TODAS+AS+SOLUÇÕES+118

REVISÃO PROF: EDUARDO TRINDADE

ENEM / UEPA / UFPA / UFRA

Questão 01 UFPA (Conjunto) –

Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas: português, geografia e história constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é: a) 0

b) 5

c) 10

d) 15

e) 20

c) 500 x  y  25000  0 e) x  2 y  50000  0

Solução i) ( x x, y) = (quantidade, preço) ⟹ ( x x, y) = (0, 25.000). y  a x  b  25.000 000  0  b  b 25.000 . ii) ( x x, y) = (quantidade, preço) ⟹ ( x x, y) = (10, 20.000). y  a x  b  20.000  10 a  b . Usando (i) em (ii), temos: 

20.000 000  10 a  25.000 000  10 a

Solução Português: 65; Geografia: 60; História: 50; Português e Geografia: 35; Geografia e História: 30; História e Português: 20; Português, Geografia e História: 10.

d) x  500y  25000  0

5.000 a  

 a

10



20.000 000  25.000 000



500 500 .

 

Logo, a relação entre x e y basea-se em: y  ax  b 

y  500 500 x  25000  500 500 x  y



25.000 000



0.

Questão 04 UFF (F. do 1º Grau) –

Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO 2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na r evista “Science” em 1972 concluiu que

U = 20 + 25 + 5 + 10 1 0 + 10 + 20 + 10 + x ⟹ 100 = 100 + x ⟹ x = 0.

o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico.

Questão 02 ENEM (Conjuntos) –

Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupa uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C 1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C 2 terão 10 páginas em comum; C 1 e C 3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C 1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a: a) 135

b) 126

c) 118

d) 114

e) 110

Os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura. Com base nos dados apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:

a) N  100 100  700 700 C d) N  94  0,03 C

c) N  97  600 600 C

Solução y  ax  b  N  a C  b .

115  700a  b   97  100a  b

Solução Usando o diagrama, temos:

b) N  97  0,03 C e) N  115 115  94 C

a 

3



a



100

115  700a  b  18  600a    97  100a  b

0,03 .

• 97  100  0,03  b  b  97  3  Logo, N  0,03 C  94 .

b



94 .

Questão 05 ENEM (F. do 1º Grau) –

Numa concessionária, o departamento de vendas procurou relacionar linearmente a quantidade x de carros álcool vendidos com o preço y de cada um. Para tanto, verificou que: quando o carro a álcool era oferecido a R$ 25.000,00 , nenhum era vendido, porém, quando o preço passava a ser de R$ 20.000,00; 10 carros a álcool eram vendidos. Nessas condições, a relação encontrada entre x e y foi:

O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:

a)

a) 465

O número total de originais de impressão necessários é: U = 38 + 6 + 34 + 2 + 4 + 1 + 33 = 40 + 40 + 38 = 118. Questão 03 UEPA (F. 1º Grau) –

500 y  50000  0 x  500

b) 500 x  2 y  50000  0

http://omatematicoeadt.blogspot.com/

b) 493

c) 498

d) 538

e) 699

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.











Solução

Questão 07 ENEM (F. do 2º Grau) –

Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e e x é: a) c) e)

• m1 e m2 são os coeficientes angulares da reta. Como m1 e m2 pertencem a mesma reta, eles são iguais.  y (nº espécies)

Logo,

m1  m2 

461  239



x  461





222



x  461



12

x 

2011  2007 24 4 111 x  461 111   461   x  461  x  4 3 3

111  1383

1494  x 

3



x



3

x – x – x x

498 .

V = 15000 + 50 x x – – x x2 ; 0 ≤ x ≤ x ≤ 150.



Questão 06 UFPA (F. 2º Grau) –

Um cidadão, ao falecer, deixou uma herança de R$ 200.000,00 para ser distribuída, de d e maneira equitativa, entre os o s seus x filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais x – 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$15.000,00 em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número x de filhos do referido cidadão é c) 5

d) 4

e) 7

Solução x: é o número de filhos; y: o valor que cada um recebeu. 200.000 

y



200.000  xy xy .

x

200.000

200.000 000  ( y  15.000 000)(x  3)   y  15.000  200 x  3 200.000  xy xy  3 y  15.000x  45.000  200 200.000 000

0  3 



200 200.000 000  3 y  15.000 000 x  45.000 000 

200.000 x



15.000x  45.000 

2

⟹

n

b) 10

b) V  10000  50 x  x 2 . d) V  15000  50 x  x 2 .

Logo, o valor arrecadado, em reais, é x – – 100 V = (10000 + 100 x)·(1,50 – 0,01 0,01 x) ⟹ V = 15000 + 150 x 100

Solução por PA (Progressão Aritmética) Sejam: 1983: a1 = 239; 1987: a2 = ?; 1991: a3 = ?; 1995: a4 = ?; 1999: a5 = ?; 2003: a6 = ?; 2007: a7 = 461; 2011: a8 = ?; a e a7  461 . Logo,  a1  (n  1)r  a8  239  7r 239  7r  461 461  7r  222  r 37 . r  a  a r  239 8 7  Portanto, em 2011, temos: espécies  239  7  37  a8  239  259  a8  498 a 8 ameaçadas de extinção.

a) 8

50 x  x

• A quantidade de álcool vendida por dia, em litros, é 10.000 + 100 x.



2007  1983 111

 10000 

Solução Sendo x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, tal valor, em reais, é 0,01 x. • O preço de cada litro de álcool, em reais, é 1,50 − 0,01 x 0,01 x;

.

 x (anos)

2

. 2 V  15000  50 x  x . 2 V  15000  50 x  x . V

Questão 08 UDESC (F. do 2º Grau) –

Uma fábrica de determinado componente eletrônico tem a receita financeira dada pela função R( x)  2 x 2  20x  30 e o custo de produção dada pela função C ( x)  3 x 2  12x  30 , em que a variável x representa o número de componentes fabricados e vendidos. Se o lucro é dado pela receita financeira menos o custo de produção, o número de componentes que deve ser fabricado e vendido para que o lucro seja máximo é: a) 32

b) 96

c) 230

d) 16

e) 30

Solução L( x)

 R

( x)  C ( x) 

L( x)



2 x2



20 x  30  (3 x 2

L( x)



2 x 2



20 x  30  3 x 2





12 x  30) 

12 x  30 

L( x)   x 2  32 x  60   xv  

b



xv 

32  2

x

v



2a Questão 09 UFPA (F. 2º Grau)

16 .

–

O vértice da parábola y  ax2  bx  c é o ponto ( – 2, 2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que: a) a > 1, b < 1 e c < 4. c) a < 1, b < 1 e c > 4. e) a < 1, b < 1 e c < 4 Solução Como

2

b) a > 2, b > 3 e c > 4. d) a < 1, b > 1 e c > 4.

5

A











 4a , obtemos 2a  b  1 

b

Resolvendo o sistema linear  b



a

1 

2

,

2.

Logo, a < 1, b > 1 e c > 4. Questão 10 FCC-SP (F. 2º Grau) –

Um menino está à distância 6 de um muro de altura 3 e chuta uma bola que vai bater exatamente sobre o muro. Se a equação da trajetória da bola em relação ao sistema de coordenadas indicado pela figura é y  a x 2  (1  4a) x , a altura máxima atingida pela bola é:

Questão 12 FGV-SP adaptada (PA) –

Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês após a compra, o segundo de R$ 550,00 será feito 2 meses após a compra, o terceiro de R$ 600,00 será feito 3 meses após a compra e assim por diante. Sabendo que o preço total do terreno é de R$ 19.500,00 o número de prestações mensais que devem ser pagas é: a) 12

b) 20

c) 25

d) 31

Solução Trata-se de uma PA (500, 550, 600, ... , an), r = = 50, n = ?. an  a1  (n  1)r  an  500  (n  1)50 

S n



(a1  an )n

b

b) 4,5

c) 4

d) 3,5

e) 3



2

50n2

a) 5

n



950n  39000  0 

2

 4ac 

b



2

19





y  a x

2



Substituindo y  a x

2



a

1 



4

12a  3  a  

1 4

x

4

.

a) 38.000

2 x .

