LEY DE ENFRAMIENTO DE NEWTON. Pablo Antonio Hernández López. Ing. En Física Física Aplicada, Aplicada, Universidad Universidad Tecnológica Tecnológica de la Mixteca Mixteca (U.T.M) (U.T.M) Carretera Carretera Acatlima Km 2.5, Huajuapan Huajuapan de León, Oaxaca. Oaxaca. Apartado Apartado postal 69000. e-mail:
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Laboratorio de Física Entregado el 4 de diciembre del 2013.
RESUMEN. En este trabajo se pretende hallar una relación matemática que establezca la ley de enfriamiento del agua, que relacione el cambio de temperatura en función del tiempo, para ello se hace uso del método de mínimos cuadrados, los datos que se manejan fueron obtenidos experimentalmente.
PALABRAS CLAVE: Calentamiento, enfriamiento, temperatura etc.
INTRODUCCION.
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. peculiaridades . La transferencia transferenci a de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia diferencia de temperaturas temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
Isaac newton (1641-1727) fue el primero en interesarse en este fenómeno. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton.
MARCO TEORICO. Se denomina enfriamiento newtoniano a aquel proceso de enfriamiento que sigue una ley determinada experimentalmente por Isaac Newton, según la cual la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío cuya temperatura es la temperatura instantánea del cuerpo y del ambiente.
, es proporcional a la diferencia entre
(1) Donde r es una constante de proporcionalidad. Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre y . En todo caso la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial:
Esta expresión resulta de resolver la ecuación diferencial (1). Una formulación más precisa del enfriamiento de un cuerpo en un medio necesitaría un análisis del flujo de calor del cuerpo cálido en un medio inhomogéneo de temperatura. La aplicabilidad de esta ley simplificada viene determinada por el valor del número de Biot. En la actualidad el enfriamiento newtoniano es utilizado especialmente en modelos climáticos como una forma rápida y menos cara computacionalmente de calcular la evolución de temperatura de la atmósfera. Estos cálculos son muy útiles para determinar las temperaturas así como para predecir los acontecimientos de los fenómenos naturales.
DESARROLLO EXPERIMENTAL. Para la realización de la práctica se utilizó el siguiente material:
1 Recipiente para calentar agua ( Vaso de precipitado).
1 termómetro de laboratorio.
1 fuente de calor.
1 cronometro digital.
1 litro de agua pura.
El experimento consistió en dos etapas, una de calentamiento y otra de enfriamiento, las cuales serán descritas a continuación.
1.- ETAPA DE CALENTAMIENTO:
Se vacío el litro de agua en el recipiente, y antes de comenzar a tomar datos se midió la temperatura ambiente del agua. Una vez realizado esto, se colocó el vaso de precipitado en un calentador eléctrico proporcionado por el laboratorio de física. Con la ayuda del equipo se midió con el termómetro la temperatura del agua en proceso de calentamiento en un tiempo total de 180 segundos, tomando medidas de temperatura en intervalos de 30 segundos, estos datos fueron registrados.
2.- ETAPA DE ENFRIAMIENTO:
Inmediatamente después de tomar los datos de calentamiento, se retiró de la fuente de calor el vaso de precipitado y se colocó en un lugar estable. Se esperó 5 minutos en el tiempo después de haber bajado el recipiente, para luego comenzar la toma de datos de enfriamiento. Para este procedimiento se decidió tomar la temperatura en intervalos de 45 segundos, cada uno durante un tiempo total de 15 minutos, debido a que este proceso demoro mucho más que el anterior. El procedimiento de toma de temperaturas fue semejante al anterior, los datos tomados fueron registrados.
TABLAS, GRÁFICAS Y RESULTADOS. A continuación se muestran las tablas, datos y resultados obtenidos, para cada uno de los procedimientos.
1.- ETAPA DE CALENTAMIENTO: En la tabla 1 se muestra la tabla con los datos tomados experimentalmente.
() 0 30 60 90 120 150 180 630
()º
24 27 33 39 44 50 55 272
∑ =
0 810 1980 3510 5280 7500 9900 28980
∑ =
∑ =
0 900 3600 8100 14400 22500 32400 81900
∑ =
576 729 1089 1521 1936 2500 3025 11376
∑ =
( ̅ ) 1.476 1.265 0.216 0.0380 0.210 0.265 0.0306 3.3116
∑ =
Tabla 1. Datos obtenidos a partir del procedimiento de calentamiento.
