Curso: Matemática Material Nº 14
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA N° 14 UNIDAD: DATOS Y AZAR PROBABILIDADES
NOCIONES ELEMENTALES
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un número indefinido de veces.
Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio muestral).
Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio. Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral. Evento cierto: Es el propio espacio muestral. Evento imposible: Es aquel que no tiene elementos, es decir, el subconjunto vacío del espacio muestral.
Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.
Eventos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos completan el espacio muestral.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál(es) de los siguientes experimentos es (son) aleatorio(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Lanzar una ruleta y observar si sale el 36. Lanzar un dado y observar si la cara superior muestra un cinco. Lanzar una moneda al aire y observar si sale cara.
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III
2.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzamiento de dos dados”? A) 6 B) 12 C) 36 D) 216 E) Ninguna de las anteriores.
3.
Si se lanzan tres monedas, ¿cuál de los siguientes eventos es imposible? A) B) C) D) E)
4.
Obtener Obtener Obtener Obtener Obtener
Dado el espacio muestral E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y los eventos A = 1, 3, 5, B = 2, 4, 6 y C = 3, 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S) ? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
al menos una cara como máximo un sello exactamente dos caras un sello y tres caras como máximo dos caras
Solo Solo Solo Solo Solo
A y B son complementarios. B y C son mutuamente excluyentes. A y C son mutuamente excluyentes.
I III I y II I y III II y III
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
Al lanzar un dado el evento “sacar un número menor que siete”, es un suceso cierto. “Lanzar un dado y que salga un número menor que tres” y “lanzar un dado y que salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyentes. “Lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un evento imposible.
Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
2
PROBABILIDAD CLÁSICA La probabilidad de un suceso A es la razón entre el número de casos favorables al evento A y el número total de casos posibles.
P(A) = Número de casos favorables (A) Número total de casos
OBSERVACIONES:
La probabilidad de que no ocurra A es P(A’) y se calcula
0 P(A) 1
o bien
P(A’) = 1 – P(A)
0% P(A) 100%
EJEMPLOS 1.
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener más d e 10 puntos? 2 36 3 B) 36 7 C) 36 11 D) 36 12 E) 36
A)
2.
Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5? A) B) C) D) E)
3.
25 36 11 36 1 36 1 6 5 6
Si la probabilidad que el día de hoy llueva es 0,375, ¿cuál es la probabilidad de que este día no llueva? A) -0,625 B) -0,375 C) 0,375 D) 0,525 E) 0,625
3
4.
Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta sea un número primo o un múltiplo de 10?
A)
1 2
1 B) 10 1 C) 20 9 D) 20 11 E) 20
5.
En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas del 1 al 12, las tarjetas que tienen impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son amarillas y el resto rojas. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, ésta sea de color rojo?
A) B)
1 4 1 3
5 12 7 D) 12
C)
E)
6.
2 3
Un dado está cargado de tal forma que la probabilidad que salga un divisor de 6 es el doble de la probabilidad que salga otro número. Al lanzar el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga el número 1?
A) B) C) D) E)
1 10 1 6 1 5 1 3 2 5
4
DIAGRAMA DE VENN Un Diagrama de Venn es una manera de representar gráficamente conjuntos, subconjuntos, intersecciones de conjuntos, uniones de conjuntos. Normalmente se utilizan en esta representación óvalos o círculos, que muestran la relación existente entre los conjuntos y subconjuntos involucrados. Cada óvalo o círculo es un subconjunto diferente. La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes. Por ejemplo, supongamos como conjunto las personas que viajan en un Tour, si A representa las personas que hablan inglés, el óvalo de la izquierda contendrá al número total de personas que los hacen, si B representa a las personas que hablan francés, el óvalo de la derecha tendrá el número de turista que hablen francés, la parte común de los óvalos (A y B) contiene a las personas que hablan ambas idiomas. El rectángulo contiene todas las personas que participen en éste tour, representando C las personas que no dominan ninguno de los dos idiomas.
DIAGRAMA DE VENN
C A
B AyB
Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar cantidad de elementos que cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar probabilidad utilizando probabilidad clásica
EJEMPLOS 1.
En un curso de 120 alumnos,
1 6
habla portugués,
1 3
japonés y
1 12
ambos idiomas.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos idiomas? A) B) C) D) E)
1 3
1 12 1 4
5 12 7 12
5
2.
En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla inglés, la quinta parte francés y la décima parte ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar hable inglés o francés?
A) B) C) D) E)
3.
16 80 20 80 28 80 36 80 44 80
En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol, mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno, éste no practique ningún deporte?
A) B) C) D) E)
1 8 1 5 1 2 1 3 1 4
6
TRIÁNGULO DE PASCAL Representa una regularidad numérica que se ilustra en la siguiente figura: 1 1
1
1
2
1
3
1
3
4
1
1 1
6
5
4
10
1
10
5
1
Se pueden observar algunas regularidades y estas son:
Los coeficientes primero y último de cada fila son siempre 1. Cualquier otro coeficiente de una fila se obtiene como la suma de los dos valores que están justo arriba en la fila anterior. Si se suman los números de cada fila el resultado es siempre una potencia de 2. Existe una simetría en cada fila respecto a su centro.