A altura máxima atingida é: yv  

yv



 4a



yv

 

b

2



4ac



4a

yv  

22

 1  4   4 



4 metros.

n

–

Texto “Todo santo dia, 39 mil toneladas de comida, em condições de

alimentar um ser humano, alimentam uma outra boca, a do lixo. O desperdício é gerado em restaurantes, mercados, feiras, fábricas, quitandas, açougues e até mesmo dentro de nossa própria casa”. Fonte: http://www.revelacaoonline.uniube.br http://www.revelacaoonline.uniube.br/geral03/ /geral03/ fome.html

Supondo que um restaurante com um ano de existência jogue fora no lixo certa quantidade de comida da seguinte forma: no 1º mês, 2 kg; no 2º mês, 4 kg; no 3º mês, 6 kg e assim por diante. A quantidade total de comida jogada no lixo pelo restaurante durante esse ano foi de: b) 130 kg

c) 156 kg

d) 160 kg

n

2



19n  780  0 .



361 3120  3481 .

n1  20 .    n 39  2

e) 178 kg

 a1 

7 

a

c) 41.000

d) 42.000

e) 48.000

(n  1)r 

 6 1500  a7  33000

33000  9000 

7 

a

42000 .

Questão 14 UEPA (PG) –

Um empresário comprou na ilha de Marajó uma fazenda com 64 cabeças de búfalo. Após n anos administrando a fazenda, observou que seu rebanho teve um crescimento anual segundo uma progressão geométrica de razão 2, passando atualmente para 1.024 cabeças. O valor de n é: a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Solução a1 = 64; q = 2; an = 1.024; n = ? an



4

Solução Considerando a sequência: (2 kg, 4 kg, 6 kg, ... , ?), onde: = 2; n =12; S12 = ? a1 = 2; a2 = 4; r =

b) 40.500

Solução O nº de passagens nos meses de janeiro, fevereiro, março, etc do ano passado são os termos de uma PA: P A: = 1500. (33.000, 34.500, 36.000, …), com r = O nº de passagens vendidas no mês de julho é o sétimo termo (n = 7). a

Questão 11 UEPA (PA)

a) 90 kg



O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

2 

50n  450 .

–

na função, temos:

(1  4a) x  y  



Questão 13 ENEM (PA)

(1  4a) x  3  a  (6) 2  (1  4a)  6 

3  36a  6  24a 

2

n

2

4  1 (780 780) 

19  59

a

(500  50n  450)n

19500 

2a

Solução Como o ponto P(6, 3) pertence ao gráfico, logo:

e) 39

a1  q

n 1

n 1 



1024

n5



64  2

n 1

.

PG: (64 ,128 , 256 , 512 , 1024) . 1

2

3

4

Questão 15 UFPB (PG) –



16  2n 1 

2

4



2

n 1













d) R$ 510,50

e) R$ 510,00

Questão 18 ENEM (PG Infinita) c –

Solução n = 10; a1 = 256; q = 50% = 1/2; S n = ?;  S n

S 10

  1 10   1 256     2       1 1



a1 (q n



1)



q 1

 1   1  1024   1 2

256  



S 10

2

2

 1  1024   1023   1024   S      (2)  10 1 4   

256  

S 10



2

S 10

1023 



2

S 10



Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais-objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. Comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

511,5 .

Questão 16 UFRA (PG) “O agronegócio da avestruz –

(estrutiocultura) ganha cada vez mais espaço no mercado brasileiro (...) Há cerca de seis anos, não havia mais que 500 animais no país, hoje o plantel é formado por cerca de 50 mil aves e 700 criadores (Fonte: ACAB: Associação de Criadores de Avestruz do Brasil) o que já torna

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:

possível viabilizar a comercialização da carne”. (Escala Rural, nº

22). Com os dados do texto e supondo que o crescimento da população de avestruz no país se dá em PG (Progressão Geométrica), daqui há quantos anos essa população atingirá 5 milhões de aves? a) 5

b) 6

c) 9

d) 12

e) 18

Solução Início: t = 6 anos; a1 = 500 avestruzes; an = 50.000 avestruzes. ? Hoje (50.000 avestruzes)   Futuro (5.000.000 avestruzes).  t n 1 an  a1  q  f (t )  k  a . t 



100  q 6

6

2

1/ 3

. Futuro: b1 = 50.000 avestruzes; bn = 5.000.000 avestruzes. 50.000  500  q

t



5.000.000  50.000  (101 / 3 )t t  6





q



10



q  10

(101 / 3 )t  102 

t

2 



3

. –

No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se

1 27

1 3

,

1 9

5 2

c)

7 3

d) 2

Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês sobre o saldo devedor e que um usuário com dificuldades financeiras suspende o pagamento do seu cartão com um saldo devedor de R$ 660,00. Se a referida dívida não for paga, o tempo necessário para que o valor do saldo devedor seja triplicado sobre regime de juros compostos, será de: (Dados: log 3 = 0,47; log 1,12 = 0,05).

M  C (1  i)t

, e assim por diante, conforme mostra a

b)

–

b) nove meses e dez dias. d) nove meses e doze dias.

Solução i = 12% am (taxa de juros); C = 660 (capital); M = 3C.

,

figura: O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indeﬁnidamente, é: a) 3

Questão 19 UEPA (Matemática Financeira)

a) nove meses e nove dias. c) nove meses e onze dias. e) nove meses e treze dias.

Questão 17 Unifesp (PG Infinita)

cubos com arestas de medidas 1,

Solução Considerando os triângulos de cor escura, apresenta a sequência: (1, 3, 9, … ) de razão q = 3. Logo, a figura 4 deverá ter 9×3 = 27 triângulos pretos. A única alternativa que apresenta 27 triângulos pretos é a letra C.

e)

3 2



3 C  C (1  0,12)t



log3  log1,12t  0,47  0,05 t  t  t 

45 5

t





2 5



t  9  30 

2



t

3  1,12

0,47 0,05



47  t 



5

t  9  12 

5

9 meses e 12 dias.

Questão 20 UERN –

Um revendedor de automóveis comprou dois carros, pagando R$











Solução: Investimento: 15.000 + 10.000 = 25.000.

M(t )  M0  3

• Vendeu 1º carro com prejuízo de 20%;

1 3

15.000×0,8 =1.500×8 = 12.000.



3 1  2t 

1

M 0  3 2 t

t





3

 2 t



3

0,5 s.



–

O gráfico mostra, em função do tempo, a evolução do número de bactérias em certa cultura. Dentre as alternativas a seguir, decorridos 30 minutos do início das observações, o valor mais próximo desse número é:

10.000×1,2 =1.000×12 = 12.000. Recebeu: 12.000 + 12.000 = 24.000. Ele perdeu: 25.000 – 24.000 24.000 = 1.000 1

0,04 . 25000 25 Questão 21 ESPM-SP 

 32 t 

M0



Questão 24 MACKENZIE-SP

• Vendeu 2º carro com lucro de 20%;

1000

2t





–

Um capital de R$ 6.000,00 é aplicado por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa aplicação? a) R$ 6.494,40 d) R$ 494,40

b) R$ 6.480,00 e) R$ 480,00

c) R$ 6.441,60

Solução:

a) 18.000 t

M



C (1  i)

M



6000  1,0824  M  6494,40 .

