre los que se encuentran como para resolver ecuaciones polinomiales factorizables.

3x 2 15

3x 2 6

29

5.1 Ceros y raíces de la función Para estar en condiciones de proceder al trazo de la gráfica de una función polinomial, a continuación se introducen conceptos y teoremas que son necesarios porque sirven de base en el procedimiento de la determinación de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, así como para predecir su trazo. Al trazar la gráfica de una función polinomial es importante encontrar los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, en estos puntos la ordenada es cero y corresponden a las raíces o soluciones reales de una ecuación a los que también se llama ceros de la función. Cuando la gráfica de la función no interseca al eje x, se obtienen raíces que no son reales sino complejas.

5.2 Teoremas del factor y del residuo Teorema del residuo Si r es una constante y se divide la función polinomial f entre x 2 r el residuo, que se obtiene es f (r).

Como puedes observar, al dividir la función f (x ) entre x 22 se obtiene como residuo 29, que es igual a f (2). Para tu reflexión

Alberto Abraham Michelson Descubrió un patrón de medida del metro por medio de un rayo de luz roja. Calculó la velocidad de la luz en 299 895 6 kilómetros por segundo. Esta precisión era particularmente importante para probar o refutar la teoría electromagnética de la luz de Jacobo Clerk Maxwell, quien predijo que la velocidad de la luz en el agua era menor que en el aire, esto contradecía la teoría corpuscular de Newton.

Teorema del factor Si r es una raíz de la ecuación polinomial f (x) 5 0, es decir, f (r) 5 0, entonces x 2 r es un factor de f (x). Recíprocamente, si x 2 r es un factor de la ecuación polinomial f (x) 5 0, entonces r es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) 5 0. 117

5 BLOQUE


Ejemplos

x 2 3 3x 3 1 4 x 2 2 9 x 1 7

3

1. Demuestra que x 1 3 es un factor (divisor) de x 1 2x 2 5x 2 6. Solución: Para demostrar que x 1 3 es un factor, lo expresamos como x 1 3 5 x 2 (23); es decir, necesitamos averiguar si 23 es una raíz de la ecuación, por tanto:

f (x ) 5 x ³ 1 2x ² 2 5x 2 6 5 0

5 227 1 18 1 15 2 6

5 233 1 33

50

5x² 2 9x

5x² 2 15x

6x 1 7

6x 2 18 25

se obtiene como cociente 3x 1 5 x 16 y como residuo 25.

2. Escribe la ecuación cúbica f (x ) 5 0 que tiene como raíces: 22,

1 . 3

Al efectuar la división en esta forma, puedes observar que los términos 29x y 7 se escriben de nuevo líneas abajo, para continuar con el procedimiento de la división. También puedes ver que al multiplicar cada término del cociente por el divisor se obtiene un producto parcial en el que su primer término es igual al de arriba. Si se suprimen los términos mencionados de la división nos queda así:

1 Por el teorema del factor se sabe que (x 1 2), (x 2 3) y  x2   

3 x 2 1 5 x 16 x 2 3 3x 3 2 4 x 2 2 9 x 1 7

Solución:

29x²

5x²

2 15x

6x

1 En la que se muestran las raíces. El factor  x2  se puede  

2 18

25

expresar como 3x 2 1 para obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, es decir:

en la que se conservan los valores necesarios para efectuar la operación que se puede disponer de la siguiente forma:

3

son factores de f (x ), entonces la ecuación es:

1  (x 1 2)(x 2 3)  x2  5 0.  3

3

(x 1 2)(x 2 3)(3x 2 1) 5 0

de donde: 3x 3 2 4 x 2 217 x 16 5 0.

5.3 División sintética En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio se recurre al teorema del residuo, es decir, se requiere dividir el polinomio entre una expresión lineal de la forma x 2 r. La división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un proceso abreviado que se conoce como división sintética. Si dividimos 3x³ 2 4x² 2 9x 1 7 entre x 2 3 en la forma usual:

3 x 2 1 5 x 16 3 2 x 2 3 3x 2 4 x 2 9 x 1 7

118

3x³ 2 9x²

2

Entonces la ecuación tiene a 23 como raíz y a x 1 3 como uno de sus factores. 3y

f (23) 5 (23)³ 1 2 (23)² 2 5(23) 2 6

3 x 2 1 5 x 16

2 9 x 2 215 x 218 5x²

6x

25

Como las potencias de x sólo indican posición, las podemos suprimir y nos queda el siguiente arreglo: 3 5 6 23 3 2 4 2 9 7 2 9 215 218 5 6

25


que también se puede disponer así: 23 3 2 4 2 9 7

el segundo renglón debajo del tercer término (7) del dividendo, se suma 7 con 4 y el resultado (11) se escribe en el tercer renglón

− 9 −15 − 18 3 5 6

25

Ya que una vez que se baja el primer término del dividendo los términos del cociente aparecen en el renglón inferior. Al aplicar el teorema del residuo se debe evaluar f (3), de manera que al cambiar el signo del divisor cambia el signo de cada término del segundo renglón; por tanto, cada término del tercer renglón se obtiene por suma y no por resta.

8

7 2 4 | 22

210

4

5 2 2

11

8

7

24 )22

210

4

222

11

226

5

522

Este procedimiento se repite con cada uno de los términos del dividendo hasta completar las columnas del segundo y tercer renglón. El cociente es 5 x 2 2 2 x 111 y el residuo es 226. 2. Usa la división sintética para encontrar el cociente y el residuo (5 x 4 23x 2 21): (x 1 1).

3 3 2 4 29 7

Solución: Se escriben los coeficientes del dividendo anotando cero como coeficiente de cada potencia de x que falte. 5 0 23 0 21 ) 21

9 15 18 3 5 6 25 Este último arreglo se escribe así: 3 24 29 7 |3 9 15 18 3 5 6 25

25 525

5 22 2 22

2 1

3 2 El cociente es 5 x 2 5 x 1 2 x 2 2 y el residuo es 1.

donde el último número del tercer renglón es el residuo o sea f (3) y los otros tres números son los coeficientes, en orden descendente de las potencias de x, del cociente cuyo grado es uno menos que el grado del dividendo, es decir. 3 x 2 1 5 x 16

5

5 3. Demuestra que x 1 2 es un factor de f (x ) 5 x 132 y encuentra el otro factor.

Solución: 1

0 22 1 22

0 0 4 28 4 28

0 32 | 22 16 232 16 0

Como el residuo es 0 entonces x 1 2 es un factor de f (x ). El otro factor es x 4 2 2 x 3 1 4 x 2 28 x 116.

Ejemplos 1. Usa la división sintética para encontrar el cociente y el residuo de (x 3 1 8x ² 1 7x 2 4) : (x 1 2) Solución:

Aplica lo que sabes

Se escriben en el primer renglón los coeficientes del dividendo, y a la derecha del último se escribe el simétrico de r, en este caso 22, pues x 1 2 5 x 2 (22). Se traza una línea que separa el segundo y el tercer renglón. El primer término del dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón; después se multiplica dicho término (5) por el divisor (22) y el producto (210) se escribe en el segundo renglón debajo del segundo término del dividendo (8).

5 8 7 2 4 | 22

5

5

8 7 2 4 |22

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. Investiga cuál es el ahorro que se logra al reciclar una tonelada de papel, de acuerdo con la siguiente lista: (________)

árboles de 40 cm de diámetro y 20 m de alto

(________)

cantidad de agua

210

(________)

cantidad de energía

522

(________)

metros cúbicos de espacio en un relleno sanitario

(________)

kg de contaminantes del aire

(________)

kg de contaminantes del agua

(________)

kg de desechos sólidos

Se suman los términos de la segunda columna (8 y 210) y el resultado (22) se escribe en la misma columna pero en el tercer renglón. En seguida, se multiplica el segundo término (22) del tercer renglón por el divisor (22) y el producto (4) se escribe en

119

5 BLOQUE

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Ejemplos


1. La ecuación x ² 2 5x 5 0 se puede factorizar y expresar así: x ² 2 5x 5 x (x 2 5) 5 0 2. La ecuación x ² 1 x 2 6 5 0 se puede expresar como: x ² 1 x 2 6 5 (x 1 3)(x 2 2) 5 0 3. La ecuación x ³ 2 2x ² 2 5x 1 6 5 0 se factoriza en: x ³ 2 2x ² 2 5x 1 6 5 (x 2 1)(x 1 2)(x 2 3) 5 0 En cada caso, la ecuación se ha expresado como el producto de sus factores lineales. Teorema Toda ecuación polinomial f (x ) 5 0 de grado n tiene exactamente n raíces.

Ejemplos 1. La ecuación x 1 3 5 10 es de primer grado; por tanto, debe tener una raíz, que es 7. 2. La ecuación x ² 2 6x 1 9 5 0 es de segundo grado, o sea que debe tener dos raíces. Al factorizar la ecuación nos queda así x ² 2 6x 1 9 5 (x 2 3)(x 2 3) 5(x 2 3)² 5 0, por lo que sus raíces son 3 y 3. 3. La ecuación x ³ 2 4x ² 2 11x 1 30 5 0 es de tercer grado, por lo que debe tener tres raíces. La factorización de la ecuación es:

Teoremas sobre las raíces de una ecuación

x ³ 2 4x ² 2 11x 1 30 5 (x 2 2)(x 1 3)(x 2 5) 5 0 Es decir, sus raíces son: 2, 23 y 5.

En teoría de ecuaciones, se establecen y demuestran cada uno de los siguientes teoremas relacionados con las raíces de una ecuación.

Ceros y raíces complejas

5.4 Teorema fundamental del álgebra

Como se ha dicho antes, en el trazo de la gráfica de una función polinomial se presentan casos en los que algunas raíces son complejas, es decir, corresponden a puntos de la gráfica que no intersecan al eje x, pero sus valores son ceros de la función.

Toda ecuación polinomial de grado n $ 1 tiene al menos una raíz, real o compleja.

5.5 Teorema de factorización lineal Cada polinomio f (x) de grado n $ 1 puede ser expresado como el producto de n factores lineales. 120

Forma estándar de los números complejos y sus conjugados; suma, resta y multiplicación Un número complejo es de la a 1bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Se define i5 21 por lo que i 2 521. Se acepta que las dos raíces cuadradas de 21 son i y 2i. Cuando se tiene la raíz cuadrada de un número negativo se expresa éste como el producto de 21 por el número.


Así,

2 4 5 (21)4 5 21 4 5 ±2i 2 5 5 (21)5 5 i 5

En el número a 1 bi, si b 5 0 entonces queda el número real a, y si a 5 0 entonces queda el número bi al que se le llama imaginario puro.

Operaciones con números complejos Al realizar operaciones con números complejos se debe recordar que tienen una parte real y una parte imaginaria y además i 2 521. Dos números complejos a 1bi y c 1 di son iguales sólo cuando a 5 c y b 5 d.

Ejemplos Multiplicación: Al multiplicar números complejos se toman como binomios y en el producto final se sustituye i 2 por 21. Después se reducen los términos semejantes.

(2 13i )(32 4 i )5 2(3)1 2(2 4 i )13i (3)13i (2 4 i ) 56 28i 1 9i 212i 2 56 1 i 212 (21) 518 1 i (31 2i )(5 2 2i )53 (5)13 (2 2i )1 2i (5)1 2i (2 2i ) 515 26i 110i 2 4 i 2

Suma y diferencia

515 1 4 i 2 4 (21)

Para los números complejos a 1bi y c 1 di se define la suma de la siguiente forma:

515 1 4 i 1 4

(a 1bi )1(c 1 di )5(a 1 c )1(bi 1 di ) 5(a + c )1(b 1 d )i Y la diferencia se define así:

519 1 4i (2 13i )(2 23i )5 2 (2)1 2 (23i )13i (2)13i (23i ) 5 4 26 i 16 i 2 9 i 2

(a 1bi )2(c 1 di )5(a 2 c )1(bi 2 di )

5 4 2 9 (21)

5(a 2 c )1(b 2 d )i

5 4 1 9 513

Como puedes observar, se efectúan operaciones por separado en la parte real y la parte imaginaria de los números complejos dados. Ejemplos

(2 13i )1(5 2 2i )5(2 1 5)1(32 2)i 5 7 1 i (32 2i )1(2 1 7i )5(31 2)1(2 2 1 7)i 5 5 1 5i Cuando se restan dos números complejos se suprimen los paréntesis y se hace la suma algebraica de los términos semejantes, es decir, reales con reales e imaginarios con imaginarios.

(2 13i )2(5 2 2i )5 2 13i 2 5 1 2i 5231 5i (32 2i )2(2 1 7i )532 2i 2 2 2 7i 51210i

Actividad de aprendizaje ¿Cuándo se dice que un número complejo es el conjugado de otro?

En el ejemplo anterior, observa que los dos números complejos difieren en el signo de su parte imaginaria; cuando esto ocurre se dice que un número complejo es el conjugado del otro. El producto de un número complejo por su conjugado es un número real.

Número de ceros de una función polinomial; factores lineales y multiplicidad Cuando se expresa una ecuación como el producto de sus factores y éstos son diferentes, las raíces son diferentes y se dice que cada una de ellas es una raíz simple. Si el mismo factor se presenta dos veces, una raíz ocurre dos veces y se le llama raíz doble. De presentarse un factor tres veces, habrá una raíz triple. En general, cuando un factor ocurre m veces, a la raíz correspondiente se le llama raíz de multiplicidad m. Una raíz doble se cuenta como dos raíces, una raíz triple como tres raíces y una raíz de multiplicidad m como m raíces. Al contar de esta manera una ecuación polinomial de grado n, tiene exactamente n raíces. La ecuación (x 2 2)³ (x 1 3)² (x 1 5) 5 0 es de sexto grado. Tiene a 2 como una raíz triple, 23 como una raíz doble y 25 como una raíz simple. El número total de raíces, tomando en cuenta la multiplicidad de cada raíz, es de seis. 121

BLOQUE

5


Teorema Si el número complejo a 1 bi, b Z 0 es una raíz de una ecuación polinomial con coeficientes reales, entonces el número complejo a 2bi es también una raíz. Ejemplos

Ejemplos

1. Si

b es una raíz racional de 6x ³ 1 x ² 2 10x 1 3 5 0, entonces c

los posibles valores de b son los divisores de 3, que son 61, 63, y los de c son divisores de 6, que son 61, 62, 63, 66. Por tanto,

1 2

1 3

1 6

3 2

las posibles raíces racionales son 61, 63, ± , ± , ± , ± .

1. La ecuación x ² 2 2x 1 2 5 0 tiene como raíces x15 1 1 i, x ² 5 1 2 i. Las raíces son números complejos de la forma a 1 bi, a 2 bi que sólo difieren en el signo, por lo que se dice que son conjugados. 2. La ecuación x ³ 2 2x ² 1 5x 1 265 0 tiene como raíces 22, 2 1 3i, 2 2 3i, las dos últimas son números complejos conjugados.

b

2. Cuando a 0 51 la raíz es un número entero que es factor de c an. En la ecuación f (x ) 5 x 4 2 5x 3 1 5x 2 1 5x 2 6 5 0, sus posibles raíces racionales deben ser factores de 26, es decir,

±1, ± 2 , ± 3, ± 6. Utilizando la división sintética, se encuentra que f (1) 5 0. 1 25

Actividad de aprendizaje En una ecuación polinomial, ¿a qué se le llama raíz de multiplicidad?

5

5 26 ) 1

1 24

1

6

1

6

0

1 24

Entonces f (x ) 5 (x 21)(x 3 2 4x 2 1 x 1 6) donde a x 3 2 4x 2 1 x 2 6 se le llama la primera ecuación reducida. En ésta f (21) 5 0. 1 24

Ceros racionales y cotas

21

Teorema Si el irracional cuadrático a 1 b a 2 b es una raíz de una ecuación polinomial f (x) 5 0 con coeficientes racionales, entonces a 2 b a 1 b también es una raíz.

