Unidad i Circuitos Electronicos II

CIRCUITOS ELÉCTRICOS II Ing. Mauricio Silva Alvarez

UNIDAD I

UNIDAD I POTENCIA ELÉCTRICA

1.1 POTENCIA INSTANTÁNEA DE C.A. 1.2 VALOR MEDIO Y VALORES EFICACES POTENCIA, VOLTAJE Y CORRIENTE. 1.3 FACTOR DE POTENCIA. 1.4 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. 1.5 POTENCIA COMPLEJA. 1.6 MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA.

DE


UNIDAD I - 1.1 Potencia instantánea de corriente alterna.

1.1 POTENCIA INSTANTÁNEA DE CORRIENTE ALTERNA. Como se sabe, la potencia entregada a cualquier dispositivo en función del tiempo está dado por el producto del voltaje instantánea través del dispositivo y la corriente instantánea que pasa por él; se usa la convención pasiva de los signos. Así, P = vi

Se supone que el voltaje y la corriente son conocidos. Si el elemento en cuestión es un resistor de resistencia R, la potencia entonces expresarse únicamente en términos de corriente, o bien de voltaje, P = vi = i R = v /R

Si el voltaje y la corriente están asociados con un dispositivo puramente inductivo, entonces t Si v L = L

di

dt

y i L =

Entonces: p = vi = L i

1



vdt L 

di

=

dt

1 L

t



v vdt 

donde se ha supuesto arbitrariamente que el valor del voltaje es cero en t = - ∞. En el caso de un capacitor: Si iC = C

dv dt

y V C C =

Entonces: p = vi = C v

1

t



idt C 

dv dt

=

1

t



i idt C 

donde se ha hecho una suposición similar respecto a la corriente. Pero esta lista de ecuaciones para la potencia en términos sólo de voltajes y corrientes, se vuelve muy complicada conforme se consideran redes más generales. Además es innecesaria, ya que sólo se necesitan la corriente y el voltaje en las terminales de entrada. Como ejemplo, puede considerarse el circuito RL de la siguiente figura, en la cual se encuentra excitado por una fuente de voltaje escalón. Donde la respuesta familiar de R  t  V o   corriente sería: i(t )  1  e L u (t )   R  

¿Será esto cierto?

Página 1.1



La respuesta de corriente sería: v R + v L = V o u(t) Si:

v R = R i

di

y v L = L

dt

Entonces: R i + L

di

= V o u(t) dt Busquemos ahora la respuesta de corriente: L

di

= V o u(t) - R i dt L di = ( V o u(t) - R i )dt di  dt L V o u (t )  Ri(t ) Ahora resolvamos integrando ambos lados de la ecuación suponiendo valores iniciales i=0 y t=0: i

t

Ldi

 V u(t )  Ri(t )   dt o

0

0

completando el diferencial del denominador:

( R) Ldi

i

t

 ( R)(V u(t )  Ri(t ))   dt o

0

 

0

 Rdi  dt R 0 V o u (t )  Ri(t ) 0 L

L R

i

t

i

t

lnV o u (t )  Ri(t )  0  t 0

L

 lnV ou (t )  Ri(t )   lnV ou (t )   t R

R lnV o u (t )  Ri(t )   lnV o u (t )    t L e

ln V ou ( t ) Ri ( t ) ln V ou (t ) 

R

e



e ln V ou (t ) Ri (t )  ln V ou ( t )

L

R

e

e V o u (t )  Ri(t ) V o u (t )

 t

 t L

R

e

 t L

R

V o u (t )  Ri(t )  V o e

 t L

u (t )

R

Ri(t )  V o u (t )  V o e

 t L

u (t )

R  t  V o  1  e L u (t ) Entonces: i (t )    R  

Página 1.2



y por esto la potencia total entregada por la fuente o absorbida por la red pasiva es R  t  V o2  1  e L u (t ) p  vi   R  

ya que el cuadrado de la función escalón unitario es obviamente la función escalón misma. La potencia entregada al resistor es 2

 t  V o2  1  e L  u (t ) p R  i R   R  R

2

Con el fin de determinar la potencia absorbida por el inductor, primero debe obtenerse el voltaje en el inductor: v L  L

 L

di dt R  V o    t  d  1  e L u (t )    R      

dt

   R L t    d e u (t )   LV du (t )   o    R  dt dt      R  t   R  t du (t )  LV o  d (u (t )) de L   u (t )  e L   R  dt dt dt    R R  t  du (t )   LV o   R   L t       e u (t )  1  e L    R   L    dt  R R  t  t  du (t )  LV o 1  e L   V o e L u (t )   R   dt R  t   ya que du(t)/dt vale cero para t > 0 y 1  e L  vale cero en t = 0 entonces:   R

v L  V o e

 t L

u (t )

Página 1.3



Así la potencia absorbida por el inductor es: R

2

P L  v L i 

V o

R

e

 t L

R  t   1  e L u (t )  

Solo son necesarias algunas manipulaciones algebraicas para mostrar que p = p R + p L

Esta comprobación se la dejaremos como tarea al alumno y servirá para comprobar el trabajo anterior. Comprobación: p = p R + p L 2

 t   t  V o2  V o2  L t  L   1  e L u (t )    1 e u ( t ) e    R  R    R

R

R

Extrayendo el factor común:  t   t  t  V o2  1  e L 1  e L  e L u (t )    R    R

R

R

 t  V o2  1  e L u (t )   R   R

La cual es exactamente igual a la potencia total entregada por la fuente o en este caso absorbida por la red asiva ue ue calculada anteriormente.