J

M 



 M  C 

J



6000(1  0,02)

4



6494 ,40  6000  J

M  6000(1,02) 



b) 20.000

c) 32.000

d) 14.000

e) 40.000

4

494 494,40 .

Solução Sejam os pontos (0, 10 4) e (3, 8·10 4), temos: t 4 • f ( t )  a  b  104  a  b 0  a 10 . 

Questão 22 UERJ adaptada (F. Exponencial) –

Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizado uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir p artir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar, que representa a função y e x . 

• 8  104



104  b3



8  b

3



b



3

8

b





2.

A lei de formação é f (t ) 104 2t . t = 30 min = 0,5 h. 



1

f ( t )  10

4



22



f (t )  104  2



f ( t )  104  1,4 

f (t )  14000 . Questão 25 CEFET-PR –

Utilizando f (d) 100 100e e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:

Cientistas de um certo país, preocupado com as possibilidades cada vez mais ameaçadoras de uma guerra biológica , pesquisam uma determinada bactéria que cresce segundo a expressão

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 Solução Como y  e x e f (d)  100  100e 0,2d . Para produzir 87 peças, ou seja, f (d)  87 , o número de dias (d = ?) é:

obter-se uma população de 3.125 bactérias, será necessário um tempo, em horas, com o valor absoluto no intervalo:



0, 2d







87  100  100e 0,2d

O gráfico de Logo,

e

0, 2d



y



 e

x

e 2



100e  100

, temos



0,2d

 13 

0,13  e

2

e

0, 2d

 0,13 .

.

Questão 23 UCDB-MS (F. Exponencial) –

Certa substância radioativa de massa M 0, no instante t = 0, tende a se transformar em outra substância não radioativa. Para cada instante t ≥ 0, dado em segundos, a massa da substância radioativa restante obedece à lei M(t ) M0 3 2 t . Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, para que a massa da substância radioativa seja reduzida a um terço da massa inicial é igual a: 

a) 3

b) 2,5

c) 1,5

d) 1

a) ]0, 2]

t 1

, onde t representa o tempo em horas. Para

b) ]2, 4]

55  53 28 8t

 5     2 

1 

t

t 1





e) 0,5

c) ]4, 6]

d) ]6, 8]

e) ]8, 10]

Solução Para P(t) = 3.125, temos: 256  5  3125    125  2 

0,2d  2  d  10 .



256  5  P( t )    125  2 

7

t 1

8

 5   5  3   5  2  5

58

2

 5   8   2  2 

t 1

t 1

 8

 5   5        2   2 

t 1



h.

Questão 26 UFMT (Logaritmo) –

A magnitude de um terremoto é medida na escala de Richter. Considere que as magnitudes M 1 e M2 de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula M1  M 2 

2 3

 E1   , em que E 1 e  E 

log











qual a magnitude M 1 do terremoto ocorrido no norte de Mato Grosso?

número de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produção estimada será de:

a) 6

a) 200.000 carros. d) 250.000 carros.

b) 7

c) 5

d) 4

e) 3

b) 220.000 carros. e) 300.000 carros

c) 232.000 carros.

Solução Sendo

E1

E2



Solução Seja t = = 8, temos:

e M2 = 9, temos:

1000

 E / 1000  2 1    M1  9  log M1  9  log 2   3 E 3 1000   2   2

M1  9  M1



2 3



log10

9  2  M1

3



2  (3)  M1  9  2  3

M1  9 

7.



Questão 27 UFMG (Logaritmo) –

O pH de uma uma solução solução aquosa é definida pela expressão expressão pH   log[H ] , em que [H ] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. Ao analisar determinada solução um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de hidrogênio em [H ]  5,4  10 8 . Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30 para log2 e de 0,48 para log3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi: 







a) 7,26

b) 7,32

c) 7,58

d) 7,74

e) 7,82

Solução

P (t )



5 105 log3 (t  1)  P (8)  10 log3 (8  1) 

P (8)



105 log3 9  P (8)  10 log3 3 5

P (8)  10

a) 44

3

pH   log[3



c) 47

15.000  10.000(1,01) n

9



n 

15 10



log(1,01) n

log15  log10





d) 48

15  10(1,01)

e) 50

2 10 ]  pH  (3 log 3  log 2  9 log10) 

pH  (3  0,48  0,30  9)  pH  (1,44  0,30  9)  n 

n



15 10



(1,01)

n



log15  log10  n log(1,01)  log

 n 

log1,01

9



pH  (1,74  9)  pH  (7,26)  pH  7,26 .

b) 46

Solução Sendo C (n) = 15.000, temos:

pH   log[H ]  pH   log[5,4 10 ]  pH   log[54  10 ]  pH   log[27  2  10 ] 

2  log3 3  P (8)  200.000 .

Carros novos melhoram o escoamento do trânsito e causam menos poluição. Para adquirir um carro novo, um cidadão fez um investimento de R$ 10.000,00 na poupança, a juros mensais de 1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de n C (n)  10.000(1,01) reais. O número mínimo de meses necessário para que o valor aplicado atinja R$ 15.000,00 é: (Dados: log 2 = 0,301; log 3 = 0,477; log 101 = 2,004 )

8

9



–







2

Questão 30 UFSM-RS (F. Logarítmica)

log 

5

30



2 log

log 30  log 2  log10

 n 

log 10 

101

100 log(3  10)  log 2  log10 log101  log102

log101  log100



Questão 28 UPF-RS adaptada –

A desintegração nuclear é regida pela equação exponencial λ N  N0  e t , em que λ é uma constante, N 0 é a quantidade inicial e N é quantidade após um tempo t . A equação que fornece o tempo, em qualquer instante, é: 





e)

N

d)

N 0  e

t  λ  ln



 b) t    N 0  e 

a) t  λ ( N  N0 ) ln e c) t 

N

 λ

1 t







ln

λ

N

N N 0

 N 0  e

N

 λ t

N  e



 λ t



ln

N 

N 0

N 0

1

N

ln e

 λ t

log 3  log10  log 2  log10



log101  2 n 

log 3  log10  log 2  log10 log101  2

n 

0,477  0,301 2,004  2



n

0,176



n

 n



0,004

log 3  log 2  log 101  2 44 meses.

Questão 31 UEPA (Trigonometria) –

N 0

Solução N

n 



Na Amazônia, está sendo construído um observatório no alto de uma torre, com a finalidade de compreender e modelar as trocas gasosas que ocorrem na atmosfera. Um engenheiro de 1,80 metros de altura responsável pela execução do projeto observa o topo dessa torre segundo um ângulo de 30°. Se o engenheiro está posicionado a 120 metros de distância da torre, então a altura dessa torre é, em metros, de: (dado: 3  1,73 ). a) 86

b) 83

c) 71

d) 44

e) 32













Questão 34 FAMECA-SP (Lei dos Senos) –

Dois amigos, André e Bruno, estão num campo aberto empinando pipa. Eles estão, respectivamente, nas posições A e B. Os fios dessas pipas se enroscam e se rompem, fazendo com que as duas pipas caiam juntas num ponto C, distante 40 m de André. tg 30 

x

3



x



120

3



120

1,73 

x  x 

40

69,2 m .

Logo, a altura da torre é: h

 x  1,8  h  69,2  1,8 

h



71m .