(

(

)

)

1 25

1

6 ) 21

5 26 6

0

Por lo que f (x ) 5 (x 2 1) (x 11)(x 2 2 5x 1 6) en la que x 2 2 5x 1 6 recibe el nombre de segunda ecuación reducida. Expresándola como el producto de sus factores:

f ( x )5( x 21)( x 11)( x 2 2)( x 23) = 0 por tanto, las raíces racionales de f (x ) 5 0 son 1, 21, 2, 3.

Ejemplos En este teorema a y b son racionales y

b es irracional. 1. La ecuación x ² 2 3 5 0 tiene las raíces 3 y 2 3 . 2. La ecuación x ² 2 6x 1 1 5 0 tiene las raíces 31 2 2 y 32 2 2 .

Teorema

b Si el racional irreducible es una raíz de la ecuación de c coeficientes enteros a0 x n 1 a1 x n21 1 a2 x n22 1…1 an21 x 1 an 5 0 , a0 ≠ 0 Entonces b es un factor de an y c es un factor a0 . 122

Teorema Sea el polinomio con coeficientes reales f ( x )5 a0 x n 1 a1 x n 1 1 1 a2 x n22 1…1 a2 x 2 1 a1 x 1 an ; a0 . 0 1. Si en la división sintética de f (x) entre (x 2 r), siendo r positivo, todos los términos de la tercera línea son alternadamente positivos o cero, entonces r es una cota superior de las raíces reales de la ecuación f (x) 5 0. 2. Si en la división sintética de f (x) entre (x 2 r), siendo r negativo los términos de la tercera línea son alternadamente positivos y negativos (o cero); entonces r es una cota inferior de las raíces reales de la ecuación f (x) 5 0.


5.6 Gráficas de funciones polinomiales factorizables

Ejemplo Halla las cotas superior e inferior de las raíces reales x3 2 x2 2 4x 1 4 5 0.

Resolución de ecuaciones polinomiales factorizables

Solución: Las raíces racionales posibles son ± 1, ± 2 , ± 4. a) Cota superior 1 21 24 4 ) 1 1 0 24 1 0 24 0 1 21 24 3 6 1 2 2

Ceros positivos y negativos

1 21 24 4 ) 2 2 2 24 1 1 22 0 4 | 3 6 10

Como los términos de la tercera línea son positivos, una cota superior de las raíces es 3, es decir, no hay raíces mayores que 3. b) Cota inferior

4 ) 21

1 21 24 21

2

1 21 24

2

1 22 22

1 23

2

Utiliza la división sintética para encontrar las raíces 3x 4 1 12x 3 1 6x 2 2 12x 2 9.

0

Los términos de la tercera línea son alternadamente positivos y negativos (o cero), una cota inferior de las raíces es 22, es decir, no hay raíces reales menores que 22. Estos resultados se pueden disponer en una tabla de división sintética

1 21 24

3

1

2

2

10

2

1

1 22

0

1

1

0 24

0

21 1 22 22

6

22 1 23

0

2

Aplica lo que sabes

6 24

22

6

4 ) 2 2

Para trazar la gráfica de una función polinomial nos apoyamos en los teoremas anteriores con el propósito de encontrar las raíces reales de la ecuación polinomial. Dichas raíces reales corresponden a los ceros reales de la función polinomial, es decir, son los valores de x para los cuales f (x) 5 0. Geométricamente representan los puntos de intersección con el eje x, pues en esos puntos y 5 0.

Ejemplos 3 2 1. Bosqueja la gráfica de f (x ) 5 x 2 x 2 4 x 1 4.

Solución:

4

3

2

Haciendo f (x ) 5 0, se obtiene la ecuación x 2 x 2 4 x 1 4 5 0, la cual se resolvió en el ejemplo anterior, encontrándose como raíces 1, 2 y 2 2. Estos valores corresponden a los ceros reales de la función, ya que:

Los valores de r quedan en la primera columna y a la derecha de cada uno están el cociente y el residuo de cada división por lo que, de acuerdo con el teorema del residuo, las raíces de la ecuación son 1, 2 y 22.

En la tabla puedes observar que para r 5 22 los términos de la línea tienen signos alternados, esto indica que 22 es una cota inferior; para r 5 3, los términos de la línea son positivos; por tanto, 3 es una cota superior.

f (1)513 212 2 4(1)1 4 51212 4 1 4 5 0 f (2)5 23 2 2 2 2 4(2)1 4

58 2 4 28 1 4 5 0 f (2 2) = (2 2)3 2(2 2)2 2 4(2 2)1 4 528 2 4 18 1 4 5 0

Cuando los coeficientes de f (x ) no son muy grandes, se puede hacer una tabla como la anterior para r 5 1, 2, 3... hasta que la línea correspondiente sólo tenga valores positivos (o cero), y para r 5 2 1, 22, 23..., hasta que en la línea se obtengan valores con signos alternados. De esta manera se determinan las cotas superior e inferior, es decir, valores entre los que están todas las raíces reales de la ecuación. Además, se obtienen coordenadas de puntos que permiten un mejor bosquejo de una función polinomial.

123

BLOQUE

5

Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Actividad de aprendizaje

y

0

En una ecuación polinomial, ¿qué representan, geométricamente, los ceros reales de la función polinomial correspondiente?

3 4 5

x

Figura 5.1

Teorema Si f (x) es un polinomio con coeficientes reales, y si a y b son números reales tales que f (a) y f (b) son de signos opuestos, entonces la ecuación f (x) 5 0 tiene al menos una raíz real entre a y b. Este teorema se justifica por el hecho de que la función y 5 f (x) es continua cuando f (x) es un polinomio de coeficientes reales.

2. Bosqueja la gráfica f ( x )5 x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26 . Solución:

Ejemplos Al realizar f (x ) 5 0, se obtiene la ecuación x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26 5 0 x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26 5 0 cuyas raíces son 21, 1, 2 y 3, que corresponde a los 3 2 1. Bosqueja la gráfica f ( x )58 x 2 28 x 218 x 163 . ceros reales de la función. Solución:

y

De acuerdo con el teorema correspondiente, si el racional irreducible

b es una raíz de la ecuación f (x ) 5 0, entonces b es un c

factor de 63 y c es un factor de 8.

Los factores de 63 son ± 1, ± 3, ± 7 , ± 9 , ± 63, los factores de

b son c 7 7 7 3 3 3 1 1 1 ± 1, ± , ± , ± , ± 3, ± , ± , ± , ± 7 , ± , ± , ± , ± 9 , 2 4 8 2 4 8 2 4 8 63 63 63 9 9 9 ± , ± , ± , ± 63, ± , ± , ± . 2 4 8 2 4 8

8 son ± 1, ± 2 , ± 4 , ± 8;, por tanto, las posibles raíces de

x

Como la ecuación es de tercer grado, al encontrar una raíz, la primera reducida es una ecuación de segundo grado que se puede resolver por la fórmula general para encontrar las otras dos raíces.

Figura 5.2

124

Para ilustrar el uso del teorema de este apartado, haremos una tabla de división sintética con la que obtendremos, además, las coordenadas que pertenecen a la gráfica de la ecuación.


8 228 cota superior

218

63

5

8

12

42

273

4

8

4

22

55

3

8

24

230

227

2

8 212

242

221

1

8 220

238

25

21

8 236

18

45

8

24

70

277

23

8 252

138

2351

24

8 260

222

2825

25

8 268

322 21547

cota inferior 22

y cambio de signo

40

cambio de signo

20

cambio de signo

–2

Otro cambio de signo ocurre para f (1) 5 25 y f (2) 5221, así como para f (22) 5277 y f (21) 5 45. Por tanto, las raíces de la ecuación están entre 22 y 21, 1 y 2. Al relacionar estos datos con los obtenidos al principio se encuentra que las soluciones de

8 240

3 2

8 228 218

0 8 228 218 28 8

4

x

–60 –80 Figura 5.3

Para una mejor aproximación del trazo de la gráfica se calcularon

 1  1  5 f 2  , 0 , f   ,    2  2  2 Solución:

60 263 42

3

2. Bosqueja la gráfica f ( x )5 x 3 2 5 x 2 13 .

3 3 7 y . 2 2 2

la ecuación son 2 ,

212

2

–40

También puedes ver que f (3) 5227 y f (4) 5 55 tienen signo contrario por lo que, de acuerdo con el teorema, hay una raíz real entre x 5 3 y x 5 4.

63 2

1

–20

En la tabla puedes observar que para x 5 5 los valores de la línea tienen signo positivo; por tanto, 5 es una cota superior. Para x 522 los valores de la línea tienen signos alternados, por lo que 22 es una cota inferior.

8 228 218

–1 0

12 224

263

8 216 242

0

632

0 263

0 218

632

7 2

3 2

Las posibles raíces racionales de la ecuación f (x ) 5 0 son ± 1 y ± 3. Ninguna de éstas hace que f (x ) 5 0; esto significa que la ecuación no tiene raíces reales racionales, pero es posible que tenga raíces reales irracionales. De existir éstas, las podemos obtener de manera aproximada por medio de un método al que se le llama de aproximación sucesiva. La siguiente es una tabla de división sintética de la ecuación: cota superior

0

3 3 7 2 2 2

En consecuencia, los ceros reales de la función son 2 , y . La gráfica de la función para 22 # x # 4 es la siguiente:

5 4 3 2 1 0 21 cota inferior 22 23 24 25

1 25 1 0 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28 1 29 1 210

0 3 0 3 24 213 26 215 26 29 24 21 0 3 6 23 14 225 24 269 36 2141 50 2247

cambio de signo

cambio de signo cambio de signo

125

BLOQUE

5


En la tabla puedes observar que las raíces reales de la ecuación deben estar comprendidas entre la cota superior y la cota inferior. La cota superior es 5, pues la línea correspondiente sólo tiene valores positivos o cero, la cota inferior es 21 porque en esa línea los valores tienen signos alternados. También puedes ver que ocurre cambio de signo entre 21 y 0, 0 y 1, 4 y 5. Esto significa que la ecuación tiene tres raíces reales que son irracionales, mismas que están en los intervalos indicados. A continuación se puede aproximar la raíz irracional entre 4 y 5. Localicemos los puntos de coordenadas (4, 213) y (5, 3).

(5, 3)

(4.9, 0.599) 4.8 (4.8, –1.608) Figura 5.5

La figura anterior nos indica que la raíz irracional está entre 4.8 y 4.9, probablemente más cerca de 4.9. 1

25

0

3

4.86

1 20.14

20.6804

20.3067

4.87

1 20.13

20.6331

20.0832

4.88

1 20.12

20.5856

0.14227

cambio de signo

Entonces, la raíz irracional está entre 4.87 y 4.88. Si dividimos ese intervalo y procedemos como antes: 1

0

4.9

0

25

3

4.872

1 20.128

20.6236 20.03826

4.873

1 20.127

20.618 20.01576

4.874

1 20.126

cambio de signo

0.00676

20.6141

Calculando f (4.873) 5 20.01576 y f (4.874) 5 0.00676, esto significa que la raíz está entre x 5 4.873 y x 5 4.874.

–2

–1

0

1

2

3

4

5

(4, –13)

Figura 5.4

Al unir con una recta los puntos localizados vemos que probablemente la raíz irracional de la ecuación está más próxima a 5 que a 4. Se divide en 10 partes el intervalo de 4 a 5 y se usa la división sintética. 1

25

0

3

4.7

1

20.3

21.41

23.627

4.8

1

20.2

20.96

21.608

4.9

1

20.1

20.49

0.599

cambio de signo Figura 5.6

Puedes verificar que las otras dos raíces, hasta dos decimales, son x 5 20.72 y x 5 0.85.

126


Aplicación de las TICs 1. Emplea la plataforma WolframAlpha para trazar la gráfica de: f (x) 5 x4 1 2x3 2 7x2 1 8x 1 12 2. Determina cuáles son las raíces de la función. 3. Expresa la función de manera factorizada. 4. Explica en qué intervalos es creciente y en cuáles decreciente. 5. Realiza la siguiente operación: x4 2 2x3 2 7x2 1 8x 1 12 x2 2 4 6. Identifica el tipo de curva que corresponde al resultado de la división. 7. Grafica el resultado del punto 5. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Utilizo consecutivamente los teoremas del factor y del residuo y la división sintética para hallar los ceros reales de funciones polinomiales. Empleo la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a. Empleo la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable. Aplico y combino las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolución de problemas teóricos y prácticos.


127

5 BLOQUE



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división sintética, para hallar los ceros reales de las funciones polinomiales. Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a. Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable. Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales en la resolución de problemas teóricos y/o prácticos. Comentarios generales:

128

Cumple Sí

No

Comentarios



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. En la división (4x ³ 1 5x ² 2 1)4 (x 1 1 ) encuentra el residuo 2 aplicando el teorema del residuo.

4. Bosqueja la gráfica de f (x ) 5 x 3 2 2x 2 2 5x 2 6.

2. Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera expresión tiene como factor a la segunda x 6 2 14x 4 1 49x 2 2 36; x 1 1.

3. Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo de (x 5 2 1) 4 (x 2 1).

5. Para la ecuación x 3 2 4x 2 1 3x 1 1 5 0; 21 , x , 0 aproxima hasta dos decimales una raíz real en el intervalo que se indica.

129

BLOQUE

5


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el bosquejo de la gráfica de una función polinomial factorizable del Bloque 5. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


130

11. Conoce y aplica correctamente teoremas del álgebra. 12. Conoce y aplica los teoremas del residuo y del factor, así como la división sintética. 13. Bosqueja la gráfica de una función polinomial que es factorizable. 14. Comprende la prueba del cero racional y teoremas fundamentales del álgebra. 15. Determina ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables. 16. Representa en el plano cartesiano un bosquejo de la gráfica de una función polinomial que es factorizable.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Obtención del residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a, valiéndose del teorema del residuo

Conoce y utiliza el teorema del residuo para determinar el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Conoce el teorema del residuo como recurso para determinar el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Conoce que se puede utilizar el teorema del residuo para determinar el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

No conoce ni utiliza el teorema del residuo para determinar el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Identificación de un binomio de la forma x 2 a es factor de un polinomio, valiéndose del teorema del factor

Conoce y utiliza el teorema del factor para identificar un binomio de la forma x – a como factor o divisor de un polinomio.

Conoce el teorema del factor como recurso para identificar un binomio de la forma x – a como factor o divisor de un polinomio.

Conoce que se puede utilizar el teorema del factor para identificar un binomio de la forma x – a como factor o divisor de un polinomio.

No conoce ni utiliza el teorema del factor para identificar un binomio de la forma x – a como factor o divisor de un polinomio.

El proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x2a

Conoce y utiliza el proceso de la división sintética para obtener el cociente y el residuo de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Conoce el proceso de la división sintética para obtener el cociente y el residuo de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Conoce que se puede utilizar el proceso de la división sintética para obtener el cociente y el residuo de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

No conoce ni utiliza el proceso de la división sintética para obtener el cociente y el residuo de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.

Prueba del cero racional y teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal

Conoce y utiliza la prueba del cero racional y teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal, así como la división sintética para hacer el bosquejo de una función polinomial.

Conoce y utiliza la prueba del cero racional y teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal para hacer el bosquejo de una función polinomial.

Conoce que se puede utilizar la prueba del cero racional y teoremas fundamentales del álgebra para hacer el bosquejo de una función polinomial.

No conoce ni utiliza la prueba del cero racional ni teoremas fundamentales del álgebra o de la factorización lineal, tampoco puede usar la división sintética como recurso para tratar de hacer el bosquejo de una función polinomial.

Los ceros reales y complejos de funciones reales factorizables

Conoce y utiliza los ceros reales y complejos, así como la división sintética en la resolución de ecuaciones polinomiales factorizables.

Conoce y utiliza los ceros reales y complejos, en la resolución de ecuaciones polinomiales factorizables.

