ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
ESCUELA DE MEDICINA
PRIMER NIVEL LÓGICA MATEMÁTICA
Dr a. DOCENTE: Dr a. Susana Pino MgS. :
RIOBAMBA, MARZO MARZO 2015
UNIDAD I
LÓGICA MATEMÁTICA OBJETIVO
Fortalecer el conocimiento básico para asimilar el contenido de lógica matemática. Aplicar conceptos básicos de proposiciones en la solución de problemas. problemas.
ciencia que estudia estudia los princi principio pioss fundam fundament entale aless para para estab establec lecer er si un Lógica Lógica Matemática Matemática: Es una ciencia razonamien razonamiento to es correcto o incorrecto, incorrecto, proporciona proporciona reglas y técnicas para determinar determinar si es álido o no el argumento dado por medio del desarrollo de una secuencia lógica, usando premisas, !ipótesis que nos llean a la obtención de un determinado enunciado con un alor de erdad.
Razoamieto!"Es un con#unto de afirmaciones o #uicios relacionados de manera que uno de ellos $llamado conclusión% se desprende o infiere de los otros $llamados $llamados premisas%. &a pretensión de que la conclusión se deria de las premisas se manifiesta a traés de e'presiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc.
J"icio!# Es una relación o con#untos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmación o aseeración de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que ob#etiamente es erdadero o falso. E'isten dos tipos básicos de razonamiento: (nductio y Deductio
I$"cti%o& )i a de casos particulares a un caso general. E#emplo: )i obseramos arios partidos de básquet y luego afirmamos *los #ugadores profesionales de baloncesto son altos+, se parte de casos particulares para llegar a una conclusión general.
De$"cti%o& De$"cti%o& )i partimos de una ley general que se conoce, se infiere la eracidad o falsedad de un caso particular. E#emplo: )e sabe que los cuerpos caen a la tierra por la fuerza de graedad que e'iste, decimos si soltamos una tiza, ésta caerá al suelo. ambién ambién se cuenta con el razonamiento it"iti%o que consiste en realizar una aseeración sin tener pruebas suficientes, sólo basada en las e'periencias, presentimientos o apreciaciones. &a intuición es sumamente -til para plantear !ipótesis cuya eracidad eracidad intuimos a erificar.
ACTIVIDAD ' : onga / e#emplos de cada tipo de razonamiento, aplicados a la ida real.
E"cia$o& Es la e'presión erbal o escrita que tiene sentido completo pueden ser: (nformatias: 0a1ana es martes Descriptias: &a bandera ecuatoriana tiene 2 colores &ógica 0atemática Dra. )usana ino 0g).
Declarativas
Página 2 Expresivas
E'plicatia: )i el cielo está nublado es se1al que a a lloer E'clamatias: e quiero (nterrogatias: 34ómo te llamas5 (mperatias: 4ierra la puerta Desideratias: 6#ala !aga sol 7na ()o(o*ició es una e'presión ling89stica declaratia de cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un alor de erdad erdadero $ '% o falso $+% pero no ambos a la ez. p: &a tierra es plana q: ar9s está en Francia r: / ; < == s: El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. t: =/ es diisible por >
No *o ()o(o*icioe* &os enunciados e'clamatios. $)entimientos, inter#ecciones%. E#.: ?socorro@, ?au'ilio@ ?te quiero@ &as oraciones imperatias. $rdenes%, E#.: 4ierra la puertaB te as afuera. &as desideratias. $Deseos, s-plicas%. E#.: 6#ala no !aya clases. &as oraciones interrogatias. $reguntas%. E#.: 3Cué !ora es5 u: 34uánto dinero tienes5 No e* ()o(o*ició por ser un enunciado interrogatio, no se puede decir si es erdadero o falso. : 34ómo te llamas5 No e* "a ()o(o*ició porque no se puede determinar el alor de erdad.
ACTIVIDAD ,& =. Dar el alor de erdad de las proposiciones, e'cluya aquellas que no son proposiciones lógicas = : El rectángulo tiene lados paralelos......... 2 : $"2% /< 2 ......... / : El > es diisor de 2G.......... > : Es falso que == < 2 II.. J : K ni menor que II..
: El 04D de ; es = y ........... : 3Cué !ora es 5 .......... : Hiobamba capital de 4!imborazo .......... ; : 3Están contentos 5 .......... =G : Esta fruta está erde ..........