A distância de Bruno até as pipas é:


As construções de telhados em geral são feitas com um grau mínimo de inclinação em função do custo. Para as medidas do modelo de telhado representado a seguir, o valor do seno do

a)

10 2

m b) 10 3 m c) 20 m d)

20 2

m e) 20 3 m

Solução

ângulo agudo φ é dado por:

(Fonte:http://www.diaadiaeducacao.pr (Fonte:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pd .gov.br/portals/pde/arquivos/933-2.pdf e/arquivos/933-2.pdf.. Acesso em 9 de setembro de 2011-Texto adaptado)

a)

4 10

b)

10

3 10

c)

10

2

2

d)

10

10

e)

10

2 10

Solução Para encontrar o valor do seno do ângulo agudo φ (sen φ).

Vamos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da rampa (hipotenusa), temos: a2



b2

a2

 32,4 



c2

 a

2



5,4

2

2

 1,8

324 a 



10

a



18 10

a

2

c

 a

1,8 18



1,8 

10 18





sen 30º x

40 40

x 

2 /2 

 x 



1/ 2

40 20 2

2



x 2



2

x

40



2

m.

Questão 35 UEPA (Lei dos Cossenos) –

A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta, AB, que servirá para o acesso de veículos a casa, que se encontra na parte mais alta do terreno.

 29,16  3,24 

.

Assim: sen 

sen 45º

sen  

10 10

.

10


Um botânico interessado em descobrir qual o comprimento da copa da árvore fez as observações indicadas na figura abaixo a partir de um ponto no solo.

A distância de A a B é de 6 metros, de B a C é de 10 metros e o menor ângulo formado entre AB e BC é de 120°. Então, o valor do comprimento da rampa deve ser de: (Dado: cos120º = −cos60°) a) 12 m

b) 12,5 m

c) 13 m

d) 13,5 m

e) 14 m

Solução AB = 6 m; BC = 10 m; ABC = 120º; AC = d = ? c

2

2

d





a

2

b

2

 2ab  cos cos α 

d 2

2

2

 6  10  2  6  10  cos cos 120º 

2 136  120  ( cos 60º )  d

 136  120 

1 











Questão 37 UNESP-SC (Circunferência) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma

2

 π 2k π   π 2k π   t        t     g  2 2  2  g  2

–



2

de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do

t  (1  2k )

“monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 rad. O perímetro do “monstro”, em centímetros, centímetros, é:

π



2

g

.

Questão 39 UFPA (F. Trigonométrica) –

a) π – 1 – 1

b) π + 1

c) 2π – 1 – 1

e) 2π + 1

d) 2π

Um fabricante produz telhas senoidais como a da figura abaixo.

Solução Seja o r = 1cm; α = 1 rad; P m = ?; = α·r ⟹ l = = 1·1 = 1 cm. l = l

Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabricante possui por curva geratriz o gráfico da função y  sen sen ( x) (veja detalhe na figura abaixo). Pm = (2πr – l 1 + 1 + 1 ⟹ Pm = 2π + 1. – l ) + 2r ⟹ Pm = 2π – 1 Questão 38 UFPA (F. Trigonométrica) –

O pêndulo simples é formado por uma partícula de massa m fixada na extremidade inferior de uma haste retilínea, de comprimento  (de massa desprezível se comparada com a massa da partícula), cuja extremidade superior está fixada. Suponhamos que o movimento do pêndulo se processe em um plano vertical e designemos por θ o ângulo que a haste faz com a reta vertical 0Y (Veja figura abaixo). θ(t )

  A  cos cos   

g 

  t  , t  0  

Observemos que θ  θ(t ) , isto é, θ é função do tempo t  0 . O movimento do pêndulo, para pequenas oscilações, é regido pela equação eq uação em que A é uma constante positiva, g é a aceleração da gravidade e  é o comprimento da haste. Os valores de t  0 , referentes à passagem do pêndulo pela posição vertical OY, isto é, ao momento em que θ(t )  0 , são dados por:

Um cliente solicitou então a produção de telhas que fossem duas vezes “mais sanfonadas” e que tivessem o triplo da altura da telha padrão, como na figura abaixo.

A curva geratriz dessa nova telha será então o gráfico da função  1 

a) y  3 sen  x   2 

a) t  (2k  1) c)

t 

e)

t 

0 ou

π

2

t 



g 

g

1, 2 , 3 ,

, k  1,2,

b)

t



1,2,3,

1 1

d) t  1, , , 2 3

1

 1 

3

 2 

b)

y



sen (2 x) 3 sen

c)

y

 1   2 sen  x   3 

d) y  sen  x  e) y  2 sen (3x) Solução Baseando-se no gráfico o período da função é π, assim: P



2π

k

 π 

2π

k



k  2

.











Tomando por base os dados acima, podemos afirmar que o maior valor assumido pelo ângulo θ é:

a) 15°

b) 20°

c) 25°

d) 30°

e) 45° Solução Time A:

Solução Para o maior valor de θ, ou seja, sen x = [ – – 1, 1, 1], temos: θ

π 

9

c) O time A marcou 1 gols e o B marcou 1 gols. d) O time A marcou 2 gols e o B marcou 3 gols. e) O time A marcou 3 gols e o B marcou 1 gols.

[ 1, 1] 

θ

 π   ,  9

π

9 



θ



[ 20, 20] . 

Resumo: cos (k x  c) f ( x)  a  b sen sen (k x  c) ou f ( x)  a  b cos a: desloca para vertical (p/ (+) cima ou ( – ) baixo). b: altera o período. ): (dir). c: desloca para horizontal (+): (esq) ou ( – ): k : (×) diminuiu o período ou (/) aumenta o período.

! (

n  n

1)! 4 (n  1)!

n (n  1) !(n  1) !

(n  1)!(n  1)  4 (n  1) !

n 1  4 

n



4 (n  1)! 3.

Time B: 4n!

(n  2)!(n  1)! n 

4n  4  n n

2



2

1

n

43

n





4(n  1) 

(n  2)(n  1)n !(n  1)n ! n!

2n  2  n  1  4n  4  n 1

2





4n  3 

.

Questão 44 FAAP-SP (A. Combinatória) –

Para abrir um arquivo no microcomputador, o usuário deve digitar uma senha de quatro caracteres, numa certa ordem e sem repeti-los. O usuário sabe quais são os caracteres, mas não conhece a ordem em que devem ser digitados. Obstinado, procura acertar a senha por tentativas. O número de tentativas que deve fazer é: a) 24

Questão 41 UEPA (A. Combinatória) –

Uma loja de um shopping Center na cidade de Manaus divulga inscrições para um torneio de Games. Para realizar essas inscrições, a loja gerou um código de inscrição com uma sequência de quatro dígitos distintos, sendo o primeiro elemento da sequência diferente de zero. A quantidade de códigos de inscrição que podem ser gerados utilizando os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é: a) 4500

b) 4536

c) 4684

d) 4693

e) 5000

Solução O código de inscrição é formado por quatro algarismos com os números {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = 10 possibilidades.

Q = 9·9·8·7 = 81·8·7 = 648·7 = 4536. Questão 42 UFBA (A. Combinatória) –

Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro-secretário e 4 a tesoureiro. O número de resultados possíveis da eleição é:

b) 30

c) 36

d) 40

Solução Considera a sequência: A, 2, F, 9. Logo, o número de maneiras distintas é:

P4



e) 120

4!



24 .

Questão 45 UEPA (A. Combinatória) –

Visando obter mais informações sobre a denúncia de que uma tribo da região Amazônica estava sendo dizimada, um repórter recorreu a seu computador para acessar a Internet, entretanto não lembrou a senha de acesso, que era composta por três algarismos. Lembrava apenas que a senha era composta por três dos cinco algarismos: 1, 3, 5, 6 e 9. Para encontrar a senha, o repórter escreveu num papel todos os possíveis agrupamentos com esses algarismos. O número de agrupamentos escritos por esse repórter, na tentativa de encontrar a senha de acesso à Internet, é: a) 120

b) 108

c) 84

Solução Esquematizando a situação, temos:

d) 60

e) 56











Seja n = 8 e p = 5. Como a2 deve ser um dos escolhidos, temos n = 7 e p = 4, a ordem da fila não importa trata-se de um problema de Combinação. C n, p

n!