Conoce que se pueden utilizar los ceros reales y complejos, así como la división sintética como recursos en la resolución de ecuaciones polinomiales factorizables.

No conoce ni utiliza los ceros reales o complejos, tampoco puede utilizar la división sintética para tratar de resolver ecuaciones polinomiales factorizables.

131

Aplicas funciones racionales Tiempo asignado: 12 horas

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 6.1 Función racional

6

6.2 Dominio de definición de una función racional 6.3 Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas 6.4 Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas


n n

Se valora a sí mismo y aborda problemas de función racional aplicados a distintos contextos. Considera otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos, para la elaboración y resolución de problemas con funciones racionales.

n

n

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de distintos procedimientos. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

w


n Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o

natural para determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos.

1.

¿A qué se llama función racional?

2.

¿Cuál es la expresión matemática de la variación inversa entre dos variables?

3.

Aplica la definición para expresar la velocidad y el tiempo para una distancia determinada, como una variación inversa en la x y 5 k.

Desempeños por alcanzar Identifica el dominio de definición de las funciones racionales y determina la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales. Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y utiliza éstas para dibujar la gráfica de una función racional. Aplica las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.

BLOQUE

6


Situación didáctica 1 cuando sea posible: x+2 a) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados.

Para la función f ( x ) =

¿Cómo lo resolverías? c) Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. d) Halla el dominio y el rango. e) Traza la gráfica.

b) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al origen.

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se determinan los puntos de intersección de una gráfica con los ejes coordenados? ¿Cómo se determina si una función racional es simétrica con respecto a los ejes o al origen? ¿Cómo se sabe si una función racional tiene asíntotas verticales, horizontales u oblicuas? ¿Cómo se halla el dominio y el rango de una función racional? ¿Cómo se traza la gráfica de una función racional?


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar la solución de cada uno de los puntos planteados.


Rúbrica Para determinar las respuestas que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción

134



Situación didáctica La segunda ley del movimiento de Newton establece que en un cuerpo la aceleración a es directamente proporcional a la fuerza F

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

¿Cómo lo resolverías? que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa m. ¿Cómo se expresa esta ley con una ecuación?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

¿Qué es la variación?


¿Cuándo la variación es directa?


¿Cuándo la variación es inversa? ¿Cómo se expresa algebraicamente la variación directa?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.

¿Cómo se expresa algebraicamente la variación inversa?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar


Presentar la ecuación de la segunda ley de Newton.


Rúbrica Para determinar la ecuación que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del pro-

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? cedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

135

6 BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicios matemáticos 14 Para cada una de las funciones racionales siguientes, cuando sea posible: a) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados.

3. El largo y el ancho de un terreno rectangular de área constante. 4. Si en una superficie de forma rectangular y área constante la base se reduce a la mitad, ¿por cuánto se multiplica la altura? 5. La intensidad luminosa de una fuente varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco. Si la distancia al foco se triplica, ¿en cuánto disminuye la intensidad luminosa en una pantalla?

b) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al origen. c) Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. d) Halla el dominio y el rango. e) Traza la gráfica. 1 1. f ( x ) = 2. x x 3. f ( x ) = 4. x+2 3 5. f ( x ) = 6. x−5 x +1 7. f ( x ) = 8. x −1 3 9. f ( x ) = 2 10. x 5 11. f ( x ) = 12. ( x − 2)2 5x 13. f ( x ) = 2 14. x −4 x 2 +1 15. f ( x ) = 2 16. x −1 x +1 17. f ( x ) = 2 18. x + x −6 x2 − 4 19. f ( x ) = 20. x +1

1 x +3 2 f (x)= x −3 x+2 f (x)= x −1 2x + 4 f (x)= x−2 2 f (x)= − 2 x 3x f (x)= 2 x −9 x +3 f (x)= 2 x −4 4x2 f (x)= 9− x2 x2 − 9 f (x)= x−4 x2 + 4 f (x)= x f (x)=

Ejercicios matemáticos 15 Aplica la definición para expresar cada enunciado como una variación inversa en la xy = k . 1. La velocidad y el tiempo para una distancia determinada. 2. El volumen y la presión de una masa gaseosa a temperatura constante.

136

Completa cada uno de los siguientes enunciados. 6. Un móvil recorre cierta distancia con movimiento uniforme; si recorre la misma distancia con el doble de la velocidad anterior, ¿qué ocurre con el tiempo? 7. Una masa gaseosa contenida en un recipiente cerrado está sometida a una temperatura constante. Si la presión se triplica, ¿qué ocurre con el volumen? 8. Se aplica una fuerza constante f a un cuerpo de masa m para imprimirle una aceleración a. Si la masa se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con la aceleración? 9. Una superficie de forma rectangular tiene un área constante. Si el largo se triplica, ¿qué ocurre con el ancho? 10. Una palanca, apoyada en su punto medio, está en equilibrio cuando de cada uno de sus extremos pende un peso de 50 kp. Si el punto de apoyo se colocara de manera que uno de los brazos de palanca midiera el doble del otro, ¿qué peso se debería colocar en ese extremo para que la palanca continuara en equilibrio?


La ciencia sin religión está coja y la religión sin ciencia está ciega. Einstein

Actividad de aprendizaje En una función racional, el dominio es el conjunto de los números reales, excepto

Introducción A partir del concepto de función racional se procede a su caracterización. Se identifican las posibles asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Los intervalos se utilizan para localizar las regiones del plano en las que está o no la gráfica de la función racional. Se hace una introducción a la variación inversa.

6.1 Función racional Concepto de función racional. Notación y caracterización Una función racional se puede expresar como un cociente de dos funciones polinomiales. Si se denota a R como la función definida por: P( x ) R( x ) = Q (x) donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional. Esta función se caracteriza por lo siguiente: • El polinomio del denominador no puede ser el polinomio nulo. • El rango de R es un subconjunto de los números reales. • Los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.

6.2 Dominio de definición de una función racional • El dominio de R es el conjunto de los números reales, con excepción de aquellos para los que Q(x) 5 0, es decir, se excluyen los ceros de Q(x).

Gráficas de funciones racionales Comportamiento local y en infinito Para trazar la gráfica que corresponde a una ecuación con dos variables, generalmente localizamos algunos puntos de la gráfica asignando valores a la variable independiente y calculando los valores de la variable dependiente. Con cada par de valores obtenemos las coordenadas de algunos puntos que, al unirlos en forma consecutiva, nos dan una idea del trazo de la gráfica. Al proceder de esta manera se construyen tablas muy grandes con valores enteros para la variable independiente, pero nos falta información sobre el comportamiento de la gráfica para valores intermedios. Para el trazo exacto de la gráfica se requieren métodos de cálculo, por lo que a continuación se revisan algunos antecedentes que junto con otros criterios, nos servirán como recurso para hacer un trazo aproximado de la gráfica de una función racional.

Intersecciones con los ejes Para el trazo de una gráfica interesa saber en qué puntos es tangente o interseca a los ejes. Esos puntos se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones formado por la ecuación dada y la ecuación del eje. Si se quiere determinar el punto de intersección de la gráfica con el eje x, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación dada y la ecuación del eje x (y 5 0). En la práctica, esto equivale a sustituir y por cero en la ecuación dada y despejar x. Así se obtienen las coordenadas (x, 0) del punto de intersección con el eje x. De manera semejante se determina el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación dada y la ecuación del eje y (x 5 0). En la práctica esto equivale a sustituir x por cero en la ecuación dada y despejar y. Así se obtienen las coordenadas (0, y) del punto de intersección con el eje y.

137

BLOQUE

6


Ejemplos


1. Determina los puntos de intersección de 2x 1 3y 5 6 con los ejes. Solución: La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x por cero en la ecuación. Si x 5 0

2( 0 ) + 3 y = 6

En el trazo de la gráfica de una ecuación, ¿cómo se determinan los puntos de intersección con el eje x ?

En el trazo de la gráfica de una ecuación, ¿cómo se determinan los puntos de intersección con el eje y ?

de donde

3y =6 Despejando y

6 3 y=2

y=

Simetrías con respecto a los ejes

Por tanto, (0, 2) es el punto de intersección con el eje y. Si y 5 0

2 x + 3( 0 ) = 6

En geometría, sabemos que dos puntos del plano son simétricos con respecto a una recta cuando pertenecen a una misma perpendicular a la recta y están situados a igual distancia de ella.

de donde

2x = 6 Despejando x

6 2 x=3

P1 (x, y)

x=

Por tanto, (3, 0) es el punto de intersección con el eje x. 2. Determina los puntos de intersección de x 2 − x − 6 = y con los ejes. Solución: La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x por cero en la ecuación. Si x 5 0

P2 (x, –y)

02 − ( 0) − 6 = y

de donde

−6 = y Por tanto, (0, 26) es el punto de intersección con el eje y. Si y 5 0

x2 − x −6 = 0 Factorizando:

( x − 3)( x + 2 ) = 0 Igualando cada factor con cero:

( x − 3) = 0

( x + 2) = 0

de donde

x1 = 3

x 2 = −2

Por tanto, (3, 0) y (22, 0) son los puntos de intersección con el eje x.

138

Figura 6.1

Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y), entonces las coordenadas de P2 serán (x, 2y), es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa, mientras que sus ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero signo diferente. Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas P1 son (x, y), entonces las coordenadas de P2 serán (2x, y), es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada, mientras que sus abcisas tienen el mismo valor absoluto pero signo diferente. Debido a lo anterior es que, para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x, se sustituye y por 2y en la ecuación y si ésta no cambia entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje x. De manera similar, si al sustituir x por 2x en la ecuación ésta no cambia, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y.


2. Determina si la gráfica de la ecuación x 5 5 es simétrica con respecto al eje x.

P2 (–x, y)

P1 (x, y)

Solución: La ecuación x 5 5 se puede expresar en la forma x 1 0 (y ) 5 5 Si se sustituye y por 2y, la ecuación queda así: x 1 0 (2y ) 5 5 de donde x55 Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje x.

Figura 6.2

Ejemplos 1. Dada la ecuación x 5 y 2, analiza si su gráfica es simétrica con respecto al eje x. Solución: Al sustituir y por 2y en la ecuación x 5 y2 se obtiene x 5 (2y )2 x 5 y2 Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje x.

Figura 6.4

3. Analiza si la gráfica de la ecuación y 5 x 2 es simétrica con respecto al eje y. Solución: Si se sustituye x por 2x en la ecuación y 5 x2 se obtiene y 5 (2x )2 y 5 x2 Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Figura 6.3

139

BLOQUE

6


Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al eje y ?

P2(–x, y) P1(x, y)

Figura 6.5

4. Dada la ecuación y 5 3 determina si su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Solución: P2 (–x, –y)

La ecuación y 5 3 se puede expresar así:

P1 (x, –y)

0x 1 y 5 3 Si se sustituye x por 2x en la ecuación 0(2x ) 1 y 5 3 de donde y53 Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Simetría con respecto al origen Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste, dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2. En consecuencia si P1 tiene por coordenadas (x, y) entonces a P2 corresponden las coordenadas (2x, 2y). Actividad de aprendizaje Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al eje x ?

140

Figura 6.6

Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen se sustituyen x por 2x y y por 2y en la ecuación y si ésta no se altera entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen. Ejemplos 1. La gráfica de 2x 1 3y 5 0, ¿es simétrica con respecto al origen? Solución: Al sustituir x por 2x y y por 2y en la ecuación, se observa que: 2x 1 3y 5 0 2(2x ) 1 3(2y ) 5 0 Efectuando operaciones 22x 2 3y 5 0 Multiplicando la ecuación por 21 2x 1 3y 5 0 Como la ecuación no cambió, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.


Actividad de aprendizaje Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al origen?

y=

3 x+

2

0

Para tu reflexión

Robert Andrews Millikan (1868-1953) Este físico norteamericano fue reconocido con el Premio Nobel de Física en 1923, por sus trabajos con el electrón y por la comprobación de algunas ecuaciones relacionadas con el efecto fotoeléctrico. Figura 6.7 3

2. Dada la ecuación y 5 x , analiza si es simétrica con respecto al origen. Solución: Si en la ecuación se sustituye x por 2x y y por 2y, nos queda así: (2y ) 5 (2x )3 Se suprimen paréntesis 2y 5 2x 3 Se multiplica la ecuación por 21 y 5 x3 Como la ecuación no se alteró, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Concluyó sus estudios en la Universidad de Berlín en 1891 y desde 1896 enseñó física en la Universidad de Chicago. En 1921 ingresó al California Institute of Technology como director del laboratorio de física Norman Bridge. El trabajo más importante de Robert A. Millikan fue la determinación del tamaño de la carga eléctrica de un electrón. Analizó el curso de pequeñísimas gotas de agua cargadas eléctricamente que caian a través del aire, bajo la influencia de la gravedad hacia una placa metálica y en contra de la atracción de otra placa metálica cargada situada sobre ellas. Para suprimir los efectos de evaporación del agua posteriormente utilizó gotas de aceite. Si las gotas tuvieran carga podían detenerse en su caída ajustando la diferencia de potencial a voltaje entre las dos placas, ya que la fuerza de gravedad puede equilibrarse con la fuerza eléctrica. A partir del valor de la fuerza eléctrica era posible calcular la carga de una gota. Aplicando este método en repetidas ocasiones, Millikan encontró que los valores de las cargas de las gotas eran siempre múltiplos de un mismo número: la carga del electrón. Por este trabajo se le otorgó el reconocimiento del Premio Nobel. También contribuyó al gran renombre de este científico su trabajo experimental para comprobar las ecuaciones del efecto fotoeléctrico deducidas teóricamente por Einstein.

Figura 6.8

Además, realizó investigaciones sobre la intensidad de la radiación en la alta atmósfera por medio de aviones y globos y sobre la profundidad de la Tierra utilizando algunos instrumentos en el fondo de los lagos.

141

6 BLOQUE


6.3 Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas, que no pertenecen a la gráfica pero que sirven de guía para su trazo. A continuación se hará referencia a la ecuación xy − 2 y −1 = 0 para determinar sus asíntotas, dominio y rango, así como los intervalos en los que está y en los que no está la gráfica.

Ejemplo

Como puedes observar en la tabla, a medida que el valor de x se acerca a 2, por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para indicar que x se aproxima o tiende a 2, por la derecha, se utiliza el signo 1 como superíndice de 2. x S 21 En este caso: f (x ) S 1` cuando x S 21 Esta expresión indica que el valor de la función se hace cada vez más grande, o que crece sin límite, cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la derecha. Recuerda que ` no es un número.

1. Traza la gráfica de xy 2 2 y 2 1 5 0.

Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda.

Solución: Si se despeja y en términos de x se obtiene lo siguiente:

f ( x )5

1 x 22

x

x22

22

24

20.25

21

23

20.333

Dividiendo la igualdad entre x 2 2

0

22

20.5

1 x−2

1

21

21

1.5

20.5

22

1.8

20.2

25

1.9

20.1

210

1.99

20.01

2100

xy 2 2 y 2 1 5 0 Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad: xy 2 2 y 5 1 Factorizando el primer miembro y (x 2 2)5 1

y=

Para realizar el paso anterior se requiere x Z 2 porque si x 5 2 entonces se estaría dividiendo entre cero. como y 5 f (x ), la igualdad anterior se puede expresar así:

f ( x )5

1 . x 22

A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos a 2 pero sin llegar a ser igual a 2.

142

f ( x )5

1 x 22

x

x22

6

4

0.25

5

3

0.333

4

2

0.5

3

1

1

2.5

.5

2

2.2

.2

5

2.1

.1

10

2.01

.01

100

En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima a 2, por la izquierda, el valor de la función se hace cada vez menor o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se aproxima o tiende a 2, por la izquierda, se utiliza el signo 2 como superíndice de 2. x S 22 En este caso: f (x ) S 1` cuando x S 22 La gráfica de f ( x )5

1 se representa en la figura 6.9, en la x 22

que puedes apreciar el comportamiento de la función que toma valores cada vez más grandes, en valor absoluto, a medida que el valor de x se acerca cada vez más al valor 2, tanto por la izquierda como por la derecha.


