I.
Tujuan
Mahasiswa mampu menyesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Iterasi Gauss Siedel dan Metode Iterasi Jacobi pada Matlab. II.
Dasar teori Metode Iterasi adalah metode dimana penyelesaian persamaan diprediksi dengan
suatu nilai awal yang kemudian diuji melalui subtitusi ke dalam persamaan. Besarnya perbedaan yang diperoleh dijadikan dasar untuk menentukan nilai prediksi selanjutnya. Perulangan dalam suatu metode iterasi boleh saja tidak terbatas namun umumnya umumnya dibatasi dibatasi oleh besarnya besarnya error!kore error!koreksi ksi yang diperoleh. diperoleh. "pabila besarnya lebih kecil dari nilai yang diharapkan maka iterasi dapat dihentikan. Metode Iterasi Gauss Siedel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi
hingga hingga dipero diperoleh leh nilai! nilai!nil nilai ai yang yang beruba berubah!u h!ubah. bah. Metode Metode iteras iterasii Gauss! Gauss!Sei Seidel del dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier . #umus dari metode eliminasi Gauss!Seidel $
%eknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode metode!me !metod todee langsu langsung ng sepert sepertii metode metode &lim &liminasi inasi Gauss lebih e'isien e'isien daripada daripada metode iterasi akan tetapi untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koe'isien koe'isien besar teknik iterasi lebih e'isien e'isien dari pada metode metode langsung langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. (engan metode iterasi iterasi Gauss!Seidel Gauss!Seidel sesatan sesatan pembulatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan
iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Metode Iterasi Jacobi Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah kon)ergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koe'isien nolnya besar. Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman *arl Gusta) Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun +,--!an.alau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear maka dapat ditulis sebagai berikut
emudian diketahui bahwa matriks diagonal
di mana
merupakan matriks segitiga bawah dan
segitiga atas. emudian persamaan di atas dapat diubah menjadi $
emudian
merupakan
merupakan matriks
Jika ditulis dalam aturan iterati' maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai $
di mana merupakan banyaknya iterasi. Jika penyelesaian SPL maka
III.
menyatakan hampiran ke!
adalah hampiran awal.
Algoritma
Metode Iterasi Jacobi 1. Masukan dimensi n, matriks A dan ruas kanan b 2. Lanjutkan pivoting sehingga diagonal-diagonal-nya dominan 3. Inisialisasi vetor !
". Ma!iter # 2$% & $. 'ntuk k#1 s(d ma!iter dan toleransi belum diapai lakukan ) a. 'ntuk i#1 s(d n lakukan ) i. * # b+i & i≠ j ii. 'ntuk j#1 s(d dan 1.
w =w − A ( i , j )∗ xk ( j )
x ( i )= w / A ( i ,i ) &
iii.
b. ari beda terbesar, bandingkan dengan toleransi x /. etak & 0. top
Metode Gauss Seidel 1. Masukan dimensi n, matriks koeisien A, dan vetor ruas kanan b. 2. Lakukan pivoting pada matriks A dan ruas kanan b xp= 0 3. Inisialisasi vektor prediksi ". Ma!step # 1%%% $. Lakukan peulangan ) or k#1 ) ma!step or i#1)n
()
m =b i
or j # +i 1 ) n m=m − A ( i , j )∗ xp ( j ) endor for j =1 : i
if ( i = j ) x ( i )= w / A ( i ,i ) else m =m− A ( i , j )∗ x ( j )
endi endor error # abs+ ! - !p i+ error 4 tol break
endi endor endor /. 5asil akhir adalah vektor !
START
IV.
Flowchart Metode Iterasi Jacobi
AX = b
Input A, b, X0, T, N
[X, g, H]= j!"bi(A,b,X0,T,N)
xi =
bi − ∑ j ≠ i a ij y j a ii xi = ( x1 x2 x3 …xn)
STOP
Metode gauss saidel
V.