C 7, 4



p !(n  p) !

7! 

4 ! 3!



C 7, 4



765 6



35 .

–

A graviola é uma fruta que possui diversos nutrientes, como as Vitaminas C, B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro, Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja fabricar um produto a partir da combinação de 4 daqueles nutrientes, entre vitaminas ou sais minerais, encontrados na graviola. A quantidade de produtos que poderá ser fabricada, se forem utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de: a) 65

b) 60

c) 32

d) 30

e) 26

Solução Uma indústria deseja utilizar 4 nutrientes da graviola. Os nutrientes são: Vitaminas: {C, B1, B2} = 3. Sais minerais: {Cálcio, Fósforo, Ferro, Potássio e Sódio} = 5. Condição: Utilizar no máximo duas vitaminas. V V S S = V S S V (não altera) Logo, os agrupamentos que definem o produto com vitaminas e sais minerais é dado por uma Combinação Simples. i) Produto feito com duas vitaminas: V V S S = V S S V. Vitaminas: C3,1 

3!



2 !1!

Sais minerais: C5,3



5! 3! 2!



5 4 2

10 .

Vitaminas: C3,2









3! 1! 2 !

Sais minerais: C5, 2





2! 3!



Sais minerais: C





5 4 2



5!

6

 20 .

10  20  200 .

a) 3/10

b) 4/10

c) 5/10

d) 6/10

e) 7/10

Solução Espaço amostral: n(E) = 120. Evento: n(A) = 120 – 36 36 = 84. P ( A) 

84 : 12

7



.

120 : 12 10 Questão 50 UEPA (Probabilidade) –

Uma empresa realizou uma pesquisa com 300 candidatos sobre os fatores de risco de um infarto agudo do miocárdio (IAM) ou enfarte agudo do miocárdio (EAM). Foi observado que 20% dessas pessoas possuíam esses fatores de risco. A probabilidade de essa empresa contratar ao acaso dois candidatos do grupo pesquisado e eles apresentarem apresentarem esses fatores de risco risco é: 60

b)

1597

59

c)

1495

69 1695

d)

74

e)

1797

77 1898

Solução O número de pessoas que possuem o fator de risco é: 20% 300 300 60 . Logo, nosso espaço amostral e o evento serão dados por combinações: 



60  59 P(A)  

5

( A)

n



( E)

P(A) 

n

10 .

Logo, C3,2 C5,2 3 10 30 iii) Produto feito sem nenhuma vitamina: S S S S 

654

–

3.

5!

3! 3!



Em uma pesquisa envolvendo 120 cidades, sobre lixo doméstico, observou-se que em 36 dessas cidades são desenvolvidas ações de reciclagem. A probabilidade de uma cidade pesquisada ser escolhida ao acaso e nela não ser desenvolvida ação de reciclagem, é:

a) 



6!

Questão 49 UEPA (Probabilidade)

3.

Logo, C3,1 C5,3 3 10 30 ii) Produto feito com uma vitamina: VSSS=SVSS 

Deputados Federais: C6,3  C5,2  C6,3

Questão 47 UEPA (A. Combinatória)

5! 54   10 2! 3! 2

Senadores: C5, 2 

P(A) 

30  59



150  299

C60, 2



C300, 2

P(A) 

59 5  299 299

P(A) 



2 300  299

P(A) 

2 59 1495



.

Também, podemos resolver a probabilidade da seguinte forma: P(A) 

60

59



1

59



59











Marca B:

C 4, 2

4! 

2! 2!



Espaço amostral n(E) = 1500. Evento: Recuperação da Saúde. n(A) = 200 + 200 + 250 + 350 = 1000.

6;

Marca A: C5,2 

5! 2! 3!

P(A) 

 10 .



1500

10



15

2 3

.

Questão 54 UNIFESP-SP (Matriz) –

Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, 1×2 e N, 2×1:

A Probabilidade de ocorrer o evento é: P

1000

3  6  10



19

.

66 66 Questão 52 ENEM (Probabilidade) –

As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.

M  [2 p

 r  . 2 s 

q] e N  

A matriz produto M·N representa o custo da produção de: a) 1 dia.

b) 2 dias.

c) 3 dias.

d) 4 dias.

e) 5 dias.

Solução  r   qs] .   [2 pr  2qs]  2[ pr  2 s

M  N  [2 p

q]  

+ qs: custo diário da produção de p unidades de X e q unidades de Y. pr + Logo, 2( pr + qs): é o custo d produção de 2 dias dessa indústria.

pr

Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:

a)

1

b)

3

1

c)

4

7 15

d)

7 23

e)

7 25

Solução Espaço amostral n(E) = 8·0 + 7·1 + 6·2 + 2·3 2· 3 = 7 + 12 + 6 = 25. Evento n(A) = 7·1 = 7. P(A)

n(A) 

n(E)

7 

25

Questão 55 UEPA (Matriz) –

A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atletas) e colunas ( dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e aij  30i  10 j o elemento genérico desta tabela, com i e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de: 1º Dia

A B

.

Questão 53 UEPA adaptada (Probabilidade) –

Durante a romaria do Círio de Nossa Senhora de Nazaré, em Belém, foi feita uma pesquisa com 1.500 romeiros sobre as promessas que os levaram a acompanhar a procissão na corda. As promessas foram: recuperação da saúde; aprovação no vestibular e emprego. Dentre os pesquisados: • 200 agradeciam pela recuperação da saúde, aprovação no

vestibular e pelo emprego; • 550 pela recuperação da saúde e aprovação no vestibular; • 450 pela recuperação da saúde e pelo emprego; • 400 pela aprovação n vestibular e pelo emprego;

C

a) 2 horas e 30 minutos. c) 2 horas. e) 1 hora e 30 minutos.

 a11 a  21 a31

2º Dia

3º Dia

  a a 22 23   a a 32 33  b) 2 horas e 10 minutos. d) 1 hora e 50 minutos. a

12

a

13

Solução O tempo de treinamento do atleta B no terceiro dia ( a23 ) é: a23  30  2  10  3  a23  60  30  a23 90 min. Ou seja, 1 hora e 30 min. 

Questão 56 UFPA (Sistemas Lineares) –

Uma indústria cerâmica produz tijolo, telha e lajota com













Considere x: tijolos; y: telhas; z : lajotas. • Produz tijolo, telha e lajota com produção diária de 90 mil

peças. x  y  z  90

• O nº de telhas produzidas é igual à metade da soma do nº de

tijolos com o de lajotas. y



x  z 2

• Os custos de produção do milhei ro

do tijolo, da telha e lajota são respectivamente 100, 200 e 300 reais e que o custo diário total da produção é de R$ 16.000,00. 100 100 x  200 200 y  300 300z  16000

Formando o Sistema Linear, temos;  x  y  z  90  x  z    y ` 2   100 x  200 y  300 z  16.000 ( x  y  z  90)  2  x  z    y ` 2   (100 x  200 y  300 z  16.000)  100 2 x  2 y  2 z  180 2 x  x  z  2 z  180    2 y  x  z  x  x  z  3 z  160  x  2 y  3 z  160 

3 x  3 z  180  x  z  60  x  z  60       x  2 z  80 2 x  4 z  160  x  2 z  80 •

x  z  y y ` 2

•

x  z 

60 

60

`

x 



2

y



30 .

20  60 

x



40 .