. )e1ale cuáles son enunciados o proposiciones erdaderas o falsas seg-n corresponda : a% b% c% d% e-
$ $ $ $ $
% % % % %
2< ; &a tierra es redonda. 3Cuiénes an al paseo5 GLG < = =G ' < G
f% $ g% $ !% $ i% $ #% $
% Deseo saber a dónde as. % 4!imborazo es una proincia del Ecuador % )i ' = < / entonces '< % El !ombre llegó a lutón % El perro es un cuadr-pedo
'!' CLASES DE .RO.OSICIONES E'isten proposiciones: )imples, compuestas &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 3
)on proposiciones *im(/e* o atómica* las que no pueden ser subdiididas en otras proposiciones, es decir tienen un solo enunciado o aseeración. E#emplo: p: *2 es un n-mero primo+ q: *la suma de los ángulos internos en un triángulo es =;GM+ &as proposiciones com("e*ta* o
mo/ec"/a)e* son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples, ligadas por conectios lógicos. E#emplos t: = es un n-mero diisible para y para dos p: = es un n-mero diisible para q: = es diisible para dos El conectio lógico es y
ACTIVIDAD& 0 C/a*i1i2"e /a* ()o(o*icioe* e *im(/e* o com("e*ta* e i$i2"e *" %a/o) $e %e)$a$! a% )i el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. b% Nuan traba#a y estudia entonces es un buen profesional competente. c% n es par si y solo si es diisible para dos d% El o'9geno es un compuesto del agua y ' < > es la solución de la ecuación ' < = f% Aquella manzana es una planta o un plátano.
'!, CONECTIVOS U O.ERADORES LÓGICOS En la lógica simbólica los conectios lógicos llamados también signos de enlace los más utilizados son:
S3MBOLOS METALÓGICOS
S3MBOLOS LÓGICOS
No
¬ Oo Q R R S T ↓
4 O O etoce* *i 5 *ó/o *i o 5 o6 i 5 i
O.ERACIONES LÓGICAS Pegación 4on#unción Disyunción Disyunción e'clusia 4ondicional Uicondicional 4on#unción negatia o barra de )!affer L
'!0 O.ERACIONES LÓGICAS
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 4
NEGACIÓN& Dada una proposición p, se define la egació de p como la proposición O p que es erdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es erdadera. )e lee Vno pV. Además se puede traducir como: *#amás+,+nunca+, *ni+, *in+, *i+ O p : el idrio no es transparente
p: el idrio es transparente
Oq : =; es un n-mero irracional
q: =; es un n-mero racional
r : lo culparon por documentado
O r: &o culparon por indocumentado
A partir de una o arias proposiciones elementales se pueden efectuar diersas o(e)acioe* /ógica* para construir nueas proposicionesB en este caso, se necesita conocer su alor de erdad o falsedad en función de los alores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a traés de las ta7/a* $e %e)$a$ de dic!as operaciones. or e#emplo, la tabla de erdad de la negación es la siguiente: p Op R F F R
O pG =
A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p, q y sus tablas de erdad:
( R R F F
( 9 2 = G G G (
( o
% ( 2 = =% = G 2 G = = G
2 ( 92 R R Co8"ció: es aquella proposición que es erdadera cuando p y q son erdaderas, y F F falsa en cualquier otro caso. R F F F )e escribe p ˄ q, y se lee Vp y qV.
R R F F
2 R F R F
(% 2 R R R F
(% ( 2 2 &ógica 0atemática R R F R F R F R R F F F
Di*5"ció: es aquella proposición que es erdadera cuando al menos una de las dos p q es erdadera, y falsa cuando las dos proposiciones son falsas. )e escribe p q, y se lee Vp o qV.
Dra. )usana ino 0g).
Página 5
Di*5"ció e:c/"*i%a : es aquella proposición que es erdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es erdadera, y falsa en cualquier otro caso. )e escribe p q, y se lee Vp o q pero no ambasV. )e usa muy poco.
. R R F F
p
(< ( 2 Co$icioa/: es aquella proposición que es falsa -nicamente cuando la co$ició *"1iciete p es =< R G erdadera y la co$ició ece*a)ia q es falsa. F = R escribe pSq, y se lee Vsi p entonces qV. = )e R
2 R F R F
de
p = = G G
T
p T Bico$icioa/: es la proposición que es erdadera cuando p y q tienen el mismo alor q q erdad, y falsa en caso contrario. = G = G
= G G =
)e escribe p T q, y se lee Vsi y sólo si p entonces q
q R F F
RESUMEN DE LAS TABLAS DE VERDAD
R
(
2
;(
( ∧ 2
(%2
(<2
(=2
(ѵ2
(>2
V
V
?
V
V
V
V
?
?
V
?
V
V
?
?
V
?
?
V
?
? V ?
V
V
?
V
?
F
?
V
?
V
V
?
V
7na proposición se dice que es una ta"to/og@a si su alor de erdad es siempre erdadero $ 'independientemente de los alores de las proposiciones que lo componen. 7na proposición se dice que es una cot)a$icció si su alor de erdad es siempre falso + independientemente de los alores de las proposiciones que lo componen.
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 6
7na (a)a$o8a i$eci*ió o cotigecia es una proposición a la que se le puede asignar alores erdaderos o falsos a la ezB suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lengua#e lógico.
'!0!'! EUIVALENCIAS LÓGICAS Dos proposiciones p y q se dicen e2"i%a/ete* si tienen la misma tabla de erdad en función de las proposiciones elementales que lo componenB esta definición equiale a decir que la proposición es una tautolog9a. or e#emplo, las proposiciones
pSq
y O p q son equialentes.
(
2
;(
(<2
O(2
R
R
F
V
V
R
F
R
?
?