Quizás la mayor parte de los problemas que emplean cálculos de potencia son aquellos que tratan con circuitos excitados por funciones senoidales en estado estable; como ya se mencionó, aun en el caso de que se utilicen funciones de excitación periódicas que no sean senoidales, es posible descomponer el problema en varios subproblemas en los que las excitaciones son senoidales. Es por esto que la senoidal merece una atención especial. Ahora se cambiará la fuente de voltaje en el circuito anterior a la fuente senoidal V mcosωt . La respuesta en el dominio del tiempo es i (t )  I m cos  t   

donde I m 

V m R 2   2 L2

y

   tan

L 1  R

Página 1.4



Comprobación para el circuito de la figura: R

4 Vs(t)=Vm cosωt

L

Se aplica LVK a la malla: vS  v R  v L

V m cos t  i(t ) R  L

di(t )

dt Hacemos una suposición de que si el circuito tiene una excitación en forma senoidal la respuesta en corriente tendrá también una respuesta e n forma sinusoidal como: i (t )  A cos t  Bsen t En donde A y B son constantes y dependen de los valores de V m , R,L y ω. Por lo tanto sustituyendo en la ecuación tenemos que: d  A cos t  Bsen t   V m cos t R A cos t  Bsen t   L dt desarrollando la multiplicación y derivando: RAcos t  RBsen t  L A sen t  B cos t   V m cos  t

RAcos t  RBsen t  LA sen t  LB cos t  V m cos  t ( RA  LB ) cos t  ( RB  LA ) sen t  V m cos  t Por lo que si necesitamos conocer A y B necesitamos igualar los coeficientes como sigue: ( RA  LB ) cos t  V m cos  t  RA  LB  V m ( RB  LA ) sen t  0  RB  LA  0 con lo que ya tenemos un sistema de ecuaciones, despejando A en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera: RB  RB  A  y sustituyendo: R   LB  V m L  L  factorizando y despejando B nos queda: V L B  2 m 2 2 ahora sustituyendo para encontrar A: R  L   V L  R 2 m 2 2  V R R  L   A    A  2 m 2 2 L R  L  Sustituimos ahora estos valores de A y B en la ecuación propuesta para i(t): i (t )  A cos t  Bsen t

 V R   V L  i (t )   2 m 2 2  cos t   2 m 2 2  sen t  R  L    R  L   ahora debemos reducir esta ecuación para dejarla en términos solamente de coseno y para lo cual tenemos dos métodos: Página 1.5



Método 1: Utilizando el teorema de pitágoras: C  A2  B 2 2

 V R   V L  C   2 m 2 2    2 m 2 2   R  L    R  L  

C B

2

V m  R 2  L2 2  2

C 

θ

A C

 R

2

 L2 2 

2

V m



R

2

2

 L 

2

Multiplicando ahora la ecuación i(t) por la hipotenusa:

    V m A B  i(t )  cos t  sen t  2 2 2   V m V m R  L    2 2 2 R 2  L2 2  R  L   lo cual no altera la ecuación y de acuerdo al triángulo dibujado: sen 

B C



B V m

cos 

A C



R 2  L2 2

A V m R 2  L2 2

V m L tan  

B A

2 2 2  L  L  R  L     tan 1

V m R

R

R

R  L  ahora podemos poner la ecuación i(t) de la siguiente manera: V m cos cos t  sen sen t  i (t )  R 2  L2 2 ahora usamos la identidad trigonométrica: cos      cos  cos   sen sen V m i (t )  cos t    R 2  L2 2 V m  L   cos t  tan 1  i (t )   R   R 2  L2 2 2

2

2

Método 2: Utilizando la identidad trigonométrica:  B A cos  Bsen  A2  B 2 cos(  tan 1 )

A Con la cual y realizando un simple proceso algebráico tendríamos: V m  L   i(t )  cos t  tan 1  2 2 2 R   R  L 

Página 1.6



por lo tanto la potencia instantánea entregada a todo el circuito en estado senoidal permanente o estable es p  vi  V m I m cos  t   cos t

La cual se reescribirá convenientemente en la forma obtenida usando la integridad trigonométrica para el producto de dos cosenos. Así, p 



V m I m 2 V m I m 2

cos2 t     cos  cos 

V m I m 2

cos2 t   

La última ecuación tiene varias características que son válidas en general para circuitos en estado senoidal permanente; el primer término no es función del tiempo, mientras que el segundo tiene una variación periódica al doble de la frecuencia aplicada. Como éste término es una onda coseno, y dado que las ondas seno y coseno tienen valores promedio iguales a cero (cuando el promedio se toma sobre un número entero de periodos), este ejemplo inicial puede servir para indicar que la potencia promedio es

1 2

V m I m cos . Esto es

cierto, y posteriormente se establecerá ésta relación en términos más generales.

Página 1.7



EJEMPLO 1.1: Una fuente de corriente de 12 cos2000t A, un resistor de 200 Ω y un inductor de 0.2 H están en paralelo. Suponga que existen condiciones de estado estable. En t = 1 ms, encuentre la potencia absorbida por a) el resistor; b) el inductor; c) la fuente senoidal. Solución: I

12 cos 2000t A

0.2 H

200

Ω

12 ∟0° A

V

IR

IL

+ j400 Ω

200 Ω

-

EQ

EQ



( j 400)(200) 200  j 400



j80000 200  j 400



8000090 447.213663.4349

 178.885426.56 

 EQ  (120)(178.885426.56)  2146.624826.56 V  v(t )  2146.63 cos (2000t  26.56) V Por división de corriente: (200)(120) 24000 L

R







200  j 400 447.213663.4349 ( j 400)(120) 480090 200  j 400



 5.3665  63.43 A

447.213663.4349

 10.733126.56 A

 en t  1 ms v  2146.63 cos( 2000 103  26.56)  2146.63 cos(114.59  26.56) v  1671.7758 V i R  10.7331cos(2000 103  26.56)  10.7331cos(114.59  26.56)  8.3588 A i L  5.3665 cos(2000 103  63.43)  5.3665 cos(114.59  63.43)  3.3655 A i  12 cos( 2000 103 )  12 cos(114.59)  4.9934 A  en t  1 ms P R  ( 1671.7758)(8.3588)  13974 .0395 W P R  13.9740 kW P L  ( 1671.7758)(3.3655)  5626.3614 W P L  5.6263 kW P S  (1671.7758)(4.9934)  8347.8452 W P L  8.3478 kW