Logo, a alternativa certa é a letra A. Questão 57 ENEM (Sistema Linear) –

III. Os elementos de X correspondem aos preções unitários, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: a) R$ R$ 53,00 b) R$ R$ 55 55,00 ,00 c) R$ R$ 57,00 57,00 d) R$ R$ 62,00 e) R$ R$ 65 65,00 ,00 Solução Nas condições dadas, temos: temos: 0 3 4  x  134 3 y  4 z  134 1 0 5   y   115  ( x  5 z  115)  2         2 x  y  48 2 1 0  z   48   3 y  4 z  134 3 y  4 z  134   2 x  10 z  230    y  10 z  182 2 x  48  y  3 y  4 z  134    3 y  30 z  546 •

3 y  4 z  134 134 

•

2 x



Logo,

48  y



34 z  680 680 

z



20 .

3 y  134  80  3 y  54 

2 x



48  18  2 x  30 

x

y





18 .

15 .

é: 20  18  15  53 . x  y  z

Questão 59 UNESP (Geometria Espacial) –

z



20 .

A área da superfície da Terra é estimada em 510.000.000 km 2. Por outro lado, estima-se que, se todo o vapor de água da atmosfera terrestre fosse condensado, o volume de líquido resultante seria de 13.000 km 3. Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida que mais se aproxima da altura que o nível da água alcançaria é:

a) 2,54 mm b) 2,54 cm cm c) 25,4 25,4 cm d) 2,54 cm e) 0,254 km











Solução O volume de 1 degrau = V 1. Área da base: V1



b h 

A b



2

15 30 

A b h 



2 3



60

ii) Esfera: r = = 2.

. 





13500 10 

V  20V1





π

3

r



3

Vdoce



4

23

π

3



Vdoce



32 3

π

3

cm

.

Logo, o numero de doce feito é: 225 225 60 



3

13500 cm

.

V panela

n 

 n 

Vdoce

3

. O volume V de concreto usado é: V1

4

Vdoce 

1600 π 32 π

13,5 dm

3

20 13,5  270 dm

n





1600 π

3



1



32π

3 n  50  3  n

 150

.

.

Questão 61 UFLA-MG (Geometria Espacial) Um retângulo de lados a e b, girando em torno de b, gera um cilindro de volume 324π cm 3 e, girando em torno de a, gera outro cilindro de volume 144π cm 3. Os valores de a e b, –

respectivamente é:

Questão 63 MACK-SP (Geometria Espacial) –

Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, 1

contém perfume em

4

de seu volume total. Se uma pessoa

utilizar, todos os dias, 2 ml do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume será: a) 16 dias. b) 33 dias. c) 26 dias. d) 54 dias. e) 43 dias.

a) 4 cm e 9 cm. d) 3 cm e 8 cm.

b) 9 cm e 4 cm. e) 9 cm e 4 cm.

c) 8 cm e 3 cm.

V

4

π

3

r



3

V

Obs: 1 cm3 = 1 ml.

Solução r 1  a i) Cilindro 1 girando em torno de b: h1  b . V  324 π  1 V1

Solução O volume total do frasco V com o raio de 4 cm é:

2

 π r 1

h1



324π  π a 2b  324  a 2b .

r 2  b 

4 3

O volume do perfume V p



1 256π 

4



3

π

V p

1 4 

43



V

256π

é do total, ou seja: 64π

m

3

.

Usando 2 ml/dia, o perfume acabará em: 64π n



3 2

64π 

3

1 

2

32π 

m

3

3



32

dias.











4 V2

Vesfera



π

3





2

1152 

• Volume do paral elepípedo:

3 r

1152π

4 

2

3

3

 r

3

r



6 

3

576  3  r

2

3

π r

1152 



 1728 

r



3

3

 r



2

12 cm .

Questão 65 MACK-SP (Geometria Espacial) –

Um vazamento, em um navio-tanque, navio- tanque, provoca o aparecimento de uma mancha de óleo que tem forma circular e espessura constante de 2,5 cm, como na figura. O raio da mancha, t minutos depois do início do vazamento, é dado, em metros, pela t

relação r (t )



5

V par = A b·h ⟶ V par = R 2·h ⟶ V par = 62·12 = 36·12 = 432 cm 3. • Volume da espera: Vesf

4 

π

3

3

R ⟶ Vesf



4

π

3

• Volume do líquido. Vliq  V par  2Vesfera ⟶ Vliq

Vliq



432  72π ⟶ Vliq

Vliq



432  226,08 ⟶ Vliq



3

3



⟶ Vesf



36π cm

3

.

432 2 36π ⟶ 



432  72  3,14 ⟶ 

205,92 cm3 .

1dm3 = 1000 cm3 = 1l .

.

Vliq



0,20592 dm3



0,206 .

Questão 67 UEL-PR (Geometria Espacial) –

3

Adotando π = 3, o volume, em m , de óleo vazado, após 4 minutos do início do vazamento, é: a) 0,014

b) 0,016

c) 0,08

d) 0,02

As maiores pirâmides egípcias são conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e estão situadas nas ma rgens do Nilo. A figura a seguir representa essas pirâmides: Miquerinos (2470 a.C.), Quéfren (2500 a.C.) e Quéops (2530 a.C.).

e) 0,012

Solução Após 4 minutos do inicio do vazamento, o raio da mancha será: 4

2

 r (4)  0,4 m . 5 5 Adotando π = 3, o volume de óleo vazado é de um cilindro de

(4) 

r

(4) 

 r

raio da base 0,4 m e altura 2,5 cm (0,025 m). Portanto: 2

r h 

Vóleo

 π

Vóleo



Vóleo

 1200  10

Vóleo



3  16  25  102  103 5



1 2



3  (4 10 ) 

Vóleo



3



25 10



 3  400  105 

Vóleo  0,012 .

Questão 66 Fatec-SP (Geometria Espacial) –

Duas esferas maciças iguais e tangentes entre si estão inscritas em um paralelepípedo reto-retângulo oco, como mostra a figura abaixo. Observe que cada esfera tangencia as quatro faces laterais e uma das bases do paralelepípedo.

A maior e mais antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada de uma pirâmide de base quadrada com 230 metros de lado e cujas faces laterais se aproximam de triângulos equiláteros. Em matemática, “pirâmide” é um sólido geométrico.

O volume de um sólido com as dimensões da pirâmide de Quéops é: 3

a)

230

m

3

b)

2303 2

m3

c)

230

2

3

m

3











V

230 2  230 2



3



V

230

2



m

3

.

6 6 Questão 68 UEPA (Geometria Espacial) –

Uma

das

máximas

utilizadas

nas

pesquisas

para

o

desenvolvimento do “ produto perfeito ” é que ele deve possuir o

menor número de componentes, de tal modo que possa conseguir um justo equilíbrio entre forma, produção e custo. Uma fábrica de leite em pó investe na produção de duas embalagens para a comercialização de um novo lançamento. O modelo A é um cilindro reto de raio R e e o modelo B é um prisma reto de base quadrada cujo lado mede L. Fonte: Limites do design, Dijon de M oraes – 2 2 ed., São Paulo, Studio Nobel, 1999. Texto adaptado.

Sabendo-se que os dois modelos devem ter o mesmo volume e que a altura do modelo B é duas vezes a altura de A, então, a razão R/L, nessas condições, é: a)

2 π

b) 2π

1

c)

d)

π

e)

2

2 π

π

2

Vc



V p

2

 π  R  h 

2

L

 2h 

R

2

L



Vc

2h π

h



V p e 2



1

Vcone Vcilindro

π



3 π

1

2

r hcone 

2

3

r hcilindro

2

r

1

hcilindro 3 2 π r h cilindro

π



1 

9

.