F
R
F
V
V
F
F
R
V
V
Dete)mia) e/ %a/o) $e %e)$a$ (o) me$io $e ta7/a* ( 9 2- 9 ) = ( 9 2 9 )-
p
q R R R R F F F F
r R R F F R R F F
p ∧ q
q ∧ r
R R F F F F F F
R F F F R F F F
R F R F R F R F
&a proposición compuesta ( 9 2- 9 )
$p ∧ q%
∧ r
$p ∧ $q
V ? ? ? ? ? ? ?
∧ r %
W$p ∧ q% ∧ r XTWp ∧ $ q ∧ r% X
V ? ? ? ? ? ? ?
V V V V V V V V
( 9 2 9 )- resulta A76&6YZA por tanto es e2"i%a/ecia
'!0!, LE4ES O .RO.IEDADES DE LAS .RO.OSICIONES )e erifican las siguientes propiedades estructura de álgebra de las proposiciones:
.RO.IEDADES &ógica 0atemática
CONJUNCIÓN Dra. )usana ino 0g).
Página 7
DIS4UNCIÓN
•
(dempotencia
P ∧ P ≡ P
P ∨ P ≡ P
•
4onmutatia
P ∧ Q ≡ Q ∧ P
P ∨ Q ≡ Q ∨ P
•
Asociatia
P ∧ ( Q ∧ R ) ≡ ( P ∧ Q) ∧ R
P ∨ ( Q ∨ R ) ≡ ( P ∨ Q) ∨ R
•
Absorción
P ∧ ( P ∨ Q ) ≡ P
P ∨ ( Q ∧ R ) ≡ P
•
Distributia
P ∧ $Q ∨ R % ≡ $ P ∧ Q% ∨ ( P ∧ R )
P ∨ $Q ∧ R % ≡ $ P ∨ Q% ∧ ( P ∨ R )
•
4omplementariedad
P ∧ ¬ P ≡ F
•
De 0organ
¬( P ∧ Q ) ≡ ¬ P ∨ ¬Q [
¬$ P ∨ Q% ≡ ¬ P ∧ ¬Q
•
(dentidad
P ∧ F ≡ F P ∧ V ≡ P
P ∨ F ≡ P P ∨ V ≡ V
•
4ondicional
P → Q ≡ ¬ P ∨ Q
P → Q ≡ ¬Q → ¬P
•
Uicondicional
P ↔ Q ≡ ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
•
4on#unción negatia
P ↓ Q ≡ ¬ P ∧ ¬Q
•
Disyunción e'clusia
¬( ¬ P ) ≡ P
P ∨ ¬ P ≡ V
P ∨ Q ≡ ( P ∨ Q ) ∧ ¬( P ∧ Q ) −
ARGUMENTOS LÓGICOS 7n argumento lógico es un razonamiento en el que a partir de una serie de enunciados llamados premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. )e dice que un argumento es álido si asumiendo que todas las premisas son erdaderas la conclusión también es. 4uando un razonamiento no es álido se dice que es un sofisma. ara demostrar la alidez de un argumento debemos partir del !ec!o de que tenemos las proposiciones p =, p, p2 I. pn para llegar a la conclusión q por medio de las leyes de las proposiciones lógicas, escribiendo todas las premisas p = de la forma p Sq encadenando dic!as proposiciones $una a continuación de otra% y procurando que ninguna proposición esté negada.
E#emplo E'prese la siguiente proposición OW$p q% ∧ $q ∧ r%X utilizando solo el conectio S
ara cumplir con la condición es necesario cambiar el conectio ∧ por el conectio
˅
\a que utilizando la ley de la implicación es posible pasar del conectio R al conectio S OW$p q% ∧ $q ∧ r%X es equialente por la ley de 0organ a WO $p q% O $q ∧ r%X &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 8
4onsiderando las proposiciones O $p q% y O $q ∧ r% como p y q respectiamente y utilizando la ley de la implicación obtenemos
W $p q% X S W O $q ∧ r%X esta e'presión se podr9a escribir utilizando la ley de
0organ y luego de implicación nueamente se obtiene WOp Sq% S $q S Or%X y está escrita solo con el conectio S
ACTIVIDAD& F =. )ea n : *!ace calor+ q : *está nublado+ traduzca las formas proposicionales de los siguientes enunciados al metalengua#e : a% On b% n q c% n S ¬ q d% n ∧ q e% ¬ n T q f % ¬n ∧¬ q g% ¬ $¬ n % !% $ n ¬ q % S ¬ n . Determinar el alor de erdad de la proposición [ $ p S q % ∧ p ] S q utilizando las tablas 2. Demostrar por medio de las tablas de erdad que : a% n S q ≡ ¬ n ∨ q
b% n T q ≡ $ ¬ n ∨ q %
∧ $ n ∨ ¬ q%
. Rerifique que $ n ∧ q % S $ n q % es una tautolog9a /. Rerifique que $ n ∧ q %
∧ ¬
$n q%
es una contradicción
. Establezca las tablas de erdad de las siguientes proposiciones : a% $ n ∧ q % T $ ¬ n q%
b% $ n q% T $ $ n ∧ q %
∧ $ n ∧ q
%%
>. Demostrar utilizando las tablas de erdad la siguiente equialencia p→ $q ∧ r% ≡ $p→q% ∧ $p→r% ;. Determinar si la proposición es una tautolog9a $ pTq % ∧ $¬ p T q%
CUANTI?ICADORES LÓGICOS 7na proposición c"ati1ica$a es aquella en donde está determinado cuántos elementos de un con#unto lo satisfacen. E#emplo: 4onsideremos las siguientes proposiciones: : odos los n-meros enteros son pares o impares. C: E'iste un ', ' ] H, tal que ' < / H: Ping-n entero es irracional &as palabras todos, e'iste, ning-n que nos dicen cuántos elementos satisfacen la proposición se denominan cuantificadores y se clasifican en Ui%e)*a/ y e:i*tecia/. ∀
C"ati1ica$o) Ui%e)*a/ es todo o para todo y se representa con el s9mbolo
∀
&a e'presión
significa que para todo ' , ' es un elemento de los reales. ∃
C"ati1ica$o) e:i*tecia/ es e'iste $n% alg-n $os% y se representa con el s9mbolo ∃ &a e'presión
'L' =G< =2 significa que e'iste alg-n n-mero tal que '=G <=2
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página
.