20 10

–2

2

4

–10 –20 Figura 6.9

La recta x 5 2 es una asíntota vertical, es decir, una recta a la que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla.

6.4 Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas

Sumando 2 a los dos miembros de la igualdad 1 x 5 12 y si el denominador se iguala a cero y50 se obtiene la ecuación de la asíntota horizontal. Esta ecuación, como sabemos, es la que corresponde al eje x. A partir de la ecuación 1 x 5 12 y se pueden construir tablas aproximándonos al valor cero, tanto por arriba como por debajo. En la gráfica de la figura 6.9 puedes observar que si se toman valores de y cercanos a cero (por debajo), la x toma valores hacia la parte negativa; y si se toman valores cercanos a cero (por arriba), la x toma valores hacia la parte positiva, de tal manera que la recta es una asíntota horizontal. Para encontrar una asíntota horizontal se aplica el: Teorema La gráfica de una función racional de la an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 tiene: bm x m + bm−1 x m−1 + ...+ b1 x + b0

Teorema

R( x ) =

donde P(x) y Q(x) no tienen factores comunes, tiene a la recta x 5 a como asíntota vertical cuando Q(a) 5 0.

i) al eje x como asíntota horizontal cuando n , m. a ii) a la recta y = n como asíntota horizontal cuando bm n 5 m.

P( x ) La gráfica de una función racional de la forma R( x )5 Q (x)

La gráfica anterior corresponde a la ecuación xy 2 2y 2 1 5 0 Al despejar y en términos de x se obtuvo: 1 y5 x 22 Si el denominador se iguala a cero: x2250 Se obtiene la ecuación de la asíntota vertical: x52 Si en la ecuación xy 2 2y 2 1 5 0 se despeja x en términos de y, se obtiene, factorizando y(x 2 2) 2 1 5 0 Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad y(x 2 2) 5 1 dividiendo entre y 1 5 12 x 2 2x5 y Para realizar el paso anterior se requiere y Z 0

iii) ninguna asíntota horizontal cuando n . m.

Actividad de aprendizaje Si la gráfica de una ecuación tiene asíntotas: ¿Cómo se halla la ecuación de una asíntota vertical?

¿Cómo se halla la ecuación de una asíntota horizontal?

143

BLOQUE

6


Dominio y rango


La determinación del dominio y el rango permite delimitar la región del plano en la que está contenida la gráfica.

En una ecuación racional: ¿Cómo se determina el dominio?

Para obtener el dominio se despeja y en términos de x y se eliminan los valores de x para los que y no es un número real. Para obtener el rango se despeja x en términos de y y se eliminan los valores de y para los cuales x no es un número real. La ecuación xy 2 2y 2 1 5 0 cuya gráfica está en la figura 6.9, tiene

¿Cómo se determina el rango?

como dominio y rango los que se obtienen a continuación.

Dominio Se despeja y en términos de x xy 2 2y 2 1 5 0 y(x 2 2)2 1 5 0 y(x 2 2)5 1 y5

1 x 22

La y es real para cualquier valor de x, excepto x 5 2. Por tanto,

Aplica lo que sabes

Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días. Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas y suponiendo que la ración mínima para cada persona es la misma que se había asignado desde el principio, ¿cuántos días les podrán durar las provisiones?

Dy = − {2} = −∞ , 2 ∪ 2 , +∞

Rango

Intervalos

Se despeja x en términos de y

Con los intervalos determinados por el dominio es posible conocer las regiones del plano en las que está la gráfica y en cuáles no.

xy 2 2y 2 1 5 0 y(x 2 2)5 1 x 225

1 y

1 x 5 12 y La x es real para cualquier valor de y, y 5 0. Por tanto, Ry5 2{ 0} 5 2 ∪ 1 5 2∞ , 0 ∪ 0 , 1 ∞ 144

En la ecuación xy 2 2y 2 1 5 0, al despejar y en términos de x se obtuvo: 1 y= x−2 que tiene como asíntota vertical x 52 El dominio de la ecuación es Dy = − {2} = −∞ , 2 ∪ 2 , +∞ Con estos datos se puede analizar en qué región del plano está la gráfica de esta función. Según los valores que tome x, el denominador y el cociente pueden ser positivos (1) o negativos (2), el numerador es siempre positivo. Recuerda que cuando el numerador y el denominador tienen igual signo su cociente es positivo y que cuando tienen signo diferente su cociente es negativo.


Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente:

Si y 5 0 x 2(0) 2 4x (0) 1 4(0) 2 1 5 0

x

Numerador

Denominador

y

x,2

1

2

2

Por tanto, no hay intersección con el eje x.

x.2

1

1

1

Con el eje y (x 5 0).

En esta tabla vemos que para cualquier valor de x , 2 el cociente es negativo; esto significa que para cualquier valor de x , 2 y , 0 por lo que la gráfica no está en la región x , 2, y . 0. También puedes ver que para cualquier valor de x . 2 el cociente es positivo, es decir, que para x . 2, y . 0; por tanto, la gráfica no está en la región x . 2, y , 0. Las regiones donde no está la gráfica han sido sombreadas. Esto lo puedes confirmar en la figura 6.9. A continuación se presentan ejemplos de trazo de gráficas de funciones racionales en los que se hace uso de los siguientes recursos: • Las intersecciones con los ejes. • La simetría con respecto a los ejes y al origen. • Las asíntotas. • El dominio y el rango. • Los intervalos.

Si x 5 0 02y 2 4(0)y 1 4y 2 1 5 0 4y 2 1 5 0 4y 5 1

y= 

1 4

1 4

La intersección con el eje y es  0 ,  .   Simetrías Con respecto al eje x (se cambia y por 2y ).

x 2 (2 y)2 4 x(2 y)1 4(2 y)215 0 2 x 2 y 1 4 xy 2 4 y 215 0 Como la ecuación se altera, entonces no hay simetría con respecto al eje x. Con respecto al eje y (se cambia x por 2x ).

(2 x )2 y 2 4(2 x ) y 1 4 y 215 0 x 2 y 1 4 xy 1 4 y 215 0 La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al eje y. Con respecto al origen (se cambia x por 2x y y por 2y ).

(2 x )2 (2 y)2 4(2 x )(2 y)1 4(2 y)215 0 2 x 2 y 2 4 xy 2 4 y 215 0 La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al origen. Asíntotas Para encontrar las asíntotas verticales se despeja y en términos de x. x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0 Figura 6.10

Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad x 2y 2 4xy 1 4y 5 1

Ejemplo Traza la gráfica de la ecuación x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0. Solución: Intersecciones Con el eje x (y 5 0)

sacando a y como factor común: y (x 2 2 4x 1 4) 5 1 Factorizando el trinomio y (x 2 2)2 5 1 Dividiendo (x 2 2)2 bajo el supuesto de que x Z 2:

145

BLOQUE

6

Aplicas funciones racionales Rango y=

1 ( x − 2 )2

Al despejar x en términos de y se obtuvo:

Si se iguala el denominador con cero. (x 2 2)2 5 0 (x 2 2) (x 2 2) 5 0 Por tanto, x1 5 2, x2 5 2; esto significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x 5 2. Para encontrar las asíntotas horizontales se despeja x en términos de y. x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0 Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad. x 2y 2 4xy 1 4y 5 1 Sacando a y como factor común. y (x 2 2 4x 1 4) 5 1 Dividiendo entre y, bajo el supuesto de que y Z 0.

x2 − 4x + 4 =

1 y

Factorizando el trinomio.

( x − 2 )2 =

1 y

x=

La x es un número real para cualquier valor de y, excepto y 5 0. Por tanto: Ry = + = 0, +∞

Intervalos Utilizando los intervalos determinados por el dominio, se puede conocer en qué regiones del plano está la gráfica. En el intervalo −∞,2 puedes observar que, a medida que el valor de x tiende a 2, (x 2 2)2 se hace cada vez más pequeño y el valor de y se hace cada vez más grande. En el intervalo 2,+∞ puedes observar que a medida que el valor de x tiende 1`, (x 2 2)2, se hace cada vez más grande y el valor de y se hace cada vez más pequeño. Si observamos la expresión

Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad:

1 x−2= y 1 x= +2 y Si el denominador se iguala con cero se obtiene la asíntota y 5 0, esta ecuación corresponde al eje x.

y5

Al despejar y en términos de x se obtuvo: 1 ( x − 2 )2

La y es un número real para cualquier valor de x, excepto x 5 2. Por tanto: Dy = − {2} = −∞ , 2 ∪ 2 , +∞ Figura 6.11

146

( x 22)

2

⎛ 1 ⎞ y 5 ⎜ ⎟ La gráfica de x y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0 ⎜ ( x 22)2 ⎟⎠ es ⎝

Dominio

y=

1

vemos que x 2 2 está elevado a una potencia par y que su valor es positivo, para cualquier valor de x diferente de 2, por lo que y es siempre positivo y en consecuencia la gráfica está del lado positivo del plano con respecto al eje x, es decir, debajo del eje x no hay gráfica. 2

Dominio y rango de x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0

1 +2 y


20

Como la ecuación se altera, entonces no hay simetría con respecto al eje x.

10

Con respecto al eje y (se cambia x por 2x ).

–2

2

4

–10 –20

y5

2(2 x ) (2 x )2 4

y5

22x 2x 24

La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al eje y. Con respecto al origen (se cambia x por 2x y y por 2y ).

Figura 6.12

2 y5 Ejemplo

2(2 x ) (2 x )2 4

2 y5 Traza la gráfica de y 5 Solución:

2x . x 24

2x 2x 1 4

La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al origen.

Asíntotas

Intersecciones

Asíntota vertical

Con el eje x

Observa en la ecuación y 5

Si y 5 0

2x 05 x 24

2x que para x 5 4 el denominador x 24

se anula pero el numerador no; por tanto, x 5 4 es la ecuación de la asíntota vertical. Para encontrar las asíntota horizontal se despeja x en términos de y :

de donde

y5

0 5 2x Por tanto, 05x La gráfica corta al eje x en el punto (0, 0). Con el eje y

2x x 24

Multiplicando la igualdad por x 2 4:

y (x 2 4) 5 2x Efectuando el producto indicado: xy 2 4y 5 2x

Si x 5 0

2(0) 024

Transponiendo términos:

0 24

Sacando factor común:

y5 5

50 La gráfica corta al eje y en el punto (0, 0).

xy 2 2x 5 4y x (y 2 2) 5 4y Dividiendo entre y 22, con y diferente de 2:

x5

Simetrías Con respecto al eje x (se cambia y por 2y )

2x 2 y5 x 24

4y y 22

En esta ecuación, el denominador se anula cuando y 5 2, pero el numerador no; por tanto, y 5 2 es la ecuación de la asíntota horizontal.

147

BLOQUE

6


Dominio y rango Dominio

2x , la y es un número real para cualquier vax 24 lor de x, excepto x 5 4. Por tanto

También puedes ver que para cualquier valor de x . 4 el cociente es positivo, es decir, que para x . 4, y . 0, por tanto la gráfica no está en la región x .4, y , 0.

En la ecuación y 5

Dy5 2{ 4 }

Actividad de aprendizaje En una función racional, ¿cómo se encuentran las regiones del plano en las que está la gráfica?

5 2∞ , 4 ∪ 4 , 1 ∞

Rango

2x En la ecuación y 5 , al despejar x en términos de y se obtuvo x 24 4y x5 , donde la x es un número real para cualquier valor de y, y 22 excepto y 5 2. Por tanto,

¿Cuál es el criterio para saber que una función racional tiene una asíntota oblicua?

Ry5 2{ 2} 5 2∞ , 2 ∪ 2 , 1 ∞

Intervalos Si tomamos en cuenta la información anterior, podemos saber en qué regiones del plano está la gráfica. x

Numerador

Denominador

y

2∞, 0

2

2

1

0, 4

1

2

2

4,1∞

1

1

1

En esta tabla vemos que para cualquier valor de x , 0 el cociente es positivo, esto significa que para cualquier valor de x , 0, la y . 0, por lo que la gráfica no está en la región x , 0, y , 0. Cuando 0 , x , 4, el cociente es negativo, esto significa que para cualquier valor de x en este intervalo la y , 0, por tanto la gráfica no está en la región 0 , x , 4, y . 0. 150 100 50 –2

2 –50 –100 –150

Figura 6.13

148

4

6

8

Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. El plástico tiene múltiples y variados usos y presentaciones. En la industria refresquera de nuestro país se utiliza el polietileno tereftalato (PET). Este material es reciclable y requiere ser separado previamente. Investiga qué se hace con el PET en tu comunidad. Indaga si existe una planta para el reciclado del PET en tu comunidad o cerca de ella. Entérate de qué cantidad de PET se desperdicia durante un mes en tu comunidad, cuando se tira a la basura y contamina el medio. Busca y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.


Ejemplos

Traza la gráfica y 5

3x x 29 3x y 5 2 x 29 2 y 52

3x . x 29 2

Solución:

2

La ecuación no se altera, por tanto, la gráfica es simétrica con respecto al origen.

Intersecciones Con el eje x

Asíntotas

3x 05 2 x 29

0 5 3x

05x

Asíntotas verticales

3x

Si en la ecuación y 5 2 se factoriza el denominador nos queda x 29 así:

y5

La gráfica corta al eje x en (0, 0). Con el eje y

3x ( x 13)( x 23)

Por tanto, la gráfica tiene dos asíntotas verticales: x 52 3.

3(0) 02 29 0 y5 29 y5

y 5 0

Asíntotas horizontales Puesto que en la ecuación, el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, entonces de acuerdo con el teorema, y es una función racional. Si se divide el numerador y el denominador x 2 se obtiene:

La gráfica corta el eje y en (0, 0).

3x 3 2 x 5 x y5 2 x 2 9 12 9 x2 x2

Simetrías Con el eje x

2 y5

3x x 29 2

La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x. Con el eje y

y5

3(2 x ) (2 x )2 2 9

y5

23 x x 2 29

3 → 0 1 y y S 101, por consiguiente, a x 3 medida que x S1`, y S 01. A medida que x S 02, → 0 2 y x 9 1 2 → 0 , entonces y S 0 . x2 A medida que x S 1`

De esta forma, la recta y 5 0 es una asíntota horizontal de la gráfica.

Dominio y rango Dominio

La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.

Dy5 2{23, 3}

5 2 ∞ , 23 ∪ 23, 3 ∪ 3, 1 ∞ Rango

Con el origen

Ry5

2 y5

3(2 x ) (2 x )2 2 9

Intervalos

2 y5

23 x x 2 29

Con base en los intervalos determinados por el dominio, se puede construir la siguiente tabla en la que se indican las regiones del plano en las que está contenida la gráfica.

149

BLOQUE

6


x

Numerador

Denominador

y

2 ∞, 23

2

1

2

23, 0

2

2

1

0, 3

1

2

2

3, ∞

1

1

1

Simetrías Con el eje x

2 y5

La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x. Con el eje y

(2 x )2 2 4 y5 2 x 11 y5

40

x2 24 x 11

x2 24 2 x 11

La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.

20

Con el origen –4

2

–2

2 y5

4

–20

(2 x )2 2 4 2 x 11

x2 24 2 y5 2 x 11

–40

La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al origen. Figura 6.14

x2 24 Traza la gráfica de y 5 . x 11

Solución:

Intersecciones

Asíntotas Asíntotas verticales

x2 24

Si en la ecuación y 5 se iguala el denominador con cero se 1 x 1 obtiene la recta x 5 21, que es una asíntota vertical.

Con el eje x

x 24 x 11 2

05

0 5 x2 2 4 0 5 (x 1 2) (x 2 2) Por tanto, la gráfica corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0). Con el eje y

02 2 4 y5 0 11 24 y5 1 y = −4 Por tanto, la gráfica corta al eje y en el punto (0, 24).

