SUMÁRIO
1.2 1.2 2.3 2.3 3.1 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 8.2 8.3 9.2 10.2 11.1 12. 12.2 12.3 13.1 13.2 13.3 13.4 15.2
MA-14 - Aula 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Divisibilidade: Pr Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Divisão Euclidiana: Pr Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Unid Un idad ades es 1 e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 MA-14 - Aula 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Sistema emas de Numera eração ção: Pr Probl oblema emas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Jogo de Nim: Pr Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 MA-14 - Aula 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Máximo Divisor Comum: Pr Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Propriedades do mdc: Pr Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 MA-14 - Aula 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Mínimo Múl Múltiplo Comum omum:: Pr Problem blemaas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Equa Equaçõ ções es Diofa iofanntinas inas Linea inearres: es: Prob Proble lema mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Exercícios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 MA-14 - Aula Revisão .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . 59 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 MA-14 - Aula 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Expressões ões Binômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Números de Fibon bonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 MA-14 - Aula 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Teore eorema ma Funda undam ment ental Da Arit Aritmé méttica ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Pro Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Pro Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Exercícios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 O Renascimento da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 MA-14 - Aula 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Primos de Fermat e de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 MA-14 - Aula 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 109 Primos de Fermat e de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 109 i
ii 17.1 Primos de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17.2 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 17.3 Teorema da Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 17.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Números Perfeitos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 11 114 18.1 Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 18.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 MA-14 - Aula 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 119 Fatoração do Fatorial em Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 119 17.1 O Teorema de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 9 17.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 17.3 Exercícios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 5 18.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 25 18.1. 8.1.11 O Pequen ueno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 126 18.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 18.3 Exercícios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 MA-14 - Aula 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 141 Aplicações de Congruências........................ . . . . . . . . . . . . . 141 19.1 Aplicações ões de Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 1 19.1.1 Regra dos nove fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 19.1. 19.1.22 Repr Repres esen enta tação ção decim decimal al de númer númeroo perf perfei eito to par . . . . . . . . . . . . 144 19.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Os Teoremas de Euler e Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 151 20.1 A Função ϕ Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 1 20.1.1 20.1.1 O Cálcul Cálculoo de ϕ(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 151 20.1.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 20.1.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 20.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 20.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 20.4 Problemas suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 MA-14 - Aula 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 123 Congruências Lineares .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . 12 123 21.1 Congruências Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 123 21.1.1 Redução de Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 4 21.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 21.3 Teorema Chinês dos Restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 8 21.3.1 O Problema de Sun-Tsu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 8
ii 17.1 Primos de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17.2 Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 17.3 Teorema da Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 17.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Números Perfeitos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 11 114 18.1 Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 18.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 MA-14 - Aula 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 119 Fatoração do Fatorial em Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 119 17.1 O Teorema de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 9 17.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 17.3 Exercícios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 5 18.1 Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 25 18.1. 8.1.11 O Pequen ueno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 126 18.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 18.3 Exercícios suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 MA-14 - Aula 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 141 Aplicações de Congruências........................ . . . . . . . . . . . . . 141 19.1 Aplicações ões de Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 1 19.1.1 Regra dos nove fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 19.1. 19.1.22 Repr Repres esen enta tação ção decim decimal al de númer númeroo perf perfei eito to par . . . . . . . . . . . . 144 19.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Os Teoremas de Euler e Wilson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 151 20.1 A Função ϕ Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 1 20.1.1 20.1.1 O Cálcul Cálculoo de ϕ(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 151 20.1.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 20.1.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 20.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 20.3 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 20.4 Problemas suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 MA-14 - Aula 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 123 Congruências Lineares .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . 12 123 21.1 Congruências Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 123 21.1.1 Redução de Congruências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 4 21.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 21.3 Teorema Chinês dos Restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 8 21.3.1 O Problema de Sun-Tsu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 8
iii 21.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 21.5 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Aritmética das Classes Residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 138 22.1 Classes Residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 138 22.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 8 22.1.2 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 22. 22.1.3 1.3 Prop Proprrieda iedade dess da mult ultipli iplica caçã çãoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 139 22.1.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 141 22.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 22.3 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 MA-14 - Aula 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 147 Introdução à Criptografia I .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . 14 14 7 23.1 Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 147 Introdução à Criptografia II........................ . . . . . . . . . . . . . 149 24.1 Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 149
MA-14 - Aula 01 Semana 05/08 a 11/08
Unidade 1 Divisibilidade
1.2
Divisibilidade: Problemas
Exercício 1.2.1.
Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N, a)
8|32n + 7
b) 9|10n + 3 × 4n+2 + 5
c)
9|n4n+1 − (n + 1)4n + 1
d) 169|33n+3 − 26n − 27
Demonstração. a) Aplicar indução matemática.
b) Aplicar indução matemática.
Para n = 0 e n = 1 é imediato, a propriedade é verdadeira. Suponhamos que, para n ≤ h seja verdade que 9|10h + 3 × 4 h+2 + 5, logo existe α ∈ N tal que 10h + 3 × 4h+2 + 5 = 9α Para h + 1 temos 10h+1 + 3 × 4h+3 + 5 = 10h(9 + 1) + 3 × 4 × 4h+2 + 5 = = 9 × 10h + [10h + 3 × 4h+2 + 5] + 3 × 3 × 4h+2 = 9β
para algum β ∈ N Portanto,
9|10n + 3 × 4n+2 + 5 para todo n ∈ N
1
2 c) Aplicando indução sobre n
d) Aplicando indução sobre n
Exercício 1.2.2.
Mostre que, para todo n ∈ N: a) 9|10n − 1 b) 8|32n − 1 c) 53|74n − 24n
d) 3|10n − 7n e) 13|92n − 24n f ) 6|52n+1 + 1
g) 19|32n+1 + 44n+2 h) 17|102n+1 + 72n+1 i) 14|34n+2 + 52n+1
Solução. a) Temos para todo n ∈ N 10n − 1 = (m(9) + 1)n − 1 = m(9) + 110 − 1 = m(9) b) Temos para todo n ∈ N c) Temos para todo n ∈ N que 74n = 492n = (m(53) − 4)2n = m(53) + (−4)2n = m(53) + 24n
Logo 74n − 24n = m(53). Portanto, 53|74n − 24n d) Temos para todo n ∈ N que 10n − 7n = (m(3) + 1)n − (m(3) + 1)n = m(3) + (1)n − (1)n = m(3)
Portanto, 53|74n − 24n . e) f) g)
3 h) 1)
x Exercício 1.2.3. Sejam a, b ∈ Z. a) Se a̸ = b , mostre que, para todo n ∈ N, an − bn = a n a−b
1
−
n ≥ 2 ,
+ an 2b + an 3 b2 + · · · + abn −
−
2
−
+ bn
1
−
b) Se a + b̸ = 0, mostre que, para todo n ∈ N , ∗
a2n+1 + b2n+1 = a 2n − a2n 1 b + a2n 2 b2 + · · · − ab2n a + b −
−
1
−
+ b2n
c) Mostre que, para todo n ∈ N, a2n − b2n = a 2n a + b
1
−
− a2n 2b + a2n 3 b2 + · · · + ab2n −
−
2
−
− b2n
1
−
Demonstração. a) Por indução sobre n ≥ 2 quando b̸ = a Se n = 2 temos a − b = (a − b)(a + b) ⇒ Suponhamos para h ∈ N seja verdade que 2
2
ah − bh = a h a−b
1
a2 − b2 = a + b é verdadeira a−b
+ ah 2 b + ah 3 b2 + · · · + abh
−
−
−
2
+ bh
−
1
−
Para h + 1 e aplicando a hipótese auxiliar ah+1 − bh+1 = a(ah − bh ) + bh (a − b) = ah+1 − bh+1 = a[(a − b)(ah
1
−
+ ah 2 b + ah 3 b2 + · · · + abh −
−
2
−
+ bh 1)] + bh(a − b) = −
ah+1 − bh+1 = (a − b)[a(ah
1
+ ah 2 b + ah 3 b2 + · · · + abh
2
+ bh 1) + bh ] =
ah+1 − bh+1 = a h + ah a−b
1
+ ah 2 b + ah 3 b2 + · · · + abh
2
+ bh
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1
−
+ bh
4 Portanto, a igualdade é verdadeira para todo n ∈ N, Demonstração. b)
n ≥ 2
Exercício 1.2.4.
Para quais valores de a ∈ N: a) (a − 2)|a3 + 4 ? c) (a + 2)|a4 + 2 ?
b) (a + 3)|a3 − 3 ? d) (a + 2)|a4 + 2a3 + a2 + 1 ?