Questão 70 UEPA (Geometria Espacial) –

Dados estatísticos mostram que o desemprego e a violência produzida pela desigualdade social levam milhares de pessoas ao furto de alimentos dentro de supermercados. Em geral os produtos embalados industrialmente em caixas de papelão são os alvos mais diretos para a prática desses delitos. Suponha que o conteúdo de uma dessas embalagens em formato de um paralelepípedo reto de medidas inteiras “a”, “b” e “c”, conforme

Solução Existem dois sólidos geométricos: um cilindro reto e um prisma reto de base quadrada.

Como o volume dos dois sólidos é igual condição R/L, temos:

A razão entre o volume do cone e volume do cilindro é:

usando a

2  R      π  L 

ilustra a figura abaixo, seja constituído do seguinte modo: • 1/4 do seu volume (V p) seja ocupado por um ingrediente A; • 1/3 do seu volume (V p) seja ocupado por um ingrediente B; • Metade do volume restante (V R ) seja ocupado por um ingrediente C.

Fonte: http://g1.globo.com/jornal-hoje/no http://g1.globo.com/jornal-hoje/noticia/2011/09/su ticia/2011/09/supermercadospermercados- brasileiros-perdem-rbrasileiros-perdem-r820-milhoes-por-anocom-furtos.html. Acesso em 11 de setembro de 2011-Texto-Adaptado.

Nestas condições e considerando que de cubos de aresta

x

1

3

5ab

c



a b ,

então o número

contendo um ingrediente D que











V R   

V p



V R



1

A  B  C  D  V p  V p

7



12

V p



V R



4

afirmar, utilizando π = 3,14 que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente:

1

V p  V p  V R  3

12  7 12

V p



V R

5 

12

a) 18

V p .

Como os ingredientes C e D ocupam a metade do volume restante

V R 

2

C e

V R 

2

D,

ou seja, C = D.

Dessa forma, o volume ocupado pelo ingrediente D no V R



2

x0

5ab

1 

3

3

3

d) 24

π

h

[ R

2

 R r 

2

r

]

27 π

3 3 Vt.cone  9π[289 289  238 238  196 196]  9π

V p 5  D  V p . D  12 2 24

O volume do cubo (V c) de aresta

c) 22

e) 26

Solução: Raio da base (r) = 14 cm; Raio da boca (R)= 17 cm; h = 27 cm. O volume do tronco de cone é: Vt.cone 

5

paralelepípedo é: D 

b) 20

[17 

2

723



2

17  14  14 ] 



9  3,14  723 723 

Vt.cone  3,14  6507  20432 cm3 . 1dm3 = 1000 cm3 = 1l . Vt.cone  20,432  .

é:

Questão 73 UFPel-RS (Geometria Espacial) –

V c

 1  a3   3   3

5ab  3

3

  V c  



1 27



5ab 3



V c



5ab 81

.

Assim o número de cubos n é razão do volume ocupado do ingrediente D pelo volume do cubo (V c):

Duas substâncias, A e B, que não se misturam, são colocadas num recipiente de forma cônica, de modo que a substância A ocupe até a metade da altura do cone e a substância B, o restante (conforme a figura). A razão entre o volume de A e o volume de B é:

5

V p V p 27 5 81 24  n   n  V p   n  n  5ab V c 8 ab 24 5ab 81 27 abc 27 27 ( a  b) . c  n    n n 8 8 ab 8 D



Questão 71 UFPA adaptada (Geometria Espacial) –

Um arquiteto planeja uma catedral cuja forma é um tronco de cone reto com altura de 90 m, raio maior 90 m e raio menor 60 m. O tronco de cone é perfurado por um cilindro reto com raio 60 m, cujo eixo é o mesmo do cone. O volume do espaço limitado pelo tronco de cone, o cilindro e o piso.

a)

8 7

Solução

b)

1 7

c) 1

d)

1 8

e) 7













Questão 74 PUC-SP (Geometria Espacial) –

Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2.814 cm 3 de volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede: a) 8 cm

b) 6 cm

c) 3 cm

d) 12 cm

e) 14 cm a) 5 x  2 y  2  0 c) 2 x  5 y  10  0 e) 2 x  5 y  10  0

Solução Vt = 2814 cm3; h = 18 cm; l B = 20; l b = ?. AB = 202 = 400 cm2; A b = l 2. Vt 

h

[A B 

3

2814  2814 

18 3

A b A B  A b ] 

[ 400 

400  l 2



Solução O coeficiente angular ( m) da reta é:

l 2 ] 

m 2

400  20l  l



0

469   469

2

400 400  20l  l



6 2

l



l 

400  276 276  676 676 . 20l  69    400

b

2a



 l 

20  26

2

b) 2 x  5 y  2  0 d) 5 x  2 y  2  0

l  3 .  1 l 2  23

 y  x



84

4

2



15  5



10

5

.

Usando a fórmuala da equação da reta, temos: ( x  x0 )m  y  y0 2 x  5 y  10  0



( x  5) 

2 5



y  4  2 x 10  5 y  20 

.

Questão 77 UEPA (Geometria Analítica) –

Questão 75 Fatec-SP (Geometria Espacial) –

Um tubo de vidro, com formato de cilindro circular reto, é graduado com um escala e está cheio de água até a borda. O

Segundo a Revista VEJA de 03.10.07, o mundo dá sinais de que a paciência com o Irã está chegando ao fim. Rudolph Giuliani, candidato à presidência dos EUA, defende um ataque preventivo











 40 x  240  1200    40 x  240  1200

 40 x  1200  240    40 x  1200  240

 40 x  1440  x  36 (não satisfaz) .   x  24 km  40 x  960  Questão 80 FAAP-SP (Geometria Analítica) –

a) 9,81

b) 12,42

c) 14,32

d) 15,78

e) 17,41

Solução A área desmatada da figura 2 é um círculo baseado na equação geral: x 2  y 2  8 x  10 y  40  0 . • A  2a  8  2a  a 4 . • B  2b  10  2b  b 5 . 



•

Ca

2

b

2

2

 r



40  4

2

 52  r 2 

2

 41 40  r  1 . A área desmantada (A d), sendo o valor do raio igual a 1 e

r

considerando π = 3,14, temos: Ad

2  π  r 

Ad



2

3,14 1



Ad  3,14 u.a.

A área não desmatada (A nd) da figura 2 é um retângulo com base

Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que, se o preço for R$ 80,00, ele poderá vender 1.000 unidades; se o preço subir para R$ 86,00, venderá 700. Quantos relógios ele poderia vender se o preço fosse fosse R$ 90,00? a) 580

b) 900

c) 500

d) 730

Solução Seja o par ordenado (quantidade, preço) = (q, p). q( x x) 1000 700 x p( y 80 86 90 y) Os pontos estão alinhados, logo: x1

y1

1

x2

y 2

1

x3

y3

1

1000 80 1  0 

700 x

86 1  0  90 1

e) 860











Questão 82 UFSM-SC (Geometria Analítica) –

A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0, 12) e B(8, 0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a:

A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, reais, o equivalente a: a) 4 e 6

b) 5 e

a) 4,50

9

c) 5 e 7

2

d) 4 e 7

Solução Os pontos A(0, 12), P( x, y) e B(8, 0) estão alinhados, logo: xA

yA

1

xP

y P

1

xB

y B

1

0

12

1

0

0  0 

12

12

1

x

y

1

8

0

1

c) 5,50

d) 6,00

e) 6,50

Solução Sejam os pontos A(5, 150) e B(30, 50). A equação da reta desses pontos é: m

 0 

b) 5,00

e) 6 e 3



yA



xA



yB

150  50 

xB

Seja a reta r:

100 

5  30



25

y  y0  m( x  x0 )



4 .