Asíntotas horizontales En la ecuación puedes observar que, el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1; por lo que, aplicando el teorema, se sabe que no tiene asíntotas horizontales. Como el grado del numerador es mayor en 1 que el grado del denominador, entonces la gráfica tiene una asíntota oblicua, es decir, que no es horizontal ni vertical. Si se divide el numerador entre el denominador se obtiene:

x 21 x 11 x 2 1 0 x 2 4 2x2 2x 2x 24 x 11 23

150


y 5 x 212

De acuerdo con esta ley, para una misma fuerza, si la masa aumenta entonces la aceleración disminuye, y si la masa disminuye la aceleración aumenta.

3 x 11

De manera general se establece la siguiente:

Cuando x S1`, o x S2`, y S x 2 1. Por esta razón se dice que y 5 x 2 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de la función.

Definición

Dominio y rango

Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si k y 5 , en donde k es una constante diferente de cero. x Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (disminución) de una corresponda una disminución (aumento) de la otra. Cuando esto ocurre, se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.

Dominio Dy5 2{21} 5 2 ∞ , 21 ∪ 21, 1 ∞

Cantidades inversamente proporcionales son: • Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla.

Rango Ry5

Intervalos En este ejemplo, los intervalos del dominio nos indican dónde está la asíntota vertical de la gráfica. 10

• Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo empleado en recorrerla. –10

–5

5

10

–10

Figura 6.15

Variación inversa Definición y constante de variación La segunda Ley de Newton establece que f 5 m a, donde f es la fuerza que se aplica a una masa m para imprimirle una aceleración a.

• A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se someten. 151

BLOQUE

6


• Para una cantidad de víveres, el número de personas y el tiempo que tardarán en consumirlos.

Ejemplo


Para hacer una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer una construcción igual en 7 días? Solución: Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en alguna de las dos formas siguientes:

x 2 y1 5 x1 y2

o bien

y2 x1 5 y1 x 2

De donde:

7 23 5 42 x 2

y2 42 5 23 7

7x2 5 42(23)

7y2 5 23(42)

x2 5

966 7

y2 5

966 7

Por tanto: x2 5 138 obreros

152

y2 5 138 obreros

¿Cuándo se dice que dos variables son inversamente proporcionales?


Aplicación de las TICs Gráfica 1. Utiliza la plataforma WolframAlpha para trazar la gráfica de f (x) 5 2. Contesta:

3x . x2 2 9

• ¿Qué sucede cuando x 5 3 o x 5 23? • ¿Cómo interpretas el resultado de la plataforma? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Identifico el dominio de definición de las funciones racionales y determino la existencia de asíntotas verticales. Empleo la calculadora para tabular valores de funciones racionales. Aplico los criterios para determinar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas y utilizo éstas para dibujar la gráfica de una función racional. Aplico las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.


2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve en la 155 inicial la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 6 y entrégala a tu profesor.

153

6 BLOQUE



Apellido materno

Nombre Grupo


En una función racional: 1. ¿Cómo debe ser el polinomio del denominador?

7. A partir de la expresión algebraica de una función racional, ¿cómo se sabe si tiene una asíntota oblicua?

2. ¿Cómo se obtiene el dominio? 3. ¿Cómo se obtiene el rango? 4. ¿Cómo se determinan las intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados?

8. ¿Cómo se determinan las regiones del plano coordenado en las que hay o no hay trazo de la gráfica? 9. Para la función f ( x )5

a ) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados. b ) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al origen.

c ) Obtén las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.

d ) Halla el dominio y rango.

e ) Traza la gráfica.

5. ¿Qué criterios se aplican para saber si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes o al origen?

10. Una masa gaseosa, contenida en un recipiente cerrado, está sometida a una temperatura constante. Si la presión se triplica, ¿qué ocurre con el volumen?

6. Cuando existen, ¿cómo se determinan la ecuaciones de las asíntotas verticales?

154

x 11 si es posible: x 21


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la duración de las provisiones ante el aumento de los excursionistas al momento de partir, de la sección Aplica lo que sabes, de la página. 144. Nombre del alumno:

Criterio

cumple sí

no

Observaciones

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Conoce y aplica correctamente los conceptos de razón y de proporción directa e inversa. 12. Establece las relaciones necesarias para obtener el modelo matemático del problema. 13. Determina el número de días que pueden durar las provisiones. 14. Establece las razones y proporciones necesarias para determinar la ración de provisiones que le corresponden a cada excursionista antes de partir. 15. Establece las razones y proporciones necesarias para determinar la ración de provisiones que le corresponden a cada excursionista al momento de partir. 16. Determina el número de días que pueden durar las provisiones al aumentar el número de excursionistas.

155

BLOQUE

6


Rúbrica


Bueno (3)

Regular (2)

Componentes polinomiales de una función racional

Conoce y utiliza el concepto, la notación y la caracterización de una función racional, así como su comportamiento gráfico local y en infinito.

Conoce el concepto, la notación y la caracterización de una función racional, así como su comportamiento gráfico local y en infinito.

Conoce el concepto, la notación y la caracterización de una función racional, así como su comportamiento gráfico local.

No conoce ni utiliza el concepto, la notación ni la caracterización de una función racional, tampoco sabe cómo es su comportamiento gráfico local ni en infinito.

Posibles asíntotas de funciones racionales (horizontales, verticales, oblicuas)

Utiliza sus conocimientos sobre la función racional para determinar, cuando es posible, sus asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Utiliza sus conocimientos sobre la función racional para determinar, cuando es posible, sus asíntotas horizontales y verticales.

Utiliza sus conocimientos sobre la función racional para determinar, cuando es posible, sus asíntotas horizontales.

No tiene conocimientos sobre la función racional como para determinar, cuando es posible, sus asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Aspecto a evaluar

Criterios


156

Excelente (4)

Deficiente (1)


Hoja de observación

Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.

Criterios

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas Colaboran en la elaboración de las pruebas Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los materiales con precaución Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)


Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Aplicas funciones racionales. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Identifica el dominio de definición de funciones racionales y determina la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales. Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y utiliza éstas para dibujar la gráfica de una función racional. Aplicas las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos. Comentarios generales:

157

Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Tiempo asignado: 10 horas

7


7.1 Función exponencial 7.2 Función logarítmica 7.3 Gráfica de la función exponencial y logarítmica 7.4 Propiedades de los exponentes 7.5 Propiedades de los logaritmos 7.6 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa 7.7 Ecuaciones exponenciales 7.8 Ecuaciones logarítmicas


n

n

n

Se conoce, aborda y resuelve problemas de funciones exponenciales que utilice como conocimientos previos requeridos en su preparación de grado superior. Escucha, interpreta y formula problemas en distintos contextos mediante la utilización de herramientas cognitivas y tecnológicas. Aprende por interés en la reafirmación de sus conocimientos básicos para la aplicación en las asignaturas siguientes. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos, desempeñando un papel activo y proactivo.

n

n

n

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia los distintos puntos de vista de sus compañeros Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos en situaciones reales, mediante procedimientos matemáticos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? En una función real exponencial de la f ( x ) 5 a x:

n Argumenta la solución obtenida de un problema, utilizando las

tecnologías de la información y comunicación. n Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. n Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean. n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos de acuerdo a las caracteríticas de las funciones

1.

¿Qué valores reales puede tomar a?

2.

¿Por qué el valor de a debe ser diferente de 1?

3.

¿Por qué el valor de a no puede ser un número negativo?

4.

¿Para qué valores de a la función exponencial es creciente?

5.

¿Para qué valores de a la función exponencial es decreciente?

Desempeños por alcanzar A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o decreciente. Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora. Traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas. Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.

7

BLOQUE




¿Qué cantidad de dinero se debe invertir a 6% de interés anual compuesto para producir $20 645.50 en 20 años?

Secuencia didáctica Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente dibujos en las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Qué es el interés compuesto? ¿Cuáles son los elementos que intervienen en el interés compuesto? ¿Cómo se representan los elementos que intervienen en el interés compuesto?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.


¿Cuál es la fórmula para calcular el interés compuesto?

A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

¿Cómo se calcula el capital invertido?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar


Presentar la solución del problema planteado en la situación didáctica.

Rúbrica Para determinar la solución que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

160





Una bacteria se duplica cada hora. ¿En cuánto tiempo serán 2 048 si el cultivo inició con 8 bacterias?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: ¿Qué es una ecuación exponencial? ¿Cuáles son los elementos que intervienen en una ecuación exponencial?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


¿Cómo se puede resolver una ecuación exponencial?

A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

¿Cómo se puede calcular el valor de algún elemento de una ecuación exponencial?

En este ejemplo:


Rúbrica Para determinar la solución que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del pro-

Producto a elaborar Presentar la solución del problema planteado en la situación didáctica.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? cedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

161

7 BLOQUE



6. El número de bacterias de un cultivo está dado por f ( t )53( 4 t ) donde t está en horas y el número de bacterias f ( t ) en miles. Determina:

Ejercicios matemáticos 16

a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿Cuántas son a los 15 minutos? c) ¿Cuántas son a la media hora? 1 d) ¿Cuántas son después de 1 horas? 2

1. El valor de una casa de 200 000 unidades de dinero se incrementa a razón de 8% anual. ¿Cuál será su valor al cabo de tres años?

2. Una persona compra a crédito un artículo en 5 000 unidades de dinero y se le cobra 18% anual compuesto mensualmente. Si no hace pagos durante seis meses, ¿cuánto es lo que debe? 3. Si se invierten 10 000 unidades de dinero a 15% anual y se acumulan los intereses mensuales, ¿cuál es el capital después de un mes, dos meses, tres meses, seis meses, un año?

4. Una persona compra un artículo en 1 000 unidades de dinero y lo paga con una tarjeta bancaria en la que se cobra 36% anual compuesto mensualmente. Si durante un año la persona no hace otro cargo a la tarjeta ni abona, ¿cuál es su adeudo? 5. Una caja de ahorro paga 18% anual acumulado semestralmente. ¿Qué cantidad se debe invertir para tener 25 000 unidades de dinero después de año y medio?

7. Las bacterias de un cultivo se multiplican por cinco cada dos horas. Si se inicia con 800 bacterias a las 8 de la mañana, el número de bacterias está dado por:  1 f ( t )5800 5 2    de donde t es el tiempo en horas. Calcula el número de bacterias en el cultivo a las 10 y 11 de la mañana y 1 de la tarde. 8. Un cultivo de bacterias se triplica cada dos horas. Si se tienen 600 bacterias en el t 50 el número de bacterias después de t horas está dado por:  1 f (t )5600 3 2    ¿Cuántas bacterias habrá 2, 4, 5 y 7 horas después? 9. En una ciudad la población se duplica cada 10 años. El número actual de habitantes está dado en millones por:  t f (t )53 2 10    donde t está expresado en años. a) ¿Cuántos habitantes tendrá la ciudad dentro de 10 años? b) ¿Cuántos habitantes tenía 10 años antes? 10. Una sustancia radiactiva tiene una vida medial de 90 días. Si se tienen 100 miligramos (mg) en el periodo t 50, la cantidad que queda después de t periodos de semidesintegración está dada por: t  1 f (t )5100   2 ¿ Qué cantidad de sustancia radiactiva queda después de 180, 270 y 450 días?

162


Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía. Isócrates (orador ateniense)

ponente fuera impar o quizá no esté definida en los números reales para ciertos exponentes fraccionarios.

7.2 Función logarítmica Como un antecedente de la función logarítmica es conveniente revisar el concepto de función inversa que se incluye en el bloque 2, pues la función logarítmica es inversa de la función exponencial, como se verá a continuación. Para comprender fácilmente la definición del logaritmo, primero recordemos que en una expresión como 23 58 al dos se le llama base; al tres, exponente y al ocho, potencia. Se llama logaritmo de un número al exponente a que se debe elevar la base para obtener dicho número.

Introducción Este bloque inicia con una revisión del concepto de exponente y de sus respectivas leyes para tratar lo relacionado con la función exponencial. Incluye la función exponencial natural. Se hace una interpretación algebraica y una gráfica de la función logarítmica como inversa de la función exponencial.

7.3 Gráfica de la función exponencial y logarítmica

7.1 Función exponencial

En consecuencia, se forman dos intervalos abiertos a los que puede pertenecer la base, éstos son 0 , 1 y 1, ∞ . Recuerda que los intervalos incluyen los extremos en que son cerrados y no incluyen los extremos en que son abiertos. Así, 3, 10 ] es un intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, formado por todos los números mayores que 3 y menores o iguales que 10.

Antes de tratar lo relacionado con esta función, es conveniente recordar el concepto de exponente e incluir las leyes de los exponentes positivos.

Con las consideraciones anteriores, veamos cuál es el comportamiento de la función cuando la base pertenece a cada uno de los intervalos señalados.

En una expresión 23 5 2 3 2 3 2 58, al dos se le llama base; al tres, exponente y al ocho, potencia; esta última se obtiene como producto de tantos factores iguales a la base como indica el exponente.


Las propiedades de los logaritmos se utilizan para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Concepto de función exponencial

¿Por qué se dice que la función exponencial f (x ) 5 a x es una función trascendente?

Notación La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es:

¿Por qué el eje x es una asíntota de la función f (x ) 5 a x?

f : → f ( x )5 a x Con a , x ∈ , a .0 , a ≠ 1 . De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier exponente real la potencia es un número real positivo; además es diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es 1 y si la base fuera un número real, negativo, no se podría afirmar nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones diferentes: sería positiva si el exponente fuera par, negativa si el ex-

Ejemplos 1. Si 23 58 , entonces log 2 8 53 , que se lee: “logaritmo en base dos de ocho es igual a tres”. 2. 2 4 516 ⇒ log 2 16 5 4

163

7

BLOQUE


3. 7 2 5 49 ⇒ log 7 49 5 2

log 2 15x ⇒ 2 x 51, 2 x 52 0 ∴x 50

1

4. 36 2 5 36 56 ⇒ log 36 6 5 2

5. 8

2 3

5

1 2 3

53

1 2

log 2 25x ⇒ 2 x 52 , 2 x 521∴x 51 log 2 4 5 x ⇒ 2 x 52 2 , 2 x 52 2 ∴x 52

1

1 1 2 5 ⇒ log 8 52 2 4 4 3 8

8 1 1 6. 223 5 ⇒ log 2 523 8 8

log 2 85x ⇒ 2 x 58 , 2 x 523 ∴x 53 Entonces, la tabla de log 2 y 5 x nos queda de la siguiente manera:

7. a x 5b ⇒ log a b 5 x Si en una función exponencial se restringe el contradominio a los números reales positivos, 1, entonces la función así definida será inyectiva, suprayectiva y biyectiva. x 8. Sea f : R → R1 tal que f ( x )52 .

Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla siguiente: x

f (x ) 5 x

(x, f (x )

23

1 1 5 23 8 1 1 f 2 2552 222225 5 25 f (22) 2 4

1  23,  8

23

23 552223 5 ff(23) 5

y

( y, x)

log2 y 5 x

1 8

log2

1 5 23 8

1   , 23  8

1 4

log2

1 5 22 4

 1 , 22   4

1 2

log2

1 5 21 2

1   , 21 2

1

log2 1 5 0

(1, 0)

1  22 ,  4

2

log2 2 5 1

(2, 1)

4

log2 4 5 2

(4, 2)

21

1 1 21 f 21552221 5 15 f (21) 2 2

1  21,  2

8

log2 8 5 3

(8, 3)

0

f (0) 5 20 51

(0, 1)

f (2) 5 2 54

(2, 4)

3

f (3) 5 23 58

(3, 8)

f(

x)

2

=x

(1, 2)

2

f (1) 5 2 52

y

= 2x

1

1

f (x)

22

Haciendo y 5 f ( x ) en f ( x )52 x tiene que: y 52 x o bien:

2x 5 y

y = log2 x

que implica: log 2 y 5 x De tal manera que al sustituir y por los valores de la tabla anterior, se tiene:

1 1 1 log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5 3 , 2 x 5223 ∴x 523 8 8 2 1 1 1 log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5 2 , 2 x 5222 ∴x 522 4 4 2 1 1 log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5221∴x 521 2 2 164

x

Figura 7.1


10

x

En las tablas de f ( x )52 y y 5log 2 x puedes ver que los componentes de sus pares ordenados correspondientes están invertidos, hecho que se puede visualizar en la figura 7.1, donde sus respectivas representaciones geométricas son simétricas respecto a la función identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de la otra.