', ' ] H
Negació $e /o* c"ati1ica$o)e* para realizar la negación de los cuantificadores en las proposiciones se usan las siguientes reglas: ∃
∀
O$
'L '% T
∃ O$
'L O'
∀
'L'% T
', O'
E#emplo: )i p: odos los n-meros son enteros q: Algunos triángulos son rectángulos
Op: E'iste al menos un n-mero que no es entero Oq: odos los triángulos no son rectángulos
RE?UERO NH ' =." )eanB p: 2 ^ =, q: = 2 < /, r: = < 2. Enuncie con palabras las siguientes proposiciones.
( p ↔ q ) ∧ ( q → r ) a%
( ¬ p ∧ q ) ∨ ¬ ( p ∨ q ) b%
( q → r ) ∧ ( q ∧ p ) c%
( q ∨ r ) ∧ ¬ p d%
¬ [ p ∧ ( q ∨ ¬ r ) ] e% ." Determine el alor de erdad de las proposiciones del numeral anterior 2." Escriba con s9mbolos las siguientes proposiciones, si se sabe queB ≤ p: */
>+, q: *= = < +, r: *2 < /+, s: * " < /+ ≤
a% /
> entonces = = < y 2 < /
≤ b% / > si y solo si = = < y 2 < / o " < / c% = = < o 2 < /B pero no ambos ≤ d% Pi / > implica que = = < , ni 2 < / o " < / ." Demostrar por medio de tablas de erdad cada uno de los siguientes enunciados aplicando el método indicado ¬ ( p ∧ ¬ q )
a%
[ ( p → q ) ∧ ( p ∨ q ) ] b%
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !"
[ ( p → $q ∧ r ) X ⇔ W( p ∨ q ) → r ] c%
[ ¬ p → ( q → r ) ] ∨ ( p ↔ r ) d% /." 0ediante las leyes demostrar si es una tautolog9a o contradicción los siguientes enunciados.
( P ∨ Q ) → ( ¬C → . ) a%
( P → Q ) ↔ ( ¬ C → ¬ . ) b%
[ ¬ ( . ↔ C) → ¬ C ] ∨ Q c%
[ ( P → Q ) ∧ ( R → ¬ C) ] → ¬ ( . ∧ H ) d%
( P ∧ Q ) ∧ ¬ ( . ∨ C ) e%
¬ ( . ∧ ¬ .) f%
( P → Q ) → ( ¬. ∨ C ) g%
[ ( P → Q ) ∧ ¬ C] → ¬ . !%
[ ( P → Q ) ∧ ( Q → R ) ↔ ( P → R) ] i%
[ ( P ∧ Q ) → R ] ↔ [ P → ( Q → R ) ] #% ." or medio de tablas de erdad, demostrar si es equialencia lógica, cada uno de los siguientes enunciados.
( p ∨ q ) ↔ [ ( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q) ] a%
( p ↔ q ) ↔ [ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ] b% >." Aplicando tablas de erdad, demostrar las implicaciones lógicas que se indica a continuación
( P ∧ Q ) ∧ R ⇒ P ∧ ( Q ∧ R ) Demostrar que: P ∧ Q ⇒ _ . ↓_ C
Demostrar que: ;. )implificar las proposición W O
∧ $O)
%X ∧ O)
J. Demostrar que la función proposicional en dos ariables $ A ⇔U % ∧ $¬ A ⇔ U % es siempre falsa. &ógica 0atemática Dra. )usana ino 0g).
Página !!
=G. )ean las proposiciones A: `oy es miércoles U: tengo que dar un e'amen 4: `e estudiado D: )aldré mal del e'amen Escriba en s9mbolos la proposición: *`oy es miércoles y tengo que dar un e'amen, pero si !e estudiado entonces no saldré mal del e'amen+
'!F TEOR3A DE CONJUNTOS '!F!' NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO )abemos que la palabra con#unto implica la idea de una colección de ob#etos que se caracterizan en algo com-n. En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos ob#etos se les llama e/emeto* o miembros del con#unto. &a noción simple de una co/ecció o con#unto de ob#etos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Yeorg 4antor en los a1os =;>G quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto. 7n co8"to es la reunión de ob#etos bien definidos y diferenciados entre si, que se llaman elementos del mismo.