En la figura 1 se muestra la gráfica de la toma de datos (temperatura vs tiempo).
calentamiento del agua 60 T (t) = 0.1786[ºC/s] t [s] + 22.786 [ºC] R = 0.9979
50 ] C º 40 [ a r u t 30 a r e p m20 e t
10 0 0
50
100
150
tiempo [s]
Figura 1. Gráfica de temperatura vs tiempo de los datos tomados.
200
*Para mayor información de las fórmulas véase en apéndice. Usando la formula (1) se pudo calcular la r de correlación de los datos en cuestión.
= . En base a la formula (2) se procedió a calcular la pendiente que tendrían la mejor recta correspondiente a los datos de calentamiento. Esta m representa la velocidad de cambio de temperatura.
= . [℃⁄] Posteriormente se realizó el cálculo de ordenada al origen de la mejor recta o recta del mejor ajuste, lo anterior se realizó haciendo uso de la formula (3). Esta b representa la temperatura inicial.
= . ℃ Después de hacer los cálculos anteriores se puedo establecer una ecuación o ley relacionada con la recta del mejor ajuste:
() = .[℃⁄]()+.℃ Posteriormente se realizó el cálculo de las incertidumbres asociadas con la pendiente y la ordenada origen haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) respectivamente, sin olvidar primeramente realizar el cálculo de la incertidumbre o incremento de ayudados de la formula (4).
Utilización de la formula (4).
∆ = . Utilización de formula (5).
∆ = . [℃⁄] Utilización de la formula (6).
∆ = . ℃
2.-ETAPA DE ENFRIAMIENTO. Tabla 2. Datos obtenidos a partir del procedimiento o la fase de enfriamiento (sin ajuste)
()
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720 765 810 855 900 9450
∑ =
()º 51 51 50 50 49 49 48 47 46 46 45 45 45 44 44 43 43 43 42 42 42 965
∑ =
0 2295 4500 6750 8820 11025 12960 14805 16560 18630 20250 22275 24300 25740 27720 29025 30960 32895 34020 35910 37800 417240
∑ =
0 2025 8100 18225 32400 50625 72900 99225 129600 164025 202500 245025 291600 342225 396900 455625 518400 585225 656100 731025 810000 5811750
∑ =
2601 2601 2500 2500 2401 2401 2304 2209 2116 2116 2025 2025 2025 1936 1936 1849 1849 1849 1764 1764 1764 44535
∑ =
Tabla 2. Figura 2. Se muestra una gráfica de temperatura vs tiempo de los datos experimentales.
enfriamiento del agua 60 ] 50 C º [ 40 a r u t 30 a r e p 20 m e t 10
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tiempo [s]
Figura 2.
*Para mayor información de las fórmulas véase en apéndice. Para el cálculo de la r de correlación de los datos antes mencionados se hizo uso de la formula (1).
= . Por lo cual fue necesario hacer un cambio de variable apropiado.
APLICACIÓN DEL CAMBIO DE VARIABLE. Tabla 3. Datos calculados a partir del proceso de cambio de variable o ajuste sobre los datos obtenidos en la fase de enfriamiento.
()
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720 765 810 855 900 9450
∑ =
:() ()º 3.9318 3.9318 3.912 3.912 3.8918 3.8918 3.8712 3.8501 3.8286 3.8286 3.8066 3.8066 3.8066 3.7841 3.7841 3.7612 3.7612 3.7612 3.7376 3.7376 3.7376 80.3341
∑ =
0 176.931 352.08 528.12 700.524 875.655 1045.224 1212.7815 1378.296 1550.583 1712.97 1884.267 2055.564 2213.6985 2383.983 2538.81 2708.064 2877.318 3027.456 3195.648 3363.84 35781.813
∑ =
2601 2601 2500 2500 2401 2401 2304 2209 2116 2116 2025 2025 2025 1936 1936 1849 1849 1849 1764 1764 1764 81900
∑ =
15.459 15.459 15.303 15.303 15.146 15.146 14.986 14.823 14.658 14.658 14.49 14.49 14.49 14.319 14.319 14.146 14.146 14.146 13.369 13.369 13.369 307.4018
∑ =
( ̅ ) 3.61×10− 0.293145 5.6625×10− 0.3641 0.01587 0.41353 0.02391 0.1150 0.7028 0.11753 0.72684 0.135 0.0126 0.17025 3.276 0.2283 3.205 0.1911 0..126 0.11089 0.5988 4.24152
× 10− × 10−
∑ =
Tabla 3.