5

Función exponencial natural (el número e, crecimiento o decrecimiento en base e) El número e. Caracterización e importancia Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función exponencial se han tomado de los intervalos definidos, sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos, se utiliza con mayor frecuencia el número e. El número e se obtiene en cálculo como el x

1  límite de  1 1  cuando x → 1 ∞ . A medida que x aumenta  x x 1  sin límite el valor de  1 1  tiende a un valor finito que es el nú x mero irracional e, que es aproximadamente igual (8) a 2.7182818. e 2.7182818 El valor aproximado de e se puede obtener utilizando la expresión nx  1  11  valores de n suficientemente grandes. También se puen de obtener su valor por medio de tablas o utilizando una calculadora científica.

–3

–2

–1

1

2

3

Figura 7.2

Esta función tiene una propiedad importante que se verá en cursos posteriores: el valor de la pendiente de la tangente a la curva en cada uno de sus puntos es igual a la ordenada de ese punto. Actividad de aprendizaje ¿En qué difiere la expresión algebraica de la función exponencial con respecto a la de la función exponencial natural?

x

Actividad de aprendizaje Investiga en qué tipo de problemas aparece la constante e.

Función exponencial natural La función exponencial que tiene como base al número e se llama función exponencial natural, definida por f ( x )5 e x Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números reales positivos. Su gráfica es semejante a la de las funciones exponenciales de base a . 1.

Crecimiento y decaimiento exponencial En el análisis de situaciones que tienen que ver con el comportamiento de fenómenos relacionados con el crecimiento poblacional o el periodo de semidesintegración de materiales radiactivos, por mencionar algunos, se utilizan expresiones que son modelos matemáticos que tienen como base potencias de e. El crecimiento exponencial se puede expresar por medio de la función f (t )5 Be kt con t $0, donde B y k son constantes positivas. El decaimiento exponencial se puede expresar por medio de la función f (t )5 Be 2kt con t $0, donde B y k s son constantes.

165

7

BLOQUE


Actividad de aprendizaje En la expresión f (t ) 5 Be kt, ¿qué valor toma k cuando se da un crecimiento o un decaimiento?

                Para tu reflexión         John Napier (1550-1617)      Matemático escocés, famoso por susestudios sobre las expresiones   trigonométricas e inventor de los logaritmos.     métodode cálculo  a un nuevo Su mayor renombre lo alcanza gracias     que elaboró en 1594; precisamente este trabajo reflejó su alta capacidad    reflexiva para las matemáticas. John Napier expuso que todas las cifras  4 puede escribirse  podían ser expresadas en forma exponencial; así,  (23); por como dos al cuadrado (22), el númeroocho como dos al cubo otro lado, el 5, 6 y 7 fueron representados  a una po-  como eldos elevado tencia fraccionaria entre el dos y el tres.En consecuencia, si los  números  podían expresarse en forma exponencial, la multiplicación se  realizaría   sumando los exponentes y la división mediante la resta de estos mismos,     lo que significaba una simplificación enorme en las operaciones.     para Este científico dedicó más de 20 años al estudio de fórmulas   poder establecer y simplificar en formas exponenciales las expresiones   trigonométricas de gran utilidad  para las medidas y los cálculos  de astronomía. Este proceso de calcular las expresiones exponenciales recibió el nombre de logaritmos (números proporcionados). Sus tablas de logaritmos tuvieron gran valor y repercusión en los estudios de la época; con ellos se simplificaron los cálculos rutinarios.

Actividad de aprendizaje Si 24 5 16 , ¿cómo se puede expresar la igualdad en forma logarítmica?

7.4 Propiedades de los exponentes Si a y b son números positivos cualesquiera, y m y n son números positivos cualesquiera, entonces: Primera

a m 3 a n 5 a m 1n

Segunda

( a ) 5a

Tercera

am  a 5   b am

m n

mn

m



Cuarta 

(ab)m 5 a m b m

     a m2n , si m . n     a m  1, si m5n   Quinta    n5     1  a  , si m , n  n 2 m  a     De  ley se deduce que: para todo número real a ≠ 0,  la quinta 1 0 2n a  51 y a 5 a n ; expresiones empleadas con frecuencia en la función exponencial.

7.5 Propiedades de los logaritmos Funciones exponencial y logarítmica: aplicaciones Interés compuesto Consideremos un capital C y un interés simple de i por ciento. Si el capital es de un millón de unidades de dinero y el interés es de 5% anual; entonces después de un año el capital produce un interés de: Ci 5 1(0.05) 5 0.05. Por lo que el nuevo capital es de: C 1 C i 5 C (1 1 i) 5 1 (110.05) 5 1 (1.05) 5 1.05

Si esta cantidad se reinvierte al mismo interés por un año más, entonces después de dos años el capital es: 1.0511.05 (0.05) 5 1.05 (1 1 0.05) 5 1.05 (1.05) 5 (1.05)2

166

(1)


Que se puede expresar así:

t

C(1 1 i) 1 C(l 1 i) i 5 C(1 1 i) (l 1 i) 5 C(l 1 i)2

(2)

A los tres años y en las mismas condiciones el capital es: (1.05)2 1 (1.05)2 (0.05) 5 (1.05)2 (1 1 0.05) 5 (1.05)2 (1.05) 5 (1.05)3 C(l 1 i)2 1 C(l 1 i)2 i 5 C(l 1 i)2 (1 1 i) 5 C(l 1 i)3

(3)

Observando el comportamiento de (1), (2) y (3) después de n años, el capital Cn se expresa por: Cn 5 C(l 1 i)n Cuando el interés se acumula de esta manera se le llama interés compuesto. La expresión final del capital corresponde a una función exponencial de base 1 1 i con exponente n, donde n es el periodo medido en años, meses, semanas, días u otra unidad de tiempo. El interés i es por periodo, por lo que si el interés es de 6% anual compuesto men6 1 sualmente entonces el interés por meses será de o sea o bien 12 2 0.50% 5 0.005 y n expresará el número de meses.

f (t)

0

500

1

1 000

2

2 000

3

4 000

4

8 000

5

16 000

.

.

.

.

Por lo que la función se puede expresar como: f (t )5(500)2 t 1 manera que el número de bacterias 3 horas después de iniciado 2 el cultivo es: 1 7 t 53 5 2 2 7

 7 f   5( 500 )2 2  2 5 500 2 7 5 500 128

Aplica lo que sabes El municipio donde vives contrae una deuda por 100 millones de pesos a 4% anual. ¿Qué cantidad debe pagar cada año para saldar su deuda en 10 años?

Población La función exponencial también se puede utilizar como modelo de crecimiento de alguna población. Veamos el caso de cierto tipo de bacteria que al cabo de un tiempo (periodo de reproducción) se duplica. Esto significa que, si al inicio se tiene una bacteria, después de un periodo de reproducción se tendrán dos, éstas a su vez darán origen a cuatro en el segundo periodo, en el tercer periodo las cuatro darán origen a ocho y así sucesivamente. Si en un laboratorio se prepara un cultivo de bacterias que se duplican cada hora y se inicia con 500 se puede construir la siguiente tabla en la que se indica que después de t horas el número de bacterias f (t).

5 500(11.31) 5 5 657 (aproximadamente)

Desintegración radiactiva Una sustancia radiactiva se desintegra en un tiempo que se conoce como periodo de semidesintegración o vida media. La vida media del radio es de 1 600 años; esto significa que, si ahora se tiene una cierta cantidad de radio, dentro de 1 600 años sólo quedará la mitad. Si n representa el número de periodos de desintegración, entonces la cantidad de sustancia que queda después de n periodos es: n  1 f (n)5 m  5 m(2)2n donde m es la masa original de la sus 2 tancia. Actividad de aprendizaje ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función exponencial?

167

7

BLOQUE


Aplica lo que sabes ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función logarítmica? Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 90 días. Si inicialmente (t 5 0) se tienen 100 miligramos (mg), la cantidad que queda después de t periodos de semidesintegración está dada por:

7.6 Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa El producto 2 3 2 3 2 es 8. De forma simplificada lo expresamos así: 2 3 2 3 2 5 23 5 8 Por definición, logaritmo de un número es el exponente a que se debe elevar la base para obtener dicho número En consecuencia, si 23 5 8 entonces log28 5 3 Es decir 23 5 8 1 log28 5 3 inversamente log28 5 3 1 23 5 8 Si 103 5 1 000 entonces log 5 1 000 5 3 o sea que: 103 5 1 000 1 log 1 000 5 3 recordemos que si la base del logaritmo es 10, no se pone. Por lo tanto: si 103 5 1 000 1 log 1 000 5 3 y log 1 000 5 3 1 103 5 1 000 1 1 Si 49 5 (49) 2 5 7 1 log49 7 5 2 inversamente 1 1 log49 7 5 1 (49) 2 5 7 2 1 1 Si 522 5 25 1 log5 25 5 22 y 1

1

log5 25 5 22 1 522 5 25 Si 9 5 81 1 log981 5 2 2

y log981 5 2 1 92 5 81 168

⎛ 1⎞ f (x )5100⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

t

¿Qué cantidad de sustancia radiactiva queda después de 360 días?

7.7 Ecuaciones exponenciales 10 x 5100 es una ecuación exponencial pues la variable x aparece como exponente. Si se expresa a 100 como 10 2 , la ecuación se transforma en 10 x 510 2 ; por tanto, x 5 2. La ecuación 10 x 5 1 000 se puede escribir 10 x 5103 ; por tanto, x 5 3. Sin embargo, en la ecuación 10 x 5 586 la determinación del valor de x ya no es tan sencilla; por los ejemplos anteriores sabemos que 100 , 586 , 1 000, por lo que el valor de x debe estar comprendido entre 2 y 3. Para determinar el valor de x de manera más aproximada se utiliza la definición de logaritmo, es decir: 10 x 5 586 ⇒ log 10 586 5 x x 5 2.7679

de donde:

Este valor se puede obtener con una calculadora científica introduciendo el número 586 y presionando la tecla log (o Log), ya que se trata del logaritmo de un número de base 10; si la base es e entonces se introduce el número y se presiona la tecla ln (o LN). Ejercicios

Encuentra el valor de x en:

4x 2 422x 5 3

2x 5 1 204

3x 5 729x

2x 1 2 5 4x 2 1

34x 1 1 5 93x 2 5

2x 1 2 5 64

5x

x

2

52x

3 5 9(3

7x 5 22x 1 1

)

x

5

1x

5 25 1

9 5 27 (31 2 x)


7.8 Ecuaciones logarítmicas Para resolver ecuaciones logarítmicas, utilizamos los logaritmos y sus propiedades tanto para simplificar las operaciones como para despejar la variable cuyo valor nos interesa encontrar.

para resolver esta ecuación por factorización buscamos dos factores de 36 que suman 5, estos factores son 9 y 4, entonces 6x 2 1 9x 2 4x 2 6 5 0 factorizando 3x (2x 1 3) 22 (2x 1 3) 5 0

Ejemplos

de donde (3x 2 2) (2x 1 3) 5 0

1. Encuentra el valor de x en: log(x 3 2 4x 2 1 9x 1 14) 2 log (x 1 1) 5 1

3x 2 2 5 0 1 x15

Solución: La ecuación anterior se puede expresar como:

 x 3 2 4 x 2 1 9 x 114  log   51 x 11  

3 2

2x 3 3 5 0 1 x252

3 2

Éstos son los valores que resuelven la ecuación. 3. Encuentra el valor de x en: log 3x 2 2 log 9 x 5 2

con aplicación de la propiedad del logaritmo de un cociente.

Solución:

Al efectuar la división, nos queda

Se aplica la propiedad del logaritmo de un cociente para expresar como

2

log(x 2 5x 1 14) 5 1 de donde 1

 3x 2  52  93xx 2   x 9 x    3  x log   5 2  3 2  3x   9 x 

log 

2

10 5 x 2 5x 1 14 o bien x 2 2 5x 1 4 5 0

de donde

factorizando (x 2 1)(x 2 4) 5 0 de donde

por tanto

 x 3

x 2 1 5 0, 1 x1 5 1

102 5   

x 2 4 5 0, 1 x2 5 4 por tanto; 1 y 4 son los valores que satisfacen la ecuación.

de donde

2. Halla el valor de x en:

3(102) 5 x

log(6x 1 5) 2 log3 5 log2 2 logx

esto es

Solución

 6x 15   Al aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente 3 

de donde

por tanto

 6x 15   2 log  5 log    x  3   6x 15     2 3    x  6x 15   2  5   3   x  2    xx(6x 1 5) 5 2(3) 6x 2 1 5x 5 6

300 5 x 4. Halla el valor de x en: (ln x )3 5 ln x4 Solución: Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia para expresar como (ln x )3 5 4 ln x de donde (ln x )3 2 4 ln x 5 0 al sacar factor comun ln x [(ln x )2 2 4] 5 0

2

6x 1 5x 2 6 5 0

169

7 BLOQUE


Tomando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:

factorizando

log1.338226 5 log (1.06 )n

ln x (ln x 1 2) (ln x 2 2) 5 0 se iguala cada factor con cero

o bien:

ln x 5 0 ln x 1 2 5 0 ln x 2 2 5 0

log1.338226 5n log1.06 0.126529463 5n 0.025305865 55n de donde:

por tanto x 5 e 0

ln x 5 2 2

x 5 1

log1.338226 5n log (1.06 )

ln x 5 2

x 5 e x 5 e 2 22

Ejercicios

El resultado indica que el número que representa al capital se logra cinco años después de su inversión. 2. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora, si se inició con 500 al cabo de cuántas horas serán:

Encuentra el valor de x en: log (x 2 1)5 2

a) 4 000

2 log x 5 6 log 2

b) 5 464

log x 1 3 log 2 5 3

De acuerdo con lo expuesto antes, el número de bacterias en un t tiempo t está dado por: f ( t )5500(2 ) t en horas.

log (2x 2 3) 5 1 2 log (x 2 2)

a) Cuando el número de bacterias es de 4 000, la expresión anterior nos queda así:

log x 5 log 36 2 2 log 3 log (x 1 2) 1 log (x 2 1) 5 1

log x 1 log (x 1 15) 5 2

4 000 5 500(2 t )

4 000 500(2 t ) 5 Dividiendo entre 500: 500 500

4ln x 5 ln (5x2 2 4) ln x 5 1 1 3 ln x

t 8 5 2

ln 12 2 ln (x 2 1) 5 ln (x 2 2)

Como 8 5 23 entonces: 23 5 2 t Por tanto:

Ejemplos

b) De manera semejante, cuando f ( t )55 464 se tiene que: t 5 464 5 500(2 t ) entre 500: 10.928 5 2 .

1. Si se invierten 5 000 unidades de dinero al 6% de interés anual compuesto cada año, ¿al cabo de cuántos años el capital será de 6 691.13 unidades de dinero? Solución: Se puede obtener aplicando logaritmos de la siguiente forma. En la fórmula:

Aplicando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:

log10.928 5 log 2 t

C n 5(11 i )n se sustituyen los valores del problema: 6 691.135 5 000(11 .06)n de donde: o sea:

170

t 53

Lo que significa que tres horas después de iniciado el cultivo se tienen 4 000 bacterias.

6691.13 5(1.06 )n 5 000

1.338226 5(1.06 )n

O bien:

log10.928 5t log 2

De donde:

log10.928 5t log 2 1.038540686 5t 0.301029995 3.45 5t

O sea que a las 3.45 horas de iniciado el cultivo el número de bacterias es de 5 464.