)i a es un elemento del con#unto A se denota con la relación de pertenencia a En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∈ A.
∈
A.
E#emplos de con#untos:
: el conjunto vacío , que carece de elementos. N: el con#unto de los números naturales . : el con#unto de los números enteros.
: el con#unto de los números racionales.
R : el con#unto de los números reales .
C: el con#unto de los números complejos .
'!F!, DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO `ay dos formas de determinar con#untos. or e:te*ió ó ?o)ma Ta7"/a): 4uando se enlista cada uno de los elementos que comprende el con#unto. A < a, e, i, o, u U < G, , , , ; 4 < c, o, n, #, u, t, s &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !2
En un con#unto determinado por e'tensión no se repite un mismo elemento.
.o) Com()e*ió ó ?o)ma Co*t)"cti%a& cuando se da una caracter9stica o propiedad que se cumpla en todos los elementos del con#unto. A < 'L' es una ocal U < 'L' es un n-mero par menor que =G 4 < 'L' es una letra de la palabra con#untos En el cuadro comparatio se indican las formas de determinación de con#untos
.o) e:te*ió
.o) com()e*ió
A < a, e, i, o, u
A < 'L' es una ocal
U < G, , , , ;
U < 'L' es un n-mero par menor que =G
4 < c, o, n, #, u, t, s
4 < 'L' es una letra de la palabra con#untos
D < =, 2, /, >, J
D < 'L' es un n-mero impar menor que =G
E < b, c, d, f, g, !, #, . . . E < 'L' es una consonante 7n con#unto se suele denotar encerrando a sus elementos entre llaves , si se define por e'tensión, o por comprensión. or e#emplo: A < =,,2, ... ,n
U < p ] p es par
'! TI.OS DE CONJUNTOS CONJUNTO VAC3O : Es el que carece de elementos. )e suele llamarle con#unto nulo, y se le denota por el s9mbolo o , pero no ambos. A < 'L' K N : " / A< A< U < ' L ' es un mes que tiene /2 d9as U< U< 2 4 < ' L ' < ; y ' es impar 4< 4< D < ' L ' es un d9a de JG !oras D< D< CONJUNTO UNIVERSAL : 4ontiene a todos los elementos posibles. Es un término relatio. )e le denota por la letra 7. # )ean los con#untos:
A < aes
U < peces
4 < cone#os
D < monos
E'iste otro con#unto que incluye a los con#untos A, U, 4 y D. Es
U aima/e*
Yráficamente se representa por un rectángulo Denominado diagramas de REPP &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !3
# )ean los con#untos:
E m"8e)e*
? Pom7)e*
E'iste otro con#unto que incluye a los con#untos E y F. Es
7 < seres !umanos
Yráficamente se representa por un rectángulo tal como se obsera a continuación.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS )e dice que con#untos A y U son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a U y si cada elemento que pertenece a U pertenece también a A. &a igualdad se denota A < U. En la igualdad, el orden de los elementos de cada con#unto no importa.
A < =, , 2, U < 2, , =, A
4 < =, , 2, 2, , = D < =, , , 2, , , 4
E < ocal de la palabra mundo F < u, o E
Dos con#untos A y U se dicen iguales, y se denota A < U, si simultáneamente A
⊂
Uy
U
AB esto
equiale a decir que tienen los mismos elementos $o también la misma propiedad caracter9stica%. &a relación entre con#untos iguales se denomina ig"a/$a$!
INCLUSIÓN DE CONJUNTOS ⊂
)e dice que A está contenido en U o también que A es un subconjunto de U y se denota A
U, si todo
elemento de A lo es también de U, es decir, a ]A a ]U. &a relación entre estos dos con#untos se conoce con
el nombre de ic/"*ió!
CONJUNTOS DISJUNTOS& )i dos con#untos A y U no tienen ning-n elemento com-n entonces A y U son dis#untos. &a relación se llama $i*5"ció! 4on#untos dis#untos A < , , U < =, 2, / A y U son dis#untos. 4 < 'L' es una letra del alfabeto &ógica 0atemática
4on#untos no dis#untos 0 < o, p, q, r, s P < s, t, , u 0 y P no son dis#untos. < 'L' es una letra de la palabra aritmética Dra. )usana ino 0g).
Página !4
D < 'L' es un n-mero C < 'L' es una letra de la palabra algebra 4 y D son dis#untos y C no son dis#untos CONJUNTOS INTERSECANTES& )i dos con#untos A y U tienen por lo menos un elemento com-n y otros que no son comunes entonces A y U son intersecantes. &a relación se llama ite)*ecacia! 4on#untos intersecantes 0 < o, p, q, r, s P < s, t, , u 0 y P son intersecantes por tener en com-n la letra s. < 'L' es una letra de la palabra aritmética C < 'L' es una letra de la palabra algebra y C son intersecantes .ARTES DE UN CONJUNTO O CONJUNTO .OTENCIA El con#unto formado por todos los subcon#untos A se llama partes de A, y se denota $A%.