Página 1.8



EJEMPLO 1.2: Determine las tensiones de nodo v1(t) y v2(t) en el dominio del tiempo para el circuito de la siguiente figura: -j5 Ω V1

V2

j10 Ω 1∟0° A

-j10 Ω

5Ω

j5 Ω

10 Ω

0.5∟-90° A

Solución: Por LCK en el nodo 1:



5

 j10



j10 100  j 0.1



0.2

0.2 0.2





j10 j10   100  j 0.1

 j 0.1  j 0.1 0.2  j0.2   j0.1

  10  j5 

 

j 5   25   j 0.2 



  10

  10   j 0.2    10  10 ……………..(1)

Por LCK en el nodo 2:



10 0.1

0.1









 j5 j5 j10 j5 j10     25 100  j 0.2  j0.1 

 0.5  90 j5     0.5  90 25   j 0.2    0.5  90



 j 0.2  j0.1    j 0.2    0.5  90  j0.1  0.1  j0.1  j 0.5 ……….........…(2)

0.1

Ahora resolviendo el sistema de ecuaciones:

 j 0.1 j 0.5 0.1  j 0.1 10.1  j 0.1   j 0.1 j 0.5    j 0.1 0.2  j 0.2 0.2  j 0.20.1  j0.1   j 0.1 j0.1  j 0.1 0.1  j 0.1 0.1  j 0.1  0.05 0.05  j 0.1    1  j 2 0.02  j 0.02  j 0.02  0.02  0.01 0.05  2.2360  63.4349 V  v1 (t )  2.236 cos( t  63.43) V 0.2  j 0.2 1  j 0.1 j 0.5 0.2  j 0.2 j 0.5  1 j 0.1    2  j 4 1

0.05 0.05  4.4721116.565 V  v1 (t )  4.47 cos( t  116.56) V

Página 1.9



EJEMPLO 1.3: Aplique el análisis nodal en el circuito siguiente para determinar V1 y V2. 50∟-90° mA V1

V2

-j25 mS 20∟0° mA

j50 mS

40 mS

Solución: Por LCK en el nodo 1: j 50  j 25    200  50  90

j 25

 j 25

 20  j50 ………………………(1)

Por LCK en el nodo 2: 40  j 25    50  90

j 25

 40  j 25

  j50 ………………...…(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones: 20  j50 j 25



 j 50 j 25

40  j 25 20  j 5040  j 25   j 25 j 50  j 25  j 2540  j 25   j 25 j 25

j 25 40  j 25



800  j 500  j 2000  1250  1250



800  j1500

j1000  625  625 1250  j1000 170061.9275   1.062523.2677 V 160038.6598

 1.062523.2677 V  v1 (t )  1.0625 cos( t  23.27) V j 25 20  j50

 j 50  j 25 j50  20  j50  j 25  160038.66 160038.66 1250  j500  1250 2500  j 500 2549.5097  11.3099    160038.66 160038.66 160038.66  1.5934  49.9699 V 

j 25

 1.5934  49.9699 V  v1 (t )  1.5934 cos( t  50) V

Página 1.10



EJEMPLO 1.4: En el siguiente circuito a) encuentre la corriente IS y b) encuentre el voltaje Vab. IS I1 R1 Vs =100 ∟0° V + -

I2

3Ω

a

R2

Vab

XL 4Ω

8Ω

b

XC

6Ω

Solución: a)Primero encontramos la Zeq: y    3  j4 

  











 8  j6 

3  j 48  j 6 11  j 2

3  j 48  j 6 11  j 2 24  j18  j 32  2411  j 2   11  j 2 11  j 2 (11) 2  (2) 2 48  j1411  j 2 528  j96  j154  28 500  j 250 

(11) 2  (2) 2

125



125

 4  j 2  4.472126.565  



1000 4.472126.565

 22.3608  26.565 A  22.3608  26.565 A

b) Por división de corriente: (22.36  26.565)(8  j 6)







(3  j 4)  (8  j 6)

(22.36  26.565)(10  36.8998) 223.6  63.4648  11  j 2 11.1803  10.3048 223.6  63.4648   20  53.16 A 11.1803  10.3048 (22.36  26.565)(3  j 4)



 

 

 

11.1803  10.3048 (22.36  26.565)(553.13) 111.826.565  11.1803  10.3048 11.1803  10.3048

 1036.8698 A    (20  53.16)(490)  8036.84 V    (1036.8698)(6  90)  60  53.1302 V    8036.84  60  53.1302  28  j96 V  10073.7397 V  10073.7397 V Página 1.11



P.1.1 PROBLEMAS PROPUESTOS DE POTENCIA INSTANTÁNEA. 1. Si una fuente de tensión v s=120 cos 800t V se conecta a las terminales a y b en el siguiente circuito (referencia + en la parte superior), ¿que corriente fluye hacia la

derecha en la resistencia de 300 Ω?

2 µF a 300 Ω

600 Ω

0.6 H

b

2. Obtenga V en el circuito siguiente si la caja contiene: a) 3 Ω en serie con 2 mH; b) 3 Ω en serie con 125 µF; c) 3 Ω, 2 mH y 125 µF en serie; d) 3 Ω, 2 mH y 125 µF en ser ie,

pero ω = 4 krad/s.

+ 3 ∟-20° A ω=2 krad/s

V

-

3. Una fuente corriente, iS (t) = 2 cos 50t A, un resistor de 50 Ω y un capacitor de 25 µF están conectados en paralelo. Determine la potencia que suministra la fuente al resistor y al capacitor, todo en t =π/2 ms. 4. Calcule la potencia que absorbe cada elemento pasivo en el circuito de la figura siguiente en t = 0, si v s = 20 cos (1000t + 30°) V. Verifique su respuesta. 2.5 kΩ

v s +-

1H

4 µF

10 kΩ

5. El siguiente circuito ha alcanzado las condiciones de estado permanente. Determine la potencia que absorbe cada uno de los cuatro elementos del circuito en t = 0.1 s. 3Ω

5 cos25t A

8Ω

10 mF

Página 1.12


UNIDAD I - 1.2 Valor medio y valores eficaces de potencia, voltaje y corriente.