Aplicación de las TICs Función exponencial 1. El número de bacterias de un cultivo está dado por f (x) 5 3(4t ), donde t está en horas y el número de bacterias f (x) en miles. Usa la plataforma WolframAlpha para determinar: a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? Tip: puedes emplear esta sintaxis para evaluar funciones en la plataforma: “evaluate f (t) 5 3(4^t ) when t 5 0”, con esto indicas que quieres “evaluar f (t) cuando t 5 0”. b) Contesta: • ¿Cuántas son a los 15 minutos? Tip: emplea la misma sintaxis que en el punto anterior. • ¿Cuántas son después de 1.5 horas? c) Traza la gráfica de la función en el siguiente intervalo 0 # t # 50. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

A partir de la expresión de la función exponencial decido si ésta es creciente o decreciente. Obtengo valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora. Trazo las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener gráficas de funciones logarítmicas. Utilizo las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplico las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas.

171

7 BLOQUE



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Utilizas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o decreciente. Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora. Traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y úsalas para obtener gráficas de funciones logarítmicas. Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar y resolver problemas. Comentarios generales:

172

Cumple Sí

No

Comentarios



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. ¿Cuál es el valor del número e aproximado a cinco decimales?

7. ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función exponencial?

2. En una función exponencial natural, ¿a qué se le llama factor de decaimiento?

8. ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función logarítmica?

3. ¿A qué se le llama logaritmo?

9. ¿Cuál es la base en los logaritmos de Briggs? ¿Y en los de Néper?

2

1

4. Si 8 3 5 , ¿cómo se puede expresar la igualdad usando logaritmos? 4

10. Las bacterias de un cultivo se multiplican por cinco cada dos horas. Si se inicia con 800 bacterias a las 8 de la mañana, el número de bacterias está dado por:

 1 f (t )5800 5 2   

5. ¿Cómo son el dominio y el rango de una función logarítmica con respecto a su correspondiente función exponencial?

6. ¿Cómo son entre sí las gráficas de una función exponencial y su correspondiente función logarítmica con respecto a la gráfica de la función identidad?

De donde t es el tiempo en horas. Calcula el número de bacterias en el cultivo a las 10 y 11 de la mañana y 1 de la tarde.

173

7

BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la vida media de una sustancia radiactiva de la sección Aplica lo que sabes, de la página 167. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


174

11. Conoce y aplica correctamente el concepto de función exponencial. 12. Establece las relaciones entre los datos del problema. 13. Determina la cantidad de sustancia radiactiva que queda después de 360 días. 14. Comprende el concepto de vida media. 15. Identifica correctamente los datos del problema y los utiliza en el modelo. 16. Obtiene la cantidad de sustancia radiactiva que queda después de 360 días.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Conoce el concepto, notación y modelo matemático de función exponencial.

No conoce el concepto, notación ni el modelo matemático de función exponencial. No determina su dominio y rango. No reconoce su comportamiento gráfico.

Conoce el concepto, caracterización e importancia de la función exponencial natural. Determina su dominio y rango.

Conoce el concepto, caracterización e importancia de la función exponencial natural.

No conoce el concepto, caracterización e importancia de la función exponencial natural. No determina su dominio ni rango. No puede determinar el crecimiento o decaimiento exponencial.

Interpreta algebraica y gráficamente a la función logarítmica como inversa de la función exponencial.

Interpreta algebraicamente a la función logarítmica como inversa de la función exponencial.

Interpreta, de manera parcial, a la función logarítmica como inversa de la función exponencial.

No interpreta algebraica ni gráficamente a la función logarítmica como inversa de la función exponencial.

Propiedades de los logaritmos

Conoce y aplica las propiedades operativas inherentes a la definición de los logaritmos.

Conoce y aplica por lo menos cuatro de las cinco propiedades operativas, inherentes a la definición de los logaritmos.

Conoce y aplica por lo menos tres de las cinco propiedades operativas, inherentes a la definición de los logaritmos.

No conoce ni aplica las propiedades operativas inherentes a la definición de los logaritmos.

Propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Conoce y aplica las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Conoce las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Conoce algunas de las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

No conoce ni puede aplicar las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Forma de las funciones exponenciales (crecientes, decrecientes)

Conoce el concepto, notación y modelo matemático de función exponencial. Determina su dominio y rango. Reconoce su comportamiento gráfico.

Conoce el concepto, notación y modelo matemático de función exponencial. Determina su dominio y rango.

Función exponencial natural

Conoce el concepto, caracterización e importancia de la función exponencial natural. Determina su dominio y rango. Determina el crecimiento o decaimiento exponencial.

Interpretación algebraica y gráfica de la función logarítmica


175

Aplicas funciones periódicas Tiempo asignado: 10 horas

8


8.1 Funciones trigonométricas: seno y coseno 8.2 Funciones circulares: seno y coseno 8.3 Formas senoidales 8.4 Representación gráfica de funciones trigonométricas 8.5 Características de las funciones periódicas: amplitud, frecuencia y periodo


Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

n

Construye e interpreta modelos matemáticos de las funciones seno y coseno mediante las gráficas representativas.

n

Escucha e interpreta las funciones trigonométricas mediante gráficas y tablas para la aplicación de la función senoidal.

n

Resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes estrategias de solución.

Desarrolla interés al desarrollar situaciones problemáticas que requieren de funciones trigonométricas.

n

Explica e interpreta los resultados obtenidos y los aplica en su entorno.

n

n

Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.

n

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

n

Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de las ideas de sus compañeros.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Traza la gráfica de la ecuación dada en el 2 2p # x # 2p

y 5 sen x

2.

y 5 cos x


n Analiza las relaciones entre dos o más variables y estima su comportamiento.

n Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las

magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean en los problemas aplicables en la vida cotidiana (sismos).

1.

n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos

y científicos.

Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno. Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una situación o fenómeno específico. Obtiene la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal. Describe la relación entre periodo y frecuencia. Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden representarse mediante funciones senoidales.

BLOQUE

8




Explica por qué si la función cos t tiene un periodo 2p, la cos 2t tiene un periodo p.

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las opciones de resolver el problema.

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que investigó, registró y calculó para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la solución del problema. Es preciso confrontar los datos obtenidos de los cálculos para hacer las rectificaciones necesarias.

¿Cómo son las gráficas de las funciones seno y coseno?

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, esto con el propósito de hacerse responsables de su proceso de aprendizaje.

¿Cuáles son los elementos de la función seno y la función coseno?


¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva seno y la del coseno?

Con el fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

¿Cómo se determina el periodo de la función coseno?

En este ejemplo:

¿Por qué son diferentes los periodos de las funciones cos t y cos 2t?

Producto a elaborar

Trabajo individual

Deben presentar la evidencia de lo realizado para tener su evaluación.


Cada alumno debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica Para determinar los periodos que son requeridos, se debe anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tendrán un valor de 5 puntos y se calificará en base con el material utilizado, la originalidad de su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos de tu calificación en la actividad. Todo sumará 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual. 178





p  Explica por qué la grafica de la función y 5 2 sen  2 x 1  1 2 está desplazada verticalmente hacia arriba.  2

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema. Que cada uno represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las alternativas para resolver el problema.

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que investigó, registró y calculó para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados para resolver el problema. Es necesario confrontar los datos obtenidos en los cálculos para hacer las rectificaciones necesarias.

¿Cómo es la gráfica de la función seno?

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación de las actividades señaladas en la secuencia didáctica, esto con el propósito de hacerse responsables de su proceso de aprendizaje.

¿Cuáles son los elementos de la función seno?


¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva seno?

Con el fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.

¿Cómo se determina la fase de la función coseno?

En este ejemplo:

¿Por qué son diferentes las gráficas de las funciones y 5sen x p  y 5 2 sen  2 x 1  1 2.  2

Producto a elaborar


Presentar la evidencia de lo realizado para su evaluación.

Trabajo individual Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica


Para determinar la fase y desplazamiento que se piden deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tendrán un valor de 5 puntos y se calificarán con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase, será de 2 puntos de tu calificación en la actividad. Todo sumará 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.

179

8 BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas Traza la gráfica de la ecuación dada en el intervalo que se indica. p 1. y 5 sen 4 x ;  0 ,   2 2. y 5 2 sen 2 x ;[0 , p]

Problemas Un naturalista encuentra que la población de algunas especies animales varía periódicamente a través del tiempo; sus registros comienzan a partir de t50 años, cuando el tiempo es t52.9 años, la población de lobos es mínima y de 200 ejemplares, después encuentra el máximo cuando t55.1 años y la población de lobos es de 800 ejemplares.

11 p sen 8 x ;  0 ,  9  4 3 4. y 5 sen 5 x ;[0 , p] 5 5. y 52 2 sen x ;[0 , p] 3. y 5

6. y 53sen 2 x ;[0 , 2p] 1 1 7. y 52 cos x ;[0 , 6p] 2 3 1 8. y 5 2 cos x ;[0 , 4 p] 2 9. y 5 7 cos3x ;[0 , 2p] 10. y 52 2 cos3x ;[0 , 2p] Determina el periodo, amplitud y frecuencia de las siguientes funciones y grafícalas teniendo en cuenta la fase. 3 p 1. y 5 sen 4 x 1 2 8 7  p 2. y 5 cos  x 1   2 2 p  3. y 5 5 sen  x 2   2 1 p 4. y 5 cos3x 1 2 6 1 1   5. y 5 cos  x 1p  4 2 3p  1 6. y 5 5 cos  x 2  8 2  3 7. y 53 cos x 1 4 8 p  8. y 5 4 sen  5 x 1   4 1 9. y 5 2 sen x 1 2p 2 9 1 3p  10. y 5 cos  x 1   5 3 4  180

Suponiendo que la población puede representarse como una función senoidal. a) Elabora un bosquejo de la gráfica. b) Escribe una ecuación que exprese el número de lobos en función del tiempo. c) Los lobos se consideran en peligro cuando su población es menor a 300 ejemplares. ¿Cuáles serán los valores de t cuando se detecta esta situación? Durante muchos años los astrónomos han contabilizado con particular interés el número de manchas solares que se presentan en la superficie del sol; éste varía entre un mínimo de 10 hasta un máximo de 110 por año. Entre los máximos de la medición que ocurrieron en los años de 1750 y 1948 existieron 18 ciclos completos.

a) Supón que el número de manchas solares varía de forma cosenoidal a lo largo de los años, bosqueja una gráfica de tres ciclos comenzando en 1948. b) ¿Cuál es el periodo de las manchas solares? c) Escribe una ecuación que exprese el número de manchas solares en términos del tiempo. d) ¿Cuántas manchas solares se esperan en el año 2015?


Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle

Introducción En este bloque se estudian las funciones periódicas senoidales, representándolas gráficamente. Se determinan sus características y elementos principales, además de aplicarlas en algunos fenómenos de la vida cotidiana.

8.1 Funciones trigonométricas seno y coseno Existen fenómenos como las mareas que tienen un comportamiento que se explica a partir de las funciones trigonométricas senoidales. Las gráficas de las funciones seno y coseno corresponden entre sí a partir de un desfasamiento que se puede observar a partir del círculo trigonométrico.

8.2 Funciones circulares: seno y coseno En las aplicaciones de las gráficas de las funciones seno y coseno lo que interesa son las funciones circulares de números por lo que para aplicar las variables ordinarias se les representa como y 5 sen ( x ) y y 5 cos( x ). Donde x representa un número que por lo general es medido en radianes. La gráfica de la función seno se limitará al intervalo x 5 0 a x 5 2p ya que después o antes de este intervalo los valores se repiten. x (grados)

0

30

45

60

90

120

135

150

x (radianes)

0

y 5 sen (x)

p

p

p

p

2p

3p

5p

6

4

3

2

3

4

6

0

0.5

0.707

0.866

1

0.866

0.707

0.5

0

x (grados)

180

210

225

240

270

800

315

330

360

x (radianes)

p

7p

5p

4p

3p

5p

7p

11p

6

4

3

2

3

4

6

y 5 sen (x)

0

20.5

20.707 20.866

21

20.866 20.707

20.5

180

p

2p 20

y 1

x

0 0

p — 2

p

3p — 2

2p

–1

Figura 8.1

181

BLOQUE

8


Actividad de aprendizaje ¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva seno?

¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva coseno?

das de luz o sonido se repetían en intervalos regulares como las gráficas de las funciones trigonométricas. Este hecho se utilizó para explicar fenómenos repetitivos como fases lunares y latidos cardiacos, también se utiliza en la electricidad y electrónica. Un círculo de radio unitario (r 5 1) y centro en el origen tiene por ecuación x2 1 y2 5 1 y corta al eje x en los puntos (21, 0)(1, 0) . El punto (1, 0) es el punto inicial para determinar las distancias en la circunferencia. Recuerda que la circunferencia tiene una longitud 2p . Si consideramos un punto P(t ) sobre el círculo unitario sus coordenadas rectangulares serán ( x , y) y las polares serán (cos(t ), sen(t )) donde sus signos serán positivos o negativos según el cuadrante donde se encuentre P(t ). y

Para tu reflexión 1

Christian Johann Doppler (1803–1853) Eminente físico austriaco que descubrió el efecto doppler el cual explica los cambios en la frecuencia de las ondas acústicas y sonoras a causa del movimiento. Realizó sus estudios en Europa, hacia 1835, después de múltiples negativas para otorgarle el puesto de profesor en alguna de las instituciones educativas, decidió probar suerte en Estados Unidos; sin embargo, en el último momento fue aceptado para trabajar como catedrático de matemáticas en un liceo de Praga, lo que cambió sus planes de emigración. Este científico adquirió su mayor fama por una serie de investigaciones conocidas con el nombre de efecto doppler; en ellas analizó las variaciones en la frecuencia de las ondas acústicas y luminosas por efecto del movimiento. Él descubrió que si la fuente que produce una onda sonora se aproxima a un observador en reposo el tono se hará más agudo, es decir, la frecuencia aumentará y cuando se aleja la frecuencia disminuirá y el sonido se hará más grave. Señaló también al igual que el sonido el color de una luz proveniente de una estrella también debería cambiar de acuerdo a la velocidad relativa de la estrella con respecto a la Tierra. En 1842 estableció una relación matemática al relacionar el tono al movimiento relativo del origen y oyente. Esta última teoría quedó incompleta, más fue retomada por el físico francés Fizeau e influyó enormemente en los estudios astronómicos.

8.3 Formas senoidales

P(t)

–1

182

0

1

–1

Figura 8.2

Actividad de aprendizaje ¿En qué fenómenos de la vida cotidiana encuentran su aplicación las funciones periódicas?

1

v p

u

Funciones periódicas En sus inicios la trigonometría se utilizó para resolver triángulos. Posteriormente se observó que algunos fenómenos como las on-

x

0

Figura 8.3

y

0 2p 0 –1

0.5p

p

1.5p

x 2p


Las funciones seno y coseno son ejemplos de funciones periódicas con 2p. Éstas se aplican para resolver problemas con fenómenos como la respiración, el comportamiento de la marea, la corriente alterna, vibraciones mecánicas, etcétera.

Matemáticamente lo podemos representar así:

p  cos  x 6  5 sen (x)  2 Actividad de aprendizaje

8.4 Representación gráfica de funciones trigonométricas

p Cuando la gráfica de la función coseno se desplaza (90°), ¿qué 2 ocurre con respecto a la gráfica del seno?

Gráfica de la función coseno Para construir la gráfica de la función coseno utilizaremos el mismo procedimiento para la función seno y compararemos las dos gráficas. p

3p

x

0

y 5 sen (x )

0

1

0

21

0

y 5 cos (x )

1

0

21

0

1

2

p

2

2p

y 1 0.5 0

0 0.25 p 0.5 p 0.75 p

p

x 1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p

–0.5 –1

En ciertas condiciones la altura de la marea sobre su nivel medio está dada por p  9 y 53.2 sen  t 1   20 2 Donde y está expresada en metros y el tiempo t expresado en horas. Encuentra 1. La amplitud, el periodo y frecuencia. 2. Determina la fase de la función. 3. ¿De qué otra manera podemos expresar a y? 4. ¿Qué altura tiene la marea? a) 0.3 horas b) 0.5 horas c) 3.4 horas d) Dibuja dos periodos de y.