E#emplos: )i A < a,b entonces $A% <
∅
,a,b,A. )i a A entonces a PP $A%.
&a familia de todos los subcon#untos de un con#unto 0 se llama 4on#unto otencia de 0. )e le denota como n . P < =, n< =, , =, , P < =, , 2 n < =, , 2, =, , =, 2, , 2, =,,2,
El con#unto P tiene elementos entonces < elementos El con#unto P tiene 2 elementos entonces 2 < ; elementos
ACTIVIDAD a! 4on#unto es :................................................................................................................... 7! El con#unto es ac9o cuando:.......................................................................................... c!
)i el con#unto A que tiene elementos el con#unto de partes estará formado por........... subcon#untos
$!
4uando A ⊂ U
∧ U ⊂ A se dicen que los con#untos
son :.............................................
e!
&os con#untos son intersecantes cuando: IIIIIIIIIIIIIIIIIII
1!
Al con#unto que se e'presa con la caracter9stica com-n está determinado por: II
g! )i A < 'L' es pa9s fronterizo con Ecuador El con#unto esta e'presado por ................. P! &os con#untos tienen relación de inclusión cuando:IIIIIIIIIIIIIII ,!
&os con#untos escriba por tabulación:
a% El con#unto de los d9as de la semana b% &os n-meros impares menores de == c% &os n-meros pares mayor que =G y menor que G d% &os n-meros primos menores de =/
0.
4olocar R ó F seg-n lo afirmado sean erdadero o falso
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !5
a% , , /, , J b% y o, p, q, ' c% ' o, p, q, y d% er- pa9ses de Europa e% Amazonas r9os de América
F. a% b% c% d% e% f% g% #%
4lasifique los siguientes con#untos, seg-n corresponda : A < ' L ' es d9a de la semana U < ocales de la palabra als 4 < ' P y ' < ' D < ' L ' es un !abitante de la luna E < ' P L ' =/ F<' Py/'/ Y < ' P y ' ^ =/ N < ' L ' es n-mero de caballos total de Hiobamba
'!F O.ERACIONES ENTRE CONJUNTOS DI?ERENCIA DE CONJUNTOS )e denomina diferencia de dos con#untos A y U al con#unto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a U. &a diferencia se denota por: A " U que se lee: A diferencia U o A menos U. )e define la diferencia de dos con#untos también como: A " U < ' L ' A y ' U 0ediante un diagrama de Renn " Euler:
Cuando no tienen elementos comunes
4uando tienen elementos comunes
4uando todos los elementos de un con#unto pertenecen a otro con#unto
'! Da$o* /o* co8"to*& A a 7 c $ e B a e 5 C $ 1 g e1ect"a) 5 co*t)"i) /o* $iag)ama* )e*(ecti%o*& aA#C Teemo*&
7-
B#C
a% A a 7 c $ e 5 C $ 1 g
A # C a 7 c e Re()e*etació g)á1ica $e /a $i1e)ecia $e co8"to* A 5 C &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !6
c-
A# B
7- B a e 5 C $ 1 g B # C a e Re()e*etació g)á1ica $e /a $i1e)ecia $e co8"to* B 5 C
c- A a 7 c $ e 5 B a e A # B 7 c $ Re()e*etació g)á1ica $e /a $i1e)ecia $e co8"to* A 5 B
Dados dos con#untos A y U, se llama $i1e)ecia al con#unto COM.LEMENTO DE UN CONJUNTO )i un con#unto A es subcon#unto de otro con#unto uniersal 7, al conjunto A[ formado por todos los elementos de 7 pero no de A, se llama complemento de A con respecto a 7. )imbólicamente se e'presa: A[ < 'L' 7 y ' A a%
)ean 7 < m, a, r, t, e )u complemento de A es:
y
A < t, e A[ < m, a, r
En forma gráfica:
b% )ean 7 < letras de la palabra aritméticay Determinado por e'tensión tenemos 7 < a, r, i, t, m, e, c )u complemento de U es: En forma gráfica: &ógica 0atemática
U < ocales palabra ida U < i, a U[ < r, t, m, e, c
Dra. )usana ino 0g).
Página !7
Es fácil er que si A y U son subcon#untos cualesquiera de 7 se erifica: [ < 7 .
7[<
)i A < '
.
$A[%[ < A .
A
U
U[
A[ .
7 p$'% es una proposición erdadera entonces A[ < '
7 p$'% es una proposición falsa.