OBSERVACIÓN : El triángulo de Pascal también se utiliza en experimentos aleatorios que tengan dos sucesos equiprobables de ocurrencia, como por ejemplo: lanzar una moneda, el sexo de una persona, respuestas de preguntas del tipo verdadero o falso, etc. Así al lanzar una moneda cuatro veces (o lanzar 4 monedas a la vez) se obtienen 16 resultados posibles, que al determinarlos a través del triángulo de Pascal son: Cero lanzamiento 2 0 Un lanzamiento 21 Dos lanzamientos 2 2 Tres lanzamientos 2 3 Cuatro lanzamientos 2 4
1 1 1 1
1 2
3
1
4
1 3
6
1 4
1
Esta situación se grafica de la siguiente manera 1 2
1C4
1C3
1C
4C3S
1C
1S 2CS
3C2S
6C2S2
3CS2
1S2 4CS3
1S3
1S4
CCCS 3
OBSERVACIÓN: 4C
S significa
CCSC CSCC SCCC
O sea, 4C3S indica que hay cuatro casos favorables para obtener 3 caras y 1 sello.
7
EJEMPLOS 1.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras si se lanza una moneda 4 veces?
A) B) C) D) E)
2.
1 3 1 4 2 3 3 4
1 64
Un matrimonio tiene 4 hijos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
3.
La probabilidad que sean 4 hijos varones es
1 4
.
La probabilidad de que sean 2 varones y 2 damas es
3 8
La probabilidad que sean a lo más dos hi jos varones es
. 11 . 16
Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Al lanzar 5 moneda, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
A) B) C) D) E)
La probabilidad de obtener 3 caras, es igual a la probabilidad de obtener 3 sellos. La probabilidad de obtener a lo más una cara, es igual a la probabilidad de obtener a lo menos 2 sellos. La probabilidad de obtener 4 sellos, es igual a la mitad de la probabilidad de obtener 3 sellos.
Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas. 8
PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
P(A o B) = P(A
B) = P(A) + P(B) – P(A
B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
P(A o B) = P(A
B) = P(A) + P(B)
EJEMPLOS 1.
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3?
A) B) C) D) E)
2.
1 6 1 4 1 3 1 2 2 3
Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo?
A) B) C) D)
1 6 1 3 2 3 5 6
E) Ninguna de las anteriores.
9
3.
Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10, entonces la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es
A) B) C) D) E)
4.
1 13 2 13 4 13 1 4 1 3
La siguiente tabla muestra la distribución por electivo y sexo de los alumnos de IV medio de un liceo. Si se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre o pertenezca al plan humanista?
Hombre Mujer
A) B) C) D) E)
Humanista
Biólogo
Físico
10 15
15 15
15 10
12 16 11 16 1 2 2 5
5 16
10
PROBABILIDAD DE EVENTOS Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
P(A y B) = P(A
B) = P(A) P(B)
Los sucesos A y B se consideran dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro, afectándose el espacio muestral.
P(A y B) = P(A
B) = P(A) P(B/A)
EJEMPLOS 1.
Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? 3 10 6 B) 10 9 C) 10 9 D) 20 18 E) 100
A)
2.
En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y sello en la de cincuenta es
A) B) C) D) E)
1 4 1 3 1 2 3 4
1
11
3.
Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad que muestren el mismo número?
A) B) C) D) E)
4.
2 1 3 1 6
1 36 5 36
Si se sacan, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9, dos de estas esferas una tras otra sin reposición, ¿cuál es la probabilidad que ambas indiquen un número impar?
A) B) C) D) E)
5.
1
5 18 5 9 1 2
5 36 25 81
En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas, sin devolverlas a las cajas, ¿cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color?
A) B) C) D) E)
2 3 2 5 3 5
3 10 7 10
12
PROBABILIDAD CONDICIONADA Si se recuerda, si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran ambos se calculada según la relación P(A B) = P(A) P(B/A) , en esta relación P(B/A) se llama probabilidad condicionada y se lee:
P(B/A): probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación:
P(B/A) =
P(A B) P(A)
OBSERVACIÓN: la probabilidad condicionada también es posible determinarla reduciendo el
espacio muestral.
EJEMPLOS 1.
En cierta población se ha logrado constatar que: la probabilidad que una persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces ¿cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto? A) B) C) D) E)
2.
0,10 0,25 0,40 0,60 0,90
Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, ¿cuál es la probabilidad de que ambas lo sean? A) B) C) D) E)
1 4 1 3 3 8 1 2 2 3
13
LEY DE LOS GRANDES NUMEROS Esta ley establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio tiende a estabilizarse a cierto número que corresponde a la probabilidad del suceso, cuando el experimento se realiza muchas veces. En la tabla se han anotado las frecuencias del suceso “salir sello” en el lanzamiento de una moneda.
Nº lanzamientos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
100 56 0,56
150 70 0,47
200 110 0,55
300 145 0,48
400 208 0,52
500 255 0,51
La probabilidad de un suceso, es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.
EJEMPLOS 1.
Si se lanza 2.400 veces un dado común, entonces el numero 4 saldrá
A) B) C) D) E)
2.
exactamente 60 veces. exactamente 400 veces. exactamente 600 veces. aproximadamente 600 veces. aproximadamente 400 veces.
Si se lanza 5.000 veces un dado común, según la Ley de los Grandes Números, ¿en qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, saldrá un múltiplo de 3?
A) B) C) D) E)
En En En En En
un un un un un
10% 12% 17% 33% 45%
14
RESPUESTAS Ejemplos Págs.
1y2 3y4 5y6 8 9 y 10 11 y 12 13 14
1
2
3
4
5
6
E B A B E E B E
C B C D C A B D
D E E B B C
C A
E B
C
B A
C
DMQMA14
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