, temos:

y  50  (4)( x  30)  y  50  4 x  120 120 

4

170











•

Ca

2

b

2

2

 r



1075 100

2

r

 13 

1075 

2

r





2

2

2

3

1300  1075 100

100 r



2

 r



2

 r

x 

225  r 



100

15 10

Como o arco gerado é um quarto de uma circunferência, temos: C



C

2  π  1,5



7,4



5 5 Questão 88 UEPA (Estatística)

1,48 .

–



1,5 .

2 π r

1,2  1,3  1,3  1,8  1,8

 C  0,75 π u.c.

4 4 Questão 86 UEPA (A. Combinatória) –

Com projeto Sivam será implantado um radar r adar com capacidade de captar sinais num raio de 250 km. Um técnico situou a ação desse radar no sistema de coordenadas cartesianas, conforme a figura abaixo.

Com base nos dados apresentados no gráfico do Texto 3, a mediana é igual a: a) 2,0

b) 1,8

c) 3,6

d) 1,3

e) 2,1

Solução Como as taxas de fecundidade do texto 3 está em rol, temos: 1-1,2-1,3-1,3-1,8-1,8-2,0-2,1-2,1-7,3 Para encontrar a mediana das taxas, devemos encontrar o termo central do rol, neste caso, teremos: 1,8  1,8

 1,8 . 2 Questão 89 UEPA (Estatística)

md 

–

A emissão de certidão negativa de débitos, ilustrada no gráfico abaixo, evidencia as duas modalidades disponibilizadas pela receita federal. Considerando que, em 2006, foram emitidos 12 milhões de CND, então o número de CND’s emitidas pela

internet foi de: A equação dessa circunferência tangente aos eixos coordenados é:











2004 ⟶ 42,9 milhões. 2005 ⟶ 42,4 milhões. x



V m

19,8  24,7  33,7  38,1  42,9  42,4

x 

6



100



44km / h

Obs: o valor médio de velocidades.



6 44,5  71,8  85,4

4400 

Questão 93 UFPA (Estatística) –

44,5  157,1 6



201,6 6



x



33,6 .

Questão 91 UFPA (Estatística) –

No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato.

A figura abaixo mostra o ciclo de crescimento do eucalipto, uma planta de celulose e bastante usada na fabricação de papel, carvão vegetal e madeira. A média, aproximada, de crescimento do eucalipto, nos 7 primeiros anos, de acordo com os dados apresentados, é:

Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a Fonte: Revista Super Interessante, Setembro, 2007.

a) 15,34 m b) 20,28 m c) 25,47 m d) 26,38 m e) 27,20 m

a) 15

b) 17

c) 18

d) 20

e) 24

Solução O gráfico tracejado (de gols marcados) está acima do gráfico













valor médio dos investimentos do Brasil na França, também em milhões de dólares, foi de

Solução

367  357  354  539  280

(a  3i )(1  2i )  b  5i 

•O



1897

5

5



379,4

Ainda neste período, o valor médio dos investimentos da França no Brasil foi superior ao do Brasil na França em 945,2 – 379,4 379,4 = 565,8 milhões de dólares. Questão 95 UEPA (Estatística) –

Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por po r caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

a  2ai  3i  6i

2



b  5i



a  2ai  3i  6(1)  b  5i  a  2ai  3i  6  b  5i



a  6  b a  b  6  (a  6)  (2a  3)i  b  5i    2 a 3 5    a 2 2   1  b  6 a  b  6 b  5    .    a 1 a a 1  1   

Logo, a  b  1  5  4 .

Mês

Cotação

Ano

Questão 98 UFAM (Nº Complexos)

Outubro Novembro

R$ 83,00 R$ 73,00

2007 2007

A forma algébrica do número complexo

–

z 

2  2i 1

i

é:











• i

16

i 3

16



i 16

i

1 

i

2





i

0

17

i

13

i

i





i

i

1;

•

35

30



13

i



12

i

 1

i

1 i

i 

ii

1

i

; • i 30



1 i i





i

28



i

2

(1  i)i ii

1.

 



ii i

.

Questão 102 UFSC adaptada (Nº Complexos) Dada a expressão 2 z  z  2zi  7 , sendo z

2

2



–

um número

2

complexo, determine | | . z

a) 1

b) 2

c) 3

11π



6

d) 4

e) 5

2(a  bi)  (a  bi)  2(a  bi)i  7 

 i  sen

11π 



6 

 11π 3 π  cos cos cos cos    6 6 2   sen 11π  sen π   1  6 6 2   3  1    i       2    2

z  3 

Solução 2 z  z  2 zi  7 



z  3  cos cos

3 3 

2

3 

2

i

.

 3 3 3  Logo, a imagem de z é é o ponto  ,  .   2

2 

PUC-RS (Nº Complexos)











Sendo



 3π   3π    i  sen     6    6    π   π   6 cos cos    i  sen sen     2    2 

z 1  z 2  6 cos  z 1  z 2

z 1  z 2 

6(0  i)  z 1



z 2



6i

e

Considere z um número complexo satisfazendo a condição é igual 60º, então 9 é igual a: | | 2 . Se o argumento de z é z

Solução

c) 29 (1  i)

z

1

 z 2

é igual a:

z

b) 5 (cos 10  i  sen sen 10) d) 10 (cos 45  i  sen sen 45)

Solução •

b)  29

z 2  5 (cos 15  i  sen sen 15)

e) 5 2 (1  i)

–

a)  29 i

2 (cos 40  i  sen 40) , então

a) 5 (cos 30  i  sen sen 30) c) 10 (cos 15  i  sen sen 15)

.



4 (cos 70  i  sen 70) ,

3

Questão 107 UEMA (Nº Complexos) z

z 3 

z 1 

d) 29 (1  i)

e)

2

9

z 1  z 2 

4  5[cos (70  15º )  i  sen sen (70  15º )] 

z 1  z 2  20[cos 85  i  sen sen 85º ] .

20











w0

•

θ1

w1

•

6

w1

 7π   7π    i  sen   .  12   12 



7π 

6

θ2



2 cos cos 

12



7π  r 

6

3

7π 

8π 

12



12

θ1

15π 



12

θ1

 5π   5π    i  sen   .  4   4 

2 cos cos 



5π 

12

2π 

4



5π  r 

4

2π 

3

15π 

12



12

θ2 

23π 12

.

 23π   23π  sen    i  sen  .  12   12 

2 cos cos 



Questão 112 Uniube-MG adaptada (Polinômios) –

4

.

p( x)  ( x

8π 

5π 

d(dividendo) D(divisor) R(resto) Q(quociente) D×Q + R = d Assim, D = x2  4x  7 ; Q = x 2  1 ; R = 2



4 x  7)( x

2





x 2

p( x)  x 4



5x  1 .

4 x3  8 x 2

O coeficiente de

x

2

x).  8 ; d = p( x

1)  x  8 

p( x)  x 4  4 x 3  7 x 2 

x



4 x  7  x  8 

é igual a 8.

Questão 116 UFPI (Polinômios) Seja R( x o resto da divisão x) –

do

polinômio











– 1

1 – 1 – 5 1 8 4 1 Aplicado o dispositivo de Briot-Ruffini 3 vezes, consiste em: Abaixar o coeficiente de maior grau e multiplicar com a raiz e depois somar com o coeficiente seguinte do polinômio, ou seja: – 1) – 1) 1·( – 1) + ( – 1) = – 2. 2. – 1 1 – 1 – 5 1 8 4 1 – 2

Dessa forma, obtemos um polinômio de grau 4. – 1 1 – 1 – 5 1 8 4 1 – 2 – 3 4 4 0 Aplicado o dispositivo de Briot-Ruffini pela 2ª vez.

TODAS+AS+SOLUÇÕES+118

Recommend Documents