*Para mayor información de las fórmulas véase en apéndice. Para el cálculo de la r de correlación de los datos antes mencionados se hizo uso de la formula (1).
= .
Posteriormente, se procedió a realizar el cálculo de la pendiente asociada a la mejor recta o recta del mejor ajuste en el proceso de enfriamiento, el procedimiento anterior se llevó a cabo haciendo uso de la formula (2). Donde m representa el la velocidad de cambio de la temperatura y es negativa porque se trata de un descenso en la temperatura.
= .×− [℃⁄] Igualmente se realizó el cálculo de la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste, esto haciendo uso de la formula (3).
= . ℃ Finalmente, con los todos los datos ya calculados se pudo establecer una ecuación o ley que describiera el comportamiento de la recta del mejor ajuste.
= .−.× Posteriormente se realizó el cálculo de la incertidumbre asociadas a la pendiente y a la ordenada de la recta anterior utilizando las formulas () y () respectivamente, obviamente realizando primeramente el cálculo de la incertidumbre de basándonos en la formula ().
Utilización de la formula (4).
∆ = . Utilización de la formula (5).
∆ = .×− [℃⁄] Utilización de la formula (6).
∆ = . ℃
Finalmente se muestra la gráfica ajustada de la figura 3, con cambio de variable.
grafica ajustada del proceso de enfriamiento 3.95 T (t) = -0,0002[ºC/s] t [s] + 3,9318[ºC] R = 0,977
3.9 ] C º [ 3.85 a r u t a r e p 3.8 m e t
3.75
3.7 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
tiempo [s]
Figura 3. Gráfica ajustada de temperatura vs tiempo.
ANÁLISIS DE RESULTADOS.
Los resultados obtenidos para el proceso de calentamiento muestran que la temperatura del agua es directamente proporcional al tiempo de calentamiento, es por ello que no fue necesario aplicar un cambio de variable, como se ve en la gráfica 1 de T vs t. Donde la pendiente muestra un comportamiento creciente, teniendo un comportamiento lineal. La ordenada nos muestra que no parte del origen, es decir, de cero grados. Esto se interpreta que el agua dentro del recipiente tiene la misma temperatura que la temperatura ambiente. Las respectivas incertidumbres de este experimento son realmente mínimas, por lo cual la pendiente y ordenada tienen más sentido físico, puesto que la incertidumbre para hallar el mejor valor esperado, se encuentra en un rango de error muy pequeño.
En el caso del proceso de enfriamiento, por ser un fenómeno diferente se obtuvo una curva decreciente. Los resultados del segundo experimento muestran un comportamiento no lineal, por lo que fue necesario aplicar cambio de variable, en este caso por ser una gráfica de tipo asintótica. Aplicando el método de mínimos cuadrados con cambio de variable, obtuvimos una ecuación lineal. Después de hacer el cambio de variable se obtuvo una función de tipo exponencial que representa a este fenómeno, tal ecuación tiene la misma forma que la ley de enfriamiento de newton nótese que la pendiente representa el cambio en la velocidad de la temperatura y esta tiene unidades de grados centígrados sobre segundo y ordenada al origen parte de 50°C, puesto que después del calentamiento y de los 5 minutos (para evitar imprecisiones) , el agua conservaba esa temperatura al iniciar la toma de datos. Por otro lado la r de correlación fue de 0.996 esto implica que los datos son consistentes y por lo tanto accesible para su manejo, con lo que se puede concluir que el experimento fue realizado con bastante precisión y cuidado.
ln
CONCLUSIÓN. Se obtuvo experimentalmente los datos para cada una de las funciones matemáticas y sus incertidumbres asociadas, representativas para cada experimento, aplicando el método de los mínimos cuadrados a cada una de las tablas presentadas. Estas funciones describen en forma muy aproximada el comportamiento de cada experimento.Hay una relación física entre la temperatura de un cuerpo que se encuentre sometido a un proceso de calentamiento o bien de enfriamiento y el tiempo que transcurre, estas expresiones matemáticas se dedujeron para ambos casos utilizando el método de mínimos cuadrados, una vez más se prueba la eficiencia del método de mínimos cuadrados pues cabe notar que los datos originalmente no tenían un comportamiento lineal adecuado. Debido a que el valor de las correlaciones son aceptables, se concluye que el experimento fue realizado con bastante cuidado y con bastante precisión, con lo cual decimos que fue todo un éxito.