1.2 VALOR MEDIO Y VALORES EFICACES DE POTENCIA, VOLTAJE Y CORRIENTE. 1.2.1 POTENCIA PROMEDIO (O ACTIVA). En cualquier carga dentro de una red senoidal de ca, el voltaje y la corriente a través de la carga variarán con una naturaleza senoidal. Entonces surge la pregunta, ¿cómo varía la potencia hacia la carga determinada por el producto v-i, como también que valor fijo puede asignarse a la potencia dado que ésta varía con el tiempo? Si tomamos el caso general ilustrado en la siguiente figura y utilizamos las siguientes ecuaciones para v e i: i P

+

v

Vm cos ( ωt+θ v )

N

Im cos ( ωt+θ )i

-

Entonces la potencia estará definida por:

P  vi  Vm cos( t   v ) Im cos( t   i )  Vm Im cos( t   v ) cos( t   i ) Utilizando la identidad trigonométrica: cos x cos y 

1 cos x  y  cos x  y  2

la función se convierte en: Vm Im cos( t   v )  ( t   i )  cos( t   v )  ( t   i ) 2 Vm Im  cos(2 t   v   i )  cos( v   i ) 2 Vm Im Vm Im  cos( v   i )  cos( 2 t   v   i ) 2 2

p(t ) 

Ahora para encontrar un valor promedio de ésta ecuación tendríamos que integrar ésta función y luego se dividiera entre el periodo como la siguiente ecuación: Potencia promedio (o activa): P 

1 T

tx T



tx

p(t )dt

Pero podemos ahorrarnos la integración visualizando en la ecuación que: Valor fijo

p(t ) 

Valor que varía en función del tiempo

Vm Im Vm Im cos( v   i )  cos(2 t   v   i ) 2 2

Página 1.13



Por lo anterior podemos concluir que el segundo término de la ecuación varía en función del tiempo y por lo tanto al integrarlo para obtener un valor promedio éste término tendría un valor de 0 (cero), por lo que no causa ningún efecto de transferencia neta de energía en cualquier dirección; pero habrá de tomarse en cuenta que dicha función tiene el doble de la frecuencia que la corriente o el voltaje, por lo que la forma de onda de la potencia será entonces con una frecuencia del doble y con un periodo de T/2 sobre el original de la corriente y el voltaje. Sin embargo, el primer término de la ecuación (no dependiente del tiempo) posee magnitud constante y por ello proporcionará cierta transferencia neta de energía. A éste término se le denomina potencia promedio. Ahora si tomamos en cuenta que el ángulo θv- θi es el ángulo de fase entre v e i. Dado que cos(-x) = cos(x) podemos concluir que: “la magnitud de la potencia promedio entregada es independiente de si v adelanta a i o i adelanta a v”. Al definir θ como │θv- θi│ tenemos que: P 

Vm Im 2

cos

donde: Vm e Im son los valores pico y θ=│ θ v - θ i│. Donde ésta potencia corresponde a los cálculos realizados para las redes de cd. Pueden observarse las formas de onda para la corriente y el voltaje en la siguiente figura, además de observar el comportamiento de la potencia y el valor que se considera como potencia promedio.

En el caso de un RESISTOR dado que v e i están en fase: │ θ v - θ i│= θ =0 y cosθ= cos0°= 1 de manera que: °

P R 

Vm Im 2

1

 Im2 R Watts 2

Página 1.14



Para un INDUCTOR dado que v adelanta a i en 90 : │ θ v - θ i│= θ =│90 │ y cosθ = cos90°= 0 °

°

por lo tanto: P L 

Vm Im 2

cos 90 

Vm Im 2

(0)  0 Watts

Por lo anterior: “La potencia promedio o potencia disipada por un inductor ideal (sin resistencia asociada) es cero watts”.

Para un CAPACITOR dado que i adelanta a v en 90 : │ θ v - θ i│= θ =│-90 │ y cosθ = cos90°= 0 °

°

P C 

Vm Im 2

cos 90 

Vm Im 2

(0)  0 Watts

Por lo anterior: “La potencia promedio o potencia disipada por un capacitor ideal (sin resistencia asociada) es cero watts”.

Por lo tanto: “ para todo elemento reactivo ideal(es decir que contenga una reactancia ya sea de naturaleza capacitiva o inductiva, sin resistencia asociada) es cero watts”.

P X  0

Página 1.15



EJEMPLO 1.5: Dada la tensión en el dominio del tiempo v = 4 cos (πt/6) V, determine la potencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4∟0° V se aplica a través de la impedancia Z = 2∟60° Ω. Solución: La corriente fasorial sería:





40

 2  60 A 260 y la potencia promedio (activa) corresponde a: 1 1 P  Vm Im cos  (4)(2) cos(60)  2 W 2 2 P  2 W La tensión en el dominio del tiempo es:

v(t )  4 cos

 t

6

V

La corriente en el dominio del tiempo es:

  t   60  A  6 

i(t )  2 cos y la potencia instantánea:

 

p(t )  v(t )i (t )   4 cos

 t    t     t    t    2 cos  60    8 cos  cos  60   6  6   6  6     

Utilizando la identidad para el producto de cosenos: 1 cos x cos y  cos x  y   cos x  y  2    t  t    t  t    60   cos   60  p(t )  4cos 6 6   6    6



    t    t   60   cos60  40.5  cos  60    3    3     t  p(t )  2  4 cos  60  W  3  Resulta evidente que el valor promedio será entonces 2 W de la potencia y su periodo de 6 s, la mitad del periodo de la corriente o de la tensión. p(t )  4cos