Demonstração. a) Suponhamos que (a − 2)|a3 + 4 então existe β ∈ N tal que a3 + 4 = β (a − 2) isto é a3 − 8 + 12 = β (a − 2), assim (a − 2)[β − (a2 + 2a + 4)] = 12
⇒
12
β − (a2 + 2a + 4) =
a−2
Como, β − (a2 + 2a + 4) ∈ N, temos a = 8, 6, 5, 4, 3 Portanto, a ∈ N que satisfaz (a+2)|a4 +2a3 +a2 +1 são os números a = 8, 6, 5, 4, 3. b) c) d) Suponhamos que (a+2) |a4 +2a3 +a2 +1 então existe β ∈ N tal que a4 +2a3 +a2 +1 = β (a + 2) isto é a 3 (a + 2) + (a2 − 4) + 5 = β (a + 2) , assim (a + 2)[β − (a3 + a − 2)] = 5
⇒
β − (a3 + a − 2) =
5 a + 2
Como, β − (a3 + a − 2) ∈ N, temos a = 3, −1, −3, −7 Portanto, o único a ∈ N que satisfaz (a + 2)|a4 + 2a3 + a2 + 1 é a = 3. Exercício 1.2.5.
Mostre que, para todos a, m, n ∈ N, m > n > 0 Demonstração.
n
m
(a2 + 1)|(a2 − 1)
⇒
m
n+p
Se m > n, então existe p ∈ N tal que m = n + p, assim a2 = a 2 observe que 2n+ p é par m n+p n+p n+p−1 n+p−1 n+p−1 n+p−1 = (a2 + 12 )(a2 ) a2 − 1 = a 2 − 12 − 12 m
n+p−1
− 12
m
n+p−2
− 12
a2 − 1 = β 1 × (a2 a2 − 1 = β 2 × (a2
n+p−1
) = β 1 × (a2
n+p−2
+ 12
n+p−2
) = β 2 × (a2
n+p−2
)(a2
n+p−3
+ 12
n+p−2
− 12
n+p−2
n+p−3
)(a2
n+p−3
− 12
n+p−3
) )
5 .. . n+2
m
a2 − 1 = β p
2
−
× (a2
n+2
− 12 n+1
m
a2 − 1 = β p
1
−
... ) = β p
2
−
n+1
× (a2
− 12
n+1
n+1
m
... × (a2
n+1
n+1
+ 12 n
) = β p
n+1
)(a2
n
n+1
− 12
n
)
n
× (a2 + 12 )(a2 − 12 )
1
−
n
Logo, a2 − 1 = β p 1 × (a2 − 12 ) = K × (a2 + 1) para algum K ∈ N. n m Portanto, para todos a, m, n ∈ N, m > n ⇒ (a2 + 1)|(a2 − 1. −
Exercício 1.2.6.
Mostre, para todo n ∈ N, que n2 |(n + 1)n − 1. Demonstração. Para todo n ∈ N sabemos pelo binômio de Newton que n
n
(n + 1) =
n−1
�
C nn−k nn−k
k
n
n−1
× 1 = n + n × n
k=0
+
�
C nn k nn −
k
−
× 1k + 1
k=2
n−1
2
n−2
= n [n
+ n
n−2
+ n
2
�
C nn k nn −
k 2
− −
] + 1 = m(n2 ) + 1
k=2
Portanto, para todo n ∈ N, temos que n2 |(n + 1)n − 1. Exercício 1.2.7.
Mostre, para todo a ∈ N, que: a) 2|a2 − a
b) 3|a3 − a
c) 5|a5 − a
d) 7|a7 − a
Demonstração. a) Seja N = a 2 − a = a(a − 1), Se a ∈ N é par, logo a = 2k, então N = (2k)(2k − 1) = 2(2k2 − k), assim, 2 |a2 − a.
Se a = 2α + 1 , então N = (2α + 1)[(2α + 1) − 1] = 2α(2α + 1) , logo 2|a2 − a. Assim, o produto de dois números inteiros consecutivos é múltiplo de 2. b) Se a|3 o resultado é imediato. Suponhamos que a 3 e seja o conjunto M = { a, 2a} então cada um dos elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2} em alguma ordem, são divisíveis por 3 .