UNIÓN DE CONJUNTOS &a unión de los con#untos A y U es el con#unto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a U o a ambos. )e denota: A 7 U. &a unión de con#untos se define como: A 7 U < ' L ' A o ' U En forma gráfica:
Cuando no tienen elementos comunes
4uando tienen algunos elementos comunes
4uando todos los elementos de un con#unto pertenecen a otro con#unto
'! Da$o* /o* co8"to*& A + ' , 0 F B + , F 5 C Q e1ect"a) 5 co*t)"i) /o* $iag)ama* )e*(ecti%o*& aAUC Teemo*&
7-
BUC
a% A + ' , 0 F y C Q
A U C + ' , 0 F , , Q
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !8
c-
AU B
Re()e*etació g)á1ica $e /a "ió $e co8"to* A 5 C b% B + , F y C Q B U C + , F Q
Re()e*etació g)á1ica $e /a "ió $e co8"to* B 5 C c% A + ' , 0 F y B + , F A U B ' 0 Re()e*etació g)á1ica $e /a "ió $e co8"to* A 5 B
INTERSECCIÓN DE CONJUNTO )e define la intersección de dos con#untos A y U al con#unto de elementos que son comunes a A y U. )e denota por A U, que se lee: A intersección U. &a intersección de A y U también se puede definir:
A U < ' L ' A y ' U y mediante un diagrama de Renn"Euler:
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página !
4uando no tienen 4uando todos los elementos de un elementos comunes con#unto pertenecen a otro con#unto '! Da$o* /o* co8"to*& A + ' , 0 F B 0 5 C , F e1ect"a) 5 co*t)"i) /o* $iag)ama* )e*(ecti%o*& Cuando tienen elementos comunes
aA C Teemo*&
7-
B C
c-
A B
a% A + ' , 0 F y C , F
A C Re()e*etació g)á1ica $e /a ite)*ecció $e co8"to* A 5 C
b% B 0 y C , F
B C Re()e*etació g)á1ica $e /a ite)*ecció $e co8"to* B 5 C
c% A + ' , 0 F y B 0
A B Re()e*etació g)á1ica $e /a ite)*ecció $e co8"to* A 5 B
RE?UERO N , =%
4olocar R ó F seg-n lo afirmado sean erdadero o falso a% , , /, , J b% y o, p, q, '
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 2"
-
c% ' o, p, q, y d% er- pa9ses de Europa e% Amazonas rios de América % 34uáles de los siguientes con#untos son: acios, unitarios, finitos, infinitos5 a% A < ' L ' es d9a de la semana b% U < ocales de la palabra als c% 4 < =, 2, /, >, J, . . . . . d% D < ' L ' es un !abitante de la luna e% E < ' P L ' =/ f% F < ' P y / ' / g% Y < ' P y ' ^ =/ !% ` < ' P y ' < ' i% ( < ' L ' es presidente del 6céano ac9fico #% N < ' L ' es n-mero de caballos total de Hiobamba
ANALICE SEALE 4 JUSTI?IUE LA RES.UESTA CORRECTA 2% 7n con#unto es una colección... de ob#etos no definidos bien definida de ob#etos de cualquier clase de términos no definido % 34uántas formas !ay para determinar un con#unto5 `ay una forma `ay cuatro formas `ay dos formas
/% A < 'L' es pa9s fronterizo con Ecuador El con#unto esta por ... 4omprensión E'tensión abular % U < 'L' es una ocal de (nternet El con#unto es ... 7nitario. (nfinito. Finito. >% &os que representan con#untos dis#untos son ... A < e, m, a, i, l y U < c, o, r, e 4 < 2, , J y D < , ;, = E < , , ; y F < 2, , / ;% &a unión de con#untos de A < c, !, a, t y U < c, !, a, r, l A 7 U < c, !, a &ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 2!
..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....
A 7 U < a, c, !, l, r, t A 7 U < l, r, t J% &a intersección de con#untos de A < n, e, , s y U < n, o, t, i, c, a Es un con#unto ac9o Es un con#unto unitario Es un con#unto uniersal =G% &a diferencia de con#untos de A < c, !, a, t y U < c, !, a, r, l A " U < c, !, a A " U < r, l A " U < t ==% )i 7 < letras de la palabra ealuación y A < ocal de la palabra internet. El complemento de A es A[ < n, t, r A[ < a, c, l, n, o, u, A[ < , a, l, u, c
',! Dadas las siguientes notaciones: a $ A, a % A, 4 & D, ' & A, F ( E, A h U
'0! Dados A <,,;,=G,=, U<2,/,>,J y 4<,>,/,=G,== y +<' $ N&, =2 !alle: a% A , U d% $A " U%k " Uk
b% $A j U% , 4
c% $A " U % j $U " 4%
e% 4 " $A, U %
f% W$A,U%k j $4 " U%kX
=. )e !ace una encuesta en un supermercado a 22 clientes que se encuentran !aciendo compras, 2 de ellas no usan #abones del tipo A, ni U, peor 4, =/ usan #abones solo del tipo A o solo del tipo 4, las personas que usan #abones A y U son la mitad de los que usan #abones U y 4 y estos -ltimos e'ceden en / a las personas que usan #abones solo del tipo U, el n-mero de personas que utilizan #abones U es 2 eces mayor que el que usan solo A, no !ay personas que usen A, U y 4. Determine: a% b% c% d% e% f% g%
34uál de los #abones es el más usado5 34uántas personas usan los #abones A, U o 45 34uántas usan los tres #abones5 34uántas utilizan A o U pero no 45 34uántas no usan #abones U5 34uántas utilizan #abones A y U pero no 45 34uántas no consumen A o U5
=/. Entre un grupo de personas conersan sobre tres pel9culas $A, U y 4% y determinan que personas no !an isto ninguna de las tres, la mitad del n-mero de personas que !an isto solo U es igual al que !an isto 4, las que !an isto A y U es una tercera parte de los que solo U. > personas !an isto la pel9cula A y / !an isto solo A. &as personas que en 4 no en ninguna otra pel9cula. Determine: a% 34uántas personas !an isto A y U5 b% 34uántas !an isto U o 45 &ógica 0atemática Dra. )usana ino 0g).