Gráfica de una función senoidal Figura 8.4

La gráfica de la función y 5cos( x ) se muestra en color rojo, la de la función y 5sen( x ) en color azul. Nota que la gráfica del coseno es muy parecida a la del seno, de hecho, si recorres hacia la derecha (o izquierda) la gráfica de la función coseno verás que coincide con la del seno. Estas traslaciones o corrimientos sobre el eje x reciben el nombre de desfasamientos, por lo que podemos decir que la función cosep no está desfasada (90°) respecto a la del seno. 2

La fase o corrimiento horizontal se representa con la w; además del anterior existe el corrimiento vertical, por lo que de forma general podemos expresar las funciones senoidales como: y 5 A sen( Bx 1ϕ )1 D y 5 A cos( Bx 1ϕ )1 D Donde

A 5 Amplitud. B 5 Factor de escalamiento del ángulo, que está relacionado a la frecuencia. w 5 Fase o desplazamiento horizontal. D 5 Desplazamiento vertical. 183

BLOQUE

8


Ejemplos


 

Elabora un bosquejo de la siguiente función y 5 2 sen  2 x 1 en el intervalo x5

p  12 2

p 5p hasta x5 ; identifica la amplitud, la fase y 2 2

A partir de la inspección de la expresión algebraica de una función senoidal, ¿cómo se determina si la grafica tiene un desplazamiento horizontal o vertical?

determina tanto su periodo como frecuencia.

Ahora identificaremos los elementos de la función. Por inspección de-

p y además la 2

terminamos que la amplitud es 2, el desfasamiento

función se recorre dos unidades verticalmente hacia arriba.

Para determinar el periodo de la función hacemos lo siguiente: Sabemos que las funciones seno y coseno tienen un periodo T 5 2p, pero

 

no podemos decir lo mismo de la función y 5 2 sen  2 x 1

p  12 . 2

sen(x )

T 5 2p

sen( 2 x)

T 2p T 95 5 5p 2 2

Entonces el periodo de la función p por tanto, la frecuencia será

1 1 f5 5 . T p

Un objeto está colgado de un resorte, si se le jala hacia abajo 20 cm y luego se suelta empezará a oscilar; considera que cuando está en reposo el tiempo es igual a (t 50). Si el objeto completa una oscilación en 0.4 segundos. a) Encuentra la amplitud, el periodo, frecuencia y velocidad angular. b) Da una ecuación que describa el comportamiento del objeto, debes suponer que una vez iniciado el movimiento no hay ninguna fuerza que se le oponga. Sabemos que la amplitud es A520 cm y que el T 5 0.4s. 1 1 Como sabemos f 5 5 5 2.5 , entonces T 0.4 decimos que la frecuencia de oscilación es de 2.5 ciclos por segundo.

Por último, la gráfica de la función es: y

La velocidad angular ω se define como ω 5 2pf y es una medida de velocidad de rotación que nos indica la cantidad del ángulo que avanza por unidad de tiempo. Entonces

3.5 3

ω 52p( 2.5 )55p

2.5 2

rad s

Ya que tenemos todos los elementos necesarios escribimos la función que describe el movimiento del objeto de la siguiente manera:

1.5 1 0.5 0

Problema de aplicación (movimiento armónico simple)

0 0.25 p 0.5 p 0.75 p p

Figura 8.5

x 1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p 2.25 p 2.5 p

y 5 20 sen(5pt )

8.5 Características de las funciones periódicas: amplitud, frecuencia y periodo La amplitud A se define como la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de una función periódica.

184


Para y 5sen x el valor máximo es 1 y el valor 21, la diferencia entre el máximo y el mínimo será 2 dado 12(21)5 2 , por tanto la 2 amplitud de y 5sen ( x ) es A5 51. 2 Analicemos el comportamiento de y 5 4 sen (x), como ya conocemos el comportamiento de esta curva en el intervalo x 5 0 x 5 a 2p utilizaremos siete puntos para hacer un bosquejo de la gráfica. x (grados)

0

45

90

135

x (radianes)

0

y 5 sen (x ) y 5 4 sen (x )

180

p

p

3p

4

2

4

0

0.707

1

0.707

0

21

0

0

2.828

4

2.828

0

24

0

p

270

Actividad de aprendizaje En una función senoidal, ¿qué indica la amplitud, periodo, frecuencia y fase?

360

3p

2p

2

En color rojo se muestra la gráfica de y 5sen ( x ) y en azul y 54 sen ( x ) en la gráfica podemos observar el efecto de multiplicar la función y 5sen ( x ) por cuatro, donde la amplitud A es A .

En los dos ejemplos anteriores pudimos observar que la gráfica se repite a intervalos 2p, por lo que se dice que son funciones periódicas.

y

4 3

Función periódica

2

Dada una función f ( x ) se dice que es periódica si cumple:

1 0

0 0.25 p 0.5 p 0.75 p

f ( x )5 f ( x 1T )

x

–2

Para todos los valores de x, entonces decimos que la función periódica f ( x ) tiene un periodo T, es decir, cada que la función cumple un ciclo termina un periodo y comienza uno nuevo.

–3

Al recíproco del periodo se le conoce como frecuencia:

–1

p 1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p

–4

1 1 f 5 ⇔T 5 T f

Figura 8.6

Ejemplo Bosqueja la gráfica de y 5 sen 2x. Procederemos de manera semejante a los ejemplos anteriores. x

0 2x

0

y 5 sen (2x )

0

p

p

3p

p

5p

3p

7p

8

4

8

2

8

4

8

p

p

3p

5p

3p

7p

4

2

4

4

2

4

0.707

1

0.707

20.707

21

20.707

p 0.707

p 2p 0

185

BLOQUE

8


1

y

0.5

x

0 0

0.25 p

0.5 p

0.75 p

p

1.25 p

1.5 p

1.75 p

2p

–0.5

–1

Figura 8.7

En rojo podemos ver la gráfica y 5sen ( x ), en azul la de y 5sen (2 x ).


Aplica lo que sabes

¿Qué ocurre con la gráfica de la función seno cuando se modifica su argumento?

Un tsunami o maremoto es un fenómeno causado por un terremoto submarino, cuando se presenta un maremoto se puede ver que el mar literalmente retrocede y después de unos cuantos minutos regresa de forma violenta hacia la tierra formando grandes olas que invaden la costa. Como el agua retrocede a un nivel menor del normal y posteriormente regresa con un nivel mayor, al fenómeno puede modelarse como una función senoidal. Si suponemos que un maremoto tiene una amplitud de 15 metros, un periodo de 20 minutos y que el nivel normal del agua es de 10 metros. 1. Encuentra una ecuación para describir el fenómeno. 2. ¿Qué altura tiene el agua?, en a ) 3 minutos

186

b ) 9 minutos

c ) 15 minutos


Aplicación de las TICs Función sinusoidal 1. Emplea la plataforma WolframAlpha para trazar la gráfica de la función: y 5 3 sen 2x 1 4. 2. Determina la forma de la función anterior. 3. Cambia los valores de los coeficientes. a) ¿Qué ocurre cuando varía el valor de A? b) ¿Qué ocurre cuando varía el valor de B? c) ¿Qué ocurre cuando varía el valor de C? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Describo la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno. Argumento la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una situación o fenómeno especifico. Obtengo la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal. Describo la relación entre periodo y frecuencia. Resuelvo o formulo problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden representarse mediante funciones senoidales.


187

8 BLOQUE



2. Bien

1. Regular



1

2

3

4

5



Hora inicio:

Fecha:

Hora final:

Equipo:

Problemática asignada: Aplicas funciones periódicas. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al reconocer y realizar operaciones con distintos tipos de funciones, así como los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno. Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una situación o fenómeno específico. Obtiene la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal. Describe la relación entre periodo y frecuencia. Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden representarse mediante funciones senoidales. Comentarios generales:

188

Cumple Sí

No

Comentarios



Apellido materno

Nombre

Grupo


Determina el periodo, amplitud y frecuencia de las siguientes funciones, además grafícalas teniendo en cuenta la fase. 1.

y 53 cos px

2.

y 5 sen

 

5p   3 

 

3p   4 

4. y 5 2 cos  2 x 2

px 3

7 4

5. y 5 sen3x 2

 px p  1   2 6

3. y 5 2 cos 

Rúbrica Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Funciones senoidales

Conoce y aplica el concepto de funciones periódicas. Representa las gráficas de las funciones seno y coseno.

Conoce y aplica el concepto de funciones periódicas. Representa la gráfica de la función seno.

Conoce y aplica el concepto de funciones periódicas.

No conoce ni aplica el concepto de funciones periódicas. No sabe representar las gráficas de las funciones seno y coseno.

La amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal

Determina la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal.

Determina la amplitud, el periodo, la frecuencia de una función senoidal.

Determina la amplitud y el periodo de una función senoidal.

No sabe determinar la amplitud, el periodo, la frecuencia ni la fase de una función senoidal.

Gráfica de una función senoidal

Identifica en una función senoidal, su amplitud, su factor de escalamiento, su fase o desplazamiento horizontal y su desplazamiento vertical. Elabora un bosquejo de la gráfica de una función senoidal.

Identifica en una función senoidal, su amplitud, su factor de escalamiento, su fase o desplazamiento horizontal y su desplazamiento vertical. Elabora, de manera parcial, un bosquejo de la gráfica de una función senoidal.

Identifica en una función senoidal, su amplitud, su factor de escalamiento, su fase o desplazamiento horizontal y su desplazamiento vertical.

No puede identificar en una función senoidal, su amplitud, su factor de escalamiento, su fase o desplazamiento horizontal ni su desplazamiento vertical. No sabe elaborar un bosquejo de la gráfica de una función senoidal.

Aspecto a evaluar

Criterios

189

BLOQUE

8


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre un tsunami o maremoto de la sección Aplica lo que sabes, de la página 184. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


190

11. Conoce el concepto de función senoidal. 12. Aplica la función senoidal con distintos valores de sus elementos de acuerdo al problema. 13. Obtiene un modelo del comportamiento de un tsunami. 14. Representa gráficamente una función senoidal con sus elementos. 15. Representa gráficamente funciones senoidales en las que varían los valores de sus elementos. 16. Propone un modelo de comportamiento de un tsunami.

cumple sí

no

Observaciones


Glosario Función. Regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto. Asíntota horizontal. Es una recta horizontal a la que se aproxima la gráfica de la ecuación, pero sin llegar a tocarla. Asíntota oblicua. En una función racional, cuando el grado del numerador es mayor en 1 que el grado del denominador, entonces la gráfica tiene una asíntota oblicua, es decir, una asíntota que no es horizontal ni vertical. Asíntota vertical. Es una recta vertical a la que se aproxima la gráfica de una ecuación, pero sin tocarla. Cero de una función. En los puntos de intersección de la gráfica con el eje x la ordenada es cero y corresponden a las raíces o soluciones reales de una ecuación a los que también se les llama ceros de la función. Ceros y raíces complejas. Cuando la gráfica de la función no interseca al eje x se obtienen raíces que no son reales sino complejas. Ceros y raíces reales. Los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje x son los ceros o raíces reales de la función. Codominio. Conjunto que contiene a los segundos componentes de los pares ordenados de una relación. Constante. Símbolo al que sólo se puede asignar un valor. Contradominio. Conjunto que contiene a los segundos componentes de las pares ordenadas de una relación. También se le llama codominio. División sintética. La división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un proceso abreviado que se conoce como división sintética Dominio. Conjunto que contiene al primer componente de los pares ordenados de una relación. Ecuación. Igualdad que contiene uno o más números indeterminados.

Función. Relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Función algebraica. Aquella cuyo valor se puede obtener mediante un número finito de operaciones algebraicas. Función constante. Conjunto de pares ordenados del plano, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante. Función exponencial. Es una función real, no algebraica sino trascendente. Función exponencial natural. La función exponencial que tiene como base al número e. Función idéntica. Conjunto de pares ordenados del plano, donde su primera y segunda componente son el mismo número real. Función inversa de otra. Tienen como características que las dos son biyectivas y sus respectivas gráficas son una el reflejo de la otra con respecto a la función identidad. Función logarítmica. Es inversa de la función exponencial. Función máximo entero. Esta función asigna a cada número real x el mayor entero que sea menor que o igual a x. Función valor absoluto. Conjunto de pares ordenados en los cuales la primera componente es un número real y la segunda componente es el valor absoluto de la primera. Grado de un término en un polinomio. Lo determina el grado de x en dicho término. Imagen. Elemento del codominio que corresponde a un elemento del dominio de una relación. Intersecciones con los ejes. Para el trazo de una gráfica, interesa saber en qué puntos es tangente o interseca a los ejes. Esos puntos se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones formado por la ecuación dada y la ecuación del eje. 191

Glosario

Números complejos. Un número complejo es de la forma a 1 bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Números reales. Conjunto de los números decimales. Prueba de la horizontal. Consiste en trazar rectas paralelas al eje x y si alguna de ellas interseca a la gráfica de la función en dos puntos entonces la función no es inyectiva. Raíz de multiplicidad. Cuando un factor ocurre m veces, a la raíz correspondiente se le llama raíz de multiplicidad m. Raíz o solución de la ecuación. Cuando f (x) 5 0 se tiene una ecuación polinomial de grado n. Un valor de x que satisface la ecuación recibe el nombre de raíz o solución de la ecuación, también se dice que es un cero del polinomio. Rango. Conjunto de imágenes o dominio de imágenes.

en la ecuación y si ésta no cambia entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje x. De manera similar, si al sustituir x por –x en la ecuación, ésta no cambia, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y. Teorema del factor. Si r es una raíz de la ecuación polinomial f (x) 5 0, es decir, f (r) 5 0, entonces x – r es un factor de f (x). Recíprocamente, si x – r es un factor de la ecuación polinomial f (x) 5 0, entonces r es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) 5 0. Teorema del residuo. Si r es una constante y se divide la función polinomial f entre x – r el residuo que se obtiene es f (r). Teorema fundamental del álgebra. Toda ecuación polinomial de grado n $ 1 tiene al menos una raíz, real o compleja. Término de mayor grado. Es el que determina el grado del polinomio.

Simetría con respecto al origen. Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste, dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2.

Término que no contiene a x en un polinomio. Es un término de grado 0 y se llama término independiente o término constante.

Simetrías con respecto a los ejes. Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje x se sustituye y por –y

Variación inversa. Una variable y varía en relación inversa con una k variable x, si y 5 , en donde k es una constante diferente de cero. x

192

Variable. Símbolo que representa a un conjunto de valores.


Bibliografía Barnett, Raymond A., Michael R. Ziegler y Kart E. Byleen, Precálculo, funciones y gráficas, McGraw-Hill, México, 2000. Britton, Jack R. e Ignacio Bello, Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1986. Kelly, Timothy J., John T. Anderson y Richard H. Balomenos, Álgebra y trigonometría, precálculo, Trillas, México, 1996. Leithold, Louis, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press, México, 1994. López Quiles, Antonio, María Eugenia Regueiro Romero, Ceres Santa Muñoz y Emanuel Jinich Charney, Relaciones y geometría analítica, Alhambra Mexicana, México, 1997. Peterson, John C., Matemáticas básicas, Álgebra, trigonometría y geometría analítica, Grupo Patria Cultural, México, 2000.

Vínculos en Internet http://mathworld.wolfram.com/--> recursos de todas las áreas de la matemática (inglés) http://demonstrations.wolfram.com/--> demostraciones matemáticas (animaciones) en inglés http://www.mathworks.es/ --> sitio de matlab en español

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Este libro pertenece a la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

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