AGRADECIMIENTOS Se agradece al profesor Rafael Martinez Martinez, su interés por la realización de dicha práctica, tanto así que se dio tiempo para volver a repetirla de manera extraescolar. Un agradecimiento a Ivan Valeriano por su aportación y colaboración en tanto la discusión de los parámetros a analizar. Agradezco a Abihail Roque por la cafetera prestada y el café orgánico.
REFERENCIAS.
http://ciencia-basica-experimental.net/newton.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/enfriamiento.htm#Ley enfriamiento de Newton http://es.wikipedia.org/wiki/Enfriamiento_newtoniano
http://www.cienciaredcreativa.org/informes/enfriam_carrasco.pdf
APÉNDICE. A continuación se muestran las formulas empleadas para los cálculos requeridos.
∑−∑∑ = √ ∑−(∑) ∑−(∑) ∑.−∑∑ = ∑ −(∑) ∑−∑∑. = ∑ ∑ −(∑) ̅ ) ∆ = ∑(−) = ∑(− − ∆ = ∆ ∑−(∑) ∆ = ∆ ∑∑−(∑)
(1) (2) (3)
(4)
(5)
(6)
Para el experimento1. Usando la formula (1) se pudo calcular la r de correlación de los datos en cuestión.
(7)(28980)(630)(272) = √ 7(81900)(630) 7(11376) (272) = .
del
En base a la formula (2) se procedió a calcular la pendiente que tendrían la mejor recta correspondiente a los datos de calentamiento. Esta m representa la velocidad de cambio de temperatura.
(630)(272) = (7)(28980) 7(81900) (630) = . [℃⁄] Posteriormente se realizó el cálculo de ordenada al origen de la mejor recta o recta del mejor ajuste, lo anterior se realizó haciendo uso de la formula (3). Esta b representa la temperatura inicial.
(28980)(360) = (81900)(272) 7(81900)(630) = . ℃ Después de hacer los cálculos anteriores se puedo establecer una ecuación o ley relacionada con la recta del mejor ajuste:
() = .[℃⁄]()+.℃ Posteriormente se realizó el cálculo de las incertidumbres asociadas con la pendiente y la ordenada origen haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) respectivamente, sin olvidar primeramente realizar el cálculo de la incertidumbre o incremento de ayudados de la formula (4). Utilización de la formula (4).
Utilización de formula (5).
Utilización de la formula (6).
∆ = . ∆ = . ∆ = 0.742 ()−() ∆ = . ∆ = 0.742 ()−() ∆ = .
Para el experimento 2. Sin cambio de variable. Para el cálculo de la r de correlación de los datos antes mencionados se hizo uso de la formula (1).
(21)(417240) (9450)(965) = √ 21(5811750)(9450) 21(44535)(965) 357210 = 362359. 5487 = . Para el experimento 2. Con cambio de variable. Para el cálculo de la r de correlación de los datos antes mencionados se hizo uso de la formula (1).
(35781.813)(21) (9450)(803341) = √ 21(5811750)(9450) 21(307.4018)(80.3341) = . Posteriormente, se procedió a realizar el cálculo de la pendiente asociada a la mejor recta o recta del mejor ajuste en el proceso de enfriamiento, el procedimiento anterior se llevó a cabo haciendo uso de la formula (2). Donde m representa el la velocidad de cambio de la temperatura y es negativa porque se trata de un descenso en la temperatura.
813) (9450)(803341) = (21)(35781. 21(5811750)(9450) = .×− Igualmente se realizó el cálculo de la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste, esto haciendo uso de la formula (3).
3341) (35781.813)(9450) = (5811750)(80. 21(5811750) (9450) = . = . Finalmente, con los todos los datos ya calculados se pudo establecer una ecuación o ley que describiera el comportamiento de la recta del mejor ajuste.
= .−.× Posteriormente se realizó el cálculo de la incertidumbre asociadas a la pendiente y a la ordenada de la recta anterior utilizando las formulas () y () respectivamente, obviamente realizando primeramente el cálculo de la incertidumbre de basándonos en la formula ().
Utilización de la formula (4).
Utilización de la formula (5).
Utilización de la formula (6).
∆ = . ∆ = . ∆ = 0.460517 ()−() ∆ = .×− ∆ = 0.460517 ()−() ∆ = .
Finalmente se muestra la gráfica ajustada, con el cambio de variable.