Página 1.16



EJEMPLO 1.6: Dada la tensión fasorial V = 115 2 ∟45° V en una impedancia Z = 16.26∟19.3° Ω, obtenga una expresión para la potencia instantánea y calcule la potencia promedio (activa)

su ω = 50 rad/s. Solución:

La corriente fasorial sería:





115 245

 1025.7 A 16.2619.3 y la potencia promedio (activa) corresponde a: 1 1 P  Vm Im cos  (115 2 )(10) cos(19.3)  767.4732 W 2 2 P  767.5 W La tensión en el dominio del tiempo es:

v(t )  115 2 cos50t  45 V La corriente en el dominio del tiempo es:

i (t )  10 cos 50t  25.7 A y la potencia instantánea:





p(t )  v(t )i (t )  115 2 cos50t  45 10 cos 50t  25.7 Utilizando la identidad para el producto de cosenos:

cos x cos y 

1 2

cos x  y  cos x  y 

p(t )  813.1727cos50t  45  50t  25.7  cos50t  45  50t  25.7 p(t )  813.1727cos 100t  70.7  cos19.3 p(t )  813.17270.9438  cos 100t  70.7 p(t )  767.4731  813.1727 cos100t  70.7 W p(t )  767.5  813.2 cos 100t  70.7 W W

Página 1.17



EJEMPLO 1.7: Encuentre la potencia promedio (activa) que está entregando a una impedancia ZL=8 – j11 Ω atravesada por la corriente I = 5∟20° A. Solución: Tomándo en cuenta que sólo la re sistencia de 8 Ω entra en el cálculo de la

potencia promedio (activa), ya que la componente j11 Ω no absorberá ninguna potencia promedio (activa) y por lo tanto: 1 1 2 P  Im 2 R  5  8   100 W 2 2

P  100 W

EJEMPLO 1.8: Calcule la potencia promedio (activa) suministrada a la impedancia 6∟25° Ω al ser atravesada por la corriente I = 2 + j5 A. Solución: Para calcular la potencia promedio debemos tomar únicamente la parte resistiva de la impedancia por lo tanto debemos descomponerla como sigue:

 625  6 cos 25  j 6 sen25  5.4378  j 2.5357  y la corriente:

 5   2  j5  22  52  tan 1    5.385168.1985  A  2  P

1 2

2

Im

R

1 2

5.38512 5.4378  78.8462 W

P  78.8462 W

Página 1.18



1.2.2 VALORES EFICACES O RMS DE CORRIENTE Y DE TENSION. En las tomas de energía eléctrica se presenta una tensión senoidal de 60 Hz de frecuencia y 115 V de magnitud, pero qué entendemos con 115 volts?. No es en realidad el valor instantáneo de la tensión, pues ésta no es una constante. El valor de la amplitud (valor pico) simbolizada como Vm; si presentamos la forma de onda en un osciloscopio calibrado descubriríamos que la amplitud de esta tensión en una de nuestras tomas de c.a. es 115 2 o 162.6 V. Tampoco puede corresponder al valor promedio, debido a que el valor promedio de una onda senoidal es cero. Sin embargo sucede que los 115 V son el valor eficaz de ésta tensión senoidal. El valor es una medida de la eficacia de la fuente de tensión al suministrar potencia a una carga resistiva. Podemos definir el valor eficaz en términos de una forma de corriente (aunque podríamos hacer lo mismo para una forma de onda de voltaje): “El valor eficaz de cualquier corriente periódica resulta igual al valor de la

corriente directa que al fluir a través de un resistor de R ohms, entrega la misma potencia (activa) al resistor que la corr iente periódica”.

En otras palabras si la potencia instantánea por un resistor es: 2

p = i R

y obtenemos el valor promedio en un periodo T: P 

1 T

T



0

i 2 (t ) Rdt 

R T

T



0

i 2 (t )dt

La potencia que entrega la corriente directa es: 2 P  I ef R Igualando las dos expresiones anteriores y despejando I ef obtenemos: I ef 

1

T

T 

0

i 2 (t )dt

En lenguaje abreviado la operación que implica determinar un valor eficaz es la raíz (cuadrada) de la media del cuadrado, por esta razón, el valor eficaz se denomina a menudo como el valor de la raíz cuadrática media o simplemente el valor rms.

Página 1.19



1.2.2.1 PARA UNA FORMA DE ONDA SENOIDAL Sea: i(t )  Im cos t   

que tiene un periodo: T 

2 

Y sustituyéndola en la ecuación anterior para encontrar el valor eficaz de la corriente cosenoidal ( I ef ), tenemos que: I ef 

1 T



1

T



0

( Im cos( t   ))2 dt

T

Im T 

cos2 ( t   )dt

2

0

 Im



2 

2 

0

cos2 ( t   )dt

Por la identidad trigonométrica: cos 2 x  2 cos2 x  1  cos2 x 

1 (1  cos 2 x) 2

Tenemos ahora que: 2    1 1   cos(2 t   ) dt I ef  Im   2 0  2 2  Si para el segundo término a integrar dentro de la función dentro de un periodo completo es cero entonces: 2

I ef  Im

 Im  Im

  1   t 2  2  0   2

  0  4    2 4

Como resultado obtendríamos: I ef 

Im 2

y también sería:

V ef 

Vm 2

Importante: debe tomarse en cuenta que el factor 2 solamente es válido para formas de onda senoidales.