rogram ! Scrib Iterasi Jacobi Matriks /0/ • clc clear all %iterasi jacobi
A=[4 -1 1; 4 -8 1; -2 1 5]; b=[7; -21; 15]; [m,n]=size(A); =zeros(n); !or "=1#n !or $=1#n i! ($ = ") (",$)=-A(",$)&A(","); en' en' (",1)=b(",1)&A(","); en' lama=[1; 2; 2 ]; %---inisialisasi lama iterma$s=1*; %---iterasi ma$simm sam"ai 1* $ali !or $=1#iterma$s bar=+lama ; lama=bar; en' bar •
Matriks 101 clc clear all %iterasi jacobi A=[-2 1 1* *; * -1 8 ; 1* -1 2 *; -1 11 -1 ]; b=[-11; -11; .; 25]; [m,n]=size(A); =zeros(n); !or "=1#n !or $=1#n i! ($ = ") (",$)=-A(",$)&A(","); en' en' (",1)=b(",1)&A(","); en' lama=[*; *; *; * ]; %---inisialisasi lama iterma$s=1*; %---iterasi ma$simm sam"ai 1* $ali !or $=1#iterma$s bar=+lama ;
lama=bar; en' bar
•
Iterasi Gauss Seidel Matriks /0/ !or "=1#n-1 !or $=1#n i! $==" $=$1; en' (",$)=-A(",$)&A(","); en' (",1)=b(",1)&A(","); en' !or $=1#n-1 (n,$)=-A(n,$)&A(n,n); en' (n,1)=b(n,1)&A(n,n); %------------------------/=;%matri$s 'ico"0 $e matri$s / !or "=1#n-1 !or $="1#n /(",$)=*; en' en' %-------------------------=;%matri$s 'ico"0 $e matri$s !or "=1#n-1 !or $="1#n ($,")=*; en' en' lama=[1; 2; 2];%---inisialisasi lama iterma$s=1*;%---itera$si ma$simm sam"ai 1* $ali !or $=1#iterma$s bar=+lama ; lama=bar; en' bar •
•
Matriks 101
%33A6 93A: A:: :99/ clear all clc
A=[1* -1 2 *; -1 11 -1 ; 2 -1 1* -1; * -1 8]; b=[.; 25; -11; 15];
'im=size(A); n='im(1);
'is"(<
33A6 93A: A:: :99/
<)
'is"(<------------------------------------------<) 'is"(
1
2
4<)
'is"(<------------------------------------------<) %---"eritn>an matri$s 'an ?e$tor --!or $=1#n
($,$)=*;
en' !or "=1#n-1 !or $=1#n i! $=="
$=$1; en'
(",$)=-A(",$)&A(","); en'
(",1)=b(",1)&A(",");
en' !or $=1#n-1
(n,$)=-A(n,$)&A(n,n);
en' (n,1)=b(n,1)&A(n,n); %------------------------/=;%matri$s 'ico"0 $e matri$s / !or "=1#n-1
!or $="1#n
/(",$)=*; en'
en' %-------------------------=;%matri$s 'ico"0 $e matri$s !or "=1#n-1 !or $="1#n
($,")=*; en'
en' lama=[*; *; *; *];%---inisialisasi lama
iterma$s=1*;%---iterasi ma$simm sam"ai 1* $ali !or $=1#iterma$s bar=+lama ;
lama=bar;
!"rint!(<%8@*! %@5! %@5! %@5! %@5! Bn<,$,bar<)
en'
VI.
"asil Iterasi Jacobi Matriks /0/
Matriks 101
Iterasi Gauss Seidel Matriks /0/
Matriks 101
VII.
embahasan
Metode Iterasi memiliki keunggulan dibandingkan dengan Metode &liminasi n
karena hemat dalam pemakaian memori atau karena kompleksitasnya
2
≈ O¿
2.
3
n Sementara itu kompleksitas Metode &liminasi umumnya adalah ≈ O ¿ 2 dimana n adalah ukuran )ektor 0. karenanya Metode &liminasi lebih cocok untuk sistem persamaan )ariable yang tidak terlalu banyak sedangkan Metode Iterasi bias digunakan untuk matriks koe'isien berukuran besar dan sebagian elemennya nol 3Sparse Matriks2. Metode Iterasi Jacobi terkesan lambat menuju kon )ergensi sehingga Gauss Siedel mengusulkan metode yang leih cepat dimana nilai yang diperoleh langsung digunakan dalam putaran iterasi yang sedang berlangsung. Penggunaan pendekatan dengan pemrograman M"%L"B salah satu software komputer yang dapat digunakan untuk memberikan solusi komputasi numerik. arena metode 4 metode numerik dengan bahasa pemrograman yang sederhana namun dapat menyelesaikan permasalahan yang dihadapi oleh mereka yang bergerak dalam bidang matematika maupun aplikasi matematika.
VIII. #esim$ulan Metode eliminasi gauss!seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg
berukuran kecil karena metode ini lebih e'isien. (engan metode iterasi Gauss! Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan. elemahan dari metode ini adalah masalah pi)ot 3titik tengah2 yang harus benar4
benar diperhatikan karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi di)ergen dan tidak diperoleh hasil yang benar Metode Iterasi Jacobi terkesan lambat menuju kon )ergensi sehingga Gauss Siedel mengusulkan metode yang leih cepat dimana nilai yang diperoleh langsung digunakan dalam putaran iterasi yang sedang berlangsung.
DAFTA% &STA#A
Munir #. 5--/. Metode Numerik . In'ormatika. Bandung. Sahid. 5--6. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. "ndi. 7ogyakarta. Suarga. 5-+5. Algoritma Pemograman . &disi ke!5. 7ogyakarta $ Penerbit "8(I.