Suponhamos a = 1 + m(3) e 2a = 2 + m(3) então multiplicando estas igualdades temos 2!a2 = 2! + m(3). Logo, como 2! não é múltiplo de 3 segue 2!a2 − 2! = m(3)
⇒
a(a2 − 1) = a × m(3)
⇒
a3 − a = m(3)
6 Portanto,
3|a3 − a
Assim, o produto de três números inteiros consecutivos é múltiplo de 3. c) Se a|5 o resultado é imediato. Suponhamos que a 5 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a} então cada um dos elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4} em alguma ordem, são divisíveis por 5 .
Suponhamos a − 1 = m(5) ⇒ a = 1 + m(5), 2a − 2 = m(5) ⇒ 2a = 2 + m(5), 3a − 3 = m(5) ⇒ 3a = 3 + m(5), 4a − 4 = m(5) ⇒ 4a = 4 + m(5) de onde 4!a4 = 4! + m(5). Logo, como 4! não é múltiplo de 5 segue 4!a4 − 4! = m(5)
Portanto,
⇒
a(a4 − 1) = a × m(5)
⇒
a5 − a = m(5)
5|a5 − a
d) Suponhamos que a 7 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a, 5a, 6a} então cada um dos elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} em alguma ordem, são divisíveis por 7. Logo 6!a6 − 6! = m(7)
Portanto,
7|a7 − a
⇒
a7 − a = m(7)
7
Unidade 2 Divisão Euclidiana 1.2
Divisão Euclidiana: Problemas
Exercício 1.2.1.
Ache . Solução. Exercício 1.2.2.
Quais são os números que, quando divididos por 5 , deixam resto igual a) à metade do quociente? b) ao quociente? c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente? Demonstração. a) Seja D o número procurado, das condições do problema temos D = 5q +
Os números são:
q 2
⇒
2D = 11q
⇒
D = 11β,
q = 2β
β ∈ N
11, 22, 33, 44
b) Em geral temos D = 5q + r,
0 ≤ r < q
Supor r = q está errado pela definição do algoritmo da divisão. Quando r = 0 temos 0 = 5 × 0 + 0 . Portanto, o zero é o único número. c)
Exercício 1.2.3. Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de cada terna abaixo é divisível por 3. a) n, n + 1, n + 2 b) n, n + 2, n + 4 c) n, n + 10, n + 23 d) n, n + 1, 2n + 1.
Demonstração. O conjunto de todos números naturais podemos representar mediante o conjunto A = { 3k, 3k + 1, 3k + 2, k ∈ N } . Se n = 3k então para todos os 4 exercícios um, e apenas um, número de cada terna é divisível por 3
8 a) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 3k + 3 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k + 2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 2, 3k + 3, 3k + 4 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3. Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível por 3. b) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 3, 3k + 5 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k + 2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 2, 3k + 4, 3k + 7 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3. Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível por 3. c) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 11, 3k + 24 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k + 2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 2, 3k + 12, 3k + 25 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3. Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível por 3. d) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 6k + 3 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k + 2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 2, 3k + 3, 6k + 5 logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3. Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível por 3. Exercício 1.2.4. a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3 , então a 2 deixa resto 1 na divisão por 3. b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3 divide a2 + b2 , então a e b são divisíveis por 3. Demonstração. a)
Se o número não é divisível por três então é da forma a = 3k+1 ou a = 3k+2, logo a2 = 3k(3k + 2) + 1 ou a2 = 3k(3k + 4) + 4 = 3[3k(3k + 4) + 1] + 1
k ∈ Z,
9 Exercício 1.2.5.
O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de N por 5? Solução. Temos N = 20q + 8 , isto é N = 5(4q ) + 5 + 3 = 5(4q + 1) + 3. O resto, é 3. Exercício 1.2.6.
Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4. Demonstração. Seja x o número pedido, então x = 3a + 2 ou x = 4b + 2 para algum a, b ∈ N , logo 3a + 2 = 4b + 2 de onde 3a = 4b assim, a = 4 + 4t e b = 3 + 3t para todo t ∈ N ∗
∗
t 0
1
2
7
8
9
a
4
8
12 16 20 24 28 32
36
40
b
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
x
14
26
38
50
62
74
86
98
110
122
Logo, o menor número é 50.
3
4
5
6
10
Problemas Suplementares 2.3
Unidades
1
e
2
Exercício 2.3.1.