Página 1.20



1.2.2.2 USO DE LOS VALORES RMS PARA CALCULAR LA POTENCIA PROMEDIO (ACTIVA). La potencia promedio que se entrega a un resistor de R ohms a partir de una corriente senoidal se calcula mediante: P R 

y puesto que Ief 

Im 2

Vm Im 2

1

 Im2 R Watts 2

Im  I ef 2

sustituyendo en la siguiente ecuación para encontrar la potencia promedio que se entrega a un resistor de R ohms a partir de una corriente senoidal que se calcula mediante: 1 P  Im 2 R 2 1 P  (I ef 2 ) 2 R 2 2 P  I ef R

y las otras ecuaciones quedarían como sigue: P  V ef I ef cos( v   i ) P 

V ef 2 R

Página 1.21



EJEMPLO 1.9: Calcule el valor eficaz de cada una de las tensiones periódicas: a) 6 cos 25t; b) 6 cos 25t + 4 sen (25t + 30°); c) 6 cos 25t + 5 cos2 (25t); d) 6 cos 25t + 5 sen 30t + 4 V. Solución: a) 6 cos 25t A

V ef 

V m



6

 4.2426 V 2 2 b) 6 cos 25t + 4 sen (25t + 30°) A Utilizando la identidad trigonométrica: sen  cos  90 6 cos 25t  4 sen25t  30  6 cos 25t  4 cos25t  30  90  6 cos 25t  4 cos25t  60  60  4  60  6  4 cos 60  j 4 sen 60  6  2  j 3.4641  8  j3.4641  8.7177  23.4132 V 8,7177  6.1643 V V ef  m  2 2 2 c) 6 cos 25t +5 cos (25t) V Utilizando la identidad trigonométrica: 1 cos2   1  cos 2  2 1  6 cos 25t  5 cos2 25t   6 cos 25t  5 1  cos 50t  2   6 cos 25t  2.5  2.5 cos 50t Ahora bien cuando tenemos señales de frecuencias múltiples: 2 V ef  V 12ef  V 22ef  V Nef 2

2

 6   2.5  2 V ef     2.5     5.2321 V  2   2  d) 6 cos 25t + 5 sen 30t +4 V Utilizando la identidad trigonométrica: sen  cos  90

6 cos 25t  5 sen30t  4  6 cos 25t  5 cos 30t  90  4 Ahora bien cuando tenemos señales de frecuencias múltiples: 2 V ef  V 12ef  V 22ef  V Nef 2

2

 6   5  2 V ef       4  6.819 V  2   2 

Página 1.22



P.1.1 PROBLEMAS PROPUESTOS. 1. Determine la potencia promedio que absorbe cada uno de los tres elementos pasivos de la figura, así como la potencia promedio que suministra cada fuente. j2 Ω

20 ∟0° V + -

-j2 Ω

I1

2Ω

+ 10 ∟0° V -

I2

2. Una fuente de corriente, iS (t) = 2 cos 500t A, un resistor de 50 Ω y un capacitor de 25 µF están conectados en paralelo. Determine la potencia que suministra la fuente al resistor y al capacitor, todo en t = π/2 ms. 3. Calcule la potencia que absorbe cada elemento pasivo en el circuito de la figura en t = 0, si vS = 20 cos (1000t + 30°) V. 2.5 kΩ

v s + -

10 kΩ

4 µF

1H

4. El circuito de la figura siguiente ha alcanzado las condiciones de estado permanente. Determine la potencia que absorbe cada uno de los cuatro elementos del circuito en t = 0.1 s. 3Ω

8Ω

5 cos25t A

10 mF

5. Calcule la potencia promedio (activa) que absorbe cada uno de los cinco elementos del circuito siguiente: 4Ω

j5

100∟0° V + -

10 Ω

-j5

Ω

Ω

6. Encuentre la potencia promedio (activa) generada por cada fuente y la potencia promedio (activa) entregada a cada impedancia en el circuito siguiente: 10 A

5∟50°

Ω

8∟-20°

Ω

j10 A

Página 1.23


UNIDAD I - 1.3 Factor de potencia y potencia aparente.

1.3 FACTOR DE POTENCIA Y POTENCIA APARENTE. En la ecuación P  (VmIm/2) cos  (no olvidemos que el ángulo θ es en verdad │θvθi│, es decir la diferencia de fase entre v e i), el factor que tiene ecl control importante

sobre el nivel de potencia entregado es cos θ. Sin importar lo grande que sea el voltaje o la corriente cuando cos θ = 0, la potencia es cero; si cos θ = 1, la potencia entregada es un

máximo. Dado que tiene tal control, la expresión se denomina factor de potencia y se define mediante: Factor de potencia  FP  cos

Para una carga puramente resistiva, el ángulo de fase entre v e i es de 0 y F P =cos0 =1, la potencia entonces sería el máximo posible a alcanzar. °

°

Para una carga puramente reactiva (inductiva o capacitiva), el ángulo de fase el ángulo de fase entre v e i es de 90 y F P =cos90°=0, la potencia entregada es entonces el mínimo de cero watts. °

Para las situaciones donde la carga es una combinación de elementos resistivos y reactivos, el factor de potencia variará entre 0 y 1. Mientras más resistiva sea la impedancia total, más cercano será el factor de potencia a 1, mientras más reactiva sea la impedancia total, más cercano será el factor de potencia a 0. En términos de la potencia promedio y el voltaje y la corriente en las terminales: FP  cos 

P V ef I ef

Los términos adelanto y atraso se escriben, por lo general, en conjunto con el factor de potencia. Estos términos son definidos por la corriente a través de la carga. Si la corriente adelanta al voltaje en una carga, la carga tendrá un factor de potencia adelantado (ojo: se refiere entonces a que la carga es más de naturaleza capacitiva). Si la corriente se encuentra atrasada con respecto al voltaje en la carga, la carga tendrá un factor de potencia atrasado (ojo: se refiere entonces a que la carga es más de naturaleza inductiva). “Las redes capacitivas tienen factores de potencia adelantados y las redes inductivas tienen factores de potencia atrasados”

Desde una perspectiva histórica, la introducción de los términos potencia aparente y factor de potencia puede remontarse hasta la industria eléctrica, donde se requiere transmitir grandes cantidades de energía eléctrica de un punto a otro; la eficiencia con que se efectúa tal transferencia se relaciona de manera directa con el costo de la energía eléctrica, que a fin de cuenta la pagamos TODOS como consumidores. Los consumidores que ofrecen cargas que producen una eficiencia de transmisión relativamente pobre, deben pagar un mayor precio por cada kilowatt hora (KWh) de energía eléctrica que en realidad