Página 22
c% d%
34uántas !an isto solo A o solo U o solo 45 34uántas personas no !an isto U5
=. )e !ace una encuesta entre / personas sobre los barrios $A, U, 4, D% en que más les gustar9a iir, y se encontró que ninguna persona di#o que les gustar9a iir en cualquiera de tres barrios, el n-mero de personas que les gustar9a iir en 4 y D es igual al de personas que les agradar9a solo en 4 y es el mismo que el de personas que les gustar9a iir en A y U y es igual a la mitad de l os que les gustar9a iir solo en U, > personas iir9an en A, G personas iir9an en U o 4 o D, todas las personas encuestadas eligieron al menos un barrio, =2 personas eligieron iir en U o 4. Determine: a%
3A cuántas personas les gustar9a iir en 45 b% 34uántas personas eligieron un solo barrio5
=>. A == personas les gusta los productos 4, a personas les gusta los productos A, U o 4 a G personas no les gustan los productos A, a > personas les gusta U pero no A, a = personas les gusta U, el n-mero de personas que les gusta 4 es igual al de las personas que les gusta A. El mismo n-mero de personas que les gusta A y U es igual al de personas que no les gusta ning-n producto. Además se conoce que no !ay personas que les agraden los tres productos. Encuentre: a% b% c% d%
3A cuántas personas les gusta A y U5 3A cuántas personas no les gusta U5 3A cuántas personas les gusta uno solo de los productos5 3A cuántas personas les gusta dos productos5
=;. )e realizó una encuesta entre consumidores de colas que dio los siguientes resultados: = personas toman coca"cola y sprite, == personas beben solo sprite, a J personas les gusta solo fanta, a / personas les gusta las tres colasB el n-mero de personas que beben solo *coca"cola y fanta+ es igual al de personas que toman solo *fanta y sprite+, se conoce además que el n-mero de personas que toman sprite es 2 más de los que toman fanta y 2 más de los que toman coca"colaB a G personas toman otro tipo de colas. )e pregunta: a% b% c%
34uántas personas toman coca"cola y fanta5 34uántas personas toman solo coca"cola5 34uantas toman cualquiera de estas colas5
=J. En un sondeo realizado a =2 empleados de una empresa se obtuieron los siguientes datos: J poseen casa, /G tienen automóil, finca, = casa y automóil, =J casa y finca, automóil y finca, J poseen los tres bienes y J2 por lo menos uno de los tres bienes. )e desea saber: $ utilice los diagramas de Ren % a% El n-mero de personas que no tienen ninguno de los tres bienes. b% El n-mero de personas que tiene uno de los tres bienes c% El n-mero de personas que sólo tiene casa. d% El n-mero de personas que tienen automóil y finca solamente. G. En un curso de la uniersidad !ay =GGestudiantes de los cuales ; estudian Cu9mica, 2/ estudian trigonometr9a, 22 Algebra, =/ Cu9mica y rigonometr9a, ; Cu9mica y lgebraB J rigonometr9a y lgebra y > estudian Cu9mica, rigonometr9a y lgebra a% 34uántos no estudian ninguna materia5 b% 3cuántos estudian sólo rigonometr9a5 c% 34uántos estudian sólo Cu9mica5 d% 34uántos estudian sólo lgebra.5 =. =JG Estudiantes an a una biblioteca en la que !ay ==/ libros de `all y nig!t, ;G libros 0atai', ;G libros de Ardura, G estudiantes solicitan los libros de `all y nig!t y 0atai', 2G estudiantes piden los libros de `all y nig!t y Ardura, G estudiantes solicitan los libros de 0atai' y Ardura, cada estudiante llea por lo menos un libro. a% b%
34uántos estudiantes piden los tres libros5 34uántos estudiantes piden 0atai' pero no Ardura5
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 23
c% d%
34uántos estudiantes piden `all y nig!t o Ardura5 34uántos estudiantes piden `all y nig!t y Ardura o 0atai' y `all y nig!t5
. )e reparten =;G productos del tipo A, U y 4 entre =/ personas de tal manera que a cada persona le corresponde al menos un productos, =/ personas recibieron productos solo del tipo A y U, 2/ recibieron A y 4 o U y 4B el n-mero de personas que recibieron solo A e'cede en =G al de personas que recibieron solo U, el n-mero de personas que recibieron A es igual al n-mero de personas que recibieron U y es igual al de personas que recibieron 4. )e pide: a% b% c%
34uántas recibieron los tres tipos de productos5 34uántas recibieron solo productos del tipo 45 34uántas recibieron productos de tipo A y U5
&ógica 0atemática
Dra. )usana ino 0g).
Página 24