Sejam a, b, c ∈ Z e c̸ = 0. Mostre que: ac|bc Demonstração.
⇔
a|b.
(⇒) Condição necessária. Seja ac|bc então existe m ∈ N tal que bc = m · ac, logo bc − m · ac = 0 assim, c(b − ma) = 0. Se c = 0 nada a concluir. Suponhamos que b − ma = 0 então b = ma e portanto a|b. (⇐) Condição suficiente. Suponhamos que a|b então existe β ∈ Z tal que b = βa. Para c ∈ Z temos que bc = βca de onde ac|bc. Portanto, ac|bc ⇔ a|b. Exercício 2.3.2.
(ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem (no sistema decimal) com dois algarismos é: (a) 612 (b) 648 (c) 756 (d) 810 (e) 864 Solução. Os múltiplos de 6 com dois algarismos são: 12, 18, . . . , 96. A soma pedida é 12 + 18 + . . . + 96 = 6(1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 16 − 1) =
�
�
16 × 17 =6 − 1 = 810 2
Resposta d) 810. Exercício 2.3.3.
Com quanto zeros termina o número 100!? Solução.: ( Primeira ) Da definição de fatorial temos: 100! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 98 × 99 × 100 100! = 250 [1 × 3 × 5 × 7 × . . . 97 × 99][1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 50] 1
Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.
11 100! = 250 [1 × 3 × 5 × 7 × . . . 97 × 99][225 (1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 25)(1 × 3 × 5 × 7 × . . . × 47 × 49)] 100! = 275 [5 × 15 × 25 × 35 × . . . × 85 × 95 × α1 ][(25!)(5 × 15 × 25 × 35 × 45 × β 1] 100! = 275 [510 (1 × 3 × 5 × 7 × . . . 17 × 19)α2 ][(25!)][55 (1 × 3 × 5 × 7 × 9)β 2] 100! = 275 · 515 [(1 × 3 × 5 × 7 × . . . 17 × 19)α2 ][(25!)][(1 × 3 × 5 × 7 × 9)β 2 ] 100! = 275 · 515 [(5 × 15α3 ][(25!)][(5 × β 3 ] = 275 · 518 γ 1 × 25!
(2.1)
Por outro lado: 25! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 24 × 25 = [1 × 3 × 5 × 7 × . . . 23 × 25][212 (1 × 2 × 3 × 4 × . . . × 12)] 25! = 212 [5 × 15 × 25 × α3 ][(2 × 4 × 5 × 6 × 8 × 10 × 12)β 3 ] 25! = 212 [54 × α4 ][(210 × 52 )β 4 ] = 222 × 56 × γ 2
En (2.1) 100! = 275 · 515 [(5 × 15α3 ][(25!)][(5 × β 3 ] = 275 · 518 γ 1 × (222 × 56 × γ 2 )]
Portanto 100! = 297 × 524 × γ , termina em 24 zeros. Recomendo o site http : //2000clicks.com/MathHelp/BasicFactorialTable.aspx Solução.: (Segunda) Seja N = (1)(2) · · · (9)(10)(11) · · · (20) · · · (80) · · · (90)(91) · · · (99)(100) = 100! Como 10 = 2 × 5 e temos muito mais potências de 2 , nossa preocupação será obter ao máximo as potências de 5 então N = (1) · · · (5) · · · (10) · · · (15) · · · (20) · · · (80) · · · (85) · · · (90) · · · (95) · · · (100) = 100! N = · · · (5) · · · [2(5)] · · · [3(5)] · · · [4(5)] · · · [16(5)] · · · [17(5)] · · · (90) · · · (95) · · · [20(5)] = 100! N = 520 [(1) · · · (5) · · · (10) · · · (15) · (16) · (17) · · · (19) · · · (20)]α = 100!,
α ∈ N
N = 520 [(1) · · · (5) · · · [2(5)] · · · [3(5)] · (16) · (17) · · · (19) · · · [4(5)]]α = 100!, N = 524 [(1) · · · (1) · · · [2] · · · [3] · (16) · (17) · · · (19) · · · [4]α = 100!, N = 524 224 2k β = 100!,
Portanto
α ∈ N
β, k ∈ N
100! = 524 224 2k β , termina em 24 zeros.
Exercício 2.3.4. a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!. b) Mostre que 6|n(n + 1)(2n + 1) , para todo n ∈ N.
α ∈ N