Página 1.24



reciben y consumen. De manera similar, los clientes que requieren una inversión mayor en los equipos de transmisión y distribución por parte de la empresa eléctrica pagarán también más por cada kilowatt hora, a menos que la compañía sea benevolente y le guste perder dinero. Supongamos entonces que tenemos una respuesta de potencia en un circuito bajo condiciones de cd; es decir si nuestras respuestas en tensión y en corriente aplicadas fueran cantidades de cd, la potencia promedio entregada a la red habría sido simplemente igual al producto de la tensión y de la corriente. Al aplicar ésta técnica de cd al problema senoidal, debemos obtener un valor para la potencia absorbida, que está dada “aparentemente” por el familiar producto V e I f ef . Sin embargo, éste producto de los valores eficaces de la tensión y la corriente no es la potencia promedio; definimos a dicho producto como la potencia aparente. En términos dimensionales, la potencia aparente debe medirse en las mismas unidades que la potencia real, pues el factor de potencia es adimensional; pero para evitar confusiones, se aplica el término voltamperes o VA a la potencia aparente. Puesto que el factor de potencia no puede ser mayor a 1, resulta evidente que la magnitud de la potencia real (o promedio) no es mayor que la de la potencia aparente. La proporción entre las potencias real o promedio con la potencia aparente recibe el nombre de factor de potencia. En consecuencia: FP  cos 

P potencia promedio  V ef I ef potencia aparente

Como ya lo definimos el producto V e I f ef es la potencia aparente y la podemos definir por la magnitud S . dado que simplemente es el producto del voltaje y la corriente, sus unidades son, como ya definimos volt-ampere, cuya abreviatura es VA. Su magnitud (ojo: no es en términos fasoriales) está determinada por: S  V ef I ef

o, dado que: V ef  I ef Z e entonces: y

I ef 

V ef Z 2 S  I ef Z

S 

V ef 2 Z

(VA) (VA)

Página 1.25



La potencia promedio para una carga dada es: P  V ef I ef cos S  V ef I ef

Sin embargo:

P  S cos 

Por tanto,

y el factor de potencia de un sistema es: FP  cos 

P S

Ahora bien definimos lo anterior basándonos únicamente en la magnitud de la potencia aparente (no en la forma fasorial: parte real más una parte imaginaria), pero haciendo una pequeña reflexión sobre la potencia entregada a partir de una forma de potencia instantánea como la que vimos anteriormente: p(t ) 

Vm Im Vm Im cos( v   i )  cos(2 t   v   i ) 2 2

O bien ya en términos de voltaje y corriente eficaces: p(t )  V ef I ef cos( v   i )  V ef I ef cos( 2 t   v   i )

Dimos por echo que el segundo término de la ecuación “desaparecía” al calcular su valor promedio en un ciclo completo o no, pero lo que en realidad pasa es que existe un valor positivo de la potencia y uno exactamente igual en magnitud pero negativo que lo contrarresta y por lo tanto al sumarlos nos da como resultado cero, por lo que es necesario destacar que al suministrar voltaje por ejemplo desde una central eléctrica a un circuito reactivo no se pierde la energía sino que la parte negativa contrarresta a la positiva pero en cuestión de generación de energía eléctrica es como si se estuviera enviando energía y posteriormente regresándosela. Entonces por lo cual debemos tomar bajo ciertas consideraciones la parte imaginaria de la potencia debida a una carga reactiva y por lo cual es necesario definir la potencia en sus partes real e imaginaria.

Página 1.26


UNIDAD I - 1.4 Potencia compleja.

1.4 POTENCIA COMPLEJA. Se logra cierta simplificación en los cálculos de la potencia, si ésta se considera como una cantidad compleja (con parte real y parte imaginaria). Se encontrará que la magnitud de la potencia compleja es la potencia aparente, y se demostrará que la parte real de la potencia compleja corresponde a la potencia promedio (real o activa). La nueva cantidad, la parte imaginaria de la potencia compleja, se llamará potencia reactiva. Podemos definir entonces una potencia compleja en términos fasoriales: S  Vef ef *

o bien definirla en términos en forma rectangular: S  P  jQ

donde P es la potencia promedio (o activa) ya antes mencionada y que por cierto solamente calculamos a partir de elementos meramente resistivos y que tienen solamente componentes reales como resultado. Y Q de denomina potencia reactiva. Las dimensiones de Q son las mismas que para la potencia real P (o promedio), de la potencia compleja S y de la potencia aparente S , para evitar confusiones con estas otras cantidades, la unidad de Q se define como volt-amper-reactivo (VAR). A partir de las ecuaciones anteriores podemos definir entonces que (debido a que es la parte imaginaria): Q  V ef I ef sin 

En donde θ es el ángulo de defasamiento entre el voltaje y la corriente para cualquier carga reactiva (ojo: no debe tomarse este valor como el caso del FP, el signo nos indicará que la potencia es inductiva o capacitiva). Para un mayor entendimiento utilicemos una representación geográfica muy común para la potencia compleja que se llama triángulo de potencia.

1.4.1 EL TRIANGULO DE POTENCIA Las tres cantidades potencia promedio, potencia aparente y potencia reactiva pueden relacionarse en el dominio vectorial mediante: S  PQ

Con: P  P 0

QL

 Q L 90

QC

 QC   90

Página 1.27



Para una carga inductiva, el fasor de potencia S, como se le denomina con frecuencia, está definido por: S  P  jQ L

Como se muestra en la siguiente figura: S

Diagrama de potencia para cargas inductivas

θ

Q

L

P

El desplazamiento en 90º en Q L a partir de P es la razón de otro nombre para la potencia reactiva: potencia en cuadratura. Para una carga capacitiva, el favor de potencia S está definido por: S  P  jQC

Como se muestra en la figura: P

Diagrama de potencia para cargas capacitivas

θ

Q

C

S

Si una red tiene tanto elementos capacitivos como inductivos, el componente reactivo del triángulo de potencia estará determinado por la diferencia entre la potencia reactiva entregada a cada uno. Si la potencia reactiva de los inductores supera o es mayor a la de los capacitores el triángulo de potencia será entonces de naturaleza inductiva, y si la potencia reactiva capacitiva es mayor que la inductiva entonces tendrá una mayor naturaleza capacitiva. Es posible deducir una consideración adicional al considerar primero el diagrama de impedancia de un circuito en seria R-L-C de la figura siguiente: j X L

Diagrama de impedancia para un circuito R-L-C en serie

Z

X C

R

X L-X C +

Si multiplicamos cada vector radial por la corriente al cuadrado ( I 2) obtendremos los resultados de la figura que se muestra a continuación, los cuales son el triángulo de potencia para un circuito predominantemente inductivo.

Página 1.28


UNIDAD I - 1.4 Potencia compleja. j I 2 X L=QL

Resultado de multiplicar cada vector del diagrama de 2 impedancia por I

2 I Z S =

Q(resultante)=QL-QC =I 2 (X L-X C )

2

P R=I R 2 I X C =QC

+

Dado que la potencia reactiva y la potencia promedio siempre están a un ángulo de 90º una con respecto a la otra, las tres potencias que estamos analizando se relacionan mediante el teorema de Pitágoras; es decir, S 2  P 2  Q 2

Por consiguiente, siempre se podrá obtener la tercer potencia si se conocen las otras dos. Resulta particularmente interesante que la ecuación: S  Vef ef *

proporcionará la forma vectorial de la potencia aparente de un sistema. Aquí, voltaje en el sistema e

*

Ief

Vef es

el

es el conjugado complejo de la corriente.

Considérese como ejemplo el circuito de la figura siguiente: R I V

= 10 V ∟0º

3Ω X L 4 Ω

donde: I

V ZT



10V0 3  j 4



10V0 553.13

 2A  53.13

La potencia real (el término real se toma del eje real positivo del plano complejo) es: P  I 2 R  (2A) 2 (3)  12 W

y la potencia reactiva es: Q L  I 2 X L  (2A) 2 (4)  16 VAR ( L)

con:

S  P  jQ L

 12 W  j16 VAR ( L)  20 VA 53.13

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como se muestra en la siguiente figura y al aplicar la ecuación anterior tenemos: S  Vef Ief *

 (10V0)(2A53.13)  20 VA 53.13

como se obtuvo antes. A

V 0 = 2 S

Triángulo de potencia para el circuito anterior

QL=16 VAR

θ =53.13º

P=12 W

El ángulo θ asociado con S, y que aparece en la figura anterior, es el ángulo del factor de potencia de la red. Dado que: P  VI cos 

o bien: entonces:

P  S cos  FP  cos 

P S

Página 1.30


UNIDAD I - 1.5 Corrección del factor de potencia.

1.5 CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA. El diseño de todo sistema de transmisión de potencia es muy sensible a la magnitud de la corriente en las líneas según lo determinen las cargas aplicadas. Mayores corrientes dan como resultado mayores pérdidas de potencia (por un factor cuadrático dado que P  I 2 R ) en las líneas de transmisión debido a la resistencia de las líneas, las grandes corrientes requieren también conductores más grandes, incrementando la cantidad de cobre necesario para el sistema, y, obviamente, demandarán mayor capacidad de generación por parte de la compañía que proporcione el suministro. Deberá realizarse todo esfuerzo posible para mantener los niveles de corriente al mínimo. Dado que el voltaje de línea de un sistema de transmisión es fijo, la potencia aparente está relacionada directamente con el nivel de la corriente. A su vez, mientras menor sea la potencia aparente neta, menor será la corriente de la fuente cuando S = P y QT = 0. El proceso de introducir elementos reactivos para llevar el factor de potencia lo más cercano a la unidad se denomina corrección del factor de potencia. Dado que la mayoría de las cargas son inductivas, el proceso involucra normalmente la introducción de elementos con características terminales capacitivas cuyo único propósito es mejorar el factor de potencia. Por ejemplo en la figura siguiente en el inciso (a), una carga inductiva está extrayendo una corriente I L, que posee una componente real y una imaginaria. Is

IL

FP=1

E

R Carga inductiva X L>R FP<1 L

= E ∟0º

IL

IC

+ E

X C

-

R Carga inductiva X L>R FP<1 L

ZT =ZT ∟0º

(a)

(b) Demostración del impacto de un elemento capacitivo sobre el factor de potencia de una red

En el inciso (b) se añadió una carga capacitiva en paralelo con la carga original para elevar el factor de potencia del sistema total al nivel de factor de potencia unitario. Obsérvese que al colocar todos los elementos en paralelo, la carga sigue recibiendo el mismo voltaje Terminal y extrae la misma corriente I L. En otras palabras, la carga se mantiene al margen de si está conectada como al inciso (a) o el inciso (b). Al resolver para la corriente de fuente en el inciso (b) de la figura anterior: I S  I C  I L

 jI C ( I magnitud )  I L (Re)  jI L ( I magnitud )  I L (Re)  j  I L ( I magnitud )  I C ( I magnitud )

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UNIDAD I - 1.5 Corrección del factor de potencia.

Si se elije X C de tal forma que I C ( I magnitud )  I L ( I magnitud ) , entonces: I S  I L (Re)  j (0)  I L (Re)0

El resultado es una corriente de fuente cuya magnitud será igual a la parte real de la corriente de carga, la cual puede ser considerablemente menor que la magnitud de la corriente de carga del inciso (a) de la figura anterior. Además, dado que el ángulo de fase asociado tanto con el voltaje aplicado como con la corriente de fuente es el mismo, el

sistema aparece como “resistivo” en las terminales de entrada, y toda la potencia

suministrada se absorberá, creando una eficiencia máxima para la empresa generadora de energía eléctrica.

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Unidad i Circuitos Electronicos